Embed Size (px)
Citation preview
BLOQUE VI
SESIÓN 1
En parejas realiza la siguiente actividad:
Material: necesitas una escuadra de 30 cm. Con un ángulo de 90°, un papel bond, un hilo de 30 cm, pegamento y un lápiz.
Paso 1. Dibuja en el papel bond tu sistema coordenado cartesiano.
Paso 2. En el eje y, pega un extremo del hilo en un punto fijo F en la parte positiva a una distancia considerable del origen y el otro extremo en la punta de la escuadra en donde marca exactamente 30 cm.
Paso 3. Apoya la base de la escuadra en una recta fija D, que esté por debajo del origen y sea paralela al eje x.
Paso 4. Con la punta del lápiz, tensa la cuerda, manteniéndola pegada al lado graduado de la escuadra y deslízala a lo largo de la recta D.
Contesta individualmente lo siguiente.
1. La distancia del origen a la recta D es p=2cm .2. La distancia del origen al punto F es p=2cm .3. ¿Son iguales o diferentes estas distancias? Las distancias son
iguales.4. ¿Cuál es la distancia del punto F a donde empezaste a dibujar la
parábola? 30cm.5. La distancia de donde empezaste a dibujar la parábola a D es: 30cm.
6. ¿Son iguales o diferentes estas distancias? Sí son iguales.
¿Por qué? Porque las distancias de la cuerda y la escuadra son iguales.
7. ¿Cuál es la condición que se cumple en este lugar geométrico? Las distancias entre el punto F y el extremo de la cuerda y el extremo de la cuerda y la recta D son iguales.
ACTIVIDADES.1. Traza e indica en las siguientes parábolas sus componentes, si se
conoce el foco.
2. Analiza los elementos de las parábolas anteriores y contesta:a) ¿Cuál es la medida del lado recto para la primera? Lado Recto=4b) ¿Cuál es la medida del lado recto para la segunda?
Lado Recto=3c) Escribe una ecuación que describa la directriz de la primera. x=5d) Obtén los parámetros de cada una.
La primera p=1 y la segunda p=23. Dibuja dos parábolas cuya directriz sea perpendicular al eje y,
corte al eje x en -1 e indica en el dibujo las partes que la conforman.
V (4,0)
F (3,0)V (0,0)
F (0,2)
CIERRE.
Completa las siguientes aseveraciones.
a) El Vértice es el punto medio del segmento que va del foco a la directriz.
b) El parámetro, es la distancia entre el foco y la directriz.c) La parábola siempre abre hacia el lado en donde se encuentra
ubicado el foco.
SESIÓN 2
Un empresario va a construir una discoteca; con la idea de hacerla moderna, desea que tenga una forma parabólica. Colocará un disco ball (esfera de discoteca), y que esté en un punto estratégico, de tal forma que refleje bien las luces en la pared de todo el lugar. Si un corte del edificio es como el que se muestra:
¿En qué lugar se debe colocar la esfera? Se debe colocar en el foco de la parábola.
(0,2)
Vértice parábola 1 V (0,0)Vértice parábola 2 V (0,1)Directriz y=−1Lado recto Parábola 1 L .R .=4
DESARROLLO.
1. Representa en el plano cartesiano el corte del edificio, colocando el vértice en (0,0).
2. Ésta gráfica está representada por la ecuación x2=4 py . Calcula el valor de p.
62=4 p(−4)4 p (−4 )=36−16 p=36
p= 36−16
p=−94
p=−2.25
3. El punto p es en donde debe colocarse la esfera para que refleje la luz en toda la pared. ¿Cuáles son las coordenadas de p en el sistema cartesiano que trazaste?Las coordenadas son: F (0 ,−2.25)
4. Para la inauguración, los adornos se colgarán de un hilo que va a pasar por la esfera. Calcula la longitud del hilo que se va a colocar.
Longitud = L .R .=|4 p|=|4(−94 )|=|−9|=9 m.
ACTIVIDADES.
Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno de trabajo.
1. Obtén y grafica las distintas componentes de la parábola.a) y2−4 x=0
Es una parábola horizontal que abre hacia la derecha, con vértice en el origen V (0,0 ) , p=1, foco F (1,0), Longitud del lado recto: L .R .=4 y ecuación de la directriz: x=−1. Y su gráfica es:
b) x2=−4 yEs una parábola vertical que abre hacia abajo, con vértice en el origen V (0,0 ) , p=−1, foco F (0 ,−1), Longitud del lado recto: L .R .=4 y ecuación de la directriz: y=1. Y su gráfica es:
c) y2=16 x
Es una parábola horizontal que abre hacia la derecha, con vértice en el origen V (0,0 ) , p=4, foco F (4,0), Longitud del lado recto: L .R .=16 y ecuación de la directriz: x=−4. Y su gráfica es:
d) y2=−12x
Es una parábola horizontal que abre hacia la izquierda, con
vértice en el origen V (0,0 ) , p=−18
, foco F (−18,0), Longitud del lado
recto: L .R .=12 y ecuación de la directriz: x=
18. Y su gráfica es:
e) x2=5 yEs una parábola vertical que abre hacia arriba, con vértice en el
origen V (0,0 ) , p=54
, foco F (0 , 54), Longitud del lado recto: L .R .=5
y ecuación de la directriz: y=−54
. Y su gráfica es:
2. Calcula la ecuación de la parábola que satisface lo que se te da.a) Foco en (2,0)
Es una parábola horizontal que abre hacia la derecha, con vértice en el origen V (0,0 ) , p=2, Longitud del lado recto: L .R .=|4 p|=|4 (2 )|=|8|=8 , ecuación de la directriz: x=−2. Y su
ecuación es: y2=8 x
b) Foco en (0 ,−5)Es una parábola vertical que abre hacia abajo, con vértice en el origen V (0,0 ) , p=−5, Longitud del lado recto: L .R .=|4 p|=|4 (−5 )|=|−20|=20 , ecuación de la directriz: y=5. Y su
ecuación es: x2=−20 y
c) Foco en ( 1√3 ,0)Es una parábola horizontal que abre hacia la derecha, con vértice
en el origen V (0,0 ) , p= 1
√3 , Longitud del lado recto:
L .R .=|4 p|=|4( 1√3 )|=| 4√3|= 4
√3 , ecuación de la directriz: x=−1√3 . Y su
ecuación es: y2= 4
√3x
d) Directriz y=−13
e) Longitud de L .R .=14, abre hacia arriba.
Es una parábola vertical que abre hacia la arriba, con vértice en el
origen V (0,0 ) , p=144
=72, foco F (0 , 7
2), ecuación de la directriz: y=
−72
.
Y su ecuación es: x2=14 y
f) Pasa por el punto (−1 ,−2) y su eje focal está en el eje x.Es una parábola horizontal que abre hacia la izquierda, con vértice en el origen V (0,0 ) , p=−1 Longitud del lado recto: L .R .=|4 p|=|4 (−1 )|=|−4|=4 , ecuación de la directriz: x=1. Y su
ecuación es: y2=−4 x3. La ecuación que describe los tirantes de un puente colgante,
colocada en un sistema coordenado cartesiano es x2=6 y, calcula la amplitud que tiene, si los postes miden 4 m. de alto a partir del vértice.
Tenemos que y=4 por lo que x2=6 (4 )=24→x=√24=2√6 y la amplitud será:
A=2x=2 (2√6 )=4 √6 m.4. Una antena de televisión de forma paraboloide tiene 2 m. de
diámetro y su foco se ubica 30 cm. Arriba del vértice. ¿Cuál es la profundidad de la antena?
La ecuación que describe esta situación es: x2=120 y Por lo que para la profundidad y tenemos:
y= x2
120=100
2
120=10000120
=100012
=83.33…cm.
5. Se desea construir una antena paraboloide con una muy buena recepción, para que esto suceda, el foco tiene que estar estratégicamente ubicado, si el ancho de la antena es 1 m. ¿A qué altura del vértice se tiene que colocar el foco? La ecuación que describe esta situación es: x2=4 p y por lo que para x=50cm .
Tenemos: 4 py ¿ x2→p= x2
4 y=50
2
4 y=25004 y
=625y
. Luego el foco se tiene
que colocar a 625y
del vértice.
6. Un micrófono de campo utilizado en un juego de futbol consta de un plato parabólico que tiene un diámetro de 3 pies y una profundidad de 0.25 pies. ¿Dónde está colocado el receptor respecto al vértice? La ecuación que describe esta situación es:
x2=4 py por lo que para las coordenadas (1.5,0.25) tenemos:
p= x2
4 y= 1.52
4 (0.25 )=2.25
1=2.25
Luego el receptor está colocado a una altura de 2.25 pies respecto del vértice.
CIERRE.1. En plenaria comenta en qué lugares has observado parábolas y
que uso les dan, ya sea en la industria, en las artes, en la cocina, etcétera. En la cocina en los platos hondos, En los faros de las lámparas, en los cinescopios de los televisores, etc.
2. En tu cuaderno de apuntes dibuja un plano coordenado cartesiano y grafica las siguientes parábolas, obteniendo los componentes de cada una para realizar la gráfica.a) x2=6 y
Es una parábola vertical que abre hacia arriba, con vértice en el origen V (0,0 ) ,
p=64=32, foco F (0 , 3
2), Longitud del lado recto: L .R .=6 y ecuación
de la directriz: y=−32
. Y su gráfica es:
b) x2=−6 yEs una parábola vertical que abre hacia abajo, con vértice en el origen V (0,0 ) ,
p=−64
=−32
, foco F (0 ,−32
), Longitud del lado recto: L .R .=6 y
ecuación de la directriz: y=32. Y su gráfica es:
c) y2=6 xEs una parábola horizontal que abre hacia la derecha, con
vértice en el origen V (0,0 ) , p=64=32, foco F (3
2,0), Longitud del
lado recto: L .R .=6 y ecuación de la directriz: x=−32
. Y su
gráfica es:
d) y2=−6 xEs una parábola horizontal que abre hacia la izquierda, con
vértice en el origen V (0,0 ) , p=−64
=−32
, foco F (−32,0), Longitud
del lado recto: L .R .=6 y ecuación de la directriz: x=32. Y su
gráfica es:
3. Analiza en parejas cómo se comportan los componentes y las gráficas de las parábolas que graficaste en el inciso anterior. Dependiendo del valor de p es la orientación de la parábola.
TRABAJO INDEPENDIENTE.En parejas resuelve lo que a continuación se te pide.
1. Un niño muy travieso se encuentra en lo alto de un edificio de 20 m. de alto y está arrojando piedras hacia el piso. Tira dos piedras horizontalmente al mismo tiempo, una con cada mano, a una velocidad inicial de 10 m/s. Calcula una ecuación que describa la
trayectoria de las piedras. De física tenemos que: x=vot y t=√ 2hg
de donde:
x=vo√ 2hg =10ms √ 2 (20m )
9.8ms2
=10 ms √ 40m9.8
ms2
=10 ms
√4.08163 s2=10 ms
(2.02 s )=20.2m.
Por lo que la ecuación que describe la trayectoria que es una semiparábola vertical que abre hacia abajo y está dada por:
x2=4 py al sustituir el punto (20.2 ,−20 ) tenemos:
20.22=4 p (−20 )→408.04=−80 p de donde:
p= 408.04−80
=−5.1 y la ecuación de la parábola es: x2=−5.1 y
2. Al coche de Ricardo se le rompió uno de los faros y se le cayó el foco; él es ingeniero mecánico y es muy ingenioso; decide reunir los materiales y volver a colocar el foco de tal forma en que la posición en donde lo coloque se genere un haz de rayos paralelos. Las medidas del faro son 9 cm. De profundo y 25 cm. De diámetro. ¿A qué longitud del centro colocará el foco? La ecuación que describe esta situación es: x2=4 py de donde para el punto (12.5,9 )
tenemos: p= x2
4 y=12.5
2
4 (9 )=156.25
36=4.34 por lo que el foco se colocará a
4.34 cm. Del centro.3. En una carretera se va a construir un túnel con forma de arco
parabólico, de 5 m. de altura y 6 m. de ancho en la base; además se colocará un letrero con una leyenda de altura máxima para los vehículos que crucen por ahí; el ancho del camión estándar es de2.4 m.La leyenda debe decir: “Altura máxima permitida 1.8 m”.La ecuación que describe esta situación es: x2=4 py de donde para
el punto (3 ,−5 ) tenemos: p= x2
4 y= 32
4 (−5 )= 9
−20 y la ecuación de la
parábola es: x2=4 (−920 ) y=−95y para el punto (2.4 , y ) tenemos:
x2=−95y de donde:
y=−5 x2
9=
−5 (2.4 )2
9=
−5 (5.76 )9
=−28.89
=−3.2 Por lo que la altura máxima
permitida será de 1.8 m.
SESIÓN 3.En la población de “San Pablo Güilá”, el templo católico fue construido en el siglo XVI. Tiene una puerta en forma parabólica; su altura es de 2.5 unidades. Si te colocas frente a él y tomando como referencia el eje de simetría de la puerta a nivel del piso, el punto (1,1) pertenece al lado derecho de la puerta. ¿Cuál es el ancho máximo de la puerta? 2.58 m.
DESARROLLO.1. Elabora un esquema en donde se tenga la puerta del templo en
el plano coordenado.
a) ¿Qué tipo de parábola es? Vertical que abre hacia abajo.b) ¿Qué representan los puntos de intersección con los ejes?
Con el eje horizontal representan el ancho máximo de ésta y con el vertical el vértice de la parábola.
2. Escribe la ecuación ordinaria. El vértice se encuentra en V (0,2.5) y un punto de la parábola es: P(1,1) por lo que de la ecuación ordinaria de la parábola vertical ( x−h )2=4 p ( y−k ) tenemos:
(1−0 )2=4 p (1−2.5 )1=4 p (−1.5 )1=−6 p
p=−16
Y la ecuación ordinaria es:x2=4 (−16 ) ( y−2.5 )
x2=−23
( y−2.5 )
3. Indica las coordenadas del vértice. Las coordenadas del vértice son:V (0,2.5)
Sustituye los valores de las coordenadas del vértice de la parábola. (1−0 )2=4 p (1−2.5 )
Resuelve la ecuación para p (distancia focal). (1−0 )2=4 p (1−2.5 )1=4 p (−1.5 )1=−6 p
p=−16
Utilizando los valores de las coordenadas del vértice del foco y el valor de la distancia focal, escribe la ecuación de la parábola.
x2=4 (−16 ) ( y−2.5 )
x2=−23
( y−2.5 )
4. Por último, encuentra la intersección con el eje x: (a ,0).
a2=−23
(0−2.5 )
a2=−23
(−2.5 )
a2=53
a=√ 535. La distancia máxima será: 2a=2√ 53=2.58m.
CIERRE.
Resuelve los siguientes problemas en equipos de tres:
1. Liliana se dirige a una población donde realizará su servicio social; en la carretera hay un túnel cuya forma es un arco parabólico que tiene 5 m. de altura y 6 m. de largo. Calcula la altura máxima que puede tener el autobús en el que viaja, si tiene un ancho de 2.4 m.La ecuación que describe esta situación es: ( x−h )2=4 p ( y−k ) de
donde para el punto p (3,0 ) de la parábola y el vértice V (0,5 )
tenemos: p=(3−0 )2
4 (0−5 )= 32
4 (−5 )= 9
−20 y la ecuación de la parábola es:
( x−0 )2=4 (−920 ) ( y−5 )
x2=−95
( y−5 )
Para el punto (2.4 , y ) tenemos: (2.4 )2=−95
( y−5 ) de donde:
y=−5 (2.4 )2
9+5=
−5 (5.76 )9
+5=−28.89
+5=−3.2+5=1.8 Por lo que la altura
máxima permitida será de 1.8 m.
2. En la estación repetidora de microondas de San Dionisio Ocotepec, hay una antena que tiene la forma de un paraboloide. Las señales que llegan de un satélite se reflejan en el punto donde está ubicado el receptor, situado en el foco de la parábola. Si el diámetro de la antena es de 50 cm. Y su profundidad es de 35 cm. ¿Dónde está situado el receptor de señales? La ecuación que describe esta situación es: x2=4 py por lo que para el punto p(25,35)
, tenemos: 4 py ¿ x2→p= x2
4 y= 252
4 (35 )=625140
=12528
. Luego el receptor de
señales está colocado a 12528
=4.64 cm. del vértice.
BLOQUE VII
SESIÓN 1
Un empresario adquirió recientemente una antigua casa en la comunidad donde vives; pretende reconstruirla y amueblarla para que pueda habitarla en sus periodos vacacionales. Para ello requerirá los servicios de personas que se dedican a ciertos oficios. Como primera parte de la reparación, necesita alguien que le arregle una ventana con vista al jardín, por lo que manda llamar a don Luis, quien es el carpintero de la comunidad, a quien le encarga fabricar una nueva ventana de madera de caoba, para reemplazar la existente, que representa un peligro por el estado en que se encuentra.
El ventanal antes citado de la casona tiene forma semielíptica, lo cual preocupa a don Luis, pues en el tiempo que lleva de ejercer su oficio no ha realizado un trabajo con tales características. Él confía en que su sobrino, quien estudia en el Cobao, podrá ayudarle a elaborar una plantilla en una hoja de triplay, que le permita construir el marco semielíptico necesario para cumplir con el compromiso adquirido.
Suponiendo que tú eres el sobrino de don Luis:
¿Cómo podrías ayudarle? Encontrando la ecuación de la elipse.
¿Qué datos requieres para elaborar la plantilla? El ancho de la ventana y la altura.
¿Sería de utilidad determinar la ecuación de la elipse para calcular la longitud de los largueros y los travesaños necesarios para construir el ventanal? Sí
¿Qué datos se requieren para obtener la ecuación de la elipse? El semieje mayor y el semieje menor.
1. Analiza el dibujo que elaboró don Luis con la ayuda de su sobrino y has un esbozo de la semielipse.
1m
4 m.
¿Cuál es la longitud del semieje mayor a? 2 metros.¿Cuál es la longitud del semieje menor b? 1 metro.
2. Calcula la distancia del centro al foco de la elipse formadautilizac=√a2−b2
Sustituye c=√(2 )2− (1 )2=√4−1∴ c=√3 3. ¿Cuáles son las coordenadas de los focos y los vértices de la
elipse?
F (√3 ,0 ) , F '(−√3 ,0)V (2,0 ) ,V ' (−2,0)
4. ¿Cuál es la ecuación de la elipse? x2
4+ y
2
1=1
5. Ubica en el plano cartesiano el centro, los focos, semiejes mayor y menor de la elipse.
ACTIVIDADES1. Completa la siguiente tabla.
ECUACIÓN ORIENTACIÓN VALOR DE a
VALOR DE b
VALOR DE c
EXCENTRICIDAD e
x2
4+ y
2
9=1 Vertical 3 2 √5 √5
3x2
9+ y
2
16=1 Vertical 4 3 √7 √7
4x2
100+ y
2
64=1 Horizontal 10 8 6
610
=35
4 x2+9 y2=36 Horizontal 3 2 √5 √53
2. Dadas las longitudes del eje mayor y eje menor de una elipse con centro en el origen, obtén la ecuación correspondiente.a) Elipse horizontal, eje mayor = 6, eje menor = 4.
x2
9+ y
2
4=1
V (2,0)V '(−2,0) C (0,0) F (√3 ,0)F ' (−√3 ,0)
b=1 a=2
b) Elipse horizontal, eje mayor = 20.4, eje menor = 16.
x2
104.4+ y
2
64=1
c) Elipse vertical, eje mayor = 10, eje menor = 8.
x2
16+ y
2
25=1
d) Elipse vertical, eje mayor = 8.8, eje menor = 6.6.
x2
10.89+ y2
19.36=1
Si una elipse horizontal tiene una excentricidad e=45
y su eje
menor es de 6, ¿cuáles son las coordenadas de los vértices y los focos?
V (5,0 ) ,V ' (−5,0) Y F (4,0 ) ,F '(−4,0)a) Obtén la ecuación de la elipse con centro en el origen,
conociendo los datos indicados.
Vértices: V (0,4) y V'(0,-4) la longitud del lado recto: L .R .=83
2b2
a=83
De donde b2=8a
(2)3=8(4)6
=326
=163
y la ecuación de la
elipse vertical es:
x2
163
+ y2
16=1
3x2
16+ y
2
16=1
b) Focos: F(4,0) y F'(-4,0) y la longitud del lado recto: L .R .=185
x2
25+ y
2
9=1
CIERRE
Resuelve de forma individual en tu cuaderno de trabajo los siguientes ejercicios.
1. Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes elipses.
a) x2
16+ y
2
12=1
Se tiene que: a=4 , b=√12 , c=2 por lo que los elementos de la elipse son:
V (4,0 ) ,V '(−4,0) Y F (2,0 ) , F ' (−2,0) y e=24=12 y la gráfica es:
b) x2+4 y2=16
Se tiene que: a=4 , b=2 , c=√12 por lo que los elementos de la elipse son:
V (4,0 ) ,V '(−4,0) Y F (√12 ,0 ) ,F '(−√12 ,0) y e=√124
=√32
y la gráfica es:
V '(−4,0) V (4,0)F ' (−2,0) F (2,0)
c) x2
9+ y
2
25=1
Se tiene que: a=5 , b=3 ,c=4 por lo que los elementos de la elipse son:
V (0,5 ) ,V ' (0 ,−5) Y F (0,4 ) ,F '(0 ,−4 ) y e=45
y la gráfica es:
V '(−4,0) V (4,0)F ' (−√12,0) F (√12 ,0)
d) 3 x2+2 y2=6
Se tiene que: a=√3 , b=√2 , c=1 por lo que los elementos de la elipse son:
V (0 ,√3 ) ,V '(0 ,−√3) Y F (0,1 ) , F ' (0 ,−1) y e=1
√3 y la gráfica es:
2. Calcula la ecuación de la elipse, conociendoa) O(0,0), F(2,0), V(3,0)
b2+c2 ¿a2 De donde b2=a2−c2=32−22=9−4=5 y la ecuación de la elipse horizontal es:
x2
9+ y
2
5=1
b) O(0,0), F(0,4), V(0,5)
b2+c2 ¿a2 De donde b2=a2−c2=52−42=25−16=9 y la ecuación de la elipse vertical es:
x2
9+ y
2
25=1
c) C(1,-1), F(1,2), V(1,4)
b2+c2 ¿a2 De donde b2=a2−c2=52−32=25−9=16 y la ecuación de la elipse vertical es:
( x−1 )2
16+
( y+1 )2
25=1
d) C(-3,2), F(-1,2), V(2,2)
b2+c2 ¿a2 De donde b2=a2−c2=52−22=25−4=21 y la ecuación de la elipse horizontal es:
( x+3 )2
25+
( y−2 )2
21=1
3. Determina los elementos de la elipse: centro, vértices, focos, excentricidad, longitud de lado recto, longitud del eje mayor y menor y traza su gráfica, siendo su ecuación.
a) 3 x2+16 y2−48=0
3 x2+16 y2=48
3x2
48+ 16 y
2
48=4848
x2
16+ y
2
3=1
Los elementos son: C (0,0 );V (4,0 ) ,V '(−4,0) Y F (√13 ,0 ) , F '(−√13 ,0) y
e=√134
; L .R .=32; 2a=8 ;2b=2√3 y la gráfica es:
b) 5 x2+4 y2−20=0
5 x2+4 y2=20
5x2
20+ 4 y
2
20=2020
x2
4+ y
2
5=1
Los elementos son: C (0,0 );V (0 ,√5 ) ,V ' (0 ,−√5) Y F (0,1 ) , F ' (0 ,−1) y
e= 1
√5 ;
L .R .=8
√5 ; 2a=2√5 ;2b=4 y la gráfica es:
4. Con los datos indicados, calcula la ecuación de la elipse con centro en el origen y elabora la gráfica correspondiente.
Vértices V(0,6) y V'(0,-6) y la longitud del lado recto: L .R .=163
2b2
a=163
De donde b2=16a(2)3
=16(6)6
=16 y la ecuación de la elipse
vertical es:
x2
16+ y
2
36=1
Y su gráfica es:
TRABAJO INDEPENDIENTEa) Traza tres elipses horizontales y con centro en el origen que
pasen por los puntos V'(-10,0) y V(10,0). Dibuja las tres elipses en tu cuaderno de trabajo.
1. Su parámetro deberá tomar valores distintos para cada elipse.c=4 , c=6 , c=8
2. Determine los valores de sus demás elementos.Sus elementos correspondientes son:
C (0,0 );V (100,0 ) ,V ' (−100,0) Y F (4,0 ) ,F '(−4,0) y e=25
C (0,0 );V (100,0 ) ,V ' (−100,0) Y F (6,0 ) , F ' (−6,0) y e=35
C (0,0 );V (100,0 ) ,V ' (−100,0) Y F (8,0 ) , F ' (−8,0) y e=45
3. Completa la siguiente tabla, colocando los elementos de la elipse.
VÉRTICE PARÁMETRO c
PARÁMETRO b
EXCENTRICIDADe ECUACIÓN
V'(-10,0) V(10,0)
4 √84 410
=25
x2
100+ y
2
84=1
6 8 610
=35
x2
100+ y
2
64=1
8 6 810
=45
x2
100+ y
2
36=1
4. Completa las preguntas siguientes.a) ¿Qué ocurre con la elipse cuando c aumenta? La elipse se
alarga.b) ¿Cuál será la forma de la elipse cuando c sea uno? Es casi una
circunferencia.c) ¿Cuál será la forma de la elipse cuando c sea cero? La elipse se
convierte en una circunferencia.
SESIÓN 2
En la entrada de una pequeña ciudad existe un puente antiguo soportado por un arco semielíptico, de 12 m. de longitud y una altura de 4 m. en su punto más alto. A consecuencia de las lluvias, ha sufrido daños en sus puntos de apoyo que ponen en riesgo la seguridad de quienes por ahí transitan.
Para poder realizar trabajos de mantenimiento y reparación en sus soportes, se plantea colocar puntales separados un metro ente sí, que ayuden a soportar el peso del puente y reducir los riesgos de que sufra un daño mayor durante los trabajos de rehabilitación.
a) ¿Cómo puedes ayudar a calcular la longitud de los puntales? Encontrando la ecuación de la elipse.
b) ¿Qué datos necesitas para hallar la ecuación que modela el arco del puente? La longitud del arco semielíptico y la altura.
DESARROLLO.De acuerdo a la situación planteada contesta las cuestiones siguientes.
1. ¿Qué tipo de curva define el arco del puente? Una semielipse horizontal.
2. ¿Cuánto mide el eje mayor? 12 metros.
3. ¿Cuánto mide el eje menor? 8 metros.
4. ¿Los dos ejes están completos en el arco del puente? No.¿Cuál está completo? El eje mayor.
5. Calcula la distancia focal. c2=a2−b2=62−42=36−16=20 Por lo que
c=√20.
6. ¿Cuáles son las coordenadas del centro? c (6,0).
7. ¿Cuáles son las coordenadas de los focos? F (6+√20 ,0 ) ,F ' (6−√20 ,0)
8. De las siguientes ecuaciones ¿qué ecuación te sirve para calcular la altura de los puntales?
( x−h )2
a2+
( y−k )2
b2=1
( x−h )2
b2+
( y−k )2
a2=1
La primera.a) Explica por qué: Porque esta ecuación describe una elipse
horizontal.b) Despeja la variable que te permite calcular la altura de los
puntales
y=k+ ba
√a2−( x−h )2
¿Cuáles son las longitudes de los puntales? Completa la tabla para averiguarlo.
PUNTALDISTANCIA
RESPECTO AL ORÍGEN
SUSTITUCIÓN ALTURA
A6
y=0+ 46
√62−(6−6 )24
B7
y=0+ 46
√62−(7−6 )23.944
C8
y=0+ 46
√62−(8−6 )23.771
D9
y=0+ 46
√62−(9−6 )23.464
E10
y=0+ 46
√62−(10−6 )22.981
F11
y=0+ 46
√62−(11−6 )22.211
ACTIVIDADES.Integrados en equipo realiza los ejercicios que a continuación se expresan.1. Calcula las ecuaciones ordinaria y general de cada una de las
siguientes elipses, cuyos focos están en el eje de las abscisas y son simétricos con respecto al origen; en cada caso bosqueja la gráfica correspondiente, sabiendo que:a) Sus semiejes son iguales a 3 y 2.
x2
9+ y
2
4=1 Ecuación ordinaria.
4 x2+9 y2=36 Ecuación general.
Y su gráfica es:
b) Su eje mayor es igual a 12 y la distancia entre los focos 2c=10
b2=a2−c2=62−52=36−25=11x2
36+ y
2
11=1 Ecuación ordinaria.
11 x2+36 y2=396 Ecuación general.
Y su gráfica es:
c) Su eje menor es igual a 24 y la distancia entre los focos 2c=14
a2=b2+c2=122+72=144−49=193
x2
193+ y2
144=1 Ecuación ordinaria.
144 x2+193 y2=27792 Ecuación general.
Y su gráfica es:
d) La distancia entre sus focos 2c=6 y la excentricidad e=35
ca=35 De donde: a=5c
3=5(3)3
=5
b2=a2−c2=52−32=25−9=16 Por lo que:
x2
25+ y
2
16=1 Ecuación ordinaria.
16 x2+25 y2=400 Ecuación general.
Y su gráfica es:
e) Si el eje menor es igual a 10 y la excentricidad e=1312
ca=1312
De donde: c=13a12
a2=b2+c2=52+ 13a12
2
a2−13a12
2
=52
−1a12
2
=25
a2=(−12 )25
a2=−300
Por lo que no existe tal elipse.
f) Su eje menor es igual a 6 y la distancia entre sus directrices es igual a 13.
b=3 y c=132
a2=b2+c2=32+( 132 )2
=9+ 1694
=36+1694
=2054
Por lo que:
4 x2
205+ y
2
9=1 Ecuación ordinaria.
36 x2+205 y2=1845 Ecuación general.
Y su gráfica es:
CIERRE
A partir de una ecuación de segundo grado con dos incógnitas, contesta las siguientes preguntas. En cada caso justifica tu respuesta.
a) ¿Puedes identificar en qué casos se trata de una elipse? Sí.Cuando A≠B ;C=0
b) ¿Puedes identificar cuando su centro está en el origen? SíCuando C=D=E=0
c) ¿Puedes identificar cuando su centro está fuera del origen, pero sobre el eje horizontal? SíCuando C=E=0
d) ¿Puedes identificar cuando su centro está fuera del origen, pero sobre el eje vertical? SíCuando C=D=0
e) ¿Conoces el procedimiento para transformar la ecuación ordinaria de una elipse a la forma general? Sí. Descríbelo de manera breve.
( x−h )2
a2+
( y−k )2
b2=1
b2 ( x−h )2+a2 ( y−k )2=a2b2
b2 x2−2b2hx+b2h2+a2 y2−2a2 ky+a2 k2=a2b2
b2 x2−2b2hx+b2h2+a2 y2−2a2 ky+a2 k2−a2b2=0Si A=b2; B=a2; D=−2b2h; E=−2a2 k y F=a2k2+b2h2−a2b2 entonces:
Ax2+B y2+Dx+Ey+F=0Es la ecuación general de la elipse horizontal.
TRABAJO INDEPENDIENTE
En tu cuaderno de trabajo, realiza las siguientes actividades.
1. Calcula la ecuación de la elipse si tiene como focos F (3,1 ) y F ' (7,1) vértices V (2,1 ) yV ' (8,1).Tenemos que c=2 y a=3 por lo que: b2=a2−c2=32−22=9−4=5 y su centro es: C (5,1), luego la ecuación ordinaria de la elipse horizontal es:
( x−5 )2
9+
( y−1 )2
5=1
2. Calcula la ecuación de la elipse si tiene como vértices
V (2,5 ) yV ' (10,5). Y longitud del lado recto L .R .=92
Tenemos que a=4 y 2b2
a=92
, de donde b2= 9a(2)2
=9(4)4
=9, además el
centro es C (6,5) y la ecuación ordinaria de la elipse horizontal es:
( x−6 )2
16+
( y−5 )2
9=1
3. Calcula los elementos de la elipse: centro, vértices, focos, excentricidad, longitud del lado recto, longitud del eje mayor y menor y traza su gráfica siendo su ecuación general.
9 x2+6 y2+54 x−36 y+81=0La forma ordinaria de la ecuación de la elipse es:
9( x¿¿2+6 x+9−9)+6( y¿¿2−6 y+9−9)+81=0¿¿9( x¿¿2+6 x+9)−81+6( y¿¿2−6 y+9)−54+81=0¿¿
9( x+3)2+6( y−3)2−54=09( x+3)2+6( y−3)2=54
(x+3)2
6+( y−3)2
9=1
Y c2=a2−b2=9−6=3∴ c=√3
Por lo que los elementos son los siguientes:
C (−3,3), V (−3,6 ) ,V ' (−3,0) Y F (−3,3+√3 ) ,F ' (−3,3−√3), e=√33
,
L .R .=2b2
a=2 (6 )3
=4, 2a=2 (3 )=6, 2b=2 (√6 )=2√6 y su gráfica es:
4. Calcula la ecuación ordinaria y general de la elipse según los datos de la gráfica siguiente.
De la gráfica se observa que: C (−1,1), V (4,1 ) ,V ' (−6,1) Y F (3,1 ) , F '(−5,1) por lo que: a=5 , b=3 ,c=4 , h=−1 , k=1 por lo que la ecuación ordinaria de la elipse es:
( x+1 )2
25+
( y−1 )2
9=1
Y su ecuación general es:
9 ( x+1 )2+25 ( y−1 )2=2259 x2+18x+9+25 y2−50 y+25=2259 x2+25 y2+18 x−50 y+9+25−225=09 x2+25 y2+18 x−50 y−191=0
5. Una elipse es tangente a los ejes x y y, tiene su centro en (8 ,−10).a) Identifica los focos y los vértices.
Podemos ver que a=10 , b=8 por lo que
c2=a2−b2=100−64=36∴c=6, luego los focos son: F (8 ,−4 ) ,F '(8 ,−16) y los vértices: V (8,0 ) ,V ' (8 ,−20)
b) Traza en la cuadrícula el esquema de la elipse.c) Obtén los puntos tangentes con los ejes coordenados.
Los puntos tangentes con los ejes coordenados son: (8,0 ) y (0 ,−10 )
d) Con la información que reúnas, identifica la longitud del eje mayor, eje menor y distancia focal.Eje mayor = 20, eje menor = 16 y distancia focal =12
e) Determina los valores de a ,b , cy la excentricidad.a=10 , b=8 y c=6.
f) Escribe la ecuación de la elipse.
La ecuación ordinaria de la elipse vertical es: (x−8)2
100+
( y+10)2
64=1
SESIÓN 3
El ingeniero Maximino desea trazar en una superficie de papel cascarón una elipse, únicamente cuenta con una lámina de 60 X 100 cm., dos tachuelas, un hilo y un lápiz y no quiere que se desperdicie mucho papel cascarón.
a) ¿Cuáles deben ser las coordenadas del foco y de los extremos?Tenemos que a=50 , b=30 , por lo que
c2=a2−b2=2500−900=1600∴ c=40 y las coordenadas de los focos son: F2 (90,30 ) , F1(10,30) y los extremos: V 1 (0,30 ) ,V 2(100,30)
b) ¿Crees que es posible saber el área de la elipse? Sí.
DESARROLLO.
Consigue el material con el que cuenta el ingeniero Maximino y realiza el ejercicio.
1. Para lograr su propósito él traza dos rectas perpendiculares en el centro del papel cascarón (como de observa en la siguiente figura) y marca los puntos donde se intersectan las rectas, así como los focos, los vértices, los extremos de los ejes, traza su elipse apoyándose en dos tachuelas colocados en los focos, un hilo y un lápiz.
2. Si el punto de intersección de las rectas es el origen del plano cartesiano rectangular, la elipse tiene su eje mayor paralelo al eje Horizontal X
3. ¿Cuáles son las coordenadas del centro? C (50,30)4. ¿Cuánto miden los semiejes mayor y menor?
a=50b=30Sabiendo que c2=a2−b2,
c=405. Las coordenadas de los vértices son
V 1 (0,30 ) ,V 2 (100,30 )
6. Las coordenadas de los focos sonF2 (90,30 ) , F1(10,30)
7. ¿Cuánto es la excentricidad de esta elipse?
8. ¿Cuánto mide el lado recto? El lado recto mide:
L .R .=2b2
a=2 (900 )50
=36
9. Si el área de una elipse se calcula con la fórmula A=π abTenemos que A=π (50 ) (30 )=1500π cm2
ACTIVIDADES.1. Resuelve en binas los siguientes problemas.
ECUACIÓN TIPO ELIPSE
HORIZONTAL O
VERTICAL
VALOR DE a
VALOR DE b
VALOR DE c
CENTRO (h , k )
EXCENTRICIDAD e
( x−3 )2
16+
( y−2 )2
9=1 Horizontal 4 3 √7 (3,2) √7
4
( y+3 )2
36+
( x−6 )2
16=1 Vertical 6 4 √20 (−3,6) √20
6
16 x2+25 y2+160 x+200 y+400=0Horizontal 5 4 3 (−5 ,−4)35
16 x2+4 y2+32 x−16 y−32=0 Vertical 4 2 √12 (−1,2) √124
36 ( x+3 )2+64 ( y−5 )2=2304 Horizontal 8 6 √28 (−3,5) √288
2. Plutón es un planeta enano de nuestro sistema solar, cuya órbita elíptica tiene una excentricidad de 0.244. Su órbita es de aproximadamente 4.435 X 109 en el perihelio. La longitud del eje mayor es aproximadamente 1.17393 X 1010 km.
a) Construye una gráfica de la situación.
Tenemos que: a=5.86965 X 109 y la excentricidad es: e=ca por lo
que: c=ae=(5.86965 X 109 ) (0.244 )=1.4321946 X 109 k m. Y
b2=a2−c2=(5.86965 X 109 )2−(1.4321946 X 109 )2
b2=3.445 X 1019−2.0511X 1018=3.23989 X 1019 y la ecuación ordinaria de
la elipse es: x2
3.445 X1019+ y2
3.23989 X1019=1
Y su gráfica es:
b) Calcula la longitud del semieje menor de la órbita. El semieje menor es: b=5.692 X 109
c) ¿De cuánto es la distancia más alejada de Plutón al Sol (afelio)? Afelio¿c+a=1.4321946 X 109+5.86965 X 109=7.3018 X109
3. Se desea construir una maqueta de un puente de forma semielíptica, su abertura tendrá una altura de 40 cm. En el centro y una anchura en su base de 90 cm., para dibujar el contorno un estudiante del 5° de DACO emplea un hilo de 90 cm. Amarrado a dos clavos.
a) ¿En qué punto debe colocar los clavos? En los focos de la elipse.
b) Explica por qué es adecuada esta técnica de trazo. Porque la suma de las distancias de los focos a un punto cualquiera de la elipse siempre es constante.
c) Localiza los puntos y bosqueja la gráfica. Utiliza la escala conveniente.Tenemos que: a=45 y b=40 por lo que: c2=a2−b2=(45 )2−(40 )2=2025−1600=425∴ c=20.6155 y los puntos son: V (45,0 ) ,V '(−45,0) Y F (20.6155 ,0 ) , F '(−20.6155 ,0) y la gráfica es:
4. La longitud del eje mayor de la elipse que describe el planeta Mercurio alrededor del sol es de 1863.6 millones de kilómetros y su excentricidad es 0.2056.a) Calcula la distancia mínima de Mercurio al Sol.
Tenemos que: a=9.318 X 108 y la excentricidad es: e=ca por lo que:
c=ae=(9.318 X 108 ) (0.2056 )=1.91578 X 108 km. Y luego la distancia
mínima de Mercurio al sol es: 7.40222 X 108 km.
b) Calcula la distancia máxima de Mercurio al Sol.
Distanciamáxima=11.23378 X 108 km.5. Se desea diseñar una sala que funcione como una cámara de
secretos de 34 pies de longitud y cuya altura del techo elíptico en
el centro sur sea de 15 pies. ¿Dónde deben estar localizados los focos? Tenemos que: a=17 pies y b=15 pies por lo que:
c2=a2−b2=(17 )2+(15 )2=289−225=64∴c=8 pies y los focos están
localizados en: F (8 ,0 ) , F ' (−8 ,0)
6. Dadas las ecuaciones 6 x2+4 ( y+2 )2=24 y x2−2 y+4=0, determina los puntos donde se intersecan. Despejando y de la segunda ecuación tenemos:
y= x2+42
Sustituyendo en la primera ecuación se tiene:
6 x2+4 ( x2+42 +2)2
=24
6 x2+4 ( x2+4+42 )2
=24
6 x2+4 (x2+4+4 )2
4=24
6 x2+ (x2+8 )2=246 x2+ x4+16 x2+64=24x4+22 x2+64−24=0x4+22 x2+40=0
(x¿¿2+20)(x2+2)=0¿x2+20=0 y x2+2=0x2=−20 y x2=−2
Como no existe ningún número elevado al cuadrado negativo, se concluye que las ecuaciones no se intersecan.
CIERREIntegrados en ternas, resuelve lo siguiente.
1. Completa el formulario del bloque.
DESCRIPCIÓN
CENTRO VÉRTICE FOCOSEXTREMOS EJE MENOR
RECTA DIRECT
RÍZECUACIÓN
Eje mayor o focal
paralelo al eje x
C (0,0) V (±a ,0) F (±c ,0) E(0 ,± b) x=± a2
c
x2
a2+ y
2
b2=1
C (h , k ) V (h±a , k ) F (h±c , k ) E(h , k±b)x=± a
2
c( x−h )2
a2+
( y−k )2
b2=1
Eje mayor o focal
paralelo al eje y
C (0,0) V (0 ,± a) F (0 , ± c) E(±b ,0) y=± a2
c
x2
b2+ y
2
a2=1
C (h , k ) V (h ,k ±a) F (h , k ± c) E(h±b ,k ) y=± a2
c
( x−h )2
b2+
( y−k )2
a2=1
Ecuación general
de la elipse
Eje mayor o
focal paralelo al eje x
Ax2+B y2+Dx+Ey+F=0 ; B>A
Eje mayor o
focal paralelo al eje y
Ax2+B y2+Dx+Ey+F=0 ; A>B
RELACIÓN DE CONCEPTOS IMPORTANTES
RELACIÓN O IGUALDAD
Relación entre a ,b , c. a=b2+c2∴a>bLado recto (tiene dos) Ancho focal L .R .=2b
2
aEje mayor 2aEje menor 2bDistancia focal FF '=2cExcentricidad e= c
a2. La elipse tiene aplicación en la construcción de arcos para soportar
puentes, juegos, ventanas, puertas, etc. Si el ancho de un arco semielíptico es de 6.00m. con una altura de 1.50 m.a) ¿Cuál es la ecuación que lo representa?
x2
9+ y2
2.25=1
b) ¿Qué excentricidad tiene? e=2.5983
c) ¿Cuál es el valor del eje focal 2c? 2c=5.1963. En la siguiente tabla se indica la excentricidad de las órbitas de los
planetas alrededor del Sol.
Planeta
Mercurio
Venus
Tierra
Marte
Júpiter
Urano
Neptuno
e 0.2056 0.0068
0.0167
0.0934
0.0483
0.0461
0.0097
¿Cuál de las órbitas es la más alargada? Mercurio.¿Cuál de las órbitas se acerca más a la órbita circular? Venus.
