SVEUČILIŠTE U RIJECI TEHNIČKI FAKULTET ZAVOD ZA TEHNIČKU MEHANIKU KATEDRA ZA DINAMIKU STROJEVA

2. KOLOKVIJ IZ KOLEGIJA ˝KINEMATIKA˝ grupa A

1. Kinematika krutog tijela. Definirati kruto tijelo te osnovne oblike krutog tijela. Pokretljivost

krutog tijela i stupnjevi slobode gibanja. Definicija položaja krutog tijela u prostoru. 2. Chaslesov teorem te izrazi za brzinu i ubrzanje komplanarnog gibanja vezani za taj teorem.

Analitičko određivanje brzina i ubrzanja. Trenutni pol brzina. 3. U cijevi ABC polukružnog oblika polumjera R = 40 cm koja rotira

oko osi z po zakonu 2

8tπϕ iba se točka M od osi z prema točki

A po zakonu

= , g

3

24tπϑ = nati apsolutnu brzinu i apsolutno

ubrzanje točke M u položaju 60

. Izraču

ϑ = ° . BA

CD

b

a

A

aD

4. Pravokutnik ABCD giba se u ravnini te rotira u suprotno od smjera kazaljke na satu (u pozitivnom smjeru). Ubrzanje vrha A usmjerno je od A prema B i iznosi aA = 10 cms-2 dok ubrzanje vrha D leži na pravcu dijagonale DB i iznosi aD = 44.72 cms-2. Stranice pravokutnika su AD = BC = b = 10 cm i AB = DC = a = 2b = 20 cm. Odrediti ubrzanje točke B.

5. Odrediti poloide štapa AB, koji je iste dužine kao i štap OA,

OA=AB=20 cm. Odrediti brzinu i ubrzanje klizača B (analitički) ako se štap OA okreće jednoliko oko točke O s

okr90min

n = , a u položaju kad štap OA s osi OB zatvara kut

ϕ=45°. ϕ

ω

BOR

SVEUČILIŠTE U RIJECI TEHNIČKI FAKULTET ZAVOD ZA TEHNIČKU MEHANIKU KATEDRA ZA DINAMIKU STROJEVA

2. KOLOKVIJ IZ KOLEGIJA ˝KINEMATIKA˝ grupa B

1. Rotacija krutog tijela oko fiksne osi. Brzine i ubrzanja točke pri rotaciji oko fiksne osi. Definirati

vektor kutne brzine i kutnog ubrzanja. 2. Poloide. Pomična i nepomična poloida. Teorem Poinsota. Polarna konfiguracija mehaničkih

sustava. Metoda pola brzina. Metoda pola ubrzanja. 3. Trokutna ploča ABC, stranica b=30 cm i a=40 cm , rotira oko osi

AB po zakonu (14

t

y

z

x

C

M

b

a

A

B

)πϕ = + . Iz vrha B giba se po hipotenuzi BC

pomična točka po zakonu s= BM =25 t2, cm. Odrediti brzinu i ubrzanje pomične točke M u trenutku t=1 s od početka gibanja iz početnog položaja B. Nacrtati komponente vektora brzine i ubrzanja.

4. Kotač polumjera R = 40 cm kotrlja se bez klizanja po

horizontalnom pravcu i pri tome se centar C kreće brzinom v =4t. Potrebno je odrediti veličine brzine i ubrzanja točaka A, B, C i P poslije t = 2 s kretanja.

y

C

B

A

Ps

5. Odrediti brzine i ubrzanja točaka A, B

i C pomoću plana brzina i ubrzanja za zadani mehanizam ako je zadano: O1A=AC=0,2 m, AB=0,6 m, α=45°, ω=1 s-1 i ε=0 s-2.

SVEUČILIŠTE U RIJECI TEHNIČKI FAKULTET ZAVOD ZA TEHNIČKU MEHANIKU KATEDRA ZA DINAMIKU STROJEVA

2. KOLOKVIJ IZ KOLEGIJA ˝KINEMATIKA˝ grupa C

1. Sektorska brzina materijalne čestice. Nacrtati skicu. Napisati izraz za sektorsku brzinu te izvesti

izraz za sektorsku brzinu u cilindričnom koordinatnom sustavu. Izvesti izraz koji povezuje cirkularno ubrzanje i sektorsku brzinu materijalne čestice.

2. Metode za određivanje brzine komplanarnog gibanja. Objasniti metodu pola brzina, metodu

zakrenutih brzina, metodu projiciranih brzina te metodu plana brzina. 3. Na valjak namotan je tanki konopac čiji je kraj B pričvršćen za

nepomičnu točku. Valjak pada s brzinom osi valjka vA koja je određena izrazom . Polumjer valjka jednak je r=0.2 m. Potrebno je odrediti brzine i ubrzanja točaka C i E u trenutku t = 1 s.

2Av t=

x

y

A

B

C

E

r

2Točka A na klizaču giba se po nosaču po zakonu = 3+3 , dok nosač rotira po zakonu =2 . Odrediti apsolutnu brzinu i ubrzanje točke A u trenutku = 2 s.

s tt tω

4.

O

A 5. Za zadani položaj mehanizma odrediti brzine i

ubrzanje točaka A, B i C pomoću plana brzine i ubrzanja ako je zadano:

1 25 cmO A = , 30 cmAC AB= = ,

2 40 cmO B = , , , , i .

30 cmb = 5 cmc = -11 sω =-21 sε = 45ϕ =

SVEUČILIŠTE U RIJECI TEHNIČKI FAKULTET ZAVOD ZA TEHNIČKU MEHANIKU KATEDRA ZA DINAMIKU STROJEVA

2. KOLOKVIJ IZ KOLEGIJA ˝KINEMATIKA˝ grupa D

1. Translacijsko gibanje krutog tijela. Rotacija krutog tijela oko fiksne osi. Brzine i ubrzanja točke

pri rotaciji oko fiksne osi. 2. Složeno gibanje materijalne čestice. Nacrtati skicu. Objasniti pojam prijenosnog, relativnog i

apsolutnog gibanja. Izvesti izraze za brzinu i ubrzanje složenog gibanja materijalne čestice. Objasniti pojam Coriolisovog ubrzanja.

3. Točka se giba po kardioidi polarne jednadžbe 4 4cosr ϕ= − konstantnom sektorskom brzinom

2cm4s

S = . Potrebno je odrediti brzinu, ubrzanje i polumjer zakrivljenosti putanje u položaju

2πϕ = .

4. Odrediti analitički pomičnu i nepomičnu poloidu pri

komplanarnom gibanju štapa AB dužine l, čiji se krajevi gibaju duž osi x i y.

5. Za zadani mehanizam odrediti brzine i ubrzanja svih točaka

metodom plana brzine i plana ubrzanja, ako je zadano: 2O1A = AB = O1O2 = 50 cm, O2B = 2O2C = 40 cm, ϕ = 120°, ω = 1 s-1 i ε = 1 s-2.

A_3zad

2

3

40cm

=8

24 3?

R

t

t

a

πϕ

π πϑ

=

= =

=

3

-1

22

2

-2

2

8 2sprijenosno gibanje

2 2 s8 4 4 2

sin sin sin 403

34.64cmcm34.64 54.41

2 s

cm34.64 85.472 s

d sd 4

cm34.64 27.214 s

relativ

p p

p

p

n tp p p

np

tp

tp

t t

v r

t t

r r RR

v

a a a

a r

a r

t

a

ω

π π π πω ϕ

πϑ ϑ

π

πω

ε

ω πε

π

= → =

=

= = = = =

= → = ⋅ = ⋅

=

= =

= +

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

=

= =

= =

2 2

22

2

-2

2

no gibanje

3 2 s24 8 8 2

cm40 62.832 s

cm40 98.72 s

d 2 2 sd 8 4 4 2

cm40 62.832 s

r r

r

r

n tr r r

nr r

tr r

rr

tr

v R

t t

v

a a a

a R

a R

t tt

a

ωπ π π πω ϑ

π

πω

εω π π π πε

π

=

= = = = =

= =

= +

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

=

= = = = =

= =

( )( )

2

Coriolisovo ubrzanje

2

2 sin ,

cm2 62.83 sin 30 98.72 s

Cor p r

Cor p r p r

Cor

a v

a v v

a

ω

ω ω

π

= ×

=

= ⋅ ⋅ ⋅ ° =

2 2 2 2

Apsolutna brzinacm54.41 62.83 83.11sp rv v v= + = + =

2

2

2

2 2

Apsolutno ubrzanje

cm98.7 27.21 125.91s

sin cos

cm85.471 sin 98.7 cos 62.83 139.533 3

cos sincmcos 98.7 sin 62.83 103.76

3 3 s

x y z

tx Cor p

n t ny p r r

n tz r r

y

z

x y

a a i a j a k

a a a

a a a a

a a a

a a

a

a

a

ϑ ϑ

π π

ϑ ϑπ π

= + +

= + = + =

= + ⋅ − ⋅

= + ⋅ − ⋅ =

= ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅ =

= + +

s

2 2 2

2

125.91 139.53 103.76

cm214.7s

za

a

= + +

=

2

-1

A_4zad

2

-1

-2

2 22

10tg arctg 26.5720

sin

sin sin 26.57 44.72 1,41s10

coscos cos 26.57 44.72 10 3s

10

cm1.41 20 40s

n tD A DA DA

nDA D

D

tDA D A

D A

n tB A BA BA

nBA

tBA

a a a aba

a a b

ab

a a a ba ab

a a a a

a a

a

α α

α ω

αω

α εαε

ω

= + +

= → = = °

= ⋅ =

⋅ ° ⋅= = =

= ⋅ − =⋅ + °⋅ −

= =

= + +

= = ⋅ =

=

( ) ( )( )

2

2 2

2 22

cm3 20 60s

cm10 40 60 67.1s

n tB A BA BA

B

a

a a a a

a

ε= = ⋅ =

= − +

= − + =

A_5 zad -izračun poloida kao i na vježbama zad. 17 -brzina i ubrzanje za točku B određuje se za kut ϕ=45°

2

cm2.67s

cm25.1s

B

B

v

a

= −

= −

B_3zad

( )2

14 4

25

??

M

M

t t

s t

va

4π π πϕ = + = +

=

==

2 2

-1

22

2

Prijenosno gibanje

sin

tg

30arctg 36.8740

25 25 1 25cmsin 36.87 25 15cm

d sd 4

cm15 11.784 s

cm15 9.254 s

d0

d0

p p

p

p p

n tp p p

np

tp

p

tp

np p

v r

r sba

s tr

t

v r

a a a

a r

a r

ta

a a

ω

α

α

α

ϕ πω

πω

πω

ε

ωε

=

= ⋅

=

= = °

= = ⋅ == °⋅ =

= =

= = ⋅ =

= +

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

=

= =

=

=

2

Relativno gibanjed c25 2 50 50 1 50d sd cm50d s

r

rr

sv t ttvat

= = ⋅ = = ⋅ =

= =

m

( )( )( ) 2

Coriolisova komponenta ubrzanja

2

2 sin ,

cm2 50 sin 180 36.87 47.124 s

Cor p r

Cor p r p r

Cor

a v

a v v

a

ω

ω ω

π

= ×

=

= ⋅ ⋅ ⋅ ° − ° =

2 2 2 2

2

2

Apsolutna brzina

cm11.78 50 51.37s

Apsolutno ubrzanje

cm47.12s

sin

cm9.25 sin 36.87 50 20.57s

cos cos36.87 50

p r p r

p r

np r Cor x y z

x Cor

ny p r

z r

y

v v v v v

v v v

a a a a a i a j a k

a a

a a a

a

a

a

α

α

= + ⊥

= + = + =

= + + = + +

= − = −

= − − ⋅

= − + °⋅ =

= − ⋅ = − °⋅

( ) ( )

2

2 2 2

2 222

cm40s

cm47.12 20.57 40 65.14s

x y za a a

a

a

= −

= + +

= − + + − =

B_4zad

-1

-1

40cm4

2s

cm4 4 2 8s

04 0.1 0.1 2 0.2s40

d 0.1sd

C

C

P

CC

Rv tt

v t

vv tv R tR

t

ω ω

ωε

==

=

= = ⋅ =

=

= ⋅ → = = = = ⋅ =

= =

2 2 2 2

cm8s

cm8 8 11.31s

cm8s

cm8 8 16s

A C AC

AC

A C AC

B C BC

BC

B C BC

v v v

v R

v v v

v v v

v R

v v v

ω

ω

= +

= ⋅ =

= + = + =

= +

= ⋅ =

= + = + =

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 22

2

2 2

2 22

2 2

2 22

cm0.2 40 1.6s

cm0.1 40 4s

cm4 4 1.6 1.6s

cm4 1.6 4 6.88s

n tP C PC PC

n n nPC AC BC

t t tPC AC BC

t nP C PC PC

n tA C AC AC

n tA C AC AC

n tB C BC BC

B C B

a a a a

Ra a a

a a a R

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

a a a

ω

ε

= + +

= = ⋅ == =

= = = = ⋅ =

= + +

= − + =

= + +

= + +

= + + =

= + +

= +( ) ( )( )

2 2

2 22

cm4 4 1.6 8.16s

t nC BCa+

= + + =

B_5zad

1m1 0.2 0.2s

horizontalan

m1.8 0.1 0.18sm1.5 0.1 0.15s

0.15 m0.2 0.050.6 s

A

B A BA

BA

B

B B v

BA BA v

C A CA

BACA ABC

v O A

v v v

v ABv

v v M

v v M

v v vvv AC ACAB

ω

ω

= ⋅ = ⋅ =

= +

⊥

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ = ⋅ =

= +

= ⋅ = = =

2 21 2

1

2 2

2

2

2

2

m1 0.2 0.2s

0

0.15 m0.03750.6 s

0.0375 0.375cm0.1

m1.5 0.1 0.15s

m0.13sm0.14s

n tA A A

nA

tA

nA A

n tB A BA BA

n BABA

nn nBABA BA

a

B B a

tBA

BA

C A C

a a a

a O A

a O A

a a

a a a a

vaABaa aM

a a M

a

a

a a a

ω

ε

= +

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ =

=

= + +

= = =

= = =

= ⋅ = ⋅ =

=

=

= +

AB

2

2

0.2 m0.14 0.0470.6 s

0.047 0.47cm0.1

m1.7 0.1 0.17s

A

CA

BA

CA BA

CACA

a

C C a

a ACa AB

ACa aAB

aaM

a a M

= →

= = =

= = =

= ⋅ = ⋅ =

C_3zad

2

2

22 -

-2

2

0.2m1s

m1 1s

0

5 5s0.2

d 5 2 10sd

d m2 2 1 2d s

A

A

C

AA

AA

v trt

v

v

v tv r tr

tt

va tt

ω ω

ωε

===

= =

=

= ⋅ → = = = =

= = ⋅ =

= = = ⋅ =

1

2 2 2 2

m5 0.2 1s

m1 1 1.41s

E A EA

EA

E A EA

v v v

v r

v v v

ω

= +

= ⋅ = ⋅ =

= + = + =

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 22

2

2 2

2 22

2 2

222

m5 0.2 5s

m10 0.2 2s

m2 5 2 3.6s

m5 2 2 5s

n tE A EA EA

n nEA CA

t tEA CA

n tE A EA EA

n tC A CA CA

n tC CA A CA

E

a a a a

a a r

a a r

a a a a

a a a a

a a

a

a a

ω

ε

= + +

= = = ⋅ =

= = = ⋅ =

= + +

= − + =

= + +

= + −

= + − =

C_4zad

-1

2 2

2 22

-2

2

Prijenosno gibanje

2 2 2 4s3 3 3 3 2 15m

m4 15 60s

m4 15 240s

d 2sd

m2 15 30s

p

p

n tp p p

np

tp

tp

v s

ts t

v

a a a

a s

a s

t

a

ω

ω

ω

ε

ωε

= ⋅

= = ⋅ =

= + = + ⋅ =

= ⋅ =

= +

= = ⋅ =

=

= =

= ⋅ =

2

Relativnogibanjed m3 2 6 2 12d sd m6d s

r

rr

sv ttvat

= = ⋅ = ⋅ =

= =

( )( )

2

Coriolisova komponenta ubrzanja

2

2 sin ,

m2 4 12 sin 90 96s

Cor p r

Cor p r p r

Cor

a v

a v v

a

ω

ω ω

= ×

= ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ° =

( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2

2 2

2 22

Apsolutna brzinam12 60 61.18s

Apsolutno ubrzanje

m30 96 6 240 265.8s

p r

t np Cor r p

v v v

a a a a a

= + = + =

= − + −

= + + − =

C_5zad_riješen u vježbama, zad. broj 17D

D_3zad

22

1

1 1 1

4 4coscm 14

s 2

2?, ?, ?

r

S r

v a

ϕ

ϕ

πϕ

ρ

= −

= =

=

= = =

( )

2 2

2

-12

2 2 2 2

4 sin2

4 4cos 4cm2

2 4 0.5s4

cm4 sin 0.5 22 s

cm4 0.5 2s

cm2 2 2.83s

r

r

r

r

v v v

v rS

r

r

v

v r

v v v

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ

π

ϕ

π

ϕ

= +

= = − −

=

= − =

⋅= =

= ⋅ ⋅ =

= = ⋅ =

= + = + =

( ) ( )

( )

( )( )

( )

( )

2 2

2

3 -3

2 2

2 2

2

d 4sin4 cos sin

dd 12 2 4 4 2 0.5sd 44 cos sin

4 cos 0.5 sin 0.5 4 0.52 2

cm4 0.5 1 3s

2 4 0.5 2 2 0

r

r

r

r

r

a

a a a

a r r

rt

S r rt

a r

a r

a

r

ϕ

ϕ

ϕϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

π π

ϕ ϕ

−

= +

= −

⋅= = ⋅ ⋅ +

= = − = − ⋅ ⋅ ⋅ = −

= ⋅ − ⋅ −

⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ − − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

= − − = −

= + = − + ⋅ ⋅ .5 2 2 0= − + =

2

⋅

D_4zad -rješen je na vježbama, zadatak 16D

( )

2

2

2

2 0 2 3 cm2.122.83 s

2.83 3.78cm2.12

n

r rn

va

v a v aa

vϕ ϕ

ρ

ρ

=

− ⋅ − ⋅ −= = =

= =

D_5zad

1

2

2

2

2

2

cm1 25 25s

25 2.5cm10

cm0.3 10 3s

cm25s

20 cm25 12.540 s

A

AA

v

B A BA

BA B

BA BA v

B

C

B

C B

v O A

vvM

v v v

v AB v O B

v v M

v

v O Cv O B

O Cv vO B

ω= ⋅ = ⋅ =

= = =

= +

⊥ ⊥

= ⋅ = ⋅ =

=

=

= = =

2 21 2

1 2

2

2 2

2

2 2

22

2

2

2

2

2

cm1 25 25s

cm1 25 25scm3.6 10 36s

21 cm8.8250 s30 cm22.540 s

cm19s

cm2scm30s

n tA A A

nA

tA

A A a

n t n tB A BA BA B B

n BABA

n BB

tB

tBA

B

C

B

a a a

a O A

a O A

a a M

a a a a a a

vaABva

O B

a

a

a

a O Ca O B

ω

ε

= +

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ = ⋅ =

= + + = +

= = =

= = =

=

=

=

= → 22

2

20 cm30 1540 sC B

O Ca aO B

= = =