10/4/2018

1

NHẬP MÔN PHƯƠNG TRÌNH

ĐẠO HÀM RIÊNG

CHƯƠNG 0

Nhắc lại về phương trình vi phân

-Phương trình tách biến

-Phương trình tuyến tính

-Phương trình cấp 2 hệ số hằng

-Phương trình cấp 2 tổng quát

CHƯƠNG 1. CHUỖI FOURIER

Chuỗi Fourier đầy đủ

Chuỗi Fourier sin

Chuỗi Fourier cosin

Hội tụ và khả vi

Thực hành với Matlab

KHAI TRIỂN TAYLOR

Một hàm khả vi vô hạn lần có thể khai triển thành dạngchuỗi Taylor quanh điểm x0 nằm trong khoảng xác định.

Dạng như sau:

Trong đó:

0

0)(n

n

n xxcxf

!

0

n

xfc

n

n

VÍ DỤ

Tìm khai triển Taylor, Maclaurin của hàm số y=sinx tronglân cận của điểm x0=0

ĐỊNH NGHĨA HÀM TUẦN HOÀN

Một hàm số xác định trên R gọi là tuần hoàn nếu tồn tạisố T>0 sao cho:

Giá trị nhỏ nhất của T gọi là chu kỳ cơ bản hay đơn giản làchu kỳ của hàm f.

Dễ thấy nếu f là hàm tuần hoàn với chu kỳ T thì:

RxxfTxf

RxxfnTxf

10/4/2018

2

VÍ DỤ

Hàm sinx và cosx là các hàm tuần hoàn với chu kỳ 𝜋

Hàm s𝑖𝑛𝑛𝜋𝑥

𝐿và 𝑐𝑜𝑠

𝑛𝜋𝑥

𝐿là các hàm tuần hoàn với chu kỳ

2L

Nhận xét. Chuỗi hàm dưới đây có tuần hoàn không? Chu kỳ là bao nhiêu?

1

0 sincos2

1

n

nnL

xnb

L

xnaa

ĐỒ THỊ HÀM TUẦN HOÀN

BIỂU DIỄN HÀM TUẦN HOÀN

Vì mỗi hàm cos(nx) và sin(nx) đều có chu kỳ 2𝜋 nên bấtcứ tổ hợp tuyến tính nào của các hàm này đều là các hàmtuần hoàn với chu kỳ 2𝜋.

Nhưng các tổ hợp tuyến tính này là liên tục

Như vậy một hàm tuần hoàn, không liên tục thì khó cóthể biểu diễn được theo cách trên.

VÍ DỤ

Hàm xung hay hàm sóng bình phương

Là hàm tuần hoàn chu kỳ 2𝜋 nhưng không liên tục trên R.

xfxfx

xxf

2&

0,1

0,0)(

FOURIER (1976 – 1830)

Bài báo “Lý thuyết giải tích của nhiệt lượng” năm 1822

Mỗi hàm f(x) với chu kỳ 2𝜋 có thể được biểu diễn bằngmột chuỗi lượng giác vô hạn dạng:

Chuỗi này gọi là chuỗi Fourier.

Biểu diễn một hàm thành chuỗi Fourier được ứng dụngnhiều trong toán đặc biệt là trong phương trình đạo hàmriêng.

1

0 sincos2

1)(

n

nn nxbnxaaxf

CHUỖI FOURIER CỦA HÀM CÓ CHU KỲ 2𝜋

Sinh viên cần nhớ các tích phân sau:

Các hàm cos(nx) và sin(mx) tạo thành một tập trực giao tươnghỗ của hàm trên khoảng (−𝜋; 𝜋)

Hai hàm thực u và v gọi là trực giao trên khoảng [a,b] nếu:

0sin.cos

,

,0sin.sin

,

,0cos.cos

dxnxmx

mnL

mndxnxmx

mn

mndxnxmx

0b

a

dxxvxu

10/4/2018

3

BIỂU DIỄN FOURIER

Giả sử hàm f(x) liên tục từng khúc chu kỳ 2𝜋 biểu diễn bởimột chuỗi Fourier

Giả sử:

-Chuỗi bên phải hội tụ về f với mọi x

-Khi chuỗi được nhân với một hàm liên tục bất kỳ thìchuỗi nhận được sẽ tích phân từng số hạng được.

1

0 sincos2

1)(

n

nn nxbnxaaxf

BIỂU DIỄN FOURIER – HỆ SỐ a0

Lấy tích phân hai vế ta có:

Vậy hệ số a0 được xác định bởi công thức:

00

1

0

2

1

sincos2

1

adxadxxf

nxdxbnxdxadxadxxfn

nn

dxxfa1

0

BIỂU DIỄN FOURIER – HỆ SỐ ai

Nhân hai vế với cosnx và lấy tích phân hai vế ta có:

Vậy các hệ số ai được xác định bởi công thức:

nmm

n

n

n

nn

anxdxxfamxdxmxamxdxxf

mxdxnxamxdxxf

mxdxnxbmxdxnxamxdxamxdxxf

coscos.coscos

cos.coscos

cos.sincos.coscos2

1cos

1

1

0

,...3,2,1cos1

inxdxxfan

BIỂU DIỄN FOURIER – HỆ SỐ bi

Nhân hai vế với sinmx và lấy tích phân hai vế ta có:

Vậy các hệ số bi được xác định bởi công thức:

nmm

n

n

n

nn

bnxdxxfbmxdxmxbmxdxxf

mxdxnxbmxdxxf

mxdxnxbmxdxnxamxdxamxdxxf

sinsin.sinsin

sin.sinsin

sin.sinsin.cossin2

1sin

1

1

0

,...3,2,1sin1

nnxdxxfbn

ĐỊNH NGHĨA. CHUỖI FOURIER VÀ HỆ SỐ FOURIER

Cho f(x) là hàm liên tục từng khúc chu kỳ 2𝜋 xác định vớimọi x. Khi đó chuỗi Fourier của hàm f(x) là chuỗi:

Trong đó:

1

0 sincos2

1)(

n

nn nxbnxaaxf

,...3,2,1,0cos1

nnxdxxfan

,...3,2,1sin1

nnxdxxfbn

CHÚ Ý

Có thể chuỗi Fourier của một hàm không hội tụ về hàm tạinhững điểm xác định trong TXĐ của hàm số. Do đó thay vìviết dấu = ta sử dụng ký hiệu sau:

Phần sau (mục hội tụ) sẽ nói rõ hơn về vấn đề này.

Ta xét chuỗi Fourier của hàm liên tục từng khúc vì nhiềuhàm trong ứng dụng chỉ liên tục từng khúc chứ không liêntục.

1

0 sincos2

1)(

n

nn nxbnxaaxf

10/4/2018

4

MỞ RỘNG HÀM

Nếu hàm ban đầu chỉ xác định trên khoảng [- 𝜋, 𝜋] và giảsử f(𝜋)=f(- 𝜋)

Khi đó ta có thể mở rộng hàm f đến khi miền xác định củanó gồm tất cả các số thực thỏa mãn điều kiện tuần hoànf(x+ 2𝜋)=f(x) với mọi x

VÍ DỤ

Cho hàm tuần hoàn chu kỳ 2𝜋 được xác định:

a) Sinh viên vẽ đồ thị

b) Tìm chuỗi Fourier

t

xx

x

xf

2

0

00

VÍ DỤ

Ta có:

22

20

1cos1

cos1

sin1sin1

cos1

cos

cos1

cos1

cos1

2

202

00

0

00

nn

n

nn

nxn

a

nxdxnn

nxxnxdxxa

nxdxdvxuTPTP

nxdxxnxdxxfnxdxxfa

n

n

n

2

111

000

xdxdxxfdxxfa

VÍ DỤ

Ta có:

1

1

1

1

cos1

cos1cos1

sin1

sin

sin1

sin1

sin1

1

00

0

00

nn

lenn

channn

nn

b

nxdxnn

nxxnxdxxb

nxdxdvxuTPTP

nxdxxnxdxxfnxdxxfb

n

n

n

n

VÍ DỤ

Vậy chuỗi Fourier cần tìm:

len n

n

n

nt

n

ntxf

1

1

2

sin1cos2)(

VÍ DỤ. HÀM SÓNG BÌNH PHƯƠNG

xfxfx

xxf

2&

0,1

0,0)(

nxdxxfbn sin1

dxxfa1

0

nxdxxfan cos1

10/4/2018

5

VÍ DỤ Ta có chuỗi Fourier của hàm sóng bình phương

,,12

12sin2

2

1~

0

xk

xkxf

k

TÍNH CHẤT

Nếu hàm f(x) tuần hoàn với chu kỳ 2𝜋 thì ta có:

Có nghĩa là tích phân của hàm f(x) trên các khoảng có độdài đúng bằng 2𝜋 luôn bằng nhau.

Do đó, ta hay đưa khoảng tính tích phân về khoảng [0, 2𝜋] để có các công thức thuận tiện hơn.

2a

adxxfdxxf

2

0

2

0

sin1

cos1

nxdxxfb

nxdxxfa

n

n

BÀI TẬP CHUỖI FOURIER TỔNG QUÁT (ĐẦY ĐỦ)

Xét hàm f(x) liên tục từng khúc và có chu kỳ là P=2L

Ta muốn xây dựng chuỗi Fourier cho hàm này.

Đặt hàm g như sau:

Dễ thấy:

Lufug

ugLu

fLLu

fuL

fug

2

22

CHUỖI FOURIER TỔNG QUÁT (ĐẦY ĐỦ)

Như vậy hàm g(u) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2pi. Giả sửcó chuỗi Fourier tương ứng

Với:

1

0 sincos2

1)(

n

nn nubnuaaug

,...3,2,1,0cos1

ndunuugan

,...3,2,1sin1

ndunuugbn

BIẾN ĐỔI

Đặt: ugLu

fxfL

xu

Lux

1

0

1

0

1

0

sincos2

1

sincos2

1

sincos2

1)(

n

nn

n

nn

n

nn

L

xnb

L

xnaaxf

L

xnb

L

xnaa

L

xg

nubnuaaug

10/4/2018

6

BIẾN ĐỔI

Ta có:

Trong đó:

1

0 sincos2

1

n

nnL

xnb

L

xnaaxf

,...3,2,1sin1

,...3,2,1,0cos1

ndxL

xnxf

Lb

ndxL

xnxf

La

L

L

n

L

L

n

ĐỊNH NGHĨA CHUỖI FOURIER VÀ HỆ SỐ FOURIER

Cho hàm f(x) liên tục từng khúc và có chu kỳ 2L xác địnhvới mọi x. Khi đó chuỗi Fourier của hàm f(x) là chuỗi.

Trong đó:

1

0 sincos2

1

n

nnL

xnb

L

xnaaxf

,...3,2,1sin1

,...3,2,1,0cos1

ndxL

xnxf

Lb

ndxL

xnxf

La

L

L

n

L

L

n

TÍNH CHẤT

Nếu hàm f(x) tuần hoàn với chu kỳ 2𝐿 thì ta có:

Có nghĩa là tích phân của hàm f(x) trên các khoảng có độdài đúng bằng 2𝐿 luôn bằng nhau.

Do đó, ta hay đưa khoảng tính tích phân về khoảng [0, 2𝐿] để có các công thức thuận tiện hơn.

La

a

L

Ldxxfdxxf

2

L

n

L

n

dxL

xnxf

Lb

dxL

xnxf

La

2

0

2

0

sin1

cos1

VÍ DỤ

Cho hàm tuần hoàn với chu kỳ P=2L=4:

Đáp án

2,0,20

021

201

x

x

x

xf

...

2

5sin

5

1

2

3sin

3

1

2sin

4

2sin

14 tttxn

nxf

len

VÍ DỤ

Xét hàm số sau:

Đồ thị hàm số:

Hàm tuần hoàn mở rộng:

TÍNH TOÁN HỆ SỐ FOURIER

Ta có:

Chuỗi Fourier:

10/4/2018

7

TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH HÀM SỐ

Như vậy, theo định lý 2.5, trên [-2,2] ta có:

Chú ý hàm ban đầu có điểm nhảy tại x=0.

F(0+)=2 và F(0-)=0 nên giá trị trung bình là 1.

ĐỊNH LÝ HỘI TỤ

Giả sử f là hàm tuần hoàn, trơn từng khúc. Khi đó chuỗiFourier của nó hội tụ:

a) Đến giá trị f(x) tại mỗi điểm mà ở đó f liên tục

b) Đến giá trị1

2(𝑓 𝑥 + + 𝑓 𝑥 − ) tại mỗi điểm mà tại

đó f không liên tục.

Chú ý.

xfxf2

1 là giá trị trung bình các giới hạntrái và phải của hàm f tại điểm x.

Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn, trơn từng khúc hội tụ đếngiá trị trung bình của hàm số với mọi x.

VÍ DỤ

Cho f(x) là hàm chu kỳ 2 với f(x)=x2 nếu 0<x<2

Nếu x là số nguyên chẵn thì giá trị f(x) xác định bởi:

Hãy tìm chuỗi Fourier của hàm này.

xfxf2

1

VÍ DỤ

Đáp án:

Nếu thay x=0 ta có:

Nếu thay x=1 ta có:

11

22

sin4cos4

3

4

nn n

tn

n

tnxf

6...

3

1

2

11

6

114

3

40

2

22

2

12

122

nn nnf

12....

4

1

3

1

2

11

12

114

3

41

2

222

2

12

122

n

n

n

n

nnf

CHUỖI FOURIER SINE VÀ COSINE

Hàm chẵn và hàm lẻ

Hàm số f(x) xác định với mọi x gọi là chẵn nếu

Hàm số f(x) xác định với mọi x gọi là lẻ nếu

Tính chất:

- Hàm chẵn đối xứng qua Oy

- Hàm lẻ đối xứng qua gốc tọa độ O

xxfxf ,

xxfxf ,

ĐỒ THỊ

Đồ thị chuỗi Fourier

Đồ thị chuỗi khi xấp xỉ với n=5

10/4/2018

8

ĐỒ THỊ HÀM CHẴN – LẺ

Hàm chẵn: đối xứng qua Oy

Hàm lẻ: đối xứng qua gốc tọa độ

VÍ DỤ

+ Tích hai hàm chẵn Hàm chẵn

+ Tích hai hàm lẻ Hàm chẵn

+ Tích một hàm chẵn và một hàm lẻ Hàm lẻ

+ Chuỗi Fourier của các hàm chẵn chỉ gồm các phần tửcosine

+ Chuỗi Fourier của các hàm lẻ chỉ gồm các phần tử sine

12;sin nxxgxxf nxxgxxf 2;cos

TÍNH CHẤT

Nếu f(x) là hàm chẵn và tuần hoàn với chu kỳ 2L thì:

+ Hàm: là hàm chẵn

+ Hàm: là hàm lẻ

+ Tích phân hàm chẵn, hàm lẻ trên miền đối xứng

L

xnxf

cos

L

xnxf

sin

a

a

aa

adxxfdxxfdxxf

020

TÍCH PHÂN HÀM CHẴN – LẺ

Trên tập xác định đối xứng.

Hàm chẵn có tích phân gấp 2 lần trên 1 nửa miền.

Hàm lẻ có tích phân bằng 0.

ÁP DỤNG VỚI HỆ SỐ FOURIER

Nếu f(x) là hàm chẵn.

Nếu f(x) là hàm lẻ.

Khai triển Fourier sẽ chỉ có chuỗi hàm sine hoặc cosine

0sin1

L

L

n dxL

xnxf

Lb

0cos1

L

L

n dxL

xnxf

La

MỞ RỘNG CHẴN VÀ LẺ

Nếu hàm số tuần hoàn với mọi t thì chuỗi Fourier xácđịnh duy nhất.

Tuy nhiên nếu hàm số chỉ xác định trong khoảng 0<x<L nhưng ta vẫn muốn biểu diễn giá trị hàm này dạng chuỗihàm Fourier thì???

1. Mở rộng hàm số ra toàn khoảng (-L,L) tức là mở rộnggiá trị hàm số trên (-L,0)

2. Mở rộng tuần hoàn ra toàn trục số theo công thức

3. Tìm chuỗi Fourier

xfLxf 2

10/4/2018

9

CHÚ Ý

- Với mỗi cách mở rộng trên (-L,0) khác nhau sẽ cho chuỗiFourier khác nhau

- Các chuỗi đều hội tụ về hàm ban đầu trên (0,L) nhưngsẽ khác nhau trong khoảng (-L,0)

- Ta thường đưa ra các mở rộng tự nhiên: Mở rộng hàm chẵn

Mở rộng hàm lẻ

HAI CÁCH MỞ RỘNG

1. Mở rộng chẵn

2. Mở rộng lẻ

0

0

xLtf

LxtfxfE

0

0

xLtf

LxtfxfO

KHAI TRIỂN FOURIER SINE

- Mở rộng hàm lẻmở rộng tuần hoàn

- Tính hệ số khai triển

KHAI TRIỂN FOURIER COSINE

- Mở rộng hàm chẵnmở rộng tuần hoàn

- Tính hệ số khai triển

VÍ DỤ

Khai triển hàm f(x)=x trên (0, 𝜋) theo 2 cách

a) Hàm chẵn

b) Hàm lẻ

Ta mở rộng f(x)=x trên (- 𝜋,0)

Ta có:

Hay

VÍ DỤ - HÀM CHẴN

0

0

xx

xxxf

,,)( xxxf

10/4/2018

10

Khai triển Fourier:

VÍ DỤ - HÀM CHẴN

1

0 sincos2 n

nnL

xnb

L

xna

axf

n

n

a

a

b

0

0

02

0 12

12cos4

2cos

2,0/

k

nnk

xknxdxxaba

:Chuoãi

Ta mở rộng f(x)=x trên (- 𝜋,0)

Ta có:

Hay

VÍ DỤ - HÀM LẺ

0

0

xx

xxxf

Khai triển Fourier:

VÍ DỤ - HÀM LẺ

1

0 sincos2 n

nnL

xnb

L

xna

axf

n

n

a

a

b

0

0

1

1

0

sin12sin

2,0/

n

n

nnn

nxnxdxxbab :Chuoãi

CHUỖI FOURIER SINE VÀ COSINE

Định nghĩa. Giả sử hàm số f(x) liên tục từng khúc trongkhoảng [0,L]. Khi đó:

Chuỗi Fourier cosine của hàm f là chuỗi:

Chuỗi Fourier sine của hàm f là chuỗi:

L

n

n

n dxL

xnxf

La

L

xna

axf

01

0 cos2

cos2

L

n

n

n dxL

xnxf

Lb

L

xnb

axf

01

0 sin2

sin2

VI PHÂN TỪNG PHẦN

Định lý. Giả sử hàm số f là liên tục với mọi x, tuần hoànvới chu kỳ 2L, có đạo hàm là f’ và đạo hàm của nó trơntừng khúc với mọi x.

Khi đó, chuỗi Fourier của f’ là chuỗi:

Nhận được bằng việc lấy vi phân từng phần chuỗi:

1

cossin'n

nnL

xnb

L

n

L

xna

L

nxf

1

0 sincos2 n

nnL

xnb

L

xna

axf

10/4/2018

11

TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Định lý. Giả sử hàm số f là liên tục với mọi x, tuần hoànvới chu kỳ 2L và chuỗi Fourier:

Có thể không hội tụ. Khi đó:

và chuỗi bên vế phải hội tụ với mọi x.

1

0 sincos2 n

nnL

xnb

L

xna

axf

1

0

01cossin

2 n

nn

x

L

xnb

L

xna

n

Lxadttf

ĐỊNH LÝ 2.13

i) Nếu f liên tục trên [-L,L] và f(-L)=f(L) và f’ là trơntừng khúc trên [-L,L). Khi đó chuỗi Fourier đầy đủ củahàm f có thể lấy đạo hàm theo từng thành phần vàchuỗi kết quả chính là chuỗi Fourier của f’. Chuỗi nàyhội tụ đến f’ tại nhưng điểm mà f’’ tồn tại.

ĐỊNH LÝ 2.13

ii) Nếu f liên tục trên [0,L] và f(0)=f(L)=0 và f’ là trơntừng khúc trên [0,L]. Khi đó chuỗi Fourier sine củahàm f có thể lấy đạo hàm theo từng thành phần vàchuỗi kết quả chính là chuỗi Fourier cosine của f’.Chuỗi này hội tụ đến f’ tại nhưng điểm mà f’’ tồn tại.

iii) Nếu f liên tục trên [0,L] và f’ là trơn từng khúc trên[0,L]. Khi đó chuỗi Fourier cosine của hàm f có thể lấyđạo hàm theo từng thành phần và chuỗi kết quảchính là chuỗi Fourier sine của f’. Chuỗi này hội tụđến f’ tại nhưng điểm mà f’’ tồn tại.

VÍ DỤ

THỰC HÀNH MATLAB BÀI TẬP 1

Khai triển Fourier đầy đủ các hàm sau, xác định sự hội tụ trên[-L; L] và vẽ đồ thị trên [-3L; 3L]

10/4/2018

12

BÀI TẬP 2

Khai triển Fourier sine và cosine các hàm sau, xác định sự hộitụ trên [0; L] và vẽ đồ thị trên [-3L; 3L]