Hajde da brojimo do - petnicamat.rspetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/Kardinali_AndrejaIlic.pdf · Bertrand Arthur William Russell’s (1872 - 1970) paradoks objavljen 1901

Pojam skupaFunkcije

Konacni i beskonacni skupoviKardinali

Hajde da brojimo do∞

Andreja Ilic

Univerzitet u NišuPrirodno Matematicki Fakultet

februar 2010

Istraživacka stanica Petnica

Andreja Ilic Hajde da brojimo do ∞

Pojam skupaFunkcije


Skup je jedan on najosnovnijih pojmova (koncepta) u matematici.Teoriju skupova je prvi zasnovao nemacki matematicar GeorgFerdinand Ludwig Philipp Cantor (1845 - 1918) krajem 19.veka. Ona se (sada) naziva naivnom teorijom skupova, u kojojse skup ne definiše eksplicitno.

Nobody will drive us from the paradisethat Cantor has created for us.

David Hilbert (1862 - 1943)


Pojam skupaFunkcije


Cantor: "By a "set" we mean any collection M into a whole ofdefinite, distinct objects m (which are called the "elements" of M)of our perception or of our thought."Intuitivno skup predstavlja kolekciju objekata (elemenata) pricemu se oni objedinjavaju nekim zajednickim svojstvom.

Osnovni odnos izmedju elemenata skupa i skupa je pripadnost(obeležava se znakom ∈){x |P(x)} - skup ciji elementi zadovoljavaju formulu (uslov) P(x)

{x |(∃y ∈ N)x = y2} = {1,4,9, . . .}

Da li ovo važi za svaki uslov P(x)?


Pojam skupaFunkcije


Cantor: "By a "set" we mean any collection M into a whole ofdefinite, distinct objects m (which are called the "elements" of M)of our perception or of our thought."Intuitivno skup predstavlja kolekciju objekata (elemenata) pricemu se oni objedinjavaju nekim zajednickim svojstvom.

Osnovni odnos izmedju elemenata skupa i skupa je pripadnost(obeležava se znakom ∈){x |P(x)} - skup ciji elementi zadovoljavaju formulu (uslov) P(x)

{x |(∃y ∈ N)x = y2} = {1,4,9, . . .}

Da li ovo važi za svaki uslov P(x)?


Pojam skupaFunkcije



Pojam skupaFunkcije



Pojam skupaFunkcije


ProblemGiven any property, there is a set consisting of all objects whitch havethat property.

Bertrand Arthur William Russell’s (1872 - 1970) paradoksobjavljen 1901. godine

A = {X |X 6∈ X}Andreja Ilic Hajde da brojimo do ∞

Pojam skupaFunkcije


ProblemGiven any property, there is a set consisting of all objects whitch havethat property.

Bertrand Arthur William Russell’s (1872 - 1970) paradoksobjavljen 1901. godine

A = {X |X 6∈ X}Andreja Ilic Hajde da brojimo do ∞

Pojam skupaFunkcije


Kako izbeci ovaj i slicne paradokse?

(a) Uvodjenjem pojma klase, gde skup definišemo kao specijalnuklasu koja pripada drugim klasama(b) Restrikcija ’aksiome’ podskupa

Da li je zamena (b) dovoljna za razvijanje celokupne do tadapoznate teorije skupova? Naime uspostavlja se da se mnogasvojstava ne mogu pokazati cak i neka najosnovnija (nisudovoljne da se dokaže da je unija dva skupa skup ili da sedefiniše pojam realnog broja).

Zermelo-Fraenkel set theory with the axiom of choice (ZFC)


Pojam skupaFunkcije







Pojam skupaFunkcije







Pojam skupaFunkcije







Pojam skupaFunkcije



Pojam skupaFunkcije


Definicija

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespodencija iz skupaA u skup B definiše sa kao proizvoljan podskupa f Dekartovogproizvoda A× B.

prva projekcija od f :

pr1(f ) = {x ∈ A|(x , y) ∈ f za neko y ∈ B}druga projekcija od f :

pr2(f ) = {y ∈ B|(x , y) ∈ f za neko x ∈ A}


Pojam skupaFunkcije


Primer 1. Neka je A = {a,b, c,d} i B = {−1,0,1}.

Korespodencija f iz A u B je

f = {(a,−1), (a,1), (c,0), (d ,1)}

Ona je graficki prikazana na sledecoj slici:

Ovde imamo da je:

pr1(f ) = {a, c,d}

pr2(f ) = {−1,0,1}


Pojam skupaFunkcije


Definicija

Neka su A i B neprazni skupovi. Za korespodenciju f ⊆ A× Bkažemo da je preslikavanje ili funkcija iz A u B ako ispunjavasledece uslove:

pr1(f ) = A (f je definisana na celom skupu)ako je (x , y1) ∈ f i (x , y2) ∈ f , tada je y1 = y2 (uslovjednoznacnosti)

Skup A nazivamo domenom, a B kodomenom preslikavanja fUmesto (x , y) ∈ f pišemo y = f (x)


Pojam skupaFunkcije


Definicija

Data je funkciju f : A→ B. Za f kažemo da je injektivna (ili "1-1") akoje za sve elemente x1, x2 ∈ A ispunjen uslov

x1 6= x2 ⇒ f (x) 6= f (x)

Drugim recima nije dozvoljena situacija prikazana na slici:


Pojam skupaFunkcije


Definicija

Data je funkciju f : A→ B. Za f kažemo da je sirjektivno (ili "na") akoza svako y ∈ B postoji x ∈ A takvo da je f (x) = y.

Drugim recima f (A) = B.


Pojam skupaFunkcije


Definicija

Funkcija f : A→ B koja je ujedno i injiekcija i surjekcija naziva sebijekcija.


Pojam skupaFunkcije


Definicija

Funkcija f : A→ B koja je ujedno i injiekcija i surjekcija naziva sebijekcija.


Pojam skupaFunkcije


EkvipotentnostKonacni i beskonacni skupoviPrebrojivi i neprebrojivi skupovi

Kako definisati kardinalnost (broj elemenata) nekog skupa?Kako ispitati da li dva skupa imaju isti broj elemenata?Kada je skup konacan a kada beskonacan?

Definicija

Za dva skupa A i B kažemo da su ekvipotentna (imaju istu moc) ipišemo A ' B, ako postoji bijekcija iz skupa A u skup B.

Lema

Relacija ekvipotentnosti je relacija ekvivalencije tj. važe sledeceosobine:

A ' AA ' B ⇒ B ' AA ' B i B ' C ⇒ A ' C


Pojam skupaFunkcije




Definicija


Lema


A ' AA ' B ⇒ B ' AA ' B i B ' C ⇒ A ' C


Pojam skupaFunkcije




Definicija


Lema


A ' AA ' B ⇒ B ' AA ' B i B ' C ⇒ A ' C


Pojam skupaFunkcije



Interesantno pitanje: Neka je B pravi podskup skupa A. Da li jemoguce da skupovi A i B imaju istu kardinalnost (da su ekvipotentni)?Primer 3. Posmatrajmo skupove N i Np = {2,4,6,8, . . .} i fju:

ϕ(n) = 2 · nKako je f-ja ϕ bijekcija, imamo da su navedeni skupovi ekvipotentni.

Ludilo, ne?

Primer 4. Skupovi [a,b] i [c,d ]gde a < b, c < d su ekvipotentni.

f (x) =d − cb − a

x +bc − ad

b − a


Pojam skupaFunkcije





Ludilo, ne?


f (x) =d − cb − a

x +bc − ad

b − a


Pojam skupaFunkcije





Ludilo, ne?


f (x) =d − cb − a

x +bc − ad

b − a


Pojam skupaFunkcije





Ludilo, ne?


f (x) =d − cb − a

x +bc − ad

b − a


Pojam skupaFunkcije



Jedna od prelepih teoremica iako intuitivno jasna (ali cemu ovdeintuicija) dobija se kao posledica sledece

LemaAko je B podskup skupa A i ako postoji injekcija ϕ iz A i B, tada jeA ' B.

Dokaz: Pretpostavimo da je B pravi podskup od A i definišimo skup

C =⋃

k∈N0

ϕk (A \ B)

Skupovi ϕm(A \ B) i ϕn(A \ B) su disjunktni za n 6= mϕ(C) = C

⋂B

B = ϕ(C)⋂(A \ C)


Pojam skupaFunkcije



Jedna od prelepih teoremica iako intuitivno jasna (ali cemu ovdeintuicija) dobija se kao posledica sledece

LemaAko je B podskup skupa A i ako postoji injekcija ϕ iz A i B, tada jeA ' B.

Dokaz: Pretpostavimo da je B pravi podskup od A i definišimo skup

C =⋃

k∈N0

ϕk (A \ B)

Skupovi ϕm(A \ B) i ϕn(A \ B) su disjunktni za n 6= mϕ(C) = C

⋂B

B = ϕ(C)⋂(A \ C)


Pojam skupaFunkcije



Definišimo funkciju ψ kao ψ(a) =

{ϕ(a) ako je a ∈ Ca inace

Da li je ψ bijekcija iz A u B?


Pojam skupaFunkcije



Definišimo funkciju ψ kao ψ(a) =

{ϕ(a) ako je a ∈ Ca inace

Da li je ψ bijekcija iz A u B?


Pojam skupaFunkcije



PosledicaAko su A, B i C skupovi takvi da je A ⊆ B ⊆ C takvi da je A ' C, tadaje i B ' C.

Teorema (Šreder - Bernštajnova teorema)

Ako su A u B skupovi takvi da je A ekvipotentan nekom podskupu odB i B je ekvipotentan nekom podskupu od A, tada su i skupovi A i Bekivpotenti.


Pojam skupaFunkcije



Pored ovog dokaza Šreder - Bernštajnove teoreme, postoji i prelepdokaz od giganta teorije skupova Paul Cohen-a.


Pojam skupaFunkcije




Pojam skupaFunkcije



Definicija

Za skupa A kažemo da je beskonacan ako postoji pravi podskup odA koji je ekvipotentan sa A.

Za skup koji nije beskonacan, kažemo da je konacan.

Skup N je beskonacan.

Prazan skupa i skupa {a} su konacni.

Skup realnih brojeva R je beskonacan.


Pojam skupaFunkcije



Definicija







Pojam skupaFunkcije



Definicija







Pojam skupaFunkcije



Definicija







Pojam skupaFunkcije



Lema1 Nadskup beskonacnog skupa je beskonacan.2 Podskup konacnog skupa je konacan.3 Skup ekvipotentan beskonacnom skupu je beskonacan.4 Skup ekvipotentan konacnom skupu je konacan.

U delu pod 1. definišimo funkcijukao

g(n) ={

f (x) ako je x iz Ax inace

}

Posledica Skupovi Z i Q su beskonacni.


Pojam skupaFunkcije





g(n) ={


}



Pojam skupaFunkcije





g(n) ={


}



Pojam skupaFunkcije



Lema

Oduzimanjem jednog elementa iz beskonacnog skupa ponovodobijamo beskonacan.

Lema

Dodavanjem jednog elementa konacnom skupu dobija se konacanskup.

Karakterizaciju konacnih skupova možemo opisati kao:

Lema

Skup A je konacan akko je prazan ili postoji k ∈ N tako da je A ' Nk .


Pojam skupaFunkcije



Lema


Lema



Lema



Pojam skupaFunkcije



Lema


Lema



Lema



Pojam skupaFunkcije



David Hilbert’s hotel


Pojam skupaFunkcije



Definicija

Skup A je prebrojiv ukoliko je konacan ili je ekvipotentan sa skupomN prirodnih brojeva (pri cemu skupove ekvipotentne sa N nazivamoprebrojivo beskonacnim). Skupove koji nisu prebrojivi nazivamoneprebrojivim.

Neke osobine prebrojivih skupova:

LemaPodskup prebrojivog skupa je prebrojiv.Svaki beskonacan skup sadrži prebrojiv beskonacan skup.Unija prebrojivog skupa i konacnog je prebrojiv skup.Unija dva prebrojiva skupa je prebrojiv skup.


Pojam skupaFunkcije



Definicija

Skup A je prebrojiv ukoliko je konacan ili je ekvipotentan sa skupomN prirodnih brojeva (pri cemu skupove ekvipotentne sa N nazivamoprebrojivo beskonacnim). Skupove koji nisu prebrojivi nazivamoneprebrojivim.

Neke osobine prebrojivih skupova:

LemaPodskup prebrojivog skupa je prebrojiv.Svaki beskonacan skup sadrži prebrojiv beskonacan skup.Unija prebrojivog skupa i konacnog je prebrojiv skup.Unija dva prebrojiva skupa je prebrojiv skup.


Pojam skupaFunkcije




Pojam skupaFunkcije



Lema1 Skup Z celih brojeva je prebrojiv.2 Skup Nk za k ∈ N je prebrojiv.3 Skup Q racionalnih brojeva je prebrojiv.


Pojam skupaFunkcije



Da li postoji elegantnija enumearcija

Neil Calkni’s and Herbert Wilf’s listing

11 , 1

2 , 21 , 1

3 , 32 , 2

3 , 31 , . . .

Brojilac i imenilac navedenih razlomaka se mogu predstaviti uobliku

b(n)b(n + 1)

gde je (bn)n≥0 Stern’s diatomic series

(1,1,2,1,3,2,3,1,4,3,5,2, . . .)


Pojam skupaFunkcije





11 , 1

2 , 21 , 1

3 , 32 , 2

3 , 31 , . . .


b(n)b(n + 1)


(1,1,2,1,3,2,3,1,4,3,5,2, . . .)


Pojam skupaFunkcije





11 , 1

2 , 21 , 1

3 , 32 , 2

3 , 31 , . . .


b(n)b(n + 1)


(1,1,2,1,3,2,3,1,4,3,5,2, . . .)


Pojam skupaFunkcije





11 , 1

2 , 21 , 1

3 , 32 , 2

3 , 31 , . . .


b(n)b(n + 1)


(1,1,2,1,3,2,3,1,4,3,5,2, . . .)


Pojam skupaFunkcije





11 , 1

2 , 21 , 1

3 , 32 , 2

3 , 31 , . . .


b(n)b(n + 1)


(1,1,2,1,3,2,3,1,4,3,5,2, . . .)


Pojam skupaFunkcije



Definišimo beskonacno binarno stablo na sledeci nacin:Koren stabla ima vrednost 1

1

Svaki unutrašnji cvor ab ima dva potomka: levi potomak ima

vrednost aa+b a desni a+b

b


Pojam skupaFunkcije



Neke od osobine opisanog binarnog stabla:

Za svaku vrednost cvora rs brojevi r i s su uzajamno prosti

Svaki razlomak rs ∈ Q+ se pojavljuje kao vrednost nekog cvora u

stablu

Vrednosti cvorova su jedinstvene u stablu

Brojilac n-tog elementa u enumeraciji je jednaka imeniocu(n + 1)-og elementa.


Pojam skupaFunkcije






stablu




Pojam skupaFunkcije






stablu




Pojam skupaFunkcije






stablu




Pojam skupaFunkcije






stablu




Pojam skupaFunkcije



Posmatrajmo sada skup R realni brojeva. Da li je on prebrojiv?

Teorema (Kantor)

Skup R realnih brojeva je neprebrojiv.

Dokaz: Posmatrajmo interval M = (0,1].

Pretpostavimo da je skup M prebrojiv, tj. M = {x1, x2, . . .}.Predstavimo svaki od xn na jedinstven nacin u obliku beskonacnogdecimalnog zapisa bez beskonanog niza nula

xn = 0.an1an2an3 . . .

gde je ank iz skupa {0,1, . . . ,9}.


Pojam skupaFunkcije




Teorema (Kantor)




xn = 0.an1an2an3 . . .



Pojam skupaFunkcije




Teorema (Kantor)




xn = 0.an1an2an3 . . .



Pojam skupaFunkcije




Teorema (Kantor)




xn = 0.an1an2an3 . . .



Pojam skupaFunkcije



Posmatrajmo realni broj b = 0.b1b2b3 . . ., definisan kao:

bn 6= ann

Kantorov dijagonalni postupak


Pojam skupaFunkcije




bn 6= ann



Pojam skupaFunkcije




bn 6= ann



Pojam skupaFunkcije



Šta je sa skupom I iracionalni brojeva?

Da li su skupovi (0,1), (0,1], [0,1) i [0,1] ekvipotentni?

f : (0,1]→ (0,1)

g(n) =

32 − x ako je 1

2 < x ≤ 134 − x ako je 1

4 < x ≤ 12

38 − x ako je 1

8 < x ≤ 14

......

Proizvoljna dva intervala (pozitivne dužine) imaju su ekvipotentni(centralna projekcia prikazana na slici)


Pojam skupaFunkcije





f : (0,1]→ (0,1)

g(n) =

32 − x ako je 1

2 < x ≤ 134 − x ako je 1

4 < x ≤ 12

38 − x ako je 1

8 < x ≤ 14

......



Pojam skupaFunkcije





f : (0,1]→ (0,1)

g(n) =

32 − x ako je 1

2 < x ≤ 134 − x ako je 1

4 < x ≤ 12

38 − x ako je 1

8 < x ≤ 14

......



Pojam skupaFunkcije





f : (0,1]→ (0,1)

g(n) =

32 − x ako je 1

2 < x ≤ 134 − x ako je 1

4 < x ≤ 12

38 − x ako je 1

8 < x ≤ 14

......



Pojam skupaFunkcije



Teorema

Skup R2 uredjnih parova realnih brojeva je ekvipotentan skupu R.

Dokazacemo da su skupovi {(x , y)|0 < x , y ≤ 1} i (0,1]ekvipotentni.

Realne brojeve x i y napisati na jedinstven nacin u beskonacnomdecimalnom zapisu grupisanom po nenula ciframa.

x = 0.3 01 2 007 08 . . .

y = 0.0009 2 05 1 0008 . . .

z = 0.3 0.009 01 2 2 05 007 1 08 0008 . . .

Ovo je dosta neocekivani rezultat, zbog suprotnosti o intuitivnomshvatanju dimenzije.


Pojam skupaFunkcije



Teorema




x = 0.3 01 2 007 08 . . .

y = 0.0009 2 05 1 0008 . . .

z = 0.3 0.009 01 2 2 05 007 1 08 0008 . . .



Pojam skupaFunkcije



Teorema




x = 0.3 01 2 007 08 . . .

y = 0.0009 2 05 1 0008 . . .

z = 0.3 0.009 01 2 2 05 007 1 08 0008 . . .



Pojam skupaFunkcije



Teorema




x = 0.3 01 2 007 08 . . .

y = 0.0009 2 05 1 0008 . . .

z = 0.3 0.009 01 2 2 05 007 1 08 0008 . . .



Pojam skupaFunkcije



Teorema




x = 0.3 01 2 007 08 . . .

y = 0.0009 2 05 1 0008 . . .

z = 0.3 0.009 01 2 2 05 007 1 08 0008 . . .



Pojam skupaFunkcije


DefinicijaUporedjivanje kardinalaOperacije sa kardinalima

Kao što znamo, za merenje velicine (broja elemenata) konacnihskupova koristimo prirodne brojeve. Ranije smo nagovestili da postojimogucnost da u nekom smislu merimo velicinu i beskonacnihskupova. To cinimo korišcenjem kardinalnih brojeva koje uvodimonarednom definicijom.

Definicija

Neka je svakom skupu A pridružen objekat, oznacen sa |A|, tako dasu zadovoljeni sledeci uslovi:

|A| = 0 ako i samo ako je A = ∅Ako je A ' Nk za neko k ∈ N, tada je |A| = kAko su A i B proizvoljni ekvipotentni skupovi, tada je |A| = |B|.

|A| nazivamo kardinalnim brojem ili kardinalnošcu skupa A.Kardinalne brojeve konacnih skupova nazivamo konacnimkardinalnim brojevima, dok kardinalne brojeve beskonacnihskupova nazivamo transfinitnim kardinalnim brojevima.


Pojam skupaFunkcije



Kao što znamo, za merenje velicine (broja elemenata) konacnihskupova koristimo prirodne brojeve. Ranije smo nagovestili da postojimogucnost da u nekom smislu merimo velicinu i beskonacnihskupova. To cinimo korišcenjem kardinalnih brojeva koje uvodimonarednom definicijom.

Definicija

Neka je svakom skupu A pridružen objekat, oznacen sa |A|, tako dasu zadovoljeni sledeci uslovi:

|A| = 0 ako i samo ako je A = ∅Ako je A ' Nk za neko k ∈ N, tada je |A| = kAko su A i B proizvoljni ekvipotentni skupovi, tada je |A| = |B|.

|A| nazivamo kardinalnim brojem ili kardinalnošcu skupa A.Kardinalne brojeve konacnih skupova nazivamo konacnimkardinalnim brojevima, dok kardinalne brojeve beskonacnihskupova nazivamo transfinitnim kardinalnim brojevima.


Pojam skupaFunkcije



Kardinalni broj skupa A zapravo jeste klasa svih ekvipotentnihskupova sa A.Kardinalni broj skupa N prirodnih brojeva oznacava se sa N0(cita se alef nula - prvo slovo hebrejske azbuke)Kardnilani broj skupa R realnih brojeva oznacava se sa C (cita sekontinum). Za svaki skup koji je ekvipotentan sa R kažemo daima moc kontinuma.


Pojam skupaFunkcije





Pojam skupaFunkcije





Pojam skupaFunkcije




Pojam skupaFunkcije



Neka su A i B skupovi. Tada kažemo da je kardinalni broj |A|skupa A manji ili jednak kardinalnom broju |B| skupa B, štopišemo |A| ≤ |B|, ako je skup A ekvipotentan nekom podskupuod B, tj. ako postoji injekcija iz A u B.

Ako je |A| ≤ |B| i |A| 6= |B|, tada pišemo |A| < |B|, i kažemo da jekardinalni broj |A| strogo manji od kardinalnog broja |B|.

Teorema

Neka su A, B i C proizvoljni skupovi. Tada važi sledece:1 |A| = |A|2 |A| ≤ |B| i |B| ≤ |A| tada je |A| = |B|3 |A| ≤ |B| i |B| ≤ |C| tada je |A| ≤ |C|


Pojam skupaFunkcije



Stavka 2. prethodne teoreme nije nimalo ocigledna.

Dokazana je 1883. godine (Šreder-Bernštrajnova teorema)


Pojam skupaFunkcije



Stavka 2. prethodne teoreme nije nimalo ocigledna.

Dokazana je 1883. godine (Šreder-Bernštrajnova teorema)


Pojam skupaFunkcije



Teorema (Kantor)

Za proizvoljan skup A važi da je |A| < |P(A)|.

Tvrdjenje |A| ≤ |P(A)| je ocigledno

Pretpostavimo da je |A| = |P(A)|, tj. da postoji bijekcija f iz A u|P(A)|.

Posmatrajmo skup:

X = {x ∈ A|x 6∈ f (x)}

Kako je f bijekcija, tada mora da postoji a ∈ A takav da jef (a) = X . Konstradikciju dobijamo iz

a ∈ X ⇐⇒ a 6∈ X


Pojam skupaFunkcije



Teorema (Kantor)




Posmatrajmo skup:

X = {x ∈ A|x 6∈ f (x)}


a ∈ X ⇐⇒ a 6∈ X


Pojam skupaFunkcije



Teorema (Kantor)




Posmatrajmo skup:

X = {x ∈ A|x 6∈ f (x)}


a ∈ X ⇐⇒ a 6∈ X


Pojam skupaFunkcije



Teorema (Kantor)




Posmatrajmo skup:

X = {x ∈ A|x 6∈ f (x)}


a ∈ X ⇐⇒ a 6∈ X


Pojam skupaFunkcije



Teorema (Kantor)




Posmatrajmo skup:

X = {x ∈ A|x 6∈ f (x)}


a ∈ X ⇐⇒ a 6∈ X


Pojam skupaFunkcije



Definicija

Ako su a i b proizvoljni kardinalni brojevi, tada se suma kardinalnihbrojeva a i b, u oznaci a + b, definiše kao kardinalni broj odredjen sa

a + b = |A ∪ B|

gde su A i B proizvoljni disjunktni skupovi takvi da je |A| = a i |B| = b.

Lema

Neka su a, b i c proizvoljni kardinalni brojevi. Tada važi sledece:a + b = b + a (komutativnost)(a + b) + c = a + (b + c) (asocijativnost)

’ajde da malo sabiramo...


Pojam skupaFunkcije



Definicija

Ako su a i b proizvoljni kardinalni brojevi, tada se suma kardinalnihbrojeva a i b, u oznaci a + b, definiše kao kardinalni broj odredjen sa

a + b = |A ∪ B|

gde su A i B proizvoljni disjunktni skupovi takvi da je |A| = a i |B| = b.

Lema

Neka su a, b i c proizvoljni kardinalni brojevi. Tada važi sledece:a + b = b + a (komutativnost)(a + b) + c = a + (b + c) (asocijativnost)

’ajde da malo sabiramo...


Pojam skupaFunkcije



Definicija

Ako su a i b proizvoljni kardinalni brojevi, tada se proizvodkardinalnih brojeva a i b, u oznaci ab, definiše kao kardinalni brojodredjen sa

ab = |A× B|

, gde su A i B proizvoljni skupovi takvi da je |A| = a i |B| = b.

Lema

Neka su a, b i c proizvoljni kardinalni brojevi. Tada važi sledece:ab = ba (komutativnost)(ab)c = a(bc) (asocijativnost)a(b + c) = ab + ac) (distributivnost)


Pojam skupaFunkcije



Ako su A i B proizvoljni skupovi, tada sa BA oznacavamo skupsvih preslikavanje iz A u B.

Definicija

Ako su a i b proizvoljni kardinalni brojevi, tada se a-ti stepenkardinalnog broja b, u oznaci ba, definiše kao kardinalni brojodredjen sa

ba = |BA|

, gde su A i B proizvoljni skupovi takvi da je |A| = a i |B| = b.

LemaNeka su A, B, X i Y proizvoljni skupovi takvi da je A ' X i B ' Y.Tada je BA ' Y X .


Pojam skupaFunkcije



Teorema

Za proizvoljan skup A važi da je |P(A)| = 2|A|.

Lema

2N0 = C

David Hilbert je 1900. postavio hipotezu:

Hipoteza (Hipoteza kontinuma)

Ne postoji kardinalni broj a takav da je N0 < a < 2N0 = c

1938 Kurt Gedel je pokazao da dodavanjem hipoteze ustandardnim aksiomama teorije skupova ne dovodi doprotivurecnosti1963 Džordž Koen je dokazao da se hipoteza kontinuma nemože dokazati polazeci od sadašnjih aksioma teorije skupova.


Pojam skupaFunkcije



Teorema


Lema

2N0 = C






Pojam skupaFunkcije



Teorema


Lema

2N0 = C






Documents

Hajde da brojimo do - petnicamat.rspetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/Kardinali_AndrejaIlic.pdf · Bertrand Arthur William Russell’s (1872 - 1970) paradoks objavljen 1901