Upload
others
View
0
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1. Š
IRE
NJE
PU
KO
TIN
E
U o
kviru
meh
anik
e lo
ma
odre
đuju
se
polja
loka
lnih
nap
reza
nja
i def
orm
acija
oko
vrš
ka p
ukot
ine
pom
oću
glob
alnih
par
amet
ara,
kao
što
su o
pter
ećen
je i
geom
etrij
a st
rojn
og d
ijela.
Prin
cipi o
dređ
ivan
ja po
lja lo
kaln
ih n
apre
zanj
a i d
efor
mac
ija n
ajčeš
će s
e di
jele
na li
near
no e
lastič
ni p
ristu
p (e
n. L
inea
r E
lastic
Frac
ture
Mec
hani
cs –
LE
FM) i
neli
near
ni p
ristu
p, k
oji s
e na
dalje
dije
li na
elas
to-p
lastič
ni (e
ng. E
lastic
-Plas
tic F
ract
ure
Mec
hani
cs -
EPF
M) ,
visk
oelas
tični
i
visk
oplas
tični
pris
tup
Dat
će
se t
eorij
ske
osno
ve l
inea
rno
elast
ične
meh
anik
e lo
ma
s po
sebn
im o
svrto
m n
a iz
raču
nava
nje
fakt
ora
inte
nzite
ta n
apre
zanj
a m
etod
om k
onač
nih
elem
enat
a. O
pisa
t će
se n
ajčeš
će k
orišt
eni k
riter
iji z
a od
ređi
vanj
a sm
jera
širen
ja pu
kotin
e. Ta
kođe
r će
se o
pisa
ti m
oguć
nost
i izr
ačun
avan
ja fa
ktor
a in
tenz
iteta
napr
ezan
ja pr
i koj
em d
olaz
i do
zatv
aran
ja pu
kotin
e, od
nosn
o do
kon
takt
a po
vršin
a pu
kotin
e za
vrij
eme
djelo
vanj
a vr
emen
ski p
rom
jenjiv
og o
pter
ećen
ja.
1.1
AN
AL
IZA
PO
LJA
NA
PR
EZ
AN
JA U
BL
IZIN
I V
RŠK
A P
UK
OT
INE
Ako
se p
osta
vi p
olar
ni k
oord
inat
ni su
stav
s ish
odišt
em u
vrh
u pu
kotin
e ta
da se
pol
je na
prez
anja
linea
rno
elast
ičnog
tijel
a s p
ukot
inom
mož
e op
isati
izra
zom
[69]
:
(
)(
) ()
2
0
mm
ijij
mij
m
kf
Ar
gr
∞ =
σ=
θ+
θ
∑
, (1
.1)
gdje
je: σ
ij ten
zor n
apre
zanj
a, r i
θ d
efin
iraju
točk
u u
polar
nim
koo
rdin
atam
a u
odno
su n
a vr
šak
puko
tine
(slik
a 1.
1), k
je k
onst
anta
, a f ij
i g ij
su b
ezdi
men
zijsk
e
funk
cije
ovisn
e o
θ.
Dije
lovi
izra
za v
išeg
reda
ovi
se o
geo
met
riji.
Rješ
enje
za b
ilo k
oju
geom
etrij
u uv
ijek
sadr
ži iz
raz
prop
orcio
nalan
1r
. Kad
a 0
r→
prv
i dio
izra
za (1
.1) t
eži u
besk
onač
nost
, a o
stali
dije
lovi
izra
za su
kon
stan
tni i
li te
že n
uli.
Dak
le, iz
raz
(1.1
) opi
suje
singu
larno
st n
apre
zanj
a, bu
dući
je r
=0
asim
ptot
a na
prez
anja.
x
y
puko
tina
σx
σy
τxy
r θpu
kotin
a
rθ
στ
σr
rθ
θ
Slik
a 1.
1 D
efin
icija
koor
dina
tnih
osi
Pozn
ata
su tr
i glav
na ti
pa o
tvar
anja
puko
tine,
prik
azan
a na
slic
i 1.2
. To
su I
tip il
i odc
jepni
tip,
II ti
p ili
kliz
ni ti
p i I
II ti
p ili
rasc
jepni
tip.
x z
yx
x
zz
yy
xx
zz
yy
σ
σ
τ
τ
τ
τ
a)
Tip
I –
odcj
epni
b)
Tip
II –
kliz
ni
c) T
ip II
I – ra
scje
pni
(en.
ope
ning
) (e
n. in
-plan
e sh
ear)
(en.
out
-of-p
lane
shea
r)
Slik
a 1.
2 T
ri os
novn
a tip
a op
tere
ćenj
a s p
ripad
ajući
m ti
povi
ma
puko
tine
Svak
i nač
in o
tvar
anja
puko
tine
proi
zvod
i 1r
sing
ular
itet u
vrš
ku p
ukot
ine,
a ko
nsta
nta
k i f
unkc
ija f ij
ovi
se o
nač
inu
otva
ranj
a pu
kotin
e
Kon
stan
ta k
se z
amjen
juje
s fak
toro
m in
tenz
iteta
nap
reza
nja
(FIN
) K, g
dje
je2
Kk
=π
. Fak
toru
inte
nzite
ta n
apre
zanj
a do
daju
se in
deks
i tak
o da
se n
azna
či
način
otv
aran
ja pu
kotin
e. Sa
da se
pol
je na
prez
anja
oko
vršk
a pu
kotin
e za
izot
ropn
i lin
earn
o ela
stičn
i mat
erija
l mož
e op
isati
slijed
ećim
izra
zim
a:
(
)(
) ()
II
I
0lim
2ij
ijr
Kf
r→
σ=
θπ
, (1
.2)
(
)(
) ()
IIII
II
0lim
2ij
ijr
Kf
r→
σ=
θπ
, (1
.3)
(
)(
) ()
III
III
III
0lim
2ij
ijr
Kf
r→
σ=
θπ
. (1
.4)
U sl
učaju
kad
pos
toji
više
nač
ina
otva
ranj
a pu
kotin
e, ta
da se
zbr
ajanj
em d
obiv
a po
lje n
apre
zanj
a:
(
)(
)(
)(
)uk
upno
III
III
ijij
ijij
σ=
σ+
σ+
σ
(1.5
)
Pom
oću
Wes
terg
aard
ovih
funk
cija
napr
ezan
ja m
ože
se d
oći d
o an
aliti
čkog
rješ
enja
rasp
odjel
e na
prez
anja
oko
vršk
a pu
kotin
e:
I
II1
33
cos
1sin
sinsin
2co
sco
s2
22
22
22
xK
Kr
θθ
θθ
θθ
σ=
−−
+
π
,
(1
.6)
I
II1
33
cos
1sin
sinsin
cos
cos
22
22
22
2y
KK
r
θ
θθ
θθ
θ
σ
=+
+
π
, (1
.7)
I
II1
33
cos
sinco
sco
s1
sinsin
22
22
22
2xy
KK
r
θ
θθ
θθ
θ
τ
=+
−
π
. (1
.8)
za st
anje
ravn
insk
e de
form
acije
:(
)z
xy
σ=
νσ
+σ
.
U p
olar
nom
koo
rdin
atno
m su
stav
u st
anje
napr
ezan
ja ok
o vr
ška
puko
tine
je:
2
III
1co
sco
s3
sin2
22
2K
Kr
θθ
θθ
σ=
−
π
,
(1
.9)
2
2I
II1
cos
1sin
sin1
3sin
22
22
2r
KK
rθ
θθ
θ
σ
=+
+−
π
,
(1.1
0)
2
III
1co
ssin
cos
13s
in2
22
22
rK
Kr
θθ
θθ
θ
τ
=+
−
π
.
(1
.11)
Pret
hodn
i izr
azi v
rijed
e u
okol
ini b
lisko
j vrš
ku p
ukot
ine,
odno
sno
u po
druč
ju k
oje
se n
aziv
a zo
nom
s d
omin
antn
om s
ingu
larno
sti.
Izva
n te
zon
e
napr
ezan
je je
dom
inan
tno
ovisn
o o
geom
etrij
i stro
jnog
dije
la, o
dnos
no d
rugo
m d
ijelu
izra
za n
a de
snoj
stra
ni je
dnad
žbe
(1.1
).
Iz iz
raza
(1.
6) d
o (1
.11)
vid
ljivo
je d
a fa
ktor
i int
enzi
teta
nap
reza
nja
u po
tpun
osti
opisu
ju s
tanj
e na
prez
anja
oko
vršk
a pu
kotin
e. O
va m
oguć
nost
opisi
vanj
a st
anja
oko
vršk
a pu
kotin
e sa
mo
s jed
nim
par
amet
rom
jedn
a je
od n
ajvaž
nijih
zna
čajk
i meh
anik
e lo
ma.
Pom
aci s
u ta
kođe
r u p
otpu
nost
i opi
sani
fakt
orom
inte
nzite
ta n
apre
zanj
a:
2
2I
II1
cos
12s
insin
12c
os2
22
22
2r
uK
KG
θθ
θθ
=κ
−+
+κ
++
π
,
(1.1
2)
2
2I
II1
sin1
2cos
cos
12s
in2
22
22
2r
vK
KG
θθ
θθ
=κ
+−
−κ
++
π
,
(1.1
3)
gdje
je G
mod
ul sm
icanj
a, a
κ ko
nsta
nta
koja
ovisi
o st
anju
nap
reza
nja:
3 1−ν
κ=
+ν
- z
a ra
vnin
sko
stan
je na
prez
anja,
34
κ=
−ν
- z
a ra
vnin
sko
stan
je de
form
acije
.
1.2
FA
KT
OR
IN
TE
NZ
ITE
TA
NA
PR
EZ
AN
JA
Fakt
or in
tenz
iteta
nap
reza
nja
je ov
isan
o du
ljini
i or
ijent
aciji
puk
otin
e, ge
omet
riji s
trojn
og d
ijela
te ra
spod
jeli o
pter
ećen
ja, i
opć
enito
ima
oblik
:
K
aY=
σπ
, (1
.14)
gdje
je Y
fakt
or o
blik
a, ko
jim s
e uz
ima
u ob
zir u
tjeca
j geo
met
rije
elem
enta
, dul
jine
puko
tine
i tip
a op
tere
ćenj
a. Fa
ktor
obl
ika
je jed
nak
jedan
za
puko
tinu
u
besk
onač
noj p
loči
okom
itoj n
a jed
nolič
no o
pter
ećen
je. A
nalit
ički i
em
pirij
ski i
zraz
i za
izra
čuna
vanj
e fa
ktor
a in
tenz
iteta
nap
reza
nja
za u
zork
e jed
nost
avne
geom
etrij
e s r
azlič
itim
obl
icim
a pu
kotin
a, te
razl
ičito
opt
ereć
enih
mog
u se
pro
naći
u lit
erat
uri [
70].
Kak
o st
rojn
i dije
lovi
najč
ešće
nisu
jedn
osta
vne
geom
etrij
e,
te s
u na
jčešć
e po
dvrg
nuti
slože
nom
sta
nju
napr
ezan
ja, r
azvi
jene
su m
etod
e iz
raču
nava
nja
fakt
ora
inte
nzite
ta n
apre
zanj
a m
etod
om k
onač
nih
elem
enat
a. U
poče
tnim
stu
dijam
a iz
raču
nava
nja
fakt
ora
inte
nzite
ta n
apre
zanj
a ko
rište
njem
met
ode
kona
čnih
elem
enat
a, da
bi
se r
iješio
pro
blem
sin
gular
nost
i po
lja
napr
ezan
ja, k
orist
ila s
e ve
oma
gust
a m
reža
elem
enat
a. K
ako
je k
od e
lastič
nih
mat
erija
la ne
mog
uće
« 1r
sin
gular
nost
» po
stići
sta
ndar
dnim
elem
entim
a,
razv
ijeni
su
hibr
idni
elem
enti,
tj.
singu
larni
izo
para
met
arsk
i če
tvrti
nski
elem
enti
[71]
. Si
ngul
arni
izo
para
met
arsk
i če
tvrti
nski
elem
ent
je do
bive
n iz
izop
aram
etar
skog
8-č
vorn
og k
vadr
atno
g ele
men
ta, n
a na
čin d
a se
čvo
rovi
1, 4
i 8
grup
iraju
u v
ršku
puk
otin
e, a
čvor
ovi s
a sr
edin
e st
rani
ce p
rem
ješta
ju n
a
četv
rtinu
dul
jine
stra
nice
.
1847
3 6 25
puko
tina
3 6 2
1,4,
8
7
3 6 2
5x
y L/4
3/4 L
L
a) Iz
opar
amet
arsk
i 8-č
vorn
i kva
drat
ni e
lem
ent
b) S
ingu
larni
izop
aram
etar
ski č
etvr
tinsk
i ele
men
t
Slik
a 1.
3 Iz
opar
amet
arsk
i 8-č
vorn
i kva
drat
ni e
lemen
t i si
ngul
arni
izop
aram
etar
ski č
etvr
tinsk
i elem
ent
Post
oji n
iz m
etod
a za
izra
čuna
vanj
e fa
ktor
a in
tenz
iteta
nap
reza
nja
koriš
tenj
em m
etod
e ko
načn
ih e
lemen
ata,
a na
jčešć
e su
kor
išten
e:
M
etod
a ko
relac
ija p
omak
a (e
n. D
isplac
emen
t Cor
relat
ion
Tech
niqu
e –
DCT
) [72
]
Fa
ktor
oslo
bođe
ne p
oten
cijaln
e en
ergi
je do
bive
n m
etod
om m
odifi
cira
nog
inte
grala
zat
vara
nja
puko
tine
(en.
Mod
ified
Cra
ck C
losu
re I
nteg
ral
Tech
niqu
e –
MCC
) [73
], [7
4],
M
etod
a J-i
nteg
rala
dobi
veno
g po
moć
u ek
viva
lentn
og p
ovrš
insk
og in
tegr
ala (e
n. E
quiv
alent
Dom
ain In
tegr
al –
ED
I) [7
5]
1.2.
1 M
ET
OD
A K
OR
EL
AC
IJA
PO
MA
KA
U m
etod
i kor
elacij
e po
mak
a se
pom
aci d
obiv
eni m
etod
om k
onač
nih
elem
enat
a iz
jedna
čava
ju s
ana
litičk
im r
ješen
jem iz
raže
nim
pre
ko f
akto
ra in
tenz
iteta
napr
ezan
ja.
L
r θ
x, u
y, v
puko
tina
AB D
C E
L/4
Slik
a 1.
4 Iz
opar
amet
arsk
i sin
gular
ni e
lemen
ti ok
o vr
ška
puko
tine
Polje
pom
aka
u m
ože
se d
efin
irati
pom
acim
a čv
orov
a iz
opar
amet
arsk
og si
ngul
arno
g če
tvrti
nsko
g ele
men
ta (s
lika
1.4)
:
(
)(
)(
)A
AB
CA
CB
,3
42
24
rr
ur
uu
uu
uu
uL
Lθ
=+
−+
−+
+−
, (1
.15)
(
)(
)(
)A
AB
CA
CB
,3
42
24
rr
vr
vv
vv
vv
vL
Lθ
=+
−+
−+
+−
, (1
.16)
ovdj
e je
u A i
v A p
omak
kru
tog
tijela
u x
odn
osno
y sm
jeru.
Rela
tivni
pom
ak iz
međ
u dv
ije to
čke
simet
rične
u o
dnos
u na
x o
s je:
(
)(
)(
)*
,,
,u
ru
ru
rθ
=θ
−−θ
(1
.17)
(
)(
)(
)*
,,
,v
rv
rv
rθ
=θ
−−θ
. (1
.18)
Uvr
štav
anjem
u iz
raze
(1.1
5) i
(1.1
6) d
obiv
a se
:
(
)(
)(
)(
)(
)*
BD
CE
CE
BD
,4
24
rr
ur
uu
uu
uu
uu
LL
θ=
−−
−+
−−
−
,
(1.1
9)
(
)(
)(
)(
)(
)*
BD
CE
CE
BD
,4
24
rr
vr
vv
vv
vv
vv
LL
θ=
−−
−+
−−
−
.
(1.2
0)
S dr
uge
se st
rane
ana
litičk
o rje
šenj
e re
lativ
nog
pom
aka
za
o18
0θ
= d
obiv
a iz
aps
olut
nih
pom
aka
(1.1
2) i
(1.1
3), u
z iz
raze
(1.1
7) i
(1.1
8), a
glas
i:
II
12r
uK
Gκ+
=π
, (1
.21)
I
12r
vK
Gκ+
=π
. (1
.22)
Da
bi iz
razi
(1.1
5) i
(1.2
1), t
e iz
razi
(1.1
6) i
(1.2
2) b
ili je
dnak
i, čla
novi
uz
r m
oraju
biti
jedn
aki,
pa se
dob
ivaju
fakt
ori i
nten
zite
ta n
apre
zanj
a:
(
)(
)I
BD
CE
24
1G
Kv
vv
vLπ
=−
−−
κ+
, (1
.23)
(
)(
)II
BD
CE
24
1G
Ku
uu
uLπ
=−
−−
κ+
. (1
.24)
1.2.
2 M
ET
OD
A M
OD
IFIC
IRA
NO
G I
NT
EG
RA
LA
ZA
TV
AR
AN
JA P
UK
OT
INE
Met
oda
mod
ificir
anog
zat
vara
nja
puko
tine
zasn
ovan
a je
na p
retp
osta
vci d
a uk
olik
o se
puk
otin
a pr
odul
ji za
infin
itezi
maln
u vr
ijedn
ost ∆
a, da
će
na je
dnak
oj
udalj
enos
ti od
vrš
ka p
ukot
ine
prije
i po
slije
njen
a pr
odul
jenja
, puk
otin
e bi
ti jed
nako
otv
oren
e (s
lika
1.5)
.
∆a
v r
ax
(=
-
, =
)
∆θ
π
∆a-
x∆
a-x
x
x
y
rasp
odje
la σ y
σ
θ (
=
, =
0)
r x
y
Slik
a 1.
5 P
ukot
ina
prije
i po
slije
prod
uljen
ja (ra
sta)
Tada
je ra
d po
treba
n za
pro
dulje
nje
puko
tine
za v
rijed
nost
∆a,
jedna
k ra
du p
otre
bnom
za
zatv
aran
je pu
kotin
e za
∆a:
(
)(
)0
1,
,0
2
a
yW
vr
ax
rx
dr∆
==
∆−
θ=
πσ
=θ
=∫
. (1
.25)
Fakt
or o
slobo
đene
ene
rgije
je o
nda
jedna
k:
(
)(
)I
00
0
1lim
lim,
,0
2
a
ya
a
WG
vr
ax
rx
dra
a
∆
∆→
∆→
==
=∆
−θ
=π
σ=
θ=
∆∆
∫.
(1.2
6)
Isto
tako
za
tip II
opt
ereć
enja:
(
)(
)II
00
1lim
,,
02
a
xya
Gu
ra
xr
xdr
a
∆
∆→
==
∆−
θ=
πτ
=θ
=∆
∫.
(1.2
7)
Prob
lem se
najp
rije
rješa
vao
u dv
a ko
raka
, odn
osno
s dv
ije a
naliz
e m
etod
om k
onač
nih
elem
enat
a, jed
na p
rije
prod
uljen
ja i d
ruga
nak
on p
rodu
ljenj
a pu
kotin
e.
Rybi
cki i
Kan
nine
n [7
6] su
prv
i rije
šili p
robl
em sa
sam
o jed
nom
ana
lizom
met
odom
kon
ačni
h ele
men
ata,
koris
teći
čet
vrta
sti e
lemen
t s č
etiri
čvo
ra. R
aju [7
3]
je pr
oširi
o m
etod
u za
nes
ingu
larne
i sin
gular
ne e
lemen
te b
ilo k
ojeg
reda
.
∆a
x, u
y, v
puko
tina
ij
l l'
m
m'F yi
F xi
F yj
F xj
v lu l
u l'v l'
v mu m
u m' v m'
k F
F
yk
xk
IJ
Slik
a 1.
6 Č
voro
vi, s
ile i
pom
aci u
izop
aram
etar
skim
sing
ular
nim
ele
men
tima
oko
vršk
a pu
kotin
e
Rad
pret
post
avlje
ne d
istrib
ucije
nap
reza
nja
na p
omica
nju
gran
ica
elem
enat
a I i
J (1
.25)
izjed
nača
va se
sa ra
dom
sila
F yi, F
yj i F
yk n
a po
mac
ima
v i, v j
i v k
:
(
)(
)(
)0
11
22
a
yyi
iyj
jyk
kx
vx
dxF
vF
vF
v∆
σ=
−+
+∫
(1
.28)
Dist
ribuc
ija n
apre
zanj
a du
ž ap
scise
se a
prok
simira
s pr
va tr
i član
a iz
raza
(1.1
):
(
)1
23
yA
xA
Ax
xσ
=+
+.
(1.2
9)
Uvr
štav
anjem
u iz
raz
(1.2
8) iz
raza
(1.2
9) i
funk
cije
oblik
a iz
opar
amet
arsk
og s
ingu
larno
g če
tvrti
nsko
g ele
men
ta, m
ogu
se iz
raču
nati
kons
tant
e A
1, A
2 i
A1. U
vršt
avan
jem d
obiv
enih
kon
stan
ti iz
raže
nih
prek
o sil
a u
čvor
ovim
a u
izra
z (1
.26)
te p
rovo
đenj
em in
tegr
acije
dob
iva
se iz
raz
za iz
raču
nava
nje
fakt
ora
oslo
bođe
ne e
nerg
ije [7
4].
Izra
zi z
a iz
raču
nava
nje
fakt
ora
oslo
bođe
ne e
nerg
ije z
a sin
gular
ne e
lemen
te s
u do
sta
kom
plici
rani
, a p
ogot
ovo
se d
odat
no k
ompl
icira
ju z
a slu
čaj
mješ
ovito
g tip
a op
tere
ćenj
a. Z
bog
toga
se iz
razi
poj
edno
stav
ljuju
uzi
man
jem sa
mo
prvi
h dv
aju č
lanov
a iz
raza
(1.2
9). T
ada
se d
obiv
a:
(
)(
)(
)(
){
}I
11'
12'
21'
22'
1 2yi
mm
ll
yjm
ml
lG
Ft
vv
tv
vF
tv
vt
vv
a=
−−
+−
+−
+−
∆,
(1.3
0)
(
)(
)(
)(
){
}II
11'
12'
21'
22'
1 2xi
mm
ll
xjm
ml
lG
Ft
uu
tu
uF
tu
ut
uu
a=
−−
+−
+−
+−
∆,
(1.3
1)
gdje
je:
11
1221
223
16
,
620
,
,
12
2t
tt
tπ
=−
=π
−=
=.
U li
near
no e
lastič
nim
uvj
etim
a ve
za iz
međ
u fa
ktor
a os
lobo
đene
ene
rgije
i fa
ktor
a in
tenz
iteta
nap
reza
nja
je:
2
2I
III
II, '
'K
KG
GE
E=
=.
(1.3
2)
gdje
je:
EE
′ = -
za ra
vnin
sko
stan
je na
prez
anja,
2
1E
E′ =
−ν
- za
ravn
insk
o st
anje
defo
rmac
ije.
1.2.
3 M
ET
OD
A J
-IN
TE
GR
AL
A R
AČ
UN
AN
OG
S E
KV
IVA
LE
NT
NIM
PO
VR
ŠIN
SKIM
IN
TE
GR
AL
OM
J-int
egra
l je
proi
zvol
jni (
ne o
visi
o ob
liku
kriv
ulje)
kriv
uljn
i int
egra
l (sli
ka 1
.7a)
:
d
ik
kij
jku
Jwn
nx
Γ
∂=
−σ
Γ
∂
∫,
1, 2
k=
(1
.33)
gdje
je w
gust
oća
ener
gije
defo
rmac
ije:
0
dij
ijij
wε
=σ
ε∫
. (1
.34)
Kriv
uljn
e in
tegr
ale (
1.33
) je
nesp
retn
o ra
čuna
ti m
etod
om k
onač
nih
elem
enat
a, pa
se
inte
grac
ija d
už k
rivul
je za
mjen
juje
inte
grac
ijom
po
povr
šini.
Taj s
e
alter
nativ
ni p
ristu
p iz
raču
nava
nja
J-int
egra
la na
ziva
met
oda
ekvi
valen
tnog
pov
ršin
skog
inte
grala
[75]
.
xx
xx
11
22
ΓΓ
0
n
1
Γ 0
0
B C
A
ΓΓ+
-
a)
Koo
rdin
atni
sust
av i
kriv
ulja
Γ ok
o vr
ška
puko
tine
b) P
ovrš
ina
A o
međ
ena
kriv
uljam
a Γ 0
i Γ 1
Slik
a 1.
7 K
rivul
je ok
o vr
ška
puko
tine
Izra
z (1
.33)
mod
ificir
a se
mno
ženj
em s
teži
nsko
m fu
nkcij
om q
koj
a im
a vr
ijedn
ost j
edna
ku je
dan
na u
nuta
rnjo
j kon
turi
Γ 0, a
nul
a na
van
jskoj
kon
turi
Γ 1 (s
lika
1.7b
):
0
1
di
kk
ijj
kuJ
wnn
qx
Γ+
Γ
∂=
−σ
Γ
∂
∫.
(1.3
5)
Gor
nji s
e iz
raz
uz p
ogod
ne tr
ansf
orm
acije
mož
e pi
sati:
(
)0
0
linijs
kid
ik
kij
jk
kuJ
wnn
qJ
x+
−Γ
+Γ+
Γ+
Γ
∂=
−−
σΓ
+
∂
∫.
(1.3
6)
U p
reth
odno
m je
izra
zu p
rvi i
zraz
na
desn
oj s
trani
inte
gral
duž
zatv
oren
e ko
ntur
e0
1+
−Γ
+Γ
+Γ
+Γ
, koj
a ne
ukl
juču
je vr
šak
puko
tine,
a dr
ugi i
zraz
s d
esne
stra
ne p
reds
tavl
ja in
tegr
ale n
a ru
bovi
ma
puko
tine
duž
linija
(B0
iC0
).
Inte
gral
duž
zatv
oren
e ko
ntur
e iz
izra
za (1
.36)
prim
jenom
Sto
keso
va te
orem
a m
ože
se tr
ansf
orm
irati
u in
tegr
al iz
nad
povr
šine
A:
(
) A0B0
dd
iji
kij
ijk
kk
jk
kA
A
qu
qw
Jw
Aq
AJ
xx
xx
x+
∂ε
∂
∂∂
∂=
−−
σ−
−σ
+
∂
∂∂
∂∂
∫∫
. (1
.37)
Za
linea
rno
elast
ični m
ater
ijal d
rugi
izra
z na
des
noj s
trani
pre
thod
nog
izra
za je
jedn
ak n
uli.
Tako
đer
J 1 za
line
arno
elas
tični
mat
erija
l je
ekvi
valen
tan
fakt
oru
oslo
bođe
ne e
nerg
ije iz
raču
nato
m p
omoć
u m
etod
e vi
rtualn
og p
rodu
ljenj
a pu
kotin
e [7
7].
Lini
jski i
nteg
rali
()
1B0
C0J
+ k
ada
nisu
opt
ereć
eni r
ubov
i puk
otin
e su
jedn
aki n
uli.
Lini
jski
inte
grali
()
2B0
C0J
+ s
u jed
naki
nul
i, u
sluča
ju k
ada
nem
a
opte
reće
nja
na ru
bovi
ma
puko
tine,
sam
o ka
da je
opt
ereć
enje
tipa
I ili
tipa
II,
u slu
čaju
opt
ereć
enja
mješ
ovito
g tip
a (
)2
B0C0
J+
su
razl
ičiti
od n
ule,
jer u
tom
sluča
ju u
z sin
gular
na n
apre
zanj
a ok
o vr
ška
puko
tine
post
oje
i on
a ne
singu
larna
. Po
stoj
anje
linijs
kog
inte
grala
raz
ličito
g od
nul
e po
ništ
ava
pred
nost
i
trans
form
acije
kriv
uljn
og u
pov
ršin
ski i
nteg
ral.
Raču
nanj
e se
lini
jskih
inte
grala
mož
e iz
bjeć
i pro
vođe
njem
met
ode
deko
mpo
zicij
e [7
5]. O
vim
se
prist
upom
pol
ja po
mak
a i n
apre
zanj
a ra
stav
ljaju
na
simet
rični
(tip
I)
i an
tisim
etrič
ni (
tip I
I) di
o. P
omoć
u ta
ko r
asta
vljen
ih p
omak
a i
napr
ezan
ja m
ogu
se d
obiti
dva
sim
etrič
na i
nteg
rala
J S1,
i J S2
, te
dva
antis
imet
rična
inte
grala
J AS1
i J A
S2. I
nteg
rali
J S2 i
J AS2
su je
dnak
i nul
i (pr
oduk
t sin
gular
nog
i nes
ingu
larno
g na
prez
anja
za
rast
avlje
no si
met
rično
i an
tisim
etrič
no
polje
nap
reza
nja
je jed
nak
nuli
[75]
), pa
je o
nda
za li
near
no e
lastič
ni m
ater
ijal,
te u
z uv
jet d
a ne
ma
opte
reće
nja
na ru
bovi
ma
puko
tine:
(
)(
)I
II
S11
1
di
iij
ij
A
qu
qJ
Jw
uu
Ax
xx
∂∂
∂=
=−
−σ
∂∂
∂
∫
, (1
.38)
(
)(
)II
IIII
AS1
11
di
iij
ij
A
qu
qJ
Jw
uu
Ax
xx
∂∂
∂=
=−
−σ
∂∂
∂
∫
. (1
.39)
Kak
o je
za li
near
no e
lastič
ni m
ater
ijal J
inte
gral
iden
tičan
fakt
oru
oslo
bođe
ne e
nerg
ije, o
nda
se u
z po
moć
izra
za (1
.32)
mog
u do
biti
fakt
ori i
nten
zite
ta
napr
ezan
ja.
Met
odom
kon
ačni
h ele
men
ata
inte
grali
(1.3
8) i
(1.3
9) se
rješ
avaj
u ta
ko d
a se
pro
vodi
inte
grac
ija n
a ele
men
tima
odab
rani
m d
a pr
edst
avlja
ju p
ovrš
inu
A.
Oda
bran
a po
vršin
a je
najče
šće
roze
ta tr
okut
astih
izop
aram
etar
skih
sing
ular
nih
elem
enat
a (s
lika
1.4)
.
1.3
SMJE
R Š
IRE
NJA
PU
KO
TIN
E
Smjer
šire
nja
puko
tine
ovisi
o s
tanj
u na
prez
anja
u bl
izin
i vrš
ka p
ukot
ine.
Razv
ijeno
je n
iz k
riter
ija z
a pr
edvi
đanj
e sm
jera
širen
ja pu
kotin
e u
polju
nap
reza
nja
mješ
ovito
g tip
a (k
ombi
nacij
a tip
a I
i tip
a II
opt
ereć
enja)
[78]
, [79
]. V
ećin
a kr
iterij
a za
pre
dviđ
anje
smjer
a šir
enja
puko
tine
prvo
tno
je ra
zvije
na z
a st
atičk
o
opte
reće
nje.
Kak
o ne
pos
toje
krite
riji r
azvi
jeni p
oseb
no z
a pr
omjen
jivo
opte
reće
nje,
te ia
ko p
osto
je zn
ačajn
e ra
zlik
e u
smjer
ovim
a šir
enja
puko
tine
kod
stat
ičkog
i pr
omjen
jivog
opt
ereć
enja
[80]
, to
se st
atič
ki k
riter
iji k
orist
e za
pre
dviđ
anje
širen
ja pu
kotin
e i k
od p
rom
jenjiv
og o
pter
ećen
ja.
Prob
lem je
pre
dsta
vljen
slik
om 1
.8, o
dnos
no p
ločo
m s
puko
tinom
nag
nuto
m p
od k
utom
β u
odn
osu
na sm
jer n
omin
alnog
nap
reza
nja
σ.
2a
βθ
∆a
x
y
σ
σ
λσ
λσ
Slik
a 1.
8 P
robl
em p
ukot
ine
pod
kuto
m β
u o
dnos
u na
smje
r nom
inaln
og n
apre
zanj
a
Najč
ešće
kor
išten
i kr
iterij
i su
: krit
erij
mak
simaln
og c
irkul
arno
g na
prez
anja,
krit
erij
min
imum
a gu
stoć
e en
ergi
je de
form
iranj
a i
krite
rij m
aksim
uma
fakt
ora
oslo
bođe
ne e
nerg
ije.
1.3.
1 K
RIT
ER
IJ M
AK
SIM
AL
NO
G C
IRK
UL
AR
NO
G N
AP
RE
ZA
NJA
(M
CN
-KR
ITE
RIJ
)
Jeda
n od
prv
ih p
okuš
aja p
redv
iđan
ja sm
jera
širen
ja pu
kotin
e u
sluča
ju k
ombi
nira
nog
opte
reće
nja
tipov
ima
I i I
I bi
o je
onaj
Erd
ogan
a i S
iha
[81]
. Oni
su
istra
živa
li šir
enje
puko
tine
u pl
oči
iz k
rhko
g m
ater
ijala,
te
su p
redl
ožili
krit
erij
po k
ojem
je
prav
ac š
irenj
a pu
kotin
e ok
omit
na
prav
ac m
aksim
alnog
cirku
larno
g na
prez
anja.
Mat
emat
ički s
e ov
aj kr
iterij
mož
e pi
sati:
2
20,
0
θθ
∂σ∂
σ=
<∂θ
∂θ.
(1.4
0)
Prim
jenom
MCN
krit
erija
na
izra
z (1
.9) d
obiv
a se
:
2
11
tan
tan
02
22
2I IIK K
θθ
−−
=,
(1.4
1)
3
23
33
17
cos
cos
sinsin
sinco
s0
22
22
22
22
2II I
K K
θ
θθ
θθ
θ
−
−+
−<
. (1
.42)
Rješ
avan
jem iz
raza
izr
ačun
ava
se k
ut ši
renj
a pu
kotin
e:
2
12a
rcta
n8
44
µ
θ=
±µ
+
(1
.43)
gdje
je I
IIK
Kµ
=om
jer fa
ktor
a in
tenz
iteta
nap
reza
nja.
1.3.
2 K
RIT
ER
IJ M
INIM
UM
A G
UST
OĆ
E E
NE
RG
IJE
DE
FO
RM
IRA
NJA
(S-
KR
ITE
RIJ
)
Prem
a kr
iterij
u m
inim
uma
gust
oće
ener
gije
defo
rmira
nja
[82]
, pra
vac
širen
ja pu
kotin
e pr
olaz
i kro
z to
čku
na k
ružn
ici k
oja
je op
isana
oko
vrš
ka p
ukot
ine,
a u
kojo
j je
ener
gija
defo
rmira
nja
min
imaln
a.
Mat
emat
ički s
e ov
aj kr
iterij
mož
e pi
sati:
2
20,
0
SS
∂∂
=>
∂θ∂θ
(1
.44)
gdje
je: S
fakt
or g
usto
će e
nerg
ije d
efor
mira
nja,
defin
iran
izra
zom
:
0
d dWS
rV
=
gdje
je d
dW
Vfu
nkcij
a gu
stoć
e en
ergi
je de
form
iranj
a po
jedi
nici
volu
men
a, a
r 0 ud
aljen
ost
od v
rška
puk
otin
e. K
orišt
enjem
se
izra
za k
oji o
pisu
ju p
olje
napr
ezan
ja (1
.6) d
o (1
.8) m
ože
dobi
ti fu
nkcij
a gu
stoć
e en
ergi
je d
efor
mira
nja
po je
dini
ci vo
lum
ena,
čijim
se
uvrš
tava
njem
u p
reth
odni
izra
z do
biva
fak
tor
gust
oće
ener
gije
defo
rmira
nja:
2
211
I12
III
22II
2S
aK
aK
Ka
K=
++
(1
.45)
gdje
su fa
ktor
i aij f
unkc
ije k
uta
θ:
()(
)
()
()(
)(
)()
11 12 13
11
cos
cos
,16
1sin
2cos
1 ,
161
11
cos
1co
s3c
os1
.16
aG
aG
aG
=+
θκ
−θ
π
=θ
θ−
κ−
π
=κ
+−
θ+
+θ
θ−
π
(1
.46)
Prim
jenom
S k
riter
ija n
a iz
raz
(1.4
5) d
obiv
a se
:
(
)(
)
()
()
42
23
2
22
21
tan
21
210
tan
24ta
n2
22
21
614
tan
23
0,2
θθ
θ
µ
+κ
+κ
−µ
−µ
+−
µ+
θ
+
κ−
µ+
µ−
+−
κµ
=
(1
.47)
(
)(
) ()
()
22
21
sin8
sin2
11
cos
23
cos2
0µ
κ−
θ−
µθ
+κ
−−
µθ
+µ
−θ
>.
(1.4
8)
1.3.
3 K
RIT
ER
IJ M
AK
SIM
UM
A F
AK
TO
RA
OSL
OB
OĐ
EN
E E
NE
RG
IJE
(G
-KR
ITE
RIJ
)
Ana
lizom
utje
caja
malo
g vi
rtualn
og p
rodu
ljenj
a pu
kotin
e [8
3] p
redl
ožen
je k
riter
ij pr
ema
kojem
u je
prav
ac š
irenj
a pu
kotin
e u
smjer
u m
aksim
uma
fakt
ora
oslo
bođe
ne e
nerg
ije.
Mat
emat
ički s
e ov
aj kr
iterij
mož
e pi
sati:
2
20,
0
GG
∂∂
=<
∂θ∂θ
. (1
.49)
Irw
in [8
4] je
def
inira
o fa
ktor
oslo
bođe
ne e
nerg
ije k
ao m
jeru
ener
gije
dost
upne
za
prod
uljen
je pu
kotin
e. Z
a lin
earn
o ela
stičn
e m
ater
ijale
u m
ješov
itom
pol
ju
napr
ezan
ja, u
kolik
o je
prod
uljen
je pu
kotin
e u
ravn
ini o
rigin
alne
puko
tine,
ovisn
ost
fakt
ora
oslo
bođe
ne e
nerg
ije i
fakt
ora
inte
nzite
ta n
apre
zanj
a se
mož
e
opisa
ti iz
razo
m:
2
2I
III
IIK
KG
GG
EE
=+
=+ ′
′.
(1.5
0)
U s
tvar
nost
i se
ravn
ina
prod
uljen
ja pu
kotin
e u
mješ
ovito
m p
olju
nap
reza
nja
neće
pod
udar
ati s
rav
nino
m o
rigin
alne
puko
tine,
te je
sam
im ti
m iz
raz
(1.5
0)
pogr
ešan
. Međ
utim
, uko
liko
se fa
ktor
i int
enzi
teta
nap
reza
nja
u iz
razu
(1.5
0) sh
vate
kao
fakt
ori i
nten
zite
ta n
apre
zanj
a in
finite
zim
alno,
pod
kut
om θ
(slik
a 1.
8)
prod
uljen
e pu
kotin
e, ta
da iz
raz
(1.5
0) v
rijed
i i g
lasi:
(
)(
)2
2*
*I
IIK
KG
EE
=+
′′
, (1
.51)
gdje
su
* IK
i * II
K lo
kaln
i fak
tor i
nten
zite
ta n
apre
zanj
a u
vršk
u in
finite
zim
alno
prod
uljen
e pu
kotin
e, ko
ji se
razl
ikuj
u od
nom
inaln
ih K
I i K
II. P
rem
a [8
5]* I
K i
* IIK
se m
ogu
raču
nati
iz iz
raza
:
*
2I
0lim
2co
sco
s3
sin2
22
III
rK
rK
Kθ
→
θθ
θ
=
σπ
=−
,
(1
.52)
*
2II
II0
lim2
cos
sinco
s1
3sin
22
22
rI
rK
rK
Kθ
→
θθ
θθ
=τ
π=
+−
.
(1
.53)
Fakt
or in
tenz
iteta
nap
reza
nja
za in
finite
zim
alno
prod
uljen
u pu
kotin
u im
a m
aksim
alnu
vrije
dnos
t kad
a je
:
*
**
*I
III
II0
KK
KK
∂∂
+=
∂θ∂θ
. (1
.54)
Kak
o je:
*
22
*I
III
33
3co
ssin
cos
13s
in2
22
22
22
KK
K∂
θθ
θθ
=−
−−
≡−
∂θ
.
(1.5
5)
Proi
zlaz
i da
će iz
raz
(1.5
4) b
iti z
adov
oljen
kad
a je
* II0
K=
(odn
osno
* Id
0dK
=θ
). Po
što
je:
* I
Kθ
∂∂σ
≡∂θ
∂θ
proi
zlaz
i da
je
krite
rij m
aksim
uma
fakt
ora
oslo
bođe
ne e
nerg
ije,
ukol
iko
se l
okaln
i fa
ktor
i ra
čuna
ju p
rem
a iz
razi
ma
(1.5
2) i
(1.
53)
iden
tičan
krit
eriju
mak
simaln
og c
irkul
arno
g na
prez
anja.
Ova
kav
prist
up p
rihva
ćen
je i
u [6
9] i
u [8
6].
Prem
a [8
3] i
[87]
* I
Ki
* IIK
se ra
čuna
ju iz
izra
za:
2
* II
II2
43
cos
sin3
cos
2K
KK
θ ππ
−θ
=θ
+θ
+θ
π+
θ
,
(1.5
6)
2
* IIII
I2
41
cos
sin3
cos
2K
KK
θ ππ
−θ
=θ
−θ
+θ
π+
θ
.
(1.5
7)
Uvr
štav
anjem
pre
thod
nih
izra
za u
(1.5
1) i
prim
jenom
G-k
riter
ija (1
.49)
mož
e se
tako
đer i
zrač
unat
i kut
pod
koj
im ć
e do
ći do
pro
dulje
nja
puko
tine.
Kao
toč
niji
post
upak
izra
čuna
vanj
a lo
kaln
ih f
akto
ra in
tenz
iteta
nap
reza
nja
prem
a [8
8] m
ože
se u
svoj
iti p
ostu
pak
dan
u [8
3], d
ok p
rem
a [8
9] o
ba
post
upka
imaju
zad
ovol
javaju
ću to
čnos
t.
Uz
ova
dva
post
upka
izra
čuna
vanj
a lo
kaln
ih fa
ktor
a in
tenz
iteta
nap
reza
nja
post
oje
i još
nek
i, pr
vens
tven
o nu
mer
ički p
ostu
pci p
rem
a ko
jima
se lo
kaln
i
fakt
ori r
ačun
aju ra
zliči
tim p
olin
omni
m a
prok
simac
ijam
a [8
8].
1.4
BR
ZIN
A Š
IRE
NJA
PU
KO
TIN
E
Kak
o je
rani
je ka
zano
, uko
liko
je pl
astič
na z
ona
ispre
d vr
ška
puko
tine
relat
ivno
mala
u o
dnos
u na
dul
jinu
puko
tine,
stan
je ok
o vr
ška
puko
tine
mož
e se
opisa
ti sa
mo
s jed
nim
par
amet
rom
- f
akto
rom
inte
nzite
ta n
apre
zanj
a. Pr
imjen
a m
ehan
ike
lom
a u
izra
čuna
vanj
u br
zine
šire
nja
puko
tine
zasn
ovan
a je
na
prin
cipu
sličn
osti.
Pre
ma
prin
cipu
sličn
osti
dvije
puk
otin
e op
tere
ćene
pro
mjen
jivim
opt
ereć
enjem
, s
ciklu
som
jed
nako
g ko
nsta
ntno
g ra
spon
a fa
ktor
a
inte
nzite
ta n
apre
zanj
a, im
aju je
dnak
o po
lje n
apre
zanj
a i d
efor
mac
ije o
ko v
rška
puk
otin
e, a
iz t
oga
proi
zlaz
i da
će i
brzi
na š
irenj
a tih
dvi
ju p
ukot
ina
biti
jedna
ka. D
akle,
por
ast d
uljin
e pu
kotin
e po
cik
lusu
je fu
nkcij
a ra
spon
a fa
ktor
a in
tenz
iteta
nap
reza
nja
(
),
daf
KR
dN=
∆
(1.5
8)
gdje
jem
axm
inK
KK
∆=
−, a
min
max
RK
K=
.
Na
slici
1.9
dan
je sh
emat
ski l
og-lo
g di
jagra
m o
visn
osti
pora
sta
dulji
ne p
ukot
ine
po c
iklu
su o
ras
ponu
fak
tora
inte
nzite
ta n
apre
zanj
a. D
ijagr
am p
rikaz
uje
tipičn
u kr
ivul
ju ra
sta
puko
tine
u m
etali
ma.
Podr
uje
Ič
Podr
uje
II
č
Podr
uje
II
Ič
d da N
∆Kth
∆K c
, log
∆K,
log
S
lika
1.9
Tip
ična
kriv
ulja
rast
a pu
kotin
e u
met
alim
a
Uoč
ljivo
je d
a je
širen
je pu
kotin
e na
poč
etku
ubr
zano
(pod
ručje
I),
zatim
pre
lazi u
fazu
sta
biln
og ra
sta
(pod
ručje
II),
da
bi k
onač
no p
rešlo
u fa
zu k
ritičn
og
širen
ja pu
kotin
e (p
odru
čje II
I).
U p
odru
čju I
brzi
na ši
renj
a pu
kotin
e te
ži n
uli k
ako
se ra
spon
fakt
ora
inte
nzite
ta n
apre
zanj
a pr
ibliž
ava
prag
u šir
enja
puko
tine:
th
th,m
axth
,min
thK
KK
aY
∆=
−=
∆σπ
(1
.59)
gdje
je a th
dul
jina
zače
te p
ukot
ine.
Smat
ralo
se
da je
pra
g šir
enja
puko
tine
kons
tant
a m
ater
ijala,
ali
su is
traži
vanj
a po
kaza
la da
ovi
si i o
koe
ficije
ntu
asim
etrij
e
ciklu
sa, p
reop
tere
ćenj
u, te
mpe
ratu
ri i u
vjet
ima
okol
ine
[90]
. Bro
j par
amet
ara
koji
utječ
u na
pra
g šir
enja
puko
tine
mož
e se
sm
anjit
i def
inira
njem
efe
ktiv
nog
prag
a šir
enja
puko
tine:
th
,eff
th,m
axcl
KK
K∆
=−
(1
.60)
gdje
je K c
l fakt
or in
tenz
iteta
nap
reza
nja
pri k
ojem
dol
azi d
o za
tvar
anja
puko
tine
(pog
lavlje
1.5
).
U p
odru
čju II
puk
otin
a ra
ste
linea
rno
u lo
g-lo
g di
jagra
mu,
pa
se m
ože
opisa
ti jed
nadž
bom
:
d d
ma
CK
N=
∆
(1.6
1)
gdje
su C
i m
kons
tant
e m
ater
ijala
koje
se o
dređ
uju
eksp
erim
enta
lno.
Ova
zak
onito
st p
ozna
ta je
kao
Par
isov
zako
n. U
spor
edbo
m p
reth
odni
h dv
aju iz
raza
(1.5
8) i
(1.6
1) u
očav
a se
da
prem
a Pa
risov
u za
konu
brz
ina
širen
ja pu
kotin
e ne
ovi
si o
koef
icijen
tu a
simet
rije
ciklu
sa R
.
U p
odru
čju II
I puk
otin
a ub
rzan
o ra
ste
kako
se ra
spon
fakt
ora
inte
nzite
ta n
apre
zanj
a pr
ibliž
ava
∆Kc:
C
ICC
,min
CK
KK
aY
∆=
−=
∆σπ
(1
.62)
gdje
je a C
krit
ična
dulji
na p
ukot
ine,
a K I
C lom
na ž
ilavo
st.
Kak
o Pa
risov
zak
on v
rijed
i sam
o u
podr
učju
II p
okuš
avalo
se p
rona
ći jed
nadž
be k
oje
bi o
pisiv
ale ra
st p
ukot
ine
i u d
rugi
m p
odru
čjim
a ra
sta.
Jedn
a od
takv
ih je
For
man
ova
jedna
džba
koj
a op
isuje
rast
puk
otin
e u
podr
učjim
a II
i II
I:
(
)IC
d d1
ma
CK
NR
KK
∆=
−−
∆.
(1.6
3)
Kles
nil i
Luc
as m
odifi
cirali
su P
ariso
v za
kon
uzim
ajući
u ob
zir p
rag
širen
ja pu
kotin
e, te
tako
dob
ili je
dnad
žbu
rast
a pu
kotin
e ko
ja vr
ijedi
u p
odru
čjim
a
I i II
:
(
)th
d dm
ma
CK
KN
=∆
−∆
. (1
.64)
McE
vily
je ra
zvio
izra
z ko
ji vr
ijedi
za
čitav
u kr
ivul
ju ra
sta
puko
tine,
i koj
i je
za ra
zlik
u od
pre
thod
nih
jedna
džbi
, koj
e su
dob
iven
e em
pirij
ski,
zasn
ovan
na je
dnos
tavn
om fi
zika
lnom
mod
elu.:
(
)2th
ICm
ax
d1
da
KC
KK
NK
K
∆
=∆
−∆
+
−
.
(1
.65)
Iz s
vih
ovih
jedn
adžb
i (1.
61),
(1.6
3), (
1.64
) i (1
.65)
inte
grira
njem
mož
e se
dob
iti v
rijem
e po
trebn
o za
ras
t puk
otin
e od
nek
e pr
oizv
oljn
e do
krit
ične
dulji
ne. T
akođ
er sv
i nav
eden
i izr
azi v
rijed
e u
sluča
ju o
pter
ećen
ja tip
a I.
Ispi
tivan
jem o
pter
ećen
jem m
ješov
itog
tipa
(tip
I i t
ip I
I) [9
0] u
očen
o je
da i
mali
ras
pon
fakt
ora
inte
nzite
ta n
apre
zanj
a tip
a II
zna
čajn
o po
veća
va
brzi
nu š
irenj
a pu
kotin
e. Z
bog
toga
su
razv
ijeni
mod
eli k
oji u
zim
aju u
obz
ir i d
oprin
os o
pter
ećen
ja tip
a II
, najč
ešće
kor
išten
jem
ek
viva
lentn
og f
akto
ra
inte
nzite
ta n
apre
zanj
a u
Paris
ovoj
jedn
adžb
i (1.
61):
(
)eq
d dm
aC
KN
=∆
. (1
.66)
Ideja
kor
išten
ja ek
viva
lentn
og f
akto
ra in
tenz
iteta
nap
reza
nja
je p
oseb
no p
rivlač
na je
r je
većin
a po
data
ka o
mat
erija
lima
podv
rgnu
tih p
rom
jenjiv
om
opte
reće
nju
dobi
vena
ispi
tivan
jima
opte
reće
njim
a ko
nsta
ntne
am
plitu
de ti
pa I,
te b
i bilo
od
velik
e va
žnos
ti ka
d bi
se ti
pod
aci m
ogli
koris
titi u
kon
stru
iranj
u
s obz
irom
na
zam
or i
u slu
čaju
opt
ereć
enja
mješ
ovito
g tip
a.
Za
odre
điva
nje
ekvi
valen
tnog
fakt
ora
inte
nzite
ta n
apre
zanj
a m
ože
se k
orist
iti k
riter
ij m
aksim
alnog
cirk
ular
nog
napr
ezan
ja, te
je u
tom
sluč
aju iz
izra
za
(1.9
), od
nosn
o iz
raza
(1.5
2) [9
1]:
2
00
0eq
III
cos
cos
3sin
22
2K
KK
θθ
θ
∆
=∆
−∆
(1.6
7)
gdje
je θ 0
smjer
šire
nja
puko
tine
dobi
ven
iz M
CN-k
riter
ija (1
.43)
.
Tana
ka [
92]
je ra
zvio
mod
el za
snov
an n
a pr
etpo
stav
ci da
plas
tične
def
orm
acije
zbo
g pr
omjen
jivog
vlač
nog
napr
ezan
ja ne
utje
ču n
a pl
astič
ne
defo
rmac
ije z
bog
prom
jenjiv
og sm
ičnog
nap
reza
nja
i obr
nuto
, te
da je
rezu
ltira
juće
pol
je po
mak
a zb
roj p
omak
a us
lijed
oba
ju ti
pova
opt
ereć
enja:
4
44
eqI
II8
KK
K∆
=∆
+∆
. (1
.68)
Mješ
oviti
tip
opte
reće
nja
se o
sim e
kviv
alent
nim
fakt
orom
inte
nzite
ta n
apre
zanj
a m
ože
uzet
i u o
bzir
i pom
oću
fakt
ora
gust
oće
ener
gije
defo
rmira
nja,
pa se
u to
m sl
učaju
mod
ificir
a Pa
risov
a jed
nadž
ba i
glas
i [93
]:
(
)d d
na
CS
N=
∆
(1.6
9)
gdje
je:
()
() (
)(
)11
0I
I12
0I
IIII
I22
0II
II2
Sa
KK
aK
KK
Ka
KK
∆=
θ∆
+θ
∆+
∆+
θ∆
(1.7
0)
gdje
je θ 0
smjer
šire
nja
puko
tine
dobi
ven
prim
jenom
S-k
riter
ija (1
.47)
, fak
tori
a 11,
a 12,
a 22 s
u do
bive
ni u
vršt
enjem
kut
a θ 0
u iz
raze
(1.4
6), ∆
K I i
∆KII su
rasp
oni
FIN
-a, a
I
K i
IIK
su sr
ednj
e vr
ijedn
osti
FIN
-a.
U [
94]
je pr
oved
ena
uspo
redb
a ek
sper
imen
taln
o do
bive
nih
vjek
ova
trajan
ja s
vjek
ovim
a tra
janja
do p
ojav
e kr
itičn
e pu
kotin
e do
bive
nih
ekvi
valen
tnim
fakt
orom
int
enzi
teta
nap
reza
nja
(1.6
7) i
fak
toro
m g
usto
će e
nerg
ije d
efor
mira
nja
(1.7
0).
Ust
anov
ljeno
je
da i
zraz
(1.
67)
daje
najb
olje
podu
dara
nje
s
eksp
erim
enta
lnim
pod
acim
a za
sluč
ajeve
mješ
ovito
g tip
a op
tere
ćenj
a s d
omin
antn
im o
pter
ećen
jem ti
pa I.
Osim
ovi
h po
stoj
i i n
iz d
rugi
h fa
ktor
a čij
i se
rezi
me
mož
e pr
onać
i u [
78],
a u
novi
je vr
ijem
e ra
zvije
n je
i fa
ktor
aku
mul
irane
ene
rgije
elas
tične
defo
rmac
ije [9
5].
1.5
ZA
TV
AR
AN
JE-O
TV
AR
AN
JE P
UK
OT
INE
Kon
takt
izm
eđu
povr
šina
puko
tine
za v
rijem
e dj
elova
nja
vrem
ensk
i pro
mjen
jivog
opt
ereć
enja
nazi
va se
zat
vara
nje
puko
tine.
Feno
men
zat
vara
nja
puko
tine
opće
je
prih
vaće
n m
ehan
izam
koj
i pre
sudn
o ut
ječe
na n
iz z
nača
jki k
oje
odre
đuju
pon
ašan
je pu
kotin
a, ka
o št
o su
,
koef
icijen
t asim
etrij
e cik
lusa
opt
ereć
enja,
vre
men
ski p
rom
jenjiv
o op
tere
ćenj
e pr
omjen
jive
ampl
itude
, fen
omen
kra
tkih
puk
otin
a, m
ikro
stru
ktur
a, ok
oliš
i pra
g
širen
ja pu
kotin
e [9
6].
Tri n
ajzna
čajn
ija m
ehan
izm
a za
tvar
anja
puko
tine
prik
azan
a su
na
slici
1.10
[97]
.
Zat
vara
nje
puko
tine
uslij
ed p
lastič
nost
i (e
n. p
lastic
ity i
nduc
ed c
rack
clo
sure
) na
staje
usli
jed z
aost
alih
plas
tični
h de
form
acija
u m
ater
ijalu
iza
prop
agira
juće
puk
otin
e (s
lika
1.10
a). O
vu je
čin
jenicu
prv
i uoč
io 1
968.
god
ine
Elb
er [9
8] i
od t
ada
je ov
aj fe
nom
en p
redm
et m
nogo
broj
nih
istra
živa
nja,
kojim
a je
pred
lože
no n
iz a
nalit
ičkih
i nu
mer
ičkih
rješ
enja.
Teo
rets
kim
mod
elom
zat
vara
nja
puko
tine
uslij
ed p
lastič
nost
i Bud
iansk
yja i
Hut
chin
sona
[99
]
dobi
vene
su
funk
ciona
lne
ovisn
osti
zaos
talih
plas
tični
h de
form
acija
i CT
OD
(en.
cra
ck ti
p op
enin
g di
splac
emen
t) o
opte
reće
nju.
Kak
o se
ovi
m p
ristu
pom
nije
mog
ao o
pisa
ti ut
jecaj
povi
jesti
napr
ezan
ja in
tenz
ivno
su
se z
apoč
eli r
azvi
jati n
umer
ički m
odeli
u k
ojim
a se
pod
ručje
zao
stale
plas
tično
sti p
rikaz
uje
tank
im sl
ojev
ima
idea
lno
plas
tično
g m
ater
ijala
(en.
strip
yiel
d m
odel)
[100
], [1
01].
U n
ajnov
ije se
vrij
eme
do rj
ešen
ja pr
oblem
a za
tvar
anja
puko
tine
poku
šava
doći
met
odom
kon
ačni
h ele
men
ata
[102
].
Zat
vara
nje
puko
tine
uslij
ed h
rapa
vost
i i z
atva
ranj
e pu
kotin
e us
lijed
kor
ozije
su
meh
aniz
mi k
oji s
u do
min
antn
i u p
odru
čju u
z pr
ag š
irenj
a pu
kotin
e te
im u
tjeca
j slab
i s ra
stom
fakt
ora
inte
nzite
ta n
apre
zanj
a, od
nosn
o po
veća
vanj
em p
lastič
ne z
one
oko
vršk
a pu
kotin
e.
Zat
vara
nje
puko
tine
uslij
ed h
rapa
vost
i uzr
okov
ano
je m
ikro
struk
turo
m m
ater
ijala.
Naim
e, i k
od p
ukot
ina
koje
glob
alno
gled
ajući
ras
tu d
jelov
anjem
opte
reće
nja
tipa
I, he
tero
geno
sti n
a m
ikro
stru
ktur
alnom
niv
ou m
ogu
uzro
kova
ti m
ješov
ito s
tanj
e na
prez
anja
oko
vršk
a pu
kotin
e. N
a sli
ci 1.
10b
prik
azan
je
odm
ak v
rška
puk
otin
e od
rav
nine
sim
etrij
e, te
usli
jed t
oga
dola
zi d
o ut
jecaja
opt
ereć
enja
tipa
II i
pom
icanj
a po
vršin
a pu
kotin
e ko
je uz
roku
je nj
eno
zatv
aran
je. K
od m
ater
ijala
krup
no z
rnat
e st
rukt
ure
izra
ženi
ja je
poj
ava
zatv
aran
ja pu
kotin
e us
lijed
hra
pavo
sti.
Zat
vara
nje
puko
tine
uslij
ed k
oroz
ije p
oseb
no j
e iz
raže
no u
agr
esiv
nom
oko
lišu,
a n
asta
je ka
d če
stice
oks
ida
osta
nu u
klin
jene
izm
eđu
povr
šina
puko
tine
(slik
a 1.
10c)
.
zaos
tala
plas
tina
defo
rmac
ijač
a)
za
tvar
anje
puko
tine
b)
za
tvar
anje
puko
tine
c)
zatv
aran
je pu
kotin
e
us
lijed
plas
tično
sti
uslij
ed h
rapa
vost
i
us
lijed
kor
ozija
Slik
a 1.
10 D
omin
antn
i meh
aniz
mi z
atva
ranj
a pu
kotin
e [9
7]
Zat
vara
nje
puko
tine,
ma
koji
joj b
io u
zrok
, utje
če n
a ra
spon
fakt
ora
inte
nzite
ta n
apre
zanj
a ok
o vr
ška
puko
tine,
te sa
mim
tim
i na
šire
nje
puko
tine.
Dio
ciklu
sa o
pter
ećen
ja ko
ji uz
roku
je oš
teće
nje
sman
juje
se sa
zat
vara
njem
puk
otin
e, a
to sm
anjen
je se
uzi
ma
u ob
zir e
fekt
ivni
m fa
ktor
om in
tenz
iteta
nap
reza
nja
1.5.
1 E
FE
KT
IVN
I F
AK
TO
R I
NT
EN
ZIT
ET
A N
AP
RE
ZA
NJA
Efe
ktiv
ni je
fakt
or in
tenz
iteta
nap
reza
nja
onaj
dio
ciklu
sa o
pter
ećen
ja za
koj
i je
puko
tina
potp
uno
otvo
rena
, a o
dređ
uje
se iz
izra
za:
ef
fm
axcl
min
cl
eff
max
min
min
cl
za
K ,
za
K ,
KK
KK
KK
KK
∆=
−≤
∆=
−>
(1
.71)
gdje
je K c
l mak
simaln
i fak
tor
inte
nzite
ta n
apre
zanj
a pr
i koj
em s
u po
vršin
e pu
kotin
e sp
ojen
e, i o
staju
spo
jene
za v
rijem
e fa
ze r
aste
reće
nja.
Pone
kad
se F
IN
zatv
aran
ja (K
cl) u
izra
zu (1
.71)
zam
jenju
je s
FIN
otv
aran
ja (K
op) d
efin
irani
m k
ao m
inim
alni f
akto
r int
enzi
teta
nap
reza
nja
pri k
ojem
je p
ukot
ina
u po
tpun
osti
otvo
rena
, i o
staje
otv
oren
a za
vrij
eme
faze
opt
ereć
enja.
Kcl i
K op s
u ob
ično
istog
reda
veli
čine,
ali n
isu n
užno
i jed
naki
kao
što
su p
rikaz
ani n
a sli
ci 1.
11.
Uz
efek
tivni
fakt
or in
tenz
iteta
nap
reza
nja
čest
o se
zat
vara
nje
puko
tine
opisu
je i p
aram
etro
m k
oji s
e na
ziva
om
jer z
atva
ranj
a:
ef
fm
axcl
max
min
KK
KU
KK
K∆
−=
=∆
−.
(1.7
2)
Ova
j om
jer te
ži je
dini
ci za
puk
otin
e ko
d ko
jih n
ema
zatv
aran
ja, o
dnos
no te
ži n
uli u
kolik
o je
puko
tina
zatv
oren
a du
ž cje
loku
pnog
cik
lusa
opt
ereć
enja.
∆K∆K
eff
KK
min
max
KopK
cl
vrije
me
Slik
a 1.
11 D
efin
icija
efek
tivno
g fa
ktor
a in
tenz
iteta
nap
reza
nja
Kak
o se
puk
otin
a ne
mož
e šir
iti d
ok je
zat
vore
na, e
fekt
ivni
m fa
ktor
om in
tenz
iteta
nap
reza
nja
se m
odifi
cira
Paris
ova
jedna
džba
(1.6
1):
(
)ef
fd d
ma
CK
N=
∆.
(1.7
3)
Upo
trebo
m o
vako
def
inira
nog
efek
tivno
g fa
ktor
a in
tenz
iteta
nap
reza
nja
eksp
erim
enta
lni
poda
ci ra
sta
puko
tine
za r
azlič
ite k
oefic
ijent
e as
imet
rije
ciklu
sa o
pter
ećen
ja se
stap
aju u
jedn
u kr
ivul
ju.
Najn
ovija
istra
živa
nja
[24]
uvo
de n
ovi k
once
pt d
jelom
ičnog
zat
vara
nja
puko
tine
(en.
par
tial c
rack
clo
sure
) kod
koj
eg z
nača
jan u
tjeca
j na
ošte
ćenj
e us
lijed
zam
ora
ima
i opt
ereć
enje
za
koje
je fa
ktor
inte
nzite
ta n
apre
zanj
a isp
od F
IN-a
otv
aran
ja. Z
atva
ranj
e pu
kotin
e, od
nosn
o ko
ntak
t nj
enih
pov
ršin
a sa
mo
djelo
mičn
o za
štiću
je vr
šak
puko
tine
od u
tjeca
ja cik
ličko
g op
tere
ćenj
a, jer
do
zatv
aran
ja ne
dol
azi u
vrš
ku p
ukot
ine,
nego
na
malo
j uda
ljeno
sti d
iz
a vr
ška
puko
tine.
Ova
poj
ava
je po
goto
vo iz
raže
na u
bliz
ini p
raga
šire
nja
puko
tine,
odno
sno
u po
druč
ju g
dje
dom
inan
tnu
ulog
u im
aju z
atva
ranj
e pu
kotin
e us
lijed
hrap
avos
ti i k
oroz
ije [1
03]
U [
24]
djelo
mičn
o za
tvar
anje
puko
tine
je m
odeli
rano
kru
tim k
linom
deb
ljine
2t u
met
nutim
u p
ukot
inu
na u
dalje
nost
i d o
d vr
ška
puko
tine
(slik
a 1.
12a)
.
Djel
omičn
o za
tvar
anje
zapo
činje
kada
pov
ršin
e pu
kotin
e do
takn
u kl
in (z
a K c
l), a
daljn
je sm
anjen
je op
tere
ćenj
a za
šilju
je vr
šak
puko
tine.
Prom
jena
geom
etrij
e
vršk
a pu
kotin
e uz
roku
je po
rast
def
orm
acije
ispr
ed v
rška
puk
otin
e.
2t
d
prof
il pu
kotin
eza
= K
Kw
2h
d
prof
il pu
kotin
eza
= K
K op
prof
il pu
kotin
eza
= K
Km
in
a)
puk
otin
a ot
vore
na k
rutim
klin
om
b) p
ukot
ina
pod
djelo
vanj
em v
anjsk
og o
pter
ećen
ja
be
z dj
elov
anja
doda
tnog
opt
ereć
enja
Slik
a 1.
12 S
hem
atsk
i prik
az k
once
pta
djel
omič
nog
zatv
aran
ja pu
kotin
e
Fakt
or in
tenz
iteta
nap
reza
nja
zbog
um
etan
ja kl
ina,
a be
z dj
elova
nja
doda
tnog
opt
ereć
enja
je:
kl
in2E
tK
d=
π.
(1.7
4)
S dr
uge
stra
ne F
IN z
atva
ranj
a se
dob
iva
iz iz
raza
(1.2
2) z
a ,
vh
rd
==
i ra
vnin
sko
stan
je na
prez
anja:
I
22
Eh
Kdπ
=.
(1.7
5)
Kad
a je
ht
=do
lazi d
o ko
ntak
ta p
ovrš
ine
puko
tine
i klin
a, od
nosn
o do
djel
omičn
og z
atva
ranj
a pu
kotin
e. To
zna
či da
jeI
clK
K=
, kad
a je
ht
=, i
iz je
dnad
žbi
(1.7
4) i
(1.7
5) p
roiz
lazi:
kl
in cl
2K K
=π
. (1
.76)
Na
slici
1.12
b pr
ikaz
ana
je pr
omjen
a ge
omet
rije
vršk
a pu
kotin
e za
vrij