BROJ STEPENI SLOBODE SISTEMA MATERIJALNIH TAČAKA. VEZE

BROJ STEPENI SLOBODE KRUTOG TELAa) Broj stepeni slobode sistema meterijalnih tačaka. Vezeb) Stepeni slobode krutog telac) Slobodno kruto telod) Pločae) Štap

VRSTE KRETANJA KRUTOG TELA. ZADATAK KINEMATIKE KRUTOG TELA

TRANSLATORNO KRETANJE KRUTOG TELA

PUTANJE, BRZINE I UBRZANJA TAČAKA TELA

OBRTANJE KRUTOG TELA OKO NEPOMIČNE OSE

ZAKON OBRTANJA TELA. UGAONA BRZINA I UGAONO UBRZANJEBRZINE I UBRZANJA TAČAKA TELA

ODREĐIVANJE POLOŽAJA POKRETNOG TELA U PROSTORU

Broj stepeni slobode sistema meterijalnih tačaka. Veze Sistem materijalnih tačaka u kome kretanje svake tačke zavisi od kretanja ostalih tačaka sistema od n tačaka M1, M2, ..... Mn ima vektore položaja:

{ }{ }

{ }

1 1 1 1

2 2 2 2

n n, n n

r x , y ,z ,

r x , y ,z , ...

r x y ,z .

=

=

=

r

r

r

( ) ( ) ( )1 1 2 2 n nr r t , r r t , .......r r t .= = =r r r r r r

Pri kretanju sistema vektori položaja su neke funkcije vektora t:

Slobodan sistem – kretanje svake tačke je nezavisnood kretanja ostalih tačaka sistema.Broj nezavisnih parametara, pomoću kojih se možejednoznačno odrediti položaj krutog tela u prostoru u odnosu naproizvoljno izabrani sistem referencije, naziva se broj stepenislobode krutog tela.p – broj stepeni slobode sistema

p= 3n

Stepen slobode predstavlja broj mogućnosti kretanja tela.

Vezani sistemi – kretanja tačaka su međusobnozavisna.Zavisnost između kretanja tačaka nazivamo vezama. Ako sistem ima k veza potrebno je p=3n-k nezavisnih parametara za određivanje položaja sistema. Znači da sistem od n materijalnih tačaka sa kveza ima

p=3n-kstepeni slobode.

Stepeni slobode krutog telaKruto telo je telo kod koga rastojanje između bilo koje dve čestice ostaje nepromenjeno u toku vremena.Kruto telo se može posmatrati kao specijalan slučaj vezanog sistema matrijalnih tačaka kod koga važi:

( ), , 1,2,... . 1l k k lM M r r const k l n= − = =r r

Pored veza oblika (1), koje geometriski objašnjavaju unutrašnji sastav krutog tela, telo, kao celina, može biti vezano na različite načine, pa prema tome može i imati različiti broj stepeni slobode.

Slobodno kruto teloSloboda kretanja tela kao celine nije ničim ograničena. Takvo kretanje naziva se opštim kretanjem krutog tela. Posmatraju se neke tri tačke tela, recimo M1, M2, i M3. Pošto je telo kruto veze oblika ( 1 ) moraju da važe:

( ) ( ) ( )2 2 21 2 2 1 2 1 2 1 2 1M M ,r r x x y y z z const= − = − + − + − =

r r

( ) ( ) ( )2 2 22 3 3 2 3 2 3 2 3 2M M ,r r x x y y z z const= − = − + − + − =

r r

( ) ( ) ( )2 2 23 1 3 1 3 1 3 1 3 1M M .r r x x y y z z const= − = − + − + − =r r

Za neku proizvoljnu tačku Mi, od ostalih n-3 tačaka, veze (1) takođe važe:

1 i 1M M ,ir r const= − =r r

2 i 2M M ,ir r const= − =r r

3 i 3M M .ir r const= − =r r

Ukupan broj veza: ks=3+3(n-3)=3n-6.Broj stepeni slobode krutog tela je: ps=3n-ks=6.

PločaPloča je kruto telo kod koga je jedna dimenzija zanemarljiva u odnosu na druge dve. Kroz svaku ploču mogu se postaviti tri međusobno ortogonalne ravni koje su određene trima koordinatama: A (xA, yA, zA), B (xB, yB, zB), C (xC, yC, zC). To su tačke kojima je određena ravan. Broj tačaka je n=3.

• Broj veza je k=3: AB=const, BC=const, CA=const.

p=3n-k=6

Broj stepeni slobode:

ŠtapŠtap je kruto telo kod koga su dve dimenzije zanemarljive u odnosu na treću (dužina štapa). Štap je određen ako su poznate koordinate dve tačke u prostoru: A(xA, yA, zA), B(xB, yB, zB). Dakle, broj tačaka kojima je određen štap u prostoru je n=2.

• Veza je AB=l=const, pa je

p=3n-k=3x2-1=5

Broj stepeni slobode štapa:

Vrste kretanja krutog tela

1. translatorno kretanje;2. obrtanje oko nepomične ose;3. obrtanje oko nepomične tačke;4. ravno kretanje;5. opšte kretanje krutog tela;6. složeno kretanje.

1. određivanje karakteristika kretanja krutog tela kao celine (ugaona brzina, ugaono ubrzanje);

2. određivanje karakteristika kretanja tačaka tela (putanja tačke tela, brzina, ubrzanje tačke tela).

U zavisnosti od veza kojima je telo izloženo postoje sledeće vrste kretanja:

Zadatak kinematike krutog tela

Translatorno kretanje krutog telaPutanje, brzine i ubrzanja tačaka tela

Pri translatornom kretanju krutog tela svaka materijalna duž tela (duž koja spaja dve tačke) ostaje paralelna tokom čitavog kretanja odgovarajućem nepomičnom pravcu.

Po definiciji translatorno kretanje je okarakterisano relacijom:

0 0

0 0

B A

B A

AB const A Br r ,

r r .

= ρ = =

= + ρ

= + ρ

uuur uuuuurrr r r

r r r

Putanje svih tačaka krutog tela koje izvodi translaciju su identične ali međusobno pomerene.

B Ar r= + ρr r r

Diferenciranjem po vremenu, dobija se: B Adr dr ddt dt dt

ρ= +

r r r

def defB A

B A

dconst, 0,dt

dr drv , v ,dt dt

ρρ = ⇒ =

= =

rr

r rr rA Bv v=

r r

Brzine tačaka A i B

Diferenciranjem jednačine po vremenu, dobija se:A Bv v=r r

def defB A

B Adv dv, dt dt

= =r rr ra a A B=r ra a

Ubrzanja tačaka A i B

Brzine i ubrzanja svih tačaka tela koje izvodi translaciju su međusobno jednake.

Kretanje tela kao celine je potpuno određeno putanjom, brzinom i ubrzanjem jedne bilo koje tačke od njegovih tačaka, recimo tačke A, pošto su putanje, brzine i ubrzanja svih tačaka međusobno jednake.

( )( )( )

A A

A A

A A

x x t

y y t

z z t

=

=

=

Nezavisni parametri koji određuju kretanje tela pri translatornom kretanju mogu da budu koordinate neke tačke A:

Broj stepeni slobode tela koje izvodi translaciju je tri – što je broj stepeni slobode bilo koje njegove tačke.

Zakoni translatornog kretanja

Ugao obrtanja, ugaona brzina i ugaono ubrzanje su veličinekoje predstavljaju karakteristike kretanja tela kao celine.

Obrtanje krutog tela oko nepomične ose

Jedan od najprostijih vidova kretanja krutog tela.

Obrtanje krutog tela oko nepokretne ose je takvo kretanje tela pri kome bilokoje dve tačke tela ostaju za vreme kretanja nepokretne.

Nepokretne su i sve ostale tačke koje se nalaze na pravoj liniji koja prolazi krozte dve nepokretne tačke i koja se nazivanepokretna osa.

Zakon obrtanja krutog tela oko nepomične oseUgaona brzina, ugaono ubrzanje

( )tϕ = ϕ

( ) ( ) ( )def

z srt t t

t tϕ + ∆ − ϕ ∆ϕ

ω = =∆ ∆

Položaj tela pri obrtanju određen je uglom ϕ.

Zakon promene generalisane koordinate ϕ u funkciji vremenapredstavlja zakon obrtanja tela oko nepomične ose.

Srednja ugaona brzina ( ωz)sr je relativan priraštaj ugla obrtanja:

Trenutna ugaona brzina ω je granična vrednost srednje ugaone brzine kada vremenski interval teži nuli:

( )def

z z srt 0 t 0

dlim lim .t dt∆ → ∆ →

∆ϕ ϕω = ω = = = ϕ

∆&

Trenutna ugaona brzina ω je jednaka prvom izvodu ugla obrtanja po vremenu

Ugaono ubrzanje tela, koje se obrće oko nepomične ose u datom trenutku vremena,po intenzitetu je jednako prvom izvodu po vremenu ugaone brzine ili drugom izvodupo vremenu ugla obrtanja tela.

Priraštaj ugaone brzine u intervalu vremena ∆t:

z

z z

z

01 10T s

0

ω ⟩

ω ⟨ ω = = ω =

Srednje ugaono ubrzanje ( )def

zz sr .

t∆ω

ε =∆

Ugaono ubrzanje u datom trenutku vremena:

( )2

z zz z z 2srt 0 t 0

d dlim lim .t dt dt∆ → ∆ →

∆ω ω ϕε = ε = = = ω = = ϕ

∆& &&

Vektor ugaone brzine tela koje se obrće oko nepomične ose je vektor čijije intenzitet jednak apsolutnoj vrednosti prvog izvoda ugla obrtanja povremenu, pravac mu se poklapa sa pravcem ose obrtanja, a smer vektora jetakav da obrtanje gledano sa njegovog vrha ima smer suprotan smeruobrtanja kazaljke na satu.

zd k k.dtϕ

ω = = ωr rr

Vektor ugaonog ubrzanja jednak je prvom izvodu vektora ugaone brzine po vremenu:

0 i kϕ > ⇒ ωrr&

0 i kϕ < ⇒ ωrr&

z zz z

d d dk dk k k.dt dt dt dtω ω ω

ε = = + ω = = εrr r r rr

Vektori ugaone brzine i ugaonog ubrzanja su kolinearni.

vektori istog smera

vektori suprotnog smera

– ugaona brzina i ugaono ubrzanje su istih smerova – ubrzano kretanje;

– ugaona brzina i ugaono ubrzanje su suprotnih smerova – usporeno kretanje;

– u jednom trenutku znači ekstremum ugaonebrzine, a ako je ε=0 u konačnom intervalu vremena ravnomerno obrtanje.

0ω⋅ ε >r r

0ω⋅ ε <r r

0ε =r

Slučajevi obrtanja zavisno od smera ugaone brzine i ugaonog ubrzanja

Ravnomerno obrtanje

zz z

d 0 const.dtω

ε = = ⇒ ω =

Kada se telo obrće oko nepomične ose tako da je ugaono ubrzanje tela jednako nuli,obrtanje tela naziva se ravnomernim.

Tada je:

z

z z z 0

d ,dtd dt dt t .

ϕ= ω

ϕ = ω = ω ⇒ ϕ = ω + ϕ∫ ∫ ∫

Zakon obrtanja predstavlja linearno rastuću ili opadajuću funkciju od vremena zavisno od toga da li je ωz >0 ili ωz<0.

Ravnomerno promenjivo obrtanje

z const,ε =

zz z z z z 1

z z 1 z 1 2

2z 1 2

d , d dt, d dt C ,dt

dt C , d tdt C dt C ,dt

1 t C t C .2

ω= ε ω = ε ω = ε +

ϕω = ε + = ϕ = ε + +

ϕ = ε + +

∫ ∫

∫ ∫ ∫

Početni uslova kretanja:

0 z 0 0 0 0 1 0 2 0t =0, (t ) , (t ) , C , C .ω = ω ϕ = ϕ ⇒ = ω = ϕ

2z 0 0

1 t t .2

ϕ = ε + ω + ϕz z 0t .ω = ε + ω

Ako se telo obrće oko nepomične ose tako da je ugaono ubrzanje konstantno,

Tada je:

Brzina i ubrzanje tačaka tela koje se obrće oko nepomične ose

Brzina proizvoljne tačke krutog tela koje se obrće oko nepomične ose, jednaka je vektorskom proizvodu ugaone brzine krutog tela i vektora položaja te tačke:

v r= ω×r rr

i ;r ωrr

, ir vωr r r

rsin .ν = ω α = ωρ

Ojlerov obrazac

Vektor brzine ima:•pravac upravan na •smer takav da čine sistem vektora desne orjentacije;•intenzitet jednak proizvodu intenziteta ugaone brzine i potega

Ubrzanje proizvoljne tačke M krutog tela određuje se diferenciranjem brzine po vremenu:

( )dv d d drr r r v.dt dt dt dt

ω= = ω× = × + ω× = ε × + ω×

r rr r r r r r r rr ra

r,r sin .

ε

ε

= ε ×

= ε α = ερ

r rraa

( )( )

( )

0 2

v r ,

vsin ,v sin90 .

v

ω

ω

= ω× = ω× ω×

= ω ω = ωωρ = ω ρ

= ωρ

r r r rr r

r ra

a

Komponenta ubrzanja εra

Komponenta ubrzanja ωra

Svaka tačka krutog tela je sve vreme na nepromenjenom rastojanju od ose, što znači da se tačka kreće po kružnoj putanji, pa proučavanje kretanja tela može da se svede na proučavanje kretanja tačke.

( )T

2

T 2

2 2 22

N

s , constddsv

dt dtd s ,dtv .

= ρϕ ρ =

ρϕ= = = ρϕ = ρω

= = ρω = ρϕ = ρε

ρ ω= = = ω ρ

ρ ρ

&

& &&a

a

T ε N ω, .= =r r r ra a a a

2 2 2 2 2 4T N ,ε ω= + = + = ρ ε + ωa a a a a T

2N

tg .ε

ω

εβ = = =

ωaa

a a

Kada se telo obrne za ugao ϕ, tačka M opiše luk s:

tangencijalno ubrzanje tačke M

normalno ubrzanje tačke M

Upoređenjem prethodnih izraza sledi:

Intenzitet ubrzanja: