1

Mehanika deformabilnih tijela

Otpornost materijalaNauka o �vrsto�i

I. dio

2

Sadržaj

1. Uvod

2. Analiza naprezanja

3. Analiza deformacije

4. Me�usobna ovisnost naprezanja i deformacija

5. Geometrijske karakteristike popre�nih presjeka

nosa�a

6. Temelji i potporni zidovi

3

7. Osnovni na�ini optere�enja štapa

8. Rastezanje štapa N>0 (vlak)

9. Izvijanje štapa N<0 (tlak)

10. Uvijanje štapa Mt

11. �isto savijanje štapa My

12. Savijanje štapa popre�nim silama My i Tz

13. Složena optere�enja štapova

14. Teorije �vrsto�e

15. Eksperimentalna metode analize naprezanja i deformacija

4

Podjela mehanike

5

Idealizacija realnog �vrstog tijela u mehanici

6

Statika - pretpostavke:1. Kontinuum2. Apsolutno kruto tijelo

Otpornost materijala – pretpostavke: 1. Kontinuum2. Deformabilno �vrsto tijelo

7

KontinumKod kontinuuma je materija tijela jednoliko ineprekinuto raspodijeljena po �itavom obujmu tijela.(Prirodno �vrsto tijelo je diskretni sustav materijalnih

to�aka, t.j. sastavljeno je od malih �estica – molekula.)

Deformabilno tijelo

je �vrsto tijelo koje se pod djelovanjem siladeformira, mijenja svoj oblik i obujam.

8

U svakodnevnoj praksi za rješavanje problema uvodimo pretpostavke:

- o svojstvima materijala. - o deformiranju tijela, i- o raspodjeli naprezanja po

presjeku tijela.

9

1. Pretpostavka - o svojstvima materijala

Razmatraju se �vrsta tijela od materijala idealiziranihsvojstava:

• Kontinuum• Homogen• Izotropan• Idealno elasti�an

10

Homogen

Svojstva materijala su u svim to�kama jednaka.

na primjer: gusto�a ρ (kg/m3)

homogen – �elik

(u to�kama tijela A, B, C i D ρ =7850 kg/m3)

11

Izotropan

Elasti�na, mehani�ka, toplinska i drugafizi�ko-mehani�ka svojstva materijala su u svim smjerovima. na primjer: modul elasti�nosti E (N/m2).izotropan: �elik

E = Ex = Ey = Ez

E = 21.000 kN/cm2

12

Idealno elasti�an materijal

Tijelo od idealno elasti�nog materijala se

nakon rastere�enja vra�a u prvobitno

stanje poprima prvobitni oblik i obujam.

na primjer – �elik

(napregnut do granice proporcionalnosti σP)

13

Homogen – �elikHeterogen – beton (smjesa agregata i

cementne paste)Izotropan – �elik E = 21.000 kN/cm2

Anizotropno: drvo – (ortotropno)E|| = 1.000 kN/cm2 i E�= 30 kN/cm2

Elasti�no tijelo – �elikPlasti�no tijelo Viskoelasti�no tijelo

14

Homogen – �elikHeterogen – beton (smjesa agregata i

cementne paste)

Izotropan – �elik E = 21.000 kN/cm2

Anizotropan: drvo – (ortotropno)E|| = 1.000 kN/cm2 i E�= 30 kN/cm2

Ortotropan: Anizotropan:

15

Plasti�no tijelo

U plasti�nom tijelima nakon rastere�enja

deformacije tijela ne iš�eznu potpuno, ve�

zaostaju tzv. trajne ili plasti�ne deformacije.

na primjer: nisko-uglji�ni (meki) gra�evinski �elik poslije granice elasti�nosti σE

16

Viskoelasti�no tijelo

Viskoelasti�ni materijali imaju svojstva elasti�nih tijela i viskoznih teku�ina.

Viskoelasti�na tijela karakteriziraju pojave:1. puzanja (beton) i2. relaksacije (polimeri)

17

Puzanje je pojava porasta deformacija tijekom vremena pri konstantnom naprezanju (na pr. beton).

Relaksacije je pojava opadanja naprezanja kod konstantne deformacije tijekom vremena. (na pr. polimerni materijali, asfalt, metali pri povišenim temperaturama)

18

2. Pretpostavka - o deformiranju:

1. Hipoteza ravnih presjeka

2. Teorija malih deformacija

3. Zakon superpozicije (elasti�no podru�je)

19

1. Bernoullijeva hipoteza ravnih presjeka:

Zamišljeni ravni presjeci okomiti na os nosa�a prije deformiranja ostaju ravni i okomiti na os nosa�a i nakon deformiranja.

20

2. Teorija malih deformacija

deformacije tijela su maleu odnosu na dimenzijetijela i usvajamo na�elo po�etnih dimenzija a, l(nedeformirano tijelo)

Progib:

w << a, l, b, h

Popre�ni presjek:

21

�������� �������

proporcionalnost

izme�u optere�enja i

pomaka - elasti�no

podru�je

22

3. Zakon superpozicije: progib wk= wk1+ wk2

23

3. Pretpostavka: Postoji jednozna�na ovisnost

������������������������������.

Hookeov zakon:- za normalno naprezanje:

- za posmi�no naprezanje: γτ ⋅= G

εσ ⋅= E

24

Pretpostavke - ponavljanje1. Pretpostavka o svojstvima materijala: kontinuum,

homogen, izotropan i idealno elasti�an

2. Pretpostavka o deformiranju: hipoteza o ravnim presjecima, teorija malih deformacija, proporcionalnost izme�u optere�enja i pomaka te zakon superpozicije

3. Pretpostavka: jednozna�na ovisnost izme�u naprezanja i deformacija

γ⋅=τε⋅=σ

G

E

25

1. Gusto�a ρ [kg/m3]

2. Modul elasti�nosti E [kN/m2]

3. Poissonov koeficijent ν [-]

4. Modul posmika G [kN/m2]

5. Obujamski modul elasti�nosti K [kN/m2](bulk modul, modul kompresije)

6. Koeficijent linearnog toplinskog

rastezanja αt [ / 0C]

Fizikalno-mehani�ke karakteristike materijala:

262

2

kN/cm 1PaM 10

N/mm 1PaM 1

=

=

t

27

Otpornost materijala

prou�ava probleme• 1. �vrsto�e, • 2. krutosti i • 3. elasti�ne stabilnosti konstrukcija i dijelova

konstrukcija od �vrstog deformabilnogmaterijala.

Moraju biti zadovoljeni uvjeti sigurnosti i uvjetiekonomi�nosti.

28

1. �vrsto�a

• �vrsto�a konstrukcije je sposobnost

elemenata konstrukcije prijenosa

optere�enja bez pojave loma, bez

trajnih plasti�nih deformacija ili

ošte�enja (pukotine).

29

�vrsto�a

• Uvjet �vrsto�e za:

Normalno naprezanje σ < σdop

Posmi�no naprezanje τ < τdop

30

�vrsto�a

Najve�a naprezanja u elementima konstrukcije ne smiju biti ve�a od neke normativne vrijednosti - dopuštenog naprezanja ���������� ��������� , koja se odre�uju normiranim ispitivanjima na ispitnim uzorcima (epruvetama) od tog materijala. Ispitivanja se obavljaju u ovlaštenom laboratoriju.

31

2. Krutost

• Krutost konstrukcije je otpornost konstrukcije

prema deformiranju (t.j. promjeni oblika i

dimenzija pod optere�enjem).

Uvjet krutosti:

• Progib nosa�a kod savijanja

• Kut uvijanja

dopww ≤

dopϑ≤ϑ

32

Krutost

• Pri zadanom optere�enju deformacije ne smiju biti ve�e od dopuštenih, jer bi moglo do�i u pitanje iskorištavanje elementa ili �itave konstrukcije u primjeni

dopk ww ≤

33

Elasti�na stabilnost

Elasti�na stabilnost konstrukcije je

sposobnost konstrukcije da kod

optere�ivanja zadrži po�etni

ravnotežni oblik

Izvijanje ravnog štapa

34

3. Elasti�na stabilnost

• Gubitak elasti�ne stabilnosti ravnog štapa zovemo izvijanje.

• Dugi i vitki štapovi podvrgnuti velikom osnom optere�enju na sabijanje mogu izgubiti svoj prvobitni pravocrtni oblik.

• Eksperimentalna i teorijska ispitivanja pokazuju da pojava nestabilnog ravnotežnog oblika elementa ili konstrukcije neizbježno vodi do potpunog uništenja (kolapsa) konstrukcije.

35

Dimenzioniranje:

Zadan je:� oblik konstrukcije s optere�enjem (nosa�) � materijal konstrukcijetreba odrediti dimenzije popre�nog presjekanosa�a tako da budu zadovoljeni uvjeti: • �vrsto�e, • krutosti i • stabilnosti.

36

Tenzori 2. reda

• Tenzor naprezanja • Tenzor deformacija

������������

����

����

������������

����

����

====

zzyzx

yzyyx

xzxyx

ij

στττστττσ

�

�

�

���

�

�

=

zzyzx

yzyyx

xzxyx

ij

εεεεεεεεε

ε

37

Naprezanja

1. Normalno naprezanje σ2. Posmi�no naprezanje τ

presjeka popre�nog tikakarakteris kageometrijspresjeku popre�nom u sila unutarnja

naprezanje =

38

Tenzori 2. reda

• Tenzor naprezanja • Tenzor deformacija

���

�

�

���

�

�

στττστττσ

=σ

zzyzx

yzyyx

xzxyx

ij

������

�

�

������

�

�

=

zzyzx

yzyyx

xzxyx

ij

εγγ

γεγ

γγε

ε

21

21

21

21

21

21

39

Tenzor naprezanja

{ j,iσ i – normala ravnine presjeka na kojem djeluje komponenta naprezanja

j – koordinatna os s kojom je komponenta naprezanja paralelna

40

Sustav mjernih jedinica SI

Papaskalnaprezanje, tlak

Nnjutnsila, težina

ssekundavrijeme

kgkilogrammasa

mmetarduljina

������������Naziv jediniceNaziv veli�ine

41

Jedinica za naprezanje:

2

2

kN/cm 1PaM 10

N/mm 1PaM 1

=

=Ve�a jedinica je megaPaskal

2N/m 1Pa 1 =

42

Normalno naprezanje σ

• Normalno naprezanje σ uzrokuju promjenu obujma t.j. utje�e na promjenu duljina:

l1 =

l l1

(Jednoosno stanje naprezanja)

43

Posmi�no naprezanje τ• Posmi�no naprezanje τ utje�u samo na

promjenu oblika tijela.

(Ravninsko-dvoosno stanje naprezanja)

44

Duljinska deformacija εεεε• Duljiska deformacija εεεε je relativna

promjena neke duljine tijela koje se deformira

ll∆=ε

l1 =

45

Kutna deformacija tijela γKutna deformacija γγγγ je promjena pravogkuta (π/2) tijela koje se deformira(promjena oblika).

46

Kutna deformacija tijela γ• Kutna deformacija γγγγ javlja se kod uvijanja

štapa kao zakreti presjeka štapa uslijed djelovanja momenta uvijanja Mt

47

Povijest - otpornosti materijala

• Leonardo da Vinci• Galileo Galilei• Robert Hooke• Jakob Bernoulli• L. Euler• C. A. Coulomb• T. Young• L. Navier• A. L. Cauchy i drugi.

48

1. Leonardo da Vinci - eksperimentalna istraživanja proste grede i konzole

2. Galileo Galilei – mehanika deformabilnih tijela

3. Robert Hooke - mehanika elasti�nih tijela

4. Jakob Bernoulli - hipoteza ravnih presjeka

5. L. Euler - stabilnost pritisnutih štapova

6. C. A. Coulomb - uvijanje okruglog štapa

7. T. Young - posmi�no naprezanje, modul E

8. L. Navier - op�e jednadžbe ravnoteže

9. A. L. Cauchy - zakon o uzajamnosti posmi�nih naprezanja

49

• Leonardo da Vinci (1452-1519) bavio se prou�avanjem �vrsto�e tehni�kih konstrukcija, eksperimentalnim istraživanjima proste grede i konzole.

• Galileo Galilei (1564-1642) prvi je primjetio da mehanika krutih tijela nije dovoljna za rješavanje mnogih problema sigurnosti konstrukcija te da se moraju uzeti u obzir fizikalna svojstva materijala. Njegova publikacija "Discorsi e Dimostrazionimatematiche intorio a due nuove scienze" prva je na podru�ju znanosti o otpornosti materijala i ozna�ava po�etak povijesnog razdoblja mehanike deformabilnih tijela.

50

• Robert Hooke (1635-1703) prou�ava elasti�na svojstva materijala. Eksperimentalnim ispitivanjima na oprugama, žicama i drvenim konzolama pronalazi Zakon o linearnoj ovisnosti optere�enja i deformacija pri rastezanju, na kojoj je kasnije izgra�ena mehanika elasti�nih tijela.

• Jakob Bernoulli (1654-1705) prou�avao je oblik savijene grede i postavio jednu od važnijih hipoteza u znanosti o otpornosti materijala - hipotezu ravnih presjeka.

51

• L. Euler (1700-1783) istraživao jestabilnost pritisnutih štapova.

• C. A. Coulomb (1785-1806) prou�ava me�u prvima torziju okruglog štapa, mehani�ka svojstva materijala, odredio granicu elasti�nosti za neke materijale, dao to�no rješenje savijanja konzole.

52

• T. Young (1773-1829) dao je matemati�ku formulaciju Hookeovog zakona i uveo pojam modula elasti�nosti E pri rastezanju i pritisku, koji se naziva Youngovim modulom. Uvodi i pojam posmi�nog naprezanja. Prvi je po�eo prou�avanje djelovanje dinami�kog optere�enja.

53

• L. Navier (1785-1836) izdaje 1862. prvi udžbenik o otpornosti materijala. Za razliku od ostalih istraživa�a, koji su tražili optere�enje koje dovodi do rušenja konstrukcije, on je tražio optere�enje do kojeg se konstrukcija ponaša potpuno elasti�no bez najave trajnih deformacija. Prvi je formulirao op�e jednadžbe ravnoteže.

• A. L. Cauchy (1789-1857) uvodi pojam glavnih naprezanja i glavnih deformacija te dokazuje zakon o uzajamnosti posmi�nih naprezanja.

54

• Ostali istraživa�i su:

• Poisson (koeficijent ν),

• Lame (koeficijenti λ i µ),

• Mohr (kružnice naprezanja),

• Saint-Venant (teorija plasti�nosti),

• Huber, Mises, Hencky (HMH teorija loma),

• Rankin, Maxwell, Clapeyron, Castiglian, Betti,

Prandtl, Timošenko, Mushelšvilia, Ostrogradski i

drugi.