Le geometrie

non euclidee

Sezione MathesisPesaro

PaolaJanna

Floriana

FulgenziNardiPaternoster

Novembre 2011

“La matematica non è altro che il lato esatto del nostro pensiero” Luitzen Egbertus Jan Brouver

In una teoria assiomatica moderna

Termini primitiviTermini primitivi sono quegli enti che si sceglie di non definire e che servono da punto di partenza per la definizione degli altri enti

AssiomiAssiomi sono quelle proposizioni che si sceglie di non dimostrare e che servono da punto di partenza per dimostrare tutti i teoremi

Euclide

Definisce gli enti geome-enti geome-tricitrici dando una descrizione idealizzata di oggetti che ci circondano e che fanno parte della nostra esperien-za immediata.

In modo analogo i postula-postula-ti ti o assiomiassiomi descrivono il comportamento evidente e facilmente sperimentabile degli oggetti geometrici.

Storia di un postulato

I E’ possibile condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto

II E’ possibile prolungare illimitatamente una retta finita in una retta

III E’ possibile descrivere un cerchio con centro e distanza qualsiasi

IV Tutti gli angoli retti sono congruenti tra loro

V …..

Gli “Elementi” di Euclide (300 a.C.) fondano la geometria del piano su cinque postulati che possiamo così riassumere:

V postulatoSe una retta (r), intersecando due altre rette (s, t), forma con esse, da una medesima parte, angoli coniugati interni la cui somma è minore di due angoli retti, allora queste due rette illimitatamente prolungate si incontrano dalla parte detta.

r

s

t

α

β

V postulato altra formulazione

Dati in un piano una retta e un punto fuori di essa, esiste nel piano una e una sola retta passante per il punto e parallela alla retta data.

s

t

P

Somma degli angoli interni di un triangolo nel piano euclideo

Due rette parallele tagliate da una trasversale formano angoli corrispondenti congruenti, alterni congruenti e coniugati supplementari.

Punto nero Per secoli i matematici hanno ritenuto che il quinto postulato dovesse essere una conseguenza dei primi quattro e si sono adoperati, inutilmente, per dimostrarlo.

I primi quattro postulati sembravano godere di una maggiore evidenza; nel quinto postulato entrava infatti in gioco una proprietà che non è verificabile se si è in una regione finita di piano (dire che due rette sono parallele equivale a dire che non si incontrano per quanto possano essere prolungate) e quindi non così evidente.

EUCLIDE EVITAEVITA finché gli è possibile di utilizzare questo postulato. Dimostra i primi 28 teoremi senza di esso, MAMA senza di esso non si possono dimostrare teoremi basilari come: • il teorema sulla somma degli angoli interni di un triangoloteorema sulla somma degli angoli interni di un triangolo (uguale a un angolo piatto) • il teorema di Pitagorateorema di Pitagora • i teoremi sulla similitudine delle figure pianeteoremi sulla similitudine delle figure piane

L’esistenza diL’esistenza di rettangoli e quadratirettangoli e quadrati

Tentativi di dimostrazione del V postulato

Era assolutamente necessario Era assolutamente necessario liberare, emendare, liberare, emendare, purificare purificare l'opera di Euclide da tale macchia, da tale neo.l'opera di Euclide da tale macchia, da tale neo.Nei secoli si sono susseguiti numerosi tentativi ma Nei secoli si sono susseguiti numerosi tentativi ma il contributo più significativo è di il contributo più significativo è di Gerolamo SaccheriGerolamo Saccheri con con l’opera: l’opera:

Euclides ab omni naevo vindicatus Euclides ab omni naevo vindicatus (Euclide liberato da ogni neo)(Euclide liberato da ogni neo)

Gerolamo Saccheri (1667-1733)IDEA: dimostrazione del V postulato a contrariis cioè a partire dalla negazionenegazione di esso, ma accettando gli altri 4 postulati

se la NEGAZIONE durante la dimostrazioneporterà a qualcosa di FALSO o ASSURDO

V postulato VERO

lo avremo dimostrato

è un teorema

gli angoli in C e D sono uguali a 90° (angolo retto)

gli angoli in C e D sono maggiori di 90° (angolo ottuso)

gli angoli in C e D sono minori di 90° (angolo acuto)

Dimostra che gli angoli in C e D sono uguali servendosi delle proprietà dei triangoli congruenti mostrate da Euclide senza usare il V postulato.

Quadrilatero birettangolo isoscele:Quadrilatero birettangolo isoscele: quadrilatero di base AB su cui si costruisce perpendicolarmente ad essa due lati di uguale lunghezza AC e BD

Nel primo caso riesce a provare la validità del V postulato, in quanto Nel primo caso riesce a provare la validità del V postulato, in quanto l’accettazione di questo implica che C e D siano angoli retti. l’accettazione di questo implica che C e D siano angoli retti.

L’ipotesi dell’angolo ottuso è completamente falsa, perché distrugge L’ipotesi dell’angolo ottuso è completamente falsa, perché distrugge se stessa in quanto incompatibile con l’idea che ogni retta sia infinita. se stessa in quanto incompatibile con l’idea che ogni retta sia infinita.

Il terzo caso viene scartato perché poco intuitivo.Il terzo caso viene scartato perché poco intuitivo.

L'opera di Saccheri rappresenta un punto di svolta: a. per aver aperto la strada (con la sua

dimostrazione per assurdo) alla possibilità di ipotizzare la non validità del V postulato

b. per aver inaugurato, involontariamente, la sintesi effettiva delle Geometrie Non Euclidee

c. per l’idea di fondare la validità di una geometria sulla sua non contraddittorietà logica (e non sull'evidenza intuitiva)

Fu solo nel XIX secolo (anni tra 1830-1860) a partire dai lavori di Gauss, Lobačevskij e Bolyai che il problema trovò una soluzione definitiva.

Karl Friedrich Gauss (1777-1855)

Nicolai Ivanovich Lobachevsky (1793- 1856)

Jànos Bolyai

(1802-1860)

In seguito altri matematici hanno creato ulteriori geometrie non Euclidee e nuovi modelli di tali geometrie

Bernhard Riemann1826 - 1866

Felix Klein1849 - 1925

Henri Poincarè1854 - 1912

Eugenio Beltrami1835 - 1900

Sulla cosiddetta geometria non euclidea (1871)

Nel V postulato nulla si dice sul piano. Esso è finito o infinito? I falliti tentativi della dimostrazione del v postulato non esclusero l’esistenza di percorsi dimostrativi non ancora trovati. Qualcuno si pose la domanda: se si abbandona il V postulato, cosa succede?

Nella prima metà del 1800 cambiò l’ottica con cui si affrontò il problema.

N. J. Lobacevskij, Sui principi della Geometria, 1829 e Nuovi principi della Geometria, 1836

Costruisce una geometria che definisce immaginaria partendo dal seguente assunto:

r

sP

secanti

parallela

non secantinon secanti

parallela

secanti

Retta r, punto P esterno2 rette per P parallele ad r,infinite non secanti r,infinite secanti

La geometria immaginaria di Lobaceskij include come caso particolare la geometria di Euclide, quando le due parallele vengono a coincidere e tutte le altre rette sono secanti

r

s

Tra le conseguenze più rilevanti di questo nuovo postulato …

In ogni triangolo rettilineo la somma dei tre angoli non può superare due angoli retti ossia è minore o uguale a 180°

P

Geometria di RiemannB.Riemann, Sulle ipotesi che stanno a fondamento della geometria, 1854, ammette la possibilità, sino ad allora sempre rigettata, di una ulteriore geometria nella quale non esistono rette parallele: tutte le rette si incontrano.

…”È un errore - dice Riemann - confondere l’illimitatezza con l'infinità dello spazio; il primo concetto è infatti relativo all'estensione, cioè è un concetto qualitativo; il secondo invece è relativo alla misura, cioè è un concetto quantitativo. Sicché si può ipotizzare uno spazio che sia insieme illimitato e finito; e quindi una retta che sia, ugualmente, illimitata e finita. Nel caso della retta, essa risulterà quindi chiusa.”

Riemann parte dal seguente ASSUNTO:

Per un punto esterno ad una retta data NON passa alcuna parallela

Conseguenza:

La somma degli angoli interni in un triangolo è maggiore di 180°

A questo punto introduciamo il concetto di:

Geodetica

Su una superficie qualsiasi il percorso più breve che unisce due punti si chiama geodetica, PQ arco di geodetica

PQ

geodetica

superficie Q

retta

piano

P

Modello di Riemann

Piano

• Punto del piano • Retta del piano • Per due punti passa una retta

• Per un punto esterno a una retta passa una e una sola parallela alla retta data

Superficie sferica

Punto sulla sferaCirconferenza max (geodetica)

Per due punti passa almeno una circonf. max

Non esistono rette parallele

La sua geometria è detta ellittica, ma si fa comunque riferimento alla superficie sferica perché più intuitiva.

Ma allora…

E il piano euclideo in cui ci sembra di vivere?

Triangoli e quadrati sulla superficie sferica

Piano euclideo come caso limite

•Nella geometria di Lobačeviskij (geometria iperbolica) si mostra che si possono costruire geometrie in cui non vale l’unicità: “per un punto P non appartenente ad una retta r si può condurre più di una parallela alla retta data (modello di Klein)”.

•Nella costruzione geometrica proposta da Riemann (geometria sferica) non vale l’esistenza: “per un punto P non appartenente ad una retta r non si può condurre alcuna parallela alla retta data”.

Curvatura nel piano

Dato R il raggio di una curva in un punto si dice curvatura in quel punto 1/R.

Curvatura nello spazioData una superficie tridimensionale e considerato un punto P su di essa si prendono due piani perpendicolari in P alla superficie. La curvatura della superficie in P è il prodotto delle curvature delle curve ottenute dall’intersezione dei piani con la superficie.

Curvature positive, negative e nulle

La sistemazione definitiva dell’argomento viene da Klein attraverso la classificazione delle geometrie in tre classi

fondamentaliÈ la geometria delle superfici a

curvatura negativa

(Lobacevskij). Per un punto esterno ad una retta vi

sono più parallele. La somma degli

angoli interni di un triangolo è minore di un angolo piatto

È la geometria delle superfici a

curvatura positiva ( Riemann) . In

essa non esistono rette parallele. La

somma degli angoli interni di un triangolo è

maggiore di un angolo piatto

È la geometria delle superfici a

curvatura nullaVale l’assioma dell’esistenza e

unicità della parallela. La

somma degli angoli interni di un

triangolo è uguale ad un angolo piatto

Geometria Euclidea

Geometria Ellittica

Geometria iperbolica

Si hanno tre casi differenti a seconda che la curvatura sia positiva, negativa o nulla

Geometria CurvaturaNumero di parallele

Somma degli angoli interni

di un triangolo

Rapporto tra circonferenza e

diametro del cerchio

Iperbolica

Lobacevskij< 0 Infinite < 180° > π

Parabolica

Euclide= 0 Una = 180° = π

Ellittica

Riemann> 0 Nessuna > 180° < π

Modello di Beltrami

Il matematico Eugenio Beltrami presentò il primo modello di geometria non euclidea (18681868, modello della modello della geometria piana immaginaria di Lobacevskijgeometria piana immaginaria di Lobacevskij).

trattrice

pseudosfera

α + β + γ < 180°

Superficie a curvatura negativa

Curva in cui i segmenti di tangenza hanno lunghezza costante

TraduzionePiano di Lobacevskij • Regione finita di piano

• Punto del piano

• Retta del piano

• Due punti determinano una retta•

• Per un punto esterno a una retta passano infinite rette parallele a quella data

Pseudosfera di Beltrami

r

Regione di superficie pseudosferica

Punto della superficie

Geodetica

Due punti determinano una geodetica

Per un punto esterno ad una geodetica passano infinite geodetiche che non incontrano quella data

B

Q

A

C

M

P• Sia C un cerchio privato della

circonferenza, i “punti” sono i punti di tale cerchio, mentre le “rette” siano le corde della stesso cerchio.

• Considerando la retta AB, un punto M fuori da essa, esistono infinite rette passanti per M che non intersecano AB, che sono rappresentate da tutte le corde per M che intersecano gli archi AP e BQ di C.

Modello di Klein (di geometria iperbolica)

piano punti interni ad una conica (una circonferenza;

quindi cerchio privato della circonferenza)

punto punto interno al cerchio

retta corda del cerchio

CP e CQ, rette separatrici delle rette secanti da quelle non secanti, sono le parallele a PQ

parallelaparallela

secantesecante

semipiano

Somma angoli di un triangolo < 180Somma angoli di un triangolo < 180°°

Due punti determinano una retta (BQ, AP semirette; AB segmento)Per un punto passano infinite rettePer un punto esterno a una retta passano infinite rette che non la intersecano

Felix Klein1871- Sulla cosiddetta geometria non euclideaSulla cosiddetta geometria non euclidea1872- Il programma di ErlangenIl programma di Erlangen

Opera un’accurata e profonda riorganizzazione e classificazione di tutta la geometria

Una geometria euclidea o parabolica è quella in cui per un punto esterno ad una retta passa una sola parallela.

Una geometria di Lobacevskij o iperbolica è quella in cui per un punto esterno ad una retta passa più di una parallela.

Una geometria di Riemann o ellittica è quella in cui per un punto esterno ad una retta non passa alcuna parallela.

Modello di Poincaré (geometria iperbolica)

piano cerchio privato della circonferenza

punto punto interno al cerchio

retta diametro oppure un arco di circonferenza, interno al

cerchio e ortogonale alla circonferenza che lo delimita Per un punto esterno a una retta passano infinite rette parallele a

quella data (che non la intersecano)

la somma degli angoli di un triangolo è sempre minore di 180° e varia da triangolo a triangolo

Se A e B giacciono su un diametro, le parallele asintotiche ad AB per P saranno quelle in rosso nel disegno (i punti Y* e X* non esistono per gli abitanti di C). Tutte le rette passanti per P e con un estremo compreso tra X* e Z* e l’altro tra Y* e W* come quella in verde nel disegno sono dette parallele divergenti.Le rette secanti per P sono quelle che invece hanno un estremo compreso tra Z* e W* (In grigio nel disegno).

Esempi di rette parallele ad una retta data

Un cerchio di centro D

Un cerchio di centro O, due diametri tra di loro perpen-dicolari e il quadrato inscritto

Un ottagono regolare e il cerchio ad esso circoscritto

Maurits Cornelis Escher (1898 –1972) incisore e grafico olandese

Qual è la geometria vera?

Ha senso questa domanda?

Com’è possibile trovare una risposta?

Sono tutte domande che sorsero nella seconda metà dell’800 e, per provare la coerenza degli assiomi da cui deriva una geometria si pensò di fornire dei modelli reali di quella geometria:

Klein provò che se ci fossero contraddizioni logiche all’interno delle geometrie non euclidee, queste dovrebbero trovarsi già nella geometria euclidea

quindi

la coerenza delle geometrie non euclidee è strettamente legata a quella della geometria euclidea

Il problema della coerenza di un sistema ipotetico-deduttivo

La scoperta dei modelli di Klein e di Riemann. portarono, tra l’altro, ai seguenti mutamenti nel pensiero matematico:

fu risolto il problema millenario delle parallele;

furono scoperte le geometrie non euclidee;

si passò dal concetto classico di assioma ”relazione o proprietà evidente” al principio di non contraddittorietà.

Mutamenti nel pensiero matematico

Per creare le geometrie non euclidee la mente umana è dovuta andare oltre l’abitudine, l’intuizione, la percezione dei sensi.

Lo spazio fisico fu separato dallo spazio matematico.

Non esiste una geometria “migliore” di un’altra ma solo più utile o più adatta ai dati sperimentali.

Conseguenze di tali mutamenti

Ma la Geometria non-euclidea ha una qualche utilità?

I matematici sviluppano le loro teorie indifferenti ad un uso pratico delle stesse. Spesso accade che dopo molti anni tali teorie vengano ripescate e altri studiosi le applichino in campi sino a poco tempo prima impensabili.

Le geometrie non-euclidee sono state “un passatempo” per i matematici o hanno trovato una loro utilità?

Nella teoria della relatività, i raggi di luce non viaggiano nello spazio lungo rette euclidee ma secondo geodetiche, cioè linee curve. Le masse presenti nel cosmo deviano il cammino dei raggi luminosi che passano vicini ad esse. Ma le particelle luminose che costituiscono i raggi di luce, i fotoni, non hanno massa e quindi non sono soggetti ad attrazione. Le geodetiche dello spazio sono come i binari per un treno e i fotoni viaggiano su di esse.

Se binari curvano, il treno curva.

Il fenomeno cosmologico riportato in figura fu previsto da Einstein attraverso la teoria della relatività, e fu osservato dagli astronomi durante l’eclissi totale di sole nel 1919

Come si può immaginare una mappa della rete internet?

Di un sito è necessario rappresentare il numero delle pagine contenute, il numero dei link che collegano con il sito, il numero dei siti che portano da questo ad altri siti.

La struttura di un sito è a piramide con al vertice la Homepage e a cascata le pagine meno generali

Si può immaginare una mappa di internet costruita in uno spazio iperbolico, contenuto all’interno di una sfera, dove tutto ciò che è vicino al centro della sfera appare di proporzione normale mentre ciò che via via si allontana appare più piccolo e distorto.

I modelli cosmologici di Alexander Fridman

Eistein vede l’universo come statico, ma nel 1922 il matematico russo Alexander Fridman scopre che le equazioni della relatività generale ammettono anche soluzioni dinamiche e cioè un universo in espansione.

E negli stessi anni le osservazioni di E. Hubble confermano l’espansione dell’universo.

I tre modelli cosmologici di Fridman

Secondo Fridman esistono tre principali modelli cosmologici:

1. Modello iperbolico: la geometria del cosmo in grande è quella di Lobacevskij; l’epansione dell’universo continuerà all’infinito, accelerando.

2. Modello euclideo: la geometria è euclidea e l’espansione continuerà all’infinito, ma in modo equilibrato.

3. Modello ellittico: la geometria è quella di Riemann; l’espansione dell’universo finirà e subentrerà una contrazione fino al collasso dell’universo in un solo punto (big crunch).

Non c’è una geometria privilegiata rispetto ad un’altra, ma solo più utile dal punto di vista pratico. La relatività dice che non c’è un sistema di riferimento privilegiato rispetto ad un altro.Einstein ha scritto sulla relatività (la prima) nel 1905. Il quadro di Picasso “Les damoiselles d’Avignon” è del 1907: in esso non c’è un unico punto di vista. Forse senza questa matematica e senza la relatività, Picasso non lo avrebbe mai dipinto.

M.Kline, La matematica nella cultura occidentale, Feltrinelli, 1976R.Trudeau, La rivoluzione non euclidea, Bollati Boringhieri, 2004R.Courant, H.Robbins, Che cos’è la matematica?, Bollati Boringhieri, 2003E.Agazzi, D.Palladino, La geometria non euclidea e i fondamenti della geometria, A.Mondadori 1978 (1988 )

http://users.libero.it/prof.lazzarini/geometria_sulla_sferahttp://matematica.ithttp://progettomatematico.dm.unibo.it/NonEuclideahttp://math.unipa.it/http://dif.unige.it/epi/hp/pal/NonEuclhttp://digilander.libero.it/zinabianca/modelli.htmlhttp://liceomarconi.it/Mat_didattico/mat_fis_sciehttp://GabrieleMartufi.altervista.org/matematica.html

Bibliografia

Le tre geometrie vengono definite da Klein

Parabolica (Euclidea) – la parabola ha un solo punto all’infinito – una parallela

Iperbolica (Lobacevskij) – l’iperbole ha due punti all’infinito – due parallele Ellittica (Riemann) – l’ellisse non ha nessun punto all’infinito – nessuna parallela

parabola

Punto all’infinito

iperbole

Punto all’infinito

Punto all’infinito

ellisse

Gauss fu il più completo precursore delle Geometrie non Euclidee; probabilmente per primo (1831), giunse alla concezione chiara di una geometria indipendente dal V postulato, ne sviluppò molti dettagli e pervenne alla convinzione della sua non contradditorietà logica. Egli arrivò a questa conclusione dopo venti anni di sporadici tentativi di dimostrare il V postulato, durante gli anni successivi condusse delle ricerche sulla nuova geometria e scoprì un certo numero di teoremi.