Bai Tap Giai Tich Chung Minh

8/8/2019 Bai Tap Giai Tich Chung Minh

http://slidepdf.com/reader/full/bai-tap-giai-tich-chung-minh 1/18

Baøi taäp Giaûi tích 1Ñaëng Tuaán Hieäp

2008



Muïc luïc

Lôøi môû ñaàu

1 Soá thöïc vaø daõy soá

2 Giôùi haïn vaø tính lieân tuïc cuûa haøm soá 3 Pheùp tính vi phaân 10

4 Pheùp tính tích phaân 13

5 Chuoãi soá 16

1





Chöông 1

Soá thöïc vaø daõy soá

Baøi 1.1.Cho A⊂R laø taäp bò chaën treân. Chöùng minh raènga = sup A khi vaø chæ khia laø moät

caän treân cuûaA vaø∀ε > 0,∃xε∈A : a −ε < x ε.

Giaûi. Thuaän: Giaû söûa = sup A, khi ñoùa laø caän treân beù nhaát cuûaA.Giaû söû

∃ε > 0 sao cho∀x∈A ta coùx ≤a −ε. Khi ñoùa −ε laø moät caän treân beù hôna cuûa

A. (maâu thuaãn)Ñaûo: Giaû söûa laø moät caän treân cuûaA vaø

∀ε > 0,∃xε∈A : a −ε < x ε. DoA laø taäp bò chatreân neân

∃b = sup A. Ta seõ chæ rab = a. Thaät vaäy, doa laø moät caän treân cuûaA, neânb ≤a.Neáub < a thì ta laáyε = a −b > 0, toàn taïixε ∈A sao choa −ε < x ε, töùc laøb < x ε.(maâuthuaãn)

Baøi 1.2.Cho A⊂R laø taäp bò chaën döôùi. Chöùng minh raènga = inf A khi vaø chæ khia laø moät

caän döôùi cuûaA vaø

∀

ε > 0,

∃

xε

∈

A : a + ε > x ε.

Giaûi. Töông töï baøi1.1

Baøi 1.3.Chöùng minh:

1. Vôùi moïix, y > 0 ñeàu toàn taïin∈N , sao chox < ny .

2. Vôùi moïix > 0 ñeàu toàn taïin∈N , sao cho0 <

1n

< x .

3. Vôùi moïix > 0 ñeàu toàn taïin∈N , sao chon ≤x < n + 1 .

Giaûi.

1. AÙp duïng nguyeân lyù Acsimet cho soá thöïcxy

.

2. AÙp duïng nguyeân lyù Acsimet cho soá thöïc1x

.

3



Ñaëng Tuaán Hieäp - Baøi taäp Giaûi tích 1 4

3. AÙp duïng nguyeân lyù Acsimet, toàn taïik∈N sao cho0 < x < k . Xeùt taäpA = {k∈

N :k > x } ⊂N, khi ñoùA = ∅

vaøA bò chaën döôùi bôûix. Do ñoù, toàn taïik0 = min A, deãthaáyk0 ≥1. Ñaëtn = k0 −1, thì n∈

N, vaøn ≤x < n + 1 .

Baøi 1.4.Chöùng minh caùc soá sau laø caùc soá voâ tæ:√3, √2 + √6, 3√5 −4√3,

ax + bcx + d

(a,b,c,d∈Q , ad −bc = 0 , x∈

Q )

Giaûi. • Ñaëtx = √2 + √6, bình phöông hai veá ta ñöôïcx2 = 8+ 4 √3, hayx2 −8 = 4√3.Tieáp tuïc bình phöông hai veá ta ñöôïcx4 −16x2 + 64 = 48 , hayx4 −16x2 + 16 = 0 .Ñeå chöùng minh√2 + √6 laø soá voâ tyû, ta seõ chæ ra ña thöùcP (x) = x4 −16x2 + 16 khoângcoù nghieäm höõu tyû. Thaät vaäy, neáup

q( p,q∈

Z , q = 0 , ( p,q) = 1) laø nghieäm cuûa ña thP (x); thìq|1 vaøp|16. Do ñoùP (x) neáu coù nghieäm höõu tyû thì chæ coù theå lacaùc soá

±1,

±2,

±4,

±8,

±16. Thöû tröïc tieáp, ta thaáy taát caû caùc giaù trò naøy

nghieäm cuûa ña thöùcP (x).

• Töông töï, ta cuõng chæ ra ñöôïc caùc soá √3, 3√5 −4√3 laø caùc soá voâ tyû.

• Giaû söûr =ax + bcx + d∈

Q . Khi ñoù, ta coù(cr −a)x = b−dr .

Neáucr −a = 0 thì x =b−drcr −a ∈

Q (maâu thuaãn).Neáucr −a = 0 thì b−dr = 0 , suy rar (ad −bc) = 0 . Doad −bc = 0 neânr = 0 , hayax + b = 0 .

{ Neáua = 0 thì x = −b

a ∈Q

(maâu thuaãn).{ Neáua = 0 thì b = 0 , töùc laøad −bc = 0 (maâu thuaãn).

Baøi 1.5.Tìmsup A, inf A, max A, min A (neáu toàn taïi), khi

1. A = {1

n + 1: n∈

N}.

2. A = {12n +

(−1)n

n + 1: n∈

N}.

3. A = {1 + (−1)n

n + 1 −n2 : n∈N}.

Ñaùp soá .




1. sup A = max A = 1 vaøinf A = 0 , khoâng toàn taïimin A.

2. sup A = max A = 2 vaøinf A = min A = −18 .

3. sup A = max A = 2 vaøinf A =

−∞, khoâng toàn taïimin A.

Baøi 1.6.Chöùng minh taäp caùc soá dyadic D = {m2n : m∈

Z , n∈N}laø truø maät trongR .

Giaûi. Laáyx, y ∈R sao chox < y . Theo nguyeân lyù Acsimet, toàn taïin ∈

N sao cho0 <

1y −x

< n ≤2n hay x < y +12n . Toàn taïim∈

Z sao chom ≤2n x < m + 1 . Khi ñoù, toàn

taïim + 12n ∈D thoûa maõn

x <m + 1

2n =m2n +

12n ≤x +

12n < y.

Baøi 1.7.Cho D truø maät trongR vaøF laø taäp con höõu haïn cuûaD . Chöùng minhD/F truø maät trong R .

Giaûi. Giaû söû|F | = n. Laáyx, y∈R sao chox < y . DoD truø maät trongR neân toàn taïiz1∈D

sao chox < z 1 < y . Toàn taïiz2, . . . , z n +1 ∈D sao cho

x < z 1 < z 2 < · · ·< z n < z n +1 < y.

Vì |F | = n neân toàn taïik∈ {1, 2, . . . , n + 1}sao chozk ∈D vaøzk ∈F , töùc laøzk ∈D/F ,thoûa maõnx < z k < y .

Baøi 1.8.Cho α∈R sao cho α

π ∈Z . Chöùng minh khoâng toàn taïilim

n→+ ∞sin nα, lim

n→+ ∞cos nα .

Giaûi. Giaû söû toàn taïia = limn→+ ∞

sin nα . Khi ñoù, ta coù

sin(n + 2) α −sin nα = 2 sin α cos(n + 1) α

Do ñoùb = limn→+ ∞

cosnα = 0 . Hôn nöõa, do

cos(n + 2) α −cosnα = −2sin α sin(n + 1) α

neân ta phaûi coùa = 0 . Vì vaäy, ta coùa = b = 0 .

Töông töï, neáu toàn taïib = limn→+ ∞ cos nα thì ta cuõng coù ñöôïca = limn→+ ∞ sin nα vaøa = b = 0 .Tuy nhieân, ta laïi coù1 = lim

n→+ ∞(sin2 nα + cos 2 nα ) = a2 + b2.

Ta coù ñieàu maâu thuaãn.




Baøi 1.9.Chöùng minh neáulimn→∞

an = L thì limn→∞|an | = |L|.

Höôùng daãn. Söû duïng baát ñaúng thöùc||a|− |b|| ≤ |a −b| vaø ñònh nghóa giôùi haïn theo nngöõ

−δ.

Baøi 1.10.Cho an = 1.3. . . . . (2n −1)2.4. . . . . 2n

. Chöùng minhan < 1√2n + 1

. Suy ra limn→∞

an = 0 .

Höôùng daãn. Duøng quy naïp chöùng minh0 < a n <1

√2n + 1, vôùi moïin ∈

N∗. Sau ñoù aùduïng nguyeân lyù Sandwich ñeå suy ralim

n→∞an = 0 .

Baøi 1.11.Cho a0 = 1 , a n = √1 + an−1. Chöùng minh daõy(an ) laø daõy ñôn ñieäu, bò chaën. ϕ = lim

n→∞an goïi laøtæ leä vaøng.

Höôùng daãn. Duøng quy naïp chöùng minh, vôùi moïin ∈N, ta coùan < a n +1 vaø0 < a n < 2.

Khi ñoù, toàn taïiϕ = limn→∞an , thoûa maõn0 ≤ϕ≤2 vaøϕ = √1 + ϕ. Do ñoùϕ = 1 +

√52 .

Baøi 1.12.Giaû söû toàn taïi0 < r < 1 , sao cho|an +1 −an | ≤Cr n ,∀n. Chöùng minh(an ) laø daõy

Cauchy neân hoäi tuï.Höôùng daãn. Vôùi moïim > n , ta coù

|am −an | ≤ |am −am−1|+ |am−1 −am−2|+ · · ·+ |an +1 −an |≤ C (r m−1 + r m−2 + · · ·+ r n )= Cr n (r m−n−1 + · · ·+ 1)

= Cr n 1 −r m−n

1 −r<

Cr n

1 −r

Baøi 1.13.Cho a0 = 1 , a n = 1 +1

an−1. Chöùng minh3

2 ≤an ≤2 , vôùi moïin ≥1. Suy ra(an )

laø daõy Cauchy (neân hoäi tuï). Tìmϕ = limn→∞

an .

Höôùng daãn. Duøng quy naïp chöùng minh,32 ≤an ≤2, vôùi moïin ≥1. Sau ñoù, vôùi moïin∈

N,ta coù

|an +1 −an | = |an

−an

−1

||an an−1| ≤49|an −an−1| ≤ ·· · ≤(

49)

n

|a1 −a0| = (49)

n.

Do ñoù,(an ) laø daõy Cauchy (neân hoäi tuï).

Khi ñoù, toàn taïiϕ = limn→∞

an , thoûa maõn32 ≤ϕ≤2 vaøϕ = 1 +

1ϕ

. Vì vaäyϕ =1 + √5

2.




Baøi 1.14.Cho daõy soá döông(an ). Chöùng minh neáulimn→∞

an = a , thì daõy trung bình coäng vdaõy trung bình nhaân:

sn =a1 + a2 +

· · ·+ an

n , pn =n

√a1 . . . a n

cuõng hoäi tuï veàa.

Baøi 1.15.Cho daõy soá döông(an ). Chöùng minh neáulimn→∞

an +1

an= a , thì lim

n→∞n√an = a. AÙp

duïng choan =nn

n!, suy ra lim

n→∞

nn√n!

= e.






Höôùng daãn. Tröôùc heát, ta seõ chöùng minhf (r ) = f (1)r,∀r ∈Q . Sau ñoù, söû duïng tính l

tuïc cuûa haømf vaø tính truø maät cuûaQ trongR , vôùi moïix∈R , toàn taïi daõy(r n ) trongQ sao

cho limn→∞

r n = x. Khi ñoù,

f (x) = limn→∞f (r n ) = limn→∞f (1)r n = f (1)x.Vaäy taát caû caùc haøm caàn tìm laøf (x) = ax , vôùia∈R baát kyø.Baøi 2.4.Tìm taát caû caùc haømf : R →R , lieân tuïc vaø thoûa maõnf (x + y) = f (x)f (y);∀x, y∈

R .Höôùng daãn. Neáu toàn taïix0∈

R sao chof (x0) = 0 thì, vôùi moïix∈R , ta coùf (x) = f (x−x0+

x0) = f (x−x0)f (x0) = 0 . Neáuf (x) = 0;∀x∈R thì f (x) = f (

x2

+x2

) = ( f (x2

))2 > 0;∀x∈R .

Khi ñoù, xeùt haømg : R →R sao chog(x) = ln f (x). Khi ñoù, haømg lieân tuïc vaø thoûa mg(x + y) = g(x) + g(y);∀x, y∈

R . Vaäy taát caû caùc haøm caàn tìm laøf (x) = eax , vôùia∈R baátkyø vaø haømf (x) = 0;∀x∈

R + .Baøi 2.5.Tìm taát caû caùc haømf : R +

→R , lieân tuïc, thoûa maõnf (xy) = f (x)+ f (y);

∀

x, y

∈

R + .Höôùng daãn. Xeùt haømg : R →R sao chog(x) = f (ex ). Khi ñoù, haømg lieân tuïc vaø thoûa mg(x + y) = g(x) + g(y);∀x, y∈

R . Vaäy taát caû caùc haøm caàn tìm laøf (x) = a ln x, vôùia∈Rbaát kyø.Baøi 2.6.Tìm taát caû caùc haømf : R + →R , lieân tuïc vaø thoûa maõnf (xy) = f (x)f (y);∀x, y∈

R + .Höôùng daãn. Neáu toàn taïix0 ∈

R + sao chof (x0) = 0 thì vôùi moïix ∈R + , ta coùf (x) =

f (xx0

x0) = f (xx0

)f (x0) = 0 . Neáuf (x) = 0;∀x∈R + thì f (x) = ( f (√x)2 > 0;∀x∈

R + . Khiñoù, ta xeùt haømg : R →R sao chog(x) = ln f (ex ). Khi ñoù, haømg lieân tuïc vaø thoûa mg(x + y) = g(x) + g(y);∀x, y∈

R . Vaäy taát caû caùc haøm caàn tìm laøf (x) = xa , vôùia∈R baátkyø vaø haømf (x) = 0;

∀

x

∈

R + .Baøi 2.7.Chöùng minh neáuf : [a; b] →[a; b] laø haøm lieân tuïc, thìf coù ñieåm baát ñoäng, i.e. taïix0∈[a; b] sao cho f (x0) = x0.Giaûi. Xeùt haømg : [a; b] →[a; b] sao chog(x) = f (x) −x;∀x∈[a; b]. Khi ñoùg laø haøm lieâtuïc treân[a; b]. Hôn nöõa, ta coùg(a) = f (a) −a ≥0; g(b) = f (b) −b ≤0. Theo ñònh lyù giaù trung gian, toàn taïix0∈[a; b] sao chog(x0) = 0 hay f (x0) = x0.Baøi 2.8.Cho haømf : X →R . Giaû söûf thoûa ñieàu kieän Lipschitz treânX :

∃L > 0 : |f (x) −f (x )| ≤L|x −x |;∀x, x ∈X.Chöùng minh khi ñoùf lieân tuïc ñeàu treânX .

Giaûi. ∀ε > 0,∃δ =εL > 0 sao cho

∀x, x ∈X, |x −x | < δ⇒ |f (x) −f (x )| ≤L|x −x | < LεL

= ε.

Do ñoùf lieân tuïc ñeàu treânX .



Chöông 3

Pheùp tính vi phaân

Baøi 3.1.Cho haøm soá

f (x) =x2 sin 1

xneáu x = 0

0 neáu x = 0

Chöùng minhf khaû vi, nhöngf khoâng lieân tuïc taïix = 0 .

Höôùng daãn. Neáux = 0 thì f (x) = x2 sin1x

, neânf khaû vi vaøf (x) = 2 x sin1x −cos

1x

.Neáux = 0 thì ta coù

limx→0

f (x)x

= limx→0

x sin1x

= 0 .

Do ñoùf (0) = 0 .Xeùt hai daõy soá (xn ) vaø(xn ) xaùc ñònh nhö sau:

xn = 12nπ

; xn = 1π + 2 nπ

Deã thaáy, khi ñoùlimn→∞

xn = limn→∞

xn = 0 . Tuy nhieân, vôùi moïin∈N∗ta coùf (xn ) = −1 vaø

f (xn ) = 1 . Do ñoù khoâng toàn taïilimx→0

f (x), töùc laøf khoâng lieân tuïc taïix = 0 .

Baøi 3.2.Chöùng minh raèng neáua0

n + 1+

a1

n+ · · ·+

an−1

2+ an = 0 , thì phöông trìnha0xn +

a1xn−1 + · · ·+ an = 0 coù ít nhaát moät nghieäm treân[0;1].

Höôùng daãn. Xeùt haømf (x) =a0xn +1

n + 1+

a1xn

n+

· · ·+

an−1x 2

2+ an x. Ta coùf laø haøm lieâ

tuïc treân[0;1], khaû vi treân(0;1) vaøf (0) = f (1) = 0 . Do ñoù, theo ñònh lyù Rolle, toàc∈(0;1) sao chof (c) = 0 . Töùc laø, phöông trìnha0xn + a1xn−1 + · · ·+ an = 0 coù nghieämtreân[0;1].

10




Baøi 3.3.Chöùng minh vôùip, q > 0,1 p

+1q

= 1 , ta coù:

1. ab

≤

a p

p+

bq

q, (a,b > 0)

2. Baát ñaúng thöùc Holder:n

k=1

akbk ≤n

k=1|ak| p

1

p n

k=1|bk|q

1

q

.

3. Baát ñaúng thöùc Minkowski:p

n

k=1|ak + bk| p ≤ p

n

k=1|ak| p + p

n

k=1|bk| p.

Höôùng daãn.

1. Xeùt haømf :

R+ →

R; x → −ln x

. Khi ñoù,f

khaû vi hai laàn treânR+

vaø vôùi mox∈

R + ta coùf (x) = 1x 2 > 0, neânf laø haøm loài. AÙp duïng baát ñaúng thöùc

haømf trong tröôøng hôïpn = 2 , x1 = a p, x2 = bq, t 1 = 1 p , t 2 = 1

q ta ñöôïc

f (a p

p+

bq

q) ≤

1 p

f (a p) +1q

f (bq).

Suy raab ≤a p

p+

bq

q, (a,b > 0).

2. Ñaët

x =

n

k=1 |ak| p

1

p

; y =

n

k=1 |bk|q

1

q

Neáux = 0 hoaëcy = 0 thì baát ñaúng thöùc Holder hieån nhieân ñuùng.Neáux = 0 vaøy = 0 thì ta seõ aùp duïng baát ñaúng thöùc ñaït ñöôïc ôû1. trong tröôøng hôïpa = |ak|

xvaøb = |bk|

y. Ta ñöôïc, vôùi moïik∈ {1, 2, . . . , n }, thì

akbk

xy ≤ |ak|x

|bk|y ≤

1 p

|ak| px p +

1q|bk|qyq .

Coäng laïi, ta ñöôïc

1xy

n

k=1

akbk ≤1

px p

n

k=1|ak| p +

1qyq

n

k=1|bk|q =

1 p

+1q

= 1 .

Suy ra baát ñaúng thöùc Holder ñöôïc chöùng minh.




3. Ta coùn

k=1|ak + bk| p ≤

n

k=1|ak||ak + bk| p−1 +

n

k=1|bk||ak + bk| p−1.

AÙp duïng baát ñaúng thöùc Holder, ta ñöôïcn

k=1|ak||ak + bk| p−1 ≤

n

k=1|ak| p

1

p n

k=1|ak + bk|( p−1)q

1

q

.

n

k=1|bk||ak + bk| p−1 ≤

n

k=1|bk| p

1

p n

k=1|ak + bk|( p−1) q

1

q

.

Do 1 p

+1q

= 1 , neân( p−1)q = p. Vì vaäy, ta coù

n

k=1|ak||ak + bk| p−1 +

n

k=1|bk||ak + bk| p−1

≤n

k=1|ak| p

1

p

+n

k=1|bk| p

1

p n

k=1|ak + bk| p

1

q

.

Töø ñoù, ta coù baát ñaúng thöùc Minkowski

n

k=1 |ak + bk| p1

p

≤n

k=1 |ak| p1

p

+

n

k=1 |bk| p1

p

.



Chöông 4

Pheùp tính tích phaân

Baøi 4.1.Tính caùc tích phaân baát ñònh:

• Baèng phöông phaùp ñoåi bieán soá:a) x√4 + x2dx b) xe−x 2

dx c) ln xdxx√1 + ln x

d) sin x cos3 xdx1 + cos2 x

e) dx(1 + x)√x

f) √4 −x2dx g) √a2 + x2dx

Höôùng daãn. a) Ñaëtu = 4 + x2 b) Ñaëtu = −x2 c) Ñaëtu = 1 + ln xd) Ñaëtu = 1 + cos 2 x e) Ñaëtu = √x

• Baèng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn:

a) x2e−x dx b) x2 ln xdx c) ln xx3 dx d) ex sin xdx e)

arcsin xx2 dx

Höôùng daãn. a)u = x2∨dv = e−x dx b) u = ln x∨dv = x2dx

c) u = ln x∨dv = x−3dx d) u = sin x∨dv = exdx e) u = arcsin x∨dv = x−2dx

• Haøm höõu tyû:a) dx

x4 −x2 −2b) dx

(x2 −1)(x2 + 1)c) x + 1

(x2 + 1) 2 dx d) x2dx

x6 −1

e)

dx

x(x2 + 1) 2 f)

dx

x4 + 1g)

x2dx

(1

−x)100

Höôùng daãn. Xem giaùo trình lyù thuyeát trang62 −64.

13




• Haøm caên thöùc:a) dx

x(1 + 2√x + 3√x)b) x x −2

x + 1dx c) 1 −√x + 1

1 + 3√x + 1dx

d) dx

(x + 1) √x2 + x + 1 e) dx

x + √x2 + 2 x f) √−x2

+ 4 x + 10 dx

Höôùng daãn. Xem giaùo trình lyù thuyeát trang64 −65.

• Haøm löôïng giaùc:a) dx

2sin x −cos x + 5b) dx

1 + cos x( > 0) c) sin4 xdx d) cos5 xdx

e) cos3x sin5xdx f) sin4 x cos5 xdx g) sin2 x cos4 xdx

Höôùng daãn. Xem giaùo trình lyù thuyeát trang66.

Baøi 4.2.Tính caùc tích phaân baát ñònh sau theon:a) I n (a) = dx

(a2 + x2)n b) J n = sinn xdx c) K n = cosn xdx d) Ln = xn e−x dx

Baøi 4.3.Tính caùc tích phaân xaùc ñònh:

• Baèng phöông phaùp ñoåi bieán:

a) a

0x2√a2 −x2dx b)

a

1

√a2 −x2

xdx

• Baèng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn:a)

1

0xexdx b)

π2

0x cosxdx c)

π2

0ex cos xdx

• Haøm höõu tæ:a)

1

0

dxx2 −5x + 6

b) 1

0

xdx(1 + x)2 c)

1

0

x5dx1 + x2 d)

1

0

dxx4 + 4 x2 + 3

• Haøm caên thöùc:

a) √ 2

√ 23

dxx√x2 −1

b) 7

2

dx√2 + x + 1

• Haøm löôïng giaùc:a)

π

0

sin xdxcos2 x −3

b) π

0sin4 xdx c)

π4

0tan 6 xdx d)

π4

0

dxcos4 x




Baøi 4.4.Cho f laø haøm lieân tuïc treân[0;1]. Chöùng minh:

a) π

0f (sin x)dx = 2

π2

0f (sin x)dx b)

π

0xf (sin x)dx =

π2

π

0f (sin x)dx

AÙp duïng tính π

0

x sin x1 + cos2 x dx ,

π

0

x3 sin x1 + cos2 x dx

Baøi 4.5.Tính caùc tích phaân suy roäng:

a) + ∞

1

dxx2/ 3 b)

+ ∞1

dxx4/ 3 c)

1

0

dxx2/ 3 d)

1

0

dxx4/ 3 e)

+ ∞0

x2 + 1x4 + 1

dx

f) + ∞

0x cosxdx g)

+ ∞0

x ln xdx h) + ∞

1

xdx√x −1



Chöông 5

Chuoãi soá

Baøi 5.1.Tìm chuoãi voâ haïn vaø toång cuûa noù neáu daõy toång rieâng cuûa noù{S n}ñöôïc cho bôûi coânthöùc

1. S n =n + 1

n, n∈

N∗ b) S n =2n −1

2n , n∈N

Baøi 5.2.Chöùng minh caùc chuoãi sau hoäi tuï vì daõy toång rieâng hoäi tuï, vaø xaùc ñò

a) 11.2

+1

2.3+

13.4

+1

4.5+

15.6

+ · · ·b) 1

1.4+

14.7

+1

7.10+

110.13

+1

13.16+ · · ·

c)1

2 −1

4 +

1

8 −1

16 +

1

32 −· · ·d)

∞

k=0

2k + 3 k

6k e)

Höôùng daãn.

a) S n =n

k=1

1k(k + 1)

=n

k=1

1k −

1k + 1

= 1 −1

n + 1.

Do ñoùS = limn→∞

S n = 1 .

b) S n =n

k=0

1(3k + 1)(3 k + 4)

=13

n

k=0

13k + 1 −

13k + 4

=13

1 −1

3n + 4.


S n =13

.

16




c) S n =12

n

k=0−

12

k

=13

1 − −12

n +1

.


S n =1

3.

d) S n =n

k=0

13

k

+n

k=0

12

k

=32

1 −13

n +1

+ 2 1 −12

n +1

.


S n =72

.

Baøi 5.3.Cho ak , bk > 0. Giaû söû∞

k=0

ak vaø∞

k=0

bk hoäi tuï. Chöùng minh∞

k=0

akbk ,∞

k=0

a2k ,

∞

k=0

(ak + bk)2 ,∞

k=0

√ak

kcuõng hoäi tuï.

Documents

Bai Tap Giai Tich Chung Minh