Funkce

• Funkce je zobrazení z jedné číselné množiny do druhé, nejčastěji

CCRR :: ff

Definice 3. Buď A a B množiny, f zobrazení. Potom definiční obor a obor hodnot nazveme množiny:

))()(( xyyx f BADf

))()(( xyxy f ABHf

• K úplnému zadání funkce je třeba stanovit jak funkční předpis, tak de- finiční obor.• Funkční předpis (který prvek z A se zobrazí na který prvek z B) se obvy- kle zadává pomocí nějakého vzorce. Úplné zadání funkce je například

,012: 2 Dhxxxff RRPro projekt „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil (gdermog@seznam.cz).

Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci CC-BY-SA.

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme

do vaší budoucnosti

Funkce

• Funkce, které mají shodné funkční předpisy, ale různé definiční obory, jsou různé!

111

101

011

2

2

2

,)f(

,)f(

,)f(

f

f

f

D

D

D

xx

xx

xx

Různá zobrazení, liší se v definičních oborech

1

1-1

1

-11

1

Graf funkce

• Graf funkce je zobrazení množiny dvojic čísel do pravoúhlého souřadné- ho systému.

1

1-1

1,11)f( f2 Dxx

)(,, xyxyx ff f D

definiční obor

obor hodnot

Každý bod v rovině odpovídá jedné dvojici ( x, y ).

Graf funkce

Protože funkční hodnota funk-ce f(x) se obvykle značí pís-menem y, označujeme svislou osu také písmenem y. Pouze v případě, kdy funkční hodno-ta má nějaký fyzikální rozměr, značíme osu písmenem pří-slušné fyzikální veličiny.

Protože argument funkce f(x) se obvykle značí písmenem x, označujeme svislou osu také písmenem x. Pouze v přípa-dě, kdy argument má nějaký fyzikální rozměr, značíme osu písmenem příslušné fyzikální veličiny.

y

x

xfy argument

funkční hodnota

Graf funkce

• Ne každou funkci lze zobrazit do grafu a ne každá křivka v rovině před- stavuje funkci.

R Dfxx 484 2xf

R Dfxx 65324 2xf

R Dfxx2

13521

2

3 2xf

Funkce zaznamenatelné do grafu

Funkce, kterou nelze znamenat do grafu?

IRD

Q

xx

x

0)χ(

1

fDirichletova funkce

Graf funkce

• Ne každou funkci lze zobrazit do grafu a ne každá křivka v rovině před- stavuje funkci.

Toto není graf funkce – téměř každému číslu z definičního oboru přiřazuje dvě čísla z oboru hodnot, což je v rozporu s definicí zobrazení.

0

1

IRD

Q

xx

x

0)χ(

1

f

Operace s funkcemi

• Funkce f a g jsou si rovny právě tehdy, když prvky přiřazují stejně. Je nutný nejen shodný předpis, ale i stejný definiční obor.

Definice 15.

Buďte f a g funkce, Hg je podmnožinou Df Složenou funkci f o g definujeme jako novou funkci předpisem

))(())(()( xgfxgfx g D

Analogicky definujeme rozdíl, násobek a podíl funkcí.

Definice 16.

Buďte f a g funkce, Dfg = Df ∩ Dg neprázdná množina. Součet funkcí f + g definujeme jako novou funkci předpisem

)()())(()( xgxfxgfx fg D

Funkci f nazýváme vnější, funkci g vnitřní.

Složené funkce

• Příklady na složené funkce :

1)()( 2 xxgxxf

,1,0

,,0

gf

gf

HH

DD

1)()( 2 xxgxgf

,0

,11,

gf

gf

H

D

Složené funkce

• Příklady na složené funkce :

1)()( 2 xxgxxf

,1,0

,,0

gf

gf

HH

DD

11)(

1))(()(2

2

xx

xfxfg

,1

,0

fg

fg

H

D

Vlastnosti funkcí

)())(()( xfxfx f DDefinice 16. Nechť funkce f s definičním oborem Df má následující vlastnost:

Takovou funkci nazýváme lichá. Funkci nazveme sudá, platí-li pro ni

)())(()( xfxfx f D

Lichá funkce : f(x) = x3 Sudá funkce : f(x) = x2-1

Vlastnosti funkcí

)())(())(0,( xfpxfxpp f DR

Definice 17. Nechť funkce f s definičním oborem Df má následující vlastnost:

Takovou funkci nazýváme periodická. Číslo p nazýváme perioda funkce f. Pokud je v množině všech čísel p, která vyhovují definici, nejmenší prvek, nazýváme jej základní perioda funkce f.

Periodická funkce : f(x) = x-[x]

p je libovolné číslo z N, základní perioda je 1

Periodická funkce : f(x) = sin(x)

p je libovolný celý násobek 2π, základní perioda je 2π

-π-2π π 2π

-1

1

Vlastnosti funkcí

)())(( xfdxd MR

Definice 18.Nechť f je daná funkce, M podmnožina Df . Funkce se nazývá zdola omezená na množině M, platí-li

Funkci nazveme shora omezená, platí-li

dxfxd )())(( MR

Funkce omezená shora i zdola

-2π-4π 2π 4π

Funkce omezená zdolaFunkce omezená shora

fDM fDM fDM

Vlastnosti funkcí

f(x) = x2-1 omezená zdola na M = Df f(x) = x2-1 omezená shora na M = < -1,+1 >

-1 -1 +1+1

f(x) = x2-1 omezená shora na M = < -2,+2 >

-1 +1

Vlastnosti funkcí

f(x) = 1/x omezená zdola na M = (0,+∞)

+1

+1

f(x) = 1/x omezená shora na M = (+∞,0)

+1

+1

f(-x) = 1/x není omezená zdola ani shora na žádné množině, která obsahuje nulu!+1

+1

Vlastnosti funkcí

)()()( afxfx M

Definice 18.Nechť f je daná funkce, M podmnožina Df . Říkáme, že funkce má na množině M v bodě a M maximum, platí li

)()()( afxfx M

Funkce má na množině M v bodě a M minimum, platí li

f(x) = x2-1 má minimum v a = 0 na M = Df f(x) = -x2+5x-1 má maximum v a = 2.5 M = Df

2

4

1

1 2 3

1-1

-1

Vlastnosti funkcí

max

min

max

min

max

min

min

max

Vlastnosti funkcí

Definice 19.Nechť f je daná funkce s definičním oborem Df . Říkáme, že funkce má v bodě a lokální maximum (resp. lokální minimum), existuje-li množina tak, že funkce f má v bodě a na množině M maximum (resp. minimum).

flk DM ,

max

max

max

max

max max

min

min

min

min

min

Vlastnosti funkcí

Definice 20.Nechť f je daná funkce, M podmnožina Df . Říkáme, že funkce je na množině M rostoucí, (respektive klesající, ostře rostoucí, ostře klesající ), platí li

)()(),,( 212121 xfxfxxxx Mrespektive f(x1) ≥ f(x2), f(x1) < f(x2), f(x1) > f(x2) .

ostře rostoucí

rostoucí

klesající

ostře klesající

Vlastnosti funkcí

Definice 4.Nechť f je daná funkce s definičním oborem Df . Říkáme, že funkce je prostá, platí li

)()()(),( 212121 xxxxxx fff D

prostá funkce

fD

fH

NE – prostá funkce

Vlastnosti funkcí

Definice 21.Buď f je prostá funkce, Df a Hf její definiční obor a obor hodnot. Funkci

)(),(: 11 xfyxyff ff DH

nazveme funkcí inverzní k f .

fH

fD

1fD

1fH

prohodit osy

1fD

1fH

Vlastnosti funkcí

Graf inverzní funkce je s grafem původní funkce symetrický podle

osy kvadrantů 1 a 3.

Funkce inverzní (k funkci prosté) je prostá.

Inverzní funkci k ne-prosté funkci lze utvořit pouze na

vybrané podmnožině definičního oboru, na kterém prostá je.

Funkci inverzní z funkčního předpisu vytvoříme tak, že

vyjádříme x pomocí y a pak obě písmena zaměníme.

Vlastnosti funkcí

2

1

2

1)(

2

1

2

1

2:21

112

12)(

1

xxf

yx

xy

xy

xxf

1

1

y =

2x +

1

-1

-1

y = ½x + ½

Posuny grafů funkcí

y

x

xfy

y0

y0

y0

Graf funkce lze snadno posunout podél osy y o libovolnou hodnotu y0 změ-nou funkčního předpisu z

na

0y xfy

Posuny grafů funkcí

y

x

xfy

Graf funkce lze snadno posunout podél osy x o libovolnou hodnotu x0 změ-nou funkčního předpisu z

na

0x-xfy x0

x0x0

Posuny grafů funkcí

y

x

xfy

Graf funkce lze snadno převrátit podél osy x změ-nou funkčního předpisu z

na

xfy

Posuny grafů funkcí

y

x

xfy

Graf funkce lze snadno převrátit podél osy y změ-nou funkčního předpisu z

na

x-fy

Pozn.: na sudou funkci tato operace nebude mít vliv.

Shrnutí

• Funkce je zobrazení z jedné číselné množiny do druhé

• Funkci určuje Df a přiřazení (funkční předpis)

• Některé funkce lze zaznamenat do grafu

• Funkce lze sčítat, odčítat, násobit, dělit a skládat

• Definujeme funkci sudou a lichou

• Definujeme funkci periodickou

• Definujeme funkci (shora, zdola) omezenou

• Na funkcích jsou definována (lokální) extrémy – (lokální) minima a maxima

• Definujeme funkce (ostře) monotónní – (ostře) klesající nebo rostoucí

• Definujeme funkci inverzní

• Graf funkce lze snadno posunout či převrátit