Q Q' d l

a z

u jC/O

VU-Ic d

C D

U J1^1 c o c o [ ) Q _

(3

í í l f l X i m K I A D Ó • S Z E G E D 2 0 0 6

Szerző: FRÖHLICH LAJOS

Lektor:DR. SZABÓ TAMÁS

egyetemi docens

Minden jog fenntartva, beleértve a sokszorosítást, a mű bővített, illetve rövidített változata kiadásának jogát is. A kiadó írásbeli engedélye nélkül sem a teljes mű, sem annak része semmilyen

formában nem sokszorosítható.

ISBN 963-9489-34-4

© Copyright Maxim Kiadó, Szeged

c ELOSZQ

Ez a könyv az új kétszintű érettségi rendszer középszintű matematika vizsgájára való felkészülésben kíván segítséget nyújtani. Tartalmazza az elméleti anyagot, tételeket, és — ahol az szükséges a témakör alaposabb megértéséhez, — kidolgo­zott példákat. Természetesen az alapos begyakorláshoz nem elegendőek ezek a példák, ahhoz példatárakra van szükség. Sok jó példatárat Egységes érettségi feladatgyűjtemény (Konsept-H Kiadó), Matematikai Feladatgyűjtemény I-Il (Tankönyvkiadó) ajánlhatunk az érettségire készülő diákoknak. Szükség van az önálló gyakorlásra, hogy sikerüljön elsajátítani az adott témakörökhöz tartozó sajátos módszereket, eljárásokat. A feladatok megoldása előtt viszont meg kell tanulni a témakörökhöz tartozó elméleti alapokat, tételeket, vagyis ezen könyv és a példatárak közös használata eredményezhet alapos felkészülést. Középszinten a tételek bizonyításait nem kell tudni. Ennek ellenére néhány egyszerű bizonyítást tartalmaz a könyv a tételek jobb megértése érdekében. Remélhetőleg ez a könyv hozzá tud járulni egy alapos felkészüléshez, melyhez sok kitartást és sikert kivánok.

A szerző

c ALAPFOGALMAK J

Ahhoz hogy a matematika felépítését kicsit tisztábban lássuk, szükség van néhány dolog tisztázására.A matematika is fogalmakkal dolgozik. Ehhez viszont szükség van, hogy a fo­galmak jelentése lehetőleg egyértelmű legyen.

DefinícióAmikor egy fogalmat már ismert fogalmakkal megmagyarázunk, azt definíci­ónak nevezzük. (Ez volt a definíció definíciója.)

AlapfogalomMinden fogalmat nem tudunk már ismert fogalmakkal definiálni, hisz őket is vissza kellene vezetni ismert fogalmakra, azok pedig egyszer elfogynának. Te­hát vannak olyan fogalmak, melyeket már nem definiálunk, hanem jelentését szemléletesen elfogadjuk. Ezek az alapfogalmak.

ÁllításokAz ismert fogalmakkal kapcsolatban állításokat fogalmazunk meg. Azt azon­ban, hogy ezek igazak, bizonyítani kell.

BizonyításAzt a gondolatmenetet, mikor egy ismeretlen állítást levezetünk már igaznak elfogadott állítások segítségével a matematikai logika következtetési szabályai szerint, bizonyításnak nevezzük.Azonban itt is elfogynak egyszer csak az igaznak elfogadott állítások. így kell lenni olyan állításoknak, melyeket bizonyítás nélkül elfogadunk igaznak.

AxiómaOlyan állítások, melyeket bizonyítás nélkül is elfogadunk. A matematika kü­lönböző területei más-más axiómákból, úgynevezett axiómarendszerből, indul­nak ki. Jól meghatározott, hogy egy axiómarendszernek milyen tulajdonságok­kal kell rendelkeznie.

CzD

c ALAPFOGALMAK

RelációAz állítások egy része a matematikai objektumok (számok, halmazok, vektorok stb.) közötti kapcsolatra vonatkozik. Ezeket relációnak nevezzük. Tehát a reláció egy állítás, ami vagy igaz, vagy nem. Itt nem merülhet fel az értelmezhetőség, az

értelmesség kérdése. Például 2 <5; 3|l5; A c B\ a egyállású 5-vel

MűveletekAmikor matematikai objektumokhoz valamilyen szabály alapján egy objektu­mot rendelünk, akkor műveletről beszélünk. Ez utóbbit nevezzük a művelet eredményének. Itt már előfordulhat, hogy egy bizonyos szabály az objektumok egy részére értelmezhető csak, a többire értelmetlen. Például a négyzetgyökvo­nást negatív számokra nem szoktuk értelmezni középiskolában, ponthalmazok­ra, mondjuk körre, meg pláne nem. Például:

6 + 5 = 11; {l; 2; 3; 4 } n -{3; 4; 6; 8 }= ■§; 4 }

a (-2; 5 ) - b (-4; 2 )=c (2; 3 ) / a /j = /i

C D

c HA LM AZELM ELET

1. HALMAZELMÉLET, MATEMATIKAI LOGIKA, KOMBINATORIKA, GRÁFOK

1.1. HALMAZELMÉLET

1.1.1. Fogalmak

HalmazA halmaz alapfogalom, így nem definiáljuk. A halmaz bizonyos meghatáro­zott, különböző dolgok összessége.Neve nagybetű szokott lenni, pl. A, B, C ,...

A halmazt alkotó dolgokat a halmaz elemeinek nevezzük. Az elem fogalma is alapfogalom, nem definiáljuk. Egy halmazban, annak minden eleme csak egy­szer fordulhat elő. A halmaz elemei között semmiféle kapcsolatnak nem kell lenni, kivéve egyet: pontosan az a közös bennük, hogy ugyanazon halmaznak elemei.

Jele: e , pl. b e A (b eleme A halmaznak). b g A azt jelenti, hogy b nem eleme A halmaznak.

Néhány fontos számhalmaznak egyezményes jelölése van természetes számok halmazának Negész számok halmazának Zracionális számok halmazának Q

irracionális számok halmazának Q*valós számok halmazának RVan más egyszerűsített jelölés is, például pozitív egész számok halmazára N+ vagy Z+, negatív valós számok halmazára Í r , nem negatív valós számok hal­mazára KJ, (pozitív valósak és a nulla).A fenti számhalmazokról bővebben később lesz szó.

Üres halmaz az a halmaz, melynek nincs eleme.Jele: 0 vagy { }

HALMAZELMÉLET

Halmaz megadásaEgy halmaz megadása az elemeinek az egyértelmű megadása. Ez akkor helyes, ha bármiről egyértelműen eldönthető, hogy a halmaznak eleme vagy nem.Például „magas fiúk'’ vagy „okos lányok" halmazáról nem beszélhetünk, hisz nem egyértelmű, hogy kik tartoznak hozzájuk és kik nem.

Megadási lehetőségek:— felsorolással (amennyiben ez lehetséges): kapcsos zárójelben az elemeket

pontos vesszővel elválasztva, például: A = (2; 3; 4; 5}(egy elemet csak egyszer sorolunk fel, és a felsorolás sorrendje nem számít)— szavakkal adott utasítással. Például: B = { 10-nél kisebb pozitív egész

számok}— szimbólumokkal. Például:

C = { x \ x < 10},D = {2h | n e N és n < 50}

Az első részben a halmaz elemeinek jelét írjuk, majd a függőleges vonal után a tulajdonságait.Ezen két utóbbit csak akkor alkalmazhatjuk, ha van közös tulajdonság az ele­mek között, ami a halmaz összes elemére igaz és másra nem.

Halmazok számossága:Ha egy halmaznak véges sok eleme van, azaz, ha egy természetes számmal megadhatjuk az elemeinek a számát, akkor azt véges halmaznak nevezzük. Ez a természetes szám pedig a halmaz számossága.Az \A\ vagy n(A) jelöli A halmaz számosságát.

Végtelen halmaznak nevezzük azokat a halmazokat, melyeknek bármely ter­mészetes számnál több eleme van.Például: N Z, Q, R, [0; 1], egy szakasz pontjainak halmaza.

1.1.2. Halmazok közötti relációk Halmazok egyenlőségeKét halmaz egyenlő, ha elemeik rendre megegyeznek.Jele: =, például, {2; 3; 4} = {4; 2; 3}

©

c HALMAZELMÉLET )RészhalmazEgy A halmaz részhalmaza ő-nek, ha A minden eleme eleme 5-nek is. Jele: c , például, ha A = {5; 7} és B = {3; 4; 5; 6; 7}, a k k o ri c B

Tulajdonságok:— bánnely halmaz részhalmaza önmagának, A c A,— bánnely halmaznak részhalmaza az üres halmaz, 0 c A,— baA c B és B c C , akkor A c C,— h\ A ez B és B c A , akkor A = B.

Valódi részhalmazEgy A halmaz valódi részhalmaza ő-nek, ha A részhalmaza 5-nek, de 5-nek van olyan eleme, mely nem eleme v4-nak.Jele: c , például {3; 5} c {2; 3; 4; 5}.Tulajdonság:— ha A c B és B c C , akkor A c C.

1.1.3. Halmazműveletek Halmazok uniója (egyesítése):Az A és B halmaz uniója a két halmaz összes elemét, és csak ezeket tartalma­zó halmaz.Az A és B halmaz uniójának jele: A u B.Például, ha A = {1; 2; 3} és 5 = {2; 3; 4; 5}, akkor A u / ? = {1; 2; 3; 4; 5}

G D

c HALMAZELMÉLET )A u B

A

Tulajdonságok: A u 0 = AA u A = AA u B = B u A kommutatív ( ^ u S ) u C = ^ u ( S u C ) asszociatív

Halmazok metszeteAz A és B halmaz metszete a két halmaz közös elemeit, és csak ezeket tartal­mazó halmaz.Az A és B halmaz metszetének jele: A n B.Például, ha A = {1; 2; 3} és B = (2; 3; 4; 5}, akkor A n B = {2; 3}.

Halmazok különbségeAz A és B halmazok (ebben a sorrendben vett) különbsége az A halmaz azon elemeinek halmaza, amelyek nem elemei a B halmaznak.Az A és B halmaz különbségének jele: A \ BPéldául, ha A = {1; 2; 3} és B = {2; 3; 4; 5}, akkor A \ B = {1}.

A r

Tulajdonságok: A n 0 - 0 A n A = AA n B - B n A kommutatív(A n B) n C = A n (B n C) asszociatív

t HALMAZELMÉLET

A\B

Tulajdonságok: A \ 0 = A0 \ A = 0 ,A \ A = 0 ,A \ B * B \ A nem kommutatív

Két halmaz diszjunkt, ha nincs közös elemük, azaz metszetük az üres halmaz.

Komplementer halmazMa A c H, akkor H \ A különbséghalmazt A -nak H-ra vonatkozó kiegészítő vagy komplementer halmazának nevezzük. (H-t szokás alaphalmaznak ne­vezni.)A halmaz komplementerének jele: A vagy A„

H

Tulajdonságok: H = 0 , 0 = H A =AA u A = H, A n A = 0 ,A \ B = A n E

Q Példaí gy osztálykiránduláson a diákok a záróra tájékán értek csak oda egy cukrász­dához. így már csak kétféle fagyi volt, amiből választani lehetett. Azért min­denki fagyizott. 9-en ettek meggyes és csokis fagyit, 15 diák tölcsérében volt megygyes fagyi és 23 tölcsérében csokis. Hány fős az osztály?

GD

c HALMAZELMÉLET JMegoldás:Legyen M halmaz azoknak a halmaza, akik meggyes fagyit nyaltak és C akik csokis fagyit nyaltak. Arra kell figyelni, hogy akinek volt meggyes fagyi a töl­csérében, azaz nyalt meggyes fagyit, annak nem biztos hogy csak az volt, mivel M és C nem diszjunkt. így az ismert adataink: \M\ =15, |C| =23, \M n C| =9. A kérdés pedig |M u C|.

Először a metszet számosságát tudjuk beírni. Ez után megállapíthatjuk, hogy az M halmaz metszeten kívüli részében 6 főnek kell lennie, hisz így lesz meg a 15 fő. Hasonlóan megkapjuk, hogy a C halmaz metszeten kívüli részében 14 fő van. Az egyes különálló részek számosságainak összegeként megkapjuk az osztálylétszámot.Az osztály 29 fős.

Q ± )

c MATEMATIKAI LOGIKA J1.2. MATEMATIKAI LOGIKA

1.2.1. Fogalmak

Kijelentés, állításAzokat a kijelentő mondatokat, melyekről egyértelműen el lehet dönteni, hogy igazak vagy hamisak, állításoknak vagy kijelentéseknek nevezzük.Jelük: általában nyomtatott nagybetű

Logikai értékEgy állítás logikai értéke az állítás kapcsán az „igaz”, illetve „hamis” érték. Jele: (A) állítás logikai értékének jele \A\Az előző példa alapján \A\ = i, |ő| = h.Az igaz értéket szokták 1-gyel, a hamis értéket 0-val is jelölni.

Állításokból újabb állításokat tudunk előállítani.Például:Elmegyek moziba. AMegnézek egy filmet. BElmegyek moziba és megnézek egy filmet. A és B Nem megyek moziba. nem AHa elmegyek moziba, akkor ha A, akkor Bmegnézek egy filmet.

Azokat az állításokat, melyeket más állításokból állíthatunk elő, összetett ál­lításoknak nevezzük. A többieket elemi állításoknak.Amikor állításokat úgy kapcsolunk össze, hogy a kapott állítás logikai értéke csak az őt alkotó állítások logikai értékétől és az összekapcsolás módjától függ, akkor logikai műveletről beszélünk.

Például(A) A kettő páros szám.(B) 2 - 2 = 5(C) Ma kedd van.

állítás, hisz tudjuk, hogy igaz; állítás, hisz tudjuk, hogy hamis; állítás, hisz egyértelműen eldönthető, hogy igaz vagy nem; nem állítás, hisz szubjektív vélemény, nem egyértelmű, hogy igaz-e.

Kedves vagy.

G j D

c MATEMATIKAI LOGIKA

1.2.2. Műveletek

Negáció (állítás tagadás)A negáció egyváltozós művelet. Egy A kijelentés negációjának jele _,A vagy A. Olvasata: „nem A” ; „nem igaz, hogy A ” .

Értéktáblázat segítségével definiáljuk.________A Ai hh i

Konjunkció (és)Kétváltozós művelet. A, illetve B állítás konjunkciójának jele A a B. Olvasa­ta: ,„A és B \

Értéktáblázat segítségével definiáljuk.

A B A a Bh h hh i hi h hi i i

Két állítás konjunkciója csak akkor igaz, ha mindkét állítás igaz.

Diszjunkció (vagy)Kétváltozós művelet. A, illetve B állítás diszjunkciójának jele A v B. Olvasa­ta: vagy B ’.

Értéktáblázat segítségével definiáljuk.

A B A v Bh h hh i ii h ii i i

Két állítás diszjunkciója csak akkor hamis, ha mindkettő állítás hamis.

GD

c MATEMATIKAI LOGIKA 3

AzonosságokA a A - A A v A = AA a 5 — B a A A v B = B v A (A a B) a C = A a { B a Q (A v B) v C = /i v ( 5 v Q

kommutativitás

asszociativitás tagadás tagadása

Észrevehető, hogy az azonosságok nagyon emlékeztetnek a halmazműveletek azonosságaira. Ha a helyett n , v helyett u , h helyett 0 , i helyett H szerepel és a negáció jele a komplementer halmaz jelének felel meg, akkor a halmazmű­veletek azonosságait kapjuk meg.

Implikáció (ha...., akkor....)Kétváltozós művelet. Jele A => B. Olvasata: „ha A, akkor B ".A műveletet magyarul következtetésnek, A -1 feltétehiek, 5 -t pedig következ­ménynek hívjuk.

■rtéktáblázat segítségével definiáljuk.A B A = * Bh h ih i ii h hi i i

A következtetés csak akkor hamis, ha a feltétel igaz, de a következmény mégis hamis. Hamis állításból bármi következik.

(A => B)-1 olvashatjuk másként is.„A elégséges 5-hez” vagy „5 szükséges A-hoz”A következő példa alapján talán könnyű megérteni.I.egyen a „ha esik az eső, vizes az utca” állítás. Ekkor, hogy esik az eső ele­gendő ahhoz, hogy az utca vizes legyen. Ahhoz pedig, hogy tudjuk, hogy esik az eső, szükséges, hogy vizes legyen az utca, mivel száraz utca esetén biztos nem esik az eső. Azonban az, hogy vizes az utca nem elegendő ahhoz, hogy tudjuk esik az eső, hisz egy locsolókocsi is lehet az ok.

GjD

c MATEMATIKAI LOGIKA 3

Ekvivalencia (akkor és csakis akkor)Kétváltozós művelet. Jele A <=> B. Olvasata: „A akkor és csakis akkor, ha B '.

Értéktáblázat segítségével definiáljuk.A B /!<=>#h h ih i hi h hi i i

Az ekvivalencia akkor igaz, ha a két állítás logikai értéke megegyezik.

AzonosságokA => B = A v BA B = (A => B) a (B => A) Tehát A szükséges és elegendő feltétele 5-nek

és B is /4-nak.

A matematikai tételek általában implikációk vagy ekvivalenciák. Az előbbi bi­zonyítása során a feltételből helyes matematikai következtetések segítségével el kell jutni a következményhez. Közben már bizonyított tételeket, illetve axi­ómákat felhasználhatunk. így látjuk be, hogy a feltétel valóban elégséges fel­tétele a következménynek.

Ekvivalenciát két implikáció bizonyításával bizonyítunk. Be kell látni, hogy mindkét állításból következik a másik.Például ismerjük a Pitagorasz-tételt és megfordítását.Pitagorasz-tétel: Ha egy háromszög derékszögű, akkor befogóinak négyzetös­szege egyenlő az átfogó négyzetével.Pitagorasz tételének megfordítása: Ha egy háromszög két rövidebbik oldalának négyzetösszege egyenlő a hármadik oldal négyzetével, akkor a háromszög de­rékszögű.A két tételt együtt is megfogalmazhatjuk: egy háromszög akkor és csakis ak­kor derékszögű, ha két oldalának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal négyzetével.Szimbólumokkal:ABCAa2 + b2 = c2 <=> y = 90°

GjD

c MATEMATIKAI LOGIKA 3

1.2.3. Kvantorok

Matematikai állításokban gyakran használjuk a „minden .v-re” vagy „van olyan x, hogy” típusú kifejezéseket. Ezeket szimbólumokkal a következőképpen ír­juk.

V jelentése „minden . . .” vagy „bármely . . .”3 jelentése „létezik olyan ..., hogy” vagy „ van legalább egy olyan .... hogy” Az első az univerzális kvantor, a második az egzisztenciális kvantor. Például a „minden pozitív szám nagyobb a felénél” így írható:

V.v > 0: ,v > — vagy V.v: .v e K+ => x > —2 2

A „bármely két különböző szám között van egy harmadik” pedig így:V.v, y : x < v => (3Iz : x < z < y)

Kvantorok tagadásaA „van olyan x , melyre igaz P típusú állítások, melyben P egy .v-re vonatko­zó tulajdonság, állítás, tagadása a „minden .v-re nem P \ magyarosabban „egyik x-re sem igaz P ”.Például „van olyan kutya, mely harapós” tagadása „minden kutya nem hara­pós”, azaz „az összes kutya nem harapós”.

Szimbólumokkal:3.v : P(x) tagadása V.v : P(x). x: kutya,/ ’: a harapós tulajdonság.

A „minden .v-re igaz P " típusú állítások tagadása „van olyan .v, melyre nem igaz l ‘". Azaz egy ellenpélda már elegendő a tagadáshoz.Például a „minden sportos fiú szeret focizni” állítás tagadása a „van olyan spor­tos fiú, aki nem szeret focizni” állítás.

SzimbólumokkalV.v : P(x) tagadása 3x : P(x).\ : sportos fiú,/ ’ szeret focizni tulajdonság.

Gjl)

c MATEMATIKAI LOGIKA

Q Példák1. Mi az „Esik az eső, és fúj a szél.” kijelentés tagadása?Megoldás:Formalizáljuk az állítást. Legyen;A: esik az eső;B: fúj a szél.

Ekkor a mondat A a B alakú, a tagadása pedig A a B - A v B.Szavakkal:Nem esik az eső, vagy nem fúj a szél.

2. Hány különböző módon olvasható ki a GONDOLKODÓ szó a mellékelt áb­rából, ha a G-től indulva csak jobbra vagy lefelé haladhatunk?

G O N D

O N D ON D O L

K O D

O D Ó

Megoldása) Nézzük meg külön-külön a betűket, hogy hányféleképpen lehet eljutni hoz­

zájuk. Ez minden betűnél az őt megelőző betűkbe való eljutási lehetőségek számától függ. Például, ha a második sor D betűjéhez ^-féleképpen jutha­tunk el, a harmadik sor D betűjéhez pedig ^-féleképpen, akkor a harmadik sor O betűjéhez, mivel ezen két betűből lehet csak hozzá eljutni, (k + ri) fé­leképpen juthatunk el. írjuk tehát minden betű mellé a hozzá való eljutások lehetőségeinek számát.

G, O, Nj D,

O, N, D 3 0 4

^1 ó<; L 10Kio O jo D1U

O10 D3(l O^

Tehát a szó kiolvasására 30 féle lehetőségünk van.

MATEMATIKAI LOGIKA D

b) Nézzünk egy konkrét kiolvasást. Jelöljük 6-vel, ha egy betűből balra hala­dunk tovább, és /-lel, ha lefelé.

A hatodik lépés azért van megjelölve, mert ott csak a lefelé haladás választha­tó. Az előtte lévő öt lépés közül kettő lehet lefelé és három balra irányuló. Há­rom b betű és két / betű sorbarendezésére

5!

3!- 2!

lehetőség van, hiszen a három b, illetve a két l betű egymásközti sorrendje nem számít. Hasonlóan gondolkodhatunk az utolsó három lépés esetén is, ahol két balra lépés, és egy lefelé lépés lehet. Ezek lehetséges sorrendje

3!

2 !lehet.Mivel az első öt lépés független az utolsó háromtól, bármelyikhez bármelyik kapcsolódhat, az összes kiolvasási lehetőségek száma:

5! 3 !_ 5-4 3-2 _ 3Q

3!■ 2! 2! 2-2

GED

1.3. KOMBINATORIKA

A kombinatorika a matematika azon ága, mely véges számú elemnek (tárgy, szám, betű stb.) bizonyos szabály szerinti csoportosításával, rendezésével fog­lalkozik.A középszintű érettségin csak a legalapvetőbb problématípusokhoz tartozó gondolatmeneteket kell ismemi. Így néhányat felsorolunk a legfontosabbak kö­zül. A gondolkodási módokat kell megérteni és elsajátítani, melyhez persze sokkal több hasonló problémával kell foglalkozni.

Q Példák1) Nyolcán vesznek részt egy futóversenyen. Hányféleképpen alakulhat a be­futók sorrendje, ha mindenki célba ér, és egyszerre befutók nincsenek? MegoldásAz első helyen mind a nyolcán beérkezhetnek. A második helyet már csak a maradék hét ember közül szerezheti meg valaki. Mivel bármely első befutó után akárki befuthat a hét közül, ezek függetlenek egymástól, az első két hely­re a lehetőségek száma 8 ■ 7 = 56. A többi helyezésnél hasonlóképpen lehet gondolkozni, mindig eggyel kevesebb a lehetőségek száma az adott helyezés­re. így az összes lehetőségek száma 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 = 40320.Ezt a szorzatot nyolc faktoriálisnak nevezzük és így jelöljük 8!.Általánosan: n db különböző dolgot 1 • 2 ... n = n\ (/? faktoriális)-féleképpen lehet sorbarendezni.

2) Az előző versenynél hányféleképpen lehet kiválasztani a dobogósokat? Megoldása) Itt már nem fontos az első három helyezett sorrendje sem, csak, hogy kik azok. Tehát az előző eredményt még el kell osztani az ő sorbarendezési lehető-

8 ’ 6•7 • 8ségeikkel. azaz 3!-sal. ísy az eredmény -—— = -------- = 56.5! 3! 1-2-3

( KDMBIN ATP RIKA

Ezt a számot -mai jelöljük és „nyolc alatt a három”-nak olvassuk.

CED

( KDMBI NATO RIKA

Általánosan: n db különböző dolog közül m db-ot (n > ni) hét kiválasztani.

-féleképpen le­

it

n\ n- ( /i- 1 ( n - k + 1)k !• ( n - k )! k • ( k -1 ) ...-2 • 1

binomiális együtthatónak nevezzük.

Definíció szerint 0! = 1 és 1! = 1, így

és „w alatt a /c”-nak olvassuk és

Könnyen belátható, hogy

1! = [

f n ' |

= 1.

nn - k , hiszen amikor k darabot kiválasztunk,

Í I 8 1 '1 8 '

1 ‘ l f 7

akkor azt is eldöntjük, hogy melyik (n - k) darab legyen, amit nem választunk ki. Például, ha 18 emberből egy futballcsapatot akarunk összeállítani, akkor mindegy, hogy azt a 11-et választjuk ki akik játszhatnak, vagy azt a 7-et

akiknek a pályán kívül kell maradniuk,

3) A kilenc futó közül három magyar, négy német és két olasz. Hányféleképpen alakulhat a nemzetiségek sorrendje a befutáskor, az előzőekhez hasonló felté­telek mellett?MegoldásHa a lehetséges 9!-féle befutások egyikében a magyarok sorrendjét felcseréljük, semmi változás nem történik. így a 9!-t a magyarok összes lehetséges felcserélésé­nek számával, azaz 3!-sal el kell osztani. Ez azonban igaz a német versenyzőkre is,

9! 9-8-7-6-5-4-3-2 ■ Ipláne az olaszokra. Tehát az eredmény3!-4!-2! 3 2 1 4-3 21-2-1

= 6120.

4. Egy dobókockával ötször dobunk egymás után. Hány különböző dobássoro- /atot kapunk, ha a dobások sorrendje számít?Megoldásl;gy dobásnak hat különböző kimenete lehet. Az első dobás eredménye tehát hatféle lehet, a másodiké ettől függetlenül szintén hatféle. így együtt már 36 fé­le sorozatot adnak. Az újabb dobások pedig rendre meghatszorozzák a dobás­sorozatok számát. így az összes lehetséges kimenetek száma 6 \

GD

( KOMBINATORIKA

5) Év végén a 28 fős osztályban jutalmat osztanak ki. Hányféle jutalmazás le­hetséges, ha egy diáka) csak egyet kaphat a három különböző könyv közül;b) többet is kaphat a három különböző könyv közül;c) csak egyet kaphat a három egyforma könyvutalvány közül;Megoldása) Az első könyvet 28 fő kaphatja meg, a másodikat már csak 27 fő és az utol­

sót már csak 26 diák valamelyike kaphatja. így a lehetőségek száma28 ■ 27 ■ 26 = 19656.

Egy másik lehetséges gondolatmenet az, hogy sorbaállítjuk az osztályt és az el­ső három kapja a könyveket. A sorbaállítás 28!-féleképpen lehetséges, de az el­ső három főn túli 25 fő sorrendje nem fontos a kiválasztás szempontjából, így az ő lehetséges sorbaállásaik számával osztani kell. A lehetőségek száma tehát

28!— = 28 ■ 27 • 26.25!

b) Ekkor bárki megkaphatja mindegyik könyvet, mind a három könyvnél 28 le­hetőség van a kiosztásra. így az összes esetek száma 283 = 21952.

c) Mivel a könyvutalványok egyformák, csak azt a három embert kell kiválasz-

28 '

, 3 fÚgy is gondolkodhatunk, hogy az a)-beli lehetőségek számát el kell osztani 3!-

28!sál, mivel a három diák sorrendje már nem számít. így ------- - -t kapunk, melyegyenlő az előbb kapott számmal. 25!-3!

6) Öt házaspár elmegy moziba. Hányféleképpen ülhetnek le a nézőtéren? MegoldásAz öt párost öt egységnek foghatjuk fel, hisz őket szétszakítani nem tudjuk, te­gyük fel, hogy erősen tiltakoznának. Az öt páros 5!-féleképpen tud leülni. Egy adott leülést viszont megdupláz, ha egy párosban helyet cserélnek. így minden leülést ötször lehet megduplázni. így az összes leülési lehetőség száma 5! ■ 2 \

tani az osztályból, akik megkapják. Erre lehetőség van.

GD

c KOMBINATORIKA

7) Ez az öt páros a mozi után lemegy étterembe. Ott egy kerek asztalt kapnak. Hányféleképpen ülhetnek le?MegoldásItt is egy párt egy egységnek foghatunk fel. Míg nem ül le senki, a helyek kö­zött nincs különbség. így bárhova ül le az első páros, az egy esetet jelent. A töb­biek már hozzájuk képest ülnek le, összesen 4!-féleképpen. A párok helycseré-

4 *• 25je itt is duplázódást jelent, így az lehetőségek száma —— .

8) Nyolcán veszenk részt egy futóversenyen. Hányféle képpen alakulhatnak a dobogós helyezések?Megoldása) Az előző 8! féle sorrendben csak az első három sorrendje számít. Egy adott ilyen hármas esetén, ha a többiek sorrendjét megváltoztatjuk, az ebben a prob­lémában nem jelent változást. így minden helyzet ennyiszer, azaz 5!-szor is-

8! 1 • 5 • 6 ■ 7 • 8métlődik. így a lehetőségek száma — = ——------------- = 6 • 7 ■ 8 = 336.5! 1-...-5

' 8*b) Válasszuk ki azt a három embert, akik a dobogóra fogank állni. Ezt

féleképpen tehetjük meg. Ők 3! féleképpen állhatnak fel a dobogóra, így az

összes lehetőségek számav3.

■3!

c) Az első helyre 8 ember futhat be, a másodikra a többi 7-ből bárki és a har­madik helyre a megmaradt 6 ember közül valaki. így az összes lehetőségek száma 8 * 7 - 6 = 336.

< S )

c G RÁ FOK 3

1.4. GRÁFOK

Ha véges sok adott pont közül egyeseket vonallal összekötünk, akkor a kapott ábrát gráfnak nevezzük.

Ebben az esetben a további vizsgálatok nem szólnak a konkrét geometriai el­helyezkedésről, pusztán a pontokról és az összekötöttség tényéről.A pontokat v(, v2, ...-vei, éleit e h e2, ...-vei jelöljük.Példaként itt van négy gráf. Két kétpontú, egy hatpontú és egy négypontú.

További definíciók:A pontok a gráf pontjai vagy szögpontjai, a vonalak a gráf élei.

Teljes gráf: Ha egy gráfnak n pontja van (n pozitív egész szám), és mindegyik pontból pontosan egy-egy él vezet az összes többi ponthoz, akkor a gráfot n pontú teljes gráfnak nevezzük. Például az első és a negyedik gráf.

e

c GRÁFOK

Hurok: A gráfokban előfordulhat olyan él is, amelynek mindkét végpontja ugyanaz a pont. Az ilyen él neve hurok. Például a harmadik gráfban az <?l0-es él.

Többszörös él: Két csúcs között több élt is húzhatunk, ezek a többszörös élek. Például a második gráf élei és a harmadik gráf e,-es és e^-es élei.

Egyszerű gráf: Egy gráfot egyszerűnek nevezünk akkor, ha nincs benne sem hurok, sem többszörös él. Például az első és a negyedik gráf.

Összefüggő gráf: A gráf összefüggő, ha bármely pontjából bármely másik pontjába élek egymásutánja mentén el lehet jutni. Például az első, a második és a negyedik gráf.

Kokszán): A gráf egy pontjára illeszkedő élek számát a pont fokszámának, rö­viden fokának nevezzük. A hurokéit úgy tekintjük, hogy kétszeresen illeszke­dik a pontjára. Például a harmadik gráfban a v7 fokszáma 0, v4 fokszáma 2, v5 és v6 fokszáma 3, v(, v2 és v3 fokszáma 4.

Q Példák:I) Négy szomszéd mindegyike úgy épített utat a másik három házához, hogy a/ok nem keresztezik egymást. Rajzoljon egy lehetséges úthálózatot! MegoldásA házakat pontokkal ábrázoljuk, az őket összekötő utakat pedig görbékkel. így kapjuk az egyik lehetséges úthálózatot.

Abból a szempontból, hogy lehetséges-e egy ilyen úthálózatot építeni nem fon­tos, hogy a görbék milyen alakúak, illetve, hogy a házak hogy helyezkednek el. ( sak az a fontos, hogy két pont között tudunk-e húzni élet kereszteződés nélkül.

GD

c G RÁFP K

2) Van-e olyan 8 fős társaság, amelyben a társaság mindegyik tagjának ponto­san 3 haragosa van jelen? (A harag kölcsönös.)MegoldásItt is lehet gráffal ábrázolni a helyzetet. Legyenek a pontok a társaság tagjai és az élek a kölcsönös haragosi viszony. Olyan 8 pontú gráfot kell rajzolni, mely­nek minden pontjához 3 él tartozik.

Tehát lehet ilyen 8 fős társaság.

3) Kovács úr elégedetten nézegeti a tapétát a falon. Éppen most fejezte be szo­kásos ellenőrző körútját házában, mely során minden ajtón pontosan egyszer haladt át. Hol van most?

Kert(1)

GOD

c GRÁFOK

MegoldásModellezzük gráffal a helyzetet. Legyenek a gráf pontjai a helyiségek és élek kössék őket Össze akkor, ha van közöttük ajtó. Mivel a kertre is nyílik ajtó, me­lyeken át kellett haladnia Kovács úrnak, azt is jelölje egy pont.

1 la egy helyiségen áthaladunk, akkor be, illetve ki is kell mennünk, azaz két él mentén mozgunk. így páratlan fokszámú pont nem lehet olyan, melyen csak át­haladtunk. Tehát páratlan fokszámú pontban kell lennie Kovács úrnak. Kettő ilyen van. A kerthez tartozó pont, melynek 3 a fokszáma, és a nappalihoz tarto­zó, melynek 5 a fokszáma. Mivel Kovács úr a tapétát nézegeti és nagy valószí­nűséggel a kertet nem tapétázta ki, a nappaliban kell lennie.

G D

c ARITMETIKAI ALAPMŰVELETEK

2. ARITMETIKA, ALGEBRA, SZÁMRENDSZEREK, FÜGGVÉNYEK

2.1. ARITMETIKAI ALAPMŰVELETEK

Először átnézzük a nevezetes számhalmazokat és a bennük definiált alapmű­veleteket.

2.1.1. Természetes számokJele: N (a latin naturális = természetes szó kezdőbetűje)N = {0; 1:2; 3; ...}A természetes számokat számlálással kapjuk.

Műveletek:

ÖsszeadásA természetes számok összeadása továbbszámlálást jelent.Alakja a + b = cösszeadandó (tag) + összeadandó (tag) = összegAz összeadásnak mindig van eredménye a természetes számok halmazán. Erre azt mondjuk, hogy erre a műveletre nézve a természetes számok halmaza zárt. TulajdonságaiHa a tagokat felcseréljük, az összeg nem változik.

a + b = b + a kommutatív A tagokat tetszőlegesen csoportosíthatjuk.

a + (b + c) = (a + b) + c asszociatív

SzorzásA természetes számmal való szorzás ugyanannak a számnak többszöri össze­adását jelenti. Továbbá bármely a számra:1 ■ a = a ■ l = a és 0 • a = a ■ 0 = 0.Alakja: a ■ b — c Tényező • tényező = szorzatA szorzásnak mindig van eredménye a természetes számok halmazán. Ezt úgy mondjuk, hogy erre a műveletre nézve a természetes számok halmaza zárt.

G e )

c ARITMETIKAI ALAPMŰVELETEK DTulajdonságaiA tényezők, felcserélése a szorzat értékét nem változtatja meg.

a ■ b = b ■ a kommutatív A tényezők tetszőlegesen csoportosíthatók.

(a • b) ■ c = a • (b ■ c) asszociatív Összeget tagonként szorzunk; illetve összeg tagjaiból a közös szorzótényező kiemelhető.

(a + b) ■ c = a ■ c + b ■ c a szorzás az összeadásra nézve disztributív

KivonásA kivonás az összeadás inverz művelete. A kivonás műveletéhez jutunk, ha is­merjük az összeget, az összeg egyik tagját és keressük a másik tagot. Adottak </ és b természetes számok, és keressük azt az x természetes számot, melyre b I .v = a.Ilyen természetes szám nem mindig van, de ha igen, akkor az egyértelműen meghatározott.Alakja: a — b — xKisebbítendő - kivonandó = különbségt Ilenőrzése: különbség + kivonandó - kisebbítendőA/ a-1 nagyobbnak mondjuk mint b, jelölése a > b, ha a - b e N+.

( >s/,tásA szorzás inverz művelete az osztás. Az osztás műveletéhez jutunk, ha ismer- |iik a szorzatot, a szorzat egyik tényezőjét és keressük a másik tényezőt. Adott 1/ és h természetes számok, és keressük azt az x természetes számot, melyre h • ,v = a.Ilyen természetes számot nem mindig találunk, de ha igen és b 0, akkor az egyértelműen meghatározott. Ez az egyik oka annak, hogy a nullával való ns/tást nem értelmezzük.

\ l.lkja: a . b ~ — ~ x b ^ ü . b

us/tandó : osztó =hányados I llcnőrzésliiiiiyiidos • osztó = osztandó

ClD

ARITMETIKAI ALAPMŰVELETEK

A négy alapművelet sorrendje, zárójelezésZárójelezés nélkül a balról jobbra szabályt alkalmazzuk. Ekkor egy matemati­kai kifejezés műveleteit balról jobb felé haladva végezzük, és pedig előbb az összes szorzást, osztást, majd ugyancsak balról jobbra haladva az összeadást, kivonást, majd a kapott részeredményeket összegezzük.3 + 4 - 5 - 6 : 3 - 7 - 1 = 3 + 2 0 - 2 - 7 - 1 = 3 + 2 0 - 1 4 - 1 =

= 2 3 - 1 4 - 1 = 9 - 1 - 8

A műveletek más sorrendjét, ha annak betartása szükséges, egyértelműen záró­jelekkel írhatjuk elő.a) Ha az összeadást kivonás követi, akkor a sorrend tetszőleges.

6 + 3 - 2 = 9 - 2 = 7 vagy 6 + 3 - 2 = 6 + l = 7

b) A szorzás és osztás műveleti jele erősebben kapcsolja össze a számokat, mint az összeadás és a kivonás.

8 + 3 - 4 = 8 + 12 = 20 25 - 15 : 3 = 25 - 5 = 20

c) Ha az osztást szorzás követi, akkor a balról jobbra szabálytól eltérő művele­ti sorrendet zárójellel kell jelezni.

(6 : 3) • 2 = 2 ■ 2 = 4 6 : ( 3 - 2 ) = 6 : 6 = 1 Zárójel nélkül az eredmény 4.

d) Ha az osztást törtvonal jelzi, az egyenértékű azzal, mintha az osztandó és az osztó zárójelben volna.

25 + 7 32(25 + 7): (13 -9 ) - 3 = —------- 3 = ----- 3 =8 -3 =5

1 3 - 9 4

e) A zárójelet tartalmazó kifejezések kiszámításakor először a zárójelben levő műveleteket végezzük el. A zárójelen belül a balról jobbra szabályt alkalmaz­zuk. A zárójelen kivüli számokkal a visszamaradt műveleteket ismét szorzás, osztás, majd összeadás, kivonás sorrendben hajtjuk végre.

2 3 -6 (5 -2 ) + 18:(12 -1 0 +7) -(19 +6):(11 -2 -3) =

= 23 — 6-3 + 1 8 :9 —25:(1I —6) == 2 3 -18 + 2 - 2 5 :5 = 23 -18 +2 - 5 =2

G D

ARITMETIKAI ALAPMŰVELETEK

I la több zárójelet egymásba skatulyázva tartalmaz egy kifejezés, akkor először a legbelső, majd a rákövetkező, stb. zárójelben levő műveleteket végezzük el.

3 7 - { 2 7 - [ ( 5 + 3 - 2 ) - 4 ] + 2 } = 3 7 - { r 7 - g 1 - 4 } f2 }=

— 37 — [27 — 7 + 2]= 37 — 22 = 15

2.1.2. Egész számokJele: Z ( a német Zalile = számok szó kezdőbetűje )Z = {...; -2 ; - 1; 0; 1; 2;...}Az egész számokat a természetes számok és a negatív egész számok egyesíté­sével kapjuk.

Összeadás, kivonás és szorzásVisszavezetjük a természetes számok közötti műveletekre. Legyen a;b e N.

a + (-h) = a —b\ a — (—b) — a+b\(+«) • (+b) = ab\

(-a ) ■ (-b) = ab\( - a ) ( + b ) =-ab\(+a) • (-b) = -ab.

Az egész számok halmaza zárt erre a három műveletre nézve.I la a egy egész szám, akkor - a az ellentettje. Pozitív szám ellentettje negatív, negatív számé pedig pozitív. A 0 ellentettje önmaga, - 0 = 0.

< >sztás

(+íj) : (+b) = a: b;

( - a ) : ( - b) =a :b\

( -a ) : ( + b ) - - (a : b y ,(+c/): (-b) = - ( a : b).

Az egész számok halmaza nem zárt az osztásra nézve.

GEE)

c ARITMETIKAI ALAPMŰVELETEK 32.1.3. Racionális számokJele: Q (a latin quotiens = hányados szó kezdőbetűje )Racionális számok a két egész szám hányadosaként felírható számok. Tizedestört alakjuk véges vagy végtelen periodikus. Az is bizonyítható, hogy minden végtelen periodikus tizedes tört felírható két egész szám hányadosa­ként, azaz racionális.

Összeadás és kivonásTörtek összeadását illetve kivonását a törtek közös nevezőre hozásával végezzük el. Ehhez a törteket bővíteni kell. A közös nevezőnek az eredeti nevezők legkisebb kö­zös többszörösét szoktuk választani, így lehet a legkisebb számokkal dolgoznunk.

a c ad eb _ ad +cb ~b+ ~d~~bd+ d b ~ ~ bd ’a c ad eb ad - e b , , _------- = ----------- = -----------; b \ d * 0.b d bd db bd

Szorzás

a ac a c ac , ,— c = — ; ------ = — ; b\d * 0.b b b d bd

Számlálót számlálóval, nevezőt nevezővel szorzunk.

Osztás

a a a c a d , , _- : c = — ; = ------ ; b , c , d * 0.b be b d b c

Törttel úgy osztunk, hogy az osztó tört reciprokával szorzunk.

Egy tört értéke nem változik, csak az alakja, ha számlálóját és nevezőjét ugyan­azzal a 0-tól különböző számmal szorozzuk vagy osztjuk.

a ac .— = — ; tr,c*0. b be

A jobboldaliról áttérve a baloldali kifejezésre bővítésről, míg ellenkező irány­ban egyszerűsítésről beszélünk.A racionális számok halmaza zárt a négy alapműveletre nézve.

GEE)

c ARITMETIKAI ALAPMŰVELETEK )2.1.4. Irracionális számokJele: Q*Irracionális számok a két egész szám hányadosaként fel nem írható számok. Ezek tizedestört alakja végtelen, nem periodikus.

A legnevezetesebb irracionális számok a Jt (egység átmérőjű kör kerülete) és a

•Jl (egységnégyzet átlójának hossza). Ezeken kívül még végtelen sok van, leggyakrabban akkor találkozunk velük, mikor nem négyzetszámból gyököl vonunk. Ilyenkor az eredmény mindig irracionális szám.Az alapműveletek definiálhatóak az irracionális számok halmazán úgy, hogy az eddigi azonosságok érvényben maradjanak. Ezen definíciók azonban meg­haladják a középiskolai anyagot.Mivel tizedestört alakjuk végtelen, nem periodikus, így azt csak közelitőleg tudjuk megadni. Ezért a pontos értékeket hatvány, gyök. logaritmus stb. alak­

jaban szoktunk megadni (például 5-\ Ví, lg9). Ekkor a megfelelő műveleti szabályokkal számolunk.Az irracionális számok halmaza nem zárt az egyik alapműveletre sem. Példák két irracionális szám összegére, különbségére, szorzására és hányadosára, mi­kor az eredmény racionális:

n + (1 - j t ) = I; n - n = 0; yj l - \Í2 = 2; -t= = 1 .\ 2

2.1.5. Valós számokJele: ÍR ( a latin reális = valós szó kezdőbetűje )A racionális és az irracionális számok együtt alkotják a valós számok halmazát.

1 = Q 'uQ *

A valós számok halmaza zárt a négy alapműveletre nézve.I álható, hogy újabb, bővebb számhalmazokon úgy definiáltuk a műveleteket, hogy ,i korábbi azonosságok érvényben maradjanak. Ez az elv a permanencia elv.

2.1.6. Szám egyenesA valós számok halmaza cs egy egyenes pontjainak halmaza között kölcsönö- v ii egyértelmű kapcsolatot lehet létesíteni. Tekintsünk az egyenesen két pon-

CDD

c ARITMETIKAI ALAPMŰVELETEK )tót, legyen a balszélső O, a jobboldali E. Az 0 -hoz rendeljük a nullát, az E-hcz

az 1-gyet. Az OE vektor az egyenes egy irányítását adja. Ez után már bármely számhoz hozzárendelhetünk egy pontot egyértelműen és viszont, azaz minden ponthoz egyértelműen egy valós számot. Egy tetszőleges a valós számhoz ren­

deljük azt az A pontot, melyre igaz, hogy OA = a ■ OE . Egy tetszőleges P pont­

hoz pedig azt a p valós számot, melyre teljesül, hogy p ■ OE = OP . így min­den valós számnak egy és csak egy pont felel meg az egyenesen.

A O E P----- 1------------------------- 1------H------------ 1--------------- ►

a 0 1 p

2.1.7. IntervallumAz intervallum a valós számok összefüggő részhalmaza. A számegyenesen egy szakaszt határoz meg. Attól függően, hogy a végpontok hozzá tartoznak-e az intervallumhoz, nyitott, illetve zárt intervallumról beszélünk. Ezek szerint négy lehetőség van:

zárt intervallum— I---------------------------- ,-----------------■+.

u xa b[a;b] = {jc | a < x < b, x e R }

A jele lehet még: ]«;ö[Például, ha - 2 < x < 7, akkor x e [-2; 7],

nyitott intervallumo--------------------------oH------------------------ —ha b

(a\b) = {.v | a < x < b, x e R } Például, ha 3 < x < 11, akkor x e (3; 11).

o--------------------------oH-------------------------- \—3 11

GEE)

Vagy, ha x < 5, akkor x e ( - 00; 5).

( ARITMETIKAI ALAPMŰVELETEK

halról nyitott, jobbról zárt intervallumo-I -------------------- i--------—a b

(a;b] = {x | a < x < b, x e M }

balról zárt, jobbról nyitott intervallum

+a b

[,a;b) = | a < x < b, x e R Például, ha - 3 < x, akkor x e [-3; °°).

•-

-3

2.1.8. Valós számok abszolútértékeligy valós szám abszolútértéke

• önmaga, ha a szám pozitív,• a (—l)-szerese, ha a szám negatív és• a 0-nak 0 az abszolútértéke, azaz önmaga és a (-l)-szerese is egyben.

a, ha a >0,|a| = • 0, ha a =0,

- a , ha a <0.

2.1.9. Normál alakIgen nagy, illetve nagyon kicsi számokat normál alakban szoktunk megadni, mivel tizedestört alakjuk túl hosszú lenne.A normál alak egy szorzat, ahol az első tényező abszolútértéke az [1; 10) in- Icrvallumba esik, a második tényezője pedig a tíznek egy egész kitevőjű hat­ványa.

G ED

c ARITMETIKAI ALAPMŰVELETEK )Például:

0,0000000365 = 3,65 ■ 10“s,-8 2 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = 8,27 • 101'.

A tíz kitevője adja meg a szám nagyságrendjét.Összeadni és kivonni csak azonos nagyságrendű számokat tudunk, melyekben a tíz azonos kitevőn van. Hogy ezt elérjük, lehet hogy valamelyik szám felírá­sánál el kell térnünk a normál alaktól. Például:

2,58 ■ 105 + 7,2 ■ 104 = 2 ,58 ■ 105 + 0,72 ■ 10s = 3,3 • 105

Nagyon eltérő nagyságrendű számoknál az összeadást vagy kivonást nehézkes elvégezni és felesleges is, mivel a kisebb szám alig változtat a nagyobb érté­kén. Például:

3,6 ■ 107 - 5.1 ■ 104 = 3,6 ■ 107 - 0,0051 ■ 107 = 3,5949 ■ 107 = 3,6 ■ 10 '.

Láthatóan három nagyságrendes eltérés már lényegében nem változtat a na­gyobb szám értékén.

A szorzás és az oszlás könnyen elvégezhető. Például:

(6,3 10*} (5,1 -10"2 )= 32,13 10 6 =3,213 10 7

-1:924 10 = 0 ,3 7 • I0~9 = 3 ,7 10~10.5 ,2 104

Az azonos típusú számokat kell összeszorozni, illetve elosztani, majd, ha fon­tos, visszatérni a normál alakra.

c SZ Á M R E N D S Z E R E K

2.2. SZÁMRENDSZEREK

Tizes alapú számrendszerÁltalában 10-es számrendszerben dolgozunk. Liz azt jelenti, hogy minden tíz egységei (egyest, tízest, százast slb.) foglalunk egy magasabb egységbe (tízes­be, százasba, ezresbe slb.).így a számok leírására tíz különböző számjegyre van szükség, ezek

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; S; 9.A helyiértékes ábrázolás azt jelenti, hogy a számjegyek értékén kívül a leírá­suk helye is értékkel bír. Egymás után írjuk a számjegyeket és egy adott pont­hoz viszonyítjuk a helyüket. Tízes számrendszerben a helyek értékei a 10 meg­felelő hatványai.

I'éldául:37541 = 3 ■ 104 + 7 * 103 + 5 ■ 1Ó2 + 4 ■ 101 + 1 • 10°

I la a helyek értékei nem 10 hatványi szerint változnak, akkor más alapú szám­rendszerről beszélünk.

Nem tízes alapú számrendszerekA számrendszer alapja lehet bármely egynél nagyobb egész szám. A számító­gépek például kettes számrendszerben dolgoznak. Kettes számrendszerben csak a 0 és 1 számjegyekre van szükség. A következő példákban a kettes szám­rendszerben felírt számokat átírjuk tízes számrendszerbe.

Példák1011012 =1 ■ 25 + 0 • 24 + 1 ■ 23 + 1 • 22 + 0 ■ 21 + 1 ■ 2° = 32 + 8 + 4 + 1 - 45;110010, = 1 - 25 + 1 • 24 + 0 • 2} + 0 • 22 4- 1 ■ 21 + 0 ■ 2° = 32 + 16 + 2 = 50.

Áttérés tízes számrendszerbőllígy tízes számrendszerben adott számot úgy kell felírni egy új számrendszerben, hogy a számot osztjuk az új számrendszer alapszámával, majd az így kapott há­nyadost újra és így tovább, mindaddig, míg 0 hányadost nem kapunk. Az osztá­soknál kapott maradékok lesznek jobbról balra haladva a számjegyek az új szám­rendszerben. Például 118 a 2-es számrendszerben:

c SZÁM R E N D S Z E R E K )

118 = 2 5 9 + 0

59 = 2 29+1

29 = 2 14 + 1

14 = 2 7 + 0

7 = 2 3 + 1

3 = 2 1+1

1= 2 0 + 1

Tehát 118 = 1110110,

c SZÁMELMÉLET

2.3. SZÁMELMÉLET

A számelmélethez tartoznak, — többek között, — az oszthatósággal, legkisebb többszörössel, legnagyobb közös osztóval kapcsolatos problémák. Ezeket lehet iiz egész számok halmazán is megfogalmazni, de nekünk elegendő csak a ter­mészetes számokkal foglalkozni. Adott problémáknál úgyis tudjuk szinte auto­matikusan alkalmazni az itt megfogalmazottakat egész számokra is.

2.3.1. Alapfogalmak Osztója relációl 'gy a tennészetes szám osztója egy b természetes számnak, ha található olyan c természetes szám, hogy b = c-a egyenlőség igaz legyen. Ekkor azt is mond­hatjuk, hogy b többszöröse a-nak.Jele: a\b (a osztója 6-nek )

A/, a ■ c = b egyenlőségből azt is leolvasható, hogy c is osztója 6-nek. Fontos ludni, hogy ez egy reláció, azaz kapcsolat két természetes szám között, ami vagy igaz, vagy nem. Nincs eredménye mint a műveleteknek. Például 4|24 igaz állítás, mert 6 ■ 4 = 24. Az 5| 13 egy hamis állítás, mert nincs olyan természe- les szám, mellyel 5-töt megszorozva 13-mat kapnánk. Hasonló okok miatt a ()|5 is értelmes, de hamis állítás.

I gyértelműen adódnak a következő állítások, bármely a és b természetes s/ámra:

l|a; a\a\ «|0;ha a\b és b ^ 0, akkor a < b\ ha 0|íí, akkor a = 0; ha a\b és b\ct, akkor a = b.

A / egyértelmű, hogy minden természetes szám osztható 1-gyel és önmagával, íny csak az ettől különböző osztóit nevezzük valódi osztóknak. Például a 6 osz­lói az 1; 2; 3 és a 6. Ebből valódi osztója csak a 2 és a 3. Az is könnyen belát- Ii.tló, hogy a 0-nak bármely természetes szám osztója, hisz bármely számot megszorozva 0-val megkapjuk a 0-át. Az 1-nek csak egy osztója van. A többi Imnészetes számnak egynél több és véges számú osztója van. Ezek közül spe- t mlisak, melyeknek pontosan két osztójuk van.

GlD

c SZÁM ELM ÉLET

PrímszámokAzokat a természetes számokat, melyeknek pontosan két osztójuk van, prím­számoknak nevezzük.Például a 2; 3; 5; 7; 11 stb. Újra hangsúlyozom, hogy az 1 nem prímszám.

Összetett számokAzokat az 1-nél nagyobb természetes számokat, melyeknek kettőnél több osz­tójuk van (van valódi osztójuk), összetett számoknak nevezzük.Tehát az összetett számokat mindig fel lehet úgy írni szorzatként, hogy egyik tényező sem 1. Akkor bontottuk fel őket a legtöbb tényezőre, ha már minden tényező prímszám. Például 84 = 4 - 21 ==2-2-21 = 2 • 2 ■ 3 • 7. Bizonyítható, hogy egy adott szám felbontásai csak a tényezők sorrendjében különbözhetnek.

Nevezetesebb oszthatósági szabályok:2-vel egy szám akkor osztható, ha utolsó számjegye osztható 2-vel,3-mal egy szám akkor osztható, ha számjegyeinek összege osztható 3-mal,4-gyel egy szám akkor osztható, ha az utolsó két jegy által alkotott szám oszt­ható 4-gyel,5-tel egy szám akkor osztható, ha utolsó számjegye 0 vagy 5,6-tal egy szám akkor osztható, ha osztható 2-vel és 3-mal,8-cal egy szám akkor osztható, ha utolsó három számjegye alkotta szám oszt­ható 8-cal,9-cel egy szám akkor osztható, ha számjegyeinek összege osztható 9-cel,10-zel egy szám akkor osztható, ha 0-ra végződik.

2.3.2 Számelmélet alaptételeTétel: Minden összetett szám a tényezők sorrendjétől eltekintve egyértelműen felírható prímszámok szorzataként.Az azonos tényezőjü szorzatokat hatványként írjuk.

Például 360 - 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 5 = 23 • 32 • 5.A prímtényezős alakot úgy szoktuk előállítani, hogy a számot elosztjuk a leg­kisebb prímszámmal, ami a számnak osztója. Majd az eredményt újra eloszt­juk azzal a legkisebb prímmel, ami neki osztója. Ezt addig ismételjük, míg az eredmény 1 nem lesz. Az így kapott prím osztók a szám prímtényezői. A kö­vetkező módon lehet ezt áttekinthetően leírni.

GD

SZÁME LMÉLET

Határozzuk meg 360 prímtényezős alakját.

360 2180 2

90 245 315 3

5 5

I

Osztók számaI gy természetes szám pozitív osztóinak számát legkönnyebben a prímténye­zős felbontás segítségével lehet meghatározni. A szám prímtényezős felbon­tásában szereplő kitevőkhöz hozzáadunk egyet, majd az így kapott számokat összeszorozzuk. Például 540 = 2 ' • 3' - 5 osztóinak száma (2 + 1) • (3 + 1) • (1 + 1) = 3 • 4 • 2 = 24.

2.3.3. Legnagyobb közös osztóKét vagy több pozitív egész szám legnagyobb közös osztója az a legnagyobb egész szám, amely az adott számok mindegyikének osztója.Jele: (a; b), (a; b; c), ...

Két vagy több szám legnagyobb közös osztóját a következőképpen állítjuk elő (a számok egyike sem 0):

felírjuk a számok prímtényezős alakját (prímszám esetén ez maga a szám), vesszük a közös prímtényezőket (amelyek az összes felbontásban szere­pelnek),ezeket a hozzájuk tartozó legkisebb kitevővel vesszük, ezeket a prímhatványokat összeszorozzuk.

Például 756 és 1960 legnagyobb közös osztója:(756:1960) = (22 • 33 ■ 7; 2j • 5 - 72) =22 • 7 = 28.

C±D

c SZ ÁM EL M ÉL ET

2.3.4. Legkisebb közös többszörösKét vagy több pozitív egész szám legkisebb közös többszöröse az a legkisebb pozitív egész szám, amely az adott számok mindegyikének többszöröse.Jele: [a\b], [a:b:c\, ...

Két vagy több szám legkisebb közös többszörösét a következőképpen állítjuk elő (a számok egyike sem 0):- felírjuk a számok prímtényezős alakját (prímszám esetén ez maga a szám),- vesszük az összes prímtényezőt,- ezeket a hozzájuk tartozó legnagyobb kitevővel vesszük,- ezeket a prímhatványokat összeszorozzuk.

Például a 84 és az 56 legkisebb közös többszöröse [84; 56] = [22 * 3 ■ 7; 23 ■ 7] = 23 - 3 ■ 7 = 168.

Relatív prímHa két pozitív egész szám felbontásában nincs közös prímtényező és így a leg­nagyobb közös osztójuk az 1, akkor a két szám relatív prím.

Tehát a és b számok definíció szerint akkor relatív prímek, ha (a;b) = 1. A számoknak ehhez nem kell prímeknek lenniük, például a 18 és a 25 relatív prí­mek, hisz (18;25) = (2 ■ 32; 52) = 1.Könnyen belátható, hogy két, nullától különböző természetes számnak akkor és csakis akkor lesz a legkisebb közös többszörösük a szorzatuk, ha ők relatív prímek.

2.3.5. Maradékos osztásLegyen a és b két pozitív egész szám, melyekre a > b. Az a-1 úgy kell elosztani maradékosan 6-vel, hogy keresünk két természetes számot, legyenek ezek c és d, hogy igaz legyen az a = b ■ c + d egyenlőség, ahol d < b. Ekkor c-t hányados­nak, d-1 maradéknak nevezzük. Ezek mindig egyértelműen meghatározottak.

Például:1 7 = 3 - 5 + 2 , 17-et 5-tel osztva a hányados 3, a maradék 2.24 = 6 ■ 4 + 0, 24-et 4-gyel osztva a hányados 6, a maradék 0, tehát osztható4-gyel.

SZAMELME LET

Iizek alapján például azokat a számokat, melyek 4-gyel osztva 3-at adnak mara­dékul, felírhatjuk 4k + 3 alakban, ahol k egy tetszőleges természetes szám lehet.

O Példák1) Melyik az a szám, melynek valódi osztói 2; 4; 5; 7; 10; 14; 20; 28; 35; 70? Megoldástudjuk, hogy egy adott a szám minden valódi osztójához tartozik egy szám a valódi osztók közül, mellyel megszorozva kapjuk meg az a számot. így a való­di osztók párba állíthatóak, és ezen számok szorzata mindig a. Jelen esetben: n - 2 • 70 = 4 • 35 = 5 ■ 28 = 7 ■ 20 = 10 ■ 14 = 140 A keresett szám tehát a 140.

n 42) Mely egész n esetén lesz az ------ törtn — 3

u) értéke nulla; b) pozitív; c) egész?Megoldás.i) Egy tört értéke akkor nulla,ha a számlálója nulla. Tehát

n + 4 = 0, n = -4 .

h) Egy tört értéke akkor pozitív, ha a számláló és a nevező azonos előjelű. Vizsgáljuk az előjelek alakulását számegyenesen!

n + 4 n - 3

- 4-c

++

A tört tehát a — 4-nél kisebb, vagy a 3-nál nagyobb számok esetén pozitív.

c) Átalakítjuk a törtet.

« + 4 (h - 3 ) + 7 7 • = ! + •

n - 3 n - 3 n - 3l ehát a tört csak akkor lesz egész, ha n — 3 osztója 7-nek. Mivel 7 osztói a -—7;

1; 1; 7, az n megfelelő értékei: n —4; 2; 4; 10.

GD

I HATVÁNY, GYÖK, LOGAR ITMUS

2.4. HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS

2.4.1. HatványozásAz a kifejezést hatványnak nevezzük; melyben a az alap; n pedig a kitevő.

Pozitív egész kitevő eseténHa n egy 1 -nél nagyobb pozitív egész szám, akkor an olyan n tényezős szor­zatot jelent, melynek minden tényezője a.

Külön kell definiálni:

Azonosságok:

■a) a" ■ a" — a"+m

b) — — an n > ma'"

c) a"-b" =(a b)n

d) — - bn

def

a" ~ a ' ■ • ■' an darab

del'

eV = a

e)(a")'" =a""‘

Ha 0 a kitevő:def

an — 1, ha a ^ 0.A permanencia-elv alapján úgy definiálták ezt a hatványt, hogy az azonossá­gok érvényben maradjanak. A b) azonosságnál most már n = ni is lehet és az eredmény 1.A 0° hatványt nem értelmezzük.

HATVANY, GYÖK, LOGARITMUS

Negatív egész kitevő esetén:def ]

a~" = — ahol a * 0 és n e Z ‘na

Egyszerű következmények:

a"a

1 ( a '-n

' b Y-n ’a

, — = cf , a \b& 0. /z; m e Z.mCl\ / a definíció is a pcrmanencia-elvet veszi figyelembe. A negyedik következ­mény épp arról szól, hogy a b) azonosságnál már n < in esetén is igaz.

2.4.2. NégyzetgyökKgy nemnegativ a szám négyzetgyöke az a nemnegatív szám, melynek négy­zete a.

Jele: v«

Szimbólumokkal: a> 0 4 a =k, melyre A: > 0 és k 2 =a.

Azonosságok:

u, 4 a b = 4 a 4 b , ahol a ,b > 0,

b, . p - = —jL , ahol a > 0 ; / ? > 0 ,U yfb

c, \ ja" = (> /« )" , ahol « > 0 .

I ontos a következő eltérést tisztán látni:

( 4 a ) 2 =a, aholf />0, illetve sfa2 = |a| ahol a e R

liz utóbbi a definíció alapján azért igaz, mert \a\ nemnegatív, és négyzete a2.

Például ha a = -2 , tehát a2 = 4, akkor 4cr =2 = |«|.

G D

c HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS

További példák:

4 4 5 = 4 ^ 5 = 3 - 4 5

4 c f b 6c* = H - | ö 3| -c4

'JSa'b1' = V 4 - 2 -íí4 ■ a bH b = 2 a~b: 4 l a b , a \ b > 0.

2.4.3. «-edik gyökDefinició az n értékétől függően:

a) Ila n páros, azaz 2k alakú, ahol k e ÍJ*.Egy nemnegatív a szám 2/r-adik gyöke az a nemnegatív szám, melynek 2A--adik hatványa a.Páros n-re és negatív «-ra nem értelmezzük, mivel a valós számok páros kite­vőjű hatványa nem lehet negatív.

b) Ha n páratlan, azaz 2 k + 1 alakú, ahol k e Z + .Egy tetszőleges a szám (2k + l)-edik gyöke az a szám. melynek (2k + l)-edik hatványa a.Példák:

4 Í 6 = 4 s ~2 = 2-42 ,

11-125 =-5,

y 8 \ a w b2 4 c4 = $ l s \ a s a 2-b2AcA = 3-a1 b(’ - \c \ - í f7 .

Racionális törtkitevőjű hatv ányok

Egy pozitív a szám —-adik hatványa az a" szám £/-adik gyöke, azazq

ahol a pozitív, p egész, q egynél nagyobb egész.

A hatványozás eddigi azonosságai ezen hatványokra is érvényesek.

c HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS

4

2 7 3 = Zfrf* = ( \JT 7 ) a = 3 4 -8 1i i

I-----7= f I V / i Yj</2-V2 = 2 - 2 3 = 2 3 =V2 I / 2 = 2 -2 3" = 2 3'4 = 2 i = ll2

4 1 I

V / V /\

Irracionális kitevőjű hatványokIzek is definiálhatóak úgy, hogy a hatványozás eddigi azonosságai érvényben maradjanak, de ez már a középiskolai szintet meghaladja.

2.4.4. LogaritmusI la a > 0, a * 1 és b > 0, akkor az logaA (vagyis 6-nek a alapú logaritmusa) 11/ az egyetlen valós kitevő, melyre űr-t emelve b-1 kapunk, azaz

loga 1=0 (íj > 0, a 1), mivel cj° = 1,

loguíi = l (a > 0 , a & 1), mivel a =a,

lg 100 = 2, mivel 102 =100.

I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS

AzonosságokHa a\ b; c > 0 és a ^ 1

a) log u (b ■ c ) = log a b + log „ c,

b) log a~ = log ub —log a c,c

c) log abk — k ■ log g b,

d) log„b — c ^i c * 1.log f a

Q Példák

a) lg 300 = lg (100 -3 ) = lg 100 +lg3 =2 +Ig3,

b) log5-\/25̂ - log 5/ 2 \

5 *\

c) lg 12 + 2 - lg 5 - l g 3 = lg 12 + Ig5 2 - l g 3 =

= lg ~ ~ ~ ~ ~ lg 100 =2,

d) log25 + l o g 49 = l o g 25 + ^ ^ = l o g 25 + ^ ^ -log2 4 2

- I o g 25 + —*log29 = lo g 25 +log 29 2 =log 2 £ -3)= log215.

c BETŰS K IF E JE Z É S E K ]2.5. BETŰS KIFEJEZESEK

A számokat és a számokat helyettesítő betűket algebrai mennyiségeknek ne­vezzük.2.5.1. Definíciók Algebrai kifejezésI la az algebrai mennyiségeket, illetve azok egész kitevőjű hatványát és gyökét a négy alapművelet véges számú alkalmazásával kötünk össze, akkor algebrai kifejezésről beszélünk.

Példák algebrai kifejezésekre:

l'.gytagú kifejezésOlyan algebrai kifejezések, melyekben a számokat és a számokat helyettesítő betűket, illetve azok pozitív egész kitevőjű hatványait csak a szorzás művele­tével kötjük össze.

Példák egytagú kifejezésre:

l'okszámlígytagú kifejezések fokszáma a benne szereplő betűk kitevőinek összege. Pél­dául a 32xv'4 ötödfokú, a 9 nulladfokú.

Az algebrai kifejezésekben a betűket, a konkrét helyzettől függően, nevezhet­jük változónak, határozatlannak, ismeretlennek. A betűket szorzó számokat együtthatónak nevezzük.

Nem algebrai kifejezések:

sinx, lg(.v2 + 1). |3a--5 |, 5Jr+3 - j r y 7.

CED

BETŰS K IFE JE ZE SE K

Például:

V3 , .. u .. V3— x együtthatója

a \ .. , a— x y~ együtthatója .

A polinomA polinom egytagú kifejezések összege.Azokat a tagokat, melyek csak együtthatóban térnek el egymástó, egynemű ta­goknak nevezzük. Ezek között el lehet végezni az összeadást. Ezek elvégzését összevonásnak nevezzük.

Például:

8a2 - 3 ay + x 2y - a 2 - 2xy + I x 2 + 9a-2 y = 14.v2 - 5.*}- + 10x2>>.

A polinom fokszáma a benne szereplő legnagyobb fokszámú tag fokszámával2

egyenlő. Például a + \ 7 a 2b polinom hatodfokú.

Csak egy betűt tartalmazó polinomok tagjait olyan sorrendben szoktuk írni, hogy a tagok fokszáma csökkenjen.

Például -3.V12 + -A '8 - 5a-7 - a4 + 17a2 - 6 .8

Algebrai törtAzokat a kifejezéseket nevezzük algebrai törteknek, melyek felírhatok két po­linom hányadosaként, ahol a nevezőben lévő polinom legalább elsőfokú (a ne vezőben van betű).

Algebrai kifej'ezés értelmezési tartományaA kifejezésben szereplő betűk helyére helyettesíthető számok azon halmazát, melyekre a műveletek elvégezhetőek, értelmezési tartománynak nevezzük. Leggyakrabban algebrai törteknél, gyökös kifejezéseknél találkozunk értelme zési tartomány meghatározásával. Azokat a számokat ki kell zárnunk, melyek­nél ezek a műveletek nem értelmezhetőek.

c BETŰS K IF EJ E ZÉ SE K 3

( v-2)(5 + .v) (I --*)(.*-7)

értelmezési tartománya R \ {l;7} vagy egyszerűbben írva

* t 1 ;7. Láthatóan szorzatalakról lehet könnyen leolvasni a nevező zérushelyeit.

\laphalmazA kifejezésben szereplő betűk helyére helyettesíthető számok azon halmazát, melyekre a kifejezést vizsgáljuk, alaphalmaznak nevezzük. Ez az értelmezési tartomány egy részhalmaza.

I rtékkészlet, helyettesítési értékA/on értékek halmazát, melyeket a betűk helyébe számokat helyettesítve a mű- ̂eletek elvégzése után kapunk, értékkészletnek, az értékeket helyettesítési ér­

tekeknek nevezzük.I'cldául a 2k + 1, k e Z kifejezés értelmezési tartománya a valós számok, alap- Imlmaza az egész számok és értékkészlete a páratlan egész számok halmaza.

) .5.2. Nevezetes azonosságok

I r az azonosság balról jobbra olvasva azt fejezi ki, hogy összeget tagonként kell szorozni. Jobbról balra olvasva pedig azt, hogy egy összeg, tagjainak kö­zös osztóját kiemelve, szorzattá alakítható.

I v az azonosság balról jobbra azt fejezi ki, hogy összegek szorzásánál minden to not minden taggal össze kell szorozni. Jobbról balra olvasva pedig azt látjuk, hogy ilyen típusú összeget csoportosítás után többszörös kiemeléssel lehet szorzattá alakítani. További nevezetes azonosságok:

(a + b)c - ac + be

(a+b)(c+ d) = a(c +d) + b(c + d ) - ac +ad + be + bd

CÜD

t BETŰS K IF EJ E ZÉ SE K

(íj + b )" = a 2 + b 2 + 2ab,

(a —b )2 = a 2 + b2 - láb,

(a + b f — a3 + 3a 2b + 3 ab2 + b 1,

(a - b)3 = a3 - 3a 2b + 3a b2 - b 3

(a + b)(a —b) = a 2 - b 2,

(a + b)(a2 — ab + b 2) = a 3 + b \

( a - b ) ( a 2 + ab + b 2) = a 3 - b 3.

Balról jobbra olvasva néhány szorzat polinommá alakításának szabályát látjuk Jobbról olvasva pedig bizonyos polinomok szorzattá alakításának módját.

2.5.3. Példák szorzattá alakításra

KiemelésselA legegyszerűbb szorzattá alakítási módszer a kiemelés. Ha van a tagokban kö zös szorzótényező, akkor azt kiemelhetjük. Érdemes kiemelni az összes közös tényezőt, ami a tagok legnagyobb közös osztója. Ez az összes tagot osztó, leg nagyobb fokszámú polinom.

1 2 a 3 y 2 - ó - í 2}’5 — 2 1 a-4}’3 + 3 a 2>’ 2 =

= 3x2y 2(4x - 2y3 - 1 x 2y + 1)

Látható, hogy a zárójelben ugyanannyi tagnak kell lennie, mint amennyi az eredeti összegben volt. Ha a szorzatalakban beszorzással felbontjuk a záróje­let, akkor vissza kell kapnunk az eredeti összeget. Ezt a visszaszorzásl fejben, ellenőrzésként szoktuk elvégezni.

Négyzetek különbségeAz erre vonatkozó azonosság segítségével alakíthatjuk szorzattá azokat a kife­jezéseket, melyek kéttagú különbségek és a tagjaik felírhatóak valami négyze teként.

( BETŰS K IFE JEZ ÉSEK

x2 — y 2 = ( * - } ’)(-* + }’)

x 2 - 1 = ( a‘ - 1 ) ( a' + 1)

x 1 - 5 — (a -f \ Í5)(x- \Í5)

9x4 -1 6 y 6 = (3*2 + 4 j 3)(3a'2 - 4 v3)

lol jes négyzet■\/ok a kifejezések ezek, melyek felírhatok egy kéttagú összeg vagy különbség négyzeteként. Ehhez az összegnek három tagból kell állnia, kct négyzetesből is az alapjaik kétszeres szorzatából.

x 2 - 2 x + \ = ( x - l ) 2

16jc4 +24jc V + 9 / = (4x2) 2 + 2(4x:)(3>’3) + ( 3 y í) 2 =

= (4a-2+ 3 / ) 2

l nyhatározatlanú másodfokú polinomok

x 2 — x - 1 2 = (x - 4)(a' + 3)

Igyszerübb esetekben ki lehet találni a szorzatalakot. Látható, hogy a záróje­lekben szereplő két szám szorzata a konstans, és az összege a lineáris tag együtthatója. Ha ezek egész számok, akkor kitalálhatóak. A konstans szorzat alakjaiból érdemes kiindulni.

Ma ez fejben nem megy könnyedén, akkor a másodfokú kifejezés zénishe- lyeinek segítségével lehet a szorzatalakot felírni. A zérushelyeket pedig a megoldóképlettel tudjuk meghatározni. Ezt a diszkrimináns meghatározásával kezdjük.

Definíció: az ax2+bx+c 0 másodfokú kifejezés diszkriminánsának a

D = b2 - 4ac kifejezést értjük.

Ma a diszkrimináns pozitív, akkor két különböző zérushely van és így két kü­lönböző tényezőből álló szorzatalak.

Q D

c BETŰS K IF EJ E Z É SE K

Q Példa:2x‘ - Ix + 6 esetén D = (-7)2 - 4 - 2 * 6 = 4 9 - 4 8 = 1,

7 ± V Í 7 ± 1 - , 3— — = ------ , azaz x, - L es x? = —.2-2 4 ' 2

így a szorzatalak 2(.r- 2 ) a — 2

= (jc—2)(2jc—3).

Ha a diszkrimináns nulla, akkor egy zérushely van és a szorzatalak teljes négyzet. Q Példa:4x“ + 12.v + 9 kifejezésnél D = 1 2 2- 4 - 4 - 9 = 144 - 1 4 4 - 0 ,

-12 ± 0 3tehát a zérashely a = ■

így a szorzatalak a 4

2-4 2

3X H—

2= (2jt-f-3)2 •

Ha negatív a diszkrimináns, akkor nincs valós zérushely és így szorzatalak sincs.

CsoportosítássalKét fontosabb típust mutatunk meg.Az elsőnél az összeg szerkezete és a módszer így néz ki:

ax + ay+bx + by = a (v + y )+ b (x + y ) = (x + y )(a +b)

Látható, hogy jól csoportosítva az első kiemelés után lesz közös tényező a ta­gokban. Bzt kiemelve már szorzatot kapunk. Csoportosítani annyiféleképpen lehet, ahány tényezőből áll majd a szorzat.Előfordulhat, hogy még több tagból áll az összeg és így több csoport alakítha­tó ki, vagy egy csoportba több tag tartozhat. Ezzel várhatóan nem fogják a kö­zépszinten érettségizők életét megnehezíteni.

GE)

c BETŰS K IFE JEZÉ SEK D0 Példa:

3x2y - 3 x 2z3 + 5ay - 5 a z3 = 3 x 2(y - z 3) + 5a(y - z 3) =

= ( y - z3)O x2 +5a).

1 Ízt úgy is csoportosíthatjuk, hogy először a 3x2 + 5a tényezőt kapjuk meg.

3x:>’-3a-2z3 + 5 a y -5 a z i = 3x2y +5ay -3 .* 2z 3 - 5 a z 3 =

= y(3x2 +5a) - z3(3jc2 +5a) = (3.v2 +5ű)(y - z 3).

A második típus általánosan így írható fel:

c1 - a 2- 2 a b - b 2 = c 2- ( a 2 + 2ab + b2) = c 2- ( a + b )2 =

= [c + (ű + £>)][c-(a + fe)]=(c + a + b ) (c -a -b ) .

Három megfelelő tagról kell észrevenni, hogy teljes négyzetet alkot. Ezt átírva már négyzetek különbségét kapjuk, amit már könnyedén szorzattá alakíthatunk.

Q Példa:

4,t2 - 9 y 2 - 6 y z - z 2 - A x 2 - ( 9 y 2 + 6 y z + z 2) =

= (2x)2 - (3>> + z )2 = [2x + (3y + z) ][2x - (3y + z) >

= (2x + 3y + z ) ( 2 x - 3 y -z )

l’ersze lehet, hogy a teljes négyzet tagjai nem egymás mellett vannak, vagy más sorrendben, mint megszoktuk, de ez sem akadályozhatja meg, hogy siker­rel járjunk.

ló.?2 -2 A x y 2 + 9 y 4 - z 2 = (4 jr -3 y 2) 2 - z 2 =

= (4 x - 3 y 2 + z2) (4 x - 3 y 2- z 2)

2.5.4. Algebrai törtekMint már említettük, algebrai törtek nevezőjében van betűs kifejezés, kicsit pon­tosabban, legalább elsőfokú polinom. Ennélfogva az első lépés mindig az értelme­zési tartomány megállapítása. Ki kell zárnunk a betűk azon értékeit, melyekre a

GED

nevező nulla lenne, azaz a nevező zérushelyeit. Zérushelyet pedig általában szor­zatról könnyű megállapítani. Itt alkalmazzuk a szorzattá alakítási módszereket.A másik ok, mely miatt nem mondhatunk le a szorzattá alakításról, hogy tör­teknél egyszerűsíthessünk. Ennek lehetőségét pedig szintén a orzatalakról tud­juk leolvasni. Mármint a számláló és a nevező legnagyobb közös osztóját, mert azzal érdemes egyszerűsíteni.

Q Példa:8 a 2 + 1 6 a _ 8 a-(.v + 2 ) _ 8 a ( a + 2 )

6 . r - 6 x - 3 6 a 6 a ( a 2 - a - 6 ) 6 a ( a - 3 ) ( a + 2 )

4= --------- - , ahol a ^ - 2 ; 0 ; 3 .

3 0 - 3 )

A kikötést a szorzattá alakítás után, de még az egyszerűsítés előtt kell megten­nünk, mert az megváltoztathatja az értelmezési tartományt.

Algebrai törtek szorzása, osztásaAlgebrai törteket ugyanúgy kell szorozni, mint a közönséges törteket, számlá­lót a számlálóval, nevezőt a nevezővel. Itt is persze szorzattá alakításokkal kezdjük a kikötések és egyszerűsítési lehetőségek miatt. Bármely számlálóban lévő tényezővel lehet bármelyik nevezőben levő tényezőt egyszerűsíteni.

Q Példa:3 a a 2 - 6 a + 9 a 2 + 3 a - 10 _

a 2 - 5 a + 6 a 2 -I- 5 a 6 a 2 - 5 4

1 1 ' 1 IX /

/ j j * 5 ) / l v ^ T í a i 3 )I 1 1 1 2 i

= ---------- , ahol a * - 5 ; - 3 ; 0 ; 2; 3 .2 ( a + 3 )

Osztás esetében arra is ügyeim kell a kikötéseknél, hogy az osztó tört nem le­het nulla, tehát a számlálója sem lehet nulla. Azt is érdemes szorzattá alakítani zérushelyének megái lapításához.

c BETŰS K IF EJ E ZÉ SE K DO Példa:

10 5 a - 5 _ 1 0 5 ( j r - l )

2x - 5 ' 4 j r - 2 5 ~ 2x - 5 ' ( 2 a- + 5 ) ( 2 x - 5 ) ~

1 0 ( 2 a + 5 ) ( 2 a - 5 ) 2 ( 2 a + 5 ) 5 5 ,x ^ ;----; I .2 a- - 5 5 ( jc — 1) x - \ 2 2

Algebrai törtek összeadásaA/ algebrai törteket is közös nevezőre hozzuk, a törtek megfelelő bővítésével. A közös nevező a nevezők legkisebb többszöröse. Mind a kikötések megtétel­éhez, mind a nevezők legkisebb többszörösének megállapításához a nevezők N/.orzattá alakításán keresztül vezet az út.

Q Példa:«)

5 3 1 2 5 3 12

2 . V - 4 x + 2 x 2 - 4 2 ( x - 2 ) x + 2 ( x + 2 ) ( x - 2 )

_ 5 ( a + 2 ) - 3 2 - ( a - - 2 ) - 1 2 2 _ 5 x + 1 0 - ó . v + 1 2 - 2 4

2 ( x + 2 ) ( x - 2 ) ~ 2 ( x + 2 ) ( x - 2 )

- x - 2 _ - ( a - + 2 )

~ 2 ( x + 2 ) ( * - 2 ) ~ 2 ( x + 2 ) ( x - 2 ) ~

= ------- í-----, ahol x * -2 ;2 .2 ( a - 2 )

b)

3 a 2 a

l - 3 x 1 + 3 a

6a +10a ] - 6 x + 9 x 2

3 a (I + 3 a ) + 2 a (1 - 3 a) 2 a(3 a + 5 )

(1 - 3 a )(1 + 3 a ) ( l - 3x)J

d D

c BETŰS K IFE JEZ ÉSEK

Ekkor megtesszük a kikötéseket: a * ± - ; 0 ;- —. Ezt követően az első tört3 3

számlálójában felbontjuk a zárójeleket, összevonunk és lehetőség szerint szor­zattá alakítunk. A törttel való osztást pedig felírjuk a reciprokával való szorzás­ként.

3a + 9a 2 + 2a - 6a 2 (1- 3a ) 2

(1 — 3 jc)(1 + 3a ) 2 a (3 a +5 ) ~~

5 a + 3a 2 (1 - 3 a ) 2 ~ (1 - 3a )(1 + 3a ) 2 a ( 3 a +5) _

a (5 + 3a ) (1 - 3a ) 2 _ 1 - 3a

~ (1 - 3a )(1 +3 a ) 2 a<3 a +5) ~ 2(1 +3 a )

(He)

c AR Á N YO SSÁ G 32.6. ARÁNYOSSÁG

2.6.1. Egyenes arányosságKét változó mennyiség egyenesen arányos, ha összetartozó értékeik egy zérustól különböző állandószorosai egymásnak.Az y és x mennyiségek között egyenes arányosság van, ha van olyan a , nullá­tól különböző szám, hogy y = ax (a * 0 állandó).I z a kifejezés definiálja az egyenes arányosság függvényt, melynek a grafikon- M egy origón áthaladó egyenes.

Másképp megfogalmazva ezt a kapcsolatot: az egyik mennyiséget valahánys- /orosára változtatva a másik mennyiségnek is ugyanennyiszeresére kell változ­nia.I eladatokban ezt úgy szoktuk felhasználni, hogy az összetartozó mennyiségek hányadosát vesszük, ez mindig ugyanaz a szám. Persze ekkor a nevező értékei közül ki kell zárnunk a nulla értéket.

0 Példa1 In 4 zabhegyező 2800 zabot hegyez ki óránként, akkor 6 zabahegyező men­nyivel végez óránként?MegoldásAz adatokat táblázatba szoktuk rendezni:

hegyezőfdb] zab[db]I. eset 4 280011. eset 6 X

Mivel az összetartozó értékek hányadosa a két esetben egyenlő:x _ 28006 _ 4

Innenoonn

x = _ _ 6 = 1 400 ■ 3 = 42004

I diát 4200 zabot fog 6 ember kihegyezni.

GED

c A R Á N Y O SSÁ G )2.6.2. Fordított arányosságKét változó mennyiség között fordított arányosság van, ha összetartozó érté­keik szorzata egy nullától különböző állandó.

Az y és x mennyiségek között fordított arányosság van, ha v = — (y; x ^ 0 és a * 0 állandó). xl£z a kifejezés definiálja a fordított arányosság függvényt, melynek a grafikon­ja hiperbola.

Másképp fogalmazva ezt a kapcsolatot, az egyik mennyiséget valahányszorosá ra változtatva, a másik mennyiségnek ugyanennyied részére kell megváltoznia.

G PéldaHa 20 széltoló 5 óra alatt 150 szelet tol el, akkor 1 óra alatt hány széltoló vé géz ennyi széllel.MegoldásItt a szelek száma változatlan, az idő és a szükséges tolók száma között pedisí fordított arányosság van. Táblázatba foglalva az adatokat:

széltoló[dbJ időfh]1. eset 2 0 5II. eset X 1

Mivel az összetartozó értékek szorzata egyenlő:x • 1 = 20 ■ 5.

Tehát 100 széltoló kell ilyen rövid időre.

2.6.3. SzázalékszámításA százalék századrészt jelent. Hogy egy mennyiség hány százaléka egy másik nak, az az arányuk százszorosát jelenti. Ha a 2%-a 6-nek, akkor a 0,02-szoros;i 6-nek.

GD

1 A R Á N Y O SSÁ G )I Inevezések:■ sz.ázalékalap az a mennyiség, amihez viszonyítunk (b),• százalékérték, amit ehhez viszonyítunk (a),- s/ázalékláb az arányuk százszorosa (2).I zck között a kapcsolat:

százalékérték százalékláb százalékalap 100

0 Példa1 ) Mennyi a 250 15%-a?MegoldásI Iső gondolatmenet

A 250-nek az 1%-a — = 2,5.100

Uty 15%-a 2,5 15 = 37,5 .

Második gondolatmenet iz.áz.alékalap 250nzáz.alékláb 15i/.áz.alékérték xlóhát:

x _ 15 250 ~~100

jc = 250 0,15 =37,5 I z alapján 37,5 a 250 15%-a.

) Minek a 35%-a a 77?MegoldásI Isii gondolatmenet

I ht a 35% a 77, akkor az 1% a — = 2 ,2 .35

lóhát a 100% 2,2 • 100 = 220.

GED

Második gondolatmenet százalékérték százalékláb százalékalap

7735

xTeliát:

77 _ 35 x _ 100

Ezek szerint 220-nak a 35%-a a 77.

3.) Hány százaléka a 15 a 75-nek?MegoldásElső gondolatmenet

Mivel az arányuk százszorosát keressük, — ■ 100 = 2. Második gondolatmenet ^százalékélték 15százalékalap 75százalékláb x

Azt kaptuk, hogy a 15 a 20%-a a 75-nek.A második gondolatmenetek a formálisak, nehézkesnek tűnhetnek, de ha vala kinek nehéz átlátnia egy ilyen jellegű problémát, annak segítség lehet meg­szokni ezt a módszert.

Tehát:

15 _ x 75~TÖÖ

* = — 1 0 0 = 2 0 75

GED

2.1. FÜGGVÉNYEK

1.7.1. Definíciók

l'üggvényAdott egy A és egy B nem üres halmaz. Ha az A halmaz minden eleméhez a B li.ilmaznak egyértelműen egy-egy elemét rendeljük, akkor az A-n értelmezett íllBj»vényről beszélünk.A lüggvényeket kis betűkkel szoktuk elnevezni. Legyen például a definícióban */.ereplő függvény/

I Mclmczési tartom ányI k kor az A halmaz az/függvény értelmezési tartománya. Ennek jele: Df . Eleme­it független változónak vagy egyszerűen változónak nevezzük. Jelük általában x.

Képhalmaz■\ It halmazt a függvény képhalmazának nevezzük.

I rí ókkészletA li halmaznak azok az elemei, amelyeket hozzárendeltünk az A '-beli elemekhez, alkotják az/függvény értékkészletét. Ennek jele: R,. Az értékkészlet lehet a B hal- mu/nál szűkebb is. Elemeit függvényértéknek, képnek nevezzük. Jelük általában r, vagy fix') (ez annak az értéknek a jele, amit az/függvény azx-hez rendel).

Hozzárendelési szabály\ két halmazon kívül a hozzárendelési szabályt kell megadni. Sőt, az is gyakran i kifordul, hogy csak ezt adjuk meg. Ekkor az értelmezési tartomány az a legbő­vebb halmaz, amelyen ez a szabály még értelmezhető. Az értékkészletet pedig az t itelmezési tartomány cs a hozzárendelési szabály egyértelműen meghatározza. Ilii a függvény számok között értelmezett, akkor a szabályt általában egyenlet tonnájában adjuk meg.

I'éldául:Int

/ ( * ) - V x - 3 ,

GED

c FÜGGVÉNYEK 3akkor

Df = {*| x > 3 és r e R}.

A 4-hez rendelt érték:

/ ( 4 ) = V 4^3 = 1,

az 5-höz rendelt érték:

/ (5 ) = ~j5--3 = \ f l ,

J[2) pedig nem értelmezett.Ha azt szeretnénk megtudni, hogy a 6-ot mihez rendelte a függvény, akkor a következő egyenletet kell lelimi:

6 = yJx-3.

Ebbőlx — 39.

Tehát a következő három rendezett számpár biztosan a függvényhez tartozik:

(4 ;l), ^5; V2 ) (39; 6).

Kölcsönösen egyértelmű függvényHa az értelmezési tartomány minden egyes eleméhez az értékkészletből más­más elemet rendelünk, akkor egy-egy értelmű vagy kölcsönösen egyértelmű függvényről beszélünk. Ekkor a függvényértékből egyértelműen megmondha­tó, hogy mihez rendeltük hozzá, azaz a függvény megfordítása is függvény

Inverz függvényKölcsönösen egyértelm ű/ függvénynél a függvény megfordítását, azaz azt a függvényt, mely /(x)-hez x-et rendeli, az/függvény inverzének nevezzük. Jele

/ vagy/-Ekkor persze Df = Rr és Rf = Dr kell hogy legyen.

O Példa1.) Legyen f ix ) = 5.x - 7 és Df - {x|x e Z és 1 < x < 5}.

Ekkor / ' (.v) = -^x + ̂ - és Df, = Rf = {-2; 3; 8; 13; 18}

GD

c FÜGGVÉNYEK 3

l átható, hogy /* függvény inverze p e d ig /

2.) Ha x > 0, akkor /(x) = x2 függvény kölcsönösen egyértelmű, tehát in-

vcrtálható és inverz függvénye az /* = Vx .

I la az értelmezési tartomány és az értékkészlet is számhalmaz, akkor a függ­vény rendezett számpárokból áll. Ezek (x; f[x)) alakúak. Az első szám a válto­zó, a második a hozzá rendelt függvényérték. Ilyen számpárokat koordináta rendszerben tudunk ábrázolni.

Függvény grafikonjaligy /'függvény grafikonja azon (x;/(x)) pontok halmaza a koordináta rendszer­ben, melyekre x a függvény értelmezési tartományának eleme, J[x) pedig az ezen x értékhez a függvény által hozzárendelt értéke.Például az 1. példában szereplő függvény grafikonja a következő:

Egy függvényt grafikonjával is megadhatunk.

Például:

Leolvasható, hogy Df = (-2; 4] és Rf = (-10; 22],Ha azt akarjuk megtudni, hogy mennyi a 3-hoz rendelt érték, akkor az x = 3 éi téknél kell egy függőleges vonalat húznunk, majd a grafikonnal vett metszés pontjának y koordinátáját kell leolvasni.

FÜGGVÉNYEK

I átható, hogy/(3) = 5.

Ila azt akarjuk leolvasni, hogy vajon a kettőt mihez rendelte a függvény, akkor .1 2 értéknél kell egy vízszintes vonalat húzni, majd a metszéspontok x koordi­nátáját leolvasni.

I Álható, hogy ha f[x) = 2, akkor x = -1 vagy x = 2.

A/ is észrevehető, hogy igen nagy bajban lennénk, ha azt szeretnénk megtud­ni, hogy a négyet mihez rendelte a függvény. A legtöbb esetben a pontos leol­vasás nem lehetséges.

GOD

c FÜGGVÉNYEK 32.7.2. Függvényjellemzés

ZérushelyEgy / íliggvény zérushelye az értelmezési tartomány olyan .v0 értéke, melyre y - f{x0) = 0. A függvény grafikonja itt metszi az x tengelyt.

SzélsőértékEgy függvénynek kétféle szélsőértéke lehet: maximuma vagy minimuma.

Egy /'függvénynek maximuma van az értelmezési tartomány egy x0 értékénél, ha /(A'0)-nál egyik függvényérték sem nagyobb, azaz az értelmezési tartomány minden x elemére J(x) <f{x()).

Egy/függvénynek minimuma van az értelmezési tartomány egy x0 értékénél, ha/(.r0)-nál egyik függvényérték sem kisebb, azaz ha az értelmezési tartomány minden x elemére /(a) >./(a0).(Az a0 a maximum, illetve a minimum helye, az /(a0) a maximum, illetve a mi­nimum értéke.)

Például:

Maximuma van a függvénynek, helye az a = 4 és értéke az y = 22.Minimuma nincs, mert a —2-t tetszőlegesen megközelítve a függvényérttékek egyre kisebbek.

( FÜGGVÉNYEK )

Monotonitás

íg y függvény egy intervallumban monoton növekvő, ha ott értelmezve van, és ha a változó növekszik, a függvényérték nem csökken. Azaz, az intervallum minden olyan pontpárjára, amelyre x, <.v2, igaz, hogy /íx,) </(.v2).

I gy függvény egy intervallumban monoton csökkenő, ha ott értelmezve van, és ha a változó növekszik, a függvényérték nem növekszik. Azaz, az interval­lum minden olyan pontpárjára, amelyre x ( < x2, igaz, hogy /(xt) >j[x2).

Ha az egyenlőséget nem engedjük meg, akkor a függvény szigorúan monoton nő, illetve csökken.

A/ intervallum lehet az egész értelmezési tartomány is.Például az előző függvény szigorúan monoton nő a (-2 ; 0] és a [2; 4] interval­lumokon, szigorúan monoton csökken a [0; 2] intervallumon.

PeriodicitásI la van olyan c > 0 valós szám, hogy az értelmezési tartomány minden x ele­mére (x± c) is eleme az értelmezési tartománynak és j[x ± c) = /(x) teljesül, ak­kor/függvényt periodikusnak nevezzük. Ezen lehetséges c-k közül a legki­sebb, amennyiben létezik, a függvény periódusa.

! zt grafikusan úgy láthatjuk, hogy van olyan távolság, mellyel bármelyik irány- kin, x tengellyel párhuzamosan (ha egyszer teljesül, akkor többször is) eltolva a grafikont mindig ugyanazt látjuk.

Periodikus függvények például a trigonometrikus függvények. Például, ha a szinuszfüggvény grafikonját 2 ti-vei (360°-kal), vagy bármely többszörösével eltoljuk, a grafikon képe önmaga lesz, de 27T-nél kisebb pozitív szám nem jó. I ízért a szinuszfüggvény periódusa 27t.

CzD

c FÜGGVÉNYEK 3

ParitásParitás szempontjából háromféle függvényt különböztetünk meg. Párosat, pá­ratlant és azokat, melyek sem nem párosak, sem nem páratlanok.

Páros függvényAz / függvény páros, ha az értelmezési tartomány minden x elemével együtt (—x) is eleme az értelmezési tartománynak, és

Á-x) =fix).Páros függvény grafikonja szimmetrikus az y tengelyre.Páros függvények például a páros kitevőjű hatványfüggvények (jc t—» x 2>\ k e Z+), az x i—> |x|, az x (-> cos x függvények.

Páratlan függvényA z/függvény páratlan, ha az értelmezési tartomány minden x elemével együtt (-x) is eleme az értelmezési tartománynak, és

A - x ) = -Ax).Páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az origóra.Páratlan függvény például a páratlan kitevőjű hatványfüggvények (.r

xA ', k 6 Z+), az x i-» — (c; x * 0), az x i-» sin x függvények.x

2.7.3. Egyváltozós függvények

Lineáris függvényA hozzárendelési szabály

x t-> ax + bA grafikonja egyenes.Ha a = 0, akkor konstans függvényt kapunk, melynek a grafikonja egy vízszin­tes egyenes.

CzD

I la íz ^ 0, akkor az elsőfokú függvényt kapjuk, melynek a képe olyan egyenes, amelyik egyik tengellyel sem párhuzamos. Az y tengelyt a (0; b) pontban met­szi, a meredekségét az a adja (m = a). A meredekség azt mutatja meg, hogy ha egységnyit mozdulunk az x tengely mentén, akkor hány egységet kell mozdul­ni az y tengely mentén. Az egyenes két pontjának koordinátájából, P(xt; y x) és Q(x2', >’2), ezt úgy számítjuk, hogy

I la m > 0, akkor az egyenes növekvő.

I la m < 0, akkor csökkenő a függvény.

c FÜGGVÉNYEK 3Másodfokú függvényA legegyszerűbb alakú másodfokú függvény az

X f—> X .

Grafikonja a parabola.

JellemzésÉrtelmezési tartomány: RÉrtékkészlet: nemnegatív valós számok halmazaSzélsőérték:

maximum nincs.Minimum van:

minimum helye: x = 0, minimum értéke: y = 0.

Zérushely: x = 0.Monotonitás:

szigorúan monoton csökken, ha x < 0, szigorúan monoton nő, ha x > 0.

ParitásA függvény páros.

PeriodicitásA függvény nem periodikus.

Általános alakjax i—> ax2 + bx + c, ahol a ^ 0

Cz±)

í rről az alakról csupán annyi olvasható le, hogy ha a > 0, akkor felfelé nyitott a parabola, ha a < 0, akkor lefelé nyitott a parabola.Tmiéi sokatmondóbb alak a teljes négyzetet tartalmazó alak.

x i-» a(x + d)' + eÍ rről leolvasható a függvény szélsőértéke, azaz a parabola csúcspontjának ko­ordinátái.A szélsőérték

helye x = — d értéke y = e.

I la a > 0, akkor ez minimum; ha a < 0, akkor maximum.A függvény zérushelyeit, amennyiben vannak, a megoldóképlet szolgáltatja,

- b + yjb1 - 4 a cn/.az ha D > 0, x, -, = -------- ----------- .

2 a

Speciális esetek:

c FÜGGVÉNYEK 3Harmadfokú függvényA legegyszerűbb alakú az

Grafikonja:

JellemzésÉrtelmezési tartomány: R Értékkészlet: R Szélsőérték:

Maximum nincs.Minimum nincs.

Zérushely: x = 0.Monotonitás:

szigorúan monoton nő.Paritás

A függvény páratlan. Periodicitás

A függvény nem periodikus.

G D

FÜGGVÉNYEK 3Abszolútérték-függvényI cgegyszerűbb alakja az

x h-> |a| .

( irafikonja:

Jellemzésfirtelmezési tartomány: MIrt ókkészlet: nemnegatív valós számok halmazaN/élsőérték:

Maximum nincs.Minimum van:

minimum helye: x = 0, minimum értéke: y = 0.

iérushely: x = 0.Monotonitás:'i/igorúan monoton csökken, h a x < 0,

szigorúan monoton nő, ha x > 0.Paritás

A függvény páros.Periodicitás

A függvény nem periodikus.

c FÜGGVÉNYEK )Gyök függvényLegegyszerűbb alakja az

Grafikonja:h y

2

Értékkészlet: nemnegatív valós számok halmaza Szélsőérték:

Maximum nincs.Minimum van:

Zérushely: x = 0.Monotonitás:

szigorúan monoton nő.ParitásA függvény nem páros és nem páratlan. Periodicitás

A függvény nem periodikus.

minimum helye: x = 0, minimum értéke: y = 0.

c FÜGGVÉNYEK 3I incáris törtfüggvényI egegyszerűbb esete a fordított arányosság függvény,

I zck közül az x i—> — (x ^ 0) függvény grafikonját ábrázoljuk: x

( irafikonja:

ItillcinzésI ilclmezési tartomány: R\{0}.I ilckkészlet: R\{0}.U/élsőérték:

Maximum nincs.Minimum nincs.

/érushely: nincs.Monotonitás:Mlgorúan monoton csökken, ha x e (—°°; 0) vagy x e (0; °°). I'mitásA függvény páratlan.IViiodicitás

A függvény nem periodikus.

1

x

CzD

c FÜGGVÉNYEK

Exponenciális függvényAz alapfüggvény alakja

x h-> a*, ahol a > Q, a ± \ \ x e R .Grafikonja

JellemzésÉrtelmezési tartomány: R .Értékkészlet: ÍR+.Szélsőérték:

Maximum nincs.Minimum nincs.

Zérushely: nincs.Monotonitás:szigorúan monoton csökken, ha 0 < a < 1 szigorúan monoton nő, ha 1 < a.ParitásA függvény nem páros és nem páratlan. Periodicitás

A függvény nem periodikus.

Güh)

( FÜGGVÉNYEK 3I ,<>j>aritmusfüggvényA/ alapfüggvény alakja

x 1-4 logírY: ahol a: x > 0 és a ^ 1.( íi;tfikonjuk:

y iy 0 < a < 1

x

MlcmzésI ftelmezési tartomány: R.'.I rl ékkészlet: R.S/rlsőérték:

Maximum nincs.Minimum nincs.

/érushely: x - 1.Monotonitás:i/igorúan monoton csökken, ha 0 < a < 1 szigorúan monoton nő, ha 1 < a.I'iiritásA függvény nem páros és nem páratlan. Periodicitás

A függvény nem periodikus.

c FUGGVENYEK

Trigonometrikus függvények Szinuszfüggvény

Grafikonja:x sin x

JellemzésÉrtelmezési tartomány: R. Értékkészlet: [-1 ; 1]. Szélsőérték:

Maximum van.

71helye: x = — + 2kn, fce Z,

értéke: y = 1.Minimum van,

3 7Thelye: x = —̂- + 2171, /£ Z,

értéke: y = -1 . Zérushely: x= m T C ,m e TL. Monotonitás:szigorúan monoton csökken,

ÍZ 3 7tha — + 2 n n < x < 1— \-2nn, rceZ

2 2

szigorúan monoton nő,

ha - — + 2 p n < x < — +2p1Z, p s Z.

ParitásA függvény páratlan.

G ü )

FUGGVENYEK

l’eriodicitásA függvény periodikus, periódusa 2%.

Koszinuszfüggvény

(irafikonja:x i-» cos.r

1■y

\ . 71 / 2n x

-1 -

JellemzésI rtelmezési tartomány; R . íirtékkészlet; [-1 ; 1],S/élsőérték:

Maximum van,helye; x = 2k%, k e Z , értéke: y = 1.

Minimum van,helye: x = k + 21%, l e l , , értéke: y — — 1.

7tZérushely: x = — + m n , m e Z.

Monotonitás:x/igorúan monoton csökken, ha

2m i < a: < n + 2n%, n e %n/igorúan monoton nő, ha

ti + 2/771 < jc < 2ti + 2p7T, p e l , .I'm itásA függvény páros, tviiodicitásA függvény periodikus, piMiódusa 271.

G D

[ FÜGGVÉNYEK 3Tangensfüggvény

Grafikonja:

ahol x ^ — + 2ük o e Z9

Jellemzés

Értelmezési tartomány: M \ ■{ .v

Értékkészlet: R,Szélsőérték:

Maximum nincs. Minimum nincs.

Zérushely: x = mn, m e Monotonitás:Szigorúan monoton nő, ha

K— + qn, q e Z

71 71—— + p n < x < — + p x , p e £.

ParitásA függvény páratlan. PeriodicitásA függvény periodikus, periódusa 7t.

GED

FÜGGVÉNYEK

2.7.4. FüggvénytranszformációA/ egyes íuggvénytípusokhoz tartozó függvényeken bizonyos fajta átalakítá­sokat végezve a tipus nem változik meg.A változtatás kétféle lehet:I) függvényérték változtatás.’) változó változtatásMinkét esetben három lehetőség van:n) konstans hozzáadásIt) előjelváltási ) nemnegatív számmal való szorzás

Függvényérték tr. Változó tr./(.v) 4- c A grafikon az y tengely

mentén |c| egységgel elmoz­dul, ha c > 0, akkor felfelé, ha c < 0, akkor lefelé.

J{x + c) A grafikon az x tengelymentén |c| egységgel elmoz­dul, ha c > 0, akkor balra, ha c < 0, akkor jobbra.

/(a ) A grafikon az x tengelyre tükröződik.

J[-x) A grafikon az y tengelyre tükröződik.

<i /(a) A grafikon az y tengellyel

párhuzamosan a-szorosára megnyúlik. Ha a > 1, akkor nyúlik, ha 0 < a < 1, akkor zsugorodik.

f{a ■ x) A grafikon az x tengellyel

párhuzamosan i-szorosára a

megnyúlik. Ha a > 1, akkor zsugorodik, ha 0 < a < 1, akkor nyúlik.

G D

EGYENLETEK, EG YE N LŐ T LEN SÉG EK

2.8. EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK

2.8.1. Alapfogalmak

EgyenlőségAz egyenlőség két konstans egyenlőségjellel összekötve. Ez egy állítás, mely­ről egyértelműen eldönthető, hogy igaz vagy hamis.

EgyenletAz egyenlet két kifejezés egyenlőségjellel összekötve, ahol legalább az egyik oldalon betűs kifejezés áll. Az egyenlet esetén a betűket ismeretlennek nevez­zük. Az egyenletről nem lehet eldönteni, hogy igaz vagy hamis. Ha a betűk he­lyére számokat helyettesítünk, akkor már eldönthető. A betűk azon értékeit, melyek esetén igaz egyenlőséget kapunk, az egyenlet megoldásainak, gyökei­nek nevezzük, az ezek alkotta halmazt pedig igazsághalmaznak, illetve megoldáshalmaznak.

Értelmezési tartományAz értelmezési tartomány az ismeretlenek azon értékeinek halmaza, melyekre az egyenletben szereplő műveletek elvégezhetőek.

AlaphalmazAz alaphalmaz az értelmezési tartomány azon részhalmaza, ahol az egyenletet vizsgáljuk, ahol a megoldásokat keressük.Az alaphalmaz mindig részhalmaza az értelmezési tartománynak. Ott nem ke­resünk megoldást, ahol a műveletek el sem végezhetők.Ha az alaphalmazt nem adjuk meg, akkor az egész értelmezési tartományt kell annak tekinteni.

Például:1. Ha az (jc + 3)(x - 5) = 0egyenletnél nem adjuk meg az alaphahnazt, akkor a valós számok halmaza lesz az. A megoldások könnyen leolvashatók, a -3 és az 5.2. (x + 3)(jc - 5) = 0 , x > 0Itt már adott az alaphalmaz, melyen csak az 5 lesz megoldás.

GD

c EGYENLETEK, EG YE N LŐ T LEN SÉG EK J■!.8.2. Megoldási módszerek

í gy egyenletek megoldása nem más, mint két görbe metszéspontja helyének< x koordinátájának) megállapítása.

(Grafikus megoldásA/ egyenlet két oldalán álló kifejezések által meghatározott két függvényt kö­zös koordináta-rendszerben ábrázoljuk. Az egyenlet megoldásai a metszés­pontok x koordinátái. Ezen értékek esetén lesz a két oldalon álló függvényér­tek egyenlő.0 Példa:*1 - (x — 2)2 = |x - 4|1 egyenJ[x) = 4 - (x - 2)2 és g(x) = |x - 4|.

A megoldások itt pontosan leolvashatóak. Az egyik az 1, melynél mindkét ol- ilul 3, a másik a 4, ahol mindkét oldal a 0 értéket veszi fel.A módszer hátránya, hogy általában nehéz vagy lehetetlen pontosan leolvasni ■i megoldásokat. Arra viszont jó, hogy a megoldások számát és közelítő értéket megállapítsunk.

Vlgebrai megoldás\ / egyenletből előállítunk egy olyan egyenletet, mely valamilyen szempont

alapján egyszerűbb és amely megoldásaiból következtetni tudunk az eredeti rnyenlet megoldásaira. Azok a legjobb átalakítások, amikor az új egyenlet

CED

EGYENLETEK, EG YEN LŐ T LEN SÉG EK

megoldásai megegyeznek az eredetiével. Azokat az egyenleteket, melyek meg oldáshalmaza megegyezik, ekvivalens egyenleteknek nevezzük. Az olyan ál alakításokat, melyek egy egyenletből vele ekvivalens egyenletet állít elő, ekvi valens átalakításoknak nevezzük.

Ekvivalens átalakítások például:a) Az egyenlet mindkét oldalához ugyanazt az értéket, vagy olyan kifejezés! adunk, melynek értelmezési tartománya ]R.b) Az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal a nullától különböző értékkel, kife­jezéssel szorozzuk.

Ha nem tudunk ekvivalens átalakítást végezni, de jobb ha ez nem fordul elő, akkor vagy az alaphalmazt bővítő, vagy szűkítő átalakítást végzünk.Ha az alaphalmaz szűkül, akkor megoldást veszítünk. Tehát mindig érdemes átvizsgálni, amennyiben ez lehetséges, a szűkítés során kimaradt számokat, hátha köztük is van megoldás. Ehhez persze tudni kell, hogy az átalakítás mi lyen számokkal szűkíti az alaphalmazt.Például, ha az

lg (x - 2)2 = 2 = lg 102 egyenletnél nem odafigyelve a következő átalakítást végezzük

21g (x - 2 ) = 2,akkor csak a 12 jön ki megoldásként és a -8 gyököt elvesztjük, mivel az átahi kitás szűkítette az alaphalmazt. Ugyanis az eredeti egyenlet x = 2 kivételével minden számon értelmezhető, míg az átalakítás után kapott egyenlet csak az x > 2 számokra. Itt végtelen sok számot zártunk így ki, ezeket átnézni lehetet len, a gyökvesztés szinte biztos. Ezért az alaphalmazt szűkítő átalakításokat ke rülni kell.Az előző példát helyesen úgy oldjuk meg, hogy:

lg (x -2 )2 — 2,

( x - 2 ) 2 -100 , x - 2 = ± I0 ,

x, =12

x2 = -8

G5E)

EGYENLETEK, EG YEN LŐ TLEN SÉG EK

I la az alaphalmaz bővül, akkor hamis gyökök jöhetnek be. Ezeket ellenőrzés­sel ki lehet szűrni, de van, hogy ez elég nehézkes.I ellát figyeljük az alaphalmaz változását.

AzonosságA/okát az egyenleteket, melyek értelmezést tartományuk minden elemére iga­zak, az adott halmazon azonosságnak nevezzük.Például:1) (a + y)(x - y) = x" —y~ a valós számok halmazán

2) ( ^ ) 2 = x azonosság, ha x > 0.

I) VP" = | x\ a valós számok halmazán.

Megoldás az értelmezési tartomány vizsgálatávalA/ értelmezési tartományt mindig meg kell vizsgálni és az is előfordul, hogy ív./el a megoldást is megkapjuk.Például a

\J5 -X = V x -7egyenletnél ki kell kötnünk, mivel gyökjcl alatt negatív szám nem állhat, liogy

5 - j; > 0 és a - 7 > 0,5 > x és a >7.

I zen feltételeknek viszont egy szám sem felel meg, tehát az egyenletnek nincs megoldása, hisz az értelmezési tartománya az üres halmaz.

Megoldás az értékkészlet vizsgálatával< )lyan kifejezéseknél, melyek értékkészlete szűkebb halmaz, ennek vizsgálata is közelebb vihet az egyenlet megoldásához.O Példák

»> Vx>-5 = 4 — a

III ki kell kötnünk, hogyx - 5 > 0, azaz x > 5.

A/ónban azt is észrevehetjük, hogy mivel a bal oldalon nemnegatív kifejezés áll, a jobb oldal sem lehet negatív, azaz 4 - x > 0, tehát 4 > x kell legyen. De

EGYENLETEK, EG YE N LŐ TLE N SÉG EK

ez a kikötéssel együtt már az összes számot kizárja, tehát az egyenletnek nincs megoldása.

b) V3 + V5 - T = \[x , ahol x e Z Itt a kikötés:

5 - x > 0 és jc > 0,5 > x > 0 .

Már így is csak hat darab számot kellene átnéznünk, de még azt is észrevehet jük, hogy a bal oldalon a gyökjel alatti érték legalább 3, hisz a 3-hoz egy nem negatív számot adunk. így a jobb oldali gyökjel alatti szám sem lehet 3-nál ki sebb. Tehát:

5 > x > 3.Az így kapott három számot gyorsan átnézve kiderül, hogy a 4 a megoldás.

Megoldás szorzattá alakítássalAzt, hogy szorzatról általában könnyű leolvasni a zérushelyeket, bizonyos ti pusú egyenleteknél felhasználhatjuk.

Például:x3 - x = 0

egyenlet esetén is ez a módszer a célravezető.x{x2 - 1) = 0,

x(x + 1 )(* - 1) = 0 Ez utóbbiról már könnyen leolvasható a három megoldás:

jc = —1; 0 ; 1.

Az x-et a másik oldalra rendezve és vele leosztva könnyedén elveszítjük a 0 megoldást, hisz rá az osztás nem értelmezhető és így az átalakításnál kizárjuk az alaphalmazból. íme:

x 3 = x

x 2 = l

x = ±\

2.8.3. Lineáris egyenletekEgyenletrendezéssel ki lehet fejezni az ismeretlent, el tudjuk érni, hogy az is meretlen marad az egyik oldalon, míg a másik oldalon egy szám áll.

c EGYENLETEK, EG YE N LŐ T LEN SÉG EK D0 Példa

x + 2 3x - 4 _------------------ = 3 - x

3 6S/.orzunk a nevezők legkisebb többszörösével, hogy a tört alakokat megszün- Icssük. Tévesztéseket kerülhetünk el, ha az eredeti számlálókat zárójelbe tesz- K/iik és úgy jelöljük a szükséges szorzást.

/.K.4. Kétismeretlenes lineáris egyenletrendszer1 lőször vizsgáljunk egy kétismeretlenes lineáris egyenletet. A 2x - y = 3 PHyenletnek végtelen sok számpár megoldása van. Ezeket koordináta-rend- »/crben lehet ábrázolni, az y = 2x - 3 függvény grafikonját határozzák meg.

A/ egyértelmű megoldáshoz kell még egy egyenlet. Ha az is lineáris egyenlet, tikkor a két egyenlet egy lineáris egyenletrendszert alkot.

<.itillkus megfontolások'.i.ilikusan gondolkozva, a megoldások lehetséges számát könnyű kideríteni. Hu uz egyenletek által meghatározott egyenesek párhuzamosak, akkor nincs MM'lfoldás. Ha egybeesnek, akkor végtelen sok van. Ha metszőek, akkor egy mr|j|oldás van.

c EGYENLETEK, EG YE N LŐ T LEN SÉG EK

Algebrai megoldásAz egyenletrendszert algebrai úton is meg lehet oldani. Erre két módszer van

a) Egyenlő együtthatók módszereHa az egyenletekben van olyan ismeretlen, melynek az együtthatói egyenlőek, vagy egymás ellentettjei. akkor az egyenleteket egymásból kivonva vagy össze adva ez az ismeretlen kiesik és egy egyismeretlenes lineáris egyenlethez jutunk Q Példa:

.v - 2y = 5 3a + 2 y = 7

Ezt a két egyenletet összeadva az y kiesik és a következőt kapjuk:4v = 12x - 3

Ezt valamelyik egyenletbe visszahelyettesítve az y értékét is megkapjuk.3 - 2 y = 5

y = - iEllenőrzéssel kiderül, liogy a (3; -1 ) rendezett számpár valóban megoldás.Ha az együtthatók között nincs ilyen szép kapcsolat, akkor az egyenletek szór zásával el lehet azt érni.

b) Helyettesítéses módszerEkkor az egyik egyenletből kifejezzük az egyik ismeretlent és ezt a másik egyenletbe behelyettesítjük. Az így kapott egyismeretlenes egyenletet megold juk, majd a másik ismeretlent is meghatározzuk.Példa:

2 x - y = l —»>> = 2 a - 7

a + 2y = 6

a + 2 ( 2 a - 7 ) = 6

5 a = 2 0

a = 4y = 2 4 - 7 = 1

Tehát a (4; 1) számpár a megoldás, amit ellenőrzéssel igazolhatunk.

2.8.5. Másodfokú egyenletA másodfokú egyenletek általános alakja: ax2 + bx + c = 0, ahol a * 0.

G D

EGYENLETEK, EG YEN LŐ TLEN SÉG EK

Ichát egy oldalra viszünk mindent, amit nullára redukálásnak hívunk, és .* hat­ványai szerinti csökkenő sorrendben írjuk a tagokat. A nullára redukálás követ­kezményeként a másodfokú kifejezés zérushelyét kell kideríteni. Erre több le­hetőség van.A/. egyik a szorzattá alakítás.I zt főként hiányos másodfokú egyenleteknél alkalmazzuk.

O PéldákI) Konstans hiányzik

2 x 2 + 5 * = 0

lit egyszerű kiemeléssel szorzattá alakítható a kifejezés és a zérushelyek kön­nyen leolvashatóak.

.í ( 2 a- + 5 ) = 0

?) Lineáris tag hiányzik u) különbség

4x2 - 5 = 0Négyzetek különbségeként felfogva a bal oldalt, az könnyen szorzattá alakítható.

(2 x ) 2 —(%/5) 2 = 0

(2x + y/5)(2x-j5)=0 x = _ £' V | 2 *2 2

l>) összeg3.Y2 + 4 = 0

Ilyenkor a kifejezés minimuma pozitív szám, itt 4, tehát nincs zérushely, nem I' hét szorzattá alakítani, nincs megoldás.

G D

I EGYENLETEK, EG YEN LŐ TLEN SÉGEK )3) Nem hiányos egyenletHa az együtthatók egyszerűek, akkor ebben az esetben is szorzattá lehet fejben alakítani.Q Példa:

x2 - x - 6 = 0 (x - 3)(x + 2) = 0

Látható, hogy a zárójelben lévő két szám szorzata a konstans, és összegük a li neáris tag együtthatója. Ezeket akkor van esélyünk kitalálni, ha egészek, így ;i szorzatból érdemes kiindulni.

Ha a szorzattá alakítás nem megy, akkor a megoldóképletet kell segítségül hívni.MegoldóképletAz

ax + bx + c = 0, ahol a * 0egyenlet diszkriminánsa

D = b~ - 4ac.H aD > 0, akkor két valós megoldás van, ha D = 0, akkor egy valós megoldás van, ha D < 0, akkor nincs valós megoldás.Ha van valós megoldás, akkor az az

- b ± J Ö

képlettel számolható ki.

G Példáka)

3x~ - 2x - 1 = 0MegoldásElőször a diszkriminánst kell megvizsgálni.Mivel itt a = 3, b = -2 , c = -1 (ezt nem szoktuk leírni),D = (-2)2 -4 ■ 3 • (-1 ) = 4 + 1 2 = 16Ez pozitív, tehát két valós megoldás van. Mivel négyzetszám, ezek nem is les/ nek rútak.

c EBYEN LETEK, EG YE N LŐ TL EN SÉG EK )2± 4

-*l;2 — ,6

Tehát:

, 1x ,= l , x2 = - ~ .

I //e l az egyenlet megoldása befejeződött.A /érushelyek ismeretében könnyű felírni a másodfokú kifejezést szorzat alakban:

\3x£ - 2x — 1 = 3(x - 1)| x + = ( jc - l)(3x +1).

I /t az alakot gyöktényezős alaknak nevezik,

b)

Megoldás4x2 - 12x + 9 = 0

D = 122 - 4 ■ 4 ■ 9 = 144 - 144 = 0.lehát egy valós gyöke van. Ez pedig:

12 ±yJÖ 3x — -8 2

I kkor a szorzatalak tejes négyzet:

C)

Megoldás

Ax' - \2x + 9 = (2x - 3)2.

2x2 - 3x + 5 = 0

D = (-3 )2 - 4 ■ 2 • 5 = 9 - 40 = -31.Negatív, tehát nincs valós megoldása.I kkor szorzattá sem alakítható.

(•yökök és együtthatók közötti összefüggésAz

ax2 + bx + c = 0, ahol a * 0 alakú egyenlet esetén, ha vannak valós gyökei, azaz D > 0, legyenek ezek x {

b cilletve x 2, akkor x} + x2 = — es xl -x2 — —.

G D

c EGYENLETEK, EG YEN LŐ TLEN SÉG EK 36 Példáka)Adjuk meg a következő egyenlet valós gyökeinek négyzetösszegét a gyökök meghatározása nélkül.

3 r - 5a- - 2 - 0MegoldásElőször meg kell vizsgálnunk, van-e valós gyök.

D = (-5 ) 2 - 4 ■ 3 • (-2 ) = 25 + 24 = 49 A diszkrimináns pozitív, tehát két különböző valós gyöke van. tizek négyzet- összege:

Tudjuk, hogy

JCj2 + Aj - (A, + A, f ~ 2a,A, .

5 , 2A, + A-, = — és A'iAt —----.

1 - 3 ' - 3Ezt felhasználva kapjuk, hogy

2 , f 5 f i 2 ^ 25 4 37A, + A , — — — 2 ----—------- 1---= ---- .

‘ 3 3 9 3 9

b) Adjuk meg az előző egyenlet valós gyökei reciprokainak összeget is. MegoldásHasonlóan az előzőkhöz, a kifejezést a gyökök összegével és szorzatával ír­juk fel.

51 1 __ x2 + Aj _ 3 _ 5

A, a 2 a , a , _ 2 2 3

Példa egy nehezebb másodfokú egyenlet megoldására.

------ J --- + . f ~ 4 -0 x > 0a ' - 4 a ~ 2 a a ' + 2 a

Először a nevezőket szorzattá alakítjuk, hogy zérushelyeiket megállapítva megtehessük a szükséges kikötéseket, valamint, hogy megállapíthassuk a leg kisebb közös többszörösüket, mellyel majd szorzunk.

c EGYENLETEK, EG YEN LŐ TLEN SÉG EK J

--------_---------------- 1-----+ _ -------- = 0.(x + 2 ) (x -2 ) x ( x -2 ) x ( x + 2)

A szükséges kikötés:< * -2 ; 0; 2.Az egyenletet ezek után szorozhatjuk x(x - 2)(x + 2)-vel.2r - (x +2) + (x - 4)(x - 2) = 0í zt követően a zárójelek felbontása, összevonás és a szokásos megoldási mód­szer jöhet.

2a - x - 2 + x 2 - 2x - 4a + 8 = 0

x" — 5a + 6 = 0

( x - 2 ) ( a - 3 ) =0a, = 2 x 2 = 3

A kikötéseknek csak a 3 felel meg. Ellenőrzésnél kiderül, hogy valóban ez a megoldás.

Másodfokúra visszavezethető egyenletekVannak olyan magasabb fokú egyenletek, melyek ügyes helyettesítéssel má- Nodfokúra vezethetők vissza.

0 Példa8a6 - 63x3 -8 = 0

Megoldáskihasználhatjuk, hogy csak harmadfokú tag és a négyzete, hatodfokú tag van >t konstanson kívül. Helyettesítsük x3-et a-val.

8í/~ - 63a - 8 = 01 z már a megoldóképlettel megfejthető.

£> = (-6 3 ) ' - 4 -8 (-8 ) =3969 +256 =4225 =65 2

63 ±65 ű" = —

a, =8 a , = — —1 2 8

Természetesen vissza kell térnünk x-hez.

GED

I EGYENLETEK, EG YEN LŐ TLEN SÉG EK )Xl =8 A'3 — — -

8

, I■ * > = 2 x2 = - -

Ellenőrzéssel kiderül, hogy mind a két szám megoldás.

2.8.6. Másodfokú egyenletrendszer

Másodfokú egyenletrendszereknek kél típusát fogjuk vizsgálni.

1) Az első az, amikor az egyik egyenlet lineáris és a másik másodfokú. Ilyen kor a lineárisból kifejezzük az egyik ismeretlent és behelyettesítjük a m ásik egyenletbe.

Q Példa

a 2 - y 2 = 8 1

A - y = 1 - » A = y + 1

(y + l)2-y * = 8 1

V 4* 2 y + 1 — y = 8 1

2 y = 8 0

>’ = 40

a = y + l = 41

Tehát a megoldás a (41; 40) rendezett számpár.A következő átalakítást is észre vehettük volna:

( x + v ) ( * - >0=81

A — y = i

a + y = 81

A - }’ = 1

Innen már könnyű megkapni a megoldást.

t EGYENLETEK, EG YEN LŐ TLEN SÉGEK J,’) A második típus, amikor mindkét egyenlet másodfokú.

G Példák n)

. r + y2 - 25

xy — 12

MegoldásA második egyenletről, többek között azt is meg lehet állapítani, hogy egyik is­meretlen sem lehet nulla, hisz a szorzatuk pozitív. így bármelyikkel leosztha­tunk, gyököt nem fogunk veszíteni. Fejezzük ki v-t és helyettesítjük be az első i'Hyenletbe!

X + 12 Y = 25x

2 , 144- 2x H— — = 25 \ -x x"

x4 + 144 = 25x2I / láthatóan x2-re nézve másodfokú egyenlet, így e szerint oldjuk meg.

x4 - 2 5 x 2 + 144=0

D = 252 -4 -1 4 4 = 252- 2 4 2 =49 1

( x \ 2 = ^ ~

Tehát

x2 = 16 vagy x2 — 9

x ,.,= ± 4 x3.4 = ±3

Mindegyikhez meg kell határoznunk y-1.\ , 4; x2 = -4 ; x3 = 3; x4 = -3

y i = 3; j 2 = -3 ; v3 = 4; y 4 = - 4

d D

EGYENLETEK, EG YENLŐT LENSÉGEK JAz egyik ötletA második egyenlet kétszeresét adjuk hozzá, illetve vonjuk ki a második egyenletből. így a következő rendszert kapjuk:

x2 + y 2 + 2xy - 49

x2 + y 2 - 2xy = 1

(•*+y)2 - 49

(x + y )2 = i

x 4- y - 7 vagy x + y = - 7

x - y - 1 vagy x - y = —I

A felső sorban található egyenleteket mindkét alsó sorbelivel párosítani kell. így kapjuk meg a négy megoldást.Másik ötletHa négyzetre emeljük a második egyenletet, akkor az elsőből az egyik tagot ki fejezve, azt a másodikba tudjuk helyettesíteni. A négyzetre emelés hamis gyö­köket hozhat be. Ezeket ellenőrzéssel ki lehet szűrni, de már az látható most is,

hogy a megoldásoknál a két számnak azonos előjelűnek kell lennie.

x 2 + y 2 = 25 —» y 2 = 25 - x 2

x2y 2 = 144

x 2(25 - x 2) = 144

x4 - 2 5 x 2 + 1 4 4 - 0

Ezt pedig már megoldottuk az első módszernél.

b) A következő típussal koordináta-geometriában találkozhatunk, amikor k é l

kör metszéspontját határozzuk meg.

(x + 5)2 + ( y - l ) 2 —25

( x - 4 ) 1 + ( y - 2 ) 2 =25

G °s)

c EGYENLETEK, EG YEN LŐ TLE N SÉG EK

Megoldás

jc2 + 10x + 2 5 + y 2- 2 y + l =25

x 2 - Sx + 16 + y 2 + 4y + 4 - 2 5

x 2 + y2 + 10x—2y + l = 0 1[ / . - / / .

x 3 + y 2 — 8x + 4-y — 5 = 0 J

18x“ 6y + 6 = 0

3x + í = y

I /l beírva az első egyenletbe:

(x + 5)2 + (3x)2 =25

10x2 +10x = 0

10x(x + l) = 0

x = 0 x = - l y = 1 y = —2

I ellát a megoldások a (0; 1) és a (-1 ; -2 ) számpárok.

! H.7. Szöveges feladatoktöbbféle szöveges feladat van, közös megoldási módszer nincs. Azonban van lióhány elv, amely segíthet.n) Első olvasásra próbáljuk megérteni, mivel is kapcsolatos a feladat!|i| Második olvasásra gyűjtsük ki az adatokat! Külön az ismerteket. Adjunk nekik

nevet és írjuk ki őket! Külön az ismeretleneket, ezeknek is adjunk neveket! A névadásnál már felhasználhatunk egyszerű kapcsolatokat az adatok között,

i l foglaljuk rendszerbe az adatokat! Ez lehet táblázat is. Ügyeljünk a mérték­egységek egyeztetésére. Készítsünk segítő ábrát vagy más segítséget, hogy jobban lássuk a probléma szerkezetét!

•I* írjuk le az adatok közötti kapcsolatokat! Ezeket általában egyenletekkel szoktuk. Lehetőleg annyi egyenletünk legyen, ahány ismeretlen adat.

!•) Oldjuk meg az egyenleteket!II A/ eredményeket a szöveg alapján ellenőrizzük!Hl Adjunk szöveges választ!

GjlD

c EGYENLETEK, EG YEN LŐ TLEN SÉGEK

Q PéldaKét versenyző egyszerre indul a 960 m hosszú távon. Az a versenyző, akinek átlagsebessége 0,2 m/s-mal nagyobb volt, 20 másodperccel előbb ért célba Mekkora a két versenyző sebessége, és mennyi idő alatt értek célba?

MegoldásAz adatok: ____

versenyzők út[m] idő[s] sebesség[m/s]

1. 960960

AA

2. 960960

a + 0,2a + 0,2

Tudjuk, hogy /i = Í2 + 2 0 . Tehát:

% 0 = ^ 6 0 _ + 2o

a a + 0 , 2

960 960-5---- = --------+ 20

x 5a + 1960(5 a + 1) = 960 • 5 a + 20 a{5 a +1)

48(5a + 1) =48 -5a + a(5a + 1)

4 8 • 5 a + 4 8 = 4 8 • 5 a + 5 a 2 + a

0 = 5a2 + a - 48 f l = l + 4 ’5-48 = 961 = 312

—1 ±31X y , =--------

1,2 10A két szám közül a negativ nem felel meg, így a megoldás:

A = 3 .

Tehát az egyik versenyző sebessége 3 m/s, míg a másiké 3,2 m/s.

c EGYENLETEK, EG YEN LŐ T LEN SÉG EK D2,8.8. Abszolút értékes egyenlet

I gy száma abszolút értékének definíciója:

a, ha a> 0 |a| = - 0, lia a = 0 .

—a, ha a < 0

I /I kell felhasználni abszolút értékes feladatok megoldásánál.C Példák «)

|2r + 3| = 7MegoldásI kkor az abszolút értékben lévő kifejezés csak 7 vagy -7 lehet. Tehát két egyenletet kapunk:

2x + 3 = 7 vagy 2x + 3 = -7 2x = 4 vagy 2x = -1 0

x = 2 vagy x = -5

I llenőrzéssel kiderül, hogy ezek valóban megoldások.

I>)

|3 - 2x\ = 4x + 1MegoldásI kkor fel kell bontani az abszolút értéket, ami a benne lévő kifejezés előjelé-

3Irtl függ. Könnyen kideríthető, hogy ha akkor a kifejezés nemnegatív,

3tehát abszolút értéke önmaga. Ha x > —, akkor pedig negatív és így abszolút

értéke az ellentettje. Tehát a két eset:

* < - : 3 - 2jc = 4jc-f-12

2 = 6*

1x = —

3

c EGYENLETEK, EG YEN LŐ TLEN SÉG EK 3vagy

3x > —: - 3 + 2x = 4x +1 ___ 2

- 4 = 2x x = —2

Az első esetben a megoldás megfelel a kikötésnek, így az eredeti egyenletnek is megoldása. A második esetben kapott érték nem megoldása az eredeti egyen letnek, hisz nem teljesül rá a feltétel.

c)|3jc — 7! — 7 — 3jc

MegoldásItt nem kell, az előzőhöz hasonlóan, az abszolút érték jelet felbontani, hisz Iái ható, hogy a jobb oldalon az abszolút értéken belüli kifejezés ellentettje áll. íg_\ az egyenlőség akkor teljesül, ha a belső kifejezés nem pozitív, azaz

3jc- 7 <0,3x<7,

Itt tehát végtelen sok megoldás van.

d)|3x + 2j = x - 1

MegoldásA belső kifejezés előjelét figyelve kapjuk a két esetet:

2

EGYENLETEK, EG YE N LŐ T LEN SÉG EK

x < — : - 3x - 2 = x - 13

-1 = 4x 1

x = —4

l'gyik szám sem felel meg a hozzá tartozó feltételnek, így egyik szám sem lesz «/ eredeti egyenlet megoldása.A többi esetben is alkalmazhattuk volna a grafikus megoldást, de csak itt mu­latjuk be.I egyen /(x) = |3x + 2| és g(x) = x - 1.

Mivel a grafikonoknak nincs metszéspontja, nincs megoldása az egyenletnek.

J.N.9. Gyökös egyenletek( työkös egyenleteknél figyelni kell az értelmezési tartomány és az értékkész- lr| vizsgálatára. Sem a gyökjel alatti kifejezés, sem a gyökvonás eredménye mjin lehet negativ.

G Példáka)

\ / 2 x - 3 =5

2x - 3 = 25 A'= 14

b)

yJx + 3 = - 2

Észre kell venni, hogy nincs megoldása, hét negatív.

c)

\J 1 - x = x — 4 1 - j t> 0 és í - 4 > 0l > x és x > 4

' 0 '

Látható, hogy nincs olyan szám, melynél a gyökvonás elvégezhető, és a johli oldal nem negatív. Ha nem vizsgáltuk volna meg az értékkészletet, akkor csak hosszabb munka után, az ellenőrzésnél derült volna ki, hogy nincs megoldás

d)

X + 1 = yj5x + 1 X + 1 > 0

Jt>-1

1v> —___ _5

A kikötések miatt mindkét oldal nemnegatív, így a négyzetreemelés ekvivalens átalakítás.

[__________________EGYENLETEK, EGYENLŐ TLE N SÉG EK

és 5x + 1 > 0

és x > —

x > - 3

hisz gyökvonás eredménye nem le-

EGYENLETEK, EG YE N LŐ TLE N SÉG EK

x 2 + 2x + 1 = 5a + 1

x 2 -3at = 0

jc(jc — 3) = 0

a, = 0 x1 = 3

I Ilenőrzés után kiderül, hogy mindkét szám megoldás.

2.8.10. Exponenciális egyenletA hatványozás azonosságainak ismeretére van szükség. Általában az a cél, hogy t/onos alapú hatványok legyenek az egyenlet két oldalán. Mivel az exponenciális lllugvény kölcsönösen egyértelmű, a kitevőknek ilyenkor egyenlőnek kell lenniük.

O Példák n)

2 8 '

25-2 ' = 0

5'2 5 •2 = 8 —

55} • 2X - 23 ■ 5 '

a-= 3

c EGYENLETEK, EG YEN LŐ TLEN SÉG EK

e)

22r_3 + 4 " 1 - 2 4 = 0

4 '+ 2 - 4 '= 192

3 -4 v =192

4J = 64

jc = 3

2.8.11. Logaritmikus egyenletekItt a definíció és az azonosságok ismeretére van szükség. Megoldásukat az ér­telmezési tartomány vizsgálatával kell kezdeni. Általában érdemes úgy alaki tani az egyenletet, hogy mindkét oldalon ugyanazon alapú logaritmus legyen Ekkor a logaritmusfuggvény kölcsönösen egyértelmű volta miatt a két argu mentumnak egyenlőnek kell lennie.

O Példáka)

lg2jt + lg(5jc-!5) = 2 5x -15 >0

lg [2 jr(5x -15 )]= Ig l02 |.r >3

Tehát2x(5x - 15)= 100

Ezt pedig a szokásos módon oldjuk meg.

I EGYENLETEK, EG YE N LŐ TLE N SÉG EK

0

31og5 x + lo g 25x = 7 [x> 0

3 lógj x + l0g?X = 7 lógj 25

31og, x + —y — = 7

61og5 x + log, x = 14

71og5 x = 14

log, x = 2

log5x = log ,52

X = 25

1+ —lg (2 x -l) = lg (4 x -2 ) 2 x - l >0 és 4 x - 2 > 0

I Ix > —

22 + lg (2 x - l) = 2 - lg (4 x -2 )

Igl00 + lg (2 x - l) = lg (4 x -2 ) 2

lg [l 00(2 x -1) ] = lg(4 x - 2 ) 2

Mivel a logaritmus függvény 1-1 értelmű, így100(2x - 1) = (4x - 2)2.

Hzt pedig már a szokásos módon megoldhatjuk.

200x - 1 00 = 16x2 - 16x + 4

16x2 - 216x + 104 = 0

2x2 - 2 7 x + 13 = 0 D = 272 —4-2-13 = 252

27 ±25

X, = 13 x, = —- 2

L EGYENLETEK, EG YE N LÜ TL EN 5E G EK JA második szám nem felel meg a kikötéseknek, míg a 13-ról ellenőrzés ulan kiderül, hogy valóban megoldása az eredeti egyenletnek.

2.8.12, Trigonometrikus egyenletekA grafikonok segítségül hívása ajánlott trigonometrikus egyenleteknél.

B Példa

sin 2x —----2

n/3Először keressük meg, melyek azok a szögek melyeknek szinusza — .

Látható, hogy a keresett szög az első és a második negyedbe eshet. A hegyesszwn

megoldást. 60°, azaz —, illik tudni. Az is tudható, illetve a grafikonról leolvasható

hogy második negyedbeli páijával ;t-re egészítik ki egymást. A periodicitást is i gyelembe véve a keresett szögek:

2x = — + 2kn3

Mindent osztanunk kell 2-vel. Tehát a megoldások:

x = — + K7T

2 K2x = ----- v2 In k;l e

3

71

3+ /7 T k ; /e Z.

2.8.13. EgyenlőtlenségekAz egyenlőtlenségek megoldási módszerei és elvei megegyeznek az egyenletével csak arra kell ügyelni, hogy ha negatív értékkel szorozzuk vagy osztjuk, akkor ;i/ egyenlőtlenség iránya megváltozik. Ezért az ismeretlent tartalmazó kifejezéssel va ló szorzást, osztást kerüljük. Helyette érdemesebb nullára redukálni és előjelvi/s gálatot végezni. Előjelvizsgálatnál is nagy segítség lehet a grafikus gondolkodás

(TTd)

EGYENLETEK, EG YEN LŐ TLEN SÉG EK

O Példan)

---- — |jc5tl;5x - 5 x — 1 '------- —

1 H— ^ ^ — 1— > 0 x - 5 x - 1

( x - 5 ) ( x - I ) + 3 ( x - l ) + ( x - 5 ) ̂ Q

(jc-SX jc-I)x2 - 5 x - x + 5 + 3 x - 3 + x - 5

— --------------------------------- --— — ----------------------------------- — > 0( x - 5 ) ( x - l )

x 1 - 2 x ~ 3— — > 0 (szorzattá alakítunk)(x —5 )(x - l)(x -3 )(x + 1) ̂ Q( x - 5 ) ( x - l )

11« a számlálót nem tudjuk szorzattá alakítani, akkor a zérushelyeit a megoldó- kqilettel is megkaphatjuk. Az előjeleket számegyenesen érdemes vizsgálni.

(x-3)(x+l) + - - + +(x-5)(x-l) + v + - +/ ,

-1---------( í :------;> í5 x,------

I zek szerint a megoldás:x < -1 vagy 1 < x < 3 vagy 5 < x.

b)2x2 - 5x + 4 > 0

I A nehéz szorzattá alakítani, így a megoldóképlettel keressük meg a zérushe- lycit. Ahhoz először a diszkriminánst kell megvizsgálni.

D = (—5)2 - 4 - 2 - 4 = 25 - 3 2 = - 7 A diszkrimináns negatív, tehát nincs zérushely. Érdemes elképzelni a grafikont, hogy az egyenlőtlenségre válaszolni tudjunk.

Cl l D

I EGYENLETEK, EG YEN LŐ T LEN SÉG EK

Felfelé nyitott parabolának, melynek nincs zérushelye, az x tengely felett kell elhelyezkednie. Ez pedig minden x értékre pozitív. Tehát a megoldás: x e R .

c)x2 — 8jc + 16 < 0

Az jó, ha az ember észreveszi, hogy ez teljes négyzet. Ha nem, akkor a diszk rimináns vizsgálatakor derül ki, hogy az nulla, tehát egy zérushelye van.

(* - 4)2 < 0

A grafikonról leolvasható, hogy csak egy megoldás van.x = 4

2.8.14. Egyenlőtlenség-rendszerEkkor az egyenlőtlenségeket külön-külön meg kell oldani, majd megállapítani a közös megoldásokat.

O Példa

2 x - 5 2 - x ,-------- > ------- + 1 \ - 6

2 33 x - 2 „ 4x x — 1 ,

--------+ 3 > --------------\-30__5________ 3 2

6jc —15 > 4 - 2 x + 6

1 8 j c - 1 2 + 9 0 > 4 0 j c- 1 5 jc + 15

8x > 25

63 > 1 x

CllD

I KÖZEPEK

2.9. KÖZEPEK

2.9.1. Számtani középKét szám számtani közepe az összegük fele.Jele: a és b számok számtani vagy algebrai közepe A(a: b).

A számtani közép a számegyenesen éppen felezi a két szám által meghatáro zott szakaszt.

Tétel: Két nemnegatív szám számtani közepe nem kisebb, mint a mértani kö zepük.

Egyenlőség akkor és csakis akkor teljesül, ha a két szám egyenlő.

Egy gyakran használt következménye ennek a kapcsolatnak a következő álli tás.Egy pozitív szám és reciprokának összege nem kisebb, mint 2.

a A(a;b)

2.9.2. Mértani középKél nemnegatív szám mértani közepe a szorzatuk négyzetgyöke. Jele: a:b > 0 számok mértani vagy geometriai közepe G(a; b).

G(a;b) = 4öb

a + — > 2 , ahol a > 0a

Egyenlőség akkor és csakis akkor van, ha a — 1.

c Z Á M 5 D R Ű ZATD K

2.10. SZÁMSOROZATOK

I la egyszerűen akarunk fogalmazni, akkor a számsorozat végtelen sok szám egymás után írva, melyek közt van első és mindegyikről meg lehet mondani, hogy hányadik.

A számsorozat a pozitív egész számokon értelmezett számértékű függvény,

/ : N - > K .

Az n e N számhoz rendelt f[n) értéket általában fl„-nel jelöljük, és a sorozat /i-edik tagjának hívjuk. A sorozat szokásos jele («„). A neve lehet más betű is. Az n-edik elem jele an, ahol n — 1 ; 2; 3 ; ... .

= f i n )

2.10.1. Számtani sorozatA számtani sorozat olyan számsorozat, amelyben a második tagtól kezdve bármelyik tag és a közvetlenül előtte álló különbsége állandó.Ezt az állandót c/-vel jelöljük és neve differencia.Tehát:

an —an_, = d , ahol n e N és n > 2.

Néhány egyszerű tulajdonság:Ha <5? > 0, akkor a sorozat szigorúan monoton növő, azaz

a„+\ > a„.

I la d = 0, akkor a sorozat állandó.= an

I la d < 0, akkor a sorozat szigorúan monoton csökkenő.

Számtani sorozatban bármely három egymást követő tag közül a középső a két szélsőnek a számtani közepe.

an-i+an+1 ahol n e N és n >2.2

l z az összefüggés általánosan is igaz: bármely elem a tőle szimmetrikusan el-

GjJ)

SZÁM SO RO ZATO K Jhelyezkedő tagoknak a számtani közepe.Igazak a következő összefüggések:

a„ = űj + (n — 1 )d, és, ha S„ az első n tag összege, azaz

S„ = a\ + a2 + ... + a„, akkor

S . . = ^ ^ n .

8 Példáka)Adjuk össze a pozitív egész számokat 150-ig!MegoldásA pozitív egészek számtani sorozatot alkotnak, melyben

a, = 1, d = 1 .

150-ig 150 darab szám van, így

Sijo= Í i± £ » . , 5 0 = 1± 1“ .150 = I1325.2 2

b)Adjuk össze a kétjegyű páros számokat!MegoldásAkétjegyű páros számok 10-től 98-ig olyan számtani sorozat első elemei, melyben

a, = 10, d = 2.

Meg kell határozni, hogy hányadik elem a 98. Használjuk a következő összefüggést:a„ = űj + (n - 1)í/.

Tehát:98 = 10 + (/i - 1)2.

Innen:n - 45.

Ezt úgy is megkaphattuk volna, hogy 90 darab kétjegyű szám van (99 - 9 = 90) és ezek között minden második páros.így:

(H§)

c SZÁMSOROZATOK D

Sa = £ l ± £ ü . 4 5 = 45 = 2430.

c)llgy körgyűrűcikk alakú szabadtéri nézőtéren minden sorban 4-gyel több férőhely van, mint az előtte lévőben. Hány sorban tudunk elhelyezni 240 nézőt, ha az első, 40 férőhelyes sortól kezdve minden helyre ültetünk embert? Megoldásl 'szre kell venni, hogy a nézőtér alakja nem számit. A lényeg, hogy minden sor­ban 4-gyel több ülés van, mint az előzőben, tehát a soronkénti férőhelyek száma számtani sorozatot alkot. Adva van az első elem: 40. Nem tudjuk, hány darab elem van, legyen ez n. Azt viszont tudjuk, hogy 240-nek kell lennie az első n elem összegének. Tehát:

a, =40,

Sn = 240,

d = 4

n — 7

Írjuk fel az .S’,,-re vonatkozó összefüggést!

r _ a\ +a„ .. _ 2a\ + ( « - ! )dL>„ — * Ti ■—

Mivel csak egy ismeretlen van benne, érdemes behelyettesíteni az ismert adatokat.

240 _ 2 - 4 0 + ( n - l ) ' 4 „2

Kendezzük ezt az egyenletet!240 = (40 + (« -1) * 2)«

240 = (38 + 2n)n

0 = 2n +38/r - 240

0 = rc2 +19/1-120

Ezt megoldóképlettel, vagy szorzattá alakítással oldhatjuk meg.

SZÁMSOROZATOK )0 = (n - 5)(n + 24)

Ennek csak a pozitív megoldása jöhet szóba, tehát n = 5 .A 240 embert 5 sorban tudjuk elhelyezni.

2.10.2. Mértani sorozatA mértani sorozat olyan számsorozat, amelyben a második tagtól kezdve bál melyik tagot elosztva az őt megelőző taggal ugyanazt a számot (q-1) kapjuk. A q a mértani sorozatra jellemző állandó hányados, neve kvóciens. Nem lehel nulla sem a kvóciens, sem a sorozat egyetlen tagja sem.Tehát:

— — = q , ahol n e Ti és n > 2, q -t 0, an_t í - 0.

Néhány egyszerű tulajdonság:Ha q = 1, akkor a sorozat minden tagja egyenlő.Ha q pozitív, akkor a sorozat minden tagja azonos előjelű.Ha a q negatív, akkor a tagok váltakozó előjelűek, például

A, = 2 és q = -3 2 ;-6 ; 18; -54; ... .

Ha a x > 0 és 1 < q, akkor a sorozat szigorúan monoton növő, például:í/j = 2 és q = 3

2; 6; 18; 54; ... .Ha a, > 0 és 0 < q < 1, akkor viszont szigorúan monoton csökkenő, például:

1ö. = 2 es q = —1 2

2-1-1 - 1 * I-’ ’ 2 ’ 4 ’ 8 ’" '

Ha ax < 0, akkor éppen fordítva, például:

a, = -2 és q = —1 2

2 4 8

Clüü)

SZÁMSORO ZATOK

n- 1

Sn itt is az első n tag összege.

Ma = 1, akkor Sn = n ■ a {.

I’ozitiv számokból álló mértani sorozatban bármely három egymás után álló tag közül a középső a két szélsőnek a mértani közepe. Azaz:

Az állítás általánosan is igaz: a pozitív számokból álló mértani sorozatban bár­mely tag a tőle szimmetrikusan elhelyezkedőknek a mértani közepe.Ha másként írjuk fel ezt a kapcsolatot,

al =«„-!iikkor nem fontos, hogy a sorozat pozitív tagokból álljon.

CD Példákn)lígy mértani sorozat második eleme 28, hetedik eleme 896. Mi az első és az ötödik elem? Mennyi az első öt elemének összege?MegoldásTudjuk, hogy a2 = 28, a7 = 896.I zekre igaz, hogy

5a 7 = a2q .Innen:

ai _ 896 _ o, ~ 28 ~ ^

lóhát:

SZÁMSO RO ZATO K

a2 28 a .= _ L = — =14,q 2

a5 = ű,<?3 = 28-8 = 224,5

L_<?-! 2 -1

S5 = a, ^ ---- - = 14—---- - = 434.

b)Egy mértani sorozat harmadik tagja 6, hetedik tagja pedig 54. Határozza mer, az első 10 tag összegét!Megoldása3 = 6 a 7 = 54

5,0 = ?Mivel

4íí-jr —~ ,

Tehát:

Határozzuk meg az első elemet!

<?4 - 9,

r = +V3.

_ ai _ 6 _ -> a, , 2.^ 3

ígyc ? l0- I _ „ 273-1 10 i—

<7-1 ± V 3-1

2.10.3. Kamatos kamat számításHa valamely A0 érték évente p e ÍR+ százalékkal növekszik, akkor a mer, növekedett érték az «-edik év végén

SZÁMSO RO ZATO K J

írsz. Évente q%-os csökkenés esetén pedig az A0 az n-edik év végére az

írlékre csökken.

A / ilyen típusú számításokat nevezzük kamatos kamat számítási feladatoknak. I'crsze a változás üteme nem csak éves lehet, hanem napi, havi stb. is.A / összefüggésben négy adat szerepel. Ezek mindegyike lehet feladat kérdése. Mind a négy típusra hozunk egy-egy példát.

0 Példák #)1 la a mobilfelhasználók száma évente 20%-kal nő, akkor hány év alatt duplá­zódik meg?Megoldásl udjuk, ha most A0 felhasználó van, akkor az ismeretlen számú év múlva, le­gyen ez n, lesz 2A0.I ellát:

ky

A negyedik évben duplázódik meg.

I SZÁM S □ R DZATD K

b)Ha 500 ezer forintot teszünk a bankba évi 6 % -os kamatra, akkor 10 év múl va mennyi lesz a megtakarításunk?Megoldás

Tehát közel 900 ezer forintunk lesz 10 év múlva a bankban,

c)Mennyi pénzt kell betennünk a bankba, ha 2 millió forintot szeretnénk 20 n múlva és az éves kamat 4 %?Megoldás Tudjuk, hogy

Egy fertőző betegségben szenvedők száma 10 év alatt megduplázódott. Hány százalékos az éves növekedés?Megoldás Tudjuk, hogy

( 6Al0 =500000 1 + ----- -500000 ‘1,06 10 =895424.

100

Innen:

Tehát körülbelül 913 ezer forintot kell betennünk.

d)

Innen:

jc = (yfl - 1) • 100 = 7,18.

Az éves növekedés körülbelül 7,2%-os.

i

c GEOMETRIAI ALAPOK 3.1. GEOMETRIA

.1.1. GEOMETRIAI ALAPOK

Alapfogalmak: pont, egyenes, sík, illeszkedés.Mivel ezek alapfogalmak, nem definiáljuk őket, hanem a szemléletünkben ki­alakult jelentésükre hagyatkozunk. Az illeszkedéshez azonban egy kis magya- ilizatot fűzünk. Ha egy pont rajta van egy egyenesen, akkor azt úgy mondjuk, hogy a pont illeszkedik az egyenesre vagy másként, az egyenes illeszkedik a pontra.

JeleikPontok jelei a nyomtatott nagybetűk, például: A\ B\ ...I gyenesek jelei a kisbetűk, például: e ;/; g;...Síkok jelei görög kisbetűk, például: a ; p; ..., vagy SIlleszkedés jele: e , például P e e, P pont illeszkedik az e egyenesre.A pontot, az egyenest és a síkot térelemeknek nevezzük. A térelemeket a rájuk illeszkedő pontok halmazaként fogjuk fel.

félegyenes: egy egyenest egy rá illeszkedő pont két félegyenesre oszt. Ez a pOnt mindkét félegyenes kezdőpontja.

Szakasz: egy egyenesen két különböző pont egy szakaszt fog közre. A két pon­tot a szakasz végpontjainak nevezzük.

U . l . Szögl;ny síkban két azonos pontból kiinduló félegyenest és az általuk meghatározott bár­melyik síkrészt szögnek nevezzük. A közös kezdőpontot a szög csúcspontjának, a kiít félegyenest a szög szárainak, a síkrészt szögtartománynak nevezzük.Két, közös kezdőpontból kiinduló félegyenes két szöget határoz meg. Azt, amelyikkel dolgozunk, az ábrán körívvel jelöljük.Jele: görög kisbetű vagy ABCZ. (B csúcspont, A és C a két szárra illeszkedik).

c GEOMETRIAI ALAPOK

Nevezetes szögek

Nullszög: a két szögszár egybeesik, a szögtartomány az üres halmaz.

Egyenesszög: a két szögszár egy egyenest alkot, a szögtartomány az egyik félsík

Teljesszög: a két szögszár egybeesik, a szögtartomány a sík.

Szögmérés: a szögek nagyságát kétféle egységgel mérhetjük. Az egyik a fok, a másik a radián.

Szögmérés fokokkal: a teljes szög 360-ad része az egy fok, azaz 1° nagysá gú szög. Az egy fok hatvanad része az egy perc (1 ’), az egy perc hatvanad re sze az egy másodperc (1”).

Szögmérés radiánban: az egységsugarú körben a középponti szöghöz tarto/ó körívhosszat a szög ívmértékének nevezzük. Egy radián annak a középponh szögnek az ívmértéke, melyhez tartozó körívhossz egyenlő a sugárral, aza/ egységsugarú körben egy. Mivel az egységsugarú kör kerülete 2tc, a hozzá tar tozó 360°-os középponti szög 2n radián. Nem egység sugarú körben a szög ív

Az a°-os szög ívmértékét ctj.-rel jelöljük. Tudjuk, hogy egy körben a közép

ponti szög nagysága egyenesen arányos a hozzá tartozó körív hosszával. Ebből adódik, hogy a ° egyenesen arányos a r-rel. így felírhatjuk a következő arány­

párt: a ° : a , = 360° : 2 je egyszerűbben a ° : a r = 180° : je. Tehát az átváltások­hoz a következő képleteket érdemes alkalmazni:

Fokból radiánba való átszámításnál:

Radiánból fokba való átszámításnál:

mértékét az ~ képlettel kapjuk.

180°

O Példa

271 7130° = — = - ,

12 6

2 71 7t 45 ° = — = — 8 4

37t4

3180°= 135°, 2 = 2

180c71

= 114,6°

szög elnevezése nagyság fokban nagyság ívmértékbennullszög a° = 0° a r = 0

hegyesszög 0° < a° < 90° 0 < a r < 7t/2derékszög s o II O o a r = %I2

tompaszög 90° < a ° < 180° 7C/2 < ccr < 71

konvex szög 0° < a° < 180° 0 < a r < 7t

egyenesszög a° = 180° Ölj. — JCkonkáv szög 180° < a° < 360° ti < a r < 27t

teljesszög a ° = 360° a r = 2ti

l áblázat: Fokokban és ívmértékben megadott szögek elnevezései

_ t inullszög hegyesszög derékszög konvex szög

egyenesszög konkáv szög teljesszög

S/.ögpárok:

GEOMETRIAI ALAPOK

Csúcsszögek: csúcsaik egybeesnek és száraik páronként egy-egy egyenest al­kotnak. A csúcsszögek egyenlöek.

Mellékszögek: csúcsaik egybeesnek, egy-egy száruk egybeesik, a másik két szái egy egyenest alkot. A mellékszögek egymást egyenesszögre egészítik ki.Az ábrán a és y, illetve p és 5 csúcsszögek, az (a,p), (p,y), (y,5) és (a ,5) szög­párok egymás mellékszögei.

Egyállású szögek: két konvex vagy két konkáv szög szárai páronként párlm zamosak és azonos irányba mutatnak. Az egyállású szögek egyenlöek. Az áb­rán az (a,p), (P,o), (y,<)>) és (8,cú) szögpárok.

Váltószögek: két konvex vagy két konkáv szög szárai páronként párhuzamo sak és ellentétes irányba mutatnak. A váltószögek egyenlöek. Az ábrán a/ (a,<|>), (P,co), (y,p) és (5,<t) szögpárok.

G Ü )

Merőleges szárú konvex szögek: száraik páronként merőlegesek egymásra. Nagyságuk egyenlő vagy egymást 180°-ra egészítik ki.

Hajlásszög

Két félegyenes hajlásszöge: az általuk meghatározott kisebbik szög, amennyi­ben van kisebb. így közbezárt szögük legkisebb értéke 0°, és legnagyobb érté­ke 180°.

Két egyenes hajlásszögeHa egy síkban vannak: az általuk meghatározott kisebbik szög, amenynyiben van kisebb. így közbezárt szögük legkisebb értéke 0°, és legnagyobb értéke 90° .

Ha kitérőek: a tér egy tetszőleges pontján átmenő és az adott egyenesekkel párhuzamos egyenesek hajlásszöge. Ez a szög a pont megválasztásától függet­len.

Kgyenes és sík hajlásszögeí gy a síkot metsző egyenes merőleges a síkra, ha merőleges a sík minden egyenesére.

Ha az egyenes (e) nem merőleges a síkra, akkor az egyenes merőleges vetüle­ti- a síkon szintén egyenes (<?’). Ebben az esetben az egyenes és a sík hajlásszö­gén az egyenes és a vetülete hajlásszögét értjük. Ez a szög a legkisebb az egye­nes és a sík egyenesei által bezárt szögek között.

Két sík hajlásszögeI la a két sík nem párhuzamos egymással, akkor metszésvonaluk egy pontjában mindkét síkban merőlegest állítunk a metszésvonalra. A két sík hajlásszöge a két merőleges hajlásszöge.

GEOMETRIAI ALAPOK

Ha a két sík párhuzamos, akkor hajlásszögük 0°.

Forgásszög: egy pontból kiinduló egybeeső két félegyenesből az egyik fixen hagyásával és a másiknak a közös végpont körüli elforgatásával kapjuk. A fői gásszöget nagyságával és irányával adjuk meg. Tetszőleges nagyságú lehet és kétféle irányítású. Pozitív az irányítása, ha az óramutató járásával ellentétes irányba mozdul a mozgatott szár, és negatív, ha megegyező irányba.Az irányított szögek megadásánál feltüntetjük a szárak sorrendjét. Például (a;b)Z = 45°, (c;cf)Z = -75°, (e-f)Z = 420°.

3.1.2. Térelemek kölcsönös helyzete és távolsága:

Egyenes-egyenes

Metsző': két egyenes metsző, ha pontosan egy közös pontjuk van. Ekkor a/ egyenesek egy síkba esnek.

Párhuzamos: két egyenes párhuzamos, ha egy síkban vannak és nincs közös pontjuk, vagy minden pontjuk közös. Ha két egyenesnek két különböző ponl|.< közös, akkor minden pontjuk közös, egybeesnek.

Kitérő: két egyenes kitérő, ha nincsenek egy síkban.

I GEOMETRIAI ALAPOK

luycnes-sík

Párhuzamos: egy egyenes párhuzamos egy síkkal, ha nincs közös pontjuk, vagy az egyenes illeszkedik a síkra. Ha az egyenesnek van két különböző pont- in, mely illeszkedik egy síkra, akkor az egyenes illeszkedik a síkra.

Metsző: egy egyenes metszi a síkot, ha egy és csak egy közös pontjuk van.

Párhuzamos: két sík párhuzamos, ha nincs közös pontjuk, vagy minden pont­luk közös. Ha van három különböző, nem egy egyenesre illeszkedő közös pontjuk, akkor minden pontjuk közös.

Metsző: két sík metsző, ha van egy és csak egy olyan egyenes, mely mindket­tőre illeszkedik.

Ivét pont távolsága: a pontokat összekötő szakasz hossza. A és B pont távol- magának jele d{A\B).A d(A,B) egy nemnegatív valós szám, mely a következő három feltételnek tesz ■ leget:1) d(A;B) = 0 akkor és csakis akkor, ha A = B.2) d(A;B) = d{B\Á)1) d(A;B) + d(B;C) > d(A;C) és egyenlőség akkor és csakis akkor igaz, ha B il­

leszkedik AC szakaszra.

I'ont és egyenes távolsága: a pontból az egyenesre bocsátott merőleges sza­kasz hossza. Ez a legrövidebb a pontot az egyenes pontjaival összekötő szaka­szok közül.

sík-sík

távolság

B

C ^,I(A;B) + d(B-C) > d(A\C) d(A;B) + d(B;C) = d{A;Q

GEOMETRIAI ALAPOK

Kct egyenes távolságaPárhuzamos egyenesekBármelyik egyenes egy tetszőleges pontjának távolsága a másik egyenestől, ax az a két egyenest összekötő, mindkettőre merőleges szakasz hossza.

Metsző egyenesek Távolságuk nulla.

Kitérő egyenesekTávolságuk az őket összekötő, mindkettőre merőleges szakasz hossza. Ezt .1

szakaszt, mely mindig létezik és egyértelmű, a két egyenes normáltran szverzálisának nevezzük.

Pont és sík távolságaA pontból a síkra bocsátott merőleges szakasz hossza. Ez a legrövidebb a pun tót a sík pontjaival összekötő szakaszok közül.

Egyenes és sík távolságaHa párhuzamosak, akkor az egyenes bármely pontjának távolsága a síktól, a/.i/ az egyenes bármely pontjából a síkra bocsátott merőleges szakasz hossza.Ha metszők, akkor távolságuk nulla.

Két sík távolságaPárhuzamos síkokBármelyik sík tetszőleges pontjának távolsága a másik síktól, azaz bármelyik sík egy tetszőleges pontjából a másik síkra bocsátott merőleges szakasz hoss/.i

Metsző síkok Távolságuk nulla.

3.1.3. Nevezetes ponthalmazok

Körvonal (kör)Olyan pontok halmaza a síkban, melyek egy adott ponttól (középpont) egyen lő távolságra vannak.

( GEOMETRIAI ALAPOK

d(0;P) = rA középpontot a körvonal bármely pontjával összekötő szakasz a sugár.

KörlapA körön és a körvonalon belül lévő pontok halmaza.

d(0;P) < r1/ egy síkidom. Ezt is szoktuk körnek nevezni, például „kör területe”.

(•ttmbÜgy adott ponttól (középpont) egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a térben.

S/ukaszfelező merőlegesA szakasz felezőpontján áthaladó, rá merőleges egyenes.I’étel: a szakaszfelező merőleges pontjainak halmaza egyenlő a szakasz két végpontjától egyenlő távolságra lévő pontok halmazával.17 azt jelenti, hogy ha egy pont illeszkedik a szakaszfelező merőlegesére, akkor N végpontoktól egyenlő távolságra van, illetve, ha egy pont egyenlő távolságra vnn a szakasz két végpontjától, akkor az illeszkedik a felező merőlegesére.

N/.iigfelezőA szöget két egyenlő részre osztó félegyenes.l étei: konvex szög szögfelezőjére illeszkedő pontok halmaza egyenlő a szög l/áraitól egyenlő távolságra lévő pontok halmazával.I • azt jelenti, hogy ha egy pont illeszkedik a szögfelező félegyenesre, akkor Igyenlő távolságra van a szög száraitól, illetve, ha egy konvex szögben egy pont •gyen lő távolságra van a száraktól, akkor illeszkedik a szög szögfelezőjére.

(U j )

c GEOMETRIA I TRANSZFORMÁC IÓ

3.2. GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓ

A transzformáció szó átalakítást jelent. Ezt a geometriában akkor használjuk, nu kor egy alakzatot, ponthalmazt egy egyértelmű szabállyal átalakítunk, egy kiin dúló ponthalmazhoz egyértelműen egy újat rendelünk.

3.2.1. AlapfogalmakA geometriai transzformáció ponthalmazok között értelmezett függvény. Tehát a geometriai transzformációk esetén az értelmezési tartomány és az ói tékkészlet is ponthalmaz. Mi csak olyan transzformációkat vizsgálunk, mr lyeknél ez a két halmaz ugyanaz a sík. Ezeket síkbeli transzformációknak ne vezzük. Ezek után már csak a hozzárendelési szabályt kell megadni a sík ej.’,v tetszőleges pontjára, így minden pontjára, hogy a transzformáció adott legyen Mint a már ismert függvényeknek, a geometriai transzformációknak is vannak tulajdonságaik, melyekkel őket jellemezzük.

Tulajdonságok

Távolságtartás: azokat a transzformációkat, melyeknél bármely két pont távol sága egyenlő a képeik távolságával, távolságtartó transzformációknak nevezzük Ekkor minden szakasz képe vele egyenlő hosszúságú szakasz.A távolságtartó transzformációkat egybevágósági transzformációknak ne vezzük.

Szögtartás: azokat a transzformációkat, melyeknél bármely szög nagysáiM egyenlő képének nagyságával, szögtartó transzformációknak nevezzük.A szögtartó transzformációkat hasonlósági transzformációknak nevezzük.A távolságtartásból következik a szögtartás és hogy az egyenes képe egyenes

Fix pont: olyan pont melynek képe önmaga.

Fix alakzat: olyan alakzat, melynek minden pontja fix.

Körüljárási irány: bármely sokszöget, alakzatot két különböző irányban leli*' körbejárni a síkban. Az óramutató járásával megegyező irány a negatív, mi)’ .1/ ellentétes a pozitív irány.

1 GEOMETRIA I TRANSZFORM ÁC IÓ D' 2.2. Egybevágósági transzformációkA távolságtartó transzformációkat egybevágósági transzformációknak nevezzük. A legegyszerűbb egybevágósági transzformáció az identikus leképezés, mely- ni'l minden pont képe önmaga.Nézzük a legfontosabb egybevágósági geometriai transzformációkat.

11 tengelyes tükrözésAdott egy egyenes, melyet a tükrözés tengelyének nevezünk és í-vel jelölünk illatában. A tengely pontjai fix pontok. A többi P ponthoz azt a pontot rendel­lek, melyet általában P ’-vel jelölünk, melyre igaz, hogy a P P ' szakasz felező- n térő legese a t tengely

ti la P ’ pontot úgy szerkesztjük meg, hogy a P-ből merőlegest állítunk f-re, majd r in- felmérjük Möl a d{Pj) távolságot a P-vel ellentétes oldalon.

I nlajdonságai: távolságtartó, szögtartó, fix pontjai az tengely pontjai, fix egye­lnie a tengely, invariáns egyenesei a tengelyre merőleges egyenesek, a körül- lninsi irányt megváltoztatja.

I I Középpontos tükrözésAdott egy pont, melyet a tükrözés középpontjának nevezünk és általában C-vel Hűlünk. A középpont fix pont, bármely más ponthoz — legyen ez P — a z ta P ’ pontot rendeljük, melyre igaz, hogy a PP' szakasz felezőpontja a C.

fe/l a P ’ pontot úgy szerkesztjük meg, hogy a P-ből egyenest húzunk C-n ke- flM/liil, majd erre felmérjük C-től a d(P:C) távolságot a P-vel ellentétes oldalon.

P

P '

CL Ü )

I GEOMETRIA I TRANSZFD RMÁ C IÓ

Tulajdonságai: távolságtartó, szögtartó, fix pontjai a középpontja, fix egyenese nincs, invariáns egyenesei a középponton áthaladó egyenesek, a körüljárási irányt nem változtatja meg.

3) ForgatásAdott egy pont, amely körül forgatunk. Ezt középpontnak nevezzük és általában C-vel jelöljük. Ezenkívül adott még a forgatás szöge, legyen ez a , és a forgat,i> iránya. A középpont fixpont, bármely más ponthoz, legyen ez P, azt a P ’ pontot rendeljük, melyre igaz, hogy CP = C P ' és PCP ’Z = a a megfelelő irányban.

Ezt a P ’ pontot úgy szerkesztjük meg, hogy a C-ből félegyenest húzunk / ’ en keresztül, majd erre felmérjük az a szöget az adott irányban, majd C-től IVI mérjük az új szögszárra a d(P,C) távolságot. A példaábrán a < 0.

Tulajdonságai: távolságtartó, szögtartó, fix pontja a középpontja, fix egyenest nincs, invariáns egyenese nincs, a körüljárási irányt nem változtatja meg. Könnyen belátható, hogy a 180°-os forgatás a középpontos tükrözéssel megegyezik

4) EltolásAdott az eltolás iránya és nagysága. Ezt vektorral adjuk meg, melyet általában

v-vel jelölünk. Egy tetszőleges P ponthoz azt a P' pontot rendeljük, melyn

igaz, hogy P P ' - v .

GjEÍ)

( GEOMETRIA I TR A N S Z TO R M ÁC I Ó J

I1 /t a P ' pontot úgy szerkesztjük meg, hogy aP-ből párhuzamost húzunk v-vel n erre felmérjük a vektor hosszát P-ből a megadott irányban.

I ulajdonságai: távolságtartó, szögtartó, fix pontja nincs, fix egyenese nincs, in-

vni iáns egyenese a v-vel párhuzamos egyenesek, a körüljárási irányt nem vál- lu/tatja meg.

I uybevágóságI ct alakzatot egybevágónak nevezünk, ha van olyan egybevágósági transzfor­máció, mely az egyiket a másikba viszi át.IUybevágóság jele: —

K ct háromszög egybevágó, ha- oldalaik páronként egyenlöek,r ha két-két oldaluk és az általuk közbezárt szögek egyenlöek,- ha két-két oldaluk és a nagyobbikkai szemközti szögek egyenlöek,- ha egy-egy oldaluk és a rajta fekvő két-két szögük egyenlő.

S/immetriaI gy alakzat szim m etrikus, ha van olyan egybevágósági transzformáció (az identikus leképezés kivételével), melynél a képe önmaga.

longelyesen szimmetrikus a kör minden, a középpontján áthaladó egyenesre,

- az egyenlőszárú háromszög az alap felező merőlegesére, a szabályos háromszög a három oldalfelező merőlegesre,a húrtrapéz (szimmetrikus trapéz) az alapok felező merőlegesére, a deltoid az egyik átló egyenesére,

- minden szabályos sokszög.

(üD

I GEOMETRIA I TRANSZFORM ÁC IÓ

Középpontosan szimmetrikus- a kör a középpontjára,- a paralelogramma az átlók metszéspontjára,- a páros oldalú szabályos sokszögek.

Forgásszimmetrikus- a kör,- a szabályos háromszög,- a paralelogramma,- a szabályos sokszögek.

3.2.3. Hasonlósági transzform ációA szögtartó transzformációkat hasonlósági transzformációknak nevezzük.

Középpontos hasonlóságAdott egy pont, a hasonlóság centruma, melyet általában C-vel jelölünk. Ezen kívül egy nullától különböző valós szám, legyen ez X (k 0). Egy tetszőleges

P pont képe az a P ’ pont, melyre igaz, hogy CP' - e ■ CP.

Gü)

c GEOMETRIA I TR A N SZF D RM Á C IG DEzt a P ’ pontot úgy kell megszerkeszteni, hogy felmérjük a CP távolság |A.|- K/eresét a CP egyenesre C-ből P-vel megegyező irányba, ha A. > 0 illetve ellen­kező irányba, ha X < 0.

I’éldául: ha X = 2, akkor P ’ P-vel azonos oldalon van és C-től kétszer olyan tá­vol, mint P.

Ha X = — , akkor C P és / ’ ’között van és P ’ fele akkora távolságra van C-től,

mint P.

Tulajdonságai:szögtartó,

- egyenes képe vele párhuzamos egyenes, szakasz hossza |X|-szeresre változik, fixpontja C, fix egyenes nincs,invariáns egyenesek a centrumra illeszkedő egyenesek.

Ilusonlósági transzformációMinden hasonlósági transzformáció előállítható egy középpontos hasonlóság rs egy egybevágósági transzformáció egymás utáni elvégzésével.

HasonlóságKét síkbeli alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, mely az rgyiket a másikba viszi át.Jele: -

Két háromszög hasonló, ha oldalaik arányai páronként egyenlő,

- ha két-két oldaluk aránya egyenlő és az általuk közbezárt szögek egyenlöek,- ha két-két oldaluk aránya egyenlő és a nagyobbikkai szemközti szögek

egyenlöek,- ha szögeik páronként egyenlöek.

Alkalmazás

r_____________________GEOMETRIA I TRANSZFOR M ÁC IÓ ___________________ )

DKönnyen belátható a következő állítás:

AC AB AC ABHa CB j| DE, akkor — illetve

Ezt az állítást használhatjuk fel egy szakasz adott arányú felosztására. Például adott egy szakasz, legyen ez AB, és osszuk ezt fel 2 : 3 arányban. Ek kor a szakasz felvétele után az egyik végpontjából felmérünk egy félegyenest melyre e végpontjából felmérünk egymás után egy kettő, majd egy három egy ség hosszúságú szakaszt. Legyenek ezek az új pontok C és D. Kössük össze /> t S-vel, majd húzzunk ezzel a szakasszal párhuzamost C-én keresztül. Ez a púi huzamos AB szakaszt el fogja metszeni, mely metszéspont legyen E. Az elő/o

AE AC _ 2állítás alapján tudjuk, hogy . Tehát ez az E pont az AB szakas/t

valóban 2 : 3 arányban osztja.E B

D

( T i s )

c GEOMETRIA I TRANSZFORMÁC IÓ 3TételI lasonló alakzatok területeinek aránya egyenlő az arányossági tényező négyze­tével.Például a következő háromszögnél,

C

ha D és E harmadoló pontok, akkor ABCa~DECő. és A = -----= —.

TételI lasonló testek felszíneinek aránya egyenlő a hasonlóság arányának négyzetével,

léteiI lasonló testek térfogatainak aránya egyenlő a hasonlóság arányának köbével.

O Példaí gy gömb sugarát 50%-kal növeljük. Hány százalékkal nő a felszíne és a tér­ti igata?MegoldásMivel a sugár 50%-kal nő, így az új sugár a régi 1,5-szerese. Tehát a hasonló­dig aránya, X = 1,5. Tudjuk, hogy hasonló testek felszínének aránya X , itt te­hát X2 = 1,5' = 2,25. Az új felszín ez alapján 2,25-szerese az eredetinek, ami 125%-kos növekedést jelent.\/.t is tudjuk, hogy hasonló testek térfogatainak aránya X'\ itt tehát X3 = 1,53 = ,<,375. Az új térfogat ez alapján a 3,375-szerese az eredetinek, mely 237,5%- kos növekedést jelent.

S ÍKB EL I ÉS TÉRBEL I ALAKZATOK

3.3. SÍKBELI ÉS TÉRBELI ALAKZATOK

3.3.1. Háromszögek

Egy háromszöget három megfelelő adata egyértelműen meghatároz. A liv gyakrabban használt adathármasok a következők:- három oldal,- két oldal és az általuk közbezárt szög,- két oldal és a nagyobbikkai szemközti szög,- egy oldal és a rajta fekvő két szög.

Ha két háromszög ezen adathármasok közül bármelyikben megegyezik, akkni csak helyzetükben térhetnek el, egyébként az egymásnak megfelelő adataik rendre egyenlők. Tehát a két háromszög egybevágó, azaz van olyan egy bevág ósági transzformáció, amelyik az egyiket a másikba viszi át.

Háromszög ábrázolásakor a szokásos jelölésmód:C

A csúcsokat pozitív körüljárással je lö ljük^ , B illetve C betűkkel, a náluk cllu- lyezkedő szögek pedig a, (3 illetve y, ezekkel szemben lévő oldalak rendre a,* a, b illetve c.

CsoportosításukHegyesszögű háromszög: olyan háromszög, melynek minden szöge kiscl>l> mint 90°.

Tompaszögű háromszög: olyan háromszög, melyben van egy 90°-nál nagyoMi szög.

( l± 9 >

I ÍKBELI É S TÉRBEL I ALAKZATOK JI Hrékszögű háromszög: olyan háromszög, melyben az egyik szög 90°.A ‘>0°-kal szemközti oldalt átfogónak, a másik két oldalt befogóknak nevezzük.

Egyenlő szárú háromszög: olyan háromszög, melyben két oldal egyenlő, ti/eket az egyenlő oldalakat száraknak, a harmadik oldalt alapnak nevezzük.

K/.ibályos háromszög: olyan háromszög, melynek oldalai egyenlőek.

I ételek háromszögre

Háromszög egyenlőtlenségI étel: egy háromszögben bármely két oldal összege nagyobb, mint a harmadik oldal. Ha az oldalak a, b, c, akkor

a + b> c és a + c > b és b + c > a.

hlugorasz tételelétei: ha egy háromszög derékszögű, akkor a befogók négyzetösszege egyen­lő az átfogó négyzetével.

I'iliigorasz tételének megfordításaI élei: ha egy háromszögben két oldal négyzetösszege egyenlő a harmadik ol- •I ti négyzetével, akkor az háromszög derékszögű.

I gyütt:I élei: egy háromszög akkor és csakis akkor derékszögű, ha a két oldal négyzet- Oüs/ege egyenlő a harmadik oldal négyzetével.

y = 90° <̂> a2 + b2 = c2

S ÍK BE L I É S TÉRBEL I ALAKZATOK )Tétel: háromszögben egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek vannak.

Tétel: háromszögben egyenlő szögekkel szemben egyenlő oldalak vannak.

EgyüttTétel: háromszögben két oldal akkor és csak akkor egyenlő, ha a velük szem közti szögek egyenlők.

Tétel: háromszögben hosszabb oldallal szemben nagyobb szög van.

Tétel: háromszögben nagyobb szöggel szemben hosszabb oldal van.

EgyüttTétel: háromszögben egy oldal akkor és csakis akkor nagyobb egy másik ni dalnál, ha a vele szemközti szög nagyobb, mint a másikkal szemközti.

Tétel: bármely háromszögben a belső szögek összege 180°.

Háromszög külső szöge, belső szögének mellékszöge.

G2lD

I S ÍKB EL I ÉS TÉRBEL I ALAKZATOK

létei: a háromszög külső szöge egyenlő a nem mellette lévő két belső szög összegével.

(3’ = a + y

létei: a háromszög külső szögeinek összege 360°.(17 bármely konvex sokszögre igaz.)

V háromszög nevezetes vonalai

S/ögfelező

A háromszög szögfelezőinek a belső szögek szögfelező félegyeneseit nevezzük,

létei: a háromszög szögfelezői egy pontban metszik egymást.C

|7 a pont egyenlő távolságra van a három oldaltól, így ezzel a középponttal raj­tolható olyan kör, mely érinti mindhárom oldalt. Ez a háromszög beírható köre.

G±D

S ÍKBEL I ÉS TÉRBEL I ALAKZATOK

Tétel: a háromszög szögfelezője a szemközti oldalt a mellette lévő oldalak ara nyában osztja.

c, _ be felezi 7-t => _ — ‘ c1 a

Oldalfelező merőleges

Tétel: a háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást.

Ez a pont egyenlő távolságra van a háromszög csúcspontjaitól, így ezzel ;i középponttal rajzolhatunk olyan kört, mely mindhárom csúcspontra illeszkc dik. Ez a három szög köré írt kör.

Hegyesszögű háromszögnél ez a pont a háromszög belsejében van, tompas/o gűnél a háromszögön kívül, míg derékszögűnél az átfogó felezőpontja. I / utóbbi egy neves tétel.

c S ÍKB EL I É S TÉRBEL I ALAKZATDK

Thalész tételeTétel: ha egy kör egy átmérőjének két végpontját összekötjük a körvonal egy harmadik pontjával, akkor derékszöget kapunk. (A körvonal bármely pontjából m. átmérő derékszögben látszik.)

Thalész tételének megfordításaTétel: ha egy kör egy átmérője egy derékszögű háromszög átfogója, akkor a derékszög csúcsa a körvonalra illeszkedik. (Ha egy pontból egy szakasz derék­szögben látszik, akkor a pont illeszkedik a szakasz köré, mint átmérő köré raj­zolt körre.)

I gyüttTétel: AB átmérője k körnek:

e £ <=> A PBZ = 90°.

MagasságA háromszög magasságvonala a csúcspontból a szemközti oldalegyenesre bo- Cllátott merőleges egyenes.

A magasság, a magasságvonal csúcspont és az oldalcgyenes közé eső szakasza.

I S ÍKB EL I ÉS TÉRBEL I ALAKZATOK

C

Tétel: a háromszög három magasságvonala egy pontban metszi egymást.

Ez a pont a háromszög magasságpontja.Ez hegyesszögű háromszögnél a háromszög belsejében van, tompaszögűm ! u háromszögön kívül, derékszögűnél pedig a derékszög csúcspontjával esik egybe.

Súlyvonal

A háromszög súlyvonala a csúcspontot a szemközti oldal felezőpontjáv.il összekötő szakasz.Koordináta-geometriában a súlyvonalegyenest is súlyvonalnak szoktuk nevezni

Ha a súlyvonalra illeszkedve támasztunk alá egy síkidomot, akkor az egyen súlyban marad.

Tétel: A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást. Ezt a ponlol súlypontnak nevezzük és ez mindhárom súlyvonalon az oldalhoz közelehlu hamiadolópont.

S ÍKB EL I É S TÉRBELI ALAKZATOK D

F

I III egy síkidomot a súlypontjánál támasztunk alá, akkor az egyensúlyban marad.

Középvonal

A háromszög középvonala két oldalának felezőpontjait összekötő szakasz.

lélel: A háromszög középvonala párhuzamos a vele nem találkozó oldallal és liossza annak hosszának fele.

Magasságtétellétei: derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság mértani köze­in: az átfogó általa meghatározott két szeletének.

IlpfogótételI étel: derékszögű háromszögben bármely befogó mértani közepe az átfogónak és az átfogóra eső merőleges vetületének.

Például:

S ÍKB E L I ÉS TÉRBEL I ALAKZATOK

befogó tétel: magasságtétel:, 2 _ . 2 _ 2b — C| • c es a — c2 • c m<. — C\ ■ c->

Szimmetrikus háromszögek

Egyenlő szárú háromszögTétel: egy egyenlő szárú háromszögben az alaphoz tartozó magasság, súlyvo nal, oldalfelező merőleges, a szárszög szögfelezője, a beírt kör középpontja r. a körülírt kör középpontja a szimmetriatengelyre illeszkedik.

^ a J a J a

Egyenlő szárú derékszögű háromszög alapon fekvő szögei 45°-osak, az át lorn

-szerese a befogóknak.

Szabályos háromszögHárom szimmetriatengelye van, melyek egyben magasságvonalak, súlyvona lak, oldalfelező merőlegesek és szögfelezők. A beírt kör középpontja, a körül írt kör középpontja, a súlypont és a magasságpont egybeesik, ez a hároms/ny középpontja.

(7±3>

C Z I

Magassága

(ͱD

s í k b e l i e s t e r b e l i a l a k z a t o k

-szerese az oldalnak.

S ÍKB EL I ÉS TÉRBEL I ALAKZATOK

3.3.2. Síknégyszögek

Osztályozásuk

Konkáv négyszögOlyan négyszög, melynek van 180°-nál nagyobb szöge.

Konvex négyszögOlyan négyszög, melynek egyik szöge sem nagyobb 180°-nál.

HúrnégyszögOlyan négyszög, melynek van köré írt köre. Van olyan kör, mely áthalad mind a négy csúcson.

ÉrintőnégyszögOlyan négyszög, melynek van beírható köre. Van olyan kör, mely érinti mind a négy oldalt.

TrapézOlyan négyszög, melynek van párhuzamos oldalpárja.A párhuzamos oldalakat alapoknak, az őket összekötő oldalakat száraknak ne vezzük. Az egy-egy szárra illeszkedő szögek kiegészítő szögek, összegük 180

Szimmetrikus trapézOlyan trapéz, melynek van szimmetriatengelye.Jellemzői:- az alapok felező merőlegese a szimmetriatengely,- az alapokon fekvő két-két szöge egyenlő,- átlói egyenlöek,- húrnégyszög.

Paralelogram m aOlyan négyszög melynek szemközti oldalai párhuzamosak.A definícióval ekvivalens állítások:egy négyszög akkor és csakis akkor paralelogramma, ha:

S ÍKB EL I ÉS TÉRBEL I ALAKZATOK Jszemközti oldalai egyeniőek, szemközti szögei egyeniőek, szomszédos szögek összege 180°,

- átlói felezik egymást,- egy oldalpárja párhuzamos és egyenlő,

középpontosan szimmetrikus.

DeltoidOlyan négyszög, melynek két-két szomszédos oldala egyenlő.Jellemzői:- az egyik átló egyenesére szimmetrikus,- az átlók merőlegesek egymásra,- érintőnégyszög.

TéglalapOlyan paralelogramma, melyben van derékszög.Jellemzői:- minden szöge derékszög,- átlói egyeniőek,- szimmetrikus az oldalfelező merőleges egyenesekre,- húrnégyszög.

RombuszOlyan négyszög, melynek oldalai egyeniőek.Jellemzői:- mivel szemközti oldalai egyeniőek, a rombusz speciális paralelogramma,- átlói merőlegesen felezik egymást,- szimmetriatengelyei az átlók,- érintőnégyszög.

NégyzetOlyan téglalap, melynek oldalai egyeniőek.Jellemzői:- átlói és középvonalai szimmetriatengelyek,- érintőnégyszög,- húrnégyszög.

C ü 5

S ÍKBEL I e s TERBEL I a l a k z a t o k

Síknégyszögek

konvex1

konkáv

Iszimmetrikus trapéz paralelogramma deltoid

1 ftéglalap

J LI

rombusz

1 , Vnégyzet

c S ÍKBEL I ÉS TÉRBEL I ALAKZATOK )Tétel: a négyszög belső szögeinek összege 360°.

Tétel: a konvex négyszög külső szögeinek összege 360°.

Négyszög középvonalaA szemközti oldalak felezőpontjait összekötő szakasz a négyszög középvonala.

Paralelogramma középvonalaTétel: a paralelogramma középvonala párhuzamos a mellette fekvő oldalakkal és velük egyenlő hosszúságú.

Trapéz középvonalaTétel: a trapéz szárakat összekötő középvonala párhuzamos az alapokkal és kosszá azok hosszának számtani közepe.

GB)

S ÍK BE L I ÉS TÉRBEL I ALAKZATOK

3.3.3. Sokszögek

Konvex sokszögek átlóinak száma TételEgy n oldalú konvex sokszög átlóinak száma

n(n - 3)2

Konvex sokszögek belső szögeinek összege

Egy 7] oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege

Konvex sokszög külső szögeinek összege 360°.

Szabályos sokszögekAzokat a sokszögeket, melyek belső szögei és oldalai egyenlöek, szabályul sokszögeknek nevezzük.Ezekbe és köré mindig írható kör.

Tétel

(/i - 2)180°

Tétel

Egy ii oldalú szabályos sokszög belső szögei -------------- nagyságúak.

(Ü3>

c S ÍK BE L I ÉS TÉRBEL I ALAKZATOK 33.3.4. Kör

HúrA körvonal két különböző pontját összekötő szakasz.

ÁtmérőA kör középpontjára illeszkedő húr.I z a kör leghosszabb húrja, hossza a sugár kétszerese.

í ’-rintő( )lyan egyenes, melynek egy közös pontja van a körrel.A többi pontja a körön kívül helyezkedik el.Tétel: az érintési pontba húzott sugár merőleges az érintőre.

I1 rintőszakaszAz érintő egy pontja és az érintési pont által meghatározott szakasz. Tétel: külső pontból körhöz húzott érintőszakaszok egyeniőek.

SzelőOlyan egyenes, melynek két közös pontja van a körrel.

S/előszakaszligy pontra illeszkedő szelőn, a pont és a körrel vett valamely metszéspont ál­lal meghatározott szakasz.

Cl ü )

I S ÍKB EL I É S TÉRBEL I ALAKZATOK

Egy ponton áthaladó szelőn két szelőszakasz és egy húr található.

Érintőszakasz: EP Szelőszakaszok: PA és PB

KörcikkEgy kör két tetszőleges sugara és az általuk meghatározott egyik körív állal közrefogott síkrész.

KörszeletEgy kör egy húrja és az általa meghatározott egyik körív által közrefogott sík

rész.

( S ÍKB EL I É S TÉRBEL I ALAKZATOK JKözépponti szögKét sugár által meghatározott szög.lígy körív egy középponti szöget határoz meg, azt, melynek szögtartományá­ban van. Ha az ív félkörnél kisebb, akkor a hozzá tartozó középponti szög kon­vex. Ha az iv nagyobb, akkor a középponti szög konkáv. Ha az iv a kör fele, akkor a középponti szög 180°.

Tétel: egy körben a középponti szög egyenesen arányos a hozzá tartozó ív hosszával és a hozzá tartozó körcikk területével.

G 5 3

TÉRGEQMETR IA )3.4. TÉRGEOMETRIA

3.4.1. Hengerszerű testEgy zárt síkbeli görbevonal pontjain keresztül párhuzamosokat húzunk egy, a görbevonal síkjával nem párhuzamos egyenessel. így egy végtelen hengerfelii letet kapunk. Ila ezt el met szűk a görbevonal síkjával és egy vele párhuzamo\ síkkal, akkor két végtelen térrészt és köztük egy véges testet határolunk el. A/ így nyert véges test a hengerszerű test.

HengerHa a síkbeli zárt görbe vonal kör. akkor körhengerről beszélünk (gyakran hon ger alatt körhengert értünk). A körlapok középpontjait összekötő egyenes ,i henger tengelye.A metsző síkokban elhelyezkedő lapok a henger alaplapjai, az őket összeköti* görbe felület a henger palástja. A henger származtatásakor húzott párhuzamo soknak a metsző síkok közé eső darabjai a henger alkotói. A párhuzamos síkok távolsága a henger magassága.Ha a metsző síkok merőlegesek az adott egyenesre, a hengert egyenes, egyél* ként ferde hengernek nevezzük.

HasábHa a hengert származtató görbe vonal zárt sokszög, a hengerszerű testet hasal- nak nevezzük.A metsző síkokban elhelyezkedő lapok az alaplapok, a többi lap a hasáb oldal lapja. Az oldallapok paralelogrammák, ezek alkotják a hasáb palástját. A szái maztatáskor húzott párhuzamosoknak a metszősíkok közé eső darabjai a hasal. alkotói. Az alaplapok oldalai az alapélek, a többi él a hasáb oldalélé. A p árh u /a

mos síkok távolsága a hasáb magassága.

GB>

( TÉRGEQMETR IA

I la a metszősíkok merőlegesek az adott egyenesre, a hasáb egyenes, egyébként lirrde. Ha a hasáb egyenes és a síkbeli sokszögvonal szabályos, akkor szabá­lyos hasábról beszélünk. A szabályos sokszögek középpontjait összekötő egye­nes a hasáb tengelye.A téglalap alapú egyenes hasáb a téglatest; a kocka pedig olyan téglatest, ame­lynek minden éle egyenlő.A paralelepipedon olyan hasáb, ahol a kiinduló sokszögvonal paralelogrmma.

1.4.2. Kúpszerű testI egyen adott egy síkbeli zárt görbe vonal és egy, az adott síkra nem illeszkedő pont. Húzzuk meg a külső pontot a görbe vonal pontjaival összekötő egyene- neket. Ezen egyeneseknek a külső pont és a sík közötti szakaszai, valamint a sík által határolt véges térrészt (adott vezérgörbéjű, adott csúcsú) kúpszerű test­nek nevezzük.

A zárt görbe vonal által határolt síkidom a kúpszerű test alaplapja. A kúpszerű lest csúcsát az alaplap kerületi pontjaival összekötő szakaszok az alkotók. A csúcsai és az alaplap síkja közötti távolság a magassága. A csúcsát az alap­lappal összekötő görbe felület a palástja.

G ü )

I TÉRGEOMETR IA

KúpHa a kúpszerű test alaplapja kör, akkor a kúpszerű test körkúp. (Ha kúpról be­szélünk, többnyire körkúpra gondolunk.) A körkúp csúcsát a kör középpontja val összekötő egyenes a kúp tengelye. A kúp egyenes, ha tengelye merőleges ;i kör síkjára. Ez a forgáskúp. Az egyenes kúp alkotói egyenlők, tengelymetsze te (a tengelyre illeszkedő, az alapsíkra merőleges síkmetszet) egyenlő szálú há­romszög.

Csonka kúpA kúpot az alaplapjával párhuzamos metszősíkkal egy kúpra és egy csonkakúpi a bontjuk. Ha egyenes körkúpot metszünk, akkor egyenes csonkakúpot nyerünk (Csonkakúpon általában egyenes csonkakúpot értünk.)

GúlaHa a kúpszerű testet származtató görbe vonal zárt sokszög, akkor a kapott tcs tét gúlának nevezzük.

( i s ó )

c TÉRGEOMETR IA

A sokszög a gúla alaplapja, a többi lap a gúla oldallapja. A gúla oldallapjai há­romszögek, amelyek közös csúcsa a gúla csúcsa, ami a rögzített pont. Az oldal­lapok alkotják a gúla palástját. A gúla alaplapjának oldalai az alapélek, a többi él oldalél.Ila a gúla alaplapja szabályos sokszög és az oldalélek egyenlők, akkor a gúla szabályos, oldallapjai egybevágó egyenlő szám háromszögek. Ha egy három oldalú gúla (tetraéder) lapjai egybevágó szabályos háromszögek, akkor szabá­lyos tetraéderről beszélünk.

Csonka gúlaHa a gúlát az alaplapjával párhuzamos metsző síkkal két részre osztjuk, akkor egy gúlára és egy csonka gúlára bontjuk.

.1.4.3. Gömbligy adott ponttól adott, egyenlő távolságra lévő pontok halmazát a térben gömbfelületnek, vagy egyszerűen gömbnek nevezzük.Az adott pont a gömb középpontja, az adott távolság a gömb sugara.

< .ömbtestl-gy adott ponttól adott távolságnál nem nagyobb távolságra lévő pontok hal­mazát a térben gömbtestnek nevezzük.

c KERÜLET- ÉS TERÜLETSZÁM ÍTÁS

3.5. KERÜLET- ÉS TERÜLETSZÁMÍTÁS

3.5.1. Kerületszámítás

KörAz r sugarú kör kerülete

k = 2rJt.

Körcikk és körszeletAz r sugaiú körben az CC középponti szöghöz tartozó körcikk, illetve körszclrl kerülete:

(az ív hossza egyenesen arányos a hozzá tartozó középponti szöggel).Itt a a középponti szög radiánban kifejezve; a ° ugyanez fokokban.

Szabályos sokszögekSzabályos sokszögeknél felhasználjuk egyrészt azt, hogy van köré, illetve be irható körük. Másrészt, hogy felbonthatók egyenlő szárú, egybevágó három szögekre, melyek egyik csúcspontja a sokszög középpontja.

kc = 2 r + i - h + iAhol,

360°

L KERÜLET- E S TE R U L ETS Z AM ITA S

Legyen R a köré írható kör, r a beírható kör sugara. Egy n oldalú szabályos sok­szög esetén a középponti szög:

360°

Az oldal hosszúsága:

Mivel k = na,

a =

■ a «íi = 2/?sm —, í7 = 2 r ta —.2 S 2

180° . _ 180ck - 2Rn sin

nk = 2m tg

1.5.2. Területszámítás

HáromszögI .egyen az egyik oldal a, a hozzá tartozó magasság ekkor:

!-■a ■

I .egyen két oldal a és b, a közbezárt szögük pedig ekkor:

« ő sin Yt = ------------2

1 S3)

c KERÜLET- É S TERÜLETSZÁM ÍTÁS

NégyszögNégyzet esetén, ha az oldal a , akkor:

, _ 2 t = a .

Téglalap esetén, ha oldalai a és b. Ekkor:t = a ■ b.

Trapéz

a + c t —------ m.2

Paralelogram m a

m_

Legyen az egyik oldala a és a hozzá tartozó magasság ma. Ekkor:t = a ■ ma.

Legyenek az oldalai a és b, a közbezárt egyik szög pedig a . Ekkor:t - a ■ h ■ sina.

KERÜLET- ES TE RU LÉTSZÁM ITAS

Deltoid

Legyenek az átlói e és f. Ekkor:

Szabályos sokszög

t = - • /2

a

r j

r V—\ a\ 2

A kerületszámításnál használt jelölésekkel.,2R sin a a r k r

t = n — ------- r =n2 2

KörAz r sugarú kör területe:

c KERÜLET- EB TE R U LÉTSZÁM ITAB

Körcikk

Körcikk területe kiszámítható a kör sugarából és a hozzá tartozó körív hosszá ból, valamint a sugárból és a hozzá tartozó középponti szögből.

„2t. =-

í r a - r '2 2 c 360‘

Ahol a a középponti szög radiánban kifejezve; ugyanez fokokban.

Felhasználtuk, hogy / = a • r , valamint, hogy a körcikk területe egyenesen ara nyos a hozzá tartozó középponti szöggel.

Körszelet

Az ábrán látható, hogy a körszelet területét megkapjuk, ha a körcikk területi­ből kivonjuk a háromszög területét.

t = tsz. c

r sinct

TÉRFOGAT ES FE LSZI N SZÁM ITAS Jr r

3.6. TÉRFOGAT- ES FELSZÍNSZÁM IT AS

3.6.1. FelszínszámításTestek felszíne az őket határoló felületek területeinek összege.

Egyenes hengerA = 27’ + P

Ahol T a henger alapjainak területe, P pedig a palást területe.

KörhengerA = 2rJt(r + ni)

Ahol r az alaplapok sugara, m pedig a henger magassága.

Egyenes hasábUgyanúgy számoljuk, mint az egyenes henger felszínét.

A = 2 T + PItt az alaplapok sokszögek, a palást pedig téglalapokból áll. Ha az alaplapok ke­rülete k, akkor P — km, ahol m a hasáb, azaz az oldallapok magassága.

Kúp cs gúlaA = T+ P

Gúla esetén a palást háromszögekből áll, ezek területeit kell összeadni. Egyenes körkúp esetén a palástot kiterítve egy körcikket kapunk, melynek su­gara az alkotó (a), és az ívhossz az alapkör kerülete.

így

L TÉRFOGAT ÉB FE LSZÍ N SZÁM ÍTÁS

Egyenes csonka kúp

A = n(R2 +(R + r) a + /-2) Aliol r és az alapkörök sugarai; az a pedig az alkotó.

GömbEgy r sugarú gömb felszíne:

3.6.2. Térl'ogatszámításA térfogat egy nemnegatív szám, mely kifejezi, hogy a test hányszorosa az egy ségül választott egységélű kockának.

KockaEgy a oldalélű kocka térfogata:

TéglatestHa a téglatest élei a, b és c, akkor térfogata:

V= abc.

Egyenes henger és hasábHa az alaplapok területe T és a magasság m, akkor a térfogat:

V= Tm.

Körhenger esetén, mivel az alaplapok körök:V = r2Tim.

c TÉRFOGAT ÉS FE L S Z í N SZÁ M ÍTÁ S

Kúp és gúlaAz előző jelöléseket használva:

3

Csonka gúla és csonka kúpHa az alaplap területe T, a fedőlap területe 1 és a magasság m, akkor a térfogat:

v = — (T + j n + t ) .

Szabályos csonka kúp esetén az alap- és fedőlap kör, így a térfogat:

L TÉRFOGAT ES FE L S Z I N 5 ZA M ITA S -------------------------------------------------------

Gömb térfogataEgy r sugarú gömb térfogata:

V = —r 3n. 3

VEKTOROK D3.7. VEKTOROK

3.7.1. FogalmakA vektor irányított szakasz, megállapodva abban, hogy párhuzamos eltolással egymásba vihető két irányított szakasz ugyan azt a vektort jelenti.Iránnyal, állással és nagysággal rendelkező mennyiség.

Jele: a ; a ; AB ez az A kezdőpontú és B végpontú vektor

Jellemzői tehát:a) Állás: két vektor helyzetük szerint vagy párhuzamos, vagy nem párhuzamos lehet. Ha párhuzamosak, akkor egyállású vektoroknak nevezzük őket.b) Nagyság, vektor abszolútértéke: a szakasz hossza, egy nemnegatív szám.

c) Irány: egy szakaszt kétféleképpen lehet irányítani. Két párhuzamos vektor esetén, ha őket párhuzamos eltolással közös kezdőpontba toljuk, és a vég­pontok közrefogják a közös kezdőpontot, akkor a két vektor ellentétes irányítású, ha nem, akkor azonos irányítású.

Két vektor egyenlő, ha mindhárom tulajdonságukban megegyeznek.

Azt a vektort melynek a kezdő- és végpontja egybeesik, nullvektornak nevezzük.

Jele: la

Nullvektor

Jele: 0

-nagysága: |Ö| = 0,- állása: tetszőleges,- irányítása: tetszőleges.

Ellcntett vektor

Az a vektor ellentett vektora - a .

G z i )

c VEKTGRGK )- nagysága: egyenlő a nagyságával,

-á llása : egyállású a-val,

- irányítása: ellentétes a irányításával.

3.7.2. Vektorműveletek

VektorösszeadásVektorok összeadására két módszer van.

Összefűzés módszereA vektorokat összefűzzük úgy, hogy az egyik vektor végpontja legyen a követ kező vektor kezdőpontja. Az összegvektor a szabad kezdőpontból mutat a sza bad végpontba.Két vektor esetén, ha nem párhuzamosak:

a+bHa a két vektor párhuzamos:

Több vektor esetén:

V b

d

a+b+c+d

VEKTOROK JParalelogramma módszerEz két vektor összeadása esetén használható. A két vektort közös kezdőpontba toljuk, majd megrajzoljuk az általuk kifeszített paralelogrammát. Az összeg­vektor a közös kezdőpontból induló átlóvektor.

Vektorok különbségeA két vektort közös kezdőpontba toljuk. A különbségvektor a kivonandó vek­tor végpontjából mutat a kisebbítendő vektor végpontjába.

Vektor skalárszorosaHa egy vektort egy számmal (skalárral) szorzunk, akkor beszélünk vektor skalárszorosáról.

Legyen a szám X. Ekkor a skalárszorosa ka vektor.

Nagysága: nagyságának |X|-szorosa a hosszának.

Állása: a -val egyállású.

Irányítása: ha X > 0, akkor a -val megegyező;ha X < 0, akkor azzal ellentétes;

ha X = 0, akkor tetszőleges, mivel Xa = 0 * a = 0.

GzD

Műveleti azonosságok:

Ü + b = b + a

a + (b + c) = ( á +b ) + c

A(a ±b) = Xa ±Áb

(A + n )a = \ a + fia

(A-fl)a = Á.(fia)

Vektorok felbontása összetevőkre

Legyen a és b két, egymással nem párhuzamos és nem nullvektor. Ekkor bál

mely c vektor egyértelműen előállítható a következő alakban:

c = Xa + \lb.Példa:

y

c = 3a + 2b = 2b + 3a Az előállítás a sorrendtől eltekintve egyértelmű.

Tehát mindig megadható egyértelműen két olyan vektor, melyek a-val, illetve

b -vei párhuzamosak és összegük a c vektor.

G I3

c VEKTOROK JSkaláris szorzatA skaláris szorzat két vektor olyan szorzata, melynek eredménye egy szám, egy skalármennyiség.

_def. . *a o b = |« | ■ p J • cos a ; ah0i a a két vektor által bezárt szög

Geomehiai tartalmaKét vektor skalárszorzata az egyik vektor hosszának és a másik vektor előzőre eső vetülete hosszának a szorzata.

|a |c o sa

Két vektor akkor és csakis akkor merőleges egymásra, ha skaláris szorzatuk nulla.

a ° b = 0 <=> a L b

O P é ld ák1) Legyen az A B C D paralelogram m a síkjában egy tetszőleges pont O.

B izonyítsa be, hogy OA +OC =OB +OD !M egoldás A kérdés tehát:

_ *> ______OA+OC=OB+OD

Fogalm azzuk át a kérdést:_ 9 _

OA - OD =OB - OC O

Gz§)

L VEKTOROK JA vektorok kivonásának definíciója alapján ez így írható,

? _DA=CB

Ez pedig nyilván igaz, hiszen A BCD paralelogramma.

2) A közös kezdőpontú 8 és 10 N-os erővektorok 60°-os szöget zárnak be egymással. Határozza meg az eredő erővektor nagyságát és a na­gyobbik erővektorral bezárt szögét!

M egoldás Készítsünk ábrát.

Ft

Látható, hogy egy három szög két oldalát és az általuk közbezárt szögei ism erjük. Ekkor a koszinusz tétellel határozhatjuk m eg a harm adik o l­dalt. Tehát

F f = F\2 + F,2 - 2F,F, cos a .

Behelyettesítve kapjuk, hogy

Fe2 = 82 + 102 - 2 - 8 - 10 cosl20°

F 2 = 64 + 100 +160 • — = 2442

Fr = V244 = 2yf6Í.

Ezután a kérdéses szöget szinusztétellel is m eghatározhatjuk.F, _ sin p Fe sin a

Gz5)

c VEK TD RD K 3Innen

sin f i = -5- sin a = sin 120° = —4 = ■ — « 0.4435327625.Fe 2V61 2V61 2

M ivel (5 csak hegyesszög lehet,( 3 - 26,33°.

3) A z A B C D E F szabályos hatszögben legyen a = AB és b - AF . Jelölje : a CD cs az E F szakaszok felezőpontjait rendre P és 0 . Határozza m eg

az a és b vektorok ism eretében az AD, az AC és a PQ vektorokat!M egoldásK észítsünk ábrát:

D

C

B

ALátható, hogy

A D = 2 ■ ÁÖ.

M ivel A B O F paralelogram m a

A O = ü i b .

j így

AD = 2(a+b).

A következő vektor

AC =a +BC - a +AO =a + (a +b ) - 2d +b .

d z j )

c VEKTOROK !Az utolsó kérdés kapcsán észrevehetjük, hogy P Q az F C D E trapéz kó

, , , „ FC + ED FO + O C + ED zepvonala, így hossza I Q = ----- ------ = ---------------------.

M ivel FO = O C = ED = AB,

PQ = t ™ .2

Az irányításokat is figyelem be véve:

TR IGONOMETR IA

3.8. TRIGONOMETRIA

3.8.1. Hegyesszögek szögfüggvényeiHegyesszögek szögfüggvényeit a szöget tartalmazó derékszögű háromszög se­gítségével definiáljuk.

Legyen ABC az a szöget tartalmazó derékszögű háromszög. Ekkor;

szöggel szemközti befogó.sin a = ■

cos a -

t g a -

c tg a =

átfogó

szög melletti befogó átfogó

szöggel szemközti befogó szög melletti befogó szög melletti befogó

szöggel szemközti befogó

Szimbólumokkal:

a bsin a - — cos a = —c c

a btg a = - ctg a = —

b a

Ha c = 1. akkor sin a = a és cos a = b.

c TRIGONOMETRIA 3

Q Pckla

2Adott sin a = Határozzuk meg a többi szögfüggvényét a meghatározása nélkül’

Megoldása) Rajzoljuk fel a legegyszerűbb megfelelő derékszögű háromszöget! A harma­dik oldalt Pitagorasz tételével határozhatjuk meg.

J íEzek után bármelyik szögfíiggvény leolvasható az ábráról.

b) Pitagorasz tétellel belátható, hogy sin2 a + cos2 a = 1.Mivel hegyesszögek esetén a szögfüggvények pozitív számok, ebből

cos a =

Az is könnyen látható, hogy

= -v/l — sin2 a = l l - - = — .V 9 3

sin a , 1tg a = -------es ctg a =

cos a tg a

így

3 2 yf5tg a = -4=- = —= es ctg a = — .

J 5 J 5 2

Nevezetes szögek szögfüggvényeiA hegyesszögek közül nevezetesek a következők:

3 0 ° , 4 5 ° , 6 0 ° .

c TRIGONOMETR IA

Lehet a szögfüggvényeiket memorizálni, de talán egyszerűbb azokat a derék­szögű háromszögeket megjegyezni, melyekből meghatározhatóak.Az egyik egy szabályos háromszög félbevágásával keletkezik. Mivel felezzük az egyik oldalt, érdemes egy 2 egység oldalúból kiindulni. így a rövidebb be­

fogó 1 lesz, míg a hosszabb, Pitagorasz tétele alapján, 7 3 .

A másik háromszöget egy négyzet átló menti kettévágásával kapjuk. Érdemes

egységnégyzetből kiindulni, melynek köztudottan \Í2 az átlója.

Az ábrákról leolvashatóak a szögfüggvények értékei.

30° 45° 60°

1 7 2 73szinusz —2 2 2

koszinusz,/3 >/? 12 2 2

tangens 733

1 75

kotangens 1733

c TR IGONOMETR IA

3.8.2. Tetszőleges szög szögi'üggvényei

1. Szinusz és koszinuszTetszőleges nagyságú szög csak forgásszög lehet. így ezek szögfuggvénycil koordináta-rendszerben cgységhosszúságú forgásvektor segítségével definiál juk.

Legyen e egy egység hosszúságú helyvektor. Ezt az adott a forgásszöggel el

forgatjuk i bázis vektorhoz képest. Legyen az így kapott végpont x koordiná tája cos a , y koordinátája sin a .

A definíció alapján jól látható, hogy-1 < sin a < 1 és -1 < cos a < 1.

Szögfúggvények meghatározásánál és szögek visszakeresésénél tudnunk kell ,i szögek előjelét. Ez negyedenként változik.

szinusz koszinusz

II. '

+

I.

+

II. J1 I.

+

— — +

III. IV. III. IV.

GB)

c TR IGONOMETR IA JHz után azt is kell tudni, hogy egy a szögnek (0° < a < 360°) hogy számíthat­juk az első negyedbeli párját. Ez is attól függ, melyik negyedbe esik a.

párja az I. negyedben a a II. negyedbe esik 180°— a a a TIT. negyedbe esik a — 18^ a a IV. negyedbe esik 360°— ct

Például a cos 210° meghatározásánál először eldöntj ük, hogy melyik negyed­be esik a szög. Ez a III. negyed, itt a koszinusz negatív. Az első negyedbeli pár­ja pedig a 2 1 0 ° - 180° = 30°.Tehát:

cos 210° = -cos 30° = -----—.2

AzonosságokTetszőleges a szög esetén igazak a következő azonosságok.Pótszögekre vonatkozó: sin a = cos (90° - a),

cos a = sin (90° - a).Kiegészítő szögekre vonatkozó: sin a = sin (180° - a),

cos a = -e o s (180° - a).Negatív szögekre vonatkozó: sin ( - a ) = -sin a ,

cos ( - a ) - —cos a.Pitagoraszi összefüggés: sin2 a + cos2 a = 1

(ahol például sin2 a = (sin a )2).

2. Tangens és kotangens71Eg}' tetszőleges a szög esetén, ha a — + /az (k e Z ), azaz cos a # 0, legyen

sin atg a - -------■

cos a

Ha a -t In (1 e Z), azaz sin a ^ 0 , legyen

cos actg a = -------.

sin a

Gjjp

t r i g o n o m e t r i a

3.8.3. SzinusztételBármely háromszögben két oldal aránya egyenlő a velük szemközti szögek szí nuszainak arányával.

Például ABC--ben:

a _sin otb sin 3

Ha szöget határozunk meg szinusztétel segítségével, figyelnünk kell arra, hogy a szinusz függvény a szögek (0°; 180°) intervallumán nem egyértelmű. Egy adott szinusz értékhez tartozhat hegyesszög, illetve tompaszög megoldás is Akkor lesz két megoldás is, ha a háromszög két oldala és a kisebbikkel szem közti szög van megadva. Köztudott, hogy ez az adathármas nem határozza mer egyértelműen a háromszöget.

3.8.4. KoszinusztételEgy tetszőleges ABC\ háromszögben bármely oldalra felírható a követke/o összefüggés:

c = a1 + b1 - 2ab cos y.

( l Í 5 )

c TRIGONOMETRIA )6 Példáka) Ha két szög ismert és egy oldal, akkor szinusztétellel bármelyik oldal meg­

határozható.PéldaEgy ABC háromszögben az a oldal 6 cm, a (3 szög 60° és a y szög 35°. Mek­kora a b oldal?MegoldásHatározzuk meg az ismert oldallal szemközti szöget, a = 180° — J3 — y = 85°. Tudjuk, hogy

a sin a .------ —, innen

b sin p. sin 6 sin 60° 0,866b - a ---- — = 6 ------ — - 6 --------- =5,2.

sin a sin 85° 0,996

A keresett oldal 5,2 cm.

b) Ha két oldal és az egyikkel szemközti szög adott, akkor a szinusztétel segít­ségével meghatározható a másik oldallal szemközti szög.

PéldaLegyen az ABCa háromszögben az a oldal 5 cm, a b oldal 7 cm és az a szög 38,2°. Mekkora a (3 szög?Megoldásírjuk fel a szinusztételt:

sin p _ b sin a a

Ebből

sin 6 = —sin a = —sin 38,2 ° =0.86577a 5 2

így p lehet 60° vagy 120° is.

c) Ha egy szög és két oldal ismert, akkor bármelyik oldal meghatározható ko­szinusztétellel, majd ezek segitségével már bármelyik szög is meghatároz­ható, akár szinusztétel segítségével is.

(Ü 3)

TR IGONDM ETR IA

PéldaEgy háromszög egyik oldala 5 egység, a másik 7 egység és ezen utóbbival szemközti szög 60°. Mekkora a harmadik oldal?Megoldás

írjuk fel a koszinusztételt.72 = 52 + x2 - 2 • 5 ■ x ■ cos 60°

Mivel cos 60° = összevonások és rendezés után ezt kapjuk:

x2 - 5x - 24 = 0Ezt könnyű szorzattá alakítani.

(x - 8)(jc + 3) = 0A két megoldás közül csak a pozitív jöhet szóba, mivel oldalhosszúságot kerestünk A keresett oldal 8 egység hosszú.

c K □ □ R DI NÁTA-G EQMERTIA )3.9. KOORDINÁTA-GEOMETRIA

3.9.1. Vektorok koordináta-rendszerbenA koordináta rendszerben két részre osztjuk a vektorokat kezdőpontjuk szerint.

A helyvektorok azok a vektorok, melyeknek a kezdőpontja az origó.

A szabad vektorok azok, melyeknek a kezdőpontja nem az origó.Bármelyik szabad vektort eltolhatjuk az origóba, igy mindegyik helyett hasz­nálhatjuk a vele egyenlő helyvektort. A helyvektorok azért praktikusak, mivel megadásukhoz csak a végpontjukat kell megadni. Általában a pontnak és az oda mutató helyvektornak ugyanazt a nevet szoktuk adni, a pontnév nagybetű,

a vektornév kisbetű. így például az A{a^ a2) pontba az a (a,; a2) vektor mutat.

A koordináta-rendszerben van két kitüntetett vektor. Az egyik az i (1; 0) vek­

tor, a másik a j (0; 1) vektor. Ezeket bázisvektoroknak nevezzük. Segítségük­kel írjuk fel a koordináta-rendszerben az összes vektort.

Például az A(—3; -2 ) pontba mutató a (—3; —2) vektorra:

Azaz a helyvektor koordinátái lesznek a bázisvektorok együtthatói.

( ) B 7 )

c KGQRD IN ÁTA- GEDMERTIA )Vektor 90°-os forgatottjának koordinátáiHa egy vektort az origó körül 90°-kal elforgatunk, akkor koordinátái felcsere lödnek és ha pozitiv irányba forgattuk, akkor x koordinátája, ha negatív irány ba, akkor y koordinátája előjelet vált.

Például a (-3 ; 2) vektor (+90°)-os elforgatottja az a ' (-2 ; -3 ) vektor, min

(-90°)-os elforgatottja az a ” (2; 3) vektor.

Vektorok összegének koordinátái

Adjuk össze az a (a,; a2) és b (&,; b2) vektorokat!

a + b = ( a li +a-,j) + (bli + b j ) =

= (a, +*,)/' +(a2+b2) j

Tehát:

a + b(a{ +bt\ a 2 +b2).

Például, ha

ö ( - 2; 4 ) és b{5; - 2 ), akkor o+iR3; 2).

Gü)

Vektorok különbségének koordinátái

Vonjuk ki egymásból az á(at; a,) és b(b,\ /?,) vektorokat.

a - b = (a,í + a 2; ) — (&ji +/?,y) =

= (a, -&,)( + (a 2 - b 2) j

Tehát:

í) -/>(«, - b x\ a 2 - b 2).

Például, ha

a ( - 2; 4) és ö(-5; -2 ) , akkor a -6(3; 6).

Ez egyébként a Z> végpontjából az « végpontjába mutató szabad vektorral egyenlő helyvektor.

Tehát, ha adott egy szabad vektor kezdő- és végpontjával, akkor az oda mutató helyvektorok megfelelő kivonásával a szabadvektort el tudjuk tolni az origóba.

Vektor skalárszorosának koordinátái

Vegyük a (a,; a2) vektor A-szorosát.

= ,i +a1j ) - ' k u ti + tar 2j

Tehát:

Például

az a (-2; 4) vektor (-3)-szorosa a -3ö(6; -12 ) vektor.

A vektorok közötti összeadást és kivonást, valamint a vektor számmal való szorzását koordinátánként kell elvégezni.

Vektor hosszának meghatározásaA helyvektor hossza végpontjának távolsága az origótól. Ez pedig — Pitagorasz tételének alkalmazásával — koordinátáinak négyzetösszegének négyzetgyöke.

Például a (a,; a2) vektor hossza:

k iX

Az A (-3 ; 4) vektor hossza:

|öj = -y/(-3)2 + 42 = 7 2 5 =5

Általánosan a vektor hosszának számolási módja, azaz két pont távolsága a kö vetkező: ha A ( a a 2) és B(b{; b2), akkor

c K □ a R D I N ÁTA- G E O M E RTIA D

B

A

\b7 - a2|

V ai|

X

Vektorok skalárszorzatának számításaA bázisvektorok szorzatai:

i 0 i = |/' | • )j | • cos 0° = 1-11 = 1,

7 ° 7 = |7| • |7| • coso°= 1 1 1 = 1,

r o 7 = 7 o r = |r | . | j | . c o s 9 o ° = M - o = o .

így két tetszőleges vektor szorzata:

Itt újra érdemes megemlíteni, hogy két vektor merőlegességének ellenőrzésére a leggyakoribb módszer, hogy megnézzük, hogy skalárszorzatuk nulla-e.Sőt, ennek segítségével szoktuk két vektor közbezárt szögét is meghatározni.

Tudjuk, hogy

a ° b = ( a li + a2j ) o ( b ti +b2j ) =

= a,6|i oj + üib2i o j + a p j °i + a p j oj =

= a[b[ +a2b2.

Tehát:

a ° b = o |/?( +ű(,6t

c KOORDI N ATA-G E □ M ÉRTI A

így:

cos a - ■a ° b

\a ■ í>

Például az a (-4 ; 3) és a b (1; -7 ) vektorok által bezárt szögre

a fy + a2b2 _ - 4 - 1 + 3 - ( -7 )

yjaf + a2 y j b f +b2 V l6 + 9>/l + 49

-2 5 ___1_

_ 5-5-\Í2 ~ yÍ2 'Tehát a = 135°.

Szakasz osztópontjának meghatározása

Felezőpontba mutató vektorEgy AB szakasz felezőpontjába mutató vektort a következő módon határú meg:

/ =a 4 b

ahol ü és b a végpontba mutató vektor, / pedig a felezőpontba mutat.A

Harmadolópontba mutató vektorEgy AB szakaszon a harmadolópontokba mutató vektorokat a következőkép pen határozzuk meg:

KDGRD IN ATA- GEOME RTI A

- a + 2b - 2a +b h = , k ~

3 3

ahol a és b a végpontba mutató vektor, h a b -hez közelebbi har-

inadolópontba, k pedig az A-hoz közelebbi harmadolópontba mutató vektor.

B

O Példaa) Legyen A(-2; 5) és fí{ 10; 2). Határozzuk meg az AB szakasz fí-hez közeleb­bi harmado lópontját!MegoldásLegyen a keresett pont C(c,; c2).A harmadolópontra vonatkozó összefüggés alapján:

2 á + b c =

Koordinátái tehát:

es

_ 2a, +b, 2(—2) +10 _ nCj ■— — — Á-

2a1 +6, 2-5 + 2c1 - — =-----L = --------- -- 4.

3 3A keresett pont tehát a C(2; 4).

b) Az előző szakaszt hosszabbítsuk meg A ponton túl a kétszeresével. Melyek az így kapott végpont koordinátái?

KODRD I NÁTA-E EO M E RTIA

Első megoldásLegyen a kereset végpont a D(d{; d2)- Készítsünk ábrát!

Az ábrán látható, hogy A pont a DB szakasz S-hez közelebbi harmadolóponl ja. így felírhatjuk a következő összefüggést:

_ 2 b + d a ----------- .

Innen kifejezhetjük d -t,

Koordinátái:d = 3 ö -2 b .

d l = 3a, - 2b, = 3(-2) - 2 • 10 = -26

es

d2 = 3a2 - 2 b 2 = 3 -5 — 2-2=11 .

Tehát a keresett végpont a D (-26; 11).

Második megoldásIrányítsuk a szakaszokat és így kapjuk DA és AB vektorokat.

( n $

c KD DR D I NÁTA-G E □ M E RTIA )Ezekre igaz, hogy

DA = 2 AB.

Felírva a pontokba mutató helyvektorokkal:

a - d = 2(b - a).

Ezt pedig az előzőhöz hasonlóan fejezhetjük be.

Háromszög súlypontjába mutató vektor

ABC háromszög esetén, ha a , b illetve c a csúcspontokba mutató vektor és

I a súlypontba mutató vektor, akkor:

Két pont távolságaKét pont távolága az általuk meghatározott vektor hossza, azaz P(p\ ', p 2) és Q(q,; ^2) pontok távolsága:

3.9.2 Ponthalmaz, görbe egyenleteEgy adott görbe egyenletének azt az egyenletet nevezzük, melyet a görbéhez tartozó összes pont és csak ezek a pontok koordinátái igazzá tesznek, kielégí­tenek.Nem minden görbének van egyenlete.

EgyenesAz egyenes általános egyenlete:

ax + by — c.

á + b + cs = -------

3

KDQRDI NÁTA-G EOME RTIA

Ilyen alakban minden egyenes egyenlete felírható.Ha a — 0 és b ? 0, akkor az x tengellyel párhuzamos az egyenes, ha a * 0 és b - 0, akkor az y tengellyel párhuzamos az egyenes, ha c = 0, akkor origón áthaladó az egyenes.Az a és a b egyszerre nem lehetnek nullák.

Az egyenes meredekségének jelentése:

Ayin = — , ahol Ay = y 2 — y, és Ax —x 2 — x v

Ax

Ez azt mutatja meg, hogy az egyenes egy tetszőleges (jc, ; j i ) pontjából kiindul va Ax vízszintes irányú elmozdulás esetén mennyit kell a függőleges irányban elmozdulni, hogy az egyenes egy (.V[; y 2) koordinátájú pontjába jussunk.

2Például, ha m = — , akkor bármely egyenes pontból 3 egységet lépünk jobbra.

és 2 egységet lefelé, az egyenes egy másik pontját kapjuk. Vízszintes egyenes esetén függőleges irányban nem kell elmozdulnunk, így a meredekség 0. Fiig gőleges egyenesnél vízszintes irányú elmozdulás nincs, így ez a hányados nem értelmezhető.Ez a szám egyébként az egyenes irányszögének tangense, ha az értelmezhető (a * 90°).

Az egyenletet a következő alakban szoktuk használni:y = mx + b.

c K O O R D l N Á T A - G E D M É R T I A DTehát az y -1 kifejezzük és ekkor az x együtthatója a meredekség. A konstans, azaz itt a b, azt mutatja meg, hogy hol metszi az egyenes az y tengelyt. A met­széspont a (0; b) pont.

G Példáka) Adott két pont, P (-2; 1) és Q(6; -5 ). Adjuk meg az általuk meghatározott egyenes egyenletét!MegoldásA két pont koordinátáiból meghatározzuk a meredekséget:

_ *y _ p 2 -<?2 _ i - ( - 5 ) _ 3 ax —2 — 6 4

Tehát a keresett egyenlet:

3 . y = — x + b

4alakú, ahol már csak a b érték ismeretlen. Tudjuk, hogy az egyenesre illeszke­dő pont koordinátái igazzá teszik az egyenletét. Helyettesítsük be a P pont ko­ordinátáit!

l = - - ( - 2 ) + b4

Innen:

2Tehát a keresett egyenes egyenlete:

b) Adjuk meg az adott P(3; —1) ponton áthaladó és az y = —2x + b egyenessel párhuzamos egyenes egyenletét!MegoldásA keresett egyenes meredeksége azonos az adott egyenes meredekségével, az­az -2 , tehát

y = —2x + b

GZz)

c K □ O R D I NÁTA-G E □ M E RTIA Jalakú az egyenlete.A P pont koordinátáit behelyettesítve megkapjuk b értékét,

-1 = -2 • 3 + b.Innen: b = 5.A keresett egyenes egyenlete tehát:

y = -2 x + 5.

Norm álvcktoros egyenletEgy egyenes normálvektorának nevezünk minden rá merőleges, nem nullvek

tort. Jelöljük ezután e egyenes egy nomiálvektorát ne -vei.

Az egyenes normálvektoros egyenlete:n ,jc + n^y = c.

Ha adott az egyenesről egy pont, legyen ez Q{q{, q2), akkor a következő alak ban írhatjuk fel:

nxx + n,y = n tq ̂ + ihq-,.

O Példáka) Adott e egyenes egyenlete: 2x - 6y = 7. Adjuk meg az egyenes egy normal vektorát!Megoldás

Leolvasható, hogy egy lehetséges normálvektor az ne(2; - 6 ) vektor, vag>

bármely skalárszorosa, például az /?'.(1; -3 ) vektor.

b) Adott egy egyenes normálvektora nf (—2; 5) és egy P(—3; 2) pontja. Adjul ezen f egyenes egyenletét!

(T s b )

KO OR Dl NÁTA-G EDM ÉRTI A

MegoldásAz ismert össze függés alapján:

-2 x + 5y = —2(—3) + 5 - 2,azaz:

f : -2.V + 5y = 16.

c) írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, mely merőleges aze: 2x — 5y = 3

egyenesre és áthalad a P{-3>; 2) ponton!MegoldásLegyen a keresett egyenes f Az egyenletből leolvasható e egyenes egy normál­

vektora, ne(2 ; - 5 ) . Ha ezt 90°-kal elforgatjuk, akkor / e g y normálvektorát

kapjuk, m ivel/-nek merőlegesnek kell lennie e-re. Tehát:

nf (5; 2) .

így/egyenlete:5x + 2y = 5 ( —3 ) + 2 - 2 ,

azaz:f . 5x + 2y = - \ \ .

Irányvektoros egyenletIrány vektornak nevezünk az egyenessel párhuzamos bármely nem nullvektort.

Az e egyenes irányvektorát (i>,; v2) -nek szoktuk nevezni. Az irányvektoros egyenlet pedig = c alakú.Ha az egyenes illeszkedik a P{p\\p2) pontra, akkor az egyenlet v2x - y,y = vspi - vj}2 alakban írható fel.

Jól látható, hogy az innen leolvasható — v,) vektor valóban normálvek­

tora az egyenesnek, hisz -90°-os elforgatottja v,, -nek.e

«_Lv <=> n °v = 0

(l ü )

I KO O R DI NÁTA-G E □ M E RTIA JO Példáka) Adjuk meg annak az egyenesnek az egyenletét, melynek irányvektora

ve(2; 5) és illeszkedik a Q (-3; 7) pontra!MegoldásAz egyenes egyenlete:

egyenes egy irányvektorát!Megoldás

Könnyen leolvasható egy normálvektora, nf (3; 2) , melynek -90°-os elforga­

tásával kaphatunk irányvektort. így jó irányvektor például a vf (—2; 3) vektor.

Látható, hogy ezen egyenlet alakok lényegében nem különböznek az ax + by = < általános alaktól, csupán az együtthatók szerepe más.

Megadhatnak normálvektort: H (a; b) , irányvektort: ve(-b\ a), megadhatják

a meredekséget: m = ~ — (ha b * 0), illetve az y tengellyel való metszéspontot

5x - 2 y = 5(-3) - 2 - 7 ,azaz:

5 x - 2 y = -29.

b) Adjuk meg az/ 3x + 2y = 8

b

©

c RDI NÁTA-GED M ÉRTI A JPárhuzamossági és merőlegességi feltételek

Két egyenes párhuzamos, ha:- normálvektoraik párhuzamosak,- irányvektoraik párhuzamosak,- meredekségük egyenlő vagy nem értelmezhető.

Két egyenes merőleges, ha:- irány vektoraik merőlegesek (skalárszorzatuk 0),- normálvektoraik merőlegesek (skalárszorzatuk 0),-m eredekségeik szorzata -1 , vagy az egyiké 0 és a másiknak nem

értelmezhető.

Q Példáka) Párhuzamosak-e az e \ 2x - 3 v = 5f . 6x — 8 j = 11 egyenesek?Megoldás

2 6 Az e egyenes meredeksége mc = — , az/egyenesé m r = ~̂ ■ Mivel a két mere­

dekség nem egyenlő, a két egyenes nem párhuzamos.

b) Merőlegesek-e aze : 3x — 5 v = 8

f 10* + 6y = -3egyenesek?Megoldás

Az e egyik normálvektora nt,(3; - 5 ) , az/egyenesé n f (10; 6) . Vegyük a ket­tő skalárszorzatát:

ne ohf = 3 1 0 + (-5 )-6 = 0.

Mivel a szorzat 0, a két normálvektor és így a két egyenes merőleges egymásra.

KDORD IN ATA-G EOMERTIA

Két egyenes metszéspontjaKét egyenes metszéspontja az a pont, mely mindkettőre illeszkedik, azaz mely­nek a koordinátái mindkettő egyenletét igazzá teszik. így a metszéspont kooi dinátáit az egyenesek egyenletei alkotta egyenletrendszer megoldásával kapjuk meg. így a megoldások száma lehet egy, ha az egyenesek metszőek, lehet nulla, ha az egyenesek párhuzamosak, és lehet végtelen sok, ha az egyenesek egy beesnek.

Q PéldaHatározzuk meg a 2x - 3y — 7 és a 3.v + 4y = 5 egyenesek metszéspontját! MegoldásMeg kell oldanunk a következő egyenletrendszert:2x - 3y = 7 3jc + 4y = 36,melynek megoldása x = 8 és y = 3. így a metszéspont a P(8; 3) pont.

KörA kör definíciójából adódóan egy adott középpontú, legyen ez K(u; v), és adott sugarú, legyen ez r, körhöz azok és csak azok az (x; y) pontok tartoznak, mi' lyek távolsága a középponttól éppen a sugár.

y ] (x -u )2 + (y — v ) 2 =r

Innen kapjuk:(x - ü)2 + (y - v)2 = r2.

Ez az (u; v) középpontú, r sugarú kör egyenlete.

Q Példáka) Adjuk meg annak a körnek az egyenletét, melynek középpontja K (- 3; 5) és

sugara r = 7!

( MegoldásA keresett kör egyenlete:

(jc + 3)2 + ( y - 5)2 = 49.

b) Adjuk meg annak a körnek a középpontját és sugarát, melynek egyenlete:x2 — 1 Ojc + y 1 + 4y + 13=0 .

MegoldásAhhoz, hogy a keresett adatokat meg tudjuk állapítani, teljes négyzeteket kell kialakítani:

jc2- IOjc + 25 + y 2 + 4y + 4 + 13 - 2 5 - 4 = 0.Persze, amely tagokat behoztunk a teljes négyzetté kiegészítés miatt, azokat ki is kellett vonnunk. így már fel tudjuk írni a megfelelő alakot:

(x - 5)2 + (y + 2)2 = 16.Erről már leolvasható, hogy a középpont a K(5; -2 ) pont és a sugár r — 4.

c) Adjuk meg a r = 4 sugarú, a koordinátatengelyeket érintő körök egyenletét. MegoldásA kör akkor fog egy tengelyt érinteni, ha középpontjának távolsága a tengely­től éppen a sugár. így a középpont koordinátái egyeniőek a sugárral vagy an­nak ellentettjei, attól függően, hogy melyik negyedben vagyunk.I. negyedben

(jc - r)2 + (y - r)2 = r2, azaz (jc - 4)2 + (y - 4)2 = 16II. negyedben

(jc + r)2 + 0 ’ - r)2 = r2, azaz (* + 4)2 + (y - 4)2 = 16 ITT. negyedben

(jc + r)2 + ( y + r)2 = r2, azaz (x + 4)2 + (>' + 4)2 = 16 IV. negyedben

(x - r )2 + (j> + r )2 = r 2, azaz (jc - 4)2 + (y + 4)2 = 16

_̂_________________________K D P R D IN ÁTA-G E □ M E RTIA__________________________J

GÉD

c K O □ R D l N Á T A - G E D M É R T I A

K ör és egyenes metszeteA két görbe metszéspontjai azok a pontok, melyek mindkettőre illeszkednek azaz amelyek koordinátái mindkettő egyenletét igazzá teszik. A metszéspontok koordinátáit tehát úgy kapjuk meg, hogy a kör és az egyenes egyenlete alkotta egyenletrendszert megoldjuk.Egyenes és kör kölcsönös helyzete háromféle lehet. Lehet, hogy nincs közös pontjuk, vagy az egyenes érinti a kört, vagy az egyenes metszi a kört. Ez alap ján az egyenletrendszernek vagy nincs megoldása, vagy egy számpár, vagy kot számpár.

y\

Q PéldákHatározzuk meg a következő egyenesek és körök metszéspontjait! a) A kör egyenlete:

k: ( x - l)2 + 0 + 2)2 = 25.Az egyenesé:

e \ 2x — y - — 1.

c K □ O R D I N ATA-G EOMERTIA

Megoldás(jc - l ) 2 + (y + 2 f = 25

2x - y = — 1Kézenfekvő, hogy az egyenes egyenletéből fejezzük ki az egyik ismeretlent, mondjuk y-t, és behelyettesítjük a kör egyenletébe. Tehát y = 2x +1 és így

(jc - l ) 2 + (2 * + 3 )2 = 2 5 .

Ezt pedig a szokásos módon megoldjuk.5 jc2 + 1 Ojc - 15 = 0

x 2 + 2x - 3 = 0

(x + 3 )(jc - 1) = 0A megoldások tehát:

jc, = -3 és az jc2 = 1.Ezekhez meghatározva az y-1:

y | = —5 és a z y 2 — 3.A metszéspontok tehát a (—3; —5) és az (1; 3) pontok.

b) A kör egyenlete:

Az egyenesé:

Megoldás

k: ( * + l ) 2 + (y - 2 )2 = 2 5 .

e: 3 x + 4y = - 2 0 .

U + l ) 2 + ( y - 2 ) 2 = 253

3jc + 4y = - 2 0 —> y = — jc - 5 -------- ---------- 4

3(x + i y + - - J c - 7 = 25

jc2 + 2x + 1 + — x 2 + — x + 4 9 = 25 16 2

25 , 25 „ 16— x~ H------ X + 2 5 = 0 \ ------16 2 25

jc2 + 8 jc + 16 =0

( jc + 4 ) 2 = 0

CisD

c K O D R D l N Á T A - G E O M É R T I A )Ha valaki nem veszi észre, hogy teljes négyzetről van szó, annak a diszkrimi­náns vizsgálatakor kiderül, hogy az 0, és így egy megoldása van.Az egyenlet megoldása az

x = -4 .A hozzá tartozó y értéke:

>> = -2 .Tehát egy közös pont van: a (-4 ; —2), az egyenes érintője a körnek,

c) A kör egyenlete:k: (x - l )2 + (y + 3)2 = 9.

Az egyenesé:e: y — x — 5.

Megoldás

(x -1 )2 + ( y + 3)2 =9y - x = 5 -> y = x + 5

(x -1 )2 + (x + 8)2 =9

2x2 + 14.*+ 56 = 0

jc2 + 7* + 28 = 0

Ennek az egyenletnek a diszkriminánsa:ö = 72 - 4 - 2 8 = 49 - 112 = -63.

Tehát negatív, ami azt jelenti, hogy nincs valós megoldása. Az egyenesnek és a körnek tehát nincs közös pontja.

Körhöz egy pontjában húzott érintőAdott egy kör és egy pontja. Meg kell adni az ezen ponton áthaladó érintőt. A/i a fontos tételt lehet felhasználni, hogy érintési pontba húzott sugár merőleges az érintőre. Ez a merőleges sugár irányítva az érintő egy normálvektora. Egy normálvektor és egy pont ismeretében pedig az érintő egyenlete könnyen felit ható.

Q PéldaA kör egyenlete:

(jc + 2 ) 2 + 0 ’ - 3 ) 2 = 1 0 0 ,

(S H s)

KOORDI N ATA-GEQ M ÉRTI A

és a pontja legyen:P( 4; -5).

MegoldásA kör egyenlete alapján a középpont a K (-2 ; 3) pont. Az egyik normálvektor tehát:

nr = KP — p — k , azaz n e(6; - 8).

Ehelyett választhatjuk egy skalárszorosát is, például n't.(3; - 4) vektort. így az érintő egyenlete:

e: 3* - 4y = 32.

c LEÍRÓ STATISZTIKA J4. LEÍRÓ STATISZTIKA ÉS VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS

4.1. LEÍRÓ STATISZTIKA

4.1.1. FogalmakA statisztika nagy mennyiségű tárgy vagy embercsoport jellemzését végzi ;t róluk szerzett, általában számszerű adatok feldolgozásával.

Fontos fogalmak

Egyedek: a vizsgált csoport tagjai, elemei.

Statisztikai sokaság: a vizsgált csoport.

Statisztikai sokaság mérete: a sokaságban az egyedek száma.

Adat: a sokaság egyedeiről szerzett információ.

Mutató: a vizsgált egyedek bizonyos körét összességében jellemző számszerű információ, melyek adatokból jönnek létre bizonyos számítások útján.

Ismérv: azok a tulajdonságok, melyeket vizsgálunk a sokaság egyedein.

Ismérvfajták:- területi,- időbeli,- minőségi,- mennyiségi.A területi és az időbeli ismérvek az egységek térbeli (földrajzi) vagy időbeli el helyezkedésére vonatkozó információk. A minőségi ismérvekhez tartozó infoi mációk verbálisán jellemzik, írják le az egyedek tulajdonságait. Például a név a foglalkozás. A mennyiségi ismérvek számlálás vagy mérés útján kapott áru- kekkel jellemzik az egységeket.

( l£ 3 >

I LE ÍRD STATISZTIKA }

Példa

sokaság konkrét egység ismérv adat ismérvfajtaA magyar népesség 2004.jan.

1-jén

TroppauerHümér

lakóhely Szeged területiszül. év 1955 időbeli

kor 49 év mennyiségifoglalkozás bíró minőségi

nem férfi minőségi

Diszkrét ismérveknek nevezzük azokat a mennyiségi ismérveket, melyekhez tartozó adatok csak véges sok vagy felsorolható értékeket vehetnek fel. Ilyenek például a számlálással kapott adatok.

Folytonos ismérvek azok a mennyiségi isméivek, melyekhez tartozó adatok bármilyen értéket felvehetnek. Tlyen például a távolság, vagy valamennyi víz tömege.

Egy adat gyakorisága megmutatja, hogy egy konkrét adat hányszor fordul elő az összes adatok között.

A gyakorisági táblázat vagy gyakorisági eloszlás a lehetséges adatokat és a hozzájuk tartozó gyakoriságokat tartalmazza.

63 1. PéldaA fedett pályás palacsintaevő verseny kerületi döntőjében a következő mennyi­ségek fogytak:15, 16, 17, 19, 19, 17, 18, 17, 21, 22, 17, 19, 21, 19, 16, 15, 16, 20, 20, 17, 22, 17, 23, 18, 21.A gyakorisági táblázatpalacsinta 15 16 17 18 19 20 21 22 23 gyakoriság 2 3 6 2 4 2 3 2 1 Ha nagy mennyiségű és sokféle adat van, akkor áttekinthetőbb, ha a lehetséges adatokat egymástól idegen részekre, úgynevezett osztályokra osztjuk. Ezek lé­nyegében balról zárt intervallumok, tehát az alsó határával egyenlő adat hoz­zátartozik, a felső határával egyenlő már nem.

( z d 9)

c LEÍRÓ STATISZTIKA

Az osztályközös gyakorisági eloszlás az osztályokon alapuló gyakorisági el­oszlás.Például az előző verseny adatait rendszerezzük osztályokba. Az osztályközös gyakorisági eloszlás a következő lesz.

osztály gyakoriság 1 5 - 1 8 111 8 - 2 1 8 2 1 - 2 4 6

Relatív gyakoriság egy konkrét adat gyakoriságának és az összes adatok szá­mának aránya. Ez megmutatja, hogy egy adat száma hányadrésze az összes adatok számának, amit százalékban is szokás megadni.

palacsinta gyak. rel. gyak.15 2 0,08 (8 %)16 3 0,12 (12 %)17 6 0,24 (24 %)18 2 0,08 (8 %)19 4 0,16(16%)20 2 0,08 (8 %)21 3 0,12 (12 %)22 2 0,08 (8 %)23 1 0,04 (4 %)

összesen 25 1 (100%)

4.1.2. MintavételA statisztikai munka egyik fontos lépése a sokaság jellemzéséhez szükséges adatok begyűjtése. Az adatszerzés eszközeit mintavételi eljárásoknak neve/ zük.Az alapján, hogy a mintavétel a sokaság mekkora részére terjed ki, a mintavé­tel lehet:- teljes- részleges.Amikor részleges mintavétel esetén a sokaság egészének jellemzése a cél, a/ egy részére kiterjedő adatfelvétel alapján, akkor reprezentatív megfigyelésről beszélünk.

a ± ° )

LEÍRÓ STATISZTIKA

A sokaság kiválasztott részét m intának nevezzük.A mintaelemek kiválasztása, alapelvét tekintve, lehet:- véletlen— nem véletlen.Véletlen kiválasztás esetén a sokaság minden egyes egységére nézve előre megadható az adott elem mintába kerülésének valószínűsége.

4.1.3. Adatok ábrázolásaAz adatok grafikus megjelenítésére több lehetőség van.

OszlopdiagramAkkor érdemes használni, ha gyakoriságokat vagy valamilyen mennyiségeket akarunk összehasonlítani. Lásd a palacsintaevő verseny gyakorisági táblázatát. Nem érdemes használni, ha az adatok között van kiugró érték, vagy ha az érté­kek közötti eltérés kicsi.

H Gyakorisági eloszlás

Például ha a palacsintaevő versenybe benevezett volna a 3. parittyás ezred és parancsszóra mindenkinek ugyanannyit kellett volna ennie, akkor az ezred tel­jesítményén kívül nem lehetne érdemleges információt nyerni a fogyasztások­ról az oszlopdiagram segítségével.

VonaldiagramAkkor szoktuk használni, ha egy mennyiség időbeli változását akarjuk szem­léltetni.

l e í r d s t a t i s z t i k a

Például ábrázoljuk Glázser Bozsó palacsintaevő tréningjeinek teljesítményét napi bontásban. Látható, hogy a gyors teljesítménynövelés milyen törést oko­zott a felkészülési folyamatban.

KördiagramKördiagramnál az ábrázolandó adatok nagysága a körcikkek középponti szögé­vel arányos.Például az egyik versenyen megkérdezték a résztvevőket, milyen tölteléket enne szívesen a palacsintájában. A válaszok eloszlását mutatja a kördiagram.

A tortadiagramon a szögek aránya megváltozik, torzul. Hiába látványosabb, di­nem lehet jól leolvasni az adatok arányát.

(1 vanília

1 13 %I 1 csoki

ü túró

U 22%

■ 18% El 1 4 %

0 4 3 %

I I fahéj

M lekvár

c LE ÍRÓ STATISZTIKA

4.1.4. Statisztikai mutatók

M óduszAz adathalmazban legnagyobb gyakorisággal előforduló adat diszkrét ismérv esetén. Folytonos ismérvnél a gyakorisági görbe maximumhelye. Jele: Mo.TIa a gyakoriságok között a legnagyobb csak egyszer fordul elő, akkor egymó- duszú, ha többször is előfordul, akkor többmóduszú eloszlásról beszélünk. Nem függ közvetlenül sem az összes adattól, sem a szélsőséges értékektől. Az első példa esetén a módusz a 17.

M ediánA nagyság szerint rendezett adatok között a középső, ha páratlan számú adat van. Páros számú adat esetén a két középső adat átlaga. Nála kisebb érték ugyanannyi van, mint nála nagyobb. Nem függ közvetlenül sem az összes adat­tól, sem a szélsőséges értékektől. A példában a médián 18.

Átlag vagy számtani átlagÚgy kapjuk, hogy az adatok összegét elosztjuk a darabszámmal. Számításánál minden adatot felhasználunk. A számtani közép nagyon érzékeny a szélsősége­sen nagy értékekre, főleg kisebb adathalmaz esetén.Az 1. példában:

- 2 ■ 15 +3 16 +6-17 +2-18 +4 -19 +2 20 +3 -21 |24-3 + 6 + 2-1-4 + 2 + 3 + 2 + 1

+ 2.22 + | .23 = 462 25 25

Q 2. PéldaPélda az állagok viszonyáraAladdin azon tűnődik, hogy belépjen-e a 40 rabló közé. Ismeri a havi zsákmá­nyokból az egy főre eső részeket. A 19 alrablóhelyettes 5 aranyat, a 16 alrabló7 aranyat, a 4 főrabló 10 aranyat és a rablóvezér 800 aranyat zsákmányol ha­vonta.Aladdin kiszámítja az átlagot, ami 26,175 arany havonta. Ez igen szép summa, a gond csak annyi, hogy ennyit igazából senki sem zsákmányol. Ha Aladdin er­re számítana, akkor csalódnia kellene. Azonban rutinosan meghatározza a

LEÍRÓ STATISZTIKA

többi mutatót is. A médián 7 arany, a módusz pedig 5 arany. Valószínűleg ezen utóbbira számíthat legnagyobb valószínűséggel, ez jellemzi jobban a rablóban­dában a kereseti lehetőségeket.

Szóródási mutatókAz adatok változékonyságát, szóródását jellemzik a szóródási mutatók. Ez tör­ténhet az adatok egymás közötti különbségein, vagy az adatok egy kitüntetett értéktől való eltérésein keresztül.

TerjedelemAnnak az intervallumnak a teljes hossza, amelyben az adatok elhelyezkednek. Jele: R (az angol range szóból)Legyen a legnagyobb adat ymax, a legkisebb Ymin. így:

d — Y — Y1 max 1 min*

Ez a legszélsőségesebb adatoktól függ, így nem feltétlenül jellemzi jól a vizs­gált jelenséget, mivel ezen szélsőértékeket a véletlen szeszélyei alakíthatják. Az 1. példában:

R = 2 3 - 1 5 = 8.A 2. példában:

R = 800 - 5 = 795.

Átlagos (abszolút) eltérésEz az adatok számtani átlaguktól való eltérésein keresztül jellemzi a szórást. Jele: 6 (delta)Legyen a számtani átlag jele Y az adataink pedig rendre 7,; Y2; ...; Yn. Az átla­gos eltérés:

g | y ; - f | + |y2 - F | + . . . + | y B - r |

nTehát az adatok számtani közepétől való eltérések abszolút értékeinek számta ni átlaga, azaz azt mutatja meg, hogy az adatok átlagosan mennyire térnek el az átlaguktól. Azért kell az abszolút értéket venni, mert egyébként az eltérések összege 0.

c LEIRO STATISZTIKA

Az 1. példában az átlagos eltérés:

2 |1 5 -1 8 ,4 8 |+ 3 |1 6 -1 8 ,4 8 |+ 6 |7 -18,48 |

” 2 5 ~2118 —18,4814- 4 |l 9 -18,48 |+2 ^0 -18,48

253 |21 -18 ,4 8 |+ 2 |2 2 -1 8 ,4 8 |+ ^3 -18,48 |

25= 1,94

A 2. példában az átlagos eltérés:

19|5-26,1751+16(7-26,1751 40

4 |l0 — 26,1751 + feOO -26,175 I40

= 38,69

Persze nem csak a számtani átlagtól való eltérést lehet meghatározni.Egy adott a számtól való átlagos abszolút eltérés az adatok a számtól vett eltésései abszolútértékeinek a számtani közepe.

* _ly. H +ly» - ° h - - + ly. - al

SzórásAz előzőhöz hasonló mutató, csak az eltéréseknek nem az abszolút értékét kell venni, hanem a négyzetét, amit majd a négyzetgyökvonás „tesz jóvá”. Jele: a (szigma)

Az előző jelöléseket használva:

0 = .( ^ - n 2+ ( y , - y ) 2 + . . . + o /„ - K r

(ElD

Sok esetben nem a szórás, hanem annak négyzete a fontos jellemző. Ez a szó­rásnégyzet, melynek neve variancia.

Az 1. példában a szórás:

r_______________________________LE ÍRÓ STATISZTIKA_______________________________J

a =2(15 -1 8 ,4 8 )2 +3(16 -1 8 ,4 8 )2 +6(17 -18,48) 2

25

2(18 - 1 8,48)2 +4(19 -1 8 ,4 8 )2 +2(20 -18,48) 2 25

3(21 -1 8 ,48)2 +2(22 -18,48) 2 +(23 -18,48) 2 25

= 2,25

A 2. példában a szórás:

19(5- 2 6 ,175)2 +16(7 -26 ,175)- 0 - 4 40

4(10 -26 ,175)2 +(800 -26 ,175 )2H----------------------------------------------

40= 123,92

Nem szerencsés, hogy egy gyökvonást több sorba kellett törni, de remélhető- leg így is átlátható.

(H §)

(_____________________________VALÓSZÍN ÜSÉGSZÁMÍTÁS_____________________________J

4.2. VALÓSZÍNÜSÉGSZÁMÍTÁS

4.2.1. AlapfogalmakA valószínűségszámítás véletlen tömegjelenségek vizsgálatával foglalkozik.

KísérletÁltalános értelemben kísérletnek nevezünk műiden olyan vizsgálatot, mely olyan jelenségre vonatkozik, amely azonos körülmények között megismétlő­dik, illetve megismételhető.A valószínűségi kísérletnek alapvetően két ismérve van.1. A valószínűségi kísérlet lefolyása (eredménye) véletlenszerű, nem megjó­solható.2. A valószínűségi kísérlet azonos körülmények között akárhányszor megis­mételhető.Amelyik kísérlet teljesíti ezt a két kívánalmat, azt valószínűségi kísérletnek ne­vezhetjük.

Q PéldaVajon az alábbi kísérletek közül melyek tekinthetők valószínűségi kísérletek­nek?A. Feldobunk egy érmét.B. Eldobunk egy hatoldalú dobókockát.C. Leejtünk egy i.e. 6. századi kínai vázát.D. Hagyományos gyufásdobozban megszámoljuk, mennyi szál van benne.E. Körökre osztott céltáblára dobunk (fél órával ezelőtt azt sem tudtuk, van-e

ilyen játék).F. Egy F 1 -s versenyautón igazi töréstesztet végzünk.G. Egy Fl-s versenyautón számítógépes törés-szimulációt végzünk.H. Megszámoljuk, hogy egy kockának hat lapja van-e.I. Egy pakli kártyából kihúzunk egy lapot.MegoldásAz A, B, D, E, G és I példa valószínűségi kísérletnek minősíthető.A C, F és H példa nem valószínűségi kísérlet.

Elemi eseményA kísérlet egy lehetséges kimenetelét elemi eseménynek nevezzük. Például kockadobásnál a 4-cs dobás egy elemi esemény. Egy kísérlethez tartozó elemi eseményektől a következőket várjuk el:- mindig egyértelműen el lehessen dönteni bármelyik elemi eseményről, hogy

bekövetkezett vagy nem,- egyszerre két elemi esemény nem következhet be,- valamelyik elemi eseménynek be kell következnie.

EseményElemi események egy halmazát eseménynek nevezzük, például a páros szám dobásának eseménye a 2-es, 4-es és 6-os dobások elemi eseményeiből áll. Egy esemény akkor következik be, ha valamelyik hozzá tartozó elemi esemény va­lósul meg. Egy esemény többféleképpen is bekövetkezhet. Például a páros szám dobásának eseménye háromféleképpen következhet be.Az eseményeket nagybetűvel jelöljük, például A, B, C... .Azt az eseményt, amely biztosan bekövetkezik biztos eseménynek nevezzük, jele I. esemény például kockadobásnál, hogy [1; 6] intervallumba eső számot dobunk.Azt az eseményt, amely nem következhet be, lehetetlen eseménynek nevez­zük, jele 0 . Lehetetlen esemény például kockadobásnál, hogy tízest dobunk.

EseménytérAz összes lehetséges elemi esemény halmazát esem énytérnek nevezzük. A kockadobásnál például az {1; 2; 3; 4; 5; 6} halmaz.

Q PéldaHatározzuk meg, hogy az alábbi valószínűségi kísérleteknek milyen kimenetelei, elemi eseményei lehetnek, illetve milyen cseménytér tartozik hozzájuk?K. Pénzfeldobás: feldobunk egy érmét (feltételezzük, hogy lapjára esik).L. Kockadobás: eldobunk egy hatoldalú dobókockát (feltételezzük, nem a sar­

kára esik).M. Gyufaszál: hagyományos gyufásdobozban megszámoljuk, mennyi szál van

benne. Mindig más dobozt használunk.N. Célba dobás 1.: körökre osztott táblára dobunk (feltételezzük, hogy a táblát

eltaláljuk).

c V A LÓ S Z ÍN Ü SÉ G S Z Á M ÍT Á S JO. Célba dobás 2.: beosztás nélküli táblára dobunk (feltételezzük, hogy a táb­

lát eltaláljuk).P. Távolugrás: lemérjük az ugrás nagyságát (feltesszük, hogy az ugrás érvé­

nyes, és jó sportolók ugranak).MegoldásK. Pénzérme. A kísérlet kimenetele, hogy az érme valamelyik lapjára esik.

A lapokat megkülönböztetjük, egyik fej, másik írás. Általában ezeket tekint­jük elemi eseménynek. (Vehetnénk azt is, hogy mennyire fordul el megál­lás után a függőlegestől.)

L. Dobókocka. A kísérlet eredménye, hogy a kocka megáll egyik oldalán, és a szemközti oldatát mutatja, amelyen egy szám található: 1, 2, ..., 6. Általá­ban ezt a számot tekintjük elemi eseménynek. (Tekinthetnénk azt is. hogy az asztalon hol állt meg a kocka!)

M. Gyufaszál. Egy dobozban 40 szálnak kell lennie. Lehet, hogy egyes esetek­ben valamivel többet vagy kevesebbet találunk. Eredménynek vehetjük a dobozban levő gyufák számát, vagy a 40 száltól való eltérésüket is. Mi most ez utóbbit tekintjük, az eltérés mondjuk max. 10 szál.

N. Célba dobás 1. A köröknek akkor van értelme, ha az egyes körökért adunk va­lamennyi pontot. így a dobással pontokat szerzünk, legyenek ezek pl. 10 a külső, 30, 50, 70, a telitalálat 100. Ezt az értéket vesszük kimenetelnek.

O. Célba dobás 2. Mivel a tábla sima, ezért tekintsük eredménynek a találatunk által kijelölt pontot. Az elemi események a céltábla pontjai. (Értékként meg­jelölhetjük például a céltábla középpontjától való távolságot.)

P. Távolugrás. 6 méter alatti ugrással ne foglalkozzunk, és 11 méter felett úgy­sem ugrik senki. Az elemi esemény, az ugráshossz valahol a kettő között van - de ott lehet bármi.

valószínűségi kísérletK) pénzfeldobás L) kockadobás M) gyufaszál N) célba dobás 1.O) célba dobás 2.P) távolugrás

( ü s )

elemi eseményekfej vagy írás 1, 2, 3, 4, 5 vagy 6 -1 0 és +10 közötti egész 10, 30, 50, 70 vagy 100 céltábla pontjai 6,00 és 11,00 közötti valós (6; 11)

esem énytér{fej, írás}{1; 2; 3; 4; 5; 6} {-10; -9 ; ...; 9; 10} {10; 30; 50; 70; 100) az egész céltábla

L VALÓSZ ÍN ŰS ÉG SZÁM ÍTÁS JFigyeljük meg a táblázat utolsó oszlopát! Az első négy kísérlet eseménytere megszámlálható halmaz. Velük ellentétben a többi eseménytér intervallum vagy terület, azaz nem megszámlálható! Az első négy kísérlethez tartozó való­színűségeket ezért „diszkrétnek ’, az utóbbi kettő esetében viszont „folytonos­nak” nevezzük.

Tapasztalati megközelítésHa n számú kísérlet folyamán egy A esemény k-szór következik be, akkor k az

leA esemény gyakorisága, a — hányados pedig az A esemény relatív

ngyakorisága.

A relatív gyakoriság értéke a véletlentől függ, azaz ha a kísérletsorozatot azo­nos körülmények között megismételjük, akkor általában az új érték az előzőtől különbözni fog. Ha a kísérletsorozatot sokszor megismételjük, akkor a kapott relatív gyakoriságértékek már egy konstans érték körül fognak ingadozni és minél nagyobb az n, az ingadozás annál kisebb. Azt az értéket melyhez egyre közelebb kerül a relatív gyakoriság a kísérletek számának növelésével, az A esemény tapasztalati valószínűségének nevezzük és ■P(J4)-val jelöljük (a P be­tű a latin probabilitas=valószínűség szóból származik). Mivel a k gyakoriság legkisebb értéke 0, legnagyobb pedig n, 0 < P(Á) < 1.

Matematikai megközelítésA valószínűség-számítás fogalmai a halmazelmélettel szoros kapcsolatban áll­nak. Készítsünk „szótárat” a két témakör között! Induljunk ki a valószinűség- számítás fogalmaiból! (Pl. mi az eseménytér, elemi esemény, esemény, biztos esemény, lehetetlen esemény stb. halmazos megfogalmazása?)

( z 2 o )

c VA LD SZ IN U SE G S Z A M IT A S

valószínűség-számítás fogalmai halmazelméleti megfelelők

1. Alapfogalmak1. £1 eseménytér2. x elemi esemény3. A esemény4. A esemény bekövetkezik (/í-bcli

elemi esemény következik be)5. A biztos esemény (bármilyen

elemi esemény következik be, az /1-beli), általában A = Q

6. A lehetetlen esemény (nincs olyanelemi esemény, amely é-beli), általában A-ba nem esik esemény.

U (univerzum)x e U (univerzum egy eleme)A c l / (univerzum egy részhalmaza) jc e A [x a halmaz egy eleme)

U c A (A tartalmazza U-1), általában A = U

A n U = 0 (.4-nak nincs közös eleme (/-val),általában A = 0

2. Műveletek eseményekkel1. A és B egyszerre következik

be (AB)2. A és B kizárja egymást3 . A, B közül legalább az egyik

bekövetkezik (A + B)4. A nem következik be

x e A n B (x az A és B közös részéből való elem)

A n B = 0 (nincs közös elemük) i s A u B (.v az A és B egyesítéséből

való elem) x g A (= U \ A) (x az A -n kívüli)

Példák az alapfogalm akhozLegyen ez a kockadobás.1. Eseménytér: U = {1; 2 ; 3; 4; 5; 6}.2 . Elemi esemény pl. x - 4.3. Esem ényeké = {páros dobás}.4. Hatost dobunk.5. Biztos esemény maga U, de biztos esemény a következő is:

B = {7-nél kissebb dobás}.6. Lehetetlen esemény: C — {8-nál nagyobb dobás}.Példák a műveletekhez1. Példa együtt bekövetkező eseményekre: legyen a két esemény A = { 1; 2 ; 3},

B = { 2 ; 3; 4}; ha a dobásunk x = 2 vagy 3, a k k o r i is és B is bekövetkezik.

CüD

c V A LÓ SZ ÍN Ű SÉG SZÁM ÍTÁS J2. Egymást kizáró eseményekre: A = {páros dobás}, B = {páratlan dobás}; met­

szetük üres, így egyszerre nem következhet be mind a kettő.3. Legalább az egyik esemény bekövetkezésére: A - {1; 2}, B = {4; 5}; ha x = 1, 2, 4 vagy 5, akkor A vagy B bekövetkezik.4. Be nem következő eseményre: A = {páros dobás} és a dobásunk .v = 1,3 vagy 5.

4.2.2. ValószínűségM inden t eseményhez rendeljünk egy valós számot, amelyet az A esemény va­lószínűségének nevezünk és P(A)-val jelölünk, a következő kikötésekkel:1. 0 < P ( / í ) < 1,2. P(l) = 1, a biztos esemény valószínűsége 1,3. ha A esemény és B esemény egymástól független (A n B) = 0 , azaz egy­

szerre nem valósulhatnak meg, akkor annak valószínűsége, hogy valamelyik megvalósul P(A u B) = P(A) + P(B).

Az is belátható, hogy ha van két tetszőleges esemény, A és B, akkor annak va­lószínűsége, hogy egymás után bekövetkezzenek változatlan feltételek mellett P(A) ■ P(B).

4.2.3. Valószínűség klasszikus fogalmaKlasszikus valószínűségi mezőnek nevezzük azt az eseményteret, melyet véges számú, egyenlően valószínű események teljes rendszere alkot, azaz a mezőt alko­tó elemi események valószínűsége mind ugyanaz és valamelyik biztosan bekövet­kezik. Ilyen például a kockadobás, a lottósorsolás. Ha minden elemi esemény ugyanolyan valószínűségű, legyen n darab, és valamelyik biztosan bekövetkezik,

akkor egy elemi esemény valószínűsége —. Az olyan eseményn

r r rr ICvalószínűsége, mely k darab kedvező elemi eseményből áll —.n

Tehát klasszikus valószínűségi mezőben egy esemény valószínűségét úgy kapjuk, hogy a kedvező esetek számát elosztjuk az összes esetek számával. Például kocka

dobásnál, annak a valószínűsége, hogy páros számot dobunk —, mivel

a kedvező esetek száma három, mikor 2-tőt, 4-gyet illetve 6-tot dobunk, az ösz- szes esetek száma pedig hat.

c VALÓSZ ÍNŰ S ÉG SZÁM ÍTÁS J4.2.4. Geometriai valószínűség O PéldaLegyen egy 50 cm oldalú négyzet alakú céltábla és a közepén egy 10 cm suga­rú kör. Ha véletlenszerűen lövünk és mindig a céltáblába találunk, mekkora a valószínűsége, hogy a körbe lövünk?

Ez egy tipikus példa ebben a problémakörben. A lényege, hogy adott egy pon­tok alkotta geometriai alakzat és az elemi esemény, ezen ponthalmazból, az egyik pont „eltalálása”, kiválasztása. Egy esemény pedig azt jelenti, hogy a ki­választott pont beletartozik egy bizonyos kijelölt résztartományba.Ha az esemény bekövetkezésének valószínűsége arányos a részhalmaz mérték- számával (terület, térfogat), akkor geometriai valószínűségről beszélünk.Tehát itt az eseménytér egy geometriai alakzat, az esemény az ezen pontok egy részhalmaza, az elemi esemény pedig egy pontnak felel meg.

MegoldásAz előzőek alapján a körbe találás valószínűsége a kör területének és a négy­zet területének arányával egyenlő. Ez emlékeztethet minket a „kedvező esemé­nyek per összes esemény” módszerre.Tehát, ha a körbe találás eseménye A, a kör sugara r és a négyzet oldala a, akkor

P(A) = ^ - = ^ - = — « 0,126. a 50 25

Nyolcból egy lövés valószínűleg a körbe talál.

4.2.5. Visszatevéses mintavétel Q PéldaAz előző lövöldözésnél mi a valószínűsége annak, hogy tíz lövésből hétszer a körbe találunk?

Itt minden lövésnél ugyanazok a feltételek, a kezdeti feltételek változatlanok. Az ilyen helyzeteket nevezzük visszatevéses mintavételnek, hisz az eredeti ál­lapot marad meg, „visszatesszük”, amit kiveszünk.MegoldásHa a körbe lövés eseményét A-val jelöljük, akkor az előzőek szerint p — P(A) = 0,126. Annak a valószínűsége, hogy nem a körbe lövünk, legyen ez q, q = 1 —p -

( z z 3)

0,874. Tehát hétszer a körbe kell lőnünk, háromszor pedig a körön kívül. Egy ilyen sorozatnak a valószínűsége az egyes lövések valószínűségének szorzata, tehát p 1qi . A kombinatorikában tanultak alapján ilyen sorozat, hogy tízből valamelyik hét be­

( V A L Ó SZ ÍN Ű SÉ G SZ Á M ÍT Á S )

talál,10

féleképpen ál ihat elő. Ezek egymástól független esetek, így a

valószínűségeiket össze kell adni. így a keresett valószínűség

1 0 '

( 7 (Általánosságban:Egy A esemény valószínűsége legyen p, és így annak a valószínűsége, hogy A esemény nem következik be q = 1 - p. Ha n darab egymástól független kísér­letet végzünk azonos feltételek között, akkor annak a valószínűsége, hogy A

0,1267 0,8743 3 =0,000041 } tehát nem túl nagy.

esemény A'-szor következik be p kr k.

(224)

c INDEX 3A, Áabszolút eltérés 214abszolút értékes egyenletek 103abszolút érték 37abszolútérték-fíiggvény 77algebrai kifejezés 5 1algebrai tört 52; 57állítás 7; 15átlag 213átlagos eltérés 214átmérő 155

Bbefogótétel 147

CScsonka gúla 161csonka gúla térfogata 169csonka kúp 168csonka kúp felszíne 168csonka kúp térfogata 169

Ddeltoid 151; 159diagrammok 211diszjunkció 16

E, Éegész számok 9: 33egybevágóság 135 egybevágósági transzformációk 133egyenes arányosság 61egyenes egyenlete 195egyenes meredeksége 197egyenlet 65; 86egyenlőtlenség rendszerek 112

egyenlőtlenségek 86; 110egyszerű gráf 27ekvivalencia 18ellentett vektor 171eltolás 134érintő 155érintőnégyszög 150esemény 218exponenciális egyenletek 107exponenciális függvény 80

Ffelszínszámítás 167fordított arányosság 62forgásszög 128forgatás 134függvény 65függvény grafikonja 67függvény jellemzés 70függvénytranszformáció 85

Ggeometriai transzformáció 132geometriai valószínűség 223 gömb 131; 161gömb felszíne 168gömb térfogata 170gömbtest 161gráf 26 gúla 160; 167

GYgyakoriság 210gyök függvény 78gyökös egyenletek 105

(Ü D

t INDEX )

H Khajlásszög 127 kamatos kamat számítás 120halmaz 9 kerülelszámítás 162halmaz megadása 10 két pont távolsága 129; 195halmaz számossága 10 kombinatorika 22halmazok egyenlősége 10 komplementer halmaz 13halmazok közötti relációk 10 konjunkció 16halmazok különbsége 12 konvex sokszög átlói 154halmazok metszete 12 konvex sokszög belső szögei 154halmazok uniója 11 konvex sokszög külső szögei 154harmadfokú függvény 76 koordináta geometria 187háromszög középvonala 147 koszinusz tétel 184háromszög magassága 145 kör 130háromszög oldalfelező merőlegese 144 kör egyenlete 202háromszög súlyvonala 146 kör kerülete 124háromszög szögfelezője 143 kör területe 131háromszög területe 163 körcikk 150háromszögek 140 körcikk kerülete 162hasáb 158 körcikk területe 166hasonlóság 137 körszelet 156hasonlósági transzformáció 136 körszelet területe 166hatványozás 46 középponti szög 157hegyesszögek szögfüggvényei 179 középpontos hasonlóság 136helyvektor 187 középpontos tükrözés 133henger 158 kúp 160hengerszerű test 158 kúpszerű test 159húr 155 kvantorok 19húrnégyszög 150

LI legkisebb közös többszörös 42implikáció 17 legnagyobb közös osztó 44intervallum 36 lineáris egyenletrendszer 91inverz függvény 66 lineáris egyneletek 90irány vektoros egyenlet 199 lineáris függvény 72irracionális számok 35 lineáris törtfüggvény 79ismérvek 208 logaritmikus egyenletek 108

( 2 2 s)

( INDEX )

logaritmus 49 Plogaritmus függvény 81 paralelogramma 150logika 15 Pitagorasz tétel 18

polinom 52M prímszámok 42magasságtétel 147maradékos osztás 44 Qmásodfokú egyenletek 92másodfokú egyenletrendszer 98 Rmásodfokú függvény 74 racionális számok 34másodfokúra vezető egyenletek 97 relatív prím 44médián 213 részhalmaz 11mértani közép 114 rombusz 151mértani sorozat 118mintavétel 210 Smódusz 213 síkgeometria 123

skaláris szorzat 175N sorozatok 115n-edik gyök 48 statisztika 208negáció 16négyszög középvonala 153 SZnégyszögek 150 szakasz osztópontja 192négyzet 151 szakaszfelező merőleges 131négyzetgyök 47 számegyenes 35nevezetes ponthalmazok 130 számelmélet 41normál alak 37 számelmélet alaptétele 42normálvektoros egyenlete 198 számrendszerek 39nullvektor 171 számtani közép 114

számtani sorozat 115() százalékszámítás 62osztója 41 szelő 155osztók száma 43 szelőszakasz 155

szinusztétel 184Ö szórás 215összefüggő gráf 27 szorzattá alakítás 53összetett számok 42 szög 123

(Z Z 7)

c INDEX 3szögfelező 131szögmérés 124szögpárok 125szöveges feladatok 101

Ttávolság 129téglalap 151teljes gráf 26tengelyes tükrözés 133térfogatszámítás 167terjedelem 214természetes számok 30területszámítás 162 tetszőleges szög szögfüggvénye 182Thalész tétele 145trapéz 150trigonometrikus egyenletek 110trigonometrikus függvények 82

Üüres halmaz 9

Vvalós számok 9valószínűség 208valószínűségszámítás 217vektor 171vektor hossza 172vektor skalárszorosa 173vektorok különbsége 173vektorösszeadás 172visszatevéses mintavétel 223

( z 2a )

(___________________________________TARTALOMJEGYZÉK__________________________________J

ELŐSZÓ 5ALAPFOGALMAK 7

1. HALMAZELMÉLET, MATEMATIKAI LOGIKA, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 9

1.1. HALMAZELMÉLET 91.1.1. Fogalmak 91.1.2. Halmazok közötti relációk 101.1.3. Halmazműveletek 11

1.2. MATEMATIKAI LOGIKA 151.2.1. Fogalmak 151.2.2. Műveletek 161.2.3. Kvantorok 19

1.3. KOMBINATORIKA 221.4. GRÁFOK 26

2. ARITMETIKA, ALGEBRA, SZÁMRENDSZEREK,FÜGGVÉNYEK 28

2.1. ARITMETIKAI ALAPMŰVELETEK 282.1.1. Természetes számok 282.1.2. Egész számok 332.1.3. Racionális számok 342.1.4. Irracionális számok 352.1.5. Valós számok 3 52.1.6. Számegyenes 352.1.7. Intervallum 362.1.8. Valós számok abszolútértéke 372.1.9. Normál alak 37

2.2. SZÁMRENDSZEREK 392.3. SZÁMELMÉLET 41

2.3.1. Alapfogalmak 412.3.2 Számelmélet alaptétele 422.3.3. Legnagyobb közös osztó 432.3.4. Legkisebb közös többszörös 442.3.5. Maradékos osztás 44

TARTALOMJEGYZÉK J4. HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS 46

2.4.1. Hatványozás 462.4.2. Négyzetgyök 472.4.3. H-edik gyök 482.4.4. Logaritmus 49

5. BETŰS KIFEJEZÉSEK 512.5.1. Definíciók 512.5.2. Nevezetes azonosságok 532.5.3. Példák szorzattá alakításra 542.5.4. Algebrai törtek 57

6. ARÁNYOSSÁG 612.6.1. Egyenes arányosság 612.6.2. Fordított arányosság 622.6.3. Százalékszámítás 62

7. FÜGGVÉNYEK 652.7.1. Definíciók 652.7.2. Függvényjellemzés 702.7.3. Egyváltozós függvények 722.7.4. Függvénytranszformáció 85

8. EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK 862.8.1. Alapfogalmak 862.8.2. Megoldási módszerek 872.8.3. Lineáris egyenletek 902.8.4. Kétismeretlenes lineáris egyenletrendszer 912.8.5. Másodfokú egyenlet 922.8.6. Másodfokú egyenletrendszer 982.8.7. Szöveges feladatok 1012.8.8. Abszolút értékes egyenlet 1032.8.9. Gyökös egyenletek 1052.8.10. Exponenciális egyenlet 1072.8.11. Logaritmikus egyenletek 1082.8.12. Trigonometrikus egyenletek 1102.8.13. Egyenlőtlenségek 1102.8.14. Egyenlőtlenség-rendszer 112

TARTALOMJEGYZÉK _____________________________J

2.9. KÖZEPEK 1142.9.1. Számtani közép 1142.9.2. Mértani közép 114

2.10. SZÁMSOROZATOK 1152.10.1. Számtani sorozat 1152.10.2. Mértani sorozat 1182.10.3. Kamatos kamat számítás 120

3. GEO M ETRIA 1233.1. GEOMETRIAI ALAPOK 123

3.1.1. Szög 1233.1.2. Térelemek kölcsönös helyzete és távolsága 1283.1.3. Nevezetes ponthalmazok 130

3.2. GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓ 1323.2.1. Alapfogalmak 1323.2.2. Egybevágósági transzformációk 1333.2.3. Hasonlósági transzformáció 136

3.3. SÍKBELI ÉS TÉRBELI ALAKZATOK 1403.3.1. Háromszögek 1403.3.2. Síknégyszögek 1503.3.3. Sokszögek 1543.3.4. Kör 1553.4. TÉRGEOMETRIA 1583.4.1. Hengerszerű test 1583.4.2. Kúpszerű test 1593.4.3. Gömb 161

3.5. KERÜLET- ÉS TERÜLETSZÁMÍTÁS 1623.5.1. Kerületszámítás 1623.5.2. Területszámítás 163

3.6. TÉRFOGAT- ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS 1673.6.1. Felszínszámítás 1673.6.2. Térfogatszámítás 168

3.7. VEKTOROK 1713.7.1. Fogalmak 1713.7.2. Vektorműveletek 172

TARTALOMJEGYZÉK 33.8. TRIGONOMETRIA 179

3.8.1. Hegyesszögek szögfüggvényei 1793.8.2. Tetszőleges szög szögfüggvényei 1823.8.3. Szinusztétel 1843.8.4. Koszinusztétel 184

3.9. KOORDINÁTA-GEOMETRIA 1873.9.1. Vektorok koordináta-rendszerben 1873.9.2. Ponthalmaz, görbe egyenlete 195

4. LEÍRÓ STATISZTIKA ÉS VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 2084.1. LEÍRÓ STATISZTIKA 208

4.1 .1. Fogalmak 2084.1.2. Mintavétel 2104.1.3. Adatok ábrázolása 2114.1.4. Statisztikai mutatók 2 13

4.2. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 2174.2.1. Alapfogalmak 2174.2.2. Valószínűség 2224.2.3. Valószínűség klasszikus fogalma 2224.2.4. Geometriai valószínűség 2234.2.5. Visszatevéses mintavétel 223

Index 225

Kiadja: Maxim Könyvkiadó Kft., 6726 Szeged, Fürj u. 92/B.Tel.: (62) 548-444, Fax: (62) 548-443, E-mail: info@ m axim .co.hu Felelős kiadó: Puskás N orbert Készült a Generál Nyomda Kft.-ben.