Investigación Operativa I

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP

2

Prefacio:

a Asignatura de Investigación de Operaciones es de naturaleza

practico – teórico, introduce en el análisis y planteamiento de los

problemas complejos de ingeniería donde la optimización es un

factor fundamental. Se formulan modelos matemáticos y se brindan las

principales técnicas de caracterización y resolución de estos modelos.

Se aprenderá a interpretar los resultados obtenidos con criterios

económicos, a través del uso del análisis de sensibilidad, como paso

previo a la aplicación real de la toma decisiones en las organizaciones.

Se complementará con el uso de software especializado para la

solución de los modelos matemáticos.

Considerando el manejo holístico de la investigación de

operaciones junto con las demás asignaturas de este

ciclo, entonces se buscara generar sinergia para

dar solución al problema según nuestra realidad

social.

Comprende cuatro unidades de aprendizaje:

UNIDAD I: La Investigación de Operaciones y la Programación

Lineal.

UNIDAD II: Análisis de Sensibilidad de los modelos de

Programación Lineal.

UNIDAD III: Modelos de transporte, Asignación y Redes.

UNIDAD IV: Programación de Proyectos y Programación no

lineal.

L


3

Estructura de los Contenidos

La competencia que el estudiante debe lograr al final de la asignatura es:

“Analiza la realidad, capta y describe un problema,

representándolo en un modelo matemático como de

redes, de transporte, de asignación de recursos, para

realizar predicciones, demostrando coherencia y actitud crítica

en sus planteamientos, valorando la importancia de las

herramientas de optimización matemática y de la

investigación de operaciones”

Análisis de Sensibilidad de los términos

Independientes en situación de

maximización

Investigación de operaciones

Modelos de

transporte

Programación de Proyecto con tiempos

de actividad conocidos

LA INVESTIGACION DE OPERACIONES Y LA PROGRAMACION

LINEAL

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DE LOS MODELOS DE PROGRAMACIÓN

LINEAL

MODELOS DE TRANSPORTE, ASIGNACIÓN Y

REDES

PROGRAMACIÓN DE PROYECTOS Y PROGRAMACIÓN

LINEAL

Modelos de

Programación Lineal

Método Simplex

Uso del Software

Análisis de la solución por la

computadora


Entera

El Primal - Dual

Métodos de solución de Modelos de

Transporte

Modelos de Redes

Programación de Proyectos con

tiempos inciertos de

actividades

Consideración de los intercambios de

tiempo y costo

Programación no

lineal

Modelos de

Asignación


4

Índice del Contenido

I. PREFACIO 02

II. DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS 05-154

UNIDAD DE APRENDIZAJE 1:La Investigación de Operaciones y la Programación Lineal 05- 42

1. Introducción a. Presentación y contextualización b. Competencia (logro) c. Capacidades d. Actitudes e. Ideas básicas y contenido

2. Desarrollo de los temas a. Tema 01:Investigación de Operaciones b. Tema 02:Modelos de Programación Lineal c. Tema 03:Método Simplex d. Tema 04:Uso del Software

3. Lecturas recomendadas 4. Actividades y ejercicios 5. Ejercicios de autoevaluación 6. Resumen

06 06 06 06 06 06

07-38 07 15 22 29 39 39 40 42

UNIDAD DE APRENDIZAJE 2:Análisis de Sensibilidad de los modelos de Programación Lineal 43-71


2. Desarrollo de los temas a. Tema 01: Análisis de sensibilidad de los términos independientes en situación de

maximización b. Tema 02: Análisis de la solución por la computadora c. Tema 03: Programación Lineal Entera d. Tema 04: El Primal – Dual


44 44 44 44 44 44

45-68 45

51 58 63 69 69 71 73

UNIDAD DE APRENDIZAJE 3:Modelos de Transporte, Asignación y Redes 74-114


2. Desarrollo de los temas a. Tema 01 Modelos de Transporte b. Tema 02: Método de solución de modelos de transportes c. Tema 03: Modelos de Asignación d. Tema 04: Modelos de Redes


75 75 75 75 75 75

76-108 76 85 95 103 109 109 112 114

UNIDAD DE APRENDIZAJE 4:Programación de Proyectos y Programación no lineal 115-147


2. Desarrollo de los temas a. Tema 01: Programación de Proyecto con tiempos de actividad conocidos b. Tema 02: Programación de Proyectos con tiempos inciertos de actividades c. Tema 03: Consideración de los intercambios de tiempo y costo d. Tema 04: Programación no lineal

3. Lecturas Recomendadas 4. Actividades y ejercicios 5. Ejercicios de autoevaluación 6. Resumen

116 116 116 116 116 116

117-151 117 130 137 143 148 148 149 151

III. GLOSARIO 152

IV. FUENTES DE INFORMACIÓN 153

V. SOLUCIONARIO 154


5


6

Introducción

a) Presentación y contextualización

Los temas que se tratan en la presente Unidad, tienen por finalidad que el

estudiante desarrolle y ejecute la optimización de los modelos matemáticos a

través del método grafico. Método simples y el uso de los software adecuados de

solución durante su proceso de formación profesional y contribuyan en el logro de

su perfil profesional.

b) Competencia

Define, planifica y genera la optimización de los modelos matemáticos

usando los diferentes métodos de solución.

c) Capacidades

1. Planifica sus metas de aprendizaje y analiza los diferentes métodos de

solución de optimización de los modelos matemáticos.

2. Aplica y genera el óptimo del modelo matemático y utiliza el método gráfico.

3. Aplica y genera el óptimo del modelo matemático y el método simplex.

4. Aplica y genera la optimización del modelo matemático y utiliza el software

Lingo, Tora, Glp.

d) Actitudes

Disposición emprendedora.

Respeto a las normas de convivencia.

Sentido de Organización.

Perseverancia en las tareas.

e) Presentación de ideas básicas y contenido esenciales de la Unidad.

La Unidad de Aprendizaje 1: La Investigación de Operaciones y la

Programación Lineal; comprende los siguientes temas:

TEMA 01: Investigación de Operaciones.

TEMA 02: Modelos de Programación Lineal.

TEMA 03: El Método Simplex.

TEMA 04: Uso del Software.


7

TEMA 1

Planificar sus metas de aprendizaje y analiza los diferentes métodos de solución de optimización de los modelos matemáticos.

Competencia:

Operaciones

de

Investigación

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8

Desarrollo de los Temas

Tema 01: Investigación de Operaciones

a) INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Algunas Definiciones

La investigación de operaciones puede definirse como

un conjunto de métodos y técnicas científicas que,

aplicados a problemas relacionados con la operación de

sistemas, trataran de dar soluciones óptimas.

En la actualidad, la Investigación Operativa se estudia como una ciencia de alta

gerencia, ya que es una de las más útiles herramientas con las que cuenta un

ejecutivo para buscar mejores soluciones a problemas que afectan a la

organización como un todo.

La Investigación Operativa, es caracterizada por el uso de los modelos

matemáticos para proveer una guía a los gerentes para tomar decisiones

efectivas dentro del estado actual de la información o en buscar información

adicional si el conocimiento actual es insuficiente para alcanzar una decisión

adecuada. (Bradley)

Departamento de Producción

Su principal objetivo es lograr una mayor

producción al menor costo posible, por eso

desea poder hacer largas corridas de

producción a fin de disminuir el costo

asociado con el ajuste y adaptación del

equipo a un nuevo producto.


9

Departamento de Ventas

Su principal objetivo es aumentar las ventas, luego

desea tener un inventario bastante

variado para poder cubrir en forma

inmediata cualquier pedido, hasta de

productos de demanda muy eventual.

Departamento de Administración

El Departamento de Administración desea reducir el inventario a un mínimo

indispensable, lo cual choca con los deseos del Dpto. de producción y el Dpto. de

ventas.

Departamento de Personal

Su principal objetivo es de mantener en alto la moral del

personal, lo cual influye directamente en la productividad, y

mantener un alto grado de entrenamiento.

b) EL ANALISTA DE OPERACIONES

Investigar los parámetros a emplear en el modelo existente para

determinar su validez.

Imaginación, para buscar soluciones lógicas a los múltiples problemas

tanto como técnicos como administrativos.

Habilidad para descubrir las condiciones importantes del problema.

Conocimiento técnico en todas las etapas de la investigación para aplicar

el modelo adecuado.

Laboriosidad y sentido de responsabilidad.

Facilidad de expresión oral y escrita.

Habilidad para trabajar en equipos.


10

c) FASES DE ESTUDIO DE INVESTIGACIÓN OPERATIVA

Construcción del modelo matemático

Es una representación de algún ente (tal como Objeto,

evento, proceso, sistema, imagen, etc.) que es empleado

principalmente con propósito de predicción y

control.

Mediante la construcción del modelo se

pretende hacer posible, o facilitar, la

determinación de cómo cambios en uno o más

de los aspectos, variables o propiedades del

ente modelado, afectan los otros aspectos o al

ente en su totalidad.

Obtención de la solución

La selección del procedimiento por emplear para

obtener del modelo una solución al problema dependerá de

las características del modelo. Los procedimientos de

solución pueden ser clasificados en Analíticos y

Numéricos, muchas veces ninguno de los dos

podrá aplicarse sin la ayuda de las técnicas de

Montecarlo o Simulación en la evaluación de

algunos términos de la ecuación.

d) MODELOS MATEMÁTICO

La esencia de la Investigación Operativa es el enfoque de la construcción de

modelos, el que es un intento para capturar los rasgos más significativos de la

decisión que está bajo consideración por medio de la abstracción.

Lo modelos que usa la Investigación Operativa, son matemáticos.

Los modelos son representaciones simplificadas del mundo real.


11

A fin de que los modelos sean útiles para asistir en las decisiones gerenciales,

ellos deben de ser simples para entenderlos y fácil de usarlos. Al mismo tiempo,

ellos tienen que proporcionar una representación completa y realista del ambiente

de decisión.

e) GUÍA PARA LOS GERENTES

A través del esfuerzo del diseño del modelo, la

Investigación Operativa, trata de proveer una

guía a los gerentes, o en otras palabras trata de

incrementar la comprensión de los

administradores de las consecuencias de sus

acciones. Esto nunca es un intento para

reemplazar o substituir a los gerentes, sino mas

bien el propósito es soportar las acciones

gerenciales. Es importante entonces reconocer

la fuerte interacción requerido entre gerentes y

modelos.

Los modelos pueden oportunamente y efectivamente explicar las muchas

relaciones mutuas que pueden estar presentes dentro de las alternativas que

están siendo consideradas y que pueden explícitamente evaluar las

consecuencias económicas de las acciones restricciones impuestas por los

recursos existentes y las demandas impuestas al uso de esos recursos.

Los gerentes de otro lado, podrán formular las preguntas básicas a ser

contestadas por el modelo y luego interpretar los resultados del modelo en base a

su propia experiencia e intuición, reconociendo las limitaciones del modelo.

La complementación entre las habilidades computacionales superiores

proporcionadas por el modelo y las capacidades de discernimiento del gerente (el

que toma las decisiones) es la clave para un enfoque exitoso de la Investigación

de Operaciones.


12

f) CLASIFICACIÓN DE LOS MODELOS

Ejercicio Operacional

Si deseamos efectuar un ejercicio operacional que soporta esta decisión,

ensayaríamos diferentes combinaciones de tipos de petróleo, directamente en el

proceso de la refinería y observar las utilidades y costos resultantes asociados

con cada alternativa de la mezcla.

Ventajas:

Alto grado de realismo.

Desventajas:

Costos altos de implementación.

En muchos casos imposible de analizar.


13

Juego (Gaming)

El proceso de la refinería podría ser representado por un

modelo matemático o computacional, que podría

asumir cualquier tipo de estructura.

El modelo debe de reflejar con un grado

aceptable de exactitud las relaciones entre las

entradas y las salidas del proceso de la refinería.

Posteriormente todo el personal que participa en estructurar el

proceso de decisión en la gerencia de la refinería deberá interactuar con el

modelo. El gerente de Producción establecerá planes de producción, el

Gerente de Compras identificara precios y fuentes de crudos de petróleo y

desarrollar programas de adquisición y así sucesivamente.

Ventajas:

Se ha retenido algunas de las interacciones humanas del proceso real.

El costo de procesar cada alternativa ha sido reducido.

La velocidad de medición de la performance de cada alternativa ha sido

aumentada.

Desventajas:

Se pierde algún grado de realismo con respecto al ejercicio operacional,

debido a que operamos en un mundo abstracto.

Simulación

Son similares a los modelos de juego, excepto que

todas las personas que toman decisiones han sido

sacadas del proceso de modelaje.

Al igual que el ejercicio operacional y juego, los

modelos de simulación no generan alternativas ni

producen una respuesta óptima a la decisión bajo estudio.


14

En el ejemplo: Programaríamos por adelantado un gran número de

combinaciones de cantidades y tipos de petróleo crudo a ser usados y

obtendríamos las utilidades asociadas a cada tipo de alternativa sin ninguna

entrada externa de los tomadores de decisiones. Una vez que los resultados del

modelo han sido producidos, nuevas corridas podrían ser llevadas a cabo, hasta

que percibamos que hemos alcanzado un entendimiento adecuado de problema.

Modelo Matemático

En este de modelo, el problema es representado totalmente en términos

matemáticos, normalmente por medio de un criterio u objetivo que buscaremos

maximizar o minimizar, sujeto a un grupo de restricciones que representan las

condiciones bajo las cuales tienen que ser efectuadas.

El modelo computa una solución óptima, que es, una que satisface todas las

restricciones y nos da el mejor valor posible de la función objetivo.

En nuestro ejemplo: el uso de un modelo analítico implica determinar como

objetivo la maximización de utilidades netas obtenidas de la operación de la

refinería como una función de los tipos y cantidades de los petróleos crudos

usados. Además la tecnología del proceso de la refinería, los requerimientos del

producto final y las disponibilidades de crudo de petróleo deben ser representados

en términos matemáticos para definir las restricciones de nuestro problema.

La solución del modelo será la cantidad exacta de

cada tipo de petróleo crudo disponible a ser

procesado que maximizará las utilidades netas

dentro del grupo de restricciones propuestas.

Los modelos analíticos, son normalmente los

modelos menos costosos y más fáciles de desarrollar.

Sin embargo ellos introducen el más alto grado de

simplificación en la representación del modelo.

Mucho del trabajo llevado a cabo por los científicos de

investigación de Operaciones, ha sido orientado en el

desarrollo de implementación de modelos analíticos.


15

TEMA 2

Aplicar y generar el óptimo del modelo matemático y utilizar el método gráfico.

Competencia:

Lineal

de Programación

Modelos



16

Tema 02: Modelos de Programación Lineal

a) Soluciones Geométricas

Usualmente las gráficas no son el mejor método para resolver problemas de

programación lineal del mundo real, ya que no podemos dibujar en más de 3

dimensiones. No obstante una solución gráfica para un problema de 3 ó menos

dimensiones es efectiva.

Este método consiste en delinear sobre el primer

cuadrante (debido a las condiciones de no

negatividad), la región de soluciones factibles; y

luego graficando sobre ellas la función objetivo, se

ubica el programa ó programas óptimos.

b) Método Grafico

Maximización

Una Compañía manufacturera textil fabrica los productos 1,2; y es

suficientemente afortunada como para vender todo lo que puede

producir actualmente.

Cada producto requiere un tiempo de manufacturación en los

3 Dptos.; y la disponibilidad de una cantidad fija de horas-

hombre por semana en cada Dpto.; tal como se muestra en el

cuadro siguiente:

PRODUCTO

Tiempo de Manufacturación

DPTO A

DPTO B

DPTO C

1 2

H – H disp/sem

2 2

160

1 2

120

4 2

280


17

El problema consiste en decidir qué cantidad de cada producto debe

manufacturarse con el objeto de hacer el mejor empleo de los medios limitados

de producción, sabiendo que la ganancia por cada unidad del producto 1 es $

1.00 y del producto 2 es $ 1.50.

Sean X1 = número de unidades del producto 1

X2 = número de unidades del producto 2

Por lo tanto la programación lineal es:

Max Z = x1 + 1.5x2

Sujeto a: 2x1 + 2x2 <= 160 - - - - - - ( 1 )

x1 + 2x2 <= 120 - - - - - - ( 2 )

4x1 + 2x2 <= 280 - - - - - - ( 3 )

x1, x2 >= 0 - - - - - - ( 4 )

Si la restricción (1) fuese la ecuación:

2x1 + 2x2 = 160,

Se representaría una recta en el plano cartesiano; pero como el signo es una

desigualdad esto representa uno de los semiplanos en que queda dividido el

plano cartesiano.

Luego cuando se gráfica se tiene:

X2

X1

Gráfica de inecuaciones

80

80

70

60

40

30

20

10

10 20 30 40 60 70

X1X2

0 80

80 02x1 + 2x2 =

160

Región 2x1 + 2x2 < 160

50

50


18

Analicemos la región sombreada, cualquier punto dentro de ella cumple

simultáneamente con las 3 restricciones y con la no-negatividad.

Ahora el problema consiste en maximizar la

función:

Z = x1 + 1.5x2

Cabe recalcar que las

restricciones de no

negatividad hacen que de

toda la zona rayada sólo

nos interesa la que está en

el primer cuadrante esto es

debido a que

y , luego

se tendrá:

Aplicando los mismos

conceptos a la 2da y

3era. Restricción y

superponiendo las 3

gráficos, tenemos

que la zona en la

cual se cumplen

simultáneamente las

3 restricciones es la

región sombreada

que se indica en la

fig.


19

Sobre la región sombreada de la fig. Anterior que representa a las restricciones

del problema en estudio.

Si hacemos x1 = x , x2 = y

Z = x + 1.5y

ec.recta y = mx + b

Procedamos a graficar esta función.

Sea Z = 0, entonces la pendiente de la función es:

Por lo tanto, la función

objetivo, Z representa

una familia de rectas

paralelas con

pendiente

m = - 1/1.5

= - 2/3, tal como se

muestra


20

La recta x1 + 1.5x2 = 100 representa el máximo valor de la función Z; sujeta

a las restricciones del programa lineal propuesto.

Cualquier valor de Z > 100, no tendrá ningún punto común con la región

sombreada.

La recta Z = 100 y la región sombreada tienen en este caso un pto. Común

cuyas coordenadas son

x1 = 40 y x2 = 40

Soluciones factibles

C1: (0,60) C3: (70,0) C5: (40,40)

C2: (0, 0 ) C4: (60,20)

Región Factible: El conjunto de valores para las variables de decisión en un

programa lineal que satisface todas las restricciones.

Solución Factible: Una solución en la que las variables de decisión son factibles

(Cualquier punto, dentro de la región factible).

Solución Optima: El punto en la región factible que tiene el mejor valor de la

función objetivo (máx.). Y en caso de minimización el menor valor de la función

objetivo.


21

Propiedad

La utilidad máxima ocurre en un vértice del conjunto de soluciones factibles.

Probar todos los vértices para ver cual aporta la mayor ganancia.

Vértices Z = x1 + 1.5x2

C1: (0,60) 0 + 1.5 x 60 = 90

C2: (0, 0) 0 + 1.5 x 0 = 0

C3: (70,0) 70 + 1.5 x 0 = 70

C4: (60,20) 40 + 1.5 x 20 = 90

C5: (40,40) 40 + 1.5 x 40 = 100 Respuesta


22

TEMA 3

Aplicar y generar el óptimo del modelo matemático y el método simplex.

Competencia:

Simplex

Método



23

Tema 03: Método Simplex

a) PROCEDIMIENTO

Se procede a efectuar el balanceo de las reglas restricciones, para lo cual se

recurre a las variables de exceso, holgura y artificial según se al el caso.

Se construye el primer tablero del método simplex y en ella se registra:

En la primera columna Xk las variables básicas según corresponde.

En la columna Cj, se registra la contribución unitaria de cada variable básica

anteriormente registrada.

En la columna b, se registra el valor de los términos independientes (estos

deberán ser positivos).

En el tablero principal se registran los coeficientes de las variables de las

restricciones balanceadas.

En la cabecera de dicho tablero se registran las contribuciones de todas las

variables.

En el primer tablero, se calcula los valores del vector fila de contribuciones

(Zj), el cual se obtiene de la suma de los productos parciales que

corresponden por fila.

Se deduce el vector de sensibilidad, el mismo que se obtiene de restar los

valores Cj – Zj, lo cual indicara si se trata o no del tablero optimo.

Si se tratase de un caso de maximización, no deberá existir valores positivos;

de los contrario elegimos el mayor de los valores positivos, el cual identificara

al vector que ingresa o “vector ingresante”. En caso de minimización de

hallarse valores negativos, se selecciona al mayor de todos ellos, quien

identifica al vector ingresante.


24

Luego se calcula el vector que sale o “vector saliente” para lo cual se divide los

valores del vector columna b entre los valores del vector ingresante y se

selecciona como vector saliente a aquel que corresponda el menor valor

positivo.

Se construye el siguiente tablero y se determina los valores del vector antiguo

(que corresponde a dicha posición), entre el pívot (el pívot es el valor que se

halla en la intersección entre el vector que ingresa y el vector que sale, en el

tablero anterior).

Para calcular los valores de las demás filas del segundo tablero se aplica la

siguiente forma:

Elemento del vector antiguo – (semipivot * elemento del vector ingresante)

El semipivot es aquel elemento que se halla en la intersección de la fila anterior

y el vector ingresante.

Luego se calcula para el segundo tablero el valor de la fila de contribuciones

(Zj) y el vector de la fila de sensibilidad (Cj + Zj).

Se continúa este proceso hasta que:

No se tenga ningún valor positivo si se trata de maximización.

No se tenga ningún valor negativo si se trata de minimización.

Del tablero óptimo se extrae el valor óptimo (bien

sea un Zmax ó Zmin) y la contribución de las

variables reales de la solución.


25

b) Método Simplex: Caso de Minimización

Min Z : 4X1 + 2X2 - 3X3

s.a.

4X1 - 2X2 - 3X3<= 5

X1 + X3 = 12

-2X1 + X2 - X3>= 6

Balanceando

Minx Z : 4X1 + 2X2 - 3X3+ 0X4 + 0X5 + Mq1 + Mq2

s.a.

4X1 - 2X2 - 3X3+ X4 = 3

X1 + X3 + q1 = 7

-2X1 + X2 - X3- X5 + q2 = 6


26

4 2 –3 0 0 M M

Ci Xk b X1X2 X3 X5 X4 q1 q2

0 X4 5 4 -2-3 0 1 0 0

M q1 12 1 0 1 0 0 1 0

M q2 1 -2 1 -1 -1 0 0 1

Zj = 13M -M M 0 -M 0 M M

Cj – Zj 4+M 2-M -3 M 0 0 0

0 X4 7 0 0 -5 -2 1 0 0

M q1 12 1 0 1 0 0 1 0

2 X2 1 -2 1 -1 -1 0 0 1

Zj = 12M+2 M-4 2 M-2 -2 0 M 2

Cj – Zj -M+8 0 -M-1 2 0 0 -2+M

0 X4 67 5 0 0 -2 1 5 2

-3 X3 12 1 0 1 0 0 1 0

2 X2 13 -1 1 0 -1 0 1 1

Zj = -10 -5 2 -3 -2 0 -1 2

Cj – Zj 9 0 0 2 0 M+1 M-2

Zopt = -10

X1 = 0

X2 = 13

X3 = 12


27

c) Método Simplex: Caso de Maximización

Max Z : 2X1 + 3X2 - 2X3

s.a.

3X1 + 2X2 - X3<= 15

X1 + 4X2 + 3X3<= 12

-2X1 + X2 - 3X3<= 7

Balanceando

Max Z : 2X1 + 3X2 - 2X3+ 0X4 + 0X5 + 0X6

s.a.

3X1 + 2X2 - X3+ X4 = 15

X1 + 4X2 + 3X3 + X5 = 12

-2X1 + X2 - 3X3+ X6 = 7


28

2 3 –2 0 0 0

Ci Xk b X1 X2 X3 X5 X4 X6

0 X4 15 3 2 -1 1 0 0

0 X5 12 1 4 3 0 1 0

0 X6 7 -2 1 -3 0 0 0

Zj = 0 0 0 0 0 0 0

Cj – Zj 2 3 -2 0 0 0

0 X4 9 10/4 0 -10/4 1 -2/4 0

3 X2 3 1/4 1 3/4 0 1/4 0

0 X6 4 -9/4 0 -15/4 0 -1/4 1

Zj = 9 3/4 3 9/4 0 3/4 0

Cj – Zj 5/4 0 -17/4 0 -3/4 0

2 X1 36/10 1 0 -1 4/10 -2/10 0

3 X2 84/40 0 1 4/4 -1/10 3/10 0

0 X6 484/40 0 0 -6/4 9/10 -7/10 1

Zj = 135/10 2 3 1 5/10 5/10 0

Cj – Zj 0 0 -3 -5/10 -5/10 0

Zopt = 135/10 = 13.5

X1 = 3.6

X2 = 2.1

X3 = 0


29

TEMA 4

Aplicar y generar la optimización del modelo matemático y utiliza el software Lingo, Tora, Glp.

Competencia:

del

Software

Uso



30

Tema 04: Uso del Software

a) Uso del LINGO

LINGO es una herramienta simple que permite utilizar el poder

de la optimización lineal y no lineal para formular grandes

problemas concisamente, resolverlos, y analizar la solución.

La optimización ayuda a encontrar la respuesta que

satisface el mejor resultado. Frecuentemente, estos

problemas involucraban el uso más eficiente de los

recursos (dinero, tiempo, maquinaria, personal, etc.).

Los problemas de optimización se pueden clasificar en

lineales o no lineales, dependiendo de cómo las

relaciones entre las variables.

La ventana inicial de LINGO.


31

Desarrollo de un modelo en LINGO.

Supongamos que CompuQuick Corp. Produce 2 modelos de computadoras:

Standard y Turbo. CompuQuick puede vender cada unidad Standard que produce

a un precio de $100, y cada unidad Turbo por $150. La fábrica puede producir a lo

sumo 100 computadoras Standard por día y 120 computadoras Turbo.

CompuQuick tiene una capacidad de trabajo de 160 horas por día. Las

computadoras Standard requieren 1 hora de labor, mientras que las Turbo

requieren 2 horas. El problema de CompuQuick es determinar la mezcla de

computadoras Standard y Turbo a producir cada día para maximizar el total de las

ventas sin exceder el límite de producción y de trabajo.

En general un modelo de optimización consiste en los siguientes 3 ítems:

1. Función objetivo

2. Variables

3. Restricciones

La sintaxis para escribir la función objetivo en LINGO es:

MAX = 100 * STANDARD + 150 * TURBO;

Nota: Cada línea en LINGO finaliza con un punto y coma. El punto y la coma son

requeridos. El modelo no se resolverá si falta algún punto y coma.

Las restricciones se introducen de la siguiente manera:

STANDARD <= 100;

TURBO <=120;

STANDARD + 2 * TURBO <= 160;

Nota: Dado que la mayor parte de las computadoras no tienen una tecla de menor

o igual, LINGO ha adoptado como convención utilizar el símbolo <= para

representar. Como alternativa, se puede usar el símbolo < para expresar menor o

igual. Lo mismo se usa >= ó > para expresar mayor o igual.


32

Una expresión puede abarcar más de una línea, por ejemplo:

MAX = 100 * STANDARD + 150 * TURBO;

Se pueden introducir comentarios, que serán ignorados por LINGO, comenzando

con un signo de exclamación (! y terminando con un punto y coma. Los

comentarios también pueden ocupar varias líneas. Por ejemplo:

X= 1.5 * Y + Z / 2 * Y; ! Esto es

Un comentario;

X= 1.5 * ! Esto es un comentario en el medio de una restricción; Y + Z / 2 * Y;

LINGO no distingue entre mayúsculas y minúsculas, por lo que es lo mismo

STANDARD que standard y que StAnDaRd.

Los nombres de las variables deben comenzar con un

carácter alfabético (A-Z), los siguientes caracteres pueden

ser alfabéticos, numéricos o subrayado (_). Los nombres

pueden ser de hasta 32 caracteres de longitud.


33

Resolución del modelo.

Para ordenar a LINGO a que resuelva el problema, se debe seleccionar el

comando Solve del menú LINGO, o presionar el botón Solve de la barra de

herramientas.

Si no hay errores en la formulación del problema durante la etapa de compilación,

LINGO invocará al módulo de resolución adecuado para buscar la solución

óptima.

Ventana de estado.

En esta ventana se puede monitorear el proceso de resolución y las dimensiones

del modelo.

El recuadro "Variables" muestra el número total de variables del modelo, las

variables que son no lineales y las enteras. Una variable es considerada no lineal

si es parte de una restricción no lineal en el modelo. Mientras más variables no

lineales y enteras contenga el modelo, más difícil será resolverlo de forma óptima

en un tiempo razonable. Los modelos lineales puros sin variables enteras tienden

a resolverse más rápidamente.


34

La cuenta de variables no incluye las que LINGO determina como de

valor fijo, por ejemplo: dadas las restricciones

X = 1;

X + Y = 3;

LINGO determina por la primera restricción que X está fija en 1,

y, usando esta información, deduce que Y está fija en 2. X e Y

serán entonces excluidas del modelo.

En el recuadro "Constraints" se muestra la cantidad total de restricciones y el

número de éstos que son no lineales. Una restricción es considerada no lineal si

una o más variables aparecen de forma no lineal en la restricción.

El recuadro "Nonzeros" muestra el total de coeficientes distintos de cero que

aparecen en el modelo y el número de estos que aparecen en variables no

lineales.

El recuadro "Memory Used" muestra la cantidad de memoria que está utilizando

LINGO para resolver el modelo.

El recuadro "Elapsed Runtime" muestra el tiempo total utilizado para generar y

resolver el modelo.

El recuadro "Optinizer Status" muestra el estado actual del optimizador:

Campo Descripción

State Estado de la solución actual, puede ser

"Global optimum", "Local optimum",

"Feesible", "Unbounded", "Interrupted",

"Undetermined"

Iterations Número de iteraciones

Infeasibility Cantidad de veces que es violada una

restricción

Objetive Valor actual de la función objetivo

Best IP Valor de la función objetivo de la mejor

solución entera encontrada (solo en

modelos de programación entera)

IP Bound Límite teórico de la función objetivo

para modelos de programación entera.


35

Cuando LINGO termine de resolver el modelo, creará una nueva ventana con el título

Solution Report, conteniendo los detalles de la solución:

Informe de la solución.

¿Para qué utilizar un lenguaje de modelación?

Una de las características más potentes de LINGO,

es el lenguaje de modelación matemática. Este

lenguaje permite expresar el problema de una

manera natural, similar a la notación

matemática standard. Además de poder

ingresar cada término de cada restricción

explícitamente, LINGO permite expresar una serie

de restricciones similares en una sola sentencia

compacta.


36

Otra característica conveniente del lenguaje de modelación de LINGO, es la

sección de datos. La sección de datos permite aislar los datos de la formulación

del modelo. De hecho, LINGO puede incluso, leer los datos de una planilla de

cálculo, de una base de datos o un archivo de texto. Con los datos

independientes del modelo, es mucho más fácil hacer cambios, y hay menos

oportunidad de cometer errores.

El modelo de CompuQuick del ejemplo anterior, usa variables escalares, cada

variable está explícitamente listada por nombre (STANDARD y TURBO) y cada

restricción aparece explícitamente. En la mayor parte de los grandes modelos,

será necesario trabajar con un grupo de varias restricciones y variables muy

similares. Para esto, LINGO tiene la habilidad de manejar conjuntos de objetos,

que permiten efectuar estas operaciones más eficientemente.

b) Uso del GLP

Es una herramienta informática que permite graficar modelos

matemáticos de P.L. de 2 variables, grafica la solución óptima.

Es desarrollado bajo la supervisión del Profesor Jeffrey Moore,

PhD de la Escuela de Negocios de la Universidad de Stanford.

5

Usando GLPUsando GLP Escuela de Negocios de Stanford Graphic LP Optimizer (GLP) para

graficar modelos de PL.

Etiquetas de tipo de variables paraX, Y, ingresopara 6 restricciones y la funciónobjetivo. (PAYOFF)

Area de graficación


37

6

Primero, obtenga un gráficodel grupo de restricciones, asignando los ejes.

Ingreso de restricciones y el límite de las

disponibilidadde recursosusando +/-

Esta área representala región factible.

7

Note que puede desplazar la línea de estricciones (drag) y observar que pasa con la regiónfactible.

Solo el lado derecho de la restricción (RHS) esvariable.


38

c) Uso del TORA

Max Z = x1 + 1.5x2

Sujeto a: 2x1 + 2x2 <= 160 - - - - - - ( 1 )

x1 + 2x2 <= 120 - - - - - - ( 2 )

4x1 + 2x2 <= 280 - - - - - - ( 3 )

x1, x2 >= 0 - - - - - - ( 4 )


39

Lecturas Recomendadas

1. Ingresa al link “Método Simplex” lee atentamente las

indicaciones, desarróllalo y envíalo por el mismo medio.

Dado el siguiente modelo matemático, resolver por el método

simplex:

Max Z = x1 + 1.5x2

Sujeto a: 2x1 + 2x2 <= 160 - - - - - - ( 1 )

x1 + 2x2 <= 120 - - - - - - ( 2 )

4x1 + 2x2 <= 280 - - - - - - ( 3 )

x1, x2 >= 0 - - - - - - ( 4 )

Dado el modelo matemático del ejercicio 1, resolverlo usando

el software LINGO. Recuerde que el software LINFO lo puede

descargar e instalar gratuitamente de internet.

EL LIBRO:

http://site.ebrary.com/lib/biblioucvsp

PROGRAMACIÓN LINEAL

http://www.programacionlineal.net/

Actividades y Ejercicios

http://site.ebrary.com/lib/biblioucvsp

http://www.programacionlineal.net/


40

Autoevaluación

1) Una solución en la que las variables de decisión son factibles (Cualquier

punto, dentro de la región.

a. Solución Factible

b. Región Factible

c. Solución Óptima

d. Solución Extrema

e. Solución Parcial

2) El punto en la región factible que tiene el mejor valor de la función objetivo.

a. Solución factible

b. Región Factible

c. Solución Óptima

d. Solución extrema

e. Solución parcial

3) Nos permite graficar modelos matemáticos de P.L. de dos variables.

a. Lingo

b. Glp

c. Tora

d. Lindo

e. Win QSB

4) Es el modelo más realista:

a. Ejercicio Operacional

b. Simulación

c. Matemático

d. Gaming

e. Juego

5) Es el modelo más abstracto

a. Gaming

b. Matemático

c. Ejercicio Operacional

d. Simulación

e. Juego


41

6) Es una herramienta simple que permite utilizar el poder de la optimización

lineal y no lineal:

a. Lingo

b. Glp

c. Tora

d. Lindo

e. Win QSB

7) El conjunto de valores para las variables de decisión en un programa lineal

que satisface todas las restricciones.

a. Solución Factible

b. Solución Optima:

c. Región Factible

d. Propiedad

e. Maximización

8) Su principal objetivo es de mantener en alto la moral del personal, lo cual

influye directamente en la productividad, y mantener un alto grado de

entrenamiento.

a. Departamento de Administración

b. Departamento del Personal

c. Departamento de Producción

d. Departamento de Ventas

e. Departamento de Recursos Humanos

9) No es parte de la función del Analista de Operaciones:

a. Laboriosidad y sentido de responsabilidad.

b. Facilidad de expresión oral y escrita.

c. Habilidad para trabajar en equipos

d. Habilidad para descubrir las condiciones importantes del problema.

e. Facilidad de trabajar individualmente y sin equipo.

10) El ……………………desea reducir el inventario a un mínimo indispensable, lo

cual choca con los deseos del Dpto. de producción y el Dpto. de ventas a. Departamento de Administración

b. Departamento de Marketing

c. Departamento de personal

d. Departamento de Ventas

e. Departamento de Producción


42

Resumen

UNIDAD DE APRENDIZAJE I:

Como su nombre lo dice, la investigación de operaciones significa “hacer investigación sobre las operaciones”. Esto dice algo tanto del enfoque como del área de aplicación. Entonces, la investigación de operaciones se aplica a problemas que se refiere a la conducción y coordinación de operaciones o actividades dentro de una organización. Hasta hace poco las decisiones siempre se tomaban basadas en la intuición. Sin embargo este proceso empezó a perder confiabilidad, por lo cual comenzaron a utilizarse en el siglo pasado modelos de programación matemática y se diseñaron técnicas similares como ayuda a la decisión gerencial.

La revolución científica en las técnicas administrativas de principios de este siglo, iniciadas por Frederick Taylor, en la que sentó la base para la actualidad ciencia administrativa / investigación de operaciones. Con posterioridad a la guerra y ante el éxito aparente de los militares atrajo la atención de la industria que buscaba soluciones a problemas creados por la complejidad y especialización de las operaciones, herramientas formales para el desarrollo rápido de las empresas y empezaron a formar grupos de trabajo. Dos procesos, que ocurrieron en el periodo posterior a la segunda guerra mundial, condujeron a la investigación de operaciones como un par importante en el proceso de la toma de decisiones:

En primer lugar el descubrimiento de George Dantzig en 1947 del método simple, para resolver problemas de programación lineal., y en 1957 Churman, Ackffy Arnoff publicaron el primer libro de investigación de operaciones. Con el advenimiento de las computadoras digitales se expandieron los campos de acción de los métodos cuantitativos y se crearon nuevos modelos. Dada la facilidad de obtención de resultados en crear y desarrollarse. Hoy en día los métodos cuantitativos son utilizados en el sector público y privado como elementos esenciales en el proceso de la toma de decisiones generales. Programación lineal, técnica matemática y de investigación de operaciones que se utiliza en la planificación administrativa y económica para maximizar las funciones lineales de un gran número de variables sujetas a determinadas restricciones (véase Álgebra; Función; Matemática). El desarrollo de computadoras electrónicas de procesamiento de alta velocidad ha aportado recientemente muchos avances a la programación lineal, de forma que ahora esta técnica se utiliza extensamente en operaciones industriales y militares. La programación lineal se utiliza básicamente para hallar un conjunto de valores, elegidos a partir de un conjunto de números dado, que maximizaran una forma poli nómica dada. La programación lineal utiliza un modelo matemático para descubrir el problema. El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deben ser funciones lineales. En este caso, la palabra programación no se refiere a programación en computadoras; en esencia es un sinónimo de planeación. Así, la programación lineal trata de planeación de las actividades para obtener un resultado optimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada (según el modelo matemático) entre todas alternativas de solución.


43


44

Introducción



estudiante desarrolle y ejecute el análisis post-optimo de los modelos

matemáticos de programación lineal, durante su proceso de formación profesional

y contribuyan en el logro de su perfil profesional.

b) Competencia

Desarrolla y aplica el análisis de sensibilidad de los modelos matemáticos

de programación lineal.

c) Capacidades

1. Planifica y aplica el análisis de sensibilidad de los modelos matemáticos.

2. Planifica y utiliza el análisis de sensibilidad por computadora.

3. Planifica y aplica la solución de modelos de programación entera.

4. Aplica y reconoce los modelos Primal - Dual.

d) Actitudes






La Unidad de Aprendizaje 2: Análisis de Sensibilidad de los modelos de

Programación Lineal, comprende el desarrollo de los siguientes temas:

TEMA 01: Análisis de Sensibilidad de los Términos Independientes en

Situación de Maximización.

TEMA 02: Análisis de la Solución por la Computadora.

TEMA 03: Programación Lineal Entera.

TEMA 04: El Primal - Dual.


45

TEMA 1

Planificar y aplicar el análisis de sensibilidad de los modelos matemáticos.

Competencia:

de

Sensibilidad

Independientes

de Análisis

de los Términos

en Situación Maximización



46


Tema 01: Análisis de Sensibilidad de los Términos Independientes en Situación de Maximización

El análisis Post-optimo es también denominado Análisis de Sensibilidad, estudia

las variaciones que se presentan en una solución optima en lo referente a los

Términos Independientes, la Función Objetivo y la matriz Principal (esta última

también denominada Matriz Tecnológica), tanto para los casos de maximización

como los de Minimización

a) Análisis de sensibilidad de los términos independientes en

situación de maximización

Procedimiento

Paso 1. Se calcula la solución óptima del modelo originalmente

dado.

Paso 2.

Se calcula el valor del término independiente modificado,

mediante:

bi +/ - Δb = b’

Donde:

b i = Es el término independiente original de una

determinada restricción del modelo matemático.

Δb = Es la cantidad en que se incrementa o disminuye el

término independiente.

b’ = Es el término independiente modificado


47

Paso 3. Se multiplica la matriz:

B-1 con el vector modificado del término independiente:

B-1 b’ >= [ Ō ] entonces Es Factible

De lo contrario se dice que no existe factibilidad.

Paso 4. En el supuesto caso de que no exista factibilidad, se identifica a aquel

elemento de la matriz B-1 que lo está ocasionando ( la matriz B-1 es aquella que

corresponde en el tablero optimo a la posición que ocupaba la matriz unitaria en el

tablero Nº 01 del Método Simples), a dicho elemento identificado, se convierte en

el Pívot y partir de esto, se efectúa la inversión de matrices para la matriz B-1; y

continuamos con el proceso del Paso 4 las veces que sean necesarios, hasta

obtener una solución factible, mediante la fórmula dada en el Paso 3.

Paso 5. Una vez que se obtiene la factibilidad a partir del Paso 3 o Paso 4 según

el caso, se procede a calcular la solución optima del modelo dado con la variación

propuesta del término independiente, mediante la fórmula:

Zmax = Ci ( B-1 b’ )

Y la participación de las variables, reales en

dicho modelo modificado se obtiene de:

B-1 b’

EJEMPLO

Max Z : 5X1 + 6X2

s.a.

2X1 + 3X2<= 30

3X1 + 2X2 <= 30


48

Para cuando:

a) Considerar que b1 , pasa a ser 24

b) Considerar que b , pasa a ser b1=36 y b2=18

Balanceando

Max Z : 5X1 + 6X2+ 0X3 + 0X4

s.a.

2X1 + 3X2+ X3= 30

3X1 + 2X2 + X4= 30

5 6 0 0

Ci Xk b X1 X2X3 X4

0 X3 30 2 3 1 0

0 X4 30 3 2 0 1

Zj = 0 0 0 0 0

Cj – Zj 6 6 0 0

6 X2 10 2/3 1 3/3 0

0 X4 10 5/3 0 -2/3 1

Zj = 60 4 6 2 0

Cj – Zj 1 0 -2 0

6 X2 6 0 1 3/5 -2/5

5 X1 6 1 0 -2/5 3/5

Zj = 66 5 6 8/5 3/5

Cj – Zj 0 0 -8/5 -3/5

Zopt = 66

X1 = 6

X2 = 6


49

a) B-1 b’ >= [ Ō ] entonces Es Factible

3/5 -2/5 24 12/5 6

= >= Solución factible

-2/5 3/5 30 42/5 0

Se pasa al Paso 5

Zmax = Ci (B-1 b’ )

Zmax = (C2 , C1 ) 12/5

42/5

Zmax = ( 6 , 5 ) 12/5 = 56.4

42/5

x1= 42/5 = 8.4 x2 = 12/5 = 2.4

b) B-1 b’ >= [ Ō ] entonces Es Factible

3/5 -2/5 36 72/5 0

= not >= No factible

-2/5 3/5 18 -18/5 0

Entra

X3 X4 X3 X4

X2 3/5 -2/5 X2 0 1/2

Sale X1 -2/5 3/5 X3 1 -3/2

X2 0 1/2 36 9 0

= >= Solución factible

X3 1 -3/2 18 9 0


50

Se pasa al Paso 5

Zmax = Ci (B-1 b’ )

Zmax = (C2 , C3 ) 9

9

Zmax = ( 6 , 0 ) 9 = 54

9

x1= 0 x2 = 9


51

TEMA 2

Planificar y utilizar el análisis de sensibilidad por computadora.

Competencia:

de la Solución Análisis

por la Computadora



52

Tema 02: Análisis de la Solución por la Computadora

a) Planeación de la producción

Usando el software Lindo tenemos:


53


54

b) Análisis

1. Plan óptimo de producción

Q1 = 1300 unidades

Q2 = 0

Q3 = 100 unidades

Q4 = 800 unidades

Q5 = 200 unidades

2. Cuanto es la utilidad máxima

$ 54,400

3. Costos reducidos.

Solo se le interpreta cuando son diferentes de cero.

Costo reducido de Q2 = 11

Tiene dos significados:

Primera interpretación: Se puede notar que el producto Q2 no conviene

fabricar, para que sea conveniente su producción, su utilidad debe aumentar

por lo menos 11 $/unidad.

Segunda Interpretación: Se sabe que el producto Q2 no debemos fabricar, si

forzamos la producción de este producto, la utilidad total se reducirá en forma

proporcional a 11, por cada unidad fabricada.

NOTA

Siempre que hay un cero en el lado izquierdo o

derecho, si no hay cero, el problema no tiene

solución. Pero cuando hay varios ceros, significa

que hay varias soluciones óptimas.


55

4. Slack or Surplus (variables de holgura y exceso).

Variable de Holguras y Variables de exceso

a) Holgura 0 de la fila 2: Toda la materia prima ha sido utilizada, sobrando cero

libras.

b) Holgura 300 de la fila 3: Significa que hay 300 pies cúbicos no utilizables del

almacén. Solo se está utilizando 3700 pies cúbicos.

c) Variable de exceso 1900 en la fila 4: Se están entregando 1900 unidades

adicionales a las empresas industriales, lo mínimo que pedían era 200

unidades y estamos entregando 2100 unidades (exceso de 1900 unidades).

d) Variables de exceso 0 de la fila 5: Se están entregando exactamente lo mínimo

pedido (300 unidades) a las empresas comerciales, no entregamos ninguna

unidad adicional.

e) En la fila 6 y fila 7 por ser restricción de igualdad.

5. Dual Price (Precios Duales).

Se obtiene como sigue:

Unidad de la función del Primal

Yi = --------------------------------------------------------------------

Unidad del término derecho de la i_esima restricción del Primal

$ de utilidad

Y1 = 3 ----------------------------

Libras de materia prima

$ de utilidad

Y2 = 0 ----------------------------

Pie cúbico de espacio

$ de utilidad

Y3 = 0 ----------------------------

Producto comprado por empresas industriales


56

$ de utilidad

Y4 = -14 ----------------------------

Por producto comprado por las empresas comerciales

$ de utilidad

Y5 = 14 ----------------------------

Hora Planta 1

$ de utilidad

Y4 = 21 ----------------------------

Hora Planta 2

6. Unidades de las variables duales.

Sea:

bi = termino derecho de la i_esima restricción del primal

Yi = Variable dual asociada a la i_esima restricción del Primal.

M = Valor optimo de la función objetivo del primal.

Si variamos el término derecho (bi) de la i_esima restricción del primal, en un

cantidad di, entonces:

Si di es positivo significa que estamos incrementando.

Si di es negativo significa que estamos disminuyendo.

El nuevo valor óptimo es

M - di * Yi

i) Si aumentamos 50 libra de materia prima. ¿Cuál es la nueva utilidad?

M + di * Yi

M = 5400

di = 50

Yi = 3

Entonces 5400 + 50(3) = $ 54,550


57

ii) Si se deterioran 80 libras de materia prima, como afecta esto a la utilidad.

54400 + di * Yi = 54400 + (-80) (3) = $ 54160

En conclusión:

Por cada libra adicional de materia prima, la utilidad aumenta en 3 $, y por cada

libra que se disminuye la materia prima, la utilidad baja 3 $.

7. Rangos de sensibilidad.

i) Rango de sensibilidad para el coeficiente de Q1 en la Función Objetivo

Mientras la utilidad unitaria del producto 1 sea menor o igual que 26, el Plan

de Producción optimo no cambia.

ii) Rango de sensibilidad para la materia prima (Fila2)

Mientras la cantidad disponibles de materia prima este entre 5800 y 6400

libras, los precios duales no cambian. Van ha seguir siendo 3.

Podemos comprar hasta 400 libras de materia prima o vender hasta 200

libras, sin alterar su precio dual.


58

TEMA 3

Planificar y aplicar la solución de modelos de programación entera.

Competencia:

Lineal Programación

Entera



59

Tema 03: Programación Lineal Entera

La programación entera tiene que ver con la solución de

problemas de programación matemática, en las cuales algunas o

todas las variables, solo pueden tomar valores enteros no

negativos.

a) Tipos de Modelos de Programación Lineal Entera

Programa enteros puros

Un modelo entero puro (PLE) es un problema en el que se exige que todas las

variables de decisión tengan valores enteros.

Ejemplo:

MIN 6X1 + 5X2 + 4X1

S.A.

108X1 + 92X2 + 58X3 >= 576

7X1 + 18X2 + 22X3 >= 83

X1, X2, X3 >= 0 y Enteros

Programas Enteros Mixtos

Se llama programación lineal entero mixto (PLEM), cuando un problema solo

requiere que algunos variables tengan valores enteros, mientras que las otras

pueden asumir cualquier numero no negativo (es decir, cualquier valor continuo).

Por ejemplo:

MIN 6X1 + 5X2 + 4X3

S.A.

108X1 + 92X2 + 58X3 >= 576

7X1 - 18X2 + 22X3 >= 83

X1, X2, X3 >= 0 ; X1 y X3 Enteros


60

Programación Enteros 0 y 1

En algunos problemas, se restringe el valor de las variables a 0 y 1. Dichos

problemas se llaman Binarios o Programas Lineales Enteros 0-1. Son de particular

interés, debido a que se pueden usar las variables 0-1 para representar

decisiones dicotómicas (si o no). Diversos problemas de asignación, ubicación de

plantas, planes de producción y elaboración de cartera, son de programación

lineal entera 0-1. Por ejemplo:

MIN 5X1 - 7X2 + 10X3 - 3X4 + X5

S.A.

-X1 - 3X2 + 5X3 - X4 - 4X5 >= 0

2X1 + 6X2 - 3X3 + 2X4 + 2X5 >= 4

-X2 + 2X3 + X4 - X5 >= 2

XJ = 0 ó 1 donde (0: se rechaza, 1: se acepta)

b) Métodos de Programación Lineal Entera

Método de Búsqueda

Se inician partir de la idea directa de enumerar todos los puntos enteros factibles,

El método de búsqueda más sobresaliente es la TÉCNICA DE RAMIFICAR Y

ACOTAR, Comienza a partir del optimo continuo, pero “parte” sistemáticamente el

espacio de soluciones en subproblemas, suprimiendo partes que no contengan

puntos enteros factibles.

Ejemplo:

MAX X1 + 5X2

S.A.

11X1 + 6X2 <= 66

5X1 + 50X2 <= 225

X1, X2 >= 0 y Enteros

Resolver el problema, por el método gráfico o método simplex


61


62

Ramificar y Acotar

VO de P1 <= 3.75 + 5(4.123) = 24.375 = U = MCSA Máxima Cuota Superior Actual

VO de P1 <= 3 + 5(4) = 24 = F = MCIA Mínima Cuota Inferior Actual


63

TEMA 4

Aplicar y reconocer los modelos Primal – Dual.

Competencia:

Primal – Dual

El



64

Tema 04: El Primal - Dual

El método PRIMAL- DUAL constituye una

técnica de solución complementaria en la

Programación Lineal, generalmente su

aplicación se da en la Teoría de

Estrategia ó Teoría de Juegos, en la cual

se busca optimizar entre 2 o más

estrategas y determinar la probabilidad

de éxito de cada caso, así como el valor

de la información o el juego según se trate

a) Primal - Dual

Dado un conjunto cualquiera de datos para un modelo de PL (Primal), podemos

usar los mismos datos para formar un modelo de PL diferente (Dual).

Para examinar la teoría de Dualidad en una forma satisfactoria, tenemos que

desechar la restricción de que las variables de un modelo de PL sean no

negativas.

Ejemplo (Modelo Primal)

Max 3X1 + 4X2 - 2X3 Var. Duales

S.A.

4X1 - 12X2 + 3X3 <= 12 Y1

-2X1 + 3X2 + X3 <= 6 Y2

-5X1 + X2 - 6X3 >= -40 Y3

3X1 + 4X2 -2X3 = 10 Y4

X1>=0 , X2<=0 , X3 NRS


65

b) Regla

El Núm. de variables del Dual es igual al número de restricciones del Primal. El

número de restricciones del Dual es igual al número de variables del Primal.

Los coeficientes de la Función Objetivo en el Dual será el vector de recursos del

Primal.

Si el primal es un modelo de maximización, el Dual será de Minimización. Si el

Primal es un modelo de Minimización el Dual será de Maximización.

Los Coeficientes de la 1ra función de restricción del Dual, son los Coeficientes de

la 1ro variable en las restricciones de Primal, y en forma análoga para las otras

restricciones.

Los recursos de las restricciones duales son los Coeficientes de la función objetivo

del Primal.

El sentido de la i-ésima restricción Dual es = si y solo si la i-ésima variable del

Primal no tiene restricción de signo (NRS).

Si el Primal es un modelo de Max (Min), entonces, después de aplicar la regla

anterior, se asigna a las restantes restricciones Duales el mismo (opuesto) sentido

a la variable correspondiente del Primal.

La i-ésima variable del problema DUAL no tendrá restricción

de signo(NRS) si y solo si la i-ésima restricción del PRIMAL

es una igualdad.

Si el PRIMAL es un modelo de máx. (Min), entonces

después de aplicar la regla anterior, asignar a las

demás variables DUALES el signo contrario

(el mismo signo) que la restricción

correspondiente al PRIMAL.


66

Modelo Dual

Núm. Variables Dual = 4 (Y1, Y2, Y3 y Y4)

Núm. Restricciones Dual = 3

Min 12Y1 + 6Y2 - 40Y3 + 10Y4

S.A.

4Y1 - 2Y2 - 5Y3 + 3Y4 >= 3

-12Y1 + 3Y2 + Y3 + 4Y4 <= 4

3Y1 + Y2 - 6Y3 - 2Y4 = -2

Y1>= 0 , Y2>= 0 , Y3 <= 0 , Y4 NRS

d) Ejercicios

1) Hallar el Dual del siguiente Primal

Max 3X1 + 4X2

S.A.

-2X1 + 3X2 <= 6

5X1 - X2 <= 40

X1 + X2 <= 7

X1>= 0 , X2>= 0

Dual

Núm. Variables (D) = Num. Restricciones (P) = 3

Núm. Restricciones (D) = Núm. Variables (P) = 2

Min 6Y1 + 40Y2 + 7Y3

S.A.

-2Y1 + 5Y2 + Y3 >= 3

3Y1 - Y2 + Y3 >= 4

Y1>= 0 , Y2>= 0 , Y3 >= 0


67


Min X1 + 12X2 - 2X3

S.A.

4X1 + 2X2 + 12X3 <= 10

2X1 - X2 + 11X3 >= -2

X1<= 0 , X2 NRS , X3>= 0

Dual

Num. Variables (D) = Num. Restricciones (P) = 2

Num. Restricciones (D) = Num. Variables (P) = 3

Max 10Y1 - 2Y2

S.A.

4Y1 + 2Y2 >= 1

2Y1 - Y2 = 12

12Y1 + 11Y2 <= -2

Y1<= 0, Y2>= 0


68


Max 4X1 + 7X2 + 8X3

S.A.

4X1 + 2X2 + X3 <= 100

X1 + 3X2 + 7X3 <= 80

2X1 + 6X2 + 3X3 <= 50

X1 NRS, X2 NRS, X3NRS

Dual

Núm. Variables (D) = Núm. Restricciones (P) = 3


Min 100Y1 + 80Y2 + 50Y3

S.A.

4Y1 + Y2 + 2Y3 = 4

2Y1 + 3Y2 + 6Y3 = 7

Y1 + 7Y2 + 3Y3 = 8

Y1>= 0, Y2>= 0, Y3>= 0


69


Ingresa al link “Dual de Primal” lee atentamente

las indicaciones, desarróllalo y envíalo por el mismo

medio.

a) Hallar el Dual del Siguiente Primal

Max 3X1 + 4X2

2X1 + 3X2 <= 6

5X1 - X2 <= 40

X1 + X2 <= 7

X1>= 0, X2>= 0

Dual



Min 6Y1 + 40Y2 + 7Y3

S.A.

-2Y1 + 5Y2 + Y3 >= 3

3Y1 - Y2 + Y3 >= 4

Y1>= 0 , Y2>= 0 , Y3 >= 0

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

http://es.wikipedia.org/wiki/Investigaci%C3%B3n_de_operaciones

DIALNET

http://dialnet.unirioja.es


http://es.wikipedia.org/wiki/Investigaci%C3%B3n_de_operaciones

http://dialnet.unirioja.es/


70

b) Hallar el Dual del Siguiente Primal

Min X1 + 12X2 - 2X3

S.A.

4X1 + 2X2 + 12X3 <= 10

2X1 - X2 + 11X3 >= -2

X1<= 0, X2 NRS, X3>= 0

Dual



Max 10Y1 - 2Y2

S.A.

4Y1 + 2Y2 >= 1

2Y1 - Y2 = 12

12Y1 + 11Y2 <= -2

a) Y1<= 0 , Y2>= 0



71

Autoevaluación

1) No es un tipo de programación lineal entera.

a. Entera Pura

b. Entera Mixta

c. Binaria

d. Enteros 0 y 1

e. Entero real

2) No me permite realizar análisis de sensibilidad de modelos de programación

lineal.

a. Lindo

b. Lingo

c. Win QSB

d. Tora

e. Excel

3) Es una técnica que me permite resolver los modelos de programación lineal

entera.

a. Ramificar y acotar

b. Solver

c. Maximizar

d. Minimizar

e. Optimizar

4) Constituye una técnica de solución complementaria en la Programación Lineal, generalmente su aplicación se da en la Teoría de Estrategia ó Teoría de Juegos, en la cual se busca optimizar entre 2 ó más estrategias y determinar la probabilidad de éxito de cada caso, así como el valor de la información o el juego según se trate.

a. Dual b. Primal c. Primal-Dual d. Modelar e. Optimizar

5) No es un componente de los modelos matemáticos. a. Función objetivo b. Restricciones c. Limitaciones d. Recursos e. Deseos


72

6) Se inician a partir de la idea directa de enumerar todos los puntos enteros

factibles.

a. Método de Búsqueda

b. Ramificar y Acotar

c. Método simplex

d. Dual

e. Primal

7) El método de búsqueda más sobresaliente es:

a. Técnica de Ramificar y Acotar

b. La técnica del método simplex

c. TECNICA de programas lineales

d. Técnica de los binarios

e. Técnica con variables

8) Se llama programación lineal entero mixto………..

a. PEM

b. PLEM

c. PLM

d. MEPL

e. PLEN

9) El análisis Post-optimo es también denominado Análisis de ………….

a. Sensibilidad

b. Independización

c. Limitación

d. Matriz tecnológica

e. Maximización

10) La programación entera tiene que ver con la solución de problemas de :

a. Desarrollo de matrices

b. Programación matemática

c. Desarrollo de ecuaciones lineales

d. Variables

e. Enteros puros


73

Resumen

UNIDAD DE APRENDIZAJE II:

Toda solución a un problema de toma de decisiones se basa en determinados

parámetros que se presumen como fijos. El análisis de sensibilidad es un conjunto de

actividades posteriores a la solución que sirven para estudiar y determinar qué tan

sensible es la solución a los cambios en las hipótesis.

Estas actividades también se denominan análisis de estabilidad, análisis what-if o de

hipótesis, modelación de escenarios, análisis de especificidad, análisis de

incertidumbre, análisis de inestabilidad numérica, inestabilidad funcional y tolerancia,

análisis de post optimalidad, aumentos y disminuciones admisibles y muchos otros

términos similares que reflejan la importancia de esta etapa del proceso de

modelación. Por ejemplo, análisis de sensibilidad no es el término típico empleado en

la econometría para referirse al método de investigación de la respuesta de una

solución frente a perturbaciones en los parámetros.

En econometría, esto se denomina estática comparativa o dinámica comparativa,

según el tipo de modelo en cuestión. Se puede hacer frente a las incertidumbres de

una manera más "determinista". Este abordaje tiene distintos nombres tales como

"modelación de escenarios", "modelación determinista", "análisis de sensibilidad" y

"análisis de estabilidad".

La idea es generar, de manera subjetiva, una lista ordenada de incertidumbres

importantes que supuestamente podrían tener un mayor impacto sobre el resultado

final. Esto se lleva acabo antes de focalizarse en los detalles de cualquier "escenario"

o modelo


74


75

Introducción



estudiante desarrolle y ejecute los modelos de Transporte, Asignación y Redes,

durante su proceso de formación profesional y contribuyan en el logro de su perfil

profesional.

b) Competencia

Aplica modelos de transporte, asignación, redes y comprende su

importancia en la investigación de operaciones.

c) Capacidades

1. Planifica y reconoce la estructura de un modelo de transporte.

2. Diseña y aplica modelos de transporte.

3. Diseña y aplica modelos de asignación.

4. Aplica y reconoce los modelos de redes.

d) Actitudes






La Unidad de Aprendizaje 3: Modelos de Transporte Asignación y Redes,

comprende el desarrollo de los siguientes temas:

TEMA 01: Modelos de Transporte

TEMA 02: Métodos de solución de Modelos de Transporte

TEMA 03: Modelos de Asignación

TEMA 04: Modelos de Redes


76

TEMA 1

Planificar y reconocer la estructura de un modelo de transporte.

Competencia:

de

Transporte

Modelos



77


Tema 01: Modelos de Transporte

Definición y Aplicación del Modelos de Transporte

El modelo de transporte busca determinar un plan de transporte de

una mercancía de varias fuentes a varios destinos. Los datos del

modelo son:

1. Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino.

2. El costo de transporte unitario de la mercancía a cada destino.

Como solo hay una mercancía un destino puede recibir su demanda de una o más

fuentes. El objetivo del modelo es el de determinar la cantidad que se enviará de

cada fuente a cada destino, tal que se minimice el costo del transporte total.

La suposición básica del modelo es que el costo del transporte en una ruta es

directamente proporcional al número de unidades transportadas. La definición de

“unidad de transporte” variará dependiendo de la “mercancía” que se transporte.

La suposición básica del modelo es que el costo del transporte en una ruta es

directamente proporcional al número de unidades transportadas. La definición de

“unidad de transporte” variará dependiendo de la “mercancía” que se transporte.

1

2

m

1

2

n

a1

a2

am

b1

b2

bn

Unidades de demanda

Unidades de oferta

C11 : x11

Cmn : xmn

Fuentes Destinos


78

El esquema siguiente representa el modelo de transporte como una red con m

fuentes y n destinos. Una fuente o un destino está representado por un nodo, el

arco que une fuente y un destino representa la ruta por la cual se transporta la

mercancía. La cantidad de la oferta en la fuente i es ai, y la demanda en el destino

j es bj. El costo de transporte unitario entre la fuente i y el destino j es Cij.

Si Xi j representa la cantidad transportada desde la fuente i al destino j, entonces,

el modelo general de PL que representa el modelo de transporte es:

Minimiza Z= i=1 m

j=1n C i j X i j

Sujeta a:

j=1n X i j<= ai , i=1,2,…, m

i=1m X I j>= bj , j=1,2,…, n

X i j >=0 para todas las i y j

El primer conjunto de restricciones estipula que la suma de los envíos desde una

fuente no puede ser mayor que su oferta; en forma análoga, el segundo conjunto

requiere que la suma de los envíos a un destino que satisfaga su demanda.

El modelo que se acaba de escribir implica que la oferta total i=1m ai debe ser

cuando menos igual a la demanda total j=1n bj. Cuando la oferta total es igual a la

demanda total, la formulación resultante recibe el nombre de modelo de transporte

equilibrado. Este difiere del modelo solo en el hecho de que todas las

restricciones son ecuaciones, es decir:

X i j = ai, i=1,2,..., m

X i j = bj, j=1,2,..., n


79

En el mundo real, no necesariamente la oferta debe ser igual a la demanda o

mayor que ella. Sin embargo, un modelo de transporte siempre puede

equilibrarse. El equilibrio, además de su utilidad en la representación a través de

modelos de ciertas situaciones prácticas, es importante para el desarrollo del

método de solución que explote completamente la estructura especial del modelo

de transporte.

b) Ejemplos

Ejemplo 1 (Modelo de transporte estándar)

MG Auto Company tiene plantas en Los Ángeles, Detroit y Nueva Orleáns. Sus

centros de distribución principales son Denver y Miami. Las capacidades de las

plantas durante el trimestre próximo son 1 000, 1 500, y 1 200 automóviles. Las

demandas trimestrales en los dos centros de distribución son de 2 300 y 1 400

vehículos. El costo del transporte de un automóvil por tren es de 8 centavos por

milla. El diagrama de las distancias recorridas entre las plantas y los centros de

distribución son:

Denver Miami

Los Ángeles 1 000 1 690

Detroit 1 250 1 350

Nueva Orleans 1 275 850

Esto produce en costo por automóvil a razón de 8 centavos por milla recorrida.

Produce los costos siguientes (redondeados a enteros), que representan a C i j del

modelo original:

Denver Miami

Los Ángeles 80 215

Detroit 100 108

Nueva Orleans 102 68


80

Mediante el uso de códigos numéricos que representan las plantas y centros de

distribución, hacemos que X i j represente el número de automóviles transportados

de la fuente i al destino j. Como la oferta total (= 1 000 + 1 500 + 1 200 = 3 700)

es igual a la demanda (= 2 300 + 1 400 = 3 700), el modelo de transporte

resultante está equilibrado. Por lo tanto, el siguiente modelo de PL que representa

el problema tiene todas las restricciones de igualdad.

Minimizar Z = 80X 11 + 215X 12 + 100X 21 + 108X 22 + 102X 31 + 68X 32

Sujeto a:

X 11 X 12 = 1 000

X 21 X 22 = 1 500

X 31 X 32 = 1 200

X 11 X 21 X 31 = 2 300

X 12 X 22 X 32 = 1 400

X i j para todas las i y j

Un método más resumido para representar el modelo de transporte consiste en

utilizar lo que se llama tabla de transporte. Esta es una forma de matriz donde

sus renglones representan las fuentes y sus columnas los destinos. Los

elementos de costo C i j se resumen en la esquina noroeste de la celda de la

matriz (i, j). Por lo tanto, el modelo de MG se puede resumir en la tabla siguiente:


81

Ejemplo 2 (Modelo de transporte con equilibrio)

En el ejemplo anterior suponga que la capacidad de la planta de Detroit es de 1

300 automóviles (en vez de 1 500). Se dice que la situación esta desequilibrada

debido a que la oferta total (=3 500) no es igual a la demanda total (=3

700).Nuestro objetivo consiste en volver a formular el modelo de transporte de

manera que distribuya la cantidad faltante (=3 700 – 3 500 = 200) en forma optima

entre los centros de distribución.

Como la demanda es mayor que la oferta se puede agregar una planta ficticia

con una capacidad de 200. Se permite que dicha planta, en condiciones normales,

envíe su “producción“ a todos los centros de distribución. Físicamente, la cantidad

de unidades enviadas a un destino desde una planta ficticia representará la

cantidad faltante en ese destino.

La única información que falta para completar el modelo son los “costos de

transporte” unitarios de la planta ficticia a los destinos. Como la planta no existe,

no habrá ningún envío físico y el costo de transporte unitario es cero. Sin

embargo, podemos enfocar la situación desde otro ángulo diciendo que se incurre

en un costo de penalización por cada unidad de demanda insatisfecha en los

centros de distribución. En este caso los costos de transporte unitarios serán

iguales a los costos de penalización unitarios en los diversos destinos.

Denver Miami

Los Ángeles 80 215 1 000

Detroit 100 108 1 300

Nueva Orleáns 102 68 1 200

Planta ficticia 0 0 200


82

De manera análoga, si la oferta en mayor que la demanda podemos añadir un

destino ficticio que absolverá la diferencia. Por ejemplo, suponga que la

demanda en Denver disminuye a 1 900 cualquier automóvil enviado de una planta

a un centro de distribución ficticio representa un excedente en la planta.

Denver Miami

Destino

Ficticio

Los Ángeles 80 215 0 1 000

Detroit 100 108 0 1 500

Nueva Orleans 102 68 0 1 200

La aplicación del modelo de transporte no se limita al problema de “transporte”.

El siguiente ejemplo ilustra el uso del modelo del transporte en otros campos.

Ejemplo 3 (Modelo de inventario de producción)

Una compañía construye una planta maestra para la producción de un artículo en

un periodo de cuatro meses. Las demandas en los cuatro meses son: 100, 200,

180 y 300 unidades. Una demanda para el mes en curso puede satisfacerse a

través de:

1. Producción excesiva en un mes anterior almacenada para su consumo

posterior.

2. Producción en el mes actual.

3. Producción excesiva en un mes posterior para cubrir pedidos de meses

anteriores.


83

El costo de producción variable por unidad en un mes cualquiera es de $4.00 una

unidad producida para consumo posterior incurrirá en un costo de

almacenamiento razón de $0.50 por unidad por mes. Por otra parte, los artículos

ordenados en meses anteriores incurren en un costo de penalización de $2.00 por

unidad por mes. La capacidad de producción para elaborar el producto varía cada

mes. Los cálculos de los cuatro meses siguientes son 50, 180, 280 y 270

unidades, respectivamente.

El objetivo es el de formular el plan de inventario de producción a costo mínimo.

Este problema se puede formular como un modelo de “transporte”. La

equivalencia entre los elementos de los sistemas de producción y transporte se

establece de la manera siguiente:

Sistema de Transporte Sistema de Producción

1. Fuente i 1. Periodo de producción i

2. Destino j 2. Periodo de demanda j

3. Oferta en la fuente i 3. Capacidad de producción del

periodo i

4. Demanda en el destino j 4. Demanda del periodo j

5. Costo de transporte de la fuente i al

destino j

5. Costo de producto e inventario del

periodo i al j


84

En tabla de abajo se presenta un resumen del problema como un modelo de

transporte:

Periodo

1 2 3 4 Capacidad

Demanda 1 4 4.5 5 5.5 50

2 6 4 4.5 5 180

3 8 6 4 4.5 280

4 10 8 6 4 270

Demanda: 100 200 180 300

El costo de “transporte” unitario del periodo i al j es:

Costo de producción en i, i=j

C i j = Costo de producción en i / costo de almacenamiento en i a j i<j

Costo de producción en i / costo de penalización en i a j i>j

La definición de C i j indica que la producción en el periodo i para el mismo periodo (i

= j) sólo iguala el costo unitario de producción. Si el periodo i se produce para periodos

futuros j (i < j), se incurre en un costo de almacenamiento adicional. De la misma

manera, la producción en i para cubrir j pedidos hechos con anterioridad (i > j) incurre

en un costo de penalización adicional.


85

TEMA 2

Diseñar y aplicar Modelos de Transporte.

Competencia:

Modelos Transporte

de Solución Métodos

de de



86

Tema 02: Métodos de Solución de Modelos de Transporte

a) Método Noeoeste

P Q R S

A 5 3 5 2 20

B 3 2 3 5 30

C 3 4 1 2 40

20 20 30 20 90

Determinar mediante el método Noroeste el costo mínimo y la asignación óptima.

I P Q R S Oferta

A 20 - - - 20 , 0

B - 20 10 - 30 , 10 , 0

C - - 20 20 40 , 20 , 0

Dm 20 20 30 20

0 0 20 0

0

C = 20(5) + 20(2) + 10(3) + 20(1) + 20(2) + 20(2) = $230


87

Verificar Optimicidad

5 - - 2 u1 u1 + v1 = 5 u1 = 1 , v1 = 4

- 2 3 - u2 u2 + v2 = 2 u2 = 3 , v2 = -1

- - 1 2 u3 u2 + v3 = 3 u3 = 1 , v3 = 0

v1 v2 v3 v4 u3 + v3 = 1 v4 = 1

u3 + v4 = 2

Degenerativo u1 + v4 = 2

5 0 1 2 u1 = 1

CI = 7 2 3 4 u2 = 3

5 0 1 2 u3 = 1

v1 v2 v3 v4

4 -1 0 1

CI - CD = MD

5 0 1 2 5 3 5 2 0 -3 -4 0

7 2 3 4 - 3 2 3 5 = 4 0 0 -1

5 0 1 2 3 4 1 2 2 -4 0 0

No Óptimo

Método Auxiliar de la Casillas

I P Q R S II P Q R S

A 20-θ 10+θ A 10 - - 10

B θ 20 10-θ B 10 20 - -

C 20+θ 20-θ C - - 30 10

θ = 10

C = 10(5) + 10(3) + 20(2) + 30(1) + 10(2) + 10(2) = $210


88


5 - - 2 u1 u1 + v1 = 5 u1 = 1 , v1 = 4

3 2 - - u2 u1 + v4 = 2 u2 = -1 , v2 = 3

- - 1 2 u3 u2 + v1 = 3 u3 = 1 , v3 = 0

v1 v2 v3 v4 u2 + v2 = 2 v4 = 1

u3 + v3 = 1

u3 + v4 = 2

5 4 1 2 u1 = 1

CI = 3 2 -1 0 u2 = -1

5 4 1 2 u3 = 1

v1 v2 v3 v4

2 1 0 1

CI - CD = MD

5 4 1 2 5 3 5 2 0 1 -4 0

3 2 -1 0 - 3 2 3 5 = 0 0 -4 -5

5 4 1 2 3 4 1 2 2 0 0 0

No Óptimo


II P Q R S III P Q R S

A 10-θ 10+θA - - - 20

B 10 20 B 10 20 - -

C θ 30 10-θ C 10 - 30 -

θ = 10

C = 10(3) + 10(3) + 20(2) + 30(1) + 20(2) = $170


89


- - - 2 u1 u1 + v4 = 2 u1 = 1 , v1 = 2

3 2 - - u2 u2 + v1 = 3 u2 = 1 , v2 = 1

3 - 1 2 u3 u2 + v2 = 2 u3 = 1 , v3 = 0

v1 v2 v3 v4 u3 + v1 = 3 v4 = 1

u3 + v3 = 1

Degenerativou3 + v4 = 2

3 2 1 2 u1 = 1

CI = 3 2 1 2 u2 = 1

3 2 1 2 u3 = 1

v1 v2 v3 v4

2 1 0 1

CI - CD = MD

3 2 1 2 5 3 5 2 -2 -1 -4 0

3 2 1 2 - 3 2 3 5 = 0 0 -2 -3

3 2 1 2 3 4 1 2 0 -2 0 0

Óptimo

Asignación Cmin = $170

De A a S = 20 u.

De B a P = 10 u.

De B a Q = 20 u.

De C a P = 10 u.

De C a R = 30 u.

90 u


90

b) Mínima Matriz

P Q R S

A 5 3 5 2 20

B 3 2 3 5 30

C 3 4 1 2 40

20 20 30 20 90

Determinar mediante el método de la Mínima Matriz el costo mínimo y la

asignación óptima.

I P Q R S Oferta

A - 10 - 10 20 , 10 , 0

B 20 10 - - 30 , 20 , 0

C - - 30 10 40 , 10 , 0

Dm 20 20 30 20

0 10 0 10

0 0

C = 20(3) + 10(3) + 10(2) + 30(1) + 10(2) + 10(2) = $180


91


- 3 - 2 u1 u1 + v2 = 3 u1 = 1 , v1 = 3

3 2 - - u2 u1 + v4 = 2 u2 = 0 , v2 = 2

- - 1 2 u3 u2 + v1 = 3 u3 = 1 , v3 = 0

v1 v2 v3 v4 u2 + v2 = 2 v4 = 1

u3 + v3 = 1

u3 + v4 = 2

4 3 1 2 u1 = 1

CI = 3 2 0 1 u2 = 0

4 3 1 2 u3 = 1

v1 v2 v3 v4

3 2 0 1

CI - CD = MD

4 3 1 2 5 3 5 2 -1 0 -4 0

3 2 0 1 - 3 2 3 5 = 0 0 -3 -4

4 3 1 2 3 4 1 2 2 -1 0 0

No Óptimo


I P Q R S II P Q R S

A 10-θ 10-θ A - - - 20

B 20-θ 10-θ B 10 20 - -

C θ 30 10-θ C 10 - 30 -

θ = 10

C = 10(3) + 10(3) + 20(2) + 30(1) + 20(2) = $170


92


- - - 2 u1 u1 + v4 = 2 u1 = 1 , v1 = 2

3 2 - - u2 u2 + v1 = 3 u2 = 1 , v2 = 1

3 - 1 2 u3 u2 + v2 = 2 u3 = 1 , v3 = 0

v1 v2 v3 v4 u3 + v1 = 3 v4 = 1

u3 + v3 = 1


3 2 1 2 u1 = 1

CI = 3 2 1 2 u2 = 1

3 2 1 2 u3 = 1

v1 v2 v3 v4

2 1 0 1

CI - CD = MD

3 2 1 2 5 3 5 2 -2 -1 -4 0

3 2 1 2 - 3 2 3 5 = 0 0 -2 -3

3 2 1 2 3 4 1 2 0 -2 0 0

Optimo

Asignación Cmin = $170

De A a S = 20 u.

De B a P = 10 u.

De B a Q = 20 u.

De C a P = 10 u.

De C a R = 30 u.

90 u


93

c) Método de Vogel

P Q R S

A 5 3 5 2 20

B 3 2 3 5 30

C 3 4 1 2 40

20 20 30 20 90

Determinar mediante el método de Vogel el costo mínimo y la asignación óptima.

P Q R S Oferta

A - - - 20 20 , 0 1 1 -

B 10 20 - - 30 , 10 , 0 1 1 1

C 10 - 30 - 40 , 10 , 0 1 1 1

Dm 20 20 30 20

10 0 0 0

0

0 1 2 0

0 1 - 0

0 2 - -

C = 20(2) + 10(3) + 20(2) + 10(3) + 30(1) = $170


94


- - - 2 u1 u1 +v1 = 2 u1 = 1 , v4 = 1

3 2 - - u2 u2 + v1 = 3 u2= 1 , v3 = 0

3 - 1 2 u3 u2 + v2 = 2 u3 = 1 , v2 = 1

v1 v2 v3 v4 u3 + v1 = 3 v1 = 2

u3 + v3 = 1


3 2 1 2 u1 = 1

CI = 3 2 1 2 u2 = 1

3 2 1 2 u3 = 1

v1 v2 v3 v4

2 1 0 1

CI - CD = MD

3 2 1 2 5 3 5 2 -2 -1 -4 0

3 2 1 2 - 3 2 3 5 = 0 0 -2 -3

3 2 1 2 3 4 1 2 0 -2 0 0

Optimo

Cmin = $170

Asignación

De A a S = 20 u.

De B a P = 10 u.

De B a Q = 20 u.

De C a P = 10 u.

De C a R = 30 u.

90 u


95

TEMA 3

Diseñar y aplicar Modelos de Asignación.

Competencia:

de

Asignación

Modelos



96

Tema 03: Modelos de Asignación

a) Problemas de Asignación (Método Húngaro)

Un problema de asignación es un problema de transporte balanceado, en el cual

todas las ofertas y todas las demandas son iguales a uno. Se puede resolver

eficientemente un problema de asignación m x m mediante el método Húngaro:

Paso 1.- Empiece por encontrar el elemento más pequeño en cada renglón de la

matriz de costos. Construya una nueva matriz, al restar de cada costo, el costo

mínimo de su renglón. Encuentre, para esta nueva matriz el costo mínimo en cada

columna. Construya una nueva matriz (la matriz de costos reducidos) al restar de

cada costo el costo mínimo de su columna.

Paso 2.- Dibuje el mínimo número de líneas (horizontales o

verticales) que se necesitan para cubrir todos los ceros en la

matriz de costos reducidos. Si se requieren m líneas para

cubrir todos los ceros, siga con el paso 3.

Paso 3.- Encuentre el menor elemento no cero (llame su

valor k en la matriz de costos reducidos, que no está

cubiertos por las líneas dibujadas en el paso 2. Ahora

reste k de cada elemento no cubierto de la matriz de

costos reducidos y sume k a cada elemento de la

matriz de costos reducidos cubierto por dos

líneas. Regrese al paso 2.

Un problema de asignación es un problema de transporte balanceado en el que

todas las ofertas y demandas son iguales a 1; así se caracteriza por el

conocimiento del costo de asignación de cada punto de oferta a cada punto de

demanda. La matriz de costos del problema de asignación se llama: matriz de

costos.

Como todas las ofertas y demandas para el problema de asignación son números

enteros, todas las variables en la solución óptima deben ser valores enteros.


97

b) Ejemplos de problemas de asignación

1. Una empresa ha contratado a 4 individuos para 4 trabajos, los 4 individuos y

4 trabajos pueden mostrarse en una tabla que indique las clasificaciones

obtenidas, analizando al individuo para cada trabajo. Los renglones se

refieren a los hombres, mientras que las columnas se refieren a los trabajos;

el problema consiste en maximizar las calificaciones para asignar los 4

trabajos.

Se supone que las calificaciones de un individuo son directamente

proporcionales a la ganancia que obtendría la compañía si ese individuo se

encargara del trabajo.

2. Otro problema que utiliza la misma estructura

del modelo de transporte, es la asignación

de camiones para reducir al mínimo los

costos de un problema de asignación.

3. Una empresa cubre el territorio nacional

con dos camiones especialmente

equipados para funcionar en condiciones

climatológicas específicas. La empresa

ha dividido en cinco regiones geográficas.

Se compra el camión A y se modifica para

que funcione eficientemente en las regiones

uno y dos, y para que funcione bastante bien en las

regiones tres y cuatro. El mismo camión no funciona bien en la región cinco.

Los gastos de gasolina, mantenimiento y otros costos directos de operación,

serían mínimos en las regiones uno y dos, promedio en las regiones tres y

cuatro, y altos en la región cinco. Se tiene esa misma información con

respecto a los demás camiones de la compañía, o sea, los tipos B, C y D.


98

c) Método Húngaro (Situación Balanceada)

PARTE I: CUANDO EXISTE RELACION BIUNÍVOCA

PASO 1: OBTENCIÓN DE CEROS

A la matriz de costos, se procede a simplificarlo, para lo cual, seleccionamos

para cada columna el menor valor de cada uno de ellos, para luego restárselo

de la columna respectiva, esto permite obtener al menos un cero para cada

columna.

Luego para cada fila se obtiene el menor valor, el cual se

resta a cada fila respectiva, de esta manera se obtiene al

menos un cero en cada fila.

PASO 2: RELACIÓN BIUNÍVOCA

Al tablero de costos simplificados que se hereda del paso 1 se procede a

seleccionar a aquella fila que tenga la menor cantidad de ceros; en el caso de

empates se selecciona a aquella fila a lo cual le corresponde el menor

subíndice.

Luego a la fila seleccionada se le marca mediante un check y se ingresa a ella

buscando a aquella casilla que tenga el valor cero, ubicada esta procedemos a

encuadrar o encasillar dicho cero y a partir de dicho cero encuadrado no

imaginamos una cruz y aquellos ceros que estén comprendidos en la cruz

imaginaria procedemos a tarjarlo mediante un aspa.

Continuamos el proceso mencionado hasta cubrir todas las filas del tablero

dado.


99

EJEMPLO

Determinar el Costo mínimo y la asignación óptima de:


100

PARTE II: CUANDO NO EXISTE RELACIÓN BIUNÍVOCA

PASO 3:

Se marca aquellas filas que no tengan ceros encuadrados, luego ingresamos por

cada de dichas filas, buscando ceros tarjados y luego de ser ubicados estos, se

procede a marcar la o las columnas que le corresponda.

A partir de las columnas marcadas se reingresa al tablero buscando ceros

encuadrados y luego de identificar a estos se marca las filas que les corresponde.

A partir de cada fila marcada se trata de reingresar nuevamente al tablero

repitiendo el procedimiento señalado en los párrafos anteriores hasta que se

pierdan los ramales bien sea a nivel de columna o de fila.

PASO 4:

Se procede a rayar aquellas filas que no están marcadas y aquellas columnas que

si estén marcadas.

Luego se busca el menor valor de aquellas casillas que tengan doble rayado

(vertical y horizontal), este menor valor seleccionado se resta a aquellas casillas

que no están rayadas, pero se le suma a aquellas que tienen doble rayado (se

entiende que aquellas casillas que tienen un solo rayado permanecen igual).

NOTA: Luego de concluir el PASO 4 se aplica nuevamente la

PARTE I del Método Húngaro, en la que se

refiere al SEGUNDO PASO (se obvia el

PRIMER PASO) y se debe continuar con el

procedimiento indicado, cuantas veces sea

necesario para alcanzar la Relación Biunívoca y

obtener el Costo Optimo de Asignación.


101

Ejemplo

Determinar el Costo mínimo y la asignación óptima de:


102


103

TEMA 4

Aplicar y reconocer los Modelos de Redes.

Competencia:

de

Redes

Modelo



104

Tema 04: Modelo de Redes

a) Teoría de Redes

Es una técnica que permite resolver problemas que se pueden plantear

mediante una red.

Muchos problemas de programación Lineal se pueden formular mediante una

red:

Transporte, asignación, inventario, producción y distribución, procesos de

producción, etc.

Existen en Teoría de Redes, algoritmos mucho más efectivos que el método

simplex.

Existen softwares para resolver problemas de redes como: Optired, Tora,

Invop, Win QSB, etc.

b) Características de una Red

Una red está formada por arcos y nodos, los arcos pueden ser direccionados

o direccionados

NODOS: Representan entidades.

ARCOS: Representan conexiones entre las entidades

NOTA: Por un tipo de red solo puede circular un único tipo

de ítem (unidad de flujo)


105

c) Casos de redes

d) Tipos de Problemas de Redes


106

e) Árbol de Extensión Mínima

Para una red con n nodos, un ARBOL DE ESTENSION es un grupo de (n-1)

arcos que conectan todos los nodos de la red y que no contiene circuitos

cerrados.

Problema

Calcular el árbol de extensión mínimo

Problema



107

d) Problema de Ruta más Corta

El problema de la ruta más corta se refiere

a una red, en la que cada arco (i,j) tiene

asociado un numero Ci,j que se interpreta como

la distancia (o el costo, o el tiempo) que hay

entre los nodos i y j. Una ruta o camino entre

dos nodos es cualquier secuencia de arcos que

los conecte. El objetivo consiste en encontrar las rutas más cortas (económicas ó

rápidas) entre un nodo específico y todos los demás nodos de la red.

Algoritmo de Etiquetado

PASO1.

Considérense todos los nodos que están directamente conectados con el origen

(es decir, mediante un solo arco). El componente de distancia de la etiqueta que

se pone a cada nodo de estos es la distancia desde el origen. El componente

predecesor es el origen. Estas etiquetas serán temporales.

PASO 2.

De entre todos los nodos con etiqueta temporal, se escoge uno cuyo componente

de distancia sea mínimo y se señala para ser etiquetado como permanente. Todos

los empates en cualquier punto del algoritmo se rompen arbitrariamente. Tan

pronto como todos los nodos han sido etiquetados en forma permanente se va al

paso 4.


108

PASO 3.

Todo nodo que no tenga actualmente etiqueta permanente estará o bien sin

etiqueta o con una temporal. Sea l el ultimo nodo etiquetado permanentemente,

Considérese todas las etiquetas de los vecinos de l (es decir, directamente

conectados a l mediante un solo arco). Para cada uno de esos nodos calculase la

suma de su distancia a l más la componente de distancia de la etiqueta de l. Si el

nodo en cuestión ya tiene etiqueta no está etiquetado, asegurase una etiqueta

temporal que conste de esta distancia y de l como predecesor. Si el nodo en

cuestión ya tiene etiqueta temporal, cambiase solo si la distancia recién calculada

es menor que la componente de distancia de la etiqueta actual. En este caso, la

etiqueta contendrá esta distancia y a l como predecesor. Regrese al paso 2.

PASO 4.

Las etiquetas permanentes indican la distancia más corta desde el origen a cada

nodo de la red. También indican el nodo predecesor en la ruta más corta hacia

cada nodo.

Para encontrar el camino más corto de un nodo dado comiéncese en él y

retroceda al nodo predecesor. Continué este recorrido de retroceso hasta llegar al

origen. La secuencia de nodos obtenidos forma la ruta más corta entre el origen y

el nodo en cuestión.

Ejemplo

Encontrar el conjunto de rutas óptimas, desde el origen H hasta los demás nodos

busca minimizar la utilidad de los costos, asegurándose de que cualquier reparto

futuro a las siete localidades diferentes, se haga a través de la ruta más corta.


109


INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

http://www.investigaciondeoperaciones.net/

INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

http://books.google.com.pe/books?id=H0Zz-

1He8vYC&pg=PA274&lpg=PA274&dq=introducci%C3%B3n+a+la+investigaci%C3%B3

n+de+operaciones&source=bl&ots=FkSZupSCLt&sig=f1niRPunHJ3_Lk7umnflxcIT2u

M&hl=es&ei=vV3GTqDTLaXb0QGJweU1&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1

&sqi=2&ved=0CCoQ6AEwAA#v=onepage&q=introducci%C3%B3n%20a%20la%20inve

stigaci%C3%B3n%20de%20operaciones&f=false

MÉTODOS CUANTITATIVOS PARA LOS NEGOCIOS

http://www.unsa.edu.ar/mcneco/archivos/08_Teoria_Lineas_Espera.pdf

1. Ingresa al enlace “Extensión y Asignación” lee atentamente las indicaciones,

desarróllalo y envíalo por el mismo medio.



http://www.investigaciondeoperaciones.net/

http://books.google.com.pe/books?id=H0Zz-1He8vYC&pg=PA274&lpg=PA274&dq=introducci%C3%B3n+a+la+investigaci%C3%B3n+de+operaciones&source=bl&ots=FkSZupSCLt&sig=f1niRPunHJ3_Lk7umnflxcIT2uM&hl=es&ei=vV3GTqDTLaXb0QGJweU1&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&sqi=2&ved=0CCoQ6AEwAA#v=onepage&q=introducci%C3%B3n%20a%20la%20investigaci%C3%B3n%20de%20operaciones&f=false






http://www.unsa.edu.ar/mcneco/archivos/08_Teoria_Lineas_Espera.pdf


110


Determinar el costo mínimo y la asignación optima, mediante el

método Noroeste.

P Q R S

A 5 3 5 2 20

B 3 2 3 5 30

C 3 4 1 2 40

i. 20 20 30 20 90


método de Mínima Matriz.

P Q R S

A 5 3 5 2 20

B 3 2 3 5 30

C 3 4 1 2 40

ii. 20 20 30 20 90


111


método de Vogel.

P Q R S

A 5 3 5 2 20

B 3 2 3 5 30

C 3 4 1 2 40

iii. 20 20 30 20 90


112

Autoevaluación

1) Método Húngaro es un problema de:

a. Transporte

b. Colas

c. Árbol de extensión

d. Asignación

e. Ruta corta

2) Es un método para resolver los modelos de transporte.

a. Vogel

b. Mínima matriz

c. Noroeste

d. Vogel y noroeste

e. Simplex

3) No es un tipo de problema de redes.

a. Árbol de extensión

b. Problema de transporte

c. Ruta más corta

d. Problema de asignación

e. Problemas de colas

4) Para una red con n nodos, es un grupo de (n-1) arcos que conectan todos

los nodos de la red y que no contiene circuitos cerrados

a. Transporte

b. Asignación

c. Flujo

d. Árbol de extensión

e. Colas

5) ¿Cuál es el método más eficiente, para resolver un problema de transporte?

a. Húngaro

b. Noroeste

c. Mínima columna

d. Vogel

e. Balanceo


113

6) A que se refiere : Problema de Ruta más Corta

a. Existe dificultades en el programa ejecutado.

b. Se refiere a una red

c. Se refiere a los nodos conectados

d. Cuando está relacionado a un árbol de extensión

e. Conexión de nodos en red

7) Una red está formada por:

a. Arcos

b. Nodos

c. Ítem

d. Arcos y nodos

e. Árbol de extensión

8) ¿Qué busca el Modelos de Transporte?

a. Determinar un plan de transporte de una mercancía de varias fuentes a

varios destinos.

b. Determinar un plan de transporte de una mercancía de dos fuentes a varios

destinos.

c. Determinar un plan de transporte de una mercancía de varias fuentes a

varios destinos.

d. Determinar unos planes de transporte de varias mercancías de varias

fuentes a varios destinos.

e. Determinar dos planes de transporte de una mercancía de varias fuentes a

varios destinos.

9) En los Modelos de Transporte cuántos datos de modelos se presentan:

a. Solamente un dato.

b. Varios datos

c. Dos datos

d. Ningún dato

e. Cuatro datos

.

10) La matriz de costos del problema de asignación se llama:

a. Matriz de costos.

b. Matriz de ingresos

c. Matriz de presupuestos

d. Matriz de costos reducidos

e. Matriz de ingresos reducidos


114

Resumen

UNIDAD DE APRENDIZAJE III:

El modelo de transporte busca determinar un plan de transporte de una mercancía de

varias fuentes a varios destinos. Los datos del modelo son:

1. Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino.

2. El costo de transporte unitario de la mercancía a cada destino.

Como solo hay una mercancía un destino puede recibir su demanda de una o más

fuentes. El objetivo del modelo es el de determinar la cantidad que se enviará de cada

fuente a cada destino, tal que se minimice el costo del transporte total

Se han presentado varios métodos para obtener una solución al problema de

transporte, asignación y redes. Una consideración muy importante que hay que tener

en cuenta con cualquier método que se utilice, es que el problema de transporte y

asignación no siempre puede aislarse y resolverse dentro de sus propios límites.

El transporte, la asignación, redes es tan sólo una parte de todo el sistema de

distribución de una compañía. Es muy difícil resolver el mejor programa de transporte

y asignación en términos de servicio y bajo costo. Esa área de la empresa requiere de

una constante atención para incorporar los cambios que constituyan y una difícil tarea

para cualquier grupo de investigaciones de negocios.

La Teoría de Redes es una técnica que permite resolver problemas que se pueden

plantear mediante una red. Muchos problemas de programación Lineal se pueden

formular mediante una red: Transporte, asignación, inventario, producción y

distribución, procesos de producción, etc.

Existen en Teoría de Redes, algoritmos mucho más efectivos que el método simplex.

Existen software para resolver problemas de redes como: Opti

red, Tora, Invop, Win QSB, etc.


115


116

Introducción



estudiante desarrolle y ejecute la Programación PERT-CPM Y La programación

no Lineal durante su proceso de formación profesional contribuyendo a elevar su

perfil.

b) Competencia

Analiza y describe la Programación de Proyectos usando la técnica del

PERT-CPM.

c) Capacidades

1. Conoce y Utiliza la teoría de la Programación del Tiempo.

2. Analiza y describe la Programación del Costo

3. Analiza y describe la sensibilidad de un Proyector.

4. Construye e interpreta mediante los modelos de programación no lineal.

d) Actitudes

Aporta ideas en la solución de los problemas de programación del tiempo.

Valora las etapas de la metodología de la técnica PERT-CPM.

Se interesa por las diferentes modelos de programación de proyectos.

Muestra responsabilidad y ética en la solución de las tareas.


La Unidad de Aprendizaje 4: Programación de Proyectos y Programación No

Lineal, comprende el desarrollo de los siguientes temas:

TEMA 01: Programación de Proyecto con tiempos de actividad conocidos.

TEMA 02: Programación de Proyectos con tiempos inciertos de actividades.

TEMA 03: Consideración de los intercambios de tiempo y costo.

TEMA 04: Programación no lineal.


117

TEMA 1

Conocer y utilizar la teoría de la Programación del Tiempo.

Competencia:

Proyecto Programación de con tiempos

actividad conocidos

de



118


Tema 01: Programación de Proyecto con Tiempos de Actividad Conocidos

a) Antecedentes

Dos son los orígenes del método del camino crítico: el método PERT (Program

Evaluation and Review Technique) desarrollo por la Armada de los Estados

Unidos de América, en 1957, para controlar los tiempos de ejecución de las

diversas actividades integrantes de los proyectos espaciales, por la necesidad de

terminar cada una de ellas dentro de los intervalos de tiempo disponibles. Fue

utilizado originalmente por el control de tiempos del proyecto Polaris y

actualmente se utiliza en todo el programa espacial.

El método CPM (Crítical Path Method), el segundo origen del método actual, fue

desarrollado también en 1957 en los Estados Unidos de América, por un centro

de investigación de operaciones para la firma Dupont y Remington Rand,

buscando el control y la optimización de los costos de operación mediante la

planeación adecuada de las actividades componentes del proyecto.

Ambos métodos aportaron los elementos administrativos necesarios para formar

el método del camino crítico actual, utilizando el control de los tiempos de

ejecución y los costos de operación, para buscar que el proyecto total sea

ejecutado en el menor tiempo y al menor costo posible.

b) Definición

El método del camino crítico es un proceso

administrativo de planeación, programación,

ejecución y control de todas y cada una de las

actividades componentes de un proyecto que debe

desarrollarse dentro de un tiempo crítico y al costo

óptimo.


119

Usos

El campo de acción de este método es muy amplio, dada su

gran flexibilidad y adaptabilidad a cualquier proyecto grande o

pequeño. Para obtener los mejores resultados debe aplicarse a

los proyectos que posean las siguientes características:

1. Que el proyecto sea único, no repetitivo, en algunas partes o en su totalidad.

2. Que se deba ejecutar todo el proyecto o parte de él, en un tiempo mínimo, sin

variaciones, es decir, en tiempo crítico.

3. Que se desee el costo de operación más bajo posible dentro de un tiempo

disponible.

Dentro del ámbito aplicación, el método se ha estado usando para la planeación y

control de diversas actividades, tales como construcción de presas, apertura de

caminos, pavimentación, construcción de casas y edificios, reparación de barcos,

investigación de mercados, movimientos de colonización, estudios económicos

regionales, auditorías, planeación de carreras universitarias, distribución de

tiempos de salas de operaciones, ampliaciones de fábrica, planeación de

itinerarios para cobranzas, planes de venta, censos de población, etc., etc.

c) Diferencias entre PERT y CPM

Como se indicó antes, la principal diferencia entre PERT y

CPM es la manera en que se realizan los estimados de

tiempo. E1 PERT supone que el tiempo para

realizar cada una de las actividades es una

variable aleatoria descrita por una distribución

de probabilidad. E1 CPM por otra parte, infiere

que los tiempos de las actividades se conocen en forma determinanticas y se

pueden variar cambiando el nivel de recursos utilizados.


120

La distribución de tiempo que supone el PERT para una actividad es una

distribución beta. La distribución para cualquier actividad se define por tres

estimados:

1. El estimado de tiempo más probable, m;

2. El estimado de tiempo más optimista, a; y

3. El estimado de tiempo más pesimista, b.

La forma de la distribución se muestra en la siguiente Figura. E1 tiempo más

probable es el tiempo requerido para completar la actividad bajo condiciones

normales. Los tiempos optimistas y pesimistas proporcionan una medida de la

incertidumbre inherente en la actividad, incluyendo desperfectos en el equipo,

disponibilidad de mano de obra, retardo en los materiales y otros factores.

Con la distribución definida, la media (esperada) y la desviación estándar,

respectivamente, del tiempo de la actividad para la actividad Z puede calcularse

por medio de las fórmulas de aproximación.

6

6

4

abZ

bmaZTe


121

El tiempo esperado de finalización de un proyecto es la suma de todos los

tiempos esperados de las actividades sobre la ruta crítica. De modo similar,

suponiendo que las distribuciones de los tiempos de las actividades son inde-

pendientes (realísticamente, una suposición fuertemente cuestionable), la

varianza del proyecto es la suma de las varianzas de las actividades en la ruta

crítica. Estas propiedades se demostrarán posteriormente.

En CPM solamente se requiere un estimado de tiempo. Todos los cálculos se

hacen con la suposición de que los tiempos de actividad se conocen. A medida

que el proyecto avanza, estos estimados se utilizan para controlar y monitorear el

progreso. Si ocurre algún retardo en el proyecto, se hacen esfuerzos por lograr

que el proyecto quede de nuevo en programa cambiando la asignación de

recursos.

Metodología.

El Método del Camino Crítico consta de dos ciclos:

1. Planeación y Programación.

1.1.- Definición del proyecto

1.2.- Lista de Actividades

1.3.- Matriz de Secuencias

1.4.- Matriz de Tiempos

1.5.- Red de Actividades

1.6.- Costos y pendientes

1.7.- Compresión de la red

1.8.- Limitaciones de tiempo, de

recursos y económicos

1.9.- Matriz de elasticidad

1.10.- Probabilidad de retraso


122

2. Ejecución y Control.

2.1.- Aprobación del proyecto

2.2.- Ordenes de trabajo

2.3.- Gráficas de control

2.4.- Reportes y análisis de los avances

Definición del Proyecto

En toda actividad a realizar se requieren conocimientos precisos y claros de lo

que se va a ejecutar, de su finalidad, viabilidad, elementos disponibles, capacidad

financiera, etc. Esta etapa aunque esencial para la ejecución del proyecto no

forma parte del método. Es una etapa previa que se debe desarrollar

separadamente y para la cual también puede utilizarse el Método del Camino

Critico. Es una investigación de objetivos, métodos y elementos viables y

disponibles.

Lista de Actividades

Es la relación de actividades físicas o mentales que forman procesos

interrelacionados en un proyecto total. En general esta información es obtenida de

las personas que intervendrán en la ejecución del proyecto, de acuerdo con la

asignación de responsabilidades y nombramientos realizados en la Definición del

Proyecto.

Las actividades pueden ser físicas o mentales, como construcciones, tramites,

estudios, inspecciones, dibujos, etc. En términos generales, se considera

Actividad a la serie de operaciones realizadas por una persona o grupo de

personas en forma continua, sin interrupciones, con tiempos determinables de

iniciación y terminación. Esta lista de actividades sirve de base a las personas

responsables de cada proceso para que elaboren sus presupuestos de ejecución.


123

Ejemplo:

a. Jefes de mantenimiento y producción.

1. Elaboración del proyecto parcial de ampliación.

2. Cálculo del costo y preparación de presupuestos.

3. Aprobación del proyecto.

4. Desempaque de las máquinas nuevas.

5. Colocación de las máquinas viejas y nuevas.

6. Instalación de las máquinas.

7. Pruebas generales.

8. Arranque general.

9. Revisión y limpieza de máquinas viejas.

10. Pintura de máquinas viejas.

11. Pintura y limpieza del edificio.

b. Ingeniero electricista.

1. Elaboración del proyecto eléctrico.

2. Cálculo de los costos y presupuestos.


4. Instalación de un transformador nuevo.

5. Instalación de nuevo alumbrado.

6. Instalación de interruptores y arrancadores.

c. Ingeniero contratista.

1. Elaboración del proyecto de obra muerta.

2. Cálculo de los costos y presupuestos.


4. Cimentación de las máquinas.

5. Pisos nuevos.

6. Colocación de ventanas nuevas.

Esta es una lista de los responsables en un proyecto de ampliación de una

fábrica.


124

Matriz de Secuencias

Existen dos procedimientos para conocer la secuencia de las

actividades:

a. Por antecedentes

b. Por secuencias.

Por antecedentes, se les preguntará a los responsables de los procesos cuales

actividades deben quedar terminadas para ejecutar cada una de las que aparecen

en la lista. Debe tenerse especial cuidado que todas y cada una de las actividades

tenga por lo menos una antecedente excepto en el caso de ser actividades

iníciales, en cuyo caso su antecedente será cero (0).

En el segundo procedimiento se preguntara a los responsables de la ejecución,

cuales actividades deben hacerse al terminar cada una de las que aparecen en la

lista. Para este efecto debemos presentar la matriz de secuencias iniciando con la

actividad cero(0) que servira para indicar solamente el punto de partida de las

demás. La información debe tomarse una por una de las actividades listadas, sin

pasar por alto ninguna de ellas.

En la columna de "anotaciones" el programador hara todas las indicaciones que le

ayuden a aclarar situaciones de secuencias y presentación de la red. Estas

anotaciones se hacen a discreción, ya que esta matriz es solamente un papel de

trabajo.


125

Si se hace una matriz de antecedentes es necesario hacer después una matriz de

secuencias, pues es ésta última la que se utiliza para dibujar la red. Esta matriz no

es definitiva, porque generalmente se hacen ajustes posteriores en relación con la

existencia y disponibilidades de materiales, mano de obra y otras limitaciones de

ejecución.

Matriz de Secuencias

Matriz de Tiempos

En el estudio de tiempos se requieren tres cantidades estimadas por los

responsables de los procesos: El tiempo medio (M), el tiempo óptimo (o) y el

tiempo pésimo (p).


126

El tiempo medio (M) es el tiempo normal que se necesita para la ejecución de las

actividades, basado en la experiencia personal del informador. El tiempo óptimo

(o) es el que representa el tiempo mínimo posible sin importar el costo o cuantía

de elementos materiales y humanos que se requieran; es simplemente la

posibilidad física de realizar la actividad en el menor tiempo. El tiempo pésimo (p)

es un tiempo excepcionalmente grande que pudiera presentarse ocasionalmente

como consecuencia de accidentes, falta de suministros, retardos involuntarios,

causas no previstas, etc. Debe contarse sólo el tiempo en que se ponga remedio

al problema presentado y no debe contar el tiempo ocioso.

Se puede medir el tiempo en minutos, horas, días, semanas, meses y años, con la

condición de que se tenga la misma medida para todo el proyecto. Los tiempos

anteriores servirán para promediarlos mediante la fórmula PERT obteniendo un

tiempo resultante llamado estándar (t) que recibe la influencia del óptimo y del

pésimo a la vez.

Esto es, tiempo estándar igual al tiempo

óptimo, más cuatro veces el tiempo medio,

más el tiempo pésimo, y esta suma dividida

entre seis(6). Esta fórmula está calculada para

darle al tiempo medio una proporción mayor que

los tiempos optimo y pésimo que influyen. Esta

proporción es de cuatro(4) a seis(6).

6

4 pMot


127

Matriz de Tiempos


128

Tanto la matriz de secuencias como la matriz de tiempos se reunen en una sola

llamada matriz de información, que sirve para construir la red medida.

Matriz de información

Red de Actividades

Se llama red a la representación gráfica de las actividades que muestran sus

eventos, secuencias, interrelaciones y el camino critico. No solamente se llama

camino crítico al método sino también a la serie de actividades contadas desde la

iniciación del proyecto hasta su terminación, que no tienen flexibilidad en su

tiempo de ejecución, por lo que cualquier retraso que sufriera alguna de las

actividades de la serie provocaría un retraso en todo el proyecto.

Desde otro punto de vista, camino crítico es la serie de actividades que indica la

duración total del proyecto. Cada una de las actividades se representa por una

flecha que empieza en un evento y termina en otro.


129

Se llama evento al momento de iniciación o terminación de una actividad. Se

determina en un tiempo variable entre el más temprano y el más tardío posible, de

iniciación o de terminación.

Costos y Pendientes

En este paso se solicitaran los costos de cada actividad realizada en tiempo

estándar y en tiempo óptimo. Ambos costos deben ser proporcionados por las

personas responsables de la ejecución, en concordancia con los presupuestos ya

suministrados por ellos. Dichos costos se deben anotar en la matriz de

información.

En el cuadro anterior vemos los presupuestos con el costo normal para las

actividades realizadas en tiempo estándar y el costo límite para las actividades

ejecutadas a tiempo optimo.

Los totales de la columna de costo normal nos indican los costos directos del

proyecto ejecutado en tiempos estándares, sin embargo los totales de costo límite

no nos indican un costo real, ya que no será necesario que todas las actividades

sean realizadas en tiempo óptimo, sino solo algunas de ellas.


130

TEMA 2

Analizar y describir la Programación del Costo.

Competencia:

Proyectos

Inciertos de

Programación de con Tiempos

Actividades



131

Tema 02: Programación de Proyectos con

Tiempos Inciertos de Actividades

a) Limitaciones de Tiempo

Se debe determinar el tiempo normal de ejecución de la red y si no puede

realizarse en el intervalo disponible, se deberá comprimir la red al tiempo

necesario, calculando el costo incrementado.

El tiempo óptimo de ejecución indicara si puede hacerse o no el proyecto dentro

del plazo señalado.

b) Limitaciones de Recurso

Es posible en cualquier proyecto se suscite el caso de tener recursos humanos o

materiales limitados, por lo que dos actividades deben realizarse durante el mismo

lapso con personal diferente o maquinaria diferente, no se pueda ejecutar y de

esta manera no habría más que esperar que se termine una actividad para

empezar la siguiente.

c) Limitaciones económicas

Se determinara el costo óptimo para conocer si se puede hacer el proyecto con

los recursos económicos disponibles. Si hay la posibilidad de realizarlo, se

buscara el tiempo total más favorable para las necesidades y objetivos del

proyecto; en caso contrario pues simplemente el proyecto deberá esperar hasta

tener los recursos económicos mínimos para poder realizarlo.


132

Matriz de Elasticidad

Para poder tomar decisiones efectivas y rápidas durante la ejecución del proyecto

es necesario tener a la mano los datos de las probabilidades de retraso o adelanto

de trabajo de cada una de las actividades, o sea la elasticidad de las mismas.

Examinemos primero el procedimiento para calcular las holguras que nos

proporciona la posibilidad de retrasar una actividad sin consecuencias para otros

trabajos.

Se llama holgura a la libertad que tiene una actividad para alargar su tiempo de

ejecución sin perjudicar otras actividades o el proyecto total. Se distinguen tres

clases de holguras:

a) Holgura total; no afecta la terminación del proyecto;

b) Holgura libre; no modifica la terminación del proceso; y

c) Holgura independiente; no afecta la terminación de actividades anteriores ni la

iniciación de actividades posteriores.

La holgura total es de importancia para el director del proyecto, quien tiene la

responsabilidad de terminarlo a tiempo; la holgura libre le interesa al jefe de

ejecución de un proceso con motivo de su responsabilidad sobre el mismo; y la

holgura independiente es una información que le es de utilidad a la persona que

coordinará los trabajos del proyecto.

Para calcular las holguras se procede a medir la red aprobada en el sentido de

avance, como primera lectura y después en sentido contrario como última lectura.

La primera lectura se indicará en cada evento dentro de un círculo y la última

lectura se indicará también en cada evento dentro de un cuadrado. Se comienza

con el tiempo cero que se indica sobre el evento inicial y se va agregando la

duración estándar de cada actividad, acumulándose en cada evento.


133

Cuando dos o más actividades convergen en un evento se tomará la duración

mayor para hacer la indicación del evento. Por ejemplo, en las actividades 4 y 2

con duración de dos y seis días respectivamente, se anotará la duración mayor de

seis, que sumada al tiempo cuatro anterior dará un tiempo de diez en el evento

referido. Nótese estas mismas indicaciones en los eventos que se encuentran en

los días 15, 19 y 21.

Cuando se tiene una liga que indica terminación de proceso, se correrá hacia el

evento inicial la misma cantidad acumulada en el evento final. Cuando la liga no

indica terminación de proceso, sino únicamente continuidad entre dos procesos,

las cantidades acumuladas no deben modificarse aunque la liga tenga fechas

diferentes de iniciación y terminación.

Luego se inicia la última lectura en el evento final, anotándose la misma cantidad

de 21 dentro de un cuadrado; después se va restando la duración de cada

actividad e indicando la diferencia en el evento siguiente.

Cuando dos o más actividades convergen en un evento, debe anotarse en este la

lectura menor de ellas. En los eventos iniciales de las ligas de fin de proceso debe

aparecer la misma cantidad anotada en el evento final, pero en las ligas de

continuidad se pondrá la cantidad menor de las actividades que convergen.

Pi Ui Pj Uj

a

t

En la figura se puede apreciar que en cada actividad de la red se

encuentran cuatro lecturas; la primera y la última del evento i y la

primera y la ultima del evento j. Donde:

Pi Significa lo más temprano en que puede iniciarse la

actividad.

Ui Significa lo más tarde en que puede iniciarse.

Pj Significa lo más temprano en que puede terminarse.

Uj Significa lo más tarde en que puede terminarse.


134

La diferencia entre la fecha más temprana de iniciación y más tardía de

terminación produce el intervalo de tiempo disponible de mayor duración y está en

función del conteo del proyecto.

Uj – Pi = Intervalo del Proyecto

Al restar la duración t de este intervalo produce la holgura total:

HT = Uj – Pi - T

La diferencia entre la fecha más temprana de iniciación y la más temprana de

terminación indica el intervalo disponible en función del proceso,

Pj – Pi = Intervalo del Proceso

Y al restar la duración t de este intervalo queda la holgura libre:

HL = Pj – Pi – t

La diferencia entre la fecha más tardía de iniciación y la más temprana de

terminación indica el intervalo de tiempo más reducido posible y esta en función

de las actividades anteriores y posteriores,

Pj – Ui = Intervalo de Actividad

Y al restar el tiempo t de este intervalo se obtiene la holgura independiente:

HI = Pj – Ui - t


135

Las lecturas de los eventos y los resultados de la aplicación de las fórmulas de las

holguras se pasan a la matriz de información.

En la columna 6 se cambió el tiempo estándar t por el tiempo e de ejecución

programado. El porcentaje de expansión (columna 15) se calcula dividiendo el

número de días de holgura total entre el tiempo estándar de cada actividad.

La clase de actividad (columna 16) se gradúa tomando el porcentaje anterior de

menor a mayor, siendo las de porcentaje cero de clase crítica las que requieren la

mayor atención y control.

Los días que pueden comprimirse las actividades (columna 19) se obtienen

restando el tiempo óptimo del tiempo estándar. El porcentaje de compresión

(columna 20) es igual a los días comprimidos divididos entre el tiempo estándar

de cada actividad.

La desviación estándar (columna 21) que representa la probabilidad de retraso o

adelanto en promedio, es igual al tiempo pésimo menos el tiempo óptimo dividido

entre 6.

Por definición representa el 68% de seguridad. Si se desea una seguridad mayor

en el resultado, de 95% se tomará el equivalente a dos desviaciones estándar y si

se desea una seguridad del 99% en el tiempo de duración de la actividad se

tomarán tres desviaciones estándar.

De esta manera, podemos observar que la actividad 5 tiene un tiempo estándar

de seis días y una desviación estándar de un día. Esto significa que se podrá

ejecutar entre cinco y siete días con el 68% de seguridad; entre cuatro y ocho días

con el 95% de seguridad; y entre tres y nueve días con el 99% de seguridad.

t

HTE )%(

t

otC

)%(

6

op


136

Mientras mayor sea el intervalo que se mencione para la ejecución, mayor será la

seguridad de acertar.

La desviación estándar del proyecto es igual a la suma de las desviaciones

estándar del camino crítico:

Esta desviación será la probabilidad de retraso de todo el proyecto. Por supuesto

es la misma probabilidad de adelanto del mismo.

Si existen varios caminos críticos dentro del proyecto se tomará la desviación

mayor de ellos como desviación estándar del proyecto.

En el caso anterior el camino crítico está dado por:

Esto significa que el proyecto se va a ejecutar entre 21 y 24 días.

)()(Pr CCy

2517.2517.421


137

TEMA 3

Analizar y describir la sensibilidad de un Proyecto.

Competencia:

de los Intercambios

Consideración

de Tiempo y Costo



138

Tema 03: Consideración de los Intercambios de Tiempo y Costo.

a) Ejecución y control de los Procesos

En virtud de que cada uno de los procesos componentes del proyecto es

conducido por distintas personas que tienen la responsabilidad de iniciar y

terminar sus actividades a tiempo, es necesario que tengan su gráfica de control

en donde puedan observar tanto el avance de su proceso como su rendimiento.

Se puede agregar en la parte superior un esquema de las secuencias de las

actividades mostrando en dónde se encuentran las holguras totales, para que el

responsable del proceso tenga una idea precisa de sus disponibilidades de

tiempo.

Necesitamos también un cuadro de avance del proceso con los siguientes datos y

se llena de la siguiente manera:

A. Con la información original del supervisor:

1. Anotar el día de la información

2. Indicar el número de la actividad informada

3. Expresar, en tanto por uno, el avance de la misma.

B. A continuación se procesan los datos anteriores en las columnas siguientes:

1. Tomar el porcentaje de la columna 9 del cuadro de avance del proyecto y

anotarlo en esta columna.

2. Hacer la conversión con el factor (fa) calculado previamente.

3. Anotar el total acumulado de las actividades terminadas.

4. Suma de las columnas 5 y 6 que representan respectivamente el avance

de la actividad en operación y el total acumulado de actividades terminadas

en el proceso. Esta columna indica, por tanto, el total de avance en el

proceso en el día de la información.


139

5. Calcular el avance diario programado, dividiendo la unidad entre el número

total de días de duración de las actividades componentes del proceso y

acumular dicho resultado.

6. Dividir el avance logrado entre el avance programado para medir el

rendimiento del proceso. Columna 7 entre columna 8.

Veamos, en el ejemplo base, cómo se realizan las actividades del proceso A.

Proceso A

Este proceso constar de cinco actividades que duran 15 días. Si recordamos que

el valor de la unidad de avance del proyecto (D-a) es igual a 66

00.1 = 0.01515,

entonces este proceso representa el 15 x 0.01515 = 0.2272 (22.72%) de avance

en el proyecto. Como esta cantidad 0.2272 representa el 100% de avance del

proceso, entonces el factor de conversión del porcentaje de avance del proyecto a

proceso (fa) será:

0.2272: 1.00 : : n : fa

fa = 2272.0

00.1 n = 4.39 n.

De esta manera, el porcentaje que aparece en la columna 9 del cuadro de avance

del proyecto y transferido a la columna 4 del cuadro de avance del proceso, puede

convertirse, con este factor, en el avance logrado en la actividad en función de

este proceso.

Este proceso A consta de cinco actividades con una duración de 15 días. Su

unidad de avance programada será, por tanto, a

D-a = 15

00.1 = 0.0667

Como sólo se trabaja una unidad de avance por día, este será el avance

acumulado diariamente que se programe en la columna 8 del cuadro de avance

del proceso.


140

Proceso B

Este proceso consta de cinco actividades de duración total de 17 días, por lo que

su contribución al avance del proyecto es de 17 x 0.01515 = 0.2576.

El factor de conversión (fa) del porcentaje de avance del proyecto al porcentaje de

avance del proceso es:

Fa = 2576.0

00.1 = 3.88

La unidad de avance diario de este proceso será:

D-a = 17

00.1 = 0.05882,

Qué acumulado servirá para hacer las anotaciones de la columna 8 del cuadro de

avance del proceso.

Proceso C

El proceso C, se compone de seis actividades con una duración total de 17 días y,

por tanto, el factor de conversión (fa) y el factor de avance diario (D-a)

programado son los mismos que los del proceso B anterior.

Fa = 2576.0

00.1 = 3.88

D-a = 17

00.1 = 0.05882,

La cuenta del avance programado se interrumpió al día 6 con 0.3533 hasta el día

11, en que continúa con la actividad 5.

Proceso D

Este proceso D, con las actividades 9, 10 y 11 tiene, igual que los dos procesos

anteriores, una duración de 17 días, por lo que los factores de conversión y de

avance son los mismos.

Fa = 2576.0

00.1 = 3.88

D-a = 17

00.1 = 0.05882,


141

El cuadro de avance del proceso aparece en la tabla del cuadro de avance del

proceso D.

b) Procedimiento de evaluación

Cuando las actividades se adelantan en su ejecución a las fechas programadas,

generalmente no modifican sus costos directos y en cambio sí disminuyen los

costos indirectos. En términos generales podemos decir que benefician los

resultados de los presupuestos al terminar las actividades antes de la fecha

programada. También es sencilla la decisión para adelantar la actividad siguiente

a aquella terminada con anticipación y sólo debe investigarse la posibilidad de

hacerlo en cuanto a tener en ese momento los recursos humanos y materiales

que se requieren.

Tratándose de retardos, la evaluación y la decisión no son tan sencillas porque,

por regla general, se modifican los costos, se trastornan las secuencias y se

pierde la disponibilidad del tiempo, por lo que hay necesidad de tener un

procedimiento de evaluación que permita determinar todas las consecuencias de

un retraso en una actividad del proyecto.

Los retrasos deben ser absorbidos por las holguras y en el caso de que no existan

éstas, aquellos deben neutralizarse por medio de compresiones en las

actividades.

c) Absorción por holgura

Multiplicar el tiempo programado de ejecución e por el

tanto por uno de la cantidad de trabajo que falte

por realizar. El resultado es el tiempo que se

requiere para terminar normalmente con la

actividad. Al tiempo anterior se le resta el

tiempo disponible y la diferencia representa el

retraso, el cual debe ser absorbido por la

holgura total. Si no es posible esto, debe

procederse como sigue.


142

d) Absorción por compresión

Se multiplica el tiempo óptimo o por lo tanto por uno del volumen del trabajo

pendiente de ejecutar. El producto representa el tiempo que se requiere para

terminar la actividad en condiciones óptimas es decir, con la máxima aceleración.

Si este tiempo es menor que el tiempo disponible, significa que no se retrasará el

proyecto, pero si es mayor, la diferencia será la cantidad de tiempo que retrasará

el proyecto, excepto que se pueda comprimir una actividad posterior a la actividad

retrasada dentro del proceso.


143

TEMA 4

Construye e interpreta mediante los modelos de programación no lineal.

Competencia:

no

lineal

Programación



144

Tema 04: Programación no lineal

Una suposición importante de programación lineal es que todas sus funciones

(Función objetivo y funciones de restricción) son lineales. Aunque, en esencia,

esta suposición se cumple para muchos problemas prácticos, es frecuente que no

sea así. De hecho, muchos economistas han encontrado que cierto grado de no

linealidad es la regla, y no la excepción, en los problemas de planeación

económica, por lo cual, muchas veces es necesario manejar problemas de

programación no lineal.

a) Método de GOMORY

Llamado método de corte, desarrollado por R.E. Gomory. Incluye un algoritmo

fraccional, el cual se aplica al problema entero puro, y el algoritmo mixto, que

está diseñado para el problema entero mixto.

La idea del algoritmo de planos de corte, es cambiar el conjunto convexo del

espacio de soluciones de tal manera que los puntos extremos apropiados

lleguen a ser todos enteros.

Ejemplo

Max 55X1 + 55X2 + 60X3

S.A.

(1) 2X1 + 3X3 <= 550

(2) 1.8X2 + 0.2X3 <= 440

(3) 2X1 + 2X2 + 2X3 <= 400

(4) 1.25X1 + 1.25X2 + 1.33X3 <= 360

Xj >=0 y Enteros


145

PASO 1

Se debe convertir las restricciones a expresiones enteras o discretas, antes de

resolverlo por el método simplex.

En nuestro caso tenemos que aplicarlo a las restricciones (2) y (4).

Max 55X1 + 55X2 + 60X3

S.A.

(1) 2X1 + 3X3 <= 550

x10 (2) 18X2 + 2X3 <= 4400

(3) 2X1 + 2X2 + 2X3 <= 400

x100 (4) 125X1 + 125X2 + 133X3 <= 36000

Xj >=0 y Enteros

Aplicamos el método simplex revisado, para hallar el tablero óptimo. Entonces

balanceamos las restricciones

Max 55X1 + 55X2 + 60X3

S.A.

(1) 2X1 + 3X3 + X4<= 550

(2) 18X2 + 0.2X3 + X5<= 4400

(3) 2X1 + 2X2 + 2X3 +X6<= 400

(4) 125X1 + 125X2 + 133X3 +X7<= 36000

Xj >=0 y Enteros

Tablero Óptimo


146

PASO 2

Se debe de elaborar el Plano de Corte, para esto se investiga en el tablero Optimo,

cual de la variables reales o básicas tienen la mayor cantidad fraccionaria (entre

las variables reales); una vez que se le ha identificado se extrae dicho vector fila y

se iguala al valor que figura en la columna b. Hecho esto, a cada uno de los

coeficientes se le resta una cierta cantidad entera y se establece que el signo de

relación, en nuestro cado debe ser mayor o igual que. Con la cual se obtiene el

Plano de Corte.

Esta nueva restricción se incluye en el tablero óptimo


147

Sin embargo es necesario identificar a la variable que debe de figurar en nuestro

tablero óptimo modificado que corresponde a la columna Xk; para lo cual se

procede de la siguiente manera:

Se identifica a las variables candidatas, que son aquellas que no figuran en el

Tablero Optimo (en nuestro caso son X1, X4, X6 y X8); luego se procede a excluir

entre las candidatas seleccionadas a aquellas que tengan coeficientes de

participación negativa en la restricción que se ha añadido (en nuestro cado

excluimos a las variables X4 y X6). Luego entre las candidatas que queden,

analizamos para el vector de sensibilidad (Cj Zj), cual de ellas afecta menos a la

Función Objetivo, es decir identificamos en la fila de Cj – Zj cual reduce menos

(en nuestro caso la que reúne esta ultima condición es la variable X1)

Se calcula la solución óptima

Nota: No interesa que en la solución optima, figuren

partes fraccionarias, lo que interesa es la solución

de las variables reales.


148


1. En un documento en Word realice haga un resumen con

sus propias interpretaciones sobre el tema tratado;

Programación No Lineal. Envíalo a través de “Mi

Resumen”.

2. En un documento en Word realice dos ejercicios libres

sobre el tema Consideración de los intercambios de

tiempo y costo. Envíalo a través de “Tiempo y Costo”.

PROGRAMACIÓN NO LINEAL

http://www.investigaciondeoperaciones.net/programacion_no_lineal.html

EL MÉTODO CPM CRÍTICAL PATH METHOD

http://www.investigaciondeoperaciones.net/cpm.html


http://www.investigaciondeoperaciones.net/programacion_no_lineal.html

http://www.investigaciondeoperaciones.net/cpm.html


149

Autoevaluación

1) De todas las rutas de red, la ruta crítica

a. Tiene el tiempo esperado máximo b. Tiene el tiempo esperado mínimo c. Tiene el tiempo real máximo d. Tiene el tiempo real e. Tiempo determinado.

2) El tiempo de inicio más corto (TIP) para una actividad que abandona el nodo

C (en el método AA)

a. Es el mínimo de los tiempos de terminación más próximos para todas las actividades.

b. Es igual al tiempo de terminación para la misma actividad. c. Depende de todas las rutas que van desde el principio. d. Es el máximo de los tiempos de terminación más próximos para todas las

actividades que llegan al nodo C. e. No depende de ninguna ruta.

3) El tiempo de terminación más lejano (TTL) para una actividad que entra al

nodo H (en el Método AA)

a. Iguala al máximo de los tiempos de inicio más lejanos de todas las actividades que abandona el nodo h.

b. Depende del tiempo de terminación más lejano del proyecto. c. Es igual al tiempo de inicio más lejano menos el tiempo de dicha actividad. d. Depende del tiempo de terminación más cercano del proyecto. e. Es igual al tiempo de dicha actividad.

4) La holgura para la actividad G a. Es igual al ttl para g – til para g b. Es igual al ttp para g – tip para g c. Es igual al til para g – tip para g d. Es igual al tti para g – til para g e. Es igual al til para g – tlp para g

5) La estimación de los tiempos esperados de actividad en una red PERT a. Hace uso de dos estimaciones b. Pone el menor coeficiente de ponderación en la estimación de tiempo más

probable c. Está motivado por la distribución. d. Hace uso de tres estimaciones e. Pone el menos coeficiente de ponderación en la estimación de tiempo más

probable.


150

6) ¿Qué buscaba El método CPM?

a. El control y la optimización de los costos de operación mediante la


b. El control y el análisis de los costos de operación.

c. La optimización de los costos de operación.

d. El control y la optimización de los costos de operación mediante la


e. El control y la optimización de los costos de operación mediante la

distribución adecuada de los ejercicios componentes del proyecto.

7) ¿De cuántos ciclos consta El Método del Camino Crítico?

a. Un ciclo

b. No tiene ciclos solo etapas

c. Dos ciclos

d. Tres ciclos

e. Cuatro ciclos

8) No modifica la terminación del proceso:

a. Holgura libre

b. Holgura total

c. Holgura independiente

d. Holgura dependiente

e. Holgura mixta

9) El método de corte fue desarrollado por:

a. R.E. Gomory.

b. Dupont

c. Remington

d. Rand

e. Gommy

10) No interesa que en la solución óptima, figuren partes fraccionarias, lo que

interesa es la solución de las……..

a. Variables

b. Ecuaciones

c. Variables reales

d. Fracciones homogéneas

e. Ecuaciones con radicales


151

Resumen

UNIDAD DE APRENDIZAJE IV:

En proyectos como este tipo, los administradores deben programar y coordinar los diversos trabajos o actividades de tal manera que el proyecto se concluya a tiempo. En esta sección de aprendizaje hemos abordado los detalles de la programación de proyectos para un problema que involucra investigación y desarrollo de nuevos productos. Dado que muchas de las actividades de este proyecto nunca se han intentado, el administrador del proyecto desea tomar en consideración la incertidumbre en los tiempos de las actividades. También ampliamos nuestro análisis como agregar recursos a actividades seleccionadas para reducir el tiempo de terminación del proyecto.

Los proyectos en gran escala por una sola vez han existido desde tiempos antiguos; este hecho lo atestigua la construcción de las pirámides de Egipto y los acueductos de Roma. Pero sólo desde hace poco se han analizado por parte de los investigadores operacionales los problemas gerenciales asociados con dichos proyectos. El problema de la administración de proyectos surgió con el proyecto de armamentos del Polaris, empezando 1958. Con tantas componentes y subcomponentes juntos producidos por diversos fabricantes, se necesitaba una nueva herramienta para programar y controlar el proyecto. El PERT (evaluación de programa y técnica de revisión) fue desarrollado por científicos de la oficina Naval de Proyectos Especiales. Booz, Allen y Hamilton y la División de Sistemas de Armamentos de la Corporación Lockheed Aircraft. La técnica demostró tanta utilidad que ha ganado amplia aceptación tanto en el gobierno como en el sector privado.

Casi al mismo tiempo, la Compañía DuPont, junto con la División UNIVAC de la Remington Rand, desarrolló el método de la ruta crítica (CPM) para controlar el mantenimiento de proyectos de plantas químicas de DuPont. El CPM es idéntico al PERT en concepto y metodología. La diferencia principal entre ellos es simplemente el método por medio del cual se realizan estimados de tiempo para las actividades del proyecto. Con CPM, los tiempos de las actividades son determinanticos. Con PERT, los tiempos de las actividades son probabilísticas o estocásticos. El PERT/CPM fue diseñado para proporcionar diversos elementos útiles de información para los administradores del proyecto. Primero, el PERT/CPM expone la "ruta crítica" de un proyecto. Estas son las actividades que limitan la duración del proyecto. En otras palabras, para lograr que el proyecto se realice pronto, las actividades de la ruta crítica deben realizarse pronto.

Las actividades que no están en la ruta crítica tienen una cierta cantidad de holgura; esto es, pueden empezarse más tarde, y permitir que el proyecto como un todo se mantenga en programa. El PERT/CPM identifica estas actividades y la cantidad de tiempo disponible para retardos. El PERT/CPM también considera los recursos necesarios para completar las actividades. En muchos proyectos, las limitaciones en mano de obra y equipos hacen que la programación sea difícil. El PERT/CPM identifica los instantes del proyecto en que estas restricciones causarán problemas y de acuerdo a la flexibilidad permitida por los tiempos de holgura de las actividades no críticas, permite que el gerente manipule ciertas actividades para aliviar estos problemas.


152

Glosario

ACTIVIDADES CRÍTICAS:

Actividades que aparecen en el camino crítico

CAMINO CRÍTICO:

Es aquello perteneciente al holismo, una tendencia o corriente que analiza los

eventos desde el punto de vista de las múltiples interacciones que los

caracterizan. El holismo supone que todas las propiedades de un sistema no

pueden ser determinadas o explicadas como la suma de sus componentes. En

otras palabras, el holismo considera que el sistema completo se comporta de un

modo distinto que la suma de sus partes.

Es una herramienta simple que permite utilizar el poder de la optimización lineal

y no lineal para formular grandes problemas concisamente, resolverlos, y

analizar la solución.

HOLÍSTICO:

La trayectoria más larga en una red del proyecto.

LINGO: MÉTODO DEL CAMINO CRÍTICO (CPM por sus siglas en ingles):

Se conoce como software1 al equipamiento lógico o soporte lógico de un sistema

informático; comprende el conjunto de los componentes lógicos necesarios que

hacen posible la realización de tareas específicas, en contraposición a los

componentes físicos, que son llamados hardware.

Secuencia de nodos conectados, que lleva del nodo de inicio hasta el nodo de

terminación.

TRAYECTORIA:

Un procedimiento de programación de proyecto basado en redes


153

Fuentes de Información

Bibliográficas:

HILLIER, Frederick & LIEBERMAN, Gerarld J. Introducción a la Investigación de

Operaciones. 6ª ed. México: McGraw-Hill Interamericana Editores, 1996. 830 p.

ISBN: 9701010221

(DIS/003/H54A)

TAHA, Hamdy A. Investigación de Operaciones. 6ª ed. México: Prentice-Hall

Iberia, S. R. L., 1998. 916 p. ISBN: 9701701666

(DIS/003/T13N)

MATHUR, Kamlesh & SOLOW, D. Investigación de Operaciones. El Arte de la

Toma de Decisiones. España: Prentice Hall Hispanoamericana, S.A. ISBN:

9688806986

(003/M28/E1)

WINSTON, Wayne L. Investigación de Operaciones Aplicaciones y Algoritmos.

1ª ed. México: Grupo Editorial Iberoamericana, S. A. de C. V. 1417 p. ISBN:

9706250298

(003/W71)

BAZARAA, Mokhtar & JARVIS, Jhon J. Programación Lineal y Flujo en Redes.

2ª ed. México: Limusa, S. A. de C. V. 539 p. ISBN: 9681848675

(519/B28)

EPPEN,G.D, Investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa, 5ª ed.

México: Prentice Hall Hispanoamericana, S.A. ISBN : 970170270

ALVAREZ ALVAREZ, Jorge. Programación Lineal. América SR Ltda. 210 p.

Electrónicas:


http://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_lineal

http://personal5.iddeo.es/ztt/prob/B1_Prog_Lineal.htm

Problemas de Programación Lineal

http://www.investigacion-operaciones.com/Solucion_Grafica.htm

Solución gráfica de problemas

http://www.programacionlineal.net/resolucion_grafica.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_lineal

http://www.investigacion-operaciones.com/Solucion_Grafica.htm

http://www.programacionlineal.net/resolucion_grafica.html


154

Solucionario

1. A

2. C

3. B

4. A

5. B

6. A

7. C

8. B

9. E

10. A

1. E

2. E

3. A

4. C

5. E

6. A

7. A

8. B

9. A

10. B

1. D

2. E

3. E

4. D

5. D

6. B

7. D

8. A

9. C

10. A

1. A

2. D

3. B

4. C

5. D

6. A

7. C

8. A

9. A

10. C

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Investigación Operativa I