1

Elve Vutt

III kursus VEKTOR TASANDIL. JOONE VÕRRAND *laia matemaatika teemad. Vektori mõiste, -koordinaadid ja –pikkus: http://www.allarveelmaa.com/ematerjalid/vektor-koordinaadid-pikkus.pdf Vektorite lahutamine: http://allarveelmaa.com/ematerjalid/lahutaminenull.pdf Tehted vektoritega : http://allarveelmaa.com/ematerjalid/tehtedvektoritega.pdf Vektor on suunaga lõik. *X ja Y loetakse vektori );( YXv =

rkoordinaatideks, kui jYiXv

rrr+= ,

kus )0;1(=ir

ja )1;0(=jv

on ühikvektorid vastavalt x- ja y-teljel.

Kui );( 11 yxA on vektori alguspunkt ja );( 22 yxB vektori lõpppunkt, siis

);( 1212 yyxxAB −−=→

Vektori koordinaatide leidmiseks tuleb lõpp-punkti koordinaatidest lahutada alguspunkti vastavad koordinaadid.

Vektori pikkus 22 YXv +=r

Vektori pikkus on ruutjuur vektori koordinaatide ruutude summast. Näide 1. Vektori AB otspunktide koordinaadid on A(2;-1) ja L(4;2) (vaata joonist). Leiame vektori koordinaadid ja arvutame vektori pikkuse.

)3;2())1(2;24( =−−−=AB ja pikkus 6,31332 22 ≈=+=AB

Vastus: )3;2(=AB ja 6,3≈AB

Samal joonisel on veel teinegi vektor vr

, mille koordinaadid on samuti 2 ja 3 (veendu selles, kui lahutad lõpp-punkti (2;3) koordinaatidest alguspunkti (0;0) vastavad koordinaadid). Ühesuguste koordinaatidega vektoreid nimetatakse võrdseteks vektoriteks. Pane tähele! Vektori koordinaadid langevad kokku vektori lõpp-punkti koordinaatidega, kui vektori alguspunkt on koordinaatide alguspunktis (0;0). Märkus: vektori koordinaate saab leida ka nii (vaata ülemist joonist): et jõuda vektori alguspunktist vektori lõpp-punkti tuleb vektori alguspunktist liikuda 2 ühikut paremale (vektori esimene koordinaat) ja seejärel 3 ühikut ülesse (vektori teine koordinaat). Koordinaadi märk tuleneb koordinaattelgede suunast. Ülesanne 1. On antud vektori alguspunkt A ja lõpp-punkt B. Leida vektori AB koordinaadid ja pikkus.

1) A(2;4) ja B(5;8) 6) A(2;15) ja B(2;7) 2) A(2;4) ja B(-5;8) 7) A(-2;0) ja B(0;7) 3) A(2;4) ja B(-5;-8) 8) A(0;0) ja B(4;-7) 4) A(-2;4) ja B(5;8) 9) A(4;-3) ja B(0;0) 5) A(2;-4) ja B(5;-8) 10) A(-2;5) ja B(0;-7)

2

Elve Vutt

Vastused: 1) AB =(3;4) ja AB = 5 3) AB =(-7;-12) ja AB = 9,13193≈ 5) AB =(3;-4) ja

AB = 5 7) AB =(2;7) ja AB = 28,753 ≈ 9) AB =(-4;3) ja AB = 5.

Ülesanne 2. Leida vektori AB = (3;5) alguspunkti A koordinaadid, kui vektori lõpp-punkti B koordinaadid on 1) (1;9) 2) (-2;7) 3) (0;-6) 4) (15;0) 5) (-1;-2) Vastused: 1) A(-2;4) 3) A(-3;-11) Ülesanne 3. Leida vektori AB = (3;5) lõpp-punkti B koordinaadid, kui vektori alguspunkti A koordinaadid on 1) (1;9) 2) (-2;7) 3) (0;-6) 4) (15;0) 5) (-1;-2) Vastused: 1) B(4;14) 3) B(3;-1) Märkus: ülesandes antud koordinaate on tarvis kas vastavalt liita või lahutada. Ülesandes 2 tuleb lõpp-punkti koordinaatidest lahutada vektori koordinaadid. Kontrolli alati, kas vektori koordinaadid tulevad tagasi lõpp-punkti koordinaatidest lahutades vastavalt alguspunkti koordinaadid. Ülesanne 4. Missuguse parameetri p korral on vektorid võrdsed?

1) );2( pa −= ja )9;2(−=b 2) )4;2( pk −= ja )4;2( −= pl 3) )1;8( += pu ja )2;8(=v Vastused: 1) p = 9 3) p = 1 Ülesanne 5. Leidke joonisel kujutatud vektorite koordinaadid ja pikkused. Vastused:

1) AB = (3;1) ja AB ≈ 3,2

2) CD = (0;2) ja CD = 2

3) EF = (-3;-1) ja EF ≈ 3,2

4) GH = (4;3) ja GH = 5

Vektori korrutamine arvuga );( kYkXvk =

r

Vektori korrutamisel arvuga tuleb vektori koordinaadid korrutada selle arvuga. Korrutamine mingi arvuga muudab vektori pikkuse selle arvu absoluutväärtuse kordseks. Korrutamine negatiivse arvuga muudab vektori suuna vastupidiseks.

Kui vABr

=→

, siis vastandvektor );( YXvBA −−=−=→ r

Vektori ja selle vastandvektori koordinaadid on teineteise vastandarvud. Samasihilisi vektoreid nimetatakse kollineaarseteks (vt. joonist). Kui );( 11 YXu =

r ja );( 22 YXv =

r, siis

Kollineaarsete vektorite tunnus: kY

Y

X

XukvuIIv ==⇔=⇔

2

1

2

1rrrr

Kollineaarsete vektorite vastavate koordinaatide suhted on võrdsed.

Elve Vutt

Ülesanne 6. Vektor )4;1(=v . Leida järgmised vektorid ja nende pikkused

1) 5v 2) -5v 3) 0,5

Vastused: 1) 5v = (5;20) ja pikkus

Ülesanne 7. Leida vastandvektor.

1) v = (-2;9) 2) s = (1;1)

Vastused: 1) -v = (2;-9) 3)Ülesanne 8. Leida ül.5 jooniselt

1) võrdsed vektorid 2) vastandvektorid

Vastused: 1) OPST = 2)Ülesanne 9. Kas vektorid on kollineaarsed? Põhjenda!

1) a = (2;6) ja b = (6;2)

2) u = (-2;10) ja v = (1;-5)

Vastused: 1) ei, sest 26

62≠ 3)

Ülesanne 10. Missuguse parameetri p korral on antud vektorid kollineaarsed?

1) a = (2;6) ja b = (6;p)

2) u = (p;-2) ja v = (-10;-5 Vastused: 1) p = 18 3) p = ± 6

Kui );( 11 YXu =

r ja ;( 2 YXv =

r

vektorite summa (vahe) vu ±

rr

vektorite skalaarkorrutis

ϕcosvuvurrrr

= , 21XXvu +=rr

kus ϕ on nurk vektorite vahel.

nurk vektorite vahel cos =ϕ

Ristuvate vektorite tunnus ur

Näide 2.

Kui )0;2(=ur

ja )1;1( −=vr

(vt joonist),

1) vektorite pikkused 2=ur

. Leida järgmised vektorid ja nende pikkused

3) 0,5v 4) 0v

= (5;20) ja pikkus 6,20425≈ 3) (0,5;2) ja ,225,4 ≈Leida vastandvektor.

(1;1) 3) AB = (-3;-12) 4) 0

3) BA = (3;12) Leida ül.5 jooniselt

2) vastandvektorid 3) kollineaarsed vektorid

2) EFAB −= 3) OPST // , EFAB // , IJCD //Kas vektorid on kollineaarsed? Põhjenda!

= (6;2) 3) s = (-4;0) ja t = (2;0)

5) 4) n = (12;-3) ja m = (4;1)

3) ja, sest võrdust 00

24=

− loetakse tõeseks.

Missuguse parameetri p korral on antud vektorid kollineaarsed?

3) s = (p;-4) ja t = (-9;p)

5) 4) n = (-8;2p) ja m = (2;3)

p = ± 6

)2Y , siis

);( 2121 YYXXv ±±=r

21YY+ ,

on nurk vektorite vahel.

22

22

21

21

2121

YXYX

YYXX

vu

vu

++

+=rr

rr

0=⇔⊥ vuvrrr

. Ristuvate vektorite skalaarkorrutis

(vt joonist), siis

202 22 =+ ja 2)1(1 22 =−+=vr

3

1,

3) kollineaarsed vektorid

IJ , KLGR //

Missuguse parameetri p korral on antud vektorid kollineaarsed?

skalaarkorrutis on null .

4

Elve Vutt

2) vektorite )0;2(=ur

ja )1;1( −=vr

summa vektor )1;3())1(0;12()1;1()0;2( −=−++=−+=+ vu

rr

3) vektorite )0;2(=ur

ja )1;1( −=vr

vahe vektor )1;1())1(0;12()1;1()0;2( =−−−=−−=− vu

rr

4) 1,5 kordne )0;2(=ur

vektor )0;3()0*5,1;2*5,1()0;2(5,15,1 ===ur

-3 kordne )1;1(−=v

r vektor )3;3())1(*3;1*3()1;1(33 −=−−−=−−=− v

r

5) vektorid )1;1( −=vr

ja )3;3(3 −=− vr

on kollineaarsed, sest 3

1

3

1 −=

−

6) vektor )3;0()3;3()0;3()1;1(3)0;2(5,135,1 =−−=−−=− vurr

7) vektorite )0;2(=u

r ja )1;1( −=v

r skalaarkorrutis 202)1(*01*2 =+=−+=vu

rr

8) vektorite vjaurr

vaheline nurk 2

2

2

1

2*2

2cos ===ϕ siit 045=ϕ

9) vektorid ur

5,1 ja vurr

35,1 − on ristuvad, sest ur

5,1 ( vurr

35,1 − ) =(3;0)(0;3)=3*0+0*3=0 Ülesanne11. Leida vektorite summa ja vahe.

1) a = (2;6) ja b = (6;2) 3) s = (-4;0) ja t = (2;0)

2) u = (-2;10) ja v = (1;-5) 4) n = (12;-3) ja m = (4;1)

Vastused: 1) ba + = (8;8) ja ba − = (-4;4) 3) ts + = (-2;0) ja ts − = (-6;0)

Ülesanne 12. Leida vektorite u ja v skalaarkorrutis.

1) u = 2, v = 6 ja φ = 60o 3) u = 4, v = 5 ja φ = 3

2π

2) u = 1, v = 3 ja φ = 150o 4) u = 20, v = 7 ja φ = 90o

Vastused: 1) vu = 2*6*cos60o = 6 3) vu = -10 Ülesanne 13. Leida skalaarkorrutis ja vektorite vaheline nurk.

1) a = (2;6) ja b = (6;2) 3) s = (-4;0) ja t = (2;0)

2) u = (-2;10) ja v = (1;-5) 4) n = (12;-3) ja m = (4;1)

Vastus: 1) ba = 24 ja φ = 53o8` 3) ts = -8 ja φ = 180o Ülesanne 14. Millise p väärtuse korral on vektorid risti?

1) a = (2;6) ja b = (6;p) 3) s = (p;-4) ja t = (-9;p)

2) u = (p;-2) ja v = (-10;-5) 4) n = (-8;2p) ja m = (2;3) Vastused: 1) 2*6 + 6*p = 0 ⇒ p = -2 3) p = 0 Näide 3. Kolmnurga tipud on A(1;2), B(-1;0) ja C(3;-1). Arvutame selle kolmnurga ümbermõõdu, suurima nurga ja pindala. Leiame esmalt kolmnurga külgedega määratud vektorite koordinaadid ja seejärel vektorite pikkused, mis ongi kolmnurga külgede pikkusteks.

)1;4(

)3;2(

)2;2(

−=

−=

−−=

BC

AC

AB

1,417116

6,31394

8,28)2()2( 22

≈=+=

≈=+=

≈=−+−=

BC

AC

AB

Elve Vutt

Ümbermõõt P = 138 ++Kolmnurga suurim nurk asub kolmnurga pikima külje vastas, seega leiame nurga A vektorite

AB ja AC vahel:

*8

(2*2**

cos−+−

==ABAC

ABACα

millest α = 78°41`. Leiame nüüd kolmnurga pindala:

S = 8*21

sin**21

=ACAB α

Vaata joonist. Vastus: P = 10,8 , S = 5 ja α = 78°41`. III kursus NÄIDISTÖÖ

1. Korrapärases kuusnurgas ABCDEF

Avalda järgmised vektorid ar

ja

7) →→

+ ABFA 8) →→

+ DEAB 9) AB2. Kirjuta vektori jia

rr42 +−=

3. Leia joonisel kujutatud vektorite4. Leia x ja y nii, et vektorid

)8;52( −= xar

ja 3;12( −= ybr

5. Antud on punktid A(3;5), B(

Leia 1) vektorite →→

DCAB, ja

2) vektori →→

−= DCABs 3r

3) millised vektorid on kollineaarsed

4) vektori →

BC vastandvektor

6. Vektori )6;2(−=→

KL alguspunkt on K(

Põhikoolis õppisime, et lineaarfunktsiooni y = kx + b graafikuks on sirge. Valemit y = kx + b nimetatakse ka sirge võrrandiks. SellesSirge algordinaadiks nimetatakse väärtust. Tõusuga k ja algordinaadiga b määratud sirge võrrand:

Ülesanne 1. Koostada sirge võrrand, kui on antud sirge tõus k ja algordinaat b.

1) k = 2 ja b = -3 2) k = -1 ja b = 2

Vastused: 1) y = 2x - 3 3) y = 1

5,1017 ≈ Kolmnurga suurim nurk asub kolmnurga pikima külje vastas, seega leiame nurga A vektorite

1961,013*8

2

13

)3(*)2==

−−,

üüd kolmnurga pindala:

5`4178sin*13*8 ≈o

α = 78°41`.

NÄIDISTÖÖ nr.1 :vektor tasandil (mittekohustuslik)

1. Korrapärases kuusnurgas ABCDEF aBAr

=→

ja bBCr

=→

. Kuusnurga keskpunkt on O.

ja br

kaudu: 1) →

DC 2) →

DE 3) →

OB 4) →

CF 5) →→→→

+++ BACBOCAB 10) →→→→

−++ CDBDOBFO jr

koordinaadid

vektorite ...,CDAB koordinaadid ja arvuta vektorite

)3 oleksid võrdsed. 5. Antud on punktid A(3;5), B(-4;1), C(0;-2) ja D(8;3).

ja →

BC koordinaadid →

DC koordinaadid 3) millised vektorid on kollineaarsed

vastandvektor

alguspunkt on K(-1;4). Leia lõpp-punkti L koordinaadid.

SIRGE VÕRRANDID

Põhikoolis õppisime, et lineaarfunktsiooni y = kx + b graafikuks on sirge. Valemit y = kx + b nimetatakse ka sirge võrrandiks. Selles võrrandis on k sirge tõus ja b algordinaat.

nimetatakse sirge ja y-telje lõikepunkti ordinaadi (y

Tõusuga k ja algordinaadiga b määratud sirge võrrand: y = kx + b, k = tanαSirge tõusunurga tangensit nimetatakse sirge

Koostada sirge võrrand, kui on antud sirge

3) k = 0 ja b = 1 4) k = 2 ja b = 0 3) y = 1 (vt. joonist)

5

Kolmnurga suurim nurk asub kolmnurga pikima külje vastas, seega leiame nurga A vektorite

(mittekohustuslik)

. Kuusnurga keskpunkt on O.

5) →

OA 6) →

CE

vektorite pikkused.

punkti L koordinaadid.

Põhikoolis õppisime, et lineaarfunktsiooni y = kx + b graafikuks on sirge. Valemit y = kx + b on k sirge tõus ja b algordinaat.

(y-koordinaadi)

k = tanα,kus α - tõusunurk. nimetatakse sirge tõusuks.

6

Elve Vutt

Ülesanne 2. Koostada sirge võrrand, kui on antud sirge tõusunurk α ja algordinaat b.

1) b = 1 ja α = 135o 3) b = 1 ja α = 0o

2) b = -4 ja α = 60o 4) b = 2 ja α = 4π

Vastused: 1) k = tan135o = -1 ja y = - x + 1 3) y = 1

Tõusuga k ja punktiga A(x1;y1) määratud sirge võrrand : y - y1 = k(x - x1) http://www.allarveelmaa.com/ematerjalid/punktijatousugasirge.pdf Ülesanne 3. Leida sirge võrrand, kui on antud selle sirge üks punkt A ja tõus k.

1) A(-3;1) ja k = 0,5 3) A(0;0) ja k = 1 2) A(2;-4) ja k = 4 4) A(20;4) ja k = 0

Vastused: 1) y=0,5x + 2,5 (vt. joonist) 3) y = x Ülesanne 4. Leida sirge võrrand punkti A ja tõusunurga α kaudu.

1) A(1;-3) ja α = 45º 2) A(3;0) ja α = π/3 3) A(-1;-2) ja α = 60 º 4) A(0;2) ja α = 0,5 π

Vastused: 1) k = tan45°= 1, y = x - 4 3) 233 −+= xy

Kahe punktiga A(x1;y1) ja B(x2;y2) määratud sirge võrrand: 12

1

12

1

yy

yy

xx

xx

−−

=−−

http://www.allarveelmaa.com/ematerjalid/kahepunktiga.pdf

*Punkti A(x1;y1) ja sihivektoriga );( YXs =v

määratud sirge võrrand: Y

yy

X

xx 11 −=

−

http://www.allarveelmaa.com/ematerjalid/yldvorrand.pdf Sirge üldvõrrand: Ax+By+C=0 Näide 1. Koostame võrrandi sirgele, mis läbib punkte A(2;-7) ja B(1;3) ja anname võrrandi üldkujul.

Teise valemi järgi 10

712

)7(3)7(

212 +

=−−

⇒−−−−

=−− yxyx

Viimane on sirge kanooniline võrrand,

kusjuures sirge *sihivektor on )10;1(−== ABsv

. Teisendame võrrandi nüüd üldkujule:

01410)7(1)2(1010

712

=−+⇒+−=−⇒+

=−−

yxyxyx

Vastus: sirge üldvõrrand on 10x + y -14 = 0 Ülesanne 5. Koostada sirge võrrand, mis läbib punkte A ja B.

1) A(-2;-1) ja B(1;1) 3) A(-3;2) ja B(1;2)

7

Elve Vutt

2) A(6;2) ja B(-1;5) 4) A(-3;1) ja B(5;-7)

Vastused: 1) 2

13

2 +=

+ yx

3) 02

43 −=

+ yx

(vt. joonist)

Jäta meelde! Võrrandit y = b nimetatakse x-teljega paralleelse sirge võrrandiks. Võrrandit x = a nimetatakse y-teljega paralleelse sirge võrrandiks.

Kahe sirge t1 ja t2 vastastikused asendid tasandil.

Vastastikune asend

t1: y= k1x + b1

t2: y= k2x + b2

Tunnus t1: A1x+B1y+C1= 0 t2: A2x+B2y+C2= 0

*Tunnus

Lõikuvad { }Ltt =21 I

+=

+=

22

11

bxky

bxky

on üks lahend

k1 ≠ k2

=++

=++

0

0

222

111

CyBxA

CyBxA

on üks lahend

2

1

2

1

2

1

C

C

B

B

A

A≠≠

Ristuvad t1 ┴ t2

+=

+=

22

11

bxky

bxky

on üks lahend

k1 ≠ k2

ja k1k2 =-1

=++

=++

0

0

222

111

CyBxA

CyBxA

on üks lahend

1*2

2

1

1 −=B

A

B

A

Paralleelsed t1//t2

+=

+=

22

11

bxky

bxky

lahendid puuduvad

k1 = k2

ja b1 ≠ b2

=++

=++

0

0

222

111

CyBxA

CyBxA

lahendid puuduvad

2

1

2

1

2

1

C

C

B

B

A

A≠=

Ühtivad t1= t2

+=

+=

22

11

bxky

bxky

lõpmata palju lahendeid

k1 = k2

ja b1 = b2

=++

=++

0

0

222

111

CyBxA

CyBxA

on lõpmata palju lahendeid

2

1

2

1

2

1

C

C

B

B

A

A==

Nurk sirgete vahel: 21

21

1tan

kk

kk

+−

=α

8

Elve Vutt

*Nurk sirgete vahel: 21

21

*cos

ss

ssrr

rr

=ϕ,

);( 111 ABs −=

);( 222 ABs −=

Näide 2. Uurime sirgete 2x+y = 7 ja y = x + 1 vastastikust asendit ja võimaluse korral leiame lõikepunkti koordinaadid ning sirgetevahelise nurga.

Alustame lõikepunkti leidmisega. Selleks lahendame võrrandisüsteemi

+=

=+

1

72

xy

yx.

Kui asendame teisest võrrandist esimesse tundmatu y, saame 2x + (x + 1) = 7, millest 3x = 6 ja x = 2. Asendame arvu 2 teise võrrandisse, saame y = 2 + 1 = 3. Sellega oleme leidnud sirgete ainsa lõikepunkti L(2;3). Siit vastus esimesele küsimusele: sirged lõikuvad. Leiame sirgetevahelise nurga. Esimese sirge tõusu nägemiseks teisendame selle kujule y = kx + b, saame y = -2x + 7, millest k1 = -2. Teise sirge tõus k2 = 1.

`3471313

1*)2(112

tan o=⇒=−−

=−+−−

= αα .

Sirgete joonestamiseks leiame mõlema sirge jaoks kahe punkti koordinaadid tabelites: 2x+y = 7 y = x + 1

Ülesanne 6. Leida sirgete lõikepunktid. Teha joonis. 1) y = x – 4 ja y = 2x + 5 2) 3x + y - 5 = 0 ja 2x + y + 7 = 0 3) 3x + y = 2 ja y = 2x – 3 4) 3x + 2y = 9 ja 5x – 4y = 15 5) 3x – 7 = y ja 5x – 4y = -7 6) x + y =5 ja x – y =1

JOONE VÕRRAND Joone võrrandiks nimetatakse võrrandina esitatavat seost selle joone mistahes punkti koordinaatide vahel. Põhikoolis tutvusime kahe funktsiooniga, mille graafikud olid kõverjooned: Hüperbooliks nimetatakse

pöördvõrdelise sõltuvuse y = x

a graafikut.

Parabooliks nimetatakse ruutfunktsiooni y = ax2+bx+c graafikut (vt.joonist). Ülesanne 7. Leida parabooli ja sirge lõikepunktid.

1) y = x2 ja y = 6 – x 2) y = x2 – 8 ja y = x – 2 3) y = x2 – 2x – 3 ja y = 2x – 3 4) y2 -2x = 2 ja 3y + 2x = 8 5) x2 – 3y = -3 ja x + 6y = 27

x 0 3,5 y 7 0

x 0 1 y 1 2

9

Elve Vutt

6) x2 + 2x =7y + 50 ja 6x = 7y + 5 7) 5x2 + 2y = 12 ja 3x – 2y = 2 8) x2 = y + 26 ja 2x = y + 2 9) 2x2 + 13 = 21y ja 2x – 3y = 1 10) 5y2 = 8x ja 5y – 2 = 5x 11) x2 – 2x –y = -4 ja 0,5x + y = 5

Vastused: 1) (-3;9) ja (2;4) (vt. joonist) 2) (-2;-4) ja (3;1) 3) (0;-3) ja (4;5) 4) (1;2) ja (1,5;-5) 5) (3;4) ja (-3,5;4,75) 6) (-5;-5) ja (9;7) 7) (-2;-4) ja (1,4;1,1) 8) (-4;-10) ja (6;10) 9) (5;3) ja (2;1) 10) (0,4;0,8) (vt. joonist) 11) (2;4) ja (-0,5;5,25). Ülesanne 8. Leida hüperbooli ja sirge lõikepunktid.

1) xy = 1 ja y = 0,25x 2) xy = 35 ja x + y = 12 3) xy = 65 ja x – y = 8 4) xy = 12 ja 2x + y = 10 5) xy = 12 ja x + 2y = 10 6) xy = 6 ja x – y = 5 7) xy = -30 ja x + y = 1

Vastused: 1) (2;0,5) ja (-2;-0,5) (vt. joonist) 2) (7;5) ja (5;7) 3) (13;5) ja (-5;-13) 4) (2;6) ja (3;4) (vt. joonist). *Ülesanne 9. Leida paraboolide lõikepunktid.

1) y = x2 - 4 ja y = -x2 + 5 2) y = 3x2 + 5 ja y = -x2 –x + 8

*Ülesanne 10. Leida hüperbooli ja parabooli lõikepunktid.

1) y = x

1 ja y =x2

2) y =x2 ja xy = 8 3)

Vastus: 1) (1;1) (vt. joonist) 2) (2;4) Pane tähele! Mitu lõikepunkti maksimaalselt saab olla

1) sirgel ja paraboolil, 2) sirgel ja hüperboolil, 3) hüperboolil ja paraboolil, 4) kahel hüperboolil. 5) kahel paraboolil?

RINGJOONE VÕRRAND

Ringjooneks, mille keskpunkt on K ja raadius r, nimetatakse kõigi selliste punktide hulka, mis asetseb punktist K kaugusel r.

Keskpunktiga K(a;b) ja raadiusega r määratud ringjoone võrrand: 222 )()( rbyax =−+−

Võrrandit 222 )()( rbyax =−+− nimetatakse ringjoone kanooniliseks võrrandiks.

10

Elve Vutt

Näide 3: Koostame ringjoone võrrandi, mille keskpunkt on koordinaatide alguspunktis ja raadius on 5. Keskpunkt on O(0;0) ja raadius r = 5. Asetades andmed ringjoone võrrandisse saame: (x - 0)2 + (y - 0)2=52. Siit x2 + y2 = 25. Vastus: keskpunktiga koordinaatide alguspunktis ringjoone võrrand on x2 + y2 = 25 Jäta meelde! Keskpunktiga koordinaatide alguspunktis ringjoone võrrand: x2 + y2 = r2. Näide 4. Leiame ringjoone (x-1)2 + (y+3)2 = 16 keskpunkti koordinaadid ja arvutame ringjoone pikkuse ja vastava ringi pindala.

Ringjoone keskpunkt on K(1;-3) ja raadius r = 16 = 4. Ringjoone pikkus c = 2πr C = 2π*5 = 10π = 31,4 ja pindala S = πr2, S = π*52=25π = 78,5. Vastus: K(1;-3), c = 31,4, S = 78,5. Näide 5. Leiame ringjoone (x - 2)2 + y2 = 1 ja sirge y = x - 1 lõikepunktid.

Selleks lahendame võrrandisüsteemi

−=

=+−

1

1)2( 22

xy

yx

Asendades ringjoone võrrandis y-i (x-1)-ga saame 1)1()2( 22 =−+− xx , millest lõikepunktide esimeste koordinaatidena tuleb kätte x1 = 1 ja x2 = 2 ja sirge võrrandi järgi vastavalt y1 = 1-1 = 0 ja y2 = 2-1 = 1. Vastus: lõikepunktid on M(1;0) ja N(2;1) (vt. joonist). Ülesanne 11. Koostada ringjoone võrrand, kui ringjoone keskpunkt K ja raadius r on antud.

1) K(2;4) ja r = 3 3) K(0;-4) ja r = 1

2) K(-2;0) ja r = 5 4) K(0;0) ja r = 10

Ülesanne 12. Leida ringjoone keskpunkt, raadius, ringjoone pikkus ja ringi pindala. 1) x2 + y2 = 121 *6) x2 +y2 + 4x – 6y -12 = 0

2) x2 + y2 = 289169

*7) x2 + y2 – 2x + 4y -9 = 0

3) (x – 1)2 + y2 =49 *8) x2 + y2 – x - 5y + 3 = 0 4) (x+2)2 + (y - 3)2 = 0,36 *9) x2 + y2 – 4x + 3 = 0 5) 3x2 + 3y2 = 675 *10) x2 + y2 + 6x - 10y = 35 6) x2 + (y+5)2 = 144 *13) x2 + y2 + 5y - 2 = 0 7) (x – 6)2 + (y -1)2 = 1,21 *14) x2 + y2 + 6x = 0

Vastused: 1) K(0;0), r = 11, c = 22π, S = 121 π 3) K(1;0), r = 7, c = 14π, S = 49π . Ülesanne 13. Leida ringjoone ja sirge lõikepunktid.

1) x2 + y2 = 13 ja x + y = 5 2) x2 + y2 = 29 ja x – y = 3 3) x2 + y2 = 20 ja x + y = 2 4) x2 + y2 = 5 ja y = 2x 5) x2 + y2 = 1 ja y = 3x – 1 6) x2 + y2 = 13 ja x + y = -1

11

Elve Vutt

Vastused: 1) 2) 3) 4) (1;2) ja (-1;-2) (vt. joonist) 5) (0;-1) ja (0,6;0,8) 6) (2;-3) ja (-3;2). *Ülesanne 14. Leida ringjoone ja hüperbooli lõikepunktid.

1) x2 + y2 = 208 ja xy = 96 2) x2 + y2 = 10 ja xy = 3 3) x2 + y2 = 10 ja xy = -3 4) x2 + y2 = 25 ja xy = 12

Vastused: 1) (12;8), (-12;-8), (8;12) ja (-8;-12) 3) (1;3), (-1;3), (3;-1) ja (-3;1) (vt. joonist).

*Ülesanne 15.Leida ringjoone ja parabooli lõikepunktid 1) x2 + y2 = 25 ja y = x2 - 5 2) x2 + y2 = 36 ja y2 = 8x + 3 3) x2 + y2 = 9 ja y2 + 7x = 21

Vastused: 1) (0;-5), (3;4) ja (-3;4) (vt. joonist) 3) Ülesanne 16. Leida joonte lõikepunktid.

1) y2 - x2 = 21 ja 3y + x = 13 2) 3x2 - y2 = 2 ja x + y = 0 3) 2x2 - y2 = 1 ja x – y = -1 4) * x2 + y2 = 7 + xy ja xy = 6 5) * x2 - y2 +18 = xy ja xy = -5 6) * x2 + y2 – 2(x + y) = 23 ja x2 + y2 = 45

Vastused: 1) (-2;5) ja (-1,25;4,75) (vt. joonist)

4) (1;-1) ja (-1;1) 3) (0;1) ja

−−32

1;32

*Ülesanne 17. On antud ringjoonte võrrandid x2 + y2 + 6x + 2y - 6 = 0 ja x2 + y2 – 4x = 0

Leida 1) nende ringjoonte keskpunktide vaheline kaugus, 2) neid keskpunkte läbiv sirgjoone võrrand, 3) nende ringjoonte lõikepunktid.

Vt. joonist! Pane tähele! Mitu lõikepunkti maksimaalselt saab olla

1) ringjoonel ja sirgel, 2) ringjoonel ja hüperboolil, 3) ringjoonel ja paraboolil, 4) kahel ringjoonel?

Näide 6. Leiame ringjoone (x – 1)2 + (y + 2)2 = 5 puutuja võrrandi punktis (2;0). Kuna puutepunkt (2;0) on ka puutuja punkt, siis puutuja võrrandiks on ühe punkti ja tõusuga antud sirge võrrand y - y1 = k(x - x1). Põhikoolis õpitust teame, et puutuja on risti puutepunkti tõmmatud raadiusega. Seega on puutujaga ja raadiusega määratud sirged risti. Leiame esmalt raadiusega määratud sirge võrrandi läbi kahe punkti ( keskpunkt K ja puutepunkt P):

424220

12

020

212

−=⇒+−=−⇒−−

=−−

⇒−−−

=−−

xyxyyxyx

12

Elve Vutt

Raadiusega määratud sirge tõus k1=2. Sirgete ristumise tunnusest k1k2=-1 saame puutuja tõusuks 5,012 22 −=⇒−= kk . Puutuja võrrand:

15,0)2(5,00 +−=⇒−−=− xyxy (vt. joonist) Vastus: puutuja võrrand on y = - 0,5x + 1 Ülesanne 18. Leida ringjoonele puutuja võrrand puutepunktis P. Teha joonis.

1) (x - 1)2 +(y+2)2 = 5, puutepunkt P(-1;-3) 2) (x + 2)2 +(y - 1)2 = 5, puutepunkt P(-3;-1) 3) x2 + y2 = 10, puutepunkt P(1;3) 4) x2 + y2 = 5, puutepunkt P(1;-2)

Vastused: 2) y = - 0,5x – 2,5 (vt. joonist) III kursus NÄIDISTÖÖ nr.2 : Vektor tasandil. Joone võrrand

1. Koostada sirge võrrand, kui sirge läbib punkti A(-1;-4) ja 1) sirge tõus on -3 2) tõusunurk on 30º 3) teist punkti B(-3;-9) Ül.373-376 2. Arvutada vektorite u

r = (2;-6) ja v

r = (-7;1)

1) pikkused 2) skalaarkorrutis 3) vaheline nurk 4) vektori vus

rrr5,02 −= koordinaadid

Kas vektorid ur

ja vr

on kollineaarsed? Põhjendada! 3. On antud kolmnurk tippudega A(3;7), B(5;2) ja C(-1;3). 1) Leida kolnurga ümbermõõt 2) Leida tipu B juures oleva kolmnurga nurga suurus 3) Arvutada kolmnurga pindala Ül.281,282,363,366,367 4) Koostada sirge võrrand, millel asub kolmnurga külg BC Ül.365 *5) Leida kolmnurga küljele BC joonestatud kõrgus 4. Koostada ringjoone võrrand, kui keskpunkt K(5;-3) ja raadius r = 1,4. Leida antud ringjoonele punktis (6;-2) puutuja võrrand. Teha joonis.

5. Ringjoone võrrand on ( ) 497 22 =++ yx 1) Leida ringjoone keskpunkti koordinaadid ja raadius *Ül.382-385 2) Arvutada ringjoone pikkus ning ringi pindala 3) Leida ringjoone ja sirge y = -x lõikepunktid Ül.389-403 6. RE ülesanne

Vastused: 1. 1) y = -3x-7 2) y = 0,6x - 3,4 3) 54

21

−+

=−+ yx

2. 1) 50;40 2) -20 3)

`34116o 4) (7,5;-12,5) ; ei 3. 1) 17,1 2) `4458o 3) 14 4) 1

265 −=

−− yx

4. ( ) ( ) 96,135 22 =++− yx , y = -x + 4 5. 1) K(-7;0) ja 7 2) ππ 49,14 3) (0;0) ja (-7;7) Ülesannete numbrid on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. „Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel“ Tln.2006