Matematika

Robert Mařík

31. prosince 2020

Obsah

1 Derivace 5Funkce jedné proměnné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Přímá a nepřímá úměrnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Monotonie funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Koncept (průměrná rychlost a okamžitá) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Spojitost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Limita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Aplikace derivací 1: Jak rychle? (změna v čase) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Aplikace derivací 2: Jak strmě? (změna v prostoru) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Výpočet derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Rychlost nabíjení kondenzátoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Funkce více proměnných . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Parciální derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Rovnice vedení tepla v 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Shrnutí, hlavní myšlenky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Derivace a lineární aproximace 13Aplikace derivací 3: Jak citlivě? (reakce na změnu) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Lineární aproximace v 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Lineární aproximace v některých fyzikálních zákonech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Lineární aproximace a jednorozměrné materiálové vztahy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Derivace a tečna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Motivace: Je možné chtít více než je lineární aproximace? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Derivace vyšších řádů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Druhá derivace a deformace nosníků . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Taylorův polynom a polynomiální aproximace v 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Odbočka: od vazeb mezi atomy k materiálovým vlastnostem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Prostá funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Inverzní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Newtonova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Konečné diference a aproximace derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Shrnutí, hlavní myšlenky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Derivace a další užitečné nástroje 21Parita funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Motivace: Jak najít minimum potenciálu? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Lokální extrémy spojitých funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Nosník maximální tuhosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Postačující podmínka pro lokální extrém . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Bolzanova věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Kritická tloušťka izolace trubky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1

OBSAH 2

Triky pro práci s funkcemi 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Buckinghamův Π-teorém . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Vektorové funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Lineární aproximace rovinné transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Shrnutí, hlavní myšlenky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Integrál, integrál a integrál 28Motivace: Jak z derivace křivky získat rovnici křivky? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Neurčitý integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Funkční předpis z rychlosti změny a výchozího stavu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Určitý integrál (Newtonův) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Změna funkce z rychlosti změny (časová změna teploty) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Změna funkce z rychlosti změny (prostorová změna teploty) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Další motivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Určitý integrál (Riemannův) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Nasčítání příspěvků k celkové dráze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Nasčítání příspěvků k celkové síle na přehradu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Nasčítání příspěvků k celkovému toku potrubím . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Nasčítání příspěvků k celkovému momentu setrvačnosti tyče . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Shrnutí, hlavní myšlenky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5 Integrály pro pokročilé 36Proč trubky praskají podélně? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Vlastnosti integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Střední hodnota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Práce při vytahování řetězu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Práce při čerpání vody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Numerická aproximace určitého integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Integrace substituční metodou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Integrál jako funkce meze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Ukázka funkce definované pomocí integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Řetěz jinak (pomocí změny potenciální energie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Shrnutí, hlavní myšlenky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6 Diferenciální rovnice 44Obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Obecné a partikulární řešení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Příklad - tepelná výměna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Příklad - datování pomocí uhlíku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Příklad - rovnice samočištění jezer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Příklad - RC obvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Příklad - vývoj populace a její ekologický lov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Geometrická interpretace ODE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Transformace diferenciální rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47ODE tvaru dy

dx = f(y), autonomní ODE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

ODE tvaru dydx = f(x)g(y) (rovnice se separovanými proměnnými) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Řešení ODE se separovanými proměnnými . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Diferenciální rovnice růstu vodní kapky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Diferenciální rovnice vyšších řádů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Diferenciální rovnice metodou konečných diferencí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Shrnutí, hlavní myšlenky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

OBSAH 3

7 Lineární algebra (operace s vektory a maticemi) 53Vektory a operace s nimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532D a 3D a vektory v geometrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Lineární kombinace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Lineární závislost a nezávislost vektorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Pootočení vektoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Model migrace jako přepínání stavů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Matice a jejich lineární kombinace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Maticový součin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Neutrální prvek maticového součinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Markovovy řetězce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Růst populace pomocí Leslieho matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Derivace diskrétní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Matice jako zobrazení v geometrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Matice jako zobrazení v materiálovém inženýrství . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Vlastní čísla a vlastní vektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Transponovaná matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Tenzor malých deformací . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Rozložení teploty na tepelně vodivé desce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

8 Lineární algebra (inverzní matice a determinanty) 63Inverzní matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Inverzní matice k matici popisující rotaci v rovině . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Ortogonální matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Matice přechodu do pootočené soustavy souřadnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Zobrazení v různých soustavách souřadnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Praktická aplikace: transformace tenzoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Obecné vzorce pro transformaci tenzoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66Role vlastních vektorů při transformaci matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66Transformace symetrické matice na diagonální tvar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Determinant matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Determinant matice 2× 2 (křížové pravidlo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Determinant matice 3× 3 (Sarusovo pravidlo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Determinant matice ve schodovitém tvaru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Souvislost některých pojmů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Hookův zákon, matice tuhosti a poddajnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Vlastní vektory matice a matice inverzní . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

9 Lineární algebra (soustavy lineárních rovnic, transformace tenzorů) 71Varianty zápisu soustavy lineárních rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Soustava lineárních rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Vektorový zápis soustavy lineárních rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Maticový zápis soustavy lineárních rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Využití inverzní matice pro řešení soustavy lineárních rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Inverzní matice k diagonální matici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Iterační metoda řešení soustav lineárních rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Hodnost matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Výpočet hodnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Existence a jednoznačnost řešení soustavy lineárních rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Gaussova eliminace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Gaussova-Seidelova iterační metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

10 Vektorová pole, tok, zákony zachování 76Připomenutí derivací . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

OBSAH 4

Transportní jevy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Tok a gradient v konstitutivních zákonech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Vícerozměrné konstitutivní zákony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Speciální případy vztahu mezi gradientem a tokem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Výpočet gradientu a divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Rovnice kontinuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Rovnice mělké vody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Proudění tekutiny v mechanice kontinua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Difuzní rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Vedení tepla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82Voda v porézním materiálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82Rovnice podzemní vody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Rovnice vedení tepla ve 2D v různých podmínkách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Umění identifikace předpokladů z tvaru difuzní rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Shrnutí, hlavní myšlenky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

11 Dvojný integrál 86Dvojný integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Linearita a aditivita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Výpočet (oblast mezi funkcemi proměnné x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Výpočet (oblast mezi funkcemi proměnné y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Výpočet (obdélníková oblast) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Matematické aplikace dvojného integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Fyzikální aplikace dvojného integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Techniké aplikace dvojného integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Aplikace dvojného integrálu - tuhost nosníků, stabilita stromů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Aplikace dvojného integrálu - těžiště složeného obrazce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Aplikace dvojného integrálu - Steinerova věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Aplikace dvojného integrálu - tlak na svislou plochu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Aplikace dvojného integrálu - působiště tlakové síly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

12 Vybrané postupy numerické matematiky 92Numerické řešení diferenciálních rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Numerické řešení diferenciálních rovnic ve 2D a 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Nondimenzionalizace a bezrozměrné veličiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Metoda konečných diferencí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Ukázka programu FlexPDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Kapitola 1

Derivace

Funkce jedné proměnnéPříklad funkce jedné proměnné. Je dán vetknutý nosník nakonci zatížený svislou silou F . Deformace nosníku δ na konci(skalární veličina) souvisí s velikostí zatěžující síly (skalárníveličina). Pro studium problému je vhodné mít převodnípravidlo, které pro každé zatížení udává deformaci. Totopravidlo bude z matematického úhlu pohledu funkce (funkcejedné proměnné). Může mít například formu

δ = 1kF,

kde k je konstanta pro daný nosník (tuhost).

Definice (funkce jedné proměnné). Buďte A a B ne-prázdné podmnožiny množiny reálných čísel. Pravidlo f ,které každému prvku množiny A přiřadí jediný prvek mno-žiny B se nazývá funkce (přesněji: reálná funkce jedné reálnéproměnné). Zapisujeme f : A → B. Skutečnost, že prvkua ∈ A je přiřazen prvek b ∈ B zapisujeme f(a) = b. Přitomříkáme, že b je obrazem prvku a při zobrazení f , resp. že aje vzorem prvku b při zobrazení f .

Poznámka (terminologie). Množina A z definice funkcese nazývá definiční obor funkce f . Označujeme D(f) (resp.Dom(f)). Je-li M podmnožina definičního oboru, definujememnožinu f(M) jako množinu všech obrazů bodů množinyM . Množina f(Dom(f)) = b se nazývá obor hodnot funkcef . Označujeme H(f) (resp. Im(f)).

Je-li y = f(x) nazýváme proměnnou x též nezávislouproměnnou a proměnnou y závislou proměnnou. Grafemfunkce rozumíme množinu všech uspořádaných dvojic [x, y] ∈R2 s vlastností y = f(x).

Přímá a nepřímá úměrnostVýsadní postavení při popisu dějů a jevů v přírodě majípřímá a nepřímá úměrnost, známé ze střední školy.

Definice (přímá a nepřímá úměrnost). Veličina y jepřímo úměrná veličině x jestliže existuje konstanta k taková,že platí

y = kx.

Veličina y je nepřímo úměrná veličině x jestliže existujekonstanta k taková, že platí

y = k

x.

Poznámka. Je-li veličina y úměrná veličině x, píšeme

y ∼ x nebo y ∝ x.

Je-li navíc konstanta úměrnosti blízká jedničce, tj. x a y jsoublízké, píšeme

y ≈ x.

Pro nepřímou úměrnost píšeme podobně y ∼ 1x, y ∝ 1

xa

y ≈ 1x.

Příklad.

• Při pohybu konstantní rychlostí je dráha s úměrná času t.Příslušnou konstantou úměrnosti je rychlost v, tj. s = vt.Pro t = 1 je dráha s přímo rovna konstantě úměrnosti v.Proto můžeme konstantu úměrnosti reprezentovat jakodráhu za jendotku času. Takto rychlost i chápeme av tomto smyslu čteme i její jednotku. Nečteme “kilome-trů lomeno hodin” ale “kilometrů za hodinu”.

• Při pohybu po předem stanovené dráze s je čas nepřímoúměrný rychlosti v. Platí t = s

v. Konstatnou úměrnosti

je dráha s. Pro v = 1 je čas přímo roven dráze. Protoje možno konstantu úměrnosti slovně vyjádřit tak, žeudává čas, který je nutný pro projetí příslušné dráhyjednotkovou rychlostí.

• Při periodickém pohybu je frekvence f nepřímo úměrnáperiodě T . Příslušnou konstantou úměrnosti je jednička,tj. f = 1

T.

5

KAPITOLA 1. DERIVACE 6

• Objem V koule o poloměru r je přímo úměrný třetímocnině poloměru. Existuje tedy konstanta k taková,že platí V = kr3. Pro r = 1 je objem V přímo rovenkonstantě k. Konstanta proto k vyjadřuje objem koulejednotkového poloměru. Protože objem koule jednotko-vého poloměru je 4

3π učí se žáci v matematice rovnou

vzorec V = 43πr

3.• Síla působící na těleso ve vzdálenosti r od planety je dána

vztahem F = k

r2 , kde k je konstanta úměrnosti (závislána hmotnosti planety i tělesa). Toto můžeme slovněvyjádřit tak, že síla je nepřímo úměrná druhé mocniněvzdálenosti. Pro r rovno jedné je síla F přímo rovnakonstantě k. Konstanta úměrnosti k proto udává sílupůsobící na těleso v jednotkové vzdálenosti od planety.

Monotonie funkceV následující definici jsou nejdůležitější pojmy rostoucí aklesající funkce. Názorně řečeno, jsou to funkce které zacho-vávají (rostoucí) nebo obracejí (klesající) směr nerovnosti přiaplikaci funkce na obě strany nerovnice.

Definice (monotonie funkce). Nechť f je funkce a M ⊆Dom(f) podmnožina definičního oboru funkce f .

• Řekneme, že funkce f je na množině M rostoucí jestližepro každé x1, x2 ∈M s vlastností x1 < x2, platí f(x1) <f(x2).

• Řekneme, že funkce f je na množině M klesající jestližepro každé x1, x2 ∈M s vlastností x1 < x2, platí f(x1) >f(x2).

• Řekneme, že funkce f je na množiněM (ryze) monotonníje-li buď rostoucí, nebo klesající na M .

Nespecifikujeme-li množinu M , máme na mysli, že uvedenávlastnost platí na celém definičním oboru funkce f .

Poznámka (monotonie z hlediska řešitelnosti nerov-nic). Je-li funkce f rostoucí nebo klesající, je i prostá anerovnice uvedené v předchozí definici jsou dokonce ekviva-lentní. Můžeme tedy na obě strany nerovnice aplikovat tutéžrostoucí funkci, nebo rostoucí funkci z obou stran nerovnicevynechat.

• Je-li f rostoucí, platí

x1 ≤ x2 ⇐⇒ f(x1) ≤ f(x2).

• Je-li f klesající, platí

x1 ≤ x2 ⇐⇒ f(x1) ≥ f(x2).

• Stejné vztahy platí i pro ostré nerovnosti.

Tyto poučky použijeme vždy, když rozvažujeme, zda můžemek oběma stranám nerovnice přičíst stejné číslo (můžeme),zda můžeme obě strany nerovnice vynásobit stejným nenulo-vým číslem (můžeme, ale pokud násobíme záporným číslem,obrací se směr nerovnosti), zda můžeme obě strany nerovnicelogaritmovat logaritmem o stejném základě (můžeme, alev případě logaritmu a základě menším než 1 se obrací směrnerovnosti), umocnit (nemůžeme, leda bychom měli doda-tečnou informaci například o tom, že obě strany nerovnicejsou kladné nebo obě strany nerovnice jsou záporné) apod.Takových situací je mnoho a protože není v lidských silách sivšechny pamatovat, stačí je míst spojeny s definicí rostoucía klesající funkce.

Příklad. Funkce ln x a√x jsou rostoucí a proto z nerovnic

ln x > ln 6

a √x >√

6

plynex > 6.

Zejména v druhém případě je nutné si uvědomit, že použí-váme definici rostoucí funkce a skutečnost, že nezápornostobou stran nerovnice uzajišťuje, že pracujeme na intervalukladných hodnot x, kde je druhé mocnina rostoucí funkce.Nestačí říct, že umocňujeme obě strany nerovnice, jak byněkdo mohl tento krok dezinterpretovat. Umocněním oboustran nerovnice se obecně může změnit obor pravdivosti,proto tato operace u nerovnic není povolena. Na celém svémdefiničním oboru totiž druhá mocnina rostoucí není.

Příklad. Funkce 1x

a y = x2 nejsou ani rostoucí ani klesajícía proto z žádné z nerovností

1x≤ 1

5a

x2 ≤ 52

neplyne ani x ≤ 5 ani x ≥ 5.

Příklad. Funkce√x nabývá nezáporných hodnot a funkce

1x

je klesající na (0,∞). Proto z nerovnosti

1√x≤ 1

5

plyne √x ≥ 5 =

√25.

Druhá mocnina je na intervalu (5,∞) rostoucí a proto odsudplyne dále

x ≥ 25.

KAPITOLA 1. DERIVACE 7

Koncept (průměrná rychlost a oka-mžitá)Průměrnou rychlost určujeme tak, že změnu sledovanéveličiny přepočteme na jednotku času (u závislosti na čase),délky (u závislosti na poloze) nebo obecně na jednotkuveličiny, na které sledovaná veličina závisí.

Průměrná rychlost s jakou se mění funkce f na intervalu[x, x+ h] je dána vztahem

f(x+ h)− f(x)h

.

Průměrná rychlost pracuje jenom s informací v koncovýchbodech intervalu a proto bohužel neobsahuje informaci, copřesně se děje uvnitř intervalu, přes který průměrujeme.Počítáme-li ale průměr přes stále kratší interval, nevýhodaprůměrné rychlosti mizí. Cílem je počítat průměr přes inter-val prakticky nerozlišitelný od nuly. To by dalo okamžitourychlost. Numerický experiment ukazuje, že u některýchfunkcí toto funguje pěkně, u některých bohužel ne.

Pokud průměrujeme za stále kratší čas, čitatel i jmenovatelse blíží k nule a jsou potíže s interpretací zlomku. Nulou totižnení možné dělit. Musíme vytvořit koncept, který umožnísledovat, co se děje s funkčními hodnotami funkce, pokudse vstupními daty jdeme “na krev” ke kraji definičníhooboru. K tomu použijeme pojem limita. Budeme se (zatím)soustředit na tzv. vlastní limitu ve vlastním bodě. Tím seoproti obecnému postupu mnohé usnadní. Zejména pojemlimity můžeme opřít o pojem spojitost, který je přece jenomintuitivnější.

SpojitostDefinice spojitosti zavádí jakousi třídu funkcí, které jsouv jistém smyslu pěkné a můžeme pro ně použít postupy, kterépro obecné funkce nefungují. Jsou zde funkce, jejichž funkčníhodnoty se mění plynule a nemůžou se změnit skokově. Malázměna ve vstupních datech vyvolá malou změnu ve funkčníchhodnotách.

Buď f :R→ R funkce jedné proměnné.

Definice (okolí). Okolím bodu x0 rozumíme libovolnýotevřený interval obsahující bod x0.

Definice (spojitost). Řekneme, že funkce f je spojitáv bodě x0 jestliže je v tomto bodě definovaná a pro libovolnoupředem zadanou toleranci (i extrémně malou) existuje okolíbodu x0 takové, že všechny body z okolí bodu x0 mají funkčníhodnotu v rámci uvažované tolerance nerozlišitelnou od f(x0).Řekneme, že funkce f je spojitá na otevřeném intervalu, je-lispojitá v každém jeho bodě.

Definice spojitosti sice není zcela názorná, ale následujícídefinice a věta velmi pomůže. Zhruba řečeno vysvětlují,proč si v naprosté většině prakticky využitelných případůmůžeme spojitost ověřit jenom tím, že zjistíme, zda je funkcedefinována.

Definice (elementární funkce). Všechny mnohočleny,goniometrické, cyklometrické, exponenciální a logaritmickéfunkce a obecná mocnina se nazývají základní elementárnífunkce Všechny funkce, které ze základních elementárníchfunkcí získáme konečným počtem operací sčítání, odečítání,násobení, dělení a skládání těchto funkcí navzájem se nazývajíelementární funkce.

Věta (spojitost elementárních funkcí). Všechny ele-mentární funkce jsou spojité v každém vnitřním bodě svéhodefiničního oboru.

Podobně jako spojitost funkce jedné proměnné je defino-vána spojitost funkcí více proměnných. Zůstane dokoncev platnosti předchozí věta. V naprosté většině základníchpraktických aplikací vystačíme s popisem pomocí elemen-tárních funkcí a proto jsou funkce, se kterými pracujeme,zpravidla automaticky spojité. Opatrnost je nutné pouze tam,kde bychom se od elementárních funkcí odchýlili, napříkladpři použití nekonečných řad.

Poznámka. Body, v jejichž okolí je funkce ohraničená, aleje zde porušena spojitost, jsou například následující.

skok Na jeho odhalení stačí zvolit toleranci v definici spoji-tosti menší, než je výška skoku. Například f(x) = |x|+x2xje jednotkový skok v nule.

odstranitelná nespojitost Tato nespojitost nás zajímánejvíce. Je to nespojitost, která zmizí pokud vhodnědodefinujeme funkční hodnotu v bodě nespojitosti. Na-příklad funkce

f(x) =

sin xx

x 6= 01 x = 0

je spojitá funkce. Vznikla doplněním jedné funkční hod-noty do definice funkce sin x

x, která má odstranitelnou

nespojitost v bodě x = 0.

KAPITOLA 1. DERIVACE 8

Grafy.

LimitaDefinici limity opřeme o pojem spojitosti. V podstatě podlimitu skryjeme buď funkční hodnotu spojité funkce (pokudexistuje), nebo hodnotu, která danou funkci učiní spojitou.Můžeme tedy limitu považovat za “nejlepší rozumnou ná-hradu” funkční hodnoty v tom smyslu, že po předefinováníjedné funkční hodnoty se funkce stane spojitou, tj. relativněpěknou.

Definice (limita). Nechť f je funkce definovaná v okolíbodu x0, s případnou výjimkou bodu x0. Řekneme, že funkcef má v bodě x0 limitu rovnu číslu L, jestliže funkce g(x)definovaná vztahem

g(x) =L x = x0

f(x) jinak,

je spojitá v bodě x0. Píšeme

limx→x0

f(x) = L.

Velmi stručně řečeno: pokud se nedá nějaké číslo do funkcedosadit přímo, mohlo by to jít pomocí limity. Napříkladfunkce

sin xx

není definována v nule. V okolí nuly se však chová v jistémsmyslu pěkně: má funkční hodnoty prakticky nerozlišitelnéod jedničky, viz graf v odstavci věnovanému spojitosti. Protoplatí

limx→0

sin xx

= 1.

DerivaceTeď jsme připraveni (alespoň teoreticky) počítat průměrnourychlost na intervalu, jehož délka je nerozlišitelná od nuly.Vypočteme průměrnou rychlost na intervalu délky h a potépoložíme h rovno nule. Ve smyslu limity, pokud je to nutné.

Buď y = f(x) funkce definovaná na nějakém otevřenémintervalu.

Definice (derivace). Derivací funkce f v bodě x rozumímelimitu

dfdx := lim

h→0

f(x+ h)− f(x)h

,

pokud tato limita existuje a je konečná.

Derivaci funkce f v bodě x0 označujeme f ′(x0) nebo df(x0)dx .

Derivaci v libovolném bodě potom f ′, f ′(x) nebo dfdx . Zápis

dfdx je Leibnizova notace, zápis f ′ je Lagrangeova notace.

Poznámka (slovní interpretace definice derivace).

• Výraz z čitatele, tj. f(x+ h)− f(x), je změna veličinyf na intervalu [x, x+ h]. Často označujeme též ∆f .

• Podíl, tj. f(x+ h)− f(x)h

je změna veličiny f na inter-valu [x, x + h] přepočítaná na jednotku veličiny x, tj.v jistém smyslu průměrná rychlost na tomto intervalu.Často označujeme též ∆f

∆x .• Limita v definici derivace stahuje délku intervalu, na

kterém počítáme průměrnou rychlost, k nule. Tím sez průměrné rychlosti stane okamžitá rychlost.

Interpretace derivace v nematematických disciplínách jeokamžitá rychlost s jakou veličina f reaguje na změnyveličiny x. Často studujeme veličiny závislé na čase s v tomtopřípadě jde tedy o rychlost, s jakou se veličina mění v čase.Další možnosti slovní obraty používané pro slovní vyjádřeníderivace jsou zmíněny níže v podkapitole věnované derivacipodle času. Analogickou terminologii (rychlost růstu, rychlostzměny) zpravidla přenášíme i na případy, kdy nezávislouproměnnou není čas. Rychlost potom chápeme v abstraktnímslova smyslu.

Obecně, ať již je nezávislou proměnnou čas či jiná veličina, sederivace f ′(x) často slovně interpretuje jako veličina, kteráudává, jak se mění veličina f při změnách veličiny x. Tímtoslovním obratem je myšlena změna veličiny f , odpovídajícízměně veličiny x o jednotku. Je to podobné, jako údajo rychlosti na tachometru v automobilu. Ten udává, kolikkilometrů ujedeme za hodinu. Od skutečně uražené dráhyse tento údaj může lišit, protože pohyb může trvat třebajenom deset minut. A kdyby jízda opravdu trvala hodinu,mohlo vlivem jízdy v zácpě dojít k podstatnému nesouladuse skutečně uraženou dráhou. Přesto je okamžitá rychlostukazovaná na tachometru při jízdě automobilem užitečnáveličina a nemáme problémy s jejím chápáním. Stejně takpohlížejme na derivaci.

Jednotka derivace je stejná, jako jednotka podílu f(x)x

.

Věta (existence derivace implikuje spojitost). Má-li funkce f derivaci na intervalu I, je na tomto intervaluspojitá.

KAPITOLA 1. DERIVACE 9

Věta (znaménko derivace implikuje monotonii).

• Má-li funkce f kladnou derivaci na intervalu I, je natomto intervalu rostoucí.

• Má-li funkce f zápornou derivaci na intervalu I, je natomto intervalu klesající.

Aplikace derivací 1: Jak rychle?(změna v čase)

Poznámka (slovní vyjádření derivace). Derivacev bodě, pokud ji nahlížíme z hlediska časové změny ve-ličiny, je okamžitá rychlost s jakou se mění tato veličina.Protože kladná změna je růst, nahrazujeme někdy slovo“změna” slovem “růst”. Protože rychlost je změna za jednotkučasu, nahrazujeme někdy slovo “rychlost” obratem “změnaza jednotku času”. Derivaci podle času můžete tedy přečístlibovolým z následujících obratů. Všechny se běžně používajía všechny chápeme stejně – jako derivaci podle času.

• Rychlost změny• Rychlost růstu• Časová změna veličiny• Změna za jednotku času• Nárůst za jednotku času

Pokud potřebujeme pracovat s poklesem, násobíme derivacifaktorem −1. Toto čteme též jako “záporně vzatá derivace.”

Zákon ochlazování

Horké těleso o teplotě T je v chladnější místnosti o teplotěT0. Z fyziky je známo (Newtonův zákon tepelné výměny), žerychlost s jakou klesá teplota tělesa je úměrná teplotnímurozdílu. Tento rozdíl je T − T0 (od většího odečítáme menší).

• Veličina T je teplota tělesa měřená například ve stupníchCelsia.

• Veličina t je čas měřený například v hodinách.• Derivace dT

dt ve stupních Celsia za hodinu je rychlost,s jakou roste teplota tělesa.

• Matematickým vyjádřením toho, že rychlost s jakouroste teplota a teplotní rozdíl T − T0 jsou úměrné jerovnice

dTdt = −k(T − T0),

kde k je konstanta úměrnosti a záporné znaménko vy-jadřuje, že teplota klesá. Neznámou v této rovnici jefunkce a v rovnici figuruje derivace této funkce. Takovérovnice se naučíme řešit později.

Poznámka (smysl předchozího příkladu). Předchozípříklad je často v různých obměnách používán na modelování

ochlazování kávy, což je proces, který většina lidí důvěrnězná. Nemáme pochopitelně ambice se domnívat, že bychomdokázali z této rovnice odvodit nějaké zásadní výsledkyaplikovatelné při pití ranní kávy nebo při konzumaci horképolévky. Učíme se na malých věcech, abychom pozdějimohli dělat věci velké. Na známých věcech se učíme aparát,který bude naším jediným nástrojem tam, kde intuice začneselhávat. Z tohoto příkladu je nutné si odnést, že derivace,jako rychlost změny, hraje roli při kvantitativním popisu dějůa při studia procesů, kdy se mění veličiny. Ať už doopravdy(studium pohybu nebo dějů, probíhajících v čase) nebovirtuálně (problémy spojené s mechanikou, včetně statiky,stability a deformací, často pracují s virtuálními změnami,tj. se změnami, které jsou sice z hlediska úlohy přípustné,ale příroda je z nějakého důvodu nerealizuje). Tedy naprostávětšina dějů a jevů, které studujeme a chceme jim rozumět.Jakmile se v popisu fyzikálního zákona objeví slovo rychlost,někdy nahrazené souslovím časová změna, znamená to, žekvantitativní popis se děje pomocí derivací.

Uhlík 14C a datování organických nálezů

V roce 1940 byl objeven uhlík 14C. Jedná se o radioaktivníprvek s mnoha skvělými vlastnostmi. Jednou z nich je vhodnárychlost rozpadu, která jej činí vhodným pro datováníarcheologických nálezů pozůstatků živých organismů

• Rychlost, s jakou se mění množství (a tedy i koncent-race y v daném vzorku) nerozpadnutého radioaktivníhomateriálu je úměrná jeho množství (a tedy i koncent-raci). Tato skutečnost je přirozeným důsledkem toho,že pro daný nestabilní izotop mají všechny atomy stej-nou pravděpodobnost, že u nich dojde k rozpadu a tatopravděpodobnost se s časem nemění. Kvantitativně jeproces rozpadu popsán rovnicí

dydt = −λy,

kde λ je konstanta úměrnosti.• Uhlík je na datování vhodný, protože jej během života

absorbují živé organismy a protože poločas rozpadujej činí vhodným pro datování většiny archeologickyzajímavých nálezů. (Pro datování vzorků starších než50 tisíc let je nutné použít jiný prvek, protože v tomtopřípadě již uhlíku 14C ve vzorku zůstane málo.)

Aplikace derivací 2: Jak strmě?(změna v prostoru)Derivace v bodě můžeme nahlížet z hlediska prostorovézměny veličiny. Tím zjistíme, jak nerovnoměrně je veličinarozložena v prostoru. Často se derivace podle prostorovéproměnné nazývá gradient, zejména pokud nepracujeme

KAPITOLA 1. DERIVACE 10

v jednorozměrném případě, ale pokud popisujeme děj probí-hající v rovině nebo v prostoru.

Vedení tepla (dřevařství, nábytek, dřevostavby)

Nerovnoměrnost rozložení teploty v tělese vede k vyrovnáváníteplot přenosem tepla. Uvažujme teplotu T tyče jako funkcipolohy x na tyči. Ke kvantitativnímu vyjádření vedení teplaje nutné vědět, jaký rozdíl teplot připadá na jednotku délky.V homogenním případě vydělíme teplotní rozdíl vzdáleností.V obecném případě rychlost s jakou se mění teplota podéltyče (gradient teploty) vyjadřujeme pomocí derivace

dTdx .

Využívá se v posuzování izolačních vlastností a při sušenídřeva.

Koryto řeky (krajinářství)

Uvažujme příčný řez korytem řeky, jak je na obrázku. Z to-hoto obrázku je zřejmé, že při zvyšování obsahu průřezuroste hladina. Pokud by stěny byly svislé (tj. B nezávisléna h), byla by změna průřezu ∆A (například v milimetrechčtverečních) vyvolaná změnou výšky ∆h (například v mili-metrech) rovna šířce řeky B v milimetrech, protože korytoby bylo obdélníkové a podíl obsahu obdélníka a jeho výšky ješířka. V případě nekonstantního B dostáváme místo podíluderivaci, tj.

dAdh = B.

Derivace průřezu koryta podle výšky koryta hraje důležitouroli například při přechodu říčního proudění v bystřinné.Tato veličina vyjadřuje, jak rychle se mění obsah průřezus rostoucí hladinou. V praxi je možné ji spočítat pro speciálnítvary koryta, proto jsou vzorce pro vodní skok souvisejícís tímto přechodem k dispozici jenom ve speciálních případech,jako například koryto obdélníkového tvaru.

Výpočet derivace• Nikdy (nebo alespoň skoro nikdy) nederivujeme pomocí

definice, ale používáme vzorce pro derivace základníchelementárních funkcí a pro derivace matematických ope-rací s funkcemi.

• Viz cvičení v prvním týdnu.

Přece jenom jeden příkladPerioda matematického kyvadla délky L je dána vzorcem

T = 2π

√L

g. Tento vzorec je možno přepsat do tvaru

T = 2π√g

√L,

který ukazuje, že perioda je úměrná odmocnině délkykyvadla.

Pro derivování použijeme vzorec pro derivaci konstantníhonásobku a mocniné funkce.

dTdL = d

dL

(2π√g

√L

)= 2π√g

ddL

(L

12

)= 2π√g

12L− 1

2

= π√gL

.

Tento výraz udává v jednotkách sekunda na metr, jakrychle se prodlužuje perioda kyvadla při prodloužení délkykyvadla. Například pro L = 2 m je derivace číselně rovna0.71 s m−1. Prodloužení dvoumetrového kyvadla o metrprodlouží periodu o 0.71 sekundy. Protože derivace jeokamžitá rychlost změny a na delším intervalu se tatorychlost může změnit, je blíže realitě spíše formulace projednotky tisíckrát menší: “Prodloužení kyvadla o milimetrprodlouží periodu o 0.71 milisekundy.”

Pokud se kyvadlo délky L = 2 m prodlužuje (po přenesení zezimy do vytopené místnosti se závěs se prodlužuje teplotníroztažností), je rychlost prodlužování dL

dt a rychlost, s jakouroste perioda je (s použitím pravidla pro derivaci složenéfunkce)

dTdt = dT

dLdLdt = π√

gL

dLdt

Pokud se kyvadlo prodlužuje rychlostí 0.5 milimetru zasekundu, je

dLdt = 0.000 5 m s−1

adTdt = π√

2 · 9.810.000 5 = 0.00035

Derivace vychází bez jednotky (sekunda lomeno sekundou sezkrátí) a je možné ji přepsat do tvaru

dTdt = 0.35ms

s .

Perioda kyvadla se prodlužuje rychlostí 0.35 milisekundy zasekundu.

Rychlost nabíjení kondenzátoruElektrický odpor dřeva a mnoha dalších stavebních materiálůsouvisí s vlhkostí a tato souvislost je umožňuje sestrojenívlhkoměru. Protože elektrický odpor těchto materiálů jevelký, není vhodné pro určení elektrického odporu použít

KAPITOLA 1. DERIVACE 11

Ohmův zákon a změřený proud a napětí. Jedna z možnostíje měření času nutného k nabití nebo vybití kondenzátorupřes odpor. Napětí U na kondenzátoru o kapacitě C souvisís nábojem na kondenzátoru vztahem

U = 1CQ.

Derivováním tohoto vztahu podle času dostaneme vztahmezi rychlostmi změn těchto veličin ve tvaru

dUdt = 1

C

dQdt .

Veličina dQdt je nabíjecí proud. Ten dokážeme určit analýzou

elektrického obvodu, jak si ukážeme v přednášce o diferen-ciálních rovnicích. Tím budeme znát derivaci dU

dt a najítnapětí jako funkci času z derivace se naučíme v přednášceo integrálech. Důležitým prvním krokem při analýze uvažoi-vaného elektrického zapojení je však souvislost časové změnynapětí a časové změny náboje, tj. derivace dvou souvisejícíchveličin.

Funkce více proměnných

Funkce má na vstupu více proměnných, na výstupu reálnéčíslo. Některé pojmy, jako například monotonie, ztrácejíve světě funkcí více proměnných smysl, například monoto-nie nebo inverzní funkce. Proměnné značíme pomocí jejichfyzikálního označení. Bez fyzikálního kontextu zpravidla po-užíváme funkce dvou, tří, nebo n proměnných v následujícímtvaru.

• f : R2 → R, f(x, y) Geometricky můžeme chápat jakovýšku přiřazenou bodu v rovině a výsledkem je plocha ve3D, nebo barvu přiřazenou bodu v rovině a výsledkemje obarvená rovina.

• f : R3 → R, f(x, y, z) Geometricky můžeme chápatjako barvu přiřazenou bodu v prostoru a výsledkem jeobarvený prostor.

• f : Rn → R, f(x1, x2, . . . , xn) Geometrická představazde není možná, chápeme čistě abstraktně.

Parciální derivace

Definice (parciální derivace). Buď f :R2 → R funkcedvou proměnných, x a y, tj. f(x, y). Výraz

∂f

∂x:= lim

h→0

f(x+ h, y)− f(x, y)h

se nazývá parciální derivace funkce f podle x. Podobně,

∂f

∂y:= lim

h→0

f(x, y + h)− f(x, y)h

je parciální derivace funkce f podle y.

Podobně můžeme definovat parciální derivaci pro funkcelibovolného konečného počtu proměnných. V těchto parciál-ních derivacích vlastně sledujeme, jak reaguje veličina f nazměny jenom v jedné proměnné. Proměnná, přes kterou senederivuje, má vlastně roli parametru, nijak se nemění.

Rovnice vedení tepla v 1DStudujme vedení tepla v jednorozměrné tyči. Teplota jefunkcí dvou proměnných, polohy a času.

Poznámka. Potřebujeme fyzikální zákony řídící vedenítepla. Bez nich matematika model vedení tepla nemá jaknaformulovat. Tyto zákony je potřeba matematice dodat “zvenku”, z aplikované vědy. Tou je v tomto případě fyzika,jindy může být biologie nebo geologie. Jakmile jsou potřebnézákony a případně materiálové vztahy k dispozici, stavé seproblém čistě matematickým a fyzika přijde ke slovu přizávěrečné interpretaci. Použijeme následující fyzikální fakta.

• Rozdílem teplot vzniká tok tepla. Velikost toku tepla jeúměrná teplotnímu rozdílu.

• Teplota se zvyšuje dodáním tepla. Pro zvýšení teplotytělesa o hmotnosti m o hodnotu ∆T je nutné dodat

Q = mc∆T, (*)

kde c je měrná tepelná kapacita.• Budeme vztahy formulovat pro změny za časovou jed-

notku a pro jednotkový objem (tedy místo hmotnosti m,změny teploty ∆T a tepla Q máme hustotu ρ, rychlostzměny teploty ∂T

∂ta rychlost s jakou dodáváme teplo

do daného místa vztažená na jednotkový objemu).

V dalším už nastupuje matematický popis a ve vhodnýchchvílích vždy použijeme výše uvedené fyzikální zákony.Mluvíme o teple, ale jako mechanický model si můžemepředstavit proudění tekutiny (pro jednoduchou představu)nebo proudění vlhkosti (pro odvození rovnice difuze namístorovnice vedení tepla).

KAPITOLA 1. DERIVACE 12

• Potřebujeme vědět, jak moc se mění teplota podél tyče.Změny v prostorovém rozložení teploty zachycuje de-rivace ∂T

∂xv jednotkách (například) stupeň Celsia na

centimetr.• Potřebujeme změnu teploty podél tyče převést na veličinu

popisující proudění tepla. Tok tepla je úměrný veličiněpopisující změnu rozložení tepla v prostoru,

q = −k∂T∂x

. (**)

– Znaménko mínus vyjadřuje skutečnost, že teploteče z míst s vyšší teplotou do míst s menší teplotoua že tok uvažujeme kladný, pokud teče ve směru osyx. Přesněji, pokud teplota roste směrem doprava,parciální derivace je kladná, ale teplo teče doleva,tedy tok musí být záporný.

– Veličina k je konstanta úměrnosti umožňující překa-librování změny prostorového rozložení teploty natok tepla jendotkovým průřezem (první odrážka).

• Potřebujeme zjistit, kolik tepla za jednotku času přitečedo nějakého bodu a v tomto bodě “zůstane”. Množství,které zůstane, je rozdílem mezi množstvím, které přiteče,a množstvím, které odteče. Tedy potřebuji vědět, jakse mění tok tepla podél tyče. Rychlost s jakou rosterychlost toku podél tyče je ∂q

∂x. My pro kladný ohřev

potřebujeme pokles toku tepla, tedy násobíme zápornýmznaménkem a dostáváme − ∂q

∂x.

• Víme, kolik tepla se v daném místě spotřebuje na zvý-šení teploty a tuto hodnotu musíme převést na změnuteploty (třetí odrážka). Opět se jedná o jakési překalibro-vání, které ještě souvisí s dalšími fyzikálními vlastnostmijako je měrná tepelná kapacita a hmotnost jednotkovéhomnožství látky objemu v daném místě. Derivace − ∂q

∂xje

teplo, které každou časovou jednotku “zůstává” v boděx. Toto teplo se “použije” na zvýšení teploty. Z rovnice(*) pro jednotku času a jednotku objemu

− ∂q∂x

= ρc∂T

∂t.

• Po dosazení za q dostáváme

− ∂

∂x

(−k∂T

∂x

)= ρc

∂T

∂t.

• Derivace konstantního násobku je konstantní násobekderivace. Veličina k by konstantní být nemusela a protoji z opatrnosti necháme na svém místě. Může v ní býtnehomogenita nebo se může měnit s teplotou, tj. vztah(**) může být nelineární. Znaménko mínus reprezentujenásobení konstantou −1. Toto vede na finální tvar

∂

∂x

(k∂T

∂x

)= ρc

∂T

∂t.

Shrnutí. V odvození vidíme, že rovnice vedení tepla jevlastně bilance toku tepla. Rozdíl o kolik se v danémmístě snižuje tok tepla udává, kolik tepla se v daném místěspotřebovalo. Tato spotřeba tepla se projeví zvýšením teplotyv daném bodě.

Shrnutí, hlavní myšlenky• Aplikované vědy (fyzika, biologie, nauka o materiálu,

hydrologie) přirozeně formulují své zákony a poznatkymimo jiné i kvantitativně a pomocí pojmů vyjadřují-cích rychlosti změn. Doteď jsme aparátem střední školyuměli počítat jenom průměrně rychlosti za daný časovýinterval, s derivací dostáváme do ruky nástroj pro prácis okamžitými rychlostmi.

• Jakmile ve slovním popisu procesu slyšíme slovo rychlost,znamená to, že při matematickém modelování hraje prav-děpodobně důležitou roli derivace. Okamžitá rychlost jederivace. Jenom v krásných případech probíhajících kon-stantní rychlostí můžeme tuto rychlost počítat pomocípodílu, jak to známe u rychlosti pohybu.

• Naučili jsme se nebo se naučíme pomocí vzorců derivovatběžné funkce.

• Derivace umožní předpovědět, co se stane s veličinou,která závisí na jiné veličině a tato jiná veličina se měníznámou rychlostí. Ze vztahu, který dává do souvislostihodnoty dvou veličin, můžeme určit pomocí derivacívztah, dávající do souvislosti rychlosti změn těchto veli-čin.

• V případě nutnosti umíme rozšířit derivace i do světafunkcí více proměnných. Děláme to tak, že sledujemerychlost změny způsobenou vždy změnou jenom jednéveličiny. Proto příslušné derivace nazýváme parciální.(Parciální znamená v tomto smyslu částečný.)

Kapitola 2

Derivace a lineární aproximace

Aplikace derivací 3: Jak citlivě? (re-akce na změnu)Derivace v bodě, pokud ji nahlížíme z hlediska citlivostireakce funkce na změnu vstupních dat, udává, jaký vliv májednotková změna ve vstupních datech na změnu funkčníhodnoty funkce. Pokud změna ve vstupních datech neníjednotková ale násobek jednotkové změny, je i odezvanásobná.

Poznámka (derivace jako měřítko citlivosti funkcena změnu vstupních dat). Buď f : R→ R funkce taková,že má derivaci. Pokud se veličina x změní z hodnoty x0o hodnotu ∆x (tj. nová hodnota je x0 + ∆x), potom se fmění přibližně o f ′(x0)∆x, tj.

∆f ≈ f ′(x0)∆x

neboli∆f ≈ df(x0)

dx ∆x.

Tato aproximace je použitelná pro malé hodnoty ∆x.

Co se rozumí malou hodnotou ∆x závisí na více faktorech,například i na tom, jak se funkce “vzpírá” tomu, být apro-ximována výrazem úměrným ∆x. Přesněji tuto podmínkuzformulujeme po probrání Taylorova polynomu, kdy sepoužije o něco obecnější postup.

Příklad. Nosník výšky h, šířky a a délky L je uprostředzatížený silou F . Průhyb s uprostřed nosníku je dán vztahem

s = FL3

4Ebh3 , (1)

kde E je materiálová konstanta. Pro h = 20 cm je průhybs = 10 cm. Zjistěte, jak se průhyb mění při změnách výškynosníku. Odhadněte, jak se průhyb změní, pokud se h snížína 18 cm?

Řešení. Relevantními veličinami jsou s a h a vzorec je tedymožno shrnout do tvaru

s = k

h3 ,

kde k je konstanta charakterizující danou situaci. Pro zadanéhodnoty výšky a průhybu vychází konstanta

k = sh3 = 10× 203 = 80 000.Vzorec (1) tedy redukujeme na

s = 80 000h−3.

Derivováním obdržímedsdh = 80 000× (−3)h−4 = −3× 80 000

h4 .

Změna výšky nosníku je∆h = 18− 20 = −2 cm

a tomu odpovídá změna průhybu

∆s = −3× 80 000(20)4 (−2) = 3 cm.

Průhyb se tedy zvětší o 3 cm.

Poznámka (smysl předchozího příkladu). Proč ne-počítáme přesně? Stačila by selská logika a změna funkces = k

h3 by byla

∆s = k

(h+ ∆h)3 −k

h3 . (2)

Odpověď je překvapivá: pomocí derivací je vyjádření změnyv naprosté většině případů jednodušší. V tomto našempřípadě máme

∆s ≈ −3kh4 ∆h,

což je na další práci mnohem příjemnější výraz, než rozdíldvou zlomků (2). Skutečnost, že platí pouze pro malé ∆hnás nijak neomezuje. Většinou se tento aparát používá tam,kde se chyba limitním přechodem “stáhne na nulu”. Navíc,ukazujeme koncept. Důležité je si z příkladu odnést, žederivace umožní analyzovat, jak vypočítané veličiny reagujína změny ve vstupních datech. Výsledkem může být napříkladmaximální teoretická přesnost se kterou je možné vypočítatvýslednou veličinu při vstupních datech zatížených chybounebo nějakým způsobem nejistých (zákon šíření chyb).

13

KAPITOLA 2. DERIVACE A LINEÁRNÍ APROXIMACE 14

Lineární aproximace v 1DPokud se funkce mění, můžeme odhad změny z předchozíhoodstavce přičíst k funkční hodnotě a tím máme odhad funkčníhodnoty po změně. Toto je principem lineární aproximace,neuvěřitelně jednoduché a přitom velice mocné technikypoužívané inženýry k tomu, aby se popis problémů a řešeníúloh vůbec daly efektivně zvládnout.

Věta. Buď f : R→ R funkce, která má derivaci. V okolíbodu x0 platí přibližný vzorec

f(x) ≈ f(x0) + f ′(x0)(x− x0)

nebolif(x) ≈ f(x0) + df(x0)

dx (x− x0).

Poznámka (slovní intepretace vzorce pro lineárníaproxiamci). Výše uvedený vzorec není těžké rozšifrovat.

• Veličina f(x) je funkční hodnota v bodě x, tu chcemeodhadnout.

• Veličina f(x0) je známá funkční hodnota v bodě x0, toje výchozí bod pro odhad.

• Veličina f ′(x0) je odhad změny veličiny f způsobenýjednotkovou změnou vstupních dat (zvýšení hodnotyx0 o jednotku). Tento faktor ještě v dalším kroku mu-síme přizpůsobit tomu, že změna vstupních dat neníjednotková, což uděláme s využitím přímé úměrnosti.

• Veličina f ′(x0)(x − x0) je odhad změny veličiny f vy-volané změnou veličiny x z x0 o ∆x = x− x0 tak, jakjsme jej používali v minulé přednášce.

Poznámka (alternativní vzorec pro lineární apro-ximaci). Vzorec pro lineární aproximaci se často píšev ekvivalentním tvaru

f(x+ h) ≈ f(x) + f ′(x)h,

což získáme dosazením x+ h za x a x za x0.

Příklad (růst stromu). Strom má v roce 2019 výšku 3metry a roste rychlostí 0.5 metru za rok. V roce x je jehovýška dána vzorcem

h(x) = 3 + 0.5(x− 2019).

Příklad (aproximace důležitých funkcí v okolí nuly).Ve cvičení ukážeme platnost následujících přibližných vzorců,které platí pro x blízké k nule.

sin x ≈ x, cosx ≈ 1, (1 + x)n = 1 + nx.

První dva vzorce využijeme později při popisu malých rotacív rovině. Mnoho důležitých aplikací těchto vzorců ve fyziceje na webu fyzikální olympiády v dokumentu Aproximace vefyzikálních úlohách.

Lineární aproximace v některých fy-zikálních zákonechPříklad (gravitační potenciál v malých výškách nadzemí). Gravitační potenciál V ve vzdálenosti r od středukoule o hmotnosti M je dán vztahem

V (r) = −GMr

= −GMr−1,

kde G je gravitační konstanta. Najdeme lineární aproximaciv bodě R.

Dosazením obdržíme

V (R) = −GMR−1

a derivováním

dVdr = GMr−2,

dV (R)dr = GMR−2.

Odsud poté získáme lineární aproximaci

V (r) ≈ −GMR−1 +GMR−2(r −R)

Pro Zemi jako kouli o poloměru R je r −R výška nad Zemíh a aproximaci je možno po přeznačení napsat ve tvaru

V (r) ≈ V0 + gh.

V tomto označení je V0 = −GMR−1 konstanta souvisejícís volbou nulové hladiny potenciálu a vzhledem k libovolnostivolby nulové hladiny je tato hodnota nepodstatná. Veličinag = GMR−2 je tíhové zrychlení vyjádřené pomocí gravitačníkonstanty G a parametrů Země. Veličina gh je potenciálv tíhovém poli Země. Tuto veličinu známe lépe ze vzorce propotenciální energii tělesa o hmotnosti m, který má tvar

E = mgh.

Online výpočet tíhového zrychlení

Příklad (potenciální a kinetická energie). V předcho-zím příkladě je možné využít vztah

(1± x)n ≈ 1± nx, pro malé x.

Přepsáním gravitačního potenciálu V do tvaru obsahujícího

KAPITOLA 2. DERIVACE A LINEÁRNÍ APROXIMACE 15

výšku nad zemí h a využitím lineární aproximace získáme

V = −G M

R+ h

= −GMR

(1 + h

R

)−1

≈ −GMR

(1 + (−1) h

R

)= −GM

R+G

M

R2h

a po zavedení nových konstant

V ≈ V0 + gh,

kde g = GM

R2 .

Podobně aproximací přesných vztahů plynoucích z Ein-steinovy teorie relativity získáme složku energie souvisejícís pohybem, tj. kinetickou energii

E = m0c2√

1− v2

c2

= m0c2(

1− v2

c2

)−1/2

≈ m0c2(

1 +(−1

2

)(−v

2

c2

))= m0c

2 + 12m0v

2

pro v mnohem menší než c. Snadno rozšifrujeme, že s rychlostísouvisí jenom druhý sčítanec a že se jedná o klasický vzorecpro kinetickou energii 1

2mv2.

Ač se jedná “jenom” o lineární aproximaci, je vzorecE = 1

2mv2 dokonce mnohem použitelnější, protože výpočet

kinetické energie pomocí univerzálně platného relativistic-kého vzorce při malých rychlostech v praxi obvykle zhavarujena zaokrouhlovacích chybách.

Lineární aproximace a jednoroz-měrné materiálové vztahyV inženýrské praxi často potřebujeme modelovat odezvumateriálu reagujícího na vnější podnět. Může se jednatnapříklad o změnu délky při mechanickém namáhání, toktepla materiálem při tepelném namáhání, tok tekutinyporézním materiálem (dřevo, půda) při difuzi nebo rozdílutlaků a podobně.

Pokusíme se modelovat funkci dávající do souvislosti velikostpodnětu a reakci materiálu.

• Je přirozené, že při nulovém podnětu není žádná odezvaa proto funkce prochází počátkem.

• S velikostí podnětu odezva na tento podnět roste a protofunkce v okolí počátku má kladnou derivaci a roste.

• Z lineární aproximace vidíme, že pro x0 = 0 a f(0) = 0se vzorec pro lineární aproximaci redukuje na

f(x) ≈ f ′(0)x,

tj. na přímou úměrnost.• Ukazuje se, že v řadě praktických úloh je uvedená apro-

ximace dobrá na dostatečně dlouhém intervalu a podletypu úlohy má tato aproximace povahu fyzikálního zá-kona a svůj vlastní název. Nejčastěji se setkáme se s Ho-okovým zákonem pro deformaci materiálu (relativní pro-dloužení je úměrné normálovému napětí), Darcyho záko-nem pro tok tekutiny půdou (filtrační rychlost je úměrnázáporně vzatému hydraulickému gradientu), Fickovýmzákonem pro difuzi (hustota difuzniho toku je úměrnázáporně vzatému gradientu koncentrace) a Fourierovýmzákonem pro vedení tepla v materiálu (hustota tepelnéhotoku je úměrná záporně vzatému gradientu teploty). Poz-ději, v přednášce o zákonech zachování ve vektorovémpoli ke konci semestru, si tyto závislosti naformulujemeve vícerozměrném prostředí a hlavně ve tvaru, kterýumožní zohlednit práci s neizotropními materiály (různéfyzikální vlastnosti v různých směrech).

• Matematicky je tedy povaha přímé úměrnosti v materiá-lových vztazích zřejmá a experimentálně je možné ověřit,pro jaké oblasti platí. Toto nám však mnohdy nestačía snažíme se tyto vztahy ještě odvodit ze základníchfyzikálních vztahů a z představy jak daný proces fun-guje. To otevírá možnosti potvrdit si, že naše představao chování materiálu je správná.

• V některých velmi speciálních případech dokonce umímeurčit materiálovou charakteristiku výpočtem namístoměření. Pro praktické využití tato dovednost není vý-znamná (můžeme vypočítat například koeficient filtracepro půdu složenou z částic ve tvaru stejně velkých ku-liček, v praxi se však s takovým materiálem setkámenanejvýš při speciálních aplikacích v laboratoři), aledává nám to důležitý prostor pro ověření fyzikálníchhypotéz a matematických postupů.

Derivace a tečnaLineární aproximace funkce je vlastně aproximace tečnou.Protože pojem tečna ze střední školy chápeme jenom intui-tivně, můžeme nyní pomocí derivace tečnu dokonce definovat.Z geometrického pohledu je tečna přímka bodem [x0, f(x0)],která má směrnici f ′(x0). Proto se o derivaci často mluvíjako o směrnici tečny.

KAPITOLA 2. DERIVACE A LINEÁRNÍ APROXIMACE 16

Definice (tečna). Nechť f je funkce, která má v bodě x0derivaci f(x0). Přímka

y = f(x0) + f ′(x0)(x− x0)

se nazývá tečna ke grafu funkce f v bodě x0.

Díky souvislosti derivace s tečnou je derivace jedinečnýmnástrojem při popisu vlastností křivek. Příslušná oblast senazývá diferenciální geometrie a je to jakási oblast mezigeometrií a diferenciálním počtem.

Motivace: Je možné chtít více než jelineární aproximace?Lineární aproximace vychází z předpokladu, že rychlostrůstu (nebo poklesu) se příliš nemění. Někdy můžememít dodatečnou informaci o tom, jak se tato rychlost změní.Například pokud se bude rychlost zpomalovat, bude skutečnáhodnota funkce menší než lineární aproximace.

Je otázka, zda a jak je možné informaci o tom, jak rychleroste rychlost, případně jak rychle roste rychlost růsturychlosti, využít. To znamená že budeme studovat derivaciderivace, derivaci derivace derivace atd.

Aproximaci funkce cosx ≈ 1 zmíněnou výše (odvodímeve cvičení), kdy aproximujeme vlastně konstantní funkcí,je možné také chápat jako selhání lineární aproximace.Následující slidy a pojem Taylorův polynom nám umožnínajít prostředek pro aproximaci i v těchto případech.

Derivace vyšších řádů

Definice (druhá a další vyšší derivace).

• Druhou derivací rozumíme derivaci derivace. Označu-jeme f ′′(x) nebo d2f

dx2 .• Podobně k-tou derivací rozumíme derivaci (k − 1)-ní

derivace. Označujeme f (k)(x) nebo dkfdxk .

Platí tedy

d2f

dx2 := ddx

(dfdx

),

dkfdxk := d

dx

(dk−1f

dxk−1

)aneb

f ′′ := (f ′)′, f ′′′ = (f ′′)′, f (k) = (f (k−1))′.

Označení derivací pomocí čárek se nazývá Lagrangeovanotace, označení pomocí podílu diferenciálů Leibnizova

notace. Ještě se někdy používá i Eulerova notace, používajícíDf , D2f a Dkf pro první, druhou a k-tou derivaci.

Příklad.

• Exponenciální funkce ex má všechny derivace stejné.• U mocninné funkce se každým derivováním sníží expo-

nent. Je-li exponentem přirozené číslo, po konečnémpočtu kroků se exponent sníží na nulu, funkce tedy budekonstantní a všechny další derivace budou nulové.

• Polynomy mají všechny derivace od jistého řádu rovnynule.

Podobně je možné pracovat s parciálními derivacemi parciál-ních derivací. Například

∂2f

∂x2 := ∂

∂x

(∂f

∂x

)∂2f

∂y2 := ∂

∂y

(∂f

∂y

)nebo

∂2f

∂x∂y:= ∂

∂y

(∂f

∂x

).

Druhá derivace a deformace nosníkůDerivace hrají ústřední roli v teorii studující tuhost, defor-maci a odolnost proti selhání u nosníků. Máme-li nosníkpodepřený na koncích a zatížený silou kolmo na podélnouosu nosníku (například vodorovný nosník se svislým zatíže-ním) a je-li v(x) výchylka od rovnovážného stavu v boděx, potom derivace dv

dx vyjadřuje úhel pootočení svislého

průřezu nosníku vlivem deformace a druhá derivace d2v

dx2 přimalých deformacích vyjadřuje křivost nosníku. Z fyzikálníchúvah a ze vztahu mezi křivostí a momentem M(x) síly, kteránosník deformuje, je možné odvodit rovnici

M(x) = EId2v

dx2 ,

kde konstanta E souvisí s materiálem (Youngův modulpružnosti) a I s průřezem nosníku (kvadratický momentprůřezu). Podobně, pro nosník namáhaný v ose (napříkladsvislá vzpěra) silou F platí vztah

EId2v

dx2 + Fv = 0.

Aplikace jsou, jak bylo uvedeno, při dimenzování nosníků(angl. beam buclinkg). Odvození výše uvedených rovnic neníkomplikované, ale vyžaduje dodatečné fyzikální znalosti aproto zde neuvádíme.

Někdy je vhodné mít moment M(x) síly deformující nosníkmít vyjádřený pomocí zatížení nosníku. To souvisí s druhou

KAPITOLA 2. DERIVACE A LINEÁRNÍ APROXIMACE 17

derivací momentu a proto je nutno rovnici ještě dvakrátderivovat. Proto se ohybová rovnice nosníku někdy uvádíjako vztah obsahující dokonce čtvrtou derivaci.

Taylorův polynom a polynomiálníaproximace v 1D

Definice (Taylorův polynom). Taylorův polynom stupněn pro funkci f v bodě x0 je polynom

T (x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) + 12!f′′(x0)(x− x0)2

+ · · ·+ 1n!f

(n)(x0)(x− x0)n,

tj.

T (x) = f(x0) + df(x0)dx (x− x0) + 1

2!d2f(x0)

dx2 (x− x0)2

+ · · ·+ 1n!

dnf(x0)dxn (x− x0)n.

Taylorův polynom je nejlepší aproximace funkce f polyno-mem. Je možné ukázat, že rozdíl

f(x)− T (x)

je blízký k nule, pokud je n dostatečně velké, x dostatečněblízko k x0 a (n+ 1)-ní derivace funkce f je relativně malá.V těchto případech je

f(x) ≈ T (x).

V tomto případě dostáváme následující větu. V ní O((x −x0)n+1) je takzvané Landauovo velké O. Tímto zápisemje vyjádřen člen, který je pro x blízká k x0 v absolutníhodnotě menší než násobek funkce (x−x0)n+1, tj. v bodě x0konverguje k nule stejně rychle nebo rychleji jako mocninnáfunkce s exponentem n+ 1.

Věta (Taylorova aproximace v okolí nuly) Platí

f(x) = T (x) +O((x− x0)n+1),

resp. pro x = x0 + h

f(x0 + h) = f(x0) + f ′(x0)h+ 12!f′′(x0)h2

+ · · ·+ 1n!f

(n)(x0)hn +O(hn+1),

pokud existují spojité derivace funkce f do řádu n+ 1.

Často používáme aproximaci v nule. Potom dostáváme proaproximaci v okolí nuly

f(x) = f(0) + f ′(0)x+ 12!f′′(0)x2

+ · · ·+ 1n!f

(n)(0)xn +O(xn+1).

Příklad.

ln 1 + x

1− x ≈ 2x+ 23x

3 + 25x

5 + 27x

7 + 29x

9

ln 2 = ln1 + 1

31− 1

3≈ 0.69314604

Po tomto výpočtu je prvních pět cifer aproximace ln 2správně. Tady vidíme i jeden zajímavý trik. Pokud bychomse snažili napsat Taylorův polynom funkce ln(x+ 1), kterávypadá příjemněji, chyba aproximace by byla mnohem větší.

Online výpočet.

Odbočka: od vazeb mezi atomy k ma-teriálovým vlastnostemVýraz

V (r) = 1r12 −

2r6 = r−12 − 2r−6

je (až na konstanty, které pro pohodlí volíme pevně) Lennard-Jonesův potenciál často používaný pro interakci mezi atomynebo molekulami. Napíšeme Taylorův polynom druhéhostupně v bodě r = 1. K tomu potřebujeme znát funkčníhodnotu a hodnotu prvních dvou derivací v tomto bodě.

V (1) = 1− 2 = −1dVdr = −12r−13 − 2(−6)r−7

∣∣∣r=1

= −12 + 12 = 0

d2V

dr2 = 12 · 13r−14 − 2 · 6 · 7r−8∣∣∣r=1

= 12 · 13− 12 · 7 = 72

V (r) ≈ −1 + 1272(r − 1)2

Konstanta −1 je nezajímavá, souvisí s nulovou hladinoupotenciálu a nulovou hladinu potenciálu si můžeme volitlibovolně.

Lineární člen chybí a kvadratický člen je analogický potenci-ální energii pružiny o tuhosti k ve tvaru

U = 12kx

2.

Molekuly či atomy popsané tímto potenciálem se chovají jakotělesa na pružině o tuhosti k = 72 kmitající okolo rovnovážnépolohy odpovídající r = 1. Pro atom o hmotnosti m tedynapříklad platí vzorec pro úhlovou frekvenci oscilací ω =

KAPITOLA 2. DERIVACE A LINEÁRNÍ APROXIMACE 18

√k

m, odvozený původně pro těleso na pružině. Analogicky se

chovají pružné konstrukce. V klidu jsou ve stavu s minimálnípotenciální energií a při vychýlení z tohoto stavu o malouhodnotu začínají kmitat.

• Pokud aproximujeme potenciál pomocí Taylorova poly-nomu, z koeficientu u kvadratického člene můžeme určitfrekvenci oscilací.

• Dále můžeme tímto způsobem určit pevnost vazby atím pro daný materiál určit Youngův modul pružnosti,tj. konstantu úměrnosti mezi deformací materiálu atahovým nebo tlakovým napětí v materiálu.

• Poloha rovnovážné polohy, resp. její závislost na tep-lotě (pokud bychom do matematického modelu dodaliskutečné parametry i s jejich teplotní závislostí) zasedefinuje koeficient teplotní roztažnosti materiálu.

Takovým způsobem můžeme u materiálu se známou struktu-rou odhadnout fyzikální vlastnosti výpočtem. To je důležité,protože teoretické předpovídání vlastností materiálu otevírácestu k navrhování nových materiálů s výhodnějšími vlast-nostmi. materiál můžeme prozkoumat ješte dříve, než jejvyrobíme a dostaneme na stůl.

Prostá funkceNěkdy jsme v situaci, že známe výsledek po působení nějakéfunkce a potřebujeme zrekonstruovat vstupní hodnotu.Řešíme tedy pro zadanou funkci f a hodnotu y0 rovnici

f(x) = y0.

Řešení této rovnice, pokud existuje, nemusí být určenojednoznačně. Pro funkce, pro které je určeno jednoznačně,zavádíme následující pojem.

Definice (prostá funkce). Nechť f je funkce a M ⊆Dom(f) podmnožina definičního oboru funkce f . Řekneme,že funkce f je prostá, jestliže každý obraz má jen jediný vzor,tj. pro každé y0 ∈ f(M) existuje jediné x ∈M s vlastnostíf(x) = y0. Nespecifikujeme-li množinu M , máme na mysli,že uvedená vlastnost platí na celém definičním oboru funkcef .

Věta (rovnice s prostou funkcí). Pokud je f prostáfunkce a platí

f(x) = f(a),

potom platí x = a.

Příklad. Funkce 1xje prostá a proto z rovnosti 1

x= 1

5 plynex = 5.

Příklad. Funkce x2 není prostá a proto z rovnosti x2 = 72

neplyne x = 7.

Inverzní funkceInverzní úloha je tak trošku jako reverzní inženýrství. Mámevýsledek a potřebujeme znát vstupní data. U funkcí to jesupersnadné, u konstrukcí supersložité. Užitečné je ale obojí.

Definice (inverzní funkce). Nechť funkce f : A → B jeprostá. Pravidlo, které každému x z množiny f(A) přiřadí to(jediné) y, pro které platí f(y) = x se nazývá inverzní funkcek funkci f , označujeme f−1.

Poznámka (inverzní funkce pří řešení rovnic). Jinakzapsáno, je-li

f(y) = x

a f má inverzní funkci, platí

y = f−1(x).

Jedná se o zobecnění pouček jak “převádět výrazy na druhoustranu rovnice”.

Symbol f−1(x) lze tedy chápat buď jako hodnotu inverznífunkce k funkci f v bodě x, nebo jako převrácenou hodnotuk číslu f(x), tj jako [f(x)]−1 = 1

f(x) . Nebude-li z kontextuzřejmé, o kterou variantu se jedná, musíme toto upřesnit.

Příklad. Funkce y = x2 není prostá na R a proto zdenemá inverzní funkci. Pokud definiční obor funkce y = x2

zúžíme na nezáporná čísla, tj. požadujeme x ≥ 0, je takováfunkce prostá a má inverzní funkci. Protože tato úloha mápraktický význam, vyplatí se pro tuto inverzní funkcí zavéstspeciální označení. Jak dobře víme, inverzní funkcí je druháodmocnina, tj. funkce y =

√x.

Newtonova metodaNewtonova metoda (též Newtonova Raphsonova metoda) jemetoda pro numerické řešení rovnic. To používáme v případě,že není možné (nebo není účelné) řešit rovnici přesně asnažíme se najít přibližné řešení. Například neznáme inverznífunkci, nebo s touto funkcí neumíme pracovat.

Budeme hledat řešení rovnice

f(x) = 0.

Budeme postupovat tak, že vyjdeme z nějaké aproximaceřešení (získáme například graficky nebo zkusmo hrubou výpo-četní silou) a tuto aproximaci budeme postupně zpřesňovat.

KAPITOLA 2. DERIVACE A LINEÁRNÍ APROXIMACE 19

Postup zpřesňování je takový, že v dosažené aproximacifunkci nahradíme lineární funkcí a další aproximace (zpřes-nění předchozí aproximace) bude v nulovém bodě tétolineární funkce. Za poměrně snadno splnitelných předpo-kladů (začneme dostatečně blízko nulového bodu a funkcemá v nulovém bodě nenulovou derivaci) postup konverguje kekořeni studované rovnice a to velmi rychle: každým krokemse přibližně zdvojnásobí počet míst, která máme správně.

Z lineární aproximace funkce f v bodě x0

f(x) ≈ f(x0) + f ′(x0)(x− x0)

pro x0 = xn, x = xn+1, f(xn+1) = 0 dostáváme

0 = f(xn) + f ′(xn)(xn+1 − xn)

a po osamostatnění xn+1 přímo iterační vzorec

xn+1 = xn −f(xn)f ′(xn) .

Tento vzorec používáme opakovaně až do dosažení požado-vané přesnosti. Obvyklým testem pro ukončení výpočtu jeporovnání dvou po sobě jdoucích iterací. Pokud se v rámci po-žadované přesnosti shodují, výpočet končí a známe přibližnéřešení zadané rovnice.

Příklad. Zkusme najít číslo takové, jehož kosinus je stejnýjako toto číslo. Rovnici

x = cosx

nejprve přepíšeme do tvaru

x− cosx = 0

a hledáme vlastně řešení nulový bod funkce f(x) = x− cosx.Po dosazení f ′(x) = 1 + sin x získáváme iterační vzorec

xn+1 = xn −xn − cosxn1 + sin xn

a jednotlivé iterace s počátečním odhadem x0 = 1 a s apro-ximací na 60 desetinných míst dávají postupně následujícíhodnoty.0.75036386784024389303494230668217685324699306585535903096658310.73911289091136167036058529090489023400289283673565690732340790.73908513338528396976012512085680433288953312317018897963123060.73908513321516064166170262568502637232522326252964269151340250.73908513321516064165531208767387340401342077636703525840515900.73908513321516064165531208767387340401341175890075746496568060.7390851332151606416553120876738734040134117589007574649656806

Vidíme, že proces opravdu neuvěřitelně rychle konvergujek řešení rovnice.

Příklad. Někdy je možné použít ad hoc iterační techniku.Například rovnici

x4 + 7x− 7 = 0

můžeme přepsat do tvaru

x = 17(7− x4)

a iterační vzorec

xn+1 = 17(7− x4

n)

s počátečním odhadem x = 1 dává po deseti iteracích třidesetiná místa shodná.

0 0.8571428571428571 0.9228892723270072 0.8963664557806023 0.9077759175174554 0.9029899812671255 0.9050196671391636 0.9041628195647827 0.9045252484126428 0.9043720741632569 0.904436833065177

Vidíme konvergenci a iterační vzorec jsme našli s minimálnímúsilím. Rychlost konvergence však není nijak velká a riziko,že výpočet nebude konvergovat roste se složitostí rovnicea silně závisí na zkušenostech uživatele s touto technikou.Newtonova metoda

xn+1 = xn −x4n + 7xn − 7

4x3n + 7

je jistější a se stejným počátečním odhadem konvergujemnohem rychleji, což ukazuje následující výpočet.

0 0.9090909090909091 0.9044283793101092 0.9044175924100863 0.9044175923527454 0.904417592352745

Ad hoc iterace použijeme například při odvození Jacobihometody pro iterační řešení soustavy diferenciálních rovnic.

Konečné diference a aproximace de-rivacePro numerické řešení rovnic obsahujících derivace je vhodnéumět nahradit derivace veličinami, se kterými se lépe pracujev numerických výpočtech.

Základním přístupem je vynechání limitního přechoduv definici derivace

dfdx = lim

h→0

f(x+ h)− f(x)h

.

Tedydfdx ≈

f(x+ h)− f(x)h

.

KAPITOLA 2. DERIVACE A LINEÁRNÍ APROXIMACE 20

Okamžitá rychlost je nahrazena průměrnou rychlostí naintervalu (x, x+h). Tento podíl se nazývá dopředná poměrnádiference. Analogicky je definována vztahem

dfdx ≈

f(x)− f(x− h)h

zpětná diference.

Jiná aproximace vychází z Taylorova polynomu druhéhořádu napsaného pro f(x+ h) a f(x− h), tj. ze vztahů

f(x+ h) ≈ f(x) + f ′(x)h+ 12f′′(x)h2

f(x− h) ≈ f(x)− f ′(x)h+ 12f′′(x)h2

Pokud tyto vztahy sečteme a odečteme, dostaneme

f(x+ h) + f(x− h) ≈ 2f(x) + f ′′(x)h2

f(x+ h)− f(x− h) ≈ 2f ′(x)h.

Odsud dostáváme aproximaci první derivace pomocí centrálnídiference

dfdx = f ′(x) ≈ f(x+ h)− f(x− h)

2ha druhé derivace

d2f

dx2 = f ′′(x) ≈ f(x− h)− 2f(x) + f(x+ h)h2 .

Protože používáme aproximaci kvadratickým polynomem, jeaproximace derivace pomocí centrální diference přesnější nežaproximace pomocí dopředné diference.

Shrnutí, hlavní myšlenky• Derivace udává trend ve změnách veličin a díky tomu

umožňuje za určitých okolností nahrazovat komplikovanéfunkční vztahy pomocí vztahů lineárních. Toto nazývámelineární aproximace a je to jedna za zásadních metod,jak si inženýři zjednodušují úlohy, které by byly jinakneřešitelné.

• Derivace dokáže detekovat růst a klesání funkce a díkytomu dokážeme také detekovat body, kde se růst zastavía změní na klesání nebo naopak. Tyto body nás při-rozeně zajímají, protože v těchto bodech je studovanáveličina maximální nebo minimální a to má dopad přiminimalizaci nákladů, maximalizaci pevnosti či zisku ajiných úlohách z praktického života.

• Pokud trend (rychlost změny, derivace) nestačí k pod-chycení zásadních vlastností veličiny (nastává v lokálnímextrému nebo v případě, že potřebujeme lepší aproxi-maci, než je aproximace lineární), máme k dispozicinástroje i v tomto případě: derivace vyšších řádů a Tay-lorův polynom.

Kapitola 3

Derivace a další užitečné nástroje

Parita funkceV následující definici se budeme zajímat o to, jestli existujenějaký vztah mezi funkční hodnotou v bodě x z definičníhooboru a v bodě opačném.

Definice (parita funkce). Nechť funkce f splňuje násle-dující podmínku: x ∈ Dom(x) =⇒ (−x) ∈ Dom(f).

• Řekneme, že funkce f je sudá pokud platí f(−x) = f(x).• Řekneme, že funkce f je lichá pokud platí f(−x) =−f(x).

• Řekneme, že funkce f má paritu, je-li sudá nebo lichá.

Graf sudé funkce je osově souměrný podle osy y. Graf lichéfunkce je středově souměrný podle bodu [0, 0].

U sudé funkce stačí mít algoritmus nebo tabulky pro kladnéargumenty. Například kosinus je sudá funkce a platí

cos(−x) = cos(x).

Analogicky pro funkci sinus jako pro lichou funkci platí

sin(−x) = − sin(x).

Poznámka (využití sudosti v materiálovém inže-nýrství). Funkční hodnoty sudé funkce jsou rozloženysymetricky podle osy y. Pokud víme, že úloha bude mítosově symetrické řešení, můžeme tuto znalost použít a hledatřešení mezi sudými funkcemi. Například při řešení prostuputepla deskou, kdy stejný fyzikální proces probíhá na oboustranách desky, je přirozené modelovat jenom polovinu deskya uprostřed nastavit podmínku, která umožní sudé prodlou-žení do druhé poloviny. Většinou to bývá nulovost derivace.Proto se například při nestacionární difuzi používá v definicibezrozměrného času, který charakterizuje fyzikální proces,polovina tloušťky materiálu. Viz P. Horáček, Fyzikální amechanické vlastnosti dřeva I nebo odpovídající e-opora.

Sudé a liché funkce jsou, díky svým vlastnostem, v jistémsmyslu pěkné. V matematice se často snažíme zapsat nějaký

objekt pomocí podobných pěkných objektů. Uvidíme topozději například při popisu deformace. Jako ukázku přístupusi můžeme už teď ukázat následující snadnou větu. Věta je teďasi málo užitečná, ale naučíme se na ní trik, kterým pozdějirozdělíme složitější objekt (matici) na součet dvou jinýcha šikovějších objektů (součet symetrické a antisymetrickématice).

Věta (o rozkladu funkce na součet sudé a lichéfunkce). Platí

f(x) = f(x) + f(−x)2 + f(x)− f(−x)

2 .

Každou funkci definovanou na (−∞,∞) je možné taktorozložit na součet sudé a liché funkce.

Příklad. Pro funkci f(x) = ex dostáváme

ex = ex + e−x

2 + ex − e−x

2 .

Dvě funkce na pravé straně mají význam v aplikacích anazývají se hypebolický kosinus, cosh x, a hyperbolický sinus,sinh x.

Příklad. Je-li funkce f(x) polynom, potom rozkladem nasudou a lichou část dostaneme polynomy, které jsou tvořenyčleny původního polynomu tak, že sudá část obsahuje právěčleny se sudým exponentem a lichá část právě členy s lichýmexponentem.

Motivace: Jak najít minimum poten-ciálu?V příkladě s aproximací potenciálu pomocí Taylorova po-lynomu se nám povedlo potenciál aproximovat pomocíkvadratické funkce v okolí vrcholu paraboly. To je častáúloha, protože systémy s potenciální energií se často nachá-zejí ve stavu blízkému minimu této energie. Otázka je, jaktoto minimum najít. Budeme řešit poněkud obecnější úlohu,

21

KAPITOLA 3. DERIVACE A DALŠÍ UŽITEČNÉ NÁSTROJE 22

jak hledat nejenom minimální hodnotu, ale i maximálníhodnotu. Zaměříme se na minima a maxima, která jsoulokální (s funkcí pracujeme pouze na určitém intervalu, třebai krátkém).

Lokální extrémy spojitých funkcíNásledující definice si všímají bodů které mají tu vlastnost, žev okolí není možné najít body buď s vyšší funkční hodnotou(potom se jedná o lokální maximum, nikde v okolí mi funkceneukáže více) nebo s nižší funkční hodnotou (analogicky,lokální minimum).

Definice (lokální extrémy). Nechť f :R→ R.

• Řekneme, že f má v bodě x0 lokální maximum, pokudplatí

f(x) ≤ f(x0)

pro všechna x z nějakého okolí bodu x0.• Řekneme, že f má v bodě x0 lokální minimum, pokud

platíf(x) ≥ f(x0)

pro všechna x z nějakého okolí bodu x0.• Řekneme, že f má v bodě x0 lokální extrém, pokud

v tomto bodě má buď lokální maximum nebo lokálníminimum.

Přímo z definice lokálních extrémů a rostoucí a klesajícífunkce plyne, že funkce nemůže mít lokální extrém v bodě,kde je rostoucí nebo kde je klesající. Tuto skutečnost vyja-dřuje pomocí derivací následující věta.

Věta (Fermatova o lokálním extrému, nutná pod-mínka pro lokální extrém). Má-li funkce f v bodě x0lokální extrém, potom je derivace funkce f v bodě x0 nulová,nebo neexistuje.

Předchozí věta představuje nutnou podmínku pro lokálníextrém. V bodě kde není splněna (tj. pokud je derivacev tomto bodě kladná nebo záporná) exrém nemůže nastat.Tím je eliminováno obrovské množství bodů z definičníhooboru funkce. V prakticky využitelných případech nám potéto eliminaci často zůstane jenom jediný bod, podobně jakov následující úloze.

Nosník maximální tuhostiPříklad. Z kulatiny o průměru d chceme získat nosníkobdélníkového průřezu, který se při zatížení co nejméněprohýbá. Z fyzikálních úvah víme, že musí být maximálnísoučin wh3, kde w je šířka a h výška nosníku.

Trik 1: Budeme měřit jednotky v násobcích průměru. Protoje d = 1. Můžeme tedy bez újmy na obecnosti předpokládat,že kulatina má jednotkový průměr.

Z Pythagorovy věty (nakreslete si průřez, tj. obdélníkvepsaný do kružnice) plyne w =

√1− h2 a snažíme se tedy

řešit úlohuwh3 = h3

√1− h2 → MAX,

která má fyzikální smysl na intervalu (0, 1).

Trik 2: Protože uvažujeme jenom kladné délky, je funkcekladná a bude maximální tam, kde bude maximální její druhémocnina. Je tedy možné studovat ekvivalentní úlohu

(wh3)2 = h6(1− h2) = h6 − h8 → MAXna intervalu (0,∞). Výhoda je zřejmá: místo součinu dvoufunkcí, z nichž jedna je navíc složená, studujeme dvoučlennýpolynom. Pro funkci

f(h) = h6 − h8

dostávámedfdh = 6h5 − 8h7 = 2h5(3− 4h2).

Tato derivace je nulová pro

h2 = 34

tj.

h =√

32 .

Pro tuto výšku bude mít nosník maximální hodnotu tuhosti.Šířka nosníku bude

w =√

1− h2 =√

1− 34 =

√14 = 1

2 .

Poměr výšky a šířky u nosníku maximální tuhosti tedy bude√3 : 1 a šířka bude rovna polovině průměru.

Online výpočet.

Postačující podmínka pro lokální ex-trémPokud řešíme úlohu s praktickým zadáním, je z povahyúlohy často zřejmé, že lokální extrém požadovaného typuexistuje a často to bývá jediný bod, kde je derivace nulová.V takovém případě pro identifikaci lokálního extrému stačínutná podmínka. Pokud bodů vyhovujících nutné podmíncemáme více, nebo pokud je situace méně zřetelná, můžemeexistenci lokálního extrému posoudit pomocí následujícívěty. Ta představuje dostatečnou (postačující) podmínku prolokální extrém. Stačí aby tato podmínka byla splněna amůžeme s jistotou usoudit, že v bodě je extrém a jaký.

KAPITOLA 3. DERIVACE A DALŠÍ UŽITEČNÉ NÁSTROJE 23

Věta (postačující podmínka pro lokální extrémy).Je-li f spojitá v bodě x0 a mění-li se v bodě x0 funkcef z rostoucí na klesající, má funkce f v bodě x0 lokálnímaximum. Analogicky, lokální minimum nastává při změněz klesající na rostoucí.

Podle této věty jsou intervaly monotonie zásadní informacípro nalezení lokálních extrémů. Vzhledem k souvislostimonotonie s derivací je tedy nutné se věnovat nalezeníintervalů, kde má funkce kladnou derivaci a intervalů, kdemá funkce zápornou derivaci.

Bolzanova věta

Obrázek 3.1: Bolzanova věta je jedna z těch, které člověka nepřekvapí.Pokud se má funkce spojitě přehoupnout z jedné strany osy na druhou,musí tuto osu někde protnout.

Pro nalezení intervalů, kde je výraz závislý na jedné pro-měnné kladný a kde záporný je vynikajícícm nástrojemBolzanova věta představená v následujících odstavcích. Hodíse například pro nalezení intervalů, kde má funkce kladnou akde zápornou derivaci, což využijeme při nelezení intervalů,kde je funkce rostoucí a kde klesající.

Bolzanova věta je poměrně názorné tvrzení. Hlavním pří-nosem pražského matematika Bernarda Bolzana bylo, že siuvědomil, že toto tvrzení není snadným důsledkem definicespojitosti a že přes názornost tohoto tvrzení je nutno podatjeho přesný důkaz, který rozhodně není jednoduchý. Jiná,zdánlivě nevinná tvrzení, však pravdivá být nemusí. Zde senabízí souvislost se spojitostí funkce a nakreslitelností jednímtahem. Bolzano například našel funkci, která je spojitá, alejejí graf je tak komplikovaný, že se nedá nakreslit.

Podmínka f(a)f(b) < 0 v následující větě znamená, žefunkční hodnoty funkce f v bodech a a b se liší znaménkem.

Věta (Bolzanova věta). Nechť f je spojitá funkce naintervalu [a, b] a f(a)f(b) < 0. Potom existuje c na intervalu(a, b) takové, že platí f(c) = 0.

Důsledek.

• Na intervalu, kde je funkce spojitá a různá od nuly, sezachovává znaménko funkce, tj. funkce je zde buď pořádkladná nebo pořád záporná. Mezi oběma variantamise můžeme rozhodnout testováním znaménka funkcev jednom libovolném bodě intervalu.

• Na intervalu, kde má funkce spojitou a od nuly růz-nou derivaci, se zachovává monotonie funkce, tj. funkceje zde buď pořád rostoucí nebo pořád klesající. Mezioběma variantami se můžeme rozhodnout testovánímmonotonie (tj. znaménka derivace) v jednom libovolnémbodě intervalu.

Poznámka. Lokální extrém nastává tam, kde je funkcespojitá a kde se mění monotonie. Nenastává tam, kde semonotonie spojité funkce nemění. Přirozeně nenastává anitam, kde funkce není definována.

Příklad. Najděte lokální extrém funkce y = x

x2 + 1 . Deri-

vace je y′ = (1 + x)(1− x)(x2 + 1)2 .

Příklad. Najděte lokální extrém funkce y = x3

x+ 2 . Derivace

je y′ = 2(x+ 3)x2

(x+ 2)2 .

Kritická tloušťka izolace trubkyNásledující příklad je poněkud překvapivý. Představmesi, že potřebujeme obalit horkou trubku izolací, abychomsnížili tepelné ztráty. Izolace se zahřeje od trubky a vyzařujeteplo do okolí. Vyzářené teplo je úměrné rozdílu teplotypovrchu izolace a teploty vnějšího okolí a také plošnémuobsahu povrchu izolace (větší plocha více vyzáří). Roli hraje ikvalita povrchu, to je skryto v příslušné konstantě úměrnosti.S daným materiálem potřebujeme tedy u izolace dosáhnouttoho, aby její teplota a povrch byly co nejmenší. Teplotusnížíme, pokud uděláme izolaci silnější, to ovšem zvýší jejípovrch. A z většího povrchu se vyzáří více tepla. Přidáváníizolace by tedy mohlo být kontraproduktivní. Zdá se to býtproti logice, ale logika nás někdy může zavést na zcestí astojí za to jev prozkoumat.

Nejprve ukážeme, že přidávání izolace opravdu může zvýšittepelné ztráty, ale potom se uklidníme tím, že v praktickémživotě, například při izolování topenářských trubek, tentoproblém nemáme. Potřebujeme dva vzorce, které dodá fyzika,poté již budeme pracovat čistě matematicky.

Teplo Q, které projde za jednotku času při ustáleném vedení

KAPITOLA 3. DERIVACE A DALŠÍ UŽITEČNÉ NÁSTROJE 24

tepla povrchem trubky délky L o vnitřním poloměru r,vnějším poloměru R je dáno vztahem

Q

2πLk ln Rr

= T1 − T2, (*)

kde T1 je teplota uvnitř, T2 teplota na vnějším okraji a k jetepelná vodivost materiálu. Tento vzorec odvodíme pozdějiv přednášce o integrálu.

Teplo Q, které za jednotku času vyzáří plocha trubkyo poloměru R a teplotě T2 do okolí o teplotě T∞, vztaženéna jednotku povrchu trubky, je přímo úměrné rozdílu teplota povrchu, tj. platí

Q

2πRL = h(T2 − T∞).

OdsudQ

h2πRL = T2 − T∞. (**)

Sečtením ohvězdičkovaných vztahů dostaneme

Q

2πL

(1k

ln Rr

+ 1hR

)= T1 − T∞.

Tento vzorec popisuje tepelné ztráty při izolaci trubkyo vnitřním poloměru r a teplotě T1 izolací o vnějším poloměruR ve vnější teplotě T∞. Parametry izolace jsou tepelnávodivost k a s koeficient prostupu tepla h. Budeme sledovat,jak se chová veličina Q (tepelné ztráty) jako funkce proměnnéR.

Q(R) = 2πL T1 − T∞1k ln R

r + 1hR

Pokud chceme minimalizovat tepelné ztráty Q, musímemaximalizovat jmenovatel

f(R) = 1k

ln Rr

+ 1hR

= 1k

lnR− 1k

ln r + 1hR−1.

Ostatní veličiny jsou totiž konstantní. Platí

dfdR = 1

k

1R

+ 1h

(−1)R−2 = Rh− kkhR2 .

Derivace je nulová pro

R = k

h

a v okolí tohoto bodu mění znaménko ze záporného nakladné. Proto má funkce f(R) v tomto bodě minimum. Toodpovídá maximu funkce Q. Hodnota R = k

htedy odpovídá

maximu funkce tepelných ztrát Q. Pro menší poloměr izolacepřidávání další izolace paradoxně zvyšuje tepelné ztráty.Nazývá se kritický poloměr izolace.

Online graf funkce

Při použití běžných materiálů pro izolaci vodovodních atopenářských trubek je kritický poloměr tak malý, že připraktické realizaci s ním nemusíme pracovat a materiál sechová dle očekávání, tj. více izolace znamená menší ztráty.

Inženýr, který má navrhnout izolaci elektrického vodičeovšem vidí problém trochu jinak. Potřebuje naopak tepelnéztráty maximalizovat aby se vodič zbavoval tepla vytvořenéhoprůchodem elektrického proudu. Proto by izolace nemělapřekročit kritický poloměr.

Triky pro práci s funkcemi 11. Vhodnou volbou jednotek dokážeme eliminovat některé

parametry. Přesněji, vhodnou volnou jednotek dokážemeněkterým parametrům dát konkrétní numerickou hod-notu. Vyšetřovaná funkce je potom často jednodušší.Viděli jsme v příkladě s vytesáním nosníku maximálnítuhosti z kulatiny.

2. Je-li g rostoucí, potom z definice rostoucí funkce plynouekvivalence

f(x) ≤ f(x0) ⇐⇒ g(f(x)) ≤ g(f(x0)),f(x) ≥ f(x0) ⇐⇒ g(f(x)) ≥ g(f(x0))

a proto funkce f(x) a g(f(x)) mají lokální extrémy vestejných bodech. Toho je možné využít, pokud vidíme,že při vhodné volbě funkce g by byla funkce g(f(x))vhodnější pro hledání lokálních extrémů. Viděli jsmev příkladě s vytesáním nosníku maximální tuhosti z ku-latiny.

3. Podobně jako v předchozím bodě je možné uvažovat iklesající funkce g. Ale protože klesající funkce obracísměr nerovností, mění se lokální maximum na lokálníminimum a naopak.

f(x) ≤ f(x0) ⇐⇒ g(f(x)) ≥ g(f(x0)),f(x) ≥ f(x0) ⇐⇒ g(f(x)) ≤ g(f(x0))

Viděli jsme v příkladě s tepelnými ztrátami tepelněizolovaných trubek. Zde jsme využili toho, že zúženífunkce 1

xna kladná čísla je klesající.

Buckinghamův Π-teorémNaučíme se, že některé vztahy mezi veličinami se dají určitz fyzikálních jednotek těchto veličin.

Existují tělesa, která jsou závislá jenom na jednom délkovémparametru a pokud tento délkový parametr zvětšíme k-krát,povrchy a obsahy na tomto tělese se zvětšují k2-krát a objemyk3-krát. To je princip známý z elementární matematiky jakopodobnost. Proto objem koule o poloměru r je objemkoule o jednotkovém poloměru vynásobený faktorem r3 a

KAPITOLA 3. DERIVACE A DALŠÍ UŽITEČNÉ NÁSTROJE 25

analogické tvrzení platí i pro krychli. Podobnost nacházímei v živé přírodě. Výrazná je například u ryb, kdy velká rybaje často tvarově blízká zvětšené malé rybě (viz S. Vogel,Comparative biomechanics, kap. 3). V technických aplikacíchnajdeme stejný princip u skladování sypkého materiálu (píseknasypaný na hromadu zaujme tvar kužele, úhel u vrcholuje daný vlastnostmi písku) nebo vyprazdňování nádrže vetvaru trychtýře (tekutina má tvar kužele s úhlem u vrcholudaným trychtýřem).

Rozšíření myšlenky podobnosti je rozměrová analýza. Taje založená na poznatku, že fyzikální zákony je možnovyjadřovat v různých jednotkách. Formální postup umožňujenapříklad následující věta.

Věta (Buckinghamův Pi-teorém). Rovnici

F0(x1, x2, . . . , xn) = 0,

resp.x1 = F (x2, . . . , xn),

která vyjadřuje fyzikální zákon a obsahuje n veličin (včetněfyzikálních a materiálových konstant) vyjádřených pomocí mzákladních jednotek je možno zapsat jako rovnici vyjádřenoupomocí (n−m) bezrozměrných parametrů, tj.

f0(π1, π2, . . . , πn−m) = 0,

neboπ1 = f(π2, . . . , πn−m).

Formální tvar a metoda výběru bezrozměrných parametrůjsou v tuto chvíli pro nás poměrně komplikované a protobude nejjednodušší si problematiku ukázat na příkladech.Jejich hlavním smyslem je to, že vztah mezi veličinamiodhalíme (až na detaily typu multiplikativní konstanta)jenom z fyzikálních jednotek, bez hlubší znalosti fyzikálníhopozadí. Stačí identifikovat relevantní parametry.

Příklad (vztah mezi rychlostí, dráhou a dobou u po-hybu konstantní rychlostí). U pohybu konstantní rych-lostí jsou relevantní parametry rychlost v v kilometrechza hodinu, doba t v hodinách a dráha s v kilometrech. Tojsou tři veličiny vyjádřené pomocí dvou základních jednotek.Existuje tedy jediná bezrozměrná veličina, pomocí kteréje možno zapsat souvislost mezi parametry pohybu. Tu jemožno sestavit jediným možným způsobem (až na případnémocniny) a to ve tvaru

π1 = vt

s.

Podle Buckinghamova teorému tato veličina musí být kon-stantní, tj. musí platit vt

s= k pro nějakou konstantu k.

Prozkoumáním modelového případu, kdy rychlost, dráha i

čas jsou jednotkové, vidíme, že konstanta musí být rovnajedné a proto platí

vt

s= 1.

Odsud již snadno nalezneme v = s

ta další variace vzorce

pro rovnoměrný pohyb tak jak je známe ze základní školy.

Příklad (vztah mezi objemem a povrchem koule).Pro nalezení přepočtu mezi objemem koule V (v metrechkrychlových) a povrchem koule S (v metrech čtverečních)máme n = 2 (veličiny S a V ) a m = 1 (jediná základníjednotka metr). Tedy platí n−m = 1 a vztah se dá zapsatpomocí jedné bezrozměrné veličiny. Pro tuto veličinu existujejenom jediná možná varianta: π1 = V 2S−3. Potom je funkcef konstantní a pro nějakou hodnotu k platí

V 2S−3 = k

a odsudV 2 = kS3.

Tedy vhodné mocniny objemu a obsahu jsou si úměrné.Tento výsledek je možné získat i kombinací vzorců V =43πr

3 a S = 4πr2, ovšem je nutná znalost těchto vzorců aprovedení netriválního množství matematických výpočtů.Jako výsledek takové detailnější analýzy bychom navícvěděli, jaká je hodnota konstanty úměrnosti k. My jsme sivšak chtěli ukázat dosažení výsledku s minimální námahoua s minimálními vstupními znalostmi, abychom podobnýpostup mohli používat i v jiných případech, kdy alternativnípostup nemáme k dispozici.

Příklad (tuhost nosníků čtvercového a kruhovéhoprůřezu). Veličinou ovlivňující tuhost nosníku při danémmateriálovém složení je kvadratický moment průřezu Iv jednotkách metr na čtvrtou. Pokud je průřez nosníku danýjenom jedním délkovým parametrem a (například čtvercovýnebo kruhový průřez), máme stejný případ jako výše, kdypočet parametrů o jedničku převyšuje počet základníchjednotek: n = 2 a m = 1. Vztah mezi kvadratickým průřezemI a rozměrem a se dá vyjádřit pomocí jedné bezrozměrnéveličiny a máme vlastně jenom jedinou možnost jako tutoveličinu sestavit:

π1 = I

a4 .

Stejně jako v předchozím příkladě existuje konstanta k

taková, že I

a4 = k, tj.

I = ka4.

Po seznámení se s dvojným integrálem uvidíme, že pročtvercový průřez o straně čtverce a je k = 1

12 .

Příklad (tuhost nosníků obdélníkového průřezu).Budeme pokračovat v předchozím příkladě. Pro obdélníkový

KAPITOLA 3. DERIVACE A DALŠÍ UŽITEČNÉ NÁSTROJE 26

průřez o rozměrech w krát h je m = 3 (tři veličiny w, h, I)a n = 1 (jediná základní jednotka metr). Pokud však víme,že dva nosníky vedle sebe se prohýbají stejně, jako by bylyspojeny, víme, že mezi I a w musí být přímá úměrnost. Protomůžeme místo kvadratického momentu průřezu pracovats kvadratickým momentem na jednotku šířky I

wv jednotkách

metr na třetí a potom stejně jako v minulém případě existujekonstanta k taková, že I

w= kh3, tj.

I = kwh3.

To je přesně v souladu s tvrzením, které jsme použiliv příkladu s maximalizací tuhosti nosníku obdélníkovéhoprůřezu, kdy jsme tvrdili, že mírou tuhosti je součin wh3.

Pokud více nosníků pokládáme na sebe nebo vedle sebe,tuhost se sčítá. Pokud nosníky vedle sebe slepíme bočnímihranami, nic se nezmění, protože na spoji není žádné tahovénapětí. Tuhost tedy roste linárně s šířkou. Pokud tři nosníkypoložíme na sebe, vzroste tuhost na trojnásobek jednohonosníku. Tuhost nosníku však také roste se třetí mocninouvýšky. Nosníky položené na sebe a slepené se chovají jako je-diný nosník. Pokud tři nosníky slepíme nebo spojíme hřebíky,vzroste tuhost 33-krát, tj. 27-krát v porovnání s jedinýmnosníkem. Tři spojené nosníky mají tedy devítinásobnoutuhost v porovnání se třemi na sobě volně položenými.

Vektorové funkceVýstupem vektorové funkce je vektor. Vstupem je buďreálné číslo (funkce jedné proměnné), nebo vektor. V prvnímpřípadě se jedná o parametrickou křivku v rovině nebov prostoru, ve druhém případě bývá zpravidla na vstupustejný počet veličin jako na výstupu a jedná se o vektorovépole (každému bodu v rovině je přiřazen rovinný vektor nebokaždému bodu v prostoru je přiřazen prostorový vektor).Vektory zapisujeme pomocí jejich komponent následovně.

~F = (P,Q,R) = P~i+Q~j +R~k = P~e1 +Q~e2 +R~e3

GradientRovnici vedení tepla ve 2D a 3D uvedeme později. Můženastat problém s tím, že teplo neteče stejným směremjaký odpovídá gradientu teploty. Je to podobné, jako pohybvzduchu nebo podzemní vody způsobený rozdílem tlaku: vodanebo vzduch míří do míst s nižším tlakem, ale přitom volícestu menšího odporu. Problém vyřešíme nástrojem, kterýumožní změnit směr vektoru: matice a maticové násobení.Teď uvedeme jenom veličinu, která umožní kvantifikovat,jakým směrem působí síla uvádějící příslušnou stavovouveličinu do pohybu.

Definice (gradient). Buď f(x, y) funkce dvou proměnných,která má parciální derivace. Gradientem funkce f rozumímevektor

∇f :=(∂f

∂x,∂f

∂y

).

Poznámka. Formálně též často píšeme(∂

∂x,∂

∂y

)f,

kde ∇ =(∂

∂x,∂

∂y

)je operátor, se kterým pracujeme jako

s vektorem. Nazývá se nabla nebo Hamiltonův operátor.

Poznámka (fyzikální význam gradientu). Gradientskalární veličiny f je vektorová veličina, která vyjadřujesměr a intenzitu maximálního růstu veličiny f . Přesněji,výsledkem gradientu je vektor ve směru maximálního růstuveličiny f . Délka tohoto vektoru je nárůst veličiny f naintervalu jednotkové délky. Pro rovnoměrně rozloženouveličinu v prostoru (konstantní) je gradient nulový. Proto jemožné gradient chápat jako míru nerovnoměrného rozloženíveličiny v prostoru. Řada fyzikálních dějů probíhá tak, žetato nerovnoměrnost vyvolá proudění, které se snaží tutonerovnoměrnost vyrovnat, například vedení tepla nebo difuze.V praxi nás proto většinou zajímá směr maximálního poklesu,tj. −∇f .

Lineární aproximace rovinné trans-formaceNásledující pasáže jsou motivací pro tematický celek, kterémuse začneme věnovat na další přednášce.

Rozšiřují lineární aproximaci na případ, kdy chceme popsattransformaci roviny. Protože v tomto případě pracujemese dvěma souřadnicemi, je nutno uvažovat dvě funkce (prokaždou souřadnici jednu funkci) a každá funkce závisí nadvou proměnných (na obou souřadnicích). Popis, který sipředstavíme, využijeme při popisu matematického namáhánípři odvození veličin, na nichž je založen obecný Hookůvzákon dávající do souvislosti deformaci materiálu a působenívnější síly.

Lineární aproximaci funkce jedné proměnné můžeme zapsatve tvaru

f(x+ ∆x) ≈ f + dfdx∆x,

kde na pravé straně pro stručnost nevypisujme závislost nax. Podobně můžeme zapsat lineární aproximaci pro funkcidvou proměnných x1 a x2 ve tvaru

f(x1 + ∆x1, x2) ≈ f + ∂f

∂x1, f(x1, x2 + ∆x2) ≈ f + ∂f

∂x2.

KAPITOLA 3. DERIVACE A DALŠÍ UŽITEČNÉ NÁSTROJE 27

Obrázek 3.2: Působením síly se element materiálu může po-sunout, rotovat, deformovat. Tuto změnu potřebujeme zachytit.Zdroj: https://physics.stackexchange.com/questions/311716/geometric-derivation-of-the-infinitesimal-strain-tensor/311744

Uvažujme nyní mechanické namáhání, kdy se těleso po-sunuje, rotuje a deformuje vlivem působení vnější síly abod (x1, x2) se posune o (u1(x1, x2), u2(x1, x2)). Pomocílineárních aproximací

u1(x1 + ∆x1, x2 + ∆x2) ≈ u1 + ∂u1

∂x1∆x1 + ∂u1

∂x2∆x2

u2(x1 + ∆x1, x2 + ∆x2) ≈ u2 + ∂u2

∂x1∆x1 + ∂u2

∂x2∆x2

dostáváme aproximace této transformace. Při transformacive 3D je situace podobná, jenom jsou zde další členy odtřetích souřadnic. Aby se situace nestala nepřehlednou, jeklasický způsob zápisu neudržitelný. Nástroj pro přehlednouformulaci lineární aproximace dostaneme k dispozici pozdějipo probrání maticového počtu a maticového násobení.Poté budeme díky lineární aproximaci schopni zformulovatsouvislost mezi deformací a působením vnější síly.

Za výše uvedenou lineární aproximaci však platíme jistoudaň. Lineární zobrazení mimo jiné transformuje přímky napřímky, rovnoběžky na rovnoběžky, střed úsečky na středúsečky. Deformaci, která tyto podmínky nesplňuje, tímpádem nemůžeme podchytit. Lineární aproximace je přesnájenom pro relativně malé deformace. Proto se také výslednýprodukt, ke kterému se v průběhu semestru dopracujeme,nazývá tenzor malých deformací.

Shrnutí, hlavní myšlenky• Derivace dokáže detekovat růst a klesání funkce a díky

tomu dokážeme také detekovat body, kde se růst zastaví

a změní na klesání nebo naopak. Tyto body nás při-rozeně zajímají, protože v těchto bodech je studovanáveličina maximální nebo minimální a to má dopad přiminimalizaci nákladů, maximalizaci pevnosti či zisku ajiných úlohách z praktického života.

• Silným nástrojem dokáží být i jednodušší postupy, jakonapříklad rozměrová analýza reprezentovaná Buckingha-movým Π teorémem.

Kapitola 4

Integrál, integrál a integrál

Naučili jsme se pracovat s derivacemi, tedy s rychlostí změny.Známe-li funkci a zderivujeme ji, dostaneme rychlost změny.Pokud potom původní funkci “ztratíme” a zůstane námjenom derivace, je otázka, jestli dokážeme původní funkciz této derivace najít. Odpověď je zní, že v jistém smyslu ano.Spojení “v jistém smyslu” naznačuje, že souvislost nebudetak snadná jako je souvislost u navzájem inverzních funkcí.Derivováním totiž můžeme ztratit aditivní konstanty, kterév derivaci dávají nulu a zpětně není možné rekonstruovat,derivováním jaké konstanty jsme tuto nulu dostaly. A protožeproblém uchopíme poněkud obecněji, uvedeme si dokoncehned tři různé “protijedy” na derivování.

Jeden představíme jako opak derivace (neurčitý integrál),druhý jako změnu funkce vypočtenou ze zadané rychlostizměny (Newtonův určitý integrál) a třetí jako náhradusoučtu pro případ, kdy potřebujeme sčítat nekonečně mnohopříspěvků, z nichž každý má v podstatě nulovou hodnotu(Riemannův určitý integrál).

Intervalem I budeme rozumět otevřený interval.

Motivace: Jak z derivace křivky zís-kat rovnici křivky?Na této úloze si připomeneme další roli derivace (směrnicetečny) a představíme si úžasný druh mostů – mosty zavě-šené na nosných lanech, které mohou překlenout obrovskévzdálenosti.

U zavěšeného mostu lano nese prostřednictvím svislých lanhmotnost rovnoměrně rozloženou ve vodorovném směru.Je potřeba zvolit vhodnou délku svislých lan tak, aby sílapůsobící na nosné lano byla vždy ve směru tohoto nosnéholana. Potom je systém nejstabilnější a nejpevnější.

Díky symetrii stačí uvažovat jenom půlku mostu. Na částlana nad intervalem [0, x] působí následující síly.

• Tahová síla lana v minimu (x = 0) o velikosti T doleva.• Gravitační síla o velikosti G = µxg směrem dolů, kde µ

je lineární hustota (hmotnost jednotkové délky mostu)

a µx je hmotnost části mostu, odpovídající intervalu[0, x].

• Tahová síla F doprava nahoru na pravém konci. Protožeje most v klidu, velikost a směr této síly jsou takové, abysoučet všech sil působících na uvažovanou část mostubyl roven nule. Jako stavitelé mostu chceme, aby směrsíly souhlasil se směrem lana, tj. aby síla byla tečnák nosnému lanu.

Vektorový součet sil musí být nulový a proto všechny třisíly tvoří pravoúhlý trojúhelník. Poměr odvěsen µgx

Tudává

směrnici přepony. Křivka udávající směr nosného lana tedymusí mít tvar funkce, která splňuje

y′ = µg

Tx,

kde µ, g, a T jsou pro danou úlohu konstanty.

Z rozboru vidíme, že máme dánu křivku danou pomocíderivace a tuto křivku musíme najít. Formálně to je stejnýproblém, jako když máme rychlost změny funkce a chcemenajít časový průběh této funkce. Mechanickým modelemmůže být například pohyb zadanou rychlostí a úloha určitdráhu tohoto pohybu. Tento problém se na základní školeredukuje na případ pohybu konstantní rychlostí (s = vt) ana střední škole rozšiřuje na rychlost, která se mění jakolineární funkce (s = 1

2at2). Nyní stojíme před úkolem, jak

si poradit v případě obecné rychlosti, měnící se libovolně.Přesně to je úkol pro neurčitý integrál.

Neurčitý integrálPředstavíme nástroj, který nám umožní odpovědět nanásledující otázky.

• Je znám směr křivky v každém bodě (tj. směr tečny,derivace). Jaká je rovnice křivky?

• Je známa rychlost, s jakou se mění veličina f . Jaká jerovnice udávající závislost veličiny f na čase?

28

KAPITOLA 4. INTEGRÁL, INTEGRÁL A INTEGRÁL 29

Definice (neurčitý integrál). Řekneme, že funkce F jeprimitivní funkcí k funkci f na intervalu I, jestliže platí

F ′(x) = f(x)

na intervalu I. Množina všech primitivních funkcí k funkci fse nazývá neurčitý integrál funkce f a značí∫

f(x) dx.

Otázkou existence primitivní funkce se budeme zabývat nadalší přednášce. Otázku (ne-)jednoznačnosti řeší následujícívěta.

Věta (jednoznačnost primitivní funkce). Primitivnífunkce je dána jednoznačně, až na aditivní konstantu.

• Je-li F primitivní funkcí k funkci f na intervalu I,platí totéž i pro funkci G(x) = F (x) + c, kde c ∈ R.

• Jsou-li F a G primitivní funkce k téže funkci f naintervalu I, existuje c ∈ R takové, že

F (x) = G(x) + c

na I.

Příklad. Funkce x2 má primitivní funkce například 13x

3,

nebo 13x

3 + 7, nebo 13x

3 + π, protože derivace všech těchtotří funkcí je x2. Platí∫

x2 dx = 13x

3 + c, c ∈ R.

Vzorce.

1.∫cdx = cx+ C

2.∫xn dx = xn+1

n+ 1 + C

3.∫ 1x

dx = ln|x|+C

4.∫ex dx = ex + C

5.∫

sin x dx = − cosx+ C

6.∫

cosx dx = sin x+ C

7.∫ 1

cos2 xdx = tg x+ C

8.∫ 1

sin2 xdx = − cotg x+ C

9.∫ 1A2 + x2 dx = 1

Aarctg x

A+ C

10.∫ 1√

A2 − x2dx = arcsin x

A+ C

11.∫f(ax+b) dx = 1

aF (ax+b)+C, kde F (x) =

∫f(x) dx

Věta (linearita neurčitého integrálu). Neurčitý in-tegrál zachovává součet a násobení konstantou. Tedy prolibovolné funkce f , g a libovolnou konstantu c platí∫

f + g dx =∫f dx+

∫g dx,∫

cf dx = c

∫f dx.

Příklad.

∫2x4 − e4x + 1

xdx = 2

5x5 − 1

4e4x + ln|x|+C

Funkční předpis z rychlosti změny avýchozího stavu

Teplota klesá rychlostí dTdt = −0.1e−0.01t C/min. Cílem je

najít teplotu jako funkci času. Dodatečná informace je, žepočáteční teplota je 28C.

Použijeme skutečnost, že integrál konstantního násobku jekonstantní násobek integrálu a vzorec∫

eax dx = 1aeax + c.

Teplota jako funkce času je dána integrálem

T =∫−0.1e−0.01t dt

= −0.1−0.01e

−0.01t + C

= 10e−0.01t + C.

Hodnota C souvisí s počáteční teplotou. Protože počátečníteplota je 28C, dosadíme do vztahu pro T hodnoty T = 28Ca t = 0 a ze vzniklé rovnice určíme C. Dostáváme taktopodmínku

28 = 10e0 + C,

která implikuje C = 18C. Funkce udávající závislost teplotymístnosti na čase je

T =(18 + 10e−0.01t) C.

Poznámka (vlhkost dřeva elektrickou metodou). Po-dobný výpočet se využívá u měření elektrického odporu

KAPITOLA 4. INTEGRÁL, INTEGRÁL A INTEGRÁL 30

dřeva pro stanovení vlhkosti. Protože elektrický odpor dřevaje velký, není vhodné pro určení elektrického odporu použítOhmův zákon a změřený proud a napětí. Jedna z možnostíje měření času nutného k nabití nebo vybití kondenzátorupřes odpor. V případě nabíjení proud exponenciálně klesá(zdůvodníme později v přednášce věnované diferenciálnímrovnicím) a proto (díky elektrickým vlastnostem kondenzá-toru) exponenciálně klesá i rychlost, s jakou roste napětína kondenzátoru. Toto napětí je nutné pro výpočet odporu.Pokud známe rychlost, s jakou se napětí mění, určíme napětíintegrováním a znalostí napětí na začátku nabíjení.

Poznámka (veličina vypočtená z rychlosti svézměny). Pokud se veličina f(t) mění v čase rychlostír(t), platí

f(t) =∫r(t) dt,

přičemž pravá strana je dána jednoznačně až na aditivníkonstantu. To koresponduje s pozorováním, že rychlostzměn k jednoznačné identifikaci časového průběhu měnící seveličiny nestačí. Je potřeba mít zadán ještě výchozí stav.

Příklad. Na jednom z předchozích slidů jsme viděli, žekřivka, která je přirozená pro nosné lano zavěšeného mostu,splňuje rovnici

y′ = µg

Tx.

Pouze za této podmínky bude lano namáháno ve směru svénejvyšší pevnosti, tj. v podélném směru, ve směru své osy.Integrací získáme

y =∫µg

Tx dx = µg

2T x2 + C.

Lano tedy bude v každém bodě namáháno ve směru své osypokud má tvar paraboly. Prohnutí paraboly (koeficient u x2)je dáno hmotností mostu a tahem napínajícím lano.

Určitý integrál (Newtonův)Představíme si mírnou modifikaci neurčitého integrálu. Rych-lost změny nebudeme používat k hledání předpisu funkce,ale budeme hledat změnu funkce na zadaném intervalu.

Definice (Newtonův určitý integrál). Buď f funkcea F její primitivní funkce na intervalu I. Buď [a, b] ⊂ Ipodinterval v I. Určitým integrálem funkce f na intervalu[a, b] rozumíme veličinu označenou a definovanou vztahem∫ b

a

f(x)dx := F (b)− F (a).

Označení. Výraz F (b) − F (a), tj. změnu funkce F (x) naintervalu [a, b], označujeme také [F (x)]ba. Tento zápis se častopoužívá jako mezivýpočet při výpočtu určitého integrálu.∫ 1

0x2 dx =

[13x

3]1

0= 1

3(1)3 − 13(0)3 = 1

3

Věta (linearita určitého integrálu). Určitý integrálzachovává součet a násobení konstantou. Tedy pro libovolnéfunkce f , g a libovolnou konstantu c platí∫ b

a

f + g dx =∫ b

a

f dx+∫ b

a

g dx,∫ b

a

cf dx = c

∫ b

a

f dx.

Snadným důsledkem definice určitého integrálu je následujícívěta.

Věta (záměna mezí a rovnost mezí v určitém inte-grálu). Platí ∫ a

a

f(x) dx = 0,∫ b

a

f(x) dx = −∫ a

b

f(x) dx.

Změna funkce z rychlosti změny (ča-sová změna teploty)

Teplota klesá rychlostí dTdt = −0.1e−0.01t C/min. Cílem je

určit pokles teploty za první hodinu a pokles teploty za druhouhodinu.

Neurčitý integrál∫−0.1e−0.01t dt = 10e−0.01t + C

jsme vypočítali v podkapitole s neurčitým integrálem. Po-třebovali jsme ještě znát počáteční hodnotu teploty a našlijsme teplotu jako funkci času.

Nyní zapojíme určitý integrál. Nepotřebujeme informacio počáteční teplotě, ale zato jsme schopni určit jenom změnuteploty za daný časový interval. Za první hodinu bude změnateploty ∫ 60

0−0.1e−0.01t dt =

[10e−0.01t]60

0

= 10e−0.01·60 − 10e−0.01·0

≈ −4.5C.

KAPITOLA 4. INTEGRÁL, INTEGRÁL A INTEGRÁL 31

Za druhou hodinu bude změna teploty

∫ 120

60−0.1e−0.01t dt =

[10e−0.01t]120

60

= 10e−0.01·120 − 10e−0.01·60

≈ −2.5C.

Online výpočet.

Poznámka (změna veličiny vypočtená pomocí rych-losti). Pokud se veličina f(t) mění v časovém intervalu odt = a do t = b rychlostí r(t), je změna veličiny f za tentočasový okamžik rovna

∆f = f(b)− f(a) =∫ b

a

r(t) dt.

ww2:problems/integraly/strom.pg

Změna funkce z rychlosti změny(prostorová změna teploty)Mějme ustálené proudění tepelnou izolací mezi dvěma sou-střednými válcovými plochami. Délka izolace je L, vnitřnía vnější poloměr jsou r a R. Teploty uvnitř a vně jsou T1a T2. Izolací prostupuje teplo rychlostí Q, tj. každou myšle-nou válcovou plochou o poloměru x projde za jednotku časuteplo Q. Cílem je najít vztah dávající uvedené veličiny dosouvislosti. Odvodíme vztah, který jsme použili v přednášceo lokálních extrémech a slíbili dokázat později.

Z Fourierova zákona plyne, že teplo, které projde jednotkovouplochou za jednotku času, je úměrné záporně vzatémugradientu prostorové změně teploty, tj.

Q

2πxL = −kdTdx ,

kde k je tepelná vodivost. Tento zákon definuje rychlost,s jakou se mění teplota v prostoru a my jej použijeme kestanovení vztahu mezi tokem tepla a teplotním rozdílem mezivnější a vnitřní stranou izolace. Snadnou úpravou dostáváme

dTdx = − Q

2kπxLa odsud

∆T =∫ R

r

− Q

2kπxL dx = − Q

2kπL

∫ R

r

1x

dx.

Protože platí∫ R

r

1x

dx = [ln x]Rr = lnR− ln r = ln Rr,

dostáváme po dosazení a vynásobení minus jedničkou vztah

−∆T = T1 − T2 = Q

2kπL ln Rr,

který jsme použili v přednášce o lokálních extrémech a slíbilidokázat později.

Stejný princip funguje pro libovolné ustálené prouděníradiálním směrem při konstantní materiálové charakteristice.Stejný přístup je možné použít pro proudění podzemní vodypopsané Darcyho zákonem (namísto Fourierova zákona) prozvodeň namísto izolace (zvodeň je prostor kde se nacházía teče podzemní voda, tj. něco jako podzemní rybník nebořeka zasypaná pískem nasáklým vodou) a piezometrickouvýšku h namísto teploty (piezometrická výška udává, jakvysoko vystoupá voda ve zkušebním vrtu). Pokud mámezvodeň s napjatou hladinou (voda je pod tlakem sevřenamezi dvěma nepropustnými vrstvami), je vodivost konstantní.Rovnice popisující tuto situaci má tvar

h− h0 = Q

2πT ln r

r0

a nazývá se Thiemova rovnice.

Pokud sledujeme prostup tepla izolací, jejíž teplotní vodivostse mění s teplotou, není veličina k konstantní a proto výšeuvedený postup není možné realizovat a odvozený vzorec protakový případ neplatí. Stejná situace nastává u podzemnívody a proudění s volnou hladinou (není horní nepropustnávrstva zvodně). Takové úlohy vedou na jinou problematiku,kterou se naučíme řešit v kapitole s diferenciálními rovnicemi.

Poznámka (změna veličiny vypočtená pomocí gradi-entu). Pokud se veličina f mění podél přímky v závislostina veličině x na intervalu od x = a do x = b rychlostí r(x)

(tj. r(x) = df(x)dx ), je změna veličiny f na intervalu [a, b]

rovna∆f = f(b)− f(a) =

∫ b

a

r(x) dx.

Další motivaceZe středoškolské fyziky dobře známe vzorce pro dráhu, prácia tlakovou sílu. Ovšem jenom v extrémně pěkných případech.

• Dráha rovnoměrného pohybu je určena vzorcem

s = vt. (1)

Tento vzorec není použitelný pro pohyb proměnnourychlostí. Z kapitoly o neurčitém integrálu víme, žeobecný vzorec je

s =∫v dt. (2)

KAPITOLA 4. INTEGRÁL, INTEGRÁL A INTEGRÁL 32

Pokud je v konstantní, vzorec (1) je důsledkem vzorce(2).

• Hydrostatická tlaková síla F působící ve vodě v hloubceh na plochu o velikosti S se určí podle vztahu

F = Shρg,

kde ρ je hustota vody a g tíhové zrychlení. Tento vzo-rec však není možné použít, pokud různé části plochyjsou v různých hloubkách. Například není možné po-mocí tohoto vzorce určit celkovou sílu na svislou stěnureprezentující hráz přehrady.

• Práce vykonaná konstantní silou F po dráze s je

W = Fs. (3)

Co když se ale síla nebo dráha mění? Pokud nás zajímápráce nutná k navinutí visícího řetězu na rumpál, síla seběhem namotávání plynule zmenšuje, protože visící kusřetězu se při namotávání zkracuje. Pokud nás zajímápráce nutná k vyčerpání vodní nádrže, musíme každýlitr vody, který je na dně, “tahat” po delší dráze nežkaždý litr vody, který je na hladině a proto se měnídráha. Vzorec (3) selhává v obou případech. Jednoukvůli nekonstantní síle, podruhé kvůli dráze.

• Obsah obrazce mezi konstantní funkcí f a osou x nadintervalem [a, b] se vypočte snadno, protože se jednáo obdélník se stranami f a ∆x = b− a. Proto

S = f ·∆x.

Tento přístup však není možné použít, pokud se funkcef na intervalu [a, b] mění. Formálně je tato úloha stejnájako ostatní úlohy výše, má však snadnou geometrickouinterpretaci. Právě tuto interpretaci využijeme v ná-sledujícím k definici druhého typu určitého integrálu(Riemannova).

Určitý integrál (Riemannův)

Obrázek 4.1: Obsah pod konstantní funkcí.

Obrázek 4.2: Obsah pod funkcí po částech konstantní.

Obrázek 4.3: Obsah pod obecnou funkcí je∫ b

a

f(x) dx.

KAPITOLA 4. INTEGRÁL, INTEGRÁL A INTEGRÁL 33

Úloha 1. Snadným důsledkem vzorce pro obsah obdélníkaje obsah obrazce mezi grafem konstantní funkce a osou x.

S = f∆x

Úloha 2. Obsah pod funkcí složené ze dvou konstantníchfunkcí napojených na sebe se vypočte jako součet obsahůdvou obdélníků.

S = f1∆x1 + f2∆x2

Toto se dá snadno zobecnit na libovolný počet intervalů apro libovolnou po částech konstantní funkci.

Prostředky matematické analýzy je možné “zjemňovat dělenído nekonečna”, přesněji, můžeme použít limitní přechodpodobný limitnímu přechodu, který v definici derivacepřevedl podíl (průměrnou rychlost) na derivaci (okamžitourychlost). Díky tomu není nutné se omezovat na po částechkonstantní funkce, ale postup bude fungovat i pro velmiobecné funkce. Výsledným produktem je Riemannův integrál.

Riemannův integrál je velmi názorný, ale poměrně obtížněse počítá, pokud postupujeme přímo podle definice. Pokudvšak je funkce v určitém smyslu pěkná (má primitivnífunkci na intervalu, který uvnitř obsahuje interval [a, b]) jsouRiemannův a Newtonův integrál stejné. Proto mezi niminerozlišujeme, používáme jeden pojem určitý integrál apočítáme jej pomocí definice Newtonova integrálu. Obsahobrazce pod křivkou f(x) je roven

S =∫ b

a

f(x) dx.

V teorii Riemannova integrálu má vzorec∫ b

a

f(x)dx = [F (x)]ba = F (b)− F (a)

postavení věty nazývané Newtonova–Leibnizova věta aje to věta udávající, jak vypočteme určitý integrál pomocíneurčitého. Zajímavé je, že v některých případech je vhodnépostupovat naopak a určit neurčitý integrál pomocí integráluurčitého, což si ukážeme v následující přednášce.

Nasčítání příspěvků k celkové dráze1. Těleso pohybující se po dobu ∆t konstantní rychlostí v

po přímce urazí dráhu

s = v∆t.

2. Těleso pohybující se po dobu ∆t1 konstantní rychlostív1 po přímce a poté po dobu ∆t2 rychlostí v2 urazícelkovou dráhu

s = v1∆t1 + v2∆t2.

Toto je možné zobecnit na libovolný pohyb skládajícíse z konečného počtu úseků, kdy se těleso pohybujekonstantní rychlostí.

s = v1∆t1 + v2∆t2 + · · ·+ vk∆tk =k∑i=1

vi∆ti

Příspěvek za každou část pohybu, kdy je rychlost kon-stantní, je

∆s = v∆t,kde v a ∆t jsou příslušná rychlost a doba pohybu, pokterou je rychlost konstantní.

3. Pokud se rychlost mění spojitě a a a b jsou počáteční akoncový okamžik pohybu, platí

s =∫ b

a

v(t) dt.

Nasčítání příspěvků k celkové síle napřehraduMojžíšův most (Holandsko, pevnost Fort de Roovere) jev celosvětovém měřítku unikátním mostem. Je postavenýze dřeva a zanořený do vodního příkopu okolo pevnostitak, aby splýval s krajinou. Představme si zjednodušeně, ževodní masu drží svislá dřevěná stěna a budeme se snažitnajít celkovou sílu působící na tuto stěnu tlakem vodní masy.(Ve skutečnosti most leží na dně a dno se zvedá směremke stěnám mostu. Google umí najít stavební plán mostu.)Délku mostu označíme L, výšku stěny (přesněji vzdálenostode dna po hladinu vody) označíme H.

1. Tlaková síla na rovinnou plochu o obsahu S vyvolanátlakem p je rovna

F = pS.

Tlak v hloubce h je dán vzorcem

p = hρg,

kde ρ je hustota vody a g tíhové zrychlení.2. Myšlenkově rozdělíme celou stěnu na části. Tlaková síla

na celou stěnu je rovna součtu tlakových sil, které působína jednotlivé části. Má smysl volit části tak, aby na nichbyl tlak konstantní. Myšlenkově tedy stěnu rozřežemena vodorovné pásky.

3. Na myšlený vodorovný pás, který má výšku ∆x a jev hloubce x, působí tlak p = xρg. Obsah pásu je podlevzorce pro obsah obdélníka ∆S = L∆x. Celková sílapůsobící na tento pás je

∆F = p∆S = Lρgx∆x.

4. Celkovou sílu na celou stěnu najdeme sečtením všechpříspěvků. Formálně

F =∑

Lρgx∆x.

KAPITOLA 4. INTEGRÁL, INTEGRÁL A INTEGRÁL 34

Protože těchto příspěvků je nekonečně mnoho, sečtemeje integrálem

F =∫ H

0Lρgxdx.

5. Po výpočtu dostáváme

F =∫ H

0Lρgxdx

= Lρg

∫ H

0xdx

= Lρg

[12x

2]H

0

= Lρg

[12H

2 − 1202]

= 12LH

2ρg.

Tento vztah je stejný, jako kdyby na celou plochu o veli-kosti LH působila tlaková síla vyvolaná tlakem 1

2Hρg,tj. tlakem v poloviční hloubce.

Nasčítání příspěvků k celkovémutoku potrubímV předchozím příkladě jsme “krájeli” přehradu na vodorovnépásy, protože ve vodorovném směru byl konstantní para-metr, který jsme potřebovali mít konstantní pro výpočetk celkovému příspěvku. V následujícím případě je obdobnýparametr konstantní na kružnicích a proto budeme dělit asčítat příspěvky pomocí mezikruží.

V potrubí o poloměru R teče viskozní tekutina tak, žeuprostřed má maximální rychlost a u stěn nulovou. Rychlostve vzdálenosti r od osy potrubí je dána vztahem

v(r) = vmaxR2 − r2

R2 .

Střední rychlost dostaneme jako celkový tok potrubím dělenýobsahem S = πR2. Tok v případě konstantní rychlosti jesoučinem rychlosti a obsahu průřezu. V případě rychlostinekonstantní rozdělíme průřez na části ∆S, na každé částiurčíme příspěvek k celkovému toku a poté vše sečteme, tj.

Q =∑

průřezv(r)∆S

Protože rychlost závisí na r, je stejná na kružnicích a protose jeví vhodné rozdělit průřez na mezikruží a sečíst přespoloměr těchto mezikruží. Budeme tedy integrovat přesproměnnou r. Vyjádření Q přepíšeme do tvaru

Q =∑

průřezv(r)∆S

∆r ∆r

a limitním přechodem se změní suma na integrál a podílzměn na derivaci, tj.

Q =∫ R

0v(r)dS

dr dr =∫ R

0vmax

R2 − r2

R2dSdr dr.

Odsud pomocí S = πr2, dSdr = 2πr dostáváme po vytknutí

konstant, roznásobení závorek a integraci

Q = 2πvmaxR2

∫ R

0(R2 − r2)r dr

= 2πvmaxR2

[R2 r

2

2 −r4

4

]R0

= 2πvmaxR2

R4

4= vmax

2 πR2.

Tok je tedy formálně stejný, jako by voda tekla v celémprůřezu rychlostí poloviční ve srovnání s maximální rychlostíve středu trubice. Proto je vmax2 nazývána střední profilovárychlost průřezu.

(Volně podle Dana Říhová a Jana Marková, Poznámkyk přednáškám z Hydrauliky, přednáška č. 3.)

Nasčítání příspěvků k celkovému mo-mentu setrvačnosti tyče

• Kinetická energie tělesa o hmotnosti m pohybujícíhose posuvným pohybem rychlostí v je dána vztahemE = 1

2mv2. Kinetická energie tělesa o momentu setr-

vačnosti J pohybujícího se otáčivým pohybem úhlovourychlostí ω je dána vztahem E = 1

2Jω2. Odsud vidíme,

že energie potřebná k vyvolání rotačního pohybu jeúměrná momentu setrvačnosti. Moment setrvačnosti jetedy jakousi mírou odolnosti tělesa vůči silám, které sejej snaží uvést do rotačního pohybu. Zjednodušeně, většímoment setrvačnosti znamená, že těleso je stabilnější.

• Moment setrvačnosti hmotného bodu o hmotnosti mvzhledem k ose otáčení vzdálené r od tohoto bodu jeJ = mr2. Pro soustavu hmotných bodů stačí příspěvkysečíst. Pro případ tělesa se spojitě rozloženou hmotnostíbychom museli “sečíst nekonečně mnoho nekonečně ma-lých příspěvků” a proto sčítáme integrálem.

Budeme studovat rotaci tyče o hmotnosti m a délce L okoloosy kolmé k tyči. Nechť je tyč položena podél osy x a rotujeokolo osy y. Kousek tyče o délce ∆x má hmotnost ∆x

Lm

a pokud je jeho vzdálenost od osy y rovna x, příspěvek

KAPITOLA 4. INTEGRÁL, INTEGRÁL A INTEGRÁL 35

k celkovému momentu setrvačnosti je

∆J = ∆xLmx2 = m

Lx2∆x.

Celkový moment setrvačnosti je dán integrálem, ale závisína poloze tyče vzhledem k ose otáčení.

1. Pro tyč umístěnou levým koncem v počátku dostávámemoment vzhledem k ose procházející koncem tyče vetvaru

J =∫ L

0

m

Lx2 dx = m

L

[13x

3]L

0= m

L

13L

3 = 13mL

2.

2. Pro tyč umístěnou středem v počátku dostáváme mo-ment vzhledem k ose procházející středem ve tvaru

J =∫ L

2

−L2

m

Lx2 dx

= m

L

[13x

3]L

2

−L2

= m

L

[13L3

8 −13(−1)3L

3

8

]= 1

12mL2.

Závěr.

• Na roztočení tyče okolo konce je potřeba více energie,než na roztočení okolo středu. Čtyřikrát více. (Z praxevíme, že s dlouhým žebřem se manipuluje nejlépe, pokudjej držíme uprostřed.)

• Tyč o konstantní délkové hustotě τ (dané použitýmprůřezem a materiálem) má hmotnostm = τL a momentsetrvačnosti vzhledem ke středu

J = 112τL

3.

Vidíme, že moment setrvačnosti roste dramaticky přizvětšování délky, s třetí mocninou. Proto provazochodcinosí na laně dlouhou tyč a proto při extrémních vý-konech, jako je přechod Grand Canyon, bývá použitaextrémně dlouhá tyč (pro Grand Canyon 9.1 metrů a 20kilogramů, viz Nik Wallenda).

Shrnutí, hlavní myšlenky• Někdy máme zadánu rychlost, s jakou se mění veličina

a potřebujeme znát funkční předpis pro tuto veličinu,tj. hodnotu v libovolném čase. To je úloha inverzník derivaci a řeší ji neurčitý integrál.

• Při zadané rychlosti změny není možné bez zadání vý-chozího stavu určit hodnotu veličiny, která se mění. Jemožné vypočítat jenom změnu této veličiny za určitý

časový úsek (Newtonův určitý integrál) anebo je řešenídáno až na počáteční stav vyjádřený integrační konstan-tou v neurčitém integrálu.

• Někdy potřebujeme veličinu, která nás zajímá, najítposčítáním nekonečně mnoha příspěvků. Toto je v situ-aci, kdy se “za běhu” mění parametry úlohy, například seběhem pohybu mění rychlost pohybu. V tomto případěpoužíváme Riemannův určitý integrál, který je defino-vaný jinak než Newtonův, ale v prakticky zajímavýchúlohách se počítá stejně.

• Další aplikací procesu opačného k derivování je úloha,kdy jsou vlastnosti křivky popsány pomocí derivace ahledáme rovnici pro tuto křivku. Příkladem jsou úlohy vestavitelství a studiu materiálu (ohybová čára nosníku).

Kapitola 5

Integrály pro pokročilé

Naučili jsme se integrovat pomocí neurčitého a určitéhointegrálu. Neurčitý integrál vyjadřuje funkční hodnotuvypočítanou z akumulace okamžitých změn. Z principiálníchdůvodů není možné, pokud je zadána pouze rychlost změny,určit celou veličinu, ale jenom její změnu. Proto je neurčitýintegrál dán jednoznačně až na aditivní konstantu. Velikostzměny na zadaném intervalu je dána určitým integrálem, kekterému je možné dospět i geometricky a fyzikálně názornýmzpůsobem představeným v definici Riemannova integrálu.Ten otevírá možnost rozšířit platnost mnoha fyzikálníchvzorců na případ, kdy parametry úlohy nejsou konstantní.Dokážeme tak počítat dráhu pohybu proměnnou rychlostí,tlak vody na plochu ponořenou napříč různými hloubkami apodobně.

V následujícím textu rozvineme některé poznatky o integrálu,odvodíme si některé pokročilejší metody pro výpočet, uká-žeme si, že každá spojitá funkce má primitivní funkci a takéotevřeme cestu k definování funkcí, které nejsou elementární.

Nejprve si připomeneme jednu ze základních aplikací inte-grálu: nasčítání příspěvků od spojitě se měnící veličiny.

Proč trubky praskají podélně?Uvažujme natlakovanou válcovou nádobu s tlakem p, výškouL, poloměrem podstavy r a stěnou o tloušťce t.

Vypočteme namáhání silou v ose, tj. namáhání řezu A. Obsahřezu (vyšrafováno červeně) je 2πrt. Na dno a víko působí sílaF = pπr2 a v řezu A kolmém na osu válce je tahové napětí

σp = F

S= pπr2

2πrt = pr

2t .

Směrem radiálně od osy se tlaková síla rozkládá na celouplochu pláště válce a v tomto směru je tahové napětíminimální.

Vypočteme poslední složku přispívající k namáhání pláštěválce, obvodové napětí. K tomu musíme vypočítat sílu, kterápůsobí po obvodě válce, tj. která se snaží válec roztrhnoutv řezu B. Tento řez má obsah (červeně vyznačeno) 2Lt.

Obrázek 5.1: Schema válcové nádoby pod tlakem a řezy, v nichž počí-táme namáhání.

36

KAPITOLA 5. INTEGRÁLY PRO POKROČILÉ 37

Nejtěžší bude najít celkovou sílu, která od sebe oddaluje dvěpoloviny pláště. To je místo, kde zapojíme integrál.

Kousek pláště válce odpovídající úhlu ∆α má obsah rL∆αa tlaková síla na tento kousek je součin tlaku a obsahu, tj.

∆F = pS = pLr∆α.

Směr je kolmý k plášti válce a s vodorovnou osou svírá úhelα. Průmět této síly do vodorovného směru je

∆Fx = pLr∆α cosα

a tyto příspěvky musíme posčítat na intervalu α ∈[−π2 ,

π

2

].

Celková síla, která se snaží nádobu roztrhnout podélně je

Fx =∫ π

2

−π2prL cosα dα

= prL[sinα]π2−π2

= prL[sin π2 − sin

(−π2

)]= 2prL.

Povrch na který tato síla působí odpovídá dvěma podélnýmhranám (červeně na řezu B), tj. má obsah 2Lt a napětí jetedy

σh = 2pLr2Lt = pr

t= 2σp.

Vidíme, že toto napětí je dvojnásobkem napětí v podélnéose.

Ještě je vhodné ověřit, že svislý průmět, tj .

∆Fy = pLr∆α sinα

k namáhání nepřispívá, protože

Fy =∫ π

2

−π2prL sinα dα

= 0.

To však je možné očekávat i ze symetrie.

Pokud se chcete dozvědět více, zkuste Google a heslo “hoopstress”.

Vlastnosti integráluZ minulé přednášky víme, že integrál (určitý i neurčitý) jelineární, tj. zachovává součet funkcí a násobení konstantou.

Následující dvě věty nejsou překvapivé. Vyjadřují dvě intui-tivně zřejmá fakta.

• Pokud se veličina mění rychleji, výsledná změna je větší.

Obrázek 5.2: Monotonie a aditivia vzhledem k mezi pro určitý integrál.

• Pokud sledujeme změnu veličiny za určitý čas, můžemesledovat změnu do nějakého mezičasu a poté od mezičasudo konce a obě částečné změny poté sečíst.

Je však důležité vědět, že tyto myšlenky platí pro libovolnéintegrovatelné funkce a proto zformulujeme následující věty.

Věta (monotonie vzhledem k funkci). Je-li f(x) ≥g(x) na intervalu [a, b], platí∫ b

a

f(x) dx ≥∫ b

a

g(x) dx.

Důsledek. Integrál nezáporné funkce je nezáporný. Přes-něji, je-li a < b a f(x) ≥ 0 na [a, b], platí∫ b

a

f(x) dx ≥ 0.

Věta (aditivita vzhledem k integračnímu oboru).Platí ∫ b

a

f(x) dx =∫ c

a

f(x) dx+∫ b

c

f(x) dx.

Věta o aditivitě vzhledem k integračnímu oboru je napříkladpro Newtonovu definici integrálu důsledkem zřejmého vztahu

[F (b)− F (c)] + [F (c)− F (a)] = F (b)− F (a)

pro libovolnou primitivní funkci F . Graficky i fyzikálně jenázorný případ, kdy c leží v intervalu [a, b]. Vzorec však platípro libovolné uspořádání mezí podle velikosti.

KAPITOLA 5. INTEGRÁLY PRO POKROČILÉ 38

Střední hodnotaUrčitou souvislost s monotonií vzhledem k funkci má otázka,zda je možné funkci definovanou na intervalu [a, b] nahraditfunkcí konstantní tak, aby obě funkce měly stejný integrál.V praxi to znamená, že bychom například při pohybu tělesačasový průběh rychlosti nahradili jednou hodnotou takovou,že dráha za daný čas bude stejná. To je přesně to, co známez běžného života jako definici průměrné rychlosti. Je tosoučasně i návod pro následující rozšíření pojmu průměrnárychlost na libovolné integrovatelné funkce. Jedná se vlastněo jakousi průměrnou hodnotu, při které ale nepočítámeprůměr z konečného počtu hodnot, ale z hodnot rozloženýchspojitě na zadaném intervalu.

Definice střední hodnoty je snadným důsledkem toho, žehledáme hodnotu µ s vlastností∫ b

a

f(x) dx =∫ b

a

µdx = µ

∫ b

a

dx = µ(b− a).

Definice (střední hodnota). Nechť f je funkce defino-vaná a integrovatelná na uzavřeném intervalu [a, b]. Číslo µdefinované vztahem

µ = 1b− a

∫ b

a

f(x) dx

se nazývá střední hodnota funkce f na intervalu [a, b].

Obrázek 5.3: Střední hodnota lineární a obecné funkce.

Geometricky je střední hodnota výška obdélníka, který májednu stranu tvořenou intervalem [a, b] a obsah je roven

integrálu∫ b

a

f(x) dx. Pokud je funkce f(x) kladná a lineární,je tento integrál roven obsahu lichoběžníka o základnách

f(a) a f(b) a výšce b− a. Tedy∫ b

a

f(x) dx = (b− a)f(a) + f(b)2

a střední hodnota lineární funkce je tedy průměrem hodnotyna začátku a na konci intervalu.

Poznámka (střední hodnota materiálové konstanty).Tepelná vodivost materiálu podobeného analýze tepelně-izolačních vlastností nemusí být konstantní v celém rozsahuteplot, ale může se měnit s teplotou. Pokud je známa funkcek(T ), je střední hodnota tepelné vodivosti v tepelném rozsahuod T1 do T2 dána vztahem (viz Cengel, Ghajar: Heat andMass Transfer)

kavg = 1T2 − T1

∫ T2

T1

k(T ) dT

V praxi nemáme analytický předpis pro funkci k(T ), alefunkce je dána v několika bodech tabulkou. Takové funkcemůžeme integrovat numericky, což bude ukázáno v dalšíčásti této přednášky.

Příklad. Střední hodnota funkce y = 2x2 − 1 na intervalu[0, 2] je

12

∫ 2

02x2 − 1 dx = 1

2

[23x

3 − x]2

0= 1

2

[238− 2− 0

]= 5

3 .

Online výpočet.

Práce při vytahování řetězuZe střechy budovy o výšce 50 metrů visí řetěz dlouhý 30metrů. Jeden metr řetězu váží dva kilogramy. Vypočítámepráci potřebnou pro povytažení řetězu o deset metrů a potépráci potřebnou pro úplné vytažení řetězu.

Z fyziky víme, že na těleso o hmotnosti m působí síla Fdaný vztahem

F = mg,

kde g je tíhové zrychlení a že práce W konaná silou F podráze s je rovna součinu

W = Fs.

Pokud z budovy visí h metrů řetězu o lineární hustotěτ = 2 kg/m, je nutné při vytahování řetězu zvedat tělesoo hmotnosti hτ , tj. vyvinout sílu

F = hτg.

KAPITOLA 5. INTEGRÁLY PRO POKROČILÉ 39

Při vytahování řetězu se délka visící části zkracuje a změnadélky ∆h je záporná. Při povytažení řetězu o délku |∆h|=−∆h je nutné vykonat práci

∆W = F |∆h|= −hτg∆h.

Při povytažení o 10 metrů řetěz vytahujeme spojitě odh1 = 30 po h2 = 20. Celková práce je

W =∫ h2

h1

−hτg dh = τg

∫ h1

h2

hdh = τg

[12h

2]h1

h2

= τg

[12h

21 −

12h

22

]= 1

2τg(h21 − h2

2)

= 12τg(h1 − h2)(h1 + h2).

Pro τ = 2 kg m−1 a g = 9.81 kg m s−2 dostáváme W =4905 J. Formálně je tento výsledek stejný, jako bychomhmotnost dolních h1 − h2 metrů řetězu soustředili do středutohoto úseku (tedy do úrovně 1

2(h1 +h2) metrů pod střechu)a poté tento hmotný bod přemístili konstantní silou po dráze12(h1 + h2) na střechu.

Práci pro vytažení celého řetězu dostaneme volbou h2 = 0.Tedy

W = 12τgh

21

a numericky W = 8829 J. Protože vytáhnout první třetinunejtěžší, očekáváme, že práce potřebná pro vytažení celéhořetězu bude menší než trojnásobek práce nutné pro povy-tažení o třetinu. Toto se přirozeně potvrzuje porovnánímnumerických hodnot.

Online výpočet.

Poznámka (práce konaná silou proměnné velikosti).Práce vykonaná silou F (x) při přemístění tělesa z polohyx = a do polohy x = b je

W =∫ b

a

F (x) dx.

Jako speciální případ dostáváme pro konstantní sélu Fstředoškolský vzorec

W = Fs,

kde s = b− a je posunutí.

Práce při čerpání vodyPokud potřebujeme vyčerpat vodu z rezervoáru, nádrže,rybníka nebo jezera, musíme ji dopravit za stěnu (za hráz,dostat na břeh, . . . ). Představme si, že po opadnutí vody

v okolí Mojžíšova mostu, se kterým jsme se seznámilina minulé přednášce, zůstane uvnitř voda. Tu je potřebavyčerpat. Tím se most proměnil v nádrž o hloubce H. Povrchhladiny ve chvíli, kdy je voda x jednotek délky pod okrajemmostu označme S. (Pro nádrž ve tvaru kvádru by S bylokonstantní a rovno obsahu dna.)

1. Pro vyzvednutí tělesa o hmotnosti m o výšku h musímevykonat práci W = mgh, abychom vykompenzovalinárůst potenciální energie.

2. Vodu v nádrži rozdělíme na vodorovné vrstvy o výšce ∆x.Hmotnost vrstvy o výšce ∆x v hloubce x pod okrajemnádrže bude ∆m = S∆xρ a abychom vodu dostali přesokraj, musíme vykonat práci

∆W = ∆mgx = S∆xρgx.

3. Celková práce na vyčerpání vody se vypočte jako sou-čet jednotlivých příspěvků. Spojitě se měnící veličinusčítáme integrálem, což vede na vztah

W =∫ H

0Sρgx dx = ρg

∫ H

0Sxdx.

4. Pro nádrže ve tvaru kvádru by veličina S byla konstantnía integrál by vycházel

W = Sρg

∫ H

0xdx

= Sρg

[12x

2]H

0

= Sρg12H

2

= (SHρ)g 12H.

Výraz SHρ je celková hmotnost. Práce je tedy stejná,jako kdybychom těleso o stejné hmotnosti jako je hmot-nost vodní masy zvedli z poloviční hloubky pod hladinouna úroveň hladiny. Je to stejná práce, jakou bychom vy-konali, kdyby všechna voda byla stlačena v těžišti a mybychom tuto vodu zvedli na úroveň okraje nádrže.

Numerická aproximace určitého in-tegráluNásledující myšlenka se si týká výlučně určitého integrálu,ale dále v dnešní přednášce si představíme nástroj, kterýumožní ji použít i pro integrál neurčitý.

Někdy se stane, že neumíme nebo nepotřebujeme určitýintegrál vypočítat přesně. Nebo že ani nemáme dostatekinformací pro přesný výpočet, například funkce může býtznáma jenom v několika bodech, které jsou výsledkem měřenía mimo tyto body nejsou žádné informace o funkčních

KAPITOLA 5. INTEGRÁLY PRO POKROČILÉ 40

hodnotách. To je přesně situace pro numerickou aproximaciurčitého integrálu. Mechanický model základních myšlenekaproximace je shrnut v několika následujících bodech.

• Představme si, že máme určit dráhu pohybu, ale v za-daném časovém intervalu máme pouze několik záznamůhodnoty rychlosti z tachometru.

• Mimo tyto záznamy se mohlo dít v podstatě cokoliv. Bu-deme však doufat, že rychlost se měnila spíše pozvolna.

• Základní taktika odhadu dráhy může být taková, žemezi každými zaznamenanými hodnotami rychlosti natachometru nahradíme pohyb rovnoměrným pohybemrychlostí, která je průměrem krajních hodnot.

• Předchozí postup aplikovaný na libovolnou funkci odpo-vídá tomu, že mezi každými dvěma hodnotami nahra-díme funkci funkcí lineární a poté integrál vypočítámepro tuto lineární funkci. Tento postup (lichoběžníkovépravidlo) je možné modifikovat nebo vylepšit. Napříkladje možné použít pro aproximaci části parabol místo pří-mek (Simpsonovo pravidlo). U funkce, která je rostoucí,je možné například použít funkční hodnotu v dolní mezia tím dostaneme dolní odhad pro výsledný integrál.

Příklad. Zahradnická firma vytáhla pařez a malotraktoremjej odtáhla o 20 metrů bokem. Vzhledem k nepravidelnémutvaru a tažení po různých druzích povrchu po cestě sesíla měnila. Pracovníkovi se podařilo odhadnout sílu běhempohybu. Závislost síly na dráze zachycuje následující tabulka.

s[m] 0 5 10 15 20F [kN] 2.3 1.5 2.1 3.1 2.0

Odhadneme celkovou vykonanou práci.

W = 52.3 + 1.52 + 51.5 + 2.1

2 + 52.1 + 3.12 + 53.1 + 2.0

2= 44.25 kN m

= 44.25 kJ

Poznámka. V předchozím příkladě byla funkce dána v pra-videlných intervalech. Proto se ve všech členech objevujefaktor 5

2 , který je možné vytknout. Po vytknutí zůstanev závorce součet, kde se hodnoty funkce v dolní a horní meziobjeví jednou a ostatní dvakrát. To v obecném případě vedek následujícímu vzorci.

Věta (lichoběžníkové pravidlo). Nechť je funkce f spo-jitá na intervalu [a, b]. Rozdělme interval [a, b] na n inter-valů stejné délky h, tj. platí h = b− a

n. Krajní body těchto

intervalů označme po řadě x0, x1, . . . , xn a jim odpovídajícífunkční hodnoty funkce f po řadě y0, y1, . . . , yn. Platí∫ b

a

f(x) dx ≈ h

2

(y0 + 2y1 + 2y2 + · · ·+ 2yn−1 + yn

).

Poznámka (slovní interpretace lichoběžníkovéhopravidla). Pokud ve vzorci pro lichoběžníkové pravidlodosadíme za hodnotu h odpovídající délku intervalu b− a

na

přeuspořádáme členy, dostaneme∫ b

a

f(x) dx ≈ (b− a)y0 + 2y1 + 2y2 + · · ·+ 2yn−1 + yn2n

a

1b− a

∫ b

a

f(x) dx ≈ y0 + 2y1 + 2y2 + · · ·+ 2yn−1 + yn2n .

Toto je odhad pro veličinu, kterou jsme výše nazvali středníhodnotou. Lichoběžníkové pravidlo je tedy možné chápattak, že vezmeme funkční hodnoty v pravidelných intervalecha vypočteme vážený průměr těchto hodnot, kdy všechnyfunkční hodnoty ve vnitřních bodech se berou s dvojnásobnouvahou než funkční hodnoty v krajních bodech. To je odhadstřední hodnoty, který stačí vynásobit délkou intervalu adostaneme odhad integrálu.

Integrace substituční metodouSubstituční metoda je metoda odvozená z derivace složenéfunkce

[u(v(x))]′ = u′(v(x))v′(x),

což dáváu(v(x)) =

∫u′(v(x))v′(x) dx. (1)

Označme u′(x) = f(x), tj. u(x) =∫f(x) dx. Označíme-li

dále v(x) = t, platí

u(v(x)) = u(t) =∫f(t) dt.

Přeznačme ještě v(x) na ϕ(x). Potom má (1) po záměně levéa pravé strany tvar uvedený v následující větě.

KAPITOLA 5. INTEGRÁLY PRO POKROČILÉ 41

Věta (substituční metoda pro neurčitý integrál).Platí ∫

f(ϕ(x))ϕ′(x) dx =∫f(t) dt, (2)

kde po výpočtu integrálu napravo dosazujeme t = ϕ(x).

Formálně výraz napravo ve (2) přejde ve výraz nalevo anaopak dosazením rovností

ϕ(x) = t, ϕ′(x) dx = dt.

Toto je současně i návod, jak substituční metodu použítprakticky.

Příklad. Substituce x2 = t vede na vztah mezi diferenciályve tvaru 2xdx = dt. Odsud∫

xex2

dx = 12

∫et dt = 1

2et = 1

2ex2

+ c.

Příklad. Substituce f(x) = t vede na vztah mezi diferenciályve tvaru f ′(x) dx = dt. Odsud∫

f ′(x)f(x) dx =

∫ 1t

dt = ln|t|= ln|f(x)|+c.

Například ∫x

x2 + 1 dx = 12

∫ 2xx2 + 1 dx

= 12

∫ (x2 + 1)′x2 + 1 dx

= 12 ln|x2 + 1|+c.

Příklad. Substituce ax+ b = t vede na vztah mezi diferen-ciály ve tvaru adx = dt. Odsud je možné odvodit vzorec,který již známe pro integrál funkce s lineární vnitřní složkou.Vskutku, platí∫

f(ax+ b) dx =∫ 1af(t) dt = 1

aF (t) = 1

aF (ax+ b) + C,

kde F (x) =∫f(x) dx.

Vztah (2) je základní vztah pro substituci v neurčitémintegrálu. Používáme jej ve vhodných případech zpravadoleva i zleva doprava. Variantu pro určitý integrál jsmeviděli ve speciálním případě ve cvičení, kdy vnitřní funkcereprezentovala konstantní násobek. Viděli jsme přirozenýmzpůsobem, že při substituci (vyjádření v jiných jednotkách)se s integrovanou funkcí se mění i meze. Obecný vzorecpro integrování určitého integrálu substituční metodou jev následující větě.

Věta (substituční metoda pro určitý integrál). Platí∫ b

a

f(ϕ(x))ϕ′(x) dx =∫ ϕ(b)

ϕ(a)f(t) dt.

Meze tedy podléhají stejné transformaci, jako integrovanáproměnná. Pokud používáme substituci t = ϕ(x), potomv dolní mezi pro x = a platí t = ϕ(a). Podobná situace je iv mezi horní.

Integrál jako funkce mezeIntegrál může být součástí definice funkce. Tím se můžemedostat mimo množinu elementárních funkcí a značně takrozšířit třídu funkcí, se kterými umíme pracovat.

Věta (integrál jako funkce horní meze). Buď f spojitáfunkce na intervalu I a a ∈ I. Funkce F (x) definovanávztahem

F (x) :=∫ x

a

f(t) dt

má na intervalu I derivaci a platí F ′(x) = f(x), tj. F (x)je primitivní funkcí k funkci f(x).

Příklad. Pro funkci f(x) = x2 platí∫ x

0t2 dt =

[t3

3

]x0

= x3

3

což je skutečně jedna z primitivních funkcí k funkci x2, jakjiž víme z přednášky o neurčitém integrálu.

Věta o integrálu jako funkci horní meze dokonce udávátvar primitivní funkce pro libovolnou spojitou funkci. Tímdostáváme okamžitě následující tvrzení.

Důsledek (postačující podmínka existence primi-tivní funkce). Ke každé spojité funkci existuje neurčitýintegrál.

Bohužel, ne vždy neurčitý integrál dokážeme efektivně najít.Zatímco problém nalezení derivace funkce složené z funkcí,které umíme derivovat, spočívá pouze ve správné aplikacivzorců pro derivování, problém nalézt neurčitý integrál ik funkci tak jednoduché, jako je například e−x

2je neřešitelný

ve třídě elementárních funkcí. Totéž platí pro další “nevinněvyhlížející” funkce jako

∫sin(x2) dx nebo

∫ sin xx

dx. Větao integrálu jako funkci horní meze nabízí možnost zapsatprimitivní funkci vztahem∫

e−x2

dx = c+∫ x

0e−t

2dt.

KAPITOLA 5. INTEGRÁLY PRO POKROČILÉ 42

Funkční hodnoty takové funkce můžeme určovat napříkladtak, že integrál aproximujeme numericky.

Následující ukázka demonstruje, že i s funkcí definovanoupomocí integrálu je možné jistým způsobem pracovat, anižbychom měli k dispozici analytické vyjádření této funkce.

Ukázka funkce definované pomocí in-tegráluUvažujme funkci definovanou vztahem

f(x) =∫ x

1

1t

dt. (*)

Ukážeme si, že tento tvar umožňuje odvodit některé vlast-nosti funkce f . Dokážeme například, že funkce f měnínásobení na sčítání, tj. že platí

f(ab) = f(a) + f(b).

Podle definice je

f(ab) =∫ ab

1

1t

dt.

Podle aditivity vzhledem k integračnímu oboru platí

f(ab) =∫ a

1

1t

dt+∫ ab

a

1t

dt = f(a) +∫ ab

a

1t

dt. (**)

Ve druhém integrálu bychom potřebovali dostat jedničkuv dolní mezi, abychom dostali integrál stejný jako v definicifunkce f . Proto zavedeme substituci t

a= s, t = sa, dt = ads.

S použitím této substituce se (**) transformuje na

f(ab) = f(a) +∫ b

1

1saa ds = f(a) +

∫ b

1

1s

ds = f(a) + f(b).

Pokud si všimneme, že integrál (*) v definici funkce fje možné vypočítat a že funkce f je vlastně funkce ln x,není vlastnost, že funkce mění násobení na sčítání nijakpřekvapivá. Pro nás však bylo důležité, že v důkaze jsmepoužili jenom definici funkce f pomocí integrálu a pravidlapro práci s integrály. Nemuseli jsme nijak používat anivlastnosti logaritmu, ani vlastnosti funkce k logaritmuinverzní, což bývá základem středoškolského odvození tohotovzorce. Vidíme, že integrál je možné použít k definici funkcea s touto funkcí je možné dále pracovat. Substituce t 1

r = s,t = sr, dt = rsr−1 ds například ukáže, že platí

f(ar) =∫ ar

1

1t

dt =∫ a

1

1srrsr−1 ds = r

∫ a

1

1s

ds = rf(a).

Řetěz jinak (pomocí změny potenci-ální energie)Vypočítáme příklad z prací při vytahování řetězu tak, žeurčíme změnu potenciální energie řetězu. PráciW vykonanoupři vyzvednutí tělesa o hmotnosti m o výšku h vypočtemejako změnu potenciální energie v tíhovém poli Země, tj.

W = mgh.

Komplikace v tomto případě je, že každou část řetězuvytahujeme z jiné hloubky. Část řetězu délky ∆h vážím = τ∆h kilogramů a při vytažení z hloubky h na úroveňstřechy je změna potenciální energie (a vykonaná práce)

∆W = mgh = τ∆hgh.

Součet těchto příspěvků pro dolní třetinu řetězu, od h2 =20 m po h1 = 30 m je

W =∫ h1

h2

τghdh = τg

∫ h1

h2

hdh.

Tím výpočet přechází ve stejný integrál jako v předchozímpřístupu a výsledky jsou tedy stejné. Práci pro celý řetězzískáme opět volbou h2 = 0.

Že práce vykonaná při vytažení celého řetězu je stejná jakozměna potenciální energie celého řetězu je zřejmé. Za zmínkuještě stojí úvaha, proč je povytažení řetězu o 10 metrůekvivalentní změně potenciální energie dolních 10 metrůpři vytažení této části řetězu na střechu. Stačí uvážit, žebychom řetěz přetočili vzhůru nohama, povytáhli o 10 metrů,rozpojili a visící část znovu otočili vzhůru nohama. Otočenívzhůru nohama není spojeno s konáním práce, stejně takrozpojení a případné opětovné napojení. Práce se tedy konájenom tak, že řetěz vytahujeme o 10 metrů. Výsledek všakje stejný, jako kdybychom řetěz nepřetáčeli, jenom odpojilidolních 10 metrů a tuto část zvedli nahoru.

Shrnutí, hlavní myšlenky• Naučili jsme se některé triky pro integrály: určitý inte-

grál se dá numericky aproximovat a neurčitý integrál sedá převést metodou per-partés nebo substitucí na jinýintegrál, v optimálním případě na integrál vhodný proaplikaci vzorců.

• Integrál, resp. střední hodnota funkce, slouží jako ná-hrada aritmetického průměru v situacích, kdy počítámeprůměr z nekonečně mnoha veličin a vzorec pro klasickýaritmetický průměr selhává.

• Integrál je také nástrojem, který nás dokáže vymanitze světa elementárních funkcí a můžeme pomocí tohotointegrálu definovat funkce, které nejsou elementární. Zá-kladním prostředkem je integrál jako funkce horní meze.

KAPITOLA 5. INTEGRÁLY PRO POKROČILÉ 43

Toto se využívá například ve statistice. Vedlejším pro-duktem je věta zaručující existenci primitivní funkce prolibovolnou spojitou funkci.

Kapitola 6

Diferenciální rovnice

Obyčejná diferenciální rovnice prv-ního řáduObyčejná diferenciální rovnice je rovnice, kde vystupujeneznámá funkce a její derivace. Setkáváme se s ní napříkladvšude tam, kde rychlost růstu nebo poklesu veličiny souvisís její velikostí. Například rychlost s jakou se mění teplotahorkého tělesa je funkcí teploty samotné. Rychlost tepelnévýměny mezi dvěma tělesy je totiž úměrná rozdílu jejichteplot (Newtonův zákon). Takto se přirozeně diferenciálnírovnice objevují v modelech nejrůznějších dějů jevů. Podstatuděje, který modelujeme, musí dodat fyzika, biologie nebojiná aplikovaná věda. To v matematice obsaženo není.Matematika poté poslouží k analýze, jaké jsou pozorovatelnédůsledky a tím se ověří, jestli příslušná aplikovaná vědasprávně vystihuje podstatu modelovaného děje.

Definice (diferenciální rovnice). Obyčejnou diferenciálnírovnicí prvního řádu rozřešenou vzhledem k derivaci (stručnějitéž diferenciální rovnicí, DR) s neznámou y rozumíme rovnicitvaru

dydx = ϕ(x, y) (1)

kde ϕ je funkce dvou proměnných.

(anglicky ordinary differential equation, ODE)

Další formy zápisu rovnice (1) jsou

y′ = ϕ(x, y),

dy = ϕ(x, y)dx,

dy − ϕ(x, y)dx = 0.

Příklad. Najděte všechny funkce splňující y′ = 2xy. (Nau-číme se řešit později.)

Diferenciální rovnice mateamtickým modelem kvantifikují-cím scénář vývoje systému. Řešením jsou všechny možnosti,jak se tento systém může vyvjíjet. K jednoznačnému před-povězení budoucího stavu je ovšem nutno znát také stav

počáteční, který ze všech teoreticky možných průběhů vy-bere průběh odpovídající modelované situaci. Tento stavvyjadřuje počáteční podmínka, uvedená v následující definici.

Definice (počáteční podmínka, Cauchyova úloha).Nechť x0, y0 jsou reálná čísla. Úloha najít řešení rovnice

dydx = ϕ(x, y), (1)

které splňuje zadanou počáteční podmínku

y(x0) = y0 (2)

se nazývá počáteční (též Cauchyova) úloha.

Řešení Cauchyovy úlohy nazýváme též partikulárním řešenímrovnice. Graf libovolného partikulárního řešení se nazýváintegrální křivka.

(anglicky initial condition, IC, initial value problem, IVP)

Příklad (praktická interpretace řešení počátečníúlohy).

• Pokud diferenciální rovnice udává rychlost ochlazováníhorkého nápoje a počáteční podmínka teplotu na po-čátku, je řešením počáteční úlohy funkce, do které do-sadíme čas a přímo dostáváme teplotu nápoje v danémčase.

• Pokud diferenciální rovnice udává rychlost růstu popu-lace živočišného druhu v čase a počáteční podmínkavelikost populace na počátku sledování, je řešením po-čáteční úlohy funkce, do které dosadíme čas a přímodostáváme velikost populace v daném čase.

• Pokud diferenciální rovnice udává rychlost nárůstu hla-diny podzemní vody ve směru od čerpané studny apočáteční podmínka udává výšku hladiny ve studni, jeřešením počáteční úlohy funkce udávající výšku hladinypodzemní vody jako funkci vzdálenosti od studny.

Příklad. Najděte všechny funkce splňující y′ = 2xy ay(0) = 3. (Naučíme se řešit později.)

44

KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 45

Věta (existence a jednoznačnost řešení Cauchyovyúlohy). Má-li funkce ϕ(x, y) ohraničenou parciální deri-vaci ∂ϕ

∂yv okolí počáteční podmínky, potom má počáteční

úloha (1)-(2) právě jedno řešení definované v nějakém okolípočáteční podmínky.

Příklad. Rovnicey′ = y (3)

má řešení y = ex, což nahlédneme snadno, protože exponen-ciální funkce se nemění derivováním. Dosazením je možnéukázat, že má dokonce řešení

y = Cex, (4)

kde C je libovolné číslo.

Příklad. Řešení počáteční úlohy

y′ = y, y(x0) = y0

najdeme tak, že využijeme řešení (4) a zařídíme, aby bylasplněna počáteční podmínka. Tj. řešením počáteční úlohy je

y = (y0e−x0)ex.

Vidíme, že toto řešení existuje pro každou počáteční pod-mínku a proto vzorec (4) popisuje dokonce všechna řešenírovnice (3).

Obecné a partikulární řešeníŘešení diferenciální rovnice je nekonečně mnoho. Zpravidlaje dokážeme zapsat pomocí jediného vzorce, který obsahujenějakou (alespoň do jisté míry libovolnou) konstantu C. Ta-kový vzorec se nazývá obecné řešení rovnice. Pokud nenízadána počáteční podmínka a mluvíme o partikulárnímřešení, máme tím na mysli jednu libovolnou funkci splňujícídiferenciální rovnici.

Příklad: Obecným řešením diferenciální rovnice

y′ = 2xy

jey = Cex

2, C ∈ R.

Žádná jiná řešení neexistují, všechna řešení se dají zapsatv tomto tvaru pro nějakou vhodnou konstantu C. Partiku-lárním řešením je například y = 5ex

2. Řešením počáteční

úlohyy′ = 2xy, y(0) = 3

jey = 3ex

2.

Příklad - tepelná výměna• Z fyziky víme, že rychlost tepelné výměny mezi dvěma

tělesy je úměrná rozdílu jejich teplot (Newtonův zákon).• Z přednášek o derivacích víme, že rychlost je matema-

ticky derivace. Proces tepelné výměny probíhající podleNewtonova zákona je tedy možno modelovat diferenci-ální rovnicí

dTdt = −k(T − T0).

• Rovnice udává, že teplota T horkého tělesa se mění(rychlost změny je derivace) tak, že klesá (znaménko mi-nus) rychlostí úměrnou (konstanta k) teplotnímu rozdílumezi teplotou tělesa a teplotou okolí T0 (člen T − T0).

• K rovnici v ideálním případě dodáváme materiálovoucharakteristiku (konstantu úměrnosti k) a počátečníteplotu. Řešením rovnice je funkce udávající závislostteploty na čase. Chceme-li znát teplotu za určitý čas,není nutné provádět pokus a čekat na uplynutí požado-vané doby. Můžeme teplotu přímo vypočítat.

• Někdy může být vhodné nesledovat teplotu T , ale rozdíloproti okolní teplotě, τ = T − T0. Rovnice se potomzjednoduší na

dτdt = −kτ,

tedy na rovnici, kdy rychlost změny je úměrná funkčníhodnotě.

Příklad - datování pomocí uhlíku• Při datování archeologických nálezů pozůstatků živých

organismů se využívá fyzikálního poznatku, že radio-aktivní prvky se rozpadají rychlostí, která je úměrnámnožství dosud nerozpadnutého materiálu.

• Rychlost, s jakou se mění množství (a tedy i koncent-race y v daném vzorku) nerozpadnutého radioaktivníhomateriálu je tedy matematicky popsána rovnicí

dydt = −λy,

kde λ je konstanta úměrnosti. Tato rovnice je přirozenýmdůsledkem toho, že pro daný nestabilní izotop majívšechny atomy stejnou pravděpodobnost, že u nich dojdek rozpadu a tato pravděpodobnost se s časem nemění.

• Vhodný radioaktivní prvek vybereme podle toho, jakstarý vzorek chceme datovat. Nejčastěji měříme množ-ství radioaktivního uhlíku 14C vztažené k množství sta-bilního 12C. Počáteční podmínka je známa (předpoklá-dáme stejný poměr zastoupení jako relativně nedávno,před průmyslovou revolucí) a díky tomu můžeme najítfunkci udávající, jak s časem klesá zastoupení radioak-tivního uhlíku. Obsah radioaktivního i stabilního uhlíkuje možné změřit a tím získáme odhad, kolik procent ra-dioaktivního uhlíku se rozpadlo. Řešení počáteční úlohy

KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 46

poté použijeme pro odhad doby, kdy organismus přestalspotřebovávat uhlík z atmosféry, tj. odhad stáří vzorku.

• Při pokusu o datování kostí dinosaurů klesne množstvíradioaktivního uhlíku pod měřitelnou úroveň. Proto sev tomto případě používají látky s delším poločasemrozpadu.

Příklad - rovnice samočištění jezer• Nechť veličina y udává množství látky, která znečišťuje

vodu v jezeře o objemu V .• Předpokládejme, že do jezera přitéká čistá voda a stej-

nou rychlostí odtéká voda s nečistotami (hladina senemění, je v ustáleném stavu). Nechť veličina r udává,jaký objem vody se v jezeře takto vymění za jedenden. Předpokládejme dále (poněkud nerealisticky), žerozdělení znečišťujících částic v jezeře je rovnoměrné.

• Úbytek hmotnosti nečistot za časovou jednotku je dánderivací dy

dt .• Protože koncentrace nečistot v jezeře a v odtékající

vodě je y

V, je úbytek znečištění možno vyjádřit též ve

tvaru r

Vy. Podíl r

Vje pro dané jezero kladná konstanta

udávající, jak velká část z celkového množství vody sev jezeře vymění za časovou jednotku. Označíme-li tutokonstantu symbolem k, je proces úbytku nečistot v jezeřepopsán diferenciální rovnicí

dydt = −ky.

• Výše uvedená rovnice na nazývá rovnice samočištěníjezer, ale tento název je čistě formální. Jedná se vlastněo stejnou rovnici, která popisuje radioaktivní rozpadnebo změnu rozdílu mezi teplotou horkého nápoje amístnosti při chladnutí nápoje.

• Stejnou rovnicí je možné popsat nejenom odbourávánínečistot z životního prostředí, ale i odbourávání lékůnebo drog z těla. Považujme krevní oběh za jezero a léknebo drogu za znečišťující látku. V případě, že rychlostodbourávání je úměrná koncentraci (platí pro farma-kokinetiku prvního řádu, toto splňuje většina léčiv zaběžných koncentrací), řídí se proces odbourávání stejnoudiferenciální rovnicí.

Příklad - RC obvodPři nabíjení kondenzátoru o kapacitě C přes odpor o velikostiR roste napětí na kondenzátoru, tím se mění nabíjecí prouda proto se mění i rychlost nabíení. Pomocí zákonů elektro-techniky je možno ukázat, že nabíjecí proud i kondenzátoruse řídí diferenciální rovnicí

Rdidt + 1

Ci = 0.

Napětí na kondenzátoru je možno odvodit buď z proudu,napětí na rezistoru a napětí zdroje, nebo z celkového proudu,který prošel kondenzátorem.

Rovnice je tedy stejná jako rovnice radioaktivního rozpadu arovnice samočištění jezer. Vhodnou manipulací s parametrysoučástek je možno měnit koeficient u této rovnice a vhodnýmspojováním těchto obvodů dokážeme podobně simulovat isložitější rovnice. To je bylo základem analogových počítačů,které nepracovaly s čísly, ale s napětími. Tyto počítače sehrálysvou roli v době, kdy číslicové počítače byly nedostupné,pomalé a nespolehlivé. Tím byla historická úloha analogovýchpočítačů splněna a již se nepoužívají.

RC obvod jako takový má však důležité místo i dnes. Dokáženapříklad filtrovat signály podle frekvence. Výpočet jehocharakteristiky (tj. vyřešení rovnice) a sledování napětína kondenzátoru umožní měření elektrického odporu tam,kde není vhodné odpor určovat z proudu a napětí pomocíOhmova zákona. Typickým příkladem je odpor dřeva a jehovodivost, tj. převrácená hodnota odporu. Tato veličina sepoužívá k rychlému stanovení vlhkosti dřeva, nebo je možnoji dlouhodobě sledovat pomocí senzorů zabudovaných dodřevostavby.

Ve skutečnosti žádná elektronická součástka nemá ideálnívlastnosti a proto se v obvodu projevují i nežádoucí parazitnícharakteristiky. Pokud by toto bylo limitující, je možnéobvod nahradit podobně se chovajícím zapojením s ope-račním zesilovačem (odkazovaná stránka pracuje s rovnicív integrálním tvaru).

Příklad - vývoj populace a její ekolo-gický lov

• Zkoumejme velikost y určité populace, v prostředí s nos-nou kapacitou K.

• Realistickým předpokladem dodaným biologickými vě-dami je, že v prostředí s omezenými úživnými vlast-nostmi specifická míru růstu populace (rychlost s jakouse velikost populace zvětšuje vztažená na jednotkovémnožství populace) klesá s tím, jak se velikost populacepřibližuje k nosné kapacitě, a rychlost růstu populaceje modelována funkcí ry

(1− y

K

). Podle velkosti ko-

eficientů v této rovnici dělíme živočichy na r-stratégya K-stratégy a toto dělení odráží, jak se snaží druhvyrovnávat se změnami prostředí.

• Za uvedených předpokladů je možno vývoj populacepopsat rovnicí

dydt = ry

(1− y

K

).

Tato rovnice se nazývá logistická rovnice.

KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 47

• Pokud lovem snížíme přírůstky populace, můžeme tentoproces modelovat rovnicí

dydt = ry

(1− y

K

)− h(y),

kde h(y) je intenzita lovu populace o velikosti y. Mo-delování tohoto procesu umožní nalezení ekonomickyvýhodné ale přitom trvale udržitelné strategie lovu.

Geometrická interpretace ODE

Obrázek 6.1: Směrové pole diferenciálni rovnice, integrální křivky, iso-kliny

Protože derivace funkce v bodě udává směrnici tečny kegrafu funkce v tomto bodě, lze rovnici

dydx = ϕ(x, y) (1)

chápat jako předpis, který každému bodu v rovině přiřadísměrnici tečny k integrální křivce, která tímto bodemprochází. Sestrojíme-li v dostatečném počtu (napříkladi náhodně zvolených) bodů [x, y] v rovině vektory (1, ϕ(x, y)),obdržíme směrové pole diferenciální rovnice — systémlineárních elementů, které jsou tečné k integrálním křivkám.

Počáteční podmínka y(x0) = y0 geometricky vyjadřujeskutečnost, že graf příslušného řešení prochází v roviněbodem [x0, y0]. Má-li tato počáteční úloha jediné řešení,neprochází bodem [x0, y0] žádná další křivka. Má-li každápočáteční úloha jediné řešení (což bude pro nás velice častýpřípad), znamená to, že integrální křivky se nikde neprotínají.

Křivky s konstantní hodnotou ϕ(x, y) mají tu vlastnost, žeje všechna řešení protínají pod stejným úhlem, měřeným odkladné části osy x. Například v bodech kde platí ϕ(x, y) = 0míří všechny integrální křivky vodorovně. Proto se křivky,kde je ϕ(x, y) konstantní, nazývají izokliny.

Transformace diferenciální rovniceNaučíme se vyjadřovat diferenciální rovnici v jiných pro-měnných tak, aby bylo možné snížit počet parametrů v tétorovnici. Pro jednoduchost budeme uvažovat jenom případ,kdy nová proměnný je lineární funkcí původní proměnné.

Uvažujme funkci y proměnné x. Připomeneme si vzorce proderivaci součtu, derivaci konstantního násobku a derivacisložené funkce, ale uvedeme si je v kontextu vhodném prostudium diferenciálních rovnic.

• Z derivace součtu a z derivace konstanty plyne pro funkciy a konstantu y0 vztah

d(y ± y0)dx = dy

dx ±dy0

dx = dydx ± 0 = dy

dx.

• Z derivace konstantního násobku funkce plyne pro funkciy a konstantu k vztah

d(ky)dx = k

dydx.

• Z derivace složené funkce plyne pro konstantu k a veli-činu X = kx vztah

dydx = dy

dXdXdx = dy

dXk

tj.dy

d(kx) = dydX = 1

k

dydx.

Výše uvedené výpočty je možno shrnout do pravidla v násle-dující poznámce.

Poznámka (transformace diferenciální rovnice dojiných jednotek). Pro Y = k1(y − y0) a X = k2x platí

dYdX =

d(k1(y − y0)

)d(k2x) = k1

k2

dydx

a podobně (všimněte si druhé mocniny u k2 díky druhéderivaci)

d2Y

dX2 = k1

k22

d2y

dx2 .

Výraz nalevo neobsahuje konstanty, které jsou ve výrazunapravo. Tyto konstanty jsou v definici nových veličin X aY .

KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 48

Navíc vzorec z poznámky silně připomíná klasické počítáníse zlomky. Proto máme Leibnizův tvar zápisu derivací dy

dxpři studiu diferenciálních rovnic více v oblibě, než zápisLagrangeův, y′.

Příklad. Diferenciální rovnice tepelné výměny

dTdt = −k(T − T∞), T (0) = T0 (*)

obsahuje tři parametry: teplotu okolního protředí T∞, po-čáteční teplotu T0 a konstantu k související s fyzikálnímivlastnostmi prostředí. Postupně můžeme posunout teplotnístupnici tak, aby teplota okolí byla nula a počáteční teplotajedna, tj. hodnotu T snížíme o T∞ a upravíme dílek stupnice(T0 − T∞)-krát

d(T−T∞T0−T∞

)dt = −k T − T∞

T0 − T∞

vydělit konstantou k

d(T−T∞T0−T∞

)kdt = − T − T∞

T0 − T∞

a přeškálovat pomocí konstanty k čas

d(T−T∞T0−T∞

)d(kt) = − T − T∞

T0 − T∞.

Po substituci y = T − T∞T0 − T∞

, x = kt má úloha tvar

dydx = −y, y(0) = 1. (**)

Nová rovnice (**) neobsahuje žádné parametry a proto jepro studium jednodušší. Přesto je v ní obsažena veškeráinformace obsažená v rovnici (*). Tuto informaci je všaknutno interpretovat v kontextu definice nových proměnných.Například to, že všechna řešení rovnice (**) konvergují k nuleznamená, že všechna řešení rovnice (*) konvergují k T0. To,že řešení rovnice (**) klesne na poloviční hodnotu za čas ln 2znamená, že vzdálenost řešení rovnice (*) od rovnovážnéhostavu se na polovinu zmenší za čas 1

kln 2.

Poznámka (nondimenzinalizace, rozměrová ana-lýza). Proces eliminace parametrů z modelu popsanéhodiferenciální rovnicí se nazývá nondimenzionalizace neborozměrová analýza modelu, protože eliminaci parametrů jevhodné provádět tak, aby výsledné nové veličiny vycházelybez fyzikálních jednotek. K tomu se provádí rozbor jednotekjednotlivých veličin. V jednoduchých případech však stačíprimitivní postup popsaný v odstavcích výše a ukázanýna příkladu. V tomto příkladě veličina x nemá fyzikální

jednotku, protože je součinem konstanty k (s jednotkous−1) a času t (s jednotkou s). Je možné ji považovat zabezrozměrný čas. Veličina y také nemá fyzikální jednotku,protože je podílem dvou teplot a je možné ji považovat zabezrozměrnou teplotu.

V této úloze bylo zavedení nových veličin přirozené. I u ménězřejmých úloh zkušenosti ukazují, že je vhodné volit trans-formaci tak, aby vznikly veličiny bezrozměrné, které nemajífyzikální jednotku. Například v Horáček, Fyzikální a mecha-nické vlastnosti dřeva I je zavedena bezrozměrná vlhkost,bezrozměrný čas a bezrozměrná vzdálenost na straně 61 prorovnici popisující difuzi a charakteristická délka, Biotovočíslo (bezrozměrná tepelná vodivost) a bezrozměrná tep-lota, bezrozměrný čas a bezrozměrná vzdálenost pro rovnicipopisující vedení tepla na stranách 88 a 89.

ODE tvaru dy

dx= f(y), autonomní

ODERovnice

dydx = f(y) (♣)

se nazývá autonomní, nebo též nezávislá na čase. Je speciál-ním případem rovnice se separovanými proměnnými, která jeuvedena na dalším slidu a naučíme se ji řešit analytickou ces-tou. Proto se nyní nebudeme zaměřovat na hledání obecnéhořešení, ale pokusíme se popsat chování řešení, aniž bychomtato řešení znali. Pokusíme se s co nejmenší námahou říct,jak se budou řešení chovat.

• Je-li f(y0) = 0, je konstantní funkce y(x) = y0 řešenímrovnice (♣). Protože derivace konstantní funkce je nula,vidíme, že řešením rovnice

f(y) = 0

obdržíme všechna konstantní řešení rovnice (♣). Tatokonstantní řešení se nazývají stacionární body.

• Stacionární body a jim odpovídající konstantní řešenípředstavují rovnovážný stav. Často nás zajímá, jestlipři vychýlení z tohoto rovnovážného stavu má systémtendenci se vrátit do původního stavu, nebo se od pů-vodního stavu dále odchylovat.

• Pokud se při malém vychýlení z rovnovážného stavusystém do tohoto stavu vrací, mluvíme o stabilním sta-cionárním bodu.

• Pokud se systém po malé výchylce do tohoto rovnováž-ného stavu nevrací, ale vyvíjí se k dalšímu stacionárnímubodu nebo neohraničeně, mluvíme o nestabilním stacio-nárním bodu.

KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 49

Následující věta umožní odlišit stabilní a nestabilní staci-onární body. Protože v přírodě dochází k drobným pertu-rbacím nustále, udává vlastně, které stacioární stavy jsourealizovatelné a můžeme je v přírodě pozorovat a které jsouprakticky nerealizovatelné.

Věta (stabilita konstantních řešení). Jestliže platíf(y0) = 0, je konstantní funkce y(x) = y0 konstantnímřešením rovnice

dydx = f(y).

Toto řešení je stabilní pokud dfdy (y0) < 0 a nestabilní pokud

dfdy (y0) > 0.

Pro grafickou intepretaci je vhodné připomenout, že funkces kladnou derivací jsou rostoucí a funkce se zápornou derivacíklesající. Pokud má tedy pravá strana derivaci různou odnuly, poznáme stabilitu z monotonie pravé strany.

Příklad. Logistická diferenciální rovnice s konstantnímlovem h, tj. rovnice

dydt = ry

(1− y

K

)− h,

má pro malé h dva stacionární body. Funkce ry(

1− y

K

)je parabola otočená vrcholem nahoru a s nulovými bodyy = 0 a y = K. V prvním stacionárním bodě je funkcerostoucí a tento stacionární bod je nestabilní. Ve druhémstacionárním bodě je funkce klesající a tento stacionární bodje stabilní. Jak se zvyšuje faktor h, graf paraboly se posouvásměrem dolů a oba stacionární body se posouvají směremk sobě a k vrcholu. Jejich stabilita zůstává neporušena. Toznamená, že sice pořád existuje stabilní stav, ale se zvyšujícíse intenzitou lovu se tento stacionární stav dostává stáleblíže ke stavu nestacionárnímu a rovnováha je tedy poněkudkřehká.

Poznámka (autonomní rovnice s rozdílem na pravéstraně). Rovnice

dydx = g(y)− h(y)

má stacionární bod y0, jestliže

g(y0) = h(y0).

Často jsou funkce g a h zadány graficky a stacionární bod jev průsečíku grafů funkcí g a h. Ze vzájemné polohy těchtografů také vidíme, zda je stacionární bod stabilní (funkce gje napravo od bodu y0 pod funkcí h a nalevo nad ní) nebonestabilní (naopak).

Obrázek 6.2: Funkce z pravé strany rovnice pro teplotní bilanci Země

Příklad. Teplotní bilanci Země je možno vyjádřit rovnicí

dTdt = Rin(T )−Rout(T ),

kde Rin a Rout jsou funkce dané na obrázku. Vidíme třiprůsečíky, tj. tři stacionární body. Uvažujme stacionární bodnejvíce napravo. Malá výchylka nahoru k větší teplotě násposune do oblasti, kde převažuje vyzařování energie, Rout jevetší než Rin, pravá strana je záporná a teplota klesá zpětdo stacionárního stavu. Podobně, malá výchylka směremdolů způsobí nároůst a opět návrat do stacionárního stavu.Stacionární stav zcela vpravo je tedy stabilní. Podobněukážeme, že stacionární stav odpovídající průsečíku zcelavlevo je také stabilní. Naopak, stacionární stav uprostředje nestabilní, libovolná výchylka z tohoto stavu způsobípřechod systému do některého ze stabilních stavů.

ODE tvaru dy

dx= f(x)g(y) (rovnice se

separovanými proměnnými)

Definice (ODE se separovanými proměnnými). Dife-renciální rovnice tvaru

dydx = f(x)g(y) (S)

kde f a g jsou funkce spojité na (nějakých) otevřených interva-lech se nazývá obyčejná diferenciální rovnice se separovanýmiproměnnými.

Příklad: Rovnice

y′ + xy + xy2 = 0

KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 50

je rovnicí se separovanými proměnnými, protože je možno jizapsat ve tvaru

y′ = −xy(y + 1).

Rovnicey′ = x2 − y2

není rovnice se separovatelnými proměnnými.

Řešení ODE se separovanými pro-měnnými1. Má-li algebraická rovnice g(y) = 0 řešení k1, k2, . . . ,kn, jsou konstantní funkce y ≡ k1, y ≡ k2, . . . , y ≡ knřešeními rovnice.

2. Pracujme na intervalech, kde g(y) 6= 0 a odseparujemeproměnné.

dyg(y) = f(x)dx

3. Získanou rovnost integrujeme. Tím získáme obecné ře-šení v implicitním tvaru.∫ dy

g(y) =∫f(x)dx+ C

4. Pokud je zadána počáteční podmínka, je možné ji natomto místě dosadit do obecného řešení a určit hod-notu konstanty C. Tuto hodnotu poté dosadíme zpět doobecného řešení a obdržíme řešení partikulární.

5. Pokud je to možné, převedeme řešení (obecné nebopartikulární) do explicitního tvaru (vyjádříme odsud y).

Poslední krok (převod do explicitního tvaru) je volitelný,zpravidla záleží na tom, co dalšího hodláme s řešením dělat.Pro většinu výpočtů je však explicitní tvar vhodnější nežtvar implicitní a proto se o něj vždy snažíme.

Poznámka (zápis partikulárního řešení pomocí urči-tého integrálu). V případě počáteční podmínky y(x0) = y0je možné spojit třetí a čtvrtý krok a použít určitý integrál∫ y

y0

dtg(t) =

∫ x

x0

f(t)dt.

Počáteční úloha má jediné řešení, pokud má pravá stranaohraničenou parciální derivace podle y, jak je zmíněnov úvodu přednášky. Nicméně pro diferenciální rovnici seseparovanými proměnnými je možné vyslovit následujícímnohem jednodušší postačující podmínku pro jednoznačnostřešení.

Věta (existence a jednoznačnost řešení Cauchyovyúlohy pro rovnici se separovanými proměnnými).Je-li g(y0) 6= 0, má počáteční úloha

dydx = f(x)g(y), y(x0) = y0

právě jedno řešení definované v nějakém okolí počátečnípodmínky.

Diferenciální rovnice růstu vodníkapkyModelujme růst kulové kapky. Ta roste tak, že na povrchukondenzují vodní páry. Kapka proto roste tak, že její objemse zvětšuje rychlostí úměrnou povrchu. Povrch je zaseúměrný druhé mocnině poloměru a poloměr je úměrný třetíodmocnině objemu. Platí tedy (po sloučení všech konstantúměrnosti do jedné)

dVdt = kV 2/3.

Tato rovnice má konstantní řešení V = 0. Nekonstantnířešení dostaneme po úpravě

V −2/3dV = kdt

a po integraci ∫V −2/3dV = k

∫dt,

což dává3V 1/3 = kt+ C

aV =

(13kt+ 1

3C)3

,

tj.V = (k0t+ c)3

,

kde k0 = 13k a c = 1

3C jsou konstanta spojená rychlostíkondenzace a integrační konstanta.

Všimněte si, že počáteční úloha s počáteční podmínkouV (0) = 0 má konstantní nulové řešení

V (t) = 0

a nenulové řešeníV (t) = (k0t)3.

Máme zde tedy nejednoznačnost v řešení počáteční úlohy.Tato nejednoznačnost není v rozporu s větou o existencia jednoznačnosti řešení, protože pravá strana je nulová(podmínka pro separovatelnou rovnici není splněna) a nemáohraničenou derivaci podle V (podmínka pro obecnou

KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 51

rovnici také není splněna). A nejednoznačnost má v tomtopřípadě dokonce fyzikální význam. Plynné skupenství můžeexistovat i pod bodem kondenzace. Takovému jevu seříká přechlazená pára. Aby došlo ke kondenzaci, musí býtk dispozici kondenzační jádra, například nečistoty ve vzduchu.Proto ve znečištěném ovzduší dochází častěji ke kondenzacia tvorbě mlhy. Své by o tom mohli vyprávět obyvateléLondýna, kteří se proslulých mlh zbavili poté, co se omezilotopení uhlím. My dnes spíše známe přechlazenou tekutinuve formě hřejících polštářků, kde se po lupnutí plíškemspustí přeměna skupenství na pevné spojená s intenzivnímuvolněním tepla.

Diferenciální rovnice vyšších řádů

Je-li x poloha tělesa, je derivace dxdt rychlost a druhá derivace

d2x

dt2 zrychlení. Podle Newtonova pohybového zákona jesoučin hmotnosti a zrychlení roven výsledné působící síle.Tato síla může mít složku závislou na poloze (například síla,která vrací těleso do rovnovážné polohy), složku závislou narychlosti (odporová síla prostředí) a složku nezávislou napoloze i rychlosti (například vnější síla). Proto je přirozenév podstatě jakýkoliv pohyb v mechanice modelovat pomocídiferenciální rovnice druhého řádu

md2x

dt2 = −kx− bdxdt + F.

Přirozeně přitom formulujeme počáteční podmínky propočáteční polohu a počáteční rychlost, tj. x(t0) = x0,dxdt (t0) = x1. Každá počáteční úloha má právě jedno řešení.Taková úloha se zpravidla řeší podobně jako u diferenciálníchrovnic prvního řádu: najde se obecné řešení a poté se zevšech funkcí, které splňují danou diferenciální rovnici, vybereta jediná, která splňuje i počáteční podmínky. Numerickývýpočet se děje podobně jako u rovnice prvního řádu: řešeníse prodlužuje po malých krocích a v rámci každého krokuaproximujeme pohyb rovnoměrným pohybem. (Film Hiddenfigures a hlavní hrdinka propočítávající dráhu pro návratprvního amerického astronauta.)

Při studiu deformací nosníků nebo kmitů strun, ploch čitěles se setkáme s diferenciálními rovnicemi typů

d2x

dt2 + kx = q

ad4x

dt4 = q.

U takových úloh definujeme podmínky ve dvou různýchbodech. Například u struny nebo u oboustranně vetknutéhonamáhaného nosníku je v bodech uchycení nulová výchylkaa proto je přirozené formulovat okrajové podmínky x(0) =

0 a x(l) = 0. Řešení takové úlohy existuje jenom proněkteré kombinace parametrů. Fyzikální rozbor ukazuje,že okrajová podmínka je to místo, kde se objeví efekt, žestruna kmitá jenom na některých frekvencích (na základnífrekvenci na kterou je naladěna a na vyšších harmonickýchfrekvencích). Úlohy s okrajovými podmínkami se v praxivyskytují v poměrně komplikovaných situacích (posuzováníne jednoho nosníku, ale celé konstrukce) a proto se zpravidlařeší přibližně a převádí se na řešení soustav lineárních rovnic.

Diferenciální rovnice metodou koneč-ných diferencíZ přednášek o derivaci máme aproximace derivací

dfdx = f ′(x) ≈ f(x+ h)− f(x− h)

2ha

d2f

dx2 = f ′′(x) ≈ f(x− h)− 2f(x) + f(x+ h)h2 .

Využijeme tuto informaci k ukázce použití na příkladunosníku s kombinovaným namáháním.

Příklad (podle Autar Kaw et al.: Finite Difference Methodfor Ordinary Differential Equations.) Deformace y nosníkudélky L podepřeného na koncích, vystaveného vertikálnímuzatížení q a axiálnímu namáhání T je dána rovnicí

d2y

dx2 −T

EIy = qx(L− x)

2EI ,

kde E je materiálová charakteristika a I je veličina souvisejícís průřezem nosníku (kvadratický moment průřezu, souvisís velikostí i s tvarem). Okrajové podmínky jsou y(0) = 0 ay(L) = 0. Po dosazení za druhou derivaci dostáváme

y(x− h)− 2y(x) + y(x+ h)h2 − T

EIy(x) = qx(L− x)

2EI .

Pokud délku nosníku L rozdělíme na n částí délky h a pokudoznačíme xi = hi, yi = y(xi), rovnice se redukuje na rovnici

yi−1 − 2yi + yi+1

h2 − T

EIyi = qxi(L− xi)

2EI .

To je pro i od i = 1 po i = n − 1 celkem n − 1 lineárníchrovnic. K tomu přidáváme rovnice na koncích podepřenéhonosníku, kdy platí y0 = 0 a yn = 0. Celkem tedy mámesoustavu n+1 lineárních rovnic o n+1 neznámých. Soustavaje řešitelná. Protože pro jemné dělení je rovnic obrovskémnožství, není vhodné se problém snažit zdolat metodamiřešení rovnic známými ze střední školy. Problematika spadádo oboru nazývaného lineární algebra, kterému se začnemevěnovat na příští přednášce.

Pro analogickou úlohu se vzpěrnou tlakovou pevností dřevaviz též A. Požgaj, Štruktúra a vlastnosti dreva str. 359.

KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 52

Shrnutí, hlavní myšlenky• Aplikované vědy (fyzika, biologie, nauka o materiálu,

hydrologie) přirozeně formulují své zákony a poznatkymimo jiné i kvantitativně a pomocí pojmů vyjadřujícíchrychlosti změn. Při přepisu těchto zákonitostí do ma-tematických modelů používáme derivaci jako rychlostrůstu (případně záporně vzatou derivaci, jako rychlostpoklesu).

• Pokud známým způsobem souvisí změna veličiny popi-sující stav systému s velikostí této veličiny, je příslušnýmmatematickým modelem diferenciální rovnice. S tímtojsme se setkali již mnohokrát ve cvičení během semestru.

• Naučili jsme se základní diferenciální rovnice řešit ana-lyticky, řekli jsme si, že se dají řešit numericky (v praxivyužijeme předpřipravené procedury a proto se toutoproblematikou nemusíme zabývat do hloubky) a naučilijsme se i rovnice transformovat do jiných proměnných,které mohou být pro studium problému přínosnější, nežpůvodní veličiny.

Kapitola 7

Lineární algebra (operace s vektory amaticemi)

Vektory a operace s nimiVektorem rozumíme uspořádanou n-tici objektů, pro kterémá smysl operace sčítání a násobení číslem. Počet komponentv této n-tici se nazývá dimenze vektoru. Tyto komponentyjsou zpravidla čísla nebo skalární funkce. Aby se s vektorydalo rozumně pracovat, musí tvořit vhodnou strukturu.Například každý vektor musí mít neutrální prvek a každývektor musí mít opačný prvek.

Definice (vektory, vektorový prostor). Množinu Vuspořádaných n-tic (a1, a2, . . . , an) s operacemi sčítání anásobení reálným číslem definovanými

(a1, a2, . . . , an) + (b1, b2, . . . , bn) = (a1 + b1, a2 + b2, . . . , an + bn)c · (a1, a2, . . . , an) = (c · a1, c · a2, . . . , c · an)

pro všechna c ∈ R a (a1, a2, . . . , an), (b1, b2, . . . , bn) ∈ Vnazýváme vektorovým prostorem. Prvky tohoto prostoru na-zýváme vektory. Prvky a1, . . . , an nazýváme složky vektoru(a1, a2, . . . , an). Číslo n nazýváme dimenze prostoru V .

Vektorový prostor, jehož komponenty jsou uspořádané n-ticereálých čísel označujeme Rn.

Často pracujeme se sloupcovými vektory. Zápis je potompřehlednější. 1

−21

+ 3

−152

=

1− 3−2 + 15

1 + 6

=

−2137

Neutrálním prvkem vzhledem ke sčítání vektorů je nulovývektor ~o, jehož všechny komponenty jsou nulové. Vektor, kekterému přičteme nulový vektor, se nezmění.

~u + ~o = ~u

2D a 3D a vektory v geometrii

Obrázek 7.1: Modrý vektor je součtem ostatních tří vektorů. U černéhovektoru je pravoúhlý trojúhelník pro výpočet délky pomocí Pythagorovyvěty. Zdroj: Wikiepdie.

Dvourozměrné vektory s komponentami danými reálnýmičísly můžeme reprezentovat graficky pomocí orientovanýchúseček. Ve zvolené soustavě souřadnic a při zvoleném výcho-zím bodu vektor znázorníme takovou orientovanou úsečkou,že komponenty vektoru označují změnu polohy v jednotlivýchsměrech. Sčítání vektorů odpovídá posunutí počátečníhobodu druhého vektoru do koncového bodu prvního vektorua nahrazení dvou částečných posunutí jedním celkovým.Je přirozené zavést délku vektoru ~u =

(u1u2

)pomocí Py-

53

KAPITOLA 7. LINEÁRNÍ ALGEBRA (OPERACE S VEKTORY A MATICEMI) 54

thaghorovy věty vzorcem |~u|=√u2

1 + u22. Násobení vektoru

kladným číslem odpovídá změně délky vektoru. Násobenízáporným číslem odpovídá změně délky a otočení směru.

Lineární kombinace

Definice (lineární kombinace). Nechť ~u1, ~u2, . . . ~uk jekonečná posloupnost vektorů z vektorového prostoru V . Vek-tor ~u, pro který platí

~u = t1~u1 + t2~u2 + · · ·+ tk~uk,

kde t1, t2, . . ., tk jsou nějaká reálná čísla, se nazývá line-ární kombinace vektorů ~u1, ~u2, . . ., ~uk. Čísla t1, t2, . . ., tknazýváme koeficienty lineární kombinace.

Obrázek 7.2: Stejný modrý vektor vyjádřený ve dvou různých bázích ve3D, v červené a fialové bázi. Bázové vektory volíme zpravidla jednotkovédélky, na obrázku už jsou vynásobeny vhodnými konstantami tak,abychom jako lineární kombinaci obdrželi požadovaný vektor. Zdroj:Wikipedia.

Příklad. Lichoběžníkové pravidlo∫ b

a

f(x) dx ≈ h

2

(y0 + 2y1 + 2y2 + · · ·+ 2yn−1 + yn

).

ukazuje, že určitý integrál je možno aproximovat lineárníkombinací funkčních hodnot na pravidelné mřížce rozdělujícíobor integrace. Koeficienty lineární kombinace jsou dvojkys vyjímkou prvního a posledního koeficientu, které jsou jed-notkové. Existují i další aproximační vzorce, které používajíjiné koeficienty a jsou založeny například na aproximacifunkce parabolami namísto přímek.

Příklad. Vmetodě konečných diferencí (viz druhá přednáškao derivacích) se derivace aproximují výrazy, které jsou lineárníkombinací po sobě jdoucích funkčních hodnot hledané funkcena pravidelné mřížce délky h. Pro konkrétnost, pro prvníderivaci máme

dfdx ≈

f(x+ h)− f(x− h)2h = 1

2hf(x+ h)− 12hf(x− h),

a pro druhou derivaci

d2f

dx2 ≈f(x− h)− 2f(x) + f(x+ h)

h2 = 1h2 f(x−h)− 2

h2 f(x)+ 1h2 f(x+h).

Lineární závislost a nezávislost vek-torůV n-rozměrném prostoru existuje n-tice vektorů, pomocínichž můžeme dostat libovolný vektor jako lineární kombinaci.Taková n-tice se nazývá báze. Dá se ukázat, že bází jenekonečné mnoho a pro zadanou bázi a vektor je vyjádřenívektoru pomocí bázových vektorů jednoznačné až na pořadí.Nejjednodušší báze je tvořena jednotkovými vektory, kterémají všechny komponenty kromě jedné nulové. Napříkladpro bázové vektory ~e1 = (1, 0) a ~e2 = (0, 1) dvourozměrnéhovektorového prostoru a pro vektor ~v = (4, 3) platí

~v = (4, 3) = (4, 0) + (0, 3) = 4(1, 0) + 3(0, 1) = 4~e1 + 3~e2.

Koeficienty lineární kombinace se nazývají souřadnice. Na-příklad souřadnice vektoru ~v = (4, 3) v uvažované bázi jsou[43

]e1,e2

. Pro bázové vektory ~ε1 = (2, 1) a ~ε2 = (0, 1) platí

~v = (4, 3) = 2(2, 1) + 1(0, 1) = 2~ε1 + ~ε2

a souřadnice vektoru ~v = (4, 3) v nové bázi jsou[21

]ε1,ε2

.

Tady vidíme výhodu “pěkné volby” bázových vektorů.

Aby použití souřadnic mělo smysl, musí existovat jedinámožnost jak daný vektor vyjádřit pomocí lineární kombinacezadaných bázových vektorů. Tato úloha se dá redukovat naúlohu, zda taková jednoznačnost existuje u nulového vektoru.Tím je motivována následující úvaha a z ní vyplývajícídefinice.

Výsledkem triviální lineární kombinace, tj. lineární kombinaces nulovými koeficienty, je nulový vektor. Pro některé vektorymůžeme nulový vektor dostat i jako jinou lineární kombinaci,než je ta triviální. Ukazuje se, že je důležité identifikovat tytopřípady a pro rozlišení toho, zda se nulový vektor dá nebonedá vyjádřit jako netriviální lineární kombinace zavedemenové pojmy, lineární závislost a nezávislost.

Definice (lineární závislost a nezávislost). Řekneme,že vektory ~u1, ~u2, . . ., ~uk jsou lineárně závislé, jestliže existujealespoň jedna netriviální lineární kombinace těchto vektorů,jejímž výsledkem je nulový vektor ~o, tj. existují-li reálná číslat1, t2, . . ., tk, z nichž alespoň jedno je různé od nuly, taková,že platí

~o = t1~u1 + t2~u2 + · · ·+ tk~uk.

V opačném případě říkáme, že vektory jsou lineárně nezávislé.

KAPITOLA 7. LINEÁRNÍ ALGEBRA (OPERACE S VEKTORY A MATICEMI) 55

Platí následující.

• Vektory, které tvoří bázi, jsou lineárně nezávislé.• Je-li vektorů větší počet, než je dimenze prostoru, jsou

tyto vektory lineárně závislé.• Je-li v posloupnosti vektorů některý vektor násobkem ji-

ného vektoru nebo lineární kombinací ostatních vektorů,jedná se o lineárně závislou posloupnost vektorů.

Ve výše uvedených případech poznáme lineární závislostsnadno. Mimo tyto případy je to snadné pouze pro dvojicivektorů, které jsou lineárně závislé právě tehdy když je jedenvektor násobkem druhého. V tom případě říkáme, že vektorymají stejný směr. V ostatních případech se lineární závislost anezávislost naučíme posuzovat později při výpočtu hodnosti.

Pootočení vektoru

Obrázek 7.3: Jednotkové vektory ve směru os pootočíme o úhel θ avýsledek vyjádříme jako lineární kombinaci původních vektorů.

Ve dvourozměrném vektorovém prostoru uvažujme jednot-kové vektory ve směru souřadných os ~e1 = (1, 0) a ~e2 = (0, 1).Pokud pootočíme vektory o úhel θ v kladném směru, majípootočené vektory ~f1, ~f2 souřadnice

~f1 = (cos θ, sin θ)

(plyne přímo z definice funkcí sinus a kosinus na jednotkovékružnici) a

~f2 = (− sin θ, cos θ)

(plyne z předchozího přičtením úhlu π

2 a využitím identit

cos(θ + π

2

)= − sin θ a sin

(θ + π

2

)= cos θ). Pomocí

lineární kombinace můžeme psát

~f1 = cos(θ)~e1 + sin(θ)~e2,

~f2 = − sin(θ)~e1 + cos(θ)~e2.

Je-li úhel θ malý, platí (viz cvičení z derivací) sin θ ≈ θ,

cos θ ≈ 1 a dostáváme

~f1 = (1, θ) = ~e1 + θ~e2,

~f2 = (−θ, 1) = −θ~e1 + ~e2.

Model migrace jako přepínání stavůNa příkladě si ukážeme, kdy je přirozené pracovat s lineárnímikombinacemi vektorů. Pokusíme se na jednoduchém modelumigrace mezi městem a venkovem demonstrovat přístup,který se používá v případech, kdy je možné rozdělit jednotlivéčásti systému do konečného počtu navzájem disjunktníchstavů a jednotlivé části mohou měnit svůj stav, přičemžpravděpodobnost změny je dána pouze současným stavem ane například historií předchozích stavů. Aplikace zahrnujínapříklad modelování vegetace na stanovištích (zájmováoblast je rozdělena na stanoviště a ke každému stanovištije přiřazen převažující typ vegetace), pro modelování změndruhového složení v lese nebo v krajině, ale i v hydrologickýchmodelech, předpovědi počasí a jinde. Základní model mářadu rozšíření a ukážeme si jej jen v nejjednodušší formě ana případě dvou stavů.

Slovní formulace: Každý rok měříme velikosti populacíve městě a na venkově. Na počátku 60% populace žije veměstě a 40% na venkově. Každý rok zůstane 95% městsképopulace ve městě a 5% se stěhuje na venkov. Podobně 97%obyvatelstva venkova zůstává a 3% se stěhuje do města.

Matematický model: Procentuální složení zaznamená-váme ve formě vektoru. Na počátku bude

~q0 =(

0.60.4

).

Po jednom roce je rozložení populace dáno vektorem

~q1 =(

0.950.05

)0.6 +

(0.030.97

)0.4.

Intenzita migrace jednotlivými směry je ve sloupcovýchvektorech na pravých stranách. Koeficienty v této lineárníkombinaci jsou koeficienty vektoru ~q0.

Podobně, rozložení po dvou letech bude dáno lineárníkombinací s koeficienty, danými vektorem ~q1. Pokud bychompotřebovali znát rozložení populace po k letech, situacese komplikuje. Dostali bychom rekurentní vzorec, který jenutno stále opakovat. Pro odstranění tohoto nepohodlí sezavádí pojem matice, viz níže.

Matice a jejich lineární kombinace

KAPITOLA 7. LINEÁRNÍ ALGEBRA (OPERACE S VEKTORY A MATICEMI) 56

Definice (matice). Maticí řádu m× n rozumíme schema

A =

a11 a12 a13 · · · a1na21 a22 a23 · · · a2n...

... . . . ...am1 am2 · · · · · · amn

kde aij pro i = 1..m a j = 1..n jsou reálná čísla nebo funkce.Množinu všech matic řádu m× n, jejichž prvky jsou reálnáčísla, označujeme symbolem Rm×n. Zkráceně zapisujeme téžA = (aij).

Je-li m = n nazývá se matice A čtvercová matice, jinakobdélníková matice. Je-li A čtvercová matice, nazýváme prvkytvaru aii, tj. prvky, jejichž řádkový a sloupcový index jsoustejné, prvky hlavní diagonály.

Pro matice definujeme sčítání a násobení číslem stejnějako u vektorů, tj. po složkách. Má potom smysl mluvito lineární kombinaci matic a o jejich lineární závislostiči nezávislosti. Tyto operace přirozeně přebírají všechnydůležité vlastnosti operace sčítání, jako jsou asociativita,komutativita, existence neutrálního prvku nebo existenceopačného prvku.

V této fázi je vlastně jedno, jestli prvky jsou uspořádány jakořádkový nebo sloupcový vektor nebo jako matice. Odlišenímatic a vektorů provedeme zavedením maticového součinu.

Maticový součin

Definice (součin matic). Buďte A = (aij) matice řádum× n a B = (bij) matice řádu n× p. Součinem matic A aB (v tomto pořadí) rozumíme matici G = (gij) řádu m× p,kde

gij = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ ainbnj

pro všechna i = 1..m, j = 1..p. Zapisujeme

G = AB

(v tomto pořadí).

Slovy: v j-tém sloupci matice AB je lineární kombinacesloupců matice A, přičemž koeficienty této lineární kombinacejsou prvky z j-tého sloupce matice B.

Na maticový součin můžeme pohlížet i pomocí pojmůznámých z analytické geometrie. Prvky v součinu maticjsou skalárními součiny řádků první matice se sloupci druhématice.

Maticový součin

• je asociativní(AB)C = A(BC) = ABC,

• je distributivní vzhledem ke sčítáníA(B+C) = AB+AC a (B+C)A = BA+CA,

• není však komutativní (AB je obecně různé od BA,proto v předchozím máme roznásobování závorky zlevai zprava),

• ale při násobení skalárem komutativní je:A(λB) = λ(AB),

kde λ je reálné číslo a A a B jsou matice.

Můžeme tedy měnit uzávorkování, můžeme roznásobovatzávorky, nesmíme však měnit pořadí matic při násobení.

Neutrální prvek maticového součinuU každé operace nás zajímá neutrální prvek, což je prvek,který se v dané operaci nijak neprojeví. Třeba u sčítání číselje neutrálním prvkem nula, při násobení čísel je neutrálnímprvkem jednička. Pokud nějaký prvek potřebujeme zapsat vetvaru součinu, zapíšeme ho jako součin sebe sama s jedničkou.To využijeme například při vytýkání ve kterém u vytýkanéhoprvku nefiguruje v některém členu druhý součinitel, jakotřeba ve výpočtu

3x2 + x = 3x · x+ 1 · x = (3x+ 1) · x.Ukážeme si, že podobný neutrální prvek existuje i u násobenímatic a trik podobný výše uvedenému využijeme později, ažbudeme mluvit o vlastních vektorech matice.

Neutrálním prvkem při násobení matic čtvercových ječtvercová matice, která má jedničky v hlavní diagonále anuly mimo tuto diagonálu. Tato matice se nazývá jednotkovámatice a označuje I. Mají-li čtvercové matice A a I stejnýpočet řádků a sloupců, platí

AI = IA = A.

Například pro matice 3× 3 je jednotková matice

I =

1 0 00 1 00 0 1

.

Je-li A matice 3 × 3, kterou násobíme zprava maticí I,výsledná matice AI bude mít tři sloupce (matice I má třisloupce), v prvním sloupci bude první sloupec matice A(lineární kombinace sloupců matice A s koeficientem 1 proprvní sloupec a koeficienty 0 pro všechny další sloupce) atd.Jako výsledek součinu dostaneme přirozeně matici A. Žestejný výsledek dostaneme i pro opačné pořadí v součinu jemožné pro nějaký konkrétní případ ověřit přímo a že totofunguje obecně se nejsnáze ukáže, až si představíme operacitransponování matice a její vztah k maticovému součinu.

KAPITOLA 7. LINEÁRNÍ ALGEBRA (OPERACE S VEKTORY A MATICEMI) 57

Markovovy řetězceBudeme pokračovat v příkladě s migrací. Viděli jsme, že pojednom roce je tedy rozložení populace dáno vektorem

~q1 = 0.6(

0.950.05

)+ 0.4

(0.030.97

).

Koeficienty vektoru ~q0 =(

0.60.4

)jsou koeficienty v této

lineární kombinaci. To lze zapsat jako maticový součin

~q1 =(

0.95 0.030.05 0.97

)(0.60.4

).

Pro další rok tento postup opakujeme. Pro matici A =(0.95 0.030.05 0.97

)platí

~q1 = A~q0.

Je-li ~qk vektor charakterizující rozložení po k letech, rozloženív následujícím roce získáme ze vztahu

~qk+1 = A~qk.

Pro stav po dvou letech platí

~q2 = A~q1 = A(A~q0) = (AA)~q0 = A2~q0.

Po k letech je rozložení populace dáno vektorem

~qk = Ak~q0.

Pokud pro některý vektor ~q platí

~q = A~q

znamená to, že systém je ve stacionárním stavu a procentu-ální zastoupení stavů se nemění. Například v našem modeluto znamená, že stejný počet lidí přestěhovaných z města dovesnice je stejný, jako počet lidí přestěhovaných opačnýmsměrem. Tento stacionární stav se dá najít opakovanýmiiteracemi z náhodného výchozího stavu. Online výpočet.

Takový rekurentní vzorec je možno chápat jako jakýsi stavovýautomat, který řídí přepínání mezi dvěma stavy (obyvatelměsta, obyvatel vesnice). V matematice se nazývá Markovůvřetězec. Protože uvnitř matice jsou pravděpodobnosti av každém sloupci vždy nastane právě jeden z jevů, kterýtyto pravděpodobnosti reprezentují, je součet čísel v každémsloupci matice roven jedné. V obecných stavových modelech,kde se nepracuje s pravděpodobností, jako je napříkladLeslieho model růstu populace níže, tato podmínka platitnemusí.

(Podle D. Lay, Linear algebra. Markovovy řetězce viz téžWikipedie, ale pozor: někdy se místo zde představenéhozápisu používá zápis s řádkovým vektorem nalevo od maticepopisující změnu stavů.)

Růst populace pomocí Leslieho ma-ticeLeslieho model používá matice pro modelování vývoje popu-lace, který zohledňuje věkovou strukturu populace. Modelpředpokládá, že populace je rozdělena do několika věkovýchkategorií a v každé kategorii je dána pravděpodobnost dožitíse do další kategorie a průměrný počet potomků. Situaceje podobná jako u Markovova řetězce s tím, že nenulovýprvek matice bude jenom tam, kde dochází k přesunu dodalší věkové kategorie nebo tam, kde kumulujeme počet nověnarozených jedinců v nejnižší věkové kategorie pro jednotlivévěkové skupiny rodičů.

Příslušný model například pro populaci rozdělenou do třívěkových kategorií by byl dán rovnicíx1(k + 1)

x2(k + 1)x3(k + 1)

=

f1 f2 f3p1 0 00 p2 0

x1(k)x2(k)x3(k)

Opakovaným násobením získáme věkovou strukturu populacev další generaci a toto se opakuje podobně jako u Markovovařetězce.

Původně byl Leslieho model odvozen pro modelování popu-lace samic, dá se však adaptovat na populaci obecně.

Další informace:

• Z. Pospíšil, Maticové populační modely

Derivace diskrétní funkceV metodě konečných diferencí jsme si ukázali a v předchá-zejícím textu připomněli, že derivace umíme aproximovatvýrazy, které jsou lineární kombinací po sobě jdoucích funkč-ních hodnot hledané funkce na pravidelné mřížce délky h.Toto je možné vyjádřit pomocí maticového součinu. Prokonkrétnost, pro druhou derivaci aproximujeme pomocí třípo sobě jdoucích hodnot v ekvidistantních krocích vzorcem

f ′′(x) ≈ 1h2 f(x− h)− 2

h2 f(x) + 1h2 f(x+ h).

Tento vztah můžeme chápat jako lineární kombinaci hodnot

1h2 , − 2

h2 ,1h2

s koeficienty

f(x− h), f(x), f(x+ h).

Pokud je například funkce f(x) na intervalu I dána funkčnímihodnotami f(x1), f(x2), . . . , f(x5) v bodech rovnoměrněrozmístěných ve vzdálenosti h od sebe, můžeme vypočítat

KAPITOLA 7. LINEÁRNÍ ALGEBRA (OPERACE S VEKTORY A MATICEMI) 58

druhé derivace f ′′(x2), f ′′(x3) a f ′′(x4) pomocí maticovéhonásobení

f ′′(x2)f ′′(x3)f ′′(x4)

= 1h2

1 −2 1 0 00 1 −2 1 00 0 1 −2 1

f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)f(x5)

.

Proto matice −2 1 0 0 01 −2 1 0 00 1 −2 1 00 0 1 −2 10 0 0 1 −2

hraje důležitou roli v numerické matematice při nu-merickém modelování fyzikálních dějů. Je to matice,kterou v MATLABU umíme vygenerovat příkazemtoeplitz([-2,1,0,0,0]), jak jsme si ukázali v prvnímsetkání s MATLABem v seznamovací sadě domácích úlohv systému WeBWorK. Až na první a poslední řádek se jednáo matici, která umí zprostředkovat numerické derivovánífunkce. První a poslední řádek se přidávají, aby maticetískala čtvercový tvar a jistou míru symetrie. (Symetric-kým maticím se budeme věnovat za chviličku.) Tyto dvapřidané řádky se uplatní při formulaci okrajových podmínekdefinujících chování funkce na koncích intervalu.

Pomocí maticového součinu dokážeme reprezentovat libo-volné zobrazení, které zachovává součet a násobení kon-stantou, mezi něž derivování patří. Jiný přístup k maticovéformulaci derivace, k derivování na množině polynomů, siukážeme ve cvičení. Na následujícím slidu se na tato obra-zení podíváme očima geometra a poté očima materiálovéhoinženýra.

Matice jako zobrazení v geometrii

Obrázek 7.4: Příklad transformace dané maticí. Zachovává se napříkladrovnoběžnost a středy úseček. Přímky se zobrazují na přímky.

Je-li A čtvercová matice, můžeme každému vektoru ~q přiřa-dit vektor Y = A~q a tím definovat zobrazení n-rozměrného

Obrázek 7.5: Transformace 3D objektu do roviny pomocí matice. Koefi-cienty matice můžou realizovat libovolné natočení.

prostoru do sebe. Dá se ukázat, že takto dostaneme všechnazobrazení, která zobrazují úsečky na úsečky, počátek nechá-vají v počátku a jsou pěkná v tom smyslu, že zachovávajístředy úseček, rovnoběžnost a lineární kombinaci vektorů.Ukázka zobrazení ve 2D.

Podobně je možné definovat i zobrazení mezi prostoryjiných dimenzí. Například projekce 3D objektu do 2D.Protože zobrazení zachovává rovnoběžnost, není možnétakto jednoduše obdržet například perspektivu. Protožese zachovává počátek, není možné zahrnout ani posunutí.V obou případech si pomáháme trikem, že přidáme dalšísouřadnici, více viz Wikipedie a heslo Grafické transformacenebo Camera matrix.

Například matice

Rθ =(

cos θ − sin θsin θ cos θ

)zobrazí vektory e1 = (1, 0) a e2 = (0, 1) na(

cos θ − sin θsin θ cos θ

)(10

)=(

cos θsin θ

)a (

cos θ − sin θsin θ cos θ

)(01

)=(− sin θcos θ

).

Proto matice Rθ definuje zobrazení, které pootočí rovinuo úhel θ a nazývá se matice rotace. Matice malých rotací je(použitím lineární aproximace sin θ ≈ θ a cos θ ≈ 1 v okolínuly)

Rθ,0 =(

1 −θθ 1

).

Tuto matici budeme potřebovat při studiu deformace přiodvození matematického popisu malých deformací.

KAPITOLA 7. LINEÁRNÍ ALGEBRA (OPERACE S VEKTORY A MATICEMI) 59

Matice jako zobrazení v materiálo-vém inženýrstvíMatice chápejme jako zobrazení, které má na vstupu vektor ana výstupu opět vektor. Vstupem bývá většinou podnět, kderozhodující je nejenom síla podnětu, ale i jeho směr. Napří-klad nerovnováha tlaku. Výstupem bývá odezva, napříkladproudění vyvolané nerovnováhou tlaku. Tato odezva v izot-ropním prostředí má směr podnětu, v prostředí s určitoustrukturou by se však směr odezvy mohl odchýlit.

Užitečnost maticového součinu v materiálovém inženýrstvísi můžeme znázornit na proudění vody po povrchu země.Voda teče z kopce dolů, tento směr však můžeme ovlivnitvyoráním brázd. Hnací síla je gravitace, která směřuje z kopcedolů. Odezvou na gravitaci je tok vody, který směřuje velkourychlostí dolů, pokud je pooráno po spádnici, malou rychlostídolů, pokud je pooráno po vrstevnici a pokud je pooránonašikmo, tak něco mezi směrem dolů a směrem brázdy.V materiálu se může odehrávat totéž.

Výše popsané chování pozorujeme i u proudění podzemnívody, kde hnací silou kromě hladiny podzemní vody můžebýt tlak, nebo u proudění vody ve dřevě, kde hnací siloudefinující pojem “z kopce dolů” je nerovnoměrnost v rozloženíkoncentrace vody ve dřevě (jedna část dřeva má větší vlhkostnež jiná část) nebo nerovnoměrnost v teplotě (termodifuze,Sorettův efekt, transport vlhkosti vyvolaný rozdílem teplot).Výsledné proudění však nemusí přesně sledovat pokleskoncentrace vlhkosti. Například dřevo vede podélně vlhkostzpravidla více než desetkrát lépe než v jiných směrech achová se tedy, jako by v něm byly brázdy odklánějící vodudo podélného směru.

Matematický prostředek, který umožňuje snadnovektoru změnit velikost nebo i směr je právě maticea maticový součin.

Na následujícím slidu se naučíme hledat v materiálu “směrybrázd”.

Vlastní čísla a vlastní vektoryU zobrazování vektorů pomocí maticového násobení násvelice zajímá, které směry se zachovávají, tj. kdy budeobrazem vektoru jeho násobek.

Definice (vlastní vektor a vlastní hodnota matice).Řekneme, že nenulový vektor ~u je vlastním vektorem maticeA příslušným vlastní hodnotě λ, jestliže platí

A~u = λ~u.

Vlastní čísla se nazývají též vlastní hodnoty matice. Každýnenulový vlastní násobek vlastního vektoru je vlastní vektor

příslušný téže vlastní hodnotě.

Poznámka (vlastní vektory a materiálové inženýr-ství). Vlastní vektory jsou nesmírně důležité, protožedefinují směry, podél nichž se zobrazení chová “pěkně”.Tímto zobrazením může být třeba to, jak se působení vnějšísíly na těleso projeví na deformaci tohoto tělesa nebo jakse gradient teploty nebo vlhkosti projeví na proudění teplači vody ve dřevě, půdě nebo jiném materiálu. Často sev aplikacích maticové zobrazení objevuje v konstitučníchvztazích, vztazích mezi podnětem a materiálovou odezvou.Vlastní směry jsou tedy směry, ve kterých má odezva stejnýsměr jako podnět.

Pro pravidelně rostlé dřevo je snadné tyto směry určit, jsouto anatomické směry dřeva. Pro zkroucené dřevo nebo přistudiu proudění vody, vzduchu či ropy v půdě to již taksnadné není a je nutné tyto směry vypočítat. To se naučímepozději.

Příklad.Matice rotace nemá žádnou vlastní hodnotu (pokudtedy uvažujeme vlastní hodnoty v množině reálných čísel),protože pootočením se změní směr všech vektorů. Vlastníhodnoty existují pouze pro otočení o násobky 180.

Příklad. Matice(

3 00 3

)(trojnásobek jednotkové matice)

zobrazuje každý vektor na trojnásobek a všechny vektoryjsou vlastními vektory této matice. Příslušná vlastní hodnotaje 3.

Příklad. Matice(

3 00 0

)má vlastní vektor (1, 0) příslušný

vlastní hodnotě 3 a vlastní vektor (0, 1) příslušný vlastníhodnotě 0. Protože vlastními vektory jsou i nenulové násobky,je vlastním vektorem každý nenulový vektor, který mánulovou druhou komponentu (vlastní hodnota je 3) neboprvní komponentu (vlastní hodnota je 0).

Příklad. Platí(

3 −2−1 4

)(21

)=

(42

)a matice(

3 −2−1 4

)má vlastní vektor (2, 1) příslušný vlastní hod-

notě 2, protože vektor (4, 2) je dvojnásobkem vektoru (2, 1).Vlastním vektorem je i každý nenulový násobek vektoru(2, 1).

Příklad. Stacionární stav Markovova řetězce je vlastnímvektorem matice, která tento řetězec reprezentuje. Příslušnávlastní hodnota je 1. To plyne hned z rovnosti

M~q = ~q.

Kromě toho mohou existovat i další vlastní hodnoty, z prak-tického hlediska méně zajímavé.

KAPITOLA 7. LINEÁRNÍ ALGEBRA (OPERACE S VEKTORY A MATICEMI) 60

Příklad. Vlastní hodnoty a vektory jsou jedním z hlavníchstavebních kamenů algoritmu, kterým Google provádí hodno-cení důležitosti webových stránek. Vlatní vektory se počítajíiteračně, odpovídá to vlastně modelu, kdy Markovův řetězeczačneme v libovolném výchozím stavu a postupným iterová-ním se dostaneme do stacionárního stavu reprezentovanéhovlastním vektorem.

Příklad. Leslieho matice má jednu kladnou vlastní hodnotu.Příslušný vlastní vektor definuje rozložení četnosti zastoupeníjednotlivých věkových kategorií u populace ve stacionárnímstavu. (Toto není tvrzení patrné na první pohled, ale dá sedokázat.)

V aplikacích často bývá matice “symetrická podle diagonály”a u takové matice vlastní vektory vždy existují. Co se přesněmyslí pod pojmem “symetrická matice” si uvedeme nanásledujícím slidu.

Transponovaná matice

Definice (transponovaná matice). Buď A = (aij) ∈Rm×n matice. Matice, která vznikne záměnou řádků maticeA za sloupce se nazývá matice transponovaná k matici A.Matici transponovanou označujeme symbolem AT . Platí tedyAT ∈ Rn×m a

AT = (aji),

kde aij jsou prvky matice A.

Příklad. Matice transponovaná k matici A =

1 −2 30 1 32 1 9

je AT =

1 0 2−2 1 13 3 9

.

Příklad. Skalární součin sloupcových vektorů (chápaných

jako matice) u =

1−2a

a v =

2−41

je možno zapsat jako

maticový součin

uT v =(1 −2 a

) 2−41

= (a+ 10).

Příklad. Matice, která se nemění transponováním, tj. aij =aji se nazývá symetrická. Matice, která splňuje aij = −ajise nazývá antisymetrická. Pro libovolnou čtvercovou maticiA platí

A = A+AT

2 + A−AT

2 .

První matice v tomto součtu je symetrická a druhá antisyme-trická. Takto je možné rozložit matici na součet symetrickéa antisymetrické matice. Například matice

A =(−4 7−1 2

)má tento rozklad ve tvaru

A =(−4 33 2

)+(

0 4−4 0

).

Tento trik použijeme pro odvození tvaru tenzoru malýchdeformací, ze zobrazení takto totiž dokážeme odfiltrovatčást související s pootočením a část, která s pootočenímnesouvisí. Ta druhá nás zajímá, protože popisuje deformaci.O tom, že postup funguje a že dostaneme dvě samostatnétransformace, které po skložení v libovolném pořadí dajítransformaci původní, nás přesvědčí přímý výpočet.

Věta (souvislost transponování matice a matico-vého součinu). Pro čtvercové matice platí

(AB)T = BTAT .

Příklad. Pro Markovův řetězec s maticí a sloupcovýmivektory ~q dostaneme transponováním vztahu

~qk+1 = A~qk

vztah~qTk+1 = ~qTk A

T

s řádkovými vektory a maticí, která má součet čísel v každémřádku roven 1. Takto jsou Markovovy řetězce také častozaváděny, například na Wikipedii.

Tenzor malých deformacíZobrazení roviny do sebe, které může odpovídat deformaci tě-lesa působením síly, je možné popsat dvojicí funkcí u1(x1, x2),u2(x1, x2). Lineární aproximace těchto funkcí v okolí bodu(x1, x2) dávají (viz závěr prezentace z přednášky věnované de-rivací, kdy ještě vpravo pro stručnost vynecháváme argument(x1, x2))

u1(x1 + ∆x1, x2 + ∆x2) ≈ u1 + ∂u1

∂x1∆x1 + ∂u1

∂x2∆x2,

u2(x1 + ∆x1, x2 + ∆x2) ≈ u2 + ∂u2

∂x1∆x1 + ∂u2

∂x2∆x2,

což je možné zapsat maticově jako

(u1(x1 + ∆x1, x2 + ∆x2)u2(x1 + ∆x1, x2 + ∆x2)

)≈(u1u2

)+

∂u1

∂x1

∂u1

∂x2∂u2

∂x1

∂u2

∂x2

(∆x1∆x2

).

KAPITOLA 7. LINEÁRNÍ ALGEBRA (OPERACE S VEKTORY A MATICEMI) 61

Člen(u1u2

)je posunutí, proto nás zajímá až druhý člen,

obsahující deformaci. Pokud matici

D =

∂u1

∂x1

∂u1

∂x2∂u2

∂x1

∂u2

∂x2

rozdělíme stejným obratem jako na předešlém slidu na součetsymetrické a antisymetrické matice, dostaneme

D =

Dsym︷ ︸︸ ︷ ∂u1∂x1

12

(∂u1∂x2

+ ∂u2∂x1

)12

(∂u1∂x2

+ ∂u2∂x1

)∂u2∂x2

+

0 12

(∂u1∂x2− ∂u2

∂x1

)− 1

2

(∂u1∂x2− ∂u2

∂x1

)0

︸ ︷︷ ︸

Dasym

.

Druhá část reprezentuje pootočení, což snadno nahlédneme,pokud tuto informaci sečteme s identitou reprezentovanoujednotkovou maticí na

Dasym + I =

1 12

(∂u1

∂x2− ∂u2

∂x1

)−1

2

(∂u1

∂x2− ∂u2

∂x1

)1

abychom měli celou část zobrazení (ne jenom deformaci).Porovnáním s maticí malých rotací

Rθ,0 =(

1 −θθ 1

)odvozenou na jednom z předchozích slidů získáme přímopootočení. V teorii deformace nás zajímá spíše symetrickáčást, tj. matice

Dsym =

∂u1

∂x1

12

(∂u1

∂x2+ ∂u2

∂x1

)12

(∂u1

∂x2+ ∂u2

∂x1

)∂u2

∂x2

popisující změnu tvaru a nazývaná tenzor malých deformací .Ten se ještě někdy rozděluje na součet vhodného konstantníhonásobku jednotkové matice (souvisí se zvětšením nebozmenšením, tj. se změnou objemu) a deviátor (souvisí sezmenou tvaru bez započtení zvětšení či zmenšení).

Pro využití v dřevařských úlohách viz též A. Požgaj, Štrukt-úra a vlastnosti dreva str 318 nebo P. Horáček, Fyzikální amechanické vlastnosti dřeva I, str. 40. Analogicky, ale prorychlosti, je definován tenzor rychlosti přetvoření (deformačnírychlost) používaný v hydrodynamice. Můžeme ji dostat jako

derivaci tenzoru malých deformací (při studiu deformací),nebo jako symetrickou část matice vytvořené gradienty jed-notlivých komponent rychlosti proudění. Pro proudění vodyviz J. Říha, Matematické modelování hydrodynamických adisperzních jevů, kap. 3.3.

Obrázky a online výpočty.

Rozložení teploty na tepelně vodivédesce

Na závěr si ukážeme, že pomocí lineární algebry a maticovéhopočtu je možno popsat funkci dvou proměnných popisujícírozložení teploty na tepelně vodivé desce. Postup je takový, žebudeme sledovat teplotu v referenčních bodech. Požadavek, žeteploty v okolních bodech mají odpovídat našim představámo vedení tepla vyjádříme kvantitavivně pomocí vhodnématice.

Obrázek 7.6: Rozložení teploty na tepelně vodivé desce je možné při-bližně zkoumat metodami lineární algebry. A až na některé triviálnípřípady jinou možnost vlastně nemáme, protože přesné řešení rovnicevedení tepla je v prakticky zajímavých případech nereálné. Podobněto je s mechanickým namáháním nebo transportem látek poréznímprostředím.

Uvažujme čtvercovou desku, kterou si rozdělíme sítí na12 uzlových bodů (rohy zanedbáme) jak je uvedeno naobrázku. V uzlových bodech na okraji desky je teplotazadána (okrajová podmínka), zajímá nás rozložení teplotyv ostatních uzlových bodech.

Učiníme (poměrně realistický) předpoklad, že teplota v kaž-dém uzlovém bodě je díky tepelné vodivosti desky ovlivněnasousedními uzlovými body. Každý sousední bod má stejnývliv, proto teplota v uzlovém bodě bude přibližně rovnaaritmetickému průměru teplot v sousedních bodech. Kvanti-

KAPITOLA 7. LINEÁRNÍ ALGEBRA (OPERACE S VEKTORY A MATICEMI) 62

tativně zformulováno, platí

x1 = 14(30 + x2 + x4)

x2 = 14(60 + x1 + x3)

x3 = 14(70 + x2 + x4)

x4 = 14(40 + x1 + x3)

(1)

anebo po úpravě

4x1 − x2 − x4 = 30−x1 + 4x2 − x3 = 60−x2 + 4x3 − x4 = 70

−x1 − x3 + 4x4 = 40

Dostali jsme soustavu lineárních rovnic o čtyřech neznámých.Tuto úlohu je možno zformulovat pomocí lineární kombinace

4−10−1

x1 +

−14−10

x2 +

0−14−1

x3 +

−10−14

x4 =

30607040

nebo pomocí maticového násobení (s vynechanými nulamiuvnitř matice)

4 −1 −1−1 4 −1

−1 4 −1−1 −1 4

x1x2x3x4

=

30607040

.

Úloha je tedy převoditelná na úlohu řešení soustavy line-árních rovnic. Pro podrobnější popis použijeme stejnoumyšlenku, ale mnohem více uzlových bodů. Postup je stejný,pouze vznikne soustava s více neznámými a více rovnicemi.

Poznámka. Rovnice popisující vedení tepla na základěfyzikálních principů je poměrně komplikovaně řešitelná aproto se zpravidla převádí na problém lineární algebry. Můžeto znít překvapivě, ale skončíme u něčeho podobného jakov našem jednoduchoučkém modelu. Výše uvedený postupse nazývá metoda konečných diferencí, ale jsou i dalšímetody, například metoda konečných prvků. Společnýmznakem je rozdělení oblasti našeho zájmu na velké množstvíbodů a aproximace fyzikálních zákonů pro sledovaný jevv každém bodě pomocí lineární rovnice. Tím vznikne úlohana řešení soustavy rovnic. Používá se k modelování prouděnítepla nebo vody, k modelování mechanického namáhání odjednoduchých nosníků po komplikované konstrukce nebostromy. Soustava vytvořená pomocí takových modelů jevelmi řídká, má hodně nul. Je proto možné ji rychle vyřešiti v případě tisíců rovnic. My se později například naučímechytře využít toho, že každý řádek má v hlavní diagonálevětší číslo, než je součet zbylých čísel v tomto řádku.

Poznámka (iterační metoda). Soustavu (1) je možnovyřešit iterační metodou. Je možno postupovat intuitivně.Vyjdeme z libovolného odhadu řešení a teplotu v každémbodě budeme opakovaně nahrazovat průměrem teplot v okol-ních bodech, dokud se hodnoty neustálí. Kdy tento postupfunguje a jak se dá zformalizovat si ukážeme později (Jaco-biho metoda).

Online výpočet.

Kapitola 8

Lineární algebra (inverzní matice adeterminanty)

Inverzní maticeU reálných čísel máme doplňkové operace ke sčítání anásobení. Jsou to odečítání a dělení. Odečítání matic můžemeimplementovat jako sčítání matice s maticí vynásobenouminus jedničkou: A−B = A+ (−B). Oproti tomu operacedělení matic vůbec není implementována. U reálných čísel lzedělení nahradit násobením převrácenou hodnotou: a

b= ab−1.

Tuto proceduru částečně rozšíříme pro matice. Připomeňmeještě, že roli neutrálního prvku při násobení matic hrajejednotková matice. Například pro matice 3× 3 je jednotkovámatice

I =

1 0 00 1 00 0 1

.

Definice (inverzní matice). Buď A ∈ Rn×n čtvercovámatice řádu n. Jestliže existuje čtvercová matice A−1 řádun, splňující vztahy

A−1A = I = AA−1,

nazýváme matici A−1 inverzní maticí k matici A.

Poznámka. Předchozí definice nezaručuje existenci inverznímatice. K některým čtvercovým maticím inverzní maticeexistuje, k některým ne. Později uvidíme, že existuje jed-noduchá charakterizace matic, ke kterým inverzní maticeexistuje, pomocí determinantu matice.

Věta (inverze maticového součinu). Inverzní maticek součinu dvou matic je součinem jednotlivých inverzníchmatic, ale v opačném pořadí, tj.

(AB)−1 = B−1A−1.

Příklad. Pomocí matic a jejich součinu je možné zapsatlibovolnou permutaci konečněprvkové množiny. Známýmpermutačním hlavolamem je Rubikova kostka. Na ní snadnovidíme, že pokud kostku zamícháme ze složeného stavutahem v horní stěně a poté v pravé stěně, pro opětovnésložení musíme vracet tahy v opačném pořadí, tj. nejdřívvrátit tah v pravé stěně a poté ve stěně horní. Pěkně to jdevidět na následující animaci, kterou můžete spustit nebopřehrávat po jednotlivých krocích.

Inverzní matice k matici popisujícírotaci v rovině

Pro matici rotace

Rθ =(

cos θ − sin θsin θ cos θ

)

z minulé přednášky platí

(Rθ)−1 = R−θ

=(

cos(−θ) − sin(−θ)sin(−θ) cos(−θ)

)

=(

cos θ sin θ− sin θ cos θ

)

což je přirozené pokud si uvědomíme, že inverzní operacík pootočení roviny o úhel θ je pootočení roviny o úhelopačný.

63

KAPITOLA 8. LINEÁRNÍ ALGEBRA (INVERZNÍ MATICE A DETERMINANTY) 64

Odsud mimo jiné vidíme, že platí

(Rθ)−1 =(

cos θ − sin θsin θ cos θ

)−1

=(

cos θ sin θ− sin θ cos θ

)=(

cos θ − sin θsin θ cos θ

)T

= (Rθ)T ,

tj. že inverzní a transponovaná matice jsou v případě maticerotace stejné. To je velká náhoda, ale přesto matice s toutovlastností hrají tak důležitou roli, že si vysloužily vlastnínázev představený na dalším slidu.

Ortogonální matice

Definice (ortogonální matice). Ortogonální matice jematice, jejíž transponovaná matice je současně maticí in-verzní.

Řádky ortogonální matice jsou tvořeny navzájem kolmýmivektory jednotkové délky. Má-li například symetrická čtver-cová matice A řádu n celkem n lineárně nezávislých jednot-kových vlastních vektorů, potom matice vytvořená tak, žesloupce nebo řádky matice jsou tyto vektory, je ortogonální.

Matice přechodu do pootočené sou-stavy souřadnicPředpokládejme, že v rovině jsou dány dvě kartézské soustavysouřadnic B a B′, které jsou vzájemně pootočené o úhel θ.V těchto soustavách budou souřadnice (x, y)T a (x′, y′)T .Je-li soustava B′ otočená oproti soustavě B o úhel θ protisměru hodinových ručiček, má (viz obrázek) jednotkovývektor ve směru osy x′ v bázi B souřadnice (cos(θ), sin(θ))Ta jednotkový vektor ve směru osy y′ má v bázi B souřadnice(− sin(θ), cos(θ))T . Proto je vztah mezi souřadnicemi dánmaticovým součinem(

xy

)B

=(

cos θ − sin θsin θ cos θ

)(x′

y′

)B′.

MaticeR =

(cos θ − sin θsin θ cos θ

)je matice, kterou jsme poznali jako matici rotace. Je tomatice, která svým působením pootočí vektor který jinásobí zprava o úhel θ proti směru hodinových ručiček.Ve výše uvedením kontextu se tato matice nazývá maticí

přechodu mezi oběma uvažovanými souřadnými systémy.Matice přechodu umožňuje najít souřadnice vektoru v jednésouřadné soustavě pomocí souřadnic vektoru v souřadnésoustavě vzniklé pootočením díky vztahu(

xy

)B

= R

(x′

y′

)B′.

Tato matice má inverní matici a proto evidentně můžememezi souřadnicemi přecházet i v opačném směru vztahem

R−1(xy

)B

=(x′

y′

)B′.

V inženýrských problémech je častou aplikací lineární algebrytransformace úlohy do vhodných souřadnic, ve kterých jepopis jednodušší. Zpravidla se jedná o prosté otočení. Totose používá při studiu dřeva, které má anatomicky význačnésměry, při studiu vrstvených materiálů, při studiu chovánívodorovně uložených geologických vrstev. Nemusí však vždyjít jenom o materiál s charakteristickými směry. Transformacemezi souřadnicemi se používá například v letectví, kdy jejedna souřadná soustava spojena s trupem a další dvě jsoupootočené ve směru křídel šípovitě připojených k trupu.

Matici transformace popisující otočení souřadnic budemezkráceně označovat R, pokud budeme potřebovat zdůraznitvelikost úhlu, použijeme R(θ) a pokud budeme potřebovatmatici rozepsat ve složkách, budeme zkracovat výrazy cos θa sin θ na C a S a psát

R =(C −SS C

).

Potom například platí

R−1 =(C S−S C

).

Zobrazení v různých soustavách sou-řadnicUkážeme si důležité využití matice přechodu. Předpoklá-dejme, že máme zobrazení f :X → Y , které je možnocharakterizovat maticemi. Na vstupu i výstupu je tedyvektor. Může se jednat třeba o zobrazení, které působícímsilám přiřadí deformaci tělesa, což uvidíme v Hookově zákoněpozději. Může se jednat také o zobrazení, které vektoru cha-rakterizujícímu změnu tlaku v podzemní vodě nebo změnukoncentrace vody ve dřevě přiřadí směr proudění. (Směrpodnětu a výsledného proudění si nemusí odpovídat, protoževoda je poháněna rozdílem tlaků ve směru největšího poklesutlaku nebo rozdílem koncentrací se směru největšího poklesukoncentrace, ale současně si v anizotropním prostředí hledácestu nejmenšího odporu).

KAPITOLA 8. LINEÁRNÍ ALGEBRA (INVERZNÍ MATICE A DETERMINANTY) 65

Nechť je naše zobrazení vyjádřeno v nějaké souřadné soustavěB maticí A, tj.

Y = AX,

kde X a Y jsou souřadnice vzoru a obrazu v souřadnésoustavě B. Budeme chtít toto zobrazení vyjádřit v jinésoustavě. Například v soustavě B′ takové, že platí X =PX ′ a Y = PY ′, kde čárkovaná písmena jsou souřadnicev čárkované souřadné soustavě B′. Dosazením získáme

PY ′ = APX ′

a po vynásobení inverzní maticí

P−1(PY ′) = P−1(APX ′),

tjY ′ = (P−1AP )X ′.

V pootočených souřadnicích B′ je tedy zobrazení charakteri-zováno maticí P−1AP . Pro vhodně zvolenou matici P můžebýt matice v nové bázi podstatně jednodušší než maticev bázi původní.

Častým úkolem je zapsat vztahy mezi veličinami tak, abybyly co nejjednodušší a proto jeden z častých úkolů v line-ární algebře bývá takovou šikovnou bázi nalézt. Nastínímeneoptimističtější variantu postupu, případné detaily a řešenízádrhelů je možné najít v odborné literatuře. Zpravidla vyja-dřujeme zobrazení v bázi tvořené ortonormálními vlastnímivektory matice A. Sloupce matice P jsou vlastní vektorymatice A. Pokud je matice A symetrická, je matice P navícortogonální, její inverze je tedy matice transponovaná. To-muto procesu se říká diagonalizace matice, protože P−1APvychází diagonální a v diagonále vychází právě vlastní číslamatice.

Stejným způsobem se transformují i tenzory.

Praktická aplikace: transformacetenzoru

Obrázek 8.1: Úloha na transformaci tenzoru napětí do anatomickýchsměrů dřeva. Znázorněná krychlička je jenom reprezentující elementvětšího tělesa. Zdroj: A. Požgaj a kol., Štruktúra a vlastnosti drevá.

V knize A. Požgaj a kol., Štruktúra a vlastnosti drevá,je následující úloha (str. 322, vydání 1997, ISBN 80-07-00960-4). Dřevo v konfiguraci podle obrázku je namáhánopouze tahovou silou svisle, tedy tenzor napětí má jenom

Obrázek 8.2: Stejná úloha jako výše (leta ve dřevě jdou pod úhlem 30stupňů a transformujeme do tohoto směru) méně inženýrským přístu-pem.

Obrázek 8.3: U šikmého lepeného spoje se používá transformace doroviny spoje k posouzení únosnosti tohoto spoje. Lepidlo má definovanoupevnost spoje při normálovém a smykovém namáhání a transformacenám prozradí, jak se předpokládané namáhání projeví v těchto směrecha zda lepidlo spoj udrží.

jednu nenulovou složku. Naším cílem je pootočit souřadnousoustavu tak, aby byl tenzor napětí vyjádřen v anatomickýchsměrech dřeva. Úloha je v knize vyřešena pomocí směrovýchkosinů. Ukážeme si alternativní způsob, který je výhodnýv tom, že využívá pouze základní aparát lineární algebry.Původní souřadnice (x1, x2) označíme (x, y), osa x směřujevodorovně vpravo (v obrázku x2) a osa y nahoru (v obrázku

x1). Tenzor napětí je A =(

0 00 10

)(tah pouze ve směru

osy y). Souřadnice je nutno pootočit o 30 stupňů po směruhodinových ručiček, tj. v záporném směru. Nový tenzornapětí je

R(30)AR(−30) =(

2.5 −4.3−4.3 7.5

).

V nových souřadnicích je směr y′ podélný a proto σRR = 2.5a σLL = 7.5. Mimodiagonální složka udává komponentuσRL = −4.3, smykové napětí. Tento výsledek je stejný, jakovýsledek získaný jiným postupem v knize, pomocí směrovýchkosinů. Použili jsme však jenom základní nástroje lineárníalgebry.

Výše uvedený výpočet se používá, když chceme najít de-formaci vyvolanou působícím napětím. Protože konstantyudávající materiálovou odezvu máme změřeny v anatomic-kých směrech dřeva, je nutno nejprve zjistit, jaké namáháníje v těchto směrech, pomocí materiálových konstant zjis-tíme, jaká je deformace v těchto směrech a poté zpětnoutransformací přepočítáme tuto deformaci do původníchsouřadnic.

KAPITOLA 8. LINEÁRNÍ ALGEBRA (INVERZNÍ MATICE A DETERMINANTY) 66

Stejný výpočet používáme, pokud se snažíme transformovatpůsobící napětí při posouzení, jaké smykové a jaké normálovénapětí působí na šikmý lepený spoj. Pokud je spoj podúhlem 30 stupňů a v ose y působí tahové napětí 10 MPa,potom normálové napětí namáhající tento spoj je 7.5 MPa asmykové napětí 4.3 MPa.

Obecné vzorce pro transformaci ten-zoruÚloha na transformaci tenzoru, kterou jsme řešili na minu-lém slidu je v aplikacích velmi důležitá. Proto existuje řadagrafických nebo inženýrských metod na řešení tohoto úkolu.Tyto metody jsou důvtipné a názorné, například metodaMohrovy kružnice, oproti lineární algebře však mají zásadnínevýhodu: uživatel se musí stále učit něco nového a dostávánávod “jak”, nikoliv “proč”. Použitím aparátu lineární al-gebry, stejně jako dokážeme v pootočených souřadnicíchvyjádřit libovolné zobrazení, dokážeme vyjádřit v pootoče-ných souřadnicích i libovolný tenzor. Vzorce jsou stejné anavíc při otočení v rovině je matice rotace ortogonální, tj.inverzní matice je maticí transponovanou. Pro symetrickýtenzor A =

(a11 a12a12 a22

)dostáváme v souřadnicích otočených

o úhel θ proti směru hodinových ručiček(a′11 a′12a′12 a′22

)=(C S−S C

)(a11 a12a12 a22

)(C −SS C

),

kde po výpočtua′11 = C2a11 + S2a22 + 2CSa12,

a′22 = S2a11 + C2a22 − 2CSa12,

a′12 = −CSa11 + CSa22 + (C2 − S2)a12.

(*)

Tento vztah je lineání vzhledem ke všem komponentám a jemožné jej zapsat pomocí maticového násobenía′11

a′22a′12

=

C2 S2 2CSS2 C2 −2CS−CS CS C2 − S2

a11a22a12

.

Tento vztah je uveden i v literatuře A. Požgaj a kol., Štrukt-úra a vlastnosti drevá, a v e-opoře Fyzikální a mechanickévlastnosti dřeva. Zde je také uvedena jedna z aplikací, trans-formace tenzoru deformací naměřených při bobtnání dřeva.V této úloze je nutno tenzor deformací transformovat doanatomických směrů dřeva. To je možné udělat po změřenísklonu vláken a pootočení tenzoru o příslušný úhel.

Inverzní operací je pootočení o úhel −θ a proto je snadnénajít inverzní transformaci: vzhledem k sudosti funkce cos alichosti funkce sin stačí změnit znaménko u členů s S, tj.a11

a22a12

=

C2 S2 −2CSS2 C2 2CSCS −CS C2 − S2

a′11a′22a′12

.

Poznámka. Pokud vypočteme derivaci členů a′11 a a′22podle θ, dostaneme použitím

ddθC

2 = ddθ cos2 θ = 2 cos θ(− sin θ) = −2CS,

a analogicky ddθS

2 = 2SC, ddθCS = −S2 + C2 derivace

da′11dθ = −2CSa11 + 2SCa22 + 2(C2 − S2)a12 = 2a′12,

da′22dθ = 2SCa11 − 2CSa22 + 2(S2 − C2)a12 = −2a′12.

To znamená, že lokální extrémy diagonálních prvků nastávajív okamžiku, kdy jsou prvky mimo diagonálu nulové. Totopozorování perfektně ladí s výsledky, které známe v lineárníalgebře i bez hledání lokálních extrémů a bez derivací.Náznak tohoto konceptu si představíme na dalších stránkách.Budeme potřebovat vlastní vektory matice.

Pozor. V případě tenzoru deformace se někdy se namístomimodiagonální komponenty bere její dvojnásobek, protožeten má názorný význam jako úhel smyku. Proto se někdyv literatuře uvádí transformační vzorec pro deformacev upraveném tvaru, kdy u složek se součinem CS ve třetímsloupci není koeficient 2 a u odpovídajících složek ve třetímřádku tento koeficient naopak figuruje. Je proto potřebadávat pozor na to, s jakými komponentami je tenzor malýchdeformací uvažován.

Role vlastních vektorů při transfor-maci matic

Obrázek 8.4: Eigenvectors (red) do not change direction when a lineartransformation (e.g. scaling) is applied to them. Other vectors (yellow)do. Zdroj: http://www.visiondummy.com.

Budeme zkoumat, kdy platí

P−1AP = D

pro čtvercové matice P , A a diagonální čtvercovou matici D.Vynásobením maticí P zleva dostaneme

AP = PD.

Ve cvičení jsme násobili čtvercovou matici s maticí diagonálnía není těžké vidět obecný princip, že matice PD má zasloupce násobky sloupců matice P s odpovídajícím číslemz hlavní diagonály matice D. Například pro první sloupec

KAPITOLA 8. LINEÁRNÍ ALGEBRA (INVERZNÍ MATICE A DETERMINANTY) 67

matice P a první číslo v hlavní diagonále matice D, kteréoznačíme ~p1 a λ1, dostáváme

A~p1 = λ1p1,

tj. (viz předchozí přednášky) p1 je vlastní vektor maticeA příslušný vlastní hodnotě λ1. Podobný princip platí provšechny sloupce. Je otázkou, jestli vlastních hodnot a vlast-ních vektorů je tolik, kolik pro diagonalizaci “potřebujeme”.Částečně pozitivní odpověď na tuto otázku udávají věty nanásledujícím slidu.

Transformace symetrické matice nadiagonální tvar

Věta (vlastní čísla symetrické matice). Symetrickáčtvercová matice A řádu n má n reálných vlastních čísel(počítáno i s případnou násobností).

Věta (diagonalizace symetrické matice). Nechť másymetrická čtvercová matice A řádu n celkem n reálnýchrůzných vlastních čísel λi. Označme odpovídající vlastnívektory jednotkové délky ~vi.

• Matice P sestavená tak, že sloupce této matice jsoutvořeny vektory ~vi je ortogonální.

• Matice D definovaná vztahem

D = PTAP

je diagonální.• Diagonální prvky matice D jsou právě vlastní čísla λi a

jsou ve stejném pořadí jako odpovídající vlastní vektoryv matici P .

Poznámka (diagonální tvar materiálových vlastnostídřeva). Typickým ortotropním materiálem je dřevo. Po-kud transformujeme tenzor difuzní matice pro dřevo nadiagonální tvar, jsou diagonální prvky v poměru přibližněDL : DR : DT = 35 : 3 : 2 (P. Horáček, Fyzikální amechanické vlastnosti dřeva, 2008 , str. 65). Ortotropnícharakter má však nejenom transport tekutin, ale i sesychánía bobtnání. V tomto případě však naopak v podélném směrudřevo bobtná nejméně a tenzor popisující bobtnání má potransformaci na diagonální tvar v diagonále prvky v poěmrupřibližně αT : αR : αL = 20 : 10 : 1 (P. Horáček, Fyzikální amechanické vlastnosti dřeva, 2008 , str. 38).

Matice transformace P z předchozí věty je ortogonální (jejítransponovaná matice je současně její inverzní matice) ajejí determinant je roven 1 nebo −1. Pokud je determinant

kladný, reprezentuje matice pootočení soustavy souřadnic.Pokud je determinant záporný, jedná se o pootočení spojenése zrcadlením jedné osy. Protože tento případ většinouz fyzikálních důvodů nepreferujeme, sestavujeme maticitransformace tak, aby měla determinant kladný. V případězáporného determinantu stačí prohodit dva vektory (sloupcematice transformace) mezi sebou, nebo jeden vynásobitfaktorem −1.

Pro kontrolu je zajímavé vědět, že determinant maticese pootočením nemění a je tedy stejný pro původní itransformovanou matici. Totéž platí pro součet prvků v hlavnídiagonále (v lineární algebře se nazývá stopa matice), procharakteristický polynom a pro vlastní hodnoty. Tenzor,jak jej uvažujeme v tomto textu, je matice, která má navícfyzikální význam a vzhledem ke své povaze pro ni platíspeciální transformační pravidla. Nicméně je to mimo jiné imatice a proto vše výše uvedené platí i pro tenzory.

Transformace tenzorů je užitečná a důležitá činnosti. Bohuželvšak vzorce s touto transformací spojené nejsou natolikzapamatovatelné, aby bylo obvyklé s nimi pracovat. Možnostijsou v zásadě tři.

• Mít vzorce v psané podobě po ruce a pouze do nichdosazovat.

• Mít k dispozici jednoduše zapamatovatelný postup, jaks transformacemi pracovat. Takový postup existuje, na-zývá se Mohrova kružnice a po zapracování se jednáo efektivní grafickou metodu pro transforamci tenzorů.Zpravidla je v literatuře popsána pro tenzor napětí,funguje však obecně.

• Pracovat pouze s elementárními prostředky lineární alge-bry. Narozdíl od předchozích bodů máme přehled o tom,co a proč děláme (oproti vzorcům) a nemusíme se učitdalší metodu (oproti Mohrově kružnici).

Determinant matice

Definice (determinant). Buď A ∈ Rn×n čtvercová maticeřádu n. Determinant matice A je reálné číslo detA přiřazenématici A následujícím způsobem:

• Je-li A matice řádu 1, tj. A = (a11), je detA = a11.• Máme-li definován determinant z matice řádu (n − 1)

označme symbolemMij determinant matice řádu (n−1),která vznikne z matice A vynecháním i-tého řádku aj-tého sloupce. Definujme algebraický doplněk Aij prvkuaij jako součin Aij = (−1)i+jMij .

• Konečně, definujme determinant řádu n následovně: zvo-líme libovolný index i ∈ 1, 2, . . . n a definujeme

detA = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin.

KAPITOLA 8. LINEÁRNÍ ALGEBRA (INVERZNÍ MATICE A DETERMINANTY) 68

Uff. Zacházejme vyjímečně s touto definicí stejně jakos definicí limity: vezmeme na vědomí, že nějaká korektnídefinice existuje, ale učit se ji nebudeme. Není to totižtak úplně potřeba. bude nám stačit naučit se několik málospeciálních případů.

Determinant matice A označujeme též |A|. Je-li A = (aij)píšeme zkráceně |aij | místo |(aij)|. K záměně s absolutníhodnotou může dojít jedině v případě, že matice A je řádujedna. V praxi se však obvykle s maticemi řádu jednanepracuje.

Definice (regulární a singulární matice). Buď A čtver-cová matice. Je-li detA = 0, říkáme, že matice A je singulární,v opačném případě říkáme, že je regulární.

Determinant matice 2 × 2 (křížovépravidlo) ∣∣∣∣a b

c d

∣∣∣∣ = ad− bc

Tento determinant je roven nule právě tehdy, když je jedenřádek matice násobkem druhého a to bude právě tehdy kdyžje jeden sloupec matice násobkem druhého.

Determinant matice 3 × 3 (Sarusovopravidlo)∣∣∣∣∣∣

a b ci j kx y z

∣∣∣∣∣∣ = ajz + bkx+ ciy − (cjx+ biz + aky)

Mnemotechnická pomůcka: opsat první dva řádky poddeterminant, vynásobit hlavní diagonálu a dvě diagonálypod tím, potom vynásobit vedlejší diagonálu a dvě diagonálypod tím. Příspěvky od hlavní diagonály a dvou šikmých řadpod ní se sčítají, příspěvky od vedlejší diagonály a dvoušikmých řad pod ní se odečítají.

Determinant matice ve schodovitémtvaru

Definice (schodovitý tvar). Řekneme, že matice A jeve schodovitém tvaru, jestliže případné nulové řádky jsouuspořádány na konci matice a nenulové jsou uspořádány tak,že každý následující řádek začíná větším počtem nul nežřádek předchozí.

Příklad. Matice 4 7 00 −2 10 0 5

je ve schodovitém tvaru.

Věta (determinant matice ve schodovitém tvaru).Determinant matice, která je ve schodovitém tvaru je rovensoučinu prvků v hlavní diagonále.

Totéž platí zejména pro matice diagonální, které majínenulové prvky jenom v hlavní diagonále a tedy jsou veschodovitém tvaru.

Příklad. Platí∣∣∣∣∣∣4 7 00 −2 10 0 5

∣∣∣∣∣∣ = 4 · (−2) · 5 = −40.

Souvislost některých pojmůPojmy lineární algebry spolu krásně souvisí.

Věta. Buď A čtvercová matice řádu n. Následující výrokyjsou ekvivalentní:

1. K matici A existuje matice inverzní A−1.2. Matice A je regulární, tj. detA 6= 0.3. Soustava lineárních rovnic

AX = B

má pro libovolnou pravou stranu B jediné řešení.4. Homogenní soustava lineárních rovnic

AX = 0

má pouze nulové řešení.5. Každý vektor z Rn lze vyjádřit jako lineární kombi-

naci vektorů tvořených řádky (sloupci) matice A, a tojednoznačně, až na pořadí.

Například je-li ~q vlastním vektorem matice A příslušnýmvlastní hodnotě λ, platí

A~q = λ~q.

OdsudA~q − λ~q = 0

A~q − (λI )~q = 0(A− λI )~q = 0

.

Pokud chápeme poslední rovnost jako soustavu rovnics koeficienty (A− λI), nulovou pravou stranou a nenulovým

KAPITOLA 8. LINEÁRNÍ ALGEBRA (INVERZNÍ MATICE A DETERMINANTY) 69

řešením ~q (tj. bod 4 předchozí věty neplatí), musí býtdeterminant matice A− λI nulový (tj. bod 2 předchozí větyneplatí). Tím je motivována následující definice a dokázánanásledující věta.

Definice (charakteristická rovnice, charakteristickýpolynom). Rovnice

det(A− λI) = 0

s neznámou λ se nazývá charakteristická rovnice matice A.Výraz na levé straně této rovnice je polynom proměnné λ anazývá se charakteristický polynom matice A.

Důsledek (vlastní čísla). Vlastní čísla matice A jsouprávě řešení charakteristické rovnice. Vlastní vektor ~u pří-slušný vlastnímu číslu λ je nenulové řešení homogenní sou-stavy rovnic

(A− λI)~u = 0.

Hookův zákon, matice tuhosti a pod-dajnostiV minulé přednášce jsme odvodili tvar tenzoru malýchdeformací pro popis deformace tuhého tělesa ve tvaru

∂u1

∂x1

12

(∂u1

∂x2+ ∂u2

∂x1

)12

(∂u1

∂x2+ ∂u2

∂x1

)∂u2

∂x2

Obrázek 8.5: Složky tenzoru napětí charakterizují sílu způsobující de-formaci. Zdroj: Wikiepdie.

Toto můžeme zapsat symbolicky

εij = 12

(∂ui∂xj

+ ∂uj∂xi

). (*)

Pro deformaci v prostoru máme nikoliv dvě, ale tři souřadnicea tenzor deformací je tedy 3 × 3 symetrická matice, tj.

matice, která má šest nezávislých komponent. (Zbylé třikomponenty dostaneme ze symetrie.) Tyto komponentydostaneme postupnou volbou indexů ve vzorci (*) a můžemeje sestavit do sloupcového vektoru

(ε11, ε22, ε33, ε23, ε13, ε12)T

Podobně, působící sílu můžeme rozdělit podle působenív jednotlivých směrech a tím dostaneme tenzor napětí,šest veličin charakterizujících napětí. (Zbylé tři jsou dánypodmínkou, že se deformované těleso nepohybuje.) Pro dalšíúvahy složky tenzoru napětí uspořádáme do sloupcovéhovektoru

(σ11, σ22, σ33, σ23, σ13, σ12)T .

Následující poučka je fyzikálně ověřený fakt, že vztah mezisložkami tenzoru napětí a tenzoru deformace je lineární.To nás nepřekvapí, protože z přednášek o derivacích nazačátku semestru víme, že jakákoliv funkční závislost se dálinearizovat. Podstatné zde však je, že interval, na kterémmá linearizace smysl, není příliš malý, tj. že tato linearizaceplatí pro prakticky významné případy.

Hookův zákon deformace (volná slovní formulace).Do určité hranice zatížení je libovolná složka tenzorudeformace úměrná libovolné složce tenzoru napětí.

K tomu si přidejme, že příspěvky k deformaci, způsobenérůznými složkami tenzoru napětí, se přirozeně sčítají. Mate-maticky vyjádřeno proto platí

ε11ε22ε33ε23ε13ε12

= S

σ11σ22σ33σ23σ13σ12

,

kde S je čtvercová 6× 6 matice.

Obrázek 8.6: Ortotropie dřeva. Zdroj: researchgate.net, Mathew Legg.

Fyzikální úvahy ukazují, že matice S je určitě symetrickáa obsahuje celkem ne 36, ale jenom 21 nezávislých veličin.Nazývá se matice poddajnosti. V obecném případě tedymusíme pro popis deformace mít celkem 21 materiálových

KAPITOLA 8. LINEÁRNÍ ALGEBRA (INVERZNÍ MATICE A DETERMINANTY) 70

konstant. Tento počet se však výrazně redukuje, pokud jemateriál například izotropní nebo ortotropní. Napříkladortotropní materiál jakým je dřevo, můžeme umístit dosoustavy souřadnic tak, aby byl invariantní vůči symetriipodle jednotlivých průměten. Poté je možné odvodit, ženejobecnější možný tvar matice S je

S =

S11 S12 S13 0 0 0S12 S22 S23 0 0 0S13 S23 S33 0 0 00 0 0 S44 0 00 0 0 0 S55 00 0 0 0 0 S66

,

tj. tvar, obsahující jenom devět materiálových konstant.Odsud vidíme, že v takovém materiálu se smykové napětíprojeví jenom na jedné komponentě tenzoru deformace,protože poslední tři sloupce, které udávají složky jednotlivýchdeformací způsobených napětími σ23, σ13 a σ12 mají jenomjednu nenulovou složku.

Pokud bychom použili k popisu obecnou soustavu souřadnic,nebylo by možné se na symetrii odvolávat. Matice S byobsahovala všechny prvky a bylo by nutné hledat bázi,v níž je její vyjádření nejjednodušší. U dřeva je však snadnérozpoznat význačné směry. Když soustavu souřadnic zvolímetak, aby byla v souladu s těmito význačnými směry, docílímetohot, že obdržíme matici S již přímo ve tvaru s co nejvícenulami.

Někdy je vhodné umět určit napětí pomocí deformací.K tomu stačí Hookův zákon vynásobit maticí S−1 a obdržíme

σ11σ22σ33σ23σ13σ12

= S−1

ε11ε22ε33ε23ε13ε12

.

Matice S−1 se nazývá matice tuhosti a označuje C.

Souvislostí vlastních vektorů matice tuhosti a matice pod-dajnosti (nebo obecněji souvislostí vlastních vektorů maticea matice inverzní) se budeme zabývat na následujícím slidu.

Vlastní vektory matice a matice in-verzníFyzikální úvaha snadno vede k závěru, že matice a maticeinverzní mají stejné vlastní vektory. To proto, že pokudv některém směru je materiálová odezva násobkem podnětu,je i opačně podnět násobkem materiálové odezvy. To, žematice A a A−1 mají stejné vlastní vektory plyne i z toho, žepokud definiční vztah pro vlastní vektor matice A, tj. vztah

A~u = λ~u,

vynásobíme zleva maticí 1λA−1, dostaneme vzhledem k iden-

titě 1λA−1A~u = 1

λI ~u = 1

λ~u rovnici

1λ~u = A−1~u,

která vyjadřuje, že ~u je vlastním vektorem matice A−1

s vlastním číslem 1λ.

Kapitola 9

Lineární algebra (soustavy lineárníchrovnic, transformace tenzorů)

Varianty zápisu soustavy lineárníchrovnic

Uvažujme následující tři problémy:

1. Najděte všechna reálná čísla x1, x2, splňující dvojicirovnic

4x1 + 5x2 = 7x1 − 2x2 = 4

2. Najděte všechna reálná čísla x1, x2, splňující vektorovourovnici (

41

)x1 +

(5−2

)x2 =

(74

)

3. Najděte všechna reálná čísla x1, x2, splňující maticovourovnici (

4 51 −2

)(x1x2

)=(

74

)

Všechny problémy jsou ekvivalentní a jedná se o jiný zápistéhož. Jednou však používáme soustavu rovnic, vektory ajejich lineární kombinaci a jednou matice a maticový součin!

Soustava lineárních rovnic

Definice (soustava lineárních rovnic). Soustavou mlineárních rovnic o n neznámých nazýváme soustavu rovnic

a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · ·+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 + · · ·+ a2nxn = b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 + · · ·+ a3nxn = b3

...am1x1 + am2x2 + am3x3 + · · ·+ amnxn = bm

(1)

Proměnné x1, x2, . . . , xn nazýváme neznámé. Reálná číslaaij nazýváme koeficienty levých stran, reálná čísla bj koefici-enty pravých stran soustavy rovnic. Řešením soustavy rovnicrozumíme uspořádanou n-tici reálných čísel [t1, t2, . . . , tn] pojejichž dosazení za neznámé (v tomto pořadí) do soustavydostaneme ve všech rovnicích identity.

Definice (matice soustavy). Matici

A =

a11 a12 a13 · · · a1na21 a22 a23 · · · a2n...

... . . . ...am1 am2 am3 · · · amn

nazýváme maticí soustavy (1). Matici

Ar =

a11 a12 a13 · · · a1n b1a21 a22 a23 · · · a2n b2...

... . . . ......

am1 am2 am3 · · · amn bm

nazýváme rozšířenou maticí soustavy (1).

71

KAPITOLA 9. LINEÁRNÍ ALGEBRA (SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC, TRANSFORMACE TENZORŮ) 72

Vektorový zápis soustavy lineárníchrovnicSoustavu (1) lze ekvivalentně přepsat do vektorového tvarua11a21...

am1

x1+

a12a22...

am2

x2+

a13a23...

am3

x3+· · ·+

a1na2n...

amn

xn =

b1b2...bm

.

Vidíme tedy, že se vlastně jedná o problém, vyjádřit vektorsložený z čísel na pravé straně soustavy rovnic jako lineárníkombinaci vektorů, které tvoří sloupce matice soustavy.

Maticový zápis soustavy lineárníchrovnicSoustavu (1) lze ekvivalentně přepsat do maticového tvarupomocí maticového součinu

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

... . . . ...am1 am2 · · · amn

x1x2...xn

=

b1b2...bm

.

Tento tvar se používá často v inženýrských výpočtech proúspornost. Symbolicky zpravidla píšeme soustavu lineárníchrovnic ve tvaru

A~x = ~b,

neboAX = B

kde A je matice soustavy a ~b resp. B je vektor pravých stran.

Využití inverzní matice pro řešenísoustavy lineárních rovnicZ úvodní přednášky o lineární algebře víme, že pomocímaticového násobení je možné soustavu lineárních rovniczapsat ve tvaru

AX = B,

kde A je matice soustavy, X je sloupcový vektor neznámýcha B je vektor pravých stran. Pokud má matice A inverznímatici, můžeme pomocí této matice soustavu vyřešit. Povynásobení rovnice inverzní maticí zleva dostáváme

A−1(AX) = A−1B

a po uplatnění asociativního zákona

(A−1A)X = A−1B.

Protože výraz v závorce je součinem matice s maticí inverzní,je tento součin roven jednotkové matici, která je neutrálnímprvkem při násobení a proto okamžitě dostáváme řešenísoustavy ve tvaru

X = A−1B.

Jako přirozený důsledek vidíme, že řešení je určeno jedno-značně. Známe-li inverzní matici, můžeme řešení dokoncevypočítat pro libovolnou pravou stranu velmi pohodlněa rychle pomocí maticového násobení. Bohužel, výpočetinverzní matice je zpravidla velmi drahý (vyžaduje velkémnožství operací) a numericky málo stabilní. Proto jetento postup užitečným teoretickým nástrojem, ale v praxipostupujeme poněkud odlišně.

Inverzní matice k diagonální maticiDiagonální matice (tj. matice, které mají nenulové prvkyjenom na hlavní diagonále) se vzhledem k násobení chovajívelice hezky: součinem je taková matice, která je diagonálnía na hlavní diagonále má prvky vytvořené jako součinodpovídajících prvků násobených matic.

2 0 00 3 00 0 12

5 0 00 7 00 0 1

=

10 0 00 21 00 0 12

Proto je snadné zařídit, aby v hlavní diagonále vyšly jedničky.Stačí uvažovat podobně jako v následujícím příkladě.

2 0 00 3 00 0 12

12 0 0

0 13 0

0 0 112

=

1 0 00 1 00 0 1

a tedy 2 0 00 3 00 0 12

−1

=

12 0 0

0 13 0

0 0 112

.

Iterační metoda řešení soustav line-árních rovnicNa předchozím slidu jsme viděli, že je jednoduché najít in-verzní matici k matici diagonální. Toho využijeme pro řešenísoustavy lineárních rovnic iterační metodou. Představíme sinejednodušší, přesto však velmi mocnou metodu, Jacobihometodu.

V úvodní přednášce z lineární algebry jsme modelovalirozložení teploty ve dvourozměrné desce pomocí soustavy

KAPITOLA 9. LINEÁRNÍ ALGEBRA (SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC, TRANSFORMACE TENZORŮ) 73

rovnic 4 −1 0 −1−1 4 −1 0

0 −1 4 −1−1 0 −1 4

x1x2x3x4

=

30607040

.

Pro

A =

4 −1 0 −1−1 4 −1 0

0 −1 4 −1−1 0 −1 4

, X =

x1x2x3x4

, B =

30607040

tedy

AX = B. (1)

Rozdělíme matici A na součet diagonální matice a matices nulami v hlavní diagonále, tj. na součet matic

D =

4 0 0 00 4 0 00 0 4 00 0 0 4

a T =

0 −1 0 −1−1 0 −1 0

0 −1 0 −1−1 0 −1 0

Potom můžeme psát rovnici ve tvaru

(D + T )X = B

a odsudDX + TX = B

DX = B − TX

a využitím inverzní matice

X = D−1(B − TX). (2)

Definujme nyní iterační vzorec

Xk+1 = D−1(B − TXk). (3)

Podobně jako u Markovových řetězců můžeme najít postup-nými iteracemi z vhodného (nebo libovolného) počátečníhostavu stacionární stav, kdy se Xk dalšími iteracemi neměnía tím dostaneme řešení rovnice (2), která je ekvivalentnírovnici (1). Protože inverzní matici počítáme pro maticidiagonální, je tento výpočet velice rychlý a levný. Vlastněnení vůbec nutné mít k dispozici maticový počet. Iteracedostaneme tak, že z první rovnice osamostatníme x1, z druhérovnice x2 atd. Výchozí odhad dosadíme do pravých stran aobdržíme zpřesněný odhad. Postup opakujeme, dokud nejsoudvě následující iterae dostatečně blízké.

Poznámka. Předchozí postup je možné použít jenomv případě, že iterační proces (3) konverguje. Pokud bynekonvergoval, není možné o řešení rovnice nic říct, pouzeto, že Jacobiho metoda nefunguje. Postačující podmínka,kdy Jacobiho metoda konverguje, je aby každý řádek měl

v hlavní diagonále číslo, které je v absolutní hodnotě většínež je součet absolutních hodnot zbylých čísel v tomto řádku.Matice, která splňuje tuto podmínku se nazývá řádkově ostřediagonálně dominantní matice a pro takovou matici Jacobihometoda konverguje. Podobně je možné uvažovat sloupcověostře diagonálně dominantní matice porovnáním absolutníchhodnot diagonálních prvků se součty absolutních hodnotostatních prvků v daných sloupcích a i pro sloupcově ostřediagonální matice metoda konverguje. I přes jednoduchosttohoto kriteria se s diagonálně dominantními maticemisetkáváme v aplikacích poměrně často. Podíváme-li se, jakbyla odvozena soustava popisující rozložení teploty na tepelněvodivé desce (poslední slajd minulé přednášky), není to ažtakové překvapení.

Online výpočet.

Podobnými iteračními metodami je možné efektivně řešitsoustavy o tisících rovnic a neznámých. Výpočty probíhajírychle a nejsou náročné na paměť jako u přímých metod,známých například ze střední školy. Tímto způsobem se řešísoustavy rovnic při modelování namáhání konstrukcí, vedenítepla, proudění vody apod.

Hodnost maticeIterační metoda funguje pro soustavy s jediným řešením.Pokud však hledáme vlastní vektory, musíme být schopniumět řešit i soustavy s nekonečně mnoha řešeními.

Matice řádu m × n obsahuje celkem m · n čísel. Jedná setedy o relativně komplikovaný objekt. V matematice se častosnažíme složitější objekty nějakým způsobem charakterizovatpomocí objektů jednodušších, např. pomocí čísel. Jedno užznáme, determinant. Dalším z těchto čísel je hodnost matice,kterou si nadefinujeme nyní.

Definice (hodnost matice). Buď A matice. Hodnostímatice rozumíme maximální počet lineárně nezávislých řádkůmatice. Hodnost matice A označujeme h(A).

Poznámka: Hodnost je v anglické literatuře označována jakorank.

Schodovitý tvar jsme si představili u determinantu. U ma-tice ve schodovitém tvaru je určení determinantu velmijednoduché. Podobný efekt vidíme i u hodnosti.

Definice (schodovitý tvar). Řekneme, že matice A jeve schodovitém tvaru, jestliže případné nulové řádky jsouuspořádány na konci matice a nenulové jsou uspořádány tak,že každý následující řádek začíná větším počtem nul nežřádek předchozí.

KAPITOLA 9. LINEÁRNÍ ALGEBRA (SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC, TRANSFORMACE TENZORŮ) 74

Věta (hodnost matice ve schodovitém tvaru). Hod-nost matice, která je ve schodovitém tvaru je rovna počtujejích nenulových řádků.

Příklad. Matice A =

2 2 2 3 −1 50 0 1 0 0 30 0 0 −1 2 10 0 0 0 0 0

je

ve schodovitém tvaru a h(A) = 3. Matice B =2 2 2 3 −1 50 0 1 0 0 30 0 3 −1 2 1

není ve schodovitém tvaru a

její hodnost na první pohled nepoznáme.

Výpočet hodnostiVýpočet hodnosti se provádí postupným nahrazením zadanématice maticí, která má stejnou hodnost, ale postupně sepřibližuje schodovitému tvaru. Uvedeme si jenom základnípostup. Tento se sice dá vylepšit, pro nás je však důležité,že i bez jakýchkoliv vylepšení vždy vede k cíli. (Alespoňteoreticky.)

Věta (řádkové operace zachovávající hodnost ma-tice). Následující operace nemění hodnost matice:

1. vynechání řádku složeného ze samých nul, nebo vyne-chání řádku, který je totožný s jiným řádkem, nebovynechání řádku, který je násobkem jiného řádku,

2. vynásobení nebo vydělení libovolného řádku nenulovýmčíslem,

3. záměna pořadí řádků,4. ponechání jednoho řádku beze změny a opakované při-

čtení libovolných násobků tohoto řádku k nenulovýmnásobkům ostatních řádků matice.

Libovolnou matici lze konečným počtem těchto úprav převéstdo schodovitého tvaru.

Následující věta udává, že veškerá tvrzení, uvedená v sou-vislosti s hodností pro řádky matice, se dají přeformulovat ipro sloupce matice.

Věta. Transponování nemění hodnost matice.

Existence a jednoznačnost řešení sou-stavy lineárních rovnicV případě, že matice soustavy je čtvercová již víme, žeřešení je určeno jednoznačně právě tehdy, když má matice

soustavy matici inverzní. O počtu řešení v obecném případěobdélníkové matice, kdy matici inverzní nemá smysl uvažovat,nám dávají informaci dvě následující věty. První se týkáexistence řešení a druhá identifikuje případ, kdy řešení jeurčeno jednoznačně.

Věta (Frobeniova věta, Kronecker-Capelliho věta).Soustava lineárních rovnic je řešitelná právě tehdy, když jejímatice soustavy a rozšířená matice soustavy mají stejnouhodnost.

Věta (jednoznačnost řešení). Nechť soustava lineár-ních rovnic má řešení. Toto řešení je právě jedno, pokud jespolečná hodnost matice soustavy a rozšířené matice sou-stavy rovna počtu neznámých. V opačném případě je spo-lečná hodnost matice a rozšířené matice soustavy menší nežpočet neznámých.

Gaussova eliminaceSpočívá v reprezentaci soustavy pomocí rozšířené maticesoustavy a převodu této matice na schodovitý tvar pomocířádkových operací zachovávajících hodnost. Tyto operacezachovávají i množinu řešení soustavy. Jakmile je maticeve schodovitém tvaru, zpětnou substitucí postupně dopočí-táváme jednotlivé proměnné. (Formálně to u čtvercovýchregulárních matic odpovídá použití inverzní matice k matici,která má pod hlavní diagonálou nuly. Ale postup fungujei pro obecnější matice a dá se realizovat jednoduchýmiprostředky a postupným dosazováním.)

Gaussova eliminace je velice flexibilní a univerzální, umožnínám řešit i soustavy mající nekonečně mnoho řešení. V tomtopřípadě dokážeme zapsat řešení pomocí parametrů.

Příklad.

x1 + 2x2 + 2x3 + x4 = 0x1 − x2 + x3 − 2x4 = 1

x2 − 2x3 + x4 = 2

Rozšířená matice soustavy je 1 2 2 1 01 −1 1 −2 10 1 −2 1 2

V prvním kroku převedeme na tvar, kdy jednom jedenřádek začíná nenulovým prvkem. První řádek už nijakneupravujeme a opíšeme jej. Místo druhého řádku napíšeme

KAPITOLA 9. LINEÁRNÍ ALGEBRA (SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC, TRANSFORMACE TENZORŮ) 75

jeho součet s (−1)-násobkem prvního řádku. 1 2 2 1 00 −3 −1 −3 10 1 −2 1 2

V dalším kroku převedeme na tvar, kdy z řádků začínajícíchjednou nulou ponecháme jenom jeden a ostatní upravímetak, aby začínaly alespoň dvěma nulami. K tomu je vhodnénejprve přehodit poslední dva řádky, abychom mohli použítk vytváření nul jedničku. 1 2 2 1 0

0 1 −2 1 20 −3 −1 −3 1

Nyní provedeme potřebnou úpravu. První dva řádky opíšeme.Místo třetího řádku napíšeme jeho součet s trojnásobkemdruhého řádku. 1 2 2 1 0

0 1 −2 1 20 0 −7 0 7

Nyní přepíšme do tvaru soustavy rovnic

x1 + 2x2 + 2x3 + x4 = 0x2 − 2x3 + x4 = 2−7x3 = 7

Z poslední rovnice máme snadno x3 = −1. Tutho hodnotupoužijeme ve druhé rovnici. Protože však máme pořád dvěneznámé, jednu z nich zvolíme za parametr.

x2 − 2x3 + x4 = 2x2 + 2 + x4 = 2

x2 + x4 = 0x4 = t

x2 = −t

Vypočtené hodnoty dosadíme do první rovnice a určímezbývající neznámou x1.

x1 + 2x2 + 2x3 + x4 = 0x1 − 2t− 2 + t = 0

x1 = 2 + t

Řešení je x1 = 2 + t, x2 = −t, x3 = −1, x4 = t, kde t jelibovolné reálné číslo. Vektorově (maticově) máme řešení vetvaru

x1x2x3x4

=

2 + t−t−1t

=

20−10

+ t

1−101

.

Gaussova-Seidelova iterační metodaGaussova-Seidelova iterační metoda je jakýsi mezikrokmezi Jacobiho iterační metodou a Gausovou eliminací.Postupujeme jako v Jacobiho metodě, ale všechny zpřesněnéhodnoty použijeme okamžitě, když jsou k dispozici. Nikolivaž v další iteraci jako u Jacobiho metody. Metoda konvergujeza stejných podmínek jako Jacobiho metoda, ale rychleji apřesto nevznikají vyšší nároky na výpočetní výkon.

Použijeme příklad z Wikipedie. Soustavu

10x1 −x2 +2x3 = 6,−x1 +11x2 −x3 +3x4 = 25,2x1 −x2 +10x3 −x4 = −11,

3x2 −x3 +8x4 = 15.

s diagonálně dominantní maticí převedeme na iterační tvar

x1 = x2/10− x3/5 + 3/5,x2 = x1/11 + x3/11− 3x4/11 + 25/11,x3 = −x1/5 + x2/10 + x4/10− 11/10,x4 = −3x2/8 + x3/8 + 15/8.

Poté vyjdeme z počátečního odhadu řešení a dosazujeme dopravých stran.

U Jacobiho metody pro počáteční odhad vypočteme nejprvevšechny pravé strany a dosadíme do proměnných na levéstraně jako zpřesnění počáteční aproximace. Tento postupopakujeme.

U Gaussovy-Seidlovy metody nejprve pomocí počátečníhoodhadu vypočteme z první rovnice x1 a tuto hodnotu ihnedpoužijeme při výpočtu x2 z další rovnice. Obojí, x1 i x2 užvyužijeme při výpočtu x3 a tak dále. Po výpočtu x4 je prvníiterace dokončena a postup opět opakujeme, dokud dvě posobě jdoucí iterace nejsou dostatečně blízké.

S nulovou počáteční aproximací dostáváme v prvním prů-chodu

x1 = 3/5 = 0.6,x2 = 0.6/11 + 25/11 = 2.3272,x3 = −0.6/5 + (2.3272)/10− 11/10 = −0.9873,x4 = −3(2.3272)/8 + (−0.9873)/8 + 15/8 = 0.8789.

Jak vidno, vypočtenou hodnotu x1 ihned použijeme provýpočet x2. Obě tyto hodnoty ihned použijeme pro výpočetx3 a tak dále. V dalších iteracích postup opakujeme. Mimojiné hodnoty v paměti přímo přepisujeme a nemusíme držetv paměti starou a novou hodnotu.

Kapitola 10

Vektorová pole, tok, zákony zachování

Připomenutí derivací

Derivace umožňují studovat a popisovat změny veličin,vyjadřovat kvantitativně jejich vzájemné souvislosti.

(Obyčejná) derivace df

dt.

• S touto derivací se pracuje u funkce jedné proměnnéf(t). Např. f(t) = kt2, kde k je parametr (reálné číslo).

• Derivace je okamžitá rychlost změny veličiny f vzhledemk t, tj. nárůst veličiny f vyvolaný jednotkovým nárůstemveličiny t. (Prakticky však veličinu t změníme o malouhodnotu a nárůst přepočítáme na jednotkovou změnu.)

• Jednotka derivace je stejná, jako bychom veličiny f a tdělili.

• V modelech a při praktickém využití pracujeme s definicíderivace jako s rychlostí změny. Při výpočtu ale využí-váme dostupné vzorce pro výpočet derivace. Napříkladpro funkci z prvního bodu platí df

dt = 2kt.

Parciální derivace ∂f

∂t, ∂f

∂x, . . ..

• S touto derivací se pracuje u funkce více proměnných,typicky f(x, y, z, t). Např. f(x, y, z, t) = xt2

• Jedná se o obyčejnou derivaci podle jedné proměnné,přičemž ostatní proměnné považujeme za parametry. Tj.v případě funkce z minulého bodu je ∂f

∂t= 2xt, ∂f

∂x= t2,

∂f

∂y= ∂f

∂z= 0.

• Pro jednotku a výpočet platí totéž co u obyčejné deri-vace.

• Při aplikacích často pracujeme s gradientem, tj. s vekto-rem sestaveným z parciálních derivací podle jednotlivýchprostorových proměnných. Pro funkci tří proměnných x,y a z a pro potřeby matematické formulace fyzikálních

zákonů gradient uvažujeme jako sloupcový vektor

∇f =

∂f

∂x∂f

∂y∂f

∂z

.

Pro úsporu místa jej někdy píšeme v transponovanémtvaru

∇f =(∂f

∂x,∂f

∂y,∂f

∂z

)T.

Gradient je vektor, který má směr odpovídající směrunejrychlejšího růstu skalární veličiny a velikost odpovídázměně veličiny na jednotku délky.

Transportní jevyPochopení a modelování transportních dějů je důležité provětšinu technických oborů. Podstata těchto dějů je častoodlišná, přesto mají navenek podobné chování a tím jeumožněn jednotný přístup při matematickém modelování.

Příklady veličin podléhajících transportním dějům

• povrchová voda• podzemní voda• teplo• voda ve dřevě

Obecná bilance veličiny, která má zdroje a spotřebiče a jepřenášena tokem vypadá následovně.

• Existuje veličina, spojitě rozložená v prostoru, charak-terizující stav systému. Tuto veličinu budeme nazývatstavovou veličinou a její hustotu označíme u.

• Stavová veličina se může v prostoru přemisťovat tokem~.

• Stavová veličina může vznikat a zanikat. Zdroje i spo-třebiče budeme uvažovat společně a jejich vydatnostrozlišíme znaménkem: spotřebiče budou zdroje se zápor-nou vydatností. Celkovou vydatnost zdrojů a spotřebičů

76

KAPITOLA 10. VEKTOROVÁ POLE, TOK, ZÁKONY ZACHOVÁNÍ 77

v daném místě, tj. množství veličiny vygenerované najednotku objemu (nebo plochy, nebo délky, podle počtudimenzí v úloze) za jednotku času, označíme σ.

Zákon zachování (se zohledněním toku a zdrojů) je vlastněcelková bilance stavové veličiny. Přirozeným jazykem jemožno tuto bilanci formulovat následovně.

Přírůstek množství veličiny je součtem přírůstku zezdrojů a přírůstku způsobeného tokem.

Toto je jednoduchý, ale přitom neuvěřitelně silný nástroj,který umožní popsat řadu zcela odlišných dějů. Pro použitív matematickém modelu ale musíme jednotlivé pojmykvantifikovat. Měřit rychlost, s jakou se mění množstvíveličiny v daném místě umíme pomocí derivace podle času.Měřit změny v toku přenášejícím sledovanou veličinu jsmese naučili jako jednu z aplikací parciálních derivací: jednáse o záporně vzatou derivaci podle prostorové proměnnévynásobenou fyzikální materiálovou konstantou. Ještě semusíme naučit měřit intenzitu toku a její změny ve dvounebo třech dimenzích.

Tok a gradient v konstitutivních zá-konech

Poznámka (konstitutivní zákony). V aplikacích častoformulujeme zákony nebo vztahy mezi fyzikálními veličinamispecifickými pro danou látku nebo materiál a udávají odezvutohoto materiálu na externí stimul. Tyto zákony se nazývajíkonstitutivní zákony a formulujeme je pomocí gradientu atoku vektorového pole. Viz též Wikipedie.

Například vítr (tok molekul vzduchu) je vyvolán nerovno-měrným rozložením vzduchu (jeho hustoty a tím i tlaku)v prostoru a směřuje z míst s vyšším tlakem do míst s tlakemnižším. Větší rozdíl tlaků způsobí “větší vítr” a tím větší tokvzduchu. Toto platí i pro jiné proudění, jak ukážeme dále.

Nerovnoměrnost v prostorovém rozložení charakterizujegradient. V ustáleném stavu je pro široké rozmezí fyzikálníchproblémů závislost intenzity toku na gradientu lineární.A protože nulovému gradientu (nulovému stimulu) odpovídánulový tok (nulová odezva), bude tato lineární funkce přímouúměrností.

V dalším shrneme důležité praktické příklady, kdy je tokúměrný gradientu. Konstanta úměrnosti je obecně pouze kon-stantou pro daný problém a dané hodnoty parametrů. Můžese měnit s velikostí studovaného objektu (například obsahprůřezu geologické vrstvy, kterou proudí voda), s fyzikálnímivlastnostmi proudící látky (např. viskozita nebo hustotatekutiny, stlačitelnost vzduchu), s fyzikálními vlastnostmi

prostředí (např. velikost pórů v pórovitém prostředí nebovlhkost dřeva). Proto je možné tyto zákony najít v různýchtvarech, s různými členy a případnými přídavnými konstan-tami, které například odseparují vliv vlastností proudící látkya vliv vlastností prostředí. Vždy záleží na konkrétní situaci,zvyklostech v příslušném podoboru, nebo na přístupu autora.Není proto naší ambicí vést výklad dopodrobna, všímejme sijenom základních myšlenek.

Vícerozměrné konstitutivní zákonyZákony uvedené níže byly často odvozeny v jednorozměrnémpřípadě a letmo zmíněny v přednášce Derivace II. V moderníformulaci používáme obecný vektorový zápis, který zohled-ňuje i směr. Konstanta úměrnosti potom zprostředkovávávztah mezi dvěma vektory. Jedná se tedy z matematického po-hledu o matici, která umožní nejenom změnit délku vektorua jeho jednotku, ale i směr. Tato matice se navíc při změněbáze transformuje speciálním způsobem, tak jako vektory.Takové objekty nazýváme tenzory. Níže budeme pojmemtenzor rozumět matici 3 × 3 nebo 2 × 2, podle kontextu.(Obecněji je možno považovat skalární veličiny a vektory zatenzory nižších řádů, toto my však dělat nebudeme.)

Vizualizace toku a vrstevnic pro anizotropní materiál, kdytok není vždy kolmý na směr maximálního spádu stavovéveličiny.

Fickův zákon (difuze)V roce 1855 německý lékař A. Fick objevil, že difuzní tok ~J(množství látky které projde při difuzi jednotkovou plochouza jednotku času) je úměrný gradientu koncentrace c tétolátky. Matematicky vyjádřeno pomocí moderní terminologieto znamená, že platí

~J = −D∇c.

Veličina D se nazývá difuzní koeficient. Pokud má ~J stejnýsměr jako ∇c, je D skalární veličina. Pokud směry nejsoustejné, je D tenzor. Z fyzikálních důvodů je tenzor Dsymetrický.

Difuzí se například dřevo zbavuje vlhkosti při vysoušení.

Darcyho zákon (proudění podzemní vody)V letech 1855 a 1856 francouzský inženýr H. Darcy pokusyprokázal přímou úměru mezi rozdílem tlaků na koncíchtrubice naplněné porézní zeminou (jednalo se vlastně o rozdílvýšek pro šikmou trubici) a rychlostí proudění vody toutotrubicí. Tok (množství vody, která proteče jednotkovouplochou za jednotku času) je dán vztahem

~q = −K∇p,

KAPITOLA 10. VEKTOROVÁ POLE, TOK, ZÁKONY ZACHOVÁNÍ 78

kde p je tlak a K je koeficient vodivosti (někdy též koeficientfiltrace), v obecném případě symetrický tenzor, v izotropnímpřípadě, kdy ~q a ∇p mají stejný směr, veličina skalární.

Někdy se tento zákon neformuluje pomocí gradientu tlaku,ale pomocí gradientu jiné veličiny, kterou zavádíme v hydro-logii pro názorné studium efektů, souvisejících s prouděnímvody. Nejčastěji se jedná o vodní potenciál a hydraulickouvýšku či piezometrickou hladinu. Piezometrická hladina jeveličina používaná k tomu, abychom do jednoho jednodušemodelovatelného faktoru (má rozměr stejný jako délka) zapo-čítali všechny veličiny mající vliv na proudění podzemní vody,od rozdílu nadmořských výšek, přes kapilární a osmotickéjevy až po vnější síly vyvolané tlakem geologických vrsteva jiné. Jedná se vlastně o celkovou energii vody s tím, ženěkteré části považujeme za zanedbatelné. Například častoneuvažujeme kinetickou energii nebo osmózu a kapilárníjevy.

Fourierův zákon (vedení tepla)

Fourierův zákon se týká vedení tepla a vyjadřuje, že vektorhustoty tepelného toku ~q je úměrný gradientu teploty ∇T amá opačný směr, tj.

~q = −k∇T.

Je-li materiál anizotropní, což je nejobecnější případ, jeveličina k symetrickým tenzorem. Je-li materiál izotropní, jek skalární veličinou, případně skalární veličina násobená jed-notkovou maticí, pokud potřebujeme zachovat její maticovýcharakter.

Soretův efekt (termodifuze)

Tok tepla je vyvolaný nerovnoměrným rozložením teploty.Difuze chemické látky je vyvolána nerovnoměrným rozlože-ním koncentrace této látky. Většinou je hybatelem procesunerovnoměrnost v rozložení látky, která se tímto proce-sem transportuje. Nemusí to však být vždy. Příklademje termodifuze, což je pohyb prvků vyvolaný nerovnoměr-ným rozložením teploty. Například při difúzi vody ve dřevěs nerovnoměrným rozložením teploty je tok dán vztahem

~J = −D∇c− sD∇T,

kde s je koeficient termodifuze. Na rozdíl od předchozíchzákonů, u Soretova efektu dochází k transportu nejenom vesměru maximálního poklesu (záporného gradientu) teploty,ale někdy i ve směru gradientu teploty. Viz Wikipedia aheslo Thermophoresis.

Speciální případy vztahu mezi gradi-entem a tokemUvažujme vztah mezi gradientem a tokem ve tvaru

~j = −K∇u ,

kde K je symetrický tenzor. Gradient má ve trojrozměrnémpřípadě vyjádření

∇u =(∂u

∂x,∂u

∂y,∂u

∂z

)Ta ve 2D

∇u =(∂u

∂x,∂u

∂y

)T,

kde horní index T značí transponovanou matici, tj. jedná seo sloupcový vektor.

Obecný případ (anizotropní)Veličina K je matice

K =

k11 k12 k13k21 k22 k23k31 k32 k33

jejíž komponenty splňují kij = kji. Často jsou všechnyveličiny kladné a prvky v hlavní diagonále jsou dominantní.

Komponenty vektoru ~j = (jx, jy, jz)T jsou

jx = −k11∂u

∂x− k12

∂u

∂y− k13

∂u

∂z,

jy = −k21∂u

∂x− k22

∂u

∂y− k23

∂u

∂z,

jz = −k31∂u

∂x− k32

∂u

∂y− k33

∂u

∂z,

což zjistíme prostým maticovým násobením. Prostor prodalší úpravu není.

Ortotropní případ, vhodně zvolené osyV obecném případě je zpravidla možné transformovat sou-stavu souřadnic tak, aby tenzor K byl diagonální. Propraktické výpočty se toto však často nevyplatí. Pokud všakje studovaný problém ortotropní, má charakteristické směry(přesněji, má tři roviny symetrie materiálových vlastností),je možné zvolit souřadnice v souladu s těmito směry a maticeK je diagonální.

K =

k11 0 00 k22 00 0 k33

KAPITOLA 10. VEKTOROVÁ POLE, TOK, ZÁKONY ZACHOVÁNÍ 79

Komponenty vektoru ~j jsou

jx = −k11∂u

∂x,

jy = −k22∂u

∂y,

jz = −k33∂u

∂z.

S diagonální maticí se pracuje velmi dobře, protože máv hlavní diagonále vlastní čísla. Tato vlastní čísla jsoufyzikální charakteristikou úlohy. Například největší vlastníčíslo a odpovídající vlastní směr charakterizují směr, vekterém je odezva materiálu na vnější podnět maximálnía vlastní číslo udává velikost této reakce. Tyto fyzikálnícharakteristiky nemohou být závislé na volbě souřadnésoustavy, ve které úlohu popisujeme. Co se mění s volbousouřadné soustavy jsou pouze souřadnice vlastního vektoru.Vlastní čísla jsou však skalární a proto jsou invariantní přiotočení soustavy souřadnic. Pokud bychom neměli možnostzvolit soustavu souřadnic tak, aby matice byla diagonální,máme alespoň jistotu, že vlastní čísla zůstanou stejná.

Ortotropní případ ve 2DStejné jako ve 3D, pouze chybí třetí rovnice.

Izotropní případStejné jako ortotropní případ, ale navíc platí k11 = k22 =k33 = k. Potom ~j = −k∇u, kde k je konstanta a vektorytoku a gradientu mají opačný směr.

DivergenceBudeme sledovat tok vektorového pole a bude nás zajímat,o kolik se tok v daném místě mění.

• Pro jednoduchost rozdělíme tok na tři nezávislé částive směru jednotlivých os a vztáhneme vše k jednotkámčasu a průřezu, tj. budeme uvažovat hustotu toku nějakéfyzikální veličiny.

• Je-li tato hustota toku popsána vektorovým polem~q = (P,Q,R) v jednotkách kilogram na metr čtverečníza sekundu, znamená to, že kolmým průřezem jednot-kového obsahu projde za jednotku času P kilogramůsledované látky, jejíž tok popisujeme. Často se pracujei s objemovým tokem, kdy množství neměříme v ki-logramech ale v metrech krychlových a například přiustáleném proudění v trubici (hydrodynamika) je tokroven vektoru rychlosti a při proudění porézním ma-teriálem (proudění podzemní vody) je roven filtračnírychlosti.

• Derivace ∂P

∂xudává, o kolik studovaný tok v daném

místě vzroste ve směru osy x a tento nárůst je vztaženýna jednotku délky.

• Ve směru osy y máme tok vyjádřený veličinou Q a protonás podobně zajímá ∂Q

∂y.

• Analogicky ∂R

∂z.

• Celková změna toku bude součtem všech tří příspěvků.Pokud je kladná, znamená to, že z daného místa víceveličiny vytéká, než kolik teče dovnitř. Pokud je záporná,je tomu naopak. Jestli se v případě nerovnováhy v danémmístě může proudící veličina tvořit nebo spotřebovávatnebo akumulovat nebo jestli v daném místě může ubý-vat z tohoto rozboru nezjistíme. Záleží na charakteruproudící veličiny a na okolnostech s tímto prouděnímspojených. Tuto informaci nám pro další popis musí do-dat externí věda (obecná fyzika, fyzika materiálu, fyzikaživotního prostředí, hydrologie, pedologie, . . . ).

• Při preciznější argumentaci dávající do souvislosti par-ciální derivace jednotlivých komponent toku s tím, cose reálně s vektorovým polem děje, je nutné si pomocistejně jako u derivací, tj. uvažovat ne dané místo, alejistý konečně velký objem (viz obrázek), vztáhnout danéveličiny na jednotku objemu a rozměry tohoto objemulimitně stáhnout k nule. Toto však již přesahuje ambicev našem kurzu a jedná se o formalismus, kterému sevyhneme přímým představením hotového výsledku.

Výše uvedenými úvahami je motivována následující definice avěta. (Definice je maličko nepřesná, protože nemáme nástrojepro pečlivější formulaci.)

Definice (divergence). Divergence vektorového pole ~Fv daném bodě je převis toku vektorového pole z tohoto místanad tokem do tohoto místa. Tento tok se počítá přes hraniciinfinitezimálně malého referenčního tělesa a je vztažený najednotku objemu. Divergenci vektorového pole ~F označujeme∇ · ~F nebo div ~F .

Věta (výpočet divergence). Pro vektorovou funkci

~F = (P,Q,R) = P~i+Q~j +R~k,

kde P , Q a R jsou funkce tří proměnných x, y a z vypočtemedivergenci vztahem

∇ · ~F = div ~F = ∂P

∂x+ ∂Q

∂y+ ∂R

∂z.

Pro vektorovou funkci dvou proměnných vypočteme diver-genci analogicky, pouze chybí třetí člen.

KAPITOLA 10. VEKTOROVÁ POLE, TOK, ZÁKONY ZACHOVÁNÍ 80

Poznámka (fyzikální interpretace divergence). Vek-torové pole používáme k modelování toku veličin, které nászajímají (teplo v materiálu, tekutina nebo chemická látkav materiálu, voda nebo plyn v půdě a podobně). Divergencevektorového pole udává tok z jednotkového objemu látkyv daném místě. Udává, jestli se v daném místě a čase tok na-bývá na intenzitě (kladná divergence) nebo ustává (zápornádivergence). Tento efekt může být způsoben tím, že veličinapřenášená tímto polem se v daném místě buď kumuluje,nebo ubývá a také tím, že daná veličina v bodě může vznikatnebo zanikat.

Divergence je lokální veličina. Udává informaci o danémbodě. Pro měření však je nutné mít konečný objem a prostanovení toku konečně velkou hranici. Vzájemný vztahmezi lokální veličinou a konečným objemem je založený napředpokladu, že podmínky se nemění skokem a okolí každéhobodu jsou nepříliš odlišné od podmínek v okolních bodech.

Poznámka (fyzikální interpretace divergence v mě-řitelných pojmech). Protože tok přes hranici umímeměřit u těles, představíme si okolo bodu který nás zajímá,těleso. Například kouli nebo krychli. Poté určíme tok přeshranici. Tok hranicí ven počítáme kladně a dovnitř záporně.Celkový tok hranicí určíme jako součet přes všechny částihranice. Podíl celkového toku přes hranici tělesa a objemutohoto tělesa je odhad pro divergenci v daném bodě.

Přesnou divergenci získáme postupem uvedeným v předchozípoznámce, pokud limitním přechodem stáhneme rozměrytělesa k nule.

Pokud se daném místě množství veličiny nemění s časem,tj. žádná veličina se tam neakumuluje ani neubývá, mlu-víme o stacionárním proudění a stacionárním poli. Situacese zjednoduší, protože potom divergence souvisí jenoms přítomností zdrojů a spotřebičů.

Poznámka (praktická interpretace divergence staci-onárního pole). Pokud při ustáleném proudění je v ně-kterém místě divergence kladná, znamená to, že v tomtomístě musí být zdroj této veličiny. Pokud je záporná, jev daném místě spotřebič. Pro pohodlí při popisu toku be-reme spotřebiče jako záporné zdroje. Vektorové pole, jehoždivergence je rovna nule, se nazývá nezřídlové pole. Toproto, že pokud toto pole popisuje ustálený tok, tak se jednáo tok v prostředí bez zdrojů a spotřebičů.

Ze střední školy z fyziky umíme modelovat vektorové polepomocí siločar. Siločáry nezřídlového pole nikde nezačínajíani nekončí a jsou to uzavřené křivky. Například stacionárnímagnetické pole je nezřídlové. Absence zdrojů magnetickéhopole se projevuje tak, že rozříznutím tyčového magnetu

vzniknou dva menší plnohodnotné magnety. Nevzniknesamostatný jižní pól a samostatný severní pól magnetu.To je rozdíl oproti poli elektrickému, kdy rozdělením tyčes opačně nabitými konci vznikne jedna kladně nabitá a jednazáporně nabitá tyč poloviční délky.

Výpočet gradientu a divergenceViz přednáška.

Rovnice kontinuity• Přírůstek stavové veličiny za jednotku času v jednotko-

vém objemu (nebo ploše, nebo délce, podle dimenziona-lity úlohy) je derivace hustoty u podle času.

Přírůstek = ∂u

∂t

• Přírůstek veličiny v jednotkovém objemu (nebo ploše,nebo délce) za jednotku času způsobený tokem ~ jezáporně vzatá divergence vektorového pole ~. Tento pří-růstek je způsobený snížením toku, proto má předřazenozáporné znaménko.

Přírůstek způsobený tokem = −∇ · ~

Matematickou formulací celkové bilance je rovnice konti-nuity.

∂u

∂t= σ −∇ · ~

Poznámka (fyzikální interpretace členů rovnice kon-tinuity).

• Člen ∂u

∂tudává, jak rychle se roste hustota stavové veli-

činy u v daném místě a čase.• Člen σ udává vydatnost zdrojů stavové veličiny, při-

čemž spotřebiče jsou uvažovány jako zdroje zápornévydatnosti. Tento člen tedy udává, kolik stavové veličinyv tomto místě vzniká v jednotkovém objemu za jednotkučasu.

• Člen ∇ · ~j udává v daném bodě změnu ve velikostiproudění přenášejícím stavovou veličinu. Přesněji, udává,o kolik více veličiny z daného místa vyteče ve srovnánís množstvím veličiny, které do tohoto místa vteče. Jinakřečeno, udává, o kolik zesílí v daném místě tok ~. Mypotřebujeme mít zachyceno zeslabení (množství kteréchybí v toku se “použije” na akumulaci veličiny v danémmístě) a proto uvažujeme záporně vzatou divergenci, tj.−∇ ·~j.

• Pokud zdroje stavové veličiny neexistují, jedná se o bez-zdrojovou rovnici a klademe σ = 0.

KAPITOLA 10. VEKTOROVÁ POLE, TOK, ZÁKONY ZACHOVÁNÍ 81

• Pokud studujeme systém v ustáleném stavu, kdy se sta-vová veličina nemění v čase, je člen ∂u

∂tna levé straně

nulový. V tomto případě mluvíme o stacionárním stavua stacionární rovnici kontinuity. Stacionární rovnicekontinuity typicky popisuje systémy, které byly dosta-tečně dlouhou dobu ve stabilních podmínkách a dosáhlyrovnovážného stavu.

• Viděli jsme, že za určitých podmínek mohou některéčleny v rovnici kontinuty chybět. Naopak člen ∇ · ~jcharakterizující změny v toku je v rovnici kontinuitypřítomen vždy. Bez něj by rovnice kontinuity ztratilasmysl (resp. redukovala by se na triviální případ, kdyveličina v daném místě vzniká danou rychlostí a zůstávázde, tj. problém řešitelný čistě integrováním).

V matematice často rovnici kontinuity uvažujeme ve výšeuvedeném tvaru. Při praktickém použití většinou preferu-jeme názornou interpretaci jednotlivých veličin a proto sev rovnici mohou objevit další konstanty úměrnosti, kteréumožní sladit jednotky a fyzikální interpretaci členů. Někdyse naopak snažíme konstanty co nejvíce redukovat metodamitransformace popsanými v přednášce o diferenciálních rov-nicích. Proto volíme vhodné násobky veličin vystupujícíchv matematické formulaci tak, aby se co nejvíce konstanteliminovalo, případně shluklo do jediné veličiny. Zkušenostiukazují, že je vhodné volit veličiny bezrozměrné. Napříkladv publikaci P. Horáček, Fyzikální a mechanické vlastnostidřeva I je zavedena bezrozměrná vlhkost, bezrozměrný čas abezrozměrná vzdálenost na straně 61 pro rovnici popisujícídifuzi a charakteristická délka, Biotovo číslo (bezrozměrnátepelná vodivost) a bezrozměrná teplota, bezrozměrný čas abezrozměrná vzdálenost pro rovnici popisující vedení teplana stranách 88 a 89.

V této rovnici není zahrnut případ, kdy se veličina přenášíještě i prouděním hmotného prostředí (konvekce).

ww2:problems/difuzni_rce/interpretace_clenu.pg

Rovnice mělké vodyRovnici kontinuity můžeme použít pro popis vody v korytě.Úloha je jednodimenzionální a tok Q je skalární veličina.Divergence toku se díky jednodimenzionálnosti redukuje naderivaci podle prostorové proměnné ∂Q

∂x. Zachovávající se

veličinou je množství vody. Hustota zachovávající se veličinyje množství vody na metr délky toku, tj. průtočný průřez A(obsah průřezu říčního toku v daném místě). Zdroje zpravidlaneuvažujeme, tj. σ = 0. Rovnice kontinuity má potom tvar

∂A

∂t= −∂Q

∂x

a nazývá se Saint-Venantova rovnice nebo též rovnice mělkévody. Tato rovnice se používá při popisu proudění v korytěnebo při modelování vln tsunami.

V rovnici jsou dvě funkce, tok Q definující pohyb stavovéveličiny a průřez A definující množství stavové veličiny. Někdyje vhodnější pracovat se stavovou veličinou h udávající výškuhladiny. Jak jsme zmínili v úvodní přednášce o derivacích,je derivace dA

dh rovna šířce hladiny. Abychom mohli celourovnici převést na tvar pracující jenom se stavovou veličinouh, je nutné udělat nějaké dodatečné předpoklady, jakonapříklad pracovat s konkrétním tvarem koryta.

Proudění tekutiny v mechanice kon-tinuaV mechanice kontinua podobně jako u vedení tepla neuvažu-jeme zdroje. Stavovou veličinou je hustota ρ, která popisujemnožství látky v daném místě. Tato látka je přenášena to-kem, který je roven součinu rychlosti ~u a hustoty ρ. Rovnicekontinuity popisující proudění dané rychlostí ~u má poté tvar

∂ρ

∂t+∇ · (ρ~u) = 0,

kde ρ je hustota. Tato rovnice napsána pro vzduch je jednouz rovnic používaných při modelování vývoje počasí

Pro nestlačitelnou tekutinu je hustota konstantní, což elimi-nuje nestacionární člen a redukuje rovnici na

∇ · ~u = 0.

Důsledkem této rovnosti je zvýšení rychlosti molekul pohybu-jící se nestlačitelné tekutiny při proudění místem s menšímprůřezem.

Středoškolský makroskopický tvar jednorozměrné rovnicekontinuity pro proudění nestlačitelné tekutiny je

Su = konst.

Difuzní rovniceDifuzní rovnice je rovnice kontiuity s dosazeným konstitučnímvztahem pro tok. Použijeme-li pro kvantifikaci souvislostitoku a gradientu lineární aproximaci, je možné psát

~ = −D∇u,

kde D konstanta úměrnosti. Pokud tok ~ a gradient ∇uleží v jedné přímce, je D reálné číslo, jinak je D matice.Například při studiu pohybu vody ve dřevě se voda řídínejen směrem maximálního poklesu vlhkosti, ale stáčí sesoučasně do podélného směru, ve kterém dřevo vede vlhkost

KAPITOLA 10. VEKTOROVÁ POLE, TOK, ZÁKONY ZACHOVÁNÍ 82

nejlépe. V takovém případě je D matice. Spojením rovnicekontinuity

∂u

∂t= σ −∇ · ~

a vztahu pro tok stavové veličiny dostáváme rovnici

∂u

∂t= σ −∇ · (−D∇u).

Tuto rovici je možno upravit na tvar

∂u

∂t= σ +∇ · (D∇u),

který se nazývá difuzní rovnice.

Poznámka (fyzikální interpretace difuzní rovnice).

• Člen ∂u

∂tudává, jak rychle se mění hustota stavové veli-

činy u. Je stejný jako v rovnici kontinuity.• Člen σ udává vydatnost zdrojů stavové veličiny. Je stejný

jako v rovnici kontinuity.• Člen ∇u udává nerovnoměrnost v prostorovém rozložení

stavové veličiny. Pomocí difuzní matice D a konstitutiv-ního zákona tuto nerovnoměrnost přepočítáme na tok,který se snaží uvažovanou nerovnoměrnost vyrovnat.Tento tok je reprezentován výrazem −D∇u.

• Záporně vzatá divergence toku udává, jak tok v da-ném místě ztrácí na intenzitě. Vzhledem k zápornémuznaménku v konstitutivním zákoně má záporně vzatádivergence tvar

∇ · (D∇u).Představuje přírůstek hustoty stavové veličiny v danémmístě za jednotku času, způsobený zeslábnutím toku.

• Rovnice jako celek vyjadřuje, že navýšení hustoty sta-vové veličiny (tj. množství stavové veličiny v jednot-kovém objemu) je součtem navýšení díky zdrojům anavýšení díky zeslabení toku v daném místě.

Vedení teplaDůležitým speciálním případem difuzní rovnice je rovnicevedení tepla. Stavovou veličinou, která se zachovává v úloháchs vedením tepla, je vnitřní energie ve formě tepla. Zpravidlanemá smysl uvažovat členy vyjadřující zdroje, tj. σ = 0.Protože teplo neměříme přímo, je vhodnější model formulovatpro teplotu T . Jsou-li % a c po řadě hustota a měrnátepelná kapacita materiálu, má člen vyjadřující změnuhustoty energie v daném místě tvar %c∂T

∂t. Úměrnost mezi

gradientem teploty a tokem tepla zprostředkovává Fourierůvzákon. Difuzní rovnice má v tomto případě tvar

%c∂T

∂t= ∇ · (D∇T )

Poznámka (fyzikální interpretace rovnice vedenítepla).

• Veličina ∂T

∂tudává rychlost růstu teploty tělesa a koefi-

cient ρc tuto hodnotu přepočítává na údaj, jak rychleroste vnitřní energie tělesa (kinetická energie molekul.)

• VýrazD∇T udává (až na znaménko), jak se nerovnoměr-nost v rozložení teploty vyrovnává tokem tepla. Přesněji,tok tepla je −D∇T .

• Člen ∇ · (D∇T ) udává, kolik tepla z celkového tokuv daném místě zůstává a podílí se na zvýšení teploty.Vzhledem k absenci zdrojů je to také jediný mechanis-mus, jak v daném místě může vnitřní energie přibývatči ubývat.

• Rovnice jako celek vyjadřuje to, že pokud z danéhomísta více energie odtéká, než kolik do místa proudí,dojde v tomto místě k odpovídajícímu snížení teploty.V tomto bodě je totiž divegrence toku ∇ · (−D∇T )kladná a výraz z rovnice ∇ · (D∇T ) je proto záporný.

ww2:problems/difuzni_rce/vedeni_tepla_vypocet.pg

Tato rovnice je zobecnění rovnice vedení tepla v jedné di-menzi, kterou jsme odvodili primitivními prostředky (jenompomocí parciálních derivací, bez gradientu a divergence) vetvaru

ρc∂T

∂t= ∂

∂x

(D∂T

∂x

)v úvodní přednášce.

Rovnice vedení tepla se používá například při tepelné ochraněbudov, při modelování tepelných ostrovů v krajině, při tepelnémodifikaci dřeva, nebo při studiu permafrostu.

V literatuře věnované problematice dřeva se rovnice vedenítepla ve dřevě označuje jako Druhý Fourierův zákon (P.Horáček, Fyzikální a mechanické vlastnosti dřeva I, str. 88).

V některých případech nemusí být člen charakterizujícízdroje nulový. Teplo může vznikat například při tření nebopři průchodu elektrického proudu transformací z jinéhodruhu energie. Dále teplo vzniká například při betonovánípo přidání vody do cementu, známý je problém jak uchladitHooverovu přehradu při stavbě.

Voda v porézním materiáluV porézním materiálu voda prostupuje materiálem a zacho-vává se její množství, což bude stavová veličina. Hustotutohoto množství, tj. obsah vody v jednotce objemu, označímec a pro tuto veličinu formulujeme matematický model. Zdrojeneuvažujeme. Úměrnost mezi gradientem koncentrace vodya jejím tokem zprostředkovává Fickův zákon. Modelem je

KAPITOLA 10. VEKTOROVÁ POLE, TOK, ZÁKONY ZACHOVÁNÍ 83

potom difuzní rovnice bez zdrojů.

∂c

∂t= ∇ · (D∇c)

Tato rovnice se používá například při modelování procesusušení dřeva v sušárnách nebo při modelování dřeva vevlhkém prostředí. Stejná rovnice napsaná pro vzduch sepoužívá k modelování proudění v atmosféře při předpovídánípočasí.

V literatuře věnované problematice dřeva se rovnice difuzepoužitá na modelování vlhkosti ve dřevě označuje jako DruhýFickův zákon (A. Požgaj a kol., Štruktúra a vlastnosti dreva,str. 202, P. Horáček, Fyzikální a mechanické vlastnosti dřevaI, str. 60).

V praxi je dřevo často s jistou přesností homogenní, aledifuzní koeficient dřeva závisí na vlhkosti, tedy vztah mezigradientem vlhkosti a difuzním tokem není lineární. Přestoi v tomto případě používáme Fickův zákon, ovšem složkydifuzního koeficientu nepovažujeme za konstanty, jsou závisléna c a jejím prostřednictvím i na x.

Rovnice podzemní vodyProudění podzemní vody je vlastně úloha s řekou se zasypa-ným korytem. Taková voda teče ve srovnání s povrchovouvodou velmi pomalu, protože prosakuje půdou. Prostor, kdese podzemní voda nachází, se nazývá zvodeň. Stejně jako řekav korytě na povrchu, i voda v podzemní zvodni teče v jistémsmyslu “z kopce”. V tomto případě však kromě nadmořskévýšky může hrát roli i rozdíl tlaků nebo další efekty. Vlivvšech těchto efektů shrnujeme do jediného pojmu piezome-trická výška. Směr “z kopce” pro podzemní vodu je potésměr poklesu piezometrické výšky. V daném místě se můževoda hromadit, to poznáme nárůstem hladiny spodní vody.Také může z hlediska zvodně část vody zanikat, napříkladpokud je zde čerpaná studna nebo průsak do jiné zvodně.Voda může ve zvodni i vznikat, například zasakovacím vrtemnebo průsakem dešťových srážek. Pokud do celkové bilancezapočteme rozdíl mezi přítokem a odtokem a všechny zdrojea spotřebiče, množství vody se zachovává.

Podzemní zvodeň je typickým porézním materiálem, přestok modelování vody v tomto prostředí přistupujeme speciál-ním způsobem. Úloha se většinou uvažuje ve dvou dimenzích,protože horizontální rozměry zvodně jsou mnohem větší nežjejí hloubka. Zachovává se množství vody, ale stejně jakou vedení tepla je výhodné formulovat model pro lépe měři-telnou veličinu, piezometrickou výšku h. Přírůstek množstvípodzemní vody za časovou jednotku na jednotkové plošev daném místě zvodně má tvar SS

∂h

∂t, kde SS je specifická

zásobnost. Úměrnost mezi gradientem piezometrické výškya filtračním tokem zprostředkovává Darcyho zákon. Difuzní

rovnice má (s konstantou úměrnosti T , transmisivitou) tvar

SS∂h

∂t= σ +∇ · (T∇h).

Tato rovnice se nazývá rovnice podzemní vody. Zdroje jsounejčastěji zasakovací nebo odvodňovací vrty, dále studny,poldry, výkopy nebo zářezy. Informace získané z rovnicepodzemní vody se využívají například k ochraně lomů, dolůa stavebních jam před zaplavením, k hospodaření s pitnouvodou, k ochraně před šířením kontaminace z chemickýchprovozů. Aplikace jsou dále v detekci zdroje kontaminacepitné vody a odhadu rychlosti šíření kontaminace, včetněkontaminace slanou mořskou vodou v přímořských oblastech.

U proudění s napjatou hladinou (mezi dvěma nepropustnýmivrstvami, angl. confined aquifer) transmisitiva závisí pouzena fyzikálních vlastnostech zvodně. Například pro homo-genní izotropní materiál je konstantní. U proudění s volnouhladinou (bez horní nepropustné vrstvy, angl. unconfinedaquifer) je transmisivita úměrná tloušťce vrstvy obsahujícívodu. Zpravidla nulovou hodnotu piezometrické hladinyvolíme na dolní nepropustné vrstvě a potom platí T = kh,kde k závisí pouze na fyzikálních vlastnostech půdy. Proto sečasto rovnice podzemní vody pro proudění s volnou hladinouzapisuje ve tvaru

SS∂h

∂t= σ +∇ · (kh∇h).

Rovnice vedení tepla ve 2D v různýchpodmínkáchUvažujme rovnici vedení tepla ve dvou rozměrech a v pro-středí bez zdrojů.

ρc∂T

∂t= ∇ · (D∇T ) (***)

Stacionární stavStacionární stav znamená, že stavové veličiny nezávisí načase. Derivace podle času je v takovém případě nulová.Rovnice (***) se redukuje na

∇ · (D∇T ) = 0.

Homogenní izotropní materiál a lineární ma-teriálové vztahyMateriál má ve všech místech (homogenní) a ve všechsměrech (izotropní) stejné vlastnosti. Veličina D je reálnáskalární veličina (konstanta).

Podle pravidla derivace konstantního násobku se rovnice(***) redukuje na

KAPITOLA 10. VEKTOROVÁ POLE, TOK, ZÁKONY ZACHOVÁNÍ 84

ρc∂T

∂t= D∇ · (∇T )

a ve složkách

ρc∂T

∂t= D

(∂2T

∂x2 + ∂2T

∂y2

).

Pro τ = Dt

ρc(změna jednotky času) dostáváme

∂T

∂τ= ∂2T

∂x2 + ∂2T

∂y2 .

Ortotropní materiál, nehomogenní nebo ne-lineárníMateriál má dva charakteristické směry související s rovinamisymetrie. Zvolíme soustavu souřadnic tak, aby osy bylyorientovány ve směru vlastních vektorů.

Veličina D je diagonální matice. Pro

D =(Dx 00 Dy

)je tvar rovnice (***) ve složkách

ρc∂T

∂t= ∂

∂x

(Dx

∂T

∂x

)+ ∂

∂y

(Dy

∂T

∂y

).

Homogenní ortotropní materiál a lineárnímateriálové vztahyMateriál má dva charakteristické směry související s rovinamisymetrie a materiálové charakteristiky jsou ve všech místechstejné a nezávislá na T . Stejné jako předchozí případ, ale Dx

aDy jsou konstanty. Podle pravidla pro derivaci konstantníhonásobku se rovnice (***) redukuje na

ρc∂T

∂t= Dx

∂2T

∂x2 +Dy∂2T

∂y2 .

Umění identifikace předpokladůz tvaru difuzní rovniceJasná kuchařka, jak identifikovat předpoklady vedoucí kekonkrétní formě difuzní rovnice může vypadat násedovně.Obecný tvar v kartézských souřadnicích je

∂u

∂t= σ + ∂

∂x

(Dx

∂u

∂x

)+ ∂

∂y

(Dy

∂u

∂y

)+ ∂

∂z

(Dz

∂u

∂z

)a pokud máte před sebou podobnou rovnici, ve které některýčlen chybí, znamená to, že tato rovnice v sobě již obsahujejisté předpoklady. Ty se pokusíme identifikovat. Některý člen

může být lehce modifikovaný, například a levé straně mohoufigurovat dodatečné multiplikativní konstanty (napříkladv případě rovnice vedení tepla) nebo člen popisující zdrojemůže být nekonstantní (například při studiu vývoje populacese zahrnutím prostorového rozložení používáme logistickýrůst σ = ru

(1− u

K

)), zajímavé však pro nás jsou podstatné

odlišnosti shrnuté v následujících odrážkách.

• Je v rovnici člen ∂u∂t

s derivací podle času? Pokud ano, jerovnice nestacionární a dokáže popsat časový vývoj děje.Pokud ne, jedná se o stacionánrní rovnici popisující dějpo dosažení ustáleného stavu. Stacionární rovnice jejednodušší, ale nedokáže zachytit časový vývoj.

• Je v rovnici člen bez časové a prostorové derivace? Tj.v našem označení σ? Pokud ano, popisuje tento členvydatnost zdrojů nebo spotřebičů a rovnice je schopnazachytit situace, kdy stavová veličina vzniká nebo za-niká. Pokud ne, jedná se o bezzdrojovou rovnici. Takovérovnice popisuje stav, kdy se stavová veličina může je-nom přemisťovat nebo kumulovat. Bezzdrojová rovniceje jednodušší, ale nedokáže modelovat vznik či zánikstavové veličiny.

• Jsou přítomny všechny prostorové souřadnice, nebo je-nom některé? Počet prostorových souřadnic defiuje di-menzi problému, tj. určuje, zda se jedná o úlohu v pro-storu, v rovině nebo na přímce.

• Jsou všechny difuzní koeficienty stejné (například D),nebo jsou odlišeny (například indexy Dx, Dy, Dz)? Po-kud jsou stejné, jedná se o izotropní materiál a rovnicedokáže popsat pouze materiál mající ve všech směrechstejné vlastnosti. Pokud jsou difuzní koeficienty odlišeny,jedná se o anizotropní nebo ortotropní materiál a doká-žeme s ní popsat i materiály mající díky své struktuřejiné vlastnosti v jednotlivých směrech.

• Jsou difuzní koeficienty uvnitř derivací ve členech typu

∂

∂x

(Dx

∂u

∂x

)nebo jsou difuzní členy zjednodušeny do tvaru

Dx∂2u

∂x2 ?

Pokud jsou zjednodušeny do tvaru součinu difuzníhokoeficientu a druhé derivace, znamená to, že rovnice jesice jendodušší, ale rovnice je schopna popsat pouze ma-teriál, který je homogenní a konstitutivní zákon v tomtomateriálu je lineární. V opačném případě (nehomoge-nita materiálu, nelinearita materiálu, případně obojí)necháváme difuzní koeficienty uvnitř derivace, tak jakto je v obecném případě. Rovnice je komplikovanější,ale umožňuje práci s obecnějšími materiály.

ww2:problems/difuzni_rce/predpoklady.pg

KAPITOLA 10. VEKTOROVÁ POLE, TOK, ZÁKONY ZACHOVÁNÍ 85

Shrnutí, hlavní myšlenky• Pomocí gradientu a aparátu lineární algebry můžeme

vyjádřit vztah mezi pohybem fyzikální veličiny a mecha-nismem, který tento pohyb iniciuje. Většinou se jednáo vztah mezi vektorovým polem toku a gradientem jis-tého skalárního pole.

• Pomocí parciálních derivací a divergence dokážeme určit,jestli se v nějakém místě veličina proudící tímto místem“ztrácí” nebo “přibývá”.

• Dokážeme dokonce s rozumnou interpretací, čím pří-padné ubývání přenášené veličiny může být způsobeno(zdroje a spotřebiče nebo akumulace v daném místě),zformulovat rovnici, která dané proudění plně popisuje.Výsledkem jsou rovnice vedení tepla, rovnice difuze, rov-nice proudění podzemní vody a jiné.

• Obecná rovnice odvozená podle předchozích bodů jeobecná a pro práci na konkrétní úloze se ji snažímenějak blíže specifikovat. Například zjednodušit, pokudmáme informaci o charakteru materiálových vztahů (line-ární/nelineární) a materiálu (homogenní/nehomogenní).Jiným zjednodušením je, pokud se zajímáme o stacio-nární stav, který se nastolí po dosažení rovnováhy.

• Posláním široké škály příkladů různých specifikací rov-nice kontinuity (vedení tepla, proudění povrchové a pod-zemní vody a další) je, aby si student uvědomil širokýzáběr obecné formulace rovnice kontinuity. Na zkouškuse naučte obecnou rovnici a jenom informativně si pře-čtěte její speciální případy. Obory pracující se dřevem(dřevařství, nábytek, dřevostavby) si uložte do pamětirovnice popisující modelování tepla a vlhkosti ve dřevě.Budou se vám hodit ve studiu. Na krajinářství se zasezaměřte na modelování vody, mělké i podzemní.

Kapitola 11

Dvojný integrál

V praxi pracujeme s řadou veličin, které se počítají tak, žese parametr systému násobí obsahem.

• Z plošné hustoty a obsahu násobením obdržíme hmot-nost.

• Z hloubky nádrže a obsahu obdržíme násobením objem.• Z tlaku a obsahu obdržíme násobením tlakovou sílu.

Je však otázka, jak tento přístup použít v případě, že danýparametr není po celé ploše na které je rozložen konstantní.Deska může být nehomogenní, nádrž nemusí mít vodorovnédno a ponořená deska nemusí mít všechny své části ve stejnéhloubce.

Řešení této nesnáze je použití dvojného integrálu, který sinyní představíme.

Dvojný integrálUvažujme plošný materiál (desku) s danou plošnou hustotou.Budeme se snažit vypočítat hmotnost.

• Pokud je deska homogenní, je její (plošná) hustota deskykonstantní a její hmotnost je možno získat jednodušejako součin této hustoty a obsahu.

• Pokud deska není homogenní, ale skládá se z konečnéhopočtu homogenních kousků, určíme postupem z minu-lého bodu hmotnost každého kousku a tyto hmotnostipoté sečteme.

• Zbývá případ, kdy je hustota dána nějakou obecnoufunkcí. Pokud se hustota desky mění a v obecném bodě(x, y) je dána funkcí f(x, y), můžeme myšlenkově roz-dělit desku na malé kousky, v rámci každého maléhokousku hustotu aproximovat konstantou a postupovatjako u desky z konečného počtu (malých) homogenníchčástí.

• Získaná veličina je aproximací celkové hmotnosti. Projemnější dělení se přesnost aproximace zlepšuje.

V limitním přechodu kdy rozměry všech kousků na něž je

deska dělena jde k nule dostáváme dvojný integrál∫∫Ωf(x, y)dxdy,

kde Ω je oblast v rovině (x, y) definovaná uvažovanou deskou.V aplikacích je častý též zápis∫∫

Ωf(x, y)dA

nebo ∫∫Ωf(x, y)dS.

Linearita a aditivitaDvojný integrál je odvozen (tak jako všechny integrály) proaditivní veličiny a proto se “dobře snáší” se sčítáním (ať užintegrovaných funkcí, nebo integračních oborů) a s násobeníintegrované funkce konstantou. Přesněji, platí následujícívěty.

Věta (linearita dvojného integrálu). Buď f1, f2funkce integrovatelné v Ω a c1, c2 libovolná reálná čísla.Platí ∫∫

Ω[c1f1(x, y) + c2f2(x, y)]dxdy

= c1

∫∫Ωf1(x, y)dxdy + c2

∫∫Ωf2(x, y)dxdy

Věta (aditivita vzhledem k oboru integrace). Nechťje množina Ω rozdělena na dvě oblasti Ω1 a Ω2, které majíspolečné nejvýše hraniční body. Platí∫∫

Ωf(x, y)dxdy =

∫∫Ω1

f(x, y)dxdy +∫∫

Ω2

f(x, y)dxdy.

86

KAPITOLA 11. DVOJNÝ INTEGRÁL 87

Výpočet (oblast mezi funkcemi pro-měnné x)

Obrázek 11.1: Oblast mezi funkcemi proměnné x.

V závislosti na tom, jakými nerovnostmi množinu Ω de-finujeme, můžeme pro výpočet dvojného integrálu použítnásledující věty. Tyto věty udávají, jak je možno dvojnýintegrál přepsat jako dvojnásobný integrál. Mají názevFubiniovy věty.

Věta (Fubiniova věta). Nechť f je funkce spojitá v uza-vřené oblasti

Ω = (x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b a ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x).

Potom ∫∫Ωf(x, y)dxdy =

∫ b

a

[∫ ψ(x)

ϕ(x)f(x, y)dy

]dx.

Výpočet (oblast mezi funkcemi pro-měnné y)

Obrázek 11.2: Oblast mezi funkcemi proměnné y.

Věta (Fubiniova věta pro jiné pořadí integrace).Nechť f je funkce spojitá v uzavřené oblasti

Ω = (x, y) ∈ R2 : a ≤ y ≤ b a ϕ(y) ≤ x ≤ ψ(y).

Potom ∫∫Ωf(x, y)dxdy =

∫ b

a

[∫ ψ(y)

ϕ(y)f(x, y)dx

]dy.

Obrázek 11.3: Oblast, pro kterou jsou možná obě pořadí integrace.

Často je možné oblast integrace zapsat pomocí obou možnostíuvedených na předchozích slidech. Například oblast naobrázku je možno zapsat buď jako

0 ≤ x ≤ 20 ≤ y ≤ x2

nebo0 ≤ y ≤ 4√y ≤ x ≤ 2.

Pro integrál funkce f(x, y) přes takovou množinu tedy mámedvě alternativy:

∫ 2

0

∫ x2

0f(x, y) dy dx

a ∫ 4

0

∫ 2

√y

f(x, y) dx dy.

Všimněte si, že nestačí prosté prohození integrálů. Je nutnopřepočítávat meze a hraniční křivky je nutno vyjádřit jednoujako funkce proměnné x a jednou jako funkce proměnnéy. V důsledku tohoto dochází v průběhu výpočtu dvěmarůznými způsoby k tomu, že pracujeme se dvěma různýmiintegrály. Výsledky jsou stejné, nemusí však být dosažitelnésrovnatelnou námahou, jedna z cest může být snazší.

KAPITOLA 11. DVOJNÝ INTEGRÁL 88

Obrázek 11.4: Integrál přes obdélník.

Výpočet (obdélníková oblast)Výše uvedené problémy se stanovením a případným přepočí-táváním mezí při záměně pořadí integrace se nevyskytují přiintegrování přes obdélníkovou oblast.

Věta (Fubiniova věta na obdélníku). Nechť R =[a, b]× [c, d] je uzavřený obdélník v R2 a f funkce definovanáa spojitá na R. Pak platí∫∫

R

f(x, y)dxdy =∫ b

a

[∫ d

c

f(x, y)dy]dx

=∫ d

c

[∫ b

a

f(x, y)dx]dy.

Platí-li dokonce rovnost f(x, y) = g(x)h(y), pak∫∫R

f(x, y)dxdy =∫ b

a

g(x)dx∫ d

c

h(y)dy.

Matematické aplikace dvojného inte-grálu

• Obsah µ(Ω) množiny Ω vypočteme jako integrál

µ(Ω) =∫∫

Ωdxdy.

• Integrální střední hodnota funkce f(x, y) definovanéna množině Ω je ∫∫

Ω f(x, y)dxdyµ(Ω) ,

kde µ(Ω) =∫∫

Ωdxdy je obsah množiny Ω.

Fyzikální aplikace dvojného integrálu• Hmotnost množiny M je

m =∫∫

M

σ(x, y)dxdy,

kde σ(x, y) je plošná hustota (hmotnost vztažená najednotku povrchu).

• Lineární momenty hmotné množiny M vzhledemk osám y a x jsou rovny∫∫

M

xσ(x, y)dxdy

a ∫∫M

yσ(x, y)dxdy.

• Moment setrvačnosti hmotné množiny M vzhledemk ose je

J =∫∫

M

ρ2(x, y)σ(x, y)dxdy,

kde ρ(x, y) je vzdálenost bodu (x, y) od osy otáčení.Například pro osu x je ρ(x, y) = y a pro osu y jeρ(x, y) = x. Pro osu procházející kolmo počátkem jeρ(x, y) =

√x2 + y2.

Techniké aplikace dvojného integrálu• Souřadnice těžiště množiny jsou podílem lineárních

momentů a celkové hmotnosti množiny.• Kvadratický moment průřezu (což je moment setr-

vačnosti pro σ(x, y) = 1, anglicky second moment ofarea) je veličina, která hraje podstatnou roli v mechanice(nábytek, stavby) při dimenzování (polic, nosných tyčí,nosníků).

• V technické praxi zpravidla neuvažujeme nekonstantníplošnou hustotu. Potom je možné je bez újmy na obec-nosti nahradit jedničkou. Vzorce pro obsah, x-ovou sou-řadnici těžiště (x0), y-ovou souřadnici těžiště (y0), kva-dratický moment vzhledem k ose x (Ix) a kvadratickýmoment vzhledem k ose y (Iy) (pro množinu M s ploš-nou hustotou 1) jsou

x0 = 1S

∫∫M

xdxdy, Ix =∫∫

M

y2dxdy,

y0 = 1S

∫∫M

ydxdy, Iy =∫∫

M

x2dxdy,

kde S = µ(M) je obsah množiny M . Poloha těžiště jetedy střední hodnotou funkcí x a y.

KAPITOLA 11. DVOJNÝ INTEGRÁL 89

Aplikace dvojného integrálu - tuhostnosníků, stabilita stromůTuhost (odolnost vůči deformaci) pro nosník obdélníkovéhoprůřezu o výšce b a šířce a je dána kvadratickým momentemobdélníkového průřezu vzhledem k vodorovné ose procházejícítěžištěm.

Ix =∫∫

[− a2 , a2 ]×[− b2 , b2 ]y2 dxdy

=∫ a

2

− a2dx∫ b

2

− b2y2 dy = a

[13y

3] b

2

− b2

= 112ab

3

Odsud máme okamžitě několik pozorování

• Pokud šířka vzroste dvakrát, tuhost vzroste také dvakrát.Pokud ale dvakrát vzroste výška, tuhost vzroste dokonceosmkrát. Pro nosník s poměrem stran 1:2 je poměrtuhostí při poloze naplacato a nastojato roven 1:4.

• Pro nosník čtvercového průřezu (a = b) roste tuhost sečtvrtou mocninou rozměrů. Obsah (a tedy i hmotnost)roste s druhou mocninou. Pokud tedy u nosníku se čtver-covým průřezem zdvojnásobíme množství materiálu, tu-host vzroste čtyřnásobně. Toto si můžeme představittak, že jsme původní nosník obalili trubkou vyrobenouze stejného množství materiálu. Protože společná tu-host je čtyřnásobná, znamená to, že přidaná trubka mátrojnásobnou tuhost než původní tyč. Proto se v kon-strukcích nepoužívají tyče, ale trubky nebo analogickéstruktury (I-čka apod). I příroda zná tyto zákonitosti akosti tvořící opěrný aparát živočichů jsou trubkovitéhotvaru.

• Pro čtvercový průřez roste tuhost se čtvrtou mocninoudélky strany

Ix = 112a

4.

Stejná závislost (přímá úměrnost mezi kvadratickýmmomentem a čtvrtou mocninou rozměru) musí být u kaž-dého průřezu jednoparametrického tvaru, například prokruh. To plyne například z věty nazývané BuckinghamůvΠ teorém. Jako aplikaci uvažujme strom modelovanýjako nosník s kruhovým průřezem. Například strom, vekterém je dutina o velikosti poloviny průměru kmenevětšinou vyvolá obavy ze stability. I když taková du-tina vypadá obrovská, tuhost se sníží o původní tuhostvynásobenou koeficientem

(0.5)4 = 0.0625 ≈ 6%.

Vidíme, že i s hrozivě vypadající dutinou má kmen pořádtuhost 94% původní tuhosti (za předpokladu dutinyuprostřed kmene). Z hlubšího fyzikálního rozboru, kterýje nyní nad rámec našeho popisu, pevnost roste jenoms třetí mocninou a proto odolnost vůči zlomení klesneo něco více než tuhost.

Aplikace dvojného integrálu - těžištěsloženého obrazceUvažujme množinu M s jednotkovou plošnou hustotou,rozdělenou na dvě disjunktní části M1 a M2. Tyto množinymají x-ovou polohu těžiště v bodě

x0i = 1Si

∫∫Mi

xdxdy, Si =∫∫

Mi

dxdy, i = 1, 2.

Poloha těžiště není aditivní veličinou. Dvojný integrál všakaditivní veličinou je. Platí∫∫

M

xdxdy =∫∫

M1

xdxdy +∫∫

M2

xdxdy

= S1x01 + S2x02

a těžiště množiny M je

x0 = 1S1 + S2

∫∫M

xdxdy

= 1S1 + S2

(S1x01 + S2x02)

= S1x01 + S2x02

S1 + S2.

Totéž je možné provést pro y-ovou souřadnici, nebo prolibovolný konečný počet částí. Podobně je možné odvoditvzorec s obecnou nekonstantní plošnou hustotou. Polohatěžiště složeného obrazce je tedy váženým průměrem těžišťjednotlivých složek, kde váha každé složky je určena jejíhmotností. Protože se jedná o vážený průměr, tj. vlastněo lineární kombinaci bodů, kdy součet koeficientů je rovenjedné, okamžitě vidíme, že těžiště složeného obrazce je naúsečce mezi těžišťmi jednotlivých částí.

Zobecnění výše uvedených myšlenek na množinu rozdělenouna více částí je již snadné.

Aplikace dvojného integrálu - Stei-nerova větaNechť je dána množina M s plošnou hustotou σ(x, y).Ukážeme, že vzhledem k ose procházející těžištěm je nejmenšímoment setrvačnosti. Ukážeme si dále, že pomocí momentusetrvačnosti vzhledem k ose procházející těžištěm je možnévyjádřit momenty setrvačnosti i k libovolným rovnoběžnýmosám. Pro jednotkovou plošnou hustotu dostáváme jakospeciální případ vzorce pro kvadratický moment, důležité vestatice.

Nechť m =∫∫

σ(x, y) dxdy, y0 = 1m

∫∫M

yσ(x, y) dxdy

a IxT =∫∫

M

(y − y0)2σ(x, y) dxdy jsou hmotnost, y-ová

KAPITOLA 11. DVOJNÝ INTEGRÁL 90

poloha těžiště a moment setrvačnosti vzhledem k ose jdoucítěžištěm rovnoběžně s osou x. Moment setrvačnosti vhledemk ose x je

Ix0 =∫∫

y2σ(x, y) dxdy.

Platí (píšeme zkráceně σ místo σ(x, y))

IxT =∫∫

M

(y − y0)2σ dxdy

=∫∫

M

(y2 − 2yy0 + y20)σ dxdy

=∫∫

M

y2σ dxdy − 2y0

∫∫M

yσ dxdy + y20

∫∫M

σ dxdy

= Ix0 − 2y0my0 + y20m

= Ix0 −my20 .

Odsud dostáváme

Ix0 = IxT +my20 ,

což lze interpretovat tak, že moment setrvačnosti vhledemk ose o je součtem momentu setrvačnosti vzhledem k oseprocházející těžištěm rovnoběžně s o a momentu setrvačnostihmotného bodu ležícího v těžišti množiny a o stejné hmotnostijako je hmotnost množiny vzhledem k ose o.

Aplikace dvojného integrálu - tlak nasvislou plochuVzorec pro tlakovou sílu F = pS není možné použít napříkladpro výpočet celkové síly působící na svislou stěnu nebo hráz,protože tlak p se mění s hloubkou a není tedy konstantnína celém průřezu o obsahu S. Pro obdélníkovou stěnu jsmeúlohu vyřešili (viz Mojžíšův most) pomocí integrálu, prostěnu obecného tvaru použijeme integrál dvojný.

Uvažujme svislou rovinnou hráz M . Hrází je přitom myš-lena rovinná množina s jednotkovou plošnou hustotou, nepostavený trojrozměrný objekt. Počátek kartézské soustavysouřadnic volíme u hladiny, osa y směřuje dolů, osa xvodorovně. Tlak v hloubce y je roven p = yρg, kde ρ jehustota vody a g tíhové zrychlení. Na plochu o rozměrech∆S v hloubce y působí tlaková síla

∆F = yρg∆S.

Tato tlaková síla má ve všech bodech hráze stejný směr acelkovou sílu na hráz je možno zjistit sečtením sil v jednot-livých bodech. Podobná myšlenková úvaha jako v úvodupro hmotnost desky, nebo přesný matematický popis, násdovedou k tomu, že celková síla na hráz je dána integrálem

F =∫∫

M

yρg dxdy.

Protože g a ρ jsou konstanty, je možno psát

F = ρg

∫∫M

y dxdy.

Využijeme-li vzorec pro y-ovou souřadnici těžiště, má vý-sledný vztah tvar

F = ρgy0S,

kde S je obsah hráze. Formálně tento vztah odpovídá vzorci

F = p0S, (H1)

kde p0 = ρgy0 je tlak v těžišti. Proto v praxi stačí znát těžištěhráze a pro výpočet síly na hráz použít celkovou plochu hrázea tlak v těžišti. Protože jsme pracovali s obecnou množinouM , není tento poznatek nijak vázán na konkrétní tvar hráze.Musí být však splněna podmínka, že všechny body hrázeleží v jedné rovině.

Ve výpočtu výše jsme uvažovali svislou rovinu, ale zobecněnína šikmou rovinu je snadné. Stačí opravit vztah pro hloubku,protože když svislou množinu i s kartézskými souřadnicemipootočíme okolo osy procházející hladinou, hloubka všechbodů se sníží faktorem sinα, kde α je úhel mezi vodorovnouhladinou a rovinou hráze. Formálně tato operace dopadnestejně, jako kdybychom tekutinu nahradili tekutinou s hus-totou sinα-krát nižší. Protože však vztah (H1) nezávisí nahustotě, nic se na něm nezmění. Také zobecnění na několikrovin je snadné. Zobecnění na zakřivenou plochu je náročnějšía vyžaduje jiný typ integrálu.

V předchozím textu jsme proměnnou veličinu popisující tlakna hráz jako funkci hloubky nahradili konstantní veličinou,udávající tlak v těžišti. Výsledný účinek na hráz se nezměnil.To je přesně smysl střední hodnoty. V matematickýchpojmech je možno říci, že střední hodnota tlaku na svislouhráz je rovna tlaku v těžišti hráze. (Protože hrází myslímespíše rovinnou plochu, tak by přesnější terminologie mělapoužívat raději pojem geometrický střed. Budeme se všakdržet ustálené terminologie.)

Nikde ve výpočtu jsme nepoužili konkrétní meze pro integraci.Výsledek tedy platí nejenom pro hráz dosahující k hladině,ale například i pro poklop výpusti, který je celý pod vodou.

Aplikace dvojného integrálu - půso-biště tlakové sílyBudeme pokračovat v předchozím příkladě a hledat působištěvýsledné tlakové síly.

Tlaková síla působící na svislou hráz má celkový nulovýmoment vzhledem k ose proházející působištěm. Je-li hrázdefinována množinou M a je-li yc působiště výsledné tlakovésíly, je v hloubce y tlak na plošku o velikosti ∆S rovenyρg∆S a součin (yc − y)yρg∆S je příspěvek k otáčivému

KAPITOLA 11. DVOJNÝ INTEGRÁL 91

momentu vzhledem k ose, procházející vodorovně působištěmtlakové síly. Součet všech těchto příspěvků se nuluje, tedymusí platit ∫∫

M

(yc − y)yρg dxdy = 0.

Odsud po vydělení konstantami ρg dostáváme∫∫M

(yc − y)y dxdy = 0

a po roznásobení závorky, rozdělení integrálu na dva avytknutí konstanty

yc

∫∫M

y dxdy =∫∫

M

y2 dxdy.

Nyní již snadno dostaneme výsledný vztah

yc =∫∫My2 dxdy∫∫

My dxdy . (H2)

Pokud je množina M obdélník, je možné ji (po vhodnézměně jednotek) brát jako jednotkový čtverec. Protože platí∫∫

[0,1]×[0,1]y dxdy = 1

2 ,∫∫

[0,1]×[0,1]y2 dxdy = 1

3 ,

dostáváme yc =1312

= 23 a působiště na obdélníkovou hráz je

v hloubce odpovídající dvěma třetinám celkové hloubky.

Formálně vztah pro yc odpovídá vztahu pro těžiště množinys plošnou hustotou y. Na tomto pozorování a na skutečnosti,že u pravidelných množin umíme těžiště najít geometricky,je založena metoda nalezení působiště tlakové síly pomocízatěžovacího obrazce.

Kvadratický moment v čitateli zlomku (H2) vyjadřujícíhoyc je často výhodnější rozepsat pomocí Steinerovy věty. Vejmenovateli je součin obsahu S a y-ové souřadnice těžiště y0.Tím dostaneme

yc = Ix0 + Sy20

Sy0= Ix0

Sy0+ y0,

kde Ix0 je kvadratický moment vzhledem k ose procháze-jící vodorovně těžištěm. Působiště tlakové síly yc je tedyposunuto směrem dolů od těžiště y0 o hodnotu odpovídajícíkvadratickému momentu vzhledem k vodorovné ose těžištěmIx0 vyděleném součinem obsahu hráze S a y-ové polohytěžiště y0.

Kapitola 12

Vybrané postupy numerické matematiky

Numerické řešení diferenciálních rov-nicJiž v prvním týdnu jsme se při zdůraznění role derivacedostali k formulování modelů použitím derivací, k diferenciál-ním rovnicím. Tyto rovnice je možné pro konkrétní hodnotyparametrů a konkrétní počáteční podmínku řešit numericky.

Následující přehlídka znovu připomene některé modely aodkaz za těmito modely vede na interaktivní nástroj pro nu-merické řešení. Tímto nástrojem můžeme vizualizovt řešenípro různé počáteční podmínky. Pro náročnější práci, jakonapříklad vizualizace různých rovnic (například pro různénastavení parametrů) by bylo nutné použít nějaký neinterak-tivní nástroj, kde se ve speciálním jazyce naformuluje model,nastaví parametry, spustí řešič a vykreslí řešení.

• Model ochlazování kávy

dTdt = −k(T − T0)

• Model růstu populace v prostředí s omezenou nosnoukapacitou

dxdt = rx

(1− x

K

)• Model růstu vodní kapky v atmosféře

dVdt = kV 2/3

• Model růstu ledu podle Stefanova zákona

dhdt = k

h

Všimněte si, že v numerickém modelu je prostým pohledemprakticky nerozlišitelný model růstu vodní kapky od modelurůstu úměrného velikost populace (změňte si mocninu 2

3 na1), ale modely se chovají principiálně zcela jinak, protožev jednom je zaručena jednoznačnost řešení a ve druhém jetato jednoznačnost porušena. Dále si všimněte, že modelrůstu ledu má při prodlužování řešení zpět v čase evidentně

problémy s nulou ve jmenovateli. Abychom různé parazitnívýstupy numerických algoritmů jako je zde dokázali odchytita eliminovat, nestačí “umět rovnici naklikat do programu”,ale znalost teorie a kvalitativních vlastností řešení je téměřnezbytná pro jakoukoliv závažnější práci.

Numerické řešení diferenciálních rov-nic ve 2D a 3DPokud máme v zásobě zkušenosti s modelováním diferenciál-ních rovnic, můžeme se pustit do odvážnějších aplikací, jakotřeba následující modely.

Konkurence dvou populacíDynamika rozvoje jedné populace může být ovlivněna pří-tomností druhé populace. Například pokud se dvě populacenavzájem brzdí v růstu, je vhodným modelem soustavarovnic

dxdt = rxx

(1− x

Kx− ay

),

dydt = ryy

(1− y

Ky− bx

).

V chování této soustavy je možno podle nastavení parametrůpozorovat všechny možné situace pozorované v přírodě, cožzahrnuje dominanci jednoho z druhů, slabou konkurencidruhů nebo silnou konkurenci druhů. Více viz učebnicez populační ekologie.

Model

Model dravce a kořistiDynamika rozvoje ineragujících populací dravce a kořistimůže být vyjádřena Lotkovým Volterrovým modelem

dxdt = ax− bxy,

dydt = cxy − dy.

92

KAPITOLA 12. VYBRANÉ POSTUPY NUMERICKÉ MATEMATIKY 93

V chování této soustavy je možno pozorovat oscilace oboupopulací přesně tak, jako to vídáme v přírodě. Další pozo-rované situace model nevysvětluje, protože je jednoduchý.Jedná se však o základní stavební kámen, který je možnodále zpřesňovat a modelovat situaci blíže konkrétní aplikaci.

Model

Model epidemiePopulaci rozdělíme na tři skupiny.

• Skupina S (angl. susceptible) obsahuje tu část po-pulace, které je náchylná k onemocnění. Tito jedincinetrpí chorobou, mohou však být infikováni při stykus nemocnými.

• Skupina I (angl. infected) obsahuje část populace tvo-řenou infikovanými jedinci. Tito jedinci vykazují známkyonemocnění a rozšiřují nemoc mezi členy skupiny S.

• Skupina R (angl. removed) obsahuje tu část populace,která je tvořena jedinci, kteří byli dříve infikováni, alenyní již nemohou šířit chorobu.

Velikosti skupin S, I a R budeme označovat S, I a R. Předpo-klady, že počet osob které onemocní za jednotku času souvisís počtem náchylných a infikovaných a že počet osobn, kteréjsou izolovány souvisí s počtem infikovaných vede k soustavědiferenciálních rovnic (Kermack-McKendrik(1927))

dSdt = −αSI,

dIdt = αSI − βI,

dRdt = βI

Matematicky je možno chování modelu studovat i bezexplicitní formulace diferenciálních rovnic, pouze využitímtakzvaného kompartmentového modelu. Tímto způsobemje možno relativně snadno přidávat do modelu skupinubepříznakových, vakcinovaných, skupinu v inkubační době apodobně.

Model

Nondimenzionalizace a bezrozměrnéveličinyRovnice vedení tepla v jedné dimenzi (prostup tepla stěnou,vedení tepla tyčí) má tvar (viz minulá přednáška)

ρc∂T

∂t= ∂

∂x

(D∂T

∂x

),

kde T (x, t) je teplota v místě x a čase t, ρ je hustota, cje měrná tepelná kapacita, D je teplotní vodivost. Pro

homogenní stěnu nebo tyč a lineární materiálovou odezvuje D konstanta a můžeme ji vytknout z derivace na pravéstraně a psát

ρc∂T

∂t= D

∂2T

∂x2 .

Pro úplnou formulaci úlohy na nalezení teploty v jednotlivýchmístech stěny musíme zadat polohu stěny, teplotu na vnějšíma vnitřním okraji stěny a počáteční rozložení teploty ve stěně.Nechť tedy okraje jsou x = 0 a x = L, a teploty na okrajícha počáteční rozložení teploty jsou

T (0, t) = T0

T (L, t) = T1

T (x, 0) = f(x).

Analogicky jako u obdobného příkladu s chladnutím tělesapodle Newtonova zákona (viz přednáška o diferenciálníchrovnicích) zavedeme bezrozměrnou teplotu tak, aby sepodmínky na okrajích redukovaly na konstanty. Zavedeme-libezrozměrnou teplotu

ξ(x, t) = T (x, t)− T0

T1 − T0

a bezrozměrnou vzdálenost µ = x

L, redukuje se model podle

stejných pravidel, jaká jsme poznali u obyčejných rovnic, na

ρc∂ξ

∂t= D

1L2

∂2ξ

∂µ2 ,

ξ(0, t) = 0,ξ(1, t) = 1,ξ(µ, t) = fξ(µ),

kde fξ(µ) je počáteční rozložení teploty transformované donových veličin. Přepíšeme-li rovnici na tvar

1DL2ρc

∂ξ

∂t= ∂2ξ

∂µ2 ,

vidíme, že zavedení bezrozměrného času vztahem τ = Dt

ρcL2

redukuje úlohu z původního tvaru (kde každý člen má svůjfyzikální význam a přímou interpretaci)

ρc∂T

∂t= D

∂2T

∂x,

T (0, t) = T0,

T (L, t) = T1,

T (x, t) = f(x),

na tvar∂ξ

∂τ= ∂2ξ

∂µ2 ,

ξ(0, τ) = 0,ξ(1, τ) = 1,ξ(µ, 0) = fξ(µ),

KAPITOLA 12. VYBRANÉ POSTUPY NUMERICKÉ MATEMATIKY 94

který je mnohem jednodušší pro následnou numerickou ana-lýzu nebo analytické studium. Mimo jiné je tím ukázáno, žepro danou úlohu nemají podstatný význam jednotlivé veličinysamy o sobě, ale veličina τ = Dt

ρcL2 , definující bezrozměrnýčas. Tato veličina se nazývá Fourierovo číslo. Obdobným po-stupem získáme jiná čísla důležitá pro popis jiných procesů,jako jsou Biotovo číslo (vedení tepla), Reynoldsovo číslo(proudění tekutin), Froudeho číslo (proudění tekutin) apod.Podobná nondimenzionalizace pro vlhkostní pole ve dřevě jev publikaci Horáček P., Fyzikální a mechanické vlastnostidřeva. Viz též eopora, rovnice (144) a rovnice následující.

Metoda konečných diferencíVraťme se s aparátem matematického popisu vedení teplak úloze hledání rozložení teploty na čtvercové desce, kteroujsme představili v přednášce o lineární algebře: Je dánadeska čtvercového tvaru, jejíž okraje udržujeme na kon-statních teplotách (každý okraj obecně na jiné teplotě) ahledáme rovnovážné rozložení teploty. Dvourozměrná rovnicevedení tepla pro homogenní izotropní desku s materiálovýmicharakteristikami ρ, c a D má tvar

ρc∂T

∂t= D

∂2T

∂x2 +D∂2T

∂y2 .

Ve stacionárním stavu se teplota nemění s časem a proto jelevá strana nulová a rovnice se redukuje na

∂2T

∂x2 + ∂2T

∂y2 = 0.

Použijeme stejnou myšlenku jako v lineární algebře: rozdělímedesku čtvercovou sítí na malé oblasti a budeme studovatteplotu v bodech této sítě, tj. v rozích jednotlivých čtverců,na které je deska čtvercovou sítí rozdělena.

Z přednášky o derivacích a aproximaci víme, že funkci mů-žeme aproximovat v okolí námi zvoleného bodu Taylorovýmpolynomem a v kapitole o diferenciálních rovnicích jsme tutoaproximaci použili pro aproximaci druhé derivace konečnýmidiferencemi ve tvaru

f ′′(x) ≈ 1h2 [f(x+ h)− 2f(x) + f(x− h)].

Podobně pro parciální derivace funkce dvou proměnnýchf(x, y) dostáváme

∂2f

∂x2 ≈1h2 [f(x+ h, y)− 2f(x, y) + f(x− h, y)]

∂2f

∂y2 ≈1h2 [f(x, y + h)− 2f(x, y) + f(x, y − h)]

a odsud

∂2f

∂x2 + ∂2f

∂y2 ≈1h2 [f(x+ h, y) + f(x− h, y) + f(x, y + h)

+ f(x, y − h)− 4f(x, y)].

Z rovnice∂2f

∂x2 + ∂2f

∂y2 = 0,

popisující rozložení teploty vyplývá, že výraz v hranatézávorce musí být nulový, tj.

f(x, y) = 14 [f(x+h, y)+f(x−h, y)+f(x, y+h)+f(x, y−h)].

To však znamená, že teplota v každém uzlovém bodě jeprůměrem teplot v okolních uzlových bodech. Přesně, jakjsme se (možná poněkud naivně) domnívali při představeníúlohy v přednášce z lineární algebry. Nyní tento postupstavíme na solidní vědecký základ, založený na rovnici popi-sující fyzikální proces (rovnice vedení tepla) a na numerickéaproximaci, která převede parciální diferenciální rovnici nasoustavu lineárních rovnic.

Výše popsaná myšlenka je základem metody konečnýchdiferencí. Bohužel je tato metoda poměrně omezená nut-ností, mít ekvidistantní rozložení uzlů. Proto se v praxipoužívají vyspělejší metody, metoda konečných prvků nebometoda konečných objemů. Základní myšlenka je stejná (par-ciální diferenciální rovnice se převede na soustavu lineárníchrovnic) a praktické provedení zpravidla matematicky trivi-ální, protože vše potřebné pro výpočty je předprogramovánov softwaru určenému pro danou úlohu. Máme takto softwareumožňující simulovat vedení tepla, tepelné úniky, tepelnénebo mechanické namáhání, tok podzemní i povrchové vodya další důležité praktické aplikace. Uživatel jenom zadágeometrii, typ problému a okrajové a počáteční podmínky aprogram vypočte potřebná řešení a dle požadavků je různýmzpůsobem interpretuje.

Ukázka programu FlexPDEExistuje široká škála programů pro řešení diferenciálníchrovnic. V mnoha jsou předpřipravené modely, předdefinovanéfyzikální úlohy a někdy dokonce databáze materiálovýchvlastností. V jiných programech je řešená rovnice plněpod kontrolou autora modelu a je možné snadno řešit imultifyzikální úlohy (například současně modelovat teplotua vlhkost v materiálu). Zástupce druhé skupiny je FlexPDEfirmy PDE Solutions Inc. Úloha s rozložením tepoty načtvercové desce se zadanými teplotami na okrajích, na kteroujsme několikrát jako na motivaci narazili v lineární algebře apřipomněli na předchozím slidu, by měla následující zápis avýstup.

KAPITOLA 12. VYBRANÉ POSTUPY NUMERICKÉ MATEMATIKY 95

TITLE 'Stacionarni teplota pro ctvercovou desku se zadanou teplotou na okrajich'VARIABLES TEQUATIONS T: div(grad(T))=0INITIAL VALUES T=10

BOUNDARIESREGION 1

START(0,0) VALUE(T)=30 LINE TO (1,0)VALUE(T)=40 LINE TO (1,1)VALUE(T)=20 LINE TO (0,1)VALUE(T)=10 LINE TO CLOSE

PLOTSCONTOUR(T)SURFACE(T)

END

Rovnice je v popisu modelu zadána jako divergence gradientu,což v kartézských souřadnicích ve 2D vede právě na rovnici

∂2T

∂x2 + ∂2T

∂y2 = 0.

Jiná forma zápisu je přímo pomocí druhých parciálníchderivací ve tvaru DXX(T)+DYY(T)=0.

Obrázek 12.1: Teplota znázorněná pomocí izoterm.

Obrázek 12.2: Teplota znázorněná pomocí barev a 3D grafu.

Poslední model je model podzemní vody s konstantnímipiezometrickýmí hladinami podél dvou rovnoběžných stran(mohou být například dvě řeky) a s rovnoměrně rozloženýmizdroji (například nad oblastí jsou rovnoměrné srážky a vodarovnoměrně zasakuje). Řešením modelu vidíme odkud tečevoda do které řeky. Tím je možno například usuzovat, kdepo případné kontaminaci provádět sanační práce.

Obrázek 12.3: Model podzemní vody mezi svěma rovnoběžnými řekami.