M. Aubrun et J.-M. Kauffmann : Gdn&meur de fonction exponentielle 189

G E N E R A T E U R D E F O N C T I O N E X P O N E N T I E L L E *

par Michel AUBRUN et Jean.Marie K A U F F M A N N **

RESUME. - - Dana cet article, lea auteurs 6tudient, sur un exempie pr6cis, lea moyens de r6aliser une fonction exponentielle a l'aide d'un gdn6rateur tout 61ectronique avec une pr6cision meilleure que 2,5%. La courbe est assimil6e ~t une suite de segments de droites obtenus par polarisation convenable de la chalne de contre-r6action ~ d~odes d'amplificateurs ~ courant continu.

In t roduc t ion . y

Dans l '6tude d 'un traceur analogique de trajectoires de particules magn6tiques, nous avons 6t6 amen6s ~. concevoir et r4aliser un g6n6rateur de fonction expo- nentielle, x 6tant u n potentiel variant entre 2,5 V e t 7,3 V, nous voulons obtenir y = k e ~ avec k = 0,1, y variera alors entre 1,2 V e t 180 V.

Deux solutions se pr6sentent i mm6diatement : /, m~

1) Utiliser une machine analogique y . . . . . . . . . . . _~_k¢4 I

On a en effet dy/dt = y (dx/dt), ce qui conduit t'!l I ',li i au sch6ma th6orique de la f igure 1. i l l I

m I I , P

Fig. 2. - - D6finition des coordonn6es des points anguIeux et des pentes.

Si ~ d&igne l 'erreur maximale que l 'on admette, ces segments de droite doivent &re comp,ris entre les

Fig. 1. - - Obtention de la fonct[on exponentielle ~. Faide courbes d'une machine analogique.

y l = (1 + ~ ) k e ~ et y = ( 1 - - ~ ) k e *

Cette m6thode n6cessite entre autres un mult ipl ieur et surtout un diff&endateur , organe fortement d6con- y seill6 en calcul analogique. Cette solution a done &6 abandonn6e.

2) R4aliser un g6n&ateur de fonctions ~ diodes approchant la courbe par segments de 4roites : c'est (t÷E)l<eX O_~)ke = cette m6thode qui a 6t6 retenue. • -///~z /

Etude fla~orique, a ~ / Les diff&ents segments sont d6finis par leurs extr& mit6s de coordonn6es (xk, yl,), (Xk+z, Yk+~) et leur pente m~.

Un point M de coordonndes (x, y) appartenant au , , segment de pente mk est d4fini par (fig. 2) : a b~ <a.~ a¢

y = ~;% x q- bl~ Fig. 3. - - Position d'un segment de droite approchant la courbe entre a et ctq--h axec une erreur minlma!e.

• Manuscrit regu le 14 octobre 1965. • * Laboratoire d'Electrotechique ,"t I'Ecole Natlonale Sup& Ils seront tangents ~t la plus haute et auront leurs

rieure d'Electricit6 et de M6canique. extr6mit6s sur la plus basse (fig. 3). Suit AB un tel

190 Annales de l'Association inlernationale pour le Calcul analogique N ° 4 - - Octobre 1966

segment, a e t a -b h les abscisses de A et B. h e s t ti6 la tension de polarisation de la diode, v la tension au k ~ par la relation milieu des r6sistances de contre-r6action. Si on suppose

le gain de l'amplificateu_r A infini : e h - 1 - - h

e h ~ 1 R° s i v < V e h - - l - - h e h"- h 4 y = x R p. ~ ~ - ] - . . .

e h - - 1 - - h 16 1152 Ro Ro 2 V Ro

e h - 1 y = x ( R + 4 - ~ p ) si v > V e h + 1 + h e 2p

e e s t ind6pendant de a, il est done le m~me pour Pour r6aliser tree courbe de pente constamment crois- t ous l e s segments AB. sante, une solution classique consiste g utiliser des

r6sistances en s&ie d6bloquOes ~. des potentiels V1, V.. , Nous prendrons h = 0 , 5 , ce qui conduit ~. e = ... Vn croissa_nts (fig. 5).

1,55 % et dix segments seront nOcessaires pour couvrir le domaine d4sir& La pente de la droite est Si on suppose les diodes parfaites

m = h k e ~ y = X---R pour v < V1

soit m = 1,275 k e ~. R 0 Ro 2 V k R 0

D u premier au dernier segment, la pente devra done y = x (--~-- + n ) n varier dans un rapport 4gat k e ~ = e 4,5 = 90: 4 R ~ Pl 2 ~ Pa

k lc

Etude du g6n6rateur de fonct ion, lorsque la k m~ diode conduiK

L e montage classique consiste en un amplificateur - - V k q" (Ro/2 R) xk+l op6r~tionnel dont on fait varier la contre-r6aceion ~ avec V k + ~ - Vk = pk ll pardr d 'une certaine valeur donn6e V du potentiel [1]. ~ OJ

k .

R ~ ' ~ ] La variation de pente entre le segment initial et le .Re ~ ~egment final est donn6e p a r :

v :~ Y Ro Ro °- "× ~. 'V~AA, m. -"-R-- -b 4---R-p,'-7 Ro

V -- ---- I q- 4p._z mo R0/R

Fig. 4, - - Montage de base d'un gdn&ateur de fonction 1,275 ~} e u,s e 4,5 par diodes polaris4es. = q~: 290

k e=,,~/2,5

D ~ n s l 'amplificateur de la f igure 4, on ddsigne par soil Ro/~, :~ 1150. - - x la tension d'entr4e, + y la tension de sortie, V

La valeur de p,, est done faible et pourra &re de l 'ordre de grandeur de la r4sistance interne de la

t V ~ diode.

[~'~ V. Un autre montage possible consiste ~ utiliser des r6sistances en &oile entre le point milieu de la. r6sis-

i~_, lance de contre-r6action e t l e s sources (fig. 6).

I

i i1 ..... i 1 4 e, e, % ---¢.

[ ~ v !

Vl Vz V~< VK+I Vn Fig. 5. - - Montage s~rie des r6sistances de contre-r6action. Fig. 6. - - Montage parall61e des r6sistances de contre-r6acthm.

M. Anbrun et ],-M. Kauffmann : Gdn&'alem" de fonction e.xl)onenlielle 191

On aura alors est fonction de la premiere pente mo fixant les deux r6sistances Ro et R. Darts le cas qui nous int&esse,

Ro ~ ]~ 1 Ro k Vj V,,,~ - - V,, = 0,12 V, valeur tr~s insuffisante puisque Y = (~_~_o + ~ - - - ) x - - - - - ~ - - - la caract~ristique des d imes disponibles (par exemple

p~ 2 , fq 16 P2) est coud& dam un domaine de l 'ordre de

pour Vii '~ /) < VR+ 1 0,2 V. Ce dispositif n'est done pas applicable directe- ment pour le probl~me posg

et ¥k~, - - V~ = (Ro/2 R) h

Pour la m~me variation de pente, on aura cette lois Solut ion composite.

'~ 1 Principe. Ro "~. -- l t 50

PJ La diffictdt~ pr&~dente provient de la faible valeur l 'augmentation de pente d'un segment k I'autre ~tant de k et elle joue dans le domaine des petites valeurs

de x ~ cause des r&istances R et Ro pr&is6ment fix6es Rd-' pax la valeur ini tMe de x.

4 R Ol~ On est ainsi conduit ft. faire appel ~. deux g~n~rateurs Ce deuxi&ne montage pr~sente plusieurs avantages dont on additionnera Its sorties multiplice~s le cas

sur le schSma habimellement utilis6. 6ch&ant par une constante.

Les r~sistances Ok n&essaires sont plus grandes, ce Le premier fournira pour les faibles valeurs de x la qui facitite le montage. En effet, si R = 1 M a tension yx = K e ~ (o~ K est nettement sup&ieur ~. k) Ro = 0,24 Mr2 et pour des valeurs plus grandes de x une tension

constante, soit : 1o" montage : t~ ---= 400 f2

Yl = K e ~ x < oe 2 ''~° montage : pn = i000 ~.2.

La variation de pente d6pend uniquement de la y~ = K e ~ x > a

r6sistance que l 'on ajoute en demier. Le second donnera y= = 0 pour x < a et yz =

Les potentiels de commutation Vk sont ind@endants k (e ~ - - ea) pour x > des potentiels pr6c~dents et les differences Vk+~ - - V~, y= ---- 0 x < a sont constantes.

Ces m~mes tensions sont sup&ieures ~. celies utilis6es y~ = k (e x ~ e") x > ee

d,'ms le montage habituel. Erifin, on fera la combinaison

Les r&istances devant ~tre ajust&s ~ cause des ), = (k/K) y~ + y~ --" k e x r&istances internes des diodes et des sources de pola- risation, la disposition en &oile est plus pratique, quel que soil x.

Nous avons donc adopt& ce deuxi~me dispositif. La diff&ence RJalisation.

R0 m0 Nous avons adopt~ K = 1. Nous profitons de la 2 R 2 saturation de l'axnplifieateur ft. grand gain pour rdaliser

l ° ° x b..l + rTrrvvV7 l,~

, ~ , v~

F I I , r l l l l l l t l i f t

, _ - . 6 e n . r ' , - , l ' l~4 ~__ y i _ _ .

Fig. 7. - - Polarisaticm parall~le de [a diode D permettaat d'avoir une tension tie sortie nulle pour Ix!( ~:

1.92 Annales de l'Association internationale pour le Calcul analogique N ° 4 - - Octobre 1966

mo v , n ~

o,2 M~.

lOg.~

Fig. 8. - - Montage g6n6ral.

la condition Yl = K e% ~ 6tant alors 6gal k 5,2 V. La difficult6 pr&&tente a 6t6 6vit& puisque Y~

V • eX ~ o a o

)

Vn - - V n _ I ~- 1,2 V Foncl',on y,~-~- l La partie y., = 0 pour 0 < x < ce est obtenue, ~so

pour le g6n6rateur de la fonction y.,, grace ~ la pol~- _ _ Courbe theorlque / risation parall~le de la diode D e n cascade avec Yam- o Po

plificateur op6r~tionnel [2] (fig. 7).

Si ]x[ < ~, le point O est k un potentM positif t0o par rapport ~ E et la diode D est bloqude. Comme le courant inverse est a~plifi6 lui aussi, il est n6ces- sake de supprimer son effet ~ la sortie ~t l'aide d'une autre diode D' to

Conclusion.

Le montage r&lis4 (fig. 8) comporte quatre diodes o D polaris6es pour chacun des g6n6rateurs yl et y2. Les a,~ 5 Z~ = valeurs R, On et V,,, d'abord calcul6es d'a, pr&s les for- Fig. 9 . - R&ultats exp&imentaux. mules pr&Mentes, sont ajust&s de telle maniEre que le segment de droite correspondant passe par les points F et G d6finis sur la figure 3. La disposition en &oile nous permet d'ajuster chaque pente l 'une apr~s l'autre BIBLIOGRAPHIE

en ne jouant que sur une seule r&istance. La courbe [i] DANLOUX DUMESNILS : Le calcul analogique par a pu &re obeenue ainsi avec une pr&'ision meilleure courants conrinus, Dunod, Paris 1.958, p. 179. que 2,5 % et l'allure g6n&ale est a_m61ior& par la disparition des points anguleux qui r6salte de la varia- [2] WASS : Introduction to Electronic Analog Computer. tion progressive des r6sistances des diodes (t:ig. 9). London, Pergamon Press Ltd. 1955, p. 138.