мр Катарина Јевтић-Новаковић

Висока грађевинско-геодетска школа Београд / 1http://www.vggs.rs

НАЦРТНА ГЕОМЕТРИЈА СА ЦЕНТРАЛНОМ ПРОЈЕКЦИЈОМ

ГЕОМЕТРИЈСКГЕОМЕТРИЈСКA A ТЕЛАТЕЛА

2Висока грађевинско-геодетска школа Београд / http://www.vggs.rs

НАЦРТНА ГЕОМЕТРИЈА СА ЦЕНТРАЛНОМ ПРОЈЕКЦИЈОМ

ГЕОМЕТРИЈСКA ТЕЛАГеометријско тело је простор ограничен са свих страна површинама.

Полиедри су рогљаста тела која се састоје од равних граничних површина.

Површине полиедара су равни геометријски ликови и називају се стране полиедара.

Дужи по којима се секу стране полиедара називају се ивице полиедара.

Најмање три ивице полиедара секу се у једној тачки, темену полиедра.

Обла тела настају кретањем праве или криве по одређеној законитости.

3Висока грађевинско-геодетска школа Београд / http://www.vggs.rs

НАЦРТНА ГЕОМЕТРИЈА СА ЦЕНТРАЛНОМ ПРОЈЕКЦИЈОМ

ОБЛА ГЕОМ. ТЕЛА

ГЕОМЕТРИЈСКА ТЕЛА

ПОЛИЕДРИ

ПРИЗМЕПИРАМИД

Е ВАЉАК

КУПА

ЛОПТА

ТЕТРАЕДАР

ОКТАЕДАР

ИКОСАЕДАР

ПЕНТАГОНАЛНИ

ДОДЕКАЕДАР

ХЕКСАЕДАР

ПРАВИЛНИ ПОЛИЕДРИ

4Висока грађевинско-геодетска школа Београд / http://www.vggs.rs

НАЦРТНА ГЕОМЕТРИЈА СА ЦЕНТРАЛНОМ ПРОЈЕКЦИЈОМ

ГЕОМЕТРИЈСКA ТЕЛА - ПОЛИЕДРИ

доњи базис

горњи базис

ом

ота

ч

МРЕЖА

A

D

C

B

aa

aa

C1

B1

A1

Tеме

И в

и ц

а

D1С

т р

а н

а

5Висока грађевинско-геодетска школа Београд / http://www.vggs.rs

НАЦРТНА ГЕОМЕТРИЈА СА ЦЕНТРАЛНОМ ПРОЈЕКЦИЈОМ

ПРАВИЛНИ ПОЛИЕДРИ – КОЦКА (ХЕКСАЕДАР)

Темена Ивица Страна Облик страна

8 12 6 квадрат

B

C

A a

D

G

E

H

D=a 3

d=a 2

F

a

aa

a

6Висока грађевинско-геодетска школа Београд / http://www.vggs.rs

НАЦРТНА ГЕОМЕТРИЈА СА ЦЕНТРАЛНОМ ПРОЈЕКЦИЈОМ

КОЦКА - ортогонална пројекција

x

z

y

y’’’ A’’’

B’’’

D’’’

C’’’

A1’’’

B1’’’

D1’’’C1’’’

B’’

B1’’

C’’

C1’’

D’’

D1’’

B’≡B1

’

S’≡S1’

C’≡C1

’

A’’

A1’’

D’≡D1

’

A’≡A1

’Пројекције коцке чија страна ABCD лежи на хоризонталници дато је средиште квадрата ABCD и тачка А

A(3;1;0) S(4;4;0)

S’’

S1’’

S’’’

S1’’’

7Висока грађевинско-геодетска школа Београд / http://www.vggs.rs

НАЦРТНА ГЕОМЕТРИЈА СА ЦЕНТРАЛНОМ ПРОЈЕКЦИЈОМ

КОЦКА - задата просторном дијагоналом

C(4;4;0) E(4;4;6)

x

z

y

y’’’

G’’

E’’

C’’

A’’

C’≡E’

D=a

3

D/

3D

/3

D/

3

a

F’’≡H’’

B’’≡D’’a

2

G’

H’D’

A’

F’B’

8Висока грађевинско-геодетска школа Београд / http://www.vggs.rs

НАЦРТНА ГЕОМЕТРИЈА СА ЦЕНТРАЛНОМ ПРОЈЕКЦИЈОМ

ПРАВИЛНИ ПОЛИЕДРИ – ТЕТРАЕДАР

Темена Ивица Страна Облик страна

4 6 4 Једнакостранични троугао

C

A

D

B

a

a

N

M

a

H=a

3 / 2

a 2

/ 2

9Висока грађевинско-геодетска школа Београд / http://www.vggs.rs

НАЦРТНА ГЕОМЕТРИЈА СА ЦЕНТРАЛНОМ ПРОЈЕКЦИЈОМ

x

z

y

y’’’

ТЕТРАЕДАР - ортогонална пројекција

Hd/2

d/2

Задата ивица AC која лежи у хоризонталници.

A(1;4;0) C(5;2;0)

C’

A’

C’’

A’’

B’’

D’’

B’

D’

H

10

Висока грађевинско-геодетска школа Београд / http://www.vggs.rs

НАЦРТНА ГЕОМЕТРИЈА СА ЦЕНТРАЛНОМ ПРОЈЕКЦИЈОМ

D’≡O’

x

z

y

y’’’

ТЕТРАЕДАР - ортогонална пројекција

Ho

a

Do

Задат троугао ABC који лежи у хоризонталници.

A(1;4;0) C(5;0,5;0)

B’

C’

A’

B’’

A’’

O’’

C’’

D’’

Ho

Налажење висине

тетраедра!

11

Висока грађевинско-геодетска школа Београд / http://www.vggs.rs

НАЦРТНА ГЕОМЕТРИЈА СА ЦЕНТРАЛНОМ ПРОЈЕКЦИЈОМ

ПРАВИЛНИ ПОЛИЕДРИ – ОКТАЕДАР

Темена Ивица Страна Облик страна

6 12 8 Једнакостранични троугаоH

=a

2

F

C

D

A

B

E

S

a

a

aa

12

Висока грађевинско-геодетска школа Београд / http://www.vggs.rs

НАЦРТНА ГЕОМЕТРИЈА СА ЦЕНТРАЛНОМ ПРОЈЕКЦИЈОМ

ОКТАЕДАР - ортогонална пројекција

x

z

y

y’’’

Пројекција октаедра уписаног у коцку.

Страница a=4cm

Пројекција октаедра, задат троугао AED који лежи у хоризонталници.B’

’

C’’

F’’

A’’

D’’D’’≡≡BB’’’’

D’

C’A’

B’

E’E’≡≡F’F’

E’S’

B’A’

C’D’

F’

E’’

B’’

C’’F’’

D’’

A’’

90

°a

∆h

∆ h

a

13

Висока грађевинско-геодетска школа Београд / http://www.vggs.rs

НАЦРТНА ГЕОМЕТРИЈА СА ЦЕНТРАЛНОМ ПРОЈЕКЦИЈОМ

x

z

y

y’’’

ОБЛА ГЕОМЕТРИЈСКА ТЕЛАПрава купа - конус базис на хоризонталници

O(3;3;0) V(3;3;5)

r=2cm

B’

A’

D’

C’

V’≡O’

V’’

B’’

D’’

O’’≡A’’≡C’’

V’’’

A’’’C’’’

O’’’≡B’’’≡D’’’

O’’≡A’’≡C’’

x

z

y

C’’’

O’’’≡B’’’≡D’’’

A’’’

C’≡C

B’≡B

A’≡A

D’≡D S’≡

O’

V’’

VV’’’

B’’

D’’

14

Висока грађевинско-геодетска школа Београд / http://www.vggs.rs

НАЦРТНА ГЕОМЕТРИЈА СА ЦЕНТРАЛНОМ ПРОЈЕКЦИЈОМ

x

z

y

y’’’

Ваљак - облица

Базис на профилници

O(?;3;3) V(?;3;1)

H=5cm

D1’D’

A’≡C’≡O’

A1’≡C1’≡O1

’

B1’B’

C1’’C’’

A1’’A’’

B1’’≡D1’’≡O1

’’B’’B’’≡≡D’’D’’≡≡OO’’’’

A’’’≡A1’

’’

C’’’≡C1’

’’

B’’’≡B1’

’’

D’’’D’’’≡≡DD11’’

’’’’O’’’≡O1’

’’

B1’’≡D1’’≡O1’’

x

z

y

D1’D’

A’≡C’≡O’ A1’≡C1’≡O1’

B1’B’

C1’’

A1’’

C’’

A’’

B’’≡D’’≡O’’

OO1’

CC1

A1

D1

B1BA

D

15

Висока грађевинско-геодетска школа Београд / http://www.vggs.rs

НАЦРТНА ГЕОМЕТРИЈА СА ЦЕНТРАЛНОМ ПРОЈЕКЦИЈОМ

ЛОПТА

x

z

y

y’’’

L’

k3’

k2’

k1’

L’’

k2’’k3’

’k1’’L’’

’

k3’’’

k2’’’k1’’’

x

z

y

k2’’

L’’k3’’’

k1’

L’

L’’’

L(4;4;4)

r=3cm