Geometría analítica geogebra

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GEOGEBRAMANUAL DE USO EN GEOMETRA ANALTICAGeoGebra es un software interactivo de matemtica que rene dinmicamente geometra, lgebra y clculo. Lo ha elaborado Markus Hohenwarter junto a un equipo internacional de desarrolladores, para la enseanza de matemtica escolar.A) VISTAS GRFICA DE LOS OBJETOS MATEMTICOSGeoGebra ofrece tres perspectivas diferentes de cada objeto matemtico: una Vista Grfica, una, numrica, Vista Algebraica y adems, una Vista de Hoja de Clculo. Esta multiplicidad permite apreciar los objetos matemticos en tres representaciones diferentes: grfica (como en el caso de puntos, grficos de funciones), algebraica (como coordenadas de puntos, ecuaciones), y en celdas de una hoja de clculo. Cada representacin del mismo objeto se vincula dinmicamente a las dems en una adaptacin automtica y recproca que asimila los cambios producidos en cualquiera de ellas, ms all de cul fuera la que lo creara originalmente.En este entendido para este texto utilizaremos las herramientas mas usuales para la geometra analtica.B) RECTA Y SUS HERRAMIENTASBisectrizLa bisectriz de un ngulo (ver tambin el comando Bisectriz), puede definirse de dos maneras Al marcar los tres puntos A, B, C se produce la bisectriz del ngulo determinado por A, B y C, con B como vrtice. Al marcar dos rectas se producen las bisectrices de sendos ngulos.Atencin: Los vectores directrices de todas las bisectrices tienen longitud 1.Atencin: La direccin de la bisectriz es la del vector perpendicular del segmento s o AB.Recta que pasa por Dos PuntosAl marcar dos puntos A y B se traza la recta que cruza A y B. El vector que fija la direccin de la recta es (B A). (Ver tambin el comando Recta),Atencin: La direccin del vector de la recta es (B A).Recta ParalelaAl seleccionar una recta g y un punto A, queda definida la recta que pasa por A y es paralela a g. (Ver tambin el comando Recta).Atencin: La direccin del vector de esta recta es la de g.MediatrizLa recta mediatriz de un segmento se traza al seleccionar un segmento s o sus dos puntos Ay B extremos.Atencin: La direccin de esta recta es equivalente a la del vector perpendicular al segmentos. o AB (Ver tambin el comando Mediatriz).Recta PerpendicularAl seleccionar una recta g y un punto A, queda definida la recta que pasa por A y es perpendicular a g. (Ver tambin el comando Perpendicular).Atencin: La direccin de esta recta es equivalente a la del vector perpendicular a g.C) SECCIONES CNICAS Y SUS ERRAMIENTASCircunferencia dados su Centro y RadioTras seleccionar un punto M como centro, se despliega la ventana para ingresar el valor del radio. (Ver tambin el comando Circunferencia).Circunferencia dados su Centro y uno de sus PuntosAl seleccionar un punto M y un punto P queda definida una circunferencia con centro en M que pasa por P. (Ver tambin el comando Circunferencia).Atencin: El radio del crculo es la distancia MP.[footnoteRef:1] [1: Cmoesposiblequeflote sobre el mar un barco de acero, de miles de toneladas, y en cambio t te hundas en la piscina si no haces algo para evitarlo]

Circunferencia dados Tres de sus PuntosAl seleccionar tres puntos A, B y C queda definida una circunferencia que los cruza.(Ver tambin el comando Circunferencia).Atencin: Si los tres puntos estuvieran alineados, la circunferencia quedara reducida a una recta.CompsAl seleccionar un segmento o dos puntos, queda especificado el radio y un clic posterior sobre un punto, lo marca como centro de la circunferencia a trazar. (Ver tambin el comando Circunferencia).ParbolaLa parbola se trazar al seleccionar un punto que ser su foco y su directriz (recta, semirrecta o segmento). (Ver tambin el comando Parbola).ElipseLa elipse se trazar al seleccionar sus dos focos en primer lugar y luego, uno de sus puntos. (Ver tambin el comando Elipse).Hiprbola La hiprbola se trazar al seleccionar sus dos focos en primer lugar y luego, uno de sus puntos. (Ver tambin el comando Hiprbola).Por tanto este programa representa una tecnologa informtica que puede tener gran impacto en los procesos de mediacin en la educacin matemtica a nivel secundario, pues ofrece la posibilidad de trabajar la Geometra y el lgebra simultneamente de formas dinmicas, atractivas e integradas.En este sentido, representa un micro mundo de posibilidades, que ofrece gran autonoma y capacidad de manipulacin a sus usuarios; un entorno dinmico e interactivo con prestaciones que:Requieren la realizacin de acciones informticas relativamente complejas (diseo, programacin, ejecucin). Devuelvenresultadosmatemticos(comogrficas, construcciones, transformaciones, clculos), y para matemticos (como simulaciones, modelos, clasificaciones, ordenamientos e iteraciones).Facilitan el desarrollo de acciones matemticas (como resolucin de problemas, demostracin, aplicacin, verificacin), y metamatemticas (como anlisis, deduccin, induccin, reflexin, enseanza, aprendizaje, valoracin y experimentacin).

[footnoteRef:2]Las prestaciones del GeoGebra es para explorar conceptos como: los tringulos y sus puntos notables, la lnea recta, la circunferencia, la elipse, la parbola, hiprbola. Por lo tanto nos servir para sobreponer la enseanza rutina en la educacin secundaria, pero al mismo tiempo, permitira analizar los alcances y limitaciones del GeoGebra en el estudio de conceptos elementales de la Geometra Analtica. [2: Unacuerdafinaclavada muy tensa en la pared o un rayo de luz representan lo que es una recta. Es una lnea continua en una direccin que se mantiene fija, sin saltos o interrupciones, que no tiene principio ni tiene fin, ya que est formada por infinitos puntos.]

La geometra analtica estudia las relaciones entre puntos, rectas, ngulos, distancias, de un modo algebraico, mediante frmulas algebraicas y ecuaciones. Para ello es imprescindible utilizar un sistema de referencia: un punto fijo (origen) y unos ejes (cartesianos) y una orientacin. Tal referencia es bien conocida. Tal como vemos en la figuraLos ejes cartesianos son perpendiculares. En el punto de corte se sita el origen: El eje horizontal se llama eje de abscisas, o eje de las X. A la derecha del origen las abscisas son positivas; a la izquierda, negativas.El eje vertical se llama eje de ordenadas, o eje de las Y. Por encima del origen las ordenadas son positivas; por debajo, negativas.Cualquier punto del plano se designa por dos nmeros, en general por sus coordenadas x e y:

1. RECTA EN EL PLANOUna recta es un conjunto de puntos del plano que cumplen una determinada ecuacin. La ecuacin general de una recta (que tambin se llama ecuacin implcita o cartesiana) es de la forma:

1.1. BISECTRIZ DE DOS RECTAS: Dibuja las bisectrices de las dos rectas siguientes y halla sus ecuaciones.

a) En la Barra de Entrada, introduce:b) Dibuja de igual forma la recta s y rc) Muestra el nombre y el valor de las dos rectas.d) Elige Bisectriz y haz clic en la recta r y en la recta se) Muestra en las dos bisectrices y el nombre. f) En la ventana Algebraica, modifica una de las ecuaciones de las rectas y vers cmo cambian las bisectrices y sus ecuaciones. Tambin puedes introducir las nuevas ecuaciones en la Barra de Entrada.[footnoteRef:3] [3: Expresar el nmero 12 por medio de cuatro treses es muy sencillo:12 = 3 + 3 + 3 + 3.]

1.2. EL CIRCUNCENTRO DE UN TRINGULODibuja el tringulo que tiene como vrtices los puntos A = (6, 2), B = (1, 3) y C = (3, 5). Halla las mediatrices de sus lados, sus ecuaciones, el circuncentro, la circunferencia circunscrita y su ecuacin.a) En la Barra de Entrada, introduce uno a uno los puntos b) Dibuja el tringulo ABCc) Dibuja las mediatrices.d) Muestra las coordenadas del circuncentro.1.3. EL BARICENTRO DE UN TRINGULO: a) Dibuja un tringulo de vrtices y halla el baricentro.b) Dibuja las medianas y halla el baricentro. Geometra dinmica: interactividadc) Arrastra un vrtice del tringulo, modifcalo en la ventana Algebraica o introduce en la Barra de Entrada sus coordenadas; observa las nuevas coordenadas del baricentro. 1.4. EL INCENTRO DE UN TRINGULO: a) Dibuja un tringulo de vrtices y halla el incentrob) Dibuja las bisectrices y halla el incentro. c) Arrastra un vrtice del tringulo, modifcalo en la ventana Algebraica o introduce en la Barra de Entrada sus coordenadas; observa las nuevas coordenadas del incentro.1.5. EL ORTOCENTRO DE UN TRINGULO: 2. Dibuja un tringulo de vrtices y halla el ortocentro3. Dibuja las alturas y halla el ortocentro MATEMTICA2013

Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMTICADocente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013

4. Arrastra un vrtice del tringulo, modifcalo en la ventana Algebraica o introduce en la Barra de Entrada sus coordenadas; observa las nuevas coordenadas del ortocentro.56Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. Lic. Ignacio Choque Ayma

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2. ECUACIONES DE LA LINEA RECTA EN EL PLANOSabemos que en un punto del espacio pasan infinitas rectas. Asi mismo "Por un punto del plano pasan infinitas rectas".Por lo tanto dos puntos del espacio. Cuntas rectas unen a esos dos puntos? "Dos puntos del espacio determinan una sola recta". Lo mismo sucede en el plano: "Dos puntos del plano determinan una sola recta"2.1. ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR EL ORIGENVamos ahora a demostrar que toda recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas est representada por una funcin de la forma o sea una funcin de dos variables de primer grado, sin trmino independiente, en la que m es una constante cuyo significado estableceremos posteriormente. Para esto, necesitamos hacer ver que esta funcin establece o expresa la condicin comn a que se ajustan absolutamente todos los puntos que constituyen una recta que pasa por el origen, en otras palabras debemos hacer constar que la ordenada y de todo punto de la recta efectivamente es igual al producto de la constante m por la abscisa x de dicho punto, es decir 2.2. ECUACION DE LA RECTA Q