Hamiltonin sykleistä graa�teoriassa

Pro gradu -tutkielma

Ohto Nordberg

1335868

Matemaattisten tieteiden laitos

Oulun yliopisto

Kevät 2013

Sisältö

Johdanto 2

1 Historiaa 3

1.1 Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Hamiltonin sykli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Peruskäsitteitä 7

2.1 Piste, viiva ja graa� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Naapuri ja aste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Polku, sykli ja kulku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Aligraa� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4.1 Indusoitu aligraa� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Yhtenäisyys 10

3.1 Mengerin lause . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Euleriaanisuus 15

5 Hamiltonilaisuus 17

5.1 Välttämättömiä ehtoja hamiltonilaisuudelle . . . . . . . . . . 17

5.2 Riittäviä ehtoja hamiltonilaisuudelle . . . . . . . . . . . . . . 21

5.2.1 Diracin lause . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.2.2 Riippumattomuuden suhde yhtenäisyyteen . . . . . . . 22

5.2.3 Asratian & Khachatrian lause . . . . . . . . . . . . . . 24

5.2.4 Chvátalin lause . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Lähdeluettelo 30

1

Johdanto

Tässä tutkielmassa tärkeimpänä tavoitteena on esittää ehtoja sille, millaisis-

ta graafeista Hamiltonin syklin voi löytää, eli mitkä graa�t ovat hamiltoni-

laisia. Hamiltonin syklin löytäminen graa�sta on NP-täydellinen ongelma [2,

ss. 306-307], minkä vuoksi aihe on mielenkiintoinen matemaattisesti. Lisäksi

hamiltonin sykliin liittyy sovellusmahdollisuuksia informaatioteknologiassa,

mikä tekee aiheesta ajankohtaisen.

Tutkielman aluksi tutustutaan graa�teorian historiaan. Ensin käsitellään

Leonhard Eulerin ratkaisua Königsbergin siltojen ongelmaan ja sitten Ha-

miltonin syklin alkuhistoriaa. Tässä lähteenä on käytetty pääasiassa N. L.

Biggin, E. K. Lloydin ja R. J. Wilsonin teosta Graph Theory 1736-1936 [1].

Seuraavaksi määritellään niitä graa�teorian peruskäsitteitä, joita tarvi-

taan myöhemmin tutkielmassa. Tämän jälkeen siirrytään graa�en yhtenäi-

syyteen ja todistetaan Mengerin lause, jota tarvitaan myöhemmin hamiltoni-

laisuuden ehtoja käsiteltäessä. Ennen hamiltonilaisuuteen siirtymistä käsitel-

lään euleriaanisuutta ja todistetaan Eulerin lauseen moderni versio. Lopuksi

keskitytään itse hamiltonilaisuuteen, ensisijaisesti siihen, millaisista graafeis-

ta Hamiltonin syklin voi löytää.

Päälähteenä työn matemaattisessa osassa käytetään R. Diestelin Graph

Theory -kirjan neljättä painosta [2]. Käsitteiden suomennoksia on runsaasti

M. Peltolan Graa�teoria-kurssilta ja sen luentomonisteesta [4].

2

Julkaistun artikkelin koko englanninkielinen käännös on saatavilla esimer-

kiksi lähteestä [1]. Artikkeli alkaa näin (käännetty englanninkielisestä artik-

kelin käännöksestä) :

�Lisäyksenä siihen geometrian haaraan, joka koskee etäisyyksiä,

ja mikä on aina saanut eniten huomiota, on olemassa toinen haa-

ra, tähän asti melkein tuntematon, jonka Leibniz ensin mainitsi,

kutsuen sitä sijainnin geometriaksi [Geometriam situs ]. Kyseinen

haara koskee vain sijainnin määrittämistä ja sen ominaisuuksia;

siihen eivät kuulu etäisyydet, eikä niistä tehtävät laskelmat. Si-

ten, silloin kun tämä ongelma minulle mainittiin, se vaikutti geo-

metriseltä, mutta oli niin konstruoitu, ettei siinä ollut tarvetta

etäisyyksien mittaamiselle, eikä laskenta auttanut ollenkaan, mi-

nulla ei ollut epäilystäkään, etteikö se koskenut sijainnin geomet-

riaa - varsinkin kun sen ratkaisuun liittyi ainoastaan sijainti, ei-

kä laskennasta ollut mitään hyötyä. Tästä syystä olen päättänyt

esittää löytämäni menetelmän, joka ratkaisee tämän ongelman,

esimerkkinä sijainnin geometriasta.

2. Ongelma, joka on kuulemani mukaan laajasti tunnettu, on seu-

raavanlainen: Königsbergissä Preussissa on saari A, nimeltään

Kneiphof; joki joka sitä ympäröi on jaettu kahteen haaraan, ku-

ten kuvassa (...), ja nämä haarat ylittävät seitsemän siltaa, a, b,

c, d, e, f ja g. Näiden siltojen ollessa kyseessä, minulta kysyttiin

voiko joku kulkea sellaisen reitin, että hän ylittäisi kunkin sillan

täsmälleen kerran. ...� [1, alk. s. 3]

4

Euler ei pidä itse Königsbergin siltojen ongelmaa sinänsä mielenkiintoi-

sena, vaan kiinnittää huomionsa ongelman yleiseen muotoon. Hän kuvailee

eri asetelmia ja muodostaa asetelmista taulukoita [1, ss. 6-7]. Hän päätyy

kolmeen johtopäätökseen:

�Jos on enemmän kuin kaksi aluetta, mihin pariton määrä siltoja

johtaa, silloin sellainen reitti on mahdoton.

Jos, kuitenkin, siltojen määrä on pariton täsmälleen kahdella alu-

eella, niin silloin sellainen reitti on mahdollinen, jos se alkaa jom-

masta kummasta tällaisesta alueesta.

Jos, lopulta, ei ole yhtään aluetta, johon johtaa pariton määrä

siltoja, silloin haluttu reitti voidaan kulkea alkaen mistä tahansa

alueesta. � [3, ss. 205-206]

Artikkeli on kiinnostava sekä graa�teorian synnyn kannalta, että myöskin

siksi, että siinä on vahvoja viitteitä topologian syntyhistoriaan.

1.2 Hamiltonin sykli

Itse Hamiltonin syklin historiaan liittyy vuonna 1855 Thomas Penyngton

Kirkmannin (1806�1895) kirjoittama artikkeli, jossa hän käsittelee seuraa-

vanlaista kysymystä: voiko monitahokkaan graa�sta löytyä aina sykli, joka

kulkee jokaisen pisteen kautta täsmälleen kerran. Toinen, kuuluisampi ma-

temaatikko loi vuonna 1857 pelin �Icosian game� (kuva 2), jossa piti löy-

tää sykli dodekaedrista muodostetusta graa�sta. Hänen nimensä oli William

Rowan Hamilton (1805 - 1865), ja hänen nimensä jäi kuvaamaan tätä kä-

sitettä, vaikka Kirkman julkaisi tästä aiheesta aiemmin ja käsitteli yleistä

5

2.2 Naapuri ja aste

Määritelmä 2.2. Pisteet u ja v ovat naapureita, jos niitä yhdistää viiva.

Pisteen u naapureiden joukkoa merkitään N(u). Piste on irtopiste, jos sillä

ei ole naapureita. Viivat e1 6= e2 ovat naapureita, jos niillä on yhteinen pää-

tepiste. Viivat (tai pisteet) ovat riippumattomia, jos ne eivät ole pareittain

naapureita. Graa� on täydellinen, jos kaikki graa�n pisteet ovat pareittain

naapureita. Riippumattomassa pistejoukossa mitkään sen kaksi pistettä eivät

ole naapureita. [2, ss. 2-5]

Määritelmä 2.3. Pisteen v aste d(v) on pisteen v naapureiden lukumäärä.

Jos graa�n G kaikilla pisteillä on aste k, graa�a kutsutaan k-säännölliseksi.

Graa�n G minimiaste on luku δ(G) := min{d(v)|v ∈ V }. [2, s. 5]

2.3 Polku, sykli ja kulku

Määritelmä 2.4. Polku on ei-tyhjä graa� P = (V,E), missä pistejoukko

V = {x0, x1, . . . , xk}, viivajoukko E = {x0x1, x1x2, . . . , xk−1xk} ja pisteet xi

ovat erilliset. Pisteet x0 ja xk ovat yhdistetyt polussa P ja niitä kutsutaan

päätepisteiksi. Pisteet x1, . . . , xk−1 ∈ Ṗ ovat polun P sisäpisteitä. Polun vii-

vojen määrä on polun pituus ja k:n pituista polkua merkitään Pk. Polkua

voidaan merkitä myös x0 − xk. Polut ovat riippumattomat, jos niillä ei ole

yhtään yhteistä sisäpistettä. Polku, jossa on vain yksi piste, on triviaali. [2,

ss. 6-7]

Määritelmä 2.5. Jos P = x0 . . . xk−1 on polku ja k > 3, niin graa�a C :=

P + xk−1x0 kutsutaan sykliksi. Syklin pituus on sen pisteiden (tai viivojen)

lukumäärä ja k-pituista sykliä kutsutaan k-sykliksi ja merkitään Ck. Viiva,

8

joka yhdistää kaksi syklin pistettä, mutta ei itse ole syklin viiva, on syklin

säie. Sykli, jossa on vain yksi piste, on triviaali. [2, s. 8]

Määritelmä 2.6. Kulku on ei-tyhjä alternoiva sarja v0e1e2 . . . ek−1vk pisteitä

ja viivoja, missä ei = vivi+1 aina, kun i < k. [2, s. 10]

Huomattakoon, että polku ja sykli ovat kulkuja.

2.4 Aligraa�

Määritelmä 2.7. Olkoon G = (V,E) ja G′ = (V ′, E ′) graafeja ja G∪G′ :=

(V ∪ V ′, E ∪ E ′). Jos V ′ ⊆ V ja E ′ ⊆ E, niin G′ on graa�n G aligraa�. Jos

G′ ⊆ Gja V ′ 6= V , niin G′ on graa�n G aito aligraa�. [2, ss. 3-4]

Aligraa� G′ ei siis sisällä yhtään viiva tai pistettä, joita graa� G ei sisällä.

2.4.1 Indusoitu aligraa�

Määritelmä 2.8. Pistejoukon U ⊆ V (G) indusoima graa� on graa�n G ali-

graa�, joka sisältää kaikki viivat, joiden molempina päätepisteinä on joukon

U piste. Kyseistä graa�a merkitään G [V (U)]. [2, s. 4]

9

3 Yhtenäisyys

Käsite yhtenäisyys on tärkeä graa�teoriassa. Se ilmaisee, kuinka vahvasti

graa�n pisteet on yhteydessä toisiinsa. Tätä vahvuutta mitataan sillä, kuin-

ka monta pistettä tai viivaa pitää graa�sta poistaa, jotta siitä tulisi epäyh-

tenäinen. Toisaalta sitä voidaan myös arvioida sillä, kuinka monta erillistä

polkua eri pisteiden välillä on. Itse asiassa nämä näkökulmat ovat saman

asian eri puolia, jonka todistaa klassinen Mengerin lause vuodelta 1927 (ks.

3.10), jota usein kuvataan yhdeksi graa�teorian kulmakivistä. [2, s. 59]

Määritelmä 3.1. Ei-tyhjä graa� G on yhtenäinen, jos mitkä tahansa sen

kaksi pistettä on yhdistetty jollain polulla. Muulloin se on epäyhtenäinen. [2,

s. 10]

Määritelmä 3.2. Merkintä G − S tarkoittaa, että graa�sta G poistetaan

joukon S pisteet ja niihin liittyvät viivat. [2, s. 11]

Määritelmä 3.3. Olkoon G = (V,E) graa� ja u, v ∈ V . Pistejoukko S ⊆

V \{u, v} erottaa eli separoi pisteet u ja v toisistaan, jos graa� G − S ei

sisällä yhtään polkua u− v. Tätä joukkoa S sanotaan separoivaksi joukoksi

tai separaattoriksi. [4, s. 29]

Määritelmä 3.4. Yhtenäisyysluku κ(G) = min{|A|∣∣A ⊆ VG ja G − A on

epäyhtenäinen tai triviaali}. Graa� G on k-yhtenäinen, jos yhtenäisyysluku

κ(G) ≥ k. [2, s. 11]

Toisin sanoen graa� G on k-yhtenäinen, jos se pysyy yhtenäisenä aina, kun

siitä poistaa vähemmän kuin k mielivaltaisesti valittua pistettä. Minkä ta-

hansa pisteparin separoimiseen tarvitaan siis vähintään k pisteen poistoa.

10

Esimerkiksi kaikki syklit ovat 2-yhtenäisiä, koska yhden pisteen poistaminen

ei separoi yhtään pisteparia.

3.1 Mengerin lause

Mengerin lauseelle on esitetty useita todistuksia, joista osa vahvempia kuin

Mengerin esittämä ja osa virheellisiä [6, s. 167]. Diestel esittää kolme eri

todistusta [2, ss. 66-71], joista tässä käsitellään ensimmäinen. Määritellään

ennen itse lausetta sen esittämiseen ja todistamiseen tarvittavia käsitteitä.

Määritelmä 3.5. KunA jaB ovat graa�nG pistejoukkoja ja pisteet x0, . . . , xk

graa�n G pisteitä, kutsumme polkua P = x0, . . . , xk �A − B poluksi�, jos

V (P ) ∩ A = x0 ja V (P ) ∩B = xk. [2, s. 7]

Toisin sanoen joukossa A on polun ensimmäinen piste ja joukossa B polun

viimeinen piste, eikä yksikään polun sisäpiste ole joukossa A tai B.

Määritellään sitten separointi myös joukoille, eli laajennetaan aiempaa

pisteparien separoimiseen liittyvää määritelmää 3.3.

Määritelmä 3.6. Jos A,B ⊆ V (G) ja X ⊆ V (G) ∪ E(G) ovat sellaisia

joukkoja, että jokainen A − B polku graa�ssa G sisältää pisteen tai viivan

joukosta X, sanotaan, että X separoi joukot A ja B graa�ssa G. [2, s. 11]

Huomattakoon, että tässä joukot A ja B eivät välttämättä ole erilliset. Myös

triviaalit polut (eli yksittäiset pisteet) voivat separoida joukot A ja B silloin,

kun A ⊆ B, B ⊆ A tai A = B.

Määritelmä 3.7. Merkintä G − e tarkoittaa graa�a G, josta on poistettu

viiva e = xy, mutta ei pisteitä x ja y. [2, s. 4]

11

Määritelmä 3.8. Merkintä G/e tarkoittaa, että graa�sta G on supistettu

viiva e = xy sekä pisteet x ja y ja niiden tilalle on laitettu piste ve. Tähän

pisteeseen ve liitetään viivat, jotka ennen supistamista liittyivät pisteisiin x

ja y. [2, s. 20]

Määritelmä 3.9. Luku k = k(G,A,B) on minimimäärä pisteitä, jotka se-

paroivat joukot A ja B graa�ssa G. [2, s. 66]

On selvää, että G sisältää enintään k erillistä A − B polkua. Jos erillisiä

polkuja olisi enemmän, separoivan joukon koko olisi suurempi kuin k, mikä

on ristiriita luvun k määritelmän perusteella.

Lause 3.10. (Menger 1927). Olkoon G = (V,E) yhtenäinen graa� ja A,B ⊆

V kaksi pistejoukkoa. Silloin A:n ja B:n separoivan pistejoukon pisteiden

minimimäärä on sama kuin erillisten A−B polkujen maksimimäärä.

Lauseen 3.10 todistuksessa on tavoitteena osoittaa, että on olemassa täsmäl-

leen k erillistä A − B polkua graa�ssa G. Se tehdään induktiolla niin, että

ensimmäisessä osassa käytetään graa�a G/e osoittamaan, että graa�ssa G

on A−B separaattori, missä on täsmälleen k pistettä. Toisessa osassa käyte-

tään graa�a G− e osoittamaan, että on olemassa k erillistä polkua joukosta

A joukkoon X ja k erillistä polkua joukosta X joukkoon B niin, että ne

voidaan yhdistää muodostamaan k erillistä polkua joukosta A joukkoon B

graa�ssa G.

Todistus. [2, ss. 66-67] Todistetaan lause 3.10 induktiolla graa�n G viivojen

lukumäärän suhteen. Tehdään induktio-oletus: Mengerin lause on totta kai-

kille graafeille, joissa on vähemmän viivoja kuin graa�ssa G. Jos viivoja ei ole

12

yhtään, niin joukkojen A ja B yhteisten pisteiden lukumäärä on k ja triviaa-

leja A−B polkuja on siten k kappaletta ja Mengerin lause pätee. Oletetaan

siis, että graa�ssa G on vähintään yksi viiva e = xy, eli ||G|| ≥ 1.

Käsitellään sitten graa�a G/e, jossa on siis yksi viiva vähemmän kuin

graa�ssa G, eli ||G/e|| < ||G||. Valitaan pisteet x ja y niin, että jos jom-

pikumpi (tai molemmat) pisteistä on joukossa A ∈ G, niin supistettu piste

ve lasketaan kuuluvaksi joukkoon A ∈ G/e (vastaavasti B). Huomattakoon,

että jos a ∈ A ja b ∈ B, niin piste ve ajatellaan kuuluvan molempiin joukkoi-

hin. Jos graa�ssa G on vähemmän kuin k erillistä A−B polkua, niin selvästi

näin on myös graa�ssa G/e.

Nyt voidaan soveltaa induktio-oletusta, eli lause pätee kun ||G/e|| < ||G||.

Koska siis ‖G/e‖ = ‖G‖ − 1 < ‖G‖, graa�lla G/e on A− B separaattori Y ,

missä on vähemmän kuin k pistettä. Joukossa Y ∈ G/e täytyy olla myös

piste ve, koska muuten joukko Y ⊆ V olisi A − B separaattori graa�ssa G.

Silloin X := (Y/{ve}) ∪ {x, y} on A − B separaattori graa�ssa G, missä

|X| = k. Lyhyesti: koska |X| ≥ k, mutta toisaalta |X| = |Y | + 1 ja |Y | < k,

niin |X| = k ja lauseen ensimmäinen osa on todistettu.

Käsitellään seuraavaksi graa�a G − e. Olkoon pistejoukko S ∈ G − e

A−X separaattori. Tällöin jokainen A−B polku sisältää joukon X pisteen

ja siten myös joukon S pisteen, joten S on A − B separaattori graa�ssa G.

Siten |S| ≥ k. Koska ||G− e|| = ||G|| − 1 < ||G||, niin Mengerin lause pätee

graa�lle G− e, jolla siten on k erillistä A−X polkua.

On siis olemassa k riippumatonta A−X polkua graa�ssa G− e, ja vas-

taavasti on olemassa k erillistä X − B polkua graa�ssa G − e. Koska X

separoi joukot A ja B, näillä poluilla ei ole yhteisiä pisteitä joukon X ulko-

13

puolella, joten ne pystytään yhdistämään k erilliseksi A− B poluksi. Täten

induktioperiaatteen nojalla Mengerin lause pätee kaikille graafeille.

14

4 Euleriaanisuus

Seuraavaksi esitellän moderni versio Eulerin lauseesta ja todistetaan se.

Määritelmä 4.1. Graa�lla G = (V,E) on Eulerin reitti, jos se sisältää ku-

lun, jossa jokainen graa�nG viiva esiintyy täsmälleen kerran. Suljettu Eulerin

reitti on Eulerin kierros. Yhtenäinen graa� on Eulerin graa� tai euleriaani-

nen, jos se sisältää Eulerin kierroksen. [2, s. 23]

Eulerin reitti voi siis alkaa eri pisteestä kuin mihin se päättyy, mutta Eulerin

kierroksella on sama alku- ja loppupiste. Eulerin reitin alku- ja loppupiste

voivat olla asteeltaan parittomia, koska reitin ei tarvitse sekä lähteä että tulla

kyseiseen pisteeseen.

Lause 4.2. (Euler 1736) Yhtenäinen graa� on euleriaaninen, jos ja vain jos

sen jokaisen pisteen aste on parillinen.

Todistus. [2, ss. 22-23] Oletetaan ensin, että graa� G on euleriaaninen. Täl-

löin jokaisen pisteen aste on välttämättä parillinen, koska reitin täytyy jonkin

kulkusuunnan mukaan sekä saapua pisteeseen että poistua siitä.

Oletetaan sitten, että yhtenäisen, ei-triviaalin graa�nG kaikkien pisteiden

aste on parillinen ja siinä on kulku v0e0 . . . el−1vl. Olkoon tämä kulku W

graa�nG pisin kulku, missä kukin viiva esiintyy enintään kerran. Tämä kulku

sisältää graa�n G kaikki viivat, koska jos se ei sisältäisi viivaa e ∈ G(E),

tämän viivan e kautta menevä kulku olisi pitempi kuinW . Tämä on ristiriita

kulunW pituusoletuksen perusteella. Jos kulkuW ei olisi suljettu, eli v0 6= vl,

niin pisteestä vl lähtevien viivojen määrä olisi 2(k − 1) + 1 eli sen aste olisi

pariton. Tämä on ristiriita graa�n pisteiden asteen parillisuuden kanssa, joten

v0 = vl eli kulku W on suljettu.

15

Eli W on suljettu, G on yhtenäinen ja W sen pisin kulku. Jos G ei ole

euleriaaninen, on olemassa viiva e = uvi ∈ E(G), joka ei ole kulun W

viiva, mutta joka on liittynyt johonkin kulun W pisteeseen. Tällöin kulku

ueviei . . . el−1vle0 . . . ei−1vi on pitempi kuin W . Tämä on ristiriita, joten G

on euleriaaninen, W on Eulerin reitti ja lause on todistettu.

Kun ajatellaan Königsbergin sillat (kuva 1) viivoiksi ja niihin liittyvät

maa-alueet pisteiksi, nähdään selvästi, että pisteiden parillisuusehto euleri-

aanisuudelle ei toteudu. Täten Eulerin reitti tai kierros kyseisessä asetelmassa

ei ole mahdollinen.

16

5 Hamiltonilaisuus

Lopuksi käsitellään sitä, millaisista graafeista Hamiltonin syklin voi löytää

eli käsitellään ehtoja graa�n hamiltonilaisuudelle. Graa�n hamiltonilaisuu-

den selvittäminen on paljon vaativampaa kuin euleriaanisuuden ja se onkin

ensimmäisiä NP-täydellisiä ongelmia. Graa�n hamiltonilaisuudelle ei vielä

tunneta hyvää karakterisointia, toisin kuin graa�n euleriaanisuudelle. [2, ss.

306-307]

Määritelmä 5.1. Suuntaamattoman graa�n Hamiltonin polku on polku,

joka käy graa�n jokaisessa pisteessä täsmälleen yhden kerran. Hamiltonin

sykli on Hamiltonin polku, joka on sykli. Graa�a, joka sisältää Hamiltonin

syklin, sanotaan hamiltonilaiseksi. [2, s. 293]

Eulerin kierroksella ja Hamiltonin syklillä on siis se olennainen ero, että eule-

riaanisuus koskee graa�n kaikkien viivojen läpikäyntiä, hamiltonilaisuus pis-

teiden.

5.1 Välttämättömiä ehtoja hamiltonilaisuudelle

Triviaaleja välttämättömiä ehtoja graa�n hamiltonilaisuudelle ovat yhtenäi-

syys ja se, että jokaisen pisteen aste on vähintään kaksi. Graa�ssa täytyy tie-

tysti olla myös vähintään kolme pistettä. Jokaisella hamiltonilaisella graa�lla

siis on nämä ominaisuudet, mutta jokainen graa�, jolla on nämä ominaisuu-

det, ei välttämättä ole hamiltonilainen. Esimerkiksi kuvan 4 graa� toteuttaa

nämä triviaalit ehdot, muttei ole hamiltonilainen.

Esitellään seuraavaksi graa�n komponenttien määrään liittyvä välttämä-

tön ehto hamiltonilaisuudelle. Tämä ehto ei ole yhtä triviaali kuin juuri mai-

17

5.2 Riittäviä ehtoja hamiltonilaisuudelle

Tämän tutkielman lopuksi esitetään ja todistetaan neljä lausetta, joissa jo-

kaisessa esitetään riittävät ehdot graa�n hamiltonilaisuudelle.

5.2.1 Diracin lause

Ensimmäisenä käsitellään Diracin klassinen lause vuodelta 1952. Siinä oleel-

linen ehto liittyy graa�n minimiasteeseen.

Lause 5.5. (Dirac 1952). Jokaisessa graa�ssa G, missä on vähintään kolme

pistettä ja minimiaste vähintään |G|/2, on Hamiltonin sykli.

Todistus. [2, s. 294] Olkoon G = (V,E) graa�, jolle |G| = n ≥ 3 ja δ(G) ≥

n/2. Tällöin G on yhtenäinen graa�, koska jos se ei olisi yhtenäinen, siinä

olisi vähintään yksi komponentti C. Tämä ei graa�ssa G ole mahdollista,

koska vaikka pienin komponentti olisi täydellinen graa�, sen minimiaste olisi

vähemmän kuin |C| ≤ n/2. Jos taas olisi |C| ≥ n/2, niin C ei olisi pienin

komponentti.

Olkoon P = v0 . . . vk graa�n G pisin polku. Kaikki pisteiden v0 ja vk

naapurit ovat polussa P , koska muutoin P ei olisi graa�n G pisin polku. Ole-

tetaan, että pisteet v0 ja vk eivät ole naapureita, koska saataisiin Hamiltonin

syklin, eikä olisi muuta näytettävää. Tällöin molempien pisteiden v0 ja vk

kaikki naapurit ovat joukossa {v1, . . . , vk−1}.

Alkuoletuksen perusteella tiedetään, että pisteellä vk on vähintään n/2

naapuria. Tutkitaan sitten niitä pisteen vk naapureiden naapureita, jotka

eivät ole pisteen vk naapureita. Niitäkin on vähintään n/2 kappaletta. Tut-

kitaan vielä pisteen v0 naapureita. Niitäkin on vähintään n/2 kappaletta.

Koska sekä pisteen v0 että vk naapureita on vähintään n/2, eivätkä v0 ja vk

21

Todistus. [2, s. 295] Asetetaan κ(G) =: k ja olkoon C graa�n G pisin sykli.

Nimetään syklin C pisteet niin, että V (C) = {vi|i ∈ Zn}, missä vivi+1 ∈

E(C) aina, kun i ∈ Zn. Jos sykli on Hamiltonin sykli, muuta ei tarvitse tehdä.

Oletetaan siis, että C ei ole Hamiltonin sykli. Valitaan siis piste u ∈ G−C ja

u− C viuhka F = {Pi|i ∈ I} graa�ssa G, missä I ⊆ Zn ja jokainen polku Pi

päättyy pisteeseen vi. Piste u on siis syklin C ulkopuolinen piste, ja pisteet vi

ovat syklissä C. Olkoon F mahdollisimman suuri. Tällöin uvj /∈ E(G) aina,

kun j /∈ I ja

|F| ≥ min {k, |C|} (1)

Mengerin lauseen 3.10 perusteella.

Huomataan, että aina, kun i ∈ I, niin i+1 /∈ I. Jos näin ei olisi, (C∪Pi∪

Pi+1)−vivi+1 olisi pitempi sykli kuin C, mikä olisi ristiriidassa alkuoletuksen

kanssa. Siten |F| < |C| ja siten |I| = |F| ≥ k kohdan (1) perusteella. Lisäksi

vi+1vh+1−vivi+1−vjvj+1 olisi pitempi sykli kuin C. Täten {vi+1|i ∈ I}∪{u}

on vähintään k + 1 riippumattoman pisteen joukko graa�ssa G, aiheuttaen

ristiriidan oletuksen α(G) ≤ k kanssa. Näin ollen syklin C ulkopuolella ei ole

yhtään pistettä ja siten C on Hamiltonin sykli graa�ssa G.

23

5.2.3 Asratian & Khachatrian lause

Tässä kolmannessa lauseessa käsitellään paikallisen minimiasteen merkitystä

hamiltonilaisuuteen, ei koko graa�n minimiasteen, kuten Diracin lauseessa.

Lause 5.8. (Asratian & Khachatrian 1990). Yhtenäinen graa� G, jossa on

pisteitä vähintään 3, sisältää Hamiltonin syklin, jos jokaiselle indusoidulle

polulle uvw pätee

d(u) + d(w) ≥ |N(u) ∪N(v) ∪N(w)|.

Toisin sanoen jos pisteiden u ja w asteiden summa on vähintään yhtä suuri

kuin pisteiden u, v ja w ∈ G(V ) naapurustojen unionin pisteiden lukumäärä

aina, kun uvw on graa�n G indusoitu polku, niin graa�ssa G on Hamiltonin

sykli.

Tämä polku sisältää siis vain kolme pistettä, mutta ne voivat olla graa�n

G mitkä tahansa kolme pistettä niin, että v on sisäpiste ja u ja w sen naapu-

reita. Indusoidussa polussa uvw, joka on siis graa�n G aligraa�, on siis vain

kolme pistettä.

Todistus. [2, ss. 295-296] Olkoon uvw jokin graa�n G indusoitu polku. Koska

d(u) + d(w) = |N(u) ∪N(w)| + |N(u) ∩N(w)| ja graa�n aste on vähintään

3, niin

|N(u) ∩N(w)| ≥ |N(v) \N({u,w})| ≥ |{u,w}| ≥ 2. (2)

Yllä olevan perusteella ja koska yhtenäisessä graa�ssa G on vähintään kolme

pistettä, on graa�ssa sykli. Olkoon C pisin sykli G:ssä. Olettaen, että G ei

ole hamiltonilainen, valitaan piste u /∈ C. Valitaan piste niin, että sillä on

naapuri syklissä C:ssä ja määritellään V := N(u)∩ V (C). Lisäksi merkitään

24

v+ niitä pisteitä, jotka ovat pisteen v ∈ V jälkeen syklin C jonkin kierto-

suunnan mukaan. Määritellään lisäksi joukon V + := {v+|v ∈ V }. Koska C

on pisin sykli, ei joukoilla V ja V + ole yhteisiä pisteitä,

eikä joukossa V + ∪ {u} ole kahta vierekkäistä pistettä. Tä-

män unionin pisteillä ei täten myöskään ole yhteistä naapuria

syklin C ulkopuolella.

(3)

Koska polut uvv+ ovat indusoituja, kohdan (2) perusteella aina, kun v ∈ V ,

on

|N(u) ∩N(v+)| ≥ |N(v) \N({u, v+})| ≥ |N(v) ∩ V +|+ 1.

Viimeinen epäyhtälö tulee siitä, että kohdan (3) perusteella sekä piste u että

joukon V+ pisteet eivät kuulu pisteiden u ja v+ naapurustoon. Viivat, jotka

ovat joukkojen V ja V+ pisteitä yhdistäviä viivoja, toteuttavat lukumääräl-

lään lauseen

||V, V +|| =∑v inV

|N(v) ∩ V +| ≤∑v inV

(|N(v) ∩N(v+)| − 1)=||V, V +|| − |V |.

Tämä on ristiriita, joten C on Hamiltonin sykli ja lause on todistettu.

5.2.4 Chvátalin lause

Neljäntenä käsitellään lause, jonka ehto liittyy graa�n astejonoon.

Määritelmä 5.9. Olkoon d1, d2, . . . dn laskeva äärellinen jono ei-negatiivisia

kokonaislukuja, eli d1 ≥ d2 ≥ . . . dn. Jono on esitettävissä graa�lla, jos on

olemassa sellainen graa� G = (V,E), missä V = v1, v2, . . . vn ja degG(vi) = di

aina, kun i = 1, 2, . . . , n. Jono d1, d2, ..., dn on silloin graa�n G astejono. Jos

25

astejonon (a1, . . . , an) jokainen termi ai on vähintään yhtä suuri kuin astejo-

non (d1, . . . , dn) jokainen termi di, niin sanotaan, että astejono (a1, . . . , an)

on pisteittäin suurempi kuin astejono (d1, . . . , dn) Mielivaltaista astejonoa

(a1, . . . , an) kutsutaan hamiltonilaiseksi, jos jokainen graa�, missä on n pis-

tettä ja astejono, joka on pisteittäin suurempi kuin (a1, . . . , an), on hamilto-

nilainen. [2, s. 297]

Lause 5.10. (Chvátal 1972) Astejono (a1, . . . , an), missä 0 ≤ a1 ≤, . . . ,≤

an < n ja n ≥ 3, on hamiltonilainen, jos ja vain jos ai ≤ i ⇒ an−i ≥ n − i

aina, kun i < n/2.

Chvátalin ehto hamiltonilaisuudelle on siis se, että jos kyseisen astejonon

i:s termi on enintään yhtä suuri kuin luku i, niin termien an−i, an−i+1 . . . , an

on oltava vähintään yhtä suuria kuin luku n − i aina, kun i < n/2. Eli jos

astejonossa on pieniasteisia termejä, silloin se sisältää myös termejä, joiden

aste on suuri.

Todistus. [2, ss. 297-299] Todistetaan lause kahdessa osassa. Ensin oletukse-

na on Chvátalin ehto ja seurauksena graa�n hamiltonilaisuus. Toisessa osassa

oletuksena hamiltonilaisuus ja seurauksena ehto. Olkoon (a1, . . . , an) mieli-

valtainen astejono niin, että 0 ≤ a1 ≤, . . . ,≤ an ≤ n 0 ≤ a1 ≤ an < n ja

n ≥ 3. Oletetaan, että tämä sarja toteuttaa lauseen ehdot ja todistetaan,

että se on hamiltonilainen. Tehdään vastaoletus. Silloin on olemassa graa�,

jonka astejono (d1, . . . , dn) toteuttaa ehdon

di ≥ ai kaikille i, (4)

mutta jolla ei ole Hamiltonin sykliä. Olkoon G = (V,E) sellainen graa�, jos-

26

sa on maksimaalinen määrä viivoja ilman, että siinä on Hamiltonin sykli.

Kohdan (4) perusteella oletus astejonolle (a1, . . . , an) on voimassa myös as-

tejonolle (d1, . . . , dn) graa�ssa G, eli

di ≤ i⇒ dn−i ≥ n− i kaikille i < n/2. (5)

Olkoon x, y erilliset ei-vierekkäiset pisteet graa�ssa G, missä dx ≤ dy ja

d(x) + d(y) mahdollisimman suuria. Helposti nähdään, että astejono G+ xy

on pisteittäin suurempi kuin (d1, . . . , dn) ja siten myös pisteittäin suurempi

kuin (a1, . . . , an). Siten, graa�n G maksimaalisuuden perusteella, uusi lisätty

viiva xy on Hamiltonin syklissä H, joka on graa�ssa G+ xy. Jos näin ei oli-

si, alussa valittu graa� G ei olisi ollut maksimaalinen. Koska minkä tahansa

viivan lisääminen tekee graa�in G Hamiltonin syklin, on siinä oltava Hamil-

tonin polku. Eli polku H−xy on Hamiltonin polku x1, . . . , xn graa�ssa G, ja

valitaan x1 = x ja xn = y. Käytetään samaa tekniikkaa kuin Diracin lauseen

todistuksessa, ja otetaan käyttöön indeksijoukot

I := {i|xxi+1 ∈ E} ja J := {j|xjy ∈ E}.

Silloin I∪J ⊆ {1, . . . , n−1} ja I∩J = ∅, koska graa�G ei ole hamiltonilainen.

Siten

d(x) + d(z) ≥ h+ (n− h) = n, (6)

joten h := d(x) < n/2 pisteen x valinnan perusteella. Koska xiy /∈ E aina,

kun i ∈ E, niin kaikki nämä pisteet xi eivät välttämättä ole erillisiä pisteen

x kanssa (tai pisteen y). Koska valittiin pisteet {x, y}, siten, että d(x) ja d(y)

ovat maksimaaliset, niin d(xi) ≤ d(x) aina, kun i ∈ I. Siten graa�lla G on

27

vähintään |I| = h pistettä, joiden aste on enintään h, joten dh ≤ h. Kohdan

(5) perusteella dn−h on vähintään yhtä suuri kuin n−h. Toisin sanoen kaikilla

h+ 1 pisteellä, joiden aste on dn−h, . . . , dn, on siis asteen suuruus vähintään

n−h. Koska d(x) = h, niin on olemassa piste z, joka ei ole pisteen x naapuri.

Koska

dx+ dz ≥ h+ (n− h) = n,

niin pisteiden x ja y valinta on ristiriidassa kohdan (6) perusteella. Täten

Chvátalin ehdon toteuttavassa graa�ssa on Hamiltonin sykli ja todistuksen

ensimmäinen osa on todistettu.

Käsitellään sitten todistuksen toinen osa. Olkoon astejono (a1, . . . , an)

niin kuin lauseessa 5.10, mutta niin, että

ah ≤ h ja an−h ≤ n− h− 1,

kun h < n/2. Oletetaan, että jokaista tällaista astejonoa kohtaan on ole-

massa graa�, jolla on pisteittäin suurempi astejono, mutta joka ei ole hamil-

tonilainen. Chvátalin ehtoa muutetaan siis niin, että yhtäsuuruus jätetään

pois.

Kun astejono

(h, . . . , h︸ ︷︷ ︸h kertaa

, n− h− 1, . . . , n− h− 1︸ ︷︷ ︸n-2h kertaa

, n− 1, . . . , n− 1︸ ︷︷ ︸h kertaa

)

on pisteittäin suurempi kuin (a1, . . . , an), riittää, että löydetään graa�, jolla

on tämä astejono, mutta joka ei ole hamiltonilainen.

Kuvassa 8 on kahden graa�n unioni. Vasemman ja oikean puolen yh-

distää kaksiosainen graa� Kh,h, eli vasemmalla puolella on h pistettä, jotka

28

Kuva 8: Graa�, jossa ei ole Hamiltonin sykliä

yhdistyvät oikealle puolelle h pisteeseen. Vasemmalla oleva pistejoukko on

riippumaton joukko, jossa kaikilla pisteillä aste on siis h. Oikealla puolella

on täydellinen graa� Kn−h. Toisin sanoen, viivajoukko

{vivj|i, j > h} ∪ {vivj|i ≤ h; j > n− h};

on graa�nKn−h unioni pisteissä vh+1, . . . , vn ja graa�Kh,h, missä on ositukset

{v1, . . . , vn} ja {vn−h+1, . . . , vn}.

Kuvan 8 graa�ssa ei voi olla sykliä, jossa olisi pisteiden v1, v2 . . . vn lisäksi

piste vh+1. Chvátalin ehtoa muuttamalla voidaan siis saada ei-hamiltonilainen

graa�. Näin ollen lause on tosi.

29

Lähdeluettelo

1. N. L. Bigg, E. K. Lloyd, R. J. Wilson: Graph Theory 1736-1936. Oxford

University Press, Bristol, 1976.

2. R. Diestel: Graph Theory, Graduate Texts in Mathematics (4. ed).

Springer-Verlag, New York, electronic edition 2010. [WWW-dokumentti].

[Viitattu 21.2.2013].

3. B. Hopkins, R. J. Wilson: The Truth about Königsberg.

The College Mathematics Journal, Vol. 35, No. 3, May

2004, pp. 198-207. [WWW-dokumentti]. [Viitattu 21.2.2013].

4. M. Peltola: Graa�teoria, luentorunko. Oulun yliopisto, 2012. [WWW-

dokumentti]. [Viitattu 21.2.2013].

5. K. Ruohonen: Graa�teoria. Luentomoniste. Tampereen Teknil-

linen Yliopisto, 2006. [WWW-dokumentti]. [Viitattu 21.2.2013].

6. D. B. West: Introduction to graph theory (2. ed). Prentice Hall, Upper

Saddle River (N.J.), 2001.

30