Från att värdera ett enstaka fastighetsobjekt till att göra en fastighetsprisprognos avseende 2009

Från att värdera ett enstaka fastighetsobjekt till att göra en

fastighetsprisprognos avseende 2009

2008-01-24

Mats WilhelmssonKTH

2

Vad skall vi göra idag?• Repetera regressionsanalys

– Skattningar– Precision– Förklaringsgrad– Hypotesprövningar

• Dummy variabler• Funktionsformer• Residualanalys• Fastighetsprisindex• Tidsserieanalys• Utvärdering av prognosmodell• Projektarbete 1 och 2

3

Resurser under kursens gång• OH-bilder• Ingemar• [email protected]• Kort beskrivning av regressionsanalys• Artikel – ”Mass appraisal”• E-böcker

– A guide to modern econometrics Författare: Verbeek, Marno

– Handbook of applied econometrics and statistical inference Författare/editor: Ullah, Aman.; Wan, Alan T. K.; Chaturvedi, Anoop

mailto:[email protected]

Repetition

5

Regressionsanalys

• Vi vill ha svar på frågan hur mycket kommer y att förändras om x ändras med enhet.

1. Sambandets funktionsform2. Tillåta att andra saker än x kan påverka y3. Fånga upp ceteris paribus samband mellan

y och x.

6

Regressionsanalys

1. Linjärt samband mellan y och x2. ”Error term” inkluderas för att fånga upp

att andra saker än x påverkar y3. ”Zero conditional mean” antagandet

möjliggör för oss att skatta ceteris paribus effekter.

7

Härledning av parametrar

• Utgår från ”Zero Conditional Mean” antagandet

xya 10ˆ)ˆ(ˆ

)var(),()(ˆ

1

2

111 x

yxCov

xx

yyxxb n

ii

n

iii

8

Sample Regression Line

.

..

.

y4

y1

y2

y3

x1 x2 x3 x4

}

}

{

{

û1

û2

û3

û4

x

y

xy 10ˆˆˆ

9

Väntevärdesriktigt om…

1. populationsmodellen är linjär i parametrarna: y = 0 + 1x + u

2. ett slumpmässigt urval av storleken n3. E(u|x) = 0 och således E(ui|xi) = 04. det finns en variation i xi

10

Tolkning

• Ekonomisk tolkning

0: det förväntade värdet av y om x är lika med noll

1: om x ökar med en enhet så ökar y med b enheter (mätt i samma enhet

som y)

11

Exempel: Hedonisk Prisekvation

• Priset på en fastighet är en funktion av de underliggande värdepåverkande attributen.

• Sambandet mellan pris och attribut skattas mha regressionsanalys.

• Estimerade parametrar är attributens implicita priser (hedoniska priser).

12

Den Hedoniska Prisekvationen

• Fastighetsknutna egenskaper (F)• Områdesknutna egenskaper (O)• Tidsberoende egenskaper (T)

TOFisPr 321

13

Värdepåverkande attribut

14

Fler tänkbara attribut….•Antal rum

•Renoveringsbehov•Inre/yttre

•Byte av vitvaror/tvätt/el

•Dränering av grund

•Kabel-tv,bredband,Centraldammsugare

•Garage, bastu, bad, bubbelbad, pool, sjöutsikt

•Kakelugn/öppen spis

•3-glasfönster, snålspolande toaletter/blandare

•Vatten/fuktskadat

•Fasad/tak

•Ventilationssystem

•Värmesystem

•Produktion/Distribution

•Närhet till•Allm. Kommunikationer

•Service

•Störning av•Väg, tåg, flyg, kraftledningar

15

ExempelSUMMARY OUTPUT

Regression StatisticsMultiple R 0,780R Square 0,608Adjusted R Square 0,606Standard Error 1207Observations 917

ANOVAdf SS MS F Significance F

Regression 5 2061608953 412321790,7 283,0464945 1,2393E-182Residual 911 1327079326 1456728,13Total 916 3388688280

Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95%Intercept 2510,48 692,13 3,63 0,00 1152,11 3868,84Boarea 20,40 0,92 22,06 0,00 18,58 22,21Standp 24,68 8,83 2,80 0,01 7,36 42,00Areal 1,29 0,09 13,83 0,00 1,10 1,47Strand -740,81 74,39 -9,96 0,00 -886,80 -594,81Nyar -0,09 0,25 -0,35 0,73 -0,58 0,40

16

Precision

• Säkerheten hos modellen kan bl.a. mätas med hur stor spridningen i modellen är. Ju mindre spridning desto bättre modell. Spridningen mäts med variansen och standardavvikelsen.

• Antar homoskedasticitet• Variansen hos a och b beror på modellens

varians, antalet observationer samt medelvärdet och spridningen i den oberoende variabeln.

17

Precision

• Standardfel hos skattningen av y

• Standardfelet hos skattningarna b0 och b1

))(

1(ˆ

)ˆvar(ˆ

))(

1(ˆ)ˆvar(ˆ

22

02

21

2

0

1

xVarx

n

xnVar

b

b

2

1

2

1

22

ˆˆ

)ˆ(2

1ˆ2

1ˆ

n

iii

n

ii yy

nu

n

18

Modellen förklaringsgrad

• Determinationskoefficienten, ”goodness of fit”, R-square, R2

• SST: Total variation i den beroende variabeln• SSE: Variation som kan förklaras av modellen• SSR: Oförklarad variation• TSS=SSE+SSR• R2=SSE/SST=1-SSR/SST

19

Modellen förklaringsgrad

• Determinationkoefficient (R2)

n

ii

n

ii

yy

yyR

1

2

1

2

2

)(

)ˆ(

20

Justerat R-Squared• R2 ökar alltid ju fler variabler vi har med I

modellen• Justerat R2 tar hänsyn till detta genom att ställa

antalet oberoende variabler i relation till antalet observationer

1ˆ

1

111

2

2

nSST

nSSTknSSRR

21






22

Hypotestest• Kan vi dra några slutsatser angående

populationen med hjälp av urvalet?• Till vår hjälp använder vi både lägesmått

(medelvärdet) och spridning (standardavvikelsen).

• Genom att skatta en teststorhet och jämför det mot ett kritiskt värde kan vi förkasta eller acceptera en hypotes.

• Om förkastas, den oberoende variabeln har en inverkan.

23

HypotestestModell: y = a + b1*x1 + b2*x2

Hypotes: H0: 1= 0H1: 1 0

Vi antar att parametrarna har en normalfördelning med det förväntade värdet och variansen 2

b, dvsb1 N(1,2

b1)Normalisera

)1,0(1

11 Nb

b

24

HypotestestOm, b1 är okänd använder vi oss av skattningen av b1 istället, vilket innebär att kvoten är t-fördelad istället för normalfördelad, dvs

t = qbb

om

ˆ

ˆhypotesen medenlighet i 0

ˆ

ˆ1

111

1

tn-k-1 ()

t är teststorhetentn-k-1 () är det kritiska värdet

Förkasta H0 om t > tn-k ()

25

Hypotestest

Probability

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

-4

-3,8

-3,5

-3,3 -3

-2,8

-2,5

-2,3 -2

-1,8

-1,5

-1,3 -1

-0,8

-0,5

-0,3 -0 0,2

0,5

0,7 1

1,2

1,5

1,7 2

2,2

2,5

2,7 3

3,2

3,5

3,7 4

High probability: accept H0

Low probablity: reject H0

26

Hypotestest• Om teststorheten är större än det kritiska värdet

förkasta nollhypotesen.• Kritiskt värde (dubbelsidigt test):

t/2 (n-k-1)– där är signifikansnivån och (n-k-1) antalet

frihetsgrader. Vanligtvis använder man sig av signifikansnivån 5% och 1%.

• Jmf. H0: Ej begått mord– 5% chans att vi förkastar nollhypotesen att den

åtalade ej begått mord, dvs vi dömer en oskyldig för mord.

27






28

Funktionsform

• Inte troligt att vi har ett linjärt samband mellan y och x i den meningen att y ökar med lika mycket oberoende hur mycket av x vi har initialt.

• I tillämpade studier finner vi oftast att variablerna är transformerade, tex att alla kontinuerliga variabler är logaritmerade. Varför? – Vi vill att effekten skall uttryckas som en procentuell

effekt.

29

Sammanfattning av olika funktionsformer

• ln(y) = 0 + 1ln(x) + u y ökar med 1 procent om x ökar med 1 procent

• ln(y) = 0 + 1x + u y ökar med (1001) procent om x ökar med 1

enhet

• y = 0 + 1ln(x) + u y ökar med (1/100) enheter om x ökar med 1

procent.

30

Exempel – ln(pris)SUMMARY OUTPUT

Regression StatisticsMultiple R 0,686R Square 0,470Adjusted R Square 0,467Standard Error 0,311Observations 917


Regression 5 78,37432173 15,67486435 161,7362334 4,8986E-123Residual 911 88,29067626 0,09691622Total 916 166,664998

Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95%Intercept 7,636 0,179 42,772 0,000 7,285 7,986Boarea 0,004 0,000 16,553 0,000 0,003 0,004Standp 0,008 0,002 3,679 0,000 0,004 0,013Areal 0,000 0,000 10,727 0,000 0,000 0,000Strand -0,106 0,019 -5,522 0,000 -0,144 -0,068Nyar 0,000 0,000 -0,386 0,699 0,000 0,000

31

Dummyvariabel• En binär variabel som indikerar om en viss

enskild observation (objekt) har en viss egenskap eller ej.

• Om koefficientskattningen är signifikant skild från noll så innebär det att regressionsmodellen skiftar

• Går att kombinera dummyvariabeln med kontinuerliga variabler.

32

Dummy variabel som oberoende variabel

• Antag en enkel modell där vi har en kontinuerlig variabel (x) och en dummy variabel (d)

• y = 0 + 0d + 1x + u• Kan tolkas som ett skift i konstanten• Om d = 0, y = 0 + 1x + u• Om d = 1, y = (0 + 0) + 1x + u

33

Exempel om 0 > 0

x

y

{0

}0

y = (0 + 0) + 1x

y = 0 + 1x

lutning = 1

d = 0

d = 1

34

Interaktion med dummyvariabler

• Man kan också kombinera en dummy variabel, d, med en kontinuerlig variabel, x

• y = 0 + 1d + 1x + 2d*x + u• Om d = 0, y = 0 + 1x + u• Om d = 1, y = (0 + 1) + (1+ 2) x + u

– Tolkas som om lutningen ändras

35

y

x

y = 0 + 1x

y = (0 + 0) + (1 + 1) x

Exempel om 0 > 0 and 1 < 0

d = 1

d = 0

36





Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95%Intercept -1312,233 571,665 -2,295 0,022 -2434,166 -190,300Boarea 20,459 0,944 21,667 0,000 18,605 22,312Standp 26,414 9,013 2,931 0,003 8,727 44,102Areal 1,357 0,094 14,373 0,000 1,172 1,542stranddummy 2381,836 313,911 7,588 0,000 1765,763 2997,909Nyar -0,073 0,255 -0,288 0,774 -0,573 0,427

Residualanalys

38

Varför bekymra sig för Heteroskedasticitet?

• OLS ger fortfarande väntevärdesriktiga och konsistenta skattningar även om vi inte antar homoskedasticitet

• MEN, standardavvikelsen avseende våra estimat är icke väntevärdesriktiga om vi har heteroskedasticitet

• Om standardavvikelsen är icke väntevärdesriktig klan vi EJ genomföra våra hypotesprövningar.

39

Breusch-Pagan Test • Ett test som avser att undersöka om heteroskedasticitet

förekommer eller ej.• Feltermen är okänd men vi har residualerna från OLS

regressionen.• Om vi kör regressionen residualerna i kvadrat mot alla

oberoende variabler så kan vi nyttja R2 och göra ett F test• F-värdet anger om regressionsmodellen som helhet är

statistiskt signifikant eller ej.• Ett ”högt” F-värde innebär att de oberoende variablerna

kan förklara variationen i residualerna, vilket vi inte vill.• F = [R2/k]/[(1 – R2)/(n – k – 1)],

med fördelningen Fk, n – k – 1

40

ExempelAreal Residual Plot

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

0 1000 2000 3000 4000

Areal

Res

idua

ls

41

Exempel - test

SUMMARY OUTPUT



Regression 5 9,48192E+13 1,89638E+13 11179,5677 0Residual 911 1,54532E+12 1696293685Total 916 9,63645E+13

Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95%Intercept -91310 19102 -4,78 0 -128799 -53822Boarea 108 32 3,43 0 46 170Standp 1712 301 5,68 0 1121 2303Areal -51 3 -16,03 0 -57 -44stranddummy 1924 10489 0,18 1 -18662 22509Nyar 2003 9 235,27 0 1986 2019

Boarea Residual Plot

-200000

0

200000

0 100 200 300 400 500

Boarea

Res

idua

ls

Konstruktion av Prisindex

43

Priser över tiden

• I Exempel 1 hade vi information avseende transaktioner över en 1-års period.

• Tog inte hänsyn till inflationen. Implicit antog vi att priserna har inte förändrats nominellt under år 2006. – Rimligt antagande?

• Skulle ha kunnat:– Deflaterat de nominella priserna med tex

fastighetsprisindex (FPI) eller konsumentprisindex (KPI).– Inkluderat en kontinuerlig variabel för att ta hänsyn till tid.– Inkluderat års/kvartals/månads ”dummies”.

44

Fastighetsprisindex (FPI)

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001 2003

Småhus förpermanentboendeFritidshus

Hyreshus

45

FPI och KPIFPI

(Småhus)FPI

(Fritidshus)FPI

(Hyreshus)KPI FPI (fasta

priser)

1981 100 100 100 100 1001982 101 104 115 109 931983 101 107 115 118 861984 105 112 126 127 831985 109 117 144 137 801986 115 123 169 143 801987 130 139 183 149 871988 154 166 223 158 971989 181 191 249 168 1081990 203 216 340 185 1101991 217 253 319 203 1071992 197 225 286 207 951993 175 205 247 217 811994 183 215 254 222 821995 184 215 250 227 811996 185 219 254 229 811997 198 228 268 230 861998 217 248 295 230 941999 237 268 317 231 1032000 263 306 339 233 1132001 284 335 342 238 1192002 302 358 381 243 1242003 322 383 363 248 1302004 353 423 370 249 142

I löpande priser har priset för småhus ökat med 253% mellan 1981 och 2004. I fasta priser är dock ökningen endast 42%, dvs en stor del av ökningen är ett resultat av inflation. Men fastighetspriserna har ökat snabbare än den genomsnittliga prisnivån

101/118*100=86

46

FPI (löpande och fasta priser)

0

50

100

150

200

250

300

350

400

1981

1982

1983

1984

1985

1986

1987

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

FPI (småhus - nominella priser)

FPI ( småhus - fasta priser)

47

Några enkla metoder att skapa fastighetsprisindex

1. Medelvärde (pris eller kvadratmeterpris)2. Median3. K/T-värde (Köpeskillingskoefficient)

48

Varför är inte medelvärde och K/T-värde lämpligt vid skapande av

fastighetsprisindex?

• Tar inte hänsyn till att olika typer av fastigheter säljs vid olika tidpunkter, dvs att urvalet förändras över tiden.

• Dvs varan bostad/småhus är inte en homogen vara över tiden.

• Taxeringsvärdena har inte uppdaterats årligen. K/T-värden från två olika taxeringsperioder kan därför inte direkt jämföras.

49

Bättre metoder att beräkna fastighetsprisindex

Metoder som tar hänsyn till att olika typer av fastigheter omsätts under konjunkturcykeln.

• Hedoniskt prisindex

50

Hur beräknar man ett hedoniskt prisindex?

• Använder sig av både tvärsnitt och tidsseriedata.• Specificerar en ”hedonisk” prisekvation där vi

antar att en fastighets värde är en funktion av dess egenskaper.

• Skattar implicita priser avseende egenskaperna.• Inkluderar dummy variabler för tid i modellen. En

dummy variabel för varje tidsenhet som man är intresserad av (tex år, kvartal eller månad). Exkluderar en tidsenhet för jämförelse.

• Koefficienterna avseende dummy variablerna är lika med prisindexet.

51

Jämförelsemånad: decemberJanuari var priserna 28000 kr högre än december. Obs inga signifikanta skattningar.

UTDATASAMMANFATTNING

RegressionsstatistikMultipel-R 0,683833852R-kvadrat 0,467628738Justerad R-kvadrat 0,459964478Standardfel 1413,446052Observationer 917

ANOVAfg KvS MKv F p-värde för F

Regression 13 1584648022 121896001,7 61,01420912 5,4313E-114Residual 903 1804040258 1997829,743Totalt 916 3388688280

Koefficienter Standardfel t-kvot p-värde Nedre 95% Övre 95%Konstant -417,22 331,42 -1,26 0,21 -1067,67 233,22Boarea 25,66 1,02 25,28 0,00 23,67 27,65Standp 20,84 10,34 2,01 0,04 0,54 41,13m1 28,45 229,53 0,12 0,90 -422,03 478,93m2 -206,56 245,91 -0,84 0,40 -689,18 276,05m3 139,74 234,87 0,59 0,55 -321,23 600,70m4 -58,77 242,59 -0,24 0,81 -534,87 417,33m5 114,48 240,64 0,48 0,63 -357,81 586,77m6 104,00 205,39 0,51 0,61 -299,10 507,11m7 274,36 227,47 1,21 0,23 -172,07 720,79m8 -138,64 202,08 -0,69 0,49 -535,25 257,97m9 180,50 214,55 0,84 0,40 -240,58 601,58m10 328,33 233,44 1,41 0,16 -129,82 786,48m11 231,47 206,90 1,12 0,26 -174,58 637,52

52

Jämförelsemånad: decemberjanuari var priserna 2,8% högre än december. Obs! inga signifikanta estimat.

UTDATASAMMANFATTNING

RegressionsstatistikMultipel-R 0,616915785R-kvadrat 0,380585086Justerad R-kvadrat 0,371667706Standardfel 0,338118672Observationer 917

ANOVAfg KvS MKv F p-värde för F

Regression 13 63,43021262 4,879247125 42,67902663 8,6969E-85Residual 903 103,2347854 0,114324236Totalt 916 166,664998

Koefficienter Standardfel t-kvot p-värde Nedre 95% Övre 95%Konstant 7,2222 0,0793 91,0951 0,0000 7,0666 7,3778Boarea 0,0050 0,0002 20,4351 0,0000 0,0045 0,0054Standp 0,0069 0,0025 2,8081 0,0051 0,0021 0,0118m1 0,0284 0,0549 0,5169 0,6054 -0,0794 0,1361m2 0,0425 0,0588 0,7228 0,4700 -0,0729 0,1580m3 0,0812 0,0562 1,4444 0,1490 -0,0291 0,1914m4 0,0701 0,0580 1,2083 0,2272 -0,0438 0,1840m5 0,0898 0,0576 1,5602 0,1191 -0,0232 0,2028m6 0,0650 0,0491 1,3226 0,1863 -0,0314 0,1614m7 0,1239 0,0544 2,2767 0,0230 0,0171 0,2307m8 0,0487 0,0483 1,0078 0,3138 -0,0462 0,1436m9 0,1114 0,0513 2,1707 0,0302 0,0107 0,2121m10 0,1132 0,0558 2,0274 0,0429 0,0036 0,2228m11 0,0140 0,0495 0,2822 0,7778 -0,0832 0,1111

53

PROJEKTARBETE 1

• Provtaxering• Data avseende 3 år• Områden i Lund• Skall taxera ett antal fastigheter och jämför

er taxering med skatteverkets och den ”sanna” taxeringen (dvs 75% av marknadsvärdet).

• Grupper om två• Muntlig redovisning vecka 9

54

Vad förklarar fastighetspriset över tiden?

• Jämviktsvillkor• Hyresvärdet (HV) motsvarar de samlade kostnaderna för

bostadskapitalet

• P*=huspriser i real termer• (1-r)r=räntan på lånat och eget kapital efter skatt pe=prisappreciering =inflation• Underhåll och drift

uprPHV er )1(*

55

Kan skrivas som

),,,(*

/*HDIfP

HVP

Där I=inkomster och D=demografiska faktorer speglar efterfrågesidan och H=bostadsstocken speglar utbudssidan.

Empiriskt kan vi lösa det genom att skatta följande funktion:

t t4t3t2t1t BefolkningByggandeInkomstRäntanPris

Tidsserieanalys

57

Tidsseriedata vs. Tvärsnittsdata

• Tidsseriedata har en tidsordning till skillnad mot tvärsnittsdata. Det är av stor vikt att inte ändra ordningen.

• Vi måste ha en modell som tillåter att historien kan påverka framtiden, men inte tvärtom.

• Eftersom vi har data som är ordnande i tiden måste vi lägga till antaganden om hur feltermen (residualen) får bete sig över tiden.

58

Tvärsnittsdata Tidsseriedata

Heteroskedasticitet AutokorrelationIcke-stationär

Breusch-Pagan Test AR(1)-Test

PROBLEM

DATA

TEST

59

Exempel på tidsseriedata modeller

• En statisk modell där variablerna påverkar y direkt: yt = 0 + 1zt + ut

• En laggad (dynamisk) modell tillåter att en eller flera variabler påverka y med en lag: yt = 0 + 0zt + 1zt-1 + 2zt-2 + ut

60

Statisk ModellFPIt = 0 + 1BNPIt + ut

SUMMARY OUTPUT



Regression 1 374 052,9 374 052,9 559,7 2,42642E-24Residual 38 25 394,2 668,3 Total 39 399447,1

Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95%Intercept 23,625 7,037 3,357 0,002 9,379 37,871gdpi 0,692 0,029 23,659 0,000 0,632 0,751

OBS! INDEX

Tolkning: Procentenhet

61

Tolkning

• FPI och BNP är index med 1967=100• Ekonomisk tolkning – om BNP gick upp

med en procentenhet föregående år så kommer FPI att gå upp med 0.69 procentenheter.

• Statistisk tolkning – modellens förklaringsgrad, genomsnittligt fel, statistisk signifikans av enskilda parametrar.

62

Statisk ModellLn(FPIt) = 0 + 1l(BNPIt) + ut

SUMMARY OUTPUT




Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95%Intercept 1,664 0,136 12,266 0,000 1,389 1,938lngdp 0,653 0,027 24,091 0,000 0,598 0,708

Tolkning: Procent

63

Dynamisk modellLn(FPIt )= 0 + 1Ln(BNPt-1) + ut

SUMMARY OUTPUT




CoefficientsStandard Error t Stat P-value Lower 95%Upper 95%Intercept 1,71 0,13 13,15 0,00 1,44 1,97X Variable 1 0,65 0,03 25,02 0,00 0,60 0,71

Tolkning: Procent

64

Antaganden

1. Linjär i parametrarna2. Det förväntade värdet av feltermen betingat

på den oberoende variabeln skall vara lika med noll. X strikt exogena

3. Ej perfekt linjärt samband mellan oberoende variabler

4. Homoskedasticitet5. Ingen autokorrelation6. Normalfördelning

NYTT!

65

OLS skattningarnas varians

• Homoskedasticitet– Var(ut|X) = Var(ut) = 2

• Variansen är oberoende av alla x samt konstant över tiden

• Ingen autokorrelation: – Corr(ut,us| X)=0 for t s

66

Autokorrelation• Om antagandet inte är uppfyllt: om ut-1>0 kommer

feltermen i nästa period också att vara positiv i genomsnitt.

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 5 10 15 20 25 30

Residual

Tid

67

Varför problem?

• Effektivitet – det finns andra metoder än OLS som ger mer effektiva skattningar, dvs med lägre varians. Dock är OLS parameterskattningar väntevärdesriktiga.

• Hypotesprövning – variansen är inte väntevärdesriktig vilket innebär att hypotesprövning och konfidensintervall inte längre är tillförlitliga.

68

Hur testa för autokorrelation?• AR(1)-test• AR(1) = Autoregressive modell där den beroende

variabeln är en funktion av den beroende variabeln laggad 1 år.yt = yt-1 + et , t = 1, 2,…

• Test av AR(1) autokorrelation• Vi vill testa nollhypotesen = 0 i

ut = ut-1 + et, t =2,…, n• Om ej förkasta H0 (lågt t-värde) ingen

autokorrelation

69

Exempel – Dynamisk modell

SUMMARY OUTPUT




Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95%Intercept 0,004 0,011 0,381 0,706 -0,018 0,026X Variable 1 0,962 0,078 12,394 0,000 0,805 1,120

Autoregressive modell

Residualen idag är en funktion av residualen igår. Om signifikant parameter-autokorrelation.

70

Exempel – Dynamisk modell

Under viss perioder är fastighetspriserna betydligt lägre än vad BNP predicerar och ibland högre. Verkar dock finnas ett mönster, vilket inte är bra.

-.2-.1

0.1

.2.3

Res

idua

ls

1970 1980 1990 2000 2010Year

71

Orsaker?

• Tröghet – tidsseriedata, av psykologiska skäl har historiska händelser en stor effekt på dagens händelser så att ett positivt fel i föregående period påverkar aktiviteten idag.

• Långsiktigheten – tidsseriedata, en slumpmässig chock på en marknad kan ha långsiktiga effekter, tex krig.

• Specifikationsfel – val av ingående variabler, funktionsform.

72

Fel funktionsform

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 30 35

u>0 u<o u>0

73

Vad göra?

• Fler förklarande variabler (t.ex. i vårt fall en dummyvariabel som indikerar bankkrisen mellan 1991-96).

• Andra funktionsformer– Log-log– Nivå-log– Log-nivå

• Första-differensen – förändringsdata istället för nivådata

74

Trendade tidsserier• Ekonomiska tidsserier har ofta en trend.• Bara för att två serier är trendade tillsammans

kan vi inte anta att det finns ett kausalt samband.• Oftast är serierna trendade för att det finns någon

icke-observerbar faktor som är gemensam, men som inte är inkluderad i modellen.

• Även om dessa faktorer är icke-observerade kan vi kontrollera för dem genom att direkt inkludera en trend i våran modell.

75

Inkludera trend i modellen

• En möjlighet är en linjär trend yt = 0 + 1t + et, t = 1, 2, …

• En annan är en exponentiell trendlog(yt) = 0 + 1t + et, t = 1, 2, …

• Eller en kvadratisk trend yt = 0 + 1t + 2t2 + et, t = 1, 2, …

76

Exempel – FPI 0

100

200

300

400

FPI

1970 1980 1990 2000 2010Year

77

Exempel – FPI – kvadratisk trend

SUMMARY OUTPUT




Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95%Intercept 911701,650 116975,548 7,794 0,000 674686,679 1148716,622year -925,868 117,773 -7,861 0,000 -1164,500 -687,237year2 0,235 0,030 7,930 0,000 0,175 0,295

78

Exempel – FPI – exponentiell trend

SUMMARY OUTPUT




CoefficientsStandard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95%Intercept -102,755 3,123 -32,901 0,000 -109,078 -96,433year 0,054 0,002 34,462 0,000 0,051 0,057

79

Varför problem?• Uppfyller inte antagande nr. 2

– Det förväntade värdet av feltermen betingat av våra oberoende variabler är inte lika med noll. X är inte exogent given.

• DVS våra parameterskattningar avseende intercept (konstant) och lutningskoefficient är inte väntevärdesriktig.

• Kan ej göra vare sig ekonomisk eller statistisk tolkning av skattningarna.

• DVS vi kan inte tolka i termer av ceteris paribus (allt annat lika).

80

Exempel BNP och FPI

SUMMARY OUTPUT




Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95%Intercept 9091,9133 1687,1513 5,3889 0,0000 5670,2120 12513,6147lngdp 1,4945 0,2773 5,3891 0,0000 0,9321 2,0569year -9,0908 1,6786 -5,4157 0,0000 -12,4951 -5,6865year2 0,0023 0,0004 5,4460 0,0000 0,0014 0,0031

81

Autokorrelation? – JA!

SUMMARY OUTPUT

Regression StatisticsMultiple R 0,797025R Square 0,635248Adjusted R Square0,62539Standard Error0,051257Observations 39



CoefficientsStandard Error t Stat P-value Lower 95%Upper 95%Intercept 0,003251 0,008209 0,396034 0,694355 -0,013382 0,019884X Variable 1 0,79235 0,098706 8,027384 1,27E-09 0,592353 0,992347

82

Stationära serier

• En trendad serie kallas för icke-stationär eftersom medelvärdet förändras med tiden.

• En enkel regression med yt som beroende variabel och xt som oberoende variabel och båda är icke-stationära innebär att t-värdena kommer ofta att vara signifikanta även om det inte finns ett samband. Vanligtvis också ett högt R2.

• Kallas för “spurious regression problem”

83

Transformera serien• Om det inte räcker med att inkludera en trend i

specifikationen av modellen utan vi fortfarande har en icke-stationär serie måste vi transformera serien.

• Oftast räcker det med att använda sig av första-differensen för att få en stationär serie.

Prognos och Utvärdering av Prognos

85

Prognosmodell• Tidsseriedatamodeller används vanligt som

prognosmodell vid sidan om förklaringsmodeller.• Viktigt att vi därför utvärderar dess prognos-

egenskaper.• Problem med att endast analysera koefficienter,

t-värden och modellens förklaringsgrad då dessa bygger på ”in-sample” prognoser (skattningar).

• En mer realistisk situation är att utvärdera modellen utifrån dess ”out-of-sample” prognoser.

86

Prognosmodell med utvärdering• Anta att vi har data från 1968-2006.• Antag att vi vill förklara prisutvecklingen på

småhus med hjälp av BNP-utvecklingen (laggad 1 år).

• Genom att använda hela datamängden kan vi göra prognos avseende 2007.

• I och för sig får vi en skattad pris för hela perioden men det är en ”in-sample” prognos.

• Genom att beräkna ett antal prognosmodeller med olika datamängd så kan vi göra ”out-of-sample” prognoser.

87

Utvärderingsmodell

• Istället för en prognosmodell estimerar jag 5 prognosmodeller som kommer att ge mig en prognos avseende 2002-2006 som kan användas för utvärdering och 2007 som är en prognos.

• 2002-2006 kan användas för utvärdering då vi både har en prognos och ett utfall.

1968 2002 2007

}Utvärdering

88

Jämförelse• För att kunna jämföra min prognosmodell med

något så tar jag fram ett antal jämförelseprognoser.

• Det kan tex vara andra prognosmodeller med andra variabler, med annan laggning eller funktionsform.

• Det kan också utgöras av betydligt enklare prognoser som tex– Samma utveckling nästa år som i år– Glidande medelvärde– Autoregressive modell tex AR(1)

89

Prist = + BNPt-1 + et

SUMMARY OUTPUT



Regression 1 1604,076933 1604,077 11,33219 0,001823307Residual 36 5095,817804 141,5505Total 37 6699,894737

Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95%Intercept -1,419 3,889 -0,365 0,717 -9,307 6,468X Variable 1 1,023 0,304 3,366 0,002 0,407 1,639

90

Prognos 2007

skattat pris2000 172001 192002 112003 132004 142005 172006 172007 26

Bra/dålig prognos?

91

Ettårsprognoser

• Prognosen för 2005 bygger på en modell med endast 1968-2004. Prognosen för 2006 bygger på en modell med endast 1968-2005 • Prognosen gör 2007 bygger på hela datamängden• Prognosfel har vi för 2 år (2005-2006).

prognos 2005Coefficients

Intercept -0,376X Variable 1 0,810098 Prognos 13,9





92

Mått på genomsnittligt prognosfel

211

0

21

1 ˆ

m

hhnemRMSE

Dpris Prognos Prognosfel i kvadrat2001 21,002002 18,002003 20,002004 31,002005 34,00 13,90 20 4042006 44,00 15,02 29 8402007 26,09

Summa 1243,85Delat med 2 621,93Kvadratroten 24,94

Det genomsnittliga prognosfelet uppgår till 25 procentenheter per år.

93

Jämfört med andra prognoser…

Vår mycket enkla modell är sämre än de båda naiva modellerna. Varför? • saknar viktiga variabler• priser i nominella termer, troligtvis trendade serier även om vi använder förändringsdata.

Dpris Prognos Prognosfel i kvadrat naiv prognos 1 naiv prognos 22001 21,002002 18,002003 20,002004 31,002005 34,00 13,90 -20 404 31,00 -3,00 9,00 25,5 -8,50 72,252006 44,00 15,02 -29 840 34,00 -10,00 100,00 32,5 -11,50 132,252007 26,09 44,00

Summa 1243,85 109,00 204,50Delat med 2 621,93 54,50 102,25Kvadratroten 24,94 7,38 10,11

94

Långa prognoser• Betydligt svårare• Om vi vill göra en längre prognos än ett år måste vi

lägga in antaganden om BNP-utvecklingen (eftersom modellen är laggad med bara ett år).

• Naturligtvis kan man själv göra en prognosmodell avseende BNP och andra makroekonomiska variabler eller

• Så kan man använda de prognoser som tex Konjunkturinstitutet tar fram.

• Tolkningen blir då betingat av KIs prognos.

95

Lång PrognosKIs prognos avseende BNP och KPI för åren 2005-2007

Pris realt

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

1977 1982 1987 1992 1997 2002 2007

12%6%

4%

9%

96

PROJEKTARBETE 2

• Skatta en prognosmodell• Utvärdering av prognosmodell• Data avseende Sverige• 1975-2006• Du skall göra en prognos avseende 2009

med den modell som du anser lämpligast.• Grupper om två.• Redovisning vecka 9.

Documents

Från att värdera ett enstaka fastighetsobjekt till att göra en fastighetsprisprognos avseende 2009