Geometrie non Euclidee...Prefazione Le "Geometrie non Euclidee" è il frutto di un lavoro laboratoriale prodotto da un gruppo di studenti del "Liceo Classico Gioacchino Da Fiore" di

Geometrie non EuclideeGiulia Cozza, Chiara Leone, Giovanni Macchione, Chiara Perrone

Geometrie non Euclidee Giulia Cozza, Chiara Leone, Giovanni Macchione, Chiara Perrone

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Prefazione

Le "Geometrie non Euclidee" è il frutto di un lavoro laboratoriale prodotto da un gruppo di studenti del "Liceo Classico Gioacchino Da Fiore" di Rende (CS).

Siamo 4 studenti frequantanti il 4° anno e in quanto alunni ci rendiamo conto di come possa essere difficile capire alcuni concetti, specialmente se si tratta di matematica! E' per questo motivo che, dopo due settimane di analisi e comprensione dei testi scolastici e ricerche su internet, abbiamo deciso di semplificarne alcuni, così che possano essere alla portata di tutti.

E' alla fine della terza settimana di laboratorio che abbiamo presentato il nostro lavoro alla professoressa, che lo ha visionato per correggere eventuali errori. Inoltre, durante le settimane di laboratorio, il nostro lavoro è stato controllato affinché venisse svolto correttamente.

Il libro tratta, come si può capire dal titolo, delle geometrie non euclidee. Sono stati presi in considerazione i matematici presenti nel programma scolastico, oggetto di studio e di maggiore rilevanza nello sviluppo di queste geometrie.

Speriamo che il libro vi sia utile.


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Euclide e i cinque Postulati

Euclide è stato un matematico e scenziato greco vissuto agli inizi del 3° secolo a.C. ed è conosciuto soprattutto per i suoi Elementi, una vasta raccolta in cui espone quelli che erano i concetti fondamentali della matematica greca del tempo. I temi affrontati nei 13 libri che comprendevano gli Elementi non influenzarono le ricerche solo in campo geometrico o aritmetico ma anche in molti altri campi come l'ottica, l'astronomia e la musica.

Il libro che ci interessa per poter poi comprendere la nascita delle geometrie euclidee è l'I, nel quale Euclide dà delle definizioni per gli enti geometrici fondamentali (punto, retta, piano, angolo) ed enuncia 5 assiomi,verità generali, e 5 postulati, assunzioni specifiche relative alla geometria.

Quella che viene generalmente chiamata "geometria euclidea" venne classificata dal matematico tedesco Felix Klein come "parabolica".

GLI ENTI GEOMETRICI FONDAMENTALI NELLA GEOMETRIA EUCLIDEA

Questi enti, definiti fondamentali proprio perchè alla base della geometria euclidea, comprendono, come detto in precedenza, punto, retta e piano. Euclide dà una definizione ben precisa di questi tre enti.

Il piano: è quello che giace ugualmente rispetto alla retta su di esso.Il punto: è un elemento del piano che non ha parti.La retta: è un sottoinsieme del piano illimitata nel senso della lunghezza e senza parti nel senso della larghezza.

GLI ASSIOMI

Gli assiomi sono delle proprietà che non devono essere dimostrate ed esprimono le relazioni esistenti fra gli enti primitivi. Questi devono avere delle caratteristiche particolari:

Compatibilità: non devono contraddirsi l'un l'altro.Indipendenza: dalle proprietà affermate da uno non si devono poter dedurre le proprietà affermate dall'altro.Completezza: tutti i teoremi devono essere dedotti da questi.


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Euclide differenzia diversi tipi di assiomi:

Di appartenenzaD'ordineDi partizione del pianoDi congruenzaDi trasportoDella parallela

I POSTULATI

I postulati di Euclide sono 5:I postulato: tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta.II postulato: la linea retta si può prolungare indefinitamente.III postulato: dato un punto ed una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio.IV postulato: tutti gli angoli retti sono uguali.V postulato: due rette tagliate da una trasversale si incontreranno in un punto posto dalla parte in cui la trasversale forma due angoli interni la cui somma è minore di un angolo retto.

Il V postulato, che ora andremo ad analizzare, è il più famoso e quello che portò alla formazione delle geometrie non euclidee.


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Il V postulato di Euclide e la nascita delle Geometrie non Euclidee

Formulato diversamente da come lo è stato nel paragrafo precedente, il V postulato di Euclide afferma: " se una retta, incontrandone altre due, forma con esse angoli interni da una stessa parte la cui somma è minore di due retti, queste due rette, prolungate all'infinito, si incontreranno dalla parte in cui giacciono tali angoli".

Oggi viene formulato ancora in un altro modo:

"per un punto esterno ad una retta data passa una e una sola parallela ad essa".

LE GEOMETRIE NON EUCLIDEE

Le geometrie non euclidee sono quelle che si sviluppano a partire dai primi decenni del XIX secolo e che fondano le loro teorie sulla negazione del V postulato di Euclide.

Pare che il primo a formulare una geometria nella quale il V postulato fosse sostiutito dalla sua negazione sia stato Carl F. Gauss attorno al 1813. Nonostante questo, le geometrie non euclidee sono state scoperte almeno quattro volte in venti anni. In epoche più antiche infatti, le comunicazioni tra gli scienziati erano scarse e perciò scoperte simultanee non sono rare nel corso della storia. Ne è un esempioIntorno la lettera ricevuta da Gauss e inviatagli da Ferdinand Schweikart, che lo informava di essere arrivato anche egli in modo autonomo e indipendente a conclusioni sostanzialmente identiche.

Tra i fondatori delle geometrie non euclidee vanno citati: Girolamo Saccheri, Nicolaj Lobacevskij, Bernhard Riemann, insieme ad altri relativamente di minore importanza.


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Fu dunque con la nascita delle geometrie non euclidee che da questo postulato se ne formularono due varianti, il postulato Va e il postulato Vb.

IL POSTULATO Va

Questo postulato viene sostituito al V nella geometria Ellittica di Riemann e afferma che:

"Non esiste alcuna retta s passante per un punto P e parallela alla retta r prefissata", che può essere formulato affermando che "ogni retta s passante per il punto P incontra sempre la retta prefissata r"


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IL POSTULATO Vb

Questa seconda variante viene sostituito al V postulato euclideo nella geometria iperbolica di Lobacevskij e afferma che:

"Esistono almeno due rette s' e s'' passanti per il punto P e parallele alla retta data r".

Andiamo ora ad analizzare le varie teorie e i vari modelli proposti dai matematici.


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Saccheri: il padre delle Geometrie non Euclidee

Girolamo Saccheri iniziò involontariamente quello che è il filone delle Geometrie non Euclidee. Egli infatti tentò di dimostrare il V postulato di Euclide, cercando contraddizioni logiche in una geometria fondata sulla negazione del V postulato.

COSA FECE SACCHERI?

Per elaborare la sua teoria egli analizzò particolari quadrilateri, chiamati "birettangoli isosceli", i quali furono successivamente chiamati "quadrilateri di Saccheri".

Considerando questo tipo di quadrilatero ABCD, avente i lati AD e BC uguali fra loro ed entrambi perpendicolari ad uno solo degli altri lati , tracciò le diagonali e osservò come gli angoli in D e in C sono congruenti.

Osservò inoltre che questi angoli possono essere:

Retti----->Ipotesi dell'angolo rettoOttusi----->Ipotesi dell'angolo ottusoAcuti----->Ipotesi dell'angolo acuto


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IPOTESI DELL'ANGOLO RETTO

In questa ipotesi Saccheri accetta il V postulato di Euclide, essendo gli angoli entrambi retti.

IPOTESI DELL'ANGOLO OTTUSO

In questa seconda ipotesi gli angoli sono entrambi ottusi dunque viene negato il V postulato.

IPOTESI DELL'ANGOLO ACUTO

In questa terza ipotesi gli angoli interni sono entrambi acuti dunque, anche in questo caso, viuene negato il V postulato.

Saccherì mirava a confutare le due ipotesi che negavano la validità del V postulato, così da rendere possibile solo quella dell'angolo retto, ma solo quella dell'angolo ottuso risulta contraddittoria. L'ipotesi dell'angolo acuto può essere invece sostituita a quella dell'angolo retto, ma Saccheri non se ne rese conto.


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Geometria Iperbolica di Lobacevskij e i modelli di Klein e Poincaré

La geometria iperbolica di Lobacevskij e Bolyai si ottiene sostituendo al V postulato di Euclide il postulato Vb (Paragrafo 2).

La teoria di Euclide afferma che due rette s e s' intersecano r finchè gli angoli a e a' non saranno retti. In questo modo s e s' saranno coincidenti e dunque formeranno l'unica parallela alla retta r, cioè la retta s presente in figura.

Lobacevskij rieteneva invece che le due rette s ed s' cessano di intersecare r quando a e a' raggiungono un valore comune detto "angolo di parallelismo", inferiore all'angolo retto. Ciò implica l'esistenza di numerose rette che passano per lo stesso punto e non intersecano r. Per Lobacevskij s e s' sono parallele a r mentre tutte le rette comprese tra s e s' sono definite antiparallele.


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Venne denominata "iperbolica" dal matematico tedesco Felix Klein. Il termine iperbolico, che in greco ha il significato di "eccesso", sta proprio ad indicare l'eccesso di parallele rispetto a ciò che si era considerato in precedenza.

Lo stesso Klein propose un modello di questa geometria in cui gli enti geometrici punto e retta soddisfano tutti gli assiomi della geometria euclidea tranne quello delle parallele (Paragrafo 1).

IL MODELLO DI KLEIN

Per spiegare il modello di Klein prendiamo in considerazione:

Una circonferenza yUn punto generico P nel pianoUna corda AB privato degli estremi, corrispondente a una "retta"


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Per P passano infinite rette che non

intersecano AB

Nella seconda figura abbiamo tracciato due rette limite, PA e PB, che non intersecano la retta AB essendo i punti A e B esterni al piano (insieme di tutti i punti interni alla circonferenza), ed un altra retta che non si interseca con AB. Le prime due rette sono definite "parallele" mentre le altre sono considerate "non secanti" o "ultraparallele".

Dunque due rette possono essere:

Incidenti se hanno in comune un punto nel piano di Klein.Parallele se hanno in comune un punto della circonferenza y che delimita il piano di KleinUltraparallele negli altri casi

Inoltre si arriva alla conclusione che più P è lontano dalla retta più saranno le rette che non intersecano r.

Analizziamo ora un altro modello dell geometria iperbolica: il modello di Poincaré.


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IL MODELLO DI POINCARE'

Questo modello è leggermente più complesso di quello del matematico Klein.

Consideriamo una circonferenza K e diamo le definizioni degli enti fondamentali:

Il piano: è l'insieme di tutti i punti interni alla circonferenza.La retta: ogni diametro della circonferenza K privato degli estremi oppure ogni arco di circonferenza interno a K , sempre privato degli estremi ed ortogonale alla circonferenza che lo delimita.Il punto: un punto interno alla circonferenza K (quindi esclusi i punti sulla circonferenza).

Dimostrato che per due punti del piano passerà una e una sola retta si arriva alla conclusione che: presa una retta del piano e un punto non appartenente ad essa, esistono infinite rette passanti per quel punto e parallele alla retta data.


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Geometria Ellittica: Riemann

La geometria ellittica è una geometria che ammette che: " per un punto non passi alcuna parallela ad una retta data". Venne formulata per la prima volta dal matematico tedesco Riemann, il quale attraverso il suo modello riuscì a soddisfare tutti i postulati scritti da Euclide, ad eccezione del V postulato, che viene sostituito con il postulato Va (Paragrafo 2).

IL MODELLO DI RIEMANN

Per spiegare la sua teoria il matematico utilizzò definizioni per gli enti primitivi diverse da quelle euclidee:

Il piano di Riemann: una qualunque superficie sferica.Il punto di Riemann: una qualunque coppia di punti diametralente opposti sulla superficie sferica.La retta di Riemann: una qualsiasi circonferenza massima.

Osserviamoli ora in figura:

Definì inoltre la linea di minima distanza tra due punti "la geodetica"; cioè l'arco minore di circonferenza che passa per i due punti ed ha il centro nel


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centro della sfera.

Dimostriamo ora come viene reso valido il postulato Va:

Fissando un punto di Riemann (A, B) e una retta di Riemann ( r ), ogni retta di Riemann passante per il punto di Riemann dato interseca r in un altro punto di Riemann (C, D). Considerato ciò si arriva alla conclusione che non esiste alcuna retta passante per il punto A, B che sia parallela alla retta data r.

In questo modo il matematico dimostra come la sua teoria non sia contraddittoria.


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Indice

--Euclide e i 5 postulati.

Gli enti geometrici fondamentali nella geometria euclidea.Gli assiomi.I postulati.

--Il V postulato di Euclide e la nascita delle geometrie non euclidee.

Le Geometrie non Euclidee.Il postulato Va.Il postulato Vb.

--Saccheri: il padre delle geometrie non euclidee.

Cosa fece Saccheri?Ipotesi dell'angolo Retto.Ipotesi dell'angolo Ottuso.Ipotesi dell'angolo Retto.

--Geometria iperbolica di Lobacevskij e i modelli di Klein e Poincaré.

Il modello di Klein.Il modello di Poincaré.

--Geometria Ellittica: Riemann.

Il modello di Riemann.


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Sitografia

--Euclide e i 5 postulati:

digilander.libero.it/mifrali//ipertesto/iciniquepost.htmwww.treccani.it/enciclopedia/euclide_(Enciclopedia_dei_ragazzi)/

--Il V postulato e la nascita delle geometrie non euclidee:

www.ist100.fe.it/-meccaferri.m/geometrie/quinto_postulato.htmwww.itaer.it/lavori/storia/pag2005.htm

--Saccheri: il padre delle geometrie non euclidee:

progettomatematica.dm.unibo.it/GeometrieNonEuclidee/par6.html

--Geometria iperbolica di Lobacevskij e i modelli di Klein e Poincaré:

www.ist100fe.it/-maccaferri.m/geometria_iperbolica.htmwww.bathmath.it/matematica/a_ageo/cap1/Klein.htmprogettomatematica.dm.unibo.it/GeometrieNonEuclidee/par14.htm

--Geometria ellittica: Riemann:

areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Apr_02/Cap11.html


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Geometrie non Euclidee...Prefazione Le "Geometrie non Euclidee" è il frutto di un lavoro laboratoriale prodotto da un gruppo di studenti del "Liceo Classico Gioacchino Da Fiore" di