SGC ライブラリ- 90

アインシュタイン方程式一般相対性理論のよりよい理解のために

白水 徹也　著

サイエンス社

まえがき

アインシュタインが一般相対性理論を提唱してから約 100年が経ようとしている．しかし，これ

までにアインシュタイン方程式以上に美しい方程式を人類は手にしていない．一般相対性理論にお

いて，時空は湾曲した幾何学で記述され，ブラックホールの存在，膨張宇宙などを予言し，それら

は部分的ではあるものの観測実験で検証されているのは驚くべきことである．時空を記述する理論

を人類は有しているのである！

当初異端児扱いを受けていたブラックホールも今では宇宙物理学にとどまらず幅広い分野でニー

ズが広がっているように思われる．そればかりか中心的な話題を提供している．これは 1998年に

マルダセナ (Maldacena)が提唱した adS/CFT対応予想によるところが大きい．この予想によれ

ば，高次元時空の一般相対性理論はより低次元の物質の理論と等価であることを主張している．特

に，摂動論が適用できない物質の理論の強結合の振る舞いが重力サイドの摂動論で記述されること

が多くの研究者を魅了しているようである．しかし，これまでの 100年間で得られた素晴らしい一

般相対性理論の成果が十分広く利用されているとは言い難い状況であるというのも事実である．

一方で，宇宙の精密観測が進んだ結果，現在の宇宙は加速的に膨張することが分かってきている．

2011年にこの加速膨張発見の成果にノーベル賞が贈られている．アインシュタイン方程式が正しい

とすると，宇宙を加速するためには特殊な「物質」が必要である．その代表例は宇宙定数（宇宙項）

であるが，よりエキゾチックな物質の可能性もある．また，重力理論としてのアインシュタイン理

論に補正を加えるという選択肢も存在する．どちらが正しいか，あるいはどちらも正しくないのか

現時点では分からない．しかし，これまでアインシュタイン理論から得られた輝かしい成果と同レ

ベルのものを，いずれからも期待するのは難しそうである．

これらの状況を考慮し，これまで得られた一般相対性理論の美しい成果を包括的にまとめ，継承

することが本書の目的の一つでもある．理論構築を行うのであれば，本書で紹介するような一般相

対性理論と同質，あるいはそれ以上の成果を目指してほしい．そこで本書では日本の標準的な教科

書で取り上げない話題を取り上げている．一方で星の内部解，重力波などは重要ではあるが割愛す

ることにした．

最後に草稿の段階で貴重な意見を頂いた京都大学学部 4年生の須田武憲君，山下泰穂君に，沢山

の誤植やミスを初校の校正の段階で指摘して頂いた大学院修士 1年生の榊原由貴君に感謝します．

2012年 3月洛西にて

白水 徹也

記号表

1) ギリシア文字の添字 μ, ν ···　時空全体の座標．2) i以降のラテン小文字の添字 i, j, k ···　空間座標．3) aから hまでのラテン小文字の添字 a, ··· , h ···　ウォルトの抽象添字（1.6節）．

4) ∂μ ···　偏微分の ∂μ = ∂/∂xμ の略記．

5) ∇μ ···　共変微分．6) gμν ···　時空計量．符号は (−,+,+,+, ···)．gμν はその逆行列．7) Γα

μν ···　クリストッフェル記号．Γαμν = 1

2gαβ(∂μgβν + ∂νgβμ − ∂βgμν)で定義．

8) Rμναβ ···　リーマンテンソル．(∇μ∇ν −∇ν∇μ)Vα = RμναβVβ で定義．

目 次

第 1章 相対性理論とリーマン幾何学 1

1.1 一般相対性原理と等価原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 ユークリッド幾何学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2.1 ユークリッド計量とガリレイ変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2.2 スカラー，ベクトル，テンソル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 ミンコフスキー時空 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1 ミンコフスキー計量とローレンツ変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.2 スカラー，ベクトル，テンソル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.3 因果構造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.4 相対性原理と運動方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 リーマン幾何学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4.1 計量と物理量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4.2 共変微分と平行移動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.3 曲率テンソル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.4 測地線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.5 リー微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.6 キリングベクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.7 体積要素・面積要素 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.8 共形変換とワイルテンソル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5 微分幾何学入門 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5.1 ベクトルと微分形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5.2 座標変換とリー微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5.3 ウェッジ積，外微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5.4 体積要素，ホッジ双対 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5.5 接続形式，曲率形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5.6 スピノールの微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.6 ウォルトの抽象添字 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

第 2章 アインシュタイン方程式 27

2.1 アインシュタイン方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.1 重力の方程式へ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.2 ニュートンの万有引力と潮汐力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.1.3 測地偏差方程式と潮汐力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2 アインシュタイン方程式の導出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3 ニュートン重力の再現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3.1 粒子の運動方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3.2 重力場の方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4 作用原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4.1 物質場の作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4.2 エネルギー・運動量テンソル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4.3 重力場の作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.5 一般共変性と保存則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

第 3章 厳密解 39

3.1 4次元ブラックホール解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.1 シュバルツシルト解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.1.2 ライシュナー・ノルドシュトローム解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.3 バーコフの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.1.4 カー解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2 宇宙論的解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.1 一様等方宇宙 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.2 ド・ジッター時空 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.2.3 反ド・ジッター解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.3 高次元時空における厳密解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3.1 高次元ブラックホール解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3.2 カルツア・クライン泡 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.3.3 等方座標と多重ブラックホール解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.4 共形図形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

第 4章 時空の分解 70

4.1 超曲面，誘導計量，外的曲率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.2 ガウス・コダッチ方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.3 発展方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.4 時空のハミルトニアン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.5 境界がある場合の取り扱い . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

第 5章 時空の接続 84

5.1 ガウス正規座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.2 接続条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.3 ダスト球殻 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.4 ブレーンワールド（膜宇宙論） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

iv 目 次

5.4.1 設定と接続条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.4.2 宇宙論解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.4.3 ブレーン上のアインシュタイン方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

第 6章 エネルギー，運動量，角運動量 96

6.1 エネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.2 運動量・角運動量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

第 7章 諸定理とアインシュタイン方程式 100

7.1 アインシュタイン方程式の特殊性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7.2 特異点定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.2.1 測地線束の振る舞い . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.2.2 特異点定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.3 ブラックホール . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7.3.1 重力崩壊と宇宙検閲仮説 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7.3.2 ブラックホールの定義と性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7.3.3 面積増大定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

7.4 見かけの地平面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7.4.1 見かけの地平面の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7.4.2 見かけの地平面方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7.4.3 見かけの地平面の因果的性質とトポロジー . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.5 正エネルギー定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

7.5.1 逆平均外的曲率流を用いた証明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

7.5.2 スピノールによる証明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

7.5.3 ペンローズ不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7.6 ブラックホールの唯一性定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

7.6.1 静的な場合：イスラエルによる証明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

7.6.2 静的な場合：正質量定理を用いた方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

7.6.3 定常な場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

参考文献 138

索 引 139

v

第 1 章

相対性理論とリーマン幾何学

本章では相対性理論の原理とそれを表現する数学的枠組みであるところのリー

マン幾何学について解説を行う．

1.1 一般相対性原理と等価原理

1905年に特殊相対性理論を構築したアインシュタインは，加速度系にも拡

張することを試みた．なぜなら慣性系で定式化されている特殊相対性理論では

我々が日常から体感している重力すら記述できないからである．特殊相対性理

論では，特殊相対性原理「慣性系同士の移り変わりで物理法則は変更を受けな

い」が物理法則を理解する中心的存在である．これを素直に一般化すると一般

相対性原理「どの座標系からみても物理法則は不変である」ということになる．

任意の系を考えると，加速度運動している系も自然に含まれることになる．

さて自由落下の思考実験から重力がその中で消せることを知っている．局所

的にはミンコフスキー時空になる．これを原理に格上げしたものが等価原理で

ある．この等価原理と一般相対性原理を一挙に数学的に表現できる数学的道具

があることを我々は知っている．これがリーマン幾何学である．

本章では一般相対性理論を記述するために必要なリーマン幾何学の最小限の

知識の習得を行う．まずはウォーミングアップとしてユークリッド幾何学（1.2

節），ミンコフスキー時空（1.3節）についてみてゆこう．1.3節では特殊相対

性理論の簡単な導入を行う．

1.2 ユークリッド幾何学

1.2.1 ユークリッド計量とガリレイ変換

ニュートン力学はユークリッド空間上で定式化されている．直交座標 x, y, z

を用いて微小距離離れた空間の 2点間の距離（計量）は

第 2 章

アインシュタイン方程式

本章では標準的なアインシュタイン方程式の導出を行う．まず，潮汐力に注

目し，アインシュタイン方程式の導出を試行錯誤で行う．そのあとで作用原理

の立場から再導出を行う．

2.1 アインシュタイン方程式

2.1.1 重力の方程式へ

自由落下の思考実験から重力がその中で消せることを知っている．これを原

理に格上げしたものが等価原理であった．この等価原理と一般相対性原理を一

挙に数学的に表現できることを我々は知っている．これが前章のリーマン幾何

学である．リーマン幾何学上のスカラー場，ベクトル場，テンソル場が物理量

を表すと考えれば，それらを変数とした方程式は座標の取り方に依存しない．

また，リーマン幾何学の接空間は重力が局所的にキャンセルされている（局所）

慣性系の存在に対応させることができる．

では重力自体はどのように記述されるのであろうか．曲がった時空そのもの

が重力を表現していることは，等価原理から推測できるであろう．よって，計

量テンソル gμν(x)の一部が重力の情報を含んでいると考えられる．gμν を変数

とした方程式を導けばよい．重力にも一般相対性原理を満たす必要があるが，

局所的には消えない量としてリーマンテンソルRμναβ がある．

アインシュタイン方程式の導出はニュートン重力から導かれる結果と比較し

ながら行うのが健全である．等価原理から重力は局所的に常に消せるわけであ

るが，大きさを持つ物体の 2点間の間に働く重力の差は消すことができない．

これは潮汐力と呼ばれる我々の馴染みの現象である．この潮汐力を鍵としてア

インシュタイン方程式の導出を試みる．

第 3 章

厳密解

アインシュタイン方程式は複雑な非線形方程式であるが，対称性を課すこと

によって厳密解を得ることができる．現実の世界の一部は得られた厳密解に摂

動などを加えることで記述される．本章では代表的なブラックホールと宇宙論

的な解の導出を行う．また，高次元ブラックホール，カルツア・クライン泡，多

重ブラックホール解の導出を行う．

3.1 4次元ブラックホール解

ブラックホールには天体物理学的なものと素粒子的なものに大別される．前

者は重たい恒星の重力崩壊などによって形成されると考えられている．サイズ

や質量はまちまちである．また，宇宙全体は正味中性であると考えるのが自然

であるので，形成されたブラックホールは中性であると考えられる．形成当初

電荷を持っていたとしても，反対の電荷がすばやく吸収され中性化するであろ

う．一方で素粒子的なブラックホールはそれ自体が「素粒子」であるので，電荷

を持っていると考えるのが自然である．また，そのサイズは素粒子サイズであ

ろう．ここでは中性ブラックホールとしてシュバルツシルト解とカー解を，帯

電したものとしてライシュナー・ノルドシュトローム解を取り上げよう．本節

では 4次元時空を考える∗1．

∗1 高次元時空の場合は後の 3.3.1節で扱う．ところで低次元の場合どうだろうか．2次元時空の場合，アインシュタイン方程式が存在しない．時空を決める式がないのである．3次元時空においてワイルテンソルはゼロであるものの，アインシュタイン方程式は存在する．しかし，素朴には 3 次元では重力が log 的にふるまい弱くなるため，ブラックホールが形成されにくくなることが予想される．実際に漸近的に平坦な 3 次元時空においてブラックホールがないことが井田によって示されている [D. Ida, Phys. Rev. Lett. 85,

3758 (2000)]．ただし，負の宇宙項を持つ漸近的に反ドジッター時空の場合，ブラックホール解（BTZ 解）が存在する [M. Banados, C. Teitelboim, J. Zanelli, Phys. Rev.

Lett. 69, 1849 (1992)]．

第 4 章

時空の分解

一般相対性理論では理論を共変的に構成している．しかし，力学がそうであ

るように，時空の運動を議論することがあるであろう．つまり初期位置，初速

度を決めれば方程式によって粒子の運動が予測できるように，宇宙の「初期位

置」，「初速度」を決めればアインシュタイン方程式から決定される様子を構築し

たい．そこでしばしば採用されるのが空間の時間発展という見方である∗1．共

変性は壊すことになるが，具体的な予言を行うためには必要なことである．こ

のような時間方向に時空を輪切り（葉層化）にする考え方は，空間方向に行っ

ても有用なことがしばしばある．本章では，この葉層化に関連する基本的な事

項について解説を行う．本章では全面的にウォルトの抽象添字を採用する（1.6

節参照）．また c = 1とする．

4.1 超曲面，誘導計量，外的曲率

種々の応用を念頭において D次元時空 (M, g)を考える．(M, g)は計量 gab

で距離が記述されている時空M を指す．次にD− 1次元超曲面 Σ を考え，そ

の単位法線ベクトルを na とする．

gabnanb = ε =

−1 時間的

1 空間的.

次に超曲面 Σ 上の誘導計量を

qab = gab − εnanb (4.1)

によって導入する．この計量が na 方向の成分を持たないことは

qabnb = (gab − εnanb)n

b = na − ε2na = 0 (4.2)

∗1 ADM 形式と呼ばれる [R. Arnowitt, S. Deser, C. W. Misner, Phys. Rev. 116, 1322

(1959).]．

第 5 章

時空の接続

2層からなる系をしばしば取り扱うことがある．例えば，電磁気学では誘電

体と真空からなる 2層の系がしばしばとりあげられる．同様に一般相対性理論

でもそのような系の考察が役立つことがある．例えば，無限に薄い球殻上にの

み存在するエネルギー分布の系が，重力崩壊の典型的な模型として考えられる

ことがある．また，宇宙で相転移が生じればエネルギー分布に非一様性が生じ

るが，これらを近似的に扱うことによって相転移後の時空の進化を追うことが

可能となる．最近では高次元宇宙模型でも応用されている．

本章では，2層間の接続条件を導出し，4次元時空においてミンコフスキー時

空とシュバルツシルト時空の接続に応用する．また 5次元の膜宇宙模型にも応

用する．本章では c = 1とする．

5.1 ガウス正規座標

図のような系を取り扱う．Σ は境界面である．図で左側を (M−, g−)，右側

を (Σ+, g+)と名付けよう．ここでは Σ は時間的超局面の場合を考える．この

境界面近傍で有効かつ便利なガウス正規座標の導入を行う．境界面Σ から垂直

に空間方向に測地線を発射し，それらのアフィンパラメータ y を座標とする．

このとき境界面 Σ 近傍における時空の計量は

ds2 = dy2 + qμν(y, x)dxμdxν (5.1)

と書くことができる．xμ =一定軌道が測地線で，yが各測地線上のアフィンパ

ラメータになっていることは

dxμ

dy=d2xμ

dy2= 0 (5.2)

となっていることから測地線の方程式を満足することで分かる．この座標系は

ガウス正規座標と呼ばれる．

第 6 章

エネルギー，運動量，角運動量

本章では漸近的に平坦な時空の全エネルギー，運動量，角運動量の定義につ

いて議論しよう．漸近的に平坦な時空の遠方おいて，ポアンカレ対称性が近似

的に存在すると期待できるため，それらに付随した大域的な保存量が自然に定

義される．本章では c = 1とする．

6.1 エネルギー

等価原理により時空に特別な対称性が存在しない限り，局所的にエネルギー

を定義することは一般に難しい．しかしながら時空が漸近領域を持ち，そこで

近似的に対称性が存在するならばそれに付随したエネルギーを定義することが

可能である．ここではしばしば考察の対象となる漸近的に平坦な時空に絞るこ

とにしよう．

漸近的に平坦な時空の遠方での振る舞いは

ds2 = −(1− 2GM/r)dt2 + ··· (6.1)

となる．ここでの時空のエネルギーはM になることがニュートン重力を思い

浮かべると予想が付く．

さて，漸近的に平坦な時空における無限遠方における時空の計量の振る舞いは

gμν = ημν + hμν (6.2)

である．ここで ημν はミンコフスキー時空の計量で hμν はそれからのずれを表

す．4次元時空において遠方では

hμν = O(1/r) (6.3)

とふるまうと期待される．空間的無限遠方に伝播する物質や重力波は存在しな

いので，時空は十分静的であると近似できる．これらの振る舞い，即ちミンコ

フスキー時空からのずれが小さく，近似的に静的であることを時空の全域に成

第 7 章

諸定理とアインシュタイン方程式

数値的にアインシュタイン方程式を解くことがさほど難しくないと考えられ

ている今日でも，アインシュタイン方程式を解くことなく結論できることがあ

ると有意義である．また，それらは定理の体裁をなしているため永久不滅に正

しく，直接天文学的な洞察を与えることができないまでも，それらの土台を提

供することができる．本章では c = 1とする．

7.1 アインシュタイン方程式の特殊性

これから取り上げる諸定理において時空を支配している方程式がアインシュ

タイン方程式であることが非常に重要である．例えば，極限初期ではアインシュ

タイン方程式からずれることが高エネルギー理論から予想されている．また，

最近の観測で明らかとなった宇宙の加速膨張を説明するために宇宙スケールで

は重力理論がアインシュタイン理論から大きくずれている可能性が議論されて

いる．しかし，このような理論を一旦受け入れると，今から説明する諸定理は

ことごとく破綻する．極限初期宇宙の場合は量子効果が効き始める領域である

から，古典的な定理が破れると考えるのは自然であろう．しかし，古典論が十

分成り立っていると考えられる宇宙スケールでも定理が成り立たなくなってし

まうような理論を受け入れてよいかは幾分疑問である．自然を記述する理論は

美しくあるべし，とする物理屋の美的センスはこれまで成功を納めてきた．こ

れを時空の理論にも期待するべきであろう．アインシュタイン理論では微分幾

何学がその背景の数学であった．例え宇宙の加速膨張を説明するにしてもその

新しい時空の理論は美しく定式化されるべきである．このようなことを 100年

後に登場するかもしれない理論にも期待したい．そこで，ここにアインシュタ

イン理論で納めた数々の美しい結果をまとめておくことは意義があるであろう．

参考文献

上級者向けの教科書として，

[1] R. M. Wald: General Relativity (University of Chicago Press, Chicago, 1984).

[2] S. W. Hawking and G. F. R. Ellis: Large scale structure of space-time (Cambridge Uni-

versity Press, Cambridge, 1973).

[3] 小玉英雄、佐藤文隆：『一般相対性理論』(岩波講座現代の物理学)(岩波書店，1992).

最前線の研究に役立つ研究者のためのハンドブックとして，

[4] E. Poisson: A Relativist’s Toolkit (Cambridge University Press, Cambridge, 2004).

中級者向けの教科書としては，

[5] ランダウ・リフシッツ:『場の古典論』(ランダウ=リフシッツ理論物理学教程)(東京図書，1978).

[6] 佐々木節:『一般相対論』(産業図書，1996).

[7] 小玉英雄:『相対性理論』(物理学基礎シリーズ)(培風館，1997).

[8] 内山龍雄:『一般相対性理論』(裳華房 物理学選書 15)(裳華房，1987).

[9] 冨田 憲二:『相対性理論』(パリティ物理学コース) (丸善，1990).

初級者向けの教科書としては，

[10] 佐藤勝彦:『相対性理論』(岩波基礎物理シリーズ)(岩波書店，1996).

[11] 須藤靖:『一般相対論入門』(日本評論社，2005)、『もう一つの一般相対論入門』(日本評論社，

2010).

[12] 内山龍雄:『相対性理論』(物理テキストシリーズ 8)(岩波書店，1987).

[13] 杉山直:『相対性理論』(講談社基礎物理シリーズ)(講談社，2010).

出版は古いが「電話帳」と呼ばれていて，辞書替わりに使える含蓄のある名著は，

[14] C. W. Misner, K. S. Thorne and J. A. Wheeler: Gravitation (Freeman, San Francisco,

1973).

解析力学と同時に相対性理論を学べる教科書としては，例えば，

[15] 早田次郎：『現代物理のための解析力学』(SGCライブラリ)(サイエンス社，2006).

索 引

アアインシュタインの縮約則 2

アインシュタインの静的宇宙 55

アフィンパラメータ 14

暗黒輻射 93

イスラエルの接続条件 86

一般座標変換 6

一般相対性原理 1

因果構造 4

宇宙検閲仮説 108

宇宙定数 36

宇宙の特異点定理 106

運動量拘束条件 80

エネルギー・運動量テンソル 35

エルゴ面 52

エルゴ領域 52

カカー解 49

外的曲率 71

ガウス正規座標 84

ガウス方程式 73

ガリレイ変換 2

ギボンズ・ホーキング項 81

ギボンズ・前田解 135

共形図形 67

共形変換 19

共変微分 8

共変ベクトル 6

共役点 104

共役点定理 104

極大対称空間 62

キリングベクトル場 16

キリング方程式 16

空間的ベクトル 4

空間的無限遠方 69

クリストッフェル記号 8, 10

クルスカル座標 43

計量テンソル 6

光的エネルギー条件 104

光的測池線束 102

光的ベクトル 4

光的無限遠方 69

コーシー面 105

コダッチ方程式 73

サ時間的測地線束 101

時間的ベクトル 4

時空特異点 106

事象の地平面 44, 51

シフト関数 75

主エネルギー条件 121

縮約されたビアンキ恒等式 13

シュバルツシルト解 42

スケール因子 53

接続形式 25

全測地的 72

測地線 14

測地線束の膨張率 101

測地線偏差方程式 30

測地的に完備 106

タ大域的に双曲的 105

抽象添字 26

強いエネルギー条件 103

等価原理 1, 27

等方座標 64

特異点定理 101

特殊相対性原理 4

ド・ジッター時空 56

冨松・佐藤解 135

ハバーコフの定理 49

裸の特異点 44

ハミルトニアン拘束条件 80

反ドジッター時空 59

反変ベクトル 6

ビアンキ恒等式 12

ブラックホール特異点定理 107

フリードマン方程式 54

ブレーン上のアインシュタイン方程式 95

ブレーン上のフリードマン方程式 93

ブレーンワールド 90

平行移動 8

ペンローズ過程 52

ペンローズ不等式 125

捕獲面 107

捕獲領域 111

ホワイトホール 44

ママジュンダー・パパペトロウ解 67

見かけの地平面 111

ミンコフスキー時空 3

メトリシティ 11

ヤ唯一性定理 49, 125

誘導計量 70

ラライシュナー・ノルドシュトローム解 46

ライチャウドゥリ方程式 102

ラプス関数 75

リー微分 15

リーマンテンソル 12

レビ・チビタテンソル 7

ローレンツ変換 3

ワワイルテンソル 18

欧字ADMエネルギー 97

FLRW計量 53

140 索 引

著者略歴

白しろ水みず 徹てつ也や

1991 年 山口大学理学部物理学科卒業1996 年 京都大学大学院理学研究科物理学第二専攻修了 博士（理学） 東京大学大学院理学系研究科物理学専攻助手， 同研究科附属ビッグバン宇宙国際研究センター助手， 東京工業大学大学院理工学研究科基礎物理学専攻助教授／准教授2005 年 第 20 回西宮湯川記念賞2006 年 平成 18 年度文部科学大臣表彰若手科学者賞2008 年 京都大学大学院理学研究科物理学・宇宙物理学専攻准教授2014 年 名古屋大学大学院多元数理科学研究科教授（名古屋大学素粒子宇宙起源研究機構 兼任）専門分野 相対論，宇宙論主要著書DOJIN 選書 026「宇宙の謎に挑むブレーンワールド」化学同人，2009 年．

臨時別冊・数理科学 SGCライブラリ-90

『アインシュタイン方程式　一般相対性理論のよりよい理解のために』（電子版）

著　者　白水 徹也2018 年 3 月 25 日　初版発行　ISBN 9784781999371この電子書籍は 2012 年 5 月 25 日初版発行の同タイトルを底本としています．

数 理 科 学 編 集 部 発行人　森　平　敏　孝TEL.（03）54748816FAX.（03）54748817

ホームページ　http ://www.saiensu.co.jpご意見・ご要望は　sk@saiensu.co.jp まで．

発行所　© 株式会社　サイエンス社 TEL.（03）54748500（代表）1510051 東京都渋谷区千駄ヶ谷 1325本誌の内容を無断で複写複製・転載することは，著作者および出版者の権利を侵害することがありますので，その場合にはあらかじめサイエンス社著作権担当者あて許諾をお求めください．

組版　ビーカム

アインシュタイン方程式　サイエンス社　修正表 2018.2.26 version

誤植などを発見してくださった方々, 特に榊原由貴さん, 佐藤芳紀さん, 山下泰穂さん、高橋智洋さんに感

謝します. まだまだ発見できていない個所もあるかと思います.

1. 2ページ, 上から５行目.

「ガリレイ変換」→ 「直交変換」

2. 2ページ, 上から５～６行目.

「この変換は要するに...変換である.」は不要.

3. 2ページ, 式 (1.4)の上の行と式 (1.6)の下の行.

「ガリレイ変換」→ 「直交変換」

4. 2ページ, 式 (1.5)の左辺.

「V (x′)」→ 「V ′(x′)」

5. 5ページ, 式 (1.23)の一行上.

「|xµ/c| ≪ 1」→ 「|xi/c| ≪ 1」.

6. 8ページ, 式 (1.48). 左辺に誤植.

正しくは∂ϕ′(x′)

∂x′µ .

7. 9ページ, 式 (1.54)の左辺の分子の ξは xに.

Γ′σµν =

∂2xρ

∂x′µ∂x′ν∂x′σ

∂xρ.

8. 11ページ, 式 (1.71)の右辺の第二項に∆xν が抜けている.　正しくは

Aµ(x)− Γµαν(x)A

α(x)∆xν .

9. 12ページの脚注 1の補足説明.

式 (1.75)の左辺が右辺のように書けることは, Aα にある関数 f を掛けた fAα に対して

(∇µ∇ν −∇ν∇µ)(fAα) = f(∇µ∇ν −∇ν∇µ)Aα

となることから理解できる.

10. 13ページ, 式 (1.90)の一行下.

「Rµν , Rリッチテンソル, リッチスカラーで,」

→「Rµν , Rはそれぞれリッチテンソル, リッチスカラーで,」

11. 17ページ, 式 (1.20)の 2行前. 補足.

「逆行列の定義から」→ 「クラメルの公式を用いた逆行列の表式から」

12. 18ページ, 式 (1.125)の一行下. 誤植.

「x′=一定面」→ 「x1 =一定面」

13. 19ページ, (1.133)式の右辺二行目最後の項の添字に誤植.

δΓαρβδΓ

ρνα → δΓµ

ρβδΓρνα.

14. 21ページ, 脚注 6, 4行目.

「行うちに」→「行ううちに」

15. 21ページ, 式 (1.150)の右辺の添字に誤植. 正しくは

e′µ =∂xν

∂x′µ eν .

16. 24ページ, 式 (1.74)の右辺第三行目と式 (1.175)の右辺に誤植. D → D − 1.

17. 29ページ, 図中の tは τ に.

18. 33ページ, 式 (2.41)の右辺.

−4πG

c2ρ → 4πG

c2ρδij .

19. 33ページ, 下二行, カット.

20. 34ページ, 式 (2.54)の右辺. √−d →

√−g.

21. 34ページ, 式 (2.55)の右辺第一行目.√g →

√−g.

22. 35ページ, 式 (2.55)の右辺最後の行. 式 (2.56)の左辺.

∇µFµν → ∇µFµν .

23. 35ページ, 式 (2.56)の一行下. 「Aµ 書けて」→ 「Aµ で書けて」.

24. 36ページ, 式 (2.69)の一行下. 「全積分」→「全微分」.

25. 37ページ, 2.5節. 宇宙項が断りなく落としている. ただし、宇宙項はエネルギー・運動量テンソルの

中に含めることができるので, ここでの議論は本質的に影響を受けない.

26. 38ページ, 式 (2.81)の導出. 説明補足.

式 (2.81)の第一行目の右辺に至る際に, 物質の変分による項が落ちている. ただし, 物質の運動方程式

を用いることによって, その項が寄与しないことがわかる.

27. 40ページ, 式 (3.4)の右辺. 式 (3.5)の右辺第一行目.

r2(dθ2 + sin2 θϕ2) → r2(dθ2 + sin2 θdϕ2).

28. 40ページ, 式 (3.6).

ΓABC はゼロとはならず

ΓABC =

1

2σAD(∂BσDC + ∂CσDB − ∂DσBC) =: (2)ΓA

BC(σ).

となる.

29. 40ページ, 式 (3.7)式の右辺第二行目第二項の前の符号.

=f”

2h+

h′f ′

4h2− · · · →=

f”

2h− h′f ′

4h2− · · ·

30. 42ページ, 式 (3.20).1

r4→ 1

r6.

31. 43ページ, 式 (3.28)の直前に「|t| < ∞において」を加える.

32. 43ページ, 式 (3.30)の一行後.

「なお, r = rg」→ 「なお, |t| < ∞, r = rg」

33. 44ページ, 図 3.1, 45ページ図 3.2のキャプション.

「シュバルシルト」→ 「シュバルツシルト」.

34. 46ページ,　第一行目.

「前節からの」→「前小節からの」.

35. 47ページ, 式 (3.57), (3.58)の分母は 4ではなく 2.

36. 48ページ, 式 (3.65)の中で

Γ000 =

f

f→ Γ0

00 =f

2f,Γ0

rr =h

2f→ Γ0

rr =h

2f.

37. 49ページ, 式 (3.75).

ds2 = − 1

h(r)dt2 + · · · → ds2 = − 1

h(r)c2dt2 + · · · .

38. 49ページ, 式 (3.79)の一行下. 「M は質量の aは...」→「M は質量, aは...」

39. 50ページ, 式 (3.80)の右辺第二行目. 正しくは

−(4GMa sin2 θ/rc2)cdtdϕ+ r2(dθ2 + sin2 θdϕ2).

40. 50ページ, 式 (3.81)の一行上.

M > a → GM/c2 > a.

41. 51ページ, 式 (3.90)の右辺.

dt2 → c2dt2.

42. 51ページ, 式 (3.90)の二行下.

「ライシュナーノルドシュトローム」→ 「ライシュナー・ノルドシュトローム」

43. 52ページ, 式 (3.93)の二行下.

r+ ≤ r ≤ re → r+ < r < re.

44. 59ページ, 式 (3.130)の一行下.

「1− r2/ℓ2 > 0はであるから」→「1− r2/ℓ2 > 0であるから」.

45. 59ページ, 式 (3.130)の三行下, 式 (3.134)の一行下.

「ドジッター」→「ド・ジッター」.

46. 59ページ, 式 (3.132)の左辺.

a(τ) → a(t).

47. 59ページ, 式 (3.135)の四行目.

Y = ℓ sin(ctℓ

)sinhχ sin θ cosϕ → Y = ℓ sin

(ctℓ

)sinhχ sin θ sinϕ.

48. 60ページ, 式 (3.138)の右辺.

sinh2 ρΩ22 → sinh2(ρ/ℓ)dΩ2

2.

49. 61ページ, 式 (3.147)の右辺第一行目.

(D − 2)f ′

rfh→ (D − 2)f ′

2rfh.

50. 61ページ, 式 (3.148)の右辺第一行目.

(D − 2)h′

rh2→ (D − 2)h′

2rh2.

51. 61ページ, 式 (3.149)の二行下.(D−2)RAB → (D−2)RAB.

52. 65ページ, 式 (3.173)の右辺第一行目, 括弧の中の分子.

1− m2 −Q2

ρ2(D−3)→ 1− m2 −Q2

4ρ2(D−3).

53. 67ページ, 脚注 11の 2行目.

「ドジッター時空」→ 「ド・ジッター時空」.

54. 75ページ, 図 4.2. 誤植.

図中の Σξ+σξ は Σξ+δξ.

55. 76ページ, 第一行目.

「第 2, 3項に対して」→「第 3, 4項に対して」.

56. 77ページ, 脚注 2.

「一般的には...指数関数的に増大しに不安定...」→「一般には...指数関数的に増大して不安定...」.

57. 78ページ, 式 (4.47)の右辺第二項.

qij(dxi +N idt)(dx+N jdt) → qij(dx

i +N idt)(dxj +N jdt).

58. 78ページ, 式 (4.51)の右辺第二行.

na(∇c∇a −∇a∇c)nc → na(∇c∇a −∇a∇c)nc.

59. 80ページ, 式 (4.65)の右辺第一行目と三行目にマイナスの符号が抜けている.

60. 82ページ, 式 (4.72)の右辺第三行目第二項.

dΣ2 → dΣ1.

61. 83ページ, 式 (4.80)の右辺第一行目の括弧の中の第二項目.∫dtL → L.

62. 83ページ, 式 (4.81)の右辺第二行目, 式 (4.82)の右辺第二項目.

Kij − qijK → Kji − δjiK.

63. 84ページ, 5.1節の最初から 2行目.

(Σ+, g+) → (M+, g+).

64. 86ページ, 式 (5.13)の右辺.

[Tab]− → [Tabn

anb]−.

65. 88ページ, 式 (5.32)式右辺の第三行, 四行の中の σは ϵに。

66. 89ページ, 式 (5.41)と (5.47)の左辺第一項の中.√a2 + f →

√a2 + f+.

67. 90ページ, 式 (5.48).　正しくはa+ f ′

+/2√a2 + f+

=κ2ρ

4.

68. 91ページ, 式 (5.60)の手前.

「アイシュタイン方程式」→ 「アインシュタイン方程式」.

69. 91ページ, 式 (5.60)の右辺.

κ2[−Λgab + Sab

]→ −Λgab + κ2Sab.

70. 92ページ, 脚注 3.

「ワイルテンソルからゼロとなる.」→「ワイルテンソルがゼロとなる.」

71. 93ページ, 式 (5.76)の一行上.

「(式 (3.109), (3.110))」→ 「(式 (3.109), (3.111))」.

72. 93ページ, 式 (5.76)の右辺.

+Λc2

3− 8πG

3ρ → +

Λ

3+

8πG

3ρ.

73. 93ページ, 式 (5.77)の右辺と式 (5.81)の右辺第二項.

−4πG

3(ρ+ P ) → −4πG

3(ρ+ 3P ).

74. 93ページ, 式 (5.81)から下に 11行目.

「シュバルツルト・反ド・ジッター時空」→ 「シュバルツシルト・反ド・ジッター時空」.

75. 102ページ, 式 (7.13)の右辺.

kalb + lakb → kalb + lakb.

76. 103ページ, 式 (7.24)の中. (2(uaξa)

2 + 2)P →

(2(uaξa)

2 + 1)P.

77. 103ページ, 式 (7.25)から下に三行目.

「過去向き発射」→ 「過去向きに発射」.

78. 106ページ, 定理中の第四行目の「時間的で 3/|C|よりも」は「3/|C|よりも」に.

79. 106ページ, 下から 7行目.

「未来向に向かって」→「未来に向かって」.

80. 107ページ, 定義中の第一行目の「T から放たれる」は「T から垂直に放たれる」に.

81. 107ページ, 中ほどの定理中.

「もし捕獲面 T が存在すならば」→「もし捕獲面 T が存在するならば」.

82. 108ページ, 7.3.1節の第三行目の「ブラックホールになっている」は「ブラックホールの中になる」に.

83. 111ページ, 図中.

「見せかけの地平面」→「見かけの地平面」.

84. 112ページ, 式 (7.33)の一行下.

「ラプラシアン演算子」→「ラプラス演算子」.

85. 113ページ, 式 (7.35)の一行下. 114ページ, 式 (7.40)から二行下.

「ライチャウドリ方程式」→「ライチャウドゥリ方程式」.

86. 114ページ, 式 (7.46). 誤植.

正しくは

Rabhab = (2)R+ 2θ+θ−e

−2f − 2D2f − 2(Df)2 + 2e−2f∂v θ+.

87. 114ページ, 式 (7.47). 誤植.

正しくは

(2)R = −2θ+θ−e−2f + 2D2f + 2(Df)2 − 2e−2f∂v θ+ + 16πGe−2fTabn

a+n

b−.

88. 115ページ, 式 (7.48)の右辺の被積分関数の中の第二項.

−e−2f∂v θ+ → −2e−2f∂v θ+.

89. 116ページ, 上から 7行目.

「時間の経過とととに」→「時間の経過とともに」.

90. 117ページ, 下から 3行目.

f(y) = 8M/r3 × 4πr2 → 8GM/r3 × 4πr2.

91. 118ページ, 式 (7.61)の kab の定義が抜けている.

kab := kab −1

2habk.

92. 119ページ, 式 (7.70)の下に 2行目.

「ϵがウィッテン方程式を満たしている場合, ξµ は時間的ベクトルになっていることを示すことがで

きる」とあるが,　これは正確ではない. Dirac spinorをWeyl spinorで分解して表現すると, Weyl

spinorから構成された 2つのベクトルの和で書ける. そして, Weyl spinorから作られたベクトルは

各々未来向きの光的ベクトルであり, その和は時間的である.

93. 120ページ, 式 (7.74)-(7.76). ϵ1 の説明が抜けている.

ϵ1 は ϵ1 = ϵ− ϵ0 である.

94. 120ページ, 式 (7.75)の左辺第二項, 式 (7.76)の右辺第二項において

∂A → ∂A

.

95. 120ページ, 式 (7.79)の一行下.(3)γi → (3)∇i.

96. 120ページ, 式 (7.80)の左辺第二項の Γj は Γj . 右辺第二項の括弧の中の δij は δij .

97. 120ページ, 式 (7.81)の右辺の括弧の中. 正しくは

∂jhki− ∂khj

i.

98. 121ページ, 式 (7.84)の右辺の被積分関数の第二項の中で.

γiγk → ∂i∂k.

99. 121ページ, 式 (7.88)の右辺第二行第二項.

1

2Gµ

ν ξµ → 1

2Gν

µξµ.

100. 121ページ, 式 (7.90)の左辺.

tα → tν .

101. 123ページ, 式 (7.100)の右辺第一項の被積分関数.

∇i → ∇i.

102. 123ページ, 式 (7.104)の左辺第二項.

DA → DA.

103. 124ページ, 7.5.2節の最後の行. 「宇宙検閲仮設」→「宇宙検閲仮説」.

104. 126ページ, 式 (7.116)の右辺の「= 0」はカット.

105. 127ページ, 式 (7.133)の右辺第一行目.

(3)Rijkl(3)Rijkl → (3)Rijkl

(3)Rijkl.

106. 128ページ, 式 (7.141)の下の行.

「式 (7.140)の右辺は非負」→ 「式 (7.140)の右辺は非正」.

107. 129ページ, 式 (7.145).

不等号が逆. 正しくは, ρ0 ≥ 4m.

108. 129ページ, 式 (7.146). ∫Σ

h1/2V (2)RdV →∫Σ

V

ρ(2)RdΣ.

109. 129ページ, 式 (7.148)の一行下.

M → m.

110. 129ページ, 式 (7.149), (7.150).

式 (7.149)と (7.150)の不等号が逆.

111. 129ページ, 式 (7.150)の下の行.

脚注 22は式 (7.149)の直前に移動.

112. 129ページ, 脚注 22.

「次の節で述べる」→「前節で述べた」.

113. 131ページ, 式 (7.156)の右辺第二行.1

V 2→ 4

V 2.

114. 132ページ, 式 (7.160)の左辺. da2 は ds2.

右辺第二行目第一項の前にマイナスの符号が抜けている.

115. 132ぺージ, 式 (7.164)の右辺第一項.

(D−1)R± → (D−1)R

116. 133ページ, 図 7.7中.

(Σ±, g±) → (Σ±, g±).

117. 134ページ, 式 (7.173)から下に 4行目と 5行目.

Σ− → Σ−.

118. 134ページ, 式 (7.173)から下に 8行目.

「保障する」→「保証する」.

119. 135ページ, 7.6.2節の最後の段落.

「極限ブラックホールでない場合に限り」とあるが, 極限ブラックホールについて議論している論文

がある. 例えば, M. Rogatko, Phys.Rev. D67 (2003) 084025.

120. 参考文献, [3]は

佐藤文隆、小玉英雄：『一般相対性理論』(現代物理学叢書)(岩波書店, 2000). としても出版されている.

121. 140ページ, 「反ドジッター時空」→「反ド・ジッター時空」.