Joukot

Matematiikassa on pyrkimys määritellämonimutkaiset asiat täsmällisestiyksinkertaisempien asioiden avulla.Tarvitaan jokin lähtökohta, muutamayleisesti hyväksytty ja ymmärretty käsite,joista sitten rakennetaan muut käsitteet.Tarkastelemme seuraavaksi Georg Cantorin1900-luvun taitteessa luomaa naiiviajoukko-oppia.

Georg Cantor (1845-1918)

Joukkojen peruskäsitteet

Määrittelemättömät peruskäsitteet ovat:alkio, joukko, ja relaatio ”alkio kuuluu joukkoon” .Joukot siis muodostuvat alkioista. Merkitään

x ∈ Aalkio x kuuluu joukkoon A

x 6∈ Aalkio x ei kuulu joukkoon A

Samat joukot

Joukot ovat samat, jos niissä on täsmälleen samat alkiot.So. joukot A ja B ovat samat, merkitään A = B, kun pätee

x ∈ A, jos ja vain jos (lyhennetään joss.) x ∈ B.

Joukkojen merkinnöistä

Huomattavaa:I Joukkoja voidaan merkitä mm. seuraavin tavoin:

A1 = {a, b, c} , A2 = {a, b, c , . . . , h} , A3 = {a, b, c , . . .}tai käyttämällä alaindeksejäB = {a1, a2, a3} , C = {a1, a2, . . . , an} , D = {a1, a2, a3, . . .}tai antamalla ehto E = {x : x toteuttaa annetun ehdon} ,esim. {x : x on positiivinen reaaliluku} tai {x : x on hedelmä}.

I Jokainen alkio esiintyy vain kerran, esim. {a, b, a} = {a, b}.I Alkioiden järjestyksellä ei ole väliä, esim. {a, b} = {b, a}.I Tyhjää joukkoa {} merkitään ∅.

Lukujoukot

Esimerkiksi juuri tarkastelemamme erilaiset luvut muodostavatlukujoukkoja. Näitä merkitään usein seuraavin symbolein

I Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, . . .} (engl. natural numbers)I Kokonaisluvut Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .} (saksaksi Zahlen)I Rationaaliluvut Q = {m

n : m, n ∈ Z, n 6= 0} (engl. quotient =osamäärä)

I Reaaliluvut R (engl. real numbers)Positiivisista (vastaavasti negatiivisista) kokonaisluvuista käytetään useinmerkintää Z+ (vast. Z−) , ts.

Z+ := {1, 2, 3, . . .} ja Z− := {−1,−2,−3, . . .}.

Osajoukot

Joukko B on joukon A osajoukko,jos jokainen B:n alkio on myös A:nalkio.Toisin sanoen jos x ∈ B, niin x ∈ A.Tällöin merkitään B ⊂ A (joskusB ⊆ A).Esimerkiksi

I N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.I Olkoot A = {1, 2, 3} ja B = {1, 4}. Tällöin A 6⊂ B ja B 6⊂ A.I Tyhjä joukko on jokaisen joukon osajoukko, eli ∅ ⊂ A millä tahansa

joukolla A.Huomaa, että A = B, jos ja vain jos A ⊂ B ja B ⊂ A!

Reaalilukuvälit

Olkoot a, b ∈ R. Merkitään reaalilukuvälejäI [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}I [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}I (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}I (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}

Esim. (−3, π] = {x ∈ R : −3 < x ≤ π} ja [0, 3] ⊂ (−3, π], sillä π > 3.Rajoittamattomia reaalilukuvälejä merkitään vastaavasti:

I [a,∞) = {x ∈ R : x ≥ a}I (a,∞) = {x ∈ R : x > a}I (∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}I (∞, b) = {x ∈ R : x < b}

Joukko-operaatiot

Olkoot A ja B joukkoja.

Määritellään

yhdiste A ∪ B = {x : x ∈ A tai x ∈ B}

leikkaus A ∩ B = {x : x ∈ A ja x ∈ B}

erotus A \ B = {x : x ∈ A ja x 6∈ B}

Esimerkki joukko-operaatioiden käytöstä

Olkoon A = {1, 2, 3} ja B = {3, 4, 5}. NytI A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}I A ∩ B = {3}I A \ B = {1, 2}

Huomaa, että joukko-operaatioita voidaan tietysti tehdä myös useammillejoukoille!

Komplementti

Olkoon X jokin perusjoukko ja A ⊂ X .

Määritellään

komplementti A{ = {x ∈ X : x 6∈ A}

Esimerkki joukko-operaatioiden käytöstä

Olkoon X = R perusjoukko ja olkoot A = (−1, 1) ja B = [1, 2). NytI A ∪ B = (−1, 2)I A ∩ B = ∅I A{ = {x ∈ R : x ≤ −1 tai x ≥ 1} = (−∞,−1] ∪ [1,∞)

Huom! Joukkoa A voidaan merkitä toisella tapaa muistamalla reaaliluvunitseisarvo

|x | =

{x , jos x ≥ 0−x , jos x < 0.

Huomaa, että |x | ≥ 0 kaikilla x ∈ R. Nyt voidaan merkitä

A = (−1, 1) = {x ∈ R : |x | < 1}

ja toisaaltaA{ = {x ∈ R : |x | ≥ 1}.

Joukot alkioina

Joukko voi olla myös alkiona toisessa joukossa! On tärkeää oppiaerottamaan alkion ja sen muodostaman joukon ero, samoin kuinrelaatioiden ∈ (”kuuluu”) ja ⊂ (”sisältyy”) välinen ero.

I Olkoon A = {1, 2, {1, 2}}. Nyt {1, 2} ∈ A ja {1, 2} ⊂ A. Eikuitenkaan A ∈ A!

I Onko {∅} tyhjä joukko?Onko 2 ∈ {1, {1, 2}}?

I Eräs usein esiintyvä joukkojen muodostama joukko onpotenssijoukko, eli annetun joukon kaikkien osajoukkojenmuodostama joukko. Joukon A potenssijoukolle käytetään useinmerkintää P(A). Esim. Joukon {1, 2, 3} potenssijoukko on

{∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}.

Huom! Jos joukossa on n alkiota, niin sen potenssijoukossa on 2n alkiota!Kuinka tämä voidaan todistaa?

Osittelulaki

Olkoot A, B ja C joukkoja. Tarkastellaan osittelulakiaA ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) ensin Venn-diagrammien avulla:

A B ∪ C A ∩ (B ∪ C )

A ∩ B A ∩ C (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )

Osittelulain todistus

Todistetaan kaava A∩ (B ∪C ) = (A∩B)∪ (A∩C ) oikeaksi osoittamallasisältyvyys molempaan suuntaan.A ∩ (B ∪ C ) ⊂ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ):Jos A ∩ (B ∪ C ) = ∅, niin asia selvä.Olkoon sitten x ∈ A ∩ (B ∪ C ) mielivaltainen.Leikkauksen määritelmän mukaan x ∈ A ja x ∈ B ∪ C , josta edelleenyhdisteen määritelmän mukaan x ∈ B tai x ∈ C :

I Jos x ∈ B, niin x ∈ A ∩ B ⊂ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ).I Jos x ∈ C , niin x ∈ A ∩ C ⊂ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ).

Siis molemmissa tapauksissa x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ).(A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) ⊂ A ∩ (B ∪ C ):Olkoon x ∈ (A∩B)∪ (A∩C ) (jos (A∩B)∪ (A∩C ) = ∅ niin asia selvä).Yhdisteen määritelmän mukaan x ∈ A ∩ B tai x ∈ A ∩ C .

I Jos x ∈ A ∩ B, niin x ∈ A ja x ∈ B ⊂ B ∪ C , eli x ∈ A ∩ (B ∪ C ).I Jos x ∈ A ∩ C , niin x ∈ A ja x ∈ C ⊂ B ∪ C , eli x ∈ A ∩ (B ∪ C ).

Molemmissa tapauksissa x ∈ A ∩ (B ∪ C ).

De Morganin laki

Olkoot A ja B perusjoukon X osajoukkoja.

Tarkastellaan De Morganin lakia (A ∪ B){ = A{ ∩ B{:

A{ B{ A{ ∩ B{

De Morganin lain todistus

Olkoon x ∈ X . Nyt x ∈ (A ∪ B){

⇐⇒ x 6∈ A ∪ B

⇐⇒ x 6∈ A ja x 6∈ B

⇐⇒ x ∈ A{ ja x ∈ B{

⇐⇒ x ∈ A{ ∩ B{

Siis (A ∪ B){ = A{ ∩ B{.

Joukkojen identtisyyksiä

Olkoot A, B ja C perusjoukon X osajoukkoja. TällöinI A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) (eli aikaisempi esimerkki)I A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) (todistus harjoitustehtävänä!)I (A ∪ B){ = A{ ∩ B{ (eli äskeinen esimerkki)I (A ∩ B){ = A{ ∪ B{ (myös De Morganin laki)

Russellin paradoksi

Yllä esitettyä joukko-oppia sanotaan naiiviksi, koska sen intuitiivinen jamäärittelemätön joukkokäsite johtaa paradoksiin!

Filosofi Bertrand Russell esitti vuonna 1901esimerkin:Olkoon R kaikkien niiden joukkojen joukko,jotka eivät sisällä itseään alkionaan.Siis: R = {A : A 6∈ A}. Onko R ∈ R?Jos R ∈ R eli R sisältää itsensä alkionaan,niin R ei toteuta määritelmän ehtoa jolloinR 6∈ R.Jos taas R 6∈ R eli R ei sisällä itseäänalkionaan, niin toteuttaa määritelmänehdon jolloin R ∈ R.Molemmat vaihdoehdot johtivat ristiriitaan!

Bertrand Russell (1872-1970))

Joukkojen muodostaminen ei siis ole aivan niin vapaata kuin annoimmealuksi ymmärtää. Aksiomaattinen lähestymistapa joukko-oppiin auttaakorjaamaan nämä ongelmat, siinä esimerkiksi itsensä sisältävä ”luokka” eiole joukko.

Funktiot

Funktio on eräs matematiikan tärkeimmistä käsitteistä. Sen voiintuitiivisesti ajatella kuvaavan riippuvuussuhdetta, jossa tarkasteltavasuure määräytyy täsmällisesti jostakin muusta suureesta.

Funktion määritelmä

Olkoot A ja B joukkoja.Funktio eli kuvaus f joukolta A joukkoon B, merk. f : A→ B, liittääjokaiseen alkioon x ∈ A täsmälleen yhden alkion f (x) ∈ B.

Sanotaan, että A on f :n määrittelyjoukko (tai lähtöjoukko) ja B onf :n maalijoukko.

Esimerkki funktiosta

Esim. Olkoon A = {a, b, c} ja B = {1, 2, 3, 4}. Määritellään f : A→ Basettamalla f (a) = 2, f (b) = 4 ja f (c) = 2.f :n nuolikaavio:

Kuten yllä, kaikkia maalijoukon alkioita ei välttämättä ”saavuteta”(mikään A:n alkio ei kuvaudu B:n alkioille 1 tai 3).Funktion saavuttamat arvot muodostavat sen arvojoukon. Ylläarvojoukko = {f (a), f (b), f (c)} = {2, 4} ⊂ {1, 2, 3, 4} = B.

Mikä pielessä?

Mikä on pielessä seuraavissa yrityksissä määritellä funktiof : {a, b, c} → {1, 2, 3, 4}?

Funktio f : A→ B, liittää jokaiseenalkioon x ∈ A täsmälleen yhdenalkion f (x) ∈ B.

Funktio f : A→ B, liittää jokaiseenalkioon x ∈ A täsmälleen yhdenalkion f (x) ∈ B.

Reaalifunktion kuvaaja

Reaalifunktiolla tarkoitetaan funktiota R→ R (tai osajoukolta A ⊂ Rreaaliluvuille).Niitä on kätevä havainnollistaa kuvaajalla.

Esimerkkejä funktioiden kuvaajista

f : R→ R, f (x) = 12x + 1

f :n kuvaaja on kulmakertoimella 12

nouseva suora.

f : R→ R, f (x) = x2 − 1

f :n kuvaaja on ylöspäin aukeavaparaabeli.

Esimerkkejä funktioiden kuvaajista

f : R→ R, f (x) = 12x3 + 2x2− 1

f :n kuvaaja on kolmannen asteenkäyrä.

f : R \ {0} → R, f (x) = 1x

Sori, ei kuvaa!

f :n arvot kasvavat (vähenevät)rajatta, kun nollaa lähestytäänoikealta (vasemmalta).

Analyysi

Reaalifunktioista, niiden derivaatoista ja integraaleista enemmänanalyysin kursseilla (esim. Analyysi I ja II, Matemaattisen analyysinkurssi, Analyysin virtuaalinen peruskurssi).

Lukumääräfunktio

Vilkaisimme aikaisemmin joukon {1, 2, 3} potenssijoukkoa, eli senkaikkein osajoukkojen joukkoa

{∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}.

Merkitään tätä joukkoa P({1, 2, 3}):lla ja määritellään funktio] : P({1, 2, 3})→ N , joka liittää jokaiseen näistä osajoukoista senalkioiden lukumäärän (tarkastelemme tätä käsitettä tarkemmin hetkenkuluttua). Siis esim. ]({2}) = 1 , ](∅) = 0 ja ]({1, 3}) = 2. Myös esim.

]({1, 2} ∪ {3}) = ]({1, 2}) + ]({3}).

Tämänkaltaiset joukoilla määritellyt funktiot, jotka jollain tapaa”mittaavat” joukkojen kokoa, ovat erittäin tärkeitä matemaattisessaanalyysissa.