Joone võrrand

21. aprill 2023. a

Külli NõmmisteJõhvi Gümnaasium

Sirgjoone tõusunurk ja sirge tõus

Vaatleme koordinaatteljestikus paiknevat sirgjoont, mis lõikab x - telge

Selle sirge tõusunurgaks nimetatakse nurka x - telje positiivse suuna ja sirge vahel

nurka mõõdetakse x - telje positiivsest suunast lugedes vastupäeva

Tõusunurk on alati 0 ja 180 vahel

Sirgjoone tõusunurka tähistame tähega

Kui tõusunurk on teravnurk, siis öeldakse, et sirge tõuseb

kui tõusunurk on nürinurk, siis öeldakse, et sirge langeb

Sirge tõus

Sirge tõusuks nimetatakse selle sirge tõusunurga tangensit

Tõusu tähistatakse tähega k

Tõusva sirge tõus on positiivne

Langeva sirge tõus on negatiivne

Sirge tõus

Sirge tõus näitab, kui palju muutub sirgel liikuva punkti y- koordinaat, kui x-koordinaat kasvab ühe ühiku võrra

k = 2

Koordinaattelgedega paralleelsed sirged

Kui sirge on paralleelne x - teljega, siis = 0 ja k = 0

Kui sirge on paralleelne y - teljega, siis = 90 ja k ei ole määratud, sest tan 90 ei ole määratud

Paralleelsete sirgete tõusud

Paralleelsete sirgete tõusunurgad on võrdsed, järelikult neil sirgetel on ka ühesugune tõus

Sirge võrrand

Sirge on määratud punktiga A(x1;y1) ja

tõusuga k Valime vabalt sirgel punkti P(x;y)

asendame koordinaatide väärtused sirge tõusu valemisse

ning saame , siit

Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand

y – y1= k(x – x1)

Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand

1

1

xx

yyk

Näide

Leia sirge võrrand, kui sirge tõusunurk on 30 ja sirge läbib punkti A(9;0) y – y1= k(x – x1) Leiame tõusu k = tan 30 =

Asendame punkti koordinaadid valemisse:

y – 0 = (x – 9)

y = x –

3

3

3

3

3

3 33

Tõusu ja algordinaadiga määratud sirge võrrand

Tõusu ja algordinaadiga määratud sirge võrrand on kujul y = kx + b, kus k on sirge tõus ja b on algordinaat

Algordinaadiks nimetatakse sirge ja

y-telje lõikepunkti ordinaati

Näide

Leia sirge võrrand, kui sirge tõus on k = 2 ja algordinaat b = -3y = kx + b Asendame väärtused valemisse

y = 2x + (-3)

y = 2x – 3

Kahe punktiga määratud sirge võrrand

Sirge s on määratud punktidega A(x1; y1) ja B(x2; y2)

Kahe punktiga määratud sirge võrrand

12

1

12

1

yy

yy

xx

xx

Näide

Leia punkte P(-7; 4) ja Q(-8; -1) läbiva sirge võrrandi ja kontrolli, kas punkt A(7; 72) asub sellel sirgel

Asendame punktide koordinaadid valemisse

Kontrollime, kas punkti A koordinaadid rahuldavad saadud võrrandit

12

1

12

1

yy

yy

xx

xx

5

4

1

7

41

4

78

7

yx

yx

395

4355

4175

xy

yx

yx

397572

Sirge võrrand telglõikudes

Juhul kui sirge on määratud punktidega, milles see sirge lõikab koordinaattelgi

Arve a ja b nimetetaksetelglõikudeks

Telglõikude abil lihtsustub sirgjoone konstrueerimine

1b

y

a

x

Näide

Kirjuta sirge võrrand, kui sirge läbib punkte (-2;0) ja (0;3) Antud punktid on otsitava sirge lõikepunktideks

koordinaattelgede ja seega saame punktide koordinaatidest välja lugeda telglõigud:a = -2 ja b = 3

Asendame telglõigud valemisse

1b

y

a

x

623

6132

yx

yx

35,1

2:632

xy

xy

Koordinaattelgedega paralleelsete sirgete võrrandid

y-teljega paralleelse sirge võrrand

x = a

x-teljega paralleelse sirge võrrand

y = b

Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand

Sirge sihivektoriks nimetatakse iga vektorit, mille siht langeb kokku sirge sihiga sihivektorit tähistatakse

Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand

);( yx sss

yx s

yy

s

xx 11

Näide

Leia sirge võrrand, kui sirge läbib punkti A(4; -1) ja sirge sihivektor on

Asendame väärtused valemisse

yx s

yy

s

xx 11

)1;2(s

224

12411

1

2

4

yx

yx

yx

15,0

2:22

xy

xy

Sirge üldvõrrand

Ükskõik millisel kujul sirge võrrandit on võimalik teisendada kujule

Ax + By + C = 0 Saadud võrrandit nimetatakse sirge üldvõrrandiks Sirge tõus

Sirge üks sihivektor

B

Ak

);( ABs

Kahe sirge vastastikused asendid

Kahe sirge vastastikused asendid

0:

0:

222

111

CyBxAt

CyBxAs

LõikuvadÜhtivadParalleelsed

2

1

2

1

2

1

C

C

B

B

A

A

2

1

2

1

2

1

C

C

B

B

A

A

2

1

2

1

B

B

A

A

21|| kkts ts

121 kkts

Nurk kahe sirge vahel

Kahe sirge lõikumisel tekib kaks paari võrdseid nurki Kui ühe nurga suurus on φ, siis tema

kõrvunurga suurus on 180 - φ

Kokkuleppeliselt loetakse kahe sirge vaheliseks nurgaks seda nurka, mis on teravnurk

Nurka kahe sirge vahel on võimalik arvutada valemist:

21

21

1tan

kk

kk

Kahe sirge lõikepunkt

Kahe sirge lõikepunkti võib leida: jooniselt (ei ole alati täpne) arvutuslikult

sirgete võrranditest koostatakse võrrandisüsteem ja lahendatakse sobiva lahendusmeetodiga:

liitmisvõte asendusvõte determinantide abil

Näide

Koosta sirge võrrand, teades, et sirge läbib punkti (2; -3) ja on risti sirgega 4x – 3y – 6 = 0 Teisendame sirge võrrandit

Et sirged peavad olema risti, siis k1 ·k2 = 1,

seega otsitava sirge tõusu k2 leiame seosest

23

4

)3(:643

0634

xy

xy

yx

4

31

3

422 kk

Näide jätkub

Seega otsitava sirge võrrandi leiame valemi

y – y1= k(x – x1) abil

5,175,02

3

4

33

)2(4

3)3(

xy

xy

xy

Ringjoone võrrand

Ringjoon

Ringjooneks nimetatakse antud punktist jääval kaugusel asetsevate punktide hulka tasandil Punkti O nimetatakse ringjoone keskpunktiks jäävat kaugust r ringjoone raadiuseks

Ringjoone võrrand

Ringjoone võrrand, kui ringjoone keskpunkt on (a; b) ja raadius r:

(x – a)2 +(y – b)2 = r2

antud võrrandit nimetatakse ringjoone kanooniliseks võrrandiks

Kui ringjoone keskpunkt on punktis O(0; 0), siis saab ringjoone võrrand kuju x2 + y2 = r2

Näide

Kas võrrand x2 + y2 + 4x – 8y + 11 = 0 on ringjoone võrrand? Kui on siis leia ringjoone keskpunkt ja raadius.

Täisruudu eraldamise võte: x2 + y2 + 4x – 8y + 11 = 0 x2 + y2 + 4x – 8y = –11 (x2 + 4x) + (y2 – 8y) = –11 (x2 + 4x + 4) + (y2 – 8y + 16) = –11 + 4 + 16 (x – 2)2 + (y – 4)2 = 9

O(2; 4), r = 3