GRAFOS

República Bolivariana de VenezuelaMinisterio del poder popular para la educación superior

Instituto universitario de tecnología “Antoni José de SUCRE”Barquisimeto edo Lara

IntegrantesGeraldo Escalona

C.I 20319262ENERO 2012

Un grafo G es un par (V,E) donde V es un conjunto (llamado conjunto de vértices o nodos) y E un subconjunto de VxV

(conjunto de aristas).

Gráficamente representaremos los vértices por puntos y las aristas por líneas que los unen.

Un vértice puede tener 0 o más aristas, pero toda arista debe unir exactamente 2 vértices.

Llamaremos orden de un grafo a su número de vértices, |V|.

Si |V| es finito se dice que el grafo es finito.

Toda arista une dos vértices distintos

Grafos

Si la arista carece de dirección se denota indistintamente {a,b} o {b,a}, siendo a y b los vértices que une.

Si {a,b} es una arista, a los vértices a y b se les llama sus extremos.Dos vértices v, w se dice que son adyacentes si {v,w}V (o sea, si

existe una arista entre ellos)Llamaremos grado de un vértice al número de aristas de las que es

extremo. Se dice que un vértice es ‘par’ o ‘impar’ según lo sea su grado.

Aristas y Vértices

Sean x, y V, se dice que hay un camino en G de x a y si existe una sucesión finita no vacía de aristas {x,v1}, {v1,v2},..., {vn,y}. En este

caso.x e y se llaman los extremos del camino

El número de aristas del camino se llama la longitud del camino Si los vértices no se repiten el camino se dice propio o simple. Si hay un camino no simple entre 2 vértices, también habrá un

camino simple entre ellos Cuando los dos extremos de un camino son iguales, el camino se

llama circuito o camino cerrado o ciclo (sin aristas repetidas).Llamaremos ciclo a un circuito simple (no existen vertices

repetidos excepto el primero y el ultimo) Un vértice a se dice accesible desde el vértice b si existe un camino entre ellos. Todo vértice es accesible respecto a si mismo

Caminos

Representación de grafos. Matriz de incidencia. Matriz de adyacencia.

Dado un grafo G = (V, E) con n vértices {v1, .. vn} su matriz de adyacencia es la matriz de orden n×n, A(G)=(aij)

donde aij es el número de aristas que unen los vértices vi y vj

Representación de los Grafos

Se denomina grafo euleriano, a un grafo conexo G que tiene una cola cerrada que

incluye todas las aristas de G.

Teorema de Euler: Un grafo es euleriano si y sólo si cada vértice es de grado

par. Si tiene exactamente dos vértices impares es recorrible (la cola no será cerrada) y se

llama semieuleriano.

Grafo Euleriano y hamiltoniano

Un ciclo o circuito euleriano es aquel camino que recorre todas las aristas de un grafo cortando cinco veces por cada arco (arista) del grafo, siendo condición necesaria que regrese al vértice inicial de

salida (ciclo = camino en un grafo donde coinciden vértice inicial o de salida y vértice final o meta). Una definición más formal lo define

como: "aquel ciclo que contiene todas las aristas de un grafo solamente una vez".

Camino Euleriano

Un camino hamiltoniano es un camino que recorre todos los vértices de un grafo sin pasar dos veces por el mismo vértice.

Si el camino es cerrado se dice un ciclo hamiltonianoUn grafo G se dice hamiltoniano si tiene un ciclo hamiltoniano.A diferencia de los grafos eulerianos, no hay una caracterización de

cuando un grafo tiene un ciclo o un camino hamiltoniano.Si un grafo es conexo con |V|3 y para cada par de vértices la suma

de sus grados es mayor o igual que el número de vértices entonces es hamiltoniano.

Camino Hamiltonianos

Un grafo se dice un árbol si es conexo y no tiene ciclos.Los primeros dos grafos son árboles:

Arboles

Gracias a la teoría de grafos se pueden resolver diversos problemas como por ejemplo la síntesis de circuitos secuenciales, contadores o sistemas de apertura. Se utiliza para diferentes áreas por ejemplo, Dibujo computacional, en toda las áreas de Ingeniería.

Los grafos se utilizan también para modelar trayectos como el de una línea de autobús a través de las calles de una ciudad, en el que podemos obtener caminos óptimos para el

trayecto aplicando diversos algoritmos como puede ser el algoritmo de Floyd. Para la administración de proyectos, utilizamos técnicas como PERT en las que se modelan

los mismos utilizando grafos y optimizando los tiempos para concretar los mismos. La teoría de grafos también ha servido de inspiración para las ciencias sociales, en especial

para desarrollar un concepto no metafórico de red social que sustituye los nodos por los actores sociales y verifica la posición, centralidad e importancia de cada actor dentro de la

red. Esta medida permite cuantificar y abstraer relaciones complejas, de manera que la estructura social puede representarse gráficamente. Por ejemplo, una red social puede

representar la estructura de poder dentro de una sociedad al identificar los vínculos (aristas), su dirección e intensidad y da idea de la manera en que el poder se transmite y a

quiénes. Los grafos son importantes en el estudio de la biología y hábitat. El vértice representa un

hábitat y las aristas (o "edges" en inglés) representa los senderos de los animales o las migraciones. Con esta información, los científicos pueden entender cómo esto puede

cambiar o afectar a las especies en su hábitat.

Aplicaciones