La Integral indefinida (Antiderivadas)

Def. Sea f: [a, b] IR una funcin continua .

Una funcin F se denomina antiderivada (o primitiva ) de la funcin f, sobre un intervalo [a , b] , si

i. F es derivable sobre ]a, b[.ii. x ] a, b [, F '(x) = f(x) .

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Notas.-1.- Si F es una primitiva de una funcin f sobre [ a, b], entonces cualquier otra primitiva G de f sobre [ a, b] verifica

x [ a, b ] , G(x) = F(x) + C,

donde C es una constante real.

Se dice que F(x) + C es Integral Indefinida de f(x)

2.- Al proceso de encontrar Antiderivada se llamaAntiderivacin o Integracin.

2

Ejemplo.

Si ( )f x 1

xx, entonces ( )F x 2 x

x2

2 es una primitiva de

( )f x .

Luego, ( )G x 2 xx2

2C es integral indefinida (o

antiderivada general) de f(x)

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Integral Indefinida

La Integral Indefinida de f(x) se denota con d ( )f x x .

Esto es, si F es una antiderivada de f entonces

d ( )f x x = F(x) + C

Notas- La funcin f(x) se denomina integrando .- La constante C se denomina constante de integracin.

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Ejemplos.

1.- d

1 x = x + C

2.- d

5 x3 x =

5 x4

4 + C

3 .- d

sec2 x x = tan(x) + C.

4.- d

3 u u = 2 u

32

+ C .

5. d

3 x2 x = x3 + C

5

Ejer.

Encontrar una funcin derivable F(x) tal que F'(x) = 3 x2 y( )F 1 3

Sol.- F(x) = x3+C

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7

Tabla Bsica de Integrales

1) d

1 x x C 2) d

x x

x2

2C

3) d

x x

2 x3/2

3C 4) d

x

n x x( )n 1

n 1C , n 1

5) d

1x

x ln x C 6) d

e

x x ex C

7) d

( )sin x x ( )cos x C 8) d

( )cos x x ( )sin x C

9) d

( )sec x

2 x ( )tan x C 10) d ( )sec x ( )tan x x ( )sec x C

11) d

1

1 x2x ( )Arcsin x C 12) d

1

1 x2x ( )Arctan x C

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Teorema (Reglas Bsicas de Integracin).

Sean f, g funciones continuas sobre un intervalo I, y sean, IR entonces :

(a) d

( )f x x = d

( )f x x

(b) d ( )f x ( )g x x = d

( )f x x + d

( )g x x

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Ejemplos.

1.- d

x2 3 x 4 ex x 2.- d

x2 3 x 1

x4x

32

x

3.- Si F(x) = d

1

x4x

x, halle F de tal manera que F(1)=1

4.- Hallar una funcin f(x) tal que f '(x) = 3 x2 1 y f(2) = 6

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Ejercicios.

I) Calcule cada una de las siguientes integrales indefinidas

1.- d

( )cos x 3 x4 x 2.- d

( )csc 2

3.- d

( )sin x( )cos x 2

x 4.- d

( )x x x x

5.- d

( )x

2 12

x 6.- d

2 ( )x x

2 13

x

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II) (ejercicios de aplicacin)1.- Encontrar una funcin f tal que:

f ''(x) = x + cos(x)

f(0) = 1 y f '(0) = 2

2.- La tangente a la grfica de una funcin f en un punto (x,y) tiene pendiente

( )m x 4 x3 5. Si se sabe que f(1) = 2, encontrar f.

3.- Los frenos de un automvil producen una desaceleracin constante de 7m/

seg2.

Si el automvil viaja a 35 mts/seg (126 km/hr) que trayecto recorre el automvil antes de detenerse completamente? .

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Teorema (Sustitucin)

Si f y gson funciones continuas, para evaluar la integral indefinida

d ( )f ( )g t ( )g t t

se realiza el cambio de variable u = g(t) , y se obtiene

d

( )f ( )g t ( )g t t = d

( )f u u

en donde du = g(t) dt

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Ejemplo.

a) d

x 4 x2 x b) Calcular d

x

4 x2x

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Ejercicios

(a) d

2 x ( )x

2 14

x (b) d

z 1

( ) 3 z2 6 z 51/3 z

c) d ( )sin x ( )cos x x (d) d

( )sin x 9 x

(e) d

1

x3

81/3 x (f ) d

3 x2 x3 12

x

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g) d

ln2 xx

x h) d

xx 1

x

i) d

16 x ( )sin 2 x

2 12

( )cos 2 x2 1 x

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Integracin por partes

Si f y g son funciones continuas en un intervalo I, entonces

d ( )f x ( )g x x = ( )f x ( )g x d

( )g x ( )f x x

_________________Usando notacin diferencial la fmula de integracin por parte se puede escribir

d

u v = u v dv u

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Ejemplos.

a) d

x ( )sin x x g) d

( )Arcsin x x

b) d

x

2 ( )cos 2 x x h ) d ( )Arctan x x

c) dln x x ? i) d

e

x sin x x

d) d

x e

x x j) dx lnx x

f) d

lnx

x3x k) d

x3 e( )x2

x

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