Franka Miriam Bruckler - PMFprelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/PovMat/povmat12-2017.pdf · Torricelli i Barrow (osnovni teorem in nitezimalnog ra cuna). Njihovi su rezultati matemati

Newton i Leibniz 18. stoljece 19. stoljece

Povijest matematike

Franka Miriam Bruckler

PMF-MO, Zagreb

Svibanj 2018.

Nastanak matematicke analize

Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike


Sto trenutno mislite o uobicajenoj recenici:”Newton i Leibniz

otkrili su deriviranje i integriranje”?

Sto je bilo novo? Preciznost?Ne bas. Nego:Oni su, nezavisno jedan od drugog iz mnostva pojedinacnih metodai rezultata dobili jedinstvenu, racunsku tehniku – infinitezimalniracun. Tu posebno treba istaknuti da oni prvi jasno iskazujumedusobnu inverznost deriviranja i integriranja koju su najaviliTorricelli i Barrow (osnovni teorem infinitezimalnog racuna).Njihovi su rezultati matematicki ekvivalentni, ali su pristupi bitnorazliciti. Newton pristupa fizikalno, a Leibniz apstraktnije.


Povijest matematike



otkrili su deriviranje i integriranje”? Sto je bilo novo? Preciznost?Ne bas. Nego:Oni su, nezavisno jedan od drugog iz mnostva pojedinacnih metodai rezultata dobili jedinstvenu, racunsku tehniku – infinitezimalniracun. Tu posebno treba istaknuti da oni prvi jasno iskazujumedusobnu inverznost deriviranja i integriranja koju su najaviliTorricelli i Barrow (osnovni teorem infinitezimalnog racuna).

Njihovi su rezultati matematicki ekvivalentni, ali su pristupi bitnorazliciti. Newton pristupa fizikalno, a Leibniz apstraktnije.


Povijest matematike



otkrili su deriviranje i integriranje”? Sto je bilo novo? Preciznost?Ne bas. Nego:Oni su, nezavisno jedan od drugog iz mnostva pojedinacnih metodai rezultata dobili jedinstvenu, racunsku tehniku – infinitezimalniracun. Tu posebno treba istaknuti da oni prvi jasno iskazujumedusobnu inverznost deriviranja i integriranja koju su najaviliTorricelli i Barrow (osnovni teorem infinitezimalnog racuna).Njihovi su rezultati matematicki ekvivalentni, ali su pristupi bitnorazliciti. Newton pristupa fizikalno, a Leibniz apstraktnije.


Povijest matematike


Isaac Newton (1642–1727)

Roden nakon smrti svog oca. Kad je imao 3 godine majka sepreudala, a za Isaaca se brinula baka. Kad je po drugi put ostalaudovica, majka je htjela da postane farmer, ali je on taj posaomrzio i njegov ucitelj ju je uspio uvjeriti da mu dopusti skolovanje.Studirao je na Trinity College u Cambridgeu. Tijekom studijaotkrio je interes za matematiku. Nakon diplome 1665. ostao je naTrinity College, ali je taj zbog epidemije kuge zatvoren te se Isaacpovukao na obiteljsko imanje u Woolsthorpe. U 2 godine koje jetamo boravio razvio je svoje revolucionarne nove idejeinfinitezimalnog racuna, optike i gravitacije.Kasnije je naslijedio Barrowljevu poziciju. Tijekom 1670-ih seupleo u mnoge sukobe s drugim znanstvenicima. Prvi slom zivacadozivio je 1678, godinu kasnije mu je umrla majka, poslije je ziviosve povucenije.


Povijest matematike


Najvaznije mu je djelo Philosophiae naturalis principia mathematica(1687.), koje medu ostalim sadrzi i Newtonov zakon gravitacije.U to je doba postao sve vise politicki aktivan, posebno jer jekatolicki kralj James II. na sve pozicije postavljao katolike neovisnoo sposobnostima.Nakon drugog sloma zivaca 1693. potpuno se povukao iz znanosti iostatak zivota bavio politikom. Postigao je mnoge visoke pozicije iobogatio se. Od 1703. je bio predsjednik Royal Society, a 1705. jepostao prvi znanstvenik s titulom sir. Zadnje godine njegova zivotaobiljezene su sukobom s Leibnizom oko prvenstva u otkricuinfinitezimalnog racuna.


Povijest matematike


Newtonova metoda fluksija

Prvi tekstovi: De Analysi per Aequationes Numero TerminorumInfinitas (1669./1711.), De Methodis Serierum et Fluxionum(1671./1736.), Tractatus De Quadratura Curvarum(1691.–1693./1704.)

Newton promatra velicine ovisne o vremenu – fluense x , y , . . .Njihove brzine – fluksije; 1690-ih godina ih je poceo oznacavati sx , y , . . . , a fluksije fluksija x , y , . . .Stoga je kod Newtona koeficijent smjera tangente na krivuljukvocijent y

x dviju konacnih velicinaU konkretnim racunima Newton koristi male priraste ox velicine x ,gdje s o oznacava beskonacno mali prirast vremena.U De Methodis Serierum et Fluxionum Newton iskazuje temeljnizadatak infinitezimalnog racuna: Iz odnosa fluenata odrediti odnosnjihovih fluksija i obrnuto.


Povijest matematike



Prvi tekstovi: De Analysi per Aequationes Numero TerminorumInfinitas (1669./1711.), De Methodis Serierum et Fluxionum(1671./1736.), Tractatus De Quadratura Curvarum(1691.–1693./1704.)Newton promatra velicine ovisne o vremenu – fluense x , y , . . .Njihove brzine – fluksije;

1690-ih godina ih je poceo oznacavati sx , y , . . . , a fluksije fluksija x , y , . . .Stoga je kod Newtona koeficijent smjera tangente na krivuljukvocijent y



Povijest matematike



Prvi tekstovi: De Analysi per Aequationes Numero TerminorumInfinitas (1669./1711.), De Methodis Serierum et Fluxionum(1671./1736.), Tractatus De Quadratura Curvarum(1691.–1693./1704.)Newton promatra velicine ovisne o vremenu – fluense x , y , . . .Njihove brzine – fluksije; 1690-ih godina ih je poceo oznacavati sx , y , . . . , a fluksije fluksija x , y , . . .Stoga je kod Newtona koeficijent smjera tangente na krivuljukvocijent y

x dviju konacnih velicina

U konkretnim racunima Newton koristi male priraste ox velicine x ,gdje s o oznacava beskonacno mali prirast vremena.U De Methodis Serierum et Fluxionum Newton iskazuje temeljnizadatak infinitezimalnog racuna: Iz odnosa fluenata odrediti odnosnjihovih fluksija i obrnuto.


Povijest matematike




x dviju konacnih velicinaU konkretnim racunima Newton koristi male priraste ox velicine x ,gdje s o oznacava beskonacno mali prirast vremena.

U De Methodis Serierum et Fluxionum Newton iskazuje temeljnizadatak infinitezimalnog racuna: Iz odnosa fluenata odrediti odnosnjihovih fluksija i obrnuto.


Povijest matematike






Povijest matematike


Deriviranje na Newtonov nacin

Zadano: x3 − ax2 + axy − y3 = 0.Supstituiramo x + ox za x i analogno za y :

x3 + 3xox2 + 3x2o2x + x3o3 − ax2 − 2axox − ax2o2 + axy +axoy + ayox + ax yo2 − y3 − 3yoy2 − 3y2o2y − y3o3 = 0.Zbog polazne jednadzbe preostaje:3xox2 + 3x2o2x + x3o3 − 2axox − ax2o2 + axoy + ayox +ax yo2 − 3yoy2 − 3y2o2y − y3o3 = 0.Podijelimo s o: 3x2x − 2axx + ayx + axy − 3y2y + 3xox2 +o2x3 − aox2 + aox y − 3yoy2 − o2y3 = 0.Zanemarimo o i dobijemo 3xx2 − 2axx + ayx + axy − 3y y2 = 0.


Povijest matematike



Zadano: x3 − ax2 + axy − y3 = 0.Supstituiramo x + ox za x i analogno za y :x3 + 3xox2 + 3x2o2x + x3o3 − ax2 − 2axox − ax2o2 + axy +axoy + ayox + ax yo2 − y3 − 3yoy2 − 3y2o2y − y3o3 = 0.

Zbog polazne jednadzbe preostaje:3xox2 + 3x2o2x + x3o3 − 2axox − ax2o2 + axoy + ayox +ax yo2 − 3yoy2 − 3y2o2y − y3o3 = 0.Podijelimo s o: 3x2x − 2axx + ayx + axy − 3y2y + 3xox2 +o2x3 − aox2 + aox y − 3yoy2 − o2y3 = 0.Zanemarimo o i dobijemo 3xx2 − 2axx + ayx + axy − 3y y2 = 0.


Povijest matematike



Zadano: x3 − ax2 + axy − y3 = 0.Supstituiramo x + ox za x i analogno za y :x3 + 3xox2 + 3x2o2x + x3o3 − ax2 − 2axox − ax2o2 + axy +axoy + ayox + ax yo2 − y3 − 3yoy2 − 3y2o2y − y3o3 = 0.Zbog polazne jednadzbe preostaje:3xox2 + 3x2o2x + x3o3 − 2axox − ax2o2 + axoy + ayox +ax yo2 − 3yoy2 − 3y2o2y − y3o3 = 0.

Podijelimo s o: 3x2x − 2axx + ayx + axy − 3y2y + 3xox2 +o2x3 − aox2 + aox y − 3yoy2 − o2y3 = 0.Zanemarimo o i dobijemo 3xx2 − 2axx + ayx + axy − 3y y2 = 0.


Povijest matematike



Zadano: x3 − ax2 + axy − y3 = 0.Supstituiramo x + ox za x i analogno za y :x3 + 3xox2 + 3x2o2x + x3o3 − ax2 − 2axox − ax2o2 + axy +axoy + ayox + ax yo2 − y3 − 3yoy2 − 3y2o2y − y3o3 = 0.Zbog polazne jednadzbe preostaje:3xox2 + 3x2o2x + x3o3 − 2axox − ax2o2 + axoy + ayox +ax yo2 − 3yoy2 − 3y2o2y − y3o3 = 0.Podijelimo s o: 3x2x − 2axx + ayx + axy − 3y2y + 3xox2 +o2x3 − aox2 + aox y − 3yoy2 − o2y3 = 0.

Zanemarimo o i dobijemo 3xx2 − 2axx + ayx + axy − 3y y2 = 0.


Povijest matematike



Zadano: x3 − ax2 + axy − y3 = 0.Supstituiramo x + ox za x i analogno za y :x3 + 3xox2 + 3x2o2x + x3o3 − ax2 − 2axox − ax2o2 + axy +axoy + ayox + ax yo2 − y3 − 3yoy2 − 3y2o2y − y3o3 = 0.Zbog polazne jednadzbe preostaje:3xox2 + 3x2o2x + x3o3 − 2axox − ax2o2 + axoy + ayox +ax yo2 − 3yoy2 − 3y2o2y − y3o3 = 0.Podijelimo s o: 3x2x − 2axx + ayx + axy − 3y2y + 3xox2 +o2x3 − aox2 + aox y − 3yoy2 − o2y3 = 0.Zanemarimo o i dobijemo 3xx2 − 2axx + ayx + axy − 3y y2 = 0.


Povijest matematike


Newton je primijetio da u jednadzbi koja sadrzi fluksije svi clanovimoraju biti istog stupnja: x + x y x − ax2 = 0 se mora interpretiratikao x z + x y x − ax2z2 = 0 uz z = 1.

Ako u takvoj jednadzbiimamo tocno dvije fluksije, prvi je korak odrediti njihov kvocijent.

Integriranje na Newtonov nacin

Zadano: y2 = x y + x2y2. Dobijemo: yx = 1

2 ±√

14 + x2.

Tipicna karakteristika Newtonovog racuna fluksija je koristenje

redova. Ovdje:√

14 + x2 = 1

2 + x2 − x4 + 2x6 − 5x8 + 14x10 + . . .,

sto daje yx = 1 + x2 − x4 + 2x6 − 5x8 + 14x10 + . . . odnosno

yx = x2 − x4 + 2x6 − 5x8 + 14x10 + . . . Znajuci da je ako je fluksijaxn, odgovarajuci fluens je xn+1/(n + 1), dobiva

y

x= (x+)

1

3x3 − 1

5x5 +

2

7x7 − 5

9x9 +

14

11x11 + . . .


Povijest matematike


Newton je primijetio da u jednadzbi koja sadrzi fluksije svi clanovimoraju biti istog stupnja: x + x y x − ax2 = 0 se mora interpretiratikao x z + x y x − ax2z2 = 0 uz z = 1. Ako u takvoj jednadzbiimamo tocno dvije fluksije, prvi je korak odrediti njihov kvocijent.



2 ±√

14 + x2.


redova. Ovdje:√

14 + x2 = 1

2 + x2 − x4 + 2x6 − 5x8 + 14x10 + . . .,



y

x= (x+)

1

3x3 − 1

5x5 +

2

7x7 − 5

9x9 +

14

11x11 + . . .


Povijest matematike





2 ±√

14 + x2.


redova. Ovdje:√

14 + x2 = 1

2 + x2 − x4 + 2x6 − 5x8 + 14x10 + . . .,


yx = x2 − x4 + 2x6 − 5x8 + 14x10 + . . .

Znajuci da je ako je fluksijaxn, odgovarajuci fluens je xn+1/(n + 1), dobiva

y

x= (x+)

1

3x3 − 1

5x5 +

2

7x7 − 5

9x9 +

14

11x11 + . . .


Povijest matematike





2 ±√

14 + x2.


redova. Ovdje:√

14 + x2 = 1

2 + x2 − x4 + 2x6 − 5x8 + 14x10 + . . .,



y

x= (x+)

1

3x3 − 1

5x5 +

2

7x7 − 5

9x9 +

14

11x11 + . . .


Povijest matematike


Newton i redovi

Iz prethodnog vidimo ne samo da je Newton znao Wallisov rezultato integriranju potencija, nego i da su od samog pocetka integralipovezani s rjesavanjem diferencijalnih jednadzbi.Newton u predgovoru The method of fluxions and infinite series :with its application to the geometry of curve-lines kaze i:Racunanje s brojevima i varijablama je slicno, pa je stoga prirodno,prikaz brojeva kao decimalnih razlomaka analogno primijeniti navarijable. Iskazuje i cudjenje, da to jos nikome osim njemackommatematicaru Nicolaus Mercatoru (Niklaus Kauffman,1620.–1687.) nije palo na pamet.

Mercator je naime 1668. objaviotekst Logarithmotechnia u kojem za odredivanje kvadraturehiperbole (

∫ x0

dt1+t ) koristi (rijecima opisan) Mercatorov red

ln(1 + x) = x − x2

2+

x3

3− x4

4+ . . .

kojeg je iz 11+t = 1− t + t2 − t3 + . . . dobio de facto integriranjem

clan po clan. Zbog toga se N. Mercatora smatra utemeljiteljemteorije redova potencija. Spomenimo usput da je N. Mercatorujedno autor izraza prirodni logaritam.


Povijest matematike


Newton i redovi

Iz prethodnog vidimo ne samo da je Newton znao Wallisov rezultato integriranju potencija, nego i da su od samog pocetka integralipovezani s rjesavanjem diferencijalnih jednadzbi.Newton u predgovoru The method of fluxions and infinite series :with its application to the geometry of curve-lines kaze i:Racunanje s brojevima i varijablama je slicno, pa je stoga prirodno,prikaz brojeva kao decimalnih razlomaka analogno primijeniti navarijable. Iskazuje i cudjenje, da to jos nikome osim njemackommatematicaru Nicolaus Mercatoru (Niklaus Kauffman,1620.–1687.) nije palo na pamet. Mercator je naime 1668. objaviotekst Logarithmotechnia u kojem za odredivanje kvadraturehiperbole (

∫ x0

dt1+t ) koristi (rijecima opisan) Mercatorov red

ln(1 + x) = x − x2

2+

x3

3− x4

4+ . . .

kojeg je iz 11+t = 1− t + t2 − t3 + . . . dobio de facto integriranjem

clan po clan. Zbog toga se N. Mercatora smatra utemeljiteljemteorije redova potencija. Spomenimo usput da je N. Mercatorujedno autor izraza prirodni logaritam.


Povijest matematike


Newton je otkrio vise razvoja u redove potencija. Najpoznatiji jebinomni red kojeg opisuje u jednom pismu H. Oldenburgu 1676.:

(P+PQ)m/n = Pm/n+m

nAQ+

m − n

2nBQ+

m − 2n

3nCQ+

m − 3n

4nDQ+. . .

Kod njega A, B, C , D, . . . predstavljaju uvijek redom neposrednoprethodeci clan (dakle, A = Pm/n, B = m

n AQ = mn P

m/nQ, . . . ).Kako danas zapisujemo binomni red?

Newton je razvio i metodu za invertiranje redova potencija.Naime, najvaznije transcendentne funkcije su integrali algebarskih(primjer?), pa je Newton algebarske funkcije razvijao u redkoristeci binomni red i svoju metodu odredivanja inverza, a ondaintegriranjem clan po clan dobivao razvoje u red transcendentnihfunkcija. Konkretno:


Povijest matematike



(P+PQ)m/n = Pm/n+m

nAQ+

m − n

2nBQ+

m − 2n

3nCQ+

m − 3n

4nDQ+. . .


n AQ = mn P

m/nQ, . . . ).Kako danas zapisujemo binomni red?Newton je razvio i metodu za invertiranje redova potencija.Naime, najvaznije transcendentne funkcije su integrali algebarskih(primjer?),

pa je Newton algebarske funkcije razvijao u redkoristeci binomni red i svoju metodu odredivanja inverza, a ondaintegriranjem clan po clan dobivao razvoje u red transcendentnihfunkcija. Konkretno:


Povijest matematike



(P+PQ)m/n = Pm/n+m

nAQ+

m − n

2nBQ+

m − 2n

3nCQ+

m − 3n

4nDQ+. . .


n AQ = mn P

m/nQ, . . . ).Kako danas zapisujemo binomni red?Newton je razvio i metodu za invertiranje redova potencija.Naime, najvaznije transcendentne funkcije su integrali algebarskih(primjer?), pa je Newton algebarske funkcije razvijao u redkoristeci binomni red i svoju metodu odredivanja inverza, a ondaintegriranjem clan po clan dobivao razvoje u red transcendentnihfunkcija. Konkretno:


Povijest matematike


Newtonovo invertiranje redova

Primjer

Ako znamo razvoj y = a0 + a1x + a2x2 + . . ., trazimo red za x .

Pretpostavimo x = b0 + b1y + b2y2 + . . .. Uvrstimo u prethodno i

usporedimo koeficijente (Newton je osmislio tablicnu metodu kojaolaksava odredivanje bn-ova).Recimo, specijalni slucaj binomnog reda je

1√1−t2

= 1 + 12 t

2 + 1·32·4 t

4 + 1·3·52·4·6 t

6 + . . .. Integriranjem clan po

clan: y = arcsin x = x + 12·3x

3 + 1·32·4·5x

5 + . . . Uvrstimox = b0 + b1y + b2y

2 + . . .:

y = (b0 +b1y + . . .)+1

6(b0 +b1y + . . .)3 +

3

40(b0 +b1y + . . .)5 + . . .

Slijedi b1 = 1, b0 = 0, . . . : sin y = x = y − y3

6 + y5

120 − . . .


Povijest matematike



Primjer




1√1−t2

= 1 + 12 t

2 + 1·32·4 t

4 + 1·3·52·4·6 t



3 + 1·32·4·5x

5 + . . .

Uvrstimox = b0 + b1y + b2y

2 + . . .:

y = (b0 +b1y + . . .)+1

6(b0 +b1y + . . .)3 +

3

40(b0 +b1y + . . .)5 + . . .


6 + y5

120 − . . .


Povijest matematike



Primjer




1√1−t2

= 1 + 12 t

2 + 1·32·4 t

4 + 1·3·52·4·6 t



3 + 1·32·4·5x

5 + . . . Uvrstimox = b0 + b1y + b2y

2 + . . .:

y = (b0 +b1y + . . .)+1

6(b0 +b1y + . . .)3 +

3

40(b0 +b1y + . . .)5 + . . .


6 + y5

120 − . . .


Povijest matematike



Primjer




1√1−t2

= 1 + 12 t

2 + 1·32·4 t

4 + 1·3·52·4·6 t



3 + 1·32·4·5x

5 + . . . Uvrstimox = b0 + b1y + b2y

2 + . . .:

y = (b0 +b1y + . . .)+1

6(b0 +b1y + . . .)3 +

3

40(b0 +b1y + . . .)5 + . . .

Slijedi b1 = 1,

b0 = 0, . . . : sin y = x = y − y3

6 + y5

120 − . . .


Povijest matematike



Primjer




1√1−t2

= 1 + 12 t

2 + 1·32·4 t

4 + 1·3·52·4·6 t



3 + 1·32·4·5x

5 + . . . Uvrstimox = b0 + b1y + b2y

2 + . . .:

y = (b0 +b1y + . . .)+1

6(b0 +b1y + . . .)3 +

3

40(b0 +b1y + . . .)5 + . . .


6 + y5

120 − . . .Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike


Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716)

Filozof i matematicar. Kao mladic je 1672. posjetio Paris iupoznao C. Huygensa koji ga je poducio u matematici i fizici.Medu ostalim, dao mu je neke Pascalove spise za proucavanje. Uto je doba Leibniz osmislio poboljsanje pascaline.Godinu kasnije posjetio je London i postao clan Royal Society. Popovratku u Paris bavio se proucavanjem Pascalovih i Descartesovihtekstova i tamo do 1676. razvio svoje prve ideje infinitezimalnogracuna.Njegov je glavni cilj bio razviti univerzalni simbolicki jezik te jestoga veliku pozornost pridavao simbolici te stoga nije cudo damnogi moderni matematicki simboli potjecu od njega:

∫. . .dx ,

dydx ,1 ·, :, . . .

1Oznacavanje parcijalnih derivacija uveo je 1786. Legendre.Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike


Od 1676. zivio je u Hannoveru, prvo kao knjiznicar, kasnije kaosavjetnik vojvode od Braunschweig-Luneburg. Na tom namjestenjuprovodio je i razne geoloske projekte, ali se i dalje baviomatematikom i dinamikom.Do 1679. osmislio je binarni brojevni sustav (prve objave o tome:1701.). 1680-ih godina je objavio svoju varijatnu infinitezimalnogracuna.Kasnije je u sluzbi vojvode putovao Europom i tako upoznaomnoge velike znanstvenike.U posljednjem dijelu zivota ponajvise se bavio filozofijom, aokupirao ga je i sukob s Newtonom.


Povijest matematike


Leibniz i redovi

Dok su Newtonovi rezultati u izvornom obliku danas tesko citljivi,Leibnizov stil postao je temelj moderne analize.Poticaj bavljenju tom temom bio je zadatak kojeg mu je1672. postavio Huygens:

1 +1

3+

1

6+

1

10+

1

15+ . . . =?

Leibniz je uocio da su svi sumandi oblika 2n(n+1) = 2

n −2

n+1 pa su

parcijalne sume tog reda jednake 2− 1n+1 , odnosno suma reda je 2.

Tako je primijetio: Ako je svaki pribrojnik dn razlika dva uzastopnaclana nekog niza (an), onda je

∑ni=1 di = a1 − an+1: diferenciranje

je inverzno sumiranju!


Povijest matematike


Leibniz i redovi


1 +1

3+

1

6+

1

10+

1

15+ . . . =?


n −2

n+1 pa su






Povijest matematike


Leibniz i redovi


1 +1

3+

1

6+

1

10+

1

15+ . . . =?


n −2

n+1 pa su






Povijest matematike


1673. je otkrio i Leibnizov red

π

4= 1− 1

3+

1

5− 1

7+ . . .

Taj red je skupa s po njemu nazvanom kriteriju konvergencije redaobjavio 1682.

Leibnizov je red bio vec 1671. poznat skotskommatematicaru James Gregory-ju (1638–1675), koji je naveo i nekedruge razvoje (prvih 5-6 clanova redova za tangens, arkustangens,sekans, logaritam sekansa, binomni red). Gregory je koristio ivarijantu kriterija usporedivanja. Red za arkustangens

arctg x = x − x3

3+

x5

5− x7

7+ . . .

se danas naziva Gregory-Madhavin redom jer ga je jos ranije otkrioi za racun π na 11 decimala koristio indijski matematicar Madhava(1350–1425). Ovakvi redovi kasnije su nazvani Taylorovim jer jeGregory umro mlad (mozdani udar) i relativno nepoznat.


Povijest matematike



π

4= 1− 1

3+

1

5− 1

7+ . . .

Taj red je skupa s po njemu nazvanom kriteriju konvergencije redaobjavio 1682. Leibnizov je red bio vec 1671. poznat skotskommatematicaru James Gregory-ju (1638–1675), koji je naveo i nekedruge razvoje (prvih 5-6 clanova redova za tangens, arkustangens,sekans, logaritam sekansa, binomni red). Gregory je koristio ivarijantu kriterija usporedivanja. Red za arkustangens

arctg x = x − x3

3+

x5

5− x7

7+ . . .

se danas naziva Gregory-Madhavin redom jer ga je jos ranije otkrioi za racun π na 11 decimala koristio indijski matematicar Madhava(1350–1425). Ovakvi redovi kasnije su nazvani

Taylorovim jer jeGregory umro mlad (mozdani udar) i relativno nepoznat.


Povijest matematike



π

4= 1− 1

3+

1

5− 1

7+ . . .

Taj red je skupa s po njemu nazvanom kriteriju konvergencije redaobjavio 1682. Leibnizov je red bio vec 1671. poznat skotskommatematicaru James Gregory-ju (1638–1675), koji je naveo i nekedruge razvoje (prvih 5-6 clanova redova za tangens, arkustangens,sekans, logaritam sekansa, binomni red). Gregory je koristio ivarijantu kriterija usporedivanja. Red za arkustangens

arctg x = x − x3

3+

x5

5− x7

7+ . . .

se danas naziva Gregory-Madhavin redom jer ga je jos ranije otkrioi za racun π na 11 decimala koristio indijski matematicar Madhava(1350–1425). Ovakvi redovi kasnije su nazvani Taylorovim jer jeGregory umro mlad (mozdani udar) i relativno nepoznat.


Povijest matematike


Leibnizov infinitezimalni racun

Temelji se na analitickoj geometriji i generalizaciji Pascalovogkarakteristicnog trokuta.

Neka je zadana krivulja y = f (x) i tockaP na njoj. Tada je karakteristicni trokut oko te tocke (4PQR skatetama dx i dy kojem je hipotenuza dio tangente na krivulju utocki P) slican 4PVW kojeg tvore normala, os apscisa i okomicaiz P na nju te slijedi σdx = ydy .

”Sumacija” daje

∫σdx =

∫ydy .

U O V W

P

Q

R

dx

dyds

y

σ

n


Povijest matematike


Leibnizov infinitezimalni racun

Temelji se na analitickoj geometriji i generalizaciji Pascalovogkarakteristicnog trokuta. Neka je zadana krivulja y = f (x) i tockaP na njoj. Tada je karakteristicni trokut oko te tocke (4PQR skatetama dx i dy kojem je hipotenuza dio tangente na krivulju utocki P) slican 4PVW kojeg tvore normala, os apscisa i okomicaiz P na nju te slijedi σdx = ydy .

”Sumacija” daje

∫σdx =

∫ydy .

U O V W

P

Q

R

dx

dyds

y

σ

n


Povijest matematike


Iz poznavanja veze σ i y dobiva se veza x i y – rjesava se problemintegriranja.

Primjer

Neka je σ = a2

y . Tada je a2dx = y2dy . Dobije se y3

3 = a2x kaojednadzbu krivulje zadanog svojstva.

Leibniz je isprva kao oznaku integriranja koristio omn. – utjecajCavalierija koji je kvadrature nazivao omnes lineae figurae. U todoba je za diferenciju dviju susjednih ordinata (kasniji dy) koristiol . Tako primjerice 1675. pise omn. xl = x omn. l − omn.omn. l . No,upravo te godine se odlucio za simbol

∫kao prikladniji za

integriranje, jer je ono za njega bilo oblik sumacije. Primijetio je ida aku su l-ovi i x-evi duljine, onda je

∫l povrsina, a

∫xl

volumen. Ubrzo je uveo i simbol diferencijala, d, isprva u nazivniku( yd ), onda u modernom obliku dy . Koristeci tu simboliku je1677. dokazao formule za diferenciranje produkata i kvocijenata.


Povijest matematike



Primjer

Neka je σ = a2



Leibniz je isprva kao oznaku integriranja koristio omn. – utjecajCavalierija koji je kvadrature nazivao omnes lineae figurae. U todoba je za diferenciju dviju susjednih ordinata (kasniji dy) koristiol . Tako primjerice 1675. pise omn. xl = x omn. l − omn.omn. l .

No,upravo te godine se odlucio za simbol



∫l povrsina, a

∫xl



Povijest matematike



Primjer

Neka je σ = a2






∫l povrsina, a

∫xl

volumen.

Ubrzo je uveo i simbol diferencijala, d, isprva u nazivniku( yd ), onda u modernom obliku dy . Koristeci tu simboliku je1677. dokazao formule za diferenciranje produkata i kvocijenata.


Povijest matematike



Primjer

Neka je σ = a2






∫l povrsina, a

∫xl



Povijest matematike


Iako su ova koncepta sadrzajno vrlo slicna, vidljive su bitne razlikeNewtona i Leibniza. Mozda najbitnija je poimanje koeficijentasmjera tangente: kod Newtona on je kvocijent dviju konacnihvelicina y i x , a kod Leibniza infinitezimalnih dy i dx .

Leibniz je ujedno, skupa sa svojim prijateljem JohannomBernoullijem, prvi koji koristi izraz funkcija, u pismu 1673. Kasnijeje Bernoulli u pismu Leibnizu dao vjerojatno prvi pokusaj definicijetog pojma:

Definicija (Funkcija, Johann Bernoulli, 1694.)

Ovdje funkcijom nazivamo varijablu neke velicine, koja je na bilokakav nacin sastavljena od te velicine i konstanti.


Povijest matematike


Iako su ova koncepta sadrzajno vrlo slicna, vidljive su bitne razlikeNewtona i Leibniza. Mozda najbitnija je poimanje koeficijentasmjera tangente: kod Newtona on je kvocijent dviju konacnihvelicina y i x , a kod Leibniza infinitezimalnih dy i dx .Leibniz je ujedno, skupa sa svojim prijateljem JohannomBernoullijem, prvi koji koristi izraz funkcija, u pismu 1673. Kasnijeje Bernoulli u pismu Leibnizu dao vjerojatno prvi pokusaj definicijetog pojma:

Definicija (Funkcija, Johann Bernoulli, 1694.)

Ovdje funkcijom nazivamo varijablu neke velicine, koja je na bilokakav nacin sastavljena od te velicine i konstanti.


Povijest matematike


Kritike Newton-Leibnizovog infinitezimalnog racuna

Infinitezimalni se racun brzo prosirio jer je bio efikasan i ociglednofunkcionirao. No, brzo se postavilo i pitanje:Prirasti (o kod Newtona, dx kod Leibniza) su malo razliciti od 0(kad dijelimo s njima), a malo jednaki 0 (kad brisemo clanove kojiih sadrze iz jednadzbi). Kako nesto moze istovremeno biti jednakoi razlicito od 0?Najpoznatiji kriticar bio je irski biskup i filozof George Berkeley(1684–1753), koji je 1734. postavio pitanje: Sto su fluksije? Brzinenestajucih prirasta? A sto su ti nestajuci prirasti? Niti su konacnevelicine nit beskonacno male, a nisu niti nista. Bismo li ih smjelinazvati duhovima umrlih velicina?Trebat ce jos 200 godina dok Bolzano, Cauchy i Weierstraß upotpunosti razrijese ovaj problem . . .


Povijest matematike


O sukobu Newtona i Leibniza oko prvenstva

Newtonovi rezultati su ca. 10 godina stariji;

moguce je da je Leibniz pri svojim posjetima Londonu (1673.,1676.) vidio Newtonove rukopise, no bar 1673. sigurno ih nijebio u stanju razumiti;

Leibnizovi prvi rezultati: 1675.; godinu kasnije pise muNewton, ali pismo je dugo putovalo;

Leibniz je u odgovoru pohvalio Newtonove zasluge u teorijiredova, no Newton je smatrao da je Leibniz odugovlacio inapisao drugo pismo iz kojeg je jasno da ne zeli odati detaljesvojih rezultata;

6a 2c d ae 13e 2f 7i 3l 9n 4o 4q 2r 4s 9t 12v x.

– ovo jeanagram iz tog pisma: Data Aequatione quotcumque, fluentesquantitates involuvente fluxiones invenire, et vice versa


Povijest matematike


O sukobu Newtona i Leibniza oko prvenstva

Newtonovi rezultati su ca. 10 godina stariji;

moguce je da je Leibniz pri svojim posjetima Londonu (1673.,1676.) vidio Newtonove rukopise, no bar 1673. sigurno ih nijebio u stanju razumiti;

Leibnizovi prvi rezultati: 1675.; godinu kasnije pise muNewton, ali pismo je dugo putovalo;

Leibniz je u odgovoru pohvalio Newtonove zasluge u teorijiredova, no Newton je smatrao da je Leibniz odugovlacio inapisao drugo pismo iz kojeg je jasno da ne zeli odati detaljesvojih rezultata;

6a 2c d ae 13e 2f 7i 3l 9n 4o 4q 2r 4s 9t 12v x. – ovo jeanagram iz tog pisma: Data Aequatione quotcumque, fluentesquantitates involuvente fluxiones invenire, et vice versa


Povijest matematike


ovo je pismo putovalo jos dulje, Leibniz je u odgovoru daoosnovne crte svoje metode

Newton odgovara: nista novo

1684. Leibniz prvi put objavljuje svoje rezultate

Newtonova prva objava dio je njegove Principia-e (1687.)

svada se intenzivira 1710., kad je skotski matematicar i clanRoyal Society u Transactions of the Royal Society of Londonoptuzio Leibniza za plagijat

1711. Leibniz trazi ispriku od Royal Society te je imenovanakomisija za utvrdivanje prvenstva

bez da se Leibniza pitalo za misljenje, komisija je1713. utvrdila: Newton je u pravu (Newton je tad biopredsjednik Royal Society i konacni izvjestaj komisije je samnapisao)


Povijest matematike


Leibniz za to saznaje od Johanna Bernoullija, te objavljujeanonimni tekst u kom spominje Newtonovu pogresku kojenema u njegovim rezultatima

Keill je objavio odgovor, Leibniz se povukao uz izgovor danece davati odgovore idiotu

1716. je Leibniz umro, no sukob se nastavio

I, sto se dalje desavalo s infinitezimalnim racunom? Puno toga!Newtonov stil brzo se prosirio britanskim otocjem, a Leibnizovkontinentalnom Europom, te su jos za njihova zivota mnogimatematicari dobili nove rezultate. Prakticne primjene su seposebno brzo razvile, ali je dugo ostao problem rigoroznogutemeljenja.


Povijest matematike


Leibniz za to saznaje od Johanna Bernoullija, te objavljujeanonimni tekst u kom spominje Newtonovu pogresku kojenema u njegovim rezultatima

Keill je objavio odgovor, Leibniz se povukao uz izgovor danece davati odgovore idiotu

1716. je Leibniz umro, no sukob se nastavio

I, sto se dalje desavalo s infinitezimalnim racunom? Puno toga!Newtonov stil brzo se prosirio britanskim otocjem, a Leibnizovkontinentalnom Europom, te su jos za njihova zivota mnogimatematicari dobili nove rezultate. Prakticne primjene su seposebno brzo razvile, ali je dugo ostao problem rigoroznogutemeljenja.


Povijest matematike


Johann Bernoulli (1667–1748)

Leibnizov prijatelj, zasluzan za izraz integriranje (calculusintegralis; Leibniz je predlagao calculus summatoris).Skupa sa starijim bratom Jacobom prvi je nastavio Leibnizoverezultate. Oba su posebno mnogo novih rezultata dobili vezano zadiferencijalne jednadzbe (Bernoullijevu DJ y ′ + p(x)y = q(x)yn zan 6= 0, 1 je proucavao Jacob). Oba su bitno doprinijeli i sirenjuideja infinitezimalnog racuna. Johann, kao i Leibniz i Huygens,1691. uspijeva odrediti jednadzbu lancanice (hiperbolne funkcijeprvi je uveo Vincenzo Riccati ca. 1760, sustavno proucavaoLambert).


Povijest matematike


Johann je tijekom boravka u Parizu poducio markiza Marquis deL’Hopital (Guillaume Francois Antoine, Marquis de L’Hopital,1661–1704) tehnikama infinitezimalnog racuna. L’Hopital je1696. objavio prvi udzbenik diferencijalnog racuna, no veci diosadrzaja pripisuje se Johannu, ukljucivo poznatog L’Hopitalovogpravila.

Johann Bernoulli je 1696. postavio

Problem brahistohrone

Potrebno je medu svim krivuljama koje prolaze kroz dvije tockekoje nisu na istoj visini niti jedna tocno iznad druge odrediti onukrivulju po kojoj ce se materijalna tocka koja klizi bez trenja, samopod utjecajem sile teze, najbrze spustiti od vise do nize tocke.

Problem su rijesili Johann, Jacob, Newton, Leibniz i L’Hopital, nonajzanimljivija je usporedba Johannovog i Jacobovog rjesenja.


Povijest matematike


Johann je tijekom boravka u Parizu poducio markiza Marquis deL’Hopital (Guillaume Francois Antoine, Marquis de L’Hopital,1661–1704) tehnikama infinitezimalnog racuna. L’Hopital je1696. objavio prvi udzbenik diferencijalnog racuna, no veci diosadrzaja pripisuje se Johannu, ukljucivo poznatog L’Hopitalovogpravila.Johann Bernoulli je 1696. postavio

Problem brahistohrone

Potrebno je medu svim krivuljama koje prolaze kroz dvije tockekoje nisu na istoj visini niti jedna tocno iznad druge odrediti onukrivulju po kojoj ce se materijalna tocka koja klizi bez trenja, samopod utjecajem sile teze, najbrze spustiti od vise do nize tocke.

Problem su rijesili Johann, Jacob, Newton, Leibniz i L’Hopital, nonajzanimljivija je usporedba Johannovog i Jacobovog rjesenja.


Povijest matematike


Johannovo rjesenje je elegantnije: Uocio je analogiju s lomomsvjetlosti (Fermatov princip; Snellusov zakon loma) i dobio

diferencijalnu jednadzbu dx =k√y√

1−k2a2ydy te pokazao da je

njezino rjesenje cikloida.

Jacobovo rjesenje je kompliciranije, ali je imalo puno veci utjecajna razvoj matematike. Jacob je naime uocio da je ovo potpunonovi tip problema: Dotad smo trazili tocke ekstrema na zadanojkrivulji, a sad trazimo

”ekstremalnu krivulju”. Stoga je njegovo

rjesenje utemeljilo varijacijski racun, u kom se trazi krivulja y zakoju je neki I (y) =

∫ ba F (x , y , y ′)dx minimalan ili maksimalan. U

slucaju problema brahistohrone, minimizira se∫ ba

√1+(y ′)2

y dx .


Povijest matematike

http://www.mecheng.iisc.ernet.in/~suresh/me256/GalileoBP.pdf


Johannovo rjesenje je elegantnije: Uocio je analogiju s lomomsvjetlosti (Fermatov princip; Snellusov zakon loma) i dobio

diferencijalnu jednadzbu dx =k√y√

1−k2a2ydy te pokazao da je

njezino rjesenje cikloida.Jacobovo rjesenje je kompliciranije, ali je imalo puno veci utjecajna razvoj matematike. Jacob je naime uocio da je ovo potpunonovi tip problema: Dotad smo trazili tocke ekstrema na zadanojkrivulji, a sad trazimo

”ekstremalnu krivulju”. Stoga je njegovo

rjesenje utemeljilo varijacijski racun, u kom se trazi krivulja y zakoju je neki I (y) =

∫ ba F (x , y , y ′)dx minimalan ili maksimalan. U

slucaju problema brahistohrone, minimizira se∫ ba

√1+(y ′)2

y dx .


Povijest matematike

http://www.mecheng.iisc.ernet.in/~suresh/me256/GalileoBP.pdf


Brook Taylor (1685–1731)

Vidjeli smo da on nije prvi koji se bavio razvojima u redovepotencija, ali su po njemu dobili ime.On je 1715. objavio Methodus incrementorum directa et inversa.Tu Taylorove redove daje u obliku prirasta (razlika)

f (a + h) = f (a) +h

b∆f (a) +

(h/b)(h/b − 1)

2!∆2f (a) + . . .

(∆f (a) = f (a + b)− f (a),∆2f (a) = ∆f (a + b)−∆f (a) = f (a + 2b)− 2f (a + b) + f (a)).Taj oblik odgovara danas poznatoj Newton-Gregoryjevojinterpolacijskoj formuli (otkrili su je nezavisno jedan od drugogGregory i Newton oko 1670.).Za granicni slucaj, tj. za b blizu 0, Taylor je tako dobio ono stodanas zovemo Taylorovim redom funkcije f .


Povijest matematike


Colin Maclaurin (1698–1746)

Skotski matematicar, 1742. je objavio Treatise of fluxions (763stranice!). To je prvi sustavni prikaz Newtonovog racuna fluksija.Sedam godina kasnije je prevedeno na francuski i tako doprinijelosirenju Newtonovih ideja u kontinentalnoj Europi. Djelo sadrzi imnoge primjene, posebno na fiziku.Maclaurin se nadao time barem dijelom odgovoriti na Berkeleyevukritiku. Maclaurin osnovni teorem infinitezimalnog racuna dokazujeoslanjajuci se na algebarske nejednakosti.

Maclaurinovi redovi danas nose ime po njemu zbog njegovogdoprinosa teoriji redova potencija. On ih je koristio za odredivanjeekstrema i tocaka infleksije.


Povijest matematike


Colin Maclaurin (1698–1746)

Skotski matematicar, 1742. je objavio Treatise of fluxions (763stranice!). To je prvi sustavni prikaz Newtonovog racuna fluksija.Sedam godina kasnije je prevedeno na francuski i tako doprinijelosirenju Newtonovih ideja u kontinentalnoj Europi. Djelo sadrzi imnoge primjene, posebno na fiziku.Maclaurin se nadao time barem dijelom odgovoriti na Berkeleyevukritiku. Maclaurin osnovni teorem infinitezimalnog racuna dokazujeoslanjajuci se na algebarske nejednakosti.Maclaurinovi redovi danas nose ime po njemu zbog njegovogdoprinosa teoriji redova potencija. On ih je koristio za odredivanjeekstrema i tocaka infleksije.


Povijest matematike


Leonhard Euler

Zasigurno najveci matematicar 18. st. Doprinijeo je gotovo svimtada postojecim matematickim disciplinama, a utemeljio i nekenove. Neki autori smatraju da je njegova Introductio in analysininfinitorum (1748) za analizu ono sto su Elementi za geometriju iliAl-Kitab al-muhtas.ar fi hisab al-gabr wa-l-muqabala za algebru.Roden je u Baselu, gdje je studirao filozofiju i pravo. Tu ga jeJohann Bernoulli ohrabrio da se posveti matematici. Karijeru jeproveo u St. Petersburgu i Berlinu: 1727. mu je Daniel Bernoullinasao zaposlenje na Akademiji znanosti u St. Petersburgu, a tamoje po Danielovom povratku u Basel 1722. preuzeo katedrumatematike. Tako je imao dovoljno novaca da se ozeni. Imao je 13djece, ali samo 5 je prezivjelo djetinjstvo. Vec brzo nakon zenidbepoceo je imati zdravstvene probleme. Od 1738. je na desno oko bioprakticki slijep.


Povijest matematike


Kad je 1740. politicka situacija postala nemirna, preselio je Berlin,kamo ga je pozvao car Friedrich Veliki. Tu je Euler napisao gotovo400 spisa na najrazlicitije teme, ukljucivo popularnog teksta Lettresa une princesse d’Allemagne sur divers sujets de pyhsique et dephilosophie.No, s vremenom je postao sve nezadovoljniji, posebno zbog carevamijesanja u vodstvo akademije. Nakon stupanja na vlast KatarineVelike, vratio se u St. Petersburg 1766. 1771. dom mu je izgorio upozaru, Euler je uspio spasiti samo sebe i svoje matematickerukopise. Ubrzo zatim, potpuno je oslijepio, no to ga nije sprijecilou daljnjem radu. Njegovo znamenito pamcenje i dvojica njegovihsinova pomogli su u tome da je velik dio njegovog ukupnog opusaod preko 800 radova za zivota nastao upravo u doba potpunesljepoce. Na sam dan smrti jos je poduccavao matematici svogaunuka i bavio se proracunima kretanja dvaju balona.


Povijest matematike


Baselski problem

Pietro Mengoli (1625–1686)

Koliko iznosi 1 +1

4+

1

9+

1

16+ . . .+

1

n2+ . . .?

Zadatak postaje poznat kad ga je 1689. opisao Jacob Bernoulli.Oba brata Bernoulli su ga bezuspjesno pokusali rijesiti.

Euler je1735. pokazao:

π

6=

+∞∑n=1

1

n2.

Kako je to dobio? sin x = x − x3

3! + x5

5! − . . . povlaci

sin√x√

x= 1− x

6+

x2

5!− . . .


Povijest matematike


Baselski problem

Pietro Mengoli (1625–1686)

Koliko iznosi 1 +1

4+

1

9+

1

16+ . . .+

1

n2+ . . .?

Zadatak postaje poznat kad ga je 1689. opisao Jacob Bernoulli.Oba brata Bernoulli su ga bezuspjesno pokusali rijesiti. Euler je1735. pokazao:

π

6=

+∞∑n=1

1

n2.

Kako je to dobio? sin x = x − x3

3! + x5

5! − . . . povlaci

sin√x√

x= 1− x

6+

x2

5!− . . .


Povijest matematike


Rjesenja jednadzbesin√x√

x= 0

su x = (nπ)2, s cijelim n 6= 0.

S druge strane, ako je a nultockapolinoma, onda polinom sadrzi faktor (x − a) (Harriot; Descartes).Takoder, zbroj reciprocnih vrijednosti nultocaka polinoma saslobodnim clanom 1 je suprotni koeficijent njegovog koeficijenta uzprvu potenciju (Vieta).Stoga je Euler, bez dokaza, pretpostavio da se gornje razmisljanjemoze primijeniti i na redove potencija, te tako zakljucuje

∞∑n=1

1

n2π2=

1

6.


Povijest matematike



x= 0

su x = (nπ)2, s cijelim n 6= 0. S druge strane, ako je a nultockapolinoma, onda polinom sadrzi faktor (x − a) (Harriot; Descartes).

Takoder, zbroj reciprocnih vrijednosti nultocaka polinoma saslobodnim clanom 1 je suprotni koeficijent njegovog koeficijenta uzprvu potenciju (Vieta).Stoga je Euler, bez dokaza, pretpostavio da se gornje razmisljanjemoze primijeniti i na redove potencija, te tako zakljucuje

∞∑n=1

1

n2π2=

1

6.


Povijest matematike



x= 0

su x = (nπ)2, s cijelim n 6= 0. S druge strane, ako je a nultockapolinoma, onda polinom sadrzi faktor (x − a) (Harriot; Descartes).Takoder, zbroj reciprocnih vrijednosti nultocaka polinoma saslobodnim clanom 1 je suprotni koeficijent njegovog koeficijenta uzprvu potenciju (Vieta).

Stoga je Euler, bez dokaza, pretpostavio da se gornje razmisljanjemoze primijeniti i na redove potencija, te tako zakljucuje

∞∑n=1

1

n2π2=

1

6.


Povijest matematike



x= 0

su x = (nπ)2, s cijelim n 6= 0. S druge strane, ako je a nultockapolinoma, onda polinom sadrzi faktor (x − a) (Harriot; Descartes).Takoder, zbroj reciprocnih vrijednosti nultocaka polinoma saslobodnim clanom 1 je suprotni koeficijent njegovog koeficijenta uzprvu potenciju (Vieta).Stoga je Euler, bez dokaza, pretpostavio da se gornje razmisljanjemoze primijeniti i na redove potencija, te tako zakljucuje

∞∑n=1

1

n2π2=

1

6.


Povijest matematike


Euler i redovi potencija

Introductio in analysin infinitorum, 1748.: Euler je izveo redpotencija za eksponencijalnu funkciju i iz njega znamenituEulerovu formulu

eiv = cos v + i sin v . Simbol e takoder potjece odEulera. Kako je to dobio? Neka je a > 1. Tada je

aω = 1 + kω

za neku konstantu k (koja ovisi samo o a) i ω”toliko malen, da

taman da nije 0”. Newtonov binomni teorem povlaci:

ajω = (1+kω)j = 1+j

1kω+

j(j − 1)

2!jjk2ω2+

j(j − 1)(j − 2)

3!j · jj2k3ω3+. . .

Supstituiramo x = jω. Ako je j beskonacno velik, mozemo uzeti

j−1j = j−2

j = . . . = 1. Preostaje ax = 1 +k

1x +

k2

2!x2 +

k3

3!x3 + . . .


Povijest matematike



Introductio in analysin infinitorum, 1748.: Euler je izveo redpotencija za eksponencijalnu funkciju i iz njega znamenituEulerovu formulu eiv = cos v + i sin v . Simbol e takoder potjece odEulera. Kako je to dobio? Neka je a > 1. Tada je

aω = 1 + kω


taman da nije 0”.

Newtonov binomni teorem povlaci:

ajω = (1+kω)j = 1+j

1kω+

j(j − 1)

2!jjk2ω2+

j(j − 1)(j − 2)

3!j · jj2k3ω3+. . .


j−1j = j−2

j = . . . = 1. Preostaje ax = 1 +k

1x +

k2

2!x2 +

k3

3!x3 + . . .


Povijest matematike




aω = 1 + kω



ajω = (1+kω)j = 1+j

1kω+

j(j − 1)

2!jjk2ω2+

j(j − 1)(j − 2)

3!j · jj2k3ω3+. . .


j−1j = j−2

j = . . . = 1. Preostaje ax = 1 +k

1x +

k2

2!x2 +

k3

3!x3 + . . .


Povijest matematike




aω = 1 + kω



ajω = (1+kω)j = 1+j

1kω+

j(j − 1)

2!jjk2ω2+

j(j − 1)(j − 2)

3!j · jj2k3ω3+. . .

Supstituiramo x = jω. Ako je j beskonacno velik,

mozemo uzeti

j−1j = j−2

j = . . . = 1. Preostaje ax = 1 +k

1x +

k2

2!x2 +

k3

3!x3 + . . .


Povijest matematike




aω = 1 + kω



ajω = (1+kω)j = 1+j

1kω+

j(j − 1)

2!jjk2ω2+

j(j − 1)(j − 2)

3!j · jj2k3ω3+. . .


j−1j = j−2

j = . . . = 1.

Preostaje ax = 1 +k

1x +

k2

2!x2 +

k3

3!x3 + . . .


Povijest matematike




aω = 1 + kω



ajω = (1+kω)j = 1+j

1kω+

j(j − 1)

2!jjk2ω2+

j(j − 1)(j − 2)

3!j · jj2k3ω3+. . .


j−1j = j−2

j = . . . = 1. Preostaje ax = 1 +k

1x +

k2

2!x2 +

k3

3!x3 + . . .


Povijest matematike


Za k = 1 dobijemo razvoj za ex . Njega je Euler iskoristio zaizracunavanje e na 23 decimale.Dalje Euler faktorizira cos2 x + sin2 z = 1 i dobiva

(cos x + i sin x)(cos x − i sin x) = 1

(u to doba je jos pisao√−1 za imaginarnu jedinicu, no 1777. je

uveo simbol i).

Sad redom slijedi

(cos y ± i sin y)(cos z ± i sin z) = cos(y + z)± i sin(y + z),

(cos z ± i sin z)n = cos(nz)± i sin(nz),

cos nz =(cos z + i sin z)n + (cos z − i sin z)n

2, (1)

sin nz =(cos z + i sin z)n − (cos z − i sin z)n

2i. (2)


Povijest matematike


Za k = 1 dobijemo razvoj za ex . Njega je Euler iskoristio zaizracunavanje e na 23 decimale.Dalje Euler faktorizira cos2 x + sin2 z = 1 i dobiva

(cos x + i sin x)(cos x − i sin x) = 1

(u to doba je jos pisao√−1 za imaginarnu jedinicu, no 1777. je

uveo simbol i). Sad redom slijedi

(cos y ± i sin y)(cos z ± i sin z) = cos(y + z)± i sin(y + z),

(cos z ± i sin z)n = cos(nz)± i sin(nz),

cos nz =(cos z + i sin z)n + (cos z − i sin z)n

2, (1)

sin nz =(cos z + i sin z)n − (cos z − i sin z)n

2i. (2)


Povijest matematike


Iz (1) i (2) upotrebom binomnog teorema za beskonacno velik n ibeskonacno mali z (dakle, sin z = z , cos z = 1), uz uvjet da jev = nz konacan, Euler dobiva razvoje za sinus i kosinus.

S drugestrane se (1) i (2) mogu zapisati i ovako:

cos v =(1 + iv/n)n + (1− iv/n)n

2,

sin v =(1 + iv/n)n − (1− iv/n)n

2i.

Ako je opet n beskonacno velik, imamo i eiv =(1 + iv

n

)npa je

cos v =eiv + e−iv

2, sin v =

eiv − e−iv

2i.

Ako drugu jednakost pomnozimo s i pa zbrojimo jednakosti, dobilismo Eulerovu formulu.


Povijest matematike


Iz (1) i (2) upotrebom binomnog teorema za beskonacno velik n ibeskonacno mali z (dakle, sin z = z , cos z = 1), uz uvjet da jev = nz konacan, Euler dobiva razvoje za sinus i kosinus. S drugestrane se (1) i (2) mogu zapisati i ovako:

cos v =(1 + iv/n)n + (1− iv/n)n

2,

sin v =(1 + iv/n)n − (1− iv/n)n

2i.

Ako je opet n beskonacno velik, imamo i eiv =(1 + iv

n

)npa je

cos v =eiv + e−iv

2, sin v =

eiv − e−iv

2i.

Ako drugu jednakost pomnozimo s i pa zbrojimo jednakosti, dobilismo Eulerovu formulu.


Povijest matematike


Euler i funkcije

Euler je prvi koji pojam funkcije postavlja kao temeljni matematickipojam, a analizu opisuje kao disciplinu koja se bavi funkcijama. Uveo je(1734.) i oznaku f (x), a 1755. je pokusao dati definiciju funkcije:

Definicija (Eulerova definicija funkcije)

Funkcija neke varijabline velicine je analiticki izraz, koji je na neki nacinslozen iz te varijabilne velicine i brojeva ili konstantnih velicina.

Euler pod analitickim izrazima podrazumijeva formule kojima zadamofunkcije, pri cemu su dozvoljene i beskonacne sume i produkti te veriznirazlomci.

Euler funkcije dijeli na algebarske i transcendentne te predlaze da setranscendentne proucavaju preko razvoja u redove potencija (nije uvijekpazio na podrucje konvergencije). Euler je prvi koji logaritme sustavnointerpretira kao eksponente, a ne kroz odnos clanova aritmetickog igeometrijskog niza. Takoder, Euler prvi koristi pojam neprekidne funkcije,no to za njega znaci da je odgovarajuci analiticki izraz samo jedan (dafunkcija nije zadana po dijelovima razlicitim formulama).


Povijest matematike


Euler i funkcije




Euler pod analitickim izrazima podrazumijeva formule kojima zadamofunkcije, pri cemu su dozvoljene i beskonacne sume i produkti te veriznirazlomci.Euler funkcije dijeli na algebarske i transcendentne te predlaze da setranscendentne proucavaju preko razvoja u redove potencija (nije uvijekpazio na podrucje konvergencije).

Euler je prvi koji logaritme sustavnointerpretira kao eksponente, a ne kroz odnos clanova aritmetickog igeometrijskog niza. Takoder, Euler prvi koristi pojam neprekidne funkcije,no to za njega znaci da je odgovarajuci analiticki izraz samo jedan (dafunkcija nije zadana po dijelovima razlicitim formulama).


Povijest matematike


Euler i funkcije




Euler pod analitickim izrazima podrazumijeva formule kojima zadamofunkcije, pri cemu su dozvoljene i beskonacne sume i produkti te veriznirazlomci.Euler funkcije dijeli na algebarske i transcendentne te predlaze da setranscendentne proucavaju preko razvoja u redove potencija (nije uvijekpazio na podrucje konvergencije). Euler je prvi koji logaritme sustavnointerpretira kao eksponente, a ne kroz odnos clanova aritmetickog igeometrijskog niza.

Takoder, Euler prvi koristi pojam neprekidne funkcije,no to za njega znaci da je odgovarajuci analiticki izraz samo jedan (dafunkcija nije zadana po dijelovima razlicitim formulama).


Povijest matematike


Euler i funkcije




Euler pod analitickim izrazima podrazumijeva formule kojima zadamofunkcije, pri cemu su dozvoljene i beskonacne sume i produkti te veriznirazlomci.Euler funkcije dijeli na algebarske i transcendentne te predlaze da setranscendentne proucavaju preko razvoja u redove potencija (nije uvijekpazio na podrucje konvergencije). Euler je prvi koji logaritme sustavnointerpretira kao eksponente, a ne kroz odnos clanova aritmetickog igeometrijskog niza. Takoder, Euler prvi koristi pojam neprekidne funkcije,no to za njega znaci da je odgovarajuci analiticki izraz samo jedan (dafunkcija nije zadana po dijelovima razlicitim formulama).


Povijest matematike


Euleri i diferencijali

Euler problem prirode dx pokusava rijesiti ovako:”Onima, koji

pitaju sto je infinitezimalno mala velicina u matematici,odgovaramo: Ona je u biti jednaka nuli.” (Institutiones calculidifferentialis, 1755).Argument mu je sljedeci: x · 0 = 0 za sve x , dakle 0

0 mozepoprimiti proizvoljne iznose. Iz dx = 0 ocigledno dobijemo adx = 0za svaki konacni a.No: Diferencijali razlicitih varijabli kod Eulera su razlicite nule!Stoga je dx

dx = 1, ali dydx moze poprimiti razlicite iznose.

Ovakodobiva i objasnjenje brisanja visih potencija diferencijala iz izraza:

dx + (dx)2

dx= 1 + dx = 1⇒ dx + (dx)2 = dx


Povijest matematike


Euleri i diferencijali

Euler problem prirode dx pokusava rijesiti ovako:”Onima, koji

pitaju sto je infinitezimalno mala velicina u matematici,odgovaramo: Ona je u biti jednaka nuli.” (Institutiones calculidifferentialis, 1755).Argument mu je sljedeci: x · 0 = 0 za sve x , dakle 0

0 mozepoprimiti proizvoljne iznose. Iz dx = 0 ocigledno dobijemo adx = 0za svaki konacni a.No: Diferencijali razlicitih varijabli kod Eulera su razlicite nule!Stoga je dx

dx = 1, ali dydx moze poprimiti razlicite iznose. Ovako

dobiva i objasnjenje brisanja visih potencija diferencijala iz izraza:

dx + (dx)2

dx= 1 + dx = 1⇒ dx + (dx)2 = dx


Povijest matematike


Eulerov dokaz pravila za diferenciranje kvocijenta

1

1 + dq=

1

q· 1

1 + dq/q=

1

q

(1− dq

q+

dq2

q2− . . .

)=

1

q− dq

q2

⇒

d

(p

q

)=

p + dp

q + dq− p

q= (p + dp)

(1

q− dq

q2

)− p

q=

=p

q− pdq

q2+

dp

q− dpdq

q2− p

q=

qdp − pdq

q2.


Povijest matematike


Eulerov dokaz pravila za diferenciranje kvocijenta

1

1 + dq=

1

q· 1

1 + dq/q=

1

q

(1− dq

q+

dq2

q2− . . .

)=

1

q− dq

q2

⇒

d

(p

q

)=

p + dp

q + dq− p

q= (p + dp)

(1

q− dq

q2

)− p

q=

=p

q− pdq

q2+

dp

q− dpdq

q2− p

q=

qdp − pdq

q2.


Povijest matematike


Eulerovo diferenciranje sinusa

sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a⇒

(uz y = sin x)

dy = sin(x + dx)− sin x = sin x cos(dx) + sin(dx) cos x − sin x .

Zbog dx = 0 je cos(dx) = 1 i sin(dx) = 0, preostaje dy = cos xdx .

Vidimo: U Eulerovo doba je diferencijalni racun stvarno biodiferencijalni!Euler se bavio i diferencijalnim racunom za funkcije vise varijabli,diferencijalnim jednadzbama te varijacijskim racunom.


Povijest matematike




(uz y = sin x)



Vidimo: U Eulerovo doba je diferencijalni racun stvarno biodiferencijalni!

Euler se bavio i diferencijalnim racunom za funkcije vise varijabli,diferencijalnim jednadzbama te varijacijskim racunom.


Povijest matematike




(uz y = sin x)



Vidimo: U Eulerovo doba je diferencijalni racun stvarno biodiferencijalni!Euler se bavio i diferencijalnim racunom za funkcije vise varijabli,diferencijalnim jednadzbama te varijacijskim racunom.


Povijest matematike


Jean le Rond d’Alembert (1717.–1783.)

Bio je vanbracno dijete artiljerijskog oficira i bivse casne sestre kojaje od pape dobila dozvolu razrjesenja zaredenja. Imala je nizljubavnih afera i sudjelovala je u mnostvu politickih intriga. Kad serodio, majka ga je ostavila na stepenicama pariske crkve St. JeanLe Rond. Tako je krsten kao Jean Le Rond, te smjesten u dom zasirocad.Otac ga je ubrzo potreazio i pobrinuo se da se za njega brine zenajednog staklara, Madame Rousseau, koju je d’Alembert uvijekdozivljavao kao svoju majku jer ga prava majka nikad nije priznalakao sina, a kod gospode Rousseau je zivio sve do srednjih godina.Otac mu je umro kad je Jean imao 9 godina, no ostavio mu jedovoljno novca da se moze obrazovati.


Povijest matematike


Upisan je u jansenisticku2 skolu. Ubrzo je promijenio ime u Jeand’Alembert.U toj se skoli zainteresirao za matematiku i fiziku. Kad je1735. zavrsio skolu, odlucio se za pravnicku karijeru, no u slobodnose vrijeme nastavio baviti matematikom. Kad je 1738. postaoadvokat, predomislio se i sljedece godine upisao studij medicine, noni s tim studijem nije bio zadovoljan. Cini se da je jedino sto ga jestvarno zanimalo bila matematika i u njoj je neobicno brzonapredovao, osobito uzevsi u obzir da je bio uglavnom samouk.

2Jansenisti su bili struja unutar katolicke crkve koja se protivila isusovcima.Kasnije je proglasena heretickom.


Povijest matematike


D’Alembert je posebno poznat po svojim doprinosimainfinitezimalnom racunu i matematickoj fizici. Smatra ga seutemeljiteljem teorije parcijalnih diferencijalnih jednadzbi i njihovihprimjena u fizici.Zivot je proveo u Parizu i postigao velik matematicki ugled, ali jecesto bio upetljan u razne sukobe jer je bio sklon svadama sasvima u svojoj okolini, a najpoznatiji su njegovi sukobi sClairautom3, Danielom Bernoullijem i Eulerom (s kojim je isprvabio u dobrim odnosima).Bio je i suizdavac i koautor Diderotove Encyclopedie. U drugomdijelu zivota vise se bavio knjizevnoscu i filozofijom. Nakon visegodina slabog zdravlja, umro je od bolesti mjehura. Kao poznatinevjernik pokopan je u neoznacenom grobu.

3Alexis Claude Clairaut, 1713.–1765., francuski matematicar, pokusavao jepotvrditi Newtonovo i Huygensovo uvjerenje da je Zemlja spljostena napolovima.


Povijest matematike


D’Alembert i osnove matematicke analize

Sto je ono glavni problem s infinitezimalnim racunom u njegovodoba?

D’Alembert je prvi ili barem jedan od prvih koji suprimijetili: Za opravdanje infinitezimalnog racuna bitne su granicnevrijednosti. Takoder, on je prvi medu poznatim matematicarimakoji promatra derivaciju, koju definira kao granicnu vrijednostodgovarajuceg diferencijalnog kvocijenta. Nazalost, nikad nijeuspio zadovoljavajuce objasniti pojam granicne vrijednosti. Izrazioje sumnju u koristenje nekonvergentnih redova, a razvio je i ponjemu nazvani kriterij konvergencije reda.


Povijest matematike



Sto je ono glavni problem s infinitezimalnim racunom u njegovodoba? D’Alembert je prvi ili barem jedan od prvih koji suprimijetili: Za opravdanje infinitezimalnog racuna bitne su granicnevrijednosti. Takoder, on je prvi medu poznatim matematicarimakoji promatra derivaciju, koju definira kao granicnu vrijednostodgovarajuceg diferencijalnog kvocijenta. Nazalost, nikad nijeuspio zadovoljavajuce objasniti pojam granicne vrijednosti.

Izrazioje sumnju u koristenje nekonvergentnih redova, a razvio je i ponjemu nazvani kriterij konvergencije reda.


Povijest matematike



Sto je ono glavni problem s infinitezimalnim racunom u njegovodoba? D’Alembert je prvi ili barem jedan od prvih koji suprimijetili: Za opravdanje infinitezimalnog racuna bitne su granicnevrijednosti. Takoder, on je prvi medu poznatim matematicarimakoji promatra derivaciju, koju definira kao granicnu vrijednostodgovarajuceg diferencijalnog kvocijenta. Nazalost, nikad nijeuspio zadovoljavajuce objasniti pojam granicne vrijednosti. Izrazioje sumnju u koristenje nekonvergentnih redova, a razvio je i ponjemu nazvani kriterij konvergencije reda.


Povijest matematike


Joseph-Louis Lagrange (1736–1813)

Talijansko-francuski matematicar, poznat po doprinosimamatematickoj analizi, matematickoj fizici (klasicna mehanika iLagrangeove jednadzbe), teoriji brojeva i algebri.Roden u Torinu, krsten kao Giuseppe Lodovico Lagrangia. Pradjedmu je bio konjicki oficir francuske vojske i vec odmalena jeLagrange preferirao tu stranu svoje obitelji.Otac mu je bezusjpjesnim spekulacijama izgubio puno novca,Lagrange je kasnije rekao:

”Das sam bio bogat, vjerojatno se ne

bih bio posvetio matematici.”Tijekom studija prava otkrio je interes za matematiku i fiziku, nomatematiku je uglavnom naucio sam i sa samo 19 godina dobioprofesuru matematike na Kraljevskoj artiljerijskoj skoli u Torinu.Uz podrsku d’Alemeberta 1766. je dobio Eulerovo mjesto naberlinskoj Akademiji.


Povijest matematike


Godinu kasnije se ozenio, nije imao djece, a zena mu je umrla1783. U Berlinu je boravio 20 godina i svojim radovima osvojiomnoge velike znanstvene nagrade. Zbog zdravstvenih problema,nakon smrti Friedricha Velikog prihvatio je poziv pariske Akademijei preselio 1787. u Pariz.Osnovni stav da je jedan od glavnih principa svakog mudrogcovjeka prilagoditi se zakonima drzave u kojoj zivi ma kolikonerazumni bili pomogao mu je da bez vecih problema preziviFrancusku revoluciju. Ponovno se ozenio 1792 mladom kcerkomkolege. 1790-ih je predavao i na Ecole Polytechnique i na EcoleNormale, no nije ostao zabiljezen kao dobar predavac. U dobaNapoleona postao je grof, a dva dana prije smrti dobio je ordenVelikog kriza.


Povijest matematike


Lagrange i derivacije

Krajem 18. st. Lagrange se bavio rigoroznim definiranjemderivacija.Prema Lagrangeu, infinitezimalni racun treba svesti na algebruredova. Za njega je racun s redovima podjednako algebra kaoracun s konacnim algebarski izrazima, isto kao sto je racun sebeskonacnim decimalnim razvojima i dalje aritmetika.

U Theorie des fonctions analytiques (1797.) objavljuje (mislio jeda je to dokazao) da se svaka funkcija (analiticki izraz) mozezapisati u obliku

f (x + h) = f (x) + p(x)h + q(x)h2 + r(x)h3 + . . . , (3)

do na eventualno konacno mnogo x . Tako derivaciju od f (x)definira kao p(x), drugu derivaciju kao pola q(x) itd. Lagrange jepisao fx , f ′x , f ′′x za funkciju, njenu prvu i drugu derivaciju.


Povijest matematike


Lagrange i derivacije

Krajem 18. st. Lagrange se bavio rigoroznim definiranjemderivacija.Prema Lagrangeu, infinitezimalni racun treba svesti na algebruredova. Za njega je racun s redovima podjednako algebra kaoracun s konacnim algebarski izrazima, isto kao sto je racun sebeskonacnim decimalnim razvojima i dalje aritmetika.U Theorie des fonctions analytiques (1797.) objavljuje (mislio jeda je to dokazao) da se svaka funkcija (analiticki izraz) mozezapisati u obliku

f (x + h) = f (x) + p(x)h + q(x)h2 + r(x)h3 + . . . , (3)

do na eventualno konacno mnogo x . Tako derivaciju od f (x)definira kao p(x), drugu derivaciju kao pola q(x) itd. Lagrange jepisao fx , f ′x , f ′′x za funkciju, njenu prvu i drugu derivaciju.


Povijest matematike


Prednost ovog pristupa: Izbjegava fizikalne argumente i kvocijenteinfinitezimalnih velicina. Derivacije su sad takoder funkcije.Mana: Tvrdnja o razvoju nije tocna!

Prema Lagrangeu, temeljno svojstvo derivacije je

f (x + i) = f (x) + if ′(x) + iV ,

ako se i za svaki D moze izabrati dovoljno malen da V budeizmedu −D i D. Iz toga izvodi

Teorem (Teorem srednje vrijednosti, izvorna formulacija)

Za svaki D moze se naci i sa svojstvom

i(f ′(x)− D) < f (x + i)− f (x) < i(f ′(x) + D).

Koristeci ovaj teorem Lagrange je dokazao razne tvrdnje oderivacijama, primjerice vezu predznaka f ′ i rasta/pada f . Vidimo:Skoro pa moderni pristup i definicija, ali je ovdje korolar teoremakoji nije bio ispravno dokazan.


Povijest matematike


Prednost ovog pristupa: Izbjegava fizikalne argumente i kvocijenteinfinitezimalnih velicina. Derivacije su sad takoder funkcije.Mana: Tvrdnja o razvoju nije tocna!Prema Lagrangeu, temeljno svojstvo derivacije je

f (x + i) = f (x) + if ′(x) + iV ,

ako se i za svaki D moze izabrati dovoljno malen da V budeizmedu −D i D.

Iz toga izvodi



i(f ′(x)− D) < f (x + i)− f (x) < i(f ′(x) + D).



Povijest matematike


Prednost ovog pristupa: Izbjegava fizikalne argumente i kvocijenteinfinitezimalnih velicina. Derivacije su sad takoder funkcije.Mana: Tvrdnja o razvoju nije tocna!Prema Lagrangeu, temeljno svojstvo derivacije je

f (x + i) = f (x) + if ′(x) + iV ,

ako se i za svaki D moze izabrati dovoljno malen da V budeizmedu −D i D. Iz toga izvodi



i(f ′(x)− D) < f (x + i)− f (x) < i(f ′(x) + D).



Povijest matematike


Cauchyjeva funkcija

Funkcija f : R→ R zadana je s

f (x) =

{exp(−1/x2), x 6= 00, x = 0

Njen Taylorov razvoj je nulfunkcija, kao i Taylorov razvoj samenulfunkcije. Dakle, funkcije opcenito nisu odredene svojimTaylorovim razvojem!Ovaj primjer i s time gresku u Lagrangeovoj argumentaciji, te1820ih godina moderni oblik matematicke analiza dao je


Povijest matematike


Augustin-Louis Cauchy (1789–1857)

Definicija (Cauchyjeva definicija funkcije (1821))

Ako su varijabilne velicine tako povezane, da ako je zadan iznosjedne, iz njega mozemo odrediti iznose ostalih, opcenito te razlicitevelicine izrazavamo preko te jedne, koju nazivamo nezavisnomvarijablom; ostale pak velicine, koje su izrazene preko nezavisnevarijable, zovu se funkcijama te varijable.

I dalje se funkcije poistovjecuju s formulama, iako je ovo pokusajukljucenja implicitno zadanih funkcija!

Cesto se kaze da je Cauchy uveo ε− δ-jezik u analizu. To nijesasvim tocno, iako se njegove definicije i dokazi lako prevedu na tajjezik.


Povijest matematike


Augustin-Louis Cauchy (1789–1857)

Definicija (Cauchyjeva definicija funkcije (1821))

Ako su varijabilne velicine tako povezane, da ako je zadan iznosjedne, iz njega mozemo odrediti iznose ostalih, opcenito te razlicitevelicine izrazavamo preko te jedne, koju nazivamo nezavisnomvarijablom; ostale pak velicine, koje su izrazene preko nezavisnevarijable, zovu se funkcijama te varijable.

I dalje se funkcije poistovjecuju s formulama, iako je ovo pokusajukljucenja implicitno zadanih funkcija!Cesto se kaze da je Cauchy uveo ε− δ-jezik u analizu. To nijesasvim tocno, iako se njegove definicije i dokazi lako prevedu na tajjezik.


Povijest matematike


Definicija (Cauchyjeva definicija limesa (1821))

Ako se slijed vrijednosti koje se pripisuju nekoj varijablineograniceno priblizava nekoj vrijednosti, tako da na kraju razlikado nje bude toliko mala, koliko zelima, posljednja se vrijednostzove granicnom vrijednoscu ostalih vrijednosti.

Cauchy dalje kaze da su infinitezimalne velicine one kojima je limes0. D’Alembert je slicnu definiciju dao u sklopu enciklopedijskogclanke, no Cauchy ide dalje – koristi ju u dokazima.

Definicija (Cauchyjeva definicija neprekidne funkcije (1821))

Funkcija f (x) je neprekidna funkcija varijable x unutar dviju danihgranica, ako se za svaki x izmedu njih brojcani iznos razlikef (x + α)− f (x) skupa s α beskonacno smanjuje.

Beskonacno mali prirast varijable izaziva beskonacno mali prirastfunkcije!


Povijest matematike


Slicnu definiciju dao je 1817. Bernard Bolzano (1781–1848) iiskoristio ju za dokaz neprekidnost polinoma na ε− δ-nacin (kodnjega D − ω1-nacin). No, Bolzanovi su doprinosi postali poznatitek u drugoj polovici 19. st.

Definicija (Cauchyjeva definicija derivacije (1823))

Derivacija f ′(x) funkcije f (x) je, ako postoji, limes kvocijentaf (x+h)−f (x)

h kad h tezi u 0.

Teorem (Teorem srednje vrijednosti (Cauchy))

Ako je f (x) neprekidna na [x , x + a], onda je

min[x ,x+a] f′(x) ≤ f (x+a)−f (x)

a ≤ max[x ,x+a] f′(x).

Dokaz: Neka su δ, ε dva jako mala broja; prvi se bira tako da zasve iznose i manje od δ i sve iznose x omjer (f (x + i)− f (x))/iuvijek bude veci od f ′(x)− ε i manji od f ′(x) + ε. . .Napomenimo ipak da se argumenti tipa ε− δ mogu naci i ranije,primjerice kod Lagrangea.


Povijest matematike





h kad h tezi u 0.



min[x ,x+a] f′(x) ≤ f (x+a)−f (x)




Povijest matematike





h kad h tezi u 0.



min[x ,x+a] f′(x) ≤ f (x+a)−f (x)




Povijest matematike


Cauchyjeve prve godine zivota bile su obiljezene Francuskomrevolucijom. Nakon iste je obitelj zivjela u Parizu, a cesti su imgosti bili Lagrange i Laplace. Svoje prvo nastavnicko mjestoCauchy je dobio 1815. na Ecole Polytechnique, na kojoj je istudirao. Vec 1816. postao je poznat (rjesenjem jednogFermatovog problema iz teorije brojeva). Brzo je napredovao.1820-ih je postavio moderne temelje matematicke analize iutemeljio kompleksnu analizu.Poznat je po losim odnosima s kolegama te radikalno, gotovofanaticno, katolickim stavovima. Abel je o njemu rekao: Cauchy jelud i tu se ne moze nista uciniti, no trenutno je on jedini koji znakako raditi matematiku. Cauchy je zagubio radove mnogihmatematicara ili ih dugo zaboravljao, nerijetko je tude rezultateobjavio pod svojim imenom.


Povijest matematike


Cijelog zivota je konzistentno podrzavao dinastiju Bourbon, takoda je 1830–1838 bio u dobrovoljnom egzilu. Nakon tog doba sumu zbog stavova odbijene mnoge pozicije. Sveucilisnu je pozicijudobio natrag tek 1848. Jedan je od najproduktivnijih matematicarau povijesti – objavio je 789 matematickih radova.

Cauchyjev suvremenik, Jean Baptiste Joseph Fourier (1768–1830),poznat je po razvoju teorije trigonometrijskih redova i fizikalnimrezultatima. On je uveo i oznaku

∫ ba . U sklopu nase teme

zanimljiva je njegova definicija funkcije:

Definicija (Fourierova definicija funkcije (1822))

Opcenito funkcija f (x) predstavlja niz vrijednosti ili ordinata, odkojih je svaka proizvoljna. Za beskonacno mnogo danih iznosaapscise x postoji jednako mnogo ordinata f (x). Sve one imajubrojcane iznose, pozitivne, negativne ili nula. Ne pretpostavljamoda te ordinate postuju neko opce pravilo; one slijede jedna zadrugom na bilo koji nacin i svaka je dana kao da je jedina.


Povijest matematike


Cijelog zivota je konzistentno podrzavao dinastiju Bourbon, takoda je 1830–1838 bio u dobrovoljnom egzilu. Nakon tog doba sumu zbog stavova odbijene mnoge pozicije. Sveucilisnu je pozicijudobio natrag tek 1848. Jedan je od najproduktivnijih matematicarau povijesti – objavio je 789 matematickih radova.Cauchyjev suvremenik, Jean Baptiste Joseph Fourier (1768–1830),poznat je po razvoju teorije trigonometrijskih redova i fizikalnimrezultatima. On je uveo i oznaku

∫ ba . U sklopu nase teme

zanimljiva je njegova definicija funkcije:

Definicija (Fourierova definicija funkcije (1822))

Opcenito funkcija f (x) predstavlja niz vrijednosti ili ordinata, odkojih je svaka proizvoljna. Za beskonacno mnogo danih iznosaapscise x postoji jednako mnogo ordinata f (x). Sve one imajubrojcane iznose, pozitivne, negativne ili nula. Ne pretpostavljamoda te ordinate postuju neko opce pravilo; one slijede jedna zadrugom na bilo koji nacin i svaka je dana kao da je jedina.


Povijest matematike


Teorijom Fourierovih redova bavio se i Johann Peter GustavLejeune Dirichlet. On je pak dao gotovo modernu definicijufunkcije (ne dajemo ju doslovno kao prethodne):

Definicija (Dirichletova definicija funkcije (1837))

Neka x poprima vrijednosti izmedu a i b. Ako svakom x-uodgovara samo po jedan konacan y , tako da se postepeno mijenjakako se x postepeno mijenja, y je neprekidna funkcija od x .

Dirichlet dalje jasno kaze da ne treva pstojati jedinstveno pravilo,stovise da ovisnost ne mora biti iskaziva matematickimoperacijama. Neprekidnoj funkciji odgovara neka neprekidnakrivulja od a do b.Slicnu je definiciju (takoder uz zahtjev neprekidnosti) daoLobacevski 1838. Obje je lako poopciti.


Povijest matematike


Karl Weierstraß (1815–1897)

Konacno je potpuno modernizirao analizu.Vec u gimnaziji istakao se matematickim znanjem, no po zelji ocaupisao je studij prava, financija i ekonomije u Bonnu. Rastraganizmedu studija i ljubavi prema matematici, nije pohadao nikakvapredavanja, nego proveo 4 godine pijuci i macujuci se i na vlastituruku proucavajuci matematicke tekstove. Zatim je odlucio postatimatematicar, a jedan obiteljski prijatelj je uvjerio oca da mudopusti studirati matematiku u Munsteru. 1841. postao jegimnazijski ucitelj, sto je uz predavanje matematike ukljucivalo ifiziku, botaniku, geografiju, povijest, njemacki, kaligrafiju igimnastiku.Od 1850. patio je od vrtoglavica (velik dio kasnijeg zivota morao jepredavati sjedeci), ali i od nezadovoljstva neispunjavajucim poslom.


Povijest matematike


Jednim clankom iz 1854. postaje poznat i stjece pocasni doktoratsveucilista u Konigsbergu. S vremenom je dobio i mjesto u Berlinu,a njegova su predavanja privlacila studente iz cijelog svijeta.Privatno je 1870–1874 poducavao rusku matematicarku SofijuVasiljevnu Kowalevskaju i s njom je do njene rane smrti1891. ostao u kontaktu, ali je zatim spalio svu njihovukoresponednciju. Kao i ona, umro je od upale pluca.Cauchyjevim definicijama jos je uvijek falilo preciznosti (obicna vs.uniformna neprekidnost?! . . . )

Definicija (Weierstraßova definicija limesa)

Funkcija f (x) ima limes L u x = x0, ako za svaki pozitivni ε postojiδ tako da je |f (x)− L| < ε za sve x za koje je 0 < |x − x0| < δ.

Weierstraß koristi oznaku lim, ali i npr. limn=∞ an =∞. Oznakulimx→x0

je cini se prvi put upotrijebio 1905 engleski matematicar

Leathem, a popularizirao ju je 1908 Godfrey Harold Hardy(1877–1947).Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike


Sad dakle imamo dobre definicije limesa i derivacije i neprekidnosti.No, sto je s integralima?

Riemannu je cilj bio odrediti nuzne uvjete za mogucnost razvojafunkcije u Fourierov red i otkrio potrebu preciziranja pojmaintegrala. On

∫ ba f (x)dx opisuje kao limes zbroja

δ1f (a + ε1δ1) + δ2f (x1 + ε2δ2) + . . .+ δnf (xn−1 + εnδn),

ako svi δi = xi − xi−1 teze u nulu i ako je taj limes neovisan oizboru xi (a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < b = xn) i εi > 0.


Povijest matematike


Sad dakle imamo dobre definicije limesa i derivacije i neprekidnosti.No, sto je s integralima?Riemannu je cilj bio odrediti nuzne uvjete za mogucnost razvojafunkcije u Fourierov red i otkrio potrebu preciziranja pojmaintegrala. On

∫ ba f (x)dx opisuje kao limes zbroja

δ1f (a + ε1δ1) + δ2f (x1 + ε2δ2) + . . .+ δnf (xn−1 + εnδn),

ako svi δi = xi − xi−1 teze u nulu i ako je taj limes neovisan oizboru xi (a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < b = xn) i εi > 0.


Povijest matematike


Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826–1866)

Vec u skoli je pokazao interes za matematiku. Otac mu je bioluteranski svecenik pa je po njegovoj zelji poceo studirati teologijuu Gottingenu, no kasnije je presao na matematiku. Predavao muje, medu ostalima, Gauß. Kasnije se prebacio u Berlin, gdje su muprofesori bili Steiner, Jacobi i Dirichlet.Mentor doktorata bio mu je Gauß, ali su veci utjecaj na njega imalifizicar Weber i matematicar Listing te je tako stekao solidne osnovefizike i topologije. Njegovo habilitacijsko predavanje 1854. Uberdie Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen potpuno jepreobrazilo geometriju. Uz geometriju i topologiju ostavio je velikerezultate u realnoj i kompleksnoj analizi te teoriji brojeva. Karijeruje proveo u Gottingenu, a umro je mlad od tuberkuloze.


Povijest matematike


A funkcije?

Tijekom 19. st. otkrivene su mnoge neobicne funkcije (Cauchyjeva;Dirichlet – funkcija prekinuta u svakoj tocki; Weierstraß –neprekidna funkcija koja nigdje nije derivabilna). To je ukazivalona potrebu poboljsanja definicije.

Definicija (Hankelova definicija funkcije (1870))

Funkcija se zove y od x ako svakom iznosu promjenjive velicine xunutar nekog intervala odgovara odredeni iznos y , neovisno o tomeovisi li y o x na cijelom intervalu po istom pravilu o x ili ne,neovisno o tome moze li se ta ovisnost opisati matematickimoperacijama ili ne.


Povijest matematike


Poincare 1899. kaze: Prije, kad se nasla nova funkcija, to je bilo sprakticnim ciljem. Danas se izmisljaju da se pokaze da jeargumentacija nasih predaka bila kriva.

Definicija (Goursatova definicija funkcije (1923))

Za y kazemo da je funkcija od x , ako svakom iznosu x odgovarajedan iznos y . Takva se veza iskazuje formulom y = f (x).


Povijest matematike

Documents

Franka Miriam Bruckler - PMFprelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/PovMat/povmat12-2017.pdf · Torricelli i Barrow (osnovni teorem in nitezimalnog ra cuna). Njihovi su rezultati matemati