Fi Sica Guia 2016

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UUNNIIVVEERRSSIIDDAADD TTEECCNNOOLLOOGGIICCAA NNAACCIIOONNAALL

FFAACCUULLTTAADD RREEGGIIOONNAALL MMEENNDDOOZZAA

GGUUIIAA DDEE FFIISSIICCAA PPAARRAA IINNGGRREESSOO

SSEEMMIINNAARRIIOO UUNNIIVVEERRSSIITTAARRIIOO 22001166

AAUUTTOORR:: IInngg.. EEddmmuunnddoo DDaanniieell DDii BBaarrii

CC OO NN TT EE NN II DD OO SS

UUNNIIDDAADD 11:: UUNNIIDDAADDEESS,, MMEEDDIICCIIOONNEESS YY OOPPEERRAACCIIOONNEESS

UUNNIIDDAADD 22:: VVEECCTTOORREESS:: OOPPEERRAACCIIOONNEESS YY AAPPLLIICCAACCIIOONNEESS

UUNNIIDDAADD 33:: CCIINNEEMMTTIICCAA YY VVEECCTTOORREESS UUNNIIDDAADD 44:: FFUUEERRZZAASS YY VVEECCTTOORREESS UUNNIIDDAADD 55:: EELLEECCTTRROOSSTTTTIICCAA YY VVEECCTTOORREESS

MMEENNDDOOZZAA AAGGOOSSTTOO DDEE 22001155

IINNGG.. EEDDMMUUNNDDOO DDAANNIIEELL DDII BBAARRII CCOOOORRDDIINNAADDOORR SSEEMMIINNAARRIIOO UUNNIIVVEERRSSIITTAARRIIOO

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UUNNIIVVEERRSSIIDDAADD TTEECCNNOOLLGGIICCAA NNAACCIIOONNAALL FFAACCUULLTTAADD RREEGGIIOONNAALL MMEENNDDOOZZAA

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO 2016

CTEDRA DE FSICA

PRLOGO

Esta Gua de introduccin a los conceptos elementales de la FSICA, est orientada bsicamente para los alumnos postulantes al ingreso para algunas de las especialidades de la Ingeniera que ofrece la Universidad Tecnolgica Nacional Facultad Regional Mendoza (UTN FRM).- Pretende en primera instancia salvar las deficiencias que acarrean los alumnos provenientes del nivel medio de educacin, para luego intentar producir una nivelacin en los conocimientos generales, y por ltimo hacerles ver que los fenmenos de la naturaleza que nos acompaan da a da tienen una forma de ser representados, simulados y modelados por aplicacin de los conceptos fsicos y con la complementacin inestimable de las matemticas.- En sta primera etapa como potencial futuro estudiante de Ingeniera, se le har ver que la Fsica requiere de herramientas, y que para los humanos la primera resulta ser su propia mente y de all sus sentidos.- A travs del lenguaje se podr expresar y comunicar consigo mismo y con los dems. Y aqu aparecen las matemticas como un lenguaje especial de cantidades y relaciones.- Pero los dems sentidos como la visin, la audicin y el tacto constituirn las primarias herramientas e instrumentos a travs de las cuales podr ir recogiendo con el paso del tiempo toda la informacin que nos va proporcionando el universo momento a momento, y que se irn complementando con el olfato y el gusto .- Consecuentemente en la historia fsica de la naturaleza que ir descubriendo, les permitir reconocer y comprender el grado de evolucin de la vida y alimentando su curiosidad sobre el mundo que representa lo que se entiende como el deseo de saber, que es lo que termina diferenciando en modo evidente a los humanos del resto de los dems animales.- Por lo tanto y a modo de ir entrando en tema se los instruir en la resolucin de problemas, para lo cual debern aplicar los mencionados sentidos en una forma ordenada y lgica.-

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Para ello previamente se impartir la teora adecuada en cantidad y calidad de modo tal de prepararlos para afrontar la resolucin de problemas especficos de la Fsica, pero tambin para que les sirva como una previa de lo que les va a tocar vivir en los prximos aos como estudiantes universitarios.- Se los informar de los conceptos introductorios sobre cantidades, mediciones, errores, cifras significativas, vectores, movimientos, acciones dinmicas tanto en la mecnica como en la electrosttica, conceptos todos stos que vern con ms detenimiento y profundidad en la carrera de Ingeniera que pretenden iniciar.- Adems se los instruir que los problemas existen, que hay que reconocerlos y afrontarlos, y que una vez superada estas circunstancias hay que disolverlos, para as poder continuar con las etapas subsiguientes.- Estas acciones tienen como objeto fundamental poner a los alumnos con los pies sobre la tierra, y fortalecer consecuentemente su espritu para afrontar con firmeza y voluntad el futuro.- Un futuro en donde ellos son una parte muy importante, y en donde deben dejar de pensar y actuar como s todo dependiera de lo que hagan los dems.- Concretados estos aspectos entiendo que notarn un fortalecimiento interior que los har madurar y ver la realidad y no la ficcin que muchos han venido ejerciendo o por ser inculcada o por absorcin del medio en que les ha tocado desenvolverse.- Como una etapa preliminar pero de aplicacin permanente, en ste Seminario los Docentes responsables de curso irn acompaando a los alumnos en la comprensin de la necesidad de que se transformen en seres racionales responsables, cumplimentando en tiempo y forma con las tareas que se les irn asignando da a da.- El alumno deber utilizar estrategias para resolver problemas, que se fundamentan en cumplimentar bsicamente los siguientes pasos, y sobre los cuales el plantel Docente de la ctedra insistir fuertemente:

Interpretacin de textos y lenguaje.-

Reconocimiento del tipo de problema.-

Ejecucin de un esquema representativo del problema, con detalles de ubicacin en espacio y tiempo.-

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Identificacin de datos e incgnitas.-

Ver frmulas especficas.-

Aplicar frmulas.-

Resolver frmulas.-

Controlar procedimientos y operaciones.-

Los resultados obtenidos en cuanto a la cantidad de alumnos que aprobaron el Seminario de FSICA durante los ingresos correspondientes a los aos 2007, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012, 2013, 2014 y 2015, que dieron un promedio del orden del 89%, nos indica que la metodologa aplicada es adems de muy buena la lgica y apropiada para una masa estudiantil carente en una inmensa mayora de conocimientos de la materia pero tambin de las matemticas, y que adems no estn acostumbrados a trabajar con objetivos claros y carentes del entrenamiento para afrontar y asumir los fracasos.- Los motivos de tales carencias surgen de dos (2) posibilidades generalizadas: o porque no los obtuvieron en la etapa precedente o porque habindolos recibidos no les llegaron en la forma que un estudiante que pretende seguir una carrera de Ingeniera requiere.- Justamente y a modo de compensar y / o fortalecer aspectos matemticos indispensables para encarar con ms conocimientos y confianza la resolucin de problemas de la Fsica, se han incluido al final de sta Gua dos (2) Apndices que tienen que ver con la Trigonometra y el lgebra, de modo que los alumnos los puedan consultar ante cualquier necesidad, y con el apoyo de Docentes, Tutores y de ste Coordinador los apliquen correctamente cada vez que las circunstancias los requieran.- En consecuencia la idea es la de continuar con las metodologas empleadas, las cuales por s mismas se valen a pesar del cambio lgico del grupo de postulantes y del plantel Docente ao a ao, pero por supuesto perfeccionndolas y adecundolas con el objeto de tender a mejorar la calidad del producto.-

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Por tanto con los antecedentes citados, entiendo que con todo lo programado se espera que los alumnos posean un grado de entendimiento ms acabado de las realidades, y se encuentren mejor preparados y fortalecidos para iniciar con mejores perspectivas sta etapa Universitaria, en donde adems de lo estrictamente acadmico les debemos aportar ingredientes para alcanzar con el tiempo una formacin humana que se necesita para vivir en sociedad dignamente.- Por ltimo y en m carcter de Coordinador del Seminario de Ingreso 2016 de FSICA me cabe darles una bienvenida y desearles la mejor de las suertes, pero a la vez solicitarles el mximo esfuerzo para poder alcanzar con xito las metas que se les propongan, recordando que el beneficio primario ser para ustedes pero que en el futuro se ampliar al Pas que est requiriendo de Profesionales de la Ingeniera adecuadamente preparados en todos los aspectos.-

Ingeniero Edmundo Daniel Di Bari

Coordinador Seminario de Ingreso 2016

Ctedra de FSICA

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SSEEMMIINNAARRIIOO UUNNIIVVEERRSSIITTAARRIIOO DDEE IINNGGRREESSOO 22001166

Programa Analtico de la Ctedra de: FFSSIICCAA

UNIDAD 1: Unidades - Mediciones - Operaciones.- Introduccin Patrones de Medida Definicin de Magnitudes y sus diferentes Clasificaciones - Sistemas de Unidades Sistema Internacional SI Notacin Cientfica y Prefijos - Ecuacin de Dimensin y Anlisis Dimensional Conversin de Unidades Nociones sobre Metrologa Exactitud y Precisin Concepto de Error Cifras Significativas Ejemplos, Aplicaciones y Problemas.-

UNIDAD 2: Vectores: Operaciones y Aplicaciones.- Cantidades Escalares y Vectoriales Sistemas de Coordenadas Componentes de un Vector Suma de Vectores Resta de Vectores Producto de Vectores Producto de un Vector por un Escalar Producto Escalar de dos Vectores Producto Vectorial de dos Vectores Ejemplos, Aplicaciones y Problemas.-

UNIDAD 3: Cinemtica y Aplicaciones de Vectores.- Concepto y definicin de: Sistema de Referencia, Distancia Recorrida, Desplazamiento, Rapidez y Velocidad Velocidades Media e Instantnea Aceleraciones Media e Instantnea Anlisis Grfico de los Movimientos Movimiento Unidireccional con Aceleracin Constante Anlisis del Movimiento de Cada Libre en un medio ideal Movimientos en dos y tres dimensiones Concepto de Trayectoria Tiro oblicuo - Movimiento Circular - Ejemplos, Aplicaciones y Problemas.-

UNIDAD 4: Esttica - Dinmica y Aplicacin de Vectores.-

Concepto de Fuerza - Nociones sobre Campos Concepto sobre Partcula - Primera Ley de la Dinmica Sistemas de Referencia Inerciales Segunda Ley de la Dinmica Concepto de Masa y Peso Tercera Ley de la Dinmica Rozamiento - Metodologas para encarar la Resolucin de Problemas Concepto sobre Densidad y Peso Especfico Dinmica de las Partculas Ejemplos, Aplicaciones y Problemas. -

UNIDAD 5: Electrosttica y Aplicacin de Vectores.- Concepto sobre Carga Elctrica y sus Propiedades Conformacin de la Estructura de la Materia Definicin de Conductores y de Aislantes Fuerzas entre Cargas Elctricas Ley de Coulomb Nocin sobre Campo Elctrico Clculo del Campo Elctrico para Cargas Puntuales Distribuidas- Interacciones sobre Cargas Elctricas sumidas en un Campo Elctrico Dipolo elctrico Par Torsor - Ejemplos, Aplicaciones y Problemas.-

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CTEDRA DE FSICA

BIBLIOGRAFA PROPUESTA

Textos Bsicos

Gua Ingreso para Seminario de FSICA 2016 UTN FRM .

Autor : Ingeniero Edmundo Daniel Di Bari.-

Vectores y sus Aplicaciones a la FSICA UTN FRM . Autor: Ingeniero Adalberto Ipohorski Lenkiewicz.-

Textos Complementarios FSICA Serway Faughn Editorial Thompson Sexta Edicin Ao 2005.-

FSICA UNIVERSITARIA Sears Zemansky Young Freedman Editorial

Addison Wesley Longman - Volmenes I y II Onceava (11) u Doceava (12) Edicin.-

FSICA PREUNIVERSITARIA Primera Parte: Tomo 1 y Segunda Parte:

Tomo 1.- Autor: Ingeniero Csar Luis ngel Mallol.- FSICA para Estudiantes de Ciencias e Ingeniera Resnick Halliday

Editorial C.E.C.S.A Partes I y II Edicin Ampliada.- FSICA Alonso y J . Finn Volmenes I y II Editorial Fondo Educativo

Interamericano S.A.-

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CTEDRA DE FSICA

Perodo de Actividades Ao 2015

Inicio dictado del Seminario: Lunes 28 de Setiembre de 2015.-

Finalizacin dictado del Seminario: Lunes 09 de Noviembre de 2015.-

Primer y Segunda Consultas: Martes 10 y Viernes 13 de Noviembre de 2015.-

Global Integrador: Sbado 14 de Noviembre de 2015.-

Tercer y Cuarta Consultas: Martes 24 y Viernes 27 de Noviembre de 2015.-

Primer Recuperatorio: Sbado 28 de Noviembre de 2015.-

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Perodo de Actividades Ao 2016

Quinta Consulta: Viernes 19 de Febrero de 2016.-

Segundo Recuperatorio: Sbado 20 de Febrero de 2016.-

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SEMINARIO DE INGRESO 2016 - CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES

Ctedra de FSICA: Aos 2015 y 2016 - Comisiones das Lunes y Jueves Das, Mes y Ao

Actividades

28 / 09 y 01 / 10

/ 15

Magnitudes Patrones Sistema Internacional de Unidades (SI) Notacin Cientfica Anlisis Dimensional Conversin de Unidades Errores - Cifras Significativas Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolucin de Ejercicios 1.1 al 13.1 y Complementarios 1 al 8.-

01 y 05 / 10 / 15

Vectores Componentes Suma y Resta de Vectores Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolucin de Ejercicios 1.2 al 11.2.-

05 y 08 / 10 / 15

Producto Escalar y Vectorial de Vectores Determinantes - Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolucin de Ejercicios 12.2 al 30.2 y Complementarios 1 al 9.-

08, 15 y 19 / 10 /

15

Cinemtica Sistemas de Referencia Rapidez y Velocidad Velocidades medias e Instantneas Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolucin de Ejercicios 1.3 al 9.3.-

19 y 22 / 10 / 15

Aceleracin Movimiento unidireccional con aceleracin constante Anlisis Grfico de Movimientos Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolucin de Ejercicios 10.3 al 21.3.-

22 y 26 / 10 / 15

Movimiento de Cada Libre Movimientos en dos y tres direcciones Tiro oblicuo - Tipos de aceleracin Movimiento Circular- Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolucin de Ejercicios 22.3 al 42.3 y Complementarios 1 al 11.-

26 y 29 / 10 / 15

Concepto de Fuerza Concepto de Campo - Leyes de la Dinmica Masa y Peso - Fuerza de rozamiento Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolucin de Ejercicios 1.4 al 17.4.-

29 / 10 y 02 / 11 /

15

Concepto de Densidad y Peso Especfico - Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolucin de Ejercicios 18.4 al 33.4 y Complementarios 1 al 7.-

02 y 05 / 11 / 15

Cargas Elctricas Conductores y Aislantes Fuerzas entre Cargas Elctricas Ley de Coulomb Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolucin de Ejercicios 1.5 al 10.5.-

05 y 09 / 11 / 15

Campo Elctrico Fuerzas sobre cargas sumidas en un Campo Elctrico Dipolo elctrico Par Torsor - Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolucin de Ejercicios 11.5 al 18.5 y Complementarios 1 al 5.

09/11/15 Complementacin de Ejercitacin y Repaso General.-

10 y 13/11/15

Atencin de Consultas y firma de Carpeta de Trabajos Prcticos.-

14/11/15 Toma Global Integrador y correccin de la misma.-

14/11/15 Muestra de Evaluaciones, Aclaraciones y Consultas.-

17/11/15 Pasado de Notas a Seccin Alumnos.-

24 y 27 / 11 / 15

Atencin de Consultas.-

28/11/15 Toma Primer Recuperatorio, correccin, muestra, consultas y aclaraciones.-


19/02/16 Atencin de Consultas.-

20/02/16 Toma Segundo Recuperatorio, correccin, muestra, consultas y aclaraciones.-


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Ctedra de FSICA: Aos 2015 y 2016 - Comisiones das Martes y Viernes Das, Mes

y Ao Actividades

29 / 09 y

02/ 10 / 15


02 y 06 / 10 / 15


06 y 09 / 10 / 15

Producto Escalar y Vectorial de Vectores - Determinantes Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolucin de Ejercicios 12.2 al 30.2 y Complementarios 1 al 9.-

09, 13 y 16 / 10 / 15


16 y 20 / 10 / 15


20 y 23 / 10 / 15

Movimiento de Cada Libre Movimientos en dos y tres direcciones Tiro oblicuo - Tipos de aceleracin Movimiento Circular - Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolucin de Ejercicios 22.3 al 42.3 y Complementarios 1 al 11.-

23 y 27 / 11 / 15


27 y 30 / 10 / 15


30 / 10 y 03 / 11 / 15


03 y 06 / 11 / 15


06 / 11 / 15 Complementacin de Ejercitacin y Repaso General.-

10 y 13/11/15





24 y 27 / 11 / 15







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Ctedra de FSICA: Aos 2015 y 2016 - Comisiones das Mircoles y Sbados Das, Mes y Ao

Actividades

30 / 09 y 03 / 10 /

15


30 / 09 y 03 y 07 / 10 / 15

Vectores Componentes Suma y Resta de Vectores Ejemplos Aplicativos- Planteo y Resolucin de Ejercicios 1.2 al 11.2.-

07 y 10 / 10 / 15


10 y 14 / 10 / 15


14 y 17 / 10 / 15


17 y 21 / 10 / 15

Movimiento de Cada Libre Movimientos en dos y tres direcciones Tiro oblicuo - Tipos de aceleracin Movimiento Circular - Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolucin de Ejercicios 22.3 al 42.3 y Complementarios 1 al 11.-

21 y 24 / 10 / 15


24 y 28 / 10 / 15


28 y 31 / 10 / 15


04 y 07 / 11 / 15


07 / 11 / 15

Complementacin de Ejercitacin y Repaso General.-

10 y 13/11/15





24 y 27 / 11 / 15







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Ctedra de FSICA: Aos 2015 y 2016 - Comisiones das Lunes, Mircoles y Viernes (Escuela Pablo Nogues)

Das, Mes y Ao

Actividades

28 y 30 / 09 y

02/10/15


02, 05 y 07 / 10 /

15


07, 09 y 14 / 15


14, 16 y 19 / 10 /

15


19, 21 y 23 / 10 /

15


23, 26 y 28 / 10 /

15

Movimiento de Cada Libre Movimientos en dos y tres direcciones Tiro oblicuo - Tipos de aceleracin Movimiento Circular- Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolucin de Ejercicios 22.3 al 42.3 y Complementarios 1 al11.-

28 y 30/10 y

02/11/15


02 y 04 / 11 / 15


04 y 06 / 11 / 15


06 y 09 / 11 / 15


09/11/15 Complementacin de Ejercitacin y Repaso General.-

10 y 13/11/15





24 y 27 / 11 / 15







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CCoonnddiicciioonneess yy EExxiiggeenncciiaass ddee AApprroobbaacciinn

CCtteeddrraa ddee FFSSIICCAA

Adems de las que conformen la Resolucin que a tal efecto emita la UTN FRM, se pasan a enumerar las particulares para la Ctedra de Fsica: Obligaciones:

1) Tener una asistencia mnima al cursado del Seminario, DEL SETENTA Y CINCO POR CIENTO ( 75% ).-

2) Tener completa y adems haber sido aprobada y visada por el Docente

correspondiente la Carpeta de Trabajos Prcticos conformada por la totalidad de la ejercitacin obrante en la Gua de la Ctedra de FSICA (ejemplos aplicativos, problemas con solucin y problemas complementarios sin solucin). Esto es de aplicacin para los Alumnos Regulares de Mendoza, Rivadavia, Tupungato y San Martn, Libres y A Distancia.-

3) Haber aprobado el Global Integrador con una nota igual o mayor a SESENTA

Y CINCO (65) puntos sobre un total de CIEN (100) puntos.-

4) En caso de no haber aprobado el Global Integrador, aprobar los exmenes

Primer Recuperatorio y / o Segundo Recuperatorio con una nota igual o mayor a SESENTA Y CINCO (65) puntos sobre un total de CIEN (100) puntos.-

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UUNNIIVVEERRSSIIDDAADD TTEECCNNOOLLOOGGIICCAA NNAACCIIOONNAALL FFAACCUULLTTAADD RREEGGIIOONNAALL MMEENNDDOOZZAA


CCTTEEDDRRAA DDEE FFSSIICCAA

HHOORRAARRIIOOSS DDEE DDIICCTTAADDOO

Das: Lunes, Martes, Jueves y Viernes

Turno Maana

Inicio: 8:00 horas

Recreo: de 10:00 a 10:20 horas (ESTRICTO)

Finalizacin: 12:15 horas

Turno Tarde

Inicio: 14:30 horas



Turno Noche

Inicio: 19:00 horas



Das Mircoles

Turno Tarde: de 17:30 a 19:00 hs. Turno Noche: de 19:00 a 20:30 hs. Turno Noche: de 20:30 a 22:00 hs.

Das Sbados

Turno Maana: de 8:00 a 14:00 hs.

Recreos: 10:00 a 10:20 hs. y de 12:00 a 12:20 hs. (ESTRICTO)

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EEssccuueellaa PPaabblloo NNoogguueess

DDaa LLuunneess:: ddee 1133::0000 aa 1166::0000 hhss..--

DDaa MMiirrccoolleess:: ddee 1133::0000 aa 1166::0000 hhss..--

DDaa VViieerrnneess:: ddee 1144::0000 aa 1166::0000 hhss..--

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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UUNNIIDDAADD II

UUNNIIDDAADDEESS -- MMEEDDIICCIIOONNEESS -- OOPPEERRAACCIIOONNEESS

La palabra FSICA en sus orgenes lingsticos, implica

naturaleza.-

Su estudio consiste esencialmente en vincular conceptos como el tiempo, espacio, velocidad, fuerza, etc. y con ellos expresar otros de modo de poder interpretar y explicitar los fenmenos que nos rodean, en la bsqueda de dar respuestas claras y concretas a los cmo? los por qu? los cundo? los cunto?, los quienes?.- El paso del tiempo y las mltiples experiencias han mostrado a la FSICA como una ciencia natural bsica, cuya existencia permite estudiar a las partculas fundamentales existentes en la naturaleza, pero adems lo que acaece cuando las mismas actan entre s.- Debe recordarse que justamente tales interacciones en su expresin microscpica se remonta a los tomos, luego a las molculas, para finalizar macroscpicamente en los cuerpos como un conjunto de molculas sobre las cuales nos va a interesar conocer como se distribuyen, las posiciones que ocupan y como se mueven.-

PATRONES DE MEDIDA Se entienden como tales a aquellos que son responsables de fijar condiciones, y se los utiliza de modo tal de homogenizar las mediciones de las distintas magnitudes en modo internacional.- Deben tener ciertas propiedades como ser: de conocimiento pblico; al alcance de todos; fcilmente reproducibles e inalterables.- Justamente las consideradas como Magnitudes Fundamentales o Primarias, el tiempo, la masa y la longitud, son las que poseen Patrones.- Surgen as el metro (m) como patrn internacional de longitud, y que se representa como dos (2) marcas sobre una barra de platino e iridio.-

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As mismo como patrn de masa se consider un cilindro de platino e iridio cuya altura resultaba igual a su dimetro, y se la design como kilogramo patrn (kg).- Sin embargo la unidad fundamental es la correspondiente a la magnitud tiempo (t),cuya unidad base es el segundo (s) que se la consider como la 1 / 86400 parte de la duracin de un da solar medio determinada en todo un ao, o la que se consider a partir del ao 1967 que define al segundo (s) como la duracin de 9.192.631.770 perodos de la radiacin correspondiente a la transicin entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del tomo de Cesio (Cs) 133.-

CLASIFICACIN DE LAS MAGNITUDES FSICAS

Las magnitudes fsicas conforman todos aquellos entes que nos permiten analizar las manifestaciones de la naturaleza, y que agrupados en ecuaciones nos llevan a estudiar distintos comportamientos de los fenmenos que a diario nos toca vivir, experimentar con los mismos, reproducirlos y simularlos fsicamente y matemticamente.- Existen varias formas de clasificarlas, que sin entrar en detalle se pasarn a mostrar.- Fundamentales o Primarias [ tiempo (T), longitud (L), masa (M), fuerza (F) ] Clasificacin de Magnitudes Derivadas o Secundarias [ velocidad, aceleracin, trabajo, energa, potencia,

densidad, impulso, etc. ]

Escalares [ tiempo, masa, trabajo, energa, potencia, Clasificacin de densidad, etc. ] Magnitudes Vectoriales [ desplazamiento, velocidad, aceleracin, fuerza, cantidad de movimiento lineal, impulso, etc. ]

Dimensionales [ L = longitud = 8,00 m ] Poseen: nombre de la especie (L), cantidad o medida (8) y unidad (m).

Clasificacin de Adimensionales [ L = longitud = 8,00 ] Magnitudes Tienen: nombre de la especie (L) y cantidad (8).-

Nmeros [ 8,00 ] Solo se identifican por la cantidad (8,00)

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Lo que debe aclararse es que las clasificaciones precedentes no son excluyentes entre ellas, es decir que una misma magnitud puede constituir parte de una o de todas las formas de clasificacin mostradas.-

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES

Este surge como una necesidad de uniformar todas las unidades a utilizarse, adoptndose el denominado SIMELA (Sistema Mtrico Legal Argentino). Este comprende bsicamente para las magnitudes como la longitud, la masa y el tiempo las unidades metro, kilogramo masa y segundo respectivamente en lo atinente a la FSICA Mecnica.- Justamente para facilitar la caracterstica de reproducibles y de acuerdo a los avances de las ciencias, las observaciones y las experimentaciones, en la actualidad el patrn de longitud se representa como 1.650.763,73 longitudes de onda correspondiente a la luz roja-anaranjada que emite el gas denominado kriptn 86. Por idntica razn y tal como se indic antes se debi adecuar el patrn correspondiente al tiempo, como que un segundo se representa como 9.192.631.770 perodos de la radiacin de los tomos de Cesio (Cs) 133.- Para el caso de la masa, se contina empleando el modelo que precedentemente se expusiera.- Ejemplo Aplicativo 1.1)

Convertir 1.360,00 dm 3, a: a) m 3 . b) mm 3.-

1 m 3

1.360,00 dm 3 x ------------------- = 1.360,00 x 10

3 m

3 1,4 m

3 a)

10 3 dm

3

10 6 mm

3

1.360,00 dm 3 x -------------------- = 1.360,00 x 10 6 mm

3 1,4 x 10 9 mm 3 b) 1 dm

3

Ejemplo Aplicativo 2.1) A cuntos m / s equivalen 125,00 km / h?.-

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10 3 m 1 h

125 km / h x ----------------- x --------------- 34,7 m / s 1 km 3.600 s

CONCEPTO DE HOMOGENEIDAD La mayora de las magnitudes de la fsica se encuadran en la designacin de dimensionales, que implica que poseen por ejemplo nombre propio o especie (tiempo), cantidad (4) y unidad (s): t = 4 s Que una ecuacin resulte homognea, implica que todos los trminos que la conforman tengan la misma dimensin, de modo tal de poder sumar y / o restar cantidades que estn representadas por la misma dimensin. Lo antes tambin debe ser aplicable a ambos lados de un signo igual de una ecuacin de la fsica, tal como se muestra a continuacin:

Ecuacin de Dimensin Ecuacin del fenmeno

V = VO + a.t [ L / T ] = [ L / T ] + [ L / T - 2

.T ] = [ L / T ] + [ L / T ]

m / s = m / s + m / s

Conjuntamente con lo antes indicado, debe preverse para su plena aplicacin lo concerniente al tema de conversin de unidades, caso contrario se pueden cometer errores tanto en el aspecto numrico como en lo referido al tema unidades. Para su mejor comprensin a continuacin se muestra un modelo vinculado con la ecuacin planteada anteriormente:

Datos: VO = 10 km / h a = 2,50 m / s2 t = 3 min

Ecuacin a emplear: V = V 0 + a . t V = 10 km / h . 1h / 3.600 s . 1.000 m / 1 km + 2,50 m / s2 . 3 min . 60 s / 1 min = V = 2,78 m / s + 450,00 m / s 453,00 m / s

MEDICIONES - TEORIA DE ERRORES

Una magnitud fsica es una propiedad susceptible de ser medida o mensurada.-

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Toda medicin inexorablemente viene acompaada de ciertos errores, entendiendo como tales a la incerteza en la determinacin del resultado de dicha medicin, la cual puede provenir de distintas fuentes como ser uso de instrumentos no adecuados, no conocimiento pleno de lo medible por afectacin del entorno, mal lectura del instrumento empleado, falta de definicin, etc.- Con respecto al error introducido por los instrumentos o por los mtodos de medicin utilizados, deben definirse lo que se entiende por precisin y por exactitud. La precisin representa la sensibilidad con que puede detectarse una medicin con un instrumento dado. En cambio la exactitud muestra la calidad con que se ha calibrado nuestro instrumento con relacin al patrn de medida correspondiente.-

CLASIFICACIN DE LOS ERRORES

Segn el origen de los errores, se los puede clasificar como:

1) Errores introducidos por el instrumento.-

Error de apreciacin ( ap ): que est vinculado con la mnima divisin que puede discernir el observador, denominada apreciacin nominal de una medicin.-

x x x x

x

Precisin

x

x

Exactitud

x x x x x x x x x

x x x

x x x

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Error de exactitud ( exac ): representa el error absoluto con que el instrumento utilizado ha resultado calibrado.-

2) La interaccin del mtodo de medicin respecto del objeto a medir.-

Este error se lo representa como int , y su determinacin depende de la medicin realizada.-

3) Falta de definicin en el ente sujeto a medicin.-

Como se ha manifestado las magnitudes a medirse no estn definidas con

precisin, entonces con def se define la no certeza asociada con tal falta de definicin.-

En general para una medicin las fuentes de error antes

definidas estn presentes, y permiten definir el error de medicin nominal nom , como:

2 nom =

2 ap + 2 def +

2 int + 2 exac

En cambio segn su carcter, los errores pueden clasificarse del siguiente modo:

a) Sistemticos: stos estn dados por el sistema de medicin (regla dilatada, reloj que adelanta o atrasa, error de paralaje, etc.). Se caracterizan por afectar los resultados en el mismo sentido, y el modo de acotarlos consiste en usar mtodos alternativos de medicin y utilizar intercaladamente patrones confiables durante la medicin.-

b) Estadsticos: son los que se reproducen al azar, y se deben a motivos varios

como equivocacin al contar las divisiones de una regla, o ubicarnos mal frente a la escala de una balanza. Se particularizan por actuar tanto en exceso como en defecto, y la forma de acotarlos es el de efectuar varias mediciones y luego

promediarlos. Se los identifica como est.-

c) Espurios: para entenderlos consideremos pretender medir el volumen de una esfera, determinando su dimetro. Al introducirlo en la frmula lo hacemos equivocadamente o empleamos una frmula no correcta o no usamos las unidades adecuadas. La forma de delimitarlos consiste en una evaluacin y control cuidadoso de los procedimientos.-

Cuando se desea combinar los errores sistemticos con los estadsticos, lo usual es utilizar la suma de los errores absolutos en cuadratura, es decir sumar los cuadrados y tomar su raz cuadrada. S lo que medimos se representa por Z y el error final es Z , ser:

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_______________ __________________________________________

Z = 2 est + 2 nom =

2 est + 2

ap + 2 def +

2 int + 2 exac

Los errores pueden adems expresarse del siguiente modo: Errores absolutos: que representan el valor de la no certeza en lo medido, y

que tienen la misma dimensin que el de la magnitud medida, y que se expresan como:

Z = ( Z Z )

Donde se designa con po a: ( Z Z ) < Z < ( Z + Z ), y se lo consigna como el coeficiente de confianza.-

Errores relativos: se determinan como el cociente entre el error absoluto y el valor ms probable (valor que ms veces se repite) o mejor valor de la magnitud Z:

Z = Z / Z

Error relativo porcentual: es el error relativo multiplicado por 100, es decir Z %.-

Ejemplo Aplicativo 3.1)

S se pretende medir el espesor de un alambre de dimetro 3 mm y de longitud 1,00 m con una misma regla graduada en mm, es claro que los errores absolutos que se cometern en ambas mediciones resultar el mismo es decir d = L = 1 mm. Sin embargo en lo atinente a la medicin resulta mejor la de la longitud que la del dimetro, donde los errores relativos cometidos seran respectivamente de L = 0,10 % y de d = 33 %.- A veces, hay magnitudes que no se miden directamente sino que se derivan de otras que s han sido medidas directamente. Por ejemplo para determinar el rea de un rectngulo, se deben medir previamente las longitudes de sus lados. La pregunta a responder es de qu manera los errores de las magnitudes medidas directamente se propagarn para obtener el error cometido en la magnitud derivada.- S bien el proceso es bastante ms complejo, para clculos preliminares se puede proceder de la siguiente forma:

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Magnitud Derivada: V = V (x,y,z,.) Error en V : V V / V n . x / x + m . y / y + l . z / z Como caso particular, siendo por ejemplo: Z = (X Y), sera:

(Z)2 = (X)

2 + (Y)

2

( Ver Ejemplo Aplicativo 9.1), en el siguiente Tema)

CCIIFFRRAASS SSIIGGNNIIFFIICCAATTIIVVAASS Cuando realizamos una medicin con una regla graduada en mm con cuidado, podremos asegurar nuestro resultado hasta la cifra de los milmetros o en el mejor de los casos fraccin del mm, pero nunca ms. Por ejemplo lo medido podra expresarse como: L = (95,2 + / - 0,5) mm o bien L = (95 + / - 1) mm.- En el primer caso diremos que nuestra medicin posee tres (3) cifras significativas y en el segundo solo dos (2). El nmero de cifras significativas resulta ser igual al nmero de dgitos contenidos en el resultado de la medicin ubicados a la izquierda del primer dgito afectado por el error, incluyendo ste dgito. El primer dgito, o sea el que est ms a la izquierda, es el ms significativo ya que es el de que tenemos ms seguridad (el 9), y el ltimo o sea el ms a la derecha es el menos significativo por ser del que tenemos menos seguridad (el 2).- Debe aclararse que no tendra sentido expresar tal medicin como: L = (95,321 + / - 1) mm, ya que tenemos una no certeza del orden de un (1) mm y mal podremos asegurar valores de las dcimas, centsimas o milsimas de mm.- En lo habitual suele expresarse el error con una sola cifra significativa, y solo en casos especiales pueden utilizarse ms. Tambin es usual tomar en cuenta que el error en un resultado de una medicin recae en la ltima cifra, s es que no se indica el error explcitamente. Por ejemplo s se mide una longitud de L = 95 mm, podemos suponer que el error es del orden del mm y como se expres antes el resultado de L tiene dos (2) cifras significativas.-

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Una posible confusin puede surgir cuando se realiza un cambio de unidades, por ejemplo s para el caso planteado necesitamos expresar a L

en mm (micro milmetros), con un resultado de L = (95.000 + / - 1.000) mm Cuntas cifras significativas tendremos?. Claramente dos (2) e igual que antes, ya que la ltima cifra significativa sigue siendo el cinco (5), que es donde cae el error.- Sin embargo s no se indica explcitamente el error en L, es difcil determinar la cantidad de cifras significativas. Ntese que 95 mm = 95.000 mm, ya que el primero tiene dos (2) cifras significativas mientras que el segundo posee cinco (5).- Para evitar confusiones se utiliza la denominada notacin

cientfica (o potencia de diez), como se muestra a continuacin: 9,5 x 10 1 mm =

9,5 x 10 4 mm., comprobndose que ambos miembros de la igualdad tienen el

mismo nmero de cifras significativas, o sea dos (2).- Esta temtica de las cifras significativas se acrecienta cuando con las cantidades medidas se deben realizar operaciones tales como la suma, resta, multiplicacin o divisin, y para clarificar las mismas se han establecido reglas prcticas, que se explicitan a continuacin.- SUMA: para que el resultado de sta operacin resulte adecuado siempre se deben sumar cantidades homogneas y expresadas en la misma unidad. Se opera primeramente tomando en cuenta el trmino o trminos cuya ltima cifra significativa ocupe el orden decimal ms bajo, que siempre representa a la cifra dudosa. En segundo lugar se procede a despreciar los dgitos ubicados a la derecha de tal posicin tomando en cuenta las reglas del redondeo, y finalmente se procede a efectuar la suma solicitada.- Debe recordarse que para efectuar la accin de redondear, se procede de la siguiente manera: a) s al dgito que se analiza le sigue un nmero menor de cinco (5), no se lo afecta. b) en cambio s el que lo precede es igual o mayor que cinco (5), se lo incrementa en una (1) unidad.- A continuacin se muestra: Ejemplo Aplicativo 4.1) Efectuar la suma de las siguientes cantidades: Datos: 1,74 cm; 55,367 cm; 0,025 cm y 4,312 cm.-

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Suma: 1, 74 X 55, 36 7 X 0, 02 5 X 4, 31 2 X ----------------------- 61, 45 X X >>>> 61,45 cm >>> con el 5 dudoso ? Como en ste caso la cifra dudosa resulta ser la correspondiente a las centsimas, aplicando las reglas del redondeo, ser equivalente a sumar: 1, 74 55, 37 0, 03 4 ,31 ------------------- 61, 45 cm RESTA: para operar en ste caso debe tenerse presente que restarle a un nmero otro, implica sumrselo con el signo contrario. Por tanto se trabaja con las mismas premisas que para la Suma vista precedentemente.- Ejemplo Aplicativo 5.1) Efectuar la resta de las siguientes cantidades:

85, 4 X 85, 4 (dudoso) ???? Resta 36, 7 8 36, 8 -------------- ------------ 48, 7 X 48 , 6 MULTIPLICACIN: se debe proceder de la siguiente forma: a) s las dos cantidades poseen el mismo nmero de cifras significativas, el producto debe tener tal cantidad de cifras significativas. b) en cambio cuando el nmero de cifras significativas de ambas cantidades son distintos, el producto deber tener una cantidad de cifras significativas igual al de menor o a lo sumo una (1) ms.-

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Ejemplo Aplicativo 6.1) Efectuar el producto de las siguientes cantidades: 3,35 X 18,4X 1,78 X 3,6X Producto ------------- ---------------- XXX X XXX X

2680 X 1104 X 2345X 552X X 335X ----------------- ----------------------- 66,XXX 7 x 10 1

5,95XXX 6 x 10 0 En algunas ocasiones el resultado de la multiplicacin con la aplicacin del concepto de las cifras significativas nos puede llevar a una confusin, la que se salva con el empleo de la notacin cientfica.- Ejemplo Aplicativo 7.1) Efectuar el producto de las siguientes cantidades: 375,5X 41,7X Producto ------------------------------

XXXXX 26285 X 3755X 15020X ----------------------------------

1555(9) = 1,556 x 10 4 2 x 10 4

DIVISIN: al igual que lo manifestado para el caso de la resta, en sta ocasin se aplican las mismas reglas que las vistas para la multiplicacin.-

Ejemplo Aplicativo 8.1) Efectuar la operacin de divisin que se solicita a continuacin:

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87,8

---------- = 27,44 = 2,744 x 10 1 por cuanto 3,2 x 27,44 = 87,8

3,2 Ejemplo Aplicativo 9.1) Se desea determinar la densidad de un cuerpo. Para ello

se ha medido su volumen dando como resultado V = (3,5 0,4) cm3 siendo

v % = 6 %, y su masa m = (22,7 0,1) g resultando m % = 0,4 %.-

Siendo por definicin: = m / V = 6,485714286 g / cm3

Como la mayora de las cifras y tal como se acaba de ver no son significativas, deberemos acotar ste resultado. Adems deberemos propagar los errores del numerador y del denominador, de modo tal de poder determinar en qu cifra debe caer el error en la densidad .- _____________ ______________

O sea que: 0,41 g / cm3 [ = m2 + V2 = (0,1 )2 + (0,4)2 ]

De acuerdo a lo visto precedentemente, ser: / 0,063 Por tanto para la densidad solo le va a corresponder una (1) sola cifra significativa, con lo que el valor que se obtendra para la misma sera de:

= (6,5 0,41) g / cm3 con un % = 6 %

__________________________________________________________________________________________________________________________________________

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SEMINARIO UNIVERSITARIO CTEDRA DE FSICA

GUA DE PROBLEMAS A RESOLVER

UNIDAD 1 : CIFRAS SIGNIFICATIVAS, OPERACIONES ENTRE CANTIDADES Y NOTACIN CIENTFICA

1.1) Sabiendo que 1 nudo equivale a 1 milla nutica por hora, que una milla nutica

es igual a 1.852,00 m, que una yarda es igual a 3,00 pies y que 1 pie es igual a 30,48 cm, calcular: a) cuntas millas nutica corresponden a la unidad yarda? b) cuntos km / h se corresponden con 30 nudos?.-

2.1) Se necesita realizar un cierre perimetral de un terreno rectangular que posee

un frente de longitud igual a 10,253 m y un fondo de 10 3 m. Determinar el

permetro de tal terreno.- 3.1) En una envasadora de galletas se han armado tres (3) paquetes cuyos

volmenes son de: 1,53 m3, 3,336 cm

3 y 0,998 dm3. Calcular empleando cifras significativas el volumen total en m3.-

4.1) Dados los siguientes resultados obtenidos de experiencias fsicas, indicar la

cantidad de cifras significativas que tienen cada uno de ellos: a) 2,205 kg

b) 0,3937 km c) 9,3 x 107 litros d) 1030 g / cm

3.-

5.1) Sobre las cantidades medidas y las operaciones planteadas, resolver y expresar

los resultados adecuando las cifras significativas y aplicando notacin cientfica.-

1,4 x 10 3 (8,34 + 0,659) x 3,015

a) ------------------ b) 3,7 x (15,72 9,45) x 10 2

c) --------------------------------

2,6 x 10 5 12,03

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6.1) Un cubo de plstico tiene lados cuya longitud es de 6,22 mm. Determinar el

volumen de tal cubo en m3, y expresarlo en notacin cientfica.-

7.1) S el radio de un crculo vale 4,00 x 10 3

cm, calcular el valor de su superficie y

expresarlo en mm 2.-

8.1) Sabiendo que la unidad de volumen un (1) litro equivale a 1.000,00 cm3, calcular

cuantas botellas de un (1) litro va a necesitar para envasar 800,00 m 3 de

detergente.- 9.1) Determinar la longitud que recorre cuando ha dado una vuelta completa a una

manzana de su barrio, considerando que cada cuadra mide 87,00 m. Expresar el resultado en pulgadas.- (1 pulgada = 2,54 cm)

10.1) Necesita pintar una pared que tiene 25,00 m de largo por 3,20 m de alto. S le

va a dar dos (2) manos de pintura y cada mano le insume 1,00 litros por cada

10,00 m 2 de pared, determinar cuantas latas de cuatro (4) litros de pintura

debe comprar para lograr lo propuesto.- 11.1) Determinar cuntos cubos slidos de piedra caliza de lados igual a 20,00 cm se

puede almacenar en la caja de una camin de carga que posee las siguientes

medidas: (ancho = 4,20 m ; largo = 18,00 . 10 3 mm y alto = 195,00 cm).-

12.1) Al efectuar la medicin del consumo elctrico de cuatro (4) propiedades

agrcolas, se han obtenido los siguientes resultados: Medicin 1: 127.000,00 w h (vatios por hora) Medicin 2: 3.860.000,00 Cv min (caballo vapor por minuto) Medicin 3: 245.800,00 Kw h (kilovatio por hora y Medicin 4: 8.896.000,00 w s (vatios por segundo). Formulando los resultados en notacin cientfica o potencia de diez, indicar: a) a cuntos Kw h corresponde cada medicin de energa elctrica efectuada?. b) cul de las mediciones es la de mayor valor?.-

13.1) Aplicando las tcnicas de las cifras significativas, calcular el rea A R del

rectngulo cuyos lados miden a = 34,00 cm y b = 28,00 cm descontando el rea A C del cuadrado interior mostrado en la figura, y expresarlo en : a) m

2 . b) mm 2.-

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a b 10

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

10 cm

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UUNNIIDDAADD II II

VECTORES

Magnitudes Clasificacin Las magnitudes de la fsica pueden clasificarse en una de las formas, como vectoriales y escalares, tal cual ya se vio en la Unidad anterior.- Las primeras tales como la fuerza, aceleracin, desplazamiento, momentos, cantidad de movimiento lineal, etc. se identifican por poseer valor numrico (mdulo o magnitud), direccin, sentido y algunas punto de aplicacin, y se representan como se muestra a continuacin:

Ejemplo: v = 4,20 m / s (Velocidad) En cambio las escalares solamente estn identificadas por la medida de la magnitud y la unidad utilizada correspondiente, tal como ocurre por ejemplo con el tiempo, la masa inercial, el trabajo mecnico, las energas, la potencia, etc.- Ejemplo: Tiempo = t = 8 s >>>>>>> donde: 8 es la medida, y s la unidad Las magnitudes vectoriales se suelen trabajar asociadas con sistemas de referencia, de modo tal de poder identificar con seguridad las propiedades antes mencionadas.-

Direccin (tangente)

Sentido

Figura 1

Valor numrico

o mdulo

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Tales sistemas pueden ser unidireccionales (nica direccin), bidireccionales (dos direcciones que definen un plano) o tridimensionales (tres direcciones que definen un espacio).- Atento al carcter de ste curso se propone trabajar con el segundo de los sistemas de referencia indicados, de modo tal de introducir el concepto de componentes de un vector, entendiendo como tal la descomposicin de tal magnitud vectorial segn esas dadas dos (2) direcciones.- A continuacin se expone el caso de que las dos (2) direcciones propuestas conformen entre ellas un ngulo recto (90), que se denomina sistema cartesiano ortogonal, designando como norma a la direccin horizontal como eje X con sentido positivo a la derecha y a la vertical como eje Y con sentido positivo hacia arriba, tal como se muestra en el siguiente modelo:

donde las mencionadas componentes vendran definidas como: VX = V cos (adyacente) y VY = V sen (opuesta) En muchas aplicaciones especficas se emplean para identificar completamente una magnitud vectorial, el concepto de vectores unitarios que tienen como propiedad que su valor es uno y su direccin identifica la correspondiente al vector que se trata. Volviendo al ejemplo del vector velocidad presentado anteriormente, la forma de representacin sera la siguiente, considerando como convencin que los vectores unitarios siempre orientan a un eje de referencia en su sentido positivo: V = VX + VY j

O x (+)

y (+)

V

VX

VY

Figura 2

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NNoottaa:: ppaarraa iiddeennttiiffiiccaarr uunn vveeccttoorr llaass nnoottaacciioonneess aa eemmpplleeaarr sseerrnn:: eenn nneeggrriillllaa;; ccoommoo

;; ccoommoo ,, oo ccoommoo ..--

Operaciones con vectores

Adicin de vectores Esta primera de las operaciones a plantearse, puede ejemplificarse a travs de la idea del modelo desplazamiento. Es decir s una partcula se desplazara primeramente desde el punto P1 hasta otro P2 representado por el vector posicin r1, y luego lo hace desde el punto P2 hasta el P3 mostrado por el vector posicin r2, implica que en realidad el vector desplazamiento neto desde P1 hasta P3 vale r = r1 + r2. Por tanto se puede manifestar que r = r1 + r2 representa la suma de los vectores posicin r1 ms r2.- Todo lo antes expresado se contiene en la siguiente figura, de la cual adems se deduce que el resultado del vector suma r no depende del orden de los vectores sumandos, que implica que la adicin de vectores resulta ser conmutativa.-

y (+) r P3

r2 P2 P1 r1

O Figura 3 x (+)

r1 r

r2 r

r2

O

r1 O

( r1 + r2 ) = ( r2 + r1 )

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C r E

r2 r2 sen

A r1 B r2 cos D

Figura 4

Geomtricamente se verifica en la Figura 4 que: AD = AB + BC = AB + r2 cos y DC = r2 sen En consecuencia y aplicando el Teorema de Pitgoras, resulta: r2 = (r1 + r2 cos )

2 + (r2 sen )2 = r1

2 + r22 + 2 r1 r2 cos

____________________ O sea que: r = r1

2 + r22 + 2 r1 r2 cos (1) Ley o Teorema del coseno

Para completar la informacin de tal vector, resulta necesario determinar su direccin lo que se consigue hallando el valor del ngulo . De la ltima figura se puede visualizar que: CD = AC sen y que adems: CD = BC sen Por tanto resulta que: r r2 AC sen = BC sen >>>>>>>>>>>>>> ----------- = ---------- (2) sen sen

Tambin se verifica geomtricamente que: BE = r1 sen y que adems: BE = r2 sen r2 r1 O sea que: r1 sen = r2 sen >>>>>>>>>>>> -------------- = --------------- (3) sen sen

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Comparando lo obtenido en (2) y (3) y procediendo, se logra: r r1 r2 ----------- = ------------ = ---------- (4) Ley o Teorema del seno sen sen sen Para el caso especial que los vectores r1 y r2 resulten perpendiculares entre s, o sea que = /2 se verifica que: __________ r2 r = r1

2 + r22 Teorema de Pitgoras y adems: tg = ------- (5)

r1 En cambio cuando lo que se pretende realizar es la diferencia entre vectores, se debe proceder siempre sumndole al primer vector el segundo con el sentido o signo cambiado, tal cual se muestra en el siguiente esquema:

- r1 (r1 + r2) (adicin)

r2 r2

(diferencia) (r2 r1)

r1

-

(diferencia) ( r1 r2) - r2

Figura 5

Vector diferencia = ( r1 r2 ) = [ r1 + ( - r2 ) ] Tal cual puede verse en la figura anterior el vector diferencia no posee la propiedad conmutativa, es decir al cambiar el orden de los vectores originales en la operacin de diferencia o sustraccin, se obtiene otro vector opuesto al correspondiente a la primera operacin efectuada.- Cuando el modelo a resolver propone la suma de ms de dos (2) vectores se debe plantear por extensin lo indicado en la Figura 3, es decir representar un vector a continuacin del otro respetando por supuesto el valor numrico, la direccin y el sentido de cada uno de ellos pero sin importar el orden, como se muestra en la siguiente figura:

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r1

r1

r3

r2 r2

O r

r3

r = ( r1 + r2 + r3 ) Figura 6

Para solucionar analticamente el tema y tal cual se vio en la primera parte de sta Unidad, se puede aplicar el mtodo de las componentes y para simplificar el planteo consideraremos que todos los vectores involucrados se encuentran en un mismo plano.- Por tanto la ecuacin representativa de tal modelo, es la siguiente:

r = (r1x i + r1y j) + (r2x i + r2y j) + (r3x i + r3y j) = (r1x + r2x + r3x) i + (r1y + r2y + r3y) j O sea que:

rx = ( r1x + r2x + r3x ) = r cos y ry = ( r1y + r2y + r3y ) = r sen donde y a modo de homogeneizar, el ngulo designado como resulta ser aquel que se mide entre el semieje positivo de las x y el vector r.- Para completar los clculos y definir plenamente al modelo, deberemos aplicar lo indicado en la ecuacin designada como 5.- Ejemplo Aplicativo 1.2) Sobre la pantalla del monitor de un osciloscopio, se observa partiendo desde el eje x (+) en sentido antihorario un vector posicin r1 equivalente a 13 m que forma con tal direccin un ngulo de 37, y a continuacin otro r2 de 21 m que forma con la misma direccin un ngulo de 120. Determinar: a) el vector suma ( r1 + r2 ). b) el vector diferencia ( r1 r2 ).-

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a)

Componentes en la direccin x :

r x = 13 m . cos 37 - 21m . cos 60 = 10,4 m 10,5 m = - 0,1 m Componente en la direccin y :

r y = 13 m . sen 37 + 21 m . sen 60 = 7,8 m + 18,2 m = 26 m

r = - 0,1 m . i + 26 m . j __________ __________________

r = r x 2

+ r y 2 = (-0,1 m ) 2 + (26 m ) 2 26,00 m

r y 26 m

tg = --------- = ------------- = - 260 >>>>>>>>>> = arc tg - 260 - 89,8 r x - 0,1 m

b) Componentes en la direccin x :

r x = 13 m . cos 37 - ( - 21m . cos 60 ) = 10,4 m + 10,5 m = 20,9 m Componente en la direccin y :

r y = 13 m . sen 37 - 21 m . sen 60 = 7,8 m - 18,2 m = - 10,4 m

r = 20,9 m . i - 10,4 m . j __________ ____________________

r = r x 2

+ r y 2 = (20,9 m ) 2 + (10,4 m ) 2 23,3 m

r y - 10,4m

tg = --------- = ----------------- = - 0,498 >>>>>>>> = arc tg 0,498 - 26,5 r x 20,9

Producto de Vectores

Se pueden presentar tres (3) situaciones en donde aparezcan vectores en una operacin de producto.-

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1) Producto de un escalar por un vector

El resultado de sta operacin da otro vector, el cual no modifica ni su direccin ni su sentido y solo cambia su magnitud o valor numrico.- Por ejemplo s el vector original fuese: r = 10,00 m. i y se lo multiplica por una cantidad escalar tal como 2, el nuevo vector ser: r'= 20,00 m. i.-

2) Producto Escalar de dos (2) vectores

En ste caso el resultado de la operacin es un escalar.- La forma de representacin de tal operacin es la siguiente: A . B = C, donde

con el punto ( . ) se representa el referido producto.- El mismo tiene como magnitud o valor numrico lo siguiente: A . B = A B cos , o sea el producto de los valores numricos de los vectores por el coseno del ngulo entre ellos conformado.-

PPrrooppiieeddaaddeess ddeell pprroodduuccttoo eessccaallaarr

a) A . A = A2 -------------------------> que implica que el ngulo valga cero.- b) A . B = 0 ---------------------------> que significa que el ngulo vale /2, y que encierra la condicin de perpendicularidad entre ambos vectores.- c) A . B = B . A -----------------------> propiedad conmutativa (observar que en cada uno de los productos sealados el cos es el mismo).-

d) C . (A + B) = C . A + C . B ---------> que implica que ste producto es distributivo respecto de la suma.-

B A + B A

Figura 7 C O a b

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De la figura anterior se extrae que: C . (A + B) = C (A + B) cos = C (Ob) Adems: C . A = C A cos = C (Oa) y tambin: C . B = C B cos = C (ab) Por tanto s se procede a efectuar la suma sealada ms arriba, resulta: C . A + C . B = C ( Oa + ab) = C (Ob) con lo que se demuestra lo que se deduca de la grfica.- En el producto planteado resulta conveniente recordar entonces los resultados de los productos entre los versores unitarios:

i . i = j . j = k . k = 1 i . j = j . k = k . i = 0

Como se ha planteado anteriormente aqu tambin se puede expresar tal producto por medio de las componentes rectangulares de los vectores involucrados, arribndose a la siguiente ecuacin:

A . B = Ax Bx + Ay By + Az Bz

Esta ltima expresin tiene aplicaciones interesantes como:

A . A = A2 = A x2 + A y

2 + A z2

De igual modo que para la suma de vectores, se puede deducir una frmula equivalente a la sealada anteriormente como 1:

r2 = (r1 + r2) . ( r1 + r2) = r12 + r2

2 + 2 r1 r2 cos Ecuacin sta que es aplicable para cualquier nmero de vectores actuantes.-

3) Producto Vectorial de dos (2) vectores Este producto que se representa por el signo x y se muestra como A x B, da como resultado otro vector que resulta ser perpendicular al plano definido por los vectores originales (concepto de direccin), que avanza segn la regla de la mano derecha, tirabuzn o batimiento (concepto del sentido) al cual se le asigna por convencin un signo, que resulta ser positivo en el sentido contrario al de las agujas del reloj y negativo en el mismo sentido que las agujas del reloj.-

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__ +

Pulgar

ndice Dedo Mayor

Y que adems posee una magnitud o valor numrico

definido por:

A x B = A B sen

A x B Ooo

Figura 8 B x A

PPrrooppiieeddaaddeess ddeell pprroodduuccttoo vveeccttoorriiaall

a) A x B = (- B x A ) ------------------------> que implica que ste producto no es conmutativo.-

b) A x B = 0 -----------------------------------> que significa que sen = 0 o sea que los vectores son paralelos.- c) A x B ----------------------------------------> representa el rea del paralelogramo formado por dichos vectores, o tambin puede interpretarse como el doble del rea del tringulo formado con su resultante, tal cual se muestra en la siguiente figura.-

B

A

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A x B

B Figura 9 O h /2 A

d) C x (A + B) = (C x A + C x B ) --------------------> que significa que el producto vectorial es distributivo respecto de la suma.- Tal cual se planteo con anterioridad, la comprobacin de la anterior propiedad se simplifica cuando los vectores resultan ser coplanares.- y (+) b B A + B

Figura 10 a A

x (+) O C

Adems no debemos perder de vista que los tres productos que aparecen en la propiedad identificada como d) resultan ser perpendiculares a la hoja de papel.- Tal cual se ha planteado con anterioridad, se cumple entonces con lo siguiente: C x (A + B = C A + B sen = C (Ob) C x A = C A sen = C (Oa) y tambin: C x B = C B sen = C (ab)

42 ingeddb

Procediendo a efectuar la suma propuesta, resulta que:

C x A + C x B = C (Oa + ab) = C (Ob)

Tambin en sta ocasin debemos reflejar el resultado de los diferentes productos vectoriales que resultan de combinar los vectores unitarios:

i x j = - j x i = k

j x k = - k x j = i

k x i = - i x k = j

i x i = j x j = k x k = 0

S expresramos los vectores A y B en funcin de sus respectivas componentes ortogonales y simultneamente aplicamos la propiedad distributiva antes desarrollada, se arribara a la siguiente expresin:

A x B = i ( Ay Bz Az By ) + j ( Az Bx Ax Bz) + k ( Ax By Ay Bx) Otra manera de exponer la ltima ecuacin es por medio de determinantes, de acuerdo a siguiente formato: i j k Ax Ay Az A x B = Bx By Bz Ejemplo Aplicativo 2.2) Se cuenta con dos (2) vectores posicin coplanares (mismo plano) de las siguientes caractersticas: uno de 11,00 m ubicado a 32 con respecto al eje positivo de las x, y el otro de 6,00 m que se encuentra formando un ngulo de 140 respecto del mismo eje que el primero. Encontrar la resultante de ambos en forma analtica.- y (+) 140

r1 r2 32 x (+) O

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Deberemos plantear primeramente las componentes de cada vector:

r1x = r1 cos 32 = 9,328 m r2x = r2 cos 140 = - 4,596 m r1y = r1 sen 32 = 5,83 m r2y = r2 sen 140 = 3,858 m Luego:

rx = r1x + r2x = 9,328 m + ( - 4,596 m) = 4,732 m ry = r1y + r2y = 5,83 m + 3,858 m = 9,688 m Y la resultante aplicando el Teorema de Pitgoras, valdr entonces: ___________ ______________________ r = rx

2 + ry 2 = (4,732 m) 2 + (9,688 m) 2 = 10,78 m

Adems la direccin se determinaba como:

tg = ry / rx = 2,047 o sea que: = 64 medidos respecto del eje x + Ejemplo Aplicativo 3.2) Se le ha dado dos vectores fuerza que vienen representados por las siguientes ecuaciones vectoriales:

F1 = 8 i + 2 j y F2 = - 3 i + 9 j Determinar: a) su producto escalar. b) su producto vectorial. c) el ngulo entre ellos conformado.- De acuerdo a lo estudiado, resulta:

F1 . F2 = F1x . F2x + F1y . F2y = 8 (-3) + 2 (9) = - 24 +18 = - 6 a)

F1 x F2 = (8 i + 2 j) x (- 3 i + 9 j ) = 72 k + (+ 6 k) = 78 k b)

F1 . F2 - 6 F1 . F2 = F1 F2 cos >>>>>> cos = ------------- = --------------------------------------- F1 . F2

82 + 22 . 32 + 92

cos = - 6 / 78,293 = - 0,0766 >>>>>>>>>>>>>>>> = 94,4 c)

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Ejemplo Aplicativo 4.2) Se le presenta una situacin de vectores coplanares, donde le dan como datos los siguientes: r1 = vector posicin uno = 4,00 m; r = vector resultante de la suma entre los vectores r1 y r2 = 8,52 m; = ngulo que se conforma entre el segundo vector y la resultante = 25, y le piden determinar: a) el valor del ngulo que se forma entre el vector r1 y el resultante r. b) el valor del vector posicin r2. c) el valor del ngulo conformado entre los vectores r1 y r2.- Sabemos que: r r r1 r2 r2 ----------- = ----------- = ----------- (1) sen sen sen + = (2) r1 r 8,52 m De 1): sen = -------- sen = ---------------- 0,423 = 0,90 >>>>> = arc sen 0,90 r1 4,00 m 64,3

Luego de 2) resulta que: = - = 64,3 - 25 39,3 a) Volviendo a la ecuacin 1), se obtiene: sen sen 0,633 0,633 r 2 = ----------- r = ------------ r1 = ----------- 8,52 m = ------------------ 4,00 m sen sen 0,90 0,423 r 2 6 m b) De lo antes calculado: 64,3 c)

!!!!!!!!!!! Para los alumnos !!!!!!!!!!

VVeerriiffiiccaarr eessttooss rreessuullttaaddooss aapplliiccaannddoo eell TTeeoorreemmaa ddeell CCoosseennoo

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SEMINARIO UNIVERSITARIO CTEDRA DE FSICA

GUA DE PROBLEMAS DE FSICA A RESOLVER

UNIDAD 2 : VECTORES

1.2) La velocidad de una partcula que se encuentra moviendo en el plano (x,y) est identificada por un valor numrico de 11,00 m / s y un ngulo de 110 medidos respecto del eje x positivo. Determinar las componentes del referido vector velocidad.- 2.2) Un vector fuerza F posee componentes Fx = + 12,00 unidades y

Fy = - 92,00 unidades. El valor numrico de tal vector, resulta ser entonces: (demostrar y luego marcar cual de las siguientes respuestas es la correcta): a) 92,00 unidades b) 91,00 unidades c) 33,00 unidades d) ninguna de las anteriores

3.2) Un vector velocidad posee las siguientes componentes: Vx = - 21,00 unidades y Vy = 56,00 unidades. Hallar: a) el valor numrico o magnitud del tal vector. b) la direccin del mismo.- 4.2) S en una operacin con dos vectores y se comprueba que la magnitud de la suma y de la diferencia son iguales, demuestre cmo resultan estar ubicados ambos vectores entre s.- 5.2) Dado dos vectores representados como: = (3 i + 4 j 5 k) y

= ( - i + j + 2 k ), encontrar: a) el vector resultante. b) el valor numrico del vector resultante. c) el vector diferencia ( ). d) el ngulo conformado entre los vectores datos.- 6.2) En el anlisis de un movimiento le han proporcionado los siguientes vectores

posicin correspondientes al vuelo de un aeroplano: = (3 i 2j) y el = (- i 4j), y le piden calcular: a) ( + ). b) ( ). c) + . d) . e) la direccin que se origina tanto en el vector ( + ) como en el vector ( ), respecto del eje horizontal x.-

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7.2) Cuenta con tres vectores definidos como: A = ( 6 i 8 j ); B = ( - 8 i + 3 j ) y C = ( 26 i + 19 j ), y verifica que cuando produce la siguiente operacin: (a + b B + C), obtiene como resultado cero. Determinar los valores de las cantidades a y b.- 8.2) Dados dos vectores posicin representados como: r1 = ( 4 i + 4 j 8 k) y r2 = ( + i 6j 5 k), su vector suma vale: (demostrar e indicar cul de las siguientes respuestas es la correcta): a) r1 + r2 = (4 i 24 j + 40 k) b) r1 + r2 = (3 i 2 j 3 k) c) r1 + r2 = (5 i 2 j 13 k) d) ninguna de las anteriores 9.2) Un repartidor de facturas de servicios pblicos en su moto, debe desplazarse inicialmente 400,00 m en la direccin Oeste del Norte que forma un ngulo de 30. A continuacin efecta otro desplazamiento de forma tal que el desplazamiento total llevado a cabo fue de 600,00 m en la direccin que forma un ngulo de 20 al Sur del Oeste. Encontrar el valor numrico y la direccin del segundo de los desplazamientos realizados.-

10.2) Un vector como el posee nica componente x ( - ) igual a 3,00 cm de longitud y nica componente y (+) igual a 2,00 cm de longitud. a) Dar la expresin del vector empleando la notacin de vectores unitarios. b) Determine el valor numrico y la direccin del vector . c) Qu vector cuando se lo suma al nos da un vector resultante o neto

sin componente en la direccin x y una componente en la direccin y ( - ) de 4,00 cm de longitud ?.- 11.2) Dadas las coordenadas de dos (2) puntos tales como P1 = (4; 5; - 7) y P2 = (- 3; 6; 12), encontrar la distancia entre dichos puntos.- 12.2) Las posiciones del movimiento de una nave espacial vienen identificados por

los siguientes vectores: = (3 i 4 j + 4 k) y = (2 i + 3 j 7 k). Determinar: a) el valor numrico de los vectores definidos como: C = ( + ) y

D = (2 ). b) Exprese los vectores C y D en funcin de sus componentes rectangulares.-

13.2) Dados los siguientes vectores posicin: = ( 3 i + 3 j ) , = ( i 4 j ) e = ( - 2 i + 5 j ), aplicando el mtodo de las componentes determinar: a) el valor numrico y la direccin de un vector definido como = ( + + ). b) dem anterior para otro vector expresado como:

V = ( - - + ).-

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14.2) Dados un par de vectores tales como: A = ( - i + 11 j ) y B = ( 5 i 5 j), el ngulo que conforman entre ellos vale: (demostrar e indicar cul de las siguientes respuestas es la correcta): a) = 140,2 b) = 39,83 c) = - 140,2 d) ninguna de las anteriores 15.2) Dado un vector A (oblicuo agudo con la horizontal) y otro B ( horizontal positivo) y un paralelogramo MNOP como se muestra, proceda a expresar los siguientes vectores: MO, NO, OP y PN, en funcin de los vectores A y B.-

16.2) De acuerdo a lo estudiado y para los siguientes casos, exprese las propiedades

que poseen como tales los siguientes vectores A y B: a) A + B = A B. b) A + B = C y | A | + | B | = | C |. c) A + B = C y A2 + B2 = C2.

d) | A + B | = | A B |.- 17.2) En un tringulo como el que se muestra de lados a y b, demuestre que el rea del mismo tiene un valor de: A = 1 / 2 | a x b |.-

a h b 18.2) Dados dos vectores posicin representados como: r1 = ( 4 i + 4 j 8 k) y r2 = ( + i 6j 5 k), su producto escalar vale: a) r1 r2 = (4 i 24 j 40 k) b) r1 . r2 = (4 24 + 40) = + 20 c) r1 . r2 = ( - 4 + 24 - 40) = - 20 d) ninguna de las anteriores Demostrar y marcar la respuesta correcta.-

N O

P M

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19.2) Nos han dado dos vectores posicin representados como: r1 = (3 i + 4 j 5 k) y r2 = ( - i + 2 j + 6 k). Determinar: a) sus longitudes. b) su producto escalar. c) el vector suma. d) su producto vectorial.- 20.2) Contamos con el siguiente sistema de ecuaciones vectoriales:

(a + b) = (11 i j + 5 k) y (a b) = ( - 5 i + 11 j + 9 k ), y debemos calcular lo siguiente: a) el vector a y el b. b) el ngulo que se conforma entre el vector a y

el vector (a + b).- 21.2) Dados dos vectores tales como el y el , aplicando las propiedades de los productos escalar y vectorial entre vectores demostrar lo siguiente:

[ ( x ) x ] . = 0 22.2) Para los siguientes pares de vectores, calcular el ngulo que se conforma entre ellos:

a) A = - i + 6 j b) A = 3 i + 5 j c) A = - 4 i + 2 j B = 3 i - 2 j B = 10 i - 6 j B = 7 i - 14 j 23.2) Una moto se desplaza con una rapidez de 10,00 m / s en direccin hacia el Este. Determine que rapidez debe poseer una segunda moto que habiendo partido hacia la direccin Nordeste desde el mismo punto y al mismo tiempo que la primera pero formando un ngulo de 30 con el Norte, siempre se encuentre al Norte de la ruta seguida por la primera moto.-

NOTA: para ste modelo de problemas emplear la ubicacin correcta de los puntos cardinales: el NORTE vertical hacia arriba; el SUR vertical hacia abajo; el ESTE a la derecha del Norte y el OESTE a la izquierda del Norte.-

24.2) En una prueba de tiro al blanco mvil con fusil, un competidor en reposo apunta al objetivo que se ubica a 180,00 m de distancia medida en horizontal y que se encuentra en movimiento normal al eje del fusil con una rapidez de 3,50 m / s. Siendo la rapidez de la bala de 140,00 m / s, determinar: a) el ngulo medido en horizontal que deber existir entre la direccin del fusil y la del objetivo. b) a cuantos metros por delante del objetivo debe apuntar el competidor para hacer blanco.-

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25.2) En el canal de Panam para movilizar un barco de mediana envergadura, los sistemas mecnicos de tierra ejercen una fuerza de 3 x 10 6 N mediante una cadena de 80,00 metros de longitud. Se sabe que el barco debe navegar siempre a una distancia de 10,00 metros de las orillas del canal. Calcular: a) el valor efectivo de la fuerza responsable de que el barco navegue por el canal. b) la fuerza que debe ejercer el motor del barco para poder mantenerse siempre a la distancia de 10,00 metros de cada orilla del canal.- 26.2) Un mvil se desplaza con una velocidad v1 de 16,00 m / s que forma con el eje positivo de las x un ngulo de 32, mientras que otro mvil se desplaza con una velocidad v2 de 9,00 m / s formando un ngulo de 180 con respecto al eje x positivo. Encontrar en modo grfico y analtico: a) el vector suma de

velocidades ( v1 + v2 ). b) el vector diferencia ( v1 - v2 ). c) el vector diferencia ( v2 - v1 ).- 27.2) Un vector representativo de una fuerza F posee componentes en las

direcciones x e y que valen r

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