Embed Size (px)
Citation preview
Chương 3 HỆ PHƯƠNG TÌNH TUYẾN TÍNH
3.1 Dạng tổng quát của một hệ phương tình tuyến tínhXét hệ phương trình đại số bậc nhất gồm m phương trình, n ẩn:
trong đó x1, x2, x3, …, xn là các ẩn số, aij là hệ số ở phương trình thứ i của ẩn xj
bi là vế phải của phương trình thứ i. Khi m = n ta có một hệ vuông với n phương trình, n ẩn. Khi bi = 0 i ta có một hệ thuần nhất.
3.2 Dạng ma trận của hệ phương tình tuyến tính
; ;
Hệ (1) viết dưới dạng Ax = b.3.3 Hệ Crame Ta xét hệ n phương trình n ẩn
với ; ;
hay Ax = b
Định nghĩa 4.3 Hệ (2) được gọi là hệ phương trình Crame nếu det(A) 0.
Định lí 3.4.1 (định lí Cramer) Hệ Crame có nghiệm duy nhất tính bằng công thức
tức là
A: là ma trận hệ số của hệ phương trình (2) Aj: là ma trận suy từ A bằng cách thay cột thứ j bởi cột vế phải b Thí dụ 3.4.1: Giải hệ:
Ta có:
;
1
; ;
;
;
Ta suy ra nghiệm của hệ đã cho là:
Thí dụ 3.4.2: Giải và biện luận theo tham số λ hệ
Ta có:
♦ Khi λ 1, λ 3: Hệ đã cho là hệ Cramer nên có nghiệm duy nhất. Ngoài ra vai trò
của các ẩn trong hệ đều như nhau, do đó nghiệm của hệ:
♦ Khi λ = 1, hệ phương trình đã cho tương đương với phương trình x1 + x2 + x3 + x4 = 1
Hệ phương trình có vô số nghiệm x1 = 1 - x2 - x3 - x4 với x2, x3, x4 tuỳ ý. ♦ Khi λ = -3 hệ vô nghiệm.3.4 Phương pháp ma trận nghịch đảoĐịnh lí 3.4.1 Hệ Cramer
với các ma trận tương ứng
2
có nghiệm x = A-1B.3.5 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phép biến đổi sơ cấp
Xét hệ phương trình tuyến tính ở dạng (2) 3.5.1 Hệ tam giác trên
Hệ tam giác trên là hệ
Giải hệ (3) từ cuối lên đơn giản với ma trận hệ số là ma trận tam giác trên
Tương tự, nếu ma trận A là ma trận tam giác dưới thì ta có hệ tam giác dưới.3.5.2 Phương pháp Gauss
Ta có thể kiểm tra được rằng: khi thực hiện các biến đổi sơ cấp sau lên các phương trình của hệ thì sẽ được hệ mới tương đương: • Đổi chỗ hai phương trình; • Nhân, chia một số khác 0 vào cả 2 vế của một phương trình; • Cộng vào một phương trình một tổ hợp tuyến tính các phương trình khác.Xét hệ phương trình (2) dưới dạng ma trận.Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp khử Gauss là thực hiện các phép
biến đổi sơ cấp nói trên đưa hệ đã cho về hệ tam giác (thường là hệ tam giác trên). Giải hệ tam giác ta thu được nghiệm. Nghiệm của hệ tam giác thu được cũng chính là nghiệm của hệ ban đầu.
Chú ý rằng khi ta biến đổi tương đương lên các phương trình của hệ thì thực chất là biến đổi các hệ số trong các phương trình. Vì vậy khi thực hành ta chỉ cần thực hiện các phép biến đổi trên hàng của ma trận mở rộng [A|b] của hệ.
Cụ thể ta có thể tiến hành như sau:Từ hệ phương trình ban đầu xác định các ma trận A, b, x, [A|b] (ma trận mở rộng của
ma trận A). Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên hàng vào ma trận [A|b] để đưa ma trận A về dạng ma trận tam giác. Hệ tam giác thu được tương đương với hệ phương trình đã cho, giải hệ này ta thu được nghiệm.
Các phép biến đổi sơ cấp trên hàng của ma trận: Nhân (chia) một hàng với một số thực k (k 0)
Đổi chỗ hai hàng
3
Cộng bội k của một hàng vào một hàng khác
Chú ý: Khi tiến hành giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss người ta thường trình bày dưới dạng bảng.
Thí dụ 3.5.1: Xét hệ
Ta suy ra
Áp dụng các phép biến đổi sơ cấp về hàng để đưa ma trận A về dạng tam giác
x1 x2 x3 VP Ghi chú
2 4 3 4
3 1 -2 - 2
4 11 7 7
2 4 3 4
-5 -6,5 - 8 ( ) h1 + h3
3 1 - 1 (-2) h1 + h3
2 4 3 4
-5 -6,5 - 8
-2,9 -5,8 ( ) h2 + h3
Vậy hệ đã cho tương đương với hệ tam giác trên
Giải hệ này ta có nghiệm x3 = 2, x2 = -1, x1 = 1 chính là nghiệm của hệ đã cho.Với những bài toán giải hệ dạng đơn giản ta cũng có thể trình bày dưới dạng biến đổi
ma trận, tuy nhiên với cách trình bày này phải ghi rõ các phép biến đổi ở mỗi bước.3.5.3 Phương pháp Gauss – Jordan Ta thực hiện các bước tính toán như phương pháp Gauss, sau khi đưa ma trận A về
ma trận tam giác trên ta tiếp tục biến đổi sơ cấp để đưa ma trận tam giác trên về ma trận đơn vị.
Trở lại ví dụ trên ta có:
2 4 3 4
4
-5 -6,5 - 8
-2,9 -5,8
1 2 1.5 2 h1
1 1,3 1,6 h2
1 2 - 2,9 h2
1 2 0 -1 (-1,5) h3 + h1
1 0 -1 (-1,3) h3 + h2
1 2
1 0 0 1 (-2) h2 + h1
1 0 -1
1 2
Ta được hệ chéo x1= 1 x2 = -1 x3 = 2
4.5. Hệ thuần nhất (n phương trình, n ẩn) Xét hệ thuần nhất
Ma trận hệ số A = [aij]nxn
Hệ có dạng ma trận Ax = 0 (2’) Vế phải là ma trận không cỡ n×1. Hệ thuần nhất (2 ) luôn có nghiệm không,
nghiệm không của hệ thuần nhất gọi là nghiệm tầm thường của nó.Định lý: Hệ thuần nhất (2) chỉ có nghiệm tầm thường khi và chỉ khi
det(A) = 0.Chứng minh:
5
Nếu det(A) 0 thì hệ (2) chỉ có duy nhất nghiệm không tầm thường Nếu det(A) = 0 thì bằng biến đổi sơ cấp về hàng và bằng cách đánh số lại các ẩn, tức là đổi chỗ các cột ta có thể đưa ma trận A về dạng tam giác trên:
trong đó a’i1 0 i = 1, 2, 3,.., r
Nếu r = n thì det(A) = a’11 a’22… a’nn 0 trái với giả thiết det(A) = 0, vậy r = n. Hệ thuần nhất tương đương với hệ đã cho có phương trình ít hơn số ẩn nên nó vô nghiệm, do đó ngoài nghiệm tầm thường nó phải có nghiệm không tầm thường.
Ví dụ:
1) Hệ có định thức = - 1 0 nên hệ chỉ có nghiệm tầm
thường x1= 0; x2= 0
2) Hệ có định thức = 0 nên hệ có nghiệm không tầm
thường, chẳng hạn như x1 = 1; x 2 = -2/34.6. Hạng của ma trận _ Hệ phương trìnhXét ma trận cỡ m×n
A =
Gọi p là một số nguyên dương p min{m,n} Định nghĩa 4.6.1. Ma trận vuông cấp p suy từ A bằng cách bỏ đi m – p hàng và n – p
cột gọi là ma trận con cấp p của A. Định thức của ma trận con đó được gọi là định thức con cấp p của A.
Thí dụ: Xét ma trận A =
Ta có min{3, 4} = 3, do đó p = 1, 2, 3 Các định thức con cấp 3 của A là:
6
= 0; = 0; = 0; = 0
Các định thức con cấp 2 của A là:
= 0; = - 2; = 6 ; v.v…
Định nghĩa 4.6.2. Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của các định thức con khác không của A. Kí hiệu hạng của ma trận A là (A).
Trong thí dụ trên (A) = 2.
Chú ý: Với mọi ma trận vuông B ta luôn có (B) = (Bt) vì det(B) = det(Bt)
4.6.1. Cách tính hạng của ma trận bằng biến đổi sơ cấp về hàng
a. Ma trận bậc thang
1- Là ma trận có các hàng khác không luôn ở trên các hàng không (tất cả các phần tử của hàng là 0)
2- Trên hai hàng khác không thì phần tử khác không đầu tiên ở hàng dưới bao giờ cũng
ở bên phải cột chứa phần tử khác không đầu tiên ở hàng trên. Thí dụ: Các ma trận bậc thang
; ;
(A) = 3 bằng số hàng khác không của A
(B) = 2 bằng số hàng khác không của B
(C) = 3 Nhận xét: a) Hạng của một ma trận dạng bậc thang bằng số hàng khác không của nó. b) Dùng phép biến đổi sơ cấp về hàng để tính hạng của ma trận c) Biến đổi sơ cấp về hàng để đưa ma trận về dạng bậc thang từ đó suy ra hạng của
ma trận. Thí dụ: Xét hạng của ma trận
Biến đổi sơ cấp trên hàng
7
-> ->
Ma trận bậc thang có 2 hàng khác không, vậy (A) = 2.
4.7. Hệ phương tình tuyến tính tổng quát Xét hệ phương trình tuyến tính tổng quát Ax = b (1)
; ;
Xét ma trận bổ sung [A,b]
4.7.1. Định lý Kronecke – Capilli
Hệ Ax = b có nghiệm khi và chỉ khi (A) = (A)
Chứng minh: Bằng cách biến đổi sơ cấp về hàng và bằng cách đánh số lại các ẩn tức là đổi chỗ lại
các cột ta đưa ma trận A về dạng bậc thang.
trong đó r min{m, n}, từ đó suy ra định lý.
Chú ý: Từ định lý trên ta suy ra:
Nếu ( ) (A) thì hệ trên vô nghiệm
( ) = (A) = n thì hệ trên có nghiệm duy nhất
( ) = (A) < n thì hệ trên có vô số nghiệm
Giả sử khi ( ) = (A) = r < n ta làm như sau:
Vì ( ) = (A) = r nên tồn tại một định thức con khác không cấp r của A, ta gọi nó là định thức con chính. Các phần tử của định thức con chính nằm ở r phương trình, gọi là các phương trình chính và hệ số của r ẩn gọi là r ẩn chính. Các ẩn còn lại gọi là ẩn phụ. Hệ tương đương với hệ mới gồm r phương trình chính gọi là hệ con chính. Trong hệ con chính ta chuyển các ẩn phụ sang vế phải, giải hệ con đó với các ẩn chính ta được nghiệm của hệ phụ thuộc vế phải và các ẩn phụ.
Thí dụ: Xét hệ:
8
Ta có: ; (A) = ( ) = 2
Hệ (1) tương đương với hệ:
1) Phép biến đổi nào sau đây không phải là phép biến đổi tương đương của hệ phương trình.
a) Thay đổi vị trí của hai phương trình của hệ.b) Nhân một số bất kỳ vào cả 2 vế của một phương trình của hệ.c) Cộng một phương trình vào một phương trình khác của hệ (vế với vế).d) Trừ một phương trình vào một phương trình khác của hệ.
2) Tìm các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có duy nhất nghiệm
3) Cho hệ phương trình tuyến tính phụ thuộc tham số m
Điều nào sau đây không đúnga) Nếu m ≠1 và m ≠ −2 thì hệ có duy nhất nghiệm.b) Nếu m =0 thì hệ có vô số nghiệm.c) Nếu m =1 thì hệ có vô số nghiệm.d) Nếu m = −2 thì hệ vô nghiệm.
4) Cho hệ phương trình tuyến tính:
Tính các định thức.
9
5) Giải hệ phương trình
6) Giải hệ phương trình tuyến tính
7) Giải hệ phương trình tuyến tính
8) Giải hệ phương trình tuyến tính
10
9) Tìm x, y, z sao cho có thể biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính sau(2,−5,3) = x(1,−3,2) + y(2,−4,−1) + z(1,−5,7).
a) x = −2, y =1, z = −5.b) x = −1, y = 4, z = −6 .c) Không tồn tại x,y, z.d) x = 3, y =11, z = −4 .
10) Tìm tất cả các giá trị m sao cho có thể biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính sau(1,3,5) = x(3,2,5) + y(2,4,7) + z(5,6,m).
a) m = −10.b) m = 25.c) m ≠11.d) m ≠ 10.
11) Tìm các điều kiện của a, b, c để hệ phương trình sau có nghiệm
a) 5b = 2a + c.b) 5a = 2b + c.c) a = 5b + 2c .d) a = 2b − 7c .
12) Giải phương trình :
11
13) Giải phương trình AX = B với ẩn là ma trận X , trong đó:
14)Giải phương trình :
12
DS1b 2a 3b 4c 5c 6b 7c 8d 9b 10a 11b 12c
13
