Grandeurs et mesures au cycle 2 et 3

Brigitte Bonnet-Philip et Mirène Larguier

Groupe départemental de mathématiques (GDM)

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Présentation de la matinée

• Les formateurs membres du GDM

• Site du GDM http ://math34.ac-montpellier.fr/sur le site de l’IA http ://www.ac-montpellier.fr/ Programmes ; Anciens documents en lien avec les programmes de 2002 :

Document d’accompagnement : « grandeurs et mesures » ; Documents d’applications du cycle 2 et du cycle 3.

Ressources pour la classe ; Idées pour utiliser du matériel en classe …

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Grandeurs et mesures : introduction

Problème :Voici trois polygones, quel est le plus grand ?

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Plusieurs réponses pour ce problème du plus grand

Le plus grand :•Si on considère la distance maximale d’un sommet à la droite (D), c’est le numéro 1 ;•Si on considère le périmètre du polygone, c’est le numéro 3 ;•Si on considère l’aire du polygone c’est le numéro 2.  4

À propos de la question : quel est le plus grand ?

• Réponse : dis moi quelle est la caractéristique des objets dont tu parles et je te dirai quel est le plus grand !

Pour répondre à la question il faut savoir ce qui peut être comparé.

• Enumérer toutes les caractéristiques des objets qui permettent de les comparer pour savoir quel est le plus grand.

• Comment s’appellent ces caractéristiques ?

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Le domaine « grandeurs et mesures » des programmes de cycle 2 et 3

Les différentes grandeurs dans les programmes (et leurs synonymes) :– Durée (intervalle de temps); – Longueur (distance, largeur, hauteur, taille, distance,

profondeur, altitude, envergure, …) ;– Aire (étendue, superficie) ;– Masse ;– Volume ;– Capacité (contenance) ;– Angles ;– Quantité d’objets ;– Prix ;– Vitesse.

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Une grandeur particulière :la quantité d’éléments d’un ensemble

Exemple : une collection de dessins

Quelle est la quantité de dessins de la collection ?

• il y a 19 dessins ;• 19 est le cardinal de l’ensemble ; • c’est la quantité d’objets de la

collection ; • c’est la « taille » de la collection.

Ne pas demander aux élèves :« Quel est le nombre de dessins ? »mais :« Quelle est la quantité de dessins ? »ou bien « Combien y a-t-il de dessins ? »

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La grandeur longueur

• Quels types d’activités proposez-vous à vos élèves lorsque vous travaillez dans le domaine des longueurs ?

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Regard sur les programmes de 2008et sur le document d’accompagnement « grandeurs et mesures » (prog. de 2002)

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La grandeur longueur

Comparaison directe de longueurs :– Ranger les livres de la bibliothèque en fonction de leur hauteur ;– Ranger les élèves de la classe du plus grand au plus petit ou du

plus petit au plus grand par rapport à leur taille ;– Ranger des crayons de couleur dans une boîte en fonction de leur

longueur ;– Ranger des bandes de papier de même largeur en fonction de leur

longueur.

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La grandeur longueur

Comparaison de longueurs de façon indirecte :– Comparer les périmètres de polygones tracés (avec une bande de papier,

avec un compas, avec un calque, avec une ficelle) ;– Comparer les périmètres des tronc des arbres de la cour ;– Choisir un étalon de longueur pour comparer des longueurs en les

référant à cet étalon ;– Fabriquer des couronnes des rois ayant la taille exacte du tour de tête

pour chaque élève.

Utilité de savoir reporter une longueur :– Une unité étant donnée, construire une droite graduée pour y placer les

nombres entiers puis les nombres décimaux à partir du CM1.

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Histoire de toise

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Résolution de problème : quel est le triangle qui a le plus grand périmètre ?

Consignes :1°) Devinez par la vue quel est le triangle qui a le plus grand périmètre (ou le plus long pourtour).2°) Trouver un moyen de prouver la réponse à la première question sans utiliser la règle graduée . 13

Quel est le trianglequi a le plus grand périmètre ?

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14Une technique à favoriser : « faire rouler » l’objet tout droit

Comparaison directe

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Comparaison indirecte

Comparer les périmètres de ces figures :

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http://sites.google.com/site/desideespourlecole/Home/

Comparaison indirecte de longueurs

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Compte-rendu d’expérimentation (groupe premier degré IREM)

Un problème posé en cycle 3 :

Quel est le plus grand verre ?

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Comparer des objets en fonctionde différentes grandeurs

Situation du papier peint

(Capmaths, Hatier)

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Confronter les grandeurs aire et périmètreUne conception erronée à ébranler : - croire que des figures qui ont le même périmètre ont aussi la même aire - ou bien croire que des figures qui ont la même aire ont le même périmètre

Polygone 1 Polygone 2 Polygone 3

Périmètre (unité un côté de carreau) 16 16 16

Aire (unité un carreau) 11 8 13

Nombre de côtés du polygone 8 12 6

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Exemple de comparaison : deux segments sont à comparer du point de vue de leur longueur :1°) Comparaison directe en les mettant l’un sur l’autre s’ils sont dessinés sur deux calques ;2°) Comparaison indirecte : l’un est décalqué pour que sa longueur puisse être comparée à l’autre ; ou bien la longueur de l’un est « prise » avec un compas pour être reportée sur l’autre ;3°) La longueur d’un troisième segment est prise comme étalon, chacun des segments est comparé à cet étalon, cela permet la comparaison des deux segments.

De la grandeur à sa mesure en passant par une grandeur étalon

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Quelques éléments théoriques sur les grandeurs

Qu’est-ce qu’une grandeur ? Une grandeur est une qualité, une caractéristique

d’un objet ; Elle doit permettre des comparaisons :

deux objets étant donnés, on peut toujours les comparer du point de vue de cette grandeur :

C’est le plus lourd, le plus volumineux, celui qui dure le plus, le plus épais, le plus profond, etc.

La grandeur existe indépendamment de toute unité.

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Quelques éléments théoriques sur les grandeurs

• Concevoir une grandeur c’est déjà une démarche d’abstraction : il faut séparer, abstraire la grandeur de son objet support.

• La grandeur avant sa mesure :– Les comparaisons d’objets relativement à une grandeur sont

essentielles dans le processus d’apprentissage et de conceptualisation :

• Soit la comparaison est directe ;

• Soit la comparaison est indirecte et nécessite un intermédiaire (pour les longueurs : bande de papier, ficelle, compas, etc.)

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http://ig45.free.fr/Enseignants/Ecole/Doc_Ecole/Balances1.pdf

Quelques éléments théoriques sur les grandeurs

• La première rencontre avec la notion de grandeur passe par la manipulation d’objets et l’élaboration de protocoles permettant les comparaisons.

• Document d’accompagnement des programmes de 2002 sur « grandeurs et mesures à l’école élémentaire » :« Les premières activités visent à construire chez les élèves le sens de la grandeur, indépendamment de la mesure et avant que celle-ci n’intervienne. Le concept s’acquiert progressivement en résolvant des problèmes de comparaison, posés à partir de situations vécues par les élèves, suivis de moments d’institutionnalisations organisés par le maître. »

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Introduction de la mesure

Introduction d’un étalon, d’une référence, c’est-à-dire d’une unité.L’unité est non conventionnelle : un passage nécessaire avant l’introduction du système métrique international.

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Introduction de la mesure

Fabrication d’une règle avec une unité non conventionnelle :la longueur d’un bâtonnet

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Réaliser une règle avec une unité non conventionnelle

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J’apprends les maths CE1, Retz

Est-ce pareil qu’utiliser une règle déjàdessinée avec une unité non conventionnelle ?

Introduction de la mesure

• « La fabrication d’un instrument de mesure de longueurs soulève la question de sa graduation. Pour graduer une bande de papier, il faut déterminer une origine, lui attribuer le nombre 0, reporter régulièrement une même longueur, appelée unité. Chaque report est en général matérialisé par un trait, chaque trait est affecté d’un nombre entier. »

(Document d’accompagnement des programmes de 2002, grandeurs et mesures)

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L’introduction des mesures

Document d’accompagnement des programmes de 2002 sur « grandeurs et mesures à l’école élémentaire » :

« Les élèves doivent donc acquérir des connaissances et des compétences spécifiques relatives à différentes mesures. La construction de ces connaissances s’appuie sur un travail préalable sur les grandeurs auxquelles ces mesures sont associées. »

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Introduction de la mesure

• Document d’accompagnement des programmes de 2002 sur « grandeurs et mesures à l’école élémentaire » :

« Il est souvent commode, pour comparer toutes les grandeurs d’un même domaine, de les comparer à une grandeur particulière, bien choisie, dite étalon. On dit alors que l’étalon mesure une unité. Il devient dès lors possible d’associer à chaque grandeur un nombre, appelé sa mesure relativement à cette unité. »

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Récapitulatif : une démarche pour les longueurs à suivre pour les autres grandeurs

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Exemple de résolution de problème : la gestation des animaux

Mammifères Durée de gestation* Mammifères Durée de

gestation*

Éléphante 660 jours Castor 120 jours

Ourse 210 jours Hamster 20 jours

Belette 60 jours Gorille 230 jours

Lapine 33 jours Chatte 60 jours

Lionne 110 jours Louve 70 jours

Taupe 40 jours Femme 270 jours

Phoque 280 jours Blaireau 180 jours

Hérisson 60 jours Écureuil 30 jours

Hippopotame 240 jours Brebis 150 jours

Chauve-souris 45jours Gazelle 160 jours

Baleine 370 jours Ânesse 360 jours

Souris 20 jours Chamelle 320 jours

Girafe 440 jours Jument 340 jours

Vache 280 jours Truie 120 jours

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Mammifères Durée de gestation*

Loup 70 jours

Humain 270 jours

Blaireau 180 jours

Écureuil 30 jours

Mammifères Durée de gestation*

Éléphant 660 jours

Ours 210 jours

Belette 60 jours

Lapin 33 jours

Mammifères Durée de gestation*

Lion 110 jours

Taupe 40 jours

Phoque 280 jours

Hérisson 60 jours

Mammifères Durée de gestation*

Mouton 150 jours

Gazelle 160 jours

Âne 360 jours

Chameau 320 jours

Mammifères Durée de gestation*

Hippopotame 240 jours

Chauve-souris 45jours

Baleine 370 jours

Souris 20 jours

Mammifères Durée de gestation*

Girafe 440 jours

Jument 340 jours

Vache 280 jours

Truie 120 jours

Mammifères Durée de gestation*

Castor 120 jours

Hamster 20 jours

Gorille 230 jours

Chat 60 jours

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Résolution de problème : travail relatif à la mesure de longueurs

• Un groupe d’élèves (A) dessine un triangle sur un papier calque et rédige un message pour un autre groupe qui doit dessiner exactement le même triangle. Le message doit indiquer toutes les mesures de longueurs qui sont nécessaires mais pas plus.

• Le groupe qui reçoit le message (B) réalise la figure

• Le groupe A vérifie le dessin du groupe B avec le calque

D’autres situations de ce type peuvent être travaillées pour un triangle rectangle, un triangle isocèle, un rectangle, un parallélogramme.

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