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En este curso se introduce al alumno a la geometría analítica también llamadacomo “Sistema Cartesiano” que fue iniciada y desarrollada por el matemático yfilosofo Renato Descartes.*OBJETIVO DEL CURSO:Que al final del curso el alumno conozca, comprenda y aplique la geometríaanalítica. Esto quiere decir que conozca las definiciones de cada uno de los 5temas (Rectas, Circunferencia, Parábola, Elipse, Hipérbola), que pueda el alumno solo poder encontrar sus elementos y ecuaciones en determinados casos y poder graficar en los temas en los que sea necesario.
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Matemáticas IV
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INDICE
Programación Semestral………………………………………………...……………1 Descripción del Curso y Objetivos del curso…………………………………………….………………….…..3 Segmentos de Rectas …………………………..…………………………….….…..4
Punto medio de un segmento…………………………………….……….... 5 Distancia entre dos puntos………………………………………….…….….7 División de un segmento en partes iguales……………………….………..9 Ángulo de inclinación de una recta………………………………….……..11 Forma corta de encontrar el ángulo de inclinación……………….……....12 Pendiente de una recta……………………………………………….….….13 Ecuación de una recta…………………………………………………….…15 Ángulo entre rectas…………………………………………………………..17 Forma simétrica de una recta…………………………………………….…18 Distancia de un punto a una recta……………………….…………………19 Auto evaluación………………………………………………………….…...20 Formulario……………………………………………………………….….…26
La Circunferencia……………………………………………………………….……27 Ecuación ordinaria de la circunferencia……………………………….…...29 Ecuación de la circunferencia conociendo 3 puntos………………….….30 Encontrar la ecuación general de la circunferencia conociendo el centro y radio………………………………………………………………………....33 Encontrar la ecuación general de la circunferencia conociendo el centro y un punto………………………………………………………….….……....34 Encontrar la ecuación general de la circunferencia conociendo el diámetro y un punto……………………………………………….……...….35 Encontrar la ecuación general de la circunferencia conociendo el centro y que sea tangente a una recta………………………......................…….36 Ecuación de una circunferencia de centro un punto de intersección de rectas y además que pasa por un punto………………………….……….37 Mediatriz de un segmento……………………………………….……....….39
Auto evaluación………………………………….………………………….40 Formulario……………………………………………………………....…….43 La Parábola…………………………………………………………………….…..…44
Elementos de la parábola……………………………………………….…..45 Ecuación de una parábola pasando por 3 puntos…………………….….50 Parábola conociendo foco y la ecuación de la directriz……………….....52 Parábola conociendo el vértice y la ecuación de la directriz…………….54 Ecuación general y ecuación ordinaria…………………………………….56 Auto evaluación……………………………………………………...……….57 Formulario…………………………………………………………...………..64
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La Elipse…………………………..…………...……………………………………..65 Elementos de la elipse……………………………………………………....66 Ecuación general y Ecuación ordinaria de una elipse……………………70 Auto evaluación………………………………………………………………72 Formulario……………………………………………………………………..81
La Hipérbola………………………………………………………………………….82
Hallar todos los elementos de la hipérbola conociendo el centro, la longitud del eje transversal y la longitud del eje focal……………………85 Hallar la ecuación ordinaria de la hipérbola conociendo el eje conjugado y la longitud del lado recto…………………………………………………..88 Hallar la ecuación ordinaria de la hipérbola conociendo el centro, un vértice y un foco……………………………………………………………...89 Hallar la ecuación general de la hipérbola conociendo el centro, un vértice y la excentricidad…………………………………………………….90 Hallar la ecuación general de la hipérbola conociendo los focos y la excentricidad……………………….…………………………………………91 Hallar la ecuación ordinaria de la hipérbola conociendo los vértices y la excentricidad………………………………………….………………………92 Ecuaciones de las asintotas………………………………………………..94 Auto evaluación…………………………………………...…………………96 Formulario……………………………………..………………………………99
Formularios…………………………………………………………...……………..100
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PROGRAMACION SEMESTRAL:
*CONTENIDOS: -Segmento de Rectas 1.1 Punto medio de un segmento. 1.2 Distancia entre dos puntos. 1.3 División de un segmento en partes iguales. 1.4 Ángulo de inclinación de una recta.
1.41Forma corta de encontrar el ángulo de inclinación. 1.5 Pendiente de una recta 1.6 Ecuación de una recta 1.7 Ángulo entre rectas 1.8 Forma simétrica de una recta 1.9 Distancia de un punto a una recta.
-La Circunferencia: 2.1 Ecuación ordinaria de la circunferencia 2.2 Ecuación de la circunferencia conociendo 3 puntos 2.3 Encontrar la ecuación general de la circunferencia conociendo el centro y
radio. 2.4 Encontrar la ecuación general de la circunferencia conociendo el centro y
un punto 2.5 Encontrar la ecuación general de la circunferencia conociendo el diámetro y
un punto 2.6 Encontrar la ecuación general de la circunferencia conociendo el centro y
que sea tangente a una recta 2.7 Ecuación de una circunferencia de centro un punto de intersección de
rectas y además que pasa por un punto. 2.8 Mediatriz de un segmento
-La Parábola: 3.1 Elementos de la parábola 3.2 Ecuación de una parábola pasando por 3 puntos 3.3 Parábola conociendo foco y la ecuación de la directriz 3.4Parábola conociendo el vértice y la ecuación de la directriz 3.5 Ecuación general y ecuación ordinaria.
-La Elipse: 4.1 Elementos de la elipse 4.2Ecuación general y Ecuación ordinaria de una elipse
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-La Hipérbola: 5.1 Hallar todos los elementos de la hipérbola conociendo el centro, la longitud
del eje transversal y la longitud del eje focal. 5.2 Hallar la ecuación ordinaria de la hipérbola conociendo el eje conjugado y
la longitud del lado recto. 5.3 Hallar la ecuación ordinaria de la hipérbola conociendo el centro, un vértice
y un foco. 5.4 Hallar la ecuación general de la hipérbola conociendo el centro, un vértice y
la excentricidad. 5.5 Hallar la ecuación general de la hipérbola conociendo los focos y la
excentricidad. 5.6 Hallar la ecuación ordinaria de la hipérbola conociendo los vértices y la
excentricidad 5.7 Ecuaciones de las asintotas.
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* DESCRIPCION DEL CURSO: En este curso se introduce al alumno a la geometría analítica también llamada como “Sistema Cartesiano” que fue iniciada y desarrollada por el matemático y filosofo Renato Descartes. La Geometría analítica es la rama de la geometría en la que las líneas rectas, las curvas y las figuras geométricas se representan mediante expresiones algebraicas y numéricas usando un conjunto de ejes y coordenadas. Así cada parcial podremos ir conociendo cada uno de los temas en los que se divide la geometría analítica. Empezamos con los Segmentos de las Rectas donde se da un breve concepto y se enseña como conocer sus elementos y calcular las distancias entre ellos, así como poder dividirlo en partes iguales , sacar su ecuación etc. El siguiente tema es La Circunferencia donde igualmente se da un breve concepto seguido de una introducción a sus elementos y empezamos a desarrollar el tema explicando como encontrar su ecuación ordinaria para después explicar como conocer la ecuación general en distintos casos y así mismo encontrar elementos de la circunferencia conociendo algunos otros. El tercer tema a ver es La Parábola donde empezamos conociendo sus elementos y su definición y aprender a conocer sus elementos y ecuaciones contiendo solo determinados elementos. El cuarto y penúltimo tema será La Elipse donde solo conoceremos como sacar su ecuación general y su ecuación ordinaria en distintos casos. Y por ultimo veremos la Hipérbola con su definición, elementos y formulas para poder conocer sus elementos y ecuaciones en determinados casos, así como también conocer las ecuaciones de sus asintotas a diferencia de los demás temas. Que solo tienen la ecuación ordinaria y general.
*OBJETIVO DEL CURSO: Que al final del curso el alumno conozca, comprenda y aplique la geometría analítica. Esto quiere decir que conozca las definiciones de cada uno de los 5 temas, que pueda el alumno solo poder encontrar sus elementos y ecuaciones en determinados casos y poder graficar en los temas en los que sea necesario.
Por:
Darinka Alejandra Noriega García Maria Belén Aguilar Coronado
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1 SEGMENTO DE RECTAS
Entendemos por segmento de línea recta la porción de línea recta que tiene
como extremos los puntos y , se denota por o . SUBTEMAS DE LA RECTA. 1.10 Punto medio de un segmento. 1.11 Distancia entre dos puntos. 1.12 División de un segmento en partes iguales. 1.13 Ángulo de inclinación de una recta.
1.13.1 Forma corta de encontrar el ángulo de inclinación.
1.14 Pendiente de una recta 1.15 Ecuación de una recta 1.16 Ángulo entre rectas 1.17 Forma simétrica de una recta 1.18 Distancia de un punto a una recta. 1.19 Auto evaluación. 1.20 Formulario.
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1.1 PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO.
Punto medio es el punto que divide a un segmento en dos partes iguales. El punto medio de un segmento, es único y equidista de los extremos del segmento. Cumpliendo esta última condición, pertenece a la mediatriz del segmento. Ejemplo 1
Para encontrar el punto medio del segmento anterior no fue necesario tener que utilizar fórmulas o algún otro método, exceptuando el razonamiento. Es decir, suponiendo que A se encontraba en (2,0) y B en (6,0) solamente se utilizan operaciones mentales: tenemos un espacio disponible del 2 al 6, o sea 4 casillas disponibles para colocar nuestro punto. La mitad de 4 es 2, por lo que el punto medio se situaría 2 casillas después del punto A y 2 casillas antes del punto B, dándonos como resultados el punto medio localizado en (4,0). Ejemplo 2 En este ejemplo podemos ver que el segmento es vertical (eje y), donde A (2,8) y B (2,12), y teniendo como punto medio del segmento a (2,10): esto se comprueba con la formula:
2
21 xxx
2
21 yyy
Si sustituimos valores en las ecuaciones pasadas tendríamos:
Punto medio
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8
2
22 x 2x
2
128 y y 10
Y a partir de esos resultados ( 2x , y 10) graficamos y tenemos el punto
medio del segmento. Ejemplo 3: Grafiquemos A (2,8) y B (10,2)
Fórmulas: 2
102 x 6x
2
28y y 5
Sustituyendo los valores de A(x1=2, y1=8) y B(x2=10, y2=2) podemos graficar en las coordenadas el punto medio del segmento AB como (6,5). EJERCICIOS: 1.- Hallar el punto medio de A (2,8) y B (10,8) 2.- Hallar el punto medio de A (12,6) y B (8,4) 3.- Hallar el punto medio de A (0,0) y B (100, 256) 4.- Si el PM de AB es (2,8) y el punto A es (4,-2) hallar el valor de B.
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1.2 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.
Como su nombre lo dice, es la distancia comprendida de un punto a otro, o la cantidad de espacio comprendida de los límites del segmento. Ejemplo: La distancia de A (2,8) a B (1000,8) puede calcularse simplemente con saber que de 2 al 1000 existen 998 espacios disponibles. O podemos utilizar la fórmula:
dAB= 2
21
2
21 yyxx
Sustituyendo sería:
dAB= 222210002 dAB= 998
Ejemplo 2: Hallar la distancia de AB de A (2,8) y B (6,10) Hay dos formas de responderla: Siguiendo la fórmula anterior:
dAB= 2
21
2
21 yyxx
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dAB= 2210862
dAB= 4.47 O siguiendo el teorema de Pitágoras: Si prolongamos las líneas de las coordenadas del punto A hacia la derecha, y prolongamos las coordenadas del punto B hacia abajo, se forma un triángulo rectángulo, que tiene como valores catetos c=2 (ya que del espacio 8 al 10 tenemos 2 casillas) y cateto b=4 (tenemos 4 espacios disponibles entre el 2 y el 6); entonces nuestro segmento AB formaría lo que conocemos en un triángulo como hipotenusa. El teorema de Pitágoras se responde por la fórmula a2 = b2 + c2 Por lo que a2 = 42 + 22 a = 4.47 Generalmente, el saber la distancia que hay de un punto a otro en un segmento, nos sirve para obtener perímetros, áreas, o verificar que tipo de figura son o si forman parte de cuadriláteros, trapecios, o de las diferentes clasificaciones de triángulos. EJERCICIOS: 1.- Hallar la distancia de A (2,8) y B (2,-5) 2.- Verificar si el ABC es isósceles A (2,8); B (6,4); C (4,6) 3.- Hallar el perímetro y el área del triángulo cuyos vértices son A (2,8) B (4,1) y C (6,6) 4.- Verificar si el siguiente triángulo es isósceles A (3,8) B (-11,3) y C (-8,-12) 5.- Hallar la distancia de A (10,14) y B (20,18) 6.- Hallar la distancia de A (5,0) y B (0,5) 7.- Hallar la distancia de A (-3,2) y B (27,6) 8.- Hallar la distancia de A (1000,6590) y B (5000,9870)
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1.3 DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN PARTES IGUALES. Para poder dividir un segmento en partes iguales es necesario primero saber de cuanto espacio disponemos entre los puntos, y definir en cuantas partes la dividiremos. Ejemplo 1: Dividir el segmento A (2,8) y B (8,8) en 3 partes iguales.
La distancia que hay entre el segmento AB es de 6 espacios disponibles. Ahora para poder saber cuanto será lo que medirá cada parte del segmento, tenemos que dividir los espacios disponibles entre el número de partes que se dividirán: Parte de un segmento: espacio disponible Partes que se dividirán Parte del segmento: . 6 . Parte= 2 3 partes Es decir que cada parte del segmento estará formada por 2 casillas; por lo que estarán situadas en C= (4,8) y D= (6,8) Ejemplo 2: Hallar las coordenadas de los puntos D y E que dividen en 3 partes iguales a AB. A (1,2) B (10,8)
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Para poder dividir este segmento utilizamos la fórmula anterior. Parte de un segmento: espacio disponible Partes que se dividirán
Parte de un segmento: 3
9x x 3 espacios.
Parte de un segmento: 3
9y y 2 espacios.
Por lo que en este ejemplo el punto D quedará en (4,4); es decir 3 espacios hacia la derecha del punto anterior A (eje de la x) y 2 espacios hacia arriba del punto anterior A (eje de la y). EJERCICIOS: 1.- Hallar las coordenadas de los puntos D y E que dividen en 3 partes iguales a AB. A (2,3) B (14,11) 2.- Encontrar las coordenadas de los 2 puntos que dividen al segmento AB en tres partes iguales, si A (-2,-2) y B (10,4) 3.- Coordenadas de los puntos C, D, E, F, que dividen en 5 al segmento AB. A (10,15) B (24,20) 4.- Hallar las coordenadas de los puntos D y E que dividen en 3 partes iguales a AB. A (7,11) B (20,31) 5.- Hallar las coordenadas de los puntos D y E que dividen en 3 partes iguales a AB. A (5,5) B (-3,-1) 6.- Coordenadas de los puntos C, D, E, F, que dividen en 5 al segmento AB. A (1,0) B (50,72) 7.- Coordenadas de los puntos C, D, E, F, que dividen en 5 al segmento AB. A (-15,-6) B (12,19)
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1.4 ÁNGULO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA.
Se le llama ángulo de inclinación al ángulo que se forma con la recta y el eje X. Para resolver el ángulo de inclinación es necesario utilizar la forma trigonométrica Tan -1 (debido a que buscamos el ángulo interior del triángulo); tomando en cuenta a la recta como un triángulo rectángulo. Ejemplo: hallar el ángulo de inclinación de la recta que pasa por A(2,3) y B(5,10) Cuando prolongamos los ejes, estos forman un triángulo, cuya dimensión de cada lado, es la cantidad de casillas disponibles entre un punto y otro (del 2 al 5 hay 3 espacios, y del 3 al 10 hay 7 espacios), por lo que puede decirse que conocemos el valor de nuestros catetos. Tan-1 (cateto opuesto/cateto adyacente) = ángulo de inclinación. Tan-1 (7/3) = ángulo de inclinación Ángulo de inclinación = 66.80° El ángulo de inclinación SIEMPRE va a estar según el eje de las X. EJERCICIOS: 1.-Encontrar el valor del ángulo de inclinación de la recta que pasa por A(0,8) y B(4,0) 2.-Hallar el ángulo de inclinación de la recta que pasa por A(4,-1) y B(6,6) 3.- Encontrar el ángulo de inclinación de la recta que pasa por A(0,0) y B(0,1)
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4.- Encontrar el ángulo de inclinación, la distancia de A a B y el punto medio de AB de A(2,8) y B(-10,-16) 5.- Encontrar el ángulo de inclinación de la recta que pasa por A(10,10) y B(1,1)
1.4.1 FORMA CORTA DE ENCONTRAR EL ÁNGULO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA.
Para obtener el ángulo de inclinación de manera corta y sin necesidad de
graficar se calcula Tan -1 12
12
xx
yy
En el caso remoto de que el ángulo de inclinación nos quedará negativo entonces se le suma 180° para hacerlo positivo. Ejemplo: determinar el ángulo de inclinación de la recta que pasa por A(2,8) y B(4,5) Tan-1 (5-8)= Tan-1 (-3) = -56.30 + 180= 123.69°
(4-2) (2) EJERCICIOS: 1.-Encontrar el valor del ángulo de inclinación de la recta que pasa por A(0,8) y B(4,0) 2.-Hallar el ángulo de inclinación de la recta que pasa por A(4,-1) y B(6,6) 3.- Encontrar el ángulo de inclinación de la recta que pasa por A(0,0) y B(0,1) 4.- Encontrar el ángulo de inclinación, la distancia de A a B y el punto medio de AB de A(2,8) y B(-10,-16) 5.- Encontrar el ángulo de inclinación de la recta que pasa por A(10,10) y B(1,1) *Pero ahora de forma corta, y comprobar que los resultados sean los mismos.
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1.5 PENDIENTE DE UNA RECTA
Para encontrar la pendiente de una recta se utiliza las siguientes fórmulas:
a)
12
12
xx
yym
b)B
Am
c) 1 Tanm
Donde m representa la pendiente de la recta. Estas 3 fórmulas nos llevan al mismo resultado: la pendiente de una recta, peor cada una se utiliza según los datos que conozcamos:
a) Esta fórmula se utiliza cuando se conocen 2 puntos de la recta. b) Esta fórmula se utiliza cuando se conoce la ecuación de la recta, y se
toma como A el valor que tiene x y como B el valor que tiene y. c) Esta fórmula se utiliza cuando se conoce el ángulo de inclinación.
La pendiente de una recta representa que tan inclinada está. Por ejemplo: 1.- Si la “m” = 0 la recta es horizontal. 2.- Si la “m” > 0 la recta tiene un ángulo de inclinación menor que 90° 3.- Si la “m” < 0 la recta tiene un ángulo de inclinación mayor que 90° 4.- Si la “m” no se puede calcular, entonces la recta es vertical. Ejemplo 1: Hallar el valor de “m” de la recta que pasa de A (2,4) a B (2,6)
0
2
22
46
mm No se puede calcular, es vertical.
Ejemplo 2: Hallar el valor de “m” de la recta que pasa por A (2,3) y B (5,10)
3
7
25
310
mm m 2.33 su ángulo de inclinación es mayor a 90°
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Ejemplo 3: Demostrar que las siguientes rectas son paralelas.
a) 3x – 8y + 36 =0
b) 3x - 8y – 19 =0
Para resolver este problema tomaremos los valores de x como A y los valores de y como B
a) B
Am
8
3
m
b) B
Am
8
3
m si son paralelas.
EJERCICIOS: 1.- Hallar el valor de “m” de la recta que pasa por A(4,10) y B(8,10) 2.- Encontrar el valor de m que pasa por A(10,2) y B(7,8) 3.- Hallar el valor de “m” de la recta que pasa por A(-15,8) y B(3,5) 4.- Hallar el valor de “m” de la recta que tiene como ángulo de inclinación 36° 5.- Hallar el valor de “m” de la recta y = -2x +18
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1.6 ECUACIÓN DE UNA RECTA
Para encontrar la ecuación de una recta se utiliza la siguiente fórmula, para la cual es necesaria conocer de antemano la pendiente de una recta o “m”.
11 xxmyy
Ejemplo: Encontrar la ecuación de la recta AB que pasa por A y B, que tiene como pendiente 2.5 donde A (2,1) y B(4,6)
11 xxmyy
)2(5.21 xy
55.21 xy
45.2 xy Ecuación de la recta
Ejemplo 2: encontrar 5 puntos de la recta A(10,2) y B(7,8) Primero es necesario sacar el valor de m.
3
6
107
28
12
12
mm
xx
yym m -2
Cuando se tiene la “m” se sustituye en la fórmula.
11 xxmyy
)10(22 xy
2022 xy
222 xy Ecuación de la recta
Para calcular los puntos de la recta es necesario añadirle valores a la x y mediante la tabulación y por medio de la ecuación obtener el valor de la y.
Al obtener ya los resultados, esos serán los puntos por donde la recta de la ecuación pasará.
NOTA: 1.- Para saber la pendiente, solamente se toma los datos de uno de los puntos de la recta.
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2.- cuando dos rectas tienen el mismo valor de las pendientes entonces significa que las rectas son paralelas. 3.- cuando dos rectas son perpendiculares, la multiplicación de las pendientes debe de ser de -1. EJEMPLO: De las siguientes rectas, ver cuales son paralelas y cuales son perpendiculares entre sí.
a) y= - 2x -5 b) y = 2
1x -6 c) y= -2x +18
EJERCICIOS: 1.- Realizar la gráfica de la recta y=4x + 8 y encontrar el valor de su pendiente. 2.- Realizar la gráfica de la recta y=1/2x + 3 además encontrar el valor de la pendiente y el ángulo de inclinación 3.- Encontrar el valor de la pendiente de la siguiente recta 4x + 2y +10=0 4.-Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(2,-5) y que tiene una pendiente de 1/2 5.- Hallar el valor de la pendiente de la recta 2x+y-18=0 6.-Determinar cuales de las siguientes rectas son paralelas y cuales perpendiculares: a) x + y + 7 =0 b) 2x+ 2y + 10 =0 c) 3x – 2y + 5 =0 d) 2x + 3y + 7=0
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1.7 ÁNGULOS ENTRE RECTAS.
Para encontrar el ángulo entre 2 rectas se usa:
))((1 12
121
mm
mmTan
Ejemplo: hallar el ángulo entre las rectas Y= 4X + 8 y Y= -2X + 1 a) y= 4x + 8 m1 =4 b) y= -2x + 1 m2=-2
))((1 12
121
mm
mmTan
139.39°
)4)(2(1
421
Tan
EJERCICIOS. 1.- Encontrar uno de los ángulos interiores del triángulo que se forma al cruzarse las rectas Y= -2X + 5, Y= 4X -1, Y= 3X + 7. 2.- Encontrar uno de los ángulos interiores del triángulo que se forma al cruzarse las rectas Y= X + 12, Y= -6X + 2, Y= -X + 10. 3.- Encontrar uno de los ángulos interiores que se forma al cruzarse las rectas Y= 4X + 1, Y= -3X -9
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4.- Encontrar uno de los ángulos interiores del triángulo que se forma al cruzarse las rectas Y= X + 1, Y= -2X +3, Y= 5X. Hacer gráficas.
1.8 FORMA SIMÉTRICA DE UNA RECTA.
La forma simétrica de una recta nos ayuda a conocer las coordenadas de los puntos en los que cruzará la recta al eje x y al eje y.
1b
y
a
x
La letra a representa el punto donde la recta cruzará al eje de la x, y la letra b representa el punto donde se cruzará al eje de la y. Ejemplo:
132
yx
Para encontrar una ecuación en su forma simétrica primero se encuentra la
fórmula general ( 11 xxmyy ). Después se iguala a 1, así quedarán
simétricas. Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por A (2,10) y B (6,-2) en su forma simétrica. Primero se saca la m de la recta.
362
)2(10
12
12
mm
xx
yym
Se saca la ecuación de la recta. y – y1= m (x – x1)
y – (-2) = -3 (x – 6)
y + 2= -3x +18
3x + y – 16=0
Se acomoda números de un lado, letras del otro y se iguala a 1. 3x + y = 16
3x +y = 16
16 16
116
3
16
yx Esta es la forma simétrica de la recta.
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EJERCICIOS: 1.-Hallar la forma simétrica de la recta que pasa por A (6,12) y B (-8,10) 2.- Hallar la forma simétrica de la recta que pasa por A (10,5) y B (6,-3) 3.- Hallar la forma simétrica de la recta que pasa por A (-5,4) y B (-7,-1) 4.- Hallar la forma simétrica de la recta que pasa por A (0,0) y B (-7,10)
1.9 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.
Para calcular la distancia mínima de un punto a una recta, se utiliza la siguiente fórmula:
22 BA
CByAxD
Tomando en cuenta como letras A al número que acompaña a la X, como letra B al número que acompaña a la Y, y como letra C al número que esta solo en la ecuación. Ejemplo: Hallar la distancia del punto (4,6) a la recta 7X – 8Y + 3=0
22 BA
CByAxD
))8(7(
3)6)(8()4)(7(
)2
D
D= - 1.59 D= 1.59 NOTA: el resultado siempre dará positivo, debido a que las líneas que la fórmula tiene en sus extremos ( | o valor absoluto), sirven para poder quitar cualquier negativo y convertirlo a positivo. EJERCICIOS: 1.- Encontrar la distancia de (2,-3) a la recta -5x + 2y + 5=0 2.- Encontrar la distancia entre las siguientes rectas paralelas. 4x + 2y + 8=0, 2x + y + 10=0.
3.- Encontrar la distancia de (5,8) a la recta -x + 5y + 6=0
4.- Encontrar la distancia de (2,-3) a la recta 5x - 3y + 9=0
5.- Encontrar la distancia entre las siguientes rectas paralelas. 3x - 5y + 1=0, x + y - 4=0.
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1.10 AUTOEVALUACIÓN.
1.-Hallar el valor de la letra Y si la pendiente de la recta es 8 y la recta pasa por A(6,3) y por B(4,y) 2.- Hallar le valor de la letra X si la distancia de A a B es de 10. A(x,8) y B(5,10)
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3.- Encontrar en el triángulo cuyos vértices son A(2,-4) B(6,2) y C(8,1): a) su área b) distancia de AB c) ecuación de la recta que pasa por BC. d) punto medio AC e) la distancia de la recta CB. f) encontrar el ángulo de inclinación de la recta que pasa por AC. g) encontrar las coordenadas de 2 puntos que dividan en 3 partes iguales a AC. h) el ángulo interior al triángulo de vértice A.
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4.- Las ecuaciones de los lados de un cuadrilátero son 3x – 8y + 36=0,
x + y – 10=0, 3x– 8y -19=0, x + y + 1=0. Hallar las coordenadas de sus vértices y demostrar que es un paralelogramo. 5.- Hallar el área del triángulo cuyos vértices son (4,5), (5,6)(7,8)
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6.- Encontrar la distancia de (4,7) a la recta 5x – y – 6=0
7.- Encontrar uno de los ángulos que forman las siguientes rectas al cruzarse: 3x + 5y + 15=0, x + 3y + 8=0.
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8.- Encontrar el valor de la letra K si se sabe que la pendiente de la siguiente recta es 3. 4x– k(y) – 7=0
9.- Encontrar la forma simétrica de la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,4) y tiene una pendiente de 7.
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10.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por A (2,-10) y B (-6,-8).
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1.11 FORMULARIO
Fórmula
Tema.
2
21 xxx
2
21 yyy
Punto medio.
dAB= 2
21
2
21 yyxx
Distancia entre dos puntos
Parte de un segmento: espacio disponible Partes que se dividirán
División de un segmento en partes iguales.
Tan-1 (Cateto opuesto)= Ɵ inclinación. (Cateto adyacente)
Ángulo de inclinación.
Tan -1 12
12
xx
yy
= Ɵ inclinación.
Forma corta del ángulo de inclinación.
12
12
xx
yym
B
Am
1 Tanm
Pendiente de una recta
11 xxmyy
Ecuación de una recta
))((1 12
121
mm
mmTan
Ángulo entre rectas.
Distancia de un punto a una
Matemáticas IV
29
22 BA
CByAxD
recta.
2 LA CIRCUNFERENCIA
La circunferencia es conjunto de puntos cuya distancia a otro punto llamado
centro es siempre la misma. Los puntos de la circunferencia y los que se encuentran dentro de ella forman un círculo.
La circunferencia no es paralela a ningún eje y solo depende de donde este su centro (h, k) y de la magnitud de su radio (r). Sus elementos principales son: el centro, el radio, la grafica, la ecuación general y la ecuación ordinaria * Para conocer su área usamos/utilizamos la siguiente formula:
2rA
Tomando en cuenta que el radio es la mitad del diámetro de la circunferencia
Matemáticas IV
30
SUBTEMAS DE LA CIRCUNFERENCIA: 2.1 Ecuación ordinaria de la circunferencia 2.2 Ecuación de la circunferencia conociendo 3 puntos 2.3 Encontrar la ecuación general de la circunferencia conociendo el centro y
radio. 2.4 Encontrar la ecuación general de la circunferencia conociendo el centro y
un punto 2.5 Encontrar la ecuación general de la circunferencia conociendo el diámetro y
un punto 2.6 Encontrar la ecuación general de la circunferencia conociendo el centro y
que sea tangente a una recta 2.7 Ecuación de una circunferencia de centro un punto de intersección de
rectas y además que pasa por un punto. 2.8 Mediatriz de un segmento 2.9 Auto evaluación 2.10 Formulario
Matemáticas IV
31
2.1 ECUACIÓN ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA Procedimiento: Si tenemos una ecuación como esta: X² + y² + 10x – 8y + 2 = 0 Primero acomodamos las literales colocando las x’s del lado izquierdo y las y’s del lado derecho, pasando a los numerales del otro lado del igual: X² + 10x + y² – 8y = -2 Al número que acompañe ala literal lo dividimos entre dos y lo elevamos al cuadrado: X² + 10x + y² – 8y = -2
* 52
10
*5(5) = 25
* 42
8
*(-4) (-4) = 16 Sumamos estos 2 números y los pasamos con su mismo signo al otro lado del igual acompañando al numeral. X² + 10x + y² – 8y = -2 + 41 Por ultimo para hacer una ecuación ordinaria le sacamos la mitad al 10x y al 8y y los ponemos así: (X + 5)² + (y – 4)² = 39
EJERCICIOS: *Hallar la ecuación ordinaria de la circunferencia:
Matemáticas IV
32
a) X² + y² + 8x – 8y + 3 = 0 b) X² + y² - 6x + 12y +5 = 0 c) X² + y² +100x +200y + 300= 0 d) X² + y² -5x + 8y + 7 = 0 e) X² + y² + 12x + 16y +16 = 0
2.2 ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA CONOCIENDO 3 PUNTOS
Algunas veces se puede pedir que se encuentre la ecuación general de la circunferencia conociendo solo 3 puntos que la tocan.
Procedimiento: Aquí tenemos que utilizar/usar la siguiente formula:
X² + y² + Dx + Ey + F = 0
Si tenemos los siguientes puntos: A: (6, 2) B: (8,-2) C: (3,-7) A los tres puntos les aplicamos la formula tomando como x al primer numero y como y al segundo, por ejemplo en el punto A(6,2) Entonces en la formula donde tenemos x’s y y’s las remplazamos con estos números: *A: X² + y² + Dx + Ey + F = 0 6(6) + 2(2) + D (6) + E (2) + F = 0 36 + 4 + 6D + 2 E + F = 0 Ponemos literales a la izquierda del igual y numerales ala izquierda: 6D + 2E +F= -40 (ECUACION NUM. 1) *B: X² + y² + Dx + Ey + F = 0 (8)(8) + (-2) (-2) + D (8) + E (-2) + F = 0 64 + 4 + 8D -2E +F =0 Ponemos literales a la izquierda del igual y numerales ala izquierda: 8D -2E +F= -68 (ECUACION NUM.2) *C: X² + y² + Dx + Ey + F = 0 (3)(3) + (-7) (-7) + D (3) + E (-7) + F = 0 9 + 49 + 3D – 7E + F = 0 Ponemos literales a la izquierda del igual y numerales ala izquierda: 3D – 7 E + F = -58 (ECUACION NUM. 3)
Matemáticas IV
33
*Despejamos las letras con el método de suma y resta
*2842
-68F2E-8D
40F-2E-6D-
ED *
-189E-3D-
-58F7E-3D
40F-2E-6D-
*2D-4E=-28(3) -3D-9E=-18(2)
12030
36186
84126
E
ED
ED
3
120E
E=4 *2D-4(4)=-28 2D-16=-28 2D=28+16
2
12D
D=-6 *6(-6)+2(4)+F=-40 -36+8+F=-40 F= -40+36-8 F=12 *Y por ultimo sustituimos los valores de las letras E,D,F en la ecuación: X² + y² + Dx + Ey + F = 0 X² + y² -6x +4y -12=0
Matemáticas IV
34
EJERCICIOS: *Encontrar la ecuación general de la circunferencia que pasa por los puntos: a) (2,-2) (-1,4) (4,8) b) (2,4) (23,2) (8.62) c) (4,2) (2,4) (2,0) d) (2,10) (5,7) (-1,7) e) (3,5) (5,8) (-2,14) f) (4,20) (10,14) (-2,14) g) (4,-4) (-2,8) (8,16) h) (2,-4) (-5,4) (4,10) i) (-2, 6) (-5,4) (-5,8) j) (5,-20) (-4,4) (8,10)
Matemáticas IV
35
2.3 ENCONTRAR LA ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA CONOCIENDO EL CENTRO Y RADIO.
Procedimiento: Encontrar la ecuación general de la circunferencia si tiene de centro: (4,11) y un radio 5 Se utiliza la siguiente formula como en el ejercicio pasado: (x-h)² + (y-k)² = r² (x-h)² + (y-k)² = r² (x-4)² + (y-1)² = 5² *Desarrollamos los binomios al cuadrado: X² -8x + 16+ y² - 2y + 1 = 25 *Ordenamos la ecuación poniendo: Primero los cuadrados Segundo las literales Tercero los numerales: X²+ y² - 8x – 2 y + 17 = 25 *Ya por ultimo Igualamos la ecuación a cero, pasando el número que esta ala izquierda del igual para la derecha: Ecuación general: X²+ y² - 8x – 2 y – 8 = 0 EJERCICIOS: *Encontrar la ecuación general de la circunferencia que tiene: a) centro (2,8) y radio = 8 b) centro (-5,-1) y radio = 2.5 c) centro en el origen (0,0) y radio = 2 d) centro (0,0) y radio = 3 e) centro (-2,3) y radio = 3.4 f) centro ( 2,4) y radio = 2
Matemáticas IV
36
2.4 ENCONTRAR LA ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA CONOCIENDO EL CENTRO Y UN
PUNTO. Procedimiento: Encontrar la ecuación general de la circunferencia si se tiene un centro de (5, -1) y que pasa por (7, -6) 1.- Se utiliza la formula de la distancia para sacar el radio
d=
2
21
2
21 )()( YYXX
d=22 )61()75(
d= 29
Radio = 4.89 2.- Ya teniendo el radio se usa la siguiente formula justo como en el ejercicio pasado: (x-h)² + (y-k)² = r² (x-5)² + (y-(-1))² = 4.89² X² - 10x + 25 + y² + 2y +1 = 29 X² + y² - 10x + 2y – 3 = 0 EJERCICIOS: *Encontrar la ecuación general de la circunferencia que tiene: a) centro (2,8) y pasa por: (5,-7) b) centro (8,-1) y pasa por: (0,0) c) centro (2,8) y pasa por: (-3,-1) d) centro (0,0) y pasa por: (6,8) e) centro (4,5) y pasa por: (-8,6)
Matemáticas IV
37
2.5 ENCONTRAR LA ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA CONOCIENDO EL DIÁMETRO Y UN
PUNTO Procedimiento: Encontrar la ecuación general de la circunferencia si se tiene un diámetro de (-3,5) y que pasa por (7, -3) 1.- Se utiliza la formula de la distancia para poder sacar el radio.
d=2
21
2
21 )()( YYXX
d=22 )35()73(
d= 64100
Radio = 6.40 2.- Se saca el centro con su formula
2
21 XX ;
2
21 YY
2
73 ; 2
35
Centro = (2,1) 3.- Se utiliza la siguiente formula como en los ejercicios anteriores: (x-h)² + (y-k)² = r² (x-2)² + (y-1)² = 6.40² X² - 4x + 4 + y² - 2y +1 = 40.96 X² + y² - 4x - 2y – 35.96 = 0 EJERCICIOS: *Encontrar la ecuación general de la circunferencia que tiene a) Un diámetro (2,3) y que pasa por (-4,5) b) Un diámetro (5,8) y que pasa por (5,4 c) Un diámetro (6,9) y que pasa por (-7,6) d) Un diámetro (2,4) y que pasa por (4,-8) e) Un diámetro (3,5) y que pasa por (-5,8)
Matemáticas IV
38
2.6 ENCONTRAR LA ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA CONOCIENDO EL CENTRO Y QUE
SEA TANGENTE A UNA RECTA. Procedimiento: Encontrar la ecuación general de la circunferencia si se tiene un centro de (0,-2) y que sea tangente a la recta: 5x – 12y + 2 = 0 1.- Se utiliza esta otra formula de la distancia para así poder obtener el radio:
d= 22 BA
CByAx
d=14425
2240
d=169
26
d= 13
26
Radio = 2 2. Se utiliza la siguiente formula como en los ejercicios pasados: (x-h)² + (y-k)² = r² (x-0)² + (y-(-2))² = 2² X² + y² - 4y +4 = 4 X² + y² + 4y = 0 EJERCICIOS: *Encontrar la ecuación general de la circunferencia que tiene a) Un centro (2,-3) y que sea tangente a: x=0 b) Un centro (4,-1) y que sea tangente a la recta: -7x + 2y=8 c) Un centro (2,4) y que sea tangente a la recta: -8x + 2y -3 =0 d) Un centro (2,1) y que sea tangente a la recta : 5x+6y+4=0
Matemáticas IV
39
2.7 ECUACIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA DE CENTRO UN PUNTO DE INTERSECCIÓN DE RECTAS Y ADEMÁS QUE
PASA POR UN PUNTO.
Procedimiento: Encontrar la ecuación general que pasa por el punto: (2,4) y que además tenga su centro en el punto de intersección de las rectas: 4x – 2 y = 0 y -x + 2y = 3 1.- Se resuelve el sistema de ecuaciones por el método de suma y resta, obteniendo así el centro de la circunferencia.
Sustituimos:
33
32
024
x
yx
yx
-x + 2y = 3
-1 + 2y =3 X=1
2
13y
y = 2
2.- Se obtiene la distancia del centro al punto que se nos da, obteniendo el valor del radio. Centro: (1, 2) Punto dado: (2,4)
d=
2
21
2
21 )()( YYXX
d=22 )24()12(
d= 5
Radio=2.23 3.- Se sustituyen las coordenadas del centro y del radio en la formula de la ecuación de la circunferencia. (x-h)² + (y-k)² = r² (x-1)² + (y-2)² = 2.23² X² - 2x + 1 + y² - 4y + 4 = 5
Matemáticas IV
40
X²+ y² - 8x – 2 y + 17 = 25 X² + y² - 2x + 4y = 0 EJERCICIOS: *Encontrar la ecuación general que: a) pasa por el punto: (5,6) y que además tenga su centro en el punto de intersección de las rectas: 2x + 4 y = 0 y -2x + 5y = 8 a) pasa por el punto: (3,7) y que además tenga su centro en el punto de intersección de las rectas: 9x + 8y = 7 y -6x + 2y = 7 a) pasa por el punto: (4,8) y que además tenga su centro en el punto de intersección de las rectas: 4x – 8y = 9 y 8x - 5y = 0 a) pasa por el punto: (9,2) y que además tenga su centro en el punto de intersección de las rectas: -5x + 3y = -9 y 6x + 9y = 8
Matemáticas IV
41
2.8 MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento y que pasa por su punto medio. Procedimiento: Encontrar la ecuación de la mediatriz al segmento AB si A:(6,8); B:(2,-2) 1.- Se obtiene el punto medio del segmento
Pm= 2
21 XX ;
2
21 YY
Pm= 2
26 ; 2
28
Pm= (4,3) 2.- se obtiene la pendiente del segmento
m= 12
12
XX
yY
m=26
82
=
4
10 =
2
5
3.- se invierte la pendiente y se le cambia de signo
m=5
2
4.- Se utiliza la formula de una recta con el punto medio y la pendiente invertida para obtenerla con la mediatriz.
)X-(X m Y - Y 11
4)-(X 5
2 3 - Y
Pasamos el 5 multiplicando del otro lado del igual.
5 4)-(X 2 3) - (Y
Hacemos las dos multiplicaciones 5y – 15 = 2x – 8 Por ultimo, acomodamos la ecuación e igualamos a cero. -2x + 5y -7 =0 EJERCICIOS: Encontrar la ecuación de la mediatriz al segmento AB si a) A:(2,8); B:(-2,8) b) A:(8,9); B:(6,-4)
Matemáticas IV
42
c) A:(7,4); B:(4,-4) d) A:(12,16); B:(4,-4)
2.9 AUTOEVALUACION
1) Encontrar la ecuación general de la circunferencia que tiene: a) Su centro en (2,3) y un Radio=4 b) Su centro en (-1,-3) y que pase por (4,7) c)Su centro en (6,4) y sea tangente a 3x-6y+3=0
Matemáticas IV
43
d) de diámetro = 6 y que pase por (4,2) e) su centro en (2,3) y sea tangente ala recta -3x+2y=-1
Matemáticas IV
44
2.- Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos: (2,-8)(2,-4)(4,-6)
Matemáticas IV
45
2.10 FORMULARIO:
Formula
Tema.
(x-h)² + (y-k)² = r²
Ecuación Ordinaria
X² + y ² + Dx + Ey + F = 0
Ecuación General
2
12 XXX
;
2
12 YYY
Sacar el centro y el punto medio cuando se tienen 2 puntos.
d= 2
21
2
21 )()( YYXX Distancia entre dos puntos, se utiliza para obtener el radio.
d= 22 BA
CByAx
Distancia entre teniendo 3 puntos, se utiliza para obtener el radio.
12
12
XX
YYm
Pendiente de una recta (se utiliza en la mediatriz de un segmento)
)X - (X m Y -Y 11 Ecuación de una recta (se utiliza en la mediatriz de un segmento)
Matemáticas IV
46
3 LA PARÁBOLA
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta fija, llamada directriz
SUBTEMAS DE LA PARÁBOLA: 3.1 Elementos de la parábola 3.2 Ecuación de una parábola pasando por 3 puntos 3.3 Parábola conociendo foco y la ecuación de la directriz 3.4 Parábola conociendo el vértice y la ecuación de la directriz 3.5 Ecuación general y ecuación ordinaria. 3.6 Auto evaluación. 3.7 Formulario
Matemáticas IV
47
3.1 ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA
Existen 4 formas en las que puede estar posicionada una parábola: hacia arriba, hacia abajo, hacia la derecha o hacia la izquierda; y según sea el caso serán las fórmulas utilizadas para conocer sus elementos. Tipos de parábolas:
ARRIBA. ABAJO. DERECHA. IZQUIERDA. NOTA: 1.- el foco y la directriz siempre estarán a la misma distancia del vértice, es decir, si el foco estuviera a x espacios del vértice, la directriz tendría que estar a x espacios del mismo, pero del lado contrario que el foco, como se muestra en la figura anterior, es decir, el vértice siempre estará entre el foco y la directriz. 2.- Dependiendo de hacia donde este dirigido el foco, podemos saber si la parábola es hacia arriba, hacia abajo, izquierda o derecha. Siempre para donde este dirigido el foco, será la posición de la parábola, comos e observa en el dibujo.
Matemáticas IV
48
FÓRMULA DE LA ECUACIÓN ORDINARIA:
ARRIBA
kyphx 42
ABAJO
kyphx 42
DERECHA
)(42
hxpky
IZQUIERDA
)(42
hxpky
FÓRMULA PARA ENCONTRAR LOS FOCOS:
ARRIBA
F= pkh ,
ABAJO
F= pkh ,
DERECHA
F= kph ,
IZQUIERDA
F= kph ,
FÓRMULAS PARA DETERMINAR LA ECUACIÓN DE LA DIRECTRIZ.
ARRIBA
y= k - p
ABAJO
y= k + p
DERECHA
x= h - p
Matemáticas IV
49
FÓRMULA PARA ENCONTRAR LOS EXTREMOS DEL LADO RECTO:
ARRIBA
pkphP ,21
pkphP ,22
ABAJO
pkphP ,21
pkphP ,22
DERECHA
pkphp 2,1
pkphP 2,2
IZQUIERDA
pkphp 2,1
pkphP 2,2
SIGNIFICADO DE LAS LETRAS: h= es la x del vértice. k= es la y del vértice
p=distancia del vértice al foco o a la directriz. EJEMPLOS:
1.- Encontrar todos los elementos de la parábola (x – 2)2 = 24 (y – 6)
Primero encontraremos la dirección de la parábola siguiendo la ecuación ordinaria que tenemos, tomando en cuenta las ecuaciones pasadas y fijándonos en:
(x – 2)2 = 24 (y – 6)
Observamos que en el primer paréntesis esta la x al cuadrado, por lo que significa que puede ser hacia arriba o hacia abajo. Ahora nos fijamos en el siguiente número:
(x – 2)2 = 24 (y – 6)
Si esta positivo, significa que va hacia arriba. Por lo tanto:
IZQUIERDA
x= h + p
Matemáticas IV
50
(x – 2)2 = 24 (y – 6) (x – h)
2 = 4p (y – k)
Ecuación ordinaria. Para encontrar la ecuación general solo es necesario desarrollar la ecuación ordinaria:
(x – 2)2 = 24 (y – 6)
(x2 – 4x +4) = 24y - 144 x
2 – 4x - 24y = - 144 - 4 x
2 – 4x - 24y +148 =0 Ahora encontraremos el vértice guiándonos en los números que se encuentran dentro de los paréntesis:
(x – 2)2 = 24 (y – 6)
Esos números nos darán las coordenadas del vértice, sólo que con el signo contrario, es decir, el vértice de esta parábola esta situado en (2,6) Podemos calcular la “p” así:
(x – 2)2 = 24 (y – 6)
Dividiendo el número que esta después del igual entre 4, debido a que la fórmula nos dice que (x – h)
2 = 4p (y – k)
Por lo que tenemos como p=6 Como ya conocemos el valor de h, k, p y sabemos que la parábola abre hacia arriba, podemos sacar con las fórmulas los demás elementos: FOCO:
F= pkh , F= (2,6+6) F= (2,12)
EXTREMOS DEL LADO RECTO:
pkphP ,21 66,1221 P 1P (14,12)
pkphP ,22 66,1222 P 2P (-10,12) ECUACION DE LA DIRECTRIZ:
y= k – p y= 6 - 6 y= 0
Matemáticas IV
51
LONGITUD DEL LADO RECTO: Este valor puede sacarse de una manera muy sencilla, fijándonos en el número que esta después del signo del igual (=), o multiplicar el valor de p por 4.
(x – 2)2 = 24 (y – 6)
p=6 entonces 6 x 4=24 L.L.R. =24 EJERCICIOS: 1.-Encontrar todos los elementos de la parábola que tiene su vértice en el punto (2,3) y su foco en el punto (2,7). 2.-Hallar los elementos de la parábola que tiene como vértice (2,1) y foco en (6,1) 3.-Hallar los elementos de la parábola que tiene como vértice (0,0) y foco en (3,0) 4.-Encontrar todos los elementos de la parábola que tiene su vértice en el punto (-5,6) y su foco en el punto (-5,3). 5.-Encontrar todos los elementos de la parábola que tiene su vértice en el punto (2,0) y su foco en el punto (2,7).
Matemáticas IV
52
3.2 ECUACIÓN GENERAL DE UNA PARÁBOLA PASANDO
POR 3 PUNTOS
Para resolver estos tipos de problemas es necesario utilizar dos fórmulas:
Eje vertical
x2+ Ex + Dy + F=0
Eje horizontal.
y2+ Ex + Dy + F=0
La fórmula del eje vertical, sirve para las parábolas que abren hacia arriba o hacia abajo, en cambio la fórmula del eje horizontal sirve para aquellas parábolas que abren hacia la derecha o hacia la izquierda. Ejemplo 1: Hallar las ecuación de la parábola cuyo eje sea vertical y pasa por los puntos (4,5) (-2,11) (-4,21) Primero es necesario sustituir cada uno de los puntos en la ecuación correspondiente al eje que tiene, es decir, en este caso serán tres ecuaciones sustituyendo los tres punto es en cada una de ellas.
a) 16 + 4E + 5D + F=0
b) 4 – 2E + 11D + F=0
c) 16 -4E +21D +F=0
Ahora utilizaremos el método de suma y resta. Haciendo combinaciones para que las tres ecuaciones sean utilizadas. Por ejemplo:
a) 16 + 4E + 5D + F=0
b) 4 – 2E + 11D + F=0
-16 – 4E – 5D – F =0
4 – 2E + 11D + F=0
-12 – 6E + 6D =0
b) 4 – 2E + 11D + F=0
c) 16 -4E +21D +F=0
-4 + 2E – 11D – F=0
16 – 4E + 21D + F=0
12 – 2E + 10D =0
Matemáticas IV
53
Combinamos las dos ecuaciones resultantes para obtener el valor de la primer incógnita.
-12 – 6E + 6D =0
12 – 2E + 10D =0
-12 – 6E + 6D=0
-36 + 6E – 30D =0
-48 - 24D =0
D= 24
48
D= -2
Teniendo el valor de una de las incógnitas, solo es cuestión de sustituir en las demás ecuaciones para obtener los resultados finales.
-12 – 6E + 6D =0
-12 – 6E + 6(-2) =0
-12 – 6E - 12 =0
-6E= 24
E=6
24
E= -4
4 – 2E + 11D + F=0
4 – 2(-4) + 11(-2) + F=0
4 + 8 – 22 + F =0
F=10
Para terminar, los valores obtenidos se sustituyen en la fórmula del eje vertical, y el resultado será lo mismo que la ecuación general de la parábola.
x
2+ Ex + Dy + F=0
x2 -4x -2y + 10=0
EJERCICIO: 1.- Encontrar la ecuación de la parábola cuyo eje es horizontal y pasa por los puntos (3,3) (6,5) (6,-3) 2.- Encontrar la ecuación de la parábola cuyo eje es vertical y pasa por los puntos (2,1) (-4,1) (-4,-2)
Matemáticas IV
54
3.- Encontrar la ecuación de la parábola cuyo eje es horizontal y pasa por los puntos (6,2) (2,-3) (-1,-2)
3.3 PARÁBOLA CONOCIENDO FOCO Y LA ECUACIÓN DE LA DIRECTRIZ
Suponiendo que sólo conocemos los siguientes datos: Foco (4,2) y ecuación de la directriz x = -2 ES NECESARIO GRAFICAR ANTES QUE NADA. Al graficar nos dimos cuenta de que la parábola abre hacia la derecha, por lo que la ecuación ordinaria será:
)(42
hxpky
Para poder resolver la ecuación ordinaria necesitamos saber el valor de h y k
por lo que tenemos que encontrar las coordenadas del vértice. El vértice se encuentra a la misma distancia del foco y a la misma distancia de la directriz, es decir que se encuentra en el centro de los 2 puntos. Si de la directriz al foco hay 6 espacios, significa que el vértice debe de estar a 3 espacios de cada lado de los puntos, por lo que tenemos que el vértice= (1,2) Sabemos que la p es la distancia que hay del vértice al foco o a la directriz, por lo que en este problema la p=3 Con estos valores podemos desarrollar la ecuación ordinaria y ecuación general de la parábola. Ecuación ordinaria:
)1(1222
xy
Ecuación general (desarrollamos la ordinaria)
Matemáticas IV
55
016412
121244
yxy
xyy Esta es nuestra ecuación general.
Extremos del lado recto:
pkphp 2,1 pkphP 2,2
P1 = (1 + 3, 2 + 6) p2 = (1 + 3,2 - 6)
P1 = (4, 8) p2 = (4,-4)
LLR: P= 3 x 4 LLR= 12 EJERCICIOS: 1.- Encontrar los elementos de la parábola con el foco en (4,8) y Ec. De la directriz y = 2 2.- Encontrar los elementos de la parábola con el foco en (2,4) y ecuación de la directriz en x = 6
3.- Encontrar los elementos de la parábola con el foco en (6,-3) y ecuación de la directriz en y = -2
4.- encontrar los elementos de la parábola con el foco en (0,2) y ecuación de la directriz en x = 5
Matemáticas IV
56
3.4 PARÁBOLA CONOCIENDO EL VÉRTICE Y LA ECUACIÓN DE LA DIRECTRIZ
Se resuelve de manera muy parecida a la anterior, sólo que aquí tenemos un dato diferente. Al graficar, nos percatamos de que la gráfica abre hacia arriba, por lo que su ecuación ordinaria será:
kyphx 42
Teniendo el vértice (2,8); tenemos los valores h= 2 y k=8
La p podemos sacarla tomando en cuenta la distancia que hay del vértice a la directriz. P= 6
82422
yx ecuación ordinaria.
x2 – 4x + 4 = 24y – 192
x2 – 4x – 24y + 196=0 ecuación general.
Extremos del lado recto.
pkphP ,21 p1=(2+12,8+6) p1=(14,14)
pkphP ,22 p2=(2 - 12,8+6) p2=(-10,14)
LLR= 24
82422
yx
Nos fijamos en este número (4p)
Matemáticas IV
57
Y al graficar tendremos una parábola así:
EJERCICIOS: 1.- Encontrar los elementos de la parábola con el vértice en (5,0) y Ec. De la directriz y = -1 2.- Encontrar los elementos de la parábola con el vértice en (-1,-3) y ecuación de la directriz en x = 6
3.- Encontrar los elementos de la parábola con el vértice en (8,5) y ecuación de la directriz en y = -2
4.- encontrar los elementos de la parábola con el vértice en (0,0) y ecuación de la directriz en x = -3
Matemáticas IV
58
3.5 ECUACIÓN GENERAL Y ECUACIÓN ORDINARIA.
Hallar la ecuación ordinaria de
06816102 yxx
Primer paso: se acomodan las letras iguales (o pares) de un lado y se pasan al otro las que no tienen par o son números solos. Se deja un espacio al lado de las letras con pareja.
2x +10x = - 16y – 68
Segundo paso: al segundo término de las letras con par, se le saca la mitad y se eleva al cuadrado. El resultado se pone enseguida. El mismo resultado se pasa con el mismo signo hacia el otro lado.
2x +10x + 25 = - 16y – 68 + 25 se pasa igual Mitad al cuadrado. Tercer paso: se simplifica a binomio cuadrado perfecto del lado de los pares. Del lado de los no pares, se deja fuera del paréntesis el número que acompaña a la incógnita, y se divide por los términos que estan de ese lado. (x + 5)
2 = - 16 (y +2.68)
Y así obtenemos nuestra ecuación ordinaria de una ecuación general. EJERCICIOS:
1.- Hallar la ecuación ordinaria de 0761282 yxx
2.- Hallar la ecuación ordinaria de 0332162 yxy
3.- Hallar la ecuación ordinaria de 012622 yxx
4.- Hallar la ecuación ordinaria de 05552 yxy
Matemáticas IV
59
3.6 AUTOEVALUACION: 1.- Encontrar los componentes de la parábola: a) vértice en (2,3) y foco en (2,10) b) vértice en (2,5) y ecuación de la directriz y= -3
Matemáticas IV
60
c) foco en (-1,-3) y ecuación de la directriz en x=3 d) (x – 5)2 = 32 ( y + 1)
Matemáticas IV
61
e) (y – 1)2 = -16 (x + 3) 2.-encontrar los componentes de: a) ( x – 2)2 = 8 (y – 6)
Matemáticas IV
62
b) (y – 5)2 = 12 (x – 7) 3.- Encontrar la ecuación ordinaria de:
a) 06522 yxx
Matemáticas IV
63
b) 010342 yxy
c) 01262 yxx
Matemáticas IV
64
d) 02282 yxy
4.-Encontrar la ecuación general de:
a) 41212
yx
Matemáticas IV
65
b) 61652
yx
c) 92422
xy
Matemáticas IV
66
3.7 FORMULARIO
Formula Tema.
kyphx 42
Ecuación ordinaria Dirección: Arriba
kyphx 42
Ecuación ordinaria Dirección: Abajo
)(42
hxpky Ecuación ordinaria Dirección: Derecha
)(42
hxpky
Ecuación ordinaria Dirección: Izquierda
F= pkh ,
Foco Dirección: Arriba
F= pkh ,
Foco Dirección: Abajo
F= kph ,
Foco Dirección: Derecha
F= kph ,
Foco Dirección: izquierda
pkphP ,21
pkphP ,22
Extremos del lado recto Dirección: Arriba
pkphP ,21
pkphP ,22
Extremos del lado recto Dirección: Abajo
pkphp 2,1
pkphP 2,2
Extremos del lado recto Dirección: Derecho
pkphp 2,1
pkphP 2,2
Extremos del lado recto
Dirección: Izquierdo
x2+ Ex + Dy + F=0
Ecuación general Eje vertical
y= k - p Ecuación de una directriz Dirección: Arriba
y= k + p
Ecuación de una directriz Dirección: Abajo
x= h - p
Ecuación de una directriz Dirección: Derecha
x= h + p Ecuación de una directriz Dirección: Izquierda
Matemáticas IV
67
y2+ Ex + Dy + F=0 Ecuación general Eje horizontal
4 LA ELIPSE.
Elipse puede definirse como el conjunto de puntos cuya suma de distancias a 2 puntos fijos llamados focos, es igual a la distancia entre otros dos puntos
llamados vértices
SUBTEMAS DE LA ELIPSE:
4.1 Elementos de la elipse 4.2 Ecuación general y Ecuación ordinaria de una elipse 4.3 Auto evaluación. 4.4 Formulario
Matemáticas IV
68
4.1 ELEMENTOS DE LA ELIPSE.
. A la distancia del centro de la elipse a uno de sus focos se le asigna la letra c A la distancia del centro de la elipse a uno de sus vértices se le asigna la letra a (Siempre a es mayor que b) A la distancia del centro de la elipse a uno de los puntos A o B (puntos que indican la abertura de la elipse) se le asigna la letra b Al segmento de la recta que une a los focos se le llama “eje mayor de la elipse” Al segmento de recta que une a A y B se le llama “eje menor de la elipse” Al segmento de la recta que une a los focos se le llama “eje focal de la elipse”
Matemáticas IV
69
FORMULAS:
POSICIÒN DE LA ELIPSE
Elipse horizontal.
1
2
2
2
b
ky
a
hx
Elipse vertical.
1
2
2
2
a
ky
b
hx
Si el eje mayor es paralelo a x, entonces es horizontal.
Si el eje mayor es paralelo a y, entonces es vertical.
DISTANCIA DEL CENTRO A UN PUNTO.
Distancia del centro a un vértice
a
2=b
2+c
2
Distancia del centro a un foco
a
2=b
2+c
2
Distancia del centro a A, B.
a
2=b
2+c
2
Se utiliza a2=b
2+c
2 siempre y cuando se conozcan los otros 2 puntos, que se pueden sacar contando los espacios entre cada punto y el centro.
COMPONENTES DE LA ELIPSE Y
SEGMENTOS.
Longitud del eje mayor.
L.E.Ma =2a
Longitud del eje menor.
L.E.Me= 2b
Longitud del eje focal.
L.E.F.= 2 c
Longitud del lado recto.
L.L.R.=a
b22
Excentricidad
e=a
c
Matemáticas IV
70
FORMULAS PARA SACAR LOS PUNTOS BÀSICOS:
HORIZONTAL
Vértice
(h + a, k), (h – a, k)
Foco
(h + c, k), (h – c, k)
A y B
(h, k + b), (h, k – b)
VERTICAL
Vértice
(h , k + a), (h , k - a)
Foco
(h, k + c), (h, k – c)
A y B
(h + b, k), (h – b, k)
EJEMPLOS: 1.- Hallar todos los elementos de la elipse de vértices v1 (2,3) y v2 (12,3) y de focos f1 (4,3) y f2 (10,3) y centro (7,3). HORIZONTAL.
Matemáticas IV
71
a= distancia de un vértice al centro: Centro (7,3) Vértice (2,3) por lo que a= 5 c= distancia de un foco al centro: Centro (7,3) Foco (4,3) por lo que c= 3
Para sacar la letra b, se utiliza la fórmula del teorema de Pitágoras: a
2=b
2+c
2
b2= (5)
2+ (3)
2
b= 925
b=4
L.E.Ma =2a =10
L.E.Me= 2b =9 L.E.F. = 2 c =6
L.L.R.= a
b22=6.4
e=a
c =0.6
EJERCICIOS: 1.- Hallar todos los elementos de la elipse de v1 (6,1) y v2 (6,17) y de focos f1 (6,4) y f2 (6,14) 2.- Hallar todos los elementos de la elipse de v1 (2,1) y v2 (2,7) y A (3,4) y B (1,4)
3.- Hallar todos los elementos de la elipse
1144
6
100
522
yx
4.- Hallar todos los elementos de la elipse
14
1
9
222
yx
Matemáticas IV
72
4.2 ECUACIÓN GENERAL Y ORDINARIA DE UNA ELIPSE.
ECUACIÓN GENERAL: Para resolver este tipo de problemas es necesario utilizar el método de completar trinomio cuadrado perfecto.
037183294 22 yxyx
Primer paso: se acomodan grupos de letras, y se pasa el número solo del otro lado del igual.
4x2+32x +9y
2 - 18y = - 37
Segundo paso: se coloca afuera del paréntesis el número que acompaña a la incógnita cuadrada, y ese número dividirá a los otros términos del grupo. El espacio de la línea será llenado sacándole mitad al segundo término y elevándolo al cuadrado. Del otro lado del igual se colocará la multiplicación del número fuera del paréntesis por el número sobre la raya. 4(x
2+8x+16) + 9(y
2 - 2y +1 ) = - 37+64+9
Tercer paso: Se simplifica el trinomio cuadrado perfecto a binomio al cuadrado. Para eliminar los números fuera del paréntesis, se dividirá cada grupo entre el número después del igual, como se muestra en el ejemplo.
36
36
36
)1(9
36
44 22
yx
Cuarto paso: al terminar de dividir cada término nos quedará algo así, a lo cual llamaremos ecuación general de una elipse.
1
4
)1(
9
4 22
yx
Matemáticas IV
73
ECUACIÓN ORDINARIA: Para resolver este tipo de problemas, es necesario únicamente contar con el valor de a y b, para poder sustituir en las fórmulas que indican la posición vertical u horizontal de la elipse, así como conocer el centro de la elipse, para poder sustituir en los valores de h y k.
a=12 b=6 centro (-3,-2)
Primer paso: colocar los valores de h y k dentro del paréntesis, asegurándonos de cambiar los signos. Colocamos a la letra a (que siempre es la más grande) debajo de x (si la elipse es horizontal) o debajo de y (si la elipse es vertical) según sea el caso. A veces, los valores a, b, h, y k, pueden conocerse a partir de otros valores dados.
1
36
)2(
144
3 22
yx
EJERCICIOS:
1.- Hallar la ecuación general de la elipse 079401447 22 yxyx
2.- Hallar la ecuación general de la elipse 018936259 22 xyx
3.- Hallar la ecuación general de la elipse 011610018259 22 yxyx
4.- Hallar la ecuación general de la elipse 060122423 22 yxyx
5.- Hallar la ecuación ordinaria de la elipse con centro en (-2,0) y a=7, b=3
6.- Hallar la ecuación ordinaria de la elipse con centro en (5,-7) y a=2.5, b=6 7.- Hallar la ecuación ordinaria de la elipse con centro en (1,1), eje mayor paralelo a x, eje focal=4 y L.L.R.=2. 8.- Hallar la ecuación ordinaria de la elipse con centro en (3,-1), eje mayor paralelo a y, eje focal=6 y L.L.R.=3.
Matemáticas IV
74
4.3 AUTOEVALUACIÓN:
1.- Hallar todos los elementos de la elipse de v1 (5,4) y v2 (5,8) y de focos f1 (5,-2) y f2 (5,14)
Matemáticas IV
75
2.- Hallar todos los elementos de la elipse de v1 (2,0) y v2 (2,7) y A (5,4) y B (-1,4)
Matemáticas IV
76
3.- Hallar todos los elementos de la elipse
1100
5
64
922
yx
Matemáticas IV
77
4.- Hallar todos los elementos de la elipse
136
8
10
322
yx
Matemáticas IV
78
5.- Encontrar todo lo que le falta: a) Hallar todos los elementos de la elipse de centro (4,8) con eje mayor paralelo a x, y con longitud del eje mayor=12 y del eje menor =10. b) Hallar todos los elementos de la elipse de centro (1,5) con eje mayor paralelo a y, y con longitud del eje mayor=16 y del eje focal =6.
Matemáticas IV
79
6.- Encontrar todos los elementos de la elipse: a) de centro (2,1) eje mayor paralelo a x, con longitud del eje mayor =12 y longitud del eje focal =6
Matemáticas IV
80
b)
1100
3
16
122
yx
Matemáticas IV
81
c) 0208441441136 22 yxyx
Matemáticas IV
82
d) elipse con vértices en (2,8) y (2,-2) y focos en (2,6) y (2,0)
Matemáticas IV
83
4.4 FORMULARIO
Formula
Tema.
1
2
2
2
b
ky
a
hx
Ecuación Ordinaria Elipse Horizontal
1
2
2
2
a
ky
b
hx
Ecuación Ordinaria Elipse Vertical
2a Longitud del Eje Mayor
2b
Longitud del Eje Menor
2 c
Longitud Eje Focal
a
b22
Longitud del Lado Recto
a
c
Excentricidad
HORIZONTAL
(h + a, k), (h – a, k)
Vértice
(h + c, k), (h – c, k)
Foco
(h, k + b), (h, k – b)
A y B
VERTICAL
(h , k + a), (h , k - a)
Vértice
(h, k + c), (h, k – c)
Foco
(h + b, k), (h – b, k)
A y B
Matemáticas IV
84
5 LA HIPÉRBOLA
Es el conjunto de puntos que cumplen la siguiente condición: “La distancia que hay desde un punto llamado foco, menos la distancia de este
punto a otro también llamado foco es igual ala distancia que hay entre dos puntos fijos llamados vértices
Una hipérbola es una curva abierta de dos ramas, producida por la intersección de un cono circular recto y un plano que corta las dos secciones del cono también es el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante La hipérbola consta de 2 lados principales:
a) Lado conjugado ( es la línea que une A y B) b) Lado transverso ( es la línea que une a los vértices, y nos indica hacia
donde es paralela la hipérbola)
Matemáticas IV
85
*Formulas de las hipérbolas: .-Ecuaciones ordinarias:
-Hipérbola horizontal: 1
)()(2
2
2
2
b
ky
a
hx
-Hipérbola vertical: 1
)()(2
2
2
2
a
ky
b
hx
NOTA: “a” siempre va con la positiva. - Ecuación general: X² + y ² + Dx + Ey + F = 0 -Longitud Eje Transverso (LET): 2a -Longitud Eje Conjugado (LEC): 2b -Longitud Eje Focal (LEF): 2c
-Longitud Lado Recto (LLR): a
b22
-Excentricidad (e): a
c
- a = distancia entre cualquiera de los 2 vértices y el centro. - c= distancia entre cualquiera de los 2 focos y el centro. - b = distancia del centro a, A o B - a²= b² + c² *NOTA: si nos dan 2 coordenadas por ejemplo las de los focos, o vértices etc. y la coordenada que cambia es “x” la hipérbola será horizontal, si cambia “y” la hipérbola será vertical, ejemplos: *Vértices:(2,5) (2,6): como aquí cambio “y” la hipérbola es vertical. *Focos: (5,2) (6,2): como aquí cambio “x” la hipérbola es horizontal.
Matemáticas IV
86
SUBTEMAS: 5.8 Hallar todos los elementos de la hipérbola conociendo el centro, la longitud
del eje transversal y la longitud del eje focal. 5.9 Hallar la ecuación ordinaria de la hipérbola conociendo el eje conjugado y
la longitud del lado recto. 5.10 Hallar la ecuación ordinaria de la hipérbola conociendo el centro, un
vértice y un foco. 5.11 Hallar la ecuación general de la hipérbola conociendo el centro, un
vértice y la excentricidad. 5.12 Hallar la ecuación general de la hipérbola conociendo los focos y la
excentricidad. 5.13 Hallar la ecuación ordinaria de la hipérbola conociendo los vértices y la
excentricidad 5.14 Ecuaciones de las asintotas. 5.15 Auto evaluación 5.16 Formulario
Matemáticas IV
87
5.1 HALLAR TODOS LOS ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA CONOCIENDO EL CENTRO, LA LONGITUD DEL EJE TRANSVERSAL Y LA LONGITUD DEL EJE FOCAL.
Procedimiento: * Hallar todos los elementos de la hipérbola si tiene el centro en (2,5), la longitud del eje transversal = 12y la longitud del eje Focal = 14 (es vertical) *centro: (2, 5) h, k -Obtenemos primero las letras a, b y c con las formulas de LET, LEF y con la formula para sacar la letra faltante que es: a²= b² + c²: *LET = 12 Si su formula es: LET=2a, 12=2a, a= 12/2 a = 6 *LEF= 14 Si su formula es LEF=2c 14=2c c= 14/2 c = 7 * a²= b² + c ² 6²= b² + 7²
b=
22 67
b= 3.6 -Conociendo ya las 3 letras podemos sacar las Longitudes y la excentricidad: *LEC= 2b LEC=2(3.6) LEC=7.2
*LLR = a
b22
LLR = 6
)6.3(2 2
LLR = 4.33
Matemáticas IV
88
*e= a
c
e= 6
7
e= 1.16
*Ecuación ordinaria: 1
)()(2
2
2
2
a
ky
b
hx
1
36
)5(
13
)2( 22
yx
- Para sacar la ecuación general, primero tenemos que sacar la ordinaria, ya teniéndola primero le sacamos común denominador:
1468
)5(13)2(36 22
yx
Pasamos al 468 del otro lado del igual para después poder conjugar el binomio: -36 (x-2)² + 13 (y-5)² = 1 (468)
-36x (x² – 4x – 144) + 13 (y² -10y + 25) = 468 -36x² + 144x -144 +13y² -130y + 325 -468 = 0 -36x² + 13y² +144x -130y -287 =0
Matemáticas IV
89
V1 = (2,11) V2= (2, -1) F1= (2,12) F2 = (2,-2) A = (5.6, 5) B= (-1.6, 5) *Para obtener los vértices, los focos , A y B, nos colocamos en el centro y por ejemplo si sabemos que a=6 contamos 6 del centro para arriba y ahí se encontrara v1 y del centro 6 para abajo será v2, ya que a= distancia del centro a los vértices, lo mismo con los focos nos colocamos en el centro y contamos el valor de c que en este caso es igual a 7, y para A Y B contamos el valor de b que en este caso fue 3.6, pero con A Y B se contara para los lados. EJERCICIOS: Hallar todos los elementos de la hipérbola conociendo: a) centro: (-1,-3), L.E.T.=4, L.E.F.=10 b) centro: (8,4), L.E.T.=9, L.E.F.=15 c) centro: (2,5), L.E.T.=8, L.E.F.=20 d)centro: (-2,-6), L.E.T.=8 , L.E.F.=20
Matemáticas IV
90
5.2 HALLAR LA ECUACIÓN ORDINARIA DE LA HIPÉRBOLA CONOCIENDO EL EJE CONJUGADO Y LA LONGITUD DEL
LADO RECTO. Procedimiento: Hallar la ecuación ordinaria de la hipérbola si tiene el eje conjugado A: (O,3) Y B: (0,-3) y la longitud del lado recto =6 Centro = (0,0) b=3 (distancia del centro a A o B) Con la formula de la LLR podremos sacar la letra a:
*LLR = a
b22
6= a
2)3(2
6= a
18
a = 6
18
a= 3 Ya teniendo estos tres datos nomás los desarrollamos en la formula de la ecuación ordinaria y como “x” cambio en el eje, sabemos que la hipérbola es horizontal.
1)()(
2
2
2
2
b
ky
a
hx
19
)0(
9
)0( 22
yx
EJERCICIO: *Hallar la ecuación ordinaria de la hipérbola si tiene a) El eje conjugado A: (6,8) Y B: (9,8) y la longitud del lado recto =5 b) El eje conjugado A: (3,5) Y B: (4,5) y la longitud del lado recto =9 c) El eje conjugado A: (2,4) Y B: (2,6) y la longitud del lado recto =4 d) El eje conjugado A: (O,6) Y B: (0,-6) y la longitud del lado recto =12
Matemáticas IV
91
5.3 HALLAR LA ECUACIÓN ORDINARIA DE LA HIPÉRBOLA CONOCIENDO EL CENTRO, UN VÉRTICE Y UN FOCO
*Procedimiento: Hallar la ecuación ordinaria de la hipérbola si tiene el centro en (0,0), un vértice en (6,0) y un foco en (8,0) -a= 6- 0 = 6, a=6 (distancia del vértice al centro) -c= 8 – 0 = 8, c=8 (distancia del foco al centro) -a²= b² + c ² 6²= b² + 8²
b=
22 68
b= 28
*NOTA: hasta aquí se puede dejar por que abajo en la ecuación ordinaria necesitamos elevarlo al cuadrado entonces para evitarnos trabajo nomás pasamos la b ya elevada. Ya teniendo estas tres letras de nuevo como en el ejercicio anterior solo los sustituimos en la formula de la ecuación ordinaria de la hipérbola, y de nuevo como “x” cambio, la hipérbola será horizontal.
1)()(
2
2
2
2
b
ky
a
hx
128
)0(
36
)0( 22
yx
EJERCICIO: *Hallar la ecuación ordinaria de la hipérbola si tiene: a) El centro en (2,5), un vértice en (2,11) y un foco en (2,11) a) El centro en (3,6), un vértice en (3,10) y un foco en (3,12) a) El centro en (-1,-3), un vértice en (-1,-1) y un foco en (-1,2) a) El centro en (0,0), un vértice en (12,0) y un foco en (16,0)
Matemáticas IV
92
5.4 HALLAR LA ECUACIÓN GENERAL DE LA HIPÉRBOLA CONOCIENDO EL CENTRO, UN VÉRTICE Y LA
EXCENTRICIDAD *Procedimiento: Hallar la ecuación general de la hipérbola si tiene el centro en (2,-3), un vértice en (-1,-3) y la excentricidad = 3 *a= 3 (distancia del vértice al centro)
*e= a
c
3=3
c
c= 3(3) c=9 *a²= b² + c ² 3²= b² + 9²
b= 72
De nuevo lo único necesario es sustituir los datos en la ecuación general.
1)()(
2
2
2
2
b
ky
a
hx
172
)3(
9
)2( 22
yx
EJERCICIOS: *Hallar la ecuación general de la hipérbola si tiene a) El centro en (-1,-3), un vértice en (-1,-5) y la excentricidad = 2.5 a) El centro en (1,-2), un vértice en (3,-2) y la excentricidad = 1.8 a) El centro en (2,5), un vértice en (2,10) y la excentricidad = 2 a) El centro en (4,-6), un vértice en (-2,-6) y la excentricidad = 6
Matemáticas IV
93
5.5 HALLAR LA ECUACIÓN GENERAL DE LA HIPÉRBOLA CONOCIENDO LOS FOCOS Y LA EXCENTRICIDAD
*Procedimiento: Hallar la ecuación general de la hipérbola si tiene sus focos en (1,-2) y (-7,-2) y tiene una excentricidad = 4 Primero obtenemos el centro con su formula:
2
21 XX ;
2
21 YY
2
)7(1 ; 2
)3(2
Centro = (-3,-2) Ahora obtenemos las letras a y b: *c=4 (distancia del centro al foco)
*e= a
c
4=a
4
a= 4
4
a= 1
*a²= b² + c ² 1²= b² + 4²
b= 7
De nuevo lo único necesario es sustituir los datos en la ecuación general.
1)()(
2
2
2
2
b
ky
a
hx
17
)2(
1
)3( 22
yx
EJERCICIOS: *Hallar la ecuación general de la hipérbola si tiene a) Sus focos en (4,-2) y (4,10) y tiene una excentricidad = 3 b) Sus focos en (4,-2)y,-8) y tiene una excentricidad = 4 c) Sus focos en (1,7.4 (1,-5.4)y tiene una excentricidad = 1.28 d) Sus focos en (2,-4) y (-14,-4) y tiene una excentricidad = 8
Matemáticas IV
94
5.6 HALLAR LA ECUACIÓN ORDINARIA DE LA HIPÉRBOLA CONOCIENDO LOS VÉRTICES Y LA EXCENTRICIDAD
*Procedimiento: Hallar la ecuación ordinaria de la hipérbola que tiene los vértices en (2,-10) (2,2) y una excentricidad=2.5 Primero obtenemos el centro con su formula:
2
21 XX ;
2
21 YY
2
22 ;
2
210
Centro = (2,-4) Ahora obtenemos las letras a y b: *a=6 (distancia del centro al vertice)
*e= a
c
c= e(a) c= (2.5) (6) c=15
Matemáticas IV
95
*a²= b² + c ² 6²= b² + 15²
b= 189
De nuevo lo único necesario es sustituir los datos en la ecuación general.
1)()(
2
2
2
2
b
ky
a
hx
1189
)2(
36
)4( 22
yx
EJERCICIOS: *Hallar la ecuación ordinaria de la hipérbola que tiene a) Los vértices en (1,6) (1,-4) y una excentricidad=1.28 b) Los vértices en (4,-2) (4,10) y una excentricidad 3 c) Los vértices en (3,-2) (-1,-2) y una excentricidad=1.8 d) Los vértices en (4,-20) (4,4) y una excentricidad=5
Matemáticas IV
96
5.7 HALLAR LAS ECUACIONES DE LAS ASÍNTOTAS Asíntotas de la hipérbola: son dos rectas simétricas que pasan por el centro geométrico de la misma y de forma que la hipérbola no las toca, aunque la distancia entra la curva y las asíntotas es cada vez menor sin llegar a cortarse nunca. *Procedimiento: Se obtienen con la formula ordinaria:
1)()(
2
2
2
2
a
ky
b
hx
Por ejemplo:
136
)5(
13
)2( 22
yx
Sacar raíz cuadrada arriba y abajo, donde el signo es positivo (+) se queda positivo y donde el signo sea negativo (-) le ponemos los dos signos (+,-), por ultimo en ves de igualar a 1 en el final, igualaremos a cero.
06
)5(
6.3
)2(
yx
*Asíntota num. 1 (con el signo positivo)
06
)5(
6.3
)2(
yx
Sacar el factor común (pero el común denominador desaparece por que al pasarse del otro lado del igual se multiplica por cero):
6.21
)5(6.3)2(6 yx
Desarrollar los binomios al cuadrado 6x-12+3.6y-18=0 6x+3.6y-30=0 *Asintota num. 2(con el signo negativo)
06
)5(
6.3
)2(
yx
6.21
)5(6.3)2(6 yx
-6x+12+3.6y-18=0 -6x+3.6y-6=0
Matemáticas IV
97
EJERCICIOS: *Encontrar la ecuación de las asuntotas si:
a) 13
)2(
2
)1( 22
yx
b) 136
)10(
13
)4( 22
yx
c) 136
)5(
13
)2( 22
yx
Matemáticas IV
98
5.8 AUTOEVALUACION 1.- Encontrar la ecuación ordinaria de la hipérbola que tiene sus focos en (5,6((5,-1) y una LLR=2 2.- Encontrar la ecuación ordinaria de la hipérbola que tiene su centro en (2,-8), un foco en (2,-2) y LLR=8
Matemáticas IV
99
3.- Encontrar la ecuación general de la hipérbola que tiene su centro en (4,-1), un vértice en (4,3)y LLR=2 4.- Encontrar la ecuación general de la hipérbola que tiene sus focos: (4,-2)(4,10) y además tiene una e=3
Matemáticas IV
100
5.- Hallar todos los elementos de la hipérbola: 9x²-4y²+ 18x-24y-28=0 es horizontal
Matemáticas IV
101
5.9 FORMULARIO
Fórmula
Tema.
1)()(
2
2
2
2
b
ky
a
hx
Ecuación Ordinaria de la
Hipérbola Horizontal
1)()(
2
2
2
2
a
ky
b
hx
Ecuación Ordinaria de la
Hipérbola Vertical.
X² + y ² + Dx + Ey + F = 0
Ecuación General
2a
Longitud del Eje Transverso
2b
Longitud Eje Conjugado
2c
a
b22
Longitud Eje Focal
a
c
Excentricidad
a² = b² + c²
Para sacar las letras a, b y c
*NOTA: a = distancia entre cualquiera de los 2 vértices y el centro.
c= distancia entre cualquiera de los 2 focos y el centro.
b = distancia del centro a, A o B
Matemáticas IV
102
FORMULARIOS:
SEGMENTO DE RECTAS
Fórmula
Tema.
2
21 xxx
2
21 yyy
Punto medio.
dAB= 2
21
2
21 yyxx
Distancia entre dos puntos
Parte de un segmento: espacio disponible Partes que se dividirán
División de un segmento en partes iguales.
Tan-1 (Cateto opuesto)= Ɵ inclinación. (Cateto adyacente)
Ángulo de inclinación.
Tan -1 12
12
xx
yy
= Ɵ inclinación.
Forma corta del ángulo de inclinación.
12
12
xx
yym
B
Am
1 Tanm
Pendiente de una recta
11 xxmyy
Ecuación de una recta
))((1 12
121
mm
mmTan
Ángulo entre rectas.
22 BA
CByAxD
Distancia de un punto a una recta.
Matemáticas IV
103
LA CIRCUNFERENCIA:
Formula
Tema.
(x-h)² + (y-k)² = r²
Ecuación Ordinaria
X² + y ² + Dx + Ey + F = 0
Ecuación General
2
12 XXX
;
2
12 YYY
Sacar el centro y el punto medio cuando se tienen 2 puntos.
d= 2
21
2
21 )()( YYXX Distancia entre dos puntos, se utiliza para obtener el radio.
d= 22 BA
CByAx
Distancia entre teniendo 3 puntos, se utiliza para obtener el radio.
12
12
XX
YYm
Pendiente de una recta (se utiliza en la mediatriz de un segmento)
)X - (X m Y -Y 11 Ecuación de una recta (se utiliza en la mediatriz de un segmento)
Matemáticas IV
104
LA PARABOLA:
Formula Tema.
kyphx 42
Ecuación ordinaria Dirección: Arriba
kyphx 42
Ecuación ordinaria Dirección: Abajo
)(42
hxpky Ecuación ordinaria Dirección: Derecha
)(42
hxpky
Ecuación ordinaria Dirección: Izquierda
F= pkh ,
Foco Dirección: Arriba
F= pkh ,
Foco Dirección: Abajo
F= kph ,
Foco Dirección: Derecha
F= kph ,
Foco Dirección: izquierda
pkphP ,21
pkphP ,22
Extremos del lado recto Dirección: Arriba
pkphP ,21
pkphP ,22
Extremos del lado recto Dirección: Abajo
pkphp 2,1
pkphP 2,2
Extremos del lado recto Dirección: Derecho
pkphp 2,1
pkphP 2,2
Extremos del lado recto
Dirección: Izquierdo
x2+ Ex + Dy + F=0
Ecuación general Eje vertical
y2+ Ex + Dy + F=0
Ecuación general Eje horizontal
y= k - p Ecuación de una directriz Dirección: Arriba
y= k + p
Ecuación de una directriz Dirección: Abajo
x= h - p
Ecuación de una directriz Dirección: Derecha
x= h + p Ecuación de una directriz Dirección: Izquierda
Matemáticas IV
105
LA ELIPSE:
Formula
Tema.
1
2
2
2
b
ky
a
hx
Ecuación Ordinaria Elipse Horizontal
1
2
2
2
a
ky
b
hx
Ecuación Ordinaria Elipse Vertical
2a Longitud del Eje Mayor
2b
Longitud del Eje Menor
2 c
Longitud Eje Focal
a
b22
Longitud del Lado Recto
a
c
Excentricidad
HORIZONTAL
(h + a, k), (h – a, k)
Vértice
(h + c, k), (h – c, k)
Foco
(h, k + b), (h, k – b)
A y B
VERTICAL
(h , k + a), (h , k - a)
Vértice
(h, k + c), (h, k – c)
Foco
(h + b, k), (h – b, k)
A y B
Matemáticas IV
106
LA HIPERBOLA:
Fórmula
Tema.
1)()(
2
2
2
2
b
ky
a
hx
Ecuación Ordinaria de la
Hipérbola Horizontal
1)()(
2
2
2
2
a
ky
b
hx
Ecuación Ordinaria de la
Hipérbola Vertical.
X² + y ² + Dx + Ey + F = 0
Ecuación General
2a
Longitud del Eje Transverso
2b
Longitud Eje Conjugado
2c
Longitud Eje Focal
a
b22
Longitud Lado Recto
a
c
Excentricidad
a² = b² + c²
Para sacar las letras a, b y c
*NOTA: a = distancia entre cualquiera de los 2 vértices y el centro.
c= distancia entre cualquiera de los 2 focos y el centro.
b = distancia del centro a, A o B
Matemáticas IV
107
NOTAS
Matemáticas IV
108
NOTAS:
Matemáticas IV
109
NOTAS:
