Tema II. La integral indefinida Definición: una función F se llama antiderivada de una función f, en un intervalo I, si F’(x)=f(x) para todo valor de x en I. Definición: La antidiferenciación es el proceso de determinación de todas las antiderivadas de una

función dada. El símbolo denota la operación de antidiferenciación y se escribe como

donde y . Leibniz estableció esta

notación, la cual tiene una gran aplicación al momento de calcular antiderivadas. Fórmulas de integración.

a) ;

b)

c)

d)

e) donde a es una cte.

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

Complementarias:

o)

p)

Regla de sustitución para integrales. Si es una función diferenciable cuyo contradominio es el intervalo I y f es continua en I, entonces:

donde y . Ejemplos:

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con

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10. Calcular: utilizando: a) y

b) , analizar los resultados.

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Integración por partes

Supongamos que tenemos la multiplicación de dos funciones, es decir:

de tal forma que si deseamos obtener la derivada de con respecto a , tenemos:

si integramos ambos miembros de la igualdad:

despejando el término

sustituyendo tenemos la fórmula de integración por partes:

la cual muchas veces aparece como:

donde y

Ejemplos:

1.

si tomamos

entonces aplicando la fórmula de integración por partes:

2.

si tomamos

entonces

aplicando la fórmula de integración por partes:

3.

si tomamos

entonces aplicando la fórmula de integración por partes:

para resolver esta segunda integral debemos volver a aplicar la integración por partes donde si:

entonces y

4.

si tomamos

entonces

volvemos a aplicar la integración por partes y tenemos:

como podemos observar se vuelve un proceso cíclico por lo cual aplicamos un despeje:

Para integrales definidas, al integración por partes queda como:

Ejercicio:

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10.

Integrales trigonométricas

Si tenemos donde y son enteros.

a) Si la potencia de la función Coseno es impar , factorizar de tal forma que se

tenga un término y utilizar para expresar los factores restantes en términos del Seno:

Utilizamos la identidad y

y utilizamos la sustitución con Ejemplo:

Obtener

Como la potencia del Coseno es impar, factorizamos Coseno y tenemos:

por la identidad tenemos:

Efectuamos la sustitución con

sustituyendo ahora

b) Si la potencia de la función Seno es impar , factorizar de tal forma que se tenga

un término y utilizar para expresar los factores restantes en términos del Coseno:

Utilizamos la identidad

y la sustitución con Ejemplo:

Obtener:

Como la potencia de la función Seno es impar, tenemos:

Utilizando la identidad

Efectuamos la sustitución con

sustituyendo ahora

c) Si las potencias de las funciones Seno y Coseno son pares, utilizar las identidades del semi-

ángulo:

Ejemplo:

Obtener

Utilizando las identidades del semi-ángulo

Si tenemos donde y son enteros.

a) Si la potencia de la función Secante es par , factorizar de tal forma que sobre un

factor y usar para expresar los factores restantes en términos de la Tangente:

y en este caso efectuamos la sustitución con Ejemplo:

Obtener

Como la potencia de la secante es par, tenemos:

se utiliza con y

Sustituyendo de nuevo

b) Si la potencia de la función Tangente es impar , factorizar de tal forma que se

tenga y usar para expresar los factores restantes en términos de la Secante.

y sustituir con Ejemplo:

Obtener

Como la potencia de la tangente es impar, tenemos que:

sustituyendo y

sustituyendo ahora por

Resolver:

Resolver

tomamos

En algunos casos debemos emplear la integración por partes:

donde

Pero también tenemos casos en donde se aplican varias técnicas d e integración:

*

Otra identidad que se utiliza para resolver integrales es

con la sustitución:

y o la sustitución:

y Ejemplo:

Obtener

Descomponemos la Cosecante de tal forma que se tenga en términos de :

Utilizamos

y sustituimos y

regresamos a términos de la Cotangente

Derivadas de funciones trigonométricas

Identidades trigonométricas

Obtener

Integración por sustitución trigonométrica Se aplica al integrar funciones que contienen la expresión de la forma , ó

que se sustituyen por funciones trigonométricas.

Caso 1. Cuando la integral contiene

Se introduce la variable tal que , donde y

Sustituyendo en , tenemos que

Entonces , y

Obtener

u a

x

y

Caso 2. Cuando la integral contiene

En este caso utilizamos y

Entonces

, y

Obtener

x

u

a

y

Caso 3. El integrando contiene la expresión

Utilizaremos la sustitución y Para este caso:

, y

Obtener

u

a x

y

Resumen Caso1

Hip. =a C.O. =u

C.A. =

Caso 2

Hip. = C.O. =u C.A. =a

Caso 3

Hip. =u

C.O. = C.A. =a

Tarea: a) Obtener las siguientes integrales utilizando las técnicas de integración. b) Práctica 2 de Mathematica: Realizar las siguientes integrales utilizando el paquete Mathematica

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Integración de funciones racionales por fracciones parciales

Definición: es racional si , donde y son polinomios y si el grado

de es mayor que el grado de tenemos una fracción impropia, si el grado de es

mayor que el de tenemos una fracción propia. Por ejemplo, si tenemos la integral de una fracción impropia:

efectuamos la división de los polinomios y la integral se convierte en

en donde la fracción racional es una fracción racional propia.

Entonces nos interesa la integración de fracciones propias. En este caso es necesario factorizar en factores lineales y cuadráticos, y dependiendo de la naturaleza de los mismos el

procedimiento para integrar varía. Caso 1. Los factores de son lineales y no se repiten. Consideramos entonces

y en este caso tomamos:

donde toda es constante

de tal forma que la integral la convertimos en:

Obtener

Caso 2. Los factores de son lineales y algunos están repetidos. Si un factor se repite veces, entonces:

Obtener

Caso 3. Los factores del denominador contiene términos lineales y cuadráticos y ninguno de los cuadráticos se repite.

Para este caso tendremos que descomponer la fracción en términos para los i factores

lineales y en los términos correspondientes a los j términos cuadráticos.

De tal forma que si

Entonces, la fracción propia es igual a:

Ejemplo.

Obtener

4. Los factores de son lineales y cuadráticos, donde algunos de los factores cuadráticos se repiten. Si es un factor de que se repite p veces, entonces correspondiente a este

factor se tiene la suma de p fracciones parciales:

Ejemplo:

Obtener