Kinematika(Gerak Satu dan Dua Dimensi)

Dr. Agus Suroso

(agussuroso@fi.itb.ac.id, http://agussuroso102.wordpress.com)

Fisika Dasar I Sem. 1 2018-2019

Kuliah sebelumnya

• Posisi, Ԧ𝑟 𝑡

• Kecepatan, Ԧ𝑣 𝑡 =𝑑 Ԧ𝑟

𝑑𝑡

• Percepatan, Ԧ𝑎 𝑡 =𝑑𝑣

𝑑𝑡=

𝑑2 Ԧ𝑟

𝑑𝑡2

• Posisi, Ԧr 𝑡 = 𝑥 𝑡 Ƹ𝑖

• Kecepatan, Ԧ𝑣 𝑡 = 𝑣𝑥 Ƹ𝑖 , dengan 𝑣𝑥 =𝑑𝑥

𝑑𝑡

• Percepatan, Ԧ𝑎 𝑡 = 𝑎𝑥 𝑡 Ƹ𝑖, dengan 𝑎𝑥 =𝑑𝑣𝑥

𝑑𝑡=

𝑑2𝑥

𝑑𝑡2

0 1 2 3-1-2

x

𝑥 𝑡

Arah (+)

Arah (-)

Pada gerak satu dimensi

Grafik x(t)

0 1 2 3-1-2 4 5X (m)

t = 0 t = 4 t = 7

Posisi benda setiap waktu

Grafik x(t)

0 1 2 3-1-2 4 5X (m)

t = 0 t = 4 t = 7

Grafik x-t3 4 5 621

0

1

2

3

-1

-2

4

5

t (s)7 8

X (m)

Kecepatan rata-rata

⟨𝑣⟩ =Δ𝑥

Δ𝑡

Kecepatan rata-rata: gradien garis yang melewati dua titik dalam kurva x-t.

3 4 5 6210

1

2

3

-1

-2

4

5

t (s)

X (m)

7 8

Dx

Dt

Kecepatan sesaat

𝑣(𝑡) = limΔ𝑡→0

Δ𝑥

Δ𝑡=d𝑥

d𝑡

Kecepatan sesaat: gradien garis yang menyinggung grafik x(t) pada titik t tertentu.

3 4 5 6210

1

2

3

-1

-2

4

5

t (s)7 8

x (m)

Grafik x(t)

3 4 5 6210

1

2

3

-1

-2

4

5

t (s)7 8

x (m/s)

v0 < 0

v2 > 0

v6 < v4

v4 = v5 > v2

Grafik v(t)

3 4 5 6210

1

2

3

-1

-2

4

5

t (s)7 8

v (m/s)

3 4 5 6210

1

2

3

-1

-2

4

5

t (s)7 8

x (m/s)

v0 < 0

v2 > 0

v6 < v4

v4 = v5 > v2

Grafik v(t)

3 4 5 6210

1

2

3

-1

-2

4

5

t (s)7 8

v (m/s) 𝑣(𝑡) =d𝑥

d𝑡

𝑑𝑥 = 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡

Grafik v(t)

3 4 5 6210

1

2

3

-1

-2

4

5

t (s)7 8

v (m/s)

𝑣

𝑑𝑡

𝑣(𝑡) =d𝑥

d𝑡

𝑑𝑥 = 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡

Luas partisi pada gambar

Grafik v(t)

Luas daerah antara grafik v(t) dengan sumbu t

Δ𝑥 = න𝑥𝑖

𝑥𝑓

𝑑𝑥 = න𝑡𝑖

𝑡𝑓

𝑣(𝑡) 𝑑𝑡

3 4 5 6210

1

2

3

-1

-2

4

5

t (s)7 8

v (m/s)

ti tf

𝑣(𝑡) =d𝑥

d𝑡

𝑑𝑥 = 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡

Percepatan rata-rata

3 4 5 6210

1

2

3

-1

-2

4

5

t (s)7 8

v (m/s) ⟨𝑎⟩ =Δ𝑣

Δ𝑡

Kecepatan rata-rata: gradien garis yang melewati dua titik dalam kurva v(t).

Contoh pada gambar, percepatan rata-rata pada selang t = 1 s hingga t = 5 s.

Percepatan sesaat

𝑎(𝑡) = limΔ𝑡→0

Δ𝑣

Δ𝑡=

d𝑣

d𝑡=d2𝑥

d𝑡2

Kecepatan sesaat: gradien garis yang menyinggung grafik v(t) pada titik t tertentu.

3 4 5 6210

1

2

3

-1

-2

4

5

t (s)7 8

v (m/s)

a = 0

a > 0a < 0

Grafik a(t)

3 4 5 6210

1

2

3

-1

-2

4

5

t (m)7 8

a (m/s2)

3 4 5 6210

1

2

3

-1

-2

4

5

t (s)7 8

v (m/s)

a = 0

a > 0a < 0

Gerak lurus dengan percepatan konstan

Grafik a(t)

0 t (s)

a (m/s2)

a

Grafik v(t)

0 t (s)

v (m/s)

vi

vf

t

Percepatan

𝑎 =Δ𝑣

Δ𝑡=𝑣𝑓 − 𝑣𝑖𝑡 − 0

Grafik v(t)

0 t (s)

v (m/s)

vi

vf

t

Percepatan

𝑎 =Δ𝑣

Δ𝑡=𝑣𝑓 − 𝑣𝑖𝑡 − 0

Dari persamaan di atas diperoleh𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝑎𝑡

Grafik v(t)

Percepatan

𝑎 =Δ𝑣

Δ𝑡=𝑣𝑓 − 𝑣𝑖𝑡 − 0

Dari persamaan di atas diperoleh𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝑎𝑡

Perpindahan diperoleh dari luas daerahantara grafik v(t) dengan sumbu-t

Δ𝑥 =1

2𝑣𝑖 + 𝑣𝑓 𝑡 = 𝑣𝑖𝑡 +

1

2𝑎𝑡2

0 t (s)

v (m/s)

vi

vf

t

Grafik v(t)

Dari dua persamaan𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝑎𝑡,

Δ𝑥 =1

2𝑣𝑖 + 𝑣𝑓 𝑡 = 𝑣𝑖𝑡 +

1

2𝑎𝑡2,

diperoleh𝑣f2 = 𝑣𝑖

2 + 2𝑎Δ𝑥.

0 t (s)

v (m/s)

vi

vf

t

Gerak vertikal dalam pengaruh medan gravitasi(Contoh gerak satu dimensi)

Gerak vertikal dalam pengaruh medan gravitasi.• Anggap benda bergerak searah sumbu-y, sehingga posisi benda

setiap waktu Ԧ𝑟 = 𝑦 𝑡 Ƹ𝑗.

• Percepatan benda Ԧ𝑎 = −𝑔 Ƹ𝑗.

• Misal, saat t = 0:

y0

v0

y

x

𝑔

Gerak vertikal dalam pengaruh medan gravitasi.

Dari data percepatan, dapat dicarikecepatan benda tiap saat,

𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡⇒ 𝑑𝑣 = 𝑎 𝑑𝑡

⇔ න𝑣0

𝑣

𝑑𝑣 = න0

𝑡

(−𝑔) 𝑑𝑡

⇔ 𝑣 = 𝑣0 − 𝑔𝑡

y

v = v0 - gt

y

x

𝑔

y0

Gerak vertikal dalam pengaruh medan gravitasi.

Dari kecepatan yang telah diperoleh, dapat dicari posisi benda tiap saat,

𝑦 =𝑑𝑦

𝑑𝑡⇒ 𝑑𝑦 = 𝑣 𝑑𝑡

⇔ න𝑦0

𝑦

𝑑𝑦 = න0

𝑡

(𝑣0 − 𝑔𝑡) 𝑑𝑡

⇔ 𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0𝑡 −1

2𝑔𝑡2

y0+v0t – ½ gt2 = y

v = v0 - gt

y

x

𝑔

y0

Grafik v(t), mana yang benar?

0 t (m)

v (m/s)

v0

Benda di puncak

0 t (m)

v (m/s)

v0

Benda di puncakataunaikturun

naik

turun

Grafik v(t)

0 t (m)

v (m/s)

v0

Benda di puncak

0 t (m)

v (m/s)

v0

Benda di puncak

Salah*) benar

naikturun

naik

turun

*) Ini adalah grafik laju terhadap waktu.

Gerak vertikal dalam pengaruh medan gravitasidan mengalami gesek konstan.(Contoh gerak satu dimensi)

Benda dilempar ke atas dengan kecepatan awal v0, mengalami percepatangravitasi – 𝑔 Ƹj , dan mengalami perlambatan tambahan akibat gesekan udarasebesar a (konstan) yang arahnya selalu berkebalikan dengan arah gerak.

v

y

x

𝑔 + 𝑎v

y

x

𝑔 − 𝑎

naik turun

Mana yang lebih lama, saat naik atau turun?

Grafik v(t)

0 t (m)

v (m/s)

v0

Benda di puncak

naik

turun

Perhatikan bahwaperlambatan benda saatnaik berbeda dibandingsaat turun, sehinggakemiringan grafik pada duaperiode tersebut berbedajuga.

𝑎𝑛𝑎𝑖𝑘 = |𝑔 + 𝑎|𝑎𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛 = |𝑔 − 𝑎|

Jelas bahwa,

|anaik| > |aturun|

Grafik v(t)

0 t (m)

v (m/s)

v0

tnaik

tturun

Saat naik dan turun, partikelmenempuh perpindahan yang sama, sehingga luas daerah I dan II sama.

Sehingga,

tnaik < tturun .I

II

PerhitunganNaik

• Waktu yang diperlukan untuk naik (ingatsaat di puncak vf = 0):

𝑣𝑓 = 𝑣0 − 𝑔 + 𝑎 𝑡𝑛𝑎𝑖𝑘 = 0

⇔ 𝑡𝑛𝑎𝑖𝑘 =𝑣0

(𝑔 + 𝑎)(1)

• Tinggi yang dicapai benda:𝑣𝑓2 = 𝑣𝑖

2 + 2𝑎 Δ𝑦⇔ 0 = 𝑣0

2 − 2 𝑔 + a Δ𝑦

⇔ Δ𝑦 =𝑣02

2 𝑔 + a.

Turun

• Perpindahan dari puncak ke posisi awal:

Δy =1

2𝑔 − 𝑎 𝑡𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛

2

⇔ 𝑡𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛2 =

2Δ𝑦

𝑔 − 𝑎=

𝑣02

𝑔 + a (𝑔 − 𝑎)(2)

Kesimpulan

• Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh

𝑡𝑛𝑎𝑖𝑘𝑡𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛

=(𝑔 − 𝑎)

(𝑔 + 𝑎)< 1,

• Sehingga tnaik < tturun

Gerak dua dimensi

Gerak parabolaKondisi awal:• Posisi O. • Kecepatan Ԧ𝑣0 dengan sudut elevasi q

terhadap bidang datar.

Ԧ𝑣0 = 𝑣0 cos 𝜃 Ƹ𝑖 + 𝑣0 sin 𝜃 Ƹ𝑗

• Percepatan, Ԧ𝑎 = −𝑔 Ƹ𝑗.Ԧ𝑣0

y

x

𝑔

q

Gerak parabolaKecepatan tiap saat

Pada arah horizontal 𝑎𝑥 = 0, maka𝑣𝑥 𝑡 = 𝑣0 cos 𝜃 . … (1)

Pada arah vertikal 𝑎𝑦 = −𝑔, maka

𝑣𝑦 𝑡 = 𝑣0 sin 𝜃 − 𝑔𝑡. … 2Ԧ𝑣0

y

x

𝑔

q

Gerak parabolaPosisi tiap saat

Pada arah horizontal 𝑎𝑥 = 0, maka𝑥 𝑡 = 𝑣0 cos 𝜃 𝑡. … (1)

Pada arah vertikal 𝑎𝑦 = −𝑔, maka

𝑦 𝑡 = 𝑣0 sin 𝜃 𝑡 −1

2𝑔𝑡2. … 2

Substitusikan nilai 𝑡 dari pers. (1) ke (2), diperoleh

𝑦 𝑥 = 𝑥 tan 𝜃 −𝑔

2𝑣02 cos2 𝜃

𝑥2.

Ԧ𝑣0

y

x

𝑔

q

Gerak parabolaKecepatan tiap saat

Pada arah horizontal 𝑎𝑥 = 0, maka𝑥 𝑡 = 𝑣0 cos 𝜃 𝑡. … (1)

Pada arah vertikal 𝑎𝑦 = −𝑔, maka

𝑦 𝑡 = 𝑣0 sin 𝜃 𝑡 −1

2𝑔𝑡2. … 2

Substitusikan nilai 𝑡 dari pers. (1) ke (2), diperoleh

𝑦 𝑥 = 𝑥 tan 𝜃 −𝑔

2𝑣02 cos2 𝜃

𝑥2.

Ԧ𝑣0

y

x

𝑔

q

𝑦(𝑥) berbentuk parabola.

y

x

𝑣𝑦

𝑣𝑥

Gerak parabolaKecepatan tiap saat

Pada arah horizontal 𝑎𝑥 = 0, maka𝑣𝑥 𝑡 = 𝑣0 cos 𝜃 . … (1)

Pada arah vertikal 𝑎𝑦 = −𝑔, maka

𝑣𝑦 𝑡 = 𝑣0 sin 𝜃 − 𝑔𝑡. … 2

Gerak parabolaTitik puncak lintasan

Pada titik puncak (P), kecepatan vertikal bendabernilai nol. Sehingga,

𝑣𝑦 𝑡 = 𝑣0 sin 𝜃 − 𝑔𝑡𝑃 = 0.

Diperoleh waktu untuk mencapai puncak,

𝑡𝑃 =𝑣0 sin 𝜃

𝑔Substitusikan nilai 𝑡𝑃 ke persaman posisi vertikal,diperoleh

𝑦𝑚𝑎𝑘𝑠 =𝑣02 sin2 𝜃

2𝑔

y

x

𝑣𝑦

𝑣𝑥

P𝑦𝑚𝑎𝑘𝑠

Gerak parabolaTitik terjauh lintasan

Pada titik terjauh (R), posisi vertikal bendabernilai nol. Sehingga,

𝑦 𝑡 = 𝑣0 sin 𝜃 𝑡𝑅 −1

2𝑔𝑡𝑅

2 = 0.

Diperoleh waktu untuk mencapai puncak,

𝑡𝑅 =2𝑣0 sin 𝜃

𝑔= 2𝑡𝑃

Substitusikan nilai 𝑡𝑃 ke persaman posisi vertikal,diperoleh

𝑥𝑚𝑎𝑘𝑠 =𝑣02 sin 2𝜃

𝑔

y

x

𝑣𝑦

𝑣𝑥R

𝑥𝑚𝑎𝑘𝑠

Gerak parabola pada bidang miring

Tentukan L.

Ԧ𝑣0

y

x

𝛽𝛼

R

𝐿

Gerak parabola pada bidang miring

Solusi I• Gunakan persaman gerak seperti pada gerak parabola

yang telah dibahas dan terapkan syarat batas di titik R:𝑦𝑅𝑥𝑅

= tan𝛼 .

• Dari persamaan di atas diperoleh waktu yang diperlukan oleh partikel untuk mencapai titik R (misalnya kita sebut sebagai 𝑡𝑅).

• Gunakan 𝑡𝑅 untuk menentukan posisi horizontal darititik R, kita sebut 𝑥𝑅.

• Gunakan trigonometri,

𝐿 =𝑥𝑅

cos 𝛼

Ԧ𝑣0

y

x

𝛽𝛼

R

𝐿

Gerak parabola pada bidang miring

Solusi II• Gunakan sumbu koordinat seperti di samping. Dengan

koordinat yang baru ini, posisi titik R adalah (𝑥𝑅′ , 𝑦𝑅

′ ) =(𝐿, 0).

• Uraikan percepatan gravitasi ke arah kedua sumbukoordinat yang baru,

𝑎𝑥′ = −𝑔 sin 𝜃 dan 𝑎𝑦′ = −𝑔 cos 𝜃

• Tuliskan posisi partikel dalam koordinat baru.• Pada titik R, 𝑦′ = 0. Dari fakta ini diperoleh 𝑡𝑅.• Gunakan 𝑡𝑅 untuk mendapatkan 𝐿 = 𝑥′(𝑡𝑅).

Ԧ𝑣0

y’

x’

𝛽𝛼

R

𝐿