ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ THÙY NHI MỘT SỐ VẤN ĐỀ …tailieuso.udn.vn/bitstream/TTHL_125/6394/1/NguyenThiThuyNhi.TT.pdfxác định công thức tổng quát

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ THÙY NHI

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC VỀ DÃY SỐ

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60. 46. 01. 13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2015

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN DUY THÁI SƠN

Phản biện 1: TS. PHẠM QUÝ MƯỜI

Phản biện 2: TS. HOÀNG QUANG TUYẾN

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại Học Đà Nẵng vào ngày 27 tháng 6 năm 2015.

Có thể tìm hiểu Luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài

Dãy số chiếm một vị trí đặc biệt quan trọng trong Giải tích

toán học: dãy số không chỉ là một đối tượng để nghiên cứu mà nó

còn đóng vai trò là một công cụ đắc lực trong các mô hình rời rạc

của giải tích, trong lý thuyết vi phân hàm, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết

biểu diễn... Các vấn đề liên quan đến dãy số là rất phong phú. Có thể

kể ra đây một số chủ đề thường gặp: giới hạn dãy số, công thức tìm

số hạng tổng quát, tính đơn điệu và tính bị chặn của dãy số, tính chất

của dãy số nguyên...

Trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic toán học

quốc tế, hay những kì thi giải toán của nhiều tạp chí toán học thì các

bài toán về dãy số xuất hiện khá nhiều và được xem như những dạng

toán loại khó ở bậc Trung học phổ thông. Một trong các nội dung

thường gặp trong các bài toán về dãy số là xác định số hạng tổng

quát và tìm giới hạn của dãy số. Hiện nay đã có nhiều tài liệu đề cập

đến các khía cạnh khác nhau của dãy số. Tuy nhiên, các tài liệu được

hệ thống theo dạng toán cũng như phương pháp giải thì chưa có

nhiều và tôi mong muốn cung cấp cho các em học sinh, đặc biệt là

các em học sinh giỏi hoặc yêu thích toán, thêm một tài liệu tham

khảo về dãy số. Tôi cố gắng hệ thống các phương pháp giải bài toán

tìm số hạng tổng quát và bài toán về giới hạn của dãy số.

Với những lý do trên và qua khả năng tìm hiểu, nghiên cứu, tôi

chọn “Một số vấn đề chọn lọc về dãy số” làm đề tài cho luận văn tốt

nghiệp bậc cao học của mình.

2. Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài là nhằm hệ thống lại một số phương pháp

hiệu quả để giải quyết bài toán xác định công thức tổng quát và

2

chứng minh sự tồn tại hoặc tìm giới hạn của dãy số.

3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là dãy số.

Phạm vi nghiên cứu: Đề tài chủ yếu đề cập đến phương pháp

xác định công thức tổng quát của dãy số và chứng minh sự tồn tại

hoặc tìm giới hạn của dãy số.

4. Phƣơng pháp nghiên cứu

Tham khảo các tài liệu viết về dãy số, đặc biệt là các tài liệu

về xác định công thức tổng quát và giới hạn của dãy số, sau đó hệ

thống lại kiến thức.

Trao đổi, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn để trình

bày nội dung các vấn đề của luận văn một cách phù hợp.

5. Bố cục đề tài

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Xác định công thức tổng quát của dãy số

Chương 3: Một số phương pháp chứng minh sự tồn tại hoặc

tìm giới hạn của dãy số

6. Tổng quan tài liệu nghiên cứu

Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên

quan đến Dãy số và ứng dụng thực tế qua các ví dụ, bài tập áp dụng,

nhằm xây dựng một tài liệu tham khảo cho những ai muốn nghiên

cứu về Dãy số.

Đưa ra một số bài toán, cũng như một số ví dụ minh họa

nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề được đề cập.

3

CHƢƠNG I

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. DÃY SỐ

Định nghĩa 1.1.1.[3] Một hàm số u xác định trên tập hợp các

số nguyên dương * được gọi là một dãy số vô hạn (hay gọi tắt là

dãy số).

Dãy số với các phần tử nu thường được kí hiệu là

, 1,2,...nu n hoặc nu .

Giả sử cho và cho hai dãy số:

1 2( ) ( , ,..., ,...);n na a a a

1 2( ) ( , ,..., ,...);n nb b b b

Định nghĩa 1.1.2.[3]

a. Dãy 1 1 2 2: , ,..., ,...n n n n nc a b a b a b a b được

gọi là tổng của 2 dãy na và nb ;

b. Dãy 1 1 2 2: , ,..., ,...n n n n nd a b a b a b a b được

gọi là hiệu của 2 dãy na và nb ;

c. Dãy 1 2, ,..., ,...n nb b b b được gọi là tích của hằng

số và dãy nb .

1.2. DÃY SỐ BỊ CHẶN

Dãy số nu được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số

M sao cho: *, nn u M .

Dãy số nu được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một

số m sao cho: *, nn u m .

Dãy số nu được gọi là dãy số bị chặn nếu vừa bị chặn trên,

vừa bị chặn dưới. Nghĩa là, tồn tại một số M và một số m sao cho: *,m nn u M .

4

1.3. DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU

Dãy số nu được gọi là dãy số tăng (tương ứng tăng nghiêm

ngặt) nếu với mọi *n ta có: 1n nu u (tương ứng *

1,n nu u n ).

Dãy số nu được gọi là dãy số giảm (tương ứng giảm nghiêm

ngặt) nếu với mọi *n ta có: 1n nu u (tương ứng *

1,n nu u n ).

Dãy số tăng hay giảm được gọi là dãy số đơn điệu.

1.4. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

Định nghĩa 1.4.1.[3] Dãy nu được gọi là cấp số cộng khi và

chỉ khi kể từ số hạng thứ hai trở đi mỗi số hạng đều bằng số hạng

đứng trước nó cộng với một số không đổi. Số không đổi được gọi là

công sai của cấp số cộng.

Tính chất 1.4.1.[3]

a. Công thức của số hạng tổng quát: *

1 ( 1) ,nu u n d n .

b. *2

1 ,2

n nn

u uu n

.

c. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng:

111 2

2 1( )...

2 2

nn n

n u n dn u uS u u u

.

Định nghĩa 1.4.2.[3] Dãy số nu được gọi là một cấp số

nhân khi và chỉ khi kể từ số hạng thứ hai trở đi mỗi số hạng đều bằng

số hạng đứng trước nó nhân với một số không đổi. Số không đổi

được gọi là công bội của cấp số nhân.

Tính chất 1.4.2.[3]

a. Công thức của số hạng tổng quát: 1 *

1. ,n

nu u q n .

5

b. 2 *

1 2. ,n n nu u u n .

c. Tổng của n số hạng đầu tiên:

1 2 1

1... ,( 1)

1

n

n n

qS u u u u q

q

.

d. Tổng các số hạng của cấp số nhân lùi vô hạn:

11 2 ...

1

uS u u

q

.

1.5. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ CÁC ĐỊNH LÝ LIÊN

QUAN

Định nghĩa.[4] Dãy số 1 2, ,..., ,...n nu u u u có giới hạn là

số (điểm) a nếu bắt đầu từ một chỉ số nào đó, mọi số hạng nu đều

nằm trong -lân cận bất kì ,U a của điểm a , tức là ở ngoài

,U a hoặc chỉ có một số hữu hạn số hạng hoặc không có số hạng

nào của dãy.

Kí hiệu: lim nn

u a

hay nu a khi n .

Định lí 1.5.1.[4]

Nếu dãy ( nu ) có giới hạn thì nó bị chặn.

Định lí 1.5.2.[4]

Dãy hội tụ chỉ có một giới hạn.

Định lí 1.5.3.[4]

Nếu lim nn

u a

, lim nn

v b

và ,n nu v n thì a b .

Định lí 1.5.4.[4] (Giới hạn kẹp) Giả sử:

a. lim limn nn n

u v

;

b. ,n n nu z v n ;

Khi đó lim nn

z

.

Định lí 1.5.5.[4]

Nếu lim nn

u a

thì lim | u | | |nn

a

.

Định lí 1.5.6.[4]

6

Dãy đơn điệu tăng (giảm) hội tụ khi và chỉ khi nó bị chặn trên

(dưới).

Định lí 1.5.7.[4]

Giả sử các dãy ,n nu v hội tụ và lim nn

u a

, lim nn

v b

;

Khi đó:

a. lim( ) lim limn n n nn n n

u v u v a b

;

b. lim( ) lim limn n n nn n n

u v u v ab

;

c. Nếu 0,nu n và lim 0nn

u

thì 1 1 1

limlimn

n nn

u u a

.

7

CHƢƠNG II

XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ

2.1. SỬ DỤNG CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN ĐỂ TÌM

CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ

Nội dung chủ yếu của phần này là giới thiệu một số kỹ thuật

biến đổi để qui về dãy số quen thuộc trong chương trình toán THPT

là cấp số cộng và cấp số nhân. Xét một số bài toán sau:

Bài toán 2.1.1.[1] Xác định số hạng tổng quát của dãy số nu

xác định bởi: 1

1n n

u c

u au b

với , ,a b c .

Phƣơng pháp giải.

Trường hợp 1: Nếu 1a thì dãy nu là một cấp số cộng với

công sai là b . Dựa vào tính chất của cấp số cộng ta tìm được số hạng

tổng quát của dãy là: 1 ( 1) ( 1) .nu u n b c n b

Trường hợp 2: Nếu 1a , ta qui dãy nu về dãy nv bằng

cách đặt ,n nv u k k ; trong đó số k được xác định sao cho

thỏa mãn 1n nv av (ta sẽ xác định được 1

bk

a

).

Với cách đặt như trên ta được nv là một cấp số nhân, công

bội a. Dựa vào tính chất của cấp số nhân ta tìm được công thức tổng

quát của dãy nv . Từ đó suy ra công thức tổng quát của dãy nu .



1 ( )n n

u c

u au f n

với ,a c , ( )f n là một đa thức

bậc k theo n .


Ta phân tích ( ) ( ) ( 1)f n g n ag n với ( )g n cũng là một đa

thức theo n .

8

Trường hợp 1: Nếu 1a , ta thấy đa thức ( ) ( 1)g n ag n có

bậc nhỏ hơn đa thức ( )g n một bậc và không phụ thuộc vào hệ số tự

do của ( )g n . Vì f( )n là đa thức bậc k nên để

( ) ( ) ( 1)(*)f n g n ag n ta cần chọn ( )g n là đa thức bậc 1k và

nên chọn hệ số tự do của ( )g n bằng không. Khi đó để xác định các

hệ số của ( )g n ta chỉ cần thay 1k giá trị bất kỳ của n vào (*) và

giải hệ gồm 1k phương trình này.

Lúc này ta có 1 1( ) u g(n 1) ... u (1)n nu g n g . Từ đó

suy ra công thức tổng quát của dãy nu .

Trường hợp 2: Nếu 1a , ta thấy ( ) ( 1)g n ag n và ( )g n là

hai đa thức cùng bậc. Vì vậy ta chọn ( )g n là đa thức bậc k và các

hệ số của ( )g n được xác định tương tự như trường hợp 1.

Lúc này ta có 1( ) ( ( 1)).n nu g n a u g n Đặt ( )n nv u g n

thì ta có dãy (v )n là một cấp số nhân, công bội a. Dựa vào tính chất

của cấp số nhân ta tìm được công thức tổng quát của dãy (v )n . Từ

đó tìm được công thức tổng quát của dãy nu .



1

n

n n

u c

u au b

với ,b,c , 0a .


Trường hợp 1: Nếu a .

Ta phân tích: 1n n nk ak ka

.

Khi đó ta có: 1 1

1 1( ) ... ( );n n n

n nu bk a u kb a u bk

1

1( ) .n n

nu a u bk bk

Trường hợp 2: Nếu a

Ta phân tích: 1( 1)n n nn n .

Khi đó:

9

1 1

1 1

1

1

( 1) ... ( );

( 1) .

n n n

n n

n n

n

u bn u b n u b

u b n u

2.2. DÙNG PHÉP THẾ LƢỢNG GIÁC ĐỂ XÁC ĐỊNH

CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ

Khi công thức truy hồi xuất hiện những yếu tố gợi đến các

công thức lượng giác thì ta có thể thử với phép thế lượng giác. Ta xét

một số bài toán sau:



2

12 1n n

u k

u u

với , 2k n .


Trường hợp 1: 1k .

Khi đó 10; :cos k u . Từ công thức truy hồi của

dãy ta có thể liên tưởng đến công thức nhân đôi của hàm số côsin: 2cos2 2cos 1.

Ta có: 2

2 12 1 cos2 ;u u 2

3 22 1 cos4 ;u u 2

4 32 1 cos8 ;u u

…

Bằng qui nạp ta có thể chứng minh được 1cos2n

nu .

Trường hợp 2: 1.k

Ta đặt 1

1 1

2u a

a

.

Bằng qui nạp ta chứng minh được:

1

1

2

2

1 1, 2.

2

n

nnu a na

10



3

1 14 3n n n

u k

u u u

với , 2k n .


Trường hợp 1: 1k .

Khi đó 10; :cos k u . Từ công thức truy hồi của

dãy ta có thể liên tưởng đến công thức nhân ba của hàm số côsin: 3cos3 4cos 3cos .

Ta có: 3

2 1 14 3 cos3 ;u u u 3

3 2 24 3 cos9 ;u u u 3

4 3 34 3 cos27 ;u u u

…

Bằng qui nạp ta có thể chứng minh được 1cos3n

nu .

Trường hợp 2: 1.k

Ta đặt 1

1 1

2u a

a

.

Bằng qui nạp ta chứng minh được

1

1

3

3

1 1, 2.

2

n

nnu a na

Bài toán 2.2.3. Tìm công thức tổng quát của dãy nu xác

định bởi:

1

1

11 .

nn

n

u a

u bu

b u

với 2n .


Ta đặt tan , tan tan 1 .na b u n

11


định bởi: 1

2

1n n

u

u a bu

với 2, 1, 2n ab

a

.


Đặt:

1 cos ;u a

Bằng qui nạp ta chứng minh được 1cos2 , 2n

nu a n .

2.3. ỨNG DỤNG PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN

TÍNH VÀO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG

QUÁT CỦA DÃY SỐ

Ở đây tôi chỉ trình bày ứng dụng của phương trình sai phân

tuyến tính cấp một và cấp hai trong một số dạng bài toán xác định

công thức tổng quát của dãy số (chỉ nêu phương pháp giải mà không

chứng minh).

Định nghĩa 2.3.1.[3] Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là

phương trình dạng: *

1 1,au ,n n nu bu f n ; 1

Trong đó , ,a b là các hằng số, 0a và nf là biểu thức của

n cho trước.


Bước 1: Giải phương trình đặc trưng 0a b để tìm ;

Bước 2: Tìm nghiệm nu của phương trình sai phân tuyến tính

thuần nhất tương ứng: 1 0n nau bu (nghiệm này có dạng 1n

nu c , trong đó c được xác định dựa vào 1u );

Bước 3: Tìm một nghiệm riêng *

nu của phương trình không

thuần nhất;

Bước 4: Nghiệm tổng quát của phương trình (1) là *

n n nu u u .

12


định bởi: 1

1 0n n

u

au bu

với 1n .


Từ công thức truy hồi ta có:

2 1

1 2 1... .

n

n n n

b b bu u u u

a a a

Bài toán 2.3.2. Tìm công thức tổng quát của dãy nu xác định

bởi: 1

1 ( )n n

u

au bu f n

với 1n , ( )f n là đa thức bậc k của n .


Xét phương trình đặc trưng: 0 .b

a ba

Khi đó số hạng tổng quát của dãy được xác định 1 *.n

n nu c u

Trong đó *

nu được xác định như sau:

+ Nếu 0a b thì * (n)nu g , thay vào phương trình ta được:

( 1) ( ) ( )ag n bg n f n . Đồng nhất hệ số ta tìm được *

nu .

+ Nếu 0a b thì * . (n)nu n g , thay vào phương trình ta

được: ( 1) ( 1) ( ) ( )a n g n bng n f n . Đồng nhất hệ số ta tìm được *

nu .

Với ( )g n là đa thức bậc k của n và c là hằng số được xác định

dựa vào 1u .

Bài toán 2.3.3. Tìm công thức tổng quát của dãy nu xác định

bởi: 1

1 . n

n n

u

au bu d

với 1n .

13


Xét phương trình đặc trưng: 0 .b

a ba

Khi đó số hạng tổng quát của dãy được xác định: 1 *;n

n nu c u trong đó *


+ Nếu thì * . n

nu A , thay vào phương trình ta được:

1. .n n n da A b A d A

a b

;

Vậy * .( )

n n

n

d du

a b a

+ Nếu thì * n

nu An , thay vào phương trình ta được: 1. ( 1) . ;

.( 1) ( 1)

n n na A n b An d

d d dA

a n bn a n a n a

Vậy 1

* .n

n

dnu

a

Với c là hằng số sẽ được xác định dựa vào 1u .

Định nghĩa 2.3.2.[3] Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai là

phương trình dạng: *

1 2 2 1,u ,au , ;n n n nu bu cu g n 2

trong đó , ,c, ,a b là các hằng số, 0a và ng là biểu thức

của n cho trước.


Bước 1: Tìm nghiệm nu của phương trình sai phân tuyến tính

thuần nhất tương ứng: 2 1 0;n n nau bu cu

Bước 2: Tìm một nghiệm riêng *

nu của phương trình không

thuần nhất;

Bước 3: Nghiệm tổng quát của phương trình (2) là *

n n nu u u .

14


định bởi: 1 2

2 1

,

0n n n

u u

au bu cu

với 1n .


Xét phương trình đặc trưng 2 0.a b c

Trường hợp 1: Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm thực

phân biệt 1 2, thì số hạng tổng quát của dãy có dạng

1 1

1 1 2 2

n n

nu c c ; trong đó 1 2,c c được xác định khi biết 1 2,u u .

Trường hợp 2: Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm thực

kép 1 2 thì số hạng tổng quát của dãy có dạng

1 2( ) n

nu c c n ; trong đó 1 2,c c được xác định khi biết 1 2,u u .

Trường hợp 3: Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm phức

x iy thì x iy cũng là nghiệm của phương trình đặc trưng.

Ta đặt: cos sin ;r i

Vậy số hạng tổng quát của dãy là 1 2( cos sin )n

nu r c n c n ;

trong đó 1 2,c c được xác định khi biết 1 2,u u .


định bởi: 1 2

2 1

,

n

n n n

u u

au bu cu dq

với 1n .


Giải phương trình đặc trưng 2 0a b c tìm nghiệm.

Ta có số hạng tổng quát của dãy là *

n n nu u u ; trong đó:

nu là nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng được

xác định như ở bài toán 4, với 1 2,c c chưa được xác định. *


+ Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm 1 q và 2 q

thì * n

nu kq , thay vào phương trình ta được:

15

2 1

2;n n n n d

akq bkq ckq dq kaq bq c

+ Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm 1 q hoặc

2 q thì * n

nu knq , thay vào phương trình ta được: 2 1

2

( 2) ( 1) ;

.( 2) ( 1)

n n n nak n q bk n q cknq dq

dk

a n q b n q cn

+ Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm 1 2 q thì

* 2 n

nu kn q , thay vào phương trình ta được: 2 2 2 1 2

2 2 2 2 2

( 2) ( 1) ;

.( 2) ( 1) 2

n n n nak n q bk n q ckn q dq

d dk

a n q b n q cn aq

Từ hệ thức *

n n nu u u ta tìm được 1 2,c c khi biết

1 2,u u .


định bởi: 1 2

2 1

,

( )n n n

u u

au bu cu f n

, 1n , ( )f n là đa thức bậc k

theo n .


Giải phương trình đặc trưng 2 0a b c tìm nghiệm.

Ta có số hạng tổng quát của dãy có dạng *

n n nu u u ; trong

đó:

nu là nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng được

xác định như ở bài toán 4, với 1 2,c c chưa được xác định.

*


+ Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm 1 1 và 2 1 thì * ( )nu g n .

+ Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm 1 1 hoặc 2 1

thì * ( )nu ng n .

16

+ Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm 1 2 1 thì

* 2 ( )nu n g n .

Trong đó ( )g n là đa thức cùng bậc với ( )f n .

Từ hệ thức *

n n nu u u ta tìm được 1 2,c c khi biết

1 2,u u .

2.4. ỨNG DỤNG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ĐỂ XÁC ĐỊNH

CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ

Ta xét một số bài toán sau:

Bài toán 2.4.1. Xác định số hạng tổng quát của hai dãy nu

và nv thỏa mãn

0 0

1

1

,

n n n

n n n

u v

u au bv

v cu dv

.

Phƣơng pháp giải

Đặt n

n

n

uX

v

, a b

Ac d

. Khi đó ta được:

1 0... n

n nX AX A X .

Như vậy bài toán sẽ được giải quyết khi ta xác định được nA .

Bài toán 2.4.2. Xác định số hạng tổng quát của các dãy

,n nx y và nz thỏa mãn:

0 0 0

1 1 1 1 *

1 2 2 2

1 3 3 3

, y ,

,n n n n

n n n n

n n n n

x z

x a x b y c zn

y a x b y c z

z a x b y c z

.


Đặt

1 1 1

2 2 2

3 3 3

,

n

n n

n

a b c x

A a b c X y

a b c z

. Khi đó ta được:

1 0... n

n nX AX A X .

17

2.5. PHƢƠNG PHÁP SỬ DỤNG HÀM SINH TÌM CÔNG

THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ

Cơ sở lý thuyết

Định nghĩa Hàm sinh thường của dãy số vô hạng 0n n

a

là

một chuỗi hình thức được xác định bởi: 2

0 1 2( ) ... ...n

nG x a a x a x a x

Sau đây tôi sẽ tổng kết một số công thức thường dùng trong

hàm sinh:

a/ 2 311 ...

1x x x

x

;

b/ 2 3

2

11 2 3 4 ...

(1 )x x x

x

;

c/ 2 3 *

1

0

1 ( 1) ( 1)( 2)1 ... ,

(1 ) 2! 3!

i i

i nni

n n n n nnx x x C x n

x

;

d/ 2 311 ...

1x x x

x

;

e/ 2 2 3 3

2

11 2 3 4 ...

(1 )ax a x a x

ax

;

f/ 2 311 ...

1

r r r

rx x x

x

;

g/ 2 311 ...

1

r r r

rx x x

x

Ứng dụng hàm sinh vào xác định công thức tổng quát của

dãy số

Xét một vài bài toán sau:


định bởi: 0 1

2 1

,u

n n n

u a b

u pu qu

với 0n .


Đặt ( )G x là hàm sinh cho dãy nu , ta có:

18

2 3

0 1 2 3( ) ...G x u u x u x u x ; 2 3 4

0 1 2 3( ) ...pxG x pu x pu x pu x pu x ; 2 2 3 4 5

0 1 2 3( ) ...qx G x qu x qu x qu x qu x ;

Cộng 3 đẳng thức trên vế theo vế, kết hợp với hệ thức truy hồi

đề cho ta được:

1 0 0

2

( )( )

1

u pu x uG x

px qx

.

Trường hợp 1: Nếu 2, :1 (1 )(1 )px qx x x ;

Do đó 1 0 0( )( )

(1 )(1 ) 1 1

u pu x u A BG x

x x x x

;

Quy đồng và đồng nhất hệ số ta tìm được ,A B .

0 0

( ) ( ) ( )1 1

n n

n n

A BG x A x B x

x x

.

Do đó hệ số của nx trong khai triển của ( )G x là n nA B

nên: , 0n n

nu A B n .

Trường hợp 2: Nếu 2 2:1 (1 )px qx x :

Do đó 1 0 0

2 2

( )( )

(1 ) 1 (1 )

u pu x u A BG x

x x x

;


20 0

( ) ( ) (n 1)( )1 (1 )

n n

n n

A BG x A x B x

x x

.

Do đó hệ số của nx trong khai triển của ( )G x là:

( 1) ( 1)n n nA B n A B n nên

[ ( 1)] , 0n

nu A B n n .

Trường hợp 3: Nếu

2, :1 1 1px qx i x i x

Do đó :

19

1 0 0( )

( )1 ( ) 1 ( )1 1

u pu x u A BG x

i x i xi x i x


0 0

( ) [( ) ] [( ) ]1 ( ) 1 ( )

n n

n n

A BG x A i x B i x

i x i x

Do đó hệ số của nx trong khai triển của ( )G x là

( ) ( )n nA i B i nên: ( ) ( ) , 0n n

nu A i B i n .

Ta có thể chuyển i về dạng lượng giác (cos sin )r i

để dễ tính lũy thừa.


định bởi: 0 1

2 1

,u

( )n n n

u a b

u pu qu f n

với 0n , (n)f là một biểu

thức theo n .

Phương pháp sử dụng hàm sinh để tìm công thức tổng quát

của dãy số có dạng đã cho tương tự như bài toán ở trên.

20

CHƢƠNG III

MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH SỰ TỒN TẠI

HOẶC TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

3.1. SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ BỊ CHẶN

Phương pháp chung.

Bước 1: Chứng minh dãy số tăng và bị chặn trên bởi số M

(hoặc giảm và bị chặn dưới bởi số m).

Bước 2: Tính giới hạn của dãy số theo một trong hai cách sau:

*Cách 1:

- Đặt lim nn

u a

;

- Từ hệ thức truy hồi ta được một phương trình theo ẩn a ;

- Giải phương trình tìm nghiệm a và giới hạn của dãy ( )nu là

một trong các nghiệm của phương trình trên.

*Cách 2:

- Tìm công thức tổng quát của dãy số;

- Tính giới hạn của dãy số dựa vào công thức tổng quát vừa

tìm.

3.2. DÙNG HÀM CO VÀ ĐỊNH LÝ LAGRANGE

Hàm số co. Hàm số : D Df được gọi là một hàm số co

trên D nếu tồn tại số thực 0 1q sao cho

( ) ( ) , ,f x f y q x y x y D .

Định lý. Nếu ( )f x là 1 hàm số co trên D thì dãy số (x )n xác

định bởi 0 1, ( )n nx a D x f x hội tụ. Giới hạn của dãy số là

nghiệm duy nhất trên D của phương trình ( )x f x .

Phương pháp này thường dùng đối với dạng bài toán:

Cho dãy số thực ( )nu xác định bởi 1 *

1

,( )n n

u an

u f u

.

21

Khi đó nếu ( )f u là hàm số có đạo hàm trên khoảng D chứa

a và ' ( ) 1,f u q u D thì ( )nu có giới hạn hữu hạn khi

n . Ngược lại nếu ( )f u là hàm số có đạo hàm trên khoảng D

chứa a , ( ) 0f a và ' ( ) 1,f u q u D thì ( )nu dần về dương

vô cùng khi n . Trường hợp ( )nu có giới hạn thì giới hạn đó

chính là nghiệm của phương trình ( )f u u .

Trong phương pháp này ta cũng thường dùng định lý Lagrange

Định lý Lagrange. Nếu f là hàm số liên tục trên ;a b và

khả vi trên (a;b) thì khi đó luôn tồn tại ;c a b sao cho '( ) ( ) ( )( )f b f a f c b a .

3.3. PHƢƠNG PHÁP DÃY PHỤ

Trong phương pháp này ta sẽ thông qua giới hạn của một dãy

số khác để tìm giới hạn của dãy số đã cho bằng cách đặt thêm một

dãy số phụ.

3.4. DÙNG GIỚI HẠN HÀM SỐ

Đối với một vài dãy số có dạng *( ),nu f n n , nếu ta có

lim ( )x

f x l

thì lim nu l . Như vậy, ta đã chuyển việc tính giới hạn

dãy số sang tính giới hạn hàm số. Khi tính giới hạn hàm số, ta có thể

sử dụng nhiều tính chất liên quan đến hàm số hơn. Và ta cũng có thể

sử dụng qui tắc L’Hospital để tính giới hạn đơn giản hơn, đó là điều

mà khi tính giới hạn dãy ta không dùng được.

3.5. SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN KẸP

Kết hợp giữa việc sử dụng các bất đẳng thức để đánh giá và sử

dụng nguyên lý kẹp, ta có thể tính được giới hạn của một số dãy số

cho bởi hệ thức truy hồi. Sử dụng phương pháp này ta có thể đưa bài

toán tìm giới hạn của dãy đã cho về bài toán tìm giới hạn của những

dãy đơn giản hơn.

22

3.6. DÙNG ĐỊNH LÝ STOLZ – CESARO

Định lý trung bình Cesaro. Nếu dãy số nu có giới hạn hữu

hạn là a thì dãy số các trung bình cộng 1 2 ... nu u u

n

cũng có

giới hạn là a .

Định lý này có thể phát biểu dưới dạng tương đương sau:

Nếu 1lim n nn

u u a

thì lim n

n

ua

n .

Định lý Stolz . Cho 2 dãy ,n nu v thỏa mãn:

i/ nv tăng thực sự đến ;

ii/ 1

1

lim n n

nn n

u ua

v v

;

Khi đó lim n

nn

ua

v .

Định lý trung bình Cesaro và định lý Stolz có nhiều ứng dụng

trong việc tìm giới hạn của dãy số, đặc biệt là các dãy số có dạng

1n n nu u u

.

3.7. SỬ DỤNG TỔNG TÍCH PHÂN

Để tìm giới hạn của một tổng phụ thuộc vào n , trong

nhiều trường hợp ta gặp khó khăn trong việc phân tích để tính tổng

đó. Tuy nhiên, ta lại có thể phân tích tổng này về dạng tổng của tích

phân, rồi chuyển bài toán tính giới hạn về bài toán tính tích phân

tương ứng.

Theo định nghĩa tích phân xác định thì ta có : Nếu hàm ( )f x

khả tích trên đoạn ;a b thì với mọi phép phân hoạch của đoạn

;a b và mọi cách chọn các điểm 1; , 1,2,...,i i ix x i n ta luôn

có 10

1

( ) lim ( )( )

b n

i i id

ia

f x dx f x x

. Trong đó 11max( )i i

i nd x x

.

23

Như vậy, để tính giới hạn của một tổng dựa vào định nghĩa

tích phân ta có thể làm như sau:

Xét hàm ( )f x xác định trên đoạn ;a b ;

Chia đoạn ;a b thành n đoạn bằng nhau, giới hạn bởi ( 1)n

điểm chia 0,ix i n như sau: 0 1 2 ... nx a x x x b .

Lấy 1[ ; ],i=1,i i i i

b ax a i x x n

n

;

( )i

b af f a i

n

.

Ta lập tổng 1

1 1

( )( )n n

n i i i

i i

b a b aS f x x f a i

n n

.

Nếu ( )f x khả tích trên ;a b thì lim ( )

b

nn

a

S f x dx

.

3.8. PHƢƠNG PHÁP LẤY TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Nội dung chính của phương pháp này là lựa chọn dãy phù hợp

nhằm áp dụng công thức tích phân từng phần để tìm ra quy luật của

dãy. Từ đó tính giới hạn theo yêu cầu của đề bài.

24

KẾT LUẬN

Nội dung chính của luận văn tập trung ở chương II và

chương III. Các kết quả cụ thể của luận văn gồm :

Hệ thống được các phương pháp thường gặp nhất trong bài

toán tìm công thức tổng quát của dãy số và bài toán chứng minh sự

tồn tại hoặc tìm giới hạn của dãy số, bao gồm cả một số phương pháp

sử dụng kiến thức Toán cao cấp. Trong phần xác định công thức tổng

quát của dãy số ở chương II, luận văn đã đưa ra được một số bài toán

ở dạng tổng quát và phương pháp giải chung cho mỗi dạng.

Chọn lọc được những bài toán ở các cuộc thi để làm ví dụ

minh họa cụ thể cho từng vấn đề được đề cập trong luận văn.

Tuy nhiên, do những hạn chế nhất định về trình độ khoa học,

thời gian thực hiện và kinh nghiệm nghiên cứu nên luận văn còn

những hạn chế nhất định, như :

Khi tìm hiểu về ứng dụng phương trình sai phân tuyến tính

để xác định công thức tổng quát của dãy số, luận văn chỉ chủ yếu tập

trung vào ứng dụng của phương trình sai phân tuyến tính cấp một và

cấp hai ở một số dạng bài toán cơ bản mà không mở rộng thêm.

Documents

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ THÙY NHI MỘT SỐ VẤN ĐỀ …tailieuso.udn.vn/bitstream/TTHL_125/6394/1/NguyenThiThuyNhi.TT.pdfxác định công thức tổng quát