1. Kui funktsioonid ja on diferentseeruvad kohal , siis on samuti diferentseeruv

sellel kohal ja kehtib seos

Tõestus. Olgu , siis

Kuna , siis

.

Sellest , et , saame

Järelikult

Tuletise definitsiooni ja piirväärtuse omaduste põhjal saame nüüd kirjutada

Eelduste kohaselt on punktis diferentseeruv, seega ka pidev, mistõttu

Kokkuvõttes

2. Fermat’ teoreem. Kui funktsioonil on ekstremaalne väärtus määramispiirkonna

sisepunktis , kus on diferentseeruv, siis on funktsiooni statsionaarne punkt.

Tõestus. Viime tõestuse läbi juhul, kui punktis ξ realiseerub miinimum, st ξ on funktsiooni

määramispiirkonna punkt, mille korral (1).

Kuna punkt ξ on hulga X sisepunkt, siis leidub nii, et . Seega saame

seosest (1), et kui , siis

Kuna funktsioon f on diferentseeruv punktis ξ , siis on olemas ka vastavad ühepoolsed tuletised

f ’+ (ξ ) ja f ’- (ξ ), mis on omavahel võrdsed.

Kui nüüd , siis

Pv.se monotoonsuse omaduse põhjal saame sellest

(2)

Kui aga , siis

Analoogselt eelmisega, saame pv.se monotoonuse omaduse tõttu, et

(3)

Kuna kehtivad nii (1) kui ka (2), siis järelikult

Tulemus ütleb, et ξ on funktsiooni f statsionaarne punkt.

3. Rolle’i teoreem. Kui lõigus pideva ja vahemikus diferentseeruva funktsiooni

korral , siis leidub vahemikus vähemalt üks statsionaarne punkt.

Tõestus. Kui on konstantne lõigus , siis on iga korral ja seega on

kõik punktid statsionaarsed. Kui pole konstantne lõigus , siis leidub selline , et

.

Olgu

.

Kuna lõigus pidev funktsioon saavutab ekstremaalsed väärtused selles lõigus, siis leidub punkt

nii, et

.

Tulemus ütleb, et ja , st on lõigu sisepunkt. Fermat’ teoreemi põhjal on

seega statsionaarne punkt. Juhul, kui funktsioonil ei ole vahemikus suuremaid väärtusi kui

siis võtame ning vaatleme maksimumi asemel miinimumi.

4. Cauchy keskväärtusteoreem. Kui funktsioonid ja on pidevad lõigus ja

diferentseeruvad vahemikus , kusjuures funktsioonil pole statsionaarseid punkte,

siis leidub vähemalt üks punkt nii, et kehtib seos

Tõestus. Et, eelduste kohaselt funktsioonil ei leidu statsionaarset punkti vahemikus , siis

(Rolle’i teoreem).

Moodustame abifunktsiooni

. Et funktsioonid ja

on pidevad vahemikus ja diferentseeruvad vahemikus , siis on seda ka funktsioon

, kusjuures

Kuna , siis Rolle’i teoreemi kohaselt leidub vähemalt üks punkt nii,

et . Järelikult

millest vahetult järeldubki võrdus (1).

5. Lagrange’i keskväärtusteoreem. Kui funktsioon f on pidev lõigus [a, b] ja

diferentseeruv vahemikus (a, b) , siis leidub vähemalt üks punkt , mille korral

Tõestus. Võtame Cauchy keskväärtusteoreemis , ja arvestades, et

, saamegi seose (1).