FUNGSI ANALITIK

FUNGSI ANALITIK

I.P. Kinasih

I.P. Kinasih/Complex Analysis

Pendahuluan (Review : Fungsi Kompleks) Fungsi kompleks f(z) dapat dituliskan sebagai

berikut : u(x,y) + v(x,y)i, dengan dan

Artinya : f(z) dapat dipandang sebagai fungsi

bernilai vektor

Apakah kebalikan pernyataan tersebut berlaku?

RRu 2:

RRv 2:

yxvyxuyx

RRf

,,,,

: 22


Contoh Pandang:

Perhatikan bahwa:

Kini, pandang:

Perhatikan bahwa fungsi ini tidak dapat dengan mudah dituliskan sebagai fungsi dari z

xyyxyxf 2,, 22

22222 22 yixyixyixxyiyx

xyyxyxf 2,, 22


Review : TURUNANDefinisiFungsi bernilai kompleks f, terdefinisi di sekitar z, dikatakan dapat diturunkan di z, jika :

ada, dan dinotasikan dengan f’(z)

z

zfzzfz

0lim


Polinom Analitik

DefinisiPolinom P(x,y) dikatakan analitik jika terdapat bilangan-bilangan kompleks : sedemikian hingga :nkk ,...,1,0,

nn yixyixyixyxP ..., 2

210


Contoh 1 adalah polinom analitik. Mengapa?

Pandang :

Khususnya untuk y = 0, persamaan di atas menjadi :

Sehingga haruslah dan . Jadi :

xyiyxyxf 2, 22

,2 2210

22 yixyixxyiyx

,22102 xxx

010 12

.2 222 yixxyiyx


Contoh 2Pandang polinom

Tulis : Maka :

Persamaan di atas identik dengan sistem persamaan :

SP tersebut tidak memiliki jawab. Maka polinom ini tidak analitik.

.222 xyiyx

.ikkk

iyxxyxy

xyyxyx

yixiyixiixyiyx

2222110

222

2110

2221100

22

2

2

2

02

0222

22110

222

2110

yxxyxy

xyyxyx


Contoh 3 Coba perhatikan fungsi berikut :

Misal dituliskan dan pandang :

ixyxyxxy

yyxyxyxyxf23

3222

34321

322322,

,3,2,1,0, kiba kkk

., 33

2210 zzzyxf


Lanjutan (contoh 3) Didapatkan sistem persamaan :

Dengan memeriksa setiap suku sistem persamaan di atas, diperoleh :

Jadi :

03313

24231

01333

222322

23

33

33

23

22

22

2110

33

33

23

23

22

222100

xybxbyayxa

xyaybxbyaxbb

xaybyxbxya

yaxaxybybxaa

iba

ba

iba

iba

303

222

111

000

1,0

20,2

323,2

21,2

.2322, 32 izzziiyxf


Masih Contoh 3 Alternatif cara lain untuk memeriksa apakah suatu polinom

analitik atau tidak, mari perhatikan kembali fungsi pada contoh 3:

Jadi untuk y = 0, didapatkan :

ixyxyxxy

yyxyxyxyxf23

3222

34321

322322,

.2322

312220,32

32

ixxxii

ixxxxxf


Karena itu…

TeoremaPolinom P(x,y) = u(x,y) + v(x,y)i dengan koefisien di bilangan kompleks, merupakan fungsi dari x+yi jika memenuhi :

P(x,y) = P(x+yi,0)


Persamaan Cauchy - RiemannTeoremaJika fungsi bernilai kompleks f(x,y) analitik,maka

Bukti.Misalkan f analitik. Maka ada fungsi g sedemikian hingga :F(x,y) = g(x+yi). Artinya :

Sehingga berlaku :

iyixgy

fdanyixg

x

f

''

x

fi

y

f

x

fi

y

f


Memeriksa Keanalitikan Polinom

TeoremaMisalkan P(x,y) adalah polinom berderajat , dan berkoefisien kompleks. P(x,y) analitik, jika dan hanya jika

x

Pi

y

P

n


Persamaan Cauchy - Riemann Misalkan P(x,y)=u(x,y) + v(x,y)i analitik. Maka : , yang berakibat :

Atau dapat dituliskan :

Dikenal dengan Persamaan Cauchy - Riemann

x

Pi

y

P

ix

v

x

uii

y

v

y

u

0

0

x

u

y

vx

v

y

u


Contoh 1 xyiyxyxP 2, 22

yixx

P22

xiyy

P22

Buktikan bahwa analitik

Bukti.Perhatikan bahwa dan . Akibatnya :

y

Pxiyyixi

x

Pi

2222


Contoh 2

xyiyxyxP 2, 22

yixx

P22

y

Pxiyyixi

x

Pi

2222

xiyy

P22

Buktikan bahwa tidak analitik

Bukti.Perhatikan bahwa dan . Akibatnya :


Contoh 3

RyxP ,

RyxP ,

Buktikan bahwa tidak analitik

Bukti.Karena maka turunan parsial dari P, baik terhadap x maupun terhadap y, keduanya bernilai real. Dengan demikian, Persamaan Cauchy – Riemann tidak mungkin terpenuhi

Documents

FUNGSI ANALITIK