Curso para Ingeniera Civil Informtica

MODELOS PROBABILSTICOS

Dra. Virna Ortiz Araya

viortiz@ubiobio.cl

Segundo semestre 2014

https://www.youtube.com/watch?v=HIQm_tIUzjA

https://www.youtube.com/watch?v=JOhDDSJf-OU No es mi problema

Problemas tpicos con sistemas de espera

Restaurants y casinos de comida

Oficina de correos

Sucursal bancaria

Plaza de peaje

Procesos de manufactura

Taller de reparacin

etc...

Agner Krauo Erlang (Dinamarca 1878 1929).

En 1909 analiza la congestin de trfico telefnico.

Para dar solucin elabora la teora de lneas de espera.

Fuente de entrada

Sus caractersticas principales son: Tamao : Finita o Infinita.

Fuente o Entrada: Programada o Aleatoria.

Comportamiento Tiempos de llegada

Deterministas Probabilistas

Tarea: Busque tres ejemplos de sistemas de espera e identifique cada uno de los elementos caractersticos.

Distribucin de Probabilidad exponencial

Clientes: Todo individuo de la poblacin que solicite un servicio. El nmero de clientes puede ser: finito o infinito.

Cola: Capacidad. Finita o Infinita. Representa el nmero de clientes esperando a ser servidos.

Disciplina de servicios: FIFO (First in first out): El primero en ser atendido

es el primero en salir.

LIFO (Last in first out ): Atender al cliente que ha llegado al ltimo.

RSS y SIRO: Selecciona clientes de manera aleatoria.

Mecanismo de servicio: Servidores: Uno o varios. Tiempo de espera: Determinista o Probabilstico. Una lnea, un servidor. Una lnea, mltiples servidores. Varias lneas, mltiples servidores. Una lnea y servidores secuenciales.

Proceso de salida Servidores: Uno o varios.

Nmero de servidores

uno y/o mltiples servidores

tiempos de servicio

Llegada de clientes

poblacin finita o infinita

tiempos entre llegadas de clientes

Disciplina de la cola

Donde valores usuales para A y B son

M : distribucin exponencial

G : distribucin general

A / B / c

Tiempos de

servicio

Tiempos de

llegada

Nmero de

servidores

Sistema M/M/1

Este sistema corresponde a un proceso de

nacimiento y muerte con (j)= para j=0,1,2,... y

(j)= para j=1,2,...((0)=0).

....

Exp ()

Poisson ( )

n

n

jj

jj

1

1

0)0(,...2,1,0;)(

,...2,1,0;)(

0

Dado lo anterior, las probabilidades estacionarias resultan ser:

Cuntos clientes estn esperando en el sistema

(en promedio)?

Cuntos clientes estn esperando en la cola (en

promedio)?

0n

nnL

0

2

1

)1(n

nq nL

Cunto tiempo espera un cliente en el sistema (en promedio)? Cunto tiempo espera un cliente en la cola (en promedio)? Ecuacin de Litlle L = W Lq = Wq

0

11

n

nnW

)(

1WWq

Este modelo es un caso especial del proceso de

y

La tasa media de llegadas al sistema de colas es una constante y es independiente del estado del sistema.

La tasa media de servicio por servidor ocupado es una constante y es independiente del estado del sistema.

Sistema M/M/s.

Este sistema tambin es un proceso de nacimiento y

muerte con (j)= para j=0,1,2,... y:

.... . .

Exp ()

Poisson ( )

sjs

sjjj

;

0;)(

Este modelo nos indica que:

Todos los tiempos entre llegadas son

independientes e idnticamente distribuidos de acuerdo a una distribucin exponencial.

Todos los tiempos de servicio son independientes e idnticamente distribuidos de acuerdo a una distribucin exponencial.

El nmero de servidores es s (s cualquier entero positivo)

Cuando: =

1

En estado de saturacin de cola, se habla de que sta ha llegado a sus estado estacionario.

Tasa media de servicio menor que la tasa media de llegadas. Se forma una cola infinita.

Cuando:

=

< 1

En consecuencia, el sistema de colas alcanzar la condicin de estado estable y se puede aplicar directamente los resultados de estado estable hallados anteriormente.

Tasa media de servicio mayor que la tasa media de llegadas.

Para s >1, los factores Cn para el proceso de nacimiento y muerte se reducen a:

=

! para n = 0,1,2,,s.

=

!

para n = s, s + 1,

= +1

= +

Suponiendo que el sistema no se satura, se deducen las siguientes frmulas para las probabilidades pn de que haya n clientes en el sistema, donde nN:

11

0

0!1!

s

n

nss

n

s

s

cp

caso otroen ,!

,...,1,0 si ,!

0

0

ps

s

snpn

s

pns

n

n

Nmero medio de clientes en cola:

20

1

1!

s

psL

ss

q

Usamos razonamientos ya vistos para obtener:

1 qWW

qq WL WL

Nmero medio de servidores ocupados, S, En el estado estacionario, la razn de las salidas ser igual a la razn de las llegadas:

SSS

Probabilidad de que un trabajo tenga que esperar para recibir su servicio (frmula de retraso de Erlang):

1!0

s

pcq

ss

PoMM

L

L

M

M

M

Mn

P

P

M

M

S

s

MMn

n

no

o

2

1

0

.!.1

:sistema elen unidades o personas de promedio nmero

para

!

1

!

1

1

sistema elen unidades o personas CEROexistan que de adProbabilid

canal cadaen servicio de promedio tasa

arribo de promedio tasa

abiertos canales de nmero

q

Sq

q

SSq

q

S

M

S

s

LWW

W

LLL

L

LPo

MMW

W

1

serviciopor esperando cola laen da tar

se unidad o persona una que promedio Tiempo

servicio de esperaen cola, o lnea laen unidades o personas de promedio Nmero

1

! 1

)(atendida) servida siendoy cola la(en

sistema, elen permanece unidad una que promedio Tiempo

2

00

0

02

1

0

0

!

1,

!

,!

1

)()!1(

!!

1

Ps

s

sPknsiP

ssP

knsiPn

PWW

LWLLP

ssL

ns

s

s

P

s

wsn

n

n

n

nqs

q

qqs

s

q

s

n

ns

)46)(3(

3

4

2

2

4

2

3

q

q

L

sSi

L

sSi

1

0

0

!

1

!

1

1s

n

sn

s

s

sn

P

s.>nfor !

P

s.nfor !

0n

0

Pss

Pn

P

sn

n

n

n

Las medidas de performance L, Lq y Wq pueden ser obtenidas a partir de las siguientes frmulas:

1

!102

Ps

W

s

s

0!

1P

s

s

sP

s

w

s

En un centro de fotocopiado se dispone de 3 mquinas fotocopiadoras a disposicin del pblico, cada mquina es capaz de servir, por trmino medio, 8 trabajos cada hora. Al centro de fotocopiado llegan como promedio 5 clientes a la hora.

Cul es la probabilidad de que las tres mquinas estn libres a la vez?

Cul es el nmero medio de clientes en la cola?

Cul es el tiempo medio de espera en la cola?

Cul es el tiempo medio de espera en el sistema?

Cul es el nmero medio de clientes en el sistema?

Parmetros del sistema: = 5 clientes/h, = 8 clientes/h, s = 3 servidores, el sistema no se

satura porque

Cul es la probabilidad de que las tres mquinas estn libres a la vez?

1

2

0

331

1

0

0!

3

1!3

3

!1! n

ns

n

nss

nn

s

s

sp

0,5342706569

304

128

25

8

51

2432

125

!2

3

!1

3

!0

3

1!3

31121033

clientes 0,00722643

41791

302

1!3

3

1!2

56930443

2

0

1

s

psL

ss

q

Cul es el nmero medio de clientes en la cola?

Cul es el tiempo medio de espera en la cola?

h 00144529,035979

52

417915

302

qq

LW

Cul es el tiempo medio de espera en el sistema?

h 126445,04065

514

8

1

35979

521

qWW

Cul es el nmero medio de clientes en el sistema?

clientes0.632226813

514

4065

5145 WL

Suponga que un cajero bancario puede atender a los clientes a una velocidad promedio de diez clientes por hora. Adems, suponga que los clientes llegan a la ventanilla del cajero a una tasa promedio de 7 por hora. Se considera que las llegadas siguen la distribucin Poisson y el tiempo de servicio sigue la distribucin exponencial. Realice un anlisis acerca de la situacin actual del Banco.

Ejemplo: Servicio general o especfico

Un banco pequeo en un centro comercial tiene dos

cajeros. Uno maneja al pblico general y uno maneja

a los clientes regulares.

Cada tipo de clientes llega con una media de 20 por

hora (para una proporcin de la llegada total de 40

clientes por hora). El tiempo de servicio para ambos

cajeros promedia 2 minutos (exponencial).

El gerente del banco est considerando cambiar el

orden de atencin para permitir que cada cajero

pueda manejar ambos tipos de clientes.

Puesto que los cajeros tendran que manejar

ambos tipos de trabajos, sus eficiencias

disminuiran a un tiempo de servicio de 2.2 minutos

por cliente. Se debe cambiar al nuevo esquema

de atencin?

4.54E-05 Pr (W>t) =

1 Whwn t =

(# servers) 1 s =

(mean service rate) 30 m =

1 When t =

3.0267E-05 Prob (Wq>t) =

(mean arrival rate) 20 l =

0.666667 R =

0.066667 Wq =

0.333333 P0 =

0.1 W =

1.333333 Lq =

0.098765 P3 =

0.148148 P2 =

0.222222 P1 =

2 L =

00,1

0,2

0,3

0,4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

Number of Customers in System

Pro

ba

bili

ty

6.4082E-07 Pr (W>t) =

1 Whwn t =

(# servers) 2 s =

(mean service rate) 27.272727 m =

1 When t =

2.9905E-07 Prob (Wq>t)

(mean arrival rate) 40 l =

0.733333 R =

0.042660 Wq =

0.153846 P0 =

0.079326 W =

1.706410 Lq =

0.121344 P3 =

0.165470 P2 =

0.225641 P1 =

3.173076 L =

00,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

Number of Customers in System

Pro

ba

bili

ty

Considere una lnea de espera con dos canales con llegadas de poisson y tiempos de servicio exponenciales. La tasa media de llegada es de 14 unidades por hora, y la tasa media de servicio es de 10 unidades por hora para cada canal.

a) Cul es la probabilidad de que no haya unidades en el sistema?

b) Cul es la cantidad de unidades promedio en el sistema?

c) Cul es el tiempo promedio que espera una unidad por servicio?

d) Cul es el tiempo promedio que una unidad esta en el sistema?

e) Cul es la probabilidad de tener que esperar por el servicio?

Suponga que el sistema se expande a una operacin de tres canales.

A) Calcule las caractersticas operativas para este sistema de lnea de espera.

B) Si la meta de servicio es proporcionar capacidad suficiente de modo que no ms del 25% de los servicios tenga que esperar por servicio, es preferible el sistema de dos canales o el de tres canales?

La resolucin analtica de los sistemas se complica a medida que los sistemas se hacen ms complejos. De hecho, para muchos sistemas no existe resolucin analtica.

Ejemplo: un sistema de servidores en paralelo y en serie con mltiples canales y distribuciones generales.

En sistemas de colas complejos conviene utilizar simulaciones para su comportamiento.

Modalidad: Grupal. Escoja un lugar donde muestrear, estos pueden ser

supermercados, farmacias, bombas de bencina, fotocopiadora, sencillito, correo, u otro.

Lleve un cronmetro, papel, si quiere filmar, de tal manera de establecer las condiciones de entrada al sistema de estudio, salida y lo que ocurre en el proceso. Repita las mediciones 4 veces.

Una vez con la informacin encontrada, defina los coeficientes de estudio (,,s) y determine, en base a lo encontrado de manera prctica, analicen la lnea de espera de acuerdo a los ejemplos vistos en clases.

Realice un esquema de la lnea de espera estudiada. Descrbala y anote los datos.

Realice los clculos respectivos y suba su aplicacin al link estudio en adecca. Plazo, martes 19 de Mayo.

Sintetice su entrega en una presentacin corta con su grupo y presntela el da mircoles 20 de mayo.

Si algn integrante falta y no justifica queda con el puntaje descontado en la nota final del proyecto.

Modelar un sistema de lneas de espera aplicado a la vida real. Resolver el modelo con las herramientas bsicas de clase o/y otras. Implementar la aplicacin en FlexSim. Fecha presentacin: 23 y 24 de junio. Subir a la plataforma ADECCA, carpeta, proyecto, Informe. Debe

contener: Introduccin, marco terico, aplicacin, desarrollo aplicacin, implementacin en software de simulacin con pasos claros y anlisis de resultados, bibliografa o linkografa.

https://www.youtube.com/watch?v=I6aGowTrHh4 lineas de espera con FLEXsim https://www.youtube.com/watch?v=mpBBKGATOnc uso de flexSim

BIBLIOGRFIA EN MODELOS PROBABILSTICOS

1. Introduction to Probability Models, Ross, S.M.

Academic Press, New York, 8a. Edicin, 2002.

2. Introduction to Probability, Bertsekas,D. and

Tsitsiklis, J. Athena Scientific, 2002.

3. Applied Probability Models with Optimization

Applications, Ross, S.M. Dover Publications, Inc. New

York, 1992.

4. Modelos Estocsticos para la Gestin de Sistemas,

Gazmuri, P. Ediciones Universidad Catlica, Santiago,

1995.

5. Teora de Colas y Simulacin de Eventos Discretos,

Pazos, J., Surez, A. y Daz, R.P. Pearson, Prentice

Hall, 2003.

5.4 Cadenas de Markov en tiempo continuo.

Se desea estudiar el comportamiento de sistemas

que dependen en forma continua del tiempo:

Xt: nmero de ambulancias disponibles en el

instante t.

Xt: nmero de personas esperando ser atendidas en

el banco o en el supermercado en el instante t.

Xt: nmero de mquinas funcionando correctamente

en un taller en el instante t.

Propiedad Markoviana:

Propiedad Estacionaria

, no depende de t, slo de s.

)iX/jX(IP

)iX,tu0),u(XX/jX(IP

tst

tust

)iX/jX(IP tst

Cmo representar el proceso?

- Se necesitan las probabilidades de que ocurra

un salto de un estado a otro.

- La distribucin de los tiempos de permanencia

en un estado.

Se necesita explicitar:

i) Probabilidades de transicin pij (asumiendo

pii=0)

ii) Tasas vi de los tiempos exponenciales Ti del

tiempo de permanencia en el estado i.

Distribucin de Xt :

Estas probabilidades satisfacen:

Si existe una distribucin estacionaria:

)iX/jX(IP)t(p 0tij

jk

ijjkjkikij )t(pvpv)t(p)t(pdt

d

)t(plim ijt

j

La ecuacin diferencial anterior provee el siguiente

sistema de ecuaciones para las probabilidades

estacionarias j (de existir):

o equivalentemente el sistema:

1,...2,1j;vpv0j

jjk

jjkjkk

1,...2,1j;pvvj

jjk

kjkkjj

Ejemplo:

En el puerto de Valparaso existen N trenes

encargados de traer cargas de contenedores desde

los buques hasta una unidad de descarga. En esta

unidad existen c gras ( c < N) para descargar los

trenes.

El tiempo que le toma a una gra descargar un tren es

exponencial a tasa . Un tren deja la unidad de

descarga cuando la gra termina de atenderlo y

vuelve con una nueva carga despus de un tiempo

exponencial de tasa .

Se formula un modelo que permita obtener en el

largo plazo:

-nmero medio de trenes esperando ser atendidos

en la zona de descarga

-nmero medio de gras que se encuentran

atendiendo trenes

-fraccin del tiempo en que hay al menos una gra

desocupada

Sea Xt : El nmero de trenes que estn en la unidad de descarga (Xt {0,1,2,...,N})

Si existen 0 j c trenes en la unidad de descarga

vj= j + (N j)

Es decir, el tiempo que transcurre con j trenes en la

unidad de descarga es una v.a. Exponencial

correspondiente al mnimo entre los tiempos que

transcurren hasta que se descarga completamente un

tren de los j existentes en dicha unidad y los tiempos

que transcurren hasta que retorna uno de Nj trenes

que vuelve con carga.

Adems, las nicas posibles transiciones cuando se

deja el estado j son:

pj,j-1= j / (j + (N j ) ) j > 0

pj,j+1=( N- j ) / (j + (N j ) )

Esto es, las probabilidades que se termine de

descargar un tren antes de que vuelva uno con carga y

viceversa.

Anlogamente si c

En este caso las ecuaciones que determinan las

probabilidades estacionarias resultan

ser las siguientes: N 0 = 1 [ + ( N 1 )] = N 0 + 2 2 ... [c + ( N c ) ] C = (N ( c 1)) c-1 + c C+1 ... [c + ] N-1 = 2 N-2 + c N

)t(plim ijt

j

c N = N-1 1+ 1+...+ N = 1 As, el nmero de trenes esperando ser atendidos en la unidad de descarga es : El nmero promedio de gras atendiendo trenes

n

N

cn

)cn(

N

1cnnn

c

1n

cn

La fraccin de tiempo en que hay al menos una

gra desocupada es :

n

1c

0n

En lo que sigue Xt representa el nmero de

entidades presentes en un determinado sistema

en el instante t, cuyo tamao aumenta con la

llegada (nacimiento) de entidades o disminuye

con la salida (muerte) de entidades.

Se asume que el tiempo transcurrido hasta la

prxima llegada de una entidad es una v.a.

exponencial de tasa (j), donde j es el actual

nmero de entidades del sistema, y que el tiempo

transcurrido hasta la prxima salida de una entidad

es una v.a. exponencial de tasa (j).

Con los supuestos anteriores, {Xt}t0 es una

cadena de Markov en tiempo continuo.

En efecto, el tiempo de permanencia en un estado j

es una v.a. exponencial de tasa:

vj =(j) + (j)

y las respectivas probabilidades de transicin son:

)j()j(

)j(p

)j()j(

)j(p

1j,j

1j,j

Para un proceso de nacimiento y muerte las

probabilidades estacionarias que resultan de las

ecuaciones de equilibrio son:

201

2122010011

10

101100

)2()0()]1()1([

)1()1(

)1()1()1()0(

pvpvv

pvv

1......

)1()1()]()([

10

11

,11,111

n

nnn

nnnnnnnnn

nnnn

pvpvv

De lo anterior resultan las siguientes probabilidades

estacionarias:

0

02

01

)1()2()(

)0()1()1(

)1()2(

)2()1(

)1(

)0(

n

nn

1

0

)1()2()(

)0()1()1(1

1

n n

n