rsmusic.moy.sursmusic.moy.su/0Yagubov/qew/7140Z.pdf · ISBN 978 985-19-2583-0 Геометрия. 9 класс : самостоятельные и контрольные работы

ISBN 978985-19-2583-0

Геометрия. 9 класс : самостоятельные и контрольные работы : пособие для учителей учреждений общ. сред. образования с рус. яз. обучения / Т. В. Валаханович, В. В. Шлыков. — Минск : Аверсэв, 2017. — 96 с. : ил.

© Валаханович Т. В., Шлыков В. В., 2017© Оформление. ОДО «Аверсэв», 2017

В15

УДК 372.851.4.046.14ББК 74.262.21

УДК 372.851.4.046.14 ББК 74.262.21 В15

ISBN 978985-19-2583-0.

Подписано в печать 12.09.2017. Формат 60×84 1/16. Бумага газетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 5,58. Уч.изд. л. 3,94. Тираж 2100 экз. Заказ

Общество с дополнительной ответственностью «Аверсэв». Свидетельство о государственной регистрации издателя, изготовителя,

распространителя печатных изданий № 1/15 от 02.08.2013. Ул. Н. Олешева, 1, офис 309, 220090, Минск.

Email: [email protected]; www.aversev.byКонтакт ные телефоны: (017) 2680979, 268-08-78.

Для писем: а/я 3, 220090, Минск.УПП «Витебская областная типография».

Свидетельство о государственной регистрации издателя, изготовителя, распространителя печатных изданий № 2/19 от 26.11.2013.

Ул. Щербакова-Набережная, 4, 210015, Витебск.

12+

Справочное изданиеВалаханович Татьяна Владимировна

Шлыков Владимир Владимирович

геометрия. 9 Класссамостоятельные и контрольные работы

Пособие для учителей учреждений общего среднего образования с русским языком обучения

Ответственный за выпуск Д. Л. Дембовский

Пособие составлено в соответствии с действующей учебной программой, утверж-денной Министерством образования Республики Беларусь, и содержанием учебного пособия «Геометрия 9» автора В. В. Шлыкова.

Адресуется учителям для организации самостоятельной работы учащихся и осу-ществления контроля знаний при обучении геометрии.

Книга ранее издавалась под названием «Дидактические материалы по геометрии. 9 класс».

р е ц е н з е н тучитель математики высш. категории гос. учреждения образования

«Средняя школа № 69 г. Минска» Е. В. Яцкевич

Валаханович, т. В.

Предисловие

Данное пособие предназначено для организации самостоятельнойработы учащихся и осуществления контроля знаний при обучении их гео-метрии. Дидактические материалы составлены в соответствии с содержа-нием учебного пособия «Геометрия 9» автора В. В. Шлыкова.

В дидактических материалах приведено 13 самостоятельных работи 4 контрольные работы. Самостоятельные работы обозначены буквой Си соответствующим номером, а контрольные — буквой К. Тексты само-стоятельных работ являются ориентировочными. Учитель может вноситьв них некоторые изменения в зависимости от цели урока и наличия учеб-ного времени. Он же определяет и продолжительность каждой работы, от-водя на нее не более одного урока.

Все работы представлены в шести вариантах. Первые четыре вариантаболее легкие, чем пятый и шестой. Варианты 1–4 содержат по пять задач,соответствующих пяти уровням усвоения учебного материала, а варианты5, 6 — по три. В вариантах 5 и 6 отсутствуют задачи первого и второгоуровня. Задачи варианта 6 несколько сложнее, чем задачи варианта 5. За-дания вариантов 5 и 6 целесообразно предлагать более подготовленнымучащимся, серьезно увлекающимся математикой. Кроме того, задачи этихдвух вариантов могут быть предложены учащимся в качестве дополни-тельного задания и для работы на уроке, и для работы дома. Такой подборматериала позволит учителю организовать работу на уроке с учетом ин-дивидуальных способностей учащихся.

Для развития пространственных представлений учащихся в задачахсамостоятельных и контрольных работ используются многогранники.К ряду задач предлагаются рисунки, отличающиеся исполнением или вы-бором ракурса изображения. Переносить эти рисунки в тетрадь при вы-полнении самостоятельной или контрольной работы не обязательно, еслинайденный способ решения не предполагает введения обозначений или до-полнительных построений. Часть рисунков иллюстрирует процесс созда-ния модели новой геометрической фигуры, а часть — позволяет развиватьнавыки «чтения» графической модели. Все это направлено не только наовладение фактическим материалом, но и на общее интеллектуальноеразвитие учащихся, обладающих различным уровнем образного и логиче-ского мышления.

3

Самостоятельные работы распределены по темам параграфов следую-щим образом:

С-1. Взаимное расположение прямой и окружности. Касательнаяк окружности.

С-2. Центральные и вписанные углы.

С-3. Свойство пересекающихся хорд. Теорема о касательной и секущей.

С-4. Замечательные точки треугольника.

С-5. Окружность, вписанная в треугольник.

С-6. Окружность, описанная около треугольника.

С-7. Окружность, вписанная в четырехугольник.

С-8. Окружность, описанная около четырехугольника.

С-9. Теорема синусов.

С-10. Теорема косинусов. Решение треугольников.

С-11. Правильные многоугольники.

С-12. Длина окружности. Радианная мера угла.

С-13. Площадь круга. Площадь сектора.

В пособии содержатся тексты четырех контрольных работ по всемукурсу геометрии 9-го класса в шести вариантах:

К-1. Касательная к окружности. Центральные и вписанные углы. За-мечательные точки треугольника.

К-2. Вписанные и описанные многоугольники.

К-3. Соотношения между сторонами и углами произвольного тре-угольника.

К-4. Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга.

Контрольные работы предназначены для проведения итоговой проверкизнаний по каждой теме курса.

Задачный материал пособия построен таким образом, что позволяетосуществлять постоянное повторение всего ранее изученного.

4

Самостоятельная работа № 1

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИ.

КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ

С-1 Вариант 1

1. Прямые АF, АТ и FТ касаются окружности в точках В, С и D соответ-ственно (рис. 1, а). Укажите равенство, которое является неверным:а) АВ = АС; б) ВF = FD; в) СТ = TD; г) АС = АF.

2. Прямые проходят через точку А и касаются окружности w ( , )O Rв точках В и С. Известно, что Ð = °BAC 60 и R = 6 см. Вычислите дли-ну отрезка АО.

3. Окружность, центром которой является точка О, касается сторон АВ,ВС и АD прямоугольной трапеции АВСD. Точка Р — точка касанияокружности и стороны ВС, ОР = 6 см, ВС = 14 см. Вычислите рас-стояние между точками О и С (рис. 1, б).

4. Прямая АF — касательная к окружности, центром которой являетсяточка О, точка F — точка касания. Отрезок АО пересекает окруж-ность в точке Т. Отрезок ТF является медианой треугольника АОF.Вычислите длину отрезка касательной, если ТF = 3 см.

5

Рис. 1

Самостоятельные работы распределены по темам параграфов следую-щим образом:

С-1. Взаимное расположение прямой и окружности. Касательнаяк окружности.

С-2. Центральные и вписанные углы.

С-3. Свойство пересекающихся хорд. Теорема о касательной и секущей.

С-4. Замечательные точки треугольника.

С-5. Окружность, вписанная в треугольник.

С-6. Окружность, описанная около треугольника.

С-7. Окружность, вписанная в четырехугольник.

С-8. Окружность, описанная около четырехугольника.

С-9. Теорема синусов.

С-10. Теорема косинусов. Решение треугольников.

С-11. Правильные многоугольники.

С-12. Длина окружности. Радианная мера угла.

С-13. Площадь круга. Площадь сектора.

В пособии содержатся тексты четырех контрольных работ по всемукурсу геометрии 9-го класса в шести вариантах:

К-1. Касательная к окружности. Центральные и вписанные углы. За-мечательные точки треугольника.

К-2. Вписанные и описанные многоугольники.

К-3. Соотношения между сторонами и углами произвольного тре-угольника.

К-4. Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга.

Контрольные работы предназначены для проведения итоговой проверкизнаний по каждой теме курса.

Задачный материал пособия построен таким образом, что позволяетосуществлять постоянное повторение всего ранее изученного.

4


ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИ.

КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ


1. Прямые АF, АТ и FТ касаются окружности в точках В, С и D соответ-ственно (рис. 1, а). Укажите равенство, которое является неверным:а) АВ = АС; б) ВF = FD; в) СТ = TD; г) АС = АF.

2. Прямые проходят через точку А и касаются окружности w ( , )O Rв точках В и С. Известно, что Ð = °BAC 60 и R = 6 см. Вычислите дли-ну отрезка АО.

3. Окружность, центром которой является точка О, касается сторон АВ,ВС и АD прямоугольной трапеции АВСD. Точка Р — точка касанияокружности и стороны ВС, ОР = 6 см, ВС = 14 см. Вычислите рас-стояние между точками О и С (рис. 1, б).

4. Прямая АF — касательная к окружности, центром которой являетсяточка О, точка F — точка касания. Отрезок АО пересекает окруж-ность в точке Т. Отрезок ТF является медианой треугольника АОF.Вычислите длину отрезка касательной, если ТF = 3 см.

5

Рис. 1

5. Окружность касается всех сторон ромба АВСD, точка T — точка ка-сания окружности и прямой AD. Вычислите периметр ромба, если из-вестно, что DТ = 2 см и ВD = АD.


1. Прямые АТ, ТР и АР касаются окружности в точках С, F и B соответ-ственно (рис. 2, а). Укажите равенство, которое является неверным:а) АВ = АС; б) TC = TF; в) ТP = BP; г) PB = PF.

2. Прямые проходят через точку А и касаются окружности w ( , )O Rв точках В и С. Известно, что ОВ = 4 см и AВ = 4 3 см. Вычислитеградусную меру угла BAC.

3. Окружность, центром которой является точка О, касается сторон АВ,ВС и АD прямоугольника АВСD. Точка F — точка касания стороныАD и окружности (рис. 2, б). Вычислите длины сторон прямоугольни-ка АВСD, если ОD = 5 см, FD = 4 см.

4. Прямая АB — касательная к окружности, центром которой являетсяточка О, точка В — точка касания. Отрезок АО пересекает окруж-ность в точке F, ÐАFВ = 120°, АF = 4 см. Вычислите периметр тре-угольника АFВ.

5. Окружность касается всех сторон ромба АВСD, точка Т — точка ка-сания окружности и прямой AB. Известно, что периметр ромба равен32 см и Ð = °ABC 120 . Вычислите длину отрезка ВТ.

6

Рис. 2


1. Прямые АK, АO и OK касаются окружности в точках В, С и F соот-ветственно (рис. 3, а). Укажите равенство, которое является невер-ным: а) KВ = KF; б) OF = OC; в) AB = AС; г) АС = АK.

2. Прямые проходят через точку А и касаются окружности w ( , )O Rв точках В и С. Известно, что ОВ = 4 см и АО = 8 см. Вычислите гра-дусную меру угла BAC.

3. Окружность, центром которой является точка О, касается сторон ВС,СD и АD прямоугольной трапеции АВСD. Точка F — точка касанияокружности и стороны АD (рис. 3, б). Вычислите расстояние междуточками О и А, если известно, что АF = 12 см, СD = 18 см.

4. Прямая ВC — касательная к окружности, центром которой являетсяточка О, точка С — точка касания. Отрезок ОВ пересекает окруж-ность в точке А, ÐАСВ = 30°, АО = 2 см. Вычислите длину отрезка ка-сательной.

5. Окружность, длина диаметра которой равна 2 3 см, касается всехсторон ромба АВСD. Прямая DC касается окружности в точке P. Вы-числите периметр ромба, если известно, что DР = 1 см.

7

Рис. 3

5. Окружность касается всех сторон ромба АВСD, точка T — точка ка-сания окружности и прямой AD. Вычислите периметр ромба, если из-вестно, что DТ = 2 см и ВD = АD.


1. Прямые АТ, ТР и АР касаются окружности в точках С, F и B соответ-ственно (рис. 2, а). Укажите равенство, которое является неверным:а) АВ = АС; б) TC = TF; в) ТP = BP; г) PB = PF.

2. Прямые проходят через точку А и касаются окружности w ( , )O Rв точках В и С. Известно, что ОВ = 4 см и AВ = 4 3 см. Вычислитеградусную меру угла BAC.

3. Окружность, центром которой является точка О, касается сторон АВ,ВС и АD прямоугольника АВСD. Точка F — точка касания стороныАD и окружности (рис. 2, б). Вычислите длины сторон прямоугольни-ка АВСD, если ОD = 5 см, FD = 4 см.

4. Прямая АB — касательная к окружности, центром которой являетсяточка О, точка В — точка касания. Отрезок АО пересекает окруж-ность в точке F, ÐАFВ = 120°, АF = 4 см. Вычислите периметр тре-угольника АFВ.

5. Окружность касается всех сторон ромба АВСD, точка Т — точка ка-сания окружности и прямой AB. Известно, что периметр ромба равен32 см и Ð = °ABC 120 . Вычислите длину отрезка ВТ.

6

Рис. 2


1. Прямые АK, АO и OK касаются окружности в точках В, С и F соот-ветственно (рис. 3, а). Укажите равенство, которое является невер-ным: а) KВ = KF; б) OF = OC; в) AB = AС; г) АС = АK.

2. Прямые проходят через точку А и касаются окружности w ( , )O Rв точках В и С. Известно, что ОВ = 4 см и АО = 8 см. Вычислите гра-дусную меру угла BAC.

3. Окружность, центром которой является точка О, касается сторон ВС,СD и АD прямоугольной трапеции АВСD. Точка F — точка касанияокружности и стороны АD (рис. 3, б). Вычислите расстояние междуточками О и А, если известно, что АF = 12 см, СD = 18 см.

4. Прямая ВC — касательная к окружности, центром которой являетсяточка О, точка С — точка касания. Отрезок ОВ пересекает окруж-ность в точке А, ÐАСВ = 30°, АО = 2 см. Вычислите длину отрезка ка-сательной.

5. Окружность, длина диаметра которой равна 2 3 см, касается всехсторон ромба АВСD. Прямая DC касается окружности в точке P. Вы-числите периметр ромба, если известно, что DР = 1 см.

7

Рис. 3


1. Прямые FD, OD и OF касаются окружности в точках C, A и B соот-ветственно (рис. 4, а). Укажите равенство, которое является невер-ным: а) FC = BF; б) CD = AD; в) FB = FD; г) OB = АO.

2. Прямые проходят через точку А и касаются окружности w ( , )O Rв точках В и С. Известно, что АB = 4 3 см и АО = 8 см. Вычислитеградусную меру угла BAC.

3. Окружность, центром которой является точка О, касается сторон ВС,СD и АD прямоугольника АВСD. Точка Т — точка касания стороныСВ и окружности (рис. 4, б). Вычислите расстояние между точками Ои В, если известно, что АВ = 12 см, АD = 14 см.

4. Прямая ВC — касательная к окружности, центром которой являетсяточка А, точка С — точка касания. Отрезок АB пересекает окруж-ность в точке D, АD = DС, АВ = 8 см. Вычислите периметр треуголь-ника ВDС.

5. Окружность, центром которой является точка O, касается всех сто-рон ромба АВСD. Прямые BC и AB касаются окружности в точках Ки F соответственно. Вычислите длину стороны ромба, если периметрчетырехугольника ОКВF равен (4 4 3+ ) см, а длина радиуса окружно-сти равна 2 3 см.

8

Рис. 4


1. Окружности, длины радиусов которых равны 2 см и 4 см, касаютсявнешним образом в точке О. Общая касательная двух окружностейпроходит через точку О и пересекает другую общую касательнуюв точке Р. Вычислите расстояние между точками О и Р.

2. Две окружности касаются внешним образом в точке С и лежат поодну сторону от их общей касательной АВ (точки А и В — точки ка-сания). Вычислите длину медианы треугольника АСВ, проведенной извершины большего угла, если АВ = 10 см.

3. В угол А вписаны две касающиеся окружности w (В, ВD) и w (O, ОС),точки D и С лежат на одной стороне угла. Длина радиуса большейокружности равна 6 см, а длина отрезка АВ равна 4 см. Вычислитепериметр четырехугольника ВDСО.


1. Окружности касаются внешним образом в точке А. Общая касатель-ная двух окружностей проходит через точку А и пересекает другуюобщую касательную ВС (точки В и С — точки касания) в точке О.Вычислите расстояние между точками В и С, если известно, чтоÐАОВ = 120°, АВ = 6 см.

2. В угол А вписаны две касающиеся окружности w (В, ВС) и w (O, ОР),точки Р и С лежат на одной стороне угла, ОВ = 13 см. Вычислитедлины радиусов этих окружностей, если известно, что периметр четы-рехугольника ОРСВ равен 38 см.

3. Две окружности касаются внешним образом в точке В и лежат поодну сторону от их общей касательной АС (точки А и С — точки ка-сания). Длина хорды АВ окружности w (O, ОА) равна 4 см и ÐАОВ == 60°. Вычислите длины радиусов окружностей.

9


1. Прямые FD, OD и OF касаются окружности в точках C, A и B соот-ветственно (рис. 4, а). Укажите равенство, которое является невер-ным: а) FC = BF; б) CD = AD; в) FB = FD; г) OB = АO.

2. Прямые проходят через точку А и касаются окружности w ( , )O Rв точках В и С. Известно, что АB = 4 3 см и АО = 8 см. Вычислитеградусную меру угла BAC.

3. Окружность, центром которой является точка О, касается сторон ВС,СD и АD прямоугольника АВСD. Точка Т — точка касания стороныСВ и окружности (рис. 4, б). Вычислите расстояние между точками Ои В, если известно, что АВ = 12 см, АD = 14 см.

4. Прямая ВC — касательная к окружности, центром которой являетсяточка А, точка С — точка касания. Отрезок АB пересекает окруж-ность в точке D, АD = DС, АВ = 8 см. Вычислите периметр треуголь-ника ВDС.

5. Окружность, центром которой является точка O, касается всех сто-рон ромба АВСD. Прямые BC и AB касаются окружности в точках Ки F соответственно. Вычислите длину стороны ромба, если периметрчетырехугольника ОКВF равен (4 4 3+ ) см, а длина радиуса окружно-сти равна 2 3 см.

8

Рис. 4


1. Окружности, длины радиусов которых равны 2 см и 4 см, касаютсявнешним образом в точке О. Общая касательная двух окружностейпроходит через точку О и пересекает другую общую касательнуюв точке Р. Вычислите расстояние между точками О и Р.

2. Две окружности касаются внешним образом в точке С и лежат поодну сторону от их общей касательной АВ (точки А и В — точки ка-сания). Вычислите длину медианы треугольника АСВ, проведенной извершины большего угла, если АВ = 10 см.

3. В угол А вписаны две касающиеся окружности w (В, ВD) и w (O, ОС),точки D и С лежат на одной стороне угла. Длина радиуса большейокружности равна 6 см, а длина отрезка АВ равна 4 см. Вычислитепериметр четырехугольника ВDСО.


1. Окружности касаются внешним образом в точке А. Общая касатель-ная двух окружностей проходит через точку А и пересекает другуюобщую касательную ВС (точки В и С — точки касания) в точке О.Вычислите расстояние между точками В и С, если известно, чтоÐАОВ = 120°, АВ = 6 см.

2. В угол А вписаны две касающиеся окружности w (В, ВС) и w (O, ОР),точки Р и С лежат на одной стороне угла, ОВ = 13 см. Вычислитедлины радиусов этих окружностей, если известно, что периметр четы-рехугольника ОРСВ равен 38 см.

3. Две окружности касаются внешним образом в точке В и лежат поодну сторону от их общей касательной АС (точки А и С — точки ка-сания). Длина хорды АВ окружности w (O, ОА) равна 4 см и ÐАОВ == 60°. Вычислите длины радиусов окружностей.

9


ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ


1. На рисунке 5, а точки А, В, С и F лежат на окружности, центромкоторой является точка О. Какое из равенств является верным:

а) Ð = ÈBAC BC12

; б) Ð = ÈBOF BC12

; в) Ð = ÈBOC BC12

?

2. Вершины трапеции АВСD лежат на окружности. Верно ли, что ÐАСD == ÐАВD? Ответ поясните.

3. Вершины А, В и D параллелограмма АВСD лежат на окружности, цен-тром которой является точка О, О Î АD (рис. 5, б). Вычислите градус-ные меры углов параллелограмма, если известно, что ÐВОD = 100°.

4. Окружность касается стороны АD прямоугольника АВСD в точке Р(рис. 5, в). Вычислите градусную меру угла АВР, если ÈОТР : ÈОFP == 1 : 2.

5. Отрезок АВ — диаметр окружности, центром которой является точ-ка О. Прямая l касается окружности в точке С и пересекает луч АВ

10

Рис. 5

в точке Р. Вычислите площадь треугольника РСВ, если длина радиусаокружности равна 2 см и ÐСРВ = 30°.


1. На рисунке 6, а точки А, В и С лежат на окружности, центром кото-рой является точка О (О Î АВ). Какое из равенств является верным:

а) Ð = ÈAOC AC12

; б) Ð = ÈABD AC12

; в) Ð = ÈADB AB12

?

2. Вершины четырехугольника АВСD лежат на окружности. Верно ли,что ÐАСD = ÐАВD? Ответ поясните.

3. Вершины В и С треугольника СОВ лежат на окружности, центром ко-торой является точка О (рис. 6, б). Луч СО пересекает окружностьв точке А. Вычислите градусные меры углов треугольника СОВ, еслиизвестно, что ÈАВ = 60°.

4. Окружность касается стороны АD параллелограмма АВСD в точке Р(рис. 6, в). Вычислите градусную меру угла АВР, если известно, чтоÈОFР - ÈОТP = 120° и АВ = ВР.

5. Отрезок АС — диаметр окружности, центром которой является точ-ка О. Прямая l касается окружности в точке В и пересекает луч АСв точке К. Вычислите площадь треугольника АВК, если ÐАВК = 120°и AC = 6 см.

11

Рис. 6


ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ


1. На рисунке 5, а точки А, В, С и F лежат на окружности, центромкоторой является точка О. Какое из равенств является верным:

а) Ð = ÈBAC BC12

; б) Ð = ÈBOF BC12

; в) Ð = ÈBOC BC12

?

2. Вершины трапеции АВСD лежат на окружности. Верно ли, что ÐАСD == ÐАВD? Ответ поясните.

3. Вершины А, В и D параллелограмма АВСD лежат на окружности, цен-тром которой является точка О, О Î АD (рис. 5, б). Вычислите градус-ные меры углов параллелограмма, если известно, что ÐВОD = 100°.

4. Окружность касается стороны АD прямоугольника АВСD в точке Р(рис. 5, в). Вычислите градусную меру угла АВР, если ÈОТР : ÈОFP == 1 : 2.

5. Отрезок АВ — диаметр окружности, центром которой является точ-ка О. Прямая l касается окружности в точке С и пересекает луч АВ

10

Рис. 5

в точке Р. Вычислите площадь треугольника РСВ, если длина радиусаокружности равна 2 см и ÐСРВ = 30°.


1. На рисунке 6, а точки А, В и С лежат на окружности, центром кото-рой является точка О (О Î АВ). Какое из равенств является верным:

а) Ð = ÈAOC AC12

; б) Ð = ÈABD AC12

; в) Ð = ÈADB AB12

?

2. Вершины четырехугольника АВСD лежат на окружности. Верно ли,что ÐАСD = ÐАВD? Ответ поясните.

3. Вершины В и С треугольника СОВ лежат на окружности, центром ко-торой является точка О (рис. 6, б). Луч СО пересекает окружностьв точке А. Вычислите градусные меры углов треугольника СОВ, еслиизвестно, что ÈАВ = 60°.

4. Окружность касается стороны АD параллелограмма АВСD в точке Р(рис. 6, в). Вычислите градусную меру угла АВР, если известно, чтоÈОFР - ÈОТP = 120° и АВ = ВР.

5. Отрезок АС — диаметр окружности, центром которой является точ-ка О. Прямая l касается окружности в точке В и пересекает луч АСв точке К. Вычислите площадь треугольника АВК, если ÐАВК = 120°и AC = 6 см.

11

Рис. 6


1. На рисунке 7, а точки D, В и С лежат на окружности, центром кото-рой является точка О (О Î ВC). Какое из равенств является верным:

а) Ð = ÈCOD DC12

; б) Ð = ÈABC DC12

; в) Ð = ÈCAB CB12

?

2. Вершины трапеции АВСD лежат на окружности. Верно ли, что ÐВАС == ÐВDС? Ответ поясните.

3. Вершины С и D равнобедренной трапеции АВСD лежат на окружно-сти, центром которой является точка О, О Î СD (рис. 7, б). Окруж-ность пересекает сторону АD в точке Р. Вычислите градусные мерыуглов трапеции, если известно, что ÐСОР = 140°.

4. Окружность касается стороны СD квадрата АВСD в точке Т(рис. 7, в). Вычислите градусную меру угла ТАD, если известно, что

È = ÈOPT OFT23

.

5. Отрезок BD — диаметр окружности, центром которой является точ-ка О. Прямая l касается окружности в точке C и пересекает луч BDв точке A. Вычислите площадь треугольника АВC, если ÐDВC = 30°,а DC = 4 см.

12

Рис. 7


1. На рисунке 8, а точки А, D и В лежат на окружности, центром кото-рой является точка О (О Î АВ). Какое из равенств является верным:

а) Ð = ÈDOB DB12

; б) Ð = ÈOCB AB12

; в) Ð = ÈBAD DB12

?

2. Вершины прямоугольника АВСD лежат на окружности. Верно ли, чтоÐСАD = ÐDВС? Ответ поясните.

3. Окружность, центром которой является точка О (О Î АВ), пересека-ет сторону АС треугольника АВС в точке F и касается стороны ВСв точке В (рис. 8, б). Вычислите градусные меры острых углов тре-угольника АВС, если известно, что ÐFОB = 160°.

4. Окружность касается стороны АD трапеции АВСD в точке F (рис. 8, в),луч СF — биссектриса угла ВСD. Вычислите градусную меру углаАDC, если известно, что ÈОPF = 220°.

5. Отрезок BС — диаметр окружности, центром которой является точ-ка О. Прямая l касается окружности в точке Т и пересекает луч СВв точке A. Вычислите площадь треугольника АТC, если известно, чтодлина радиуса окружности равна 8 см и ÐОТC = 30°.

13

а

A

DO

B

C

б

A

F

OB

C

в

Рис. 8


1. На рисунке 7, а точки D, В и С лежат на окружности, центром кото-рой является точка О (О Î ВC). Какое из равенств является верным:

а) Ð = ÈCOD DC12

; б) Ð = ÈABC DC12

; в) Ð = ÈCAB CB12

?

2. Вершины трапеции АВСD лежат на окружности. Верно ли, что ÐВАС == ÐВDС? Ответ поясните.

3. Вершины С и D равнобедренной трапеции АВСD лежат на окружно-сти, центром которой является точка О, О Î СD (рис. 7, б). Окруж-ность пересекает сторону АD в точке Р. Вычислите градусные мерыуглов трапеции, если известно, что ÐСОР = 140°.

4. Окружность касается стороны СD квадрата АВСD в точке Т(рис. 7, в). Вычислите градусную меру угла ТАD, если известно, что

È = ÈOPT OFT23

.

5. Отрезок BD — диаметр окружности, центром которой является точ-ка О. Прямая l касается окружности в точке C и пересекает луч BDв точке A. Вычислите площадь треугольника АВC, если ÐDВC = 30°,а DC = 4 см.

12

Рис. 7


1. На рисунке 8, а точки А, D и В лежат на окружности, центром кото-рой является точка О (О Î АВ). Какое из равенств является верным:

а) Ð = ÈDOB DB12

; б) Ð = ÈOCB AB12

; в) Ð = ÈBAD DB12

?

2. Вершины прямоугольника АВСD лежат на окружности. Верно ли, чтоÐСАD = ÐDВС? Ответ поясните.

3. Окружность, центром которой является точка О (О Î АВ), пересека-ет сторону АС треугольника АВС в точке F и касается стороны ВСв точке В (рис. 8, б). Вычислите градусные меры острых углов тре-угольника АВС, если известно, что ÐFОB = 160°.

4. Окружность касается стороны АD трапеции АВСD в точке F (рис. 8, в),луч СF — биссектриса угла ВСD. Вычислите градусную меру углаАDC, если известно, что ÈОPF = 220°.

5. Отрезок BС — диаметр окружности, центром которой является точ-ка О. Прямая l касается окружности в точке Т и пересекает луч СВв точке A. Вычислите площадь треугольника АТC, если известно, чтодлина радиуса окружности равна 8 см и ÐОТC = 30°.

13

а

A

DO

B

C

б

A

F

OB

C

в

Рис. 8


1. Вершины треугольника АВС лежат на ок-ружности. Биссектриса угла АВС пересе-кает окружность в точке К (рис. 9). Верноли, что треугольник АКС является равно-бедренным?

2. Вершины треугольника АВС лежат на ок-ружности, центр которой принадлежит сто-роне АВ. Точка Т лежит на окружности так,что луч ВТ является биссектрисой угла АВС.Вычислите градусные меры углов треуголь-ника АВС, если известно, что ÈАТ = 50°.

3. Вершины четырехугольника АВСD лежат на окружности, центр кото-рой принадлежит отрезку АD, О = АС Ç BD. Известно, что ÐАОВ == 50°, а дуга АВ, меньшая полуокружности, в четыре раза большедуги CD. Вычислите градусные меры углов четырехугольника АВСD.


1. Отрезок АС — диаметр окружности, накоторой лежит точка В. Серединный пер-пендикуляр к отрезку АС пересекает ок-ружность в точке К. Известно, что точки Ки В лежат по разные стороны от отрезка АС.Верно ли, что ÐАСК = ÐКВС (рис. 10)?

2. Окружность, центром которой являетсяточка О, касается сторон АС и ВС тре-угольника АВС в точках Т и Р соответст-венно и пересекает отрезок ОС в точке К.Вычислите градусную меру угла ОСТ, еслиÐКРС = 40°.

3. Окружность проходит через вершины В и D параллелограмма АВСDи пересекает стороны ВС и DС в точках Р и О соответственно. Пря-мые AB и AD не являются касательными к окружности. Хорда BDменьше диаметра окружности. Известно, что ÐА = 60°, дуга ВD,меньшая полуокружности, в четыре раза больше дуги РО. Вычислитеградусную меру угла ВОD.

14

Рис. 10

Рис. 9


СВОЙСТВО ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ХОРД.ТЕОРЕМА О КАСАТЕЛЬНОЙ И СЕКУЩЕЙ


1. Окружность пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точкахЕ и Р соответственно (рис. 11, а), О = АР Ç СЕ, Т = АС Ç ВО. Ука-жите верное равенство: а) ВО · ОТ = АО · ОР; б) АО · ОР = ОС · ОЕ;в) ВЕ · ЕА = ОС · ОЕ.

2. Диагонали параллелограмма АВСD пересекаются в точке О. Верши-ны А, В и D лежат на окружности, которая пересекает отрезок ОСв точке Т (рис. 11, б). Вычислите длину отрезка АО, если известно,что ОТ = 3 см, ВD = 12 см.

3. Окружность проходит через вершины А и В треугольника АВС, каса-ется стороны АС в точке А и пересекает сторону ВС в ее середине —точке О. Вычислите длину стороны АС, если известно, что ОВ = 6 см.

4. Хорды СD и AB окружности пересекаются в точке О, СО = 4 см,ОD = 3 см, РАОС = 9 см, а отрезок АО в три раза меньше отрезка ОВ.Вычислите длину хорды DВ.

5. Вершины треугольника АВС лежат на окружности, диаметром кото-рой является отрезок СВ. Прямая l касается окружности в точке А

15

Рис. 11


1. Вершины треугольника АВС лежат на ок-ружности. Биссектриса угла АВС пересе-кает окружность в точке К (рис. 9). Верноли, что треугольник АКС является равно-бедренным?

2. Вершины треугольника АВС лежат на ок-ружности, центр которой принадлежит сто-роне АВ. Точка Т лежит на окружности так,что луч ВТ является биссектрисой угла АВС.Вычислите градусные меры углов треуголь-ника АВС, если известно, что ÈАТ = 50°.

3. Вершины четырехугольника АВСD лежат на окружности, центр кото-рой принадлежит отрезку АD, О = АС Ç BD. Известно, что ÐАОВ == 50°, а дуга АВ, меньшая полуокружности, в четыре раза большедуги CD. Вычислите градусные меры углов четырехугольника АВСD.


1. Отрезок АС — диаметр окружности, накоторой лежит точка В. Серединный пер-пендикуляр к отрезку АС пересекает ок-ружность в точке К. Известно, что точки Ки В лежат по разные стороны от отрезка АС.Верно ли, что ÐАСК = ÐКВС (рис. 10)?

2. Окружность, центром которой являетсяточка О, касается сторон АС и ВС тре-угольника АВС в точках Т и Р соответст-венно и пересекает отрезок ОС в точке К.Вычислите градусную меру угла ОСТ, еслиÐКРС = 40°.

3. Окружность проходит через вершины В и D параллелограмма АВСDи пересекает стороны ВС и DС в точках Р и О соответственно. Пря-мые AB и AD не являются касательными к окружности. Хорда BDменьше диаметра окружности. Известно, что ÐА = 60°, дуга ВD,меньшая полуокружности, в четыре раза больше дуги РО. Вычислитеградусную меру угла ВОD.

14

Рис. 10

Рис. 9


СВОЙСТВО ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ХОРД.ТЕОРЕМА О КАСАТЕЛЬНОЙ И СЕКУЩЕЙ


1. Окружность пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точкахЕ и Р соответственно (рис. 11, а), О = АР Ç СЕ, Т = АС Ç ВО. Ука-жите верное равенство: а) ВО · ОТ = АО · ОР; б) АО · ОР = ОС · ОЕ;в) ВЕ · ЕА = ОС · ОЕ.

2. Диагонали параллелограмма АВСD пересекаются в точке О. Верши-ны А, В и D лежат на окружности, которая пересекает отрезок ОСв точке Т (рис. 11, б). Вычислите длину отрезка АО, если известно,что ОТ = 3 см, ВD = 12 см.

3. Окружность проходит через вершины А и В треугольника АВС, каса-ется стороны АС в точке А и пересекает сторону ВС в ее середине —точке О. Вычислите длину стороны АС, если известно, что ОВ = 6 см.

4. Хорды СD и AB окружности пересекаются в точке О, СО = 4 см,ОD = 3 см, РАОС = 9 см, а отрезок АО в три раза меньше отрезка ОВ.Вычислите длину хорды DВ.

5. Вершины треугольника АВС лежат на окружности, диаметром кото-рой является отрезок СВ. Прямая l касается окружности в точке А

15

Рис. 11

и пересекает луч СВ в точке Т. Известно, что ТВ : ТС = 1 : 2, АТ = 3 2 см.Вычислите площадь треугольника АВТ.


1. Окружность проходит через вершины А, В и С трапеции АВСD и пере-секает сторону АD в точке Т (рис. 12, а), О = АС Ç ВТ, К = АВ Ç ОD.Укажите верное равенство: а) ВО × ОТ = DТ × ТА; б) АО × ОС = ВО ´´ ОТ; в) DО · ОК = ВО · ОТ.

2. Диагонали параллелограмма АВСD пересекаются в точке О. Верши-ны А, D и С лежат на окружности, которая пересекает отрезок ОВв точке Р (рис. 12, б). Вычислите длину отрезка ОР, если известно,что АО = 6 см, ВD = 18 см.

3. Окружность проходит через вершины А и В треугольника АВС, каса-ется стороны ВС в точке В и пересекает сторону АС в ее середине —точке О. Вычислите длину стороны АС, если известно, что ВС = 4 см.

4. Хорды CD и AB окружности пересекаются в точке O, CO = 3 см,OD = 4 см, AD = 3 см, OB AO- = 4 см. Вычислите длину хорды BC.

5. Вершины треугольника АВС лежат на окружности. Прямая l касаетсяокружности в точке А и пересекает луч СВ в точке О. Известно, чтоплощади треугольников АОВ и АОС равны 6 см2 и 15 см2 соответст-венно, а ОА = 2 6 см. Вычислите расстояние от точки А до прямой ОС.

16

аа бб

AA DDTT

BB CC

KKOO

AA

BB

CC

OO

PP

DD

Рис. 12


1. Окружность проходит через вершины А, В и D параллелограммаАВСD и пересекает сторону ВС в точке Т (рис. 13, а), О = АТ Ç ВD,P = АВ Ç ОC. Укажите верное равенство: а) ВО · ОD = CO · OP;б) CT · TB = ОA · ОТ; в) DО · BО = AО · ОТ.

2. Диагонали трапеции АВСD пересекаются в точке О. Вершины А, Ви С лежат на окружности, которая пересекает отрезок ОD в точке Т(рис. 13, б). Вычислите длину отрезка ОС, если известно, что ВD = 6 см,

ВО = ОТ = ТD, АО = 223

см.

3. Окружность проходит через вершины А и В треугольника АВС, каса-ется стороны АС в точке А и пересекает сторону ВС в ее середине —точке О. Вычислите длину стороны АС, если известно, что СВ = 8 см.

4. Хорды СD и АВ окружности пересекаются в точке О, АО : ОВ = 3 : 5,СО = 6 см, ОD = 10 см, DВ = 12 см. Вычислите периметр треугольни-ка АОС.

5. Вершины треугольника АВС лежат на окружности, диаметром кото-рой является отрезок СВ. Прямая l касается окружности в точке Аи пересекает луч СВ в точке О. Известно, что АО : ОВ = 2 : 1, а длинарадиуса окружности равна 3 см. Вычислите отношение площади тре-угольника АОВ к площади треугольника АОС.


1. Окружность проходит через вершины А и В прямоугольника АВСDи пересекает стороны ВС и АD в точках Т и Е соответственно (рис. 14, а),

17

Рис. 13

и пересекает луч СВ в точке Т. Известно, что ТВ : ТС = 1 : 2, АТ = 3 2 см.Вычислите площадь треугольника АВТ.


1. Окружность проходит через вершины А, В и С трапеции АВСD и пере-секает сторону АD в точке Т (рис. 12, а), О = АС Ç ВТ, К = АВ Ç ОD.Укажите верное равенство: а) ВО × ОТ = DТ × ТА; б) АО × ОС = ВО ´´ ОТ; в) DО · ОК = ВО · ОТ.

2. Диагонали параллелограмма АВСD пересекаются в точке О. Верши-ны А, D и С лежат на окружности, которая пересекает отрезок ОВв точке Р (рис. 12, б). Вычислите длину отрезка ОР, если известно,что АО = 6 см, ВD = 18 см.

3. Окружность проходит через вершины А и В треугольника АВС, каса-ется стороны ВС в точке В и пересекает сторону АС в ее середине —точке О. Вычислите длину стороны АС, если известно, что ВС = 4 см.

4. Хорды CD и AB окружности пересекаются в точке O, CO = 3 см,OD = 4 см, AD = 3 см, OB AO- = 4 см. Вычислите длину хорды BC.

5. Вершины треугольника АВС лежат на окружности. Прямая l касаетсяокружности в точке А и пересекает луч СВ в точке О. Известно, чтоплощади треугольников АОВ и АОС равны 6 см2 и 15 см2 соответст-венно, а ОА = 2 6 см. Вычислите расстояние от точки А до прямой ОС.

16

аа бб

AA DDTT

BB CC

KKOO

AA

BB

CC

OO

PP

DD

Рис. 12


1. Окружность проходит через вершины А, В и D параллелограммаАВСD и пересекает сторону ВС в точке Т (рис. 13, а), О = АТ Ç ВD,P = АВ Ç ОC. Укажите верное равенство: а) ВО · ОD = CO · OP;б) CT · TB = ОA · ОТ; в) DО · BО = AО · ОТ.

2. Диагонали трапеции АВСD пересекаются в точке О. Вершины А, Ви С лежат на окружности, которая пересекает отрезок ОD в точке Т(рис. 13, б). Вычислите длину отрезка ОС, если известно, что ВD = 6 см,

ВО = ОТ = ТD, АО = 223

см.

3. Окружность проходит через вершины А и В треугольника АВС, каса-ется стороны АС в точке А и пересекает сторону ВС в ее середине —точке О. Вычислите длину стороны АС, если известно, что СВ = 8 см.

4. Хорды СD и АВ окружности пересекаются в точке О, АО : ОВ = 3 : 5,СО = 6 см, ОD = 10 см, DВ = 12 см. Вычислите периметр треугольни-ка АОС.

5. Вершины треугольника АВС лежат на окружности, диаметром кото-рой является отрезок СВ. Прямая l касается окружности в точке Аи пересекает луч СВ в точке О. Известно, что АО : ОВ = 2 : 1, а длинарадиуса окружности равна 3 см. Вычислите отношение площади тре-угольника АОВ к площади треугольника АОС.


1. Окружность проходит через вершины А и В прямоугольника АВСDи пересекает стороны ВС и АD в точках Т и Е соответственно (рис. 14, а),

17

Рис. 13

О = АТ Ç ВЕ, Р = АВ Ç ОD. Укажите верное равенство: а) ВО · ОЕ == DЕ · ЕА; б) АО · ОТ = ВО · ОЕ; в) DО · ОР = АО · ОТ.

2. Диагонали трапеции АВСD пересекаются в точке О. Вершины А, Dи С лежат на окружности, которая пересекает отрезок ОВ в точке Т(рис. 14, б). Вычислите длину диагонали АС трапеции, если известно,что ОТ = ОD = 4 2 см, АО = 4 см.

3. Окружность проходит через вершины А и В треугольника АВС, каса-ется стороны ВС в точке В и пересекает сторону АС в ее середине —точке О. Вычислите длину отрезка АО, если известно, что СВ = 6 см.

4. Хорды СD и АВ окружности пересекаются в точке О, СО : ОD = 2 : 3,АО = 3 см, АВ = 11 см, DB = 5 см. Вычислите длину хорды АС.

5. Вершины треугольника АВС лежат на окружности, диаметром которойявляется отрезок ВС. Прямая l касается окружности в точке А и пере-секает луч СВ в точке Т. Известно, что АТ = 2 5 см и CB BT- = 6 см.Вычислите площадь треугольника АВС.


1. Вершины квадрата АВСD, длина стороныкоторого равна 2 см, лежат на окружности.Точка О — середина стороны ВС, луч АОпересекает окружность в точке Р. Вычис-лите длину отрезка РО.

18

а б

A D

CB

TO

BB TT CC

DDEEAA

OP

Рис. 14

Рис. 15

2. Вершины В и С прямоугольного треугольника АВС лежат на окруж-ности, которая пересекает стороны АВ и АС в точках Р и Т соответст-венно (рис. 15). Медиана СР треугольника АВС является диаметромокружности. Вычислите длину отрезка АТ, если ВС = ВР = 4 см.

3. Окружность касается катетов равнобедренного прямоугольного тре-угольника АВС и пересекает гипотенузу АС в точках Р и Т, причемРС = ТР. Точка F — точка касания окружности и стороны ВС тре-угольника. Вычислите длину радиуса окружности, если FС = 3 2 см.


1. Вершины прямоугольника АВСD лежат наокружности, длина радиуса которой равна5 см. Точка О — середина стороны ВС,луч АО пересекает окружность в точке Р.Вычислите длину отрезка РО, если извест-но, что АВ = 6 см.

2. Вершины А и В прямоугольного треуголь-ника АВС (Ð = °ABC 90 ) лежат на окружно-сти, которая пересекает стороны АС и ВСв точках О и Р соответственно (рис. 16).Отрезок ВО — медиана треугольника АВС.Вычислите длину отрезка РС, если ВО = АВ = 3 см.

3. Окружность касается боковых сторон равнобедренного треугольникаАВС и пересекает основание АС в точках Р и Т, причем РС : ТР = 1 : 2.Точка К — точка касания окружности и стороны ВС треугольника.Вычислите площадь треугольника АВС, если известно, что ВК = 3 см,ВС = 3 3 см.

19

Рис. 16

О = АТ Ç ВЕ, Р = АВ Ç ОD. Укажите верное равенство: а) ВО · ОЕ == DЕ · ЕА; б) АО · ОТ = ВО · ОЕ; в) DО · ОР = АО · ОТ.

2. Диагонали трапеции АВСD пересекаются в точке О. Вершины А, Dи С лежат на окружности, которая пересекает отрезок ОВ в точке Т(рис. 14, б). Вычислите длину диагонали АС трапеции, если известно,что ОТ = ОD = 4 2 см, АО = 4 см.

3. Окружность проходит через вершины А и В треугольника АВС, каса-ется стороны ВС в точке В и пересекает сторону АС в ее середине —точке О. Вычислите длину отрезка АО, если известно, что СВ = 6 см.

4. Хорды СD и АВ окружности пересекаются в точке О, СО : ОD = 2 : 3,АО = 3 см, АВ = 11 см, DB = 5 см. Вычислите длину хорды АС.

5. Вершины треугольника АВС лежат на окружности, диаметром которойявляется отрезок ВС. Прямая l касается окружности в точке А и пере-секает луч СВ в точке Т. Известно, что АТ = 2 5 см и CB BT- = 6 см.Вычислите площадь треугольника АВС.


1. Вершины квадрата АВСD, длина стороныкоторого равна 2 см, лежат на окружности.Точка О — середина стороны ВС, луч АОпересекает окружность в точке Р. Вычис-лите длину отрезка РО.

18

а б

A D

CB

TO

BB TT CC

DDEEAA

OP

Рис. 14

Рис. 15

2. Вершины В и С прямоугольного треугольника АВС лежат на окруж-ности, которая пересекает стороны АВ и АС в точках Р и Т соответст-венно (рис. 15). Медиана СР треугольника АВС является диаметромокружности. Вычислите длину отрезка АТ, если ВС = ВР = 4 см.

3. Окружность касается катетов равнобедренного прямоугольного тре-угольника АВС и пересекает гипотенузу АС в точках Р и Т, причемРС = ТР. Точка F — точка касания окружности и стороны ВС тре-угольника. Вычислите длину радиуса окружности, если FС = 3 2 см.


1. Вершины прямоугольника АВСD лежат наокружности, длина радиуса которой равна5 см. Точка О — середина стороны ВС,луч АО пересекает окружность в точке Р.Вычислите длину отрезка РО, если извест-но, что АВ = 6 см.

2. Вершины А и В прямоугольного треуголь-ника АВС (Ð = °ABC 90 ) лежат на окружно-сти, которая пересекает стороны АС и ВСв точках О и Р соответственно (рис. 16).Отрезок ВО — медиана треугольника АВС.Вычислите длину отрезка РС, если ВО = АВ = 3 см.

3. Окружность касается боковых сторон равнобедренного треугольникаАВС и пересекает основание АС в точках Р и Т, причем РС : ТР = 1 : 2.Точка К — точка касания окружности и стороны ВС треугольника.Вычислите площадь треугольника АВС, если известно, что ВК = 3 см,ВС = 3 3 см.

19

Рис. 16

20


ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА


1. Точка О — точка пересечения серединныхперпендикуляров к сторонам равнобедрен-ного треугольника АВС (рис. 17, а), осно-ванием которого является отрезок АС.Выберите утверждение, которое являетсяневерным: а) точка О равноудалена от вер-шин треугольника АВС; б) точка О равно-удалена от сторон AB и BC треугольникаАВС; в) точка О совпадает с точкой пере-сечения медиан треугольника АВС.

2. На рисунке 17, б изображена прямаяпризма АВСDА1В1С1D1, основанием кото-рой является ромб АВСD. Диагонали грани А1В1С1D1 пересекаютсяв точке Т (рис. 17, в). Биссектриса В1Р треугольника А1В1D1 пересе-кает диагональ А1С1 в точке О. Верно ли, что точка О является точ-кой пересечения биссектрис треугольника A1B1D1? Ответ поясните.

3. Периметр ромба АВСD равен 24 см. Серединный перпендикулярк стороне АD пересекает диагональ АС в точке О. Вычислите рас-стояние от точки О до прямой АВ, если известно, что ОD = 5 см.

4. Вершины треугольника АВС лежат на окружности так, что сторонаАС является ее диаметром. Серединный перпендикуляр к стороне ВС

Рис. 17, б, в

Рис. 17, а

пересекает сторону АС в точке О. Вычислите длину радиуса окружно-сти, если известно, что АВ = 6 см, а ÐВОС = 120°.

5. Высоты АТ и ВD треугольника АВС пересекаются в точке О. Извест-но, что ОТ = 2 см, ОD = 3 см, ÐОАD = 30°. Вычислите площадь тре-угольника АВС.


1. Биссектрисы равностороннего треугольни-ка МТР пересекаются в точке О (рис. 18,а). Выберите утверждение, которое явля-ется неверным: а) точка О равноудалена отвершин треугольника МТР; б) точка Оравноудалена от сторон треугольника МТР;в) точка О расположена на одинаковомрасстоянии от вершины Т и стороны МР.

2 . Н а р и с у н к е 1 8 , б и з о б р а ж е н к у бАВСDА1В1С1D1. Диагонали грани АА1D1Dпересекаются в точке F (рис. 18, в). Бис-сектриса DT треугольника AА1D пересека-ет диагональ АD1 в точке О. Верно ли, что точка О является точкойпересечения биссектрис треугольника AA1D? Ответ поясните.

3. Серединный перпендикуляр к стороне DC ромба ABCD пересекаетдиагональ ВD в точке О. Известно, что АО = 10 см и точка О удаленаот прямой СD на расстояние, равное 6 см. Вычислите периметр ромба.

4. Вершины треугольника АВС лежат на окружности так, что сторонаАС является ее диаметром. Серединный перпендикуляр к стороне АВпересекает сторону АС в точке О. Вычислите длину радиуса окружно-сти, если известно, что ÈАВ = ÈВС и SАВС = 4 см2.

21

Рис. 18, б, в

Рис. 18, а

20




1. Точка О — точка пересечения серединныхперпендикуляров к сторонам равнобедрен-ного треугольника АВС (рис. 17, а), осно-ванием которого является отрезок АС.Выберите утверждение, которое являетсяневерным: а) точка О равноудалена от вер-шин треугольника АВС; б) точка О равно-удалена от сторон AB и BC треугольникаАВС; в) точка О совпадает с точкой пере-сечения медиан треугольника АВС.

2. На рисунке 17, б изображена прямаяпризма АВСDА1В1С1D1, основанием кото-рой является ромб АВСD. Диагонали грани А1В1С1D1 пересекаютсяв точке Т (рис. 17, в). Биссектриса В1Р треугольника А1В1D1 пересе-кает диагональ А1С1 в точке О. Верно ли, что точка О является точ-кой пересечения биссектрис треугольника A1B1D1? Ответ поясните.

3. Периметр ромба АВСD равен 24 см. Серединный перпендикулярк стороне АD пересекает диагональ АС в точке О. Вычислите рас-стояние от точки О до прямой АВ, если известно, что ОD = 5 см.

4. Вершины треугольника АВС лежат на окружности так, что сторонаАС является ее диаметром. Серединный перпендикуляр к стороне ВС

Рис. 17, б, в

Рис. 17, а

пересекает сторону АС в точке О. Вычислите длину радиуса окружно-сти, если известно, что АВ = 6 см, а ÐВОС = 120°.

5. Высоты АТ и ВD треугольника АВС пересекаются в точке О. Извест-но, что ОТ = 2 см, ОD = 3 см, ÐОАD = 30°. Вычислите площадь тре-угольника АВС.


1. Биссектрисы равностороннего треугольни-ка МТР пересекаются в точке О (рис. 18,а). Выберите утверждение, которое явля-ется неверным: а) точка О равноудалена отвершин треугольника МТР; б) точка Оравноудалена от сторон треугольника МТР;в) точка О расположена на одинаковомрасстоянии от вершины Т и стороны МР.

2 . Н а р и с у н к е 1 8 , б и з о б р а ж е н к у бАВСDА1В1С1D1. Диагонали грани АА1D1Dпересекаются в точке F (рис. 18, в). Бис-сектриса DT треугольника AА1D пересека-ет диагональ АD1 в точке О. Верно ли, что точка О является точкойпересечения биссектрис треугольника AA1D? Ответ поясните.

3. Серединный перпендикуляр к стороне DC ромба ABCD пересекаетдиагональ ВD в точке О. Известно, что АО = 10 см и точка О удаленаот прямой СD на расстояние, равное 6 см. Вычислите периметр ромба.

4. Вершины треугольника АВС лежат на окружности так, что сторонаАС является ее диаметром. Серединный перпендикуляр к стороне АВпересекает сторону АС в точке О. Вычислите длину радиуса окружно-сти, если известно, что ÈАВ = ÈВС и SАВС = 4 см2.

21

Рис. 18, б, в

Рис. 18, а

22

5. Высоты CK и ВD треугольника АВС пересекаются в точке О. Извест-но, что ВО : ОС = 2 : 1, DС = 3 см и ÐОСD = 45°. Вычислите площадьтреугольника АВС.


1. Серединные перпендикуляры к сторонамравнобедренного прямоугольного треуголь-ника ТОК пересекаются в точке Е (рис. 19,а). Укажите утверждение, которое являетсяневерным: а) точка Е — середина отрезкаОК; б) точка Е равноудалена от вершинтреугольника ТОК; в) расстояния от точкиЕ до сторон ОТ и ТК различны.

2. На рисунке 19, б изображена прямаяпризма АВСDА1В1С1D1, грань АВСD кото-рой является ромбом. Отрезки ВD и АСпересекаются в точке Р (рис. 19, в). Бис-сектриса ВТ треугольника ВСD пересекаетдиагональ АС в точке О. Верно ли, что точка O является точкой пере-сечения биссектрис треугольника ВСD? Ответ поясните.

3. Периметр ромба АВСD равен 96 см. Серединный перпендикулярк стороне АВ пересекает диагональ АС в точке О. Вычислите рас-стояние между точками О и В, если известно, что точка О удалена отпрямой АD на расстояние, равное 5 см.

4. Вершины треугольника АВС лежат на окружности так, что сторонаАВ является ее диаметром. Серединный перпендикуляр к стороне АСпересекает сторону АВ в точке О. Вычислите длину радиуса окружно-сти, если известно, что дуга AC, которая меньше полуокружности,в 2 раза больше дуги CB и РСВО = 18 см.

Рис. 19, б, в

Рис. 19, а

5. Высоты СТ и АD треугольника АВС пересекаются в точке О. Извест-но, что ОD = 3 см, ÐАВС = 60° и ОD - ОТ = 1 см. Вычислите пло-щадь треугольника АВС.


1. Биссектрисы равнобедренного треугольни-ка АТР, основанием которого является от-резок АТ, пересекаются в точке О (рис. 20,а). Выберите утверждение, которое явля-ется неверным: а) точка О равноудалена отвершин А и Т треугольника АТР; б) точкаО равноудалена от сторон треугольникаАТР; в) точка О совпадает с точкой пересе-чения медиан треугольника АТР.

2 . Н а р и с у н к е 2 0 , б и з о б р а ж е н к у бАВСDА1В1С1D1. Диагонали грани АА1D1Dпересекаются в точке F (рис 20, в). Биссектриса DT треугольника А1D1Dпересекает диагональ АD1 в точке О. Верно ли, что точка O являетсяточкой пересечения биссектрис треугольника А1D1D? Ответ поясните.

3. Серединный перпендикуляр к стороне ВС ромба ABCD пересекаетдиагональ ВD в точке О. Известно, что АО = 5 см, а периметр ромбаравен 24 см. Вычислите длину высоты треугольника BОС, прове-денной из вершины О.

4. Вершины треугольника АВС лежат на окружности так, что сторонаВС является ее диаметром. Серединный перпендикуляр к стороне АСпересекает сторону ВС в точке О и дугу ВС в точке Т, причем точки Аи Т лежат по разные стороны от отрезка ВС. Вычислите площадь тре-

23

Рис. 20, б, в

Рис. 20, а

22

5. Высоты CK и ВD треугольника АВС пересекаются в точке О. Извест-но, что ВО : ОС = 2 : 1, DС = 3 см и ÐОСD = 45°. Вычислите площадьтреугольника АВС.


1. Серединные перпендикуляры к сторонамравнобедренного прямоугольного треуголь-ника ТОК пересекаются в точке Е (рис. 19,а). Укажите утверждение, которое являетсяневерным: а) точка Е — середина отрезкаОК; б) точка Е равноудалена от вершинтреугольника ТОК; в) расстояния от точкиЕ до сторон ОТ и ТК различны.

2. На рисунке 19, б изображена прямаяпризма АВСDА1В1С1D1, грань АВСD кото-рой является ромбом. Отрезки ВD и АСпересекаются в точке Р (рис. 19, в). Бис-сектриса ВТ треугольника ВСD пересекаетдиагональ АС в точке О. Верно ли, что точка O является точкой пере-сечения биссектрис треугольника ВСD? Ответ поясните.

3. Периметр ромба АВСD равен 96 см. Серединный перпендикулярк стороне АВ пересекает диагональ АС в точке О. Вычислите рас-стояние между точками О и В, если известно, что точка О удалена отпрямой АD на расстояние, равное 5 см.

4. Вершины треугольника АВС лежат на окружности так, что сторонаАВ является ее диаметром. Серединный перпендикуляр к стороне АСпересекает сторону АВ в точке О. Вычислите длину радиуса окружно-сти, если известно, что дуга AC, которая меньше полуокружности,в 2 раза больше дуги CB и РСВО = 18 см.

Рис. 19, б, в

Рис. 19, а

5. Высоты СТ и АD треугольника АВС пересекаются в точке О. Извест-но, что ОD = 3 см, ÐАВС = 60° и ОD - ОТ = 1 см. Вычислите пло-щадь треугольника АВС.


1. Биссектрисы равнобедренного треугольни-ка АТР, основанием которого является от-резок АТ, пересекаются в точке О (рис. 20,а). Выберите утверждение, которое явля-ется неверным: а) точка О равноудалена отвершин А и Т треугольника АТР; б) точкаО равноудалена от сторон треугольникаАТР; в) точка О совпадает с точкой пересе-чения медиан треугольника АТР.

2 . Н а р и с у н к е 2 0 , б и з о б р а ж е н к у бАВСDА1В1С1D1. Диагонали грани АА1D1Dпересекаются в точке F (рис 20, в). Биссектриса DT треугольника А1D1Dпересекает диагональ АD1 в точке О. Верно ли, что точка O являетсяточкой пересечения биссектрис треугольника А1D1D? Ответ поясните.

3. Серединный перпендикуляр к стороне ВС ромба ABCD пересекаетдиагональ ВD в точке О. Известно, что АО = 5 см, а периметр ромбаравен 24 см. Вычислите длину высоты треугольника BОС, прове-денной из вершины О.

4. Вершины треугольника АВС лежат на окружности так, что сторонаВС является ее диаметром. Серединный перпендикуляр к стороне АСпересекает сторону ВС в точке О и дугу ВС в точке Т, причем точки Аи Т лежат по разные стороны от отрезка ВС. Вычислите площадь тре-

23

Рис. 20, б, в

Рис. 20, а

угольника АВС, если известно, что ÈАВ = 90°, а расстояние от точ-ки Т до прямой ВС равно 2 2 см.

5. Высоты ВР и АD треугольника АВС пересекаются в точке О. Извест-но, что точка О — середина отрезка ВР, ВD = 2 см и ÐАОВ = 135°.Вычислите площадь треугольника АВС.


1. Диагонали ромба АВСD пересекаются в точ-ке О. Отрезок ОF — высота треугольникаАОD, P AOÎ , луч BP — биссектриса углаABD, Т = АD Ç ВР и ÐАРT = ÐАОF (рис. 21).Докажите, что треугольник АВD являетсяравносторонним.

2. Отрезок ВР — медиана равнобедренноготреугольника АВС. Серединный перпенди-куляр к стороне ВС пересекает прямую ВРв точке О. Расстояние от точки О до прямойАС равно 4 см и ÐАВС = 120°. Вычислитедлину высоты треугольника, проведенной к стороне ВС.

3. Биссектриса СТ треугольника АСD пересекает диагональ ВD квадратаАВСD в точке О. Расстояние от точки О до прямой СD равно 2 см.Вычислите площадь квадрата.


1. Точки Р, Т и Е — соответственно серединысторон ВС, СD, АD квадрата АВСD, О == ВЕ Ç АР. Докажите, что точка О являет-ся точкой пересечения высот треугольникаВАТ (рис. 22).

2. Отрезок ВР — медиана равнобедренноготреугольника АВС. Серединный перпенди-куляр к стороне ВС пересекает прямую ВРв точке О, точка Т — середина стороныВС. Расстояние от точки А до прямой ВСравно 3 3 см и ÐАВС = 120°. Вычислитепериметр треугольника РОТ.

3. Биссектриса АР треугольника АСD пересекает диагональ ВD ромбаАВСD в точке О, Т = СО Ç АD, DР = 1 см, АВ = ВD. Вычислите пери-метр ромба.

24

Рис. 21

Рис. 22

Контрольная работа № 1

КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ.ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ.


К-1 Вариант 11. Отрезок BC — гипотенуза прямоугольного треугольника АВС

(рис. 23, а). Верно ли, что прямая AB является касательной к окруж-ности w (C, AС)?

2. Диагонали прямоугольника АВСD пересекаются в точке О (рис. 23, б).Окружность, центром которой является точка О, касается сторон ВСи АD прямоугольника. Точка Р — точка касания окружности и пря-мой ВС. Верно ли, что отрезок ОР является высотой треугольникаВОС? Ответ поясните.

3. Отрезок АВ — диаметр окружности. Прямая АТ — касательная к ок-ружности, а прямая ВТ пересекает окружность в точке С. Вычислитеградусные меры углов треугольника АТС, если известно, что ÈАС = 80°.

4. Прямые AB и BC — касательные к окружности, центром которой яв-ляется точка О, точки А и С — точки касания. Окружность пересека-ет отрезок ОВ в точке Т. Докажите, что ÐBАТ = ÐТAC.

5. Вершины равностороннего треугольника АВС лежат на окружности.Точка О лежит на стороне АС и АО : ОС = 1 : 3. Луч ВО пересекаетокружность в точке Р (рис. 23, в). Вычислите длину хорды ВР, еслиизвестно, что длина стороны треугольника АВС равна 4 см.

25

Р

в

Р

Рис. 23

угольника АВС, если известно, что ÈАВ = 90°, а расстояние от точ-ки Т до прямой ВС равно 2 2 см.

5. Высоты ВР и АD треугольника АВС пересекаются в точке О. Извест-но, что точка О — середина отрезка ВР, ВD = 2 см и ÐАОВ = 135°.Вычислите площадь треугольника АВС.


1. Диагонали ромба АВСD пересекаются в точ-ке О. Отрезок ОF — высота треугольникаАОD, P AOÎ , луч BP — биссектриса углаABD, Т = АD Ç ВР и ÐАРT = ÐАОF (рис. 21).Докажите, что треугольник АВD являетсяравносторонним.

2. Отрезок ВР — медиана равнобедренноготреугольника АВС. Серединный перпенди-куляр к стороне ВС пересекает прямую ВРв точке О. Расстояние от точки О до прямойАС равно 4 см и ÐАВС = 120°. Вычислитедлину высоты треугольника, проведенной к стороне ВС.

3. Биссектриса СТ треугольника АСD пересекает диагональ ВD квадратаАВСD в точке О. Расстояние от точки О до прямой СD равно 2 см.Вычислите площадь квадрата.


1. Точки Р, Т и Е — соответственно серединысторон ВС, СD, АD квадрата АВСD, О == ВЕ Ç АР. Докажите, что точка О являет-ся точкой пересечения высот треугольникаВАТ (рис. 22).

2. Отрезок ВР — медиана равнобедренноготреугольника АВС. Серединный перпенди-куляр к стороне ВС пересекает прямую ВРв точке О, точка Т — середина стороныВС. Расстояние от точки А до прямой ВСравно 3 3 см и ÐАВС = 120°. Вычислитепериметр треугольника РОТ.

3. Биссектриса АР треугольника АСD пересекает диагональ ВD ромбаАВСD в точке О, Т = СО Ç АD, DР = 1 см, АВ = ВD. Вычислите пери-метр ромба.

24

Рис. 21

Рис. 22


КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ.ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ.


К-1 Вариант 11. Отрезок BC — гипотенуза прямоугольного треугольника АВС

(рис. 23, а). Верно ли, что прямая AB является касательной к окруж-ности w (C, AС)?

2. Диагонали прямоугольника АВСD пересекаются в точке О (рис. 23, б).Окружность, центром которой является точка О, касается сторон ВСи АD прямоугольника. Точка Р — точка касания окружности и пря-мой ВС. Верно ли, что отрезок ОР является высотой треугольникаВОС? Ответ поясните.

3. Отрезок АВ — диаметр окружности. Прямая АТ — касательная к ок-ружности, а прямая ВТ пересекает окружность в точке С. Вычислитеградусные меры углов треугольника АТС, если известно, что ÈАС = 80°.

4. Прямые AB и BC — касательные к окружности, центром которой яв-ляется точка О, точки А и С — точки касания. Окружность пересека-ет отрезок ОВ в точке Т. Докажите, что ÐBАТ = ÐТAC.

5. Вершины равностороннего треугольника АВС лежат на окружности.Точка О лежит на стороне АС и АО : ОС = 1 : 3. Луч ВО пересекаетокружность в точке Р (рис. 23, в). Вычислите длину хорды ВР, еслиизвестно, что длина стороны треугольника АВС равна 4 см.

25

Р

в

Р

Рис. 23

К-1 Вариант 2

1. АВСD — прямоугольник (рис. 24, а). Верно ли, что прямая BC явля-ется касательной к окружности w (A, AВ)?

2. Диагонали прямоугольника АВСD пересекаются в точке О (рис. 24,б). Окружность, центром которой является точка О, касается сторонАВ и СD прямоугольника. Точка K — точка касания окружностии прямой АВ. Верно ли, что отрезок OK является высотой треуголь-ника АОВ? Ответ поясните.

3. Отрезок АВ — диаметр окружности. Прямая ОА — касательнаяк окружности, а прямая ОВ пересекает окружность в точке С. Вычис-лите градусные меры углов треугольника АОС, если известно, чтоÈВС - ÈАС = 40°.

4. Прямые AB и BC — касательные к окружности, центром которой яв-ляется точка О, точки А и С — точки касания. Окружность пересека-ет отрезок ОВ в точке Т. Докажите, что ÐТAC = ÐACT.

5. Вершины квадрата АВСD лежат на окружности. Точка О лежит настороне АD и АО : OD = 1 : 3. Луч СО пересекает окружность в точ-ке Р (рис. 24, в). Вычислите длину хорды CP, если известно, что пло-щадь квадрата равна 64 см2.


1. Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке O (рис. 25, а). Вер-но ли, что прямая AC является касательной к окружности w (D, OD)?

2. Диагонали прямоугольника АВСD пересекаются в точке О (рис. 25,б). Окружность, центром которой является точка О, касается сторон

26

а б

A

B C

D

A

C

D

A

B

C

D

OO

B

KР

в

Рис. 24

BC и AD прямоугольника. Точка E — точка касания окружностии прямой AD. Верно ли, что отрезок ОЕ является высотой треуголь-ника AOD? Ответ поясните.

3. Отрезок ВС — диаметр окружности. Прямая АВ — касательнаяк окружности, а прямая АС пересекает окружность в точке D. Вычис-лите градусные меры углов треугольника ВАD, если известно, чтоÈВD = 2ÈCD.

4. Прямые BA и BC — касательные к окружности, центром которой яв-ляется точка О, точки А и С — точки касания. Окружность пересека-ет отрезок ОВ в точке Т. Докажите, что ÐBCT = ÐACT.

5. Вершины равностороннего треугольника АВС лежат на окружности.Точка О лежит на стороне АВ и AO : OB = 3 : 1. Луч СО пересекаетокружность в точке Р (рис. 25, в). Вычислите длину хорды СР, еслиизвестно, что длина стороны треугольника АВС равна 8 см.


1. Диагонали ромба АВСD пересекаются в точке P (рис. 26, а). Верноли, что прямая AC является касательной к окружности w (P, PВ)?

2. Диагонали прямоугольника АВСD пересекаются в точке О (рис. 26,б). Окружность, центром которой является точка О, касается сторонАВ и СD прямоугольника. Точка М — точка касания окружностии прямой СD. Верно ли, что отрезок ОМ является высотой треуголь-ника СOD? Ответ поясните.

3. Отрезок АВ — диаметр окружности. Прямая ТА — касательная к ок-ружности, а прямая ТВ пересекает окружность в точке С. Вычислите

27

E

в

Р

Рис. 25


1. АВСD — прямоугольник (рис. 24, а). Верно ли, что прямая BC явля-ется касательной к окружности w (A, AВ)?

2. Диагонали прямоугольника АВСD пересекаются в точке О (рис. 24,б). Окружность, центром которой является точка О, касается сторонАВ и СD прямоугольника. Точка K — точка касания окружностии прямой АВ. Верно ли, что отрезок OK является высотой треуголь-ника АОВ? Ответ поясните.

3. Отрезок АВ — диаметр окружности. Прямая ОА — касательнаяк окружности, а прямая ОВ пересекает окружность в точке С. Вычис-лите градусные меры углов треугольника АОС, если известно, чтоÈВС - ÈАС = 40°.

4. Прямые AB и BC — касательные к окружности, центром которой яв-ляется точка О, точки А и С — точки касания. Окружность пересека-ет отрезок ОВ в точке Т. Докажите, что ÐТAC = ÐACT.

5. Вершины квадрата АВСD лежат на окружности. Точка О лежит настороне АD и АО : OD = 1 : 3. Луч СО пересекает окружность в точ-ке Р (рис. 24, в). Вычислите длину хорды CP, если известно, что пло-щадь квадрата равна 64 см2.


1. Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке O (рис. 25, а). Вер-но ли, что прямая AC является касательной к окружности w (D, OD)?

2. Диагонали прямоугольника АВСD пересекаются в точке О (рис. 25,б). Окружность, центром которой является точка О, касается сторон

26

а б

A

B C

D

A

C

D

A

B

C

D

OO

B

KР

в

Рис. 24

BC и AD прямоугольника. Точка E — точка касания окружностии прямой AD. Верно ли, что отрезок ОЕ является высотой треуголь-ника AOD? Ответ поясните.

3. Отрезок ВС — диаметр окружности. Прямая АВ — касательнаяк окружности, а прямая АС пересекает окружность в точке D. Вычис-лите градусные меры углов треугольника ВАD, если известно, чтоÈВD = 2ÈCD.

4. Прямые BA и BC — касательные к окружности, центром которой яв-ляется точка О, точки А и С — точки касания. Окружность пересека-ет отрезок ОВ в точке Т. Докажите, что ÐBCT = ÐACT.

5. Вершины равностороннего треугольника АВС лежат на окружности.Точка О лежит на стороне АВ и AO : OB = 3 : 1. Луч СО пересекаетокружность в точке Р (рис. 25, в). Вычислите длину хорды СР, еслиизвестно, что длина стороны треугольника АВС равна 8 см.


1. Диагонали ромба АВСD пересекаются в точке P (рис. 26, а). Верноли, что прямая AC является касательной к окружности w (P, PВ)?

2. Диагонали прямоугольника АВСD пересекаются в точке О (рис. 26,б). Окружность, центром которой является точка О, касается сторонАВ и СD прямоугольника. Точка М — точка касания окружностии прямой СD. Верно ли, что отрезок ОМ является высотой треуголь-ника СOD? Ответ поясните.

3. Отрезок АВ — диаметр окружности. Прямая ТА — касательная к ок-ружности, а прямая ТВ пересекает окружность в точке С. Вычислите

27

E

в

Р

Рис. 25

28

градусные меры углов треугольника ТАС, если известно, что ÈВС == ÈАС + 30°.

4. Прямые AB и BC — касательные к окружности, центром которой яв-ляется точка О, точки А и С — точки касания. Окружность пересека-ет отрезок ОВ в точке Р. Докажите, что ÐBAP = ÐBCP.

5. Вершины квадрата АВСD лежат на окружности. Точка О лежит настороне АВ и АО : ОВ = 2 : 1. Луч DO пересекает окружность в точ-ке P (рис. 26, в). Вычислите длину хорды DP, если известно, что пло-щадь квадрата равна 144 см2.


1. АВСD — ромб. Биссектриса ВF треугольника АВD пересекает диаго-наль АС в точке О. Окружность, центром которой является точка О,проходит через вершины А, В и D и касается стороны ВС в точке В(рис. 27, а). Вычислите градусную меру дуги ВD меньшей полуокруж-ности.

M

в

P

Рис. 26

A F D

CB

O

A

B

C

O

Рис. 27

2. Две окружности, центрами которых являются точки А и В, касаютсявнешним образом и лежат по одну сторону от их общей касатель-ной l. Угол между прямыми l и АВ равен 30°. Известно, чтоAB = 6 см. Вычислите длину отрезка, концами которого являютсяточка касания окружностей и точка касания окружности меньшегорадиуса с прямой l.

3. Площадь равностороннего треугольника АВС равна 9 3 см2. ТочкаО лежит на стороне АВ и АО : ОВ = 1 : 2. Точки А, В и С лежат наокружности. Хорда окружности проходит через точку О и параллель-на стороне ВС (рис. 27, б). Вычислите длину этой хорды.


1. Диагонали ромба АВСD пересекаются в точке О, а биссектрисы тре-угольника АВD — в точке Т. Окружность проходит через точки Т, Ви О и касается стороны ВС в точке В (рис. 28, а). Вычислите градус-ную меру дуги ТО меньшей полуокружности.

2. Две окружности, центрами которых являются точки О и А, касаютсявнешним образом и лежат по одну сторону от их общей касательнойВС, точки В и С — точки касания. Известно, что ÐОАС = 120°, ОА == 8 см. Вычислите площадь треугольника, вершинами которого яв-ляются точки B, С и точка касания окружностей.

3. Точка О — точка пересечения медиан равнобедренного треугольникаАВС, все вершины которого лежат на окружности. Хорда окружностипроходит через точку О и параллельна стороне АС (рис. 28, б). Вычис-лите длину этой хорды, если известно, что AB BC= = 15 см, AC = 9 см.

29

TO

B C

DA

C

A

B

O

Рис. 28

28

градусные меры углов треугольника ТАС, если известно, что ÈВС == ÈАС + 30°.

4. Прямые AB и BC — касательные к окружности, центром которой яв-ляется точка О, точки А и С — точки касания. Окружность пересека-ет отрезок ОВ в точке Р. Докажите, что ÐBAP = ÐBCP.

5. Вершины квадрата АВСD лежат на окружности. Точка О лежит настороне АВ и АО : ОВ = 2 : 1. Луч DO пересекает окружность в точ-ке P (рис. 26, в). Вычислите длину хорды DP, если известно, что пло-щадь квадрата равна 144 см2.


1. АВСD — ромб. Биссектриса ВF треугольника АВD пересекает диаго-наль АС в точке О. Окружность, центром которой является точка О,проходит через вершины А, В и D и касается стороны ВС в точке В(рис. 27, а). Вычислите градусную меру дуги ВD меньшей полуокруж-ности.

M

в

P

Рис. 26

A F D

CB

O

A

B

C

O

Рис. 27

2. Две окружности, центрами которых являются точки А и В, касаютсявнешним образом и лежат по одну сторону от их общей касатель-ной l. Угол между прямыми l и АВ равен 30°. Известно, чтоAB = 6 см. Вычислите длину отрезка, концами которого являютсяточка касания окружностей и точка касания окружности меньшегорадиуса с прямой l.

3. Площадь равностороннего треугольника АВС равна 9 3 см2. ТочкаО лежит на стороне АВ и АО : ОВ = 1 : 2. Точки А, В и С лежат наокружности. Хорда окружности проходит через точку О и параллель-на стороне ВС (рис. 27, б). Вычислите длину этой хорды.


1. Диагонали ромба АВСD пересекаются в точке О, а биссектрисы тре-угольника АВD — в точке Т. Окружность проходит через точки Т, Ви О и касается стороны ВС в точке В (рис. 28, а). Вычислите градус-ную меру дуги ТО меньшей полуокружности.

2. Две окружности, центрами которых являются точки О и А, касаютсявнешним образом и лежат по одну сторону от их общей касательнойВС, точки В и С — точки касания. Известно, что ÐОАС = 120°, ОА == 8 см. Вычислите площадь треугольника, вершинами которого яв-ляются точки B, С и точка касания окружностей.

3. Точка О — точка пересечения медиан равнобедренного треугольникаАВС, все вершины которого лежат на окружности. Хорда окружностипроходит через точку О и параллельна стороне АС (рис. 28, б). Вычис-лите длину этой хорды, если известно, что AB BC= = 15 см, AC = 9 см.

29

TO

B C

DA

C

A

B

O

Рис. 28


ОКРУЖНОСТЬ, ВПИСАННАЯ В ТРЕУГОЛЬНИК


1. В угол А вписаны две касающиеся окружности. Общая касательная ок-ружностей пересекает стороны угла в точках В и С (рис. 29, а). Какоеиз утверждений является верным: а) окружность, радиус которойменьше, является вписанной в треугольник АВС; б) окружность, ра-диус которой больше, является вписанной в треугольник АВС?

2. Площадь треугольника АВС равна 36 см2, а его периметр — 18 см.Вычислите длину диаметра окружности, вписанной в треугольник АВС.

3. SАВС — тетраэдр. Длина радиуса окружности, вписанной в треуголь-ник АВС, равна 3 см (рис. 29, б, в). Вычислите длину пространст-венной ломаной ABCS.

4. Точка Т принадлежит стороне ВС прямоугольника ABCD, АТ = ADи ÐВАТ = 30°. Вычислите длину радиуса окружности, вписанной в тре-угольник АТD, если ВТ = 3 см.

5. Точка Т принадлежит стороне ВС квадрата ABCD. В треугольникАВТ вписана окружность, которая касается отрезка АТ в точке О.Известно, что длина радиуса окружности равна 1 см и АО = 3 см.

30

а б в

AB

C

B

C

S

A B

С

A

Рис. 29

Вычислите, в каком отношении, считая от точки B, точка Т делит сто-рону ВС квадрата ABCD.


1. В угол В вписаны две касающиеся окружности. Общая касательная ок-ружностей пересекает стороны угла в точках А и Т (рис. 30, а). Ка-кое из утверждений является верным: а) около окружности, радиускоторой больше, описан треугольник ВАТ; б) около окружности, радиускоторой меньше, описан треугольник ВАТ?

2. Периметр треугольника АВС равен 12 см, а длина диаметра окружности,вписанной в него, равна 6 см. Вычислите площадь треугольника АВС.

3. Все ребра правильной четырехугольной пирамиды SАВСD равны. Дли-на радиуса окружности, вписанной в треугольник ASD, равна 2 3 cм(рис. 30, б, в). Вычислите длину пространственной ломаной ADSC.

4. В ромбе ABCD АВ = ВD. Длина радиуса окружности, вписаннойв треугольник АВD, равна 2 3 см. Вычислите периметр ромба.

5. Точка Р принадлежит стороне СD квадрата ABCD. В треугольник ВРСвписана окружность, которая касается отрезка ВР в точке Т. Извест-но, что площадь квадрата равна 25 см2 и ТР = 3 см. Вычислите, в ка-ком отношении, считая от точки C, точка Р делит сторону СDквадрата ABCD.


1. В угол С вписаны две касающиеся окружности. Общая касательная ок-ружностей пересекает стороны угла в точках А и В (рис. 31, а). Какое

31

А D

S

а б в

A

B

T

S

A

B

D

C

A D

S

Рис. 30


ОКРУЖНОСТЬ, ВПИСАННАЯ В ТРЕУГОЛЬНИК


1. В угол А вписаны две касающиеся окружности. Общая касательная ок-ружностей пересекает стороны угла в точках В и С (рис. 29, а). Какоеиз утверждений является верным: а) окружность, радиус которойменьше, является вписанной в треугольник АВС; б) окружность, ра-диус которой больше, является вписанной в треугольник АВС?

2. Площадь треугольника АВС равна 36 см2, а его периметр — 18 см.Вычислите длину диаметра окружности, вписанной в треугольник АВС.

3. SАВС — тетраэдр. Длина радиуса окружности, вписанной в треуголь-ник АВС, равна 3 см (рис. 29, б, в). Вычислите длину пространст-венной ломаной ABCS.

4. Точка Т принадлежит стороне ВС прямоугольника ABCD, АТ = ADи ÐВАТ = 30°. Вычислите длину радиуса окружности, вписанной в тре-угольник АТD, если ВТ = 3 см.

5. Точка Т принадлежит стороне ВС квадрата ABCD. В треугольникАВТ вписана окружность, которая касается отрезка АТ в точке О.Известно, что длина радиуса окружности равна 1 см и АО = 3 см.

30

а б в

AB

C

B

C

S

A B

С

A

Рис. 29

Вычислите, в каком отношении, считая от точки B, точка Т делит сто-рону ВС квадрата ABCD.


1. В угол В вписаны две касающиеся окружности. Общая касательная ок-ружностей пересекает стороны угла в точках А и Т (рис. 30, а). Ка-кое из утверждений является верным: а) около окружности, радиускоторой больше, описан треугольник ВАТ; б) около окружности, радиускоторой меньше, описан треугольник ВАТ?

2. Периметр треугольника АВС равен 12 см, а длина диаметра окружности,вписанной в него, равна 6 см. Вычислите площадь треугольника АВС.

3. Все ребра правильной четырехугольной пирамиды SАВСD равны. Дли-на радиуса окружности, вписанной в треугольник ASD, равна 2 3 cм(рис. 30, б, в). Вычислите длину пространственной ломаной ADSC.

4. В ромбе ABCD АВ = ВD. Длина радиуса окружности, вписаннойв треугольник АВD, равна 2 3 см. Вычислите периметр ромба.

5. Точка Р принадлежит стороне СD квадрата ABCD. В треугольник ВРСвписана окружность, которая касается отрезка ВР в точке Т. Извест-но, что площадь квадрата равна 25 см2 и ТР = 3 см. Вычислите, в ка-ком отношении, считая от точки C, точка Р делит сторону СDквадрата ABCD.


1. В угол С вписаны две касающиеся окружности. Общая касательная ок-ружностей пересекает стороны угла в точках А и В (рис. 31, а). Какое

31

А D

S

а б в

A

B

T

S

A

B

D

C

A D

S

Рис. 30

из утверждений является верным: а) окружность, радиус которойменьше, является вписанной в треугольник АВС; б) окружность, ра-диус которой больше, является вписанной в треугольник АВС?

2. Площадь треугольника АВС равна 24 см2, а длина диаметра окружно-сти, вписанной в треугольник, равна 8 см. Вычислите периметр тре-угольника АВС.

3. SАВС — тетраэдр. Длина пространственной ломаной ASBC равна6 см (рис. 31, б). Вычислите длину радиуса окружности, вписаннойв грань SАВ тетраэдра (рис. 31, в).

4. Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СD квадратаABCD, причем ВР = DТ и Ð = °BAP 15 . Вычислите длину радиуса окруж-ности, вписанной в треугольник АРТ, если известно, что РТ = 12 см.

5. Точка Т принадлежит стороне АD квадрата ABCD. В треугольник СТDвписана окружность, которая касается отрезка СТ в точке Р. Извест-но, что длина радиуса окружности равна 1 см и ТР = 2 см. Вычислите,в каком отношении, считая от точки A, точка Т делит сторону АDквадрата ABCD.


1. В угол А вписаны две касающиеся окружности. Общая касательнаяокружностей пересекает стороны угла в точках Р и Т (рис. 32, а). Ка-кое из утверждений является верным: а) окружность, радиус которойбольше, касается всех сторон треугольника АТР; б) окружность, ра-диус которой меньше, касается всех сторон треугольника АТР?

32

в

A B

S

Рис. 31

2. Площадь треугольника АВС равна 18 см2, а полупериметр равен6 см. Вычислите длину диаметра окружности, вписанной в треуголь-ник АВС.

3. SАВСD — правильная четырехугольная пирамида, все ребра которойравны. Длина пространственной ломаной CSAD равна 18 см (рис. 32,б). Вычислите длину радиуса окружности, вписанной в грань DSC пи-рамиды (рис. 32, в).

4. Точка Р лежит на большем основании АD равнобедренной трапецииABCD. Один из углов трапеции равен 60°. Известно, что четырех-угольник РВСD является параллелограммом. Вычислите периметртреугольника АВР, если длина радиуса вписанной в него окружностиравна 3 см.

5. Точка Т принадлежит стороне АВ квадрата ABCD. В треугольникАТD вписана окружность, которая касается отрезка АD в точке О.Известно, что длина радиуса окружности равна 2 см и ОD = 6 см.Вычислите, в каком отношении, считая от точки B, точка Т делитсторону АВ квадрата ABCD.


1. АВС — равносторонний треугольник. Точки Т, Р и О — внутренниеточки отрезков AB, BC и AC соответственно, АТ = ВР = СО. Вычисли-те длину радиуса окружности, вписанной в треугольник РТО, если егопериметр равен 18 см.

2. Длина каждого ребра правильной треугольной призмы АВСА1В1С1

равна 6 см. Чему равна длина радиуса окружности, вписанной в тре-угольник АС1В (рис. 33, а, б)?

33

а б в

A

P

T

B

A D

C

SS

D C

Рис. 32

из утверждений является верным: а) окружность, радиус которойменьше, является вписанной в треугольник АВС; б) окружность, ра-диус которой больше, является вписанной в треугольник АВС?

2. Площадь треугольника АВС равна 24 см2, а длина диаметра окружно-сти, вписанной в треугольник, равна 8 см. Вычислите периметр тре-угольника АВС.

3. SАВС — тетраэдр. Длина пространственной ломаной ASBC равна6 см (рис. 31, б). Вычислите длину радиуса окружности, вписаннойв грань SАВ тетраэдра (рис. 31, в).

4. Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СD квадратаABCD, причем ВР = DТ и Ð = °BAP 15 . Вычислите длину радиуса окруж-ности, вписанной в треугольник АРТ, если известно, что РТ = 12 см.

5. Точка Т принадлежит стороне АD квадрата ABCD. В треугольник СТDвписана окружность, которая касается отрезка СТ в точке Р. Извест-но, что длина радиуса окружности равна 1 см и ТР = 2 см. Вычислите,в каком отношении, считая от точки A, точка Т делит сторону АDквадрата ABCD.


1. В угол А вписаны две касающиеся окружности. Общая касательнаяокружностей пересекает стороны угла в точках Р и Т (рис. 32, а). Ка-кое из утверждений является верным: а) окружность, радиус которойбольше, касается всех сторон треугольника АТР; б) окружность, ра-диус которой меньше, касается всех сторон треугольника АТР?

32

в

A B

S

Рис. 31

2. Площадь треугольника АВС равна 18 см2, а полупериметр равен6 см. Вычислите длину диаметра окружности, вписанной в треуголь-ник АВС.

3. SАВСD — правильная четырехугольная пирамида, все ребра которойравны. Длина пространственной ломаной CSAD равна 18 см (рис. 32,б). Вычислите длину радиуса окружности, вписанной в грань DSC пи-рамиды (рис. 32, в).

4. Точка Р лежит на большем основании АD равнобедренной трапецииABCD. Один из углов трапеции равен 60°. Известно, что четырех-угольник РВСD является параллелограммом. Вычислите периметртреугольника АВР, если длина радиуса вписанной в него окружностиравна 3 см.

5. Точка Т принадлежит стороне АВ квадрата ABCD. В треугольникАТD вписана окружность, которая касается отрезка АD в точке О.Известно, что длина радиуса окружности равна 2 см и ОD = 6 см.Вычислите, в каком отношении, считая от точки B, точка Т делитсторону АВ квадрата ABCD.


1. АВС — равносторонний треугольник. Точки Т, Р и О — внутренниеточки отрезков AB, BC и AC соответственно, АТ = ВР = СО. Вычисли-те длину радиуса окружности, вписанной в треугольник РТО, если егопериметр равен 18 см.

2. Длина каждого ребра правильной треугольной призмы АВСА1В1С1

равна 6 см. Чему равна длина радиуса окружности, вписанной в тре-угольник АС1В (рис. 33, а, б)?

33

а б в

A

P

T

B

A D

C

SS

D C

Рис. 32

3. Периметр квадрата АВСD равен 16 см. Окружность, центром кото-рой является точка О, вписана в треугольник АВС. Вычислите рас-стояния от точки О до вершин В и D квадрата.


1. ABC — равносторонний треугольник. Точки Р, Т и О лежат соответ-ственно на лучах AB, BC и CА так, что AP = BT = CO и AP > AB.Длина радиуса окружности, вписанной в треугольник РТО, равна2 3 см. Вычислите периметр треугольника PTO.

2. Длина каждого ребра правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 рав-на 4 см. Точка Р — середина ребра СС1. Чему равна длина радиусаокружности, вписанной в треугольник А1ВР (рис. 34, а, б)?

3. В прямоугольнике АВСD ÐABD = 30°. Окружность, вписанная в тре-угольник АВD, касается стороны ВD в точке О. Вычислите расстоя-ние между точками О и В, если известно, что периметр треугольникаАВD равен (6 + 2 3) см.

34

Рис. 34

аа бб

AA BB

C1C1A1A1 C1C1

B1B1

AA CC

BB

Рис. 33


ОКРУЖНОСТЬ,ОПИСАННАЯ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА


1. Хорды АВ и СD окружности пересекаются в точке О (рис. 35, а).Какой из треугольников АОС, ACB или СОВ является вписаннымв окружность?

2. Диагонали ромба АВСD пересекаются в точке О. Длина радиуса ок-ружности, описанной около треугольника АОD, равна 4 см. Вычисли-те длину стороны ромба.

3. На рисунке 35, б изображена прямая треугольная призма АВСА1В1С1.Известно, что ВС = АВ = ВВ1, ÐАВС = 100° и площадь грани ВВ1С1Сравна 16 см2. Вычислите длину радиуса окружности, описанной околотреугольника АВС (рис. 35, в).

4. Точка Р — середина стороны АD прямоугольника АВСD, у которогоАВ = 6 см, АD = 8 см. Вычислите длину радиуса окружности, описан-ной около треугольника ВРD.

5. В прямоугольном треугольнике АВС (ÐВ = 90°) АВ = 6 см, ÐА = 2ÐС.Точка Р — середина стороны АС. Около треугольника ВРС описанаокружность, центром которой является точка О. Вычислите расстоя-ние от точки О до прямой ВР.

35

A

O

D B

C

A C

B

A1 C1

B1

A C

B

a б в

Рис. 35

3. Периметр квадрата АВСD равен 16 см. Окружность, центром кото-рой является точка О, вписана в треугольник АВС. Вычислите рас-стояния от точки О до вершин В и D квадрата.


1. ABC — равносторонний треугольник. Точки Р, Т и О лежат соответ-ственно на лучах AB, BC и CА так, что AP = BT = CO и AP > AB.Длина радиуса окружности, вписанной в треугольник РТО, равна2 3 см. Вычислите периметр треугольника PTO.

2. Длина каждого ребра правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 рав-на 4 см. Точка Р — середина ребра СС1. Чему равна длина радиусаокружности, вписанной в треугольник А1ВР (рис. 34, а, б)?

3. В прямоугольнике АВСD ÐABD = 30°. Окружность, вписанная в тре-угольник АВD, касается стороны ВD в точке О. Вычислите расстоя-ние между точками О и В, если известно, что периметр треугольникаАВD равен (6 + 2 3) см.

34

Рис. 34

аа бб

AA BB

C1C1A1A1 C1C1

B1B1

AA CC

BB

Рис. 33


ОКРУЖНОСТЬ,ОПИСАННАЯ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА


1. Хорды АВ и СD окружности пересекаются в точке О (рис. 35, а).Какой из треугольников АОС, ACB или СОВ является вписаннымв окружность?

2. Диагонали ромба АВСD пересекаются в точке О. Длина радиуса ок-ружности, описанной около треугольника АОD, равна 4 см. Вычисли-те длину стороны ромба.

3. На рисунке 35, б изображена прямая треугольная призма АВСА1В1С1.Известно, что ВС = АВ = ВВ1, ÐАВС = 100° и площадь грани ВВ1С1Сравна 16 см2. Вычислите длину радиуса окружности, описанной околотреугольника АВС (рис. 35, в).

4. Точка Р — середина стороны АD прямоугольника АВСD, у которогоАВ = 6 см, АD = 8 см. Вычислите длину радиуса окружности, описан-ной около треугольника ВРD.

5. В прямоугольном треугольнике АВС (ÐВ = 90°) АВ = 6 см, ÐА = 2ÐС.Точка Р — середина стороны АС. Около треугольника ВРС описанаокружность, центром которой является точка О. Вычислите расстоя-ние от точки О до прямой ВР.

35

A

O

D B

C

A C

B

A1 C1

B1

A C

B

a б в

Рис. 35


1. Хорды АВ и СD окружности пересекаются в точке О (рис. 36, а).Около какого из треугольников BОС, ABD или ВOD описана окруж-ность?

2. В ромбе АВСD диагонали пересекаются в точке О, CD = 6 см. Вычис-лите длину радиуса окружности, описанной около треугольника АОВ.

3. На рисунке 36, б изображена прямая треугольная призма АВСА1В1С1.Известно, что АС = ВС = СС1, ÐАСВ = 40° и периметр грани АА1С1Сравен 24 см. Вычислите длину радиуса окружности, описанной околотреугольника АСВ (рис. 36, в).

4. Точка О — середина стороны АВ квадрата АВСD. Длина радиуса ок-ружности, описанной около треугольника АОС, равна 10 см. Вычис-лите периметр квадрата АВСD.

5. Отрезок СТ — медиана прямоугольного треугольника АВС, у которо-го ÐС = 90° и ÐАСТ = 60°. Центр О окружности, описанной околотреугольника ВТС, удален от прямой СВ на расстояние, равное 2 см.Вычислите площадь треугольника АВС.


1. Хорды АВ и СD окружности пересекаются в точке О (рис. 37, а). Ка-кой из треугольников BOD, AOD или СAD является вписанным в ок-ружность?

2. Диагонали ромба АВСD пересекаются в точке О, AD = 10 см. Вычис-лите длину радиуса окружности, описанной около треугольника ВОС.

36

B

D

O A

C

A

B

CA1 C1

B1

A C

B

a б в

Рис. 36

3. На рисунке 37, б изображена прямая треугольная призма АВСА1В1С1.Известно, что АС = ВС = СС1, ÐСАВ = 50° и сумма длин равных ре-бер равна 28 см. Вычислите длину радиуса окружности, описаннойоколо треугольника АСВ (рис. 37, в).

4. Точка О — середина стороны ВС прямоугольника АВСD. Вычислитедлину радиуса окружности, описанной около треугольника ВОD, еслиизвестно, что СD = 4 см и ВО = 3 см.

5. Отрезок АТ — медиана прямоугольного треугольника АВС, ÐА = 90°,АТ = АВ = 4 см. Около треугольника АТС описана окружность, цен-тром которой является точка О. Вычислите расстояние от точки О допрямой ВС.


1. Хорды АВ и СD окружности пересекаются в точке О (рис. 38, а). Околокакого из треугольников АОD, DAB или DОВ описана окружность?

37

A

C

OB

D A

CB

C1A1

B1

A C

B

a б в

Рис. 38

A

B

C

a б в

Рис. 37


1. Хорды АВ и СD окружности пересекаются в точке О (рис. 36, а).Около какого из треугольников BОС, ABD или ВOD описана окруж-ность?

2. В ромбе АВСD диагонали пересекаются в точке О, CD = 6 см. Вычис-лите длину радиуса окружности, описанной около треугольника АОВ.

3. На рисунке 36, б изображена прямая треугольная призма АВСА1В1С1.Известно, что АС = ВС = СС1, ÐАСВ = 40° и периметр грани АА1С1Сравен 24 см. Вычислите длину радиуса окружности, описанной околотреугольника АСВ (рис. 36, в).

4. Точка О — середина стороны АВ квадрата АВСD. Длина радиуса ок-ружности, описанной около треугольника АОС, равна 10 см. Вычис-лите периметр квадрата АВСD.

5. Отрезок СТ — медиана прямоугольного треугольника АВС, у которо-го ÐС = 90° и ÐАСТ = 60°. Центр О окружности, описанной околотреугольника ВТС, удален от прямой СВ на расстояние, равное 2 см.Вычислите площадь треугольника АВС.


1. Хорды АВ и СD окружности пересекаются в точке О (рис. 37, а). Ка-кой из треугольников BOD, AOD или СAD является вписанным в ок-ружность?

2. Диагонали ромба АВСD пересекаются в точке О, AD = 10 см. Вычис-лите длину радиуса окружности, описанной около треугольника ВОС.

36

B

D

O A

C

A

B

CA1 C1

B1

A C

B

a б в

Рис. 36

3. На рисунке 37, б изображена прямая треугольная призма АВСА1В1С1.Известно, что АС = ВС = СС1, ÐСАВ = 50° и сумма длин равных ре-бер равна 28 см. Вычислите длину радиуса окружности, описаннойоколо треугольника АСВ (рис. 37, в).

4. Точка О — середина стороны ВС прямоугольника АВСD. Вычислитедлину радиуса окружности, описанной около треугольника ВОD, еслиизвестно, что СD = 4 см и ВО = 3 см.

5. Отрезок АТ — медиана прямоугольного треугольника АВС, ÐА = 90°,АТ = АВ = 4 см. Около треугольника АТС описана окружность, цен-тром которой является точка О. Вычислите расстояние от точки О допрямой ВС.


1. Хорды АВ и СD окружности пересекаются в точке О (рис. 38, а). Околокакого из треугольников АОD, DAB или DОВ описана окружность?

37

A

C

OB

D A

CB

C1A1

B1

A C

B

a б в

Рис. 38

A

B

C

a б в

Рис. 37

2. Диагонали ромба АВСD пересекаются в точке О. Длина радиуса ок-ружности, описанной около треугольника СОD, равна 5 см. Вычисли-те длину стороны ромба.

3. На рисунке 38, б изображена прямая треугольная призма АВСА1В1С1.Известно, что АС = АВ = АА1, ÐАВС = 80° и сумма длин боковых реберпризмы равна 24 см. Вычислите длину радиуса окружности, описаннойоколо треугольника АВС (рис. 38, в).

4. Точка Т — середина стороны СD квадрата АВСD. Длина радиуса ок-ружности, описанной около треугольника АСТ, равна 2 10 см. Вычис-лите площадь квадрата АВСD.

5. Точка Р лежит на стороне АС прямоугольного треугольника АВС(ÐВ = 90°) так, что АР = РС, ÐАРВ = 60° и ВР = 3 см. Около тре-угольника BРС описана окружность, центром которой является точ-ка О. Вычислите расстояние от точки О до прямой АР.


1. На рисунке 39 изображена правильная тре-угольная призма АВСА1В1С1, точка О —середина ребра СС1, АВ = ВВ1 = 4 см.Вычислите длину радиуса окружности, опи-санной около треугольника А1ВО.

2. В трапеции АВСD АВ = СD, ÐCDA = 60°.Луч АС является биссектрисой угла ВАD.Докажите, что центр окружности, описан-ной около треугольника АВС, принадлежитотрезку АD.

3. Точки Т и Р — соответственно середины сторон BC и CD квадрата АВСD,О = АТ Ç ВР. Вычислите периметр квадрата, если известно, что длинарадиуса окружности, описанной около треугольника АОР, равна 4 см.


1. На рисунке 40 изображена правильная треугольная призма АВСА1В1С1,точка О — точка пересечения медиан треугольника АВС. Прямая l про-ходит через точку О и параллельна ребру АС, Т = l Ç АВ, Р = l Ç ВС.Вычислите длину радиуса окружности, описанной около треугольникаТВ1Р, если известно, что АВ = ВВ1 = 6 см.

38

A1A1 C1C1

B1B1

AA CC

BB

OO

Рис. 39

2. В прямоугольнике АВСD ÐADB = 30°. От-резок ВР — биссектриса треугольникаАВD. Докажите, что центр окружности,описанной около треугольника ВDР, при-надлежит отрезку ВС.

3. Точка Р принадлежит большему основа-нию АD трапеции АВСD. Лучи АС и ВР яв-ляются биссектрисами углов ВАD и АВСсоответственно и пересекаются в точке О.Вычислите периметр четырехугольникаАВСР, если известно, что длина радиусаокружности, описанной около треугольни-ка РОС, равна 5 см.

39

A1A1 C1C1

B1B1

ll

AA

TT OOBB

PPCC

Рис. 40

2. Диагонали ромба АВСD пересекаются в точке О. Длина радиуса ок-ружности, описанной около треугольника СОD, равна 5 см. Вычисли-те длину стороны ромба.

3. На рисунке 38, б изображена прямая треугольная призма АВСА1В1С1.Известно, что АС = АВ = АА1, ÐАВС = 80° и сумма длин боковых реберпризмы равна 24 см. Вычислите длину радиуса окружности, описаннойоколо треугольника АВС (рис. 38, в).

4. Точка Т — середина стороны СD квадрата АВСD. Длина радиуса ок-ружности, описанной около треугольника АСТ, равна 2 10 см. Вычис-лите площадь квадрата АВСD.

5. Точка Р лежит на стороне АС прямоугольного треугольника АВС(ÐВ = 90°) так, что АР = РС, ÐАРВ = 60° и ВР = 3 см. Около тре-угольника BРС описана окружность, центром которой является точ-ка О. Вычислите расстояние от точки О до прямой АР.


1. На рисунке 39 изображена правильная тре-угольная призма АВСА1В1С1, точка О —середина ребра СС1, АВ = ВВ1 = 4 см.Вычислите длину радиуса окружности, опи-санной около треугольника А1ВО.

2. В трапеции АВСD АВ = СD, ÐCDA = 60°.Луч АС является биссектрисой угла ВАD.Докажите, что центр окружности, описан-ной около треугольника АВС, принадлежитотрезку АD.

3. Точки Т и Р — соответственно середины сторон BC и CD квадрата АВСD,О = АТ Ç ВР. Вычислите периметр квадрата, если известно, что длинарадиуса окружности, описанной около треугольника АОР, равна 4 см.


1. На рисунке 40 изображена правильная треугольная призма АВСА1В1С1,точка О — точка пересечения медиан треугольника АВС. Прямая l про-ходит через точку О и параллельна ребру АС, Т = l Ç АВ, Р = l Ç ВС.Вычислите длину радиуса окружности, описанной около треугольникаТВ1Р, если известно, что АВ = ВВ1 = 6 см.

38

A1A1 C1C1

B1B1

AA CC

BB

OO

Рис. 39

2. В прямоугольнике АВСD ÐADB = 30°. От-резок ВР — биссектриса треугольникаАВD. Докажите, что центр окружности,описанной около треугольника ВDР, при-надлежит отрезку ВС.

3. Точка Р принадлежит большему основа-нию АD трапеции АВСD. Лучи АС и ВР яв-ляются биссектрисами углов ВАD и АВСсоответственно и пересекаются в точке О.Вычислите периметр четырехугольникаАВСР, если известно, что длина радиусаокружности, описанной около треугольни-ка РОС, равна 5 см.

39

A1A1 C1C1

B1B1

ll

AA

TT OOBB

PPCC

Рис. 40


ОКРУЖНОСТЬ,ВПИСАННАЯ В ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК


1. В треугольник АВС вписана окружность. Прямая l касается окружностии пересекает стороны АC и ВС треугольника в точках Р и Т соответ-ственно (рис. 41, а). Является ли четырехугольник АВТР описаннымоколо окружности?

2. В треугольнике АВС АС = 6 см, точки Р и Т — середины сторон АВи ВС соответственно. Вычислите периметр четырехугольника АРТС,если известно, что в него можно вписать окружность.

3. Окружность касается сторон АВ, ВС и АD параллелограмма АВСD.Касательная к окружности проходит через точку D и пересекает сто-рону ВС в точке Т. Известно, что ВТ = 2 см, АD = 6 см и площадьчетырехугольника АВТD равна 24 см2. Вычислите длину радиуса ок-ружности.

4. Точки Т и Р лежат соответственно на сторонах АB и ВС равносторон-него треугольника АВС, ВТ : АT = ВР : РС = 1 : 2 (рис. 41, б). Докажи-те, что в четырехугольник АTPC можно вписать окружность.

40

lT

PA C

BA

T

CB P

a б

Рис. 41

5. Точки Р и Т лежат соответственно на сторонах АВ и ВС равносторон-него треугольника АВС, АС = 6 см. Известно, что в трапецию АРТСможно вписать окружность. Вычислите площадь треугольника ВРТ.


1. В треугольник АВС вписана окружность. Прямая l касается окружностии пересекает стороны АВ и АС треугольника в точках Т и К соответст-венно (рис. 42, а). Является ли окружность вписанной в четырех-угольник КТВС?

2. В равнобедренном треугольнике АВС АВ = ВС = 10 см, точки Ти О — середины сторон АВ и ВС соответственно. Вычислите пери-метр четырехугольника АТОС, если известно, что в него можно впи-сать окружность.

3. Окружность касается сторон АВ, АD и DC параллелограмма АВСD.Касательная к окружности проходит через точку C и пересекает сто-рону AВ в точке Т. Известно, что ТC = BC = 4 см и длина радиуса ок-ружности равна 1,5 см. Вычислите площадь четырехугольника АТСD.

4. Точки О и Р лежат соответственно на сторонах АB и AС равносторон-него треугольника АВС, AP : AС = AO : AB = 1 : 3 (рис. 42, б). Дока-жите, что в четырехугольник СPOB можно вписать окружность.

5. Точки О и Т лежат соответственно на сторонах ВС и АС равносторон-него треугольника АВС. Известно, что в трапецию АТОВ можно впи-сать окружность. Вычислите, в каком отношении, считая от точки В,точка О делит сторону ВС треугольника АВС.

41

а б

l

A

B

C

T

K

P

O

B

A T

C

Рис. 42


ОКРУЖНОСТЬ,ВПИСАННАЯ В ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК


1. В треугольник АВС вписана окружность. Прямая l касается окружностии пересекает стороны АC и ВС треугольника в точках Р и Т соответ-ственно (рис. 41, а). Является ли четырехугольник АВТР описаннымоколо окружности?

2. В треугольнике АВС АС = 6 см, точки Р и Т — середины сторон АВи ВС соответственно. Вычислите периметр четырехугольника АРТС,если известно, что в него можно вписать окружность.

3. Окружность касается сторон АВ, ВС и АD параллелограмма АВСD.Касательная к окружности проходит через точку D и пересекает сто-рону ВС в точке Т. Известно, что ВТ = 2 см, АD = 6 см и площадьчетырехугольника АВТD равна 24 см2. Вычислите длину радиуса ок-ружности.

4. Точки Т и Р лежат соответственно на сторонах АB и ВС равносторон-него треугольника АВС, ВТ : АT = ВР : РС = 1 : 2 (рис. 41, б). Докажи-те, что в четырехугольник АTPC можно вписать окружность.

40

lT

PA C

BA

T

CB P

a б

Рис. 41

5. Точки Р и Т лежат соответственно на сторонах АВ и ВС равносторон-него треугольника АВС, АС = 6 см. Известно, что в трапецию АРТСможно вписать окружность. Вычислите площадь треугольника ВРТ.


1. В треугольник АВС вписана окружность. Прямая l касается окружностии пересекает стороны АВ и АС треугольника в точках Т и К соответст-венно (рис. 42, а). Является ли окружность вписанной в четырех-угольник КТВС?

2. В равнобедренном треугольнике АВС АВ = ВС = 10 см, точки Ти О — середины сторон АВ и ВС соответственно. Вычислите пери-метр четырехугольника АТОС, если известно, что в него можно впи-сать окружность.

3. Окружность касается сторон АВ, АD и DC параллелограмма АВСD.Касательная к окружности проходит через точку C и пересекает сто-рону AВ в точке Т. Известно, что ТC = BC = 4 см и длина радиуса ок-ружности равна 1,5 см. Вычислите площадь четырехугольника АТСD.

4. Точки О и Р лежат соответственно на сторонах АB и AС равносторон-него треугольника АВС, AP : AС = AO : AB = 1 : 3 (рис. 42, б). Дока-жите, что в четырехугольник СPOB можно вписать окружность.

5. Точки О и Т лежат соответственно на сторонах ВС и АС равносторон-него треугольника АВС. Известно, что в трапецию АТОВ можно впи-сать окружность. Вычислите, в каком отношении, считая от точки В,точка О делит сторону ВС треугольника АВС.

41

а б

l

A

B

C

T

K

P

O

B

A T

C

Рис. 42


1. В треугольник АВС вписана окружность. Прямая l касается окружностии пересекает стороны АВ и ВС треугольника в точках О и Р соответ-ственно (рис. 43, а). Является ли четырехугольник АОРС описаннымоколо окружности?

2. Точки Р и Т — середины сторон АВ и ВС треугольника АВС, PT == 4 см. Вычислите периметр четырехугольника АРТС, если известно,что в него можно вписать окружность.

3. Окружность касается сторон ВС, CD и АD параллелограмма АВСD.Касательная к окружности проходит через точку В и пересекает сто-рону AD в точке P. Известно, что PD = 2 см, АР = 4 см и площадьчетырехугольника РВСD равна 32 см2. Вычислите длину радиуса ок-ружности.

4. Точки Т и D лежат соответственно на сторонах AB и ВС равносторон-него треугольника АВС, AТ : AB = СD : СB = 2 : 3 (рис. 43, б). Дока-жите, что в четырехугольник AСDT можно вписать окружность.

5. Точки Р и О лежат соответственно на сторонах АВ и АС равносторон-него треугольника АВС. Известно, что в трапецию ВРОС можно впи-сать окружность и ее периметр равен 32 см. Вычислите площадьтреугольника АВС.


1. В треугольник АВС вписана окружность. Прямая l касается окружностии пересекает стороны АС и ВС треугольника в точках Т и О соответ-

42

а б

lA

C

B

P

O

A T

D

B

C

D

Рис. 43

ственно (рис. 44, а). Является ли четырехугольник АВOT описаннымоколо окружности?

2. Точки P и O — соответственно середины боковых сторон AB и BCравнобедренного треугольника АВС, OB = 4 см. Вычислите периметрчетырехугольника АРОС, если известно, что в него можно вписатьокружность.

3. Окружность касается сторон АВ, ВС и СD параллелограмма АВСD.Касательная к окружности проходит через точку А и пересекает сто-рону CD в точке Р. Известно, что длина радиуса окружности равна4 см и площадь четырехугольника ВСРА равна 40 см2. Вычислитедлину боковой стороны равнобедренной трапеции ВСРА.

4. Точки Т и Р лежат соответственно на сторонах АС и АB равносторон-него треугольника АВС, АP = АT, PB = 2АT (рис. 44, б). Докажите,что в четырехугольник BPTC можно вписать окружность.

5. Точки Р и Т лежат соответственно на сторонах АВ и ВС равносторон-него треугольника АВС. Точка Р удалена от прямой АС на расстояние,равное 2 3 см. Известно, что в трапецию АРТС можно вписать ок-ружность. Вычислите периметр треугольника РВТ.


1. Точки О, Р, Т и F — соответственно середины сторон АВ, ВС, СDи АD прямоугольника АВСD. Докажите, что в четырехугольник OPTFможно вписать окружность.

43

lO

C

T

A B

TP

A

B C

a б

Рис. 44


1. В треугольник АВС вписана окружность. Прямая l касается окружностии пересекает стороны АВ и ВС треугольника в точках О и Р соответ-ственно (рис. 43, а). Является ли четырехугольник АОРС описаннымоколо окружности?

2. Точки Р и Т — середины сторон АВ и ВС треугольника АВС, PT == 4 см. Вычислите периметр четырехугольника АРТС, если известно,что в него можно вписать окружность.

3. Окружность касается сторон ВС, CD и АD параллелограмма АВСD.Касательная к окружности проходит через точку В и пересекает сто-рону AD в точке P. Известно, что PD = 2 см, АР = 4 см и площадьчетырехугольника РВСD равна 32 см2. Вычислите длину радиуса ок-ружности.

4. Точки Т и D лежат соответственно на сторонах AB и ВС равносторон-него треугольника АВС, AТ : AB = СD : СB = 2 : 3 (рис. 43, б). Дока-жите, что в четырехугольник AСDT можно вписать окружность.

5. Точки Р и О лежат соответственно на сторонах АВ и АС равносторон-него треугольника АВС. Известно, что в трапецию ВРОС можно впи-сать окружность и ее периметр равен 32 см. Вычислите площадьтреугольника АВС.


1. В треугольник АВС вписана окружность. Прямая l касается окружностии пересекает стороны АС и ВС треугольника в точках Т и О соответ-

42

а б

lA

C

B

P

O

A T

D

B

C

D

Рис. 43

ственно (рис. 44, а). Является ли четырехугольник АВOT описаннымоколо окружности?

2. Точки P и O — соответственно середины боковых сторон AB и BCравнобедренного треугольника АВС, OB = 4 см. Вычислите периметрчетырехугольника АРОС, если известно, что в него можно вписатьокружность.

3. Окружность касается сторон АВ, ВС и СD параллелограмма АВСD.Касательная к окружности проходит через точку А и пересекает сто-рону CD в точке Р. Известно, что длина радиуса окружности равна4 см и площадь четырехугольника ВСРА равна 40 см2. Вычислитедлину боковой стороны равнобедренной трапеции ВСРА.

4. Точки Т и Р лежат соответственно на сторонах АС и АB равносторон-него треугольника АВС, АP = АT, PB = 2АT (рис. 44, б). Докажите,что в четырехугольник BPTC можно вписать окружность.

5. Точки Р и Т лежат соответственно на сторонах АВ и ВС равносторон-него треугольника АВС. Точка Р удалена от прямой АС на расстояние,равное 2 3 см. Известно, что в трапецию АРТС можно вписать ок-ружность. Вычислите периметр треугольника РВТ.


1. Точки О, Р, Т и F — соответственно середины сторон АВ, ВС, СDи АD прямоугольника АВСD. Докажите, что в четырехугольник OPTFможно вписать окружность.

43

lO

C

T

A B

TP

A

B C

a б

Рис. 44

2. Окружность касается сторон АВ, ВС и АD параллелограмма АВСD,у которого АВ = 6 см, ВС = 8 см. Касательная к окружности проходитчерез точку С и пересекает сторону АD в точке Т. Известно, что пло-щадь четырехугольника АВСТ равна 20 см2, а луч СТ является бис-сектрисой угла ВСD. Вычислите длину радиуса окружности.

3. Точки Р и Т лежат соответственно на сторонах ВС и АС равнобедрен-ного прямоугольного треугольника АВС. Известно, что в трапециюАВРТ можно вписать окружность. В каком отношении, считая от точ-ки А, точка Т делит гипотенузу АС треугольника АВС?


1. Точки О, Р, Т и F — соответственно середины сторон АВ, ВС, СDи АD равнобедренной трапеции АВСD. Докажите, что в четырех-угольник OPTF можно вписать окружность.

2. Окружность касается сторон АВ, ВС и АD параллелограмма АВСD.Касательная к окружности проходит через точку D и пересекает сто-рону ВС в точке Т. Известно, что треугольник TDC является равно-сторонним и DC = 8 см. Вычислите длины сторон трапеции АВТD.

3. Точка Р лежит на стороне ВС прямоугольника АВСD. Известно, чтолуч DP является биссектрисой угла ADC и в трапецию АВРD можновписать окружность. Вычислите, в каком отношении, считая от точ-ки А, точка касания делит сторону АD прямоугольника.

44


ОКРУЖНОСТЬ,ОПИСАННАЯ ОКОЛО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА


1. Точки Т, А, В, С и D лежат на окружности так, как показано на ри-сунке 45, а, точка О — точка пересечения отрезков АС и ВD. Какиеиз четырехугольников АТВС, АТВО, АТВD являются вписаннымив данную окружность?

2. Около четырехугольника АВСD описана окружность. Луч АС являет-ся биссектрисой угла DАВ. Вычислите градусную меру угла ВСD,если известно, что ÐВАС = 30°.

3. Отрезок АО — медиана равнобедренного треугольника АВС. Точки Ри Т принадлежат отрезкам ОВ и АВ соответственно и ÐВТР = 90°(рис. 45, б). Докажите, что около четырехугольника РОАТ можно опи-сать окружность.

4. Один из углов трапеции АВСD равен 60°. Центр окружности, описаннойоколо трапеции, принадлежит ее основанию АD, а длина радиуса окружно-сти равна 4 см. Вычислите площадь треугольника АСD.

5. Точка Т принадлежит стороне АВ прямоугольника АВСD, точка О при-надлежит диагонали ВD, ÐВDС = 30°, ВТ = 12 см, АТ = 6 см. Вычислитепериметр четырехугольника АТОD, если известно, что около него мож-но описать окружность.

45

Рис. 45

2. Окружность касается сторон АВ, ВС и АD параллелограмма АВСD,у которого АВ = 6 см, ВС = 8 см. Касательная к окружности проходитчерез точку С и пересекает сторону АD в точке Т. Известно, что пло-щадь четырехугольника АВСТ равна 20 см2, а луч СТ является бис-сектрисой угла ВСD. Вычислите длину радиуса окружности.

3. Точки Р и Т лежат соответственно на сторонах ВС и АС равнобедрен-ного прямоугольного треугольника АВС. Известно, что в трапециюАВРТ можно вписать окружность. В каком отношении, считая от точ-ки А, точка Т делит гипотенузу АС треугольника АВС?


1. Точки О, Р, Т и F — соответственно середины сторон АВ, ВС, СDи АD равнобедренной трапеции АВСD. Докажите, что в четырех-угольник OPTF можно вписать окружность.

2. Окружность касается сторон АВ, ВС и АD параллелограмма АВСD.Касательная к окружности проходит через точку D и пересекает сто-рону ВС в точке Т. Известно, что треугольник TDC является равно-сторонним и DC = 8 см. Вычислите длины сторон трапеции АВТD.

3. Точка Р лежит на стороне ВС прямоугольника АВСD. Известно, чтолуч DP является биссектрисой угла ADC и в трапецию АВРD можновписать окружность. Вычислите, в каком отношении, считая от точ-ки А, точка касания делит сторону АD прямоугольника.

44


ОКРУЖНОСТЬ,ОПИСАННАЯ ОКОЛО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА


1. Точки Т, А, В, С и D лежат на окружности так, как показано на ри-сунке 45, а, точка О — точка пересечения отрезков АС и ВD. Какиеиз четырехугольников АТВС, АТВО, АТВD являются вписаннымив данную окружность?

2. Около четырехугольника АВСD описана окружность. Луч АС являет-ся биссектрисой угла DАВ. Вычислите градусную меру угла ВСD,если известно, что ÐВАС = 30°.

3. Отрезок АО — медиана равнобедренного треугольника АВС. Точки Ри Т принадлежат отрезкам ОВ и АВ соответственно и ÐВТР = 90°(рис. 45, б). Докажите, что около четырехугольника РОАТ можно опи-сать окружность.

4. Один из углов трапеции АВСD равен 60°. Центр окружности, описаннойоколо трапеции, принадлежит ее основанию АD, а длина радиуса окружно-сти равна 4 см. Вычислите площадь треугольника АСD.

5. Точка Т принадлежит стороне АВ прямоугольника АВСD, точка О при-надлежит диагонали ВD, ÐВDС = 30°, ВТ = 12 см, АТ = 6 см. Вычислитепериметр четырехугольника АТОD, если известно, что около него мож-но описать окружность.

45

Рис. 45


1. Точки Т, А, В, С и D лежат на окружности так, как показано на ри-сунке 46, а, точка О — точка пересечения отрезков СТ и ВD. Какиеиз четырехугольников АВСТ, АВОТ, АВDТ являются вписаннымив данную окружность?

2. Около четырехугольника АВСD описана окружность. Луч ВD являет-ся биссектрисой угла СDА. Вычислите градусную меру угла СDВ,если известно, что ÐАВС = 110°.

3. Отрезок ВО — биссектриса равнобедренного треугольника АВС(рис. 46, б). Точки Р и Т принадлежат отрезкам ВС и ОС соответст-венно, ÐАВС = 80° и ÐРТС = 40°. Докажите, что около четырех-угольника ТОВР можно описать окружность.

4. Длина высоты трапеции АВСD равна 6 см. Эта высота наклоненак боковой стороне под углом, равным 30°. Центр окружности, опи-санной около трапеции, принадлежит ее основанию АD. Вычислитедлину радиуса окружности, описанной около треугольника ВСD.

5. Точка Р — середина стороны ВС квадрата АВСD, длина стороны ко-торого равна 12 см, а точка О принадлежит диагонали АС. Вычислитепериметр четырехугольника АВРО, если известно, что около негоможно описать окружность.

46

а б

A

TO

D

C

B

PT

O

A B

C

Рис. 46

47


1. Точки Р, А, В, С и D лежат на окружности так, как показано на рисун-ке 47, а, точка Т — точка пересечения отрезков АС и ВD. Какие изчетырехугольников АВDР, АТDР, АСDР являются вписанными в дан-ную окружность?

2. Около четырехугольника АВСD описана окружность. Луч СА являет-ся биссектрисой угла DCВ. Вычислите градусную меру угла ВAD, еслиизвестно, что ÐАСD = 40°.

3. Отрезок ВР — биссектриса равностороннего треугольника АВС, точ-ки О и Т принадлежат отрезкам АВ и АР соответственно и ÐАОТ == ÐВРС (рис. 47, б). Докажите, что около четырехугольника РТОВможно описать окружность.

4. Один из углов трапеции АВСD равен 120°, а ее периметр — 40 см.Центр окружности, описанной около трапеции, принадлежит ее осно-ванию АD. Вычислите длину высоты треугольника ВСD, проведеннойиз вершины С.

5. Точка Т принадлежит стороне СD прямоугольника АВСD, О Î BD,ÐОТС = 120°, ВС = 6 см, ОТ = СТ. Вычислите периметр четырех-угольника ВОТС, если известно, что около него можно описать ок-ружность.

а

A

T

P

DC

B

б

P

TO

A

B C

Рис. 47


1. Точки Т, А, В, С и D лежат на окружности так, как показано на ри-сунке 46, а, точка О — точка пересечения отрезков СТ и ВD. Какиеиз четырехугольников АВСТ, АВОТ, АВDТ являются вписаннымив данную окружность?

2. Около четырехугольника АВСD описана окружность. Луч ВD являет-ся биссектрисой угла СDА. Вычислите градусную меру угла СDВ,если известно, что ÐАВС = 110°.

3. Отрезок ВО — биссектриса равнобедренного треугольника АВС(рис. 46, б). Точки Р и Т принадлежат отрезкам ВС и ОС соответст-венно, ÐАВС = 80° и ÐРТС = 40°. Докажите, что около четырех-угольника ТОВР можно описать окружность.

4. Длина высоты трапеции АВСD равна 6 см. Эта высота наклоненак боковой стороне под углом, равным 30°. Центр окружности, опи-санной около трапеции, принадлежит ее основанию АD. Вычислитедлину радиуса окружности, описанной около треугольника ВСD.

5. Точка Р — середина стороны ВС квадрата АВСD, длина стороны ко-торого равна 12 см, а точка О принадлежит диагонали АС. Вычислитепериметр четырехугольника АВРО, если известно, что около негоможно описать окружность.

46

а б

A

TO

D

C

B

PT

O

A B

C

Рис. 46

47


1. Точки Р, А, В, С и D лежат на окружности так, как показано на рисун-ке 47, а, точка Т — точка пересечения отрезков АС и ВD. Какие изчетырехугольников АВDР, АТDР, АСDР являются вписанными в дан-ную окружность?

2. Около четырехугольника АВСD описана окружность. Луч СА являет-ся биссектрисой угла DCВ. Вычислите градусную меру угла ВAD, еслиизвестно, что ÐАСD = 40°.

3. Отрезок ВР — биссектриса равностороннего треугольника АВС, точ-ки О и Т принадлежат отрезкам АВ и АР соответственно и ÐАОТ == ÐВРС (рис. 47, б). Докажите, что около четырехугольника РТОВможно описать окружность.

4. Один из углов трапеции АВСD равен 120°, а ее периметр — 40 см.Центр окружности, описанной около трапеции, принадлежит ее осно-ванию АD. Вычислите длину высоты треугольника ВСD, проведеннойиз вершины С.

5. Точка Т принадлежит стороне СD прямоугольника АВСD, О Î BD,ÐОТС = 120°, ВС = 6 см, ОТ = СТ. Вычислите периметр четырех-угольника ВОТС, если известно, что около него можно описать ок-ружность.

а

A

T

P

DC

B

б

P

TO

A

B C

Рис. 47


1. Точки О, А, В, С и D лежат на окружности так, как показано на ри-сунке 48, а, точка Р — точка пересечения отрезков АD и ОС. Какиеиз четырехугольников АВСD, АВСР, АВСО являются вписаннымив данную окружность?

2. Около четырехугольника АВСD описана окружность. Луч ВD являет-ся биссектрисой угла АВС. Вычислите градусную меру угла ВDС,если известно, что ÐАВC = 120°.

3. Отрезок CТ — медиана равностороннего треугольника АВС, точки Ри О принадлежат отрезкам СВ и ТВ соответственно и ÐВОР = ÐТСВ(рис. 48, б). Докажите, что около четырехугольника РОТС можноописать окружность.

4. В трапеции АВСD ÐАВС = 2ÐВАD. Центр окружности, описаннойоколо трапеции, принадлежит ее основанию АD. Вычислите длиныдиагоналей трапеции, если известно, что длина радиуса окружности,описанной около треугольника АВС, равна 6 см.

5. Точка Р принадлежит стороне АD квадрата АВСD, а точка О принад-лежит диагонали АС, причем АР : АD = 1 : 3 и ОС = 20 2 см. Вычис-лите площадь четырехугольника РОСD, если известно, что около негоможно описать окружность.

48

а б

A

O

P

DC

B

Р

A

O

T

BC

Рис. 48


1. Точки Р и Т лежат соответственно на сторонах АВ и ВС треугольникаАВС, О = АТ Ç РС. Сумма градусных мер углов треугольника АВС, при-лежащих к стороне АС, равна 110°. Вычислите градусную меру углаТОС, если известно, что четырехугольник РОТВ вписан в окружность.

2. Точка Р — середина стороны АВ квадрата АВСD, а точка О принад-лежит диагонали АС и АО : ОС = 1 : 3. Докажите, что около четырех-угольника ВРОС можно описать окружность.

3. В окружность, центром которой является точка О, вписан равносто-ронний треугольник АВС. Прямая l, проходящая через точку О и па-раллельная прямой АС, пересекает окружность в точках Р и Т.Вычислите площадь четырехугольника АТРС, если известно, что АВ == 6 см.


1. Отрезок ВР — медиана равностороннего треугольника АВС, а отре-зок ВТ — биссектриса треугольника АВР, О Î ВС. Вычислите гра-дусные меры углов четырехугольника ОРТВ, если известно, что околонего можно описать окружность.

2. Отрезок АD — большее основание прямоугольной трапеции АВСD.Биссектрисы углов BСD и ADC пересекаются в точке О, луч DО пе-ресекает меньшую боковую сторону АВ трапеции в точке Т. Докажи-те, что около четырехугольника ВТОС можно описать окружность.

3. Прямоугольный треугольник АВС вписан в окружность. Хорда ВКпроходит через центр окружности, а хорда ВТ перпендикулярна сто-роне АС. Известно, что площадь четырехугольника АТКС равна24 3 см2 и ÐТВК = 30°. Вычислите длину радиуса окружности.

49


1. Точки О, А, В, С и D лежат на окружности так, как показано на ри-сунке 48, а, точка Р — точка пересечения отрезков АD и ОС. Какиеиз четырехугольников АВСD, АВСР, АВСО являются вписаннымив данную окружность?

2. Около четырехугольника АВСD описана окружность. Луч ВD являет-ся биссектрисой угла АВС. Вычислите градусную меру угла ВDС,если известно, что ÐАВC = 120°.

3. Отрезок CТ — медиана равностороннего треугольника АВС, точки Ри О принадлежат отрезкам СВ и ТВ соответственно и ÐВОР = ÐТСВ(рис. 48, б). Докажите, что около четырехугольника РОТС можноописать окружность.

4. В трапеции АВСD ÐАВС = 2ÐВАD. Центр окружности, описаннойоколо трапеции, принадлежит ее основанию АD. Вычислите длиныдиагоналей трапеции, если известно, что длина радиуса окружности,описанной около треугольника АВС, равна 6 см.

5. Точка Р принадлежит стороне АD квадрата АВСD, а точка О принад-лежит диагонали АС, причем АР : АD = 1 : 3 и ОС = 20 2 см. Вычис-лите площадь четырехугольника РОСD, если известно, что около негоможно описать окружность.

48

а б

A

O

P

DC

B

Р

A

O

T

BC

Рис. 48


1. Точки Р и Т лежат соответственно на сторонах АВ и ВС треугольникаАВС, О = АТ Ç РС. Сумма градусных мер углов треугольника АВС, при-лежащих к стороне АС, равна 110°. Вычислите градусную меру углаТОС, если известно, что четырехугольник РОТВ вписан в окружность.

2. Точка Р — середина стороны АВ квадрата АВСD, а точка О принад-лежит диагонали АС и АО : ОС = 1 : 3. Докажите, что около четырех-угольника ВРОС можно описать окружность.

3. В окружность, центром которой является точка О, вписан равносто-ронний треугольник АВС. Прямая l, проходящая через точку О и па-раллельная прямой АС, пересекает окружность в точках Р и Т.Вычислите площадь четырехугольника АТРС, если известно, что АВ == 6 см.


1. Отрезок ВР — медиана равностороннего треугольника АВС, а отре-зок ВТ — биссектриса треугольника АВР, О Î ВС. Вычислите гра-дусные меры углов четырехугольника ОРТВ, если известно, что околонего можно описать окружность.

2. Отрезок АD — большее основание прямоугольной трапеции АВСD.Биссектрисы углов BСD и ADC пересекаются в точке О, луч DО пе-ресекает меньшую боковую сторону АВ трапеции в точке Т. Докажи-те, что около четырехугольника ВТОС можно описать окружность.

3. Прямоугольный треугольник АВС вписан в окружность. Хорда ВКпроходит через центр окружности, а хорда ВТ перпендикулярна сто-роне АС. Известно, что площадь четырехугольника АТКС равна24 3 см2 и ÐТВК = 30°. Вычислите длину радиуса окружности.

49


ВПИСАННЫЕИ ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ


1. Окружность касается сторон квадрата АВСDв точках К, Р, Т и О (рис. 49). Назовите:1) четырехугольник, описанный около ок-ружности; 2) четырехугольник, вписанныйв окружность; 3) два треугольника, впи-санных в окружность.

2. Точки Т и Р лежат соответственно на сто-ронах АВ и ВС квадрата АВСD, ÐТPC == 135°. Верно ли, что около четырехуголь-ника АТРС можно описать окружность?Ответ поясните.

3. Длина стороны квадрата АВСD равна 4 см. Точка Т лежит на сторонеCD и CT = 1 см. Вычислите длину радиуса окружности, вписаннойв треугольник АТD.

4. В прямоугольнике АВСD АВ = 4 см, ВС = 5 см. Точка Р — внутрен-няя точка отрезка ВС. В четырехугольник АРСD вписана окружность.Вычислите расстояние от центра окружности до точки А.

5. В равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС) вписана окружность.Касательная l к окружности, параллельная прямой АС, пересекаетстороны АВ и ВС в точках Т и Р соответственно. Известно, что пери-метр четырехугольника АТРС равен 30 см и АС = 12 см. Вычислитедлину радиуса окружности.


1. Окружность касается сторон треугольника АВС в точках Е, Т и О. Отре-зок ВЕ пересекает окружность в точке Р (рис. 50). Назовите: 1) тре-угольник, описанный около окружности; 2) четырехугольник, вписанныйв окружность; 3) два треугольника, вписанных в окружность.

50

Рис. 49

2. Точки Т и О лежат соответственно на сто-ронах АВ и ВС равностороннего треуголь-ника АВС, ÐТОC = 120°. Верно ли, чтооколо четырехугольника АТОС можноописать окружность? Ответ поясните.

3. Длина стороны квадрата АВСD равна 8 см.Точка О лежит на стороне ВC и ВО : ОС == 3 : 1. Вычислите длину радиуса окружно-сти, вписанной в треугольник ABО.

4. В прямоугольнике АВСD ВС = 10 см. ТочкаT — внутренняя точка отрезка ВС. В четырехугольник АТСD вписанаокружность. Известно, что длина радиуса окружности равна 4 см. Вы-числите расстояние от центра окружности до точки А.

5. В равнобедренный треугольник АВС (АС = СВ) вписана окружность.Касательная l к окружности, параллельная прямой АВ, пересекаетстороны АС и ВС в точках О и Р соответственно. Известно, чтоАС = 5 см, АВ = 6 см. Вычислите периметр четырехугольника АОРВ.


1. Окружность касается сторон ромба АВСDв точках Е, Р, Т и О (рис. 51). Назовите:1) четырехугольник, описанный около ок-ружности; 2) четырехугольник, вписанныйв окружность; 3) два треугольника, впи-санных в окружность.

2. Точки Р и О лежат соответственно на кате-тах АВ и ВС равнобедренного прямоуголь-ного треугольника АВС, ÐAPО = 135°.Верно ли, что около четырехугольникаАРОС можно описать окружность? Ответпоясните.

3. Длина стороны квадрата АВСD равна 4 см. Точка Р лежит на сторонеАВ и РВ = 3АР. Вычислите длину радиуса окружности, вписаннойв треугольник РВС.

4. В прямоугольнике АВСD АВ = 6 см, ВС = 8 см. Точка Т — внутрен-няя точка отрезка ВС. В четырехугольник АВТD вписана окружность.Вычислите расстояние от центра окружности до точки D.

51

Рис. 50

Рис. 51


ВПИСАННЫЕИ ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ


1. Окружность касается сторон квадрата АВСDв точках К, Р, Т и О (рис. 49). Назовите:1) четырехугольник, описанный около ок-ружности; 2) четырехугольник, вписанныйв окружность; 3) два треугольника, впи-санных в окружность.

2. Точки Т и Р лежат соответственно на сто-ронах АВ и ВС квадрата АВСD, ÐТPC == 135°. Верно ли, что около четырехуголь-ника АТРС можно описать окружность?Ответ поясните.

3. Длина стороны квадрата АВСD равна 4 см. Точка Т лежит на сторонеCD и CT = 1 см. Вычислите длину радиуса окружности, вписаннойв треугольник АТD.

4. В прямоугольнике АВСD АВ = 4 см, ВС = 5 см. Точка Р — внутрен-няя точка отрезка ВС. В четырехугольник АРСD вписана окружность.Вычислите расстояние от центра окружности до точки А.

5. В равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС) вписана окружность.Касательная l к окружности, параллельная прямой АС, пересекаетстороны АВ и ВС в точках Т и Р соответственно. Известно, что пери-метр четырехугольника АТРС равен 30 см и АС = 12 см. Вычислитедлину радиуса окружности.


1. Окружность касается сторон треугольника АВС в точках Е, Т и О. Отре-зок ВЕ пересекает окружность в точке Р (рис. 50). Назовите: 1) тре-угольник, описанный около окружности; 2) четырехугольник, вписанныйв окружность; 3) два треугольника, вписанных в окружность.

50

Рис. 49

2. Точки Т и О лежат соответственно на сто-ронах АВ и ВС равностороннего треуголь-ника АВС, ÐТОC = 120°. Верно ли, чтооколо четырехугольника АТОС можноописать окружность? Ответ поясните.

3. Длина стороны квадрата АВСD равна 8 см.Точка О лежит на стороне ВC и ВО : ОС == 3 : 1. Вычислите длину радиуса окружно-сти, вписанной в треугольник ABО.

4. В прямоугольнике АВСD ВС = 10 см. ТочкаT — внутренняя точка отрезка ВС. В четырехугольник АТСD вписанаокружность. Известно, что длина радиуса окружности равна 4 см. Вы-числите расстояние от центра окружности до точки А.

5. В равнобедренный треугольник АВС (АС = СВ) вписана окружность.Касательная l к окружности, параллельная прямой АВ, пересекаетстороны АС и ВС в точках О и Р соответственно. Известно, чтоАС = 5 см, АВ = 6 см. Вычислите периметр четырехугольника АОРВ.


1. Окружность касается сторон ромба АВСDв точках Е, Р, Т и О (рис. 51). Назовите:1) четырехугольник, описанный около ок-ружности; 2) четырехугольник, вписанныйв окружность; 3) два треугольника, впи-санных в окружность.

2. Точки Р и О лежат соответственно на кате-тах АВ и ВС равнобедренного прямоуголь-ного треугольника АВС, ÐAPО = 135°.Верно ли, что около четырехугольникаАРОС можно описать окружность? Ответпоясните.

3. Длина стороны квадрата АВСD равна 4 см. Точка Р лежит на сторонеАВ и РВ = 3АР. Вычислите длину радиуса окружности, вписаннойв треугольник РВС.

4. В прямоугольнике АВСD АВ = 6 см, ВС = 8 см. Точка Т — внутрен-няя точка отрезка ВС. В четырехугольник АВТD вписана окружность.Вычислите расстояние от центра окружности до точки D.

51

Рис. 50

Рис. 51

5. В равнобедренный треугольник АВС (АВ = АС) вписана окружность.Касательная l к окружности, параллельная прямой ВС, пересекаетстороны АВ и АС в точках Т и О соответственно. Известно, что пери-метр четырехугольника ВТОС равен 45 см и ТО : ВС = 1 : 4. Вычис-лите длину радиуса окружности.


1. Окружность касается сторон треугольникаАВС в точках Е, Т и Р (рис. 52). Отрезок СРпересекает окружность в точке О. Назови-те: 1) треугольник, описанный около ок-ружности; 2) четырехугольник, вписанныйв окружность; 3) два треугольника, впи-санных в окружность.

2. В равнобедренном треугольнике АВС ос-нованием является отрезок АС и ÐА = 40°.Точки Т и Р лежат соответственно на сто-ронах АB и BC, так что ÐTPC = 140°. Вер-но ли, что около четырехугольника АТРC можно описать окружность?Ответ поясните.

3. Точка О лежит на стороне АD квадрата АВСD. Вычислите длину ра-диуса окружности, вписанной в треугольник АОВ, если известно, чтоOD = 2 cм и AO - OD = 4 см.

4. Длина стороны ВС прямоугольника АВСD равна 8 см. Точка Р —внутренняя точка отрезка АВ. В четырехугольник АРСD вписана ок-ружность. Расстояние между центром окружности и точкой С равно2 29 см. Вычислите длину стороны АВ прямоугольника АВСD.

5. В равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС) вписана окружность,длина радиуса которой равна 9 см. Касательная l к окружности, па-раллельная прямой АС, пересекает стороны АВ и ВС в точках Р и Тсоответственно. Известно, что ВР : РА = 1 : 3. Вычислите периметрчетырехугольника АРТС.


1. Через точку О, лежащую внутри квадрата АВСD, провели отрезки ОРи ОТ (Р Î ВС, Т Î АВ), параллельные сторонам квадрата (рис. 53, а).

52

Рис. 52

Квадрат АВСD разделили на части, как показано на рисунке 53, б.Вычислите длину радиуса окружности, описанной около четырех-угольника ТВРО (рис. 53, в), если известно, что ВР = РС = ВТ, а пе-риметр фигуры АТОРСD равен 16 см.

2. Точки Т и Р принадлежат стороне ВС прямоугольника АВСD. Острыеуглы четырехугольника АТРD равны 60°. Вычислите длины основанийчетырехугольника АТРD, если известно, что длина радиуса вписаннойв него окружности равна 3 см.

3. В прямоугольнике АВСD ВС = 3 см, АВ = 4 см. На стороне АВ как нагипотенузе построен прямоугольный треугольник ТАВ, около которогоописана окружность. В треугольник АСD вписана окружность. Вычис-лите расстояние между центрами этих окружностей.


1. Через точку О, лежащую внутри прямоугольника АВСD, провели от-резки ОР и ОТ (Р Î AD, Т Î CD), параллельные сторонам прямо-угольника (рис. 54, а). Прямоугольник АВСD разделили на части, какпоказано на рисунке 54, б. Вычислите длину радиуса окружности, опи-санной около четырехугольника РОТD (рис. 54, в), если известно, чтоточки Т и Р — середины сторон СD и АD соответственно, АВ = 6 см,а периметр фигуры АВСТОР равен 28 см.

53

Рис. 53

5. В равнобедренный треугольник АВС (АВ = АС) вписана окружность.Касательная l к окружности, параллельная прямой ВС, пересекаетстороны АВ и АС в точках Т и О соответственно. Известно, что пери-метр четырехугольника ВТОС равен 45 см и ТО : ВС = 1 : 4. Вычис-лите длину радиуса окружности.


1. Окружность касается сторон треугольникаАВС в точках Е, Т и Р (рис. 52). Отрезок СРпересекает окружность в точке О. Назови-те: 1) треугольник, описанный около ок-ружности; 2) четырехугольник, вписанныйв окружность; 3) два треугольника, впи-санных в окружность.

2. В равнобедренном треугольнике АВС ос-нованием является отрезок АС и ÐА = 40°.Точки Т и Р лежат соответственно на сто-ронах АB и BC, так что ÐTPC = 140°. Вер-но ли, что около четырехугольника АТРC можно описать окружность?Ответ поясните.

3. Точка О лежит на стороне АD квадрата АВСD. Вычислите длину ра-диуса окружности, вписанной в треугольник АОВ, если известно, чтоOD = 2 cм и AO - OD = 4 см.

4. Длина стороны ВС прямоугольника АВСD равна 8 см. Точка Р —внутренняя точка отрезка АВ. В четырехугольник АРСD вписана ок-ружность. Расстояние между центром окружности и точкой С равно2 29 см. Вычислите длину стороны АВ прямоугольника АВСD.

5. В равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС) вписана окружность,длина радиуса которой равна 9 см. Касательная l к окружности, па-раллельная прямой АС, пересекает стороны АВ и ВС в точках Р и Тсоответственно. Известно, что ВР : РА = 1 : 3. Вычислите периметрчетырехугольника АРТС.


1. Через точку О, лежащую внутри квадрата АВСD, провели отрезки ОРи ОТ (Р Î ВС, Т Î АВ), параллельные сторонам квадрата (рис. 53, а).

52

Рис. 52

Квадрат АВСD разделили на части, как показано на рисунке 53, б.Вычислите длину радиуса окружности, описанной около четырех-угольника ТВРО (рис. 53, в), если известно, что ВР = РС = ВТ, а пе-риметр фигуры АТОРСD равен 16 см.

2. Точки Т и Р принадлежат стороне ВС прямоугольника АВСD. Острыеуглы четырехугольника АТРD равны 60°. Вычислите длины основанийчетырехугольника АТРD, если известно, что длина радиуса вписаннойв него окружности равна 3 см.

3. В прямоугольнике АВСD ВС = 3 см, АВ = 4 см. На стороне АВ как нагипотенузе построен прямоугольный треугольник ТАВ, около которогоописана окружность. В треугольник АСD вписана окружность. Вычис-лите расстояние между центрами этих окружностей.


1. Через точку О, лежащую внутри прямоугольника АВСD, провели от-резки ОР и ОТ (Р Î AD, Т Î CD), параллельные сторонам прямо-угольника (рис. 54, а). Прямоугольник АВСD разделили на части, какпоказано на рисунке 54, б. Вычислите длину радиуса окружности, опи-санной около четырехугольника РОТD (рис. 54, в), если известно, чтоточки Т и Р — середины сторон СD и АD соответственно, АВ = 6 см,а периметр фигуры АВСТОР равен 28 см.

53

Рис. 53

2. Точки О и Т принадлежат стороне ВС прямоугольника АВСD. В четы-рехугольник АТРD, острые углы которого равны 60°, вписана окруж-ность. Вычислите отношение длин отрезков ВТ, ТР и РС.

3. Длины сторон АВ и ВС прямоугольника АВСD равны 8 см и 6 см со-ответственно. На стороне ВС построен равносторонний треугольникВРС (точки А и Р лежат по разные стороны от прямой ВС). В тре-угольник АСD вписана окружность, а около треугольника ВРС описа-на окружность. Вычислите расстояние между центрами окружностей.

54

Рис. 54


ТЕОРЕМА СИНУСОВ


1. Точки А, В, С и D лежат на окружности, как показано на рисунке 55, а.Укажите равенство, которое является неверным:

1) RAC

ABCABC =

Ð2sin; 2) R

AC

ADCADC =

Ð2sin; 3) R

AC

ACDADC =

Ð2sin.

2. Точка T лежит на гипотенузе AC равнобедренного прямоугольноготреугольника АВС. Известно, что Ð = °TBC 30 и TC = 2 см. Вычислитедлину отрезка BT.

3. Точки Р и Т лежат соответственно на сторонах ВС и СD прямоуголь-ника АВСD так, что АР = РТ. Известно, что АВ = 4 см, ВР = 3 см,ÐРАТ = 30°. Вычислите площадь треугольника АРТ.

4. Площадь квадрата АВСD равна 16 см2. Биссектриса ВТ треугольникаАВD пересекает диагональ АС в точке О. Вычислите длину радиусаокружности, описанной около треугольника АОD.

5. На рисунке 55, б изображен равнобедренный треугольник АВС, осно-ванием которого является отрезок ВС. Точки Т, Р и О лежат на сто-ронах АВ, АС и ВС соответственно, причем ТР || ВС, РО || АВ.Известно, что АТ : АВ = 1 : 3, ТP = 4 см и ÐВАС = 36°. Вычислитеплощадь четырехугольника ВТРО.

55

а б

A

B

D

C B CO

T P

А

Рис. 55

2. Точки О и Т принадлежат стороне ВС прямоугольника АВСD. В четы-рехугольник АТРD, острые углы которого равны 60°, вписана окруж-ность. Вычислите отношение длин отрезков ВТ, ТР и РС.

3. Длины сторон АВ и ВС прямоугольника АВСD равны 8 см и 6 см со-ответственно. На стороне ВС построен равносторонний треугольникВРС (точки А и Р лежат по разные стороны от прямой ВС). В тре-угольник АСD вписана окружность, а около треугольника ВРС описа-на окружность. Вычислите расстояние между центрами окружностей.

54

Рис. 54


ТЕОРЕМА СИНУСОВ



1) RAC

ABCABC =

Ð2sin; 2) R

AC

ADCADC =

Ð2sin; 3) R

AC

ACDADC =

Ð2sin.

2. Точка T лежит на гипотенузе AC равнобедренного прямоугольноготреугольника АВС. Известно, что Ð = °TBC 30 и TC = 2 см. Вычислитедлину отрезка BT.

3. Точки Р и Т лежат соответственно на сторонах ВС и СD прямоуголь-ника АВСD так, что АР = РТ. Известно, что АВ = 4 см, ВР = 3 см,ÐРАТ = 30°. Вычислите площадь треугольника АРТ.

4. Площадь квадрата АВСD равна 16 см2. Биссектриса ВТ треугольникаАВD пересекает диагональ АС в точке О. Вычислите длину радиусаокружности, описанной около треугольника АОD.

5. На рисунке 55, б изображен равнобедренный треугольник АВС, осно-ванием которого является отрезок ВС. Точки Т, Р и О лежат на сто-ронах АВ, АС и ВС соответственно, причем ТР || ВС, РО || АВ.Известно, что АТ : АВ = 1 : 3, ТP = 4 см и ÐВАС = 36°. Вычислитеплощадь четырехугольника ВТРО.

55

а б

A

B

D

C B CO

T P

А

Рис. 55



1) RAB

ACBABC =

Ð2sin; 2) R

AC

CABABC =

Ð2sin; 3) R

AB

ADBABD =

Ð2sin.

2. Точка O лежит на гипотенузе AC равнобедренного прямоугольноготреугольника АВС. Известно, что OC = 12 см и OB = 4 6 см. Вычис-лите градусную меру угла OBC.

3. Точки Т и Р лежат соответственно на сторонах АD и СD квадратаАВСD так, что ÐАВТ = ÐТВР = ÐРВС. Известно, что АТ = 2 см. Вы-числите площадь треугольника ВРТ.

4. Высота ВН ромба АВСD пересекает диагональ АС в точке О, АВ = ВD.Периметр ромба равен 24 см. Вычислите длину радиуса окружности,описанной около треугольника ВОD.

5. На рисунке 56, б изображен равнобедренный треугольник АВС, ос-нованием которого является отрезок AB. Точки Т, Р и О лежат насторонах АС, СВ и АВ соответственно, причем ОТ || СВ, РО || АС. Из-вестно, что АТ : ТС = 1 : 3, OB = 6 см, ÐСАВ = 72°. Вычислите пло-щадь четырехугольника СТОР.



1) RAD

ACDADC =

Ð2sin; 2) R

AD

ABDABD =

Ð2sin; 3) R

AD

BADABD =

Ð2sin.

56

а б

A

B

C

D A BO

T

P

С

Рис. 56

2. Точка T лежит на гипотенузе AC равнобедренного прямоугольноготреугольника АВС. Известно, что Ð = °TBC 30 и BT = 6 см. Вычислитедлину отрезка TC.

3. Точки Н и Т лежат соответственно на сторонах ВС и АВ прямоуголь-ника АВСD так, что ТD = DН. Известно, что НС = СD = 3 2 см,ÐТDА = 15°. Вычислите площадь треугольника ТНD.

4. В прямоугольнике АВСD диагональ ВD наклонена к меньшей сторонеАВ под углом, равным 60°. Биссектрисы углов треугольника АВD пе-ресекаются в точке О. Вычислите длину диаметра окружности, описан-ной около треугольника ВОD, если АВ = 5 см.

5. На рисунке 57, б изображен равнобедренный треугольник АВС, осно-ванием которого является отрезок BС. Точки Т, Р и О лежат насторонах АС, ВС и АВ соответственно, причем ОТ || ВС, РО || АС. Из-вестно, что СТ : СА = 1 : 4, ОТ = 6 см, а ÐОРВ = 72°. Вычислите пло-щадь четырехугольника РОТС.



1) RAB

ADBADB =

Ð2sin; 2) R

AB

ACBACB =

Ð2sin; 3) R

DB

DBAADB =

Ð2sin.

2. Точка O лежит на гипотенузе AC равнобедренного прямоугольноготреугольника АВС. Известно, что AB = 6 см и OB = 2 6 см. Вычисли-те градусную меру угла BOC.

57

а б

A D

C

B

B CP

O

А

T

Рис. 57



1) RAB

ACBABC =

Ð2sin; 2) R

AC

CABABC =

Ð2sin; 3) R

AB

ADBABD =

Ð2sin.

2. Точка O лежит на гипотенузе AC равнобедренного прямоугольноготреугольника АВС. Известно, что OC = 12 см и OB = 4 6 см. Вычис-лите градусную меру угла OBC.

3. Точки Т и Р лежат соответственно на сторонах АD и СD квадратаАВСD так, что ÐАВТ = ÐТВР = ÐРВС. Известно, что АТ = 2 см. Вы-числите площадь треугольника ВРТ.

4. Высота ВН ромба АВСD пересекает диагональ АС в точке О, АВ = ВD.Периметр ромба равен 24 см. Вычислите длину радиуса окружности,описанной около треугольника ВОD.

5. На рисунке 56, б изображен равнобедренный треугольник АВС, ос-нованием которого является отрезок AB. Точки Т, Р и О лежат насторонах АС, СВ и АВ соответственно, причем ОТ || СВ, РО || АС. Из-вестно, что АТ : ТС = 1 : 3, OB = 6 см, ÐСАВ = 72°. Вычислите пло-щадь четырехугольника СТОР.



1) RAD

ACDADC =

Ð2sin; 2) R

AD

ABDABD =

Ð2sin; 3) R

AD

BADABD =

Ð2sin.

56

а б

A

B

C

D A BO

T

P

С

Рис. 56

2. Точка T лежит на гипотенузе AC равнобедренного прямоугольноготреугольника АВС. Известно, что Ð = °TBC 30 и BT = 6 см. Вычислитедлину отрезка TC.

3. Точки Н и Т лежат соответственно на сторонах ВС и АВ прямоуголь-ника АВСD так, что ТD = DН. Известно, что НС = СD = 3 2 см,ÐТDА = 15°. Вычислите площадь треугольника ТНD.

4. В прямоугольнике АВСD диагональ ВD наклонена к меньшей сторонеАВ под углом, равным 60°. Биссектрисы углов треугольника АВD пе-ресекаются в точке О. Вычислите длину диаметра окружности, описан-ной около треугольника ВОD, если АВ = 5 см.

5. На рисунке 57, б изображен равнобедренный треугольник АВС, осно-ванием которого является отрезок BС. Точки Т, Р и О лежат насторонах АС, ВС и АВ соответственно, причем ОТ || ВС, РО || АС. Из-вестно, что СТ : СА = 1 : 4, ОТ = 6 см, а ÐОРВ = 72°. Вычислите пло-щадь четырехугольника РОТС.



1) RAB

ADBADB =

Ð2sin; 2) R

AB

ACBACB =

Ð2sin; 3) R

DB

DBAADB =

Ð2sin.

2. Точка O лежит на гипотенузе AC равнобедренного прямоугольноготреугольника АВС. Известно, что AB = 6 см и OB = 2 6 см. Вычисли-те градусную меру угла BOC.

57

а б

A D

C

B

B CP

O

А

T

Рис. 57

3. Точки Р и О лежат соответственно на сторонах АD и АВ квадратаАВСD так, что ВО = РD. Известно, что АВ = 2 3 см, ÐСРD = 60°.Вычислите площадь треугольника СОР.

4. В ромбе АВСD АС = 8 см, ÐАDС = 80°. Биссектрисы треугольникаАВС пересекаются в точке О. Вычислите длину радиуса окружности,описанной около треугольника ВОС.

5. На рисунке 58, б изображен равнобедренный треугольник АВС, осно-ванием которого является отрезок AB. Точки Т, Р и О лежат на сто-ронах АВ, АС и СВ соответственно, причем ТР || ВС, РО || АВ.Известно, что АТ : ТВ = 1 : 2, РО = 8 см, а ÐАСВ = 36°. Вычислитеплощадь четырехугольника ВТРО.


1. Окружность проходит через вершины А, В и D параллелограмма АВСD

и касается стороны ВС в точке В. Верно ли, что RBD

CBDABD =

Ð2sin?

Ответ поясните.

2. На рисунке 59, а изображен тетраэдр DАВС, длина ребра которогоравна 8 см. Отрезки DН и СО — высоты грани DВС, отрезок НТ —высота треугольника DНС. Вычислите площадь четырехугольникаТОНС (рис. 59, б).

3. Высоты равнобедренного треугольника АВС, проведенные к боковымсторонам АС и ВС, пересекаются в точке О, а угол между прямыми,содержащими эти высоты, равен 40°. Вычислите площадь треуголь-ника АОВ, если АВ = 6 см.

58

а б

С

B

D

A A BT

P O

С

Рис. 58


1. Окружность проходит через вершины А и D прямоугольника АВСD

и касается стороны ВС в точке Т. Верно ли, что RTD

ADTAТD =

Ð2sin?


2. Из вершины В прямого угла треугольника АВС проведена медианаВР и высота ВН. Высоты треугольника АВР пересекаются в точке О.Известно, что АС = 8 см, ÐАСВ = 20°. Вычислите площадь треуголь-ника ВОР.

3. На рисунке 60, а изображен тетраэдр DАВС, длина ребра которогоравна 6 см. Точка О — середина ребра DС, точка Т лежит на ребре DВ,ÐТСВ = 15°. Вычислите площадь четырехугольника ВТОС (рис. 60, б).

59

аа бб

AA

BBHH

CC

OO

DD

TT

BB CCHH

OO

DD

TT

Рис. 59

Рис. 60

3. Точки Р и О лежат соответственно на сторонах АD и АВ квадратаАВСD так, что ВО = РD. Известно, что АВ = 2 3 см, ÐСРD = 60°.Вычислите площадь треугольника СОР.

4. В ромбе АВСD АС = 8 см, ÐАDС = 80°. Биссектрисы треугольникаАВС пересекаются в точке О. Вычислите длину радиуса окружности,описанной около треугольника ВОС.

5. На рисунке 58, б изображен равнобедренный треугольник АВС, осно-ванием которого является отрезок AB. Точки Т, Р и О лежат на сто-ронах АВ, АС и СВ соответственно, причем ТР || ВС, РО || АВ.Известно, что АТ : ТВ = 1 : 2, РО = 8 см, а ÐАСВ = 36°. Вычислитеплощадь четырехугольника ВТРО.


1. Окружность проходит через вершины А, В и D параллелограмма АВСD

и касается стороны ВС в точке В. Верно ли, что RBD

CBDABD =

Ð2sin?


2. На рисунке 59, а изображен тетраэдр DАВС, длина ребра которогоравна 8 см. Отрезки DН и СО — высоты грани DВС, отрезок НТ —высота треугольника DНС. Вычислите площадь четырехугольникаТОНС (рис. 59, б).

3. Высоты равнобедренного треугольника АВС, проведенные к боковымсторонам АС и ВС, пересекаются в точке О, а угол между прямыми,содержащими эти высоты, равен 40°. Вычислите площадь треуголь-ника АОВ, если АВ = 6 см.

58

а б

С

B

D

A A BT

P O

С

Рис. 58


1. Окружность проходит через вершины А и D прямоугольника АВСD

и касается стороны ВС в точке Т. Верно ли, что RTD

ADTAТD =

Ð2sin?


2. Из вершины В прямого угла треугольника АВС проведена медианаВР и высота ВН. Высоты треугольника АВР пересекаются в точке О.Известно, что АС = 8 см, ÐАСВ = 20°. Вычислите площадь треуголь-ника ВОР.

3. На рисунке 60, а изображен тетраэдр DАВС, длина ребра которогоравна 6 см. Точка О — середина ребра DС, точка Т лежит на ребре DВ,ÐТСВ = 15°. Вычислите площадь четырехугольника ВТОС (рис. 60, б).

59

аа бб

AA

BBHH

CC

OO

DD

TT

BB CCHH

OO

DD

TT

Рис. 59

Рис. 60


ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ.РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ


1. На рисунке 61, а изображена треугольная призма АВСА1В1С1. Сторо-ны треугольника АС1В различны. Какое из равенств является верным:а) АC АB BC AB BC АC B1

2 212

1 12= + - × × Ðcos ;б) BC АB АC AB AC BАC1

2 212

1 12= + - × × Ðcos ;в) АB АC BC AB BC АC B2

12

12

1 12= + - × × Ðcos (рис. 61, б)?

2. Отрезок АF — медиана равнобедренного треугольника АВС, основа-нием которого является отрезок АС. Вычислите косинус меньшегоугла треугольника АFB, если известно, что АВ = 16 см и АF = 10 см.

3. ABCD — прямоугольник. Точки Р и Т — внутренние точки отрезковВС и CD соответственно, АР = РТ. Известно, что ВР = 2 см, ÐВАР == 30°, ÐАРТ = 100°. Вычислите длины сторон треугольника АРТ.

4. В параллелограмме ABCD ÐABC = 120°. Биссектриса BP угла ABCпересекает сторону AD в точке P. Известно, что АВ = 8 см,РD = 6 см. Вычислите длины диагоналей параллелограмма.

60

аа бб

AA CC

BB

A1A1 C1C1

B1B1

AA BB

C1C1

Рис. 61

5. Точка О — середина диагонали ВD прямоугольника АВСD. Прямая lпроходит через точку О и пересекает стороны ВС и АD в точках Р и Тсоответственно. Известно, что ÐТВР = 60°, ВТ = 8 см, ВР = 6 см. Вы-числите косинус угла между диагоналями четырехугольника BPDT.


1. На рисунке 62, а изображена треугольная призма АВСА1В1С1. Сторонытреугольника А1С1B различны. Какое из равенств является верным:а) А B А C BC А C BC C BА1

21 1

212

1 1 1 1 12= + - × × Ðcos ;б) BC А B А C А B A C А BC1

21

21 1

21 1 1 1 12= + - × × Ðcos ;

в) А C А B BC А B BC А BC1 12

12

12

1 1 1 12= + - × × Ðcos (рис. 62, б)?

2. Отрезок АВ является основанием равнобедренного треугольника АВС.Точка Р — внутренняя точка отрезка АС. Вычислите косинус больше-го угла треугольника СРВ, если известно, что ВС = 15 см, ВР = 7 сми АР = 5 cм.

3. ABCD — прямоугольник. Точки О и Т — внутренние точки отрезков АDи АВ соответственно, СО = ОТ. Известно, что DC = 2 2 см, ÐDOC == 45°, ÐCOТ = 110°. Вычислите длины сторон треугольника COТ.

4. В параллелограмме ABCD ÐBAD = 60°. Биссектриса AT угла BADпересекает сторону BC в точке T. Известно, что АD = 15 см,ВТ = 10 см. Вычислите длины диагоналей параллелограмма.

5. Точка О — середина диагонали ВD параллелограмма АВСD. Прямаяl проходит через точку О и пересекает стороны ВС и АD в точках Ки Т соответственно. Известно, что ÐВТD = 120°, ВТ = 8 см, ВК = 4 см.Вычислите косинус угла между диагоналями четырехугольника TBKD.

61

аа бб

A1A1 C1C1

B1B1

AA CC

BB

A1A1 C1C1

BB

Рис. 62


ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ.РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ


1. На рисунке 61, а изображена треугольная призма АВСА1В1С1. Сторо-ны треугольника АС1В различны. Какое из равенств является верным:а) АC АB BC AB BC АC B1

2 212

1 12= + - × × Ðcos ;б) BC АB АC AB AC BАC1

2 212

1 12= + - × × Ðcos ;в) АB АC BC AB BC АC B2

12

12

1 12= + - × × Ðcos (рис. 61, б)?

2. Отрезок АF — медиана равнобедренного треугольника АВС, основа-нием которого является отрезок АС. Вычислите косинус меньшегоугла треугольника АFB, если известно, что АВ = 16 см и АF = 10 см.

3. ABCD — прямоугольник. Точки Р и Т — внутренние точки отрезковВС и CD соответственно, АР = РТ. Известно, что ВР = 2 см, ÐВАР == 30°, ÐАРТ = 100°. Вычислите длины сторон треугольника АРТ.

4. В параллелограмме ABCD ÐABC = 120°. Биссектриса BP угла ABCпересекает сторону AD в точке P. Известно, что АВ = 8 см,РD = 6 см. Вычислите длины диагоналей параллелограмма.

60

аа бб

AA CC

BB

A1A1 C1C1

B1B1

AA BB

C1C1

Рис. 61

5. Точка О — середина диагонали ВD прямоугольника АВСD. Прямая lпроходит через точку О и пересекает стороны ВС и АD в точках Р и Тсоответственно. Известно, что ÐТВР = 60°, ВТ = 8 см, ВР = 6 см. Вы-числите косинус угла между диагоналями четырехугольника BPDT.


1. На рисунке 62, а изображена треугольная призма АВСА1В1С1. Сторонытреугольника А1С1B различны. Какое из равенств является верным:а) А B А C BC А C BC C BА1

21 1

212

1 1 1 1 12= + - × × Ðcos ;б) BC А B А C А B A C А BC1

21

21 1

21 1 1 1 12= + - × × Ðcos ;

в) А C А B BC А B BC А BC1 12

12

12

1 1 1 12= + - × × Ðcos (рис. 62, б)?

2. Отрезок АВ является основанием равнобедренного треугольника АВС.Точка Р — внутренняя точка отрезка АС. Вычислите косинус больше-го угла треугольника СРВ, если известно, что ВС = 15 см, ВР = 7 сми АР = 5 cм.

3. ABCD — прямоугольник. Точки О и Т — внутренние точки отрезков АDи АВ соответственно, СО = ОТ. Известно, что DC = 2 2 см, ÐDOC == 45°, ÐCOТ = 110°. Вычислите длины сторон треугольника COТ.

4. В параллелограмме ABCD ÐBAD = 60°. Биссектриса AT угла BADпересекает сторону BC в точке T. Известно, что АD = 15 см,ВТ = 10 см. Вычислите длины диагоналей параллелограмма.

5. Точка О — середина диагонали ВD параллелограмма АВСD. Прямаяl проходит через точку О и пересекает стороны ВС и АD в точках Ки Т соответственно. Известно, что ÐВТD = 120°, ВТ = 8 см, ВК = 4 см.Вычислите косинус угла между диагоналями четырехугольника TBKD.

61

аа бб

A1A1 C1C1

B1B1

AA CC

BB

A1A1 C1C1

BB

Рис. 62


1. На рисунке 63, а изображена треугольная призма АВСА1В1С1. Сторо-ны треугольника А1ВС различны. Какое из равенств является верным:а) А C А B BC А B BC CА B1

21

2 21 12= + - × × Ðcos ;

б) BА BC А C BC A C BА C12 2

12

1 12= + - × × Ðcos ;в) BC А C А B А B А C BА C2

12

12

1 1 12= + - × × Ðcos (рис. 63, б)?

2. Отрезок СТ — медиана равнобедренного треугольника АВС, основа-нием которого является отрезок ВС. Вычислите косинус меньшегоугла треугольника АТС, если известно, что АT = 6 см и СТ = 8 см.

3. ABCD — прямоугольник. Точки Р и O — внутренние точки отрезковAВ и BC соответственно, DР = РO. Известно, что AР = 3 см, ÐDPA == 60°, ÐDРO = 100°. Вычислите длины сторон треугольника DРO.

4. В параллелограмме ABCD ÐABC = 120°. Биссектриса BP угла ABCпересекает сторону AD в точке P. Известно, что ВР = 6 см, РD = 4 см.Вычислите длины диагоналей параллелограмма.

5. Точка О — середина диагонали АС прямоугольника АВСD. Прямая lпроходит через точку О и пересекает стороны АВ и СD в точках Т и Рсоответственно. Известно, что ÐРАD = 30°, СТ = 10 см, СР = 8 см.Вычислите косинус угла между диагоналями четырехугольника ATCP.


1. На рисунке 64, а изображена треугольная призма АВСА1В1С1. Сторо-ны треугольника АВ1С1 различны. Какое из равенств является верным:

62

аа бб

A1A1

BB CC

A1A1 C1C1

B1B1

AA CC

BB

Рис. 63

а) АC АB B C АB B C АC B12

12

1 12

1 1 1 1 12= + - × × Ðcos ;б) B C АB АC АB AC B АC1 1

212

12

1 1 1 12= + - × × Ðcos ;в) АB АC B C АB B C АC B1

212

1 12

1 1 1 1 12= + - × × Ðcos (рис. 64, б)?

2. Отрезок АС является основанием равнобедренного треугольника АВС.Точка Р — внутренняя точка отрезка ВС. Вычислите косинус меньше-го угла треугольника АBР, если известно, что АР = 10 см, ВP = 8 сми РС = 4 см.

3. ABCD — прямоугольник. Точки Р и Т — внутренние точки отрезковAD и CD соответственно и BT = РТ. Известно, что ВC = CT = 2 см,ÐВTР = 110°. Вычислите длины сторон треугольника BРТ.

4. В параллелограмме ABCD ÐBAD = 60°. Биссектриса AT угла BADпересекает сторону BC в точке T. Известно, что АВ = 6 см, ТС = 2 см.Вычислите длины диагоналей параллелограмма.

5. Точка О — середина диагонали АС параллелограмма АВСD. Прямая lпроходит через точку О и пересекает стороны ВС и АD в точках К и Тсоответственно. Известно, что ÐKАD = 60°, КС = 4 см, СТ = 10 см.Вычислите косинус угла между диагоналями четырехугольника ATCK.


1. АВС — равносторонний треугольник. Точка M лежит на луче BA,точка P — на луче AC, точка O — на луче CB так, что BМ = OС = APи AP > AC. Вычислите периметр треугольника МРО, если известно,

что АМ =13

АВ и АВ = 6 см.

63

аа бб

A1A1 C1C1

C1C1B1B1 B1B1

AA

BB

CCAA

Рис. 64


1. На рисунке 63, а изображена треугольная призма АВСА1В1С1. Сторо-ны треугольника А1ВС различны. Какое из равенств является верным:а) А C А B BC А B BC CА B1

21

2 21 12= + - × × Ðcos ;

б) BА BC А C BC A C BА C12 2

12

1 12= + - × × Ðcos ;в) BC А C А B А B А C BА C2

12

12

1 1 12= + - × × Ðcos (рис. 63, б)?

2. Отрезок СТ — медиана равнобедренного треугольника АВС, основа-нием которого является отрезок ВС. Вычислите косинус меньшегоугла треугольника АТС, если известно, что АT = 6 см и СТ = 8 см.

3. ABCD — прямоугольник. Точки Р и O — внутренние точки отрезковAВ и BC соответственно, DР = РO. Известно, что AР = 3 см, ÐDPA == 60°, ÐDРO = 100°. Вычислите длины сторон треугольника DРO.

4. В параллелограмме ABCD ÐABC = 120°. Биссектриса BP угла ABCпересекает сторону AD в точке P. Известно, что ВР = 6 см, РD = 4 см.Вычислите длины диагоналей параллелограмма.

5. Точка О — середина диагонали АС прямоугольника АВСD. Прямая lпроходит через точку О и пересекает стороны АВ и СD в точках Т и Рсоответственно. Известно, что ÐРАD = 30°, СТ = 10 см, СР = 8 см.Вычислите косинус угла между диагоналями четырехугольника ATCP.


1. На рисунке 64, а изображена треугольная призма АВСА1В1С1. Сторо-ны треугольника АВ1С1 различны. Какое из равенств является верным:

62

аа бб

A1A1

BB CC

A1A1 C1C1

B1B1

AA CC

BB

Рис. 63

а) АC АB B C АB B C АC B12

12

1 12

1 1 1 1 12= + - × × Ðcos ;б) B C АB АC АB AC B АC1 1

212

12

1 1 1 12= + - × × Ðcos ;в) АB АC B C АB B C АC B1

212

1 12

1 1 1 1 12= + - × × Ðcos (рис. 64, б)?

2. Отрезок АС является основанием равнобедренного треугольника АВС.Точка Р — внутренняя точка отрезка ВС. Вычислите косинус меньше-го угла треугольника АBР, если известно, что АР = 10 см, ВP = 8 сми РС = 4 см.

3. ABCD — прямоугольник. Точки Р и Т — внутренние точки отрезковAD и CD соответственно и BT = РТ. Известно, что ВC = CT = 2 см,ÐВTР = 110°. Вычислите длины сторон треугольника BРТ.

4. В параллелограмме ABCD ÐBAD = 60°. Биссектриса AT угла BADпересекает сторону BC в точке T. Известно, что АВ = 6 см, ТС = 2 см.Вычислите длины диагоналей параллелограмма.

5. Точка О — середина диагонали АС параллелограмма АВСD. Прямая lпроходит через точку О и пересекает стороны ВС и АD в точках К и Тсоответственно. Известно, что ÐKАD = 60°, КС = 4 см, СТ = 10 см.Вычислите косинус угла между диагоналями четырехугольника ATCK.


1. АВС — равносторонний треугольник. Точка M лежит на луче BA,точка P — на луче AC, точка O — на луче CB так, что BМ = OС = APи AP > AC. Вычислите периметр треугольника МРО, если известно,

что АМ =13

АВ и АВ = 6 см.

63

аа бб

A1A1 C1C1

C1C1B1B1 B1B1

AA

BB

CCAA

Рис. 64

2. Отрезки АР и АН — соответственно медиана и высота равнобедрен-ного треугольника АВС, основанием которого является отрезок АС.Известно, что АВ = 6 см, АР = 5 см. Вычислите косинус угла РАН.

3. В прямоугольнике АВСD диагонали пересекаются в точке О, ÐВОА == 60°. Точки Т и Р лежат на лучах OB и OD соответственно. Известно,что ТО = ОР > ОD, АТ = 8 см, ТС = 12 см. Вычислите площадь четы-рехугольника АТСР.


1. На сторонах АВ, АС и СВ равностороннего треугольника АВС отло-жены равные отрезки ВТ, АК и СР соответственно. Вычислите пери-метр треугольника РКТ, если известно, что АВ = 8 см и ТВ = 2 см.

2. Отрезок АР — медиана треугольника АВС, а отрезок ВF — медиа-на треугольника АВР. Известно, что АВ = 13 см, ВС = 18 см, BF == 109 см. Вычислите площадь треугольника АВС.

3. АВС — равносторонний треугольник. Точки Т и Р лежат на луче АСтак, что точка С лежит между точками A и T, точка А — между точ-ками Р и С, АТ = АР. Точка О лежит на луче ВА и ВА = ОА. Известно,что ВТ = 6 см, ВР = 12 см. Вычислите площадь четырехугольникаОРВТ.

64


СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИИ УГЛАМИ ПРОИЗВОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА


1. Точка Т принадлежит стороне ВС треугольника АВС. Соедините точкиА и Т. Назовите треугольник, для сторон которого и одного из его уг-лов справедливо равенство: АТ АC ТC AC CT C2 2 2 2= + - × × Ðcos .

2. Точка О лежит внутри треугольника АВС. Отрезок ОР (Р Î АС) па-раллелен стороне BC (рис. 65, а). Треугольник АВС разделили на час-ти, как показано на рисунке 65, б. Вычислите длину радиусаокружности, описанной около треугольника АОР (рис. 65, в), если из-вестно, что АО = 4 см, ÐАCB = 60°.

3. Вычислите длину биссектрисы АО равнобедренного треугольника АВС,основанием которого является отрезок АС, если известно, чтоÐВСА = 40°, ОС = 2 см.

4. Периметр ромба АВСD равен 12 см. Медианы ВВ1 и DD1 треугольни-ка АВD пересекаются в точке О. Известно, что ÐВ1ВD = 40°. Вычис-лите длину отрезка ВВ1.

5. Отрезок АО — медиана прямоугольного треугольника АВС, у которо-го ÐВАС = 90°, АВ = 8 см, ВС = 10 см. На отрезках АО и АС как насторонах построен параллелограмм АОРС. Вычислите косинус угламежду прямыми, содержащими диагонали параллелограмма AOPC.

65

Рис. 65

2. Отрезки АР и АН — соответственно медиана и высота равнобедрен-ного треугольника АВС, основанием которого является отрезок АС.Известно, что АВ = 6 см, АР = 5 см. Вычислите косинус угла РАН.

3. В прямоугольнике АВСD диагонали пересекаются в точке О, ÐВОА == 60°. Точки Т и Р лежат на лучах OB и OD соответственно. Известно,что ТО = ОР > ОD, АТ = 8 см, ТС = 12 см. Вычислите площадь четы-рехугольника АТСР.


1. На сторонах АВ, АС и СВ равностороннего треугольника АВС отло-жены равные отрезки ВТ, АК и СР соответственно. Вычислите пери-метр треугольника РКТ, если известно, что АВ = 8 см и ТВ = 2 см.

2. Отрезок АР — медиана треугольника АВС, а отрезок ВF — медиа-на треугольника АВР. Известно, что АВ = 13 см, ВС = 18 см, BF == 109 см. Вычислите площадь треугольника АВС.

3. АВС — равносторонний треугольник. Точки Т и Р лежат на луче АСтак, что точка С лежит между точками A и T, точка А — между точ-ками Р и С, АТ = АР. Точка О лежит на луче ВА и ВА = ОА. Известно,что ВТ = 6 см, ВР = 12 см. Вычислите площадь четырехугольникаОРВТ.

64


СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИИ УГЛАМИ ПРОИЗВОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА


1. Точка Т принадлежит стороне ВС треугольника АВС. Соедините точкиА и Т. Назовите треугольник, для сторон которого и одного из его уг-лов справедливо равенство: АТ АC ТC AC CT C2 2 2 2= + - × × Ðcos .

2. Точка О лежит внутри треугольника АВС. Отрезок ОР (Р Î АС) па-раллелен стороне BC (рис. 65, а). Треугольник АВС разделили на час-ти, как показано на рисунке 65, б. Вычислите длину радиусаокружности, описанной около треугольника АОР (рис. 65, в), если из-вестно, что АО = 4 см, ÐАCB = 60°.

3. Вычислите длину биссектрисы АО равнобедренного треугольника АВС,основанием которого является отрезок АС, если известно, чтоÐВСА = 40°, ОС = 2 см.

4. Периметр ромба АВСD равен 12 см. Медианы ВВ1 и DD1 треугольни-ка АВD пересекаются в точке О. Известно, что ÐВ1ВD = 40°. Вычис-лите длину отрезка ВВ1.

5. Отрезок АО — медиана прямоугольного треугольника АВС, у которо-го ÐВАС = 90°, АВ = 8 см, ВС = 10 см. На отрезках АО и АС как насторонах построен параллелограмм АОРС. Вычислите косинус угламежду прямыми, содержащими диагонали параллелограмма AOPC.

65

Рис. 65


1. Точка О принадлежит стороне ВА треугольника АВС. Соедините точ-ки О и С. Назовите треугольник, для сторон которого и одного из егоуглов справедливо равенство: OC АC АO AC AO A2 2 2 2= + - × × Ðcos .

2. Точка О принадлежит диагонали ВD ромба АВСD. Отрезок ОР(Р Î АВ) параллелен стороне AD ромба (рис. 66, а). Ромб АВСD раз-делили на части, как показано на рисунке 66, б. Вычислите длину ра-диуса окружности, описанной около треугольника ВОР (рис. 66, в),если известно, что ВР = 6 см, ÐВDА = 60°.

3. Отрезок ВО — биссектриса равнобедренного треугольника АВС,основанием которого является отрезок АВ. Вычислите длину боко-вой стороны треугольника, если известно, что ÐAСB = 80°, СO = 4 см.

4. Медианы АА1 и СС1 равнобедренного треугольника АВС с основаниемАС пересекаются в точке О. Известно, что ÐАСC1 = 40°, А1С = 6 см.Вычислите длину отрезка СC1.

5. Диагонали ромба АВСD пересекаются в точке О. Отрезок ОР — ме-диана треугольника АОD. На отрезках АО и ОР как на сторонах по-строен параллелограмм АОРТ. Известно, что АС = 16 см, ВD = 12 см.Вычислите косинус угла между прямыми, содержащими диагоналипараллелограмма АОРТ.


1. Точка Р принадлежит стороне АС треугольника АВС. Соедините точкиВ и Р. Назовите треугольник, для сторон которого и одного из его угловсправедливо равенство: АB BP AP BP AP BPА2 2 2 2= + - × × Ðcos .

66

Рис. 66

2. Медианы ВВ1 и АА1 треугольника АВС пересекаются в точке О (рис. 67, а).Треугольник АВС разделили на части, как показано на рисунке 67, б.Вычислите длину радиуса окружности, описанной около треугольникаАОВ (рис. 67, в), если известно, что ВВ1 = 9 см, ÐВАА1 = 30°.

3. Отрезок ВО — биссектриса равнобедренного треугольника АВС,основанием которого является отрезок АВ. Вычислите длину отрез-ка АО, если известно, что ÐСАВ = 50°, ВО = 4 см.

4. Длина стороны ромба АВСD равна 4 см. Медианы СС1 и АА1 тре-угольника AВС пересекаются в точке Р. Вычислите длину отрезкаАА1, если ÐPAС = 20°.

5. Отрезок ВО — медиана равнобедренного треугольника АВС, у кото-рого АВ = ВС = 10 см, АС = 16 см. Точка Т — середина стороны ВС.На отрезках ОТ и ОС как на сторонах построен параллелограмм ОТРС.Вычислите косинус угла между прямыми, содержащими диагоналипараллелограмма ОТРС.


1. Точка Т принадлежит стороне ВС треугольника АВС. Соедините точкиА и Т. Назовите треугольник, для сторон которого и одного из его уг-лов справедливо равенство: BТ АB АТ AB AT BАТ2 2 2 2= + - × × Ðcos .

2. Точка О принадлежит диагонали АС ромба АВСD. Отрезок ОТ(Т Î DC) параллелен стороне AD ромба (рис. 68, а). Ромб АВСD раз-делили на части, как показано на рисунке 68, б. Вычислите длину ра-диуса окружности, описанной около треугольника ТОС (рис. 68, в),если известно, что ТС = 6 см, ÐВАD = 120°.

3. Вычислите длину биссектрисы СО равнобедренного треугольникаАВС, основанием которого является отрезок АС, если известно, чтоÐАВС = 40°, ОВ = 2 см.

67

Рис. 67


1. Точка О принадлежит стороне ВА треугольника АВС. Соедините точ-ки О и С. Назовите треугольник, для сторон которого и одного из егоуглов справедливо равенство: OC АC АO AC AO A2 2 2 2= + - × × Ðcos .

2. Точка О принадлежит диагонали ВD ромба АВСD. Отрезок ОР(Р Î АВ) параллелен стороне AD ромба (рис. 66, а). Ромб АВСD раз-делили на части, как показано на рисунке 66, б. Вычислите длину ра-диуса окружности, описанной около треугольника ВОР (рис. 66, в),если известно, что ВР = 6 см, ÐВDА = 60°.

3. Отрезок ВО — биссектриса равнобедренного треугольника АВС,основанием которого является отрезок АВ. Вычислите длину боко-вой стороны треугольника, если известно, что ÐAСB = 80°, СO = 4 см.

4. Медианы АА1 и СС1 равнобедренного треугольника АВС с основаниемАС пересекаются в точке О. Известно, что ÐАСC1 = 40°, А1С = 6 см.Вычислите длину отрезка СC1.

5. Диагонали ромба АВСD пересекаются в точке О. Отрезок ОР — ме-диана треугольника АОD. На отрезках АО и ОР как на сторонах по-строен параллелограмм АОРТ. Известно, что АС = 16 см, ВD = 12 см.Вычислите косинус угла между прямыми, содержащими диагоналипараллелограмма АОРТ.


1. Точка Р принадлежит стороне АС треугольника АВС. Соедините точкиВ и Р. Назовите треугольник, для сторон которого и одного из его угловсправедливо равенство: АB BP AP BP AP BPА2 2 2 2= + - × × Ðcos .

66

Рис. 66

2. Медианы ВВ1 и АА1 треугольника АВС пересекаются в точке О (рис. 67, а).Треугольник АВС разделили на части, как показано на рисунке 67, б.Вычислите длину радиуса окружности, описанной около треугольникаАОВ (рис. 67, в), если известно, что ВВ1 = 9 см, ÐВАА1 = 30°.

3. Отрезок ВО — биссектриса равнобедренного треугольника АВС,основанием которого является отрезок АВ. Вычислите длину отрез-ка АО, если известно, что ÐСАВ = 50°, ВО = 4 см.

4. Длина стороны ромба АВСD равна 4 см. Медианы СС1 и АА1 тре-угольника AВС пересекаются в точке Р. Вычислите длину отрезкаАА1, если ÐPAС = 20°.

5. Отрезок ВО — медиана равнобедренного треугольника АВС, у кото-рого АВ = ВС = 10 см, АС = 16 см. Точка Т — середина стороны ВС.На отрезках ОТ и ОС как на сторонах построен параллелограмм ОТРС.Вычислите косинус угла между прямыми, содержащими диагоналипараллелограмма ОТРС.


1. Точка Т принадлежит стороне ВС треугольника АВС. Соедините точкиА и Т. Назовите треугольник, для сторон которого и одного из его уг-лов справедливо равенство: BТ АB АТ AB AT BАТ2 2 2 2= + - × × Ðcos .

2. Точка О принадлежит диагонали АС ромба АВСD. Отрезок ОТ(Т Î DC) параллелен стороне AD ромба (рис. 68, а). Ромб АВСD раз-делили на части, как показано на рисунке 68, б. Вычислите длину ра-диуса окружности, описанной около треугольника ТОС (рис. 68, в),если известно, что ТС = 6 см, ÐВАD = 120°.

3. Вычислите длину биссектрисы СО равнобедренного треугольникаАВС, основанием которого является отрезок АС, если известно, чтоÐАВС = 40°, ОВ = 2 см.

67

Рис. 67

4. Медианы АА1 и ВВ1 равнобедренного треугольника АВС, основаниемкоторого является отрезок АВ, пересекаются в точке О. Известно, чтоÐВ1ВА = 20°, АС = 4 см. Вычислите длину отрезка ВВ1.

5. Диагонали прямоугольника АВСD пересекаются в точке О. На отрез-ках АО и АD как на сторонах построен параллелограмм АОРD. Из-вестно, что АС = 10 см, ВС = 8 см. Вычислите косинус угла междупрямыми, содержащими диагонали параллелограмма АОРD.


1. Точка О лежит внутри равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС),а точки Т и Р — на сторонах АВ и АС соответственно, ОР || АВи ОТ || АС (рис. 69, а). Треугольник АВС разделили на части, как по-казано на рисунке 69, б. Вычислите длины диагоналей четырехуголь-ника ТАРО (рис. 69, в), если известно, что АТ : ТВ = АР : РС = 1 : 2,АС = 12 см, а периметр многоугольника ТОРСВ равен 30 см.

68

Рис. 68

Рис. 69

2. Серединный перпендикуляр к стороне ВС треугольника АВС пересе-кает сторону АС в точке О. Известно, что ОС = 4 см, ÐВСА = 30°,ÐВАС = 70°. Вычислите площадь треугольника АВС.

3. Точка О принадлежит стороне ВС равнобедренного треугольника АВС(АВ = ВС) и BO : OC = 1 : 3. Длина радиуса окружности, описаннойоколо треугольника АВС, равна 4 3 см, а один из его углов равен120°. Вычислите длину радиуса окружности, описанной около тре-угольника АОС.


1. Точка О лежит внутри параллелограмма АВСD, а точки Т и Р — насторонах АВ и ВС соответственно, ОР || АВ и ОТ || ВС (рис. 70, а).Параллелограмм АВСD разделили на части, как показано на рисун-ке 70, б. Известно, что АТ = ТВ, ВР = РС, АВ = ВD, а периметр мно-гоугольника АТОРСD равен 32 см. Вычислите длины диагоналейчетырехугольника ТВРО (рис. 70, в), если BO : TP = 1 : 3.

2. Серединный перпендикуляр к боковой стороне ВС равнобедренноготреугольника АВС пересекает боковую сторону АС в точке О. Извест-но, что АО = 2 см, ÐВСА = 30°. Вычислите площадь треугольника АВС.

3. Отрезок АО — биссектриса треугольника АВС, у которого АВ = ВС == 10 см, АС = 12 см. Вычислите длину радиуса окружности, описан-ной около треугольника АОС.

69

Рис. 70

4. Медианы АА1 и ВВ1 равнобедренного треугольника АВС, основаниемкоторого является отрезок АВ, пересекаются в точке О. Известно, чтоÐВ1ВА = 20°, АС = 4 см. Вычислите длину отрезка ВВ1.

5. Диагонали прямоугольника АВСD пересекаются в точке О. На отрез-ках АО и АD как на сторонах построен параллелограмм АОРD. Из-вестно, что АС = 10 см, ВС = 8 см. Вычислите косинус угла междупрямыми, содержащими диагонали параллелограмма АОРD.


1. Точка О лежит внутри равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС),а точки Т и Р — на сторонах АВ и АС соответственно, ОР || АВи ОТ || АС (рис. 69, а). Треугольник АВС разделили на части, как по-казано на рисунке 69, б. Вычислите длины диагоналей четырехуголь-ника ТАРО (рис. 69, в), если известно, что АТ : ТВ = АР : РС = 1 : 2,АС = 12 см, а периметр многоугольника ТОРСВ равен 30 см.

68

Рис. 68

Рис. 69

2. Серединный перпендикуляр к стороне ВС треугольника АВС пересе-кает сторону АС в точке О. Известно, что ОС = 4 см, ÐВСА = 30°,ÐВАС = 70°. Вычислите площадь треугольника АВС.

3. Точка О принадлежит стороне ВС равнобедренного треугольника АВС(АВ = ВС) и BO : OC = 1 : 3. Длина радиуса окружности, описаннойоколо треугольника АВС, равна 4 3 см, а один из его углов равен120°. Вычислите длину радиуса окружности, описанной около тре-угольника АОС.


1. Точка О лежит внутри параллелограмма АВСD, а точки Т и Р — насторонах АВ и ВС соответственно, ОР || АВ и ОТ || ВС (рис. 70, а).Параллелограмм АВСD разделили на части, как показано на рисун-ке 70, б. Известно, что АТ = ТВ, ВР = РС, АВ = ВD, а периметр мно-гоугольника АТОРСD равен 32 см. Вычислите длины диагоналейчетырехугольника ТВРО (рис. 70, в), если BO : TP = 1 : 3.

2. Серединный перпендикуляр к боковой стороне ВС равнобедренноготреугольника АВС пересекает боковую сторону АС в точке О. Извест-но, что АО = 2 см, ÐВСА = 30°. Вычислите площадь треугольника АВС.

3. Отрезок АО — биссектриса треугольника АВС, у которого АВ = ВС == 10 см, АС = 12 см. Вычислите длину радиуса окружности, описан-ной около треугольника АОС.

69

Рис. 70


ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ


1. Отрезки АВ и CD — перпендикулярные диаметры окружности(рис. 71, а). Является ли четырехугольник АDВС правильным?

2. Около правильного шестиугольника, периметр которого равен 18 см,описана окружность. Вычислите длину диаметра этой окружности.

3. На рисунке 71, б изображена прямая четырехугольная призмаABCDA1B1C1D1, у которой АА1 = AD. Окружность, длина радиуса ко-торой равна 2 см, касается всех сторон четырехугольника А1В1С1D1

в их серединах (рис. 71, в). Вычислите площадь полной поверхностипризмы.

4. На каждой стороне правильного треугольника, периметр которогоравен 18 см, лежат две точки, делящие стороны на три равные части.Вычислите длину меньшей диагонали выпуклого шестиугольника,вершинами которого являются отмеченные точки.

5. Диагонали ВТ и СР правильного шестиугольника АВСDТР пересека-ются в точке О. Площадь четырехугольника АВСО равна 18 3 см2.Вычислите расстояние между центрами окружностей, вписанныхв треугольники ВСО и ОТР.

70

Рис. 71


1. Окружность, центром которой является точка О, вписана в прямойугол BAC (рис. 72, а). Точки Р и Т — соответственно точки касанияокружности со сторонами AC и AB угла. Является ли четырехуголь-ник ATOP правильным?

2. В правильный шестиугольник вписана окружность. Расстояние отцентра окружности до стороны шестиугольника равно 3 см. Вычисли-те длину диаметра этой окружности.

3. На рисунке 72, б изображена прямая треугольная призма ABCA1B1C1,у которой АА1 = AВ. Окружность касается всех сторон треугольникаА1В1С1 в их серединах (рис. 72, в). Вычислите длину радиуса окруж-ности, если известно, что площадь боковой поверхности призмы рав-на 27 см2.

4. На каждой стороне правильного треугольника лежат две точки, де-лящие стороны на три равные части. Вычислите длину большей диа-гонали выпуклого шестиугольника, вершинами которого являютсяотмеченные точки, если известно, что длина радиуса окружности, впи-санной в треугольник, образованный двумя лучами, на которых лежатстороны треугольника, и стороной шестиугольника, равна 3 см.

5. Диагонали СР и АD правильного шестиугольника АВСDТР пересека-ются в точке О. Площадь четырехугольника СDТР равна 27 3 см2.Вычислите периметр треугольника, вершинами которого являютсяцентры окружностей, вписанных в треугольники ОСD, OTD и РОТ.

71

Рис. 72


ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ


1. Отрезки АВ и CD — перпендикулярные диаметры окружности(рис. 71, а). Является ли четырехугольник АDВС правильным?

2. Около правильного шестиугольника, периметр которого равен 18 см,описана окружность. Вычислите длину диаметра этой окружности.

3. На рисунке 71, б изображена прямая четырехугольная призмаABCDA1B1C1D1, у которой АА1 = AD. Окружность, длина радиуса ко-торой равна 2 см, касается всех сторон четырехугольника А1В1С1D1

в их серединах (рис. 71, в). Вычислите площадь полной поверхностипризмы.

4. На каждой стороне правильного треугольника, периметр которогоравен 18 см, лежат две точки, делящие стороны на три равные части.Вычислите длину меньшей диагонали выпуклого шестиугольника,вершинами которого являются отмеченные точки.

5. Диагонали ВТ и СР правильного шестиугольника АВСDТР пересека-ются в точке О. Площадь четырехугольника АВСО равна 18 3 см2.Вычислите расстояние между центрами окружностей, вписанныхв треугольники ВСО и ОТР.

70

Рис. 71


1. Окружность, центром которой является точка О, вписана в прямойугол BAC (рис. 72, а). Точки Р и Т — соответственно точки касанияокружности со сторонами AC и AB угла. Является ли четырехуголь-ник ATOP правильным?

2. В правильный шестиугольник вписана окружность. Расстояние отцентра окружности до стороны шестиугольника равно 3 см. Вычисли-те длину диаметра этой окружности.

3. На рисунке 72, б изображена прямая треугольная призма ABCA1B1C1,у которой АА1 = AВ. Окружность касается всех сторон треугольникаА1В1С1 в их серединах (рис. 72, в). Вычислите длину радиуса окруж-ности, если известно, что площадь боковой поверхности призмы рав-на 27 см2.

4. На каждой стороне правильного треугольника лежат две точки, де-лящие стороны на три равные части. Вычислите длину большей диа-гонали выпуклого шестиугольника, вершинами которого являютсяотмеченные точки, если известно, что длина радиуса окружности, впи-санной в треугольник, образованный двумя лучами, на которых лежатстороны треугольника, и стороной шестиугольника, равна 3 см.

5. Диагонали СР и АD правильного шестиугольника АВСDТР пересека-ются в точке О. Площадь четырехугольника СDТР равна 27 3 см2.Вычислите периметр треугольника, вершинами которого являютсяцентры окружностей, вписанных в треугольники ОСD, OTD и РОТ.

71

Рис. 72


1. Около правильного треугольника АВС описана окружность. Биссек-трисы углов треугольника пересекают окружность в точках М, Р и Т(рис. 73, а). Является ли шестиугольник АМВРСТ правильным?

2. Длина диаметра окружности, описанной около правильного шести-угольника, равна 12 см. Вычислите периметр этого шестиугольника.

3. На рисунке 73, б изображена прямая четырехугольная призмаABCDA1B1C1D1, все ребра которой равны. Окружность, длина диамет-ра которой равна 4 2 см, касается всех вершин четырехугольника АВСD(рис. 73, в). Вычислите площадь полной поверхности призмы.

4. На каждой стороне правильного треугольника лежат две точки, деля-щие стороны на три равные части. Длина меньшей диагонали выпук-лого шестиугольника, вершинами которого являются отмеченныеточки, равна 4 3 см. Вычислите периметр данного треугольника.

5. Диагонали ВТ и СР правильного шестиугольника АВСDТР пересека-ются в точке О. Площадь четырехугольника ОСDT равна 4 3 см2.Вычислите расстояние между центрами окружностей, описанных око-ло треугольников СОD и ОТD.


1. Около квадрата АВСD описана окружность. Прямые проходят черезсередины противолежащих сторон квадрата и пересекают окружностьв точках M, O, P и T (рис. 74, а). Является ли четырехугольник MOPTправильным?

72

Рис. 73

2. Длина диаметра окружности, вписанной в правильный шестиуголь-ник, равна 12 см. Вычислите расстояние от центра окружности достороны шестиугольника.

3. На рисунке 74, б изображена прямая треугольная призма ABCA1B1C1,у которой АА1 = AВ. Около треугольника АВС описана окружность(рис. 74, в). Известно, что площадь боковой поверхности призмыравна 108 см2, а вершины треугольника АВС разбивают окружностьна равные дуги. Вычислите длину диаметра окружности.

4. На каждой стороне правильного треугольника лежат две точки, деля-щие стороны на три равные части. Вычислите периметр треугольни-ка, если известно, что длина радиуса окружности, вписанной в выпук-лый шестиугольник, вершинами которого являются отмеченные точ-ки, равна 2 3 см.

5. Диагонали ВТ и АD правильного шестиугольника АВСDТР пересека-ются в точке О, точка О1 — центр окружности, вписанной в треуголь-ник РОТ. Площадь четырехугольника ОDТР равна 18 3 см2. Вычислитепериметр треугольника DО1Т.


1. На рисунке 75, а изображен правильный шестиугольник АВСЕDР,диагонали которого пересекаются в точке О. Точки F, K и M — точкипересечения биссектрис треугольников ВОС, ЕОD и АОР соответ-ственно. Вычислите площадь шестиугольника АВСЕDР, если извест-но, что площадь треугольника FМК равна 4 см2.

2. На рисунке 75, б изображена правильная шестиугольная призма, всеребра которой равны. Основанием призмы является шестиугольникABCEDP, диагонали которого пересекаются в точке О. Точки F, K

73

Рис. 74


1. Около правильного треугольника АВС описана окружность. Биссек-трисы углов треугольника пересекают окружность в точках М, Р и Т(рис. 73, а). Является ли шестиугольник АМВРСТ правильным?

2. Длина диаметра окружности, описанной около правильного шести-угольника, равна 12 см. Вычислите периметр этого шестиугольника.

3. На рисунке 73, б изображена прямая четырехугольная призмаABCDA1B1C1D1, все ребра которой равны. Окружность, длина диамет-ра которой равна 4 2 см, касается всех вершин четырехугольника АВСD(рис. 73, в). Вычислите площадь полной поверхности призмы.

4. На каждой стороне правильного треугольника лежат две точки, деля-щие стороны на три равные части. Длина меньшей диагонали выпук-лого шестиугольника, вершинами которого являются отмеченныеточки, равна 4 3 см. Вычислите периметр данного треугольника.

5. Диагонали ВТ и СР правильного шестиугольника АВСDТР пересека-ются в точке О. Площадь четырехугольника ОСDT равна 4 3 см2.Вычислите расстояние между центрами окружностей, описанных око-ло треугольников СОD и ОТD.


1. Около квадрата АВСD описана окружность. Прямые проходят черезсередины противолежащих сторон квадрата и пересекают окружностьв точках M, O, P и T (рис. 74, а). Является ли четырехугольник MOPTправильным?

72

Рис. 73

2. Длина диаметра окружности, вписанной в правильный шестиуголь-ник, равна 12 см. Вычислите расстояние от центра окружности достороны шестиугольника.

3. На рисунке 74, б изображена прямая треугольная призма ABCA1B1C1,у которой АА1 = AВ. Около треугольника АВС описана окружность(рис. 74, в). Известно, что площадь боковой поверхности призмыравна 108 см2, а вершины треугольника АВС разбивают окружностьна равные дуги. Вычислите длину диаметра окружности.

4. На каждой стороне правильного треугольника лежат две точки, деля-щие стороны на три равные части. Вычислите периметр треугольни-ка, если известно, что длина радиуса окружности, вписанной в выпук-лый шестиугольник, вершинами которого являются отмеченные точ-ки, равна 2 3 см.

5. Диагонали ВТ и АD правильного шестиугольника АВСDТР пересека-ются в точке О, точка О1 — центр окружности, вписанной в треуголь-ник РОТ. Площадь четырехугольника ОDТР равна 18 3 см2. Вычислитепериметр треугольника DО1Т.


1. На рисунке 75, а изображен правильный шестиугольник АВСЕDР,диагонали которого пересекаются в точке О. Точки F, K и M — точкипересечения биссектрис треугольников ВОС, ЕОD и АОР соответ-ственно. Вычислите площадь шестиугольника АВСЕDР, если извест-но, что площадь треугольника FМК равна 4 см2.

2. На рисунке 75, б изображена правильная шестиугольная призма, всеребра которой равны. Основанием призмы является шестиугольникABCEDP, диагонали которого пересекаются в точке О. Точки F, K

73

Рис. 74

и M — точки пересечения биссектрис треугольников ВОС, ЕОD и АОРсоответственно. Вычислите площадь боковой поверхности призмы,если известно, что площадь треугольника FМК равна 6 3 см2.

3. Точки О и Р — соответственно середины сторон АВ и CD прямо-угольника АВСD, точки Т и М лежат на стороне АD, а точки Е и К —на стороне ВС. Известно, что АВ = 6 см, а многоугольник ТОЕКРМявляется правильным. Вычислите длину радиуса окружности, описан-ной около треугольника ОКМ.


1. На рисунке 76, а изображен правильный шестиугольник АВСDРТ,диагонали которого пересекаются в точке О. Точка Е — точка пере-сечения медиан треугольника ВОС. Вычислите площадь шестиуголь-ника АВСDРТ, если известно, что площадь треугольника АЕD равна8 см2.

74

Рис. 75

Рис. 76

2. На рисунке 76, б изображена правильная шестиугольная призма, всеребра которой равны. Основанием призмы является шестиугольникABCDPT, диагонали которого пересекаются в точке O. Точка E —точка пересечения медиан треугольника BOC. Вычислите площадьбоковой поверхности призмы, если известно, что площадь треуголь-ника AED равна 4 3 см2.

3. Пары точек Р и F, K и O, E и M, T и N лежат соответственно на сто-ронах АВ, ВС, CD и АD квадрата АВСD. Известно, что АВ = 6 см,а многоугольник РFKОЕМTN является правильным. Вычислите длинурадиуса окружности, описанной около четырехугольника FОМT.

75

и M — точки пересечения биссектрис треугольников ВОС, ЕОD и АОРсоответственно. Вычислите площадь боковой поверхности призмы,если известно, что площадь треугольника FМК равна 6 3 см2.

3. Точки О и Р — соответственно середины сторон АВ и CD прямо-угольника АВСD, точки Т и М лежат на стороне АD, а точки Е и К —на стороне ВС. Известно, что АВ = 6 см, а многоугольник ТОЕКРМявляется правильным. Вычислите длину радиуса окружности, описан-ной около треугольника ОКМ.


1. На рисунке 76, а изображен правильный шестиугольник АВСDРТ,диагонали которого пересекаются в точке О. Точка Е — точка пере-сечения медиан треугольника ВОС. Вычислите площадь шестиуголь-ника АВСDРТ, если известно, что площадь треугольника АЕD равна8 см2.

74

Рис. 75

Рис. 76

2. На рисунке 76, б изображена правильная шестиугольная призма, всеребра которой равны. Основанием призмы является шестиугольникABCDPT, диагонали которого пересекаются в точке O. Точка E —точка пересечения медиан треугольника BOC. Вычислите площадьбоковой поверхности призмы, если известно, что площадь треуголь-ника AED равна 4 3 см2.

3. Пары точек Р и F, K и O, E и M, T и N лежат соответственно на сто-ронах АВ, ВС, CD и АD квадрата АВСD. Известно, что АВ = 6 см,а многоугольник РFKОЕМTN является правильным. Вычислите длинурадиуса окружности, описанной около четырехугольника FОМT.

75


ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ. РАДИАННАЯ МЕРА УГЛА


1. Длина диаметра окружности равна 10 см. Длина окружности равна:а) 20p см; б) 25p см; в) 10p см. Выберите правильный ответ.

2. Окружность w( , )B R пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВСв точках Р и Т. Вычислите длину дуги окружности, расположеннойвнутри треугольника АВС, если известно, что AС = BC, ВР = 4 см

и Ð =BACp3

.

3. Отрезок АН — высота треугольника АВС. Известно, что АС = 5 см,НС = 3 см. Вычислите длину окружности, вписанной в треугольникАНС (рис. 77, а).

4. Отрезок ВТ — высота грани ВDС тетраэдра DАВС. Длина окружно-сти, вписанной в треугольник ВТС, равна 2 3 1p( )- см (рис. 77, б).Вычислите площадь боковой поверхности тетраэдра.

5. Точки Т и Р — соответственно середины сторон AD и CD равнобед-ренной трапеции АВСD. Известно, что АD || ВС, АD = 2АВ, ÐВАD = 60°и ТР = 2 3 см. Вычислите длину окружности, описанной около тре-угольника BTO (точка O — центр окружности, описанной около тре-угольника PTD).

76

Рис. 77


1. Длина окружности равна 20p см. Длина диаметра окружности равна:а) 2 5 см; б) 20 см; в) 10 см. Выберите правильный ответ.

2. Окружность w (B, R) пересекает стороны АВ и ВС равностороннеготреугольника АВС в точках Е и О соответственно. Вычислите длинудуги окружности, расположенной внутри треугольника ABC, если из-вестно, что ВО = 4 см.

3. Отрезок АН — биссектриса равнобедренного треугольника АВС. Из-вестно, что АС = АВ = 10 см, ВС = 12 см. Вычислите длину окружно-сти, вписанной в треугольник АВН (рис. 78, а).

4. Отрезок ВТ — биссектриса грани АDВ тетраэдра DАВС, площадьполной поверхности которого равна 36 3 см2. Вычислите длину ок-ружности, вписанной в треугольник ВDТ (рис. 78, б).

5. В ромбе АВСD АВ = ВD. Отрезки ВО и ВР — биссектрисы треуголь-ников АВD и ВDС соответственно. Расстояние между точками O и Pравно 6 см. Вычислите длину окружности, описанной около треуголь-ника AOC.


1. Длина радиуса окружности равна 8 см. Длина окружности равна:а) 64p см; б) 8p см; в) 16p см. Выберите правильный ответ.

2. Сторона АВ прямоугольника АВСD является радиусом окружности w(B, R), которая пересекает диагональ ВD в точке Т. Вычислите длину

77

Рис. 78


ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ. РАДИАННАЯ МЕРА УГЛА


1. Длина диаметра окружности равна 10 см. Длина окружности равна:а) 20p см; б) 25p см; в) 10p см. Выберите правильный ответ.

2. Окружность w( , )B R пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВСв точках Р и Т. Вычислите длину дуги окружности, расположеннойвнутри треугольника АВС, если известно, что AС = BC, ВР = 4 см

и Ð =BACp3

.

3. Отрезок АН — высота треугольника АВС. Известно, что АС = 5 см,НС = 3 см. Вычислите длину окружности, вписанной в треугольникАНС (рис. 77, а).

4. Отрезок ВТ — высота грани ВDС тетраэдра DАВС. Длина окружно-сти, вписанной в треугольник ВТС, равна 2 3 1p( )- см (рис. 77, б).Вычислите площадь боковой поверхности тетраэдра.

5. Точки Т и Р — соответственно середины сторон AD и CD равнобед-ренной трапеции АВСD. Известно, что АD || ВС, АD = 2АВ, ÐВАD = 60°и ТР = 2 3 см. Вычислите длину окружности, описанной около тре-угольника BTO (точка O — центр окружности, описанной около тре-угольника PTD).

76

Рис. 77


1. Длина окружности равна 20p см. Длина диаметра окружности равна:а) 2 5 см; б) 20 см; в) 10 см. Выберите правильный ответ.

2. Окружность w (B, R) пересекает стороны АВ и ВС равностороннеготреугольника АВС в точках Е и О соответственно. Вычислите длинудуги окружности, расположенной внутри треугольника ABC, если из-вестно, что ВО = 4 см.

3. Отрезок АН — биссектриса равнобедренного треугольника АВС. Из-вестно, что АС = АВ = 10 см, ВС = 12 см. Вычислите длину окружно-сти, вписанной в треугольник АВН (рис. 78, а).

4. Отрезок ВТ — биссектриса грани АDВ тетраэдра DАВС, площадьполной поверхности которого равна 36 3 см2. Вычислите длину ок-ружности, вписанной в треугольник ВDТ (рис. 78, б).

5. В ромбе АВСD АВ = ВD. Отрезки ВО и ВР — биссектрисы треуголь-ников АВD и ВDС соответственно. Расстояние между точками O и Pравно 6 см. Вычислите длину окружности, описанной около треуголь-ника AOC.


1. Длина радиуса окружности равна 8 см. Длина окружности равна:а) 64p см; б) 8p см; в) 16p см. Выберите правильный ответ.

2. Сторона АВ прямоугольника АВСD является радиусом окружности w(B, R), которая пересекает диагональ ВD в точке Т. Вычислите длину

77

Рис. 78

дуги окружности, расположенной внутри треугольника ABD, если из-

вестно, что АВ = 4 см и ÐСBD = p3

.

3. Отрезок СН — высота треугольника АВС. Известно, что АС = 5 см,НС = 4 см. Вычислите длину окружности, вписанной в треугольникАНС (рис. 79, а).

4. Отрезок СР — высота грани АDС тетраэдра DАВС. Длина окружно-сти, вписанной в треугольник АРС, равна 6 3 1p( )- см (рис. 79, б).Вычислите площадь боковой поверхности тетраэдра.

5. Острый угол D прямоугольной трапеции АВСD равен 45°. Основаниевысоты СН трапеции является серединой стороны АD, точка О —середина отрезка АВ, ОН = 4 см. Вычислите длину окружности, опи-санной около треугольника ВОD.


1. Длина окружности равна 36 см. Длина диаметра окружности равна:

а) 6 см; б)36p

см; в)18p

см. Выберите правильный ответ.

2. Сторона CD квадрата АВСD является диаметром окружности, кото-рая пересекает диагональ AC в точке Р. Вычислите длину дуги окруж-ности, расположенной внутри треугольника ACD, если известно, чтоАВ = 10 см.

3. Отрезок ВН — медиана треугольника АВС. Известно, что АВ = 10 см,ВН = 8 см и АС = 12 см. Вычислите длину окружности, вписаннойв треугольник АВН (рис. 80, а).

78

Рис. 79

4. Отрезок DН — медиана грани АDВ тетраэдра DАВС, площадь боко-вой поверхности которого равна 12 3 см2. Вычислите длину окружно-сти, вписанной в треугольник АDН (рис. 80, б).

5. Точки T и P — соответственно середины сторон AB и BC прямоуголь-ника ABCD. Вычислите длину окружности, описанной около треуголь-ника ATC, если известно, что AB = 8 см и TP = 5 см.


1. В равнобедренный прямоугольный треугольник АВС (ÐАВС = 90°)вписана окружность, центром которой является точка О, а длина ра-диуса равна 2 см (рис. 81, а). Вычислите длину дуги окружности, рас-положенной внутри треугольника АОС.

2. Плоские углы (углы боковых граней с вершиной в точке S) при вер-шине правильной треугольной пирамиды SABC прямые. В треуголь-

79

Рис. 80

аа бб

OO

AA CC

BB

AA CC

BB

OO

SS

Рис. 81

дуги окружности, расположенной внутри треугольника ABD, если из-

вестно, что АВ = 4 см и ÐСBD = p3

.

3. Отрезок СН — высота треугольника АВС. Известно, что АС = 5 см,НС = 4 см. Вычислите длину окружности, вписанной в треугольникАНС (рис. 79, а).

4. Отрезок СР — высота грани АDС тетраэдра DАВС. Длина окружно-сти, вписанной в треугольник АРС, равна 6 3 1p( )- см (рис. 79, б).Вычислите площадь боковой поверхности тетраэдра.

5. Острый угол D прямоугольной трапеции АВСD равен 45°. Основаниевысоты СН трапеции является серединой стороны АD, точка О —середина отрезка АВ, ОН = 4 см. Вычислите длину окружности, опи-санной около треугольника ВОD.


1. Длина окружности равна 36 см. Длина диаметра окружности равна:

а) 6 см; б)36p

см; в)18p

см. Выберите правильный ответ.

2. Сторона CD квадрата АВСD является диаметром окружности, кото-рая пересекает диагональ AC в точке Р. Вычислите длину дуги окруж-ности, расположенной внутри треугольника ACD, если известно, чтоАВ = 10 см.

3. Отрезок ВН — медиана треугольника АВС. Известно, что АВ = 10 см,ВН = 8 см и АС = 12 см. Вычислите длину окружности, вписаннойв треугольник АВН (рис. 80, а).

78

Рис. 79

4. Отрезок DН — медиана грани АDВ тетраэдра DАВС, площадь боко-вой поверхности которого равна 12 3 см2. Вычислите длину окружно-сти, вписанной в треугольник АDН (рис. 80, б).

5. Точки T и P — соответственно середины сторон AB и BC прямоуголь-ника ABCD. Вычислите длину окружности, описанной около треуголь-ника ATC, если известно, что AB = 8 см и TP = 5 см.


1. В равнобедренный прямоугольный треугольник АВС (ÐАВС = 90°)вписана окружность, центром которой является точка О, а длина ра-диуса равна 2 см (рис. 81, а). Вычислите длину дуги окружности, рас-положенной внутри треугольника АОС.

2. Плоские углы (углы боковых граней с вершиной в точке S) при вер-шине правильной треугольной пирамиды SABC прямые. В треуголь-

79

Рис. 80

аа бб

OO

AA CC

BB

AA CC

BB

OO

SS

Рис. 81

ник SАВ вписана окружность, центром которой является точка О(рис. 81, б). Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды,если известно, что длина дуги окружности, расположенной внутри тре-угольника АОВ, равна 6ð см.

3. Отрезок АО — медиана правильного треугольника АВС. Луч с началомв точке О пересекает луч АВ в точке Т так, что точка В лежит междуточками А и Т. Известно, что треугольник ВОТ является равнобедрен-ным и ВТ = 6 см. Вычислите длину окружности, описанной около тре-угольника TOC.


1. Отрезок ВР — медиана правильного треугольника АВС, AB = 4 см.Известно, что в треугольник вписана окружность, центром которойявляется точка О (рис. 82, а). Вычислите длину дуги окружности,расположенной внутри треугольника РОС.

2. Точка Р — середина ребра ВС тетраэдра DABC. В треугольник DBCвписана окружность, центром которой является точка О (рис. 82, б).Вычислите площадь полной поверхности тетраэдра, если длина дугиокружности, расположенной внутри треугольника РОС, равна 2ð см.

3. Отрезок ВО — медиана прямоугольного треугольника АВС, у которогоÐАВС = 90°, ÐВАС = 60°, АВ = 6 см. Отрезок АР — высота треуголь-ника ВАО. Вычислите длину окружности, описанной около треугольникаРОС.

80

аа бб

AA PP CC

BB

OOAA CC

BBPP

DD

OO

Рис. 82


ПЛОЩАДЬ КРУГА. ПЛОЩАДЬ СЕКТОРА


1. Длина высоты правильного треугольника равна 6 см. Площадь круга,ограниченного окружностью, вписанной в треугольник, равна: а) 9ð см2;б) 4ð см2; в) 16ð см2. Выберите правильный ответ.

2. Длина катета равнобедренного прямоугольного треугольника равна4 см. Вычислите площадь круга, ограниченного окружностью, опи-санной около данного треугольника.

3. Основанием прямой треугольной призмы АВСА1В1С1 является равно-бедренный прямоугольный треугольник АВС (ÐАВС = 90°). Околооснования призмы описана окружность. Площадь круга, ограничен-ного этой окружностью, равна 16ð см2. Вычислите длину боковогоребра призмы, если известно, что АВ = АА1.

4. Периметр ромба АВСD равен 16 см, а ÐВАD = 60°. Высоты ВР и ВТромба являются радиусами круга. Вычислите площадь сектора, рас-положенного внутри четырехугольника ВРDТ.

5. Отрезок АТ — высота треугольника АВС. На отрезке АТ как на диа-метре построен полукруг. Полуокружность, ограничивающая полу-круг, пересекает сторону АС в точке Р. Известно, что АР = 4 3 см,ÐТАР = 30°. Вычислите площадь части полукруга, которая располо-жена внутри треугольника АТС.


1. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна 12 см. Площадькруга, ограниченного окружностью, описанной около треугольника,равна: а) 16ð см2; б) 36ð см2; в) 64ð см2. Выберите правильный ответ.

2. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 30°, а дли-на противолежащего ему катета равна 3 см. Вычислите площадь кру-га, ограниченного окружностью, описанной около данного треуголь-ника.

3. Основанием прямой треугольной призмы АВСА1В1С1 является прямо-угольный треугольник АВС (ÐАВС = 90°). Около основания призмы

81

ник SАВ вписана окружность, центром которой является точка О(рис. 81, б). Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды,если известно, что длина дуги окружности, расположенной внутри тре-угольника АОВ, равна 6ð см.

3. Отрезок АО — медиана правильного треугольника АВС. Луч с началомв точке О пересекает луч АВ в точке Т так, что точка В лежит междуточками А и Т. Известно, что треугольник ВОТ является равнобедрен-ным и ВТ = 6 см. Вычислите длину окружности, описанной около тре-угольника TOC.


1. Отрезок ВР — медиана правильного треугольника АВС, AB = 4 см.Известно, что в треугольник вписана окружность, центром которойявляется точка О (рис. 82, а). Вычислите длину дуги окружности,расположенной внутри треугольника РОС.

2. Точка Р — середина ребра ВС тетраэдра DABC. В треугольник DBCвписана окружность, центром которой является точка О (рис. 82, б).Вычислите площадь полной поверхности тетраэдра, если длина дугиокружности, расположенной внутри треугольника РОС, равна 2ð см.

3. Отрезок ВО — медиана прямоугольного треугольника АВС, у которогоÐАВС = 90°, ÐВАС = 60°, АВ = 6 см. Отрезок АР — высота треуголь-ника ВАО. Вычислите длину окружности, описанной около треугольникаРОС.

80

аа бб

AA PP CC

BB

OOAA CC

BBPP

DD

OO

Рис. 82


ПЛОЩАДЬ КРУГА. ПЛОЩАДЬ СЕКТОРА


1. Длина высоты правильного треугольника равна 6 см. Площадь круга,ограниченного окружностью, вписанной в треугольник, равна: а) 9ð см2;б) 4ð см2; в) 16ð см2. Выберите правильный ответ.

2. Длина катета равнобедренного прямоугольного треугольника равна4 см. Вычислите площадь круга, ограниченного окружностью, опи-санной около данного треугольника.

3. Основанием прямой треугольной призмы АВСА1В1С1 является равно-бедренный прямоугольный треугольник АВС (ÐАВС = 90°). Околооснования призмы описана окружность. Площадь круга, ограничен-ного этой окружностью, равна 16ð см2. Вычислите длину боковогоребра призмы, если известно, что АВ = АА1.

4. Периметр ромба АВСD равен 16 см, а ÐВАD = 60°. Высоты ВР и ВТромба являются радиусами круга. Вычислите площадь сектора, рас-положенного внутри четырехугольника ВРDТ.

5. Отрезок АТ — высота треугольника АВС. На отрезке АТ как на диа-метре построен полукруг. Полуокружность, ограничивающая полу-круг, пересекает сторону АС в точке Р. Известно, что АР = 4 3 см,ÐТАР = 30°. Вычислите площадь части полукруга, которая располо-жена внутри треугольника АТС.


1. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна 12 см. Площадькруга, ограниченного окружностью, описанной около треугольника,равна: а) 16ð см2; б) 36ð см2; в) 64ð см2. Выберите правильный ответ.

2. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 30°, а дли-на противолежащего ему катета равна 3 см. Вычислите площадь кру-га, ограниченного окружностью, описанной около данного треуголь-ника.

3. Основанием прямой треугольной призмы АВСА1В1С1 является прямо-угольный треугольник АВС (ÐАВС = 90°). Около основания призмы

81

описана окружность. Площадь круга, ограниченного этой окружно-стью, равна 9ð см2. Вычислите длину бокового ребра призмы, еслиизвестно, что АВ = АА1 и ÐАСВ = 30°.

4. В ромбе АВСD ÐВАD = 120°, АС = 6 см. Высоты AP и AT ромба яв-ляются радиусами круга. Вычислите площадь сектора, расположен-ного внутри четырехугольника АРСТ.

5. Отрезок AP — высота треугольника АВС. На отрезке АР как на диа-метре построен полукруг. Полуокружность, ограничивающая полукруг,пересекает сторону АВ в точке Т. Известно, что АР = 12 см, ТР = 6 см.Вычислите площадь части полукруга, которая расположена внутритреугольника АРВ.


1. Длина радиуса окружности, описанной около правильного треугольника,равна 8 см. Площадь круга, ограниченного окружностью, вписаннойв треугольник, равна: а) 4ð см2; б) 64ð см2; в) 16ð см2. Выберите пра-вильный ответ.

2. Длины катетов прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Вы-числите площадь круга, ограниченного окружностью, описанной око-ло данного треугольника.

3. Основанием прямой треугольной призмы АВСА1В1С1 является прямо-угольный треугольник АВС (ÐАСВ = 90°). Около основания призмыописана окружность. Площадь круга, ограниченного этой окружно-стью, равна 25ð см2. Вычислите длину бокового ребра призмы, еслиизвестно, что СВ = 8 см и AC BB= 1.

4. Площадь ромба АВСD равна 8 3 см2 и АВ = ВD. Высоты ВР и ВТромба являются радиусами круга. Вычислите площадь сектора, рас-положенного внутри четырехугольника ВРDТ.

5. Отрезок BP — высота треугольника АВС. На отрезке ВР как на диа-метре построен полукруг. Полуокружность, ограничивающая полукруг,пересекает сторону ВС в точке О. Известно, что ВО = 2 3 см, ÐВРО == 60°. Вычислите площадь части полукруга, которая расположенавнутри треугольника ВРС.


1. Длина высоты ромба равна 10 см. Окружность касается всех сторонромба. Площадь круга, ограниченного этой окружностью, равна:а) 100ð см2; б) 25ð см2; в) 50ð см2. Выберите правильный ответ.

82

2. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 60°, а длинаприлежащего к нему катета равна 4 см. Вычислите площадь круга,ограниченного окружностью, описанной около данного треугольника.

3. Основанием прямой треугольной призмы АВСА1В1С1 является прямо-угольный треугольник АВС (ÐВАС = 90°). Около основания призмыописана окружность. Площадь круга, ограниченного этой окружно-стью, равна 16ð см2. Вычислите длину бокового ребра призмы, еслиизвестно, что ÐАВС = 60° и AC AA= 1.

4. Периметр ромба АВСD равен 24 см, а ÐВАD = 2ÐАВС. Высоты ATи AO ромба являются радиусами круга. Вычислите площадь сектора,расположенного внутри четырехугольника СОАТ.

5. Отрезок AO — высота треугольника АВС. На отрезке АО как на диа-метре построен полукруг. Полуокружность, ограничивающая полукруг,пересекает сторону АС в точке Р. Известно, что ОР = 3 см, ÐОАР == 30°. Вычислите площадь части полукруга, которая расположенавнутри треугольника АОС.


1. Отрезок АР — высота треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 6 сми ÐАВС = 120°. Окружность w (A, AP) пересекает сторону АС в точ-ке О. Вычислите площадь сектора, ограниченного данной окружностьюи расположенного внутри треугольника РАС.

2. Отрезок AT — высота треугольника АВС. На отрезке АТ как на диа-метре построен полукруг. Полуокружность, ограничивающая полу-круг, пересекает сторону АС в точке Р. Известно, что ТР = 2 см,ÐТАР = 30°. Вычислите площадь части полукруга, которая располо-жена вне треугольника АВС.

3. В ромбе АВСD АВ = 30 см, ВD = 48 см. Точки К, О, Р и Т лежат соот-ветственно на сторонах АВ, ВС, СD и АD так, что АТ : ТD = СР : РD == АК : КВ = СО : ОВ = 1 : 2. Вычислите площадь круга, ограниченно-го окружностью, описанной около четырехугольника КОРТ.


1. Отрезок АН — высота треугольника АВС, у которого АВ = ВС,АС = 8 см и ÐВСА = 30°. Окружность w (A, AH) пересекает сторо-

83

описана окружность. Площадь круга, ограниченного этой окружно-стью, равна 9ð см2. Вычислите длину бокового ребра призмы, еслиизвестно, что АВ = АА1 и ÐАСВ = 30°.

4. В ромбе АВСD ÐВАD = 120°, АС = 6 см. Высоты AP и AT ромба яв-ляются радиусами круга. Вычислите площадь сектора, расположен-ного внутри четырехугольника АРСТ.

5. Отрезок AP — высота треугольника АВС. На отрезке АР как на диа-метре построен полукруг. Полуокружность, ограничивающая полукруг,пересекает сторону АВ в точке Т. Известно, что АР = 12 см, ТР = 6 см.Вычислите площадь части полукруга, которая расположена внутритреугольника АРВ.


1. Длина радиуса окружности, описанной около правильного треугольника,равна 8 см. Площадь круга, ограниченного окружностью, вписаннойв треугольник, равна: а) 4ð см2; б) 64ð см2; в) 16ð см2. Выберите пра-вильный ответ.

2. Длины катетов прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Вы-числите площадь круга, ограниченного окружностью, описанной око-ло данного треугольника.

3. Основанием прямой треугольной призмы АВСА1В1С1 является прямо-угольный треугольник АВС (ÐАСВ = 90°). Около основания призмыописана окружность. Площадь круга, ограниченного этой окружно-стью, равна 25ð см2. Вычислите длину бокового ребра призмы, еслиизвестно, что СВ = 8 см и AC BB= 1.

4. Площадь ромба АВСD равна 8 3 см2 и АВ = ВD. Высоты ВР и ВТромба являются радиусами круга. Вычислите площадь сектора, рас-положенного внутри четырехугольника ВРDТ.

5. Отрезок BP — высота треугольника АВС. На отрезке ВР как на диа-метре построен полукруг. Полуокружность, ограничивающая полукруг,пересекает сторону ВС в точке О. Известно, что ВО = 2 3 см, ÐВРО == 60°. Вычислите площадь части полукруга, которая расположенавнутри треугольника ВРС.


1. Длина высоты ромба равна 10 см. Окружность касается всех сторонромба. Площадь круга, ограниченного этой окружностью, равна:а) 100ð см2; б) 25ð см2; в) 50ð см2. Выберите правильный ответ.

82

2. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 60°, а длинаприлежащего к нему катета равна 4 см. Вычислите площадь круга,ограниченного окружностью, описанной около данного треугольника.

3. Основанием прямой треугольной призмы АВСА1В1С1 является прямо-угольный треугольник АВС (ÐВАС = 90°). Около основания призмыописана окружность. Площадь круга, ограниченного этой окружно-стью, равна 16ð см2. Вычислите длину бокового ребра призмы, еслиизвестно, что ÐАВС = 60° и AC AA= 1.

4. Периметр ромба АВСD равен 24 см, а ÐВАD = 2ÐАВС. Высоты ATи AO ромба являются радиусами круга. Вычислите площадь сектора,расположенного внутри четырехугольника СОАТ.

5. Отрезок AO — высота треугольника АВС. На отрезке АО как на диа-метре построен полукруг. Полуокружность, ограничивающая полукруг,пересекает сторону АС в точке Р. Известно, что ОР = 3 см, ÐОАР == 30°. Вычислите площадь части полукруга, которая расположенавнутри треугольника АОС.


1. Отрезок АР — высота треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 6 сми ÐАВС = 120°. Окружность w (A, AP) пересекает сторону АС в точ-ке О. Вычислите площадь сектора, ограниченного данной окружностьюи расположенного внутри треугольника РАС.

2. Отрезок AT — высота треугольника АВС. На отрезке АТ как на диа-метре построен полукруг. Полуокружность, ограничивающая полу-круг, пересекает сторону АС в точке Р. Известно, что ТР = 2 см,ÐТАР = 30°. Вычислите площадь части полукруга, которая располо-жена вне треугольника АВС.

3. В ромбе АВСD АВ = 30 см, ВD = 48 см. Точки К, О, Р и Т лежат соот-ветственно на сторонах АВ, ВС, СD и АD так, что АТ : ТD = СР : РD == АК : КВ = СО : ОВ = 1 : 2. Вычислите площадь круга, ограниченно-го окружностью, описанной около четырехугольника КОРТ.


1. Отрезок АН — высота треугольника АВС, у которого АВ = ВС,АС = 8 см и ÐВСА = 30°. Окружность w (A, AH) пересекает сторо-

83

ну АВ в точке Т. Вычислите площадь сектора, ограниченного даннойокружностью и расположенного внутри треугольника АВН.

2. Отрезок AT — высота треугольника АВС. На отрезке АТ как на диа-метре построен полукруг. Полуокружность, ограничивающая полу-круг, пересекает сторону АС в точке Р. Известно, что АТ = 8 см,ÐТАС = 22°30¢. Вычислите площадь части круга, которая расположе-на внутри треугольника АТС.

3. Угол между прямыми, содержащими диагонали АС и ВD равнобед-ренной трапеции АВСD, равен 60°. Точки Т, О, Р и К — серединысторон АВ, ВС, СD и АD соответственно. Вычислите площадь круга,ограниченного окружностью, вписанной в четырехугольник ТОРК,если АС = 8 см.

84


ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ.ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДЬ КРУГА


1. На рисунке 83, а изображен круг, центром которого является точ-ка O. Его разделили на части, как показано на рисунке 83, б. Укажи-те, какая из частей является: а) сектором; б) сегментом.

2. Точки Т и Р — соответственно середины сторон АВ и АС треугольни-ка АВС. В треугольник АТР вписана окружность (рис. 84, а), длинарадиуса которой равна 2 см. Вычислите площадь треугольника АТР,если известно, что периметр треугольника АВС равен 16 см.

85

Рис. 83

Рис. 84

ну АВ в точке Т. Вычислите площадь сектора, ограниченного даннойокружностью и расположенного внутри треугольника АВН.

2. Отрезок AT — высота треугольника АВС. На отрезке АТ как на диа-метре построен полукруг. Полуокружность, ограничивающая полу-круг, пересекает сторону АС в точке Р. Известно, что АТ = 8 см,ÐТАС = 22°30¢. Вычислите площадь части круга, которая расположе-на внутри треугольника АТС.

3. Угол между прямыми, содержащими диагонали АС и ВD равнобед-ренной трапеции АВСD, равен 60°. Точки Т, О, Р и К — серединысторон АВ, ВС, СD и АD соответственно. Вычислите площадь круга,ограниченного окружностью, вписанной в четырехугольник ТОРК,если АС = 8 см.

84


ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ.ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДЬ КРУГА


1. На рисунке 83, а изображен круг, центром которого является точ-ка O. Его разделили на части, как показано на рисунке 83, б. Укажи-те, какая из частей является: а) сектором; б) сегментом.

2. Точки Т и Р — соответственно середины сторон АВ и АС треугольни-ка АВС. В треугольник АТР вписана окружность (рис. 84, а), длинарадиуса которой равна 2 см. Вычислите площадь треугольника АТР,если известно, что периметр треугольника АВС равен 16 см.

85

Рис. 83

Рис. 84

3. Около правильного треугольника описана окружность и в него вписа-на окружность. Вычислите площадь кольца, ограниченного этимиокружностями, если известно, что площадь круга, ограниченного впи-санной окружностью, равна 4ð см2.

4. На рисунке 84, б изображен равносторонний треугольник АВС, длинастороны которого равна 4 см. Точки Т и Р — середины сторон АВ и ВСсоответственно. В треугольник РВТ вписана окружность. Вычислитедлину дуги окружности, концами которой являются точки касания ок-ружности со сторонами АВ и ВС и которая меньше 180°.

5. Диагонали ромба АВСD пересекаются в точке О. На отрезке АО какна диаметре построен круг. Окружность, ограничивающая круг, пересе-кает сторону АD в точке Р. Известно, что АР = 6 3 см, а РD = 2 3 см.Вычислите площадь части круга, расположенной вне ромба.


1. На рисунке 85, а изображен круг, центром которого является точка O.Его разделили на части, как показано на рисунке 85, б. Укажите, ка-кая из частей является: а) сектором; б) сегментом.

2. Точки Т и О — соответственно середины сторон АВ и ВС треугольникаАВС. В треугольник ВТО вписана окружность (рис. 86, а). Вычислитедлину радиуса окружности, если известно, что площадь треугольникаТВО равна 12 см2, а периметр треугольника АВС равен 16 см.

3. Около правильного треугольника описана окружность и в него вписа-на окружность. Вычислите площадь кольца, ограниченного этимиокружностями, если известно, что длина вписанной окружности равна8ð см.

4. На рисунке 86, б изображен равносторонний треугольник АВС, длинастороны которого равна 12 см. Точки О и Т — середины сторон ВС

86

Рис. 85

и АВ соответственно. В треугольник ОТВ вписана окружность. Вы-числите площадь сектора, ограниченного двумя радиусами, проведен-ными в точки касания, и дугой окружности, которая больше 180°.

5. Диагонали ромба АВСD пересекаются в точке О. На отрезке СО как надиаметре построен круг. Окружность, ограничивающая круг, пересекаетсторону ВС в точке Т. Известно, что ТВ = 3 см, а точка О удалена отстороны ромба на расстояние, равное 3 см. Вычислите площадь частикруга, расположенной вне ромба.

К-4 Вариант 31. На рисунке 87, а изображен круг, центром которого является точка О.

Его разделили на части, как показано на рисунке 87, б. Укажите, ка-кая из частей является: а) сектором; б) сегментом.

2. Точки Т и Р — соответственно середины сторон ВС и АС треугольни-ка АВС. В треугольник ТРС вписана окружность (рис. 88, а), длинарадиуса которой равна 4 см. Вычислите периметр треугольника АВС,если известно, что площадь треугольника ТРС равна 24 см2.

87

Рис. 86

Рис. 87

3. Около правильного треугольника описана окружность и в него вписа-на окружность. Вычислите площадь кольца, ограниченного этимиокружностями, если известно, что площадь круга, ограниченного впи-санной окружностью, равна 4ð см2.

4. На рисунке 84, б изображен равносторонний треугольник АВС, длинастороны которого равна 4 см. Точки Т и Р — середины сторон АВ и ВСсоответственно. В треугольник РВТ вписана окружность. Вычислитедлину дуги окружности, концами которой являются точки касания ок-ружности со сторонами АВ и ВС и которая меньше 180°.

5. Диагонали ромба АВСD пересекаются в точке О. На отрезке АО какна диаметре построен круг. Окружность, ограничивающая круг, пересе-кает сторону АD в точке Р. Известно, что АР = 6 3 см, а РD = 2 3 см.Вычислите площадь части круга, расположенной вне ромба.


1. На рисунке 85, а изображен круг, центром которого является точка O.Его разделили на части, как показано на рисунке 85, б. Укажите, ка-кая из частей является: а) сектором; б) сегментом.

2. Точки Т и О — соответственно середины сторон АВ и ВС треугольникаАВС. В треугольник ВТО вписана окружность (рис. 86, а). Вычислитедлину радиуса окружности, если известно, что площадь треугольникаТВО равна 12 см2, а периметр треугольника АВС равен 16 см.

3. Около правильного треугольника описана окружность и в него вписа-на окружность. Вычислите площадь кольца, ограниченного этимиокружностями, если известно, что длина вписанной окружности равна8ð см.

4. На рисунке 86, б изображен равносторонний треугольник АВС, длинастороны которого равна 12 см. Точки О и Т — середины сторон ВС

86

Рис. 85

и АВ соответственно. В треугольник ОТВ вписана окружность. Вы-числите площадь сектора, ограниченного двумя радиусами, проведен-ными в точки касания, и дугой окружности, которая больше 180°.

5. Диагонали ромба АВСD пересекаются в точке О. На отрезке СО как надиаметре построен круг. Окружность, ограничивающая круг, пересекаетсторону ВС в точке Т. Известно, что ТВ = 3 см, а точка О удалена отстороны ромба на расстояние, равное 3 см. Вычислите площадь частикруга, расположенной вне ромба.

К-4 Вариант 31. На рисунке 87, а изображен круг, центром которого является точка О.

Его разделили на части, как показано на рисунке 87, б. Укажите, ка-кая из частей является: а) сектором; б) сегментом.

2. Точки Т и Р — соответственно середины сторон ВС и АС треугольни-ка АВС. В треугольник ТРС вписана окружность (рис. 88, а), длинарадиуса которой равна 4 см. Вычислите периметр треугольника АВС,если известно, что площадь треугольника ТРС равна 24 см2.

87

Рис. 86

Рис. 87

88

3. Около правильного треугольника описана окружность и в него вписа-на окружность. Вычислите площадь кольца, ограниченного этимиокружностями, если известно, что площадь круга, ограниченногоописанной окружностью, равна 36ð см2.

4. На рисунке 88, б изображен равносторонний треугольник АВС. Точки Ри Т — середины сторон АС и СВ соответственно. В треугольник СРТвписана окружность. Длина дуги окружности, концами которой являются

точки касания окружности со сторонами ВС и АС, равна43p

см, а ее гра-

дусная мера меньше 180°. Вычислите длину стороны треугольника АВС.

5. Диагонали ромба АВСD пересекаются в точке О. На отрезке ВО какна диаметре построен круг. Окружность, ограничивающая круг, пересе-кает сторону АВ в точке Т. Известно, что АВ = 12 3 см, а ТВ = 9 3 см.Вычислите площадь части круга, расположенной вне ромба.


1. На рисунке 89, а изображен круг, центром которого является точка О.Его разделили на части, как показано на рисунке 89, б. Укажите, ка-кая из частей является: а) сектором; б) сегментом.

2. Точки Т и Р — соответственно середины сторон АВ и ВС треугольникаАВС. В треугольник ВТР вписана окружность (рис. 90, а). Вычислитедлину радиуса окружности, если известно, что площадь треугольникаАВС равна 48 см2, а периметр треугольника ТВР равен 8 см.

3. Около правильного треугольника описана окружность и в него вписа-на окружность. Вычислите площадь кольца, ограниченного этимиокружностями, если известно, что длина описанной окружности рав-на 16ð см.

Рис. 88

4. На рисунке 90, б изображен равносторонний треугольник АВС. ТочкиР и Т — середины сторон АВ и ВС соответственно. В треугольникВТР вписана окружность. Площадь сектора, ограниченного двумярадиусами, проведенными в точки касания, и дугой окружности, кото-рая больше 180°, равна 2p см2. Вычислите длину стороны треуголь-ника АВС.

5. Диагонали ромба АВСD пересекаются в точке О. На отрезке DО какна диаметре построен круг. Окружность, ограничивающая круг, пересе-кает сторону DС в точке Т. Известно, что АС = 12 см, а DВ = 12 3 см.Вычислите площадь части круга, расположенной вне ромба.


1. Квадрат расположен внутри равнобедренного прямоугольного треуголь-ника АВС, как показано на рисунке 91. В квадрат вписана окружность.

89

Рис. 90

Рис. 89

88

3. Около правильного треугольника описана окружность и в него вписа-на окружность. Вычислите площадь кольца, ограниченного этимиокружностями, если известно, что площадь круга, ограниченногоописанной окружностью, равна 36ð см2.

4. На рисунке 88, б изображен равносторонний треугольник АВС. Точки Ри Т — середины сторон АС и СВ соответственно. В треугольник СРТвписана окружность. Длина дуги окружности, концами которой являются

точки касания окружности со сторонами ВС и АС, равна43p

см, а ее гра-

дусная мера меньше 180°. Вычислите длину стороны треугольника АВС.

5. Диагонали ромба АВСD пересекаются в точке О. На отрезке ВО какна диаметре построен круг. Окружность, ограничивающая круг, пересе-кает сторону АВ в точке Т. Известно, что АВ = 12 3 см, а ТВ = 9 3 см.Вычислите площадь части круга, расположенной вне ромба.


1. На рисунке 89, а изображен круг, центром которого является точка О.Его разделили на части, как показано на рисунке 89, б. Укажите, ка-кая из частей является: а) сектором; б) сегментом.

2. Точки Т и Р — соответственно середины сторон АВ и ВС треугольникаАВС. В треугольник ВТР вписана окружность (рис. 90, а). Вычислитедлину радиуса окружности, если известно, что площадь треугольникаАВС равна 48 см2, а периметр треугольника ТВР равен 8 см.

3. Около правильного треугольника описана окружность и в него вписа-на окружность. Вычислите площадь кольца, ограниченного этимиокружностями, если известно, что длина описанной окружности рав-на 16ð см.

Рис. 88

4. На рисунке 90, б изображен равносторонний треугольник АВС. ТочкиР и Т — середины сторон АВ и ВС соответственно. В треугольникВТР вписана окружность. Площадь сектора, ограниченного двумярадиусами, проведенными в точки касания, и дугой окружности, кото-рая больше 180°, равна 2p см2. Вычислите длину стороны треуголь-ника АВС.

5. Диагонали ромба АВСD пересекаются в точке О. На отрезке DО какна диаметре построен круг. Окружность, ограничивающая круг, пересе-кает сторону DС в точке Т. Известно, что АС = 12 см, а DВ = 12 3 см.Вычислите площадь части круга, расположенной вне ромба.


1. Квадрат расположен внутри равнобедренного прямоугольного треуголь-ника АВС, как показано на рисунке 91. В квадрат вписана окружность.

89

Рис. 90

Рис. 89

Известно, что длина гипотенузы АС равна8 2 дм. Вычислите длину дуги, концамикоторой являются точки касания окружно-сти со смежными сторонами квадратаи которая меньше 180°.

2. Основанием прямой треугольной призмыАСВА1В1С1 является равнобедренный пря-моугольный треугольник АВС с гипотену-зой АС. Ребра АВ и ВВ1 равны. Квадратрасположен внутри треугольника АВС та-ким образом, что одна из его вершин сов-падает с вершиной треугольника, а другие принадлежат сторонамтреугольника. В квадрат вписана окружность, длина которой равна4ð см. Вычислите площадь боковой поверхности призмы.

3. В прямоугольном треугольнике АВС ÐАВС = 90°, АС = 5 см, ВС = 4 см.Биссектрисы СТ и АР треугольника АВС пересекаются в точке О.Вычислите площадь круга, ограниченного окружностью, описаннойоколо треугольника АОТ.


1. Квадрат расположен внутри равнобедрен-ного прямоугольного треугольника АВС,как показано на рисунке 92, Ð = °ABC 90 ,AC = 6 2 дм. В квадрат вписана окруж-ность. Вычислите длину дуги, концами ко-торой являются точки касания окружностисо смежными сторонами квадрата и кото-рая меньше 180°.

2. Основанием прямой треугольной призмыАВСА1В1С1 является равнобедренный пря-моугольный треугольник АВС. РебраАВ и ВВ1 равны. Квадрат расположен внутри треугольника АВС та-ким образом, что две его вершины принадлежат гипотенузе АС, а дведругие — катетам треугольника. В квадрат вписана окружность, дли-на которой равна 8ð см. Вычислите площадь боковой поверхностипризмы.

3. В треугольнике АВС ÐАВС = 120°, АС = 2АВ, ВС = 6 см. БиссектрисыАТ и СР треугольника АВС пересекаются в точке О. Вычислите площадькруга, ограниченного окружностью, описанной около треугольника СОТ.

90

Рис. 91

Рис. 92

Ответы


В-1. 3. 10 см. 4. 3 3 см. 5. 32 см.

В-2. 3. 6 см, 6 см, 7 см, 7 см. 4. ( )8 4 3+ см. 5. 2 см.

В-3. 3. 15 см. 4. 2 3 см. 5. 16 см.

В-4. 3. 10 см. 4. ( )8 4 3+ см. 5. 8 см.

В-5. 1. 2 2 см. 2. 5 см. 3. ( )16 4 3+ см.

В-6. 1. 4 3 см. 2. 4 см, 9 см. 3. 4 см,4

3см.

Самостоятельная работа № 2В-1. 3. 50°, 50°, 130°, 130°. 4. 30°. 5. 3 см2.

В-2. 3. 30°, 30°, 120°. 4. 60°. 5.27 3

4см2.

В-3. 3. 70°, 70°, 110°, 110°. 4. 18°. 5. 12 3 см2.

В-4. 3. 10°, 80°. 4. 40°. 5. 48 3 см2.

В-5. 2. 40°, 50°, 90°. 3. 50°, 80°, 100°, 130°.В-6. 2. 10°. 3. 80°.


В-1. 2. 12 см. 3. 6 2 см. 4. 4,5 см. 5.3 2

2см2.

В-2. 2. 4 см. 3. 4 2 см. 4. 4,5 см. 5. 15 см.

В-3. 2. 1,5 см. 3. 4 2 см. 4. 19,2 см. 5. 1 : 4.

В-4. 2. 12 см. 3. 3 2 см. 4. 2,5 см. 5.16 5

3см2.

В-5. 1.5

5см. 2.

8 5

5см. 3.

3 2

2см.

В-6. 1.8 13

13см. 2. 2 3 см. 3. 4 11 см2.


В-1. 2. 3 см, 3 см. 3. 4 см. 4. 6 см. 5.56 3

3см2.

В-2. 2. 2 см, 2 см. 3. 64 см. 4. 2 см. 5. ( )45 27 2+ см2.

91

Известно, что длина гипотенузы АС равна8 2 дм. Вычислите длину дуги, концамикоторой являются точки касания окружно-сти со смежными сторонами квадратаи которая меньше 180°.

2. Основанием прямой треугольной призмыАСВА1В1С1 является равнобедренный пря-моугольный треугольник АВС с гипотену-зой АС. Ребра АВ и ВВ1 равны. Квадратрасположен внутри треугольника АВС та-ким образом, что одна из его вершин сов-падает с вершиной треугольника, а другие принадлежат сторонамтреугольника. В квадрат вписана окружность, длина которой равна4ð см. Вычислите площадь боковой поверхности призмы.

3. В прямоугольном треугольнике АВС ÐАВС = 90°, АС = 5 см, ВС = 4 см.Биссектрисы СТ и АР треугольника АВС пересекаются в точке О.Вычислите площадь круга, ограниченного окружностью, описаннойоколо треугольника АОТ.


1. Квадрат расположен внутри равнобедрен-ного прямоугольного треугольника АВС,как показано на рисунке 92, Ð = °ABC 90 ,AC = 6 2 дм. В квадрат вписана окруж-ность. Вычислите длину дуги, концами ко-торой являются точки касания окружностисо смежными сторонами квадрата и кото-рая меньше 180°.

2. Основанием прямой треугольной призмыАВСА1В1С1 является равнобедренный пря-моугольный треугольник АВС. РебраАВ и ВВ1 равны. Квадрат расположен внутри треугольника АВС та-ким образом, что две его вершины принадлежат гипотенузе АС, а дведругие — катетам треугольника. В квадрат вписана окружность, дли-на которой равна 8ð см. Вычислите площадь боковой поверхностипризмы.

3. В треугольнике АВС ÐАВС = 120°, АС = 2АВ, ВС = 6 см. БиссектрисыАТ и СР треугольника АВС пересекаются в точке О. Вычислите площадькруга, ограниченного окружностью, описанной около треугольника СОТ.

90

Рис. 91

Рис. 92

Ответы


В-1. 3. 10 см. 4. 3 3 см. 5. 32 см.

В-2. 3. 6 см, 6 см, 7 см, 7 см. 4. ( )8 4 3+ см. 5. 2 см.

В-3. 3. 15 см. 4. 2 3 см. 5. 16 см.

В-4. 3. 10 см. 4. ( )8 4 3+ см. 5. 8 см.

В-5. 1. 2 2 см. 2. 5 см. 3. ( )16 4 3+ см.

В-6. 1. 4 3 см. 2. 4 см, 9 см. 3. 4 см,4

3см.

Самостоятельная работа № 2В-1. 3. 50°, 50°, 130°, 130°. 4. 30°. 5. 3 см2.

В-2. 3. 30°, 30°, 120°. 4. 60°. 5.27 3

4см2.

В-3. 3. 70°, 70°, 110°, 110°. 4. 18°. 5. 12 3 см2.

В-4. 3. 10°, 80°. 4. 40°. 5. 48 3 см2.

В-5. 2. 40°, 50°, 90°. 3. 50°, 80°, 100°, 130°.В-6. 2. 10°. 3. 80°.


В-1. 2. 12 см. 3. 6 2 см. 4. 4,5 см. 5.3 2

2см2.

В-2. 2. 4 см. 3. 4 2 см. 4. 4,5 см. 5. 15 см.

В-3. 2. 1,5 см. 3. 4 2 см. 4. 19,2 см. 5. 1 : 4.

В-4. 2. 12 см. 3. 3 2 см. 4. 2,5 см. 5.16 5

3см2.

В-5. 1.5

5см. 2.

8 5

5см. 3.

3 2

2см.

В-6. 1.8 13

13см. 2. 2 3 см. 3. 4 11 см2.


В-1. 2. 3 см, 3 см. 3. 4 см. 4. 6 см. 5.56 3

3см2.

В-2. 2. 2 см, 2 см. 3. 64 см. 4. 2 см. 5. ( )45 27 2+ см2.

91

В-3. 2. 3 см, 3 см. 3. 13 см. 4. 6 см. 5.56 3

3см2.

В-4. 2. 5 см, 5 см. 3. 4 см. 4. 16 см2. 5. 12 см2.В-5. 2. 4 3 см. 3. ( )12 8 2+ см2.

В-6. 2. ( )6 3 3+ см. 3. ( )4 3 4+ см.


В-1. 3. 40°, 50°, 90°. 5.16 13

13см.

В-2. 3. 35°, 55°, 90°. 5. 11,2 см.

В-3. 3. 30°, 60°, 90°. 5.32 13

13см.

В-4. 3. 37 30° ¢, 52 30° ¢, 90°. 5.60 13

13см.

В-5. 1. 120°. 2.3 3

2см. 3. 6 см.

В-6. 1. 60°. 2. 6 3 см2. 3. 2 59 см.

Самостоятельная работа № 5В-1. 2. 8 см. 3. 18 см. 4. 3 см. 5. 3 : 1.

В-2. 2. 18 см2. 3. 36 см. 4. 48 см. 5. 48 : 7.

В-3. 2. 12 см. 3.3

3см. 4. 2 3 см. 5. 1 : 3.

В-4. 2. 6 см. 3. 3 см. 4. 18 см. 5. 3 : 1.

В-5. 1. 3 см. 2.3 7

1 2 2+см. 3. 4 2 1( – ) см, 4 см.

В-6. 1. 36 см. 2.2 6

2 5+см. 3. ( )3 1+ см.


В-1. 2. 8 см. 3.2

40sin °см. 4.

5 13

3см. 5. 3 3 см.

В-2. 2. 3 см. 3.3

70sin °см. 4. 16 см. 5. 8 3 см2.

В-3. 2. 5 см. 3.2

50sin °см. 4.

5 13

4см. 5. 2 3 см.

В-4. 2. 10 см. 3.4

80sin °см. 4. 64 см2. 5.

3 3

2см.

В-5. 2.5 3

3см. 3.

64 5

5см.

92

В-6. 2.45 41

82см. 3. 40 см.

Самостоятельная работа № 7В-1. 2. 18 см. 3. 3 см. 5. 3 см2.

В-2. 2. 20 см. 3. 12 см2. 5. 2 : 1.

В-3. 2. 24 см. 3. 4 см. 5. 36 3 см2.

В-4. 2. 16 см. 3. 5 см. 5. 6 см.

В-5. 2. 2 см. 3. 2 1: .

В-6. 2. 4 см, 8 см, 8 см, 12 см. 3. 2 1: .

Самостоятельная работа № 8В-1. 2. 120°. 4. 8 3 см2. 5. ( )12 12 3+ см.

В-2. 2. 35°. 4. 4 3 см. 5. ( )18 12 2+ см.

В-3. 2. 100°. 4. 4 см. 5. ( )12 4 3+ см.

В-4. 2. 30°. 4. 6 3 см, 6 3 см. 5. 272 см2.

В-5. 1. 70°. 3. ( )6 3 3+ см2.

В-6. 1. 45°, 75°, 105°, 135°. 3. 4 2 см.

Контрольная работа № 2В-1. 3. 1 см. 4. 13 см. 5. 3 см.

В-2. 3. 2 см. 4. 2 13 см. 5. 15 см.

В-3. 3. 1 см. 4. 34 см. 5. 4,5 см.

В-4. 3. 2 см. 4. 14 см. 5. 90 см.

В-5. 1. 2 см. 2. 2 см, 6 см. 3. 5 см.

В-6. 1. 2,5 см. 2. 1 : 1 : 1. 3. 2 10 3 3+ см.


В-1. 2. 2 2 см. 3.25 3

4см2. 4.

2

22 30cos ° ¢. 5. 64 36 72cos sin° ° см2.

В-2. 2. 60°. 3. 4 см2. 4. 2 3 см. 5. 24 36 72cos sin° ° см2.

В-3. 2. 3 2 см. 3. 9 см2. 4. 10 2 см. 5. 24 36 72cos sin° ° см2.

В-4. 2. 60° или 120°. 3. 4 см2. 4.2

40 65sin sin° °см. 5. 64 36 72cos sin° ° см2.

В-5. 2. 6 3 см2. 3. 9tg20° см2.

В-6. 2.27

3 1+см2. 3. 8 50 20sin tg° ° см2.

93

В-3. 2. 3 см, 3 см. 3. 13 см. 4. 6 см. 5.56 3

3см2.

В-4. 2. 5 см, 5 см. 3. 4 см. 4. 16 см2. 5. 12 см2.В-5. 2. 4 3 см. 3. ( )12 8 2+ см2.

В-6. 2. ( )6 3 3+ см. 3. ( )4 3 4+ см.


В-1. 3. 40°, 50°, 90°. 5.16 13

13см.

В-2. 3. 35°, 55°, 90°. 5. 11,2 см.

В-3. 3. 30°, 60°, 90°. 5.32 13

13см.

В-4. 3. 37 30° ¢, 52 30° ¢, 90°. 5.60 13

13см.

В-5. 1. 120°. 2.3 3

2см. 3. 6 см.

В-6. 1. 60°. 2. 6 3 см2. 3. 2 59 см.

Самостоятельная работа № 5В-1. 2. 8 см. 3. 18 см. 4. 3 см. 5. 3 : 1.

В-2. 2. 18 см2. 3. 36 см. 4. 48 см. 5. 48 : 7.

В-3. 2. 12 см. 3.3

3см. 4. 2 3 см. 5. 1 : 3.

В-4. 2. 6 см. 3. 3 см. 4. 18 см. 5. 3 : 1.

В-5. 1. 3 см. 2.3 7

1 2 2+см. 3. 4 2 1( – ) см, 4 см.

В-6. 1. 36 см. 2.2 6

2 5+см. 3. ( )3 1+ см.


В-1. 2. 8 см. 3.2

40sin °см. 4.

5 13

3см. 5. 3 3 см.

В-2. 2. 3 см. 3.3

70sin °см. 4. 16 см. 5. 8 3 см2.

В-3. 2. 5 см. 3.2

50sin °см. 4.

5 13

4см. 5. 2 3 см.

В-4. 2. 10 см. 3.4

80sin °см. 4. 64 см2. 5.

3 3

2см.

В-5. 2.5 3

3см. 3.

64 5

5см.

92

В-6. 2.45 41

82см. 3. 40 см.

Самостоятельная работа № 7В-1. 2. 18 см. 3. 3 см. 5. 3 см2.

В-2. 2. 20 см. 3. 12 см2. 5. 2 : 1.

В-3. 2. 24 см. 3. 4 см. 5. 36 3 см2.

В-4. 2. 16 см. 3. 5 см. 5. 6 см.

В-5. 2. 2 см. 3. 2 1: .

В-6. 2. 4 см, 8 см, 8 см, 12 см. 3. 2 1: .

Самостоятельная работа № 8В-1. 2. 120°. 4. 8 3 см2. 5. ( )12 12 3+ см.

В-2. 2. 35°. 4. 4 3 см. 5. ( )18 12 2+ см.

В-3. 2. 100°. 4. 4 см. 5. ( )12 4 3+ см.

В-4. 2. 30°. 4. 6 3 см, 6 3 см. 5. 272 см2.

В-5. 1. 70°. 3. ( )6 3 3+ см2.

В-6. 1. 45°, 75°, 105°, 135°. 3. 4 2 см.

Контрольная работа № 2В-1. 3. 1 см. 4. 13 см. 5. 3 см.

В-2. 3. 2 см. 4. 2 13 см. 5. 15 см.

В-3. 3. 1 см. 4. 34 см. 5. 4,5 см.

В-4. 3. 2 см. 4. 14 см. 5. 90 см.

В-5. 1. 2 см. 2. 2 см, 6 см. 3. 5 см.

В-6. 1. 2,5 см. 2. 1 : 1 : 1. 3. 2 10 3 3+ см.


В-1. 2. 2 2 см. 3.25 3

4см2. 4.

2

22 30cos ° ¢. 5. 64 36 72cos sin° ° см2.

В-2. 2. 60°. 3. 4 см2. 4. 2 3 см. 5. 24 36 72cos sin° ° см2.

В-3. 2. 3 2 см. 3. 9 см2. 4. 10 2 см. 5. 24 36 72cos sin° ° см2.

В-4. 2. 60° или 120°. 3. 4 см2. 4.2

40 65sin sin° °см. 5. 64 36 72cos sin° ° см2.

В-5. 2. 6 3 см2. 3. 9tg20° см2.

В-6. 2.27

3 1+см2. 3. 8 50 20sin tg° ° см2.

93


В-1. 2. 0,9125. 3. 4 см, 4 см, 8 40cos ° см. 4. 2 37 см, 2 93 см. 5.7

481.

В-2. 2. -19

35. 3. 4 см, 4 см, 8 35cos ° см. 4. 5 7 см, 5 19 см. 5.

21

7.

В-3. 2. » -0,896. 3. 6 см, 6 см, 4 35cos ° см. 4. 2 19 см, 14 см. 5.9

1281.

В-4. 2. 0,75. 3. 2 см, 2 см, 4 35cos ° см. 4. 2 13 см, 2 37 см. 5.21

741.

В-5. 1. 6 21 см. 2.4 14

15. 3. 40 3 см2.

В-6. 1. 6 7 см. 2. 12 35 см2. 3. 54 3 см2.


В-1. 2.4 3

3см. 3. 4 20cos ° см. 4.

9

2 5 4 80- °cosсм. 5.

11

5 97.

В-2. 2. 2 3 см. 3.4 75

25

sin

sin

°°

см. 4.18

5 4 80- °cosсм. 5.

13

5 17.

В-3. 2. 6 см. 3.2

25cos °см. 4.

6

5 4 40- °cosсм. 5.

13

5 17.

В-4. 2. 2 3 см. 3.2 40

35

sin

sin

°°

см. 4.6

5 4 40- °cosсм. 5.

13

5 17.

В-5. 1. 3 см, 41 см. 2.12 10

20

cos

cos

°°

см2. 3. 3 7 см.

В-6. 1. 22

3см, 8 см. 2. 3

3 3

2+

æèç

öø÷ см2. 3.

30 5

11см.

Самостоятельная работа № 11В-1. 2. 6 см. 3. 96 см2. 4. 2 3 см. 5. 4 3 см.

В-2. 2. 6 см. 3.3

2см. 4. 12 см. 5. 2 2 3 3( )+ см.

В-3. 2. 36 см. 3. 96 см2. 4. 36 см. 5.2 6

3см.

В-4. 2. 6 см. 3. 4 3 см. 4. 36 см. 5. 6 3 1( )+ см.

В-5. 1. 24 см2. 2. 144 см2. 3. 2 3 см.В-6. 1. 36 см2. 2. 64 см2. 3. 3 4 2 2- см.


В-1. 2.4

3

pсм. 3. 2p см. 4. 12 3 см2. 5.

4 21

3

pсм.

94

В-2. 2.4

3

pсм. 3. 4p см. 4. 3 3 1( – )p см. 5. 4 21p см.

В-3. 2.2

3

pсм. 3. 2p см. 4. 108 3 см2. 5. 2 17p см.

В-4. 2.5

4

pсм. 3. 4p см. 4. 2 3 1( – )p см. 5.

10 13

3

pсм.

В-5. 1.3

2

pсм. 2. 192 3 2 2( )+ см2. 3. 12 17p см.

В-6. 1.2 3

9

pсм. 2. 432 3 см2. 3. 12 7p см.


В-1. 2. 8p см2. 3. 4 2 см. 4. 2p см2. 5.8

34 3

p+æ

èçöø÷

см2.

В-2. 2. 9p см2. 3. 3 см. 4. 45, p см2. 5. ( )9 3 6+ p см2.

В-3. 2. 25p см. 3. 6 см. 4. 2p см2. 5. 32

3+æ

èçöø÷

pсм2.

В-4. 2. 16p см2. 3. 4 3 см. 4. 45, p см2. 5.6 9 3

4

p +см2.

В-5. 1.9

2

pсм2. 2.

4

33

p-æ

èçöø÷

см2. 3. 208p см2.

В-6. 1.4

3

pсм2. 2. ( )2 4 2p + см2. 3. 3p см2.


В-1. 2. 8 см2. 3. 12p см2. 4.2 3

9

pсм. 5. ( )24 18 3p - см2.

В-2. 2. 3 см. 3. 48p см2. 4. 2p см2. 5. 69 3

2p -

æèç

öø÷ см2.

В-3. 2. 24 см. 3. 27p см2. 4. 8 3 см. 5. 5481 3

2p -

æèç

öø÷ см2.

В-4. 2. 3 см. 3. 48p см2. 4. 12 см. 5. 1827 3

2p -

æèç

öø÷ см2.

В-5. 1. p дм. 2. 64 2 2( )+ см2. 3.25

18

pсм2.

В-6. 1.p 2

2дм. 2. 864 см2. 3. 16p см2.

95


В-1. 2. 0,9125. 3. 4 см, 4 см, 8 40cos ° см. 4. 2 37 см, 2 93 см. 5.7

481.

В-2. 2. -19

35. 3. 4 см, 4 см, 8 35cos ° см. 4. 5 7 см, 5 19 см. 5.

21

7.

В-3. 2. » -0,896. 3. 6 см, 6 см, 4 35cos ° см. 4. 2 19 см, 14 см. 5.9

1281.

В-4. 2. 0,75. 3. 2 см, 2 см, 4 35cos ° см. 4. 2 13 см, 2 37 см. 5.21

741.

В-5. 1. 6 21 см. 2.4 14

15. 3. 40 3 см2.

В-6. 1. 6 7 см. 2. 12 35 см2. 3. 54 3 см2.


В-1. 2.4 3

3см. 3. 4 20cos ° см. 4.

9

2 5 4 80- °cosсм. 5.

11

5 97.

В-2. 2. 2 3 см. 3.4 75

25

sin

sin

°°

см. 4.18

5 4 80- °cosсм. 5.

13

5 17.

В-3. 2. 6 см. 3.2

25cos °см. 4.

6

5 4 40- °cosсм. 5.

13

5 17.

В-4. 2. 2 3 см. 3.2 40

35

sin

sin

°°

см. 4.6

5 4 40- °cosсм. 5.

13

5 17.

В-5. 1. 3 см, 41 см. 2.12 10

20

cos

cos

°°

см2. 3. 3 7 см.

В-6. 1. 22

3см, 8 см. 2. 3

3 3

2+

æèç

öø÷ см2. 3.

30 5

11см.

Самостоятельная работа № 11В-1. 2. 6 см. 3. 96 см2. 4. 2 3 см. 5. 4 3 см.

В-2. 2. 6 см. 3.3

2см. 4. 12 см. 5. 2 2 3 3( )+ см.

В-3. 2. 36 см. 3. 96 см2. 4. 36 см. 5.2 6

3см.

В-4. 2. 6 см. 3. 4 3 см. 4. 36 см. 5. 6 3 1( )+ см.

В-5. 1. 24 см2. 2. 144 см2. 3. 2 3 см.В-6. 1. 36 см2. 2. 64 см2. 3. 3 4 2 2- см.


В-1. 2.4

3

pсм. 3. 2p см. 4. 12 3 см2. 5.

4 21

3

pсм.

94

В-2. 2.4

3

pсм. 3. 4p см. 4. 3 3 1( – )p см. 5. 4 21p см.

В-3. 2.2

3

pсм. 3. 2p см. 4. 108 3 см2. 5. 2 17p см.

В-4. 2.5

4

pсм. 3. 4p см. 4. 2 3 1( – )p см. 5.

10 13

3

pсм.

В-5. 1.3

2

pсм. 2. 192 3 2 2( )+ см2. 3. 12 17p см.

В-6. 1.2 3

9

pсм. 2. 432 3 см2. 3. 12 7p см.


В-1. 2. 8p см2. 3. 4 2 см. 4. 2p см2. 5.8

34 3

p+æ

èçöø÷

см2.

В-2. 2. 9p см2. 3. 3 см. 4. 45, p см2. 5. ( )9 3 6+ p см2.

В-3. 2. 25p см. 3. 6 см. 4. 2p см2. 5. 32

3+æ

èçöø÷

pсм2.

В-4. 2. 16p см2. 3. 4 3 см. 4. 45, p см2. 5.6 9 3

4

p +см2.

В-5. 1.9

2

pсм2. 2.

4

33

p-æ

èçöø÷

см2. 3. 208p см2.

В-6. 1.4

3

pсм2. 2. ( )2 4 2p + см2. 3. 3p см2.


В-1. 2. 8 см2. 3. 12p см2. 4.2 3

9

pсм. 5. ( )24 18 3p - см2.

В-2. 2. 3 см. 3. 48p см2. 4. 2p см2. 5. 69 3

2p -

æèç

öø÷ см2.

В-3. 2. 24 см. 3. 27p см2. 4. 8 3 см. 5. 5481 3

2p -

æèç

öø÷ см2.

В-4. 2. 3 см. 3. 48p см2. 4. 12 см. 5. 1827 3

2p -

æèç

öø÷ см2.

В-5. 1. p дм. 2. 64 2 2( )+ см2. 3.25

18

pсм2.

В-6. 1.p 2

2дм. 2. 864 см2. 3. 16p см2.

95

Содержание

Предисловие ......................................................................................................... 3

Самостоятельная работа № 1. Взаимное расположение прямойи окружности. Касательная к окружности .......................................................... 5

Самостоятельная работа № 2. Центральные и вписанные углы .................. 10

Самостоятельная работа № 3. Свойство пересекающихся хорд.Теорема о касательной и секущей .................................................................... 15

Самостоятельная работа № 4. Замечательные точки треугольника ............ 20

Контрольная работа № 1. Касательная к окружности. Центральныеи вписанные углы. Замечательные точки треугольника ................................... 25

Самостоятельная работа № 5. Окружность, вписанная в треугольник ....... 30

Самостоятельная работа № 6. Окружность, описанная околотреугольника ...................................................................................................... 35

Самостоятельная работа № 7. Окружность, вписаннаяв четырехугольник ............................................................................................. 40

Самостоятельная работа № 8. Окружность, описанная околочетырехугольника ............................................................................................... 45

Контрольная работа № 2. Вписанные и описанные многоугольники ........... 50

Самостоятельная работа № 9. Теорема синусов ........................................... 55

Самостоятельная работа № 10. Теорема косинусов. Решениетреугольников .................................................................................................... 60

Контрольная работа № 3. Соотношения между сторонамии углами произвольного треугольника .............................................................. 65

Самостоятельная работа № 11. Правильные многоугольники ..................... 70

Самостоятельная работа № 12. Длина окружности. Радианнаямера угла ............................................................................................................ 76

Самостоятельная работа № 13. Площадь круга. Площадь сектора ............. 81

Контрольная работа № 4. Правильные многоугольники.Длина окружности и площадь круга ................................................................. 85

Ответы ................................................................................................................ 91

96

Documents

rsmusic.moy.sursmusic.moy.su/0Yagubov/qew/7140Z.pdf · ISBN 978 985-19-2583-0 Геометрия. 9 класс : самостоятельные и контрольные работы