Geometría AnalíticaParábola

(versión preliminar)

Matemáticas Preuniversitarias

M. C. Consuelo Díaz Torres

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Función de Ingresos

La función de ingresos de cierto producto está representada por la expresión

donde x es la cantidad de unidades de producto que se fabrican.

¿Cuál es el ingreso máximo?

¿Cuál es el nivel de producto para el cual se obtiene el ingreso máximo?

2x01.0x45125R

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Tiro parabólico Una flecha disparada con ballesta se encuentra a s metros

sobre el piso, t segundos después del disparo. Su altura está representada por

Determina la altura de la flecha 6 segundos y 14 segundos después de haberla disparado?

¿Cuánto tarda la flecha en llegar al piso?

81t375t16s 2

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Puentes colgantes

En un puente colgante la distancia entre sus torres es de 200 metros y la altura de las torres es de 100 metros.

Describe la ecuación del cable que soporta al puente.

¿A qué distancia del centro está un puntal de 50 metros de longitud?

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Diseño de Faros Un diseñador de automóviles desea diseñar un faro que

tenga 16 centímetros de diámetro. La bombilla que va a utilizar en él tiene el filamento a 2 centímetros del cuello.

¿Qué profundidad debe tener el faro para que el filamento quede en el foco del faro si el cuello de la bombilla se coloca a la altura del vértice del faro?

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Definición de Parábola

Una parábola es el conjunto de puntos del plano que equidistan de una recta fija y un punto fijo que no está en ella. La recta fija se llama directriz de la parábola y el punto fijo se llama foco.

directriz

oco

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Ejemplo Encontrar el conjunto de puntos que equidistan del punto

F(1,0) y la recta l cuya ecuación es x = -1.Solución:

Sea Q(x, y) un punto de este conjunto, entonces debe cumplir

22

20

20

BA

CByAx)yy()xx(

Sustituyendo1x)0y()1x( 22

Elevando al cuadrado222 )1x()0y()1x(

Simplificando

x4y2

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Deducción de la Ecuación Consideremos una parábola cuyo foco está sobre el eje X

en el punto F(p,0), donde p>0, y su directriz es la recta L cuya ecuación es x = -p.Un punto P(x, y) que pertenezca a la parábola debe satisfacer la ecuación

)L,P(d)F,P(d

2

22

1

px)0y()px(

Elevando al cuadrado222 )px(y)px(

Simplificandopx4y2

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Elementos de la parábola Uno de los puntos de la parábola es el punto medio entre el

foco y la directriz, este punto es el vértice. En este caso el vértice es el origen.

La distancia que hay entre el vértice y el foco, así como entre el vértice y la directriz es p. La recta que une al vértice con el foco y que es perpendicular a la directriz se conoce como el eje de simetría.

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La longitud del lado recto es 4p, o sea 4 veces la distancia del foco al vértice. Esta longitud indica qué tan abierta o cerrada es la parábola.

Un segmento de recta que une dos puntos de una parábola se conoce como cuerda de la parábola. La cuerda que pasa por el foco y es paralela a la directriz, y por tanto perpendicular al eje de simetría es el lado recto.

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Construcción de la Parábola con papel dobladoCon una hoja de papel encerado. Marca un punto F cerca de un lado, aproximadamente a la mitad de la

hoja. Dobla el papel de manera que un punto del lado inferior coincida con

el punto F. Marca el doblez y desdobla. Sigue haciendo dobleces de manera que los puntos del lado inferior

coincidan con el punto F.

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Si haces suficientes dobleces observarás que la curva que se forma es una parábola.

Considera que el borde de la hoja es la directriz y el punto F es el foco. Verifica que el vértice es el punto medio entre la directriz y el foco.

Toma un punto sobre la parábola y verifica que la distancia del foco al punto es igual a la distancia del punto a la directriz.

Construcción de la Parábola con papel doblado

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Si ahora se tiene el caso de una parábola con vértice en el origen, el foco está en la parte negativa del eje X y la directriz es una recta vertical que corta a este eje en la parte positiva, entonces el foco es F(-p, 0), la directriz es x = p y un punto P(x, y) sobre la parábola satisface la ecuación

px)0y()px( 22

Y simplificando

px4y2

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Se observa que el signo del coeficiente de x indica el lado hacia el que abre la parábola: Si el signo del coeficiente de x es positivo, la parábola se abre hacia la derecha. Si el signo del coeficiente de x es negativo, la parábola se abre hacia la izquierda.

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En el caso en que el foco de la parábola está sobre el eje X y la directriz es una recta vertical se tiene una parábola horizontal.

En el caso en que el foco de la parábola está sobre el eje Y y la directriz es una recta horizontal se tiene una parábola vertical.

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Parábolas verticales

Una parábola con vértice en el origen, el foco en el punto F(0, p) y cuya directriz es y = -p tiene ecuación

py4x2

Una parábola con vértice en el origen, el foco en el punto F(0, -p) y cuya directriz es y = p tiene ecuación

py4x2

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Resumen

ECUACIÓN POSICIÓN ABREHACIA

EJE DESIMETRÍA

FOCO ECUACIÓNDIRECTRIZ

px4y2 Horizontal Derecha X (p, 0) x = -p

px4y2 Horizontal Izquierda X (-p, 0) x = p

py4x2 Vertical Arriba Y (0, p) y = -p

py4x2 Vertical Abajo Y (0, -p) y = p

El siguiente cuadro contiene el resumen de los elementos de una parábola que tiene vértice en el origen.

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Ejemplo

Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en el origen y la ecuación de la directriz es y = -2.

Solución

La directriz es una recta horizontal, por lo que el eje de simetría es el eje Y y la parábola es vertical. La distancia de la directriz al vértice y del vértice al foco es p = 2.

Por tanto la ecuación de la parábola es

y8x

y)2(4x2

2

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Ejemplo

Encuentra el foco y la directriz de la parábola cuya ecuación esy12x2

SoluciónEl eje de simetría de la parábola es el eje Y, ya que la variable x es la que está elevada al cuadrado, el signo indica que la parábola se abre hacia abajo. La directriz es perpendicular al eje de simetría, por lo tanto es paralela al eje X y la distancia del origen a la directriz y del origen al foco es

34

12p

Por tanto el foco y la directriz de esta parábola son y)3,0(F 3y

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EjemploEncuentra la ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco en el punto F(5, 0).SoluciónEl foco de la parábola está sobre el eje X, en la parte positiva, por lo que éste es el eje de simetría y en consecuencia la parábola es horizontal y se abre hacia la derecha.La distancia del foco al vértice es p = 5.Por tanto la ecuación es de la forma

px4y2

Es decir, la ecuación de la parábola es x20x)5(4y2

Sustituyendo

x20y2

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Gráfica de la Parábola

Para trazar la gráfica de una parábola se recomienda seguir este procedimiento:1. Localizar el vértice.

2. Determinar el valor de p, la distancia del vértice al foco y del vértice a la directriz.

3. Determinar si la parábola es horizontal o vertical.

4. Determinar hacia que lado abre la parábola.

5. Localizar el foco.

6. Trazar el eje de simetría de la parábola.

7. Trazar la recta que contiene el lado recto.

8. Localizar los extremos del lado recto a 2p unidades del foco.

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Ejemplo

Trazar las gráficas de las parábolas

a)

b)

c)

y8x2

y12x2

x20y2

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Forma estándar de la Ecuación de la Parábola

Hasta ahora se ha considerado que la parábola tiene vértice en el origen. ¿Que pasa cuando el vértice no está en el origen?

En este caso no es posible aplicar directamente las ecuaciones que ya hemos visto. ¿Cuales son los cambios?

Ejemplo Encontrar la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto V(3 ,4) y su foco es F(3,6).

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Solución

Como el foco se encuentra arriba del vértice, la parábola se abre hacia arriba.

La distancia entre el vértice y el foco es p = 2, así que la directriz está 2 unidades abajo del vértice y es paralela al eje X.

Si consideramos los ejes X’ y Y’ como en la figura, la ecuación sería 'y8)'x( 2

Pero ¿qué relación hay entre los planos X’Y’ y XY?

Observa que 3x'x 4y'y Por tanto al ecuación de la parábola es )4y(8)3x( 2

y

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ResumenEn general, cuando el vértice de la parábola está en el punto , las ecuaciones de las parábolas en su forma estándar y sus elementos, en los diferentes casos, son las siguientes

)y,x(V 00

ECUACIÓ N PO SICIÓ N AB REH ACIA

FO CO ECUACIÓ NDIRECT RIZ

)xx(p4)yy( 02

0 Horizontal Derecha )y,px( 00 pxx 0

)xx(p4)yy( 02

0 Horizontal Izquierda )y,px( 00 pxx 0

)yy(p4)xx( 02

0 Vertical Arriba )py,x( 00 pyy 0

)yy(p4)xx( 02

0 Vertical Abajo )py,x( 00 pyy 0

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EjemploEncuentra la ecuación de la parábola que tiene foco F(1, -2) y vértice V(4, -2) y traza su gráfica.

SoluciónEn este caso el foco está a la izquierda del vértice, por lo que la parábola se abre hacia la izquierda, la distancia entre el foco y el vértice es p = 3. Entonces se tiene que la ecuación es de la forma )xx(p4)yy( 0

20

Sustituyendo)4x)(3(4))2(y( 2

044x12y4y2

Desarrollando se tiene

¿Cómo es su gráfica?

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Ejemplo

Encuentra el foco, el vértice y la directriz de la parábola que tiene como ecuación

0119y20x2x2 SoluciónPara encontrar fácilmente los elementos de la parábola se debe escribir en su forma estándar, para lo cual es necesario completar el trinomio cuadrado perfecto, esto es,

)6y)(5(4)1x(

)6y(20120y20)1x(

0119y201)1x2x(

2

2

2

Entonces, el vértice es el punto V(1, -6) y como p = 5, el foco es F(1, -1) y la directriz tiene como ecuación . 11y

¿Cómo es su gráfica?

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Recta Tangente a la Parábola Dados una recta y una parábola puede suceder:

La recta no corta a la parábola. La recta corta a la parábola en dos puntos.

La recta corta a la parábola en un solo punto:

Recta paralela al eje de simetría Recta tangente

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¿Como podemos encontrar la ecuación de la recta tangente a la parábola en un punto dado?

Observemos en la figura que, dado un punto P en la parábola, se forma un triángulo isóseles con vértices en los puntos P, F y Q. La recta T es la bisectriz del ángulo QPF y también es la mediatriz del segmento QF.

Q

T

directiz

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EjemploEncontrar la ecuación de la recta tangente a la parábola en el punto (2,3). x4y2 Solución

Q

F

PDe la gráfica podemos ver que los puntos Q y F tienen coordenadas (-1, 3) y (1, 0) respectivamente.El punto medio del segmento QF es (0, 3/2).La recta que pasa por P y el punto medio del segmento QF es

)2x(0223

3)3y(

o 2

3x

43

y

Que es la recta tangente a la parábola en el punto P.

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Q

T

directiz

Consideremos una parábola horizontal que se abre hacia la derecha cuyo foco es el punto F(p, 0) y sea P . Entonces el punto Q tiene coordenadas .

El punto medio del segmento QF es el punto

2y

,0 1

Y la recta T que pasa por P y el el punto medio del segmento QF es

)xx(x0

y2y

)yy( 11

11

1

)xx(x2y

)yy( 11

11

Simplificando

)y,x( 11

)y,p( 1

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Mediante el mismo razonamiento es posible determinar la ecuación de la recta tangente en el punto P a una parábola con vértice en el punto V .

)y,x( 11

)y,x( 00

Si la parábola es horizontal, la ecuación de esta recta es

)xx()xx(2

yy)yy( 1

01

011

Y si la parábola es vertical, la ecuación es

)xx(xx

)yy(2)yy( 1

01

011

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