CUADERNO DE FRMULAS, TABLAS, FIGURAS Y PROBLEMAS DE TRANSFERENCIA DE CALOR Juan Carlos Ramos Gonzlez Doctor Ingeniero Industrial Ral Antn Remrez Doctor Ingeniero Industrial Diciembre de 2009 FRMULAS, TABLAS Y FIGURAS DE TRANSFERENCIA DE CALOR Juan Carlos Ramos Gonzlez Doctor Ingeniero Industrial Ral Antn Remrez Doctor Ingeniero Industrial Diciembre de 2009 Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Frmulas, Tablas y Figuras ii Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Frmulas, Tablas y Figuras i NDICE Frmulas Tema 1. Introduccin a la transferencia de calor y a la conduccin...................................... 1 Tema 2. Conduccin unidimensional en rgimen estacionario............................................. 3 Tema 3. Conduccin bidimensional en rgimen estacionario............................................... 6 Tema 4. Conduccin en rgimen transitorio.......................................................................... 6 Tema 5. Introduccin a la conveccin................................................................................... 9 Tema 6. Conveccin forzada en flujo externo..................................................................... 11 Tema 7. Conveccin forzada en flujo interno...................................................................... 14 Tema 8. Conveccin libre o natural..................................................................................... 17 Tema 9. Introduccin a la radiacin .................................................................................... 19 Tema 10. Intercambio radiativo entre superficies ............................................................... 22 Tablas y Figuras Tema 2. Conduccin unidimensional en rgimen estacionario........................................... 24 Tema 3. Conduccin bidimensional en rgimen estacionario............................................. 27 Tema 4. Conduccin en rgimen transitorio........................................................................ 34 Tema 6. Conveccin forzada en flujo externo..................................................................... 37 Tema 7. Conveccin forzada en flujo interno...................................................................... 42 Tema 8. Conveccin libre o natural..................................................................................... 46 Tema 9. Introduccin a la radiacin .................................................................................... 48 Tema 10. Intercambio radiativo entre superficies ............................................................... 50 Tablas de propiedades termofsicas y de funciones matemticas........................................ 55 Alfabeto griego .................................................................................................................... 62 Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Frmulas, Tablas y Figuras ii Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Frmulas, Tablas y Figuras 1TEMA 1. INTRODUCCIN A LA TRANSFERENCIA DE CALOR Y A LA CONDUCCIN Calor o transferencia de calor o velocidad de transferencia de calor: q [J/s = W]. Flujo calorfico o de calor:q [W/m2]. Ley de Fourier: dxdTk qx = .A q qx x = . En condiciones de rgimen estacionario y con una distribucin lineal de temperaturas: LTkLT TkLT TkdxdTk qx== = = 2 1 1 2. Conductividad trmica: k [W/mK]. Ley de enfriamiento de Newton:) ( = T T h qs x. Coeficiente de transferencia de calor por conveccin: h [W/m2K]. Potencia emisiva superficial: E [W/m2]. Ley de Stefan-Boltzmann para un cuerpo negro: 4s bT E = . Constante de Stefan-Boltzmann: = 5,6710-8 W/m2K4. El flujo de calor emitido por una superficie real a la misma temperatura que un cuerpo negro siempre ser menor y viene dado por: 4sT E = , donde es la emisividad, que puede variar entre 0 y 1. Se llama irradiacin, G, a la velocidad con la que la radiacin incide sobre un rea unitaria. Laproporcindelairradiacintotalqueesabsorbidaporlasuperficievienedadaporla absortividad,(01),segnlasiguienteexpresin:G Gabs = .Irradiacindelos alrededores: 4alrT G = . Intercambioderadiacinparaunasuperficiegrisydifusa(=): ( )4 4) (alr s s b radT T G T EAqq = = = .Tambinsepuedeexpresarcomo: ) (alr s rad radT T h q = ,siendohradelcoeficientedetransferenciadecalorporradiacin: ( )2 2) (alr s alr s radT T T T h + + = . Principio de conservacin de la energa en un volumen de control formulado en un instante de tiempo (t): almalmsal gen entEdtdEE E E& & & &= = + . Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Frmulas, Tablas y Figuras 2Principio de conservacin de la energa en un volumen de control formulado en un intervalo de tiempo (t): alm sal gen entE E E E = + . Principio de conservacin de la energa en una superficie de control:0 = sal entE E& &. Ley de Fourier vectorial: z y xq k q j q izTkyTjxTi k T k q + + =||.|

\|++ = = r r r r r rr. Capacidadtrmicavolumtrica:cp[J/m3K].Midelacapacidaddeunmaterialpara almacenar energa trmica. Difusividad trmica: pck =[m2/s]. Mide la capacidad de un material para conducir energa trmica en relacin con su capacidad para almacenarla. Ecuacindedifusindecalorencoordenadascartesianas: ((

= +|.|

\|+||.|

\|+|.|

\|3mW tTc qzTkz yTky xTkxp & . Ecuacin de difusin de calor vectorial: tTc q T kp= + & ) ( . Enelcasodetransmisinunidimensionalenrgimenestacionarioysingeneracinde energa:0 =|.|

\|dxdTkdxd. Teniendo en cuenta la ley de Fourier ( dx dT k qx = ), esta ecuacin implicaqueelflujodecalorenladireccindetransmisinesunaconstante ( cte. 0 / = = x xq dx q d ). Ecuacindedifusindecalorencoordenadascilndricas(rradial,angularolongitud,z axial,elementodiferencialdevolumen:drrddz): tTc qzTkzTkr rTkrr rp= +|.|

\|+||.|

\|+|.|

\| &21 1. Ecuacin de difusin de calor en coordenadas esfricas (r radial, polar, cenital o colatitud, azimutalolongitud,elementodiferencialdevolumen:drrsendd): tTc qTksensen rTksen r rTkrr rp= +|.|

\|+||.|

\|+|.|

\| &2 2 2 2221 1 1. CondicindecontornodeprimeraclaseodeDirichlet:superficiemantenidaatemperatura constante, T(x = 0, t) = Ts. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Frmulas, Tablas y Figuras 3Condicin de contorno de segunda clase o de Neumann: flujo de calor fijo o constante en la superficie, 0) 0 (= = = xsxTk x q .Uncasoespecialeslasuperficieperfectamenteaisladao adiabtica,00 == xxT. CondicindecontornodeterceraclaseodeFourier:correspondealatransferenciadecalor porconveccinenlasuperficie, conv superficie condq q = ,.Sielfluidoestencontactoconla superficie de la pared donde est el origen de coordenadas:| | ) , 0 (0t x T T hxTkx= ==. Si elfluidoestencontactoconlasuperficiedelaparedopuestaalorigendecoordenadas: | |= = = T t L x T hxTkL x) , ( . TEMA 2. CONDUCCIN UNIDIMENSIONAL EN RGIMEN ESTACIONARIO Resistencia trmica de conduccin para pared plana: kALqT TRxs scond t==2 1,. Resistencia trmica de conveccin: hA qT TRsconv t1,==. Resistencia trmica de radiacin. A h qT TRr radalr srad t1,== . Coeficiente global de transferencia de calor, U:T UA qx = . UA qTR Rt tot1== = . LeydeFourierexpresadaenformaintegralparaunsistemageneralencondicionesde rgimen estacionario sin generacin de calor y con conduccin unidimensional (en este caso, la transferencia de calor, qx, es una constante independiente de x): =xxTTxdT T kx Adxq0 0) () (. Resistencia trmica de conduccin para una pared cilndrica: Lkr rqT TRrs scond t 2) / ln( ) (1 2 2 1,== . Resistencia trmica de conveccin para una pared cilndrica: rLh AhRconv t 21 1,= = . Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Frmulas, Tablas y Figuras 4Resistenciatrmicadeconduccinparaunaparedesfrica: ||.|

\| ==2 12 1,1 141 ) (r r k qT TRrs scond t. Resistencia trmica de conveccin para una pared esfrica: h r AhRconv t2,41 1= = . El coeficiente global de transferencia de calor en una pared cilndrica o esfrica depende del rea en funcin de la cual se exprese:( )13 3 2 2 1 1...= = = = =t i iR A U A U A U A U . Generacin de energa trmica por unidad de volumen: ((

= =3mWVolEe qgengen&& & . Ecuacin de calor para una aleta:0 ) (1 122= ||.|

\|||.|

\|+T TdxdAkhA dxdTdxdAA dxT dsccc. Distribucindetemperaturasytransferenciadecalorparaaletasdereadeseccin transversal uniforme: CasoA,contransferenciadecalorporconveccindesdeelextremodelaaleta ( | |L xc cdxdTkA T L T hA= = ) ( ): mL mk h mLx L m mk h x L m xbsenh) / ( cosh) ( senh) / ( ) ( cosh ) (+ + = mL mk h mLmL mk h mLM qfsenh) / ( coshcosh ) / ( senh ++=siendo = T x T x ) ( ) ( , = T Tb b , ckAhPm =2, b chPkA M = , P el permetro y Ac el rea transversal. Caso B, extremo adiabtico ( 0 ==L xdxd): mLx L m xbcosh) ( cosh ) ( =mL M qftanh =Caso C, extremo con temperatura establecida ((x = L) = L): mLx L m mx xb Lbsenh ) ( senhsenh) / ( ) ( += ( )mLmLM qb Lfsenh / cosh =Caso D, aleta muy larga (L y L 0, aplicable si mL > 2,65): mxbe x= ) (b c fhPkA M q = =Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Frmulas, Tablas y Figuras 5La efectividad de una aleta se define como la razn entre la transferencia de calor de la aleta y latransferenciadecalorqueexistirasinlaaleta: b b cffhAq,= ,siendoAc,belreadela seccin transversal de la base de la aleta. El uso de aletas slo se justifica cuando f 2. Resistencia trmica de una aleta: fbf tqR=,. Teniendo en cuenta la resistencia trmica de conveccin de la base de la aleta, Rt,b = 1/hAc,b, se puede expresar la efectividad como: f tb tfRR,,= . La eficiencia o rendimiento de una aleta se define como la razn entre el calor real transferido porlaaletayelcalorquetransferirasiestuvieratodaellaalatemperaturadelabase: b ffmxffhAqqq = = , siendo Af la superficie total de la aleta. Teniendoencuentalaecuacinquedefinelaresistenciatrmicadeunaaleta,sepuede expresar sta en funcin de su eficiencia: f ff thAR1,= . Para el caso de una aleta recta de seccin transversal uniforme y con su extremo adiabtico se tiene: mLmLhPLmL Mbftanh tanh= = . Se puede emplear la expresin de la aleta con extremo adiabtico para una aleta con extremo activo,empleandounalongituddealetacorregidadelaformaLc=L+(t/2)paraaleta rectangularyLc=L+(D/4)paraaletadeaguja.Estaaproximacinesvlidacuando(ht/k)o (hD/2k) < 0,0625. Aletasdeseccintransversalnouniforme.Enlasexpresionesdeladistribucinde temperaturas,latransferenciadecaloryelrendimientooeficienciadeestetipodealetas aparecen las funciones de Bessel modificadas de primera y segunda clase de orden 0 y orden 1 (I0, I1, K0 y K1) cuyos valores estn tabulados en la Tabla H. En la Tabla 2.1 se muestran las expresiones del rendimiento para distintos tipos de aletas de seccin transversal no uniforme. Dispositivo de varias aletas. Eficiencia global de la superficie: b ttmxtohAqqq = = , siendo qt la transferencia total de calor de la superficie total, At, que es la asociada a la superficie de las Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Frmulas, Tablas y Figuras 6aletas, Af, ms la parte expuesta de la base, Ab. Es decir, b f tA NA A + = , siendo N el nmero total de aletas. Esterendimientotambinsepuedeexpresarenfuncindelrendimientodeunasolaaleta: b b b f f b f thA hA N q Nq q + = + = b t o thA q =) 1 ( 1ftfoANA = . Resistencia trmica efectiva del dispositivo de aletas: o t tbo thA qR 1,= = . TEMA 3. CONDUCCIN BIDIMENSIONAL EN RGIMEN ESTACIONARIO Factor de forma de conduccin para sistemas bidimensionales, S:) (2 1T T Sk q = . Se obtiene de la Tabla 3.1. Resistencia de conduccin bidimensional: SkRcond t1) D 2 ( ,= . MDF:Paraobtenerlaecuacindediferenciasfinitasdeunnodoaplicandoelprincipiode conservacin de la energa a un volumen de control alrededor del nodo se supone que todo el flujo de calor es hacia el nodo. Como estamos en rgimen permanente la ecuacin a emplear es:0 = +gen entE E& &.Eltrminodeenergaentrantepuedeincluircaloresdeconduccinode conveccin que se evalan con la ley de Fourier (xT Ty k qn m n mn m n m = , , 1) , ( ) , 1 () 1 ( ) o la ley de enfriamiento de Newton ( ( ) ) ( 1 , ) , ( ) ( n m n mT T x h q = . TEMA 4. CONDUCCIN EN RGIMEN TRANSITORIO Definicin general del nmero de Biot: extintext tt,intTTRRBi= =,. Nmero de Biot para un slido con conveccin: conv tcond tcRRkhLBi,,= = . Longitudcaracterstica:Lc=Vol/As.Paraunaparedplanadeespesor2Lsometidaa conveccin simtrica en su superficie Lc = L, y para un cilindro largo o una esfera de radio ro Lc = ro. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Frmulas, Tablas y Figuras 7Nmero de Fourier: 2cLtFo= . El mtodo de la resistencia interna despreciable es aplicable cuando1 , 0 < =khLBic. Distribucin de temperaturas temporal en un slido en el que se puede aplicar el mtodo de la resistencia interna despreciable: ||.|

\| =(((

==t psini inittVolchAT TT t T t exp exp) ( ) (. Constantedetiempotrmica: t t pstC R VolchA 1= = ,siendoRtlaresistenciaala transferencia de calor por conveccin y Ct la capacidad trmica del slido. La transferencia total de energa que tiene lugar desde un slido en el que se puede aplicar el mtododelaresistenciainternadespreciableduranteuntiempotser: = =tstdt t hA qdt t Q0 0) ( ) ( ( ) | | ( ) | |t ini t ini pt U t Volc t Q = = exp 1 exp 1 ) ( . | | ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( U t U t U t Q = = . Solucinanalticaaproximadaconelprimertrmino(aplicablecuandoFo>0,2)dela distribucindetemperaturasenunaparedplanadeespesor2Lsometidaaconveccin: *)180cos( * *)180cos( ) exp() , (*) *, ( *1 121 1x x Fo CT TT t x Tt xoini = ==,siendo ) exp() , 0 () , 0 * ( *21 1Fo CT TT t x Tt xinio = == = la temperatura del plano medio (x* = x/L = 0). Los valores de C1 y 1 se obtienen de la Tabla 4.1. Transferencia total de energa en funcin del tiempo desde o hacia una pared plana de espesor 2L sometida a conveccin:) , 0 ( *180sen1) (11tUt Qoo|.|

\| = , siendo Uo = Uini = cpVol(Tini - T)=Umxlaenergainternainicialdelaparedreferidaalatemperaturadelfluidoola mxima cantidad de energa que se podra transferir al fluido o desde el fluido, segn ste est a menor o mayor temperatura que la pared. Solucinanalticaaproximadaconelprimertrmino(aplicablecuandoFo>0,2)dela distribucindetemperaturasenuncilindrolargoderadiorosometidoaconveccin: Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Frmulas, Tablas y Figuras 8*) ( * *) ( ) exp() , (*) *, ( *1 0 1 021 1r J r J Fo CT TT t r Tt roini = ==,siendo ) exp( ) , 0 * ( *21 1Fo CT TT Tt rinioo == = la temperatura del eje central (r* = r/ro = 0) y J0 la funcin de Bessel de primera clase de orden cero cuyos valores se encuentran en la Tabla G. Transferencia total de energa en funcin del tiempo desde o hacia un cilindro largo de radio rosometidoaconveccin:) () , 0 ( * 21) (1 11JtUt Qoo = ,siendoJ1lafuncindeBesselde primeraclasedeordenunocuyosvaloresseencuentranenlaTablaGyUo=Uini= cpVol(Tini-T)=Umxlaenergainternainicialdelcilindroreferidaalatemperaturadel fluidoolamximacantidaddeenergaquesepodratransferiralfluidoodesdeelfluido, segn ste est a menor o mayor temperatura que el cilindro. Solucinanalticaaproximadaconelprimertrmino(aplicablecuandoFo>0,2)dela distribucindetemperaturasenunaesferaderadiorosometidaaconveccin: *)180( sen*1* *)180( sen*1) exp() , (*) *, ( *111121 1rrrrFo CT TT t r Tt roini = ==, siendo) exp( ) , 0 * ( *21 1Fo CT TT Tt rinioo == =latemperaturadelejecentral(r*=r/ro= 0). Transferenciatotaldeenergaenfuncindeltiempodesdeohaciaunaesferaderadioro sometidaaconveccin: ((

= )180cos( )180(* 31) (1 1 131 senUt Qoo,siendoUo=Uini= cpVol(Tini-T)=Umxlaenergainternainicialdelaesferareferidaalatemperaturadel fluidoolamximacantidaddeenergaquesepodratransferiralfluidoodesdeelfluido, segn ste est a menor o mayor temperatura que la esfera. Conduccinmultidimensional.ParalasgeometrasmultidimensionalesdelaTabla4.2,la solucin multidimensional se expresa como un producto de soluciones unidimensionales que corresponden a un slido semiinfinito, una pared plana de espesor 2L o un cilindro infinito de radio ro: to semiinfiniSlido) , () , (=T TT t x Tt x Sini; planaPared) , () , (=T TT t x Tt x Pini; infinitoCilindro) , () , (=T TT t r Tt r Cini. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Frmulas, Tablas y Figuras 9En un slido semiinfinito la condicin de frontera interior es T(x, t) = Tini y la condicin inicialesT(x,0)=Tini.Lassolucionesanalticasparatrescondicionesdefronteraexterior son: Condicin de fronteraDistribucin de temperaturas Temperatura superficial constante: T (0, t) = Ts ||.|

\|=txT TT t x Ts inis 2erf) , (

2 / 10) () () (tT T kxTk t qini sxs= = = Condicin de fronteraDistribucin de temperaturas Flujo de calor superficial constante: o sq q = ||.|

\| ||.|

\| = txkx qtxkt qT t x To oini 2erfc4exp) / ( 2) , (2 2 / 1Conveccin superficial: | | ) , 0 (0t T T hxTkx == (((

||.|

\|+((

||.|

\|+ ||.|

\|=kt htxkt hkhxtxT TT t x Tiniini2erfc exp2erfc) , (22 donde la funcin gaussiana de error, erf (), y la funcin complementaria de error, erfc (w) = 1 erf (w), son funciones matemticas estndar cuyos valores se encuentran en la Tabla E. MDF en rgimen transitorio. Expresin en diferencias finitas de la velocidad de variacin de la energa almacenada: tT TV c Epn mpn mp alm=+,1,&. Criterio de estabilidad en el MDF explcito: el coeficiente asociado con el nodo de inters en eltiempoanterior(coeficientede pn mT,)debesermayoroigualquecero.Asseobtieneun valor lmite para 2) ( xtFo= , del que se obtiene el mximo valor permisible de t. TEMA 5. INTRODUCCIN A LA CONVECCIN Ley de enfriamiento de Newton:) ( = T T h qs;) ( = T T A h qs. Coeficiente de transferencia de calor por conveccin local, h o promedio,h[W/m2K]. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Frmulas, Tablas y Figuras 10Relacinentreloscoeficientesdeconveccinlocalypromedio: ) ( ) ( = = = T T A h hdA T T dA q qs sAs sAss s =sAsshdAAh1. Para flujo sobre una placa plana: =LhdxLh01. Espesor de la capa lmite de velocidad, (x): la y para la que u(y) = 0,99u. Espesor de la capa lmite trmica, t(x): la y para la que (Ts - T(y))/(Ts - T) = 0,99. Relacin del coeficiente de conveccin en la capa lmite: = =T Ty T khsyf0/. Nmero de Reynolds: x u x uRex = = . Nmero de Reynolds crtico para el inicio de la turbulencia en flujo externo: Rex,c = 5105. Expresindiferencialdelaecuacindeconservacindelamasaodecontinuidad: ((

=++s mkg 0) v ( ) (3y xut . Expresionesdiferencialesdelasecuacionesdebalancedelacantidaddemovimientoodel momento lineal:((

= +)`||.|

\|++)`((

||.|

\|++ =||.|

\|++2 2 3s mkgmN v v322 v Xx yuy y xuxux xptuyuxuu Yx yux y xuy y ypt y xu +)`||.|

\|++)`((

||.|

\|++ =||.|

\|++ v v32 v2v vvv . Expresin diferencial de la ecuacin de conservacin de la energa: ((

((

||.|

\|+ ++((

||.|

\|+ ++((

||.|

\|+ += + +||.|

\|+|.|

\|32 2 2mW2 2v2) v ( ) (vVgy etVgy eyVgy e uxypxpuY Xu qyTky xTkx &, siendo V2 = u2 + v2. Expresindiferencialdelaecuacindeconservacindelaenergatrmicaparafluido incompresible en flujo estacionario: qyTky xTkx yTxTu cp& + +||.|

\|+|.|

\|=||.|

\|+ v . Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Frmulas, Tablas y Figuras 11Disipacin viscosa: )`(((

||.|

\|+ |.|

\|+||.|

\|+= 222v2vy xux yu . Aproximacionesdecapalmite:fluidoincompresible(constante),conpropiedades constantes (k, , etc.), fuerzas de cuerpo insignificantes (X=Y=0) y sin generacin de energa ( 0 = q& ).Adems: u >> v y x y xuyu>> v,v,en la capa lmite de velocidad y xTyT>> en la capa lmite trmica. Ecuacin de conservacin de la masa o de continuidad en la capa lmite:0v=+y xu. Ecuaciones de balance de la cantidad de movimiento o del momento lineal en la capa lmite: 221vyuxpyuxuu+ =+ y0 =yp. Ecuacin de conservacin de la energa en la capa lmite: 222v||.|

\|+=+yuc yTyTxTup . Nmero de Prandtl: = Pr . Nmero de Nusselt: 0 ***== =yfyTkhLNu . Lasformasadimensionalesdelassolucionesdelacapalmiteadoptanlasiguienteforma: ( ) Pr Re x f NuL, *, =y( ) Pr Re fkL hNuLf, = = . Relacin entre los espesores de las capas lmites hidrodinmica y trmica en rgimen laminar: 3 / 1Prt . TEMA 6. CONVECCIN FORZADA EN FLUJO EXTERNO Temperaturadepelculaeslatemperaturamediaentreladelfluidoyladelasuperficie: 2+=T TTsf. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Frmulas, Tablas y Figuras 12Espesor de la capa lmite laminar: xlamRexx ux5/5) ( = = . Correlacin de conveccin local para el flujo laminar sobre una placa plana con temperatura superficial constante: 3 / 1 2 / 1332 , 0 Pr Rekx hNuxxx= = . Con propiedades a Tf y Pr 0,6. Relacin entre los espesores de las capas lmites de velocidad y trmica: 3 / 1,Prlam tlam. Correlacindeconveccinpromedioparaelflujolaminarsobreunaplacaplanacon temperatura superficial constante: 3 / 1 2 / 1664 , 0 Pr Rekx hNuxxx = = . Con propiedades a Tf y Pr 0,6. Espesor de la capa lmite de velocidad turbulenta: 5 / 137 , 0=x turbxRe . Espesor de la capa lmite trmica turbulenta: turb turb t ,. CorrelacindeconveccinlocalparaelflujoturbulentosobreunaplacaplanaconTs=cte: 3 / 1 5 / 40296 , 0 Pr Re Nux x = . Con propiedades a Tf y 0,6 < Pr < 60. Para condiciones de capa lmite mezclada (laminar y turbulenta) se trabaja con el coeficiente de conveccin promedio:|.|

\|+ = Lxturbxlam Lccdx h dx hLh01. Correlacindeconveccinpromedioparacapalmitemezclada(laminaryturbulenta)sobre unaplacaplanaconTs=cte: 3 / 1 5 / 4) 871 037 , 0 ( Pr Re NuLL = .ConpropiedadesaTfy ((((

=< xc y ReL >> Rex,c), sobre una placa plana con Ts = cte: 3 / 1 5 / 4037 , 0 Pr Re NuLL = . Con propiedades a Tf y ((((

=< t ) 2 () 2 ( 101mL ImL ImLf = Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Frmulas, Tablas y Figuras 25 Tabla 2.1. Eficiencia de formas comunes de aletas (continuacin). Descripcin EsquemaDimensionesEficiencia Aleta recta de perfil parablico twL | | ) / ln( ) / (12 21C L t t L L C w Af+ + =| |2 / 121) / ( 1 L t C + =2 / 1) / 2 ( kt h m =| | 1 1 ) ( 422 / 12+ +=mLfAleta anular de perfil rectangularLr1r2t ) ( 22122r r Ac f = ) 2 / (2 2t r rc+ =2 / 1) / 2 ( kt h m =) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) (2 1 1 0 2 1 1 02 1 1 1 2 1 1 12c cc cfmr I mr K mr K mr Imr K mr I mr I mr KC+= ) () / 2 (212212r rm rCc = Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Frmulas, Tablas y Figuras 26Tabla 2.1. Eficiencia de formas comunes de aletas (continuacin). Descripcin EsquemaDimensionesEficiencia Aleta de aguja cilndrica DL c fDL A =) 4 / (D L Lc+ =2 / 1) / 4 ( kD h m =ccfmLmL tanh= Aleta de aguja cnica DL | |2 / 12 2) 2 / (2D LDAf+ = 2 / 1) / 4 ( kD h m =) 2 () 2 ( 212mL ImL ImLf = Aleta de aguja parablica DLy = (D/2)(1 - x/L)2 | |)`+ =3 4 4 33) / 2 ( ln2 8C L DCDLC CDLAf23) / ( 2 1 L D C + =| |2 / 124) / ( 1 L D C + =2 / 1) / 4 ( kD h m =| | 1 1 ) ( 9 / 422 / 12+ +=mLf Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Frmulas, Tablas y Figuras 27TEMA 3. CONDUCCIN BIDIMENSIONAL EN RGIMEN ESTACIONARIO. Tabla 3.1. Factores de forma de conduccin para sistemas bidimensionales seleccionados [q = Sk(T1 - T2)]. Descripcin del sistema EsquemaRestricciones Factor de forma 1.1. Esfera enterrada en un medio semiinfinito zDT2T1 2 / D z >) 4 / ( 12z DDS= 1.2. Esfera enterrada en un medio semiinfinito con superficie aislada (Bejan pg. 115) zDaisladoT1T2T2T22 / D z >) 4 / ( 12z DDS+= 1.3. Esfera enterrada en un medio infinito (Holman pg. 55) DT2T1T2T2T2 NingunaD S 2 =1.4. Conduccin entre dos esferas en un medio infinito (Bejan y Holman) wDdT2T1 3 / > D wwdw dw DDddS((

=24) 2 / ( 1) 2 / (12 Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Frmulas, Tablas y Figuras 28Tabla 3.1. Factores de forma de conduccin para sistemas bidimensionales seleccionados [q = Sk(T1 - T2)] (continuacin). Descripcin del sistema EsquemaRestriccionesFactor de forma 1.5. Cavidad hemisfrica en medio semiinfinito con superficie aislada (Bejan) T2T2T2T1Daislado aislado NingunaD S =D L >>) / 2 cosh( arc2D zLS=2.1. Cilindro de longitud L enterrado en un medio semiinfinito zDT2T1L D L >>2 / 3D z > ) / 4 ln(2D zLS=z D ) / 2 cosh( arc2D zS= z > 2D( ) ( ) |.|

\| += 1 2 / 2 ln22D z D zS 2.2. Cilindro de longitud infinita enterrado en un medio semiinfinito (Rohsenow pg. 3-120) zDT2T1 z >> D ( ) D zS/ 4 ln2= 2.3. Cilindro vertical de longitudL enterrado en un medio semiinfinito LDT2T1 D L >>) / 4 ln(2D LLS=2.4. Conduccin entre dos cilindros paralelos de longitud L en un medio infinito wDdT2T1 2 1, D D L >>w L >>||.|

\| =Ddd D wLS24cosh arc22 2 2 Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Frmulas, Tablas y Figuras 29 Tabla 3.1. Factores de forma de conduccin para sistemas bidimensionales seleccionados [q = Sk(T1 - T2)] (continuacin). Descripcin del sistema EsquemaRestricciones Factor de forma 2.5. Cilindro de longitud L en medio de planos paralelos de igual longitud y ancho infinito zDT2T1LzT2 2 / D z >>z L >> ) / 8 ln(2D zLS=2.6. Cilindro de longitud L centrado en un slido de seccin cuadrada de igual longitud wDT2T1 D w >w L >> ) / 08 , 1 ln(2D wLS=2.7. Cilindro excntrico de longitud L en el interior de un cilindro de igual longitud dDT2T1z d D >D L >>||.|

\| +=Ddz d DLS24cosh arc22 2 2 2.8. Fila infinita de cilindros de longitud infinita en un medio semiinfinito (Rohsenow) z > D | | ) / 2 ( senh ) / 2 ( ln2L z D LS = Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Frmulas, Tablas y Figuras 30 Tabla 3.1. Factores de forma de conduccin para sistemas bidimensionales seleccionados [q = Sk(T1 - T2)] (continuacin). Descripcin del sistema EsquemaRestricciones Factor de forma 2.9. Fila infinita de cilindros de longitud infinita en el plano medio de una placa infinita (Rohsenow) z > D | | ) / ( senh ) / 2 ( ln2L z D LS = 3.1. Cubo enterrado en un medio infinito (Holman) L Ninguna L S 24 , 8 =4.1. Paraleleppedo inmerso en un medio semiinfinito (Holman) Ninguna 078 , 059 , 01 log 685 , 1|.|

\|((

|.|

\| +=cbabLS4.2. Agujero de seccin rectangular muy largo en un medio semiinfinito (Rohsenow) a > b |.|

\|+= 75 , 0 25 , 05 , 3ln7 , 52b azbaS Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Frmulas, Tablas y Figuras 31 Tabla 3.1. Factores de forma de conduccin para sistemas bidimensionales seleccionados [q = Sk(T1 - T2)] (continuacin). Descripcin del sistemaEsquemaRestriccionesFactor de forma 5.1. Pared plana con superficies isotermas (Bejan) AT1LWHT2 5 / L H >5 / L W >LWHS =5.2. Esquina de dos paredes contiguas T2T1LWT2 5 / L W >W S 54 , 0 =5.3. Esquina de tres paredes contiguas con diferencia de temperaturas entre las superficies interior y exterior (Bejan) T2T1LWT2T2T2T2 Ninguna L S 15 , 0 =6.1. Disco delgado sobre medio semiinfinito DT2T1 NingunaD S 2 =6.2. Disco delgado horizontal enterrado en un medio semiinfinito (Kreith pg. 112)DT2T1z Ninguna ) 67 , 5 / ( 145 , 4z DDS=Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Frmulas, Tablas y Figuras 32 Tabla 3.1. Factores de forma de conduccin para sistemas bidimensionales seleccionados [q = Sk(T1 - T2)] (continuacin). Descripcin del sistema EsquemaRestricciones Factor de forma 6.3. Disco delgado horizontal enterrado en un medio semiinfinito (Bejan) DT2T1z D z >) 4 / tan( arc ) 2 / (2z DDS=6.4. Disco delgado horizontal enterrado en un medio semiinfinito con superficie aislada (Bejan) DT2aisladozT1T1 D z >) 4 / tan( arc ) 2 / (2z DDS+=6.5. Dos discos paralelos coaxiales en un medio infinito (Bejan) LDT1T2 2 / > D L) 2 / tan( arc ) 2 / (2L DDS=L z >>W L >) / 4 ln(2W LLS=0 = zW L > ) / 4 ln( W LLS=7.1. Placa horizontal delgada de anchura W (dimensin al dibujo) enterrada en un medio semiinfinito (Bejan y Holman) LT2T1zW L >>W z 2 > ) / 2 ln(2W zLS= Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Frmulas, Tablas y Figuras 33 Tabla 3.1. Factores de forma de conduccin para sistemas bidimensionales seleccionados [q = Sk(T1 - T2)] (continuacin). Descripcin del sistema EsquemaRestriccionesFactor de forma7.2. Placa vertical delgada y larga segn la dimensin al dibujo enterrada en un medio semiinfinito (Rohsenow) 1221< 0,6. 3* 3 / 1 5 / 40296 , 0 Pr Rekx hNuxxx= =( ) = T T h qs x x ( )s s xdA T T h dq =Placa a Ts constante. Rgimen turbulento. Valor local en x. 0,6 < Pr < 60. 4** 3 / 1 5 / 4) 871 037 , 0 ( Pr RekL hNuLLL = =( ) = T T h qs ( ) = T T A h qs s PlacaaTsconstante.Rgimenmixto(partelaminaryparteturbulento).Valor promedio entre 0 y x = L. Pr > 0,6. 5105 < Rex,c < 108. 5** 3 / 1 5 / 4037 , 0 Pr RekL hNuLLL = =( ) = T T h qs ( ) = T T A h qs s PlacaaTsconstante.Rgimenpredominantementeturbulento(partelaminar despreciableL>>xcyReL>>Rex,c).Valorpromedioentre0yx=L.Pr>0,6. 5105 < Rex,c < 108. 6* 3 / 1 2 / 1453 , 0 Pr Re Nux x =. cte qs = / ) () (x hqT x Txss + = Placa que desprende un flujo de calor uniforme. Rgimen laminar. Valor local en x. Pr > 0,6. 7* 3 / 1 5 / 40308 , 0 Pr Re Nux x =. cte qs = / ) () (x hqT x Txss + = Placa que desprende un flujo de calor uniforme. Rg. turbulento. Valor local en x. 0,6 < Pr < 60. *: x u x uRex = = **: L u L uReL = = Condicin de rg. turbulento para placa plana: Rex,c > 5105Nmero de Prandtl: kckcPrp p = = =En todas las correlaciones las propiedades del fluido se calculan a la temperatura de pelcula:( ) 2 /+ = T T Ts f; Ts: Temperatura de la superficie [K]; T: Temp. del flujo libre [K]; As: rea de transferencia de calor [m2]; : viscosidad cinemtica [m2/s]; : viscosidad dinmica [N/m2s]; : difusividad trmica [m2/s]; k: conductividad trmica del fluido [W/mK]. 38Tabla 6.2. Tabla resumen de correlaciones para flujo cruzado sobre cilindros. Correlaciones para flujo cruzado sobre un cilindroTransferencia de calorCondiciones 1 3 / 1Pr CRekD hNumDD = =( ) = T T h qs ( ) = T T A h qs s CorrelacindeHilpert.LosvaloresdelasconstantesCymsedanenla Tabla 6.3 en funcin de ReD. La Tabla 6.4 da los valores de las constantes paracilindros nocirculares. Laspropiedadesseevalan aTf. Vlida para fluidos con Pr 0,7. 2 4 / 1||.|

\|= =sn mDDPrPrPr CRekD hNu( ) = T T h qs ( ) = T T A h qs s CorrelacindeZhukauskas.Con ((

> = =10 si 36 , 010 si 37 , 0Pr nPr ny ((

< 103. NL123457101316 Alineado0,700,800,860,900,920,950,970,980,99 Escalonado 0,640,760,840,890,920,950,970,980,99 Figura 6.2. Disposicin de los tubos en configuracin alineada (a) y escalonada (b) en un banco de tubos. (Incropera) Figura 6.3. Esquema de un banco de tubos en flujo cruzado. (Incropera) NT NL Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Frmulas, Tablas y Figuras 42TEMA 7. CONVECCIN FORZADA EN FLUJO INTERNO Figura 7.1. Nmero de Nusselt local en la regin de entrada para flujo laminar en el interior de un tubo circular con temperatura superficial uniforme. (Bejan) Figura 7.2. Nmero de Nusselt local en la regin de entrada para flujo laminar en el interior de un tubo circular con flujo de calor superficial uniforme. (Bejan) Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Frmulas, Tablas y Figuras 43Diagrama 7.1. Metodologa para seleccionar las correlaciones de convencin forzada en flujo interno. - Regin de entrada (x < xcd,t Gz-1 < 0,05) Figuras 7.1. y 7.2. Siendo: xcd,t = 0.05DReDPr.

- Correlacin local: -cte = sq NuD = 4,36. - Regin c. d. NuD = cte- Ts = cte NuD = 3,66. (x > xcd,t Gz-1 > 0,05): - Tubo no circular Tabla 7.1. ReD < 2.300 Rgimen Laminar: - Problema de longitud de entrada trmica (si xcd,t >> xcd,h; Pr >> 1): Correlacin de Hausen. - Reg. de entrada + c. d.: - Problema de longitud de entrada combinada (si O(xcd,t)O(xcd,h); O(Pr)1): Correlacin de Sieder y Tate. - Correlacin promedio: -cte = sq 4,36 = D Nu . - Regin c. d. cte = D Nu : - Ts = cte 3,66 = D Nu . - Tubo no circular Tabla 7.1. - Correlacin de Dittus-Boelter. - Correlacin local (en regin c. d.: x/D > 10):- Correlacin de Sieder y Tate: (se usa con aceite siempre; con agua y con aire si hay grandes T). ReD > 2.300 Rgimen Turbulento: - Correl. de Dittus-Boelter. - Correlacin promediocon prop. a 2, , sal m ent mmT TT+= . (condiciones c. d.: L/D > 60): - Correl. de Sieder y Tate. * En el temario de este curso no se estudia la regin de entrada en rgimen turbulento. 44Tabla 7.1. Tabla resumen de las correlaciones de convencin forzada en flujo interno. Correlaciones para tubos circularesTransferencia de calorCondiciones 136 , 4 = =khDNu( )m s xT T h q = ( ) Ddx T T h dqm s =Tubo sometido a un flujo de calor superficial uniforme,cte qx = . Rgimen laminar, correlacin local, regin completamente desarrollada. Propiedades calculadas a Tm. 266 , 3 = =khDNu( )m s xT T h q = ( ) Ddx T T h dqm s =Tubo sometido a una temperatura superficial uniforme,cte Ts = . Rgimen laminar, correlacin local, regin completamente desarrollada. Propiedades calculadas a Tm. 3 | |3 / 2) / ( 04 , 0 1) / ( 0668 , 066 , 3Pr Re L DPr Re L DkD hNuDDD++ = =mlT PL h q =CorrelacindeHausen.Tubosometidoacte Ts = .Rgimenlaminar,correlacinpromedio, regindeentrada+c.d.,problemadelongituddeentradatrmica(perfildevelocidades desarrollado, xcd,t >> xcd,h, Pr >> 1). Propiedades calculadas a2 / ) (, , sal m ent m mT T T + = . 4 14 , 03 / 1/86 , 1||.|

\||.|

\|= =sDDD LPr RekD hNu mlT PL h q =CorrelacindeSiederyTate.Tubosometidoacte Ts = .Rgimenlaminar,correlacin promedio,regindeentrada+c.d.,problemadelongituddeentradacombinada(O(xcd,t) O(xcd,h)).Propiedadescalculadasa2 / ) (, , sal m ent m mT T T + = ,exceptosaTs.Rangodevalidez: 0,48 < Pr < 16.700 y 0,0044 < ( / s) < 9,75. 5 nD DPr RekhDNu5 / 4023 , 0 = =( )m s xT T h q = ( ) Ddx T T h dqm s =CorrelacindeDittus-Boelter.Tubosometidoa. cte qx = o. cte Ts = Rgimenturbulento, correlacin local, regin completamente desarrollada. Con n = 0,4 para calentamiento (Ts > Tm) y n = 0,3 para enfriamiento (Ts < Tm). Propiedades a Tm. Rango de validez: ((((

10 ) / (000 . 10160 7 , 0D xRePrD. 6 14 , 03 / 1 5 / 4027 , 0||.|

\|= =sD DPr RekhDNu ( )m s xT T h q = ( ) Ddx T T h dqm s =CorrelacindeSiederyTate.Tubosometidoa. cte qx = o. cte Ts = Rgimenturbulento, correlacinlocal,regincompletamentedesarrollada.Grandesvariacionesdelaspropiedades del fluido. Popiedades calculadas a Tm, excepto s a Ts. Rango de validez: ((((

10 ) / (000 . 10700 . 16 7 , 0D xRePrD. 7 nDD Pr RekD hNu5 / 4023 , 0 = =mlT PL h q =L q q / = PL q q / = Mismascondicionesquecorrelacin5,perocorrelacinpromedioparaflujocompletamente desarrollado, (L / D) > 60. Propiedades calculadas a2 / ) (, , sal m ent m mT T T + = . 8 14 , 03 / 1 5 / 4027 , 0||.|

\|= =sDD Pr RekD hNu mlT PL h q =L q q / = PL q q / = Mismascondicionesquecorrelacin6,perocorrelacinpromedioparaflujocompletamente desarrollado, (L / D) > 60. Propiedades calculadas a2 / ) (, , sal m ent m mT T T + = , excepto s a Ts. D u D uRem mD= = Las correlaciones 1 y 2 son vlidas como promedio si L >> xcd,tDiferencia de temperaturas media logartmica: ||.|

\| = sal m sent m ssal m s ent m smlT TT TT T T TT,,, ,ln) ( ) ( Tubos de seccin no circular con rgimen laminar, correlacin local y regin c. d.: Tabla 7.1. Tubosdeseccinnocircularconrgimenturbulentoyreginc.d.:Correlaciones5,6,7u8,perotrabajandoconeldimetrohidrulico,Dh=4Ac/P.Ac:readelaseccin transversal. P: permetro. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Frmulas, Tablas y Figuras 45 Tabla 7.2. Nmeros de Nusselt para flujo laminar completamente desarrollado en tubos de diferente seccin transversal. khDNuhD =Seccin transversal ab sq uniforme Ts uniforme Circular-4,363,66 Rectangular (a = altura, b =base) 1,03,612,98 Rectangular (a = altura, b =base) 1,433,733,08 Rectangular (a = altura, b =base) 2,04,123,39 Rectangular (a = altura, b =base) 3,04,793,96 Rectangular (a = altura, b =base) 4,05,334,44 Rectangular (a = altura, b =base) 8,06,495,60 Rectangular (a = altura, b =base) 8,237,54 Triangular-3,112,47 Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Frmulas, Tablas y Figuras 46TEMA 8. CONVECCIN LIBRE O NATURAL Figura 8.1. Perfiles de velocidad y de temperatura para la capa lmite laminar de conveccin libre sobre una superficie vertical isoterma. (Incropera) Figura 8.2. Vista lateral de los patrones de flujo de la conveccin libre sobre placas planas inclinadas: Ts > T a la izquierda y Ts < T a la derecha. 47Tabla 8.1. Tabla resumen de correlaciones de convencin libre. Correlacin Transferencia de calor Representacin grfica Condiciones 1 ( )4 / 12 / 12 / 14 / 1238 , 1 221 , 1 609 , 075 , 04Pr PrPr GrkhxNuxx+ +|.|

\|= =( )m s xT T h q = ( )z m sdA T T h dq =Placaverticalcontemperaturasuperficialconstante,Ts=cte. Rgimen laminar, Grx < 109. Correlacin local. Correlacin promedio: LL NukL hNu34= =2 | |227 / 816 / 96 / 1) / 492 , 0 ( 1387 , 0825 , 0)`++ = =PrRakL hNuLL( ) = T T h qs ( ) = T T A h qs s CorrelacindeChurchillyChu.PlacaverticalconTs=cte. Correlacin promedio. Vlida para todo RaL. 3 | |9 / 416 / 94 / 1) / 492 , 0 ( 1670 , 068 , 0PrRakL hNuLL++ = =( ) = T T h qs ( ) = T T A h qs s Ts > T Ts < T Placa vertical con Ts = cte. RaL 109. Correlacin promedio. 4 4 / 154 , 0cLccL RakL hNu = =con 104 RaLc 107 5 3 / 115 , 0cLccL RakL hNu = =con 107 RaLc 1011 ( ) = T T h qs ( ) = T T A h qs s Ts > TTs < T PlacahorizontalconTs=cte.Superficiesuperior deplacacalienteoinferiordeplacafra. Correlacinpromedio.Longitudcaracterstica definidacomoelcocienteentreelreayel permetro de la placa: Lc = As / P. 6 4 / 127 , 0cLccL RakL hNu = =con 105 RaLc 1010 ( ) = T T h qs ( ) = T T A h qs s Ts > TTs < T Placa horizontal con Ts = cte. Superficie inferior de placa caliente o superior de placa fra. Correlacin promedio. Longitud caracterstica definida como el cociente entre el rea y el permetro de la placa: Lc = As / P. 7 | |227 / 816 / 96 / 1) / 559 , 0 ( 1387 , 060 , 0)`++ = =PrRakD hNuDD ( ) = T T h qs ( ) = T T A h qs s CorrelacindeChurchillyChu(promedio)parala conveccinlibresobreuncilindrolargohorizontal: con RaD 1012. PrRa x T T gGrx sx==23) (; 3) ( L T T gPr Gr RasL L= = ; 3) ( D T T gRasD= ;PropiedadescalculadasaTf=(Ts+T)/2;Correlaciones1a3:vlidasparacte qx = si propiedades,L Nu yRaLsedefinenenfuncindelatemperaturaenelpuntomediodelaplaca:Tf=(Ts(L/2)+T)/2; = T L T Ts L) 2 / (2 / 2 //L sT q h = ( )2 /5 / 1/ 15 , 1 ) (L s xT L x T x T T = ; Correlaciones 1 a 3: vlidas para cilindros verticales de altura L si el espesor de la capa lmite, , es mucho menor que el dimetro del cilindro ( ) ( )4 / 1/ 35 /LGr L D ; Para placas inclinadas (superficie superior de placa fra o superficie inferior de placa caliente) se pueden emplear las correlaciones 1 a 3 sustituyendo g por gcos () para 0 60 ( se mide desde la vertical). Ts > TTransferencia de Calor / Curso 2009-10 Frmulas, Tablas y Figuras 48TEMA 9. INTRODUCCIN A LA RADIACIN Figura 9.1. Distribucin de Planck. Potencia Emisiva espectral del cuerpo negro. Potencia emisiva espectral, Eb (W/m2m) 0.1 0.2 0.4 0.6 1 2 4 6 10 20 40 60 10010-410-310-210-1100101102103104105106107108109T = 5.800 K T = 2.000 KT = 1.000 K T = 800 K T = 300 K T = 100 K T = 50 K longitud de onda, (m) Tabla 9.1. Funciones de radiacin de cuerpo negro. T (mK) ) 0 ( F 5,) , (TT Ib (mKsr)-1 ) , () , (,,T IT Imx bb 2000,0000000,375010-27 0,000000 4000,0000000,490310-13 0,000000 6000,0000000,104010-8 0,000014 8000,0000160,991110-7 0,001372 1.0000,0003210,118510-5 0,016406 1.2000,0021340,523910-5 0,072534 1.4000,0077900,134410-4 0,18608 1.6000,0197180,249110-4 0,3449 1.8000,039340,375610-4 0,5199 2.0000,066730,493410-4 0,6831 2.2000,100890,589610-4 0,8163 2.4000,140260,658910-4 0,9122 2.6000,18310,701310-40,9709 2.8000,22790,720210-40,9971 2.8980,2501080,722310-4 1,000000 3.0000,27320,720310-40,9971 3.2000,31810,706010-40,9774 3.4000,36170,681510-40,9436 mxT = 2.898 mK Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Frmulas, Tablas y Figuras 49Tabla 9.1. Funciones de radiacin de cuerpo negro (continuacin). T (mK) ) 0 ( F 5,) , (TT Ib (mKsr)-1 ) , () , (,,T IT Imx bb 3.6000,40360,650410-40,9004 3.8000,44340,615210-4 0,8517 4.0000,48090,578110-40,8003 4.2000,51600,540410-40,7481 4.4000,54880,503310-40,6967 4.6000,57930,467310-40,6470 4.8000,60760,433110-40,5996 5.0000,63370,400810-40,5549 5.2000,65900,370610-40,5130 5.4000,68040,342410-40,4741 5.6000,70100,316410-40,4380 5.8000,72020,292310-40,4047 6.0000,73780,270110-40,3740 6.2000,75410,249710-40,3457 6.4000,76920,231010-40,3198 6.6000,78320,213810-40,2960 6.8000,79610,198010-40,2741 7.0000,80810,183510-40,2541 7.2000,81920,170310-40,2357 7.4000,82950,158110-40,2188 7.6000,83910,146910-40,2034 7.8000,84800,136610-40,1891 8.0000,85630,127210-40,1761 8.5000,87460,106810-40,1478 9.0000,89000,901510-50,1248 9.5000,90310,765310-50,1060 10.0000,91420,653310-50,09044 10.5000,92370,560510-50,077600 11.0000,93190,483310-50,066913 11.5000,94000,418710-50,057970 12.0000,94510,364410-50,050448 13.0000,95510,279510-50,038689 14.0000,96290,217610-50,030131 15.0000,97000,171910-50,023794 16.0000,97380,137410-50,019026 18.0000,98090,908210-60,012574 20.0000,98560,623310-60,008629 25.0000,99220,276510-60,003828 30.0000,99530,140510-60,001945 40.0000,99800,473910-70,000656 50.0000,99900,201610-70,000279 75.0000,99970,418610-8 0,000058 100.0000,9999050,135810-80,000019 Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Frmulas, Tablas y Figuras 50TEMA 10. INTERCAMBIO RADIATIVO ENTRE SUPERFICIES Tabla 10.1. Factores de forma radiativos para geometras bidimensionales. GeometraEsquemaFactor de forma Placas paralelas centradas wiLjiwj| || |ii jij iijWW WWW WF24 ) (24 ) (2 / 122 / 12+ + += L w Wi i/ = L w Wj j/ =Placas paralelas inclinadas de igual anchura y una arista en comn jiww |.|

\| =21sen Fij Placas perpendiculares con una arista en comn jiwiwj | |2) / ( 1 ) / ( 12 / 12i j i jijw w w wF+ +=Recinto de tres lados jiwiwkwjk ik j iijww w wF2 +=Cilindros paralelos de radios diferentes sjirirj | || |)`|.|

\|+ + |.|

\| ++ + +=C CRRC CRRR CR C Fij1cos 180) 1 (1cos 180) 1 () 1 () 1 (21112 / 12 22 / 12 2 i jr r R / =ir s S / = S R C + + =1Cilindro y placa paralelos s1jiLrs2 ((

= LsLss srFij2 1 1 12 1tan tan 180Plano infinito y fila de cilindros sjiD 2 / 122 212 / 12tan 1801 1||.|

\| |.|

\|++(((

|.|

\| =DD ssDsDFij Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Frmulas, Tablas y Figuras 51 Figura 10.1. Factor de forma radiativo para dos rectngulos paralelos alineados. jiXLY 0.1 0.2 0.3 0.5 1 2 3 5 10 20 400.010.020.030.050.080.10.20.30.50.81X / LFijY / L = 0,05 Y / L = 0,4 Y / L = 0,1 Y / L = 0,6 Y / L = 0,2 Y / L = 4 Y / L = 2 Y / L = 1 Y / L = 10 Y / L = inf. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Frmulas, Tablas y Figuras 52 Figura 10.2. Factor de forma radiativo para dos discos paralelos coaxiales. jiLrirj 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2 4 6 8 1000.10.20.30.40.50.60.70.80.91L / riFijrj / L = 2 0,3 0,8 0,4 1,25 1 0,6 43 1,5 5 6 8 Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Frmulas, Tablas y Figuras 53 Figura 10.3. Factor de forma radiativo para dos rectngulos perpendiculares con una arista en comn. jiZXY 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2 4 6 8 1000.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5Z / XFijY / X = 0,02 0,050,10,210,40,6241,51020 Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Frmulas, Tablas y Figuras 54 Tabla 10.2. Intercambio neto de radiacin en recintos especiales de dos superficies grises y difusas. GeometraEsquemaCondiciones Intercambio de radiacin Planos paralelos grandes (infinitos) A2, T2, 2A1, T1, 1plano 1plano 2A A A = =2 1 112 = F 11 1) (2 1424112 += T T AqCilindros concntricos largos (infinitos) r2r1 2121rrAA=112 = F212214241 1121 1) (rrT T Aq+=Esferas concntricas r2r1 222121rrAA=112 = F2212214241 1121 1) (||.|

\| +=rrT T AqObjeto convexo pequeo en una cavidad grande A2, T2, 2A1, T1, 1 021AA 112 = F) (4241 1 1 12T T A q = Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Frmulas, Tablas y Figuras 55 TABLAS DE PROPIEDADES TERMOFSICAS Y DE FUNCIONES MATEMTICAS Tabla A. Propiedades termofsicas del aire a presin atmosfrica. T (K) (kg/m3) cp (J/kgK)107 (Ns/m2)106 (m2/s)k103 (W/mK)106 (m2/s) Pr 1003,5562103271,12,009,342,540,786 1502,33641012103,44,42613,85,840,758 2001,75481007132,57,59018,110,30,737 2501,39471006159,611,4422,315,90,720 3001,16141007184,615,8926,322,50,707 3500,99501009208,220,9230,029,90,700 4000,87111014230,126,4133,838,30,690 4500,77401021250,732,3937,347,20,686 5000,69641030270,138,7940,756,70,684 5500,63291040288,445,5743,966,70,683 6000,58041051305,852,6946,976,90,685 6500,53561063322,560,2149,787,30,690 7000,49751075338,868,1052,498,00,695 7500,46431087354,676,3754,91090,702 8000,43541099369,884,9357,31200,709 8500,40971110384,393,8059,61310,716 9000,38681121398,1102,962,01430,720 9500,36661131411,3112,264,31550,723 10000,34821141424,4121,966,71680,726 11000,31661159449,0141,871,51950,728 12000,29021175473,0162,976,32240,728 13000,26791189496,0185,1822380,719 14000,24881207530213913030,703 15000,232212305572401003500,685 Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Frmulas, Tablas y Figuras 56 Tabla B. Propiedades termofsicas del aceite de motor a presin atmosfrica. T (K) (kg/m3) cp (J/kgK) 102 (Ns/m2)106 (m2/s)k103 (W/mK)107 (m2/s)Pr103 (K-1) 273899,1179638542801470,910470000,70 280895,3182721724301440,880275000,70 290890,0186899,911201450,872129000,70 300884,1190948,65501450,85964000,70 310877,9195125,32881450,84734000,70 320871,8199314,11611430,82319650,70 330865,820358,3696,61410,80012050,70 340859,920765,3161,71390,7797930,70 350853,921183,5641,71380,7635460,70 360847,821612,5229,71380,7533950,70 370841,822061,8622,01370,7383000,70 380836,022501,4116,91360,7232330,70 390830,622941,1013,31350,7091870,70 400825,123370,87410,61340,6951520,70 410818,923810,6988,521330,6821250,70 420812,124270,5646,941330,6751030,70 430806,524710,4705,831320,662880,70 Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Frmulas, Tablas y Figuras 57 Tabla C. Propiedades termofsicas del agua saturada. T (K) P (bar) (kg/m3) ifg (kJ/kg)cp (J/kgK)106 (Ns/m2)k103 (W/mK) Pr106 (K-1) 273,150,00611 100025024217175056912,99-68,052750,00697 100024974211165257412,22-32,742800,00990 100024854198142258210,2646,04 2850,01387 10002473418912255908,81114,1 2900,01917 999,02461418410805987,56174,0 2950,02617 998,0244941819596066,62227,5 3000,03531 997,0243841798556135,83276,1 3050,04712 995,0242641787696205,20320,6 3100,06221 993,0241441786956284,62361,9 3150,08132 991,1240241796316344,16400,4 3200,1053989,1239041805776403,77436,7 3250,1351987,2237841825286453,42471,2 3300,1719984,3236641844896503,15504,0 3350,2167982,3235441864536562,88535,5 3400,2713979,4234241884206602,66566,0 3450,3372976,232941913896682,45595,4 3500,4163973,7231741953656682,29624,2 3550,5100970,9230441993436712,14652,3 3600,6209967,1229142033246742,02697,9 3650,7514963,4227842093066771,91707,1 3700,9040960,6226542142896791,80728,7 373,151,0133957,9225742172796801,76750,1 3751,0815956,9225242202746811,70761 3801,2869953,3223942262606831,61788 3851,5233949,7222542322486851,53814 3901,794945,2221242392376861,47841 4002,455937,2218342562176881,34896 4103,302928,5215342782006881,24852 4204,370919,1212343021856881,161010 4305,699909,9209143311736851,09 4407,333900,9205943601626821,04 4509,319890,5202444001526780,99 46011,71879,5198944401436730,95 47014,55868,1195144801366670,92 48017,90856,9191245301296600,89 49021,83844,6187045901246510,87 50026,40831,3182546601186420,86 ifg: entalpa especfica del cambio de fase entre lquido y gas. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Frmulas, Tablas y Figuras 58Tabla D. Funciones hiperblicas. xsenh xcosh xtanh xxsenh xcosh xtanh x 0,000,00001,00000,00000 2,003,62693,76220,964030,100,10021,00500,09967 2,104,02194,14430,970450,200,20131,02010,19738 2,204,45714,56790,975740,300,30451,04530,29131 2,304,93705,03720,980100,400,41081,08110,37995 2,405,46625,55690,983670,500,52111,12760,46212 2,506,05026,13230,986610,600,63671,18550,53705 2,606,69476,76900,989030,700,75861,25520,60437 2,707,40637,47350,991010,800,88811,33740,66404 2,808,19198,25270,992630,901,02651,43310,71630 2,909,05969,11460,993961,001,17521,54310,76159 3,0010,01810,0680,995051,101,33561,66850,80050 3,5016,54316,5730,998181,201,50951,81070,83365 4,0027,29027,3080,999331,301,69841,97090,86172 4,5045,00345,0140,999751,401,90432,15090,88535 5,0074,20374,2100,999911,502,12932,35240,90515 6,00201,71201,720,999991,602,37562,57750,92167 7,00548,32548,321,0000 1,702,64562,82830,93541 8,001490,51490,51,0000 1,802,94223,10750,94681 9,004051,54051,51,0000 1,903,26823,41770,95624 10,0011013110131,0000 Tabla E. Funcin gaussiana de error. xerf (x)xerf (x)xerf (x) 0,000,000000,360,389331,040,85865 0,020,022560,380,409011,080,87333 0,040,045110,400,428391,120,88679 0,060,067620,440,466231,160,89910 0,080,090080,480,502751,200,91031 0,100,112460,520,537901,300,93401 0,120,134760,560,571621,400,95229 0,140,156950,600,603861,500,96611 0,160,179010,640,634591,600,97635 0,180,200940,680,663781,700,98379 0,200,222700,720,691431,800,98909 0,220,244300,760,717541,900,99279 0,240,265700,800,742102,000,99532 0,260,286900,840,765142,200,99814 0,280,307880,880,786692,400,99931 0,300,328630,920,806772,600,99976 0,320,349130,960,825422,800,99992 0,340,369361,000,842703,000,99998 =wudu e w02 2erfw w erf 1 erfc =Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Frmulas, Tablas y Figuras 59Tabla F. Primeras cuatro races de la ecuacin trascendental, ntan(n) = Bi, para conduccin transitoria en una pared plana. khLBi =1234 00,00003,14166,28329,4248 0,0010,03163,14196,28339,4249 0,0020,04473,14226,28359,4250 0,0040,06323,14296,28389,4252 0,0060,07743,14356,28419,4254 0,0080,08933,14416,28459,4256 0,010,09983,14486,28489,4258 0,020,14103,14796,28649,4269 0,040,19873,15436,28959,4290 0,060,24253,16066,29279,4311 0,080,27913,16686,29599,4333 0,10,31113,17316,29919,4354 0,20,43283,20396,31489,4459 0,30,52183,23416,33059,4565 0,40,59323,26366,34619,4670 0,50,65333,29236,36169,4775 0,60,70513,32046,37709,4879 0,70,75063,34776,39239,4983 0,80,79103,37446,40749,5087 0,90,82743,40036,42249,5190 1,00,86033,42566,43739,5293 1,50,98823,54226,50979,5801 2,01,07693,64366,57839,6296 3,01,19253,80886,70409,7240 4,01,26463,93526,81409,8119 5,01,31384,03366,90969,8928 6,01,34964,11166,99249,9667 7,01,37664,17467,064010,0339 8,01,39784,22647,126310,0949 9,01,41494,26947,180610,1502 10,01,42894,30587,228110,2003 15,01,47294,42557,395910,3898 20,01,49614,49157,495410,5117 30,01,52024,56157,605710,6543 40,01,53254,59797,664710,7334 50,01,54004,62027,701210,7832 60,01,54514,63537,725910,8172 80,01,55144,65437,757310,8606 100,01,55524,66587,776410,8871 1,57084,71247,854010,9956 Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Frmulas, Tablas y Figuras 60 Tabla G. Funciones de Bessel de primera clase. xJ0(x)J1(x) 0,01,00000,0000 0,10,99750,0499 0,20,99000,0995 0,30,97760,1483 0,40,96040,1960 0,50,93850,2423 0,60,91200,2867 0,70,88120,3290 0,80,84630,3688 0,90,80750,4059 1,00,76520,4401 1,10,71960,4709 1,20,67110,4983 1,30,62010,5220 1,40,56690,5419 1,50,51180,5579 1,60,45540,5699 1,70,39800,5778 1,80,34000,5815 1,90,28180,5812 2,00,22390,5767 2,10,16660,5683 2,20,11040,5560 2,30,05550,5399 2,40,00250,5202 Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Frmulas, Tablas y Figuras 61Tabla H. Funciones de Bessel modificadas de primera y segunda clase. xe-xI0(x)e-xI1(x)exK0(x)exK1(x) 0,01,00000,0000 0,20,82690,08232,14085,8334 0,40,69740,13681,66273,2587 0,60,59930,17221,41672,3739 0,80,52410,19451,25821,9179 1,00,46580,20791,14451,6362 1,20,41980,21531,05751,4429 1,40,38310,21850,98811,3011 1,60,35330,21900,93091,1919 1,80,32890,21770,88281,1048 2,00,30850,21530,84161,0335 2,20,29130,21210,80570,9738 2,40,27660,20850,77400,9229 2,60,26390,20470,74590,8790 2,80,25280,20070,72060,8405 3,00,24300,19680,69780,8066 3,20,23430,19300,67700,7763 3,40,22640,18920,65800,7491 3,60,21930,18560,64050,7245 3,80,21290,18210,62430,7021 4,00,20700,17880,60930,6816 4,20,20160,17550,59530,6627 4,40,19660,17250,58230,6454 4,60,19190,16950,57010,6292 4,80,18760,16670,55860,6143 5,00,18350,16400,54780,6003 5,20,17970,16140,53760,5872 5,40,17620,15890,52800,5749 5,60,17280,15650,51880,5634 5,80,16970,15420,51010,5525 6,00,16670,15210,50190,5422 6,40,16110,14790,48650,5232 6,80,15610,14410,47240,5060 7,20,15150,14050,45950,4905 7,60,14730,13720,44760,4762 8,00,14340,13410,43660,4631 8,40,13990,13120,42640,4511 8,80,13650,12850,41680,4399 9,20,13340,12600,40790,4295 9,40,13050,12350,39950,4198 9,60,12780,12130,39160,4108 10,01,00000,0000 ) ( ) / ( ) ( ) ( x I x n x I x In n n21 1 = + Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Frmulas, Tablas y Figuras 62 ALFABETO GRIEGO MaysculasMinsculasNombre alfa beta gamma delta psilon seta o zeta eta zeta o theta iota kappa o cappa lambda my o mu ny o nu xi micron pi ro o rho , sigma tau psilon fi o phi ji psi omega PROBLEMAS DE TRANSFERENCIA DE CALOR Juan Carlos Ramos Gonzlez Doctor Ingeniero Industrial Ral Antn Remrez Doctor Ingeniero Industrial Diciembre de 2009 Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 2 Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas i NDICE Problemas Tema 1. Introduccin a la transferencia de calor y a la conduccin ............................. 1 Problemas Tema 2. Conduccin unidimensional en rgimen estacionario..................................... 7 Problemas Tema 3. Conduccin bidimensional en rgimen estacionario..................................... 15 Problemas Tema 4. Conduccin en rgimen transitorio ............................................................... 21 Problemas Tema 5. Introduccin a la conveccin......................................................................... 29 Problemas Tema 6. Conveccin forzada en flujo externo ............................................................ 33 Problemas Tema 7. Conveccin forzada en flujo interno............................................................. 37 Problemas Tema 8. Conveccin libre o natural ............................................................................ 41 Problemas Tema 9. Introduccin a la radiacin............................................................................ 45 Problemas Tema 10. Intercambio radiativo entre superficies ....................................................... 51 Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 2 Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 1PROBLEMAS TEMA 1. INTRODUCCIN A LA TRANSFERENCIA DE CALOR Y A LA CONDUCCIN 1.(2.7delIncropera;LeydeFourier)Enelsistemamostradoenlafiguraseproduceuna conduccindergimenestacionariounidimensionalsingeneracindecalor.La conductividad trmica es 25 W/mK y el espesor L es 0,5 m. Determinelascantidadesdesconocidasparacadacasodelatablasiguienteydibujela distribucin de temperatura indicando la direccin del flujo de calor. CasoT1T2dT/dx (K/m) xq (W/m2) 1400 K300 K 2100 C-250 380 C200 4-5 C4.000 530 C-3.000 Solucin: 1) 200 K/m, -5.000 W/m2; 2) 498 K, 6.250 W/m2; 3) -20 C, -5.000 W/m2; 4) -85 C, -160 K/m; 5) -30 C, 120 K/m. 2.(1.13 del Incropera; Conveccin) Un chip cuadrado isotrmico de lado 5 mm est montado enunsustratodemaneraquesussuperficieslateraleseinferiorestnbienaisladas, mientras que la superficie frontal se expone a la corriente de un fluido refrigerante a 15 C. La temperatura del chip no debe sobrepasar los 85 C. Si el fluido refrigerante es aire (h = 200 W/m2K), cul es la potencia mxima admisible del chip? Si el fluido refrigerante es unlquidodielctrico(h=3.000W/m2K),culeslapotenciamximaadmisibledel chip? Solucin: 0,35 W y 5,25 W. 3.(Radiacin y balance de energa) Un antiguo alumno de la Escuela que trabaja en la ESA (AgenciaEspacialEuropea)noshatransmitidolasiguientecuestin:Unasondade exploracinespacialcuyasplacasdeenergafotovoltaicatienenunasuperficieApyuna temperatura de fusin Tp = 2.000 K es enviada en direccin al Sol. Calcular el radio de la rbitasolarmnima(Ro)alaquesepodracercarlasondaalSol.Datos:constantede x T2T1 L Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 2Stefan-Boltzmann = 5,6710-8 W/m2K4; temperatura de la superficie solar Ts = 6.000 K; radiodelSolRs=7108m;suponerquetantoelSolcomolasplacassecomportancomo cuerpos negros ( = = 1). Solucin: Ro = Rs (Ts/Tp)2. 4.(Conveccin y radiacin) Una persona desvestida tiene una superficie de 1,5 m2 expuesta a unambienteyaunosalrededoresde27C.Latemperaturadesupielesde33Cyse puedeconsiderarunemisorderadiacinperfecto.Sielcoeficientedetransferenciade calor por conveccin es de 9 W/m2K, hllese: a)Las prdidas de calor por conveccin y por radiacin. b)El gasto energtico en kcal/da. Solucin: a) qconv = convQ& = 81 W, qrad = radQ& = 56,8 W; b) 2.846 kcal/da. 5.(2.6delIncropera;LeydeFourier)Paradeterminarelefectodeladependenciadela temperatura de la conductividad trmica sobre la distribucin de temperatura en un slido, considere un material para el que esta dependencia puede representarse como k = ko + aT donde ko es una constante positiva y a es un coeficiente que puede ser positivo o negativo. Dibuje la distribucin de temperatura de rgimen estacionario asociada con la transferencia de calor en una pared plana para tres casos que corresponden a a > 0, a = 0 y a < 0. 6.(2.11delIncropera;LeydeFourier)Enelcuerpobidimensionalquesemuestraenla figura se encuentra que el gradiente en la superficie A es T/y = 30 K/m. Cunto valen T/y y T/x en la superficie B? Solucin: T/y = 0; T/x = 60 K/m. 7.(1.27delIncropera;Balancedeenerga)Unaplacadealuminiode4mmdeespesorse montaenposicinhorizontalconsusuperficieinferiorbienaislada.Seaplicaasu superficiesuperiorunrecubrimientoqueabsorbeel80%decualquierradiacinsolar incidenteytieneunaemisividadde0,25.Ladensidadyelcalorespecficodelaluminio son 2.700 kg/m3 y 900 J/kgK, respectivamente. a)Considerelascondicionesparalasquelaplacaestaunatemperaturade25Cyla superficie superior se expone sbitamente al aire ambiente a T = 20 C y a radiacin solarqueproporcionaunflujoincidentede900W/m2.Elcoeficientede transferencia Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 3decalorporconveccinentrelasuperficieyelaireesh=20W/m2K.Culesla velocidadinicialdecambiodelatemperaturadelaplaca?Supongaquenohay alrededores. b)Cul ser la temperatura de equilibrio de la placa cuando se alcancen las condiciones de rgimen estacionario? c)RepresentemedianteExcelunagrficadelatemperaturadergimenestacionario como funcin de la emisividad para 0,05 1, para tres valores de la absortividad de laplacade0,5,0,8y1conelrestodecondicionesconstantes.Silafinalidades maximizarlatemperaturadelaplaca,culeslacombinacinmsdeseablede emisividad y absortividad de la placa? Solucin: a) 0,052 K/s; b) Ts = 321 K. 8.(1.31 del Incropera; Balance de energa) En una etapa de un proceso de recocido, 1 hoja de acero inoxidable AISI 304 se lleva de 300 K a 1.250 K conforme pasa a travs de un horno calentadoelctricamenteaunavelocidaddevs=10mm/s.Elespesoryanchodelahoja son ts = 8 mm y ws = 2 m, respectivamente, mientras que la altura, ancho y largo del horno son Ho = 2 m, Wo = 2,4 m y Lo = 25 m, respectivamente. La parte superior y cuatro lados delhornoseexponenalaireambientalyaalrededoresa300K,ylatemperaturadela superficie del horno, su emisividad y el coeficiente de conveccin respectivos son Ts = 350 K,s=0,8yh=10W/m2K.Lasuperficieinferiordelhornotambinesta350Ky reposaenunaplacadecementode0,5mdeespesorcuyabaseesta300K.Estimarla potenciaelctricaqueserequieresuministraralhorno.Datos:kcemento(a300K)=1,4 W/mK. Propiedades termofsicas del acero inoxidable AISI 304: = 7.900 kg/m3. T (K) cp (J/kgK)600557 800582 Solucin: 841 kW. 9.(2.12delIncropera;LeydeFourier)AlgunasseccionesdeloleoductodeAlaskaestn tendidas sobre tierra, sostenidas por columnas verticales de acero (k = 25 W/mK) de 1 m delongitudyseccintransversalde0,005m2.Encondicionesnormalesdeoperacinse sabe que la variacin de temperatura de un extremo a otro de la longitud de una columna se rige por una expresin de la forma Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 4T = 100 150x + 10x2 dondeTyxtienenunidadesdeCymetros,respectivamente.Lasvariacionesde temperaturasoninsignificantessobrelaseccintransversaldelacolumna.Evalela temperatura y la rapidez de conduccin de calor en la unin columna-ducto (x = 0) y en la interfaz columna-tierra (x = 1). Explique la diferencia en las transferencias de calor. Solucin: 18,75 W y 16,25 W. 10.(2.17delIncropera;LeydeFourier)Unaparatoparamedirlaconductividadtrmica empleauncalentadorelctricointercaladoentredosmuestrasidnticasde30mmde dimetro y 60 mm de longitud, prensadas entre placas que se mantienen a una temperatura uniforme To = 77 C mediante la circulacin de un fluido. Se pone grasa conductora entre todaslassuperficiesparaasegurarunbuencontactotrmico.Seempotrantermopares diferencialesenlasmuestrasconunespaciadode15mm.Lascaraslateralesdelas muestras se aslan para que la transferencia de calor sea unidimensional. a)Con dos muestras de acero inoxidable AISI 316 en el aparato, el calentador toma 0,353 Aa100VylostermoparesdiferencialesindicanT1=T2=25,0C.Culesla conductividadtrmicadelmaterialdelamuestradeaceroinoxidableyculla temperaturapromediodelasmuestras?Comparelosresultadosconlosvaloresdela Tabla A.1 del Incropera. b)Calcular la conductividad trmica y la temperatura promedio de una muestra de hierro ArmcopuestaenlugardelamuestrainferiordelaceroAISI316.Enestecasoel calentadortoma0,601Aa100VylostermoparesdiferencialesindicanT1=T2= 15,0 C. c)Culeslaventajadeconstruirelaparatoconelcalentadorintercaladoentredos muestrasenlugardeconstruirloconunasolacombinacinmuestra-calentador? Cundoresultasignificativoelescapedecalorporlasuperficielateraldelas muestras? Bajo que condiciones esperara que T1 T2? Datos: Propiedades termofsicas del acero inoxidable AISI 316: T (K) k (W/mK)30013,4 40015,2 Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 5Propiedades termofsicas del Armco: T (K) k (W/mK)30072,7 40065,7 Solucin: a) k = 15 W/mK yT= 400 K; b) k = 70 W/mK yT= 380 K. 11.(2.21 del Incropera; Ecuacin de calor) En una varilla cilndrica de 50 mm de dimetro de combustible de un reactor nuclear ocurre generacin interna de calor a 7110 5 = q& W/m3, y encondicionesdergimenestacionarioladistribucindetemperaturaesT(r)=a+br2, donde T est en grados Celsius y r en metros, mientras a = 800 C y b = -4,167105 C/m2. Laspropiedadesdelavarilladecombustiblesonk=30W/mK,=1.100kg/m3ycp= 800 J/kgK. a)Cul es la velocidad de transferencia de calor por unidad de longitud de la varilla en r = 0 (lnea central) y en r = 25 mm (superficie)? b)Sielniveldepotenciadelreactoraumentasbitamentea 8210 = q& W/m3,culesla velocidad de cambio de temperatura en el tiempo inicial en r = 0 y en r = 25? Solucin: a)W/m 10 8 , 9 ) 25 ( y0 ) 0 (4 = = = = r q r qr r; b) 56,8 K/s. 12.(2.24delIncropera;LeydeFourier, ecuacin de calor y balance de energa) Un estanque solar poco profundo con gradiente salino consiste en tres capas fluidas distintas y se utiliza paraabsorberenergasolar.Lascapassuperioreinferiorestnbienmezcladasysirven paramantenerlassuperficiessuperioreinferiordelacapacentralatemperaturas uniformesT1yT2,dondeT2>T1.Considerecondicionesparalasquelaabsorcindela radiacinsolarenlacapacentralproporcionaunageneracinnouniformedecalordela forma axAe x q= ) ( & , y la distribucin de temperatura en la capa central es: C Bx ekaAx Tax+ + =2) (LascantidadesA(W/m3),a(1/m),B(K/m)yC(K)sonconstanteconocidas,ykesla conductividad trmica que tambin es constante. a)Obtenga expresiones para la rapidez a la que se transfiere calor por unidad de rea de la capa inferior a la capa central y de sta a la capa superior. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 6b)Determine si las condiciones son estacionarias o transitorias. c)Obtengaunaexpresinparalarapidezalaquesegeneraenergatrmicaenlacapa central, por unidad de rea superficial. Solucin: a)BkaAx q Bk eaAL x qxaLx = = = = ) 0 ( ; ) ( ; b) Rgimen estacionario; c) ( )aLgeneaAE = 1&. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 7PROBLEMAS TEMA 2. CONDUCCIN UNIDIMENSIONAL EN RGIMEN ESTACIONARIO Pared plana 1.(3.2delIncropera)Laventanaposteriordeunautomvilsedesempaamedianteelpaso de aire caliente sobre su superficie interna. a)Calcular las temperaturas de las superficies interna y externa de una ventana de vidrio de4mmdeespesor,siendolatemperaturadelairecalienteT,int=40Cysu coeficiente de conveccin hint = 30 W/m2K y la temperatura del aire exterior T,ext = -10 C y su coeficiente de conveccin hext = 65 W/m2K. b)Evale cualitativamente la influencia de T,ext y hext sobre las temperaturas. Datos: kvidrio (a 300 K) = 1,4 W/mK. Solucin: a) Tint = 7,7 C y Text = 4,9 C; b) Ambas disminuyen al aumentar hext y aumentan al aumentar T,ext. 2.(3.3delIncropera)Enlaventanaposteriordelautomvildelproblemaanteriorseinstala comosistemaparadesempaarsusuperficieinteriorunelementodecalentamiento consistenteenunapelculatransparentedelgadaconresistenciaselctricas.Alcalentarse elctricamenteestedispositivoseestableceunflujodecaloruniformeenlasuperficie interna. a)Calcular la potencia elctrica por unidad de rea de ventana necesaria para mantener la temperaturadelasuperficieinternaa15Ccuandolatemperaturadelaireinteriores T,int = 25 C y su coeficiente de conveccin hint = 10 W/m2K. El aire exterior est en las mismas condiciones que en el problema anterior. b)Calcular la temperatura de la superficie externa de la ventana. c)Evale cualitativamente la influencia de T,ext y hext sobre la potencia elctrica. Solucin:a) elecP =1,27kW/m2;b)Text=11,1C;c) elecP aumentaalaumentarhexty disminuye al aumentar T,ext. 3.(3.15delIncropera)Unacasatieneunaparedcompuestademadera,aislantedefibray tablero de yeso, como se indica en el esquema. En un da fro de invierno los coeficientes de transferencia de calor por conveccin son hext = 60 W/m2K y hint = 30 W/m2K. El rea total de la superficie es de 350 m2. Datos: Tablero de yeso: k (a 300 K) = 0,17 W/mK. Propiedades termofsicas de la fibra de vidrio: T (K) (kg/m3) k (W/mK)300160,046 300280,038 300400,035 Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 8Tablero de madera contraplacada: k (a 300 K) = 0,12 W/mK. a)Determineunaexpresinsimblicaparalaresistenciatrmicatotaldelapared incluyendo los efectos de conveccin. b)Determine la prdida de calor total de la pared. c)Sielvientosoplarademaneraviolentaelevandohexta300W/m2K,culserael porcentaje de aumento relativo de la prdida de calor? d)Qu resistencia trmica influye en mayor medida sobre la prdida de calor a travs de la pared? Solucin: b) 4.214 W; c) 0,45 %; d) La de la fibra de vidrio, que es el aislante y tiene la k menor. Resistencia de contacto 4.(3.25 del Incropera) Un circuito integrado (chip) disipa 30.000 W/m2 de calor elctrico. El chip, que es muy delgado, se expone a un lquido dielctrico en su superficie superior con hext=1.000W/m2KyT,ext=20C.Enlasuperficieinferiorseuneaunatarjetade circuitosdeespesorLb=5mmyconductividadkb=1W/mK.Laresistenciatrmicade contacto entre el chip y la tarjeta es c tR, = 10-4 m2K/W. La superficie inferior de la tarjeta se expone al aire ambiente para el que hint = 40 W/m2K y T,int = 20 C. a)Dibujeelcircuitotrmicoequivalentesealandolasresistenciastrmicas,las temperaturas y los flujos de calor. b)Culeslatemperaturadelchipparalascondicionesdedisipacinde cq =30.000 W/m2? c)Quinfluenciatendraenlatemperaturadelchipelaumentarenunordende magnitudlaconductividaddelatarjetadecircuitosyendisminuirenunordende magnitud la resistencia trmica de contacto entre el chip y la tarjeta? Solucin: b) Tc = 49 C; c) Prcticamente ninguna. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 9Pared cilndrica 5.(3.37delIncropera)Uncalentadorelctricodelgadoseinsertaentreunavarillacircular larga y un tubo concntrico con radios interior y exterior de 20 y 40 mm. La varilla A tiene unaconductividadtrmicakA=0,15W/mKyeltuboBkB=1,5W/mK.Lasuperficie externaestencontactoconunfluidoatemperaturaT=-15Cyuncoeficientede conveccin de 50 W/m2K. a)Determine la potencia elctrica por unidad de longitud de los cilindros que se requieren para mantener la superficie externa del tubo B a 5 C. b)Cul es la temperatura en el centro de la varilla A? Solucin: a) 251 W/m; b) 23,4 C. 6.(3.44delIncropera)Unacorrienteelctricade700Afluyeatravsdeuncabledeacero inoxidablequetieneundimetrode5mmyunaresistenciaelctricade610-4/m.El cable est en un medio que tiene una temperatura de 30 C y el coeficiente total asociado con la conveccin y la radiacin entre el cable y el medio es aproximadamente 25 W/m2K. a)Si el cable est expuesto, cul es la temperatura de la superficie? b)Siseaplicaunrecubrimientomuydelgadodeaislanteelctricoalcable,conuna resistencia de contacto de 0,02 m2K/W, cules son las temperaturas superficiales del aislante y del cable? c)Si se usa un aislante de conductividad trmica 0,5 W/mK, cul ser el espesor de este aislante que dar el valor ms bajo de la temperatura del cable? Cul es el valor de esa temperatura? Solucin: a) Ts,cable = 778,7 C; b) Ts,cable = 1.153 C y Ts,aislante = 778,7 C; c) e = 17,5 mm y Ts,cable = 318,2 C. 7.(3.45delIncropera)Untubodeacerodepareddelgadade0,20mdedimetroy emisividad 0,8 se utiliza para transportar vapor saturado a una presin de 20 bar (Tsat = 485 K)enuncuartoparaelquelatemperaturadelaireydelasparedeses25Cyel coeficiente de transferencia de calor por conveccin en la superficie externa del tubo es 20 W/m2K. a)Cul es la prdida de calor por unidad de longitud del tubo expuesto (sin aislante)? b)Calculelaprdidadecalorporunidaddelongituddeltubosiseaadeunacapa aislantede50mmdexidodemagnesioquetambintieneunaemisividadde0,8. Calcular tambin la temperatura superficial exterior del aislante. c)El coste asociado con la generacin del vapor saturado es de 4 /109 J y el del aislante ysuinstalacinde100/m.Silalneadevaporopera7.500horasalao,cunto tiempo se necesita para amortizar la instalacin del aislante? Datos: Propiedades termofsicas del xido de magnesio: T (K) k (W/mK)3100,051 3650,055 4200,061 Solucin: a) 3.702 W/m; b)q 162 W/m y Ts,ail,ext 30 C; c) 3 meses. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 10Pared esfrica 8.(3.56 del Incropera) Una sonda esfrica crioquirrgica se incrusta en tejido enfermo con el propsito de congelarlo y destruirlo. La sonda tiene un dimetro de 3 mm y su superficie se mantiene a -30 C cuando se incrusta en tejido que est a 37 C. Se forma una capa esfrica de tejido congelado alrededor de la sonda con una temperatura de 0 C en su superficie de contactoconeltejidonormal.Silaconductividadtrmicadeltejidocongeladoes1,5 W/mK y el coeficiente de transferencia de calor por conveccin entre el tejido congelado y el normal es 50 W/m2K, cul es el espesor de la capa del tejido congelado? Resolucin: En primer lugar se expone una manera de obtener una expresin de la resistencia trmica para una esfera. En un elemento diferencial de esfera la aplicacin de la conservacin de la energa implica queqr=qr+dr,esdecirquelatransferenciadecaloresindependientedelradio,para condicionesunidimensionalesdergimenestacionarioysingeneracininternadecalor. LaecuacindeFourierparaunaesferahuecacuyassuperficiesestnencontactocon fluidos a temperaturas distintas y en condiciones de rgimen estacionario sin generacin de calor adopta la forma: drdTr kdrdTkA qr) 4 (2 = =donde A = 4r2 es el rea normal a la direccin de la transferencia de calor. Al integrar la ecuacin anterior: =2121) (42ssTTrrrdT T krdr q Suponiendokconstanteyalresolverparalascondicionesdecontornodetemperaturas conocidas en las superficies se obtiene: ) / 1 ( ) / 1 () ( 42 12 1r rT T kqs sr = La resistencia trmica para conduccin adopta, por la tanto, la forma: ||.|

\| ==2 12 1,1 141 ) (r r k qT TRrs scond t Y la de conveccin: h rRconv t 2 ,41=Unavezvistoestosepuederepresentarelcircuitotrmicoequivalentealenunciadodel problema: |.|

\|+e r r k1 141 h e r2) ( 41+ q q T T s1Ts2Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 11La velocidad de transferencia de calor se puede expresar: |.|

\|+=+=e r r kT Te r hT Tqs s s1 141) ( 411 222 Al resolver se obtiene la siguiente ecuacin en e2:021 2 2= +rT TT Thkre ess s Al resolver se obtiene: e = 5,34 mm. Generacin interna de calor 9.(3.73delIncropera)ElairedentrodeunacmaraaT,int=50Csecalienta convectivamenteconhint=20W/m2Kmedianteunaparedde200mmdeespesorque tiene una conductividad trmica de 4 W/mK y una generacin de calor uniforme de 1.000 W/m3. Para prevenir que algo del calor generado se pierda hacia el exterior de la cmara, a T,ext = 25 C con hext = 5 W/m2K, se coloca un calentador de listn muy delgado sobre la pared exterior para proporcionar un flujo de calor uniforme, oq . a)Dibuje la distribucin de temperaturas en la pared (T-x) para la condicin de que no se pierdenadadelcalorgeneradodentrodelaparedhaciaelexteriordelacmara(es decir, quitando el calentador y aislando la superficie externa de la pared). b)Culessonlastemperaturasenlassuperficiesexternaeinternadelaparedparaesa condicin? c)Determineelvalorde oq quedebesuministrarelcalentadordelistndemodoque todo el calor generado dentro de la pared se transfiera al interior de la cmara. d)Si la generacin de calor en la pared se cortara mientras el flujo de calor del calentador delistnpermanececonstante,culseralatemperaturadelaparedexterioren rgimen permanente? Solucin: b) T(0) = 65 C y T(L) = 60 C; c) 200 W/m2; d) 55 C. 10.(3.83 del Incropera) Un elemento de combustible de reactor nuclear consiste en un ncleo cilndricoslidoderadior1yconductividadtrmicakf.Elncleodecombustibleesten buen contacto con un material de encamisado de radio externo r2 y conductividad trmica kc.Considerecondicionesdergimenestacionarioparalasqueocurreunageneracinde caloruniformedentrodelcombustibleaunaraznvolumtricaq& = gene& ylasuperficie Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 12externadelencamisadoseexponeaunfluidorefrigerantequesecaracterizaporuna temperatura T y un coeficiente de conveccin h. a)Obtengaexpresionesparalasdistribucionesdetemperaturaenelcombustibleyenel encamisado, Tf(r) y Tc(r). b)Considere un ncleo de combustible de xido de uranio para el que Kf = 2 W/mK y r1 = 6 mm y un encamisado para el que Kc = 25 W/mK y r2 = 9 mm. Siq&= gene&= 2108 W/m3, h = 2.000 W/m2K y T = 300 K, cul es la temperatura mxima en el elemento de combustible? c)Evale cualitativamente la influencia de h sobre las temperaturas. Es posible mantener latemperaturadelalneacentraldelcombustiblepordebajode1.000Kajustandoel flujo de refrigerante y, por tanto, el valor de h? Solucin: b) Tf(r = 0) = 1.458 K; c) Si h aumenta Tf y Tc disminuyen. No es posible. Superficies extendidas y aletas 11.(3.109 del Incropera) Varillas de cobre circulares de dimetro D = 1 mm y longitud L = 25 mm se usan para reforzar la transferencia de calor de una superficie que se mantiene a Ts1 = 100 C. Un extremo de la varilla se une a esta superficie (en x = 0) y el otro (x = 25) se une a una segunda superficie que se mantiene Ts2 = 0 C. El aire que fluye entre las superficies tambinestaunatemperaturaT=0Cytieneuncoeficientedeconveccinh=100 W/m2K. a)Cul es la transferencia de calor de una sola varilla de cobre? b)Cul es la transferencia total de calor de una seccin de 1 m x 1 m de la superficie a 100 C, si se instala una disposicin de varillas separadas entre centros 4 mm? Datos: kcobre (a 300 K) = 401 W/mK. Solucin: a) qf = 1,51 W; b) qt = 103,8 kW. 12.(3.114delIncropera)Amenudoseformanpasajesdealetasentreplacasparalelaspara reforzarlatransferenciadecalorporconveccinenncleoscompactosde intercambiadores de calor. Considere una pila de aletas de 200 mm de ancho y 100 mm de profundidadcon50aletasde12mmdelongitud.Lapilacompletaestfabricadade aluminio(k=240W/mK)de1mmdeespesor.Lastemperaturasmximaspermisibles asociadasalasplacasopuestassonTo=400KyTL=350K.Elairequefluyeentrelas placas tiene una h = 150 W/m2K y una T = 300 K. Cules son las disipaciones de calor de una aleta y del sistema de aletas en cada una de las placas? Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 13 Solucin: qfo = 114,95 W; qfL = -88,08 W; qto = 5.972,5 W; qtL = -4.291,5 W. 13.(3.131delIncroperamodificado,examenseptiembre2005)Sequieredisiparelcalor generado en el interior de un transformador situando en una de sus paredes un dispositivo de aletas rectas. La pared del transformador tiene una conductividad trmica de 5 W/mK y un espesor de 6 mm. Sobre ella se coloca un dispositivo de aletas de seccin rectangular de aluminio (kal = 240 W/mK). El soporte del dispositivo de aletas tiene un espesor de 4 mm. Entre la pared del transformador y el soporte de las aletas hay una resistencia de contacto devalorK/W m 102 4,= c tR .Lasaletastienenunalongitudde25mm,unespesorde2 mm y la distancia entre ellas es de 2 mm. El calor generado en el transformador se puede asimilaraunflujodecaloruniformesobrelapareddevalor 2 5W/m 10 = iq .Elaire exterior est a 320 K y proporciona un coeficiente de conveccin de 100 W/m2K. q"iPared deltransformadorSoporte delas aletasR"t,ct = 2 mm = 2 mmT = 320 K6 mm 25 mm 4 mmh = 100 W/m2KTintTalTbktra = 5 W/mKkal = 240 W/mK Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 14a)Dibujeelcircuitotrmicoequivalenteentreelinteriordeltransformadoryelaire exterior para la parte de pared que le corresponde a una aleta teniendo en cuenta que la dimensin perpendicular al dibujo es muy larga. b)Calculelosvaloresdelasresistenciastrmicasqueaparecenenelcircuitotrmico anterior. c)Calcule la temperatura de la superficie interna del transformador, Tint. d)Calcule la temperatura de la superficie interna del soporte de aluminio (en contacto con la resistencia de contacto), Tal. e)Calcule la temperatura de la base de las aletas, Tb. Solucin: c) Tint = 532,3 K; d) Tal = 402,3 K; e) Tb = 400,6 K. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 15PROBLEMAS TEMA 3. CONDUCCIN BIDIMENSIONAL EN RGIMEN ESTACIONARIO Factores de forma 1.(4.16delIncropera)Conlasrelacionesderesistenciatrmicadesarrolladaseneltema3 determine expresiones del factor de forma para las siguientes geometras: a)Pared plana, capa cilndrica y coraza esfrica. b)Esfera hueca de superficie isotrmica de dimetro D en el interior de un medio infinito. Solucin: a) A/L, 2L/ln(r2/r1), 4r1r2/(r2-r1); b) 2D. 2.(4.20 del Incropera) Un cable largo de transmisin de energa se entierra a una profundidad (distanciadelatierraalalneacentraldelcable)de2m.Elcableestenfundadoenun tubodepareddelgadade0,1mdedimetroyparahaceralcablesuperconductor (esencialmente cero disipacin de energa), el espacio entre el cable y el tubo est lleno de nitrgeno lquido a 77 K. Si el tubo se cubre con un superaislante (ki = 0,005 W/mK) de 0,05mdeespesorylasuperficiedelatierra(kg=1,2W/mK)esta300K,culesla cargadeenfriamientoporunidaddelongituddetubo[W/m]quedebesuministrarun refrigerador criognico para mantener el nitrgeno a 77 K? Solucin: 9,89 W/m. 3.(4.25delIncropera)Poruntubodecobredepareddelgadade30mmdedimetrofluye aguacalientea85C.Eltuboestforradodeunacapacilndricaexcntricaquese mantiene a 35 C y mide 120 mm de dimetro. La excentricidad, definida como la distancia entre los centros del tubo y la capa, es 20 mm. El espacio entre el tubo y la capa est lleno deunmaterialaislantequetieneunaconductividadtrmicade0,05W/mK.Calculela prdida de calor por unidad de longitud de tubo y compare el resultado con la prdida de calor para una disposicin concntrica. Solucin: 12,5 W/m y 11,33 W/m. Factores de forma con circuitos trmicos 4.(4.28 del Incropera) Un fluido caliente pasa por tubos circulares de una plancha de hierro colado de espesor LA = 60 mm que est en contacto con unas placas de cubierta de espesor LB = 5 mm. Los canales tienen un dimetro D = 15 mm con un espaciado de lnea central de Lo = 60 mm. Las conductividades trmicas de los materiales son kA = 20 W/mK y kB = 75 W/mK, y la resistencia de contacto entre los dos materiales es 4,10 2= c tR m2K/W. El fluidocalienteestaTi=150Cyelcoeficientedeconveccines1.000W/m2K.Las placas de cubierta se exponen al aire ambiental que est a 25 C y tiene un coeficiente de conveccin de 200 W/m2K. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 16 a)Determinelatransferenciadecalordeunsolotuboporunidaddelongituddela plancha en direccin normal a la pgina, iq . b)Determine la temperatura de la superficie externa de la placa de cubierta, Ts. c)Comente los efectos sobre iqy Ts de un cambio en el espaciado de los canales. Cmo afectara a iqy Ts aislar la superficie inferior? Solucin:a) iq =1.578,6W/m;b)Ts=90,8C;c)SiLoaumenta, iq aumentayTs disminuye. Si la superficie inferior est aislada, iqdisminuye y Ts permanece constante. 5.(4.31delIncropera)EnelTema3sesupusoquecuandoseuneunaaletaaunmaterial base,latemperaturadelabasenocambia.Loqueenverdadocurreesque,sila temperaturadelmaterialdelabaseexcedelatemperaturadelfluido,alcolocarunaaleta disminuye la temperatura de la unin, Tj, por debajo de la de la base y el flujo de calor del material de la base a la aleta es bidimensional. Considere condiciones en las que una aleta largacirculardealuminiodedimetroD=5mmseunealmaterialdelabasecuya temperatura lejos de la unin se mantiene a Tb = 100 C. Las condiciones de conveccin en la superficie de la aleta son T = 25 C y h = 50 W/m2K. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 17a)Calcule la temperatura de la unin y la transferencia de calor cuando el material de la base es (i) aluminio (k = 240 W/mK) y (ii) acero inoxidable (k = 15 W/mK). b)Repita los clculos anteriores para el caso del aluminio si entre la unin de la aleta y el material de la base hay una resistencia trmica 5 "10 3=tcR m2K/W c)Cmo influye el coeficiente de conveccin en la transferencia de calor? Solucin: a) (i) Tj = 98 C, qf = fQ& = 4,8 W; (ii) Tj = 78,4 C, qf = fQ& = 3,24 W; b) Tj = 92 C, qf = fQ& = 4,08 W; c) Si h aumenta qf aumenta. 6.(4.32 del Incropera) Se construye un igl en forma de hemisferio con un radio interno de 1,8myparedesdenievecompactadade0,5mdeespesor.Enelinteriordeliglel coeficientedetransferenciadecalorporconveccines6W/m2K;enelexterior,en condicionesnormalesdeviento,es15W/m2K.Laconductividadtrmicadelanieve compactada es 0,15 W/mK. La temperatura de la capa de hielo sobre la que se asienta el igl es de -20 C y tiene la misma conductividad trmica que la nieve compactada. a)Suponiendo que el calor corporal de los ocupantes proporciona una fuente continua de 320Wdentrodeligl,calculelatemperaturadelaireinteriorcuandoladelaire exterior es -40 C. Considere las prdidas de calor a travs del suelo. b)Cmo afecta a la temperatura interior el que el coeficiente de conveccin exterior se triplique debido al viento? Y cmo afecta el doblar el espesor de las paredes? Solucin: a) Ti = 1,2 C; b) Ti = 0,8 C; Ti = 20,8 C. 7.(4.34delIncropera)Undispositivoelectrnicoenformadediscode20mmdedimetro disipa 100 W cuando se monta sobre un bloque grande de aleacin de aluminio (2024-T6) cuyatemperaturasemantienea27C.Enlainterfazentreeldispositivoyelbloquehay una resistencia de contacto 5 "10 5=tcR m2K/W. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 18 a)Calculelatemperaturaquealcanzareldispositivosuponiendoquetodalapotencia que genera debe transferirse por conduccin al bloque. b)Paraaumentarlapotenciadeldispositivoseinstalaunsistemadealetasenlaparte superiordeldispositivo.Lasaletasrectasdeseccincircular(aletasdeaguja)estn hechas de cobre (k = 400 W/mK) y estn expuestas a un flujo de aire a 27 C para el que el coeficiente de conveccin es 1.000 W/m2K. Para la temperatura del dispositivo que se calcul en el apartado a), cul es la potencia de operacin permisible? Datos: Propiedades termofsicas de la aleacin de aluminio 2024-T6: T (K) k (W/mK)200163 300177 400186 Solucin: a) Td = 57 C; b) Pelct. = 138,65 W. Mtodo de las diferencias finitas 8.(4.41delIncropera)Lassuperficiessuperioreinferiordeunabarradeconduccinse enfran convectivamente por accin de aire a T, pero con hsup hinf. Los lados se enfran manteniendocontactoconsumiderosdecalora To,atravsdeunaresistenciatrmicade contacto c tR, . La barra tiene conductividad trmica k y el ancho es el doble del espesor L. Considerecondicionesdeestadoestacionarioparalasquesegeneracalordemanera uniformeaunatasavolumtricaq&debido al paso de una corriente elctrica. Obtenga las ecuaciones en diferencias finitas para los nodos 1 y 13. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 19 9.(4.48 del Incropera) Las temperaturas de estado estacionario (en K) en tres puntos nodales deunavarillarectangularsoncomosemuestraenlafigura.Lavarillaexperimentauna rapidezdegeneracindecalorvolumtricauniformede5107W/m3ytieneuna conductividadtrmicade20W/mK.Dosdesusladossemantienenaunatemperatura constante de 300 K, mientras que los otros dos estn aislados. a)Determinelastemperaturasenlosnodos1,2y3resolviendoelsistemade3 ecuaciones con 3 incgnitas que forman las ecuaciones nodales. b)Calcule la transferencia de calor por unidad de longitud de la varilla (W/m) a partir de lastemperaturasnodales.Compareesteresultadoconlatransferenciadecalor calculadaapartirdelconocimientodelageneracinvolumtricadecalorylas dimensiones de la varilla. Solucin:a)T1=362,4K;T2=390,2K;T3=369K;b)q=7.502,5W/m;q=7.500 W/m. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 2010.(4.52delIncropera)Unabarralargadeseccintransversalrectangulartiene60mmde ancho, 90 mm de largo, y una conductividad trmica de 1 W/mK. Uno de sus anchos est sometido a un proceso de conveccin con aire a 100 C y un coeficiente de conveccin de 100 W/m2K. El resto de los lados se mantiene a 50 C. a)Con un espaciado de malla de 30 mm y mediante el mtodo iterativo de Gauss-Seidel, determine las temperaturas nodales y la transferencia de calor (por unidad de longitud normal a la pgina) desde el aire a la barra. b)UtilizandoMatlabpararesolverelsistemadeecuaciones(mtododeinversinde matrices), repita los clculos con un espaciado de malla de 15 mm. Solucin:a)Empezandodesdeelladosometidoaconveccinlastemperaturasnodales son: 81,7 C, 58,5 C y 52,1 C; q = 205 W/m; b) Temperaturas de los nodos a lo largo del anchosometidoaconveccin:50C,80,33C,85,16C,80,33Cy50C;q=156,27 W/m. 11.(Basado en Ejemplo 5.1 del Chapman, 5 edicin) Se dispone de una varilla de hierro (k = 50W/mK)de1cmdedimetroy20cmdelongitud.Lavarillaseuneenunextremoa una superficie calentada a 120 C y en el extremo libre se encuentra aislada. Su superficie lateral est en contacto con un fluido a 20 C para el que el coeficiente de transferencia de calor por conveccin es 10 W/m2K. a)Determineladistribucindetemperaturasenlavarillaresolviendolasecuaciones nodales mediante el mtodo iterativo de Gauss-Seidel y con un x = 5 cm. El nmero de iteraciones viene dado por un criterio de convergencia en la temperatura del extremo deun1%.Esdecir,ladiferenciarelativadelatemperaturaenelextremoendos iteraciones sucesivas ha de ser inferior al 1 %. % 1 100 (%)1=iextremoiextremoiextremorTT TEb)Determineunaaproximacinalaprdidadecalordelavarillaapartirdela distribucin discreta de temperaturas calculada en el apartado anterior. c)Comparelasolucinanteriorconelcalorperdidoporlaaletacalculadodemanera exacta. Solucin: a) Comenzando desde la base la distribucin de temperaturas es: 120 C, 84,8 C, 63,6 C, 52,8 C, 49,9 C; b) qfaprox. = 3,24 W; c) qf = 3,32 W. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 21PROBLEMAS TEMA 4. CONDUCCIN EN RGIMEN TRANSITORIO Mtodo de la resistencia interna despreciable 1.(5.8delIncropera)Unabalaesfricadeplomode6mmdedimetrosemueve aproximadamente a Mach 3. La onda de choque resultante calienta el aire alrededor de la bala a 700 K, y el coeficiente de conveccin promedio para la transferencia de calor entre el aire y la bala es 500 W/m2K. Si la bala sale de la escopeta a 300 K y el tiempo de vuelo es 0,4 s, cul es la temperatura en la superficie en el momento del impacto? Datos: Propiedades termofsicas del plomo a 300 K: k = 35,3 W/mK; = 11.340 kg/m3; cp = 129 J/kgK. Solucin: T = 351 K. 2.(5.10delIncropera)Unaunidaddealmacenamientodeenergatrmicaconsisteenun canalrectangularlargo,queestbienaisladoenlasuperficieexternayencierracapas alternadas del material de almacenamiento y rejillas para el flujo. Cada capa del material de almacenamiento es una plancha de aluminio de ancho W = 0,05 m que est a una temperatura inicial de 25 C. Considere condiciones en las que la unidad dealmacenamientosecargaconelpasodeungascalienteatravsdelasrejillas, suponiendoquelatemperaturadelgasyelcoeficientedeconveccintienenvalores constantesdeT=600Cyh=100W/m2Kalolargodelcanal.Cuntotiempose tardarenalcanzarel75%delalmacenamientomximoposibledeenerga?Culesla temperatura del aluminio en ese momento? Datos: Propiedades termofsicas del aluminio: = 2.702 kg/m3. T (K) k (W/mK) cp (J/kgK)300237903 400240949 6002311.033 Solucin: t = 933,5 s 15,55 min y T = 456 C. 3.(5.14 del Incropera) La pared plana de un horno se fabrica de acero al carbono simple (k = 60W/mK;=7.850kg/m3;cp=430J/kgK)ytieneunespesordeL=10mm.Para protegerladelosefectoscorrosivosdelosgasesdecombustindelhorno,unasuperficie Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 22delaparedsecubreconunapelculadelgadadecermicaque,paraunreasuperficial unitaria,tieneunaresistenciatrmicade tfR =0,01m2K/W.Lasuperficieopuestaest bien aislada de los alrededores. Al poner en funcionamiento el horno, la pared est a una temperatura inicial de Ti = 300 K y los gases de combustin entran en el horno a T= 1.300 K, con lo que proporcionan un coeficientedeconveccinde25W/m2Kenlapelculacermica.Suponiendoquela pelculatieneunaresistenciatrmicainternainsignificante,cuntotiempotardarla superficieinteriordelaceroenalcanzarunatemperaturadeTsi=1.200K?Culesla temperatura Tso de la superficie expuesta de la pelcula cermica en ese momento? Resolucin: Se dibuja el circuito trmico equivalente del sistema: hA1 ARtf Comoentrelaparedyelfluidoexisteunapelculaqueaportaunaresistenciatrmicade contacto, para poder calcular el nmero de Biot y estudiar si se puede aplicar el mtodo de laresistenciainternadespreciablehayquetrabajarconelcoeficienteglobalde transferencia de calor, U: K W/m 2001 , 0 25 / 1111 12=+= += = tf tR hURUAEl nmero de Biot correspondiente ser: 0033 , 06001 , 0 20= = =kULBic Al ser menor que 0,1 se puede aplicar el mtodo de la resistencia interna despreciable: |.|

\| =tT TT Tisiexpq TTsi Tso Transferencia de