FPZ - Matematika 2-primjeri.pdf

Fakultet prometnih znanosti Zagreb

Matematika 2Pismeni ispiti i rjesenja

Sadrzaj

2. veljace 2009. (A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. veljace 2009. (B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39. veljace 2009. (A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49. veljace 2009. (B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516. veljace 2009. (A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616. veljace 2009. (B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715. lipnja 2009. (A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815. lipnja 2009. (B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 929. lipnja 2009. (A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1029. lipnja 2009. (B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116. srpnja 2009. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1231. kolovoza 2009. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1318. sijecnja 2010. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141. veljace 2010. (A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151. veljace 2010. (B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615. veljace 2010. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1712. travnja 2010. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1828. lipnja 2010. (A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1928. lipnja 2010. (B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205. srpnja 2010. (A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215. srpnja 2010. (B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221. rujna 2010. (A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231. rujna 2010. (B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Ovi materijali su preuzeti sa stranice www.matematicko-podzemlje.com.Unatoc ulozenom naporu, moguce je da se ponegdje potkrala kakova greska. Ukoliko uocite koju,molim javite mi na e-mail matematicko.podzemlje(a)gmail.com da je ispravim. Hvala.Isto tako, ukoliko imate (novijih) pismenih koji nisu sadrzani u ovom dokumentu, molim posaljite miih da ih rijesim i ukljucim. Hvala.

Matematika 2 – Fakultet prometnih znanosti Zagreb

2009-02-02 (A)

1. Nacrtajte podrucje definicije funkcije f(x, y) = lnx2 + 2x− y

2y. Napisite formulu prvog diferen-

cijala funkcije u tocki (1, 1).

2. Ispitajte konvergenciju reda∞∑

n=1

(n2√n

(2x− 1)n

)−1

.

3. Izracunajte ∫∫

D(2x + 3y + 10) dxdy

gdje je D trokut ABC s vrhovima A(3, 3), B(0,−4), C(6,−4).

4. Pokazite da je diferencijalna jednadzba 6xy + 3x2y = 12yy′ egzaktna. Rijesite jednadzbu iodredite ono rjesenje koje zadovoljava pocetni uvjet y(1) = 1.

5. Odredite barem tri rjesenja sustava

3x + y = 62x + z = 9

Rjesenja

1.

2.

3.

4.

5.

2 Instrukcije iz matematike Zagreb - 099 59 59 531 Vladimir

www.matematicko-podzemlje.com


2009-02-02 (B)

1. Nacrtajte podrucje definicije funkcije f(x, y) = lnx2 − 2x + y

x. Napisite formulu prvog diferen-

cijala funkcije u tocki (1, 2).


n=1

(√n(n + 1)

(2x + 1)n

)−1

.


D(3x + 2y + 20) dxdy

gdje je D trokut ABC s vrhovima A(0, 4), B(−3,−3) i C(6, 4).

4. Pokazite da je diferencijalna jednadzba 6xyy′ = 12x−3y2 egzaktna. Rijesite jednadzbu i odrediteono rjesenje koje zadovoljava pocetni uvjet y(1) = 1.

5. Odredite barem tri rjesenja sustava

x − 16y = 5y + z = 9

Rjesenja

1.

2.

3.

4.

5.

Instrukcije iz matematike Zagreb - 099 59 59 531 Vladimir

www.matematicko-podzemlje.com3


2009-02-09 (A)

1. Nacrtajte domenu funkcije f(x, y) =√

12− xy

x + y − 8. Napisite jednadzbu tangencijalne ravnine na

graf z = f(x, y) u tocki domene (8, 12).


n=1

(2x + 3)n

3n√

n.


D(xy − x− y) dxdy

gdje je D rjesenje sustava nejednadzbi y ≤ 4, x + y ≤ 8 i x, y ≥ 0.

4. Rijesite diferencijalnu jednadzbu y′′ + y = cosx.

5. Rijesite sustav linearnih jednadzbi2x + y = 03x + z = 05x + y + z = 0

tako da odredite bar jedno rjesenje 6= 0.

Rjesenja

1.

2.

3.

4.

5.




2009-02-09 (B)


6− x− y

xy − 5. Napisite jednadzbu tangencijalne ravnine na

graf z = f(x, y) u tocki domene (2, 3).


n=1

(2x + 3)n

2nn2.


D(xy + x + y) dxdy

gdje je D rjesenje sustava nejednadzbi x ≥ 2, x + y ≤ 8 i x, y ≥ 0.

4. Rijesite diferencijalnu jednadzbu y′′ − y = ex.

5. Rijesite sustav linearnih jednadzbix + 2y = 0

3y + z = 0x + 5y + z = 0

tako da odredite bar jedno rjesenje 6= 0.

Rjesenja

1.

2.

3.

4.

5.




2009-02-16 (A)


y2 − x− 1. Odredite ∂2f∂x∂y u tocki domene (2, 2).


n=1

(3x + 22x− 3

)n

.


Dy2 dxdy

gdje je D pravokutnik duljine 4 i visine 6 kojemu je ishodiste sjeciste dijagonala.

4. Rijesite diferencijalnu jednadzbu (1 + x2)y′ − xy = 2x.

5. Rijesite sustav linearnih jednadzbi

2x + y + 3z = 73x + y + z = 85x + y + z = 14

Rjesenja

1.

2.

3.

4.

5.




2009-02-16 (B)

1. Nacrtajte domenu funkcije f(x, y) = ln(y2 + x + 1). Odredite ∂2f∂x∂y u ishodistu.


n=1

(2x + 33x− 2

)n

.


Dx2 dxdy

gdje je D kvadrat opsega 16 kojemu je ishodiste sjeciste dijagonala.

4. Rijesite diferencijalnu jednadzbu x2y′ − 2xy = 3.


x + 2y + 3z = 22x + 3y + z = 1x + 5y + z = −6

Rjesenja

1.

2.

3.

4.

5.




2009-06-15 (A)

1. Odredite lokalne ekstreme funkcije f(x, y) = xy − x + y uz uvjet y = x2.


Dx2 dxdy

gdje je D trokut s vrhovima u tockama T1(0, 0), T2(1, 1) i T3(1, 10).


n=1

n!nn

D’Alambertovim kriterijem.

4. Rijesite diferencijalnu jednadzbu y′′−5y′+6y = 6xex. Odredite vrijednosti konstanti za pocetneuvjete y(0) = 1, y′(0) = 0.

5. Rijesite sustav i napisite bar jedno netrivijalno rjesenje:

x + 2y + 3z = 02x + y + z = 0

3x + 3y + 4z = 0

Rjesenja

1. zmin = −57 u T (1

3 , 19)

2. I = 94

3. red konvergira

4. y(x) = −3e2x − 12e3x + (3x + 9

2)ex

5.

xyz

=

13

1−53

· λ ili (u drugom obliku)

x =13z

y = −53z

odabirom primjerice λ = 3 (tj. z = 3) se dobije x = 1, y = −5, z = 3




2009-06-15 (B)

1. Odredite lokalne ekstreme funkcije f(x, y) = 3x2y − 2xy − y.


Dy2 dxdy

gdje je D trokut s vrhovima u tockama T1(0, 0), T2(1, 1), T3(10, 1).


n=1

nn

n!D’Alambertovim kriterijem.

4. Rijesite diferencijalnu jednadzbu y′′ + 4y = 9 cos 3x. Odredite vrijednost konstanti za pocetneuvjete y(0) = 1, y′(0) = 0.

5. Rijesite sustav i napisite bar dva rjesenja:

4x + 3y − 5z = 153x + y − 6z = 3

Rjesenja

1. nema ekstrema

2. I =94

3. red divergira

4. y =145

cos 2x− 95

cos 3x

5.

xyz

=

15

−6330

+

15

13−95

· λ

ili (u drugom obliku)

x = −65

+135

z

y =335− 9

5z




2009-06-29 (A)

1. Nacrtajte domenu i napisite formulu prvog diferencijala funkcije f(x, y) = ln(9−x2− y) u tocki(1, 7).


n=1

(3− 2x)n

n√

n.


D(x2 + y2) dxdy

gdje je D = 4ABC s vrhovima A(0, 0), B(2, 2) i C(0, 2).

4. Rijesite diferencijalnu jednadzbu xy′ − y = x3 + x2 + x.

5. Rijesite sustav jednadzbi2x− y + 3z = 5x + 2y + z = 6

Rjesenja

1. domena je podrucje unutar parabole y = −x2 + 9;df = −2 dx− dy

2. konvergira za x ∈ [1, 2]

3. I =163

4. y = x

(x2

2+ x + ln x + C

)

5.

xyz

=

15

1670

+

15

−715

· λ


x =165− 7

5z

y =75

+15z




2009-06-29 (B)

1. Nacrtajte domenu i napisite formulu prvog diferencijala funkcije f(x, y) =√

9− x2 − y2 u tocki(1, 2).


n=1

(2x + 3)n

√n

.


D(x2 + y2) dxdy


4. Rijesite diferencijalnu jednadzbu x2y′ + y = 4.

5. Rijesite sustav jednadzbi2x + 3y − z = 5

x + y + z = 6

Rjesenja

1. domena je krug sa sredistem u ishodistu polumjera 3;df = −1

2 dx− dy

2. konvergira za x ∈ 〈−1,−2]

3. I =2563

4. y = 4 + C · e1/x

5.

xyz

=

13−70

+

−431

· λ

ili (u drugom obliku)x = 13− 4zy = −7 + 3z




2009-07-06

1. Nacrtajte domenu i napisite jednadzbu normale na graf funkcije f(x, y) = ln(6x − x2 − y2) utocki (1, 2).


n=1

(2x + 33− 2x

)n

.


Dxdxdy


4. Rijesite diferencijalnu jednadzbu (2x− ln y) dx +(6y − x

y

)dy = 0

5. Rijesite sustav jednadzbi2x + 3y − z = 5

x + y + z = 6x− y + 3z = 1

Rjesenja

1.x− 1

4=

y − 2−4

=z

−1

2. konvergira za x ∈ 〈−∞, 0〉

3. I =272

4. 3y2 − x ln y + x2 = C

5. x = −6, y =294

, z =194




2009-08-31

1. Napisite jednadzbu tangencijalne ravnine na plohu z =1

ln(x + y)u tocki T (1, 1).


Dxy2 dxdy

gdje je D trokut s vrhovima u tockama T1(0, 0), T2(1, 0) i T3(0, 3).

3. Ispitajte interval konvergencije reda

3x− 13

+(3x− 1)2

9+

(3x− 1)3

27+ . . .

i ponasanja na rubovima tog intervala.

4. Rijesite diferencijalnu jednadzbu y′′ − 4y = 9xe3x. Odredite vrijednost konstanti za pocetneuvjete y(0) = 1, y′(0) = 0.

5. Rijesite matricnu jednadzbu

1 1 30 2 10 0 1

·X =

1 0 02 2 04 1 3

Rjesenja

1. x + y + 2 ln2 2 · z − 2− ln 4 = 0

2. I =920

3. konvergira za x ∈ 〈−23 , 4

3〉; na rubovima divergira

4. y =41100

e−2x +114

e2x +925

(5x− 6)e3x

5. X =

−10 −7

2 −152

−1 12 −3

2

4 1 3




2010-01-18

1. Nacrtajte domenu i napisite formulu prvog diferencijala funkcije f(x, y) = ln(9−x2− y) u tocki(1, 2).


n=1

(2x + 3)n

n√

n.


D(x2 + xy) dxdy


4. Rijesite diferencijalnu jednadzbu x2y′ + y = 4.

5. Rijesite sustav jednadzbix + 3y − z = 52x− y + z = 6

Rjesenja

1. df = −13 dx− 1

6 dy

2. konvergira za x ∈ [−1,−2]

3. I = 96

4. y = 4 + C · e1/x

5.

xyz

=

17

2340

+

17

−237

· λ


x =237− 2

7z

y =47

+37z




2010-02-01 (A)

1. Odredite lokalne ekstreme funkcije f(x, y) = ln(2x2 + 2xy + y2 − 5x− 4y + 6).


n=0

(4− x)n

2n.

3. Rijesite diferencijalnu jednadzbu y′ − sin 2x = −y cosx.


D

√x2 + y2

2(x2 + y2)dxdy

ako je podrucje D kruzni vijenac zadan kruznicama x2 + y2 = 4 i x2 + y2 = 9.


X ·

2 0 11 1 00 −1 1

= [1 2 3]

Rjesenja

1. Tmin(12 , 3

2)

2. konvergira za x ∈ 〈2, 6〉; u rubovima divergira

3. y = 2 sinx− 2 + C · e− sin x

4. I = 5π

5. X = [−4 9 7]




2010-02-01 (B)

1. Odredite lokalne ekstreme funkcije f(x, y) = ln(x2 + 2xy + 3y2 − 4x− 5y + 6).


n=0

(4 + x)n

3n.

3. Rijesite diferencijalnu jednadzbu y′ = sin 2x + y sinx.


D

ln(x2 + y2)2(x2 + y2)

dxdy

ako je podrucje D kruzni vijenac zadan kruznicama x2 + y2 = e2 i x2 + y2 = e4.


2 0 11 1 00 −1 1

·X =

123

Rjesenja

1. Tmin(74 , 1

4)

2. red konvergira za x ∈ 〈−7,−1〉; u rubovima divergira

3. y = 2− 2 cos x + C · e− cos x

4. I = 12π

5. X = (−4, 6, 9)τ




2010-02-15

1. Odredite domenu i drugi diferencijal funkcije z = ln(y − x2 − 1) u tocki T = (−1, 3).

2. Odredite intervale konvergencije reda∞∑

n=1

3n

(3− x)ni ispitajte konvergenciju na rubovima inter-

vala.


D(x + y) dxdy

gdje je D podrucje u ravnini ograniceno pravcima y = x− 2, y = 2− x i y = 2.

4. Rijesite diferencijalnu jednadzbu (yex + e−y) dx + (ex − xe−y) dy = 0.

5. Odredite nepoznatu matricu iz jednadzbe

X ·

0 1 21 0 −12 3 1

= [2 0 − 1].

Rjesenja

1. d2z = −6 dx2 − 2 dxdy − dy2

2. konvergira za x ∈ 〈−∞, 0〉 ∪ 〈6, +∞〉; u rubovima divergira

3. I = 403

4. yex + xe−y = C

5. X = [1 83 − 1

3 ]




2010-04-12

1. Nacrtajte domenu funkcije z = ln(x2 − y − 4). Napisite jednadzbu ravnine tangencijalne plohegrafa funkcije u tocki domene T = (3, 4).


n=1

(x− 4)n

√nn2

.

3. Izracunajte∫∫

Dxy dxdy, gdje je podrucje D omedeno grafom funkcije y = x2 i pravcem y = 9.

4. Rijesite diferencijalnu jednadzbu x2y dy =dx

x cos y.(?)


2x + y − 4z = 123x− 4y + 6z = −5

x + 3y − z = 10

Rjesenja

1.

2.

3.

4.

5.




2010-06-28 (A)

1. Gaussovom metodom eliminacije rijesite sustav jednadzbi

x1 + x2 − 2x3 + x4 = 1x1 + 3x3 − 3x4 = −1

2x1 + x2 + 2x4 = −3

2. Odredite podrucje konvergencije reda i ispitajte ponasanje na rubovima intervala∞∑

n=1

(2x− 3)n

4n · n2.

3. Odredite i skicirajte domenu, te napisite drugi diferencijal funkcije

f(x, y) = ln(4− x2 − y2) +√

x + y

u tocki T (0, 1).

4. Rijesite diferencijalnu jednadzbu y′ − y tg x = 1cos xx.


D2xy dxdy, gdje je D podrucje omedeno s y = −x2 + 4, y = 3x i x = 2.

Rjesenja

1.

2.

3.

4.

5.




2010-06-28 (B)


x1 − 2x2 + 2x4 = 12x1 − x2 + 2x3 + x4 = 2x1 + x2 + x3 − 2x4 = 2


n=1

xn

n · 10n.


f(x, y) = ln(x2 − y − 3) +√

x

u tocki T (1, 0).

4. Rijesite diferencijalnu jednadzbu y′ − y tg x = cosx.


D

y

x2dxdy, gdje je D podrucje omedeno s (x− 2)2 + y2 = 1, a za y ≥ 0.

Rjesenja

1.

2.

3.

4.

5.




2010-07-05 (A)


2x1 + 3x2 + 2x3 = 14x1 + x2 − 4x3 = 3x1 − x2 − 3x3 = 1


n=1

3n

(3− x)n.


f(x, y) = y√

y − 1 + ln(x2 − y + 4)

u tocki T (2, 2).

4. Rijesite diferencijalnu jednadzbu y′′ − y = 1− 2 cos 3x.


Dx(2 + y) dxdy, gdje je D podrucje omedeno s y2 − x = 0 i y + x− 2 = 0.

Rjesenja

1.

2.

3.

4.

5.




2010-07-05 (B)


2x1 + 3x2 − 4x3 = 43x1 + x2 + x3 = 5

5x1 + 4x2 − 3x3 = 9


n=1

4n

(2− 2x)n.


f(x, y) = ex2−3x +√

y2 − x

u tocki T (0, 1).

4. Rijesite diferencijalnu jednadzbu y′′ + 6y′ + 9y = 2x.


D

y

x2dxdy, gdje je D podrucje omedeno s xy = 12 i x + y = 8.

Rjesenja

1.

2.

3.

4.

5.




2010-09-01 (A)


2x1 + x2 + 2x4 = −3x1 + 3x3 − 3x4 = −1x1 + x2 − 2x3 + x4 = 1


n=1

(2x− 5)n

4n · n2.


f(x, y) = ln(3 + x− y) +√

y − x2

u tocki T (0, 1).

4. Rijesite diferencijalnu jednadzbu y′′ + 4y′ = 9 cos 3x


D2xy dxdy, gdje je D podrucje omedeno s y = −x2 + 4, y = 3x i x = 2.

Rjesenja

1.

2.

3.

4.

5.




2010-09-01 (B)


x1 − 2x2 + 2x4 = 12x1 − x2 + 2x3 + x4 = 2x1 + x2 + x3 − 2x4 = 2


n=1

(3x− 4)n

n · 10n.


f(x, y) = ln(x2 − y − 3) +√

x

u tocki T (1, 0).

4. Rijesite diferencijalnu jednadzbu y′′ + y′ − 2y = 3e−2x


D(2x + y) dxdy, gdje je D podrucje omedeno s y = x2 − 2, y = 1− 2x.

Rjesenja

1.

2.

3.

4.

5.



Documents

FPZ - Matematika 2-primjeri.pdf