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7/25/2019 Investigacin Operativa II - Confiabilidad
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CONFIABILIDAD
Investigacin de operaciones
7/25/2019 Investigacin Operativa II - Confiabilidad
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Qu es ?
La Confiabilidad es la "capacidad de un artculo de desempear
una funcin requerida, en condiciones establecidas, durante un
perodo de tiempo determinado".
Es decir, que habremos logrado la Confiabilidad requerida cuandoel artculo" hace lo que queremos que haga y en el momento
que queremos que lo haga.
Al decir artculo" podemos referirnos a una mquina, una planta
industrial, un sistema y hasta una persona.
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La Confiabilidad impacta directamente sobre los resultados de la
empresa, debiendo aplicarse no slo a mquinas o equipos
aislados sino a la totalidad de los procesos que constituyen la
cadena de valor de la organizacin.
Ayuda a prevenir detenciones, accidentes y disminuir prdidas.
Para qu sirve?
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?
Cul es la vida promedio del producto? Cuntas fallas se espera el prximo ao?
Cunto nos costar desarrollar y dar servicio a este producto?
Cmo podemos hacerlo ms efectivo en costo?
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Cmo se aplica?
En la confiabilidad se examina el desempeo de un
producto a travs del tiempo.
La variable aleatoria de inters es la cantidad de
tiempo transcurrido entre fallas, una vez que el
producto se pone en servicio
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TIEMPO DE VIDA Y FALLA
La confiabilidad es una medida del Tiempo de Vida tilde unproducto. Durante este perodo el cliente obtiene las caractersticas
ofrecidas intencionadamente.
Cuando cesa la capacidad del producto para entregar la funcin ofrecida alcliente, se considera que ha habido unaFalladel producto. Esto
representa el trmino del tiempo de vida.
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MODELOS DE TIEMPO DE VIDA
Para modelar el tiempo de vida se asigna una medida: La frecuencia
relativa o la probabilidad con que ocurrir el evento.
La regla que asigna valores de frecuencia relativa o probabilidades alos valores de una variable se llama Distribucin de Probabilidad
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Funcin de Densidad de Probabilidad f(t) Predice el comportamiento de cualquier situacin
probabilstica
Es la probabilidad de la variable tde caer en algn punto del
rango t1a t2:p t t t f t d t
t
t
( ) ( )1 21
2
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
t
f(t)
t1 t2
El rea totalbajo la
curva siempre es 1 o100%
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Si acumulamos las probabilidades desde el inicio hasta un tiempo t1,
obtenemos la Distribucin de Probabilidad Acumulada CDF
F(t).
F(t) = P(t t1)
DISTRIBUCION ACUMULADA DE PROBABILIDAD
t
F(t)
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Funcin de Distribucin Acumulada La Probabilidad de que una variable (t) tome un valor menor o igual a un valor
especfico, ej:, t1
Cuando la variable tes tiempo de falla, esto representa la no
confiabilidado la probabilidad de que una unidadfalle antes del tiempo t1
1
0
1 )()0()(
t
dttfttPtF
DISTRIBUCION ACUMULADA DE PROBABILIDAD
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F t P t t f t dt
t
( ) ( ) ( )0 10
1
DISTRIBUCION ACUMULADA DE PROBABILIDAD
t
f(t
)
t
F
(t)
t1
No confiabilidad, F(t)
Funcin de Densidad de Probabilidad
t1
Funcin de Distribucin Acumulada
0
1
0
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CONFIABILIDAD
Es la probabilidad de que un sistema ejecute su funcin sin fallar
para un intervalo de tiempo especfico, bajo condiciones
establecidas.
Se define como la Probabilidad de Supervivencia o Confiabilidad enun determinado tiempo.
R(t) = 1 - F(t)
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t
R
(t)
R t F t f t d t f t d t
t
t( ) ( ) ( ) ( )1 1
0
t
f(t)
t1
Funcin de Densidad de Probabilidad Funcin de Confiabilidad
0
0
1
t10
Grficamente.
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Confiabilidad de un solo componente
Ejemplo:
Una empresa compr 1.000 capacitores elctricos parausarlos en radiotransmisores de corto alcance. La empresa
mantuvo registros detallados del patrn de fallas de esos
capacitores con los siguientes datos obtenidos:
Aos en
funcionamiento
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
>10
Cantidad de fallas 220 158 121 96 80 68 47 40 35 25 110
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Con base en estos datos, se desea estimar la distribucin de
probabilidades asociadas con la falla de un capacitorseleccionado al azar
Sea T una variable aleatoria definida como el tiempo que el
capacitor funciona hasta que falla. La funcin de distribucin
acumulada de T es:
tTPtF )(
F(t) es la probabilidad de que un componente elegido al azarfalle en o antes del tiempo t.
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Aos de
servicio
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 >10
Fallas
acumuladas
220 378 499 595 675 743 790 830 865 890 1.000
Proporcin
del total0.220 0.378 0.499 0.595 0.675 0.743 0.790 0.830 0.865 0.890 1.00
Del ejemplo obtenemos las fallas acumuladas:
Suponga que se quiere determinar:
1.La probabilidad de que un capacitor tomado al azar dure ms
de 5 aos2.La proporcin de los 1.000 capacitores originales que
trabajaron y fallaron el ao 6.
3.La proporcin de los capacitores que sobreviven cuando
menos 5 aos y fallan en el ao 6
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SOLUCIONES:
1 La probabilidad de que un capacitor tomado al azar dure ms de 5 aos.
En la tabla de datos, tenemos la proporcin de fallas al ao 5: P P{T 5}=0,675
Buscamos P{T > 5} = 1P {T 5}= 1- 0,675= 0,325= 32,5%
2.La proporcin de los 1000 capacitores originales que trabajaron y fallaron el ao 6.
P{T= 6} =P{T 6}- P {T 5}= 0,743- 0.675= 0.068= 6,8%
3. La proporcin de capacitores que sobreviven cuando menos 5 aos y fallan el ao 6.
P{T=6 T > 5 } P{T=6 }- P {T 5}Buscamos P{T = 6/T > 5}= =
P{T > 5} 1- P {T 5}=0,068/ (1- 0,657)= 0,209= 20,9%
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Definicin 1: sea T la variable aleatoria de la vida del
componente, T tiene una funcin F(t) de distribucin
acumulada expresada por:
F(t) es diferenciable de t, de modo que exista la funcinf(t) de densidad de probabilidades expresada por:
tTPtF )(
dttdFtf )()(
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Definicin 2: Sea R(t) la funcin de confiabilidadde uncomponente expresada como:
)(1)( tFtTPtR
En otras palabras R(t) es la probabilidad de que un
componente nuevo sobreviva ms del tiempo t
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Si se divide entre sy hacemos que s tienda a 0 queda:
)(
)(
)(
)()(*
1lim
0 tR
tf
tR
tFstF
ss
de este modo se obtiene la funcin de tasa de fallas o tasa de riesgo:
)(
)()()(
tR
tftrt
TASA DE FALLA :
Es una medida de la probabilidad de que el sistema falle en un pequeo
intervalo de observacin (t, t+s )
)(
)()(/
tR
tFstF
tTP
stTtPtTstTtP
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La Tasa de Riesgo o Tasa de Falla es la fraccin de fallas
probables entre la proporcin de supervivientes al tiempo t.Cuando se conoce la Distribucin de Probabilidad de t, se
calcula a partir de
(t) = f(t) / R(t)
Es una medida de la mortalidad entre los artculos que quedan.
La tasa de falla representa la propensin a la falla de un producto
como una funcin de su edad o tiempo en operacin.
La tasa de falla, en cualquier tiempo dado, es la proporcin de
artculos que fallarn en la siguiente unidad de tiempo respecto aaquellos artculos que han sobrevivido a este tiempo.
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tt
t
tT
Supongamos que en el intervalo (0, t] no ocurri la falla
?tT/ttTtP
)t(t
tT/ttTtPlim
0t
)(t funcin de riesgo
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Ejemplo
Por ejemplo, 1000 motores elctricos se ponen a prueba en el tiempo cero. Cuatrocientos de
ellos estn trabajando a las 2000 horas, 50 de ellos fallaron en las siguientes 100 horas y otros 50
fallaron en las siguientes horas.
0 2000 2100 2200 tiempo
1000 400 350 300
horas
N de
sobrevivientes
La tasa de falla para los motores a las 2000 horas es:
(2000) = (nmero de fallas por hora posteriores a las 2000 horas)
nmero de sobrevivientes a las 2000 horas
= (50/100)/400 = 0.00125 unidades/hora
Similarmente, la tasa de falla a las 2100 horas es:
(2100) = (50/100)/350 = 0.0014 unidades/hora
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Definicin 3: El intervalo de tiempo que un determinado
componente funciona hasta que falla es una variable aleatoriacon distribucin exponencial. La funcin F(t) se expresa
como:
te1)t(F
y la funcin de densidadf(t)es: te)t(f
donde es un parmetro que representa la tasa de ocurrencia y1/es el tiempo medio esperado para que ocurra una fallaen el caso de tasa constante
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Ejemplo:
Sea: F(t) = 1e-0.043t. Determinar:
1. La funcin de la tasa de fallas: (t)
dF(t)f(t) dt 0,043e-0,043t
Se pide hallar (t) = = = R(t) 1- F(t) 1-(1- e-0,043t )
(t)= 0,043 [fallos/ao]
2. La probabilidad de que el equipo trabaje durante ms de 5
aos sin fallar.
P{T5} = R(5)= 1-F( 5 ) = 1-(1- e-0,043*5 )
= 0,806 = 80,6%
3. Tiempo promedio entre fallas.
TPEF= 1/ (t) = 1/0,043= 23,26 [aos]
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CONFIABILIDAD DE UN SISTEMA
En muchas aplicaciones de la teora de la confiabilidad se
predicen los patrones de falla del equipo, partiendo del
conocimiento de los patrones de falla de los
componentes de ese equipo.
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Confiabilidad del sistema
A medida que los productos se vuelven mas complejos y tienen mas componentes sevuelven menos confiables, es decir aumenta la probabilidad de que no funcionen.
El mtodo de arreglar los componentes afecta la probabilidad de todo el sistema,
estos se pueden arreglar de la siguiente manera:
SERIE
PARALELO
COMBINADO
RS= RA*RB*RC= 0,955*0,750*0,999= 0,715
RA=0,955 RB=0,750 RC=0,999
Parte A Parte B Parte C
SERIE
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Componentes en serie
En general si un sistema consiste de un gran nmero de
componentes conectados en series, su confiabilidad bajar yaque si alguno de estos equipos o componentes fallas, el
sistema completo fallar. Por tanto, un sistema en serie
funciona slo si cada componente lo hace.
1 N2
Sea Tiel tiempo hasta la falla del i-simo componente i, y sea Tsel
tiempo de falla de todo el sistema en serie:
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Sea Tiel tiempo hasta la falla del i-simo componente i, y sea Tsel tiempo de falla de todo el
sistema en serie:
tTTTMinPtTPtRNss
),......,)( 21
)(.........)()()( 21 tRtRtRtR N
tTtTtTPtR N ..,.........,)( 21
Para N componentes idnticos, cada uno con la funcin de confiabilidad R(t), esto se
convierte en [R(t)]N y la funcin de distribucin acumulada en serie es:
N
S tFtF )(11)(
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Ejemplo
Consideremos un sistema compuesto por tres componentesdispuestos en serie las cuales tienen una confiabilidad para
cumplir su funcin durante 100 horas de 99,5%, 98,7% y
97,3%, respectivamente. Cul es la confiabilidad del sistema
durante esas 100 horas?
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Componentes en Paralelo
Los componentes o equipos se conectan en
paralelo, ya que esto aumenta la confiabilidad
del sistema y se hace mucho ms difcil que el
sistema deje de operar cuando alguno de sus
equipos falla.
Un sistema en paralelo funciona si cualquiera de
los componentes funciona.
1
2
N
Estos sistemas se usan cuando se recurre a la redundancia para
aumentar la confiabilidad.
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Sea TPcomo el tiempo de falla de un sistema en paralelo formado por
componentes idnticos . Es claro que TP= Mx(T1, T2,..TN), entonces
tTTTmxPtF NP ),....,()( 21
tTtTtTPtFNP
,....,)( 21
Componentes en Paralelo
que se reduce a [F(t)]Nen el caso de N componentes idnticos.
La funcin de confiabilidad de un sistema con N componentesidnticos en paralelo es:
N
P tRtR )(11)(
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Ejemplo
Consideremos un sistema con tres componentes en paralelo,cada una de ellas con una confiabilidad de 99,5%, 98,7% y
97,3%, respectivamente, para cumplir su funcin durante
100 horas. Cul es la confiabilidad del sistema durante esas
100 horas?
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Sistemas K de N
Suponga que un sistema est formado por N componentes. Un sistemaK de N es aquel que slo funciona si trabajan cuando menos K de los
componentes, siendo 1 K N.
Para analizar estos sistemas se considera una distribucin binomial con
un xito si el componente funciona y un fracaso si no funciona. Se
supone que todos los componentes son idnticos, y entonces cada
uno tiene la misma funcin de confiabilidad, R(t) y la misma funcin
F(t).
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Sistema k de N
El sistema funciona con N= 4 componentes de los cuales pueden
fallar hasta k=2, para que el sistema permanezca en operacin.
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Entonces para un tiempo t, la probabilidad Rk(t) de que el sistema funcione en eltiempo t es la probabilidad de que al menos haya K xitos en N intentos :
Sistemas K de N
)!jn(!j
!n
j
n
:donde
)p1(pj
N)t(R jNj
N
Kj
K
jNjN
Kj
K tFtRjNtR )()()(
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Ejemplo:
Suponga el caso de 4(cuatro) turbinas (equipos), dispuestos en un arreglo
paralelo de tal manera que k = 2 y N = 4. En la figura se muestra tal configuracin.
En este ejemplo si fallan 2
o menos turbinas
en el sistema, este seguir
operando normalmente
Si falla una tercera turbina
el sistema falla.
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Ejemplo
Consideremos un sistema formado por 6 unidades de bombeo en el que esnecesario que al menos 4 de ellas funcionen. Cada bomba tiene una
confiabilidad del 85% para el periodo de proceso. Cul es la confiabilidad del
sistema durante ese periodo?
Solucin: Se trata de un sistema 4-de-6
jNjN
Kj
K )p1(pj
N)t(R
)t(RK
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Se trata de la presencia combinada de la configuracin delsistema en serie y paralelo. Ej:
Sistemas Combinados
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Ejercicio
Consideremos el siguiente sistema compuesto por 3unidades.
Solucin:
RS= 0,9995157
Cul es la confiabilidad de este sistema si R1 = 99,5%; R2 = 98,7%; R3 =
97,3%?
Se resuelve primero el sistema en serie 1 y 2, luego el sistema enparalelo con 3.
Ej i i
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Rj=0,840
Ri=0,750
Parte j
Parte i
Paralelo
Ejercicio
Solucin
Rp= 1- (1-Ri)*(1-Rj)
Rp= 1- (0,25)*(0,16)
Rp = 0,96
Rj=0,840
Ri=0,750
Parte j
Parte i
Combinado
Solucin
Ra=0,955 Rc=0,999
Parte a Parte c
RS= Ra*Rp*Rc= 0,955*0,96*0,999= 0,915
Ej l
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Ejemplo:
Una combinacin posible de un sistema combinado en serie y paralelo
puede representarse como se indica en la figura:
Rses la confiabilidad del sistema:
La confiabilidad del sistema ser:
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Ejercicio
Determine la confiabilidad del sistema siguiente:
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RS3
RS2
RS1
Ejemplo : Determine la confiabilidad del sistema siguiente
Se resuelve la serie 1:
RS1= 0,95 * 0,88 = 0,84
Se resuelve la serie 2
RS2= 0,95 * 0,88 = 0,84
Se resuelve el paralelo de RS1 Y RS2RS3= 1- (1-RS1)*(1-RS2)= 1- ( 0,16 * 0,16) = 0,97
Se resuelve el paralelo RS4
RS4= 1- (1-0,92)*(1-0,98)* (1-0,98)*(1-0,92)= 1- (0,08*0,02*0,08*0,02)= 0,99
Se resuelve la serie final
RS4
RS5
RS6