Gauss 二次互反律

重庆理工大学数学与统计学院 2010.10.11

二次互反律漂亮地解决了勒让德符号的计算问题，从而在实际上解决了二次剩余的判别问题。高斯在 1796 年作出第一个严格的证明，随后他又发现了另外七个不同的证明。高斯把二次互反律誉为算术理论中的宝石。 高斯之后雅克比、柯西、刘维尔、克罗内克、弗洛比纽斯等也相继给出了新的证明。至今，二次互反律已有 150 个不同的的证明。

Gauss 二次互反律

一、二次剩余

二次剩余的定义：

设 p 是一个奇素数， d 是整数，且 p 不能整除 d ，如果同余方程

有解，则称 d 是模 p 的二次剩余；若无解，则称d 是模 p 的二次非剩余。

例： 1 ， 2 ， 4 是 7 的二次剩余， 3 ， 5 ， 6 是7 的二次 非剩余。

二、 Legendre 符号

1,

1,

d pd

p d p

是模 的二次剩余是模 的二次非剩余

设 p 是一个奇素数， 定义整变数 d 的函数

d

p

称为模的 Legendre 符号 符号

三、 Gauss 二次互反律

Gauss 二次互反律 -- 经典证明 1 、 Gauss 二次互反律的经典证明

（ 1 ） Gauss 引理

Gauss 二次互反律 -- 经典证明

Gauss 二次互反律 -- 经典证明 （ 2 ）二次互反律的证明

Gauss 二次互反律 -- 经典证明

Gauss 二次互反律 -- 经典证明

Gauss 二次互反律 -- 经典证明

Gauss 二次互反律 -- 经典证明

Gauss 二次互反律 -- 经典证明

Gauss 二次互反律简证 2 、 Gauss 二次互反律简证

Wouter Castryck

A shortened classical proof of the quadratic reciprocity

law,American Mathematical Monthly 115(6), pp. 550-551

(2008)

Gauss 二次互反律简证

Gauss 二次互反律简证

Gauss 二次互反律简证

Gauss 二次互反律简证

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Gauss 二次互反律的发展

Gauss 二次互反律的发展

Gauss 二次互反律的发展

Gauss 二次互反律的发展

Gauss 二次互反律的发展