CALCULABILITATE SI COMPLEXITATESubiecte de examen

Ianuarie 2007

I.) Maşini Turing Definiţia TM şi relaţia cu DFA şi PDAVariante de TM: definiţii şi teoreme de echivalenţă (cu n benzi, nedet, enumerator)Teza Church-TuringProblema a 10a a lui Hilbert şi rezultatul lui MATIJASEVIČ

II.) Probleme decidabile pentru clasa limbajelor regulate Teoreme: ACCDFA, ACCNFA, EMPTDFA, EQDFA

III.) Probleme decidabile pentru din clasa limbajelor independente de context Teoreme: ACCCFG (inclusiv lema aux.), EMPTDFA, EQDFA (de ce nu incă) Teorema: orice CFL este decidabil

IV.) Relaţia dintre clasele de limbaje din ierarhia Chomsky Teorema: există un limbaj pe care nu-l recunoaşte nici o TM Teorema: Limbajul ACCTM este nedecidabilDefiniţie: limbaj coTuring recunoscutTeorema: L decidabil L e Turing rec şi coTuring recunoscut

nu e Turing recunoscutRelaţia dintre clasele de limbaje (justificarea incluziunilor şi a faptului că sunt stricte)

V.) Probleme nedecidabile pentru din clasa limbajelor recursiv enumerabile Definiţii: funcţie calculabilă, reductibilitate funcţionalăLeme: A m B şi B decidabil A decidabil; A m B şi A nedecidabil B nedecidabil; idem pentru limbaje (ne)recunoscute de TMProblema opririiTeoreme:, EMPTTM, EQTM sunt nedecidabileTeorema: REGTM este nedecidabilTeorema lui Rice

VI.) Complexitatea timp a modelelor de calculabilitate Definiţii: complexitatea timp (determinist, nedetreminist), clasele TIME(f(n)),

NTIME(f(n)), P, NP, EXPTIME, coNP (definiţia verificatorului şi teorema de echivalenţă cu TM nedeterministă: doar ideea dem)Notaţia asimptotică: definiţii, proprietăţiTeoremele de transformare a TM cu n benzi / nedeterminsită în TM standard)

VII.) P versus NP Definiţii: complexitatea timp (determinist, nedetreminist), clasele TIME(f(n)),

NTIME(f(n)), P, NP, EXPTIME, coNP Exemple de probleme decidabile în timp polinomial / exponenţial (PATH (dem), RELPRIME (enunţ), L CFL (enunţ) / HAMILTPATH (dem), COMPOSITES, CLIQUE, SUBSET-SUM: enunţuri) P versus NP şi relaţia dintre clasele de complexitate timp (diagrama şi enunţuri de teoreme)NP-completitudine: definiţii: funcţia polinomial calculabilă, reductibilitate polinomială; Teorema Cook-Levin: SAT P P = NP doar enunţ)

VIII.) Complexitatea spaţiu

1

Definiţii: complexitatea spaţiu (determinist, nedetreminist), clasele SPACE(f(n)), NSPACE(f(n)), PSPACE, NPSPACE Teorema lui Savitch: Fie o funcţie f: N R+ cu proprietatea: f(n) n NSPACE(f(n)) SPACE(f2(n))Relaţia dintre clasele de complexitate timp şi spaţiu: P PSPACE = NPSPACE EXPTIME; NP PSPACE = NPSPACE EXPTIMEPSPACE-completitudine (exemple de probleme PSPACE-complete: TBQF, Formula-joc, Jocul-geografic)Definiţii: clasele L şi NL; TM cu spaţiu logaritmic şi transducerul cu spaţiu logaritmic

NL-completitudine; relaţia dintre clasele de complexitate L NL = coNL P PSPACE

Observatie:Un singur subiect: se vor enunta toate definitiile, propozitiile, teoremele si se va demonstra un singur rezultat (la alegere)

2