Furijeovi redovi

Kao xto smo videli, prostori funkcija koje prouqavamo su qesto ve-ktorski prostori. Prirodno se name�e pitaƬe egzistencije baze iprikazivaƬa vektora u toj bazi. Me�utim, prostori funkcija kojinam se pojavƩuju su obiqno beskonaqno dimenzioni, pa treba bitioprezniji prilikom rexavaƬa prethodnih pitaƬa.

1. Unitarni prostori

Definicija 1. Neka je X vektorski prostor nad poƩem skalara C.PreslikavaƬe 〈·, ·〉 : X × X → C sa osobinama:

(1) 〈λx + µy, z〉 = λ〈x, z〉 + µ〈y, z〉 za sve λ, µ ∈ C i x, y, z ∈ X,(2) 〈x, y〉 = 〈y, x〉 za sve x, y ∈ X,(3) 〈x, x〉 > 0 za svako x ∈ X i pritom se jednakost dostiжe ako i

samo ako je x = 0,se naziva skalarnim proizvodom, a prostor X na kojem postoji

skalarni proizvod se naziva unitarnim prostorom.

Iz definicije neposredno sledi da je 〈0, x〉 = 0 i 〈x, 0〉 = 0 za svakox ∈ X, kao i antilinearnost po drugoj promenƩivoj, 〈z, λx + µy〉 =λ〈x, z〉+µ〈y, z〉 za sve λ, µ ∈ C i x, y, z ∈ X. Tako�e, ispostavi�e se (lema1) da je izraz ‖x‖ =

È〈x, x〉 je norma na X. Ukoliko je X kompletan

u odnosu na metriku indukovanu ovom normom, kaжemo da je X (sauoqenim skalarnim proizvodom) Hilbertov prostor. U ovom delu,ako nije drugaqije naglaxeno, podrazumeva�emo da su 〈·, ·〉 skalarniproizvod u uoqenom unitarnom prostoru, a ‖ · ‖ norma indukovana timskalarnim proizvodom.

Definicija 2. Neka je X unitaran prostor. kaжemo da je vektor xortogonalan (normalan) na y, u oznaci x ⊥ y, ako i samo ako vaжi〈x, y〉 = 0.

Neposredno iz definicije sledi da je ortogonalnost u unitarnimprostorima simetriqna, tj. vaжi x ⊥ y ako i samo ako je y ⊥ x, pa seqesto govori i da su x i y me�usobno normalni. Tako�e, sledi da jex⊥ = {y | 〈y, x〉 = 0} vektorski potprostor prostora X. Pritom, vaжix⊥ = X ako i samo ako je x = 0 (jasno je da je 0⊥ = X, a kako za x 6= 0sledi x 6∈ x⊥, sledi da za takvo x ne moжe biti x⊥ = X).

Lema 1. U unitarnom prostoru X vaжi:(a) ‖x + y‖2 = ‖x‖2 + 2 Re〈x, y〉 + ‖y‖2 za svako x, y ∈ X.

(b) |〈x, y〉| 6 ‖x‖ · ‖y‖ za svako x, y ∈ X (nejednakost Koxi–Xvarc–BuƬakovskog). Pritom, jednakost vaжi ako i samo ako su x i y linea-rno zavisni.

(v) ‖ · ‖ je norma na X.(g) Ako xn, x, y ∈ X za n ∈ N i vaжi ‖xn − x‖ → 0 kad n → ∞, onda

〈xn, y〉 → 〈x, y〉 i 〈y, xn〉 → 〈y, x〉 kad n → ∞.(d) Ako je n > 2 i x1, . . . , xn ∈ X takvi da je xi ⊥ xj za xi 6= xj , onda

je ‖x1 + . . . + xn‖2 = ‖x1‖2 + . . . + ‖xn‖2 (Pitagorina teorema).

Dokaz. (a) Za svako x, y ∈ X vaжi ‖x + y‖2 = 〈x, x〉 + 〈x, y〉 + 〈y, x〉 +〈y, y〉 = ‖x‖2 + 〈x, y〉 + 〈x, y〉 + ‖y‖2 = ‖x‖2 + 2 Re〈x, y〉 + ‖y‖2.

(b) Za sve x, y ∈ X i λ ∈ C vaжi 0 6 ‖x + λy‖2 = ‖x‖2 + 2 Reλ〈x, y〉 +|λ|2‖y‖2. Ako je y = 0, nejednakost (zapravo i jednakost) trivijalnovaжi za svako x ∈ X, a ako je y 6= 0, zamenom λ = − 〈x,y〉‖y‖2 dobija se0 6 ‖x‖2− 2|〈x,y〉|

2

‖y‖2 +|〈x,y〉|2‖y‖4 · ‖y‖2, odnosno

|〈x,y〉|2‖y‖2 6 ‖x‖2, odakle direktno

sledi ostatak tvr�eƬa.(v) Vaжi ‖λx‖2 = 〈λx, λx〉 = λλ〈x, x〉 = |λ|2 · ‖x‖2 za svako λ ∈ C

i x ∈ X. Tako�e, vaжi ‖x‖ = 0 ako i samo ako je 〈x, x〉 = 0, xtoje taqno ako i samo ako je x = 0. Za x, y ∈ X, po delovima (a) i(b), vaжi ‖x + y‖2 = ‖x‖2 + 2 Re〈x, y〉 + ‖y‖2 6 ‖x‖2 + 2 · |〈x, y〉| + ‖y‖2 6‖x‖2 + 2 · ‖x‖ · ‖y‖ + ‖y‖2 = (‖x‖ + ‖y‖)2, odakle sledi i nejednakosttrougla.

(g) Kako je |〈xn, y〉−〈x, y〉| = |〈xn−x, y〉| 6 ‖xn−x‖·‖y‖ → 0 kad n → ∞,sledi prvo tvr�eƬe, a analogno sledi i drugo tvr�eƬe.

(d) Ako je x1 ⊥ x2, iz dela (a) sledi ‖x1 +x2‖ = ‖x1‖2 +2 Re〈x1, x2〉+‖x2‖2 = ‖x1‖2+‖x2‖2. Ako je x1 ⊥ xi za 2 6 i 6 n, sledi x1 ⊥ x2 + . . .+xn,pa je ‖x1 + x2 + . . . + xn‖2 = ‖x1‖2 + ‖x2 + . . . + xn‖2, pa tvr�eƬe dela (d)sledi indukcijom.

Primer 1. Po nejednakosti Koxi–Xvarc–BuƬakovskog, ako su f ig kvadratno integrabilne funkcije na [a, b], vaжi

��R ba f(x)g(x)dx

�� 6ÈR ba |f(x)|2dx ·

ÈR ba |g(x)|2dx, tj. konvergentan je

R ba f(x)g(x)dx. Ovaj

integral oqigledno zadovoƩava osobine (1) i (2) skalarnog proizvoda,

me�utim, ne mora biti zadovoƩna osobina (3), poxto izR b

a |f(x)|2dx = 0ne sledi da je f(x) = 0 za svako x ∈ [a, b] (na primer, ako je f(x) funkcijakoja je jednaka 0, sem u konaqno mnogo taqaka). Ako je f ∼ g ako i samoako je

R ba |f(x) − g(x)|2dx = 0, lako se vidi da je ∼ relacija ekviva-

lencije na skupu R2[a, b] svih kvadratno integrabilnih funkcija na[a, b]. Na skupu R2[a, b] /∼ klasa ekvivalencije pomenute relacije, akosu [f ] i [g] dve klase i f0 ∈ [f ], g0 ∈ [g], lako je proveriti da je sa〈[f ], [g]〉 =

R ba f0(x)g0(x)dx definisan skalarni proizvod (i Ƭegova vre-

dnost ne zavisi od izbora predstavnika klase), pa je R2[a, b] /∼ sa timskalarnim proizvodom unitarni prostor.

Primer 2. Za funkciju f kaжemo da je deo po deo neprekidna na[a, b] ako je neprekidna, sem eventualno u konaqno mnogo unutraxƬih

2

taqaka intervala [a, b], a u tim taqkama postoje leva i desna graniqnavrednost funkcije. Neka je H prostor takvih funkcija, sa osobi-nom da za svaku taqku y ∈ (a, b) prekida funkcije f ∈ H vaжi f(y) =

limx→y−

f(x)+ limx→y+

f(x)

2 . Lako se vidi da je H vektorski prostor. Za f, g ∈ Hizraz

R ba f(x)g(x)dx je skalarni proizvod (osobine (1) i (2) skalarnog

proizvoda slede kao i u prethodnom primeru; ako jeR b

a |f(x)|2dx = 0,sledi da je f ≡ 0 na intervalima na kojima je neprekidna, a po defini-ciji funkcija iz H, onda mora biti jednaka 0+02 = 0 i u taqkamaprekida, pa je identiqki jednaka 0 na celom [a, b], tj. ispuƬena je iosobina (3) skalarnog proizvoda).

Definicija 3. Niz (en)n∈N vektora iz X, tako da za sve i 6= j vaжi〈ei, ej〉 = 0, a za svako i ∈ N vaжi 〈ei, ei〉 = 1 se naziva ortonormiraniniz (sistem).

Lema 2. Ako je X unitaran prostor, (en)n∈N ortonormiran niz eleme-nata iz X.

(a) Za svako x ∈ X vaжi ‖x‖2 = ‖x −nP

k=1

〈x, ek〉ek‖2 +nP

k=1

|〈x, ek〉|2.

(b) Za svako x ∈ X je∞P

n=1

|〈x, ek〉|2 6 ‖x‖2 (Beselova nejednakost).

(v) Za svako x ∈ X red∞P

n=1

|〈x, ek〉|2 konvergira, a 〈x, en〉 → 0 kadn → ∞.

(g) Za svako x ∈ X, svaki kompleksan niz (an)n∈N i svako n ∈ N vaжi‖x −

nPk=1

〈x, ek〉ek‖ 6 ‖x −nP

k=1

akek‖.

Dokaz. Kako je¬x −

nPk=1

〈x, ek〉ek, ek¶

= 〈x, ek〉 − 〈x, ek〉〈ek, ek〉 = 0 za

1 6 k 6 n, po Pitagorinoj teoremi sledi ‖x‖2 = ‖x −nP

k=1

〈x, ek〉ek‖2 +nP

k=1

|〈x, ek〉|2, xto je tvr�eƬe dela (a). Iz dobijene veze, kako je

‖x −nP

k=1

〈x, ek〉ek‖2 > 0, sledi (b), xto povlaqi i (v) (dobijena konve-rgencija reda povlaqi da Ƭegov opxti qlan teжi ka 0). Iz uoqene

ortogonalnosti, sledi i

x − nP

k=1

akek

2 =

x − nP

k=1

〈x, ek〉ek−

nPk=1

(ak −

〈x, ek〉)ek

2 =

x − nP

k=1

〈x, ek〉ek

2 + nP

k=1

��ak − 〈x, ek〉��2 >

x − nPk=1

〈x, ek〉ek

2,

a pritom se jednakost dostiжe ako i samo ako je ak = 〈x, ek〉 za svako1 6 i 6 n.

Prethodna lema govori da je najboƩa aproksimacija elementa xkonaqnim linearnim kombinacijama ako uz en uzmemo 〈x, en〉. Ova vre-dnost se zove Furijeov koeficijent (koji odgovara vektoru en).

3

Kao xto razmatramo ortonormiran niz, mogli smo razmatrati iortonormiran sistem (eα)α∈A i aproksimiraƬe konaqnim linearnimkombinacijama elemenata iz uoqene familije. Me�utim, kao u dokazuBeselove nejednakosti, tada bi vaжilo da je

Pα∈B

|〈x, eα〉|2 6 ‖x‖2, za

svaki konaqan B ⊂ A. Sledi da je skup En = {α ∈ A | |〈x, eα〉| > 1n}konaqan, pa je skup {α ∈ A | 〈x, eα〉 6= 0} =

∞∪

n=1En najvixe prebrojiv, pa

je prilikom razlagaƬa elementa x suma korektno definisana.Da ne bi imali tih problema, na daƩe �emo posmatrati samo se-

parabilne prostore. Ako e1, . . . , en qine ortonormirane vektore, onisu i linearno nezavisni (zaista, ako je λe1 + . . . + λnen = 0, skalarnimmnoжeƬem sa ei dobija se λi = 0). U ovom sluqaju, ukoliko je pro-stor konaqno dimenzionalan, dobi�e se konaqna baza, a ukoliko jebeskonaqno dimenziona, prebrojiva baza, pa je dovoƩno xto smo po-smatrali ortonormiran niz.

Teorema 1. Neka je X unitaran prostor i (en)n∈N ortonormiran nizu Ƭemu.

(a) Slede�i uslovi su ekvivalentni:

(1) Skup� nP

k=1

λiei | n ∈ N ∧ λi ∈ C za 1 6 i 6 n©

je gust u X (u

metriciindukovanoj skalarnim proizvodom).

(2) Za svako x ∈ X vaжi ‖x −nP

k=1

〈x, ek〉ek‖ → 0 kad n → ∞.

(3) Za svako x ∈ X vaжi ‖x‖2 =∞P

n=1

|〈x, en〉|2 (Parsevalova jedna-kost).

(4) Za sve x, y ∈ X vaжinP

k=1

〈x, ek〉〈ek, y〉 =¬ nP

k=1

〈x, ek〉ek, y¶→ 〈x, y〉

kadn → ∞.

(b) Ako je X Hilbertov, onda su prethodni uslovi ekvivalentnisa:

(5) ako za x ∈ X vaжi 〈x, en〉 = 0 za svako n ∈ N, onda je x = 0.

Dokaz. (1) ⇔ (2). Po delu (d) prethodne leme, ako je ‖x−nP

k=1

λkek‖ <

ε, onda je ‖x −nP

k=1

〈x, ek〉ek‖ 6 ‖x −nP

k=1

λkek‖ < ε, pa ako neka linearnakombinacija aproksimira x do na neku taqnost, onda to radi i kombi-nacija u kojoj uqestvuju Furijeovi koeficijenti. Obrnuto je trivi-jalno, poxto je kombinacija u kojoj uqestvuju Furijeovi koeficijentii linearna kombinacija.

(2) ⇔ (3). Po delu (a) prethodne leme je ‖x‖2 −nP

k=1

|〈x, ek〉|2 = ‖x −

4

nPk=1

〈x, ek〉ek‖2, odakle direktno sledi ova ekvivalencija.

(2) ⇒ (4). Ova implikacija sledi iz neprekidnosti skalarnogproizvoda (deo (g) leme 1).

(4) ⇒ (3). Za x = y sledinP

k=1

|〈x, ek〉|2 =¬ nP

k=1

〈x, ek〉ek, x¶→ 〈x, x〉 =

‖x‖2 kad n → ∞.(2) ⇒ (5). Ako je 〈x, ek〉 = 0 za svako k ∈ N, po (2) sledi ‖x‖ → 0 kad

n → ∞, pa je ‖x‖ = 0, odnosno x = 0.(5) ⇒ (2). Ako je x ∈ X, red

∞Pn=1

|〈x, en〉|2 je konvergentan, pa za svako

ε > 0 postoji n0, tako da za n > n0 i k ∈ N vaжin+kPi=n

|〈x, ei〉|2 < ε. Kako

je¬n+kP

i=n

〈x, ei〉ei,n+kPi=n

〈x, ei〉ei¶

=n+kPi=n

|〈x, ei〉|2 < ε za n > n0 i k ∈ N i kako je

X kompletan, po Koxijevom kriterijumu sledi da je∞P

n=1

〈x, en〉en konve-

rgentan u X. Ako je y = x−∞P

n=1

〈x, en〉en, zbog neprekidnosti skalarnog

proizvoda sledi 〈y, em〉 = 〈x, em〉−∞P

n=1

〈x, en〉 · 〈en, em〉 = 〈x, em〉−〈x, em〉 =0, pa je y = 0, odnosno sledi (2).

Osobina (1) dela (a) prethodne teoreme se naziva zatvorenox�uortonormiranog sistema (en)n∈N, a osobina (5) potpunox�u ortono-rmiranog sistema. Primetimo da smo kompletnost u prethodnomdokazu koristili samo u smeru (5) ⇒ (2), tj. svaki zatvoren sistemje i potpun, a obrnuto je taqno u kompletnim prostorima. Direktnaposledica potpunosti ortonormiranog sistema je da su dva elementaiz X jednaka ako i samo ako su im jednaki svi Furijeovi koeficijenti.

2. Trigonometrijski redovi

U ovom delu posmatra�emo 2π periodiqne funkcije na R (pritom 2πne mora biti osnovni period). Vrednosti takve funkcije na celomR su jednoznaqno odre�ene ako znamo Ƭene vrednosti na nekom inte-rvalu duжine 2π, pa �emo se od sada ograniqiti na interval [−π, π].Osnovne trigonometrijske funkcije koje su 2π periodiqne su cosnxza n ∈ N0 i sin nx za n ∈ N (za n = 0 funkcija cosnx je zapravofunkcija koja je identiqki jednaka 1), pa je 2π periodiqna i bilokoja konaqna linearna kombinacija ovakvih funkcija, a kandidat zatakvu funkciju, ako ima smisla, je i beskonaqna linearna kombinacijatakvih funkcija. Jedan od glavnih zadataka ovog dela je opis ,,svih”2π periodiqnih funkcija.

5

Lema 3. Vaжi:(a)

R π−π 1 · cosnxdx = 0,

R π−π 1 · sin nxdx = 0,

R π−π 1 · 1 dx = 2π, za svako

n ∈ N.(b)

R π−π cosmx · sinnxdx = 0, za svako m, n ∈ N.

(v)R π−π cosmx · cosnxdx = 0,

R π−π sinmx · sin nxdx = 0, za sve m, n ∈ N,

takve da je m 6= n.(g)

R π−π cos

2 nxdx = π,R π−π sin

2 nxdx = π, za svako n ∈ N.

Dokaz. Sve navedene funkcije su neprekidne, pa su i integrabilnena [−π, π].

(a) VaжiR π−π cosnxdx =

sin nx

n

��π−π = 0, kako je sin nx neparna

(a integracija je po intervalu simetriqnom u odnosu na 0), slediR π−π sinnxdx = 0, za svako n ∈ N, a vaжi i

R π−π 1 dx = 2π.

(b) VaжiR π−π cosmx · sin nxdx

R π−π

sin(m+n)x+sin(n−m)x2 dx = 0, jer su

sin(m + n)x i sin(n − m)x neparne funkcije.(v) Vaжi

R π−π cosmx · cosnxdx =

R π−π

cos(m+n)x+cos(m−n)x2 dx =

12 ·

sin(m+n)xm+n +

sin(n−m)xn−m

��π−π = 0 za svako m 6= n, m, n ∈ N (primetimo

da za ovakve m i n u prethodnom izrazu ne dolazi do deƩeƬa sa 0).

(g) VaжiR π−π cos

2 nxdx =R π−π

1+cos 2nx2 dx =

12 ·

x + sin 2nx2n

��π−π = π iR π

−π sin2 nxdx =

R π−π

1−cos 2nx2 dx =

12 ·

x − sin 2nx2n

��π−π = π za n ∈ N.

Primetimo da su funkcije iz prethodne leme i deo po deo nepre-kidne (zapravo neprekidne na celom R) i kvadratno integrabilne na[−π, π] (pripadaju prostoru H za [a, b] = [0, 2π] iz primera 2; ako zatakve funkcije jox nametnemo da postoje lim

x→−π+f(x), lim

x→π−f(x), da je

f(π) =lim

x→−π+

f(x)+ limx→π−

f(x)

2 i da su 2π periodiqne, taj prostor �emo

nazivati ÜC(−π, π)), pa ovaj prostor moжemo posmatrati i kao uni-tarni prostor, sa skalarnim proizvodom 〈f, g〉 = 1

π·R π−π f(x)g(x)dx

(a ako budemo radili sa realno vrednosnim funkcijama, posledƬikonjugat �e biti ,,vixak”). Uoqimo i potprostor ovog prostora,funkcije koje su deo po deo neprekidno diferencijabilne, a u taqkamaprekida izvoda postoje levi i desni izvod (ako je x taqka prekida

izvoda, postoje f ′−(x) = limt→0−

f(x+t)−f(x)t

i f ′+(x) = limt→0+

f(x+t)−f(x)t

). Taj

prostor oznaqimo sa ÜC(1)(−π, π).Na osnovu prethodne leme sledi da je skup

�1√2

©∪�cosnx, sin nx |

n ∈ N©

ortonormiran sistem. Specijalno, ako funkcija f(x) =

a02 +

∞Pn=1

(an cosnx + bn sin nx) =a0√

2· 1√

2+

∞Pn=1

(an cosnx + bn sin nx) pri-

pada ÜC(−π, π), sledi da su Ƭeni Furijeovi koeficijenti 〈f, 1√2〉 =

1√2· 1

π·R π−π f(x)dx, 〈f, cosnx〉 = 1π ·

R π−π f(x) cos nxdx i 〈f, sin nx〉 = 1π ·

6

R π−π f(x) sin nxdx, odnosno vaжi

a0 =1

π·Z π−π

f(x) dx, an =1

π·Z π−π

f(x) cosnxdx, bn =1

π·Z π−π

f(x) sin nxdx,

za n ∈ N (sad vidimo razlog deƩeƬa faktora a0 sa 2 u polaznom redu,da ne bi imali formulu za a0 bitno razliqitu od formula za ostalekoeficijente; ako primetimo da je cos 0x = 1 za svako x ∈ R, moжemoformule za a0 i an, n ∈ N, pamtiti kao jednu formulu).

Ukoliko primenimo zakƩuqke prethodnog dela, izme�u ostalogmoжemo zakƩuqiti da vaжi an → 0 i bn → 0 kad n → ∞ za funkcijeiz ÜC(−π, π). Me�utim, izrazi kojim su definisani (an)n∈N0 i (bn)n∈Nsu definisani i za xiru klasu funkcija, za apsolutno integrabilnefunkcije na [−π, π].

Definicija 4. Ako je f : R → R 2π periodiqna i apsolutno inte-grabilna funkcija na [−π, π], Ƭoj pridruжujemo Ƭen Furijeov red, uoznaci f(x) ∼ a02 +

∞Pn=1

(an cosnx + bn sin nx), gde je

an =1

π·Z π−π

f(x) cos nxdx, za n ∈ N0, bn =1

π·Z π−π

f(x) sin nxdx, za n ∈ N.

Izraz Sn(f ; x) =a02 +

nPk=1

(ak cos kx + bk sin kx) nazivamo n–tom parcija-

lnom sumom Furijeovog reda funkcije f . Qlanove nizova (an)n∈N0 i(bn)n∈N nazivamo Furijeovim koeficijentima i u ovom sluqaju.

Lema 4 (Dirihleovo jezgro). Neka je f : R → R 2π periodiqna iapsolutno integrabilna funkcija na [−π, π] i

Dn(x) =

( sin(n + 12 )xsin x2

, za x ∈ [−π, 0)∪ (0, π]2n + 1, za x = 0

.

.(a) Za svako n ∈ N vaжi Sn(f ; x) = 12π ·

R π−π f(t)Dn(x − t)dt = 12π ·R π

−π f(x − t)Dn(t)dt.(b) Funkcija Dn je neprekidna i vaжi

12π ·

R π−π Dn(x)dx = 1 i

12π ·R π

0 Dn(x)dx =12 za svako n ∈ N.

Dokaz. Kako je Sn(f ; x) =a02 +

nPk=1

(ak cos kx+bk sin kx) =12 · 1π ·

R π−π f(t)dt+

nPk=1

cos kx · 1

π·R π−π f(t) cos ktdt+sinkx · 1π ·

R π−π f(t) sin ktdt

= 12π ·

R π−π f(t)

1+

2nP

k=1

(cos kx cos kt + sin kx sin kt)dt = 12π ·

R π−π f(t)

1 + 2

nPk=1

cos k(x − t)dt,

7

sledi Dn(x) = 1 + 2nP

k=1

cos kx. Vaжi Dn(0) = 2n + 1, a za x ∈ [−π, π] \ {0}

vaжi Dn(x) =1

sin x2

·sin x2 +

nPk=1

sin(k + 12 )x − sin(k + 12 )x

=

sin(n+ 12)x

sin x2

.

Smenom y = x− t i kako su f i Dn 2π periodiqne funkcije, za svakox ∈ R i svako n ∈ N sledi 12π ·

R π−π f(t)Dn(x − t)dt = 12π ·

R π+x−π+x f(x −

y)Dn(y)dy =12π ·

R π−π f(x − y)Dn(y)dy.

Kako je Dn(x) = 1 + 2nP

k=1

cos kx, sledi da je Dn neprekidna i parna,

pa lako slede tvr�eƬa dela (b).

Na osnovu Xtolcove teoreme, ako postoji limn→∞

zn, onda postoji i

limn→∞

z1+...+znn

= limn→∞

zn, me�utim, ne mora vaжiti obrnuto (moжe po-

stojati drugi navedeni limes i kada ne postoji prvi; na primer, ako

je zn =n

1, za n neparno0, za n parno

), pa ovaj postupak moжemo shvatiti kao

,,popravƩaƬe konvergencije”. Ono �e nam biti potrebno u kasnijemradu (videti teoremu 7).

Definicija 5. Neka je f : R → R 2π periodiqna i apsolutno inte-grabilna funkcija na [−π, π]. Izraz Cn(f ; x) = 1n ·

n−1Pk=0

Sk(f ; x) nazivamo

n–tom �ezarovom parcijalnom sumom Furijeovog reda funkcije f .

Lema 5 (Fejerovo jezgro). Neka je f : R → R 2π periodiqna i apso-lutno integrabilna funkcija na [−π, π] i

Fn(x) =

( 1n· sin

2 nx2

sin2 x2, za x ∈ [−π, 0)∪ (0, π]

n, za x = 0

.

.(a) Za svako n ∈ N vaжi Cn(f ; x) = 12π ·

R π−π f(t)Fn(x − t)dt = 12π ·R π

−π f(x − t)Fn(t)dt.(b) Funkcija Fn je neprekidna i vaжi

12π ·

R π−π Fn(x)dx = 1 i

12π ·R π

0 Fn(x)dx =12 za svako n ∈ N.

(v) Vaжi Fn(x) > 0 za svako x ∈ R i svako n ∈ N.(g) Za svako δ ∈ (0, π) vaжi lim

n→∞

R δ−π |Fn(x)|dx +

R πδ |Fn(x)|dx

= 0.

Dokaz. Kako je Cn(f ; x) =1n·n−1Pk=0

Sk(f ; x) i kako je integral linearan,

sledi da je Fn(x) =1n·n−1Pk=0

Dk(x). Za x = 0, sledi Dn(0) =n−1Pk=0

(2k+1) = n2,

a za x ∈ [−π, 0)∪ (0, π] sledi Fn(x) = 1n · 12 sin2 x2

·n−1Pk=0

2 sin(k + 12 )x sinx2 =

1n· 1

2 sin2 x2

·n−1Pk=0

cos kx − cos(k + 1)x

= 1

n· 1

2 sin2 x2

· (1 − cosnx) = 1n· sin

2 nx2

sin2 x2

.

8

Odavde neposredno slede delovi (a) i (v), a koriste�i osobineDirihleovog jezgra sledi i deo (b).

Za 0 < δ 6 |x| 6 π vaжi |Fn(x)| = Fn(x) =�� 12π · 1n ·

sin2 xn2

sin2 x2

�� 6 1n· 1

2π sin2 δ2

,

pa jeR δ

−π |Fn(x)|dx +R π

δ |Fn(x)|dx

= 2R πδ Fn(x)dx 6

1n· 1

π sin2 δ2

→ 0 kadn → ∞, xto je deo (g).

Zbir integrala koji se javƩa u delu (g) prethodne leme �emo odsada qesto oznaqavati sa

Rδ6|x|6π |Fn(x)|dx (i u situacijama u kojima

bude druga podinegralna funkcija).

Na daƩe �emo smatrati da su Dirihleovo i Fejerovo jezgro dateformulama koje vaжe na [−π, π]\{0}, a da se u 0 produжuju po nepreki-dnosti. Vidimo da ova jezgra imaju dosta sliqnih osobina, ali bitnarazlika je pozitivnost Fejerovog jezgra, iz koje sledi, na primer, daR π−π |Fn(x)|dx postoji (zapravo, posledƬi integral je jednak 2π), dok to

nije taqno zaR π−π |Dn(x)|dx (moжe se pokazati da ovaj integral dive-

rgira).

Lema 6 (Riman–Lebegova lema). Ako je f apsolutno integrabilnafunkcija na [a, b] i [c, d] ⊆ [a, b]. Onda vaжi

limλ→∞

Z dc

f(x) sin λxdx = 0 i limλ→∞

Z dc

f(x) cosλxdx = 0.

Dokaz. Na kompaktu [a, b] funkcija f moжe imati konaqno mnogosingularnih taqaka, s1 < s2 < . . . < sn, pa za svako ε > 0 posto-

ji δ, tako da vaжinP

k=1

��R sk+δsk−δ f(x) sin λxdx

�� < ε (pre toga f dodefini-xemo na [a − δ, a) i (b, b + δ] da je identiqki jednaka 0 ukoliko je

s1 = a ili sn = b). Ako je g(x) =

§0, za x ∈

n∪

k=1(ck − δ, ck + δ)

f(x), inaqe,

vaжi��R d

c f(x) sin λxdx�� 6 ��R dc g(x) sin λxdx�� + ε za svaki [c, d] ⊆ [a, b] i

funkcija g nema singulariteta. Sledi da za svako ε > 0 posto-ji δ1, tako da za svaku podelu c = x0 < x1 < . . . < xn = d inte-rvala [c, d] parametra maƬeg od δ1, postoje m1, . . . , mn tako da je��R d

c

g(x) −

nPk=1

mkχ[xk−1,xk](x)

sin λxdx�� < ε (gde je χ[xk−1,xk] karakteri-

stiqna funkcija intervala [xk−1, xk]; pritom, ako je M = supx∈[a,b]

|g(x)|,

vaжi |mk| 6 M za svako 1 6 k 6 n). Kako je��R d

c g(x) sin λxdx�� 6��R d

c

g(x) −

nPk=1

mkχ[xk−1,xk](x)

sin λxdx��+ ��R dc nP

k=1

mkχ[xk−1,xk](x) sin λxdx�� <

ε +�� nPk=1

mkR xk

xk−1sinλxdx

�� 6 ε + M · nPk=1

��R xkxk−1

sinλxdx��, dovoƩno je jox

procenitiR xk

xk−1sin λxdx.

9

Me�utim, za λ > 0 vaжiR xk

xk−1sin λxdx =

h− cos λx

λ

i���xkxk−1

= cos λx0−cos λx1λ

,

pa je��R xk

xk−1sin λxdx

�� 6 2λ

. Konaqno, sledi��R d

c f(x) sin λxdx�� 6 2ε + 2nM

λ.

Ako su za proizvoƩno ε > 0 izabrani δ i δ1 kako je opisano gore, δ1odre�uje n, pa za te δ, δ1, n posledƬi izraz teжi ka 2ε kad λ → ∞, pakako je ε proizvoƩno, sledi prvo tvr�eƬe leme.

Dokaz drugog tvr�eƬa (za kosinusnu funkciju) je analogan.

Kao trivijalna posledica Riman–Lebegove leme (ako se uzme di-skretna graniqna vrednost, n → ∞), sledi da i Furijeovi koefi-cijenti apsolutno integrabilne funkcije na [−π, π] teжe ka 0 kadn → ∞. Tako�e, kako je cos(λx + µ) = cosλx cos µ − sin λx sin µ, izleme neposredno sledi da za apsolutno integrabilnu funkciju f vaжi

limλ→∞

R dc f(x) cos(λx + µ)dx = 0 za svaki [c, d] ⊆ [a, b] i svako µ ∈ R, a

analogno je i limλ→∞

R dc f(x) sin(λx + µ)dx = 0. Tako�e, ako je f apsolutno

integrabilna na [a,∞) ili (−∞,∞) tvr�eƬe leme se direktno prenosii na ove situacije.

Primer 3. VaжiR∞−∞ sinx

2dx =È

π2 i

R∞−∞ cosx

2dx =È

π2 (Frenelovi

integrali) iR∞−∞ sin x

2 cosλxdx =

1

2·Z ∞−∞

sin(x2 + λx) + sin(x2 − λx)

dx

=1

2·Z ∞−∞

sin

��x +

λ

2

�2− λ

2

4

�+ sin

��x − λ

2

�2− λ

2

4

�dx

=1

2·Z ∞−∞

sin

�x +

λ

2

�2cos

λ2

4+ cos

�x +

λ

2

�2sin

λ2

4

+ sin�x − λ

2

�2cos

λ2

4+ cos

�x − λ

2

�2sin

λ2

4

dx.

Smenom t = x + λ2 , odnosno t = x − λ2 , slediR∞−∞ sin(x ± λ2 )2dx =R∞

−∞ cos(x ± λ2 )2dx =È

π2 , pa sledi

R∞−∞ sinx

2 cosλxdx =È

π2 ·

cos λ

2

4 −sin λ

2

4

=

√π · cos λ2+π4 6→ 0 kad λ → ∞. Ovaj primer pokazuje da se

tvr�eƬe prethodne leme ne moжe proxiriti na funkcije koje su inte-grabilne, ali nisu apsolutno integrabilne.

Navedimo i da je mogu�e posmatrati razvoj u trigonometrijskiFurijeov red funkcija i koje imaju druge periode. Ako je funkcija f2T periodiqna, kao i u navedenom sluqaju, dovoƩno ju je posmatratina [−T, T ]. Me�utim, onda �e funkcija f(xT

π) biti 2π periodiqna,

pa se ovaj sluqaj svodi na sluqaj koji prouqavamo. Konkretno, odgo-varaju�i Furijeovi koeficijenti �e biti an =

R T−T f(x) cos

nπxT

dx za

n ∈ N0 i bn =R T−T f(x) sin

nπxT

dx za n ∈ N, a analogno se prenose ipreostale definicije i zakƩuqci. Iz tog razloga �emo se u ostatkuteksta zadrжati samo na sluqaju 2π periodiqnih funkcija.

10

Qest zahtev je da se funkcija f razvije u red u kojem uqestvujusamo sinusne ili samo kosinusne funkcije. Kako su sinusne funkcijeneparne, a kosinusne parne, ako je funkcija definisana na [0, T ], redkoji sadrжi samo sinusne funkcije �e se dobiti razvijaƬem u Furi-jeov red funkcije koja se dobija tako xto se f produжi na [−T, T ] poneparnosti, dok red koji ne sadrжi sinusne funkcije (odnosno sadrжisamo kosunusne i konstantnu funkciju) dobijamo razvijaƬem u Furi-jeov red funkcije koja se dobija tako xto se f produжi na [−T, T ] poparnosti.

3. Funkcije ograniqene varijacije

U ovom delu definisa�emo klasu funkcija koja �e nam trebati udaƩem radu. Me�utim, ona ima mnogo ve�u vaжnost (prirodno jenastala prilikom prouqavaƬa neprekidnih funkcionala na prostoruneprekidnih funkcija). Tako�e, ona je uopxteƬe nizova ograniqenevarijacije u situaciji kada domen funkcije ne mora biti skup N. Ovajdeo se obiqno predaje u okviru Analize 1, ovde ga dajemo zarad potpu-nosti (ili u sluqaju da neko nije sluxao ovaj deo u okviru Analize 1,poxto je bitan za nastavak).

Definicija 6. Neka je f : [a, b] → C. Konaqnoj podeli P inte-rvala, a = x0 < x1 < . . . < xn = b, pridruжimo veliqinu VP (f) =

nPk=1

|f(xi) − f(xi−1)|. Veliqinu V (f ; a, b) = supP∈P

VP (f), gde je P skupsvih konaqnih podela [a, b], nazivamo varijacijom funkcije f na in-tervalu [a, b]. Funkcija f je ograniqene varijacije na [a, b] ako jeV (f ; a, b) < ∞, a prostor svih takvih funkcija oznaqavamo sa BV [a, b].

Za f : R → C varijaciju definixemo sa V (f ; R) = supa,b∈R,a |f(a)− f(b)|, kao i da za monotonu funkcijuvaжi V (f ; a, b) = |f(a) − f(b)|.

Primer 4. Neka je f(x) =n

1, za x = 120, za x ∈ [0, 1] \ { 12}

,

g(x) =n

1, za x ∈ Q0, za x ∈ [0, 1] \ Q i h(x) =

nx sin 1

x, za x ∈ (0, 1]

0, za x = 0.

Kako je |f(x) − f(y)| jednako 0 ako su x, y 6= 12 , odnosno 1 ako je jednaod x i y jednaka 12 , sledi da je V (f ; 0, 1) = 2. Za svako n ∈ N neka su0 = q1 < . . . < qn = 1 racionalni brojevi i qk < ik < rk+1 iracionalnibrojevi (kako su skupovi racionalnih i iracionalnih gusti u [0, 1]),

11

za podelu P generisanoj tim brojevima vaжi VP (g) = 2n. Kako je n ∈ NproizvoƩno, sledi da g nije ograniqene varijacije na [0, 1]. Ako jex0 = 0, xn =

12nπ+ π

2

i yn =1

2nπ za n ∈ N, nizovi (xn)n∈N i (yn)n∈N suopadaju�i i vaжi xk < yk < xk−1 za k > 2, kao i h(xn) =

12nπ+ π

2

i

h(yn) = 0 za n ∈ N, pa podeli x0 < xn < yn < xn−1 < . . . < x1 < y1 < 1odgovara varijacija koja je ve�a od

nPk=1

|h(xk) − h(yk)| =nP

k=1

12kπ+ π

2

, a

kako∞P

n=1

12nπ+ π

2

divergira, sledi da h nije ograniqene varijacije.

Po prethodnom primeru vidimo da je klasa funkcija ograniqenevarijacije neuporediva sa klasom neprekidnih funkcija.

Lema 7. (a) Prostor BV [a, b] je vektorski prostor.(b) Ako je funkcija f : [a, b] → C Lipxicova (tj. ako postoji L ∈ R,

tako da za sve x, y ∈ [a, b] vaжi |f(x)−f(y)| 6 L|x−y|), onda je f ∈ BV [a, b].(v) Ako je f : [a, b] → R neprekidna na [a, b], diferencijabilna na

(a, b) i supx∈(a,b)

|f ′(x)| < ∞, onda je f ∈ BV [a, b].

Dokaz. (a) Ako je f, g ∈ BV [a, b], kako je |(f + g)(x) − (f + g)(y)| =|(f(x)−f(y))+(g(x)−g(y))| 6 |f(x)−f(y)|+|g(x)−g(y)| i |(cf)(x)−(cf)(y)| =|c| · |f(x) − f(y)|, sledi tvr�eƬe (a).

(b) Za podelu P datu sa a = x0 6 x1 6 . . . xn = b vaжi VP (f) =nP

k=1

|f(xi)−f(xi−1)| 6 L·nP

k=1

|xi−xi−1| = L·(b−a), pa je i V (f ; a, b) 6 L·(b−a).(v) Ako je M = sup

x∈(a,b)|f ′(x)|, za svako x, y ∈ [a, b], x 6= y, po

Lagranжevoj teoremi, za neko ξ izme�u x i y vaжi |f(x) − f(y)| =|f ′(ξ)(x − y)| 6 M · |x − y|, pa tvr�eƬe sledi iz dela (b).

Primetimo da iz pokazanog u delu (a) sledi i vixe, da vaжi V (f +g; a, b) 6 V (f ; a, b) + V (g; a, b) i V (cf ; a, b) 6 |c| · V (f ; a, b) za svako c ∈ C.Me�utim, iz V (f ; a, b) = 0 sledi da je f konstantna funkcija. Akoжelimo da varijacija predstavƩa normu, moжemo se ograniqiti dapotprostor prostora BV [a, b], prostor funkcija za koje je f(a) = 0i taj prostor nazivamo normiranim prostorom funkcija ograniqenevarijacije na [a, b], u oznaci NBV [a, b]. Sliqna konstrukcija se moжesprovesti na funkcijama ograniqene varijacije na R (na primer, uzuslov lim

x→−∞f(x) = 0).

Lema 8. Neka je f : [a, b] → C.(a) Ako je P ′ finija podela od podele P (tj. svi qvorovi podele P

su i qvorovi podele P ′), onda je VP (f) 6 VP ′ (f).(b) Ako je [c, d] ⊆ [a, b], onda je V (f ; c, d) 6 V (f ; a, b).(v) Ako je a < c < b, onda je V (f ; a, b) = V (f ; a, c) + V (f ; c, b).

Dokaz. (a) Sledi neposredno iz nejednakosti trougla za apsolutnuvrednost.

12

(b) Za proizvoƩnu podelu P , c = x0 < x1 < . . . < xn = d intervala[c, d] uoqimo podelu P1 intervala [a, b], datu sa a 6 x0 < x1 < . . . <xn 6 b. Oqigledno je VP (f) 6 VP1(f) 6 V (f ; a, b), odakle se prelaskomna supremum po svim podelama intervala [c, d] dobija tvr�eƬe.

(v) Ako je P podela intervala [a, b], a P ′ podela kojoj nastaje od PdodavaƬem taqke c (ukoliko ve� nije u podeli), vaжi VP (f) 6 VP ′(f).Podela P ′ se moжe razdvojiti na dve podele, P1 koja je podela inte-rvala [a, c] i P2 koja je podela intervala [c, b], pa je VP (f) 6 VP ′(f) =VP1(f) + VP2(f) 6 V (f ; a, c)+ V (f ; c, b), odakle se prelaskom na supremumpo svim podelama intervala [a, b] dobija V (f ; a, b) 6 V (f ; a, c)+V (f ; c, b).Sa druge strane, svaka podela P1 intervala [a, c] i podela P2 inte-rvala [c, b] generixe podelu P intervala [a, b] (podela u kojoj uqestvujusve podeone taqke koje uqestvuju u uoqenim podelama), pa je VP1(f) +VP2(f) = VP (f) 6 V (f ; a, b). Prelaskom na supremum po svim podelamaP1 intervala [a, c] i supremum po svim podelama P2 intervala [c, b],dobija se V (f ; a, c) + V (f ; c, b) 6 V (f ; a, b).

Za x ∈ R, neka je x+ = max{x, 0} i x− = −min{x, 0}. Jasno, vaжix = x+ − x− i |x| = x+ + x−.

Definicija 7. Neka je f : [a, b] → R. Za podelu P , datu qvorovimaa = x0 < x1 < . . . < xn = b, neka je V

+P (f) =

nPk=1

(f(xk) − f(xk−1))+ i

V −P (f) =nP

k=1

(f(xk) − f(xk−1))−. Veliqinu V +(f ; a, b) = supP∈P

V +P (f), gde je

P skup svih konaqnih podela [a, b], nazivamo pozitivnom varijacijomfunkcije f na intervalu [a, b], a veliqinu V −(f ; a, b) = sup

P∈PV −P (f), gde je

P skup svih konaqnih podela [a, b], nazivamo negativnom varijacijomfunkcije f na intervalu [a, b].

Oqigledno je V +P (f) + V−P (f) = VP (f) i V

+P (f) − V −P (f) = f(b) − f(a).

Tako�e, neposredno sledi da su V (f ; a, x), V +(f ; a, x) i V −(f ; a, x)neopadaju�e funkcije (po x ∈ [a, b]), kao i da je 0 6 V +(f ; a, x) 6V (f ; a, x) i 0 6 V −(f ; a, x) 6 V (f ; a, x) za svako x ∈ [a, b]. Iz nave-denog, sledi da ako je f ∈ BV [a, b] realnovrednosna funkcija, ondaje V −(f ; a, b), V +(f ; a, b) < ∞ i vaжi V −(f ; a, b) + V +(f ; a, b) = V (f ; a, b) iV +(f ; a, b) − V −(f ; a, b) = f(b) − f(a).

Teorema 2 (Жordanovo razlagaƬe). Ako je f : [a, b] → R onda suslede�a tvr�eƬa ekvivalentna:

(1) f ∈ BV [a, b];(2) postoje neopadaju�e ograniqene f1, f2 : [a, b] → R, takve da je

f(x) = f1(x) − f2(x) za svako x ∈ [a, b].

Dokaz. Trivijalno je (2) ⇒ (1), dok funkcije f1(x) = V +(f ; a, x) if2(x) = V

−(f ; a, x), po prethodno dokazanom, zadovoƩavaju uslove dela(2), pa sledi i (2) ⇒ (1).

13

Primetimo da razlagaƬe iz prethodne teoreme nije jedinstveno(ako je g : [a, b] → R neopadaju�a funkcija, onda i funkcije f1 + g if2 + g daju traжeno razlagaƬe).

Primer 5. Ako je f funkcija iz primera 4, onda za

f1(x) =n

0, za x ∈ [0, 12 )1, za x ∈ [ 12 , 1]

i f2(x) =n

0, za x ∈ [0, 12 ]1, za x ∈ (12 , 1]

vaжi f = f1 − f2 i f1 i f2 su neopadaju�e i ograniqene.

Lema 9. Ako je f ∈ BV [a, b] i c ∈ (a, b), onda postoje limx→c−

f(x) i

limx→c+

f(x).

Dokaz. Po Жordanovoj dekompoziciji, vaжi f = f1 − f2, gde su f1i f2 neopadaju�e funkcije. Sledi da postoje lim

x→c−f1(x), lim

x→c+f1(x),

limx→c−

f2(x) i limx→c+

f2(x), odakle sledi tvr�eƬe leme.

4. Taqka po taqka i ravnomerna konvergencija

trigonometrijskih redova

Lema 10 (Princip lokalizacije). Ako je f : R → R 2π periodiqnai apsolutno integrabilna funkcija na [−π, π], onda za svako δ ∈ (0, π)vaжi

limn→∞

hSn(f ; x) −

1

2π·Z δ

0[f(x + t) + f(x − t)]Dn(t)dt

i= 0.

Dokaz. Po delu (a) leme 4 i kako je Dn parna funkcije, vaжi

Sn(f ; x) =12π ·

R π−π f(x − t)Dn(t)dt = 12π ·

R 0−π f(x − t)Dn(t)dt +

R π0 f(x −

t)Dn(t)dt

= 12π ·R π0

f(x + t) + f(x − t)

Dn(t)dt (u prvom integralu je

sprovedena smena u = −t), pa je Sn(f ; x)− 12π ·R δ0 [f(x+t)+f(x−t)]Dn(t)dt =

12π ·

R πδ [f(x+ t)+f(x− t)]Dn(t)dt = 12π ·

R πδ

f(x+t)+f(x−t)sin t

2

·sin(n+ 12 )tdt → 0 kadn → ∞, po Riman–Lebegovoj lemi, poxto na [δ, π] vaжi sin t2 > sin δ2 , paje funkcija f(x+t)+f(x−t)

sin t2

apsolutno integrabilna na [δ, π].

Prethodna lema govori da na konvergenciju Furijeovog reda apso-lutno integrabilne funkcije u nekoj taqki (da li konvergira, i, akokonvergira, ka qemu konvergira) utiqu samo vrednosti te funkcije uproizvoƩnoj okolini te taqke (qak, poxto na vrednost integrala neutiqe izmena funkcije u konaqno mnogo taqaka, qak ne utiqe ni samavrednost funkcije u toj taqki). Ovo nam omogu�ava da u nastavkuizvedemo zakƩuqke o konvergenciji Furijeovog reda u proizvoƩnojtaqki.

14

Teorema 3. Neka je f : R → R 2π periodiqna i apsolutno integrabilnafunkcija na [−π, π] i x ∈ R takva da postoje f(x−) = lim

t→x−f(t) i f(x+) =

limt→x+

f(t).

(a) (Dinijev kriterijum) Ako za neko 0 < δ < π apsolutno konver-

giraR δ0

ϕx(t)t

dt, gde je ϕx(t) = f(x + t) + f(x− t)− f(x+)− f(x−), onda jelim

n→∞Sn(f ; x) =

f(x+)+f(x−)2 .

(b) (Lipxicov kriterijum) Ako postoji L > 0, tako da za svakot > 0 vaжi |f(x − t) − f(x−)| < Lt i |f(x + t) − f(x+)| < Lt, onda jelim

n→∞Sn(f ; x) =

f(x+)+f(x−)2 .

(v) Ako je f ∈ ÜC(1)(−π, π), onda je limn→∞

Sn(f ; x) = f(x) .

Dokaz. (a) Po principu lokalizacije, dovoƩno je dokazati da je

limn→∞

12π ·

R δ0 [f(x + t) + f(x − t)]Dn(t)dt =

f(x+)+f(x−)2 . Kako za svako n ∈

N vaжi 12π ·R π0 Dn(t)dt =

12 , sledi

12π ·

R δ0 [f(x + t) + f(x − t)]Dn(t)dt −

f(x+)+f(x−)2 =

12π ·

R δ0 [f(x + t) + f(x− t)− f(x+)− f(x−)]Dn(t)dt− (f(x+) +

f(x−)) · 12π ·R π

δ Dn(t)dt.

Podintegralna funkcija u prvom integralu je ϕx(t)t

· tsin t

2

·sin(n+ 12 )t,pa kako je t

sin t2

ograniqena, a ϕx(t)t

apsolutno integrabilna na [0, δ],

prvi integral teжi ka 0 kad n → ∞, na osnovu Riman–Lebegove leme.Podintegralna funkcija u drugom integralu je 1

sin t2

·sin(n+ 12 )t, pa kakoje 1

sin t2

apsolutno integrabilna na [δ, π] i ovaj integral teжi ka 0, na

osnovu Riman–Lebegove leme.

(b) Kako je��ϕx(t)

t

�� 6 �� f(x+t)−f(x+)t

��+��f(x+t)−f(x+)t

�� 6 2L, tvr�eƬe sledina osnovu dela (a).

(v) Ako postoje f ′−(x) i f′+(x), sledi Lipxicov uslov, pa na osnovu

dela (b) sledi da je limn→∞

Sn(f ; x) =f(x+)+f(x−)

2 . Me�utim, za funkcije

iz ÜC(1)(−π, π) vaжi f(x+)+f(x−)2 = f(x), pa sledi i tvr�eƬe.Lema 11. (a) Ako je δ > 0 i f : (x, x + δ] → R neopadaju�a funkcija.Onda je lim

λ→∞

R δ0 f(x + t) · sin λtt dt = π2 · f(x+).

(b) Ako za neko δ > 0 i interval [a, b] je f : [a−δ, b+δ] monotona, ondalim

λ→∞

R δ0 f(x + t) · sin λtt dt = π2 · f(x+) i limλ→∞

R δ0 f(x − t) · sin λtt dt = π2 · f(x−)

ravnomerno po x ∈ [a, b].

Dokaz. (a) Kako je f monotona, postoji f(x+). Definiximo f(x) =

f(x+). Onda je J =R δ0 f(x + t) · sin λtt dt =

R δ0 (f(t) − f(x)) · sin λtt dt + f(x) ·R δ

0sin λt

tdt.

Kako je I =R∞0

sin tt

dt konvergentan (Dirihleov integral; videti ideo posve�en parametarskim integralima) i vaжi

15

I =

Z ∞0

sin t

Z ∞0

e−atdadt =

Z ∞0

Z ∞0

e−at sin tdtda

=

Z ∞0

−ae−at sin t − e−at cos t1 + a2

��∞0

da =

Z ∞0

da

1 + a2=

π

2,

smenom u = λt sledi da jeR δ0

sin λtt

dt =R λδ0

sin uduu

→ π2 kad λ → ∞, padrugi sabirak u J teжi ka π2 · f(x) kad λ → ∞, odnosno, dovoƩno jepokazati da prvi teжi ka 0, kad λ → ∞.

Po drugoj teoremi o sredƬoj vrednosti za integrale, slediR δ0 (f(x+

t) − f(x)) · sin λtt

dt = (f(x + δ) − f(x))R δ

ξsin λt

tdt, za neko ξ ∈ [0, δ). Ako je

ξ = 0, slediR δ0 (f(x+ δ)−f(x+ t)) · sin λtt dt = 0 i podintegralna funkcija

je nenegativna, pa je f konstantna i u tom sluqaju je prvi sabirak u Jjednak 0. Ako je ξ > 0, smenom u = λt dobija se da je prvi sabirak u Jjednak (f(x+δ)−f(x))

R λδλξ

sin uu

du → 0 kad λ → ∞ (jer je I konvergentan).(b) U proceni iz dela (a), primetimo da (pored dobre definisa-

nosti svih izraza koji se javƩaju, pod uslovima teoreme), vaжi f(x) ·R δ0

sin λtt

dt ⇉ f(x+)2 na [a, b], jer je f ograniqena na [a, b], kao i (f(x+ δ)−f(x))

R δξ

sin λtt

dt ⇉ 0 na [a, b], jer je f(x+δ)−f(x) ravnomerno ograniqenana [a, b], a uoqeni integral ne zavisi od x i teжi ka 0.

Teorema 4. Neka je f : R → R 2π periodiqna i apsolutno integrabilnafunkcija na [−π, π].

(a) (Жordan–Dirihleov kriterijum) Ako za neko 0 < δ < π vaжi

f ∈ BV [x − δ, x + δ], onda je limn→∞

Sn(f ; x) =f(x+)+f(x−)

2 .

(b) (Dirihleova teorema) Ako f ima konaqno prekida prve vrstei konaqno ekstremnih vrednosti na [x− δ, x + δ], onda je lim

n→∞Sn(f ; x) =

f(x+)+f(x−)2 .

Dokaz. Po lemi 9 postoje f(x−) i f(x+). Tako�e, kako se funkcijaograniqene varijacije moжe prikazati kao razlika dve neopadaju�e(videti teoremu 2) i kako su obe strane linearne po f , dovoƩno jedokazati tvr�eƬa za neopadaju�u funkciju.

(a) Na osnovu leme 11 je 12π ·R δ0 f(x + t)Dn(t)dt =

1π·R δ0 f(x + t)

t2

sin t2

·sin(n+ 1

2)t

tdt → f(x+)2 kad n → ∞, jer su f(x + t) i

t2

sin t2

neopadaju�e na

(0, δ] i vaжi limt→0

t2

sin t2

= 1. Analogno, 12π ·R δ0 f(x − t)Dn(t)dt →

f(x−)2 kad

n → ∞.(b) Kako je funkcija sa navedenim svojstvima i ograniqene vari-

jacije na [x − δ, x + δ], ovaj deo sledi direktno iz dela (a).Primetimo da smo pored apsolutne integrabilnosti u svakom

tvr�eƬu traжili jox neki (i to netrivijalan) uslov. Qak ni podjaqim uslovom od apsolutne integrabilnosti, na primer pod uslovom

16

neprekidnosti 2π periodiqne funkcije nije mogu�e obezbediti konve-rgenciju odgovaraju�eg Furijeovog reda (postoji neprekidna funkcijaqiji Furijeov red ne konvergira u nekim taqkama). Ovde su nave-deni neki od uslova koji obezbe�uju konvergenciju u odgovaraju�ojtaqki. Me�utim, takvih uslova ima mnogo (po ubeniqkoj literaturise obiqno, pored navedenih, obiqno navode jox Helderovi uslovi, kojiuopxtavaju navedeni Lipxicov kriterijum). Ovi uslovi nisu upore-divi, a ne postoje uslovi koji bi objediƬavali sve uslove. Pritom�e za naxe potrebe do sada navedeni uslovi biti dovoƩni, pa stogane�emo navoditi daƩe uslove koji mogu obezbediti pomenutu konve-rgenciju.

Kako su parcijalne sume Furijeovog reda neprekidne, ukoliko onena nekom intervalu konvergiraju, graniqna vrednost mora biti nepre-kidna funkcija. Stoga, prilikom ispitivaƬa ravnomerne konver-gencije na nekom intervalu, dovoƩno je posmatrati samo neprekidnefunkcije na tom intervalu.

Teorema 5. Neka je f : R → R 2π periodiqna, apsolutno integrabilnafunkcija na [−π, π] i neprekidna na [a, b].

(a) (Dinijev kriterijum) Ako za neko 0 < h < π ravnomerno po

x ∈ [a, b] konvergiraR h0

|ϕx(t)|t

dt, gde je ϕx(t) = f(x + t) + f(x− t)− 2f(x),onda Sn(f ; x) ⇉ f(x) na [a, b], kad n → ∞.

(b) (Lipxicov kriterijum) Ako postoje L > 0 i h > 0, tako da zasve x, y ∈ [a − h, b + h] vaжi |f(x) − f(y)| < L|x − y|, onda Sn(f ; x) ⇉ f(x)na [a, b], kad n → ∞.

(v) Ako je f diferencijabilna i |f ′(x)| ograniqen na [a, b], ondaSn(f ; x) ⇉ f(x) na (a, b), kad n → ∞.

Dokaz. (a) Kako jet2

sin t2

pozitivna i ograniqena na (0, π] (i neka joj je

ograniqeƬe M), za svako ε > 0 postoji δ, tako da je prvi od integrala

u zagradi (u izrazu koji sledi) ne ve�i od 1π·R δ0

��ϕx(t)t

�� · �� t2sin t

2

��dt 6Mπ

·R δ0

|ϕx(t)|t

dt < ε, a ako jox izaberemo δ < h, posledƬe vaжi za svex ∈ [a, b] (po ravnomernoj konvergenciji integrala iz uslova teoreme).

Kako je Sn(x)−f(x) = 1π ·hR δ

0ϕx(t)

t·

t2

2 sin t2

· sin(n+ 12 )tdt+R π

δϕx(t)

t·

t2

2 sin t2

·

sin(n + 12 )tdti, dovoƩno je jox proceniti drugi integral koji se javƩa

u prethodnoj zagradi.Za izabrano ε, kako je 1

sin t2

rastu�a na (0, π], sledi da je drugi inte-

gral u zagradi jednak 12π · 1sin δ2

·R ξ

δ ϕx(t) sin(n +12 )tdt +

12π ·

R πξ ϕx(t) sin(n +

12 )tdt za neko ξ ∈ [δ, π] (po drugoj teoremi sredƬe vrednosti zaintegrale), pa je dovoƩno dokazati da posledƬe dobijeni integraliravnomerno konvergiraju na [a, b] ka 0 kad n → ∞.

VaжiR ξ

δ f(x) sin(n +12 )tdt → 0 kad n → ∞, po Riman–Lebegovoj lemi

i u ovom sluqaju je konvergencija trivijalno i ravnomerna na [a, b].

17

Sliqno,R ξ

δ f(x + t) sin(n +12 )tdt =

R ξ+xδ+x f(u) sin(n +

12 )(u − x)du = cos(n +

12 )x·

R ξ+xδ+x f(u) sin(n+

12 )udu−sin(n+ 12 )x·

R ξ+xδ+x f(u) cos(n+

12 )udu kad n → ∞,

po Riman–Lebegovoj lemi, a lako se vidi da je i u ovom sluqaju konve-rgencija ravnomerna na [a, b]. Analogno se ravnomerna konvergencijapokazuje za f(x − t), kao i za integrale po [ξ, π].

(b) Vaжi |ϕx(t)| 6 |f(x + t) − f(x)| + |f(x − t) − f(x)| 6 2Lt za svakox ∈ [a + δ, b − δ] i 0 < t < δ, pa je |ϕx(t)|

t6 2L za 0 < t < δ. Sledi da su

ispuƬeni uslovi dela (a), qijom primenom sledi tvr�eƬe.(v) Ako je L = sup

x∈[a,b]|f ′(x)|, po Lagranжevoj teoremi, za svako x, y ∈

[a, b] je |f(x)− f(y)| = |f ′(ξ)(x− y)| 6 L|x− y| (za neko ξ izme�u a i b), pasu zadovoƩeni uslovi Lipxicovog kriterijuma, pa po delu (b) sleditvr�eƬe.

Teorema 6. Neka je f : R → R 2π periodiqna i apsolutno integrabilnafunkcija na [−π, π].

(a) (Жordan–Dirihleov kriterijum) Ako za neko 0 < δ < π vaжif ∈ BV [a − δ, b + δ], onda Sn(f ; x) ⇉ f(x) kad n → ∞ na [a, b].

(b) (Dirihleov kriterijum) Ako je f neprekidna i ima konaqnoekstremnih vrednosti na [a − δ, b + δ], onda je Sn(f ; x) ⇉ f(x) na [a, b],kad n → ∞.

Dokaz. (a) Kako je f ∈ BV [a−δ, b+δ], predstavƩa se kao razlika dveneopadaju�e funkcije, a kako su strane u uoqenoj graniqnoj vrednostilinearne, dovoƩno je tvr�eƬe dokazati za neopadaju�u funkciju.

Na osnovu dela (b) leme 11 je 12π ·R δ0 f(x+t)Dn(t)dt =

1π·R δ0 f(x+t)

t2

sin t2

·sin(n+ 1

2)t

tdt ⇉ f(x)2 na [a, b], kad n → ∞, jer su f(x+ t) i

t2

sin t2

neopadaju�e

na (0, δ] i vaжi limt→0

t2

sin t2

= 1. Analogno, 12π ·R δ0 f(x − t)Dn(t)dt ⇉

f(x)2 na

[a, b], kad n → ∞. Iz prethodno dokazanog sledi tvr�eƬe.(b) Kako je funkcija sa navedenim svojstvima i ograniqene vari-

jacije na [a − δ, b + δ], ovaj deo sledi direktno iz dela (a).I za ravnomernu konvergenciju i uslove koji je obezbe�uju vaжe

sliqni komentari kao i komentari dati nakon teoreme 3, pa ihovog puta ne�emo navoditi. Kako niz parcijalnih suma neprekidnefunkcije ne mora konvergirati ni taqka po taqka, tim pre ne morakonvergirati ni ravnomerno. Ipak, uz ,,malo popravƩaƬe konverge-ncije”, moжe se dobiti slede�i vrlo interesantan rezultat.

Teorema 7 (Fejer). Ako je f : R → R neprekidna 2π periodiqnafunkcija, onda Cn(f ; x) ⇉ f(x) na R, kad n → ∞.

Dokaz. Kako je f neprekidna na [−2π, 2π], onda je ograniqena iravnomerno neprekidna, tj. postoje M tako da je |f(x)| 6 M za svakox ∈ [−2π, 2π] i za svako ε > 0 postoji δ > 0 tako da za |x − y| < δ vaжi|f(x) − f(y)| < ε za sve x, y ∈ [−2π, 2π]. Kako je f 2π periodiqna, vaжi

18

|f(x)| 6 M za x ∈ R, a (uzevxi δ < π), sledi i da iz |x − y| < δ sledi|f(x) − f(y)| < ε za sve x, y ∈ R.

Na osnovu osobina Fejerovoj jezgra, sledi��Cn(f ; x) − f(x)�� = �� 12π ·R π

−π(f(x−t)−f(x))Fn(t)dt�� 6 12π ·hR δ−δ |f(x−t)−f(x)|Fn(t)dt+Rδ6|x|6π |f(x−

t) − f(x)|Fn(t)dti

6 12π ·hε ·

R δ−δ Fn(t)dt + 2M

Rδ6|x|6π Fn(t)dt

i6 12π ·

h2πε +

2MR

δ6|x|6π Fn(t)dti→ ε kad n → ∞, pa kako je ε > 0 proizvoƩno i

procena vaжi za svako x ∈ R, sledi da Cn(f ; x) ⇉ f(x) na R kad n →∞.

5. Potpunost trigonometrijskog sistema

Po Fejerovoj teoremi, za svaku neprekidnu 2π periodiqnu funkcijuf , postoji trigonometrijski polinom koji je aproksimira do naproizvoƩnu taqnost u uniformnoj normi. Kako konvergencija u uni-formnoj normi na [−π, π] povlaqi sredƬe kvadratnu konvergenciju,sledi da su polinomi gusti i u neprekidnim funkcijama u metriciindukovanoj sredƬe kvadratnom konvergencijom.

Primetimo jox da ako je f kvadratno integrabilna funkcijana [−π, π], onda se |f | moжe do na proizvoƩnu taqnost aproksimi-rati neprekidnom funkcijom. Zaista, svaka kvadratno integra-bilna u nesvojstvenom smislu se moжe do na proizvoƩnu taqnostaproksimirati kvadratno integrabilnom u svojstvenom smislu, aona se moжe do na proizvoƩnu taqnost aproksimirati jednostavnomfunkcijom (funkcijom qija je slika konaqna), pa se problem svodi naaproksimaciju do na proizvoƩnu taqnost karakteristiqne funkcijeintervala. PosledƬe se moжe uraditi izmenom te karakteristiqnefunkcije u linearnu na dovoƩno malom skupu (poxto takva izmenautiqe na vrednost integrala do na proizvoƩnu taqnost).

Po svemu navedenom, sledi da je sistem�

1√2

©∪�cosnx, sin nx | n ∈

N©

potpun u skupu svih kvadratno integrabilnih funkcija. Primenom

rezultata dela 1.3.1, dobijaju se odgovaraju�e posledice za uoqenitrigonometrijski sistem. Navex�emo neke od Ƭih.

Teorema 8. Neka je f : R → R 2π periodiqna i kvadratno integrabilnafunkcija na [−π, π], a (an)n∈N0 i (bn)n∈N Ƭeni Furijeovi koeficijenti.

(a) (Beselova nejednakost) Za svako n ∈ N vaжi |a0|2

2 +nP

k=1

(|ak|2 +

|bk|2) 6 1π ·R π−π |f(x)|2dx. Sledi, red u prethodnoj vezi je konvergentan

i vaжi an → 0 i bn → 0 kad n → ∞.(b) Sn(f ; x) teжi ka f(x) kad n → ∞, sredƬe kvadratno.

19

(v) (Parsevalova jednakost) 1π·R π−π |f(x)|2dx =

|a0|22 +

∞Pn=1

(|an|2+|bn|2).(g) Ako je i f : R → R 2π periodiqna i kvadratno integrabilna

funkcija na [−π, π], vaжiR π−π Sn(f ; x)g(x)dx →

R π−π f(x)g(x)dx kad n → ∞.

(d) Ako je f ∈ ÜC(−π, π) i vaжi an = 0 za n ∈ N0 i bn = 0 za n ∈ N,onda je f ≡ 0.

Primer 6. Dokaжimo da za |t| 6 π vaжi t3 − π2t = 12 ·∞P

n=1

(−1)n · sin ntn3

i koriste�i dobijeni rezultat izraqunajmo∞P

n=1

1n6

. Kako je funkcija

f(t) = t3 − π2t je neprekidna na [−π, π] i vaжi f(−π) = f(π), moжe serazviti u Furijeov red i jednaka mu je u svakoj taqki. Kako je fneparna funkcija, sledi an = 0 za n ∈ N0, a za n ∈ N vaжi

bn =2

π·Z π

0f(t) sin ntdt =

2

nπ·§

(t3 − π2t) cosnt����π

0

−Z π

0(3t2 − π2) cos ntdt

ª= − 2

n2π·§

(3t2 − π2) sin nt����π

0

−Z π

06t sinntdt

ª=

12

n3π·§

t cosnt

����π0

−Z π

0cosntdt

ª=

12

n3π·§

(−1)nπ −sin nt

n

����π0

ª= 12 · (−1)

n

n3,

odakle sledi prvi traжeni identitet (poxto je f neprekidna funkci-

ja, izraz f(t−)+f(t+)2 je u svakoj taqki jednak f(t)).

Iz Parsevalove jednakosti sledi∞P

n=1

144n6

=∞P

n=1

b2n =2π·R π0 f

2(t)dt =

2π·R π0 (t

6−2π2t4+π4t2)dt = 2π·h

t7

7 − 2π2t5

5 +π4t3

3

i���π0

= 2π6 ·�

17 − 25 + 13

�= 16π

6

105 ,

pa sledi∞P

n=1

1n6

= π6

945 .

6. Integracija i diferenciraƬe trigonometrijskih redova

Kako je pokazano u odeƩku o ravnomernoj konvergenciji redova, uko-liko red ravnomerno konvergira, moжe se integraliti qlan po qlan.Tako�e, izveli smo i oggovaraju�u teoremu o diferenciraƬu. Me�u-tim, kako je vi�eno u prethodnom delu, uslovi ravnomerne konverge-ncije Furijeovih redova je priliqno neprijatni za ispitivaƬe, pa�emo u ovom delu pokazati da se integracija i diferenciraƬe Fu-rijeovih redova moжe sprovesti i drugim metodama, koje su lakxe zaprimenu.

20

Lema 12. Neka je f : [−π, π] → R apsolutno integrabilna funkcija, ko-joj odgovara razvoj u Furijeov red f(x) ∼ a02 +

∞Pn=1

(an cosnx + bn sin nx).

Onda za sve c, d ∈ [−π, π], c < d, vaжiR d

c f(x)dx =R d

ca02 dx +∞P

n=1

R dc (an cosnx + bn sin nx)dx.

Dokaz. Neka je F (x) =R x0 (f(t)− a02 )dt (smatramo da je

R x0 = −

R 0x , ako

je x < 0; analogno smatramo za integral ako se desi da je c > d). Ondaje F (π)−F (−π) =

R π−π f(t)dt−2π · a02 = 0. Ako je −π = x0 < x1 < . . . < xn =

π, onda jenP

k=1

|F (xk)−F (xk−1)| 6nP

k=1

R xkxk−1

|f(t)− a02 |dt 6R π−π |f(t)− a02 |dt <

∞, jer je f apsolutno integrabilna. Sledi da je F ograniqene vari-jacije na [−π, π], pa ima razvoj u Furijeov red. Tako�e, po Жordan–Dirihleovom kriterijumu, sledi da Ƭen Furijeov red konvergira (qakravnomerno na [−π, π]).

Ako su (An)n>0 i (Bn)n>1 Ƭeni Furijeovi koeficijenti, vaжiAn =

1π

·R π−π F (x) cos nxdx =

1π

·R π−π cosnx

R x0 (f(t) − a02 )dtdx = 1π ·R π

−π(f(t) − a02 )R π

t cosnxdxdt = − 1nπ ·R π−π(f(t) − a02 ) sin ntdt = −

bnn

i Bn =1π·R π−π F (x) sin nxdx =

1π·R π−π sin nx

R x0 (f(t) − a02 )dtdx = 1π ·

R π−π(f(t) −

a02 )

R πt sin nxdxdt =

1nπ

·R π−π(f(t) − a02 )(cos nt − (−1)n)dt =

ann

za n ∈ N.Kako je F (x) = A02 +

∞Pn=1

(An cosnx + Bn sin nx) =∞P

n=1

− bn

n· cosnx +

ann· sin nx

(jednakost za svako x je ustanovƩena Жordan–Dirihleovim

kriterijumom), zamenom x = 0 dobijamo 0 = F (0) = A02 −∞P

n=1

bnn

, odakle

dobijamo i A0.

Konaqno, slediR x0 f(t)dt − a02 · x =

∞Pn=1

bnn

· (1 − cosnx) + ann

· sinnx,

xto je tvr�eƬe za [c, d] = [0, x]. Me�utim, kako jeR d

c =R d0 −

R c0 , odavde

sledi i celo tvr�eƬe.

Primetimo da tvr�eƬe vaжi bez obzira da li Furijeov redfunkcije f konvergira, tj. Furijeov red apsolutno integrabilnefunkcije uvek moжemo integraliti. Tako�e, u dokazu je pokazano

da za koeficijente (bn)n∈N te funkcije je red∞P

n=1

bnn

uvek konverge-

ntan (xto ima vaжnost i mimo ove teoreme). U dokazu teoreme jezapravo ,,izokola” sprovedena parcijalna integracija. Razlog tomeje xto funkcija F ne mora biti diferencijabilna (takva je ako je fneprekidna). Dokaz je mogao biti i sproveden parcijalnom integraci-jom, ali za Riman–Stiltjesov integral (ispuƬeni su uslovi za takvuparcijalnu integraciju, poxto je F ograniqene varijacije na [−π, π]).

Lema 13. Neka je f : R → R 2π periodiqna diferencijabilna funkcija.

21

Ako je f(x) ∼ a02 +∞P

n=1

(an cosnx+bn sin nx), onda je f ′(x) ∼∞P

n=1

(nbn cosnx−nan sin nx).

Dokaz. Primetimo da zbog 2π periodiqnosti vaжi f(−π) = f(π).Ako su (An)n∈N0 i (Bn)n∈N Furijeovi koeficijenti funkcije f

′, vaжi

A0 =1π·R π−π f

′(x)dx =f(x)

��π−π = 0 i za svako n ∈ N parcijalnom

integracijom sledi An =1π·R π−π f

′(x) cosnxdx = 1π·f(x) cosnx

��π−π +

nπ·R π

−π f(x) sin nxdx = nbn i Bn =1π·R π−π f

′(x) sin nxdx = 1π·f(x) sin nx

��π−π −

nπ·R π−π f(x) cosnxdx = −nan, odakle sledi tvr�eƬe.

Primetimo da, ukoliko f ′ zadovoƩava neki od uslova konverge-ncije u nekoj taqki x (na primer Dinijev, Lipxicov ili Жordan–Dirihleov), onda u prethodnoj teoremi vaжi i jednakost funkcije utoj taqki sa odgovaraju�im Furijeovim redom.

Primer 7. Funkcija iz primera 6 je diferencijabilna na (−π, π) ivaжi f(−π) = f(π). ƫena izvodna funkcija 3t2 − π2 je Lipxicova.Iskoristimo dobijene rezultate da izraqunamo

∞Pn=1

1n2

i∞P

n=1

1n4

.

Red∞P

n=1

(−1)n · 12n2

· cosnt apsolutno konvergira, pa se dobijeni Fu-

rijeov red moжe diferencirati qlan po qlan i vaжi 3t2 − π2 =∞P

n=1

(−1)n · 12n2

· cosnt. Za t = π dobija se 2π2 = 12 ·∞P

n=1

1n2

, pa sledi

∞Pn=1

1n2

= π2

6 .

Iz Parsevalove jednakosti, primeƬenog na razvoj funkcije f ′(t),

dobija se∞P

n=1

144n4

= 2π·R π0 (f

′(t))2dt = 2π·R π0 (9t

4 − 6π2t2 + π4)dt = 2π·

9t5

5 −

2π2t3 + π4t��π

0= 2π4 ·

95 − 2 + 1

= 8π

4

5 , pa sledi∞P

n=1

1n4

= π4

90 .

Primer 8. Funkciju f(x) = tg x4 razviti u Furijeov red na [−π, π].Primer 9. Funkciju f(x) = ln(5 − 4 cosx) razviti u Furijeov red na[−π, π]. Koriste�i dobijeni razvoj, izraqunati

∞Pn=1

123n+1(3n+1) .

22