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Satira della societ The Victorian Age Riflessione scientifico- matematica: le Geometrie non Euclidee La matematica nellarte Maurits Cornelis Escher

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Edwin Abbott Abbott (1838-1926) 1865 1889 : Rettore della City of London School Composizione di 40 tra libri e trattati di vario genere: manuali scolastici, studi di testi sacri, opere teologiche. Flatlandia Racconto fantastico a pi dimensioni (1882)

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Flatlandia Racconto fantastico a pi dimensioni Prima parte : Descrizione della societ Flatlandese Seconda parte : Viaggio alla scoperta di mondi di diversa dimensionalit Forte gerarchia basata sulla misura degli angoli Linelandia Spacelandia

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Soldati e Operai Borghese Professionisti e Gentiluomini Aristocrazia Sacerdote Societ gerarchica di Flatlandia

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LINELANDIA

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Incontro con la sfera La terza dimensione : verso l Alto, non verso il Nord

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The Victorian Age (1837 1901) The Victorian Compromise Women and Society Positive aspects: - Expansion and reforms - New political and scientific theories (Darwin, Socialism) MOST IMPORTANT REFORMS 1832: First Reform Act 1839: Custody of Infants Act 1846: Corn Laws 1857: Matrimonial Causes Act 1862: Mines Act 1870: Elementary Education Act 1875: Public Health Act 1882: Trade Unions were legalised. 1884: Third Reform Act

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Helmholtz : Lorigine e il significato degli assiomi geometrici (1870) Immaginiamo - ci non logicamente impossibile - che esistano esseri dotati di ragione, bidimensionali, viventi e moventesi sulla superficie duno dei nostri corpi solidi. Ammettiamo che essi non possano percepire alcunch fuori di questa superficie, ma che possano percepire in modo simile al nostro entro lambito della superficie su cui si muovono. Se tali esseri costruissero la loro geometria, attribuirebbero naturalmente al loro spazio due sole dimensioni. Riemann : variet multidimensionali Dibattito sulle Geometrie non Euclidee

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Le Geometrie non Euclidee Il V postulato ( o postulato delle parallele ) Risulti postulato che se in un piano una retta, intersecando altre due, forma con esse, da una medesima parte, angoli interni la cui somma minore di due angoli retti, allora queste due rette indefinitamente prolungate finiscono con lincontrarsi dalla parte detta. Problema del V postulato Contenuto : infinito Forma : teorema 2 possibili soluzioni

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Le Geometrie non Euclidee Le soluzioni Determinare una proposizione equivalente al V postulato, con levidenza tipica degli assiomi John Playfair : per un punto non giacente su una retta data n sul suo prolungamento, non possibile tracciare pi di una parallela alla retta data Dimostrazione del V postulato Girolamo Saccheri Girolamo Saccheri ( 1667 1733 )

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Le Geometrie non Euclidee Girolamo Saccheri 1.gli angoli alla sommit sono retti. 2.gli angoli alla sommit sono ottusi. 3.gli angoli alla sommit sono acuti. Ipotesi angoli ottusiIpotesi angoli acuti Somma angoli interni quadrilatero = 360 Contraddizione

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Le Geometrie non Euclidee Lobachevsky e Bolyai: la Geometria Iperbolica Lobachevsky Bolyai Negazione dellunicit della parallela : assioma di Lobachevsky La somma degli angoli interni di un triangolo minore di 180

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Le Geometrie non Euclidee Riemann: la Geometria Ellittica e la Geometria Sferica Spazio illimitato e finito a curvatura costante positiva Negazione dellesistenza della parallela: assioma di Riemann P e P non coincidono: due rette hanno sempre due punti in comune Geometria sferica P e P coincidono: due rette hanno sempre un solo punto in comune Geometria ellittica La somma degli angoli interni di un triangolo maggiore di 180

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Le Geometrie non Euclidee Modelli di Geometria non Euclidea Modello di Klein Modello di Geometria Iperbolica Modello di Poincar Modello di Geometria Iperbolica Modello della sfera Modello di Geometria Sferica

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MAURITS CORNELIS ESCHER (1898 1971) Temi principali delle sue opere: il Nastro di Mobius la riflessione sullinfinito la tassellazione periodica del piano le figure impossibili

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il Nastro di Mobius Nastro di Mobius I Nastro di Mobius II (1963)

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Riflessione sull infinito 1956 1970 : Periodo dell Infinito Limite del cerchio III (1959) Serpenti (1969) Esposizione di stampe (1956)

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Tassellazione Periodica Del Piano

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Le figure impossibili Belvedere (1958)

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Cascata Salita e discesa

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Cubo con nastri magici Casa di scale

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Relativit In alto e in basso

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RETTILI (1943) copertina di Flatlandia