Topografia Aplicada à Agronomia Baitelli / Weschenfelder

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XI. Cálculo da área Fórmula de Gauss

N

E

1

2

3

4

E1 E2

N1

N2

N

E

1

2

3

4

E2 E3

N2

N3

N

E

1

2

3

4

E1 E2 E3E4

N1

N2

N3

N4

N

E

1

2

3

4

E3E4

N3

N4

N

E

1

2

3

4

E1 E4

N1

N4

( ) ( ) ( ) ( )S1234 N1 N2

2 E2 E1

N3 N2

2 E3 E2

N4 N3

2 E3 E4

N4 N1

2 E4 E1= −

+× − −

+× − +

+× − +

+× −

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ([ ]S1234 1

2 N1 N2 E2 E1

1

2 N3 N2 E3 E2

1

2 N4 N3 E3 4

1

2 N4 N1 E4 E1 = − + × − − + × − + + × − + + × − )

2S1234=-[(N1+N2)×(E2-E1)]-[(N3+N2)×(E3-E2)]+[(N4+N3)×(E3-E4)]+[(N4+N1)×(E4-E1)] Efetuando-se os produtos: 2S1234=-(N1E2-N1E1+N2E2-N2E1)-(N3E3-N3E2+N2E3-N2E2)+(N4E3-N4E4+N3E3-N3E4)+(N4E4-N4E1+N1E4-N1E1) Trocando-se os sinais e simplificando-se: 2S1234=-N1E2+N1E1-N2E2+N2E1-N3E3+N3E2-N2E3+N2E2+N4E3-N4E4+N3E3-N3E4+N4E4-N4E1+N1E4-N1E1 2S1234=+N1E4-N1E2+N2E1-N2E3+N3E2-N3E4+N4E3-N4E1 Colocando-se em evidência os termos N1, N2, N3 e N4, temos: 2S1234=N1(E4-E2)+N2(E1-E3)+N3(E2-E4)+N4(E3-E1)

( )2 1 11

S Ni E Ei i

n= −+ −∑De forma genérica, podemos escrever:

Se considerássemos os trapézios relacionados às ordenadas N ao invés dos correspondentes às abscissas E, teríamos:

( )2 1 11

S Ei N Ni i

n= −+ −∑

Regra Mnemônica

VÉRTICES

A

B

C

D

A

COORDENADAS

N

N1

N2

N3

N4

N1

E

E1

E2

E3

E4

E1

Obtemos a área da poligonal através da semi-soma algébrica dos produtos cruzados dessas coordenadas. Este processo para medida de área é o mais usado em função da precisão obtida. 2S = {[(N1E2)+(N2E3)+(N3E4)+(N4E1)]-[(E1N2)+(E2N3)+(E3N4)+(E4N1)]} Obs: Considerar o sinal ao efetuar as operações.