Embed Size (px)
Citation preview
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Afd. for FYSISK OCEANOGRAFI
Vandbevægelser i kystnære områder
(Systemet Østersøen - Nordsøen)
af
N.K. Højerslev
KØBENHAVNS UNIVERSITET
INSTITUT FOR FYSISK OCEANOGRAFI
Vandbevægelser i kystnære områder
(Systemet Østersøen - Nordsøen)
af
N. K. Højerslev
Vandbevægelser i kystnære områder
(Systemet Østersøen - Nordsøen)
af
N. K. Højerslev
FORORD
Den første udgave af kompendiet Vandbevægelser i kystnære områder (Systemet
Østersøen-Nordsøen) blev udgivet i 1978. Den foreliggende andenudgave er
forbedret på nogle enkelte punkter og er vel omtrentlig fri for fejl efter 10
års kritisk studenterlæsning.
Forfatteren vil mene, at kompendiet egner sig til et selvstudium, hvis man har
matematiske kundskaber på studenterniveau og almindeligt godt kendskab til
sædvanlige lineære differentialligninger såsom bølgeligningen, telegraflig
ningen og Laplace's ligning.
Kompendiet må formodes at have en vis aktualitet i dag på grund af den
igangværende ambitiøse Havplan-90, der foruden undersøgelser af iltsvind og
ukontrolleret planktonvækst i danske farvande også fokuserer stærkt på,
hvorledes systemet Østersøen-Nordsøen fungerer dynamisk.
Niels Kristian Højerslev.
DET GRÆSKE ALFABET
A a
B ß
r ?
A Ô
E c
Z <
H 7Î
9 G (T3)
I i
K K
A A
M M
N i>
O o
n n
P p
Z c-
T T
T v
X *
alfa
beta
gamma
delta
epsiIon
zêta
eta
teta
Iota
kappa
lambda
my
ny
ksi
omikron
Pi
ro
sigma
tau
ypsilon
fi
ki
psi
omega
Indholdsfo rtegnelse
Forord
Symboler
Kapitel 1. Introduktion
1.1. Systemet Østersøen-Nordsøens topografi, hydro
grafi og almene strømningsmønster
1.2. Ligningssystemer, standardapproximationer og
randb et ingelser
Kapitel 2. Østersøen
2 . 1 . Oxygen og fosfat
2.2. Vindstuvening
2.3. Inertibevægelse
2.4« Overfladebølger
Kapitel 3. Sundet og Bælthavet
3 .1 . Knudsens hydrografiske teorem
3.2. Geostrofisk ligevægt
3.3. Bernoul l i ' s teorem
Kapitel 4. Kattegat
4 . 1 . Interne bølger
4*2. Interne bølgers i n s t a b i l i t e t
Kapitel 5« Skagerrak
5 .1 . Skagerrak-hvi rvlen
5.2. Pa r t ike l - og fluorescensmålinger
Kapitel 6. Nordsøen
6.1. Tidevand
6.2. Tidevandsbølger
Kapitel 7» Optiske parametre
7 -1 . Definitioner
7.2. St rålingsl igningen
7.3» Måling af radians
7.4. Måling af irradians
7.5« Immers ionseffekt
7 .6 . Bølgelængde-integre rende i r radi ans-mål ere
7.7« Absorptionsmåler
7 .8 . Spredningsmålere
Kapitel 8. Appendix
8 .1 . Vektoranalytiske begreber
8.2. Massetransport
8 .3 . Stoftransport
8.4» Knudsens hydrografiske teorem
8.5» Navier-Stokes l igning
8.6. Lagrange'sk og Buler 'sk beskrivelse
8.7« Randbetingelser
8.8. Bølger
Kapitel 9» Afsluttende bemærkninger
St ikordsregis ter
7
Symboler
massefylde (masse pr. rumfangsenhed)
standard—oceanets konstante massefylde
salinitet, temperatur (masse pr. masseenhed » C)
salinitet og temperatur for standard-oceanet (f.eks. 35 >, 0 C)
koordinater, positive mod øst, nord og radialt udad
hastighedskomponenter i i, y, z-retningen
fasehastigheden for en bølge
gruppehastigheden for en bølgegruppe
bølgelængde
tryk (kraft pr. fladeenhed)
turbulente blandingskoefficienter for bevægelsesmængde i henholds
vis horisontal og vertikal retning (fladeenhed pr, tidsenhed)
turbulente blandingskoefficienter for varme- eller stofmængde i
henholdsvis horisontal og vertikal retning (fladeenhed pr. tids
enhed)
kinematisk molekylær gnidningskoefficient for vand
en vilkårlig egenskab på et givet tidspunkt og sted (kan både
være en skal ar og en vektor)
middelværdien af størrelsen q (f.eks, salinitet eller hastighed)
fluktuationen af størrelsen q
Reynolds tal
Richardsons tal
von Karmans konstant = 0,4
tyngde accélérât ionen = 9S1 m/sek.
hastighedspotentialet, breddegraden -5 -1
jordrotationen = 7»29 • 10 sek. eller vinkelhastighed
Coriol is accélérât ionen = 2 u> sin (breddegraden)
dybden af Ekmanlaget ved havoverfladen
dybden af Ekmanlaget ved havbunden
vanddybden regnet fra middelvandstand til bund
9
Kapitel 1
Introduktion.
1.1. Systemet Østersøen - Nordsøens topografi , hydrografi og almene
strømningsmønster.
På få undtagelser nær er havdybderne overalt i systemet Østersøen - Nord
søen mindre end 200 nu Den vig t igs te undtagelse er Norske Rende, som er en grav-
sænkning i Skagerrak og Nordsøen med en maximal dybde på caJ 'O© m. Et område
med dybder mindre end 200 m benævnes enten fladsø, epikontinental hav, over-
skylningshav e l l e r transgressionshav.
Østersøen er et såkaldt intra-kont inental t hav med et areal på ca 3^0.000
km og en gennemsnit s dybde på 60 m.Dét har forbindelse med Nordsøen gennem
Øresund og Bælthavet, hvor tærskel dybderne e r henholdsvis 7 - 8 m og 17 - 18 m.
Østersøen er opdelt i et antal bækkener, som er adskilt ved tærskler e l l e r ud
s t rak te områder med grundt vand.
Nordsøen er et randhav t i l det nordlige Atlanterhav med et areal på ca. 2
58O.OOO km og en gennemsnit s dybde på 75 nu Den øst l ige og sydlige del af Nordsøen er karakter iseret af dybder mindre end 50 ni, medens vi i nordvestlig r e t ning ud mod Atlanterhavet træffer på stigende dybder op t i l ca. 220 m. Bundtopografien er generelt jævn i den centrale Nordsø. Vigtigste undtagelse herfra e r Dogger Banke. Det skal iøvrigt bemærkes, at v i her ikke har bækkener som i Østersøen.
Bælthavet og Kattegat har generelt havdybder mindre end 50 m. Den vigt igste
undtagelse herfra er Dybe Rende, som løber nordover fra Kullen langs Sveriges
vestkyst op t i l Norske Rendes øs t l ige de l .
Østersøen er karakteriseret ved en s tor netto ferskvandstilførsel samt en
stærk kontinental klimatisk påvirkning. Vandudvekslingen mellem Østersøen og
Kattegat er kendetegnet ved en stærk udadgående brak o verf lade strøm samt en
svag og saltholdig mod Østersøen gående bundstrøm. Dette strømningsmønster, som
undertiden giver anledning t i l anoxide t i l s tande på bunden af Østersøens bække
ner , e r foruden den store ferskvandstilførsel præget af tærsklernes t i l s t e d e
værelse i Sundet og Bælthavet.
Hydrografien i Nordsøen præges derimod af den åbne og dybe forbindelse
samt den kraftige vandudveksling mellem Nordsøen og Atlanterhavet, Nordsøen er
iøvxigt ikke så stærkt klimatisk påvirket af kontinenterne som Østersøen. Dette
gælder mest udpræget for Nordsøens centrale og nordlige del .
Kattegat og Bælthavet er et typisk overgangsområde mellem Østersøen og
Nordsøen. De hydrografiske forhold bestemmes her i høj grad af atmosfæriske
10
forhold -samt strøm både i og uden for overgangsområdet, fordi disse parametre
især er bestemmende for opblandingen mellem Østersø- og Nordsø vandmas s erne.
.,, Fig... 1 Temperaturforskel len mel lem overfladen' og bunden i en ä omme r situation. .
11
Fig. 1 og 2 v iser en sommers i tu at ion for systemet. Vi har præsenteret
differenserne mellem overflade- og bundværdierne for henholdsvis temperatur T
og s a l i n i t e t S. Pig. 1 v iser tyde l ig t , hvorledes kontinent al påvirkningen for
anlediger store temperatur-differenser. Dog bemærkes to undtagelser i Nordsøen
i ) ved Den engelske Kanal er differensen l i l l e , fordi vi har en stærk strøm -
og dermed opblanding - i området, samt i i ) ved Dogger Banke er differensen ca.
1 C, fordi dybden her e r ca. 20 m. I Fig. 2 bemærker vi især de store s a l i n i -
te tsdif ferenser i Bælthavet og Kattegat samt de små differenser i Den botniske
Bugt og Nordsøen. Særlig lave differenser observeres i Nordsøens nordlige og
vest l ige de l .
Fig. 3 og 4 v i se r en variat ion af T og S i overfladen taget på årsbas is .
Fig. 3 v i se r tydeligt kontinenternes indvirkning på overfladetemperaturdiffe-
renserne, idet disse øges mod øs t . I Fig. 4 er a l le sa l in i te tsdi f ferenser over
• promille at finde i Bælthavet, Kattegat, Skagerrak samt ud for Norges vest
kyst . Dette hænger sammen med, at a l l e ovennævnte områder er blandingsområder,
12
&- *pp^
iff • <\ J li HO **• Y// • .'/ . , 'T
KftørfivucA _ 4«ii
Wffn
Fig. 4 Overflade sal initetens årsvariation.
13
som rummer variable mængder af Østersø / Nordsø - vandmasser. I Kattegat skyldes
den årl ige sal in i t e t s var iâ t ion skiftende meteorologiske forhold. I Skagerrak og
den østl ige Nordsø skyldes variationen i overfladesaliniteten hydrografisk "be
tingede ændringer i Den norske Kyststrøna - en brak overflade strøm, som fra Øster
søen løber ud i Kattegats øst l ige del , og dernæst para l l e l t med Dybe Rende og
den norske kyst .
Jsopteihm EintriHszellen der Extreme 5 S ^ S 3 S s Timperaiur -•••- Temperatur
Salzgehalt -•• Salzgehelt
Fig. 5> Iten vert ikale fordeling af temperatur og sa l in i t e t i
løbet af et typisk år i :
a) Centrale Nordsø b) Engelske Kanal c) Kattegat d) Østersøen ved Bornholm
I Fig. 5 e r aet muligt at se hvorledes T og S varierer med dybden og å r s
tiden i systemet Østersøen - Nordsøen. Vi bemærker især udviklingen af sommer-
termoklinen for Østersøen, Kattegat og Nordsøen. For Den engelske Kanal ser vi
derimod, at T og S kun var ierer l i d t med dybden året igennem - d .v . s . ingen
sommertermoklin e l l e r haloklin kan iagt tages . Disse forhold skyldes som før nævnt
den stærke tidevands strøm i området.
14
Pig. 6. Klassifikation af hydrografiske regioner i systemet Østersøen - Nordsøen.
På "baggrund af de t id l ige re omtalte hydrografiske forhold i systemet Øster
søen - Nordsøen, kan vi inddele området i hydrografiske regioner. Dette e r fore
taget i Fig. 6, hvor vi bemærker, at de 2 hovedklasser A og B sondrer mellem
fraværet e l l e r tilstedeværelsen af en halokl in . En sådan hydrografisk k l a s s i f i
kation giver et i mange henseender godt overblik, men rummer natur l igvis få
de ta l je r . F.eks, optræder klassen B i både Østersøen og Hordsøen (samt i det
øs t l ige Atlanterhav) selv om salinitetsforholdene i disse 2 områder e r vidt
forskel l ige.
Vandudvekslingen mellem Østersøen og Nordsøen e r foruden den store fersk
vands t i l f ø r s e l t i l Østersøen domineret af atmosfæriske forhold såsom vind og
barometerstand, hvor det ikke alene er den lokale ve j rs i tua t ion , som foranlediger
bestemte strømforhold i Østersøen, Sundet og Bælthavet og Kattegat.
Den lokale vinds indflydelse på havstrømme mindskes i lukkede bassiner,
hvad Østersøen i mange t i l fælde kan regnes for at være. Imidlert id øges vindens
indflydelse med det såkaldte fetch ( d . v . s . den længde regnet langs havoverfladen
over hvilken vinden kan blæse). Dette betyder i Østersøens t i l fælde , at kun
15
lokale nordlige e l l e r sydlige vinde kan påvirke strømmønstret. I dette t i l fælde
bør Østersøen ikke regnes for et lukket bassin. Når f .eks , vinden er nordlig,
strømmer store mængder brakvand ind i Kattegat hvorved saltfronten ved havover
fladen rykker nordpå ud i Kattegat - se Fig. 7 og 8. For a l l e andre vindretnin
ger end den nord- og sydlige opfører Østersøen s ig som et lukket bassin hvad
Fig. 7» Overflade s t røm unde vind styrke 6. På grund af vin ningen p r e s s e s vandmasserne s te rsøen nordpå gennem Øres-Bælterne og Kattegat.
angår vindens påvirkning af cirkulationsmønstret, der generelt er cyklonisk.
Den lokale vejrsi tuat ion kan næppe influere kendeligt på havstrømmene i
Sundet og Bælthavet, fordi disse farvande er forholdsvis små og snævre, hvorved
vindens fetch bl iver l i l l e . Desuden kan strømpassager ikke overalt foregå uhind
r e t .
Kattegat udgør på en måde et mellemliggende t i l fælde t i l de 2 førnævnte
områder. Det er næsten lukket mod syd men forholdsvis åbent mod nord, hvor vand
udveksling uhindret kan finde sted på grund af t i lstedeværelsen af Norske Rende.
Vindens fetch er - uden at være s tor - s tø rs t i nord-sydgående retning. Den
lokale vinds påvirkning af strømforholdene overskygges derfor i høj grad af
vindforholdene over enten Østersøen som t id l ige re set e l l e r over Nordsøen.
Det generelle cirkulationsmønster for Nordsøen er angivet i Fig. 10. I
det te komplicerede mønster bemærker v i , at Den jyske Kyststrøm i middel t rans
porterer vand ind i Kattegat. Denne transport f inder ikke sted, som vi har set
r østen- Fig1. 8. Overflade saltholdighed ef-dstuve- ter^længere tids nordgående s t røm. fra 0 - Fronten mel lem Østersøens og Katte -
and, gats vandmasser findes nu i det nordlige Storebælt og nord for Øresunds udløb.
16
"SV, ,' * ; . vz~
Fig, 9« Overflade st rømme i Østersøen, Pilenes længde angiver strømhastigheden i knob, Puldt optrukne pi le v iser strømme med et sikkert beregningsgrundlag, medens de stiplede pi le henviser t i l vurderede strømme.
17
^ Y î ^ T * T l,"^NORGE T\
ENGLAND ))J '/ )\J
4//Ä
Fig. 10. Den gennemsnitlige overflade strøm i Nordsøen. I den
sydlige Nordsø findes Kanal strømmen, der øst for Dover modtager
s tore ferskvandstil skud fra Themsen, Khinen og de store tyske f l o
der . Strømmen ændres herved t i l en kyst strøm med en s a l i n i t e t under
34 °/oo. Kyststrømmen for tsætter mod nord langs Hollands, Tysklands
og Jyllands Nordsøkyster. En gren af indstrømningen t i l den nordlige
Nordsø løber mod syd ud for Storbritanniens østkyst, t i l den syd
for Dogger Banke s l u t t e r sig t i l Kanalstrømmen. En anden gren af den
nordlige indstrømning bøjer mod øs t , nord for Dogger Banke, og for
ener sig i det sydlige Skagerrak med den nordgående kyststrøm langs
Jyllands vestkyst. Afløbet f ra Nordsøen sker gennem den Norske Strøm,
der ud for Norges vestkyst fører vandmasserne f ra Nordsøen ud i Nor
skehavet .
18
det i Fig. J» ved nordlig vind. Ved vestenvind over Nordsøen, som er hyppigst
forekommende, presses derimod store mængder vand ind i Kattegat som vis t i
Fig. 11 uafhængig af det lokale vindfelt over Kattegat. Dette skyldes blandt
mange forhold, at vindens fetch over Nordsøen er s to r t , t i lstedeværelsen af
Norske Rende samt, at Nordsøen er et randhav med åbne forbindelser t i l oceanet.
Fig. 11. Overfladestrømmen i Kattegat og Bælthavet under vestenvind styrke 6. Vinden presser Nordsøens vandmasser ind i Skagerrak og.blæser overfladevandet bort f ra den vestl ige Østersø. Derved opstår e t fald i vandspejlet fra Skagerrak t i l Østersøen, og sydgående strøm b l ive r fremherskende gennem Kattegat og Bælterne.
Fig. 12. Overfladesaliniteten ef ter længere t ids sydgående strøm. Fronten mellem det r e t sa l te Kat tegatvand (s a l i n i t et over 18} og det ferskere Østersøvand ( sa l in i -t e t mindre end 10) findes i den sydligste del af Øresund og øst for Gedser Rev.
Samtidig med at nordsøvandet presses ind i Kattegat og videre ind i Øster
søens bækkener, hvorved vandet i disse fornyes, rykker saltfronten .mod syd -
helt frem t i l tærsklerne ved Drogden og Darsser. Men vi må omvendt konstatere
at overflades al in i t e t en for Kattegat samtidig er faldet - se Fig. 8 og Fig. 12.
Fig. 14 og 15 viser middelværdierne af overfladetemperaturen i Nordsøen
for henholdsvis en sommer- og v in ters i tua t ion . Vi skal speciel t notere t i l s t e d e
værelsen af områder med temperaturfronter. Den permanente front i den ø s t l i g e /
sydlige Nordsø er kontinentalt betinget. En lignende front ved Englands øs t
kyst — beliggende mellem "Scottish coastal" og "North Atlantic", Fig. 13 -
iagttages derimod kun for sommersituationen. Der skal i den forbindelse erindres
om at indtrængende nordatlantisk vand er r e l a t iv t koldt om sommeren men varmt
19
Fig. 13. Nordsøens vandmasser i en sommersituation.
20
Fig. 14. Middelværdi af overfladetemperaturen i Nordsøen for august. De højeste temperaturer findes på denne årstid i den sydøstlige del af Nordsøen, hvor der om vinteren findes de laveste temperaturer.
Pig. 15. Middelværdi af overfladetemperaturen i Nordsøen for februar. De højeste temperaturer findes i de områder, hvor indstrømningen af Atlanterhavsvand finder sted.
21
om vinteren. Tilstedeværelsen af indtrængende varmt nordatlantisk vand i Nord
søen om vinteren demonstreres klart af Fig. 15, hvor vi ser et tungelignende
forløb af f.eks. 6 -isotermen. I Fig. 16 observeres denne tunge af nordatlan
tisk vand igen tydeligt - se f.eks. 35 isohalinen.
Fig. 16. Overfladesaliniteten for Nordsøen i juni måned. Atlanterhavsvand med høj salinitet trænger ind i Nordsøen både gennem Den engelske Kanal og gennem farvandet nord for Skotland.
I Fig. 17 er givet et eksempel på et hydrografisk vertikal snit i en som
me rsituat ion for Nordsøen. Her ses at være en sommertermoklin, helt i overens
stemmelse med hvad tidligere er sagt herom. I et andet vertikal snit lagt paral
lelt med førstnævnte, observerer vi igen en sommertermoklin omkring 10°C. Par
tikelmålinger i dette snit viser, at den maximale koncentration, når undtages
bundværdierne ved Austern Grund, opnås i og omkring 10 -isotermen - se Fig. 18.
Dette skyldes at turbulent udveksling af stof hæmmes ved en stabil lagdeling.
Desuden vil den levende plankton, som udgør hovedparten af det suspenderede ma
teriale, have vanskeligt ved at synke ned i de underliggende, tungere vandmasser.
22
100-
Fig. 17. Havtemperaturen for august i et vertikalsnit tvære over Fordsøen fra England til Blåvands Huk.
RI
SO
too
f^u^SK^s^yyyyiAfiAÆ^
L w
'WËÊÊÊÊ
J V_ nf\ /s i >^.IRad«v. /Ground
7Ling Bank
^ w ^ b t F i i e h « Bank.
K | ^ 41111
W Aui'tirn Ground
• <O0S ESOJï-0.30
ÊàOJO-flJS • >'0J5
0. nautlmil«. 50
Pig. 18. Vertikal snit gennem Fordsøen, som viser fordelingen af partikulært materiale. Snittet er lagt mellem den norske og den skotske kyst.
23
1.2. Ligningssystemer, standardapproximat ioner og randbetingelser.
Bevægelsesligninger har følgende formelle udseende :
~ + 2u> x v = grad p + ? + D - î c g ( 1 • 1 ) dt p
Kontinuitetsligningen for massens bevarelse kan udtrykkes som
| f + div(p v) - 0 ' (1.2)
og havvandets tilstandsligning lyder formelt
p = p(S,T,p) (1.3)
hvor
| p = (lydhastigheden ~ 1500 m sek~1)~2 (1.4)
Diffusionsligningeme for både s a l i n i t e t og varme (temperatur) kan angives på
formen
ff = V(KV q) + P (1-5)
hvor q - S,T og P er et k i l de f e l t , (1.1) - (1.5) giver i a l t 7 ligninger med
7 ubekendte, som er : hastigheden v = i u + j v + k w ( d . v . s . her er 3 ube
kendte u, v, w), trykket p, massefylden p, temperaturen T og sa l in i te ten S.
ÜJ er jordens rotations vektor, F a l le på en væskedel udefra virkende kræfter(tyng
dekraften, trykgradientkraf ten og Corioliskraften dog undtaget)0g Ï) a l le de kræf
te r , som udelukkende modvirker F. (1.1) - (1.5) e r behandlet mere detal jeret i
Appendix.
For at kunne behandle (1.1) - (1*5) beskriver vi hyppigt disse l igninger
i et t rere tvinkle t kartesisk koordinatsystem (x, y, 2), hvor x-aksen løber mod
øst , y-aksen mod nord og z-aksen radiært væk fra centrum Î
24
I et sådant koordinatsystem kan (1.1) - (1.5) skrives :
u p + V |H + W ^ _ 2tü(v s i n e p - w cos ep) = - JL j £ + F + D (1 .6 ) bu b t T "" bx " * by ' " bz p bx
b t bx by bz Y P by y y
t>t bac by &z Y pöz B B Z V '
bo b(o u) i b(p v) , b(p w) „ 0 ( 1 # 9 ) bt bx • by bz
bS bS bS bS b / „ bSv b / _ bS\ b / « . bS\ /., i n \ bt + ubx- + vb7 + w b i = bx<Ks,x 5î) + b7(Ksl3T b? + b^Ks,z bV <1-10>
bT bT bT , bT bt bx by bz
bT, b x ^ , x bxJ + b y ^ T , y by ; b z v N \ z b z ; + r (1.11)
25
Ønsker v i a t besk r ive ( 1 . 6 ) - (1 .11 ) i e t andet koordinatsys tem gøres d e t t e ved
sædvanlig koord ina t t r ans fo rma t ion som beskreve t i a f s n i t 8 . 5 .
Vi v i l h e r e f t e r f o r e t a g e v i s s e s tandardapproximat ioner , som v i l være gene
r e l t anvendelige i meso-skala bevægelser på f o r h o l d s v i s e små vanddybder t
Da v s i n ep » w cos ep på mellembredder sæ t t e s C o r i o l i s k r a f t e n i (1 .6 ) l i g
med - 2«) s i n ep * v = - f v . For meso-skala bevægelser v a r i e r e r l edde t s i n ep
ikke meget d . v . s . bf /by = ß ~ °* Vi v i l med andre ord antage a t C o r i o l i s p a r a -
meteren f e r k o n s t a n t . C o r i o l i s l e d d e t i ( 1 . 8 ) h a r samme s t ø r r e l s e s o r d e n som i
( 1 . 6 ) , men da fo rho lde t g/2co cos ep • u t y p i s k e r s t ø r r e end 10 , v i l v i i g n o r e
r e d e t t e l e d .
Dybderne i kystnære farvande e r som rege l mindre end 200 m, d . v . s . hav
vande t s massefylde v i l ikke ændres s t o r t som fø lge af t r y k k e t , hvor fo r t i l s t a n d s
l i g n i n g e n f o r havvandets massefylde kan s k r i v e s
P = p(S,T) (1.12)
For mange p r a k t i s k e formål gælder a t p f indes ved temperaturen T g i v e t 0 rmax max ved sammenhængen
T = 4 - 0.216 . S C . * C 3 (1.13) max . »- #-
og havvandets f rysepunkt ved
Tfrys. =-°*°54 - S t ° 6 l C-H)
For meso-skala bevægelser er længdeskalaerne X, Y meget større end dybdeskalaen
Z. Desuden er de horisontale hastigheder u, v også meget større end vertikal-
hastigheden w.
Molekylær gnidning ignoreres fuldstændigt, når turbulent gnidning op
træder. Vi ansætter, at de turbulente gnidningskoefficienter er uafhængige af
sted og tid, hvilket er en betænkelig men oftest en nødvendig antagelße at skul
le foretage. Det skal bemærkes, at de turbulente gnidningskoefficienter meget
vel kan være forskellige, men at vi sætter de horisontale størrelser lige store.
Molekylær diffusion af varme og salt ignoreres tilsvarende, når vi har den
turbulente diffusion. De turbulente diffusionskoefficienter behandles analogt
til hvad ovenfor er anført angående de turbulente gnidningskoefficienter.
Endelig skal vi for en ordens skyld nævne at tyngdeaccelerationen g an
tages konstant uafhængig af stedet (x, y, 2).
Vi vil ofte løse vore ligninger (1.6) - (1.11) i 2 dimensioner og under
26
yderligere forenkl tage r end de ovenfor nævnte. Hvilke, det drejer s ig om, v i l
a l t i d fremgå i hvert enkelt t i l fælde .
Ti l s ids t skal v i se på nogle generelle randbetingelser gennemgået de ta l
jere t i afsnit 8.7s
For et f r i t vandspejl z = Tl(x, y, t ) gælder :
medens for en fast rand z = f(x, y)
w = u | £ + v ^ (1.16) bx by
der udtrykker, at normalhastigheden ved en fast rand a l t id er l i g med 0. I en
væske hvori gnidning forekommer v i l tangentialhastigheden i grænselaget mellem
2 medier være den samme. Dette behøver ikke at være således i en gnidningsfri
( ideal) væske. Ovennævnte kaldes de kinematiske grænsebetingelser.
De dynamiske grænsebetingelser for en væske udsiger b lo t , at trykket på
hver side af en bevægelig flade skal være det samme, hvis kapil larkræfter kan
ignoreres - se afsni t 8.7»
Vindkraften pr . fladeenhed T (vind-spænding) ved havoverfladen kan s k r i
ves på formen
Z OZ Z 0 2
og sal t f luxen m (x, y, t ) ved havoverfladen som
m(xf y, t ) = S(E - P) - p K ^ | | (1.18)
hvor E er fordampning og P nedbør i masseenheder pr. tids- og fladeenhed. Ved
en fast rand har vi derimod ingen saltflux eller flux af en lignende konserva
tiv stofegenskab q (d.v.s. en egenskab, der ikke kan opstå eller forsvinde).
Vi har altså
m(x, y, t) = P K S ) Z | | = 0 (1.19)
hvor n er rettet vinkelret væk fra randen.
27
Kapitel 2
Østersøen
2 . 1 . Oxygen og fosfat .
I det åbne hav v i l der næsten a l t i d findes opløst oxygen i hele vandsøj
len. Dette er derimod ikke a l t id t i l fælde t i delvis lukkede havområder af t y
pen intrakontinentale have, bugter og fjorde. I sådanne områder kan en stor
planktonproduktion ved havoverfladen senere på året falde t i l bunden, hvor
oxygenforbrugende forrådnelsesprocesser kan fjerne oxygen fra bundvandlaget.
Denne planktonproduktion kan bl ive yderligere stimuleret ved udi edel se af stærkt
næringsholdigt spildevand. Vi t a l e r da om, at havområdet (recipienten) er b l e
vet en t rof ie re t ; den form for efterfølgende forurening vi oplever ved hav
bunden kaldes sekundær, fordi den først optræder ved det andet led, forrådnel
sen.
Delvis lukkede bassiner har desuden en træg vandudveksling, hvilket na
tu r l i gv i s også inf luerer på oxygenforholdene. Det er en kendsgerning, at s tag
nant vand ofte er råddent. Endelig kan stabil i tetsforholdene i vandsøjlen s p i l
le en s tor ro l le for den vert ikale vandudveksling og dermed for oxygenforhold
ene ved bunden, idet der skal præsteres et v is t arbejde for at løfte bundvandet
opad. Derved skal k inet isk energi i form af havstrømme konverteres t i l poten
t i e l energi . Hvis bundtopografien virker hæmmende på havstrømmene, hvilket f .eks ,
v i l være t i l fældet bag tærskler, i bunden af bækkener o . l . , kan å.erms na tur l ig
vis også betinge anoxide forhold i bundvand!aget.
I Østersøen gør samtlige førnævnte faktorer for dannelsen af et anoxidt
miljø i bundvandlaget s ig gældende, d . v . s . den menneskeskabte forurening er
langtfra eneansvarlig for den manglende oxygen i bækkenerne. Bundsedimenter
v iser k l a r t , at vi i det såkaldte varvige 1er (e f te r svensk : varv = omgang),
kan finde mørke lagser ie r , som for tæl ler om fort idige anoxide forhold. I disse
sedimenter t i l l a d e r komstørrelsesfordelingen nemlig en fastlæggelse af sedi-
mentations-årstidspunktet og dermed en fastlæggelse af sedimentations-kronolo
gien. Sedimentationen fandt sted for 5-6000 år siden; d .v . s . længe før Øster
søens kyster var nævneværdigt beboet (De indledende studier af disse forhold
fandt sted på den tyske Pommerania - ekspedition i 1871, men pågår stadigvæk
den dag i dag). Dette betyder natur l igvis ikke, at den sekundære forurenings
betydning for de anoxide forhold kan ignoreres. Måske tværtimod, fordi Øster
søen i forvejen er besværet med andre for oxygenkoncentrationen så hæmmende
natur l ige faktorer .
28
Østersøens område inddeling er v i s t i Fig. 19« Vi bemærker de mange bække
ner og dyb som f indes. Ydermere ser v i i Pig. 20 detaljerne i bundtopografien.
Det fremgår k la r t , at vandudvekslingen i vort Østersø - Nordsøsystem er hæmmet
på grund af højtliggende tærsklers beliggenhed i Sundet og Bælthavet.
1. 2. 3 . 4. 5. 6. 7.
Bottenviken N Bottenhavet S Bottenhavet Alandshav Skargårdshavet Finska viken Rigabukten
8. 9.
10. 11 . 12. 13. 14.
N Centralbäckenet Faröbäckenet Gotland s jupet Danaigbackenet Landsorts djupet V Gotland s bücke net Bornholms bàckenet
15. 16. 17. 16. 19.
Arkonabäckenet Öresund BSlthavet V Kattegat Ö Kattegat
Fig. 19. Østersøens område inddeling
De hydrografiske forhold i Østersøen er givet i Fig. 21. Vi har både en
såkaldt primær og en sekundær haloklin (ef ter græsk : halo=salt, klin=hældning)
samt en sommertermoklin, der omtrentlig "falder sammen med den primære haloklin.
De øvre vandlag har følgel ig en l i l l e turbulent udveksling med de nedre - især
om sommeren. Indenfor dette øvre vandlag haves planktonproduktionen.
Fotosyntesen (planktonproduktionen) er en fotokemisk proces, hvor C0_ og
E-O omdannes t i l organiske stoffer under udvikling af f r i t 0_.Bruttoreaktionen,
der fører t i l glucose, kan formuleres :
6 G02 + 6 HpO + 674OOO cal assimilation
respirat ion C 6 H
1 2 °6 + 6 °2 (2.1)
29
Fig. 20. Bundtopografien i Kattegat, Bælthavet og Østersøen, l e d e l i n i e r for 10m, 25m, 50m og siden for hver 50. m er indtegnet.
30
Overflade
t°C
Vinter
t°C
Sommer
Primær haloklin
Dybvand
Sekundær haloklin
Bundvand
S -11 - 13
/ / / / / ; / / / / / / / '/ / /
SUMMER Sea surface
WINTER
Warm surface taver Low salinity Surface water Temp, up to above 20*C Cold Salinity 6-7 ' Low salinity
_ _7e£m5cJ.'ne _1~30 m i (Winterwater) ~
temperature 0-3*C salinity 6
Primary halocline 60-70 m
Peep water Warmer than the winlerwater Higher salinity Temperature 4-5 *C Salinity 8-12
Secondary halocline 70-400 m
Bottom water;
The highest salinfty Somewhat higher lemp. than the deep water Température 4-5*C Salinity tl-13
Sea bottom
/J/s/ / u n n n ) n ) n )?}j
Pig. 21. De forskell ige termokliner og halokliner i den centrale del af Østersøen.
31
Ved forsøg med isotopmærket CO« kan det v i s e s , a t a l t de t udviklede oxygen stam
mer f r a vande t . Oxygen kan a l t s å t i l f ø r e s o v e r f l a d e l a g e t gennem fo tosyn tese men
desuden også gennem d i f fus ion af g a s s e r f r a den over l iggende atmosfære.
Tabel 1. Atmosfæriske g a s s e r i ferskvand ( S=0^ , målt ved 760 mm Hg
m l / l
i / o
0°C
30°C
0°C
30°C
oxygen
10.31
5.6O
35.00
35.20
n i t r o g e n
18,11
10.74
61.50
63.8O
argon
O.54
0 ,30
1.80
I . 8 0
kuldioxyd
0.51
0.20
1.70
1.20
t o t a l
29.47
16.84
100,00
100,00
Tabel 1 v i s e r maximal mætningen af g a s s e r i vandet n å r s t a t i o n æ r t i l s t a n d e r
i n d t r u f f e t f o r en n a t u r l i g s i t u a t i o n . Ved l a v e b e l y s n i n g e r , under ca . 1 fo af
de t indkommende dags lys , b a l a n c e r e r a s s i m i l a t i o n e n med r e s p i r a t i o n e n . Derved
b l i v e r oxygenproduktionen l i g med nu l i f ø l g e ( 2 , 1 ) . Det te i nd t ræf f e r i Øster
søen over 25 meters dybde, h v i l k e t fremgår af F i g . 22.
F i g . 22. Farveindeks og dybden af 10 $- og 1 ^ - n i v e a u e t fo r dagsbelysningen i den grønne del af s p e k t r e t . 100 ^ - n i v e a u e t e r i d e n t i s k med havoverf laden.
32
I det samme vertikalsnit har vi undersøgt part ikel fordel ingen. Store kon
centrationer forekommer igen over 25 meters dybde og indikerer tilstedeværelsen
af levende stofproducerende plankton. De store koncentrationer af partikulært
materiale ved bunden skyldes forekomsten af stagnant vand som følge af bund
topografien. Betingelsen for udvikling af anozide forhold er hér klart tilstede.
STATION 1 2 3 4 5 6 7 B 9 10 11 12 13 V. 15 16 17 »8
Fig. 23* Vertikalfordelingen af dæmpningskoefficienten cv-- m~ i sn i t t e t S2 - S8 (se Pig . 22). 5 < ?
Pig. 24 viser de anoxåde forhold for et sådant bassin. Oxygenfornyelse kan som
t id l igere nævnt som følge af s tabil i tetsforholdene og dagslysbetiiagelserne ikke
effektivt finde s ted. Derimod v i l en horisontal advektion af ude f ra Kattegat
kommende bundvandmasser med et s tor t oxygenindhold være i stand t i l at bringe
de anoxide forhold t i l ophør - se Pig. 25« Vindfeltet ude over Nordsøen er i
høj grad bestemmende for, hvor store mængder oxygenholdigt vand der advekteres
ind i bækkenerne. Denne form for osygenfornyelse er ikke ubetinget fordelagtig
for øko-systemet, fordi det tunge indtrængende bundvand samtidig øger den ver
t ika le s t a b i l i t e t hvorved den vert ikale diffusion af oxygen forringes. De oxy
gen-kritiske områder i Østersøen er v i s t i Pig. 26. Hér kan højere l i v hverken
33
January 1969
O, ml/l
Gotland Deep
Fig. 24. Længdesnit gennem Østersøen f ra Arkona Bassinet t i l mundingen af Den finske Bugt, som viser ver t ikal fordelingen af oxygen og hydrogensulfid i januar 1969.
January 1970
Gotland Deep
Fig. 25. Samme snit som i Fig. 24 visende oxygenfordelingen i januar 1970. Bemærk at hydrogensulfiden er forsvundet fra området.
34
leve e l l e r have s i ne gydep ladse r .
P ig . 26 . De svov lb r in t e-bel ä s t e de dybt l iggende områder i farvandene omkring Gotland f o r oktober 1972. I de mørke områder e r koncen t ra t ionen s t ø r r e end 2 ml p r . l i t e r og mellem d i s s e og de ydre i s o l i n i e r e r den 0 - 2 ml p r . l i t e r .
F o r r å d n e l s e s p r o c e s s e r e r l e d s a g e t af e t s t o r t oxygenforbrug. Har v i s å
ledes en s t o r p lanktonprodukt ion , som ikke konsumeres fu lds tændig t i hø je re
t r o f i s k e n iveaue r , v i l overskudsproduktionen f a lde t i l bunden. Indholde t i d e t
t e m a t e r i a l e ( d e t r i t u s ) af f o s f o r , n i t r o g e n og carbon kan gennemsni t l ig angives
ved a tom-forholdet :
C : N : P = 106 : 16 : 1 ( 2 . 2 )
Den kemiske sammensætning af d e t r i t u s kan v i formel t s k r i v e som
(CH2O)1 0 6 (BH 3 ) 1 6 H3P04 ( 2 . 3 )
Nedbrydningen t a g e r s i n begyndelse i en h y d r o l y t i s k f r i g ø r e l s e af ammo
niumioner HH. og f o s f a t - i o n e r POT"" samt id ig med en biokemisk o x i d a t i o n af
g lucose . Processerne kan eksempl i f i c e r e s ved de kemiske reak t ions l ign ix iger :
35
(CH2O)1 0 6 ( l f f i 3 ) l 6 H 3 P0 4
106 CH„0 + 16 HH, + H,P0„ 2 3 3 4
106 CH20 + 106 0 2 » 106 C02 + 106 HgO
16 HH' + 32 0 2 •* 16 MO + 16 H20
(2 .4 )
(2 .5 )
(2 .6 )
hvor HH + H20 ( ' HH* + OH"
Adderes ( 2 . 4 ) - ( 2 . 6 ) f å s
(CH2O)1 0 6 ( N H 3 ) 1 6 H 3 P 0 4 + 1 3 8 0 2
106 C0„ + 122 H„0 + 16 H¥0, + H^KK 2 2 3 3 4 (2.7)
Herved s e r v i , a t en fu lds tændig o x i d a t i o n af organisk s t o f indeholdende é t
gram-atom f o s f a t f o r d r e r 276 gram-atomer oxygen d . v . s . 4 ,4 kg lu f t fo rmig oxygen, c g
Dette s v a r e r t i l den mængde opløs t oxygen, de r f indes i mellem 10 og 10 l i t e r
oxygenrigt overf ladevand, h v i l k e t i n d s e s ved a t b e n y t t e t a b e l 1 og Avogadro's
l o v . l e d d i s s e op lysn inge r i n mente e r det n a t u r l i g t a t b e t r a g t e den organiske
pa r t i ku lære mængde f o s f a t som en v i g t i g parameter f o r oxygenkoncentrat ionerne
i Øs te rsøen .
Der e r k o r r e l a t i o n mellem det p a r t i k u l æ r e f o s f a t og den uorganiske o p l ø s
t e f o s f a t , som f indes i Øs te rsøen . Koncent ra t ionen af det op løs te uorganiske
ae
0.7
06
05 -
5 04
"O* f 0.3 J-
Centrala Ösiersjön fosfat-fosfor 0 10 m
1950-1970
Al i i
fiili 1 60 65 70
Fig. lOS.Fosfathaltens variationer i Östersjöns ytvatten frân J9S0 till 1970.
Fig. 27. Fosfatindholdet i Østersøens overfladevand i tiden 1950 til 1970. Bemærk de store variationer.
36
90 t f 3 o
V2-0
56 57 M 5ä S3 £3 63 6- 55 Ê5 67 6? b3 ?rHr t
Fig- 28. Fosfatindholdet i Østersøens dybvand (middeltal af fosfatværdierne fra Landsortdybet på 100, 200, 300 og 400 m dybde) fra perioden 1954 til 197O. En enkelt værdi fra 1938 er medtaget.
fosfat i Østersøen påvirkes af den mængde fosfat, som forekommer i husspilde
vandet - se Tabel 2. Vi ser, hvorledes der er en tendens til stigende fosfat
koncentrationer. Dette understøttes af undersøgelser over fosfattransporter i
Tabel 2. Beregnet udledning af fosfor i ton pr. år til Kattegat, Bælthavet o{ Østersøen.
Område Direkt Indirekt Totalt
Bottenviken Bottenhavet Finska viken Egent liga Os ters jön Summa Bält havet Oresund Katt egalt Totalt
290 780
5 050 3 880
10 000 1240 1960
890 14 090
220 600 870
2 370 4 060 2 800
350 400
7 610
510 ! 380 5 920 6 25»
14 06O 4 040 2310 1290
21700
Område Finland Sovjet Sverige Üvriga
Bottenviken Bottenhavet Finska viken Egenlliga Östersjün Totalt
280 800
1470
2 550
4 550 1 840 6 390
230 580
2 700 3 510
1700 1700
Kattegat i et sni t mellem Frederikshavn og Göteborg. Ved "benyttelse af strøm
målinger og fosfatbestemmelser, er det muligt at "beregne ne t to- fosfa t t rans-
37
porten ud i Skagerrak t i l 25575 "tons t o t a l fosfat (opløst + partikulært) pr , å r .
.Pig. 29. Målestationernes "beliggenhed t i l bestemmelse af vand - og materialetransporten gennem Kattegats nordlige de l .
Current, cm/s, towards 162' degrees
7i 08 27
Pig, 30. Middelstrømforholdene for snittet angivet i Pig. 29-
38
* — ( 1 — ^
^^^^rKr^fJ^^
I " ^^v^/H^^^A^^^/KA-v^
-f-*—4
r^^^s^^^Hyw^y^M/W^
O m
20 m
1 Feb 1 Mor 1975
Fig. 31 . Den t o t a l e fosfatmængdes variat ion med tiden og dybden på s n i t t e t angivet i Fig. 29»
Gflttborg
Corrected transports of Tot.P Itons/yeor)
74 08 27
IN 87 8i0 OUT 113 415 DIFF -25 575
Fig. 32. Den totale fosfatmængde transporteret gennem snittet angivet i Fig. 29 i løbet af et år.
39
Oxygenkonsentrâtionen er taget som helhed for Østersøen faldet i løbet af
dette århundrede. Dét kan der være f lere årsager t i l , hvoraf den ene - den øgede
t i l f ø r se l af spildevand t i l Østersøen - allerede er nævnt, nedgangen i oxygen
"hænger også intimt sammen med ændringen i de hydrografiske forhold. Således er
både gennemsnits-saliniteten - og temperaturen steget i løbet af det s idste å r
hundrede. Øgningen i s a l i n i t e t leder t i l øgede s tabi l i te ts forhold , som for
ringer mulighederne for udveksling af oxygen mellem overfladelag og dybere l i g
gende vandmasser - se Fig. 33« Øgningen i temperatur forringer generelt taget
Fig« 33 • Vertikal fordel ingen af temperatur, s a l i n i t e t og i l t på en s ta t ion, hvor dybden t i l bunden er s tor . Stationen l igger i den nordlige del af Østersøen, og målingerne hér er foretaget i t iden : (a) maj 1906, (b) Jul i 1939 °g (c) juni 1967.
stabil i tetsforholdene - og trækker dermed i modsat retning af sa l in i t e ten . Imid
l e r t i d skal det bemærkes, at overfladetemperaturen ikke er omfattet af den gene
r e l l e temperatur-stigning. Stabi l i te ten omkring den primære haloklin er med
andre ord øget jævnt over de sidste 100 år, d .v . s . oxygentransporten gennem den
ne må være gået ned. I de nedre lag hvor både s a l i n i t e t og temperatur er gået
op, er det vanskeligt at sige, hvilken indflydelse stigningen har haft på s t a
b i l i t e t e n . Vi kan derimod anføre, at den generelle temperaturstigning er led
saget af en afdunstning af oxygen, fordi 0„-opløseligheden i vand falder med
stigende temperatur.
40
3.0
Landsortsdjupei F 76 Fig. 93. Syrenedgången i Lands-0 m t / [ ortsdjupets d)up vatten från 1890
300 m 1890 -1970 till 1970.
s: v."
j i ' J L
V .
1890 1900 10 20 30 40 50 60 70 » Ar
Pig. 34. Iltkoncentrationens t i d s l ige variat ion på 300 m dybde i Landsortdybet, hvis maximal dybde er 475 m.
6.0
5.0 l -
30
1*4 .
Landsortdjupet
F 78
T*C 2 0 0 - « 9 m
* * i *
.s fi Ä S u ' v *• *
1 ' 1870 80 90 1900 10 20 30 40 50 60 70 »• År
Pig. 35. Temperaturens tidslige variation i vandlaget 200 m - 459 m i Landsortdybet. Temperaturen er i gennemsnit øget med 1 grad i løbet af et sekel.
41
14,0
T)5
'V
^ "
'•£ — ** f" ;
".-.
Gotlandsdjupet
S 1 under 200 m
• . * v
i l - 1 - , , 1 —
I960 1965
Pig. 36. Sal ini tetens t ids l ige variat ion i Gotlandsdybet under 200 m. Pilen, ud for hvilken der s t å r et e t t a l , v iser det store saltvandsindbrud t i l Østersøen i december 195^j som først nåede Gotlandsdybet medio 1952.
Ålands hav
fl>.
6s
6o
F 64 S
1898-1966 250-300 m
• .. . * / • /
:./.r • y •
-./ •
• • * t .
. . . „ ii 1 i , — . . I i L ' 1900 10 30 40
-. År
Pig. 37- Salinitetens t ids l ige variat ion for Ålandshavet i vandlaget 250-300 m.
42
Vi har h i d t i l kun "behandlet den sekundære forurening, ikke alene fordi
den oceanografisk set er mest interessant , men også for at demonstrere at pres
se-anskrigene omkring de undertiden foruroligende lave oxygen-koncentrationer i
Østersøen kan være et udslag af naturens luner. For ikke at give indtryk af den
rene idyl er Fig. 38 imidler t id medtaget. De konsekvent høje DDT værdier skyl
der udelukkende deres oprindelse fra Østblok-staterne. Forurening af miljøet
er givetvis et generelt fænomen, der ikke "begrænser s ig t i l en bestemt sam
fundsform. Således hævder f . eks , også U-landene deres ret t i l at forurene mil
jøet i lighed med, hvad I-landene t id l ige re har gjort - og for tsa t gør. Argu
mentet går på, at øget velstand kun opnås gennem øget produktion t i l lavere
pr i se r . En måde t i l nedbringelse af produktionsprisen l igger i at benytte ud-
gangsprodukter, som først og fremmest udmærker s ig ved deres pr isbi l l ighed
uden skelnen t i l deres indflydelse på miljøet; en anden måde kan gå ud på at
lade urenset industrispildevand direkte ud i recipienterne. Eksemplernes antal
er in-legio og deres løsning har vi desværre gjor t t i l rene pol i t i ske anliggen
der. Afslutningsvis skal v i give teorien for udveksling af en stofegenskab -
f .eks , oxygen - i e t område som Østersøen. Her t i l v i l det være nødvendigt at
Fig. 38. Koncentration af DDT substancer og PBC i marine organismer udtrykt i mg pr. kg fedtvæv.
PCB DDT
behandle grundlaget for den turbulente blandingsteori .
43
Turbulens kan betragtes som en tilfældig bevægelse, der er uregelmæssig
og præget af hvirvler af forskellig størrelse - ofte superponeret på en ordnet
bevægelse. I en turbulent strømning varierer således hastigheden,trykket etc.
stokastisk i tid og rum. Der findes ingen entydig definition på begrebet tur
bulens, fordi den optræder forskelligartet afhængig af de ydre forhold. Tur
bulens i nærheden af en fast rand har f.eks, således andre egenskaber end den
såkaldte frie turbulens, som forekommer fjernt fra faste rande. Det er ikke
muligt at give en deterministisk beskrivelse af den turbulente strøm - et for
hold som heller ikke er ukendt i anden moderne fysik. Imidlertid kan turbulen
sen beskrives statistisk, idet middelværdi og statistiske fordelinger af de
for turbulensen bestemmende fysiske størrelser er veldefinerede.
Den -turbulente bevægelse kan matematisk udtrykkes som
v = < v > + v ' ( 2 .8 )
-» hvor < v > e r d e f i n e r e t ved
< v > = - v d t (2 .9 ) Jo
der e r h a s t i g h e d s f e l t e t s middelværdi t a g e t over en t i l s t r æ k k e l i g s t o r t i d s s k a l a
T, så l edes a t b i d r a g f r a de t u r b u l e n t e f l u k t u a t i o n e r kan i g n o r e r e s , v ' e r a l t s å
en s t o k a s t i s k f luk tuerende h a s t i g h e d , der ud t rykke r t u rbu lensen . For vægturbu-
l e n s e r v ' « < v > , medens det modsatte fo rho ld of te gør s i g gældende f o r den
f r i t u r b u l e n s . I fø lge s i n n a t u r e r det i sær den f r i t u r b u l e n s , der e r af i n t e r
esse inden f o r den fys i ske oceanogra f i . Det e r værd at e r i n d r e s i g , a t n å r v i
beskæf t ige r os med s t a t i o n æ r e s t rømninger ( d . v . s , middelbevægelser) i have t ,
behandles kun en l i l l e del af den samlede s t rømning. F . e k s , kan verdenhavets
saralede k i n e t i s k e ene rg i t i l e t v i s t t i d spunk t udtrykkes som
k i n = I | p v . v dY ~ | p I v • ? dV (2 .10)
1V J - w
Antager vi, at denne totale Kinetiske energi er invariant i tiden fås
E k i n = ? f T f * P ^ * ^ d V - * e [ ( < v > 2 + ( v t ) 2 ) dV (2 .11) J Q ^V J V
-> 2 2 -* 9
På det åbne ocean e r < v > t y p i s k 2 s t ø r r e l s e s o r d e n e r (10 ) mindre end ( v ) ,
men denne s t ø r r e l s e s f o r s k e l mindskes n å r v i nærmer os lavvandede områder ( s h e l -
fen) og snævre fa rvande , hvor tu rbu lensen kan komme t i l a t minde om vægturbulens,
Hvis b ø l g e r e r t i l s t e d e , kan v i ikke ved h jælp af ( 2 . 8 ) ad sk i l l e b ø l g e -
44
bevægelse f ra turbulens, men bølgebevægelsen kan derimod fjernes re t effektivt
ved benyttelse af (2.9) over en lang t idsperiode. Ovennævnte er uheldigt i de-
fini t ionen for turbulensen, fordi det hér blev sagt, at v ' kun skulle rumme de
stokastiske bevægelser. Endelig skal det bemærkes, at v ' er afhængig af s tø r
relsen af det område i hvilket den turbulente strømning undersøges. Vælger vi
at studere den store anticykloniske cirkulat ionscelle i Atlanterhavet hvis
ves t l ige del udgøres af Golfstrømmen, er længdeskalaerne dermed fas t lagt ud
f ra cellens dimensioner. Alle bevægelser på mindre skala behandles herefter
som turbulente - og så fremdeles ned t i l mikroskopisk skala. Sagt mere poetisk
af Richardson :
"Big whirls have l i t t l e whirls that feed upon t h e i r velocity -
and l i t t l e whirls have l e s se r whirls and so on to v iscos i ty ."
Det er i oceanografien en velkendt erfaring, at a l l e molekylære dissipa
t ions - og dispersionsied kan ignoreres i forhold t i l de modsvarende turbulen
te led, når længdeskalaen overstiger molekylære dimensioner, hvilket i praksis
a l t i d v i l være t i l fældet .
Vi v i l herefter betragte bevægelsesligningen for en turbulent strømmende
homogen væske, hvor de ydre kræfter F kan ignoreresj desuden kon t inu i te t s l ig
ningen for en inkompressibel væske samt den turbulente diffusionsligning for
en stofegenskab q ;
Kontinuitetsligningen :
V . v = 0 (2.12)
Benyttes (2.9) i (2.12) b l iver
V . < v > = 0 (2.13)
v . v» = 0 (2.14)
fordi < V * v > = V * < v > = 0 .
Bevægelsesligningen :
^ L - ^ p - S æ i v - S g + S (2.15) dt p
45
Betragter vi middelværdier "bliver (2.15)
<Û>mk^>+<^> . v<v> + <v-t . v v»> (2.16)
Idet v* = i u' + j v' + k w1 kan sidste led i (2.16) skrives
< v* * V v1 > = < v< • v i u ! > + < v1 • V j v' > +
+ < v' • V k w' > (2.17)
Ved brug af (-2.12) - (2.14) kan (2.17) skrives
< v' . v v1 > = V - < v'(i) u» + v'CJ) v« + v'(ïc) w1 > (2.18)
hvor f.eks, første led bliver
V - < v'(i) u» > = ( < u'u' > + Ê- < v'u' > + jj- < w'u' >) t
For de øvrige led i (2.15) gælder
< 2 U 3 X V > = 2 U ) X < V > ( 2 . 1 9 )
< " p V p > = " p V < P > (2.20)
da p = < p > er en konstant med vore antagelser. Bevægelsesligningen for den
turbulente væske kan skrives som den sædvanlige Navier - Stokes ligning gælden
de for middelbevægelsen plus det ekstra led som kaldes de Reynoldske spændin
ger angivet i (2.18)
v < p > - 2 u ) X < v > - k g + d <; v > _ 1 - - ^ « -> .. ^ -» ^ • r* dt p
+ V-( ^ V < v > - < v'u' > t - < v 'v ' > "J - < v'w' > ît) (2.21)
hvor T /p og T| henholdsvis er vandets kinematiske og molekylære gnidningskoef-/ -2 2 - 1
ficient* Typ = v ~ 2*10 cm sek. . I alle praktiske sammenhænge ignoreres leddet v - ( v v < v > ).
Diffusionsligningen (uden kilder og dræn) :
3t + v* (i v) = V- k Vq (2 .2 2)
46
hvor q er en turbulent stofegenskab lig med < q > + q'. Benyttes inkompressibi-
litetsbetingeisen sammen med (2.22) fås
b 5, 3 > + ( < v > - v ) < q > = V . (k V < q > - < v'q' >) (2.23)
hvor k e r den molekylære diffusionskonstant for det pågældende stof q. Analogt
t i l før kan leddet V • ( k v < q > ) ignoreres. For at kunne løse (2.21) og
(2.23) med t i ls t rækkel ige randbetingelser for de afhængige variable, er det
nødvendigt at konstruere en model for de Reynoldske spændinger samt for det
turbulente diffusionsied < v'q1 >. Her skal ikke gås i de ta l je r med disse for
skel l ige modeller men blot nævnes, at den velnok enkleste model for de Reynolds-
ke spændinger beskriver proportionali tet mellem disse og < v >. Denne model er
benytte i afsni t 2 .3 .
En hyppigt anvendt model antager analogi mellem kinet isk gasteori og t u r
bulente bevægelser. Vi overtager således begreberne " f r i gennemsnits vejlængde
for et gasmolekyle" e t c . og overfører disse t i l turbulensteorien. Det har nem
l i g v i s t s ig , at vandet danner makroskopiske væskedele, der går på tværs af
strømlinierne. Om disse væskedele kan vi antage, at de beholder deres iden t i t e t
(fysiske karakter i s t ika) over en vis længde 1 , førend denne iden t i t e t går
tabt gennem udveksling med omgivelserne.
Benyttes analogien fra den kinetiske gasteori på (2.23) gældende for
turbulent blanding indses det straks, at hvis vi definerer 3 funktioner K ,
K og K ved hjælp af ligningerne y 2
< u ' q . > = - K x ^ S L > (2.24)
< v , q . > = - K y ^ L > (2.25)
< w ' q ' > E - K z ^ f ^ • • • • ' • • (2.26)
da har vi den søgte analogi. Dette kan v i straks se ved at studere s idste led
i (2 .23) . Det skal herved bemærkes, at de turbulente blandingskoefficienter
er såkaldte apparente egenskaber, fordi de afhænger af strømhastighedsfeltet,
der ændrer sig med t i d og sted.
For en væskedel der kommer fra z - 1 t i l z b l ive r den gennemsnitlige
hastighedsændring udtrykt ved
| < u t > | = | < u ( ^ - u ( , - l m ) > | ~ l j ^ f r ^ | (2-27)
47
Det er en eksperimentel kendsgerning, at små turbulente "bevægelser nærmest er
isotrope, når der er labi l i tet , d.v.s. öp/öz s 0 medfører u' ~ v' ~ w'. Derved
"bliver den turbulente horisontale og vertikale længdeskala også af samme stør
relsesorden, hvilket indses ved at lave skala-analyse på kontinuitetsligningen.
Yi har altså
|< u» >| ~ |< v1 > | ~ |< w» >| (2.28)
X ~ Y ~ Z (2.29)
Hvis —-T er positiv, giver den væskedel, der "bevæger sig opad med hastig
heden w1, et -u* "bidrag t i l de nye omgivelser - og vice versa. Vi siger, at
korrelationen for x-komponenten af de Reynoldske spændinger er negativ. Følge
l ig bliver < u*w' > = k |< u» > j | < w' >J , hvor k er korrelationskoefficien
ten regnet med fortegn :
k _ d < v. > / 1 d < u > f . v ! k | ~ ~ dz / J dz . - Kt-M)
I det følgende betragtes en horisont al strømning hvor
v = u i + v j + w k
og
u = < u(z) > + u'(x, z, t )
v = 0
w = w'(x, z, t )
Tangential spændingen T kan i følge (2.18), (2.27), (2.28) og (2.30) her
efter udtrykkes ved
X _ - ...... - _ i 2 d. < u > | d < u > p dz l dz l v
2 hvor k er medtaget i 1 , der herved bliver en funktion af turbulensens karakter
og derved også af stedet. Den turbulente gnidningskoefficient bliver herefter,
for nu at få analogien til den kinematiske gasteori frem
A = 1 2 | a ^ J i > | (2 .32)
- se endvidere s i d s t e l e d i (2 .21 ) . Den t u r b u l e n t e gn idn ingskoe f f i c i en t A b l i v e r
med andre ord bes temt af h a s t i g h e d s f e l t e t . S t ø r r e l s e n A/p v a r i e r e r i h a v e t t y -p
p i sk f r a 1 - 100 cm s e k . , h v i l k e t r e t færd iggør b o r t k a s t e i s e n af den k i n e m a t i s -
ke gnidningsko e f f i c i e n t v i ( 2 . 2 1 ) . Med (2 .32 ) kan v i gøre a n t a g e l s e r om A ' s
v a r i a t i o n med dybden u d f r a kendskabet t i l middelstrømmen, der en ten kan b e r e g
nes ud f r a hydrogra f i ske d a t a e l l e r kan bestemmes konven t ione l t ved d i r e k t e
s t rømmålinger . Det ska l indskærpes , a t ovennævnte t e o r i e r u d l e d t f o r kun de
t i l f æ l d e , hvor strømmen v a r i e r e r med dybden.
For a t kunne beregne h a s t i g h e d s p r o f i l e n < u(z ) > i e t grænselag med gn id
n ing , kan v i fo r søge a t an tage 1 p r o p o r t i o n a l med højden z over bunden, d . v . s ,
1 = H 2 •••• (2 .33) o
samt antage , a t spændingen T e r kons t an t i g rænse lage t . Herved kan ( 2 . 3 1 )
s k r i v e s
T 2 2 | d < u > d < u > o o dz \ dz
(2.34)
For p o s i t i v h a s t i g h e d s g r a d i e n t , h v i l k e t v i f . e k s , f i n d e r ved s t rømninger over
en p l an bund, f å s f o r g r a d i e n t e n a t
d < u > m VT^O_ ( 2 # 3 5 ) dZ H Z
o
Middelstrømmen kan h e r e f t e r l e t beregnes ved i n t e g r a t i o n af (2 .35)
< u > = - \ P - l n z (2.36) K 0 V p
Den l o g a r i t m i s k e p r o f i l g i v e r < u > = - °° f o r z = 0. I m i d l e r t i d f i n d e s de r
tæt ved den f a s t e rand e t t y n d t l a g , hvor den molekylære gnidning e r domine
rende . Hér haves en l aminar i k k e - t u r b u l e n t strømning, hvor spændingen T b e
s k r i v e s ved
T = T ] A ^ 2U > (2 .37)
"• S ff—. vokser o m t r e n t l i g l i n e æ r t med z umiddelbart over den plane bund og dz
49
da T\ , den molekylære gnidningskoefficient, er en fysisk konstant, bliver T
også konstant for dette lag og
< u(z) > - konstant * z (2.38)
Da vi betragter tilfælde med gnidning skal < u(z) > være en kontinuert funktion
for alle z > 0. Det blev overfor sagt at grænselaget ved randen er tyndt og af
molekylære dimensionen d.v.s. vi kan antage, at < u(z) > = 0 ved lagets øvers
te grænse z - z istedet for < u(z) > = 0 for z - 0. Derved bliver antagelsen
for 1 i (2.33)
1 «= K (z + z ) (2.39) o v o '
< u ( a ) > = l JÏ m ( ^ - £ ) (2.40) o * P o
T = p O
^ Z ' o
2 ?
< u ( z ) > £ i (2.41)
Dette udtryk viser bl.a., at vindspændingen kan gives ved luftens massefylde,
en empirisk konstant [ ] og middelvindhastighedens kvadrat i en vis højde over
det fri vandspejl. Dette vil blive benyttet i afsnit 2.2.
Vi skal se nærmere på H , som kaldes von Karmans konstant, fordi den næs
ten er en universal konstant ~ 0,4 for alle tilfælde, hvor turbulensen er lo
kalt produceret. Vi ønsker at beregne 1=1 (z) udtrykt i kendte turbulente egen
skaber. For at kunne gøre dette antages, at de turbulente fluktuationer er
ligedannede for alle punkter i feltet. Fluktuationerne varierer kun i ampli
tude og periode på en sådan måde, at når tidsskala og længdeskala er kendte
størrelser, da er turbulensspektret fastlagt. Som længdeskala vælges 1 og
tidsskalaen, får vi ved at indføre den såkaldte friktionshastighed u givet
ved definitionsligningen
Ifølge (2.42) bliver tidsskalaen givet ved t = l/u . -* s * -» -
For et hastighedsfelt < u(z) > 1 og en turbulent hastighed vf= u* i + w' k bliver bevægelsesligningen, nar eneste ydre virkende kræfter er trykket:
50
bv1 , / / \ - , ,( \ \ bv1 , ,/ \ / & < u(z) > -* , Qv' N TT + (< u(z) > + UM zH r— + w'( z) ( r ••*•'J-~ i + T—) =
- - v p (2.43) p
Ved sædvanlig rækkeudvikling af < u(z) > omkring et nabopunkt zn fås
< u(z) > = < u(zn) > + (z - zn) — -^-^ Jo' ' ' v" "o7 dz + z=z o
( z - z ) j 2 ^ , ^ ^ o' d < u >
dz + . . . (2.44)
z=z
Det antages heref ter at den turbulente bevægelse v> e r stationær i et koordi
nat system, som t rans la te res med hastigheden < u(z ) > . Dette betyder, at de
turbulente fluktuationer kan observeres i et fast punkt enten ved at lade et
t i l t iden t fastholdt turbul ens spektrum passere gennem punktet med hastigheden
< u(z ) > e l l e r ved langs x-akBen at tage funktionsværdieme f ra et ø jebl iks
b i l lede af det turbulente spektrum. Matematisk kan hypotesen formuleres enten
som
v ' (x , z, t ) = v»(x - < u(zQ) > t , z, 0) (2.45)
e l l e r analogt hermed som
Vore antagelser er særdeles vel opfyldt, når forholdet v ' / < u(z ) > er
l i l l e , hvilket netop er t i l fælde t for turbulens ved fas te rande.
Medtages kun nu l ' t e og første ordens led i (2.44) og benyttes (2.46) på
(2.43) b l iver bevægelsesligningen for sekundærbevægelsen v1 ;
z=z bx x ' ?>x
o
w'<z) ( - d i - 1 + bz* } - - 1 V p (2'47>
Vi udfører nu en skala—analyse Î v1 = u_ - v !
X = 1
51
z = 1
2 A
p = p \ p
Idet vi udvikler — ~ — omkring z kan (2.47) udtrykkes som en funktion dz
af de dimensionsløse v a r i a b l e ( ) ovenfor .
. 2 * £ A d < u > / A A v b v ! ,
{z - Z J + Z = Z v O ' . A o bx
S. A 5v» , A , • d < U > + T— U 1 ~ - + U W1 [ ' • - '
1 * m dz ox
i f A * N d < u > l ( z - z ^
i +
dz
U A -* _s by' i + * uv • \
1 x* bz
(2.4S)
Hér e r V < p > ~ — h ' • " ~ kons tan t i g rænse lage t , medens 7 p ' e r det tu rbulen
t e t r y k , som også må opfylde l igedanne thedskrave t i vor hypo te se . Omordnes
(2 .48) f å s
A A
- V p - ( — fl <, u > * u dz
\ / A A . d V f , ) { z - z ; — + z=z * x o ' ,A o dx
, A i ov / 1 d < u > \ A, -# + u ' — + ( - —5 } w* i + XA * u dz z=z ' b x 3E O
2 2 / 1 d < u >
+ ( - —j 3E dZ
Z = Z
\ / A A v A , - ^ A b V 1 (z - z ) w! i + w' — * V O ' . A
bz (2.49)
Sekundærbevægeiserne e r l igedannede i v e r t i k a l r e t n i n g , n å r de dimensionsløse
grupper { ) e r uafhængige af z. Det te f o r d r e r , a t
_ — S _ kons t an t u_ dz
(2.50)
samt
2 2 1 d < u > Û ^ 2
æ dz = kons tan t (2.51)
Ved e l i m i n e r i n g af u b l i v e r
1 » R d < u > o dz
d < u >
dz 2 (2.52)
Det ses a t 1 , vor længdeskala, e r "bestemt f o r h e l e l a g e t med den såka ld te
52
empiriske von Karman konstant H ~ 0,4. (2.52) kan heref ter indsættes overalt i
stedet for det mere uhåndterlige 1. Indsættes (2.39) i (2.52) fører det te også
t i l en logaritmisk hastighedsprofil nær en fast rand. Den ubestemte konstant z
i løsningen tolkes herefter som en såkaldt ruhedsparameter så < u > = 0 under
ujævnhederne med højden z .
Ti l s idst skal vi se på visse forhold omkring turbulent energi . Energi
tæthed og energiflux udtrykkes ved den mekaniske energiligning, som fremkommer
ved at multiplicere bevægelsesligningen skal ar t med den vektor ie l le hastighed :
+Jjl = _ 1 3 . y p _ 2 "v - (t x v) - v . $ g + v(v - v V)v (2.53)
Da v . v = 0, og p = < p > + p' er uafhængig af dybden for de områder v i b e
handler reduceres (2.53) "til
f- tø p 3 . v) = - v . V p - v . t p g + tl(v v2 v) (2.54)
Subtraheres energiligningen for den stationære bevægelse < v > f ra (2.54) får
vi den turbulente energiligning
^ - | < p X v» - v*> = - < v ' p ' > k* g - < v'V p ' > -ot
-< v ' (v . v) v > - < (V + < v >) * v < p > — > +
+ Tl< v« . V2 v ' > (2.55)
Venstre side af (2.55) er d-©11 lokale t idsvar ia t ion af turbulent k inet isk energi.
På højresiden s t å r leddene henholdsvis for i ) omsætning af tyngdens po ten t i e l
energi i i ) indre arbejde i i i ) omsætning af såkaldt koblingsenergi med hoved
strømmen iv) advektion af -turbulent kinetisk energi og v) advektion af turbu-
lent dissipation . Leddene < v> V p" > og < v ' V ( < p > -§ v! • v ' ) > giver
tilsammen den turbulente flux af den to ta le turbulente energi . For et grænselag
med et stationært turbulensfelt og en middel strømning < u(z) > i b l ive r den
lokale produktion af turbulens
< < p > v' - (v • v) >•< u > t = < o > < u'w1 > ^2U—
den eneste omsætning af energi fra hovedstrømmen t i l turbulens. For l ab i l l ag
deling er dissipationen af energi og turbulent advektion af turbulent energi
53
f ra det betragtede punkt i væsken i ligevægt med produktionen, fordi turbulens
fe l t e t er antaget s ta t ionært . Følgelig v i l uligheden
< p > < u'w' > ^ 5 U >
— * — & £ — > 1 (2.56) TI < V . v v« >
a l t i d være opfyldt. Dette kriterium er et nødvendigt krav for eksistensen af
turbulens, hvor overskuddet af den turbulente energi advekteres væk fra det be
tragtede sted gennem såkaldt selvdiffusion. Forholdet i (2.56) kan skrives para-
metrisk som et dimensionsløst t a l
R e , S L E J p i ( 2 . 5 7 )
hvor Re kaldes for Reynolds tal, < u > er opfattet som middelhastigheden uden
for grænselaget og L er grænselagets karakteristiske tykkelse; v = T|/P e r s o m
tidligere i dette afsnit den kinematiske molekylære gnidningskoefficient. Når
Re er større end en vis kritisk værdi ~ 2000 bestemt fra forsøg overgår en la
minar strømning til at blive turbulent.
For en meget stabil lagdeling, som vi finder den i indre danske farvande,
og en middelstrøm der varierer med dybden, er omsætningen af tyngdens poten
tialenergi og koblingsenergi de vigtigste led i (2.55). Forholdet mellem disse
2 størrelser kan udledes som følgende :
tyngdens potentialenergi øges i tidsrummet <5t med bidraget - g p' w' 6t, for
w' < 0 medfører p' > 0 og viee versa. Den gennemsnitlige potentialenergi bliver
herefter
-if g p1 w' dt = - g < pi w' > (2.58)
Analogt med (2.26) indføres et K t der beskriver den vert ikale udvekslingskoef-z
f icient for masse, hvorved (2.58) kan skrives
- g < p> w > = - g Kz b < z
p > (2.59)
Den kinematiske energiflux dE/dt til et vandlag med tykkelsen ßz er lig med
effekten givet ved produktet af de på vandlaget virkende spændinger og hastig
heden. Betragtes enhedsflader fås
f|-- T(Z)<U(Z)> +
+ (T(Z) < u(z) > + (T(Z) < u(z) >) Az + ... Az2) (2.60)
54
Denne energiflux. t i l vandlaget er koblingsenergien. Vi antager nu konstant T
og benytter (2.31)» der skrives på formen
l = k L^JL> (2.61) p z bz v '
Por at undgå accelerationer i den parallelle strømning < u(z) >, giver en lige
vægt mellem tyngdens potent i al energi og koblings energien at
- g K & < P > = < p > A ( & < U > f (2.62) tezbz H z v b z
Vi indfører et andet dimensionsløst t a l
g b < o > Hi = " < P> J * (2.63)
v bz
som benævnes Richardsons t a l i gradientform. Da vi ikke har medtaget diss ipat ion
og selvdiffusion i (2.62) b l ive r uligheden
R i < ^ (2.64) z
en nødvendig betingelse for lokal produktion af turbulens. Den s tabi le lagde
l ing hæmmer en ver t ikal udveksling af masse, fordi en ændring i potentiel energi
kræver, at der dermed skal udføres et større arbejde. Erfaringer tyder på, at
hvis Ri > 0,25 v i l turbulensen efterhånden ophøre,medens Ri < 0,25 giver en be
t ingelse for at vandet blandes turbulent. I Østersøen er Ri > 1 i springlaget 2 - 1 og K 0,1 - 0,01 cm sek. . z
Vi er heref ter i stand t i l at redegøre for de specielle oxygenforhold,
der råder i Østersøen :
1) Stabil lagdeling, der medfører ringe ver t ikal turbulent diffusion af
oxygen f ra overfladen ned i dybere liggende lag.
2) Oxygenproduktionen som følge af fotosyntesen finder sted over spring
laget (primær ha lokl in) .
3) Udledning af oxygenforbrugende næringssalte (sekundær forurening).
4) Øget gennemsnitstemperaturer i dyb vandet.
5) Hyppige s altvands indbrud, som øger s t ab i l i t e t en . Denne øgede indstrøm
ning af tungt oxygenrigt bundvand giver kun temporære økologiske for
dele.
55
2.2. Vinds tuvening.
Den s idste v i rke l ig store stormflodsulykke, som indtraf i Danmark, fandt
sted 12 - 14 november 1872. Dette skete ikke ved den danske vestkyst, hvorfra
vi normalt modtager de f l e s t e stormflodsvarsler, men derimod ved Lollands kys
t e r i den sydlige del af Østersøen. I f l e re dage havde vinden blæst s t i v kuling
e l l e r mere f r a nordvest. Herved steg vandstanden i Kattegat og vandmasser træng
te sig ind gennem Sundet og Bælthavet frem t i l Østersøen. Da vinden heref ter
slog orn i nordøst, blev vandet i Østersøen presset sydpå med s tor kraf t . De
snævre indre danske farvande og den store vandstand i Kattegat foranledigede,
at Østersø-vandet ikke f r i t kunne lade s ig presse ud. Vi fik en vindstuvenings-
effekt på Lollands sydkyst med store oversvømmelser t i l følge. Ulykken rystede
det danske folk på mere end én måde. Vi skal nemlig tænke på, at krigen i 1864
havde medført visse areal indskrænkninger for Danmark. Man var derfor begyndt
at opdyrke heden samt inddæmme land for at reducere tabet af land. De danske
inddæmningsarbejder var næppe en ubetinget succes. Ofte afdækkedes sandede
områder således at flyvesand blev et problem ( f . eks , vejlerne i Limfjorden);
i andre t i l fælde kunne v i ikke håndtere den teknologiske side af sagen ( f . eks .
Lammefjordsprojektet som i 1872 blev færdiggjort af - ironisk nok - et ham-
burgsk firma). Og så på toppen af det hele , stormfloden ved Lolland, som gik
over digekronerne og forårsagede store ødelæggelser. I en samtidig meddelelse
"Oversigt over Resultaterne af nogle Undersøgelser over de ved Vindens Kraft
fremkaldte Strømninger i Havet" t i l Videnskabernes Selskab skriver prof. A
Colding i 1876 :"
"Det nærværende Arbeide har nemlig sin Oprindelse derfra, at det danner
et Slags Forarbeide t i l en omfattende Undersøgelse over Stormen og
Stormfloden den 13de November 1872, som jeg har s t i l l e t mig t i l Opgave
at gjennemføre så vidt muligt, for ved Hjælp af de f ra mangfoldige Steder
indhentede Kjendsgjeminger om dette i Storartethed og stærk udpræget
Characteer næsten enestaaende Naturphænomen muligviis at kunne bringe
noget Lys ud over denne Art af Naturbegivenheder, hvorom man h id ind t i l
næsten ingen Kundskab har havt, og imod hvilke man derfor også kun hø i s t
uf uldkommende har kunnet værge sig; t h i ind t i l nu kan man vel næppe siges
at være på det rene med, hvad der er s l ige Phænomeners Aarsag,og endnu mind
re har man været istand t i l at danne sig en tydelig Forest i l l ing om Stør
relsen af de Kræfter, som Naturen formaaer at sætte i Bevægelse under en
Stormflod, som den af 13de November 1872, der hær jede en s tor Deel af
Østersøens Kyster."
56
A. Coldings endelige resultater forelå publiceret i 1881, men ca. 50 år
skulle yderligere forløbe, førend vi fik den fulde fysiske forståelse af pro
blemet. Vi gør følgende antagelser :
1) konstant blæsende vind
2) ingen accelerationer i havet
3) ingen tidevandskraft af betydning
4) indledningsvis ingen horisontal trykgradient
5) horisontal strømning d.v.s. w=0
6) uendeligt havområde i både horisontal og vertikal retning
7) ingen variationer i havvandets massefylde
Med disse antagelser bliver bevægelsesligningerne :
f«-4(A S2) (2*65) p ÖZ V 2 Q2y
-f v-ifc-UJg) (2.66) p 02 Z 02
Antag desuden at den vertikale turbulente gnidningskoefficient A er konstant.
Vi eliminerer v ved at differentiere (2.66) 2 gange og indsætter i (2.65)
^=-(^f) 2u (2.67) dz z
Dette er en lineær differentialligning med konstante koefficienter, som kan lø
ses efter velkendte metoder. Den har løsninger af formen :
u = em z cos(m 2 + ß) (2.68)
hvor
m = + v / | j - (2.69)
hvilket indses ved at indsætte (2.68) i (2.67). Vi har altså 2 uafhængige løs
ninger em Z cos(m z + ß) og e~ cos(-m z + y) og følgelig bliver den almene
løsning t i l (2.67)
u = A em z cos(m z + ß) + B e""m Z cos(-m z + y) (2.70)
hvor A, B, ß og y er integrationskonstanter. Vi forlanger endelig værdier for
u på store dybder, så vi må kræve at B = 0,
57
så ledes a t
u « A e cos(m % + ß) {2-71)
Vi d i f f e r e n t i e r e r (2..71) 2 gange og i n d s æ t t e r i (2 .66) hvorved
v = A e sin(m z + ß) (2 .72)
\/ 2 , 2 , m 2 •\XL + V Strømhastigheden b l i v e r Vu + v = A e . I n t e g r a t i o n s k o n s t a n t e n A h l i v e r s å
l edes i d e n t i s k med over f l adehas t igheden V d . v . s .
•a » Vo em z cos(m z + ß) (2 .73)
v = V em z sin(m z + ß) (2 .74)
Hast ighedsvektoren 1 u + j v h a r a l t s å ska l arværdien V e og danner en v i n
ke l 9 = m z + ß med x-aksen .
Randbet ingelser :
T - A ~ f o r z = 0 (2 .75) x z dz \.<-•<-;/
T = A ~ f o r z = 0 (2 .76) y z dz K ' y
d . v . s .
Tx = Å z m V0 ( C 0 S ß - s i Ä ß) (2 .77)
T - A2 m Vo(cos ß + s i n ß) (2 .78)
y-aksen lægges f o r enkelheds skyld i vindens r e t n i n g d . v . s . T = 0 o g ß = 45° .
Vi kan h e r e f t e r f inde f r a ( 2 . 7 3 ) , (2 .74) og (2 .78)
T
T , y
VP f A
£=r em z cos(m z + $ ) ( 2 . 8 o )
v - , • / ' e Bin(m z + ^ ) (2 .81)
58
Vi ser af (2,8o) og (2.81), at overfladehastigheden er r e t t e t 45° t i l højre for
vinden på nordlige halvkugle (f > 0) . Desuden, at hastigheden aftager eksponen
t i e l t med dybden samt, at hastighedsvektorens vinkel med x-aksen aftager lineært
med dybden. Hastighedsvektorens endepunkt beskriver en sp i ra l - Ekmanspiralen -
som i horisontal projektion udar ter t i l en logaritmisk s p i r a l . Hår m • z = 7t er
strømretningen modsat r e t t e t overfladestrømmens. Ved denne dybde - Ekmandybden v e-rc „ 0 Q4 y
D o ' o D - b l ive r hastighedens skalarværdi V_ = V e~ ~ 0,04 V og
"V7T (2.82)
På vore breddegrader vil D være af størrelsesordenen 50 meter, så vindens
direkte indflydelse på strømfeltet er begrænset til et forholdsvis tyndt over
fladelag. De indirekte virkninge^ som kan skyldes opstuvening af vandet mod
land (vindstuvening) med horisontale frykgradienter til følge kan nå meget dy
bere ned.
De totale massetransporter M og M fås ved integration af højresiden i
x y (2.65) og (2.66) is tedet for en direkte benyttelse af (2.8o) og (2.8l)
M*E fO fO „ •». >. T
j 1 1 0 / - « ÖV> u p dz = —
M = j° v p d, - - f°£fcU, £ ) « • - - . £ (2.84) •* J —ta J —00
I resu l ta te t indgår A ikke og massefylden p må gerne variere med dybden. Tid-
l igere sat te vi for enkeltheds skyld T = 0 d .v . s .
T
Mx = -f (2.85)
M = 0 (2.86)
Nettomassetransporten går med andre ord vinkelret og t i l højre på vindens r e t
ning.
Vi lader herefter antagelsen om uendelig dybde falde, så randbetingelser
ne ved bunden b l iver is tedet :
u, v = 0 for z = - d (2.87)
De generelle løsninger for u, v findes af (2.70) og (2.66). Antages som før at
vinden blæser i y-aksens retning, få r vi ef ter omstændelige udregninger at
59
u = P sinh m Ç cos m %, - Q cosh m % sin m | (2.88)
v - P cosh m £ sin m % + Q sinh m | cos m g (2.89)
hvor den ny variabel f = s + d og
T D P - y cosh m d oos m d + sinh m d sin m d , Q s
A K cosh 2 m d + cos 2 m d W-90; z
T 1> Q y cosh m d cos m d - s m h m d s i n m d /•- Q 1 \ H = A TU cosh 2 m d + cos 2 m d ^ - y 1 ;
z
Overflade strømmens v inke l 6 med v ind re tn ingen kan beregnes ud f r a
s inh 2 ^ d - s i n 2 ^ d ^ e = <v>|=d — î F " (2 .92)
s s inh 2 * d + s i n 2 | d 9 l i g g e r omkring 45 f o r de f l e s t e dybder undtagen de l a v e s t e :
d/D 0,25 0,5 0 J 5 1,0 1,25 2,5
e 21Ï5 45° 45?5 45° 45° 45° 45°
Mas se t r anspor t erne M og M b l i v e r henholdsv i s x ö y
o T D u d£ -Y.-. cosh 2md + cos 2md - 2 cosh md cos md r~ n-i\
A9 6 p _ 2' . cosh 2md + cos 2md ^ *^ }
~d 2% A z
M =
M = y
•o T D 2
jir y s inh m d s i n m d , n t . p v dg - p - ^ 7 - c o 5 h 2m d 4- cos 2m d ( 2 -94)
- d 2ÏÎ A
Hvis d = D h l i v e r M = 0 og y
x 2TC A ffl1 I
z
h v i l k e t omtrent e r samme r e s u l t a t som f o r de t f ø r s t e i d e a l i s e r e d e Ekman-ti lfælde.
Når d vokser , konvergerer værdien i pa ran te sen i (2 .95) mod 1»
Vi v i l nu l ade an t age l sen om "ingen h o r i s o n t a l e t r y k g r a d i e n t e r " f a l d e .
Lad os antage a t vandspe j l e t h a r en kons tan t hældning a, hv i lken f . e k s , kan
være fremkommet ved en ops tuvening af vand mod en l a n g l i g e k y s t . For enkel theds
skyld lægges y-aksen i hældningens r e t n i n g og x-aksen v i n k e l r e t he rpå . De h y
drodynamiske l i g n i n g e r "bliver
60
f U „ f s â - S - ! j j £ ( 2 .96)
r öz
Da p e r konstant b l iver öp/öy « - g p tg a, hvilket indses ved benyttelse af
den hydrostatiske ligevægtsbetingelse
§£ - - P ë (2.98)
Vandspejlsfaid er altid små, så det er rimeligt at sætte tg a = a. Vore bevæg
elsesligninger kan herefter skrives på formen analogt til tidligere
2 d v _ 2 K o a , N —-5- 2 m u - V — (2.99) dz z
d u _ 2 , . — ? = - 2 m v (2.IOO) dz
Vi bemærker, at hastighedsfeltet u, v kan afhænger af dybden d . v . s . kontinui
tetsl igningen er automatisk t i l f r e d s s t i l l e t fordi p = konstant samt w = 0. Vi
eliminerer u ved at differentiere (2.99) 2 gange og indsætte f ra (2.100). Her
ved indses ligesom t id l igere at v kan angives på formen
v = A1 e z cos(m z + ß) + B e""1 z cos(-m z + y) (2.101)
Indsættes (2.101) i (2.99) ses direkte, at i et udtryk for u skal leddet
(p g a)/2m A findes d .v .s .
u = u + p g a (2.102) 1 2m A
z
hvor u v i l have et lignende udseende som v. Uden at gå nærmere i de ta l je r f in
der v i på hel t sædvanlig måde
u = C1 e cos(-m z + c ^ + C£ em z cos(-m z + o^) + p | g — (2.103) 2m A z
v = C1 e~m Z sin(-m z + c1 ) - C2 em 2 sin(-m z + c2) (2.104)
hvor randbetingelserne fastlægger integrationskonstanterne. I t i l fælde af ingen
61
v ind men hvor e t v a n d s p e j l s f a i d haves , d . v . s ,
T = A S£ = o x z Öz
T = A | ï = 0 y z öz
f o r z = 0 (2 ,105)
f i n d e s C1 - C2 = §C og c 1 =?c 2 = c .
Ved bunden z = - d e r u , v = 0 hvorved
_ cosh m d cos m d 2 g a fn*n£\ C cos c = - • ' , ?—; w , g"1 12.106) cosh 2 m d + cos 2 m d f
n • s inh m d s i n m d 2 g a / „ „ „„ \ C s i n C = = oosh 2 m d + oos 2 m d f t 2 ' 1 0 ^
(2 .106) og (2 .107) indsæt t e s i (2 .103) og (2 .104) hvorved h a s t i g h e d s f e l t e t kan
s k r i v e s
g a f cosh p cos q + cosh q cos p "1 / ß l. U ~ f |_cosh 2 m d + cos 2 m d ~ J ^2.100 J
v - g « I s inh p s i n q + s inh q s in p i . . f [ eosh 2 m d + cos 2 m d K**™2) jx [ s i n h p s i n q + s inh q s in p C I ebsh 2 m d + cos 2 m d
hvor p = m(d - z) og q = m(d + z ) . I (2 .108) og (2.109) e r m - ~t hvor
/2 A
h a r en l ignende be tydning som Ekman-dybden D, D1 ka ldes dybden af det nedre
Ekman-lag. D og D' h a r samme s t ø r r e l s e s o r d e n . Hvis vanddybden d = D' "bliver
ove r f l adehas t igheden i fø lge (2 .108) og (2.109)
Uo = ^ p (0 ,087 + 1) (2 .111)
V ' = 0 o
Det bemærkes a t U næsten e r l i g has t igheden f o r en g e o s t r o f i s k "balanceret strøm
g a / f - se a f s n i t 3 . 2 , For andre fo rho ld af d/D' v i l V f l u k t u e r e mellem p o s i
t i v e og n e g a t i v e værd ie r . De h é r nævnte forho ld e r ganske analoge t i l , hvad t i d
l i g e r e e r an fø r t om det øvre Ekman-lag og d/D,
Mas s e t r a n s p o r t erne M og M fås ved i n t e g r a t i o n af (2 .108) og (2.109) :
62
M - p x H
M = p
Pi g g , _ d siaih 2 K f, + s i n 2 * | ,
2 i ï f t 2 7 t D î v, « ÔL « 4 cosh 2 TI =:, + cos 2 je ^ ,
sinh 2 « i - sin 2 , Ä "• P1 g g / DJ pj_ x 2 n f l v o d „ d ;
cosh 2 it —, + cos 2 E — ,
(2.113)
(2.114)
(2.114) v iser , at for d » D1 b l ive r
J1 E g y — f Z H I
M - PV f 2 71 f ;
(2.115)
(2.116)
Hvis vi ignorerer gnidning bliver
Mx = p d ug = p E a d/ f (2.117)
hvor u e r den geotrofiske strømkomponent opstået ved, at vandspejlet hælder o
vinklen a. Pet førs te led for M i (2.116) giver således den af en geotrofisk
balance forårsagede massetransport, medens det andet led repræsenterer M , der
er forholdsvis l i l l e .
Vi v i l nu gå over t i l at betragte et hav med konstant dybde d afgrænset
ved en uendelig, lang og l ige kyst . Vi v i l antage en konstant blæsende vind
langs kysten, hvilken-vil foranledige, at vandspejlet i n d s t i l l e r s ig med en
vis vinkel a. y-aksen lægges vinkelret ud fra kysten og x-aksen pa ra l l e l t med
denne. Vinden blæser i modsat retning af x-aksen, hvorved vindspændingen T =
- I T . Det antages videre at vanddybden er s tor , d .v . s . d » P, P ' . Herved
bringes vi istand t i l at t a l e om 3 strømnings regioner i havet i ) øvre og nedre
Ekman-lag hvor gnidningskræfter essent ie l t balanceres af Co r io l is-kraf ten samt
i i ) dybvandsområdet, hvor de horisontale trykgradientkræfter er i balance med
Co r io l is—kraften. Pen geostrofiske massetransport forløber pa ra l l e l t med kysten
og bidrager således ikke t i l nogen vandopstuvening. Derimod haves på kysten 0' U
vinkelret te mass et ransport er M og M for henholdsvis det øvre og nedre Ek-<y y
man-lag. Vi har t i d l ige re fundet at
y ~ f
H D! g q
- PITT"
(2.118)
(2.119)
63
O T Om — o ;
— i
~ 2
— 3 Upper current — *
D —5
a) Deep c u r r e n t ^ ^
D' - * • — 6 — 7 — 8 — 9
Bottom current
r77777777777777777777777777's Pressure gradient fc I
i
• Pig, 39* Ekmans elementære strømsystem. Den tykt optrukne p i l paral le l med kysten repræsenterer den geostrofiske strøm. Overflade- og bund- Ekman spiralernes horisontale projektion er angivet ved de stiplede krumme l i n i e r .
64
0 U Da v i h a r an t age t s t a t i o n æ r t i l s t a n d e r M + M = 0 . Heraf . f indes
y y T
a = 2 is ~rr (2.120) p g D'
d.v.s. kendes vindspændingen T og D1 kan a beregnes. Hvis d er lille sammen
lignet med D, D' skal M og M beregnes udfra de generelle udtryk (2.94) og
(2.114).
Vi har hidtil kun betragtet vindstuvening ved en lang lige kyst for det
stationære tilfælde. Vi skal nu betragte forholdene, når vandspejlsændringen
er under opbygning for iøvrigt ellers de samme betingelser som gældende for
ovennævnte stationære tilfælde :
Lad det endelige stationære vandspejls hældning være a. og vandspejlet
givet ved funktionen T| = f(y, t). Herved bliver sina = bv/'ày r" a. Lad M re
præsentere nettovandtransporten pr. sek. mod kysten gennem en vertikal pi an med
bredden ûy = 1 og lad vandstanden stige med stykket 6 = (bT/b"fc)ô" * i tiden
<5t. Mellem kysten og afstanden y fra kysten, bliver voluminet af det til strøm
mende vand pr. enhedskyststrækning Ax = 1 : .
(2.121) j ST) dy =
o
rved
M MJ . " öy Öt
6t J
r T dy = a t
o - I 6 t
(2.122)
Når l igevægt mellem i n d - og udstrømmende vand e r nåe t e roe = a og M = M(t = »)=
0 . For a t komme v ide re a n t a g e r v i , a t M e r p ropor t iona l med a - a ( t ) , h v i l k e t
bør forekomme a t være p l a u s i b e l t . P ropor t i ona l i t e t sf ak toren sæt t e s t i l M /oc
d . v . s .
a - a ( t ) M ( t ) = M - 2 (2.123) ^ / o a o
(2.122) og (2 .123) g ive r sammen med « = T~ &"*
o by hvor
a = 0 f o r t ~ 0
a = a o f o r y = 0 « j * ^ « ° . ( 2 * 1 2 5 >
65
(2.124) e r velkendt f r a va rme ledn ings t eo r i en . Den h a r følgende l ø s n i n g :
T (2 .126) a - a
0 1 - pup^7T
hvor funkt ionen P kan s k r i v e s
P(*)= pf x 2 -oc dx (2.127)
e l i f o
Denne funkt ion k a l d e s f e j l f unk t i onen og s k r i v e s hypp igs t som følge af angels ak-
s i s dominans som e r f x . Eftersom d » D, D' i f ø lge vore a n t a g e l s e r haves f r a (2 .115)
D' g a M = - _ ° (2 .128)
O 2 71 f
P(x) »v 1,1 i f o r x < 0 ,4 s å l edes a t (2 .126) approximative kan s k r i v e s som
a — a / j . 2
a - 1 ' 1 V 2 ^ D' g t - \'*i<V) o *
(2.129) g i v e r , a t i l ø b e t af t i d e n
V, - °.°°°22 i $£% •*• (2-1*»
v i l a have nået 70 $ af s lu tværd ien a . Det e r i ( 2 .130) forudsa t a t D! = D.
Hvis v i s æ t t e r , a t D ~ 75 m og bredden ep = 45 b l i v e r t „ Q f o r f o r s k e l l i g e af
stande f r a kys ten i denne model :
y (m.) IQ3 104 10 5 5*105 106
t 7 0 3 sek . 5 min. 8 t i m e r 8 dage 34 dage
Vandspe j le t s ende l ige hældning a bygges s å l e d e s f ø r s t op nær kystten,
h v o r e f t e r den vandre r ud i h a v e t . Det ska l n o t e r e s , a t v i h a r b e n y t t e t de Ek-
manske h a s t i g h e d s f e l t e r beregnet f o r det s t a t i o n æ r e t i l f æ l d e , h v i l k e t n a t u r l i g
v i s ikke kan føre t i l k o r r e k t e r e s u l t a t e r . Det te b e t y d e r , a t t r e e l t må b l i v e
væsen t l ig s t ø r r e end s t i p u l e r e t ovenfor . Vi f å r o m t r e n t l i g
t ? 0 ( k o r r i g e r e t ) Z^Q+^^T s e k * (2.131)
T i l s i d s t b e t r a g t e s v inds tuvening i e t l ukke t b a s s i n med samme dybde over
a l t . Det antages a t s t a t i o n æ r t i l s t a n d e r i n d t r u f f e t . For d e t t e t i l f æ l d e b l i v e r
66
n e t t o m a s s e t r a n s p o r t e n mellem de t f r i vandspej l og bund l i g med n u l f o r enhver
r e t n i n g . Hvis de t som f ø r an tages a t d » D, D' b e t y d e r førnævnte a t
0 U G f \ M + H + M - 0 (2 .132)
X X X \ -> 1
0 ÏT G / \ M + M + M = 0 (2 .133)
y y y v '
hvor M e r masse t ranspor ten hidhørende f r a den g e o s t r o f i s k e r e g i o n , og
N G M + M - H
X X X
samt
M * + M G = M 7 y 7
er angivet i (2.116) og (2.115)- Vi antager, at vinden blæser i y—aksens ret
ning d.v. s.
T = 0 (2-1^4)
y
Vi ved endnu i k k e , på hv i lken måde v a n d s p e j l e t s hældning v i l b l i v e påv i rke t
af, a t vinden b l æ s e r med kons t an t s t y rke hen over området, d . v . s . v i ved end
nu ikke i h v i l k e n r e t n i n g t r y k g r a d i e n t e n g å r . Et t r e - r e t v ink l e t koordina tsys tem
x ! , y ! , z ' i nd fø re s med samme or igo som v o r t sædvanlige x , y , 2 - k o o r d i n a t s y s
tem, s å l e d e s a t y'—aksen og t r y k g r a d i e n t e n s r e t n i n g f a l d e r sammen. Det te t i l
fælde e r beregnet f r a t i d l i g e r e med de samme forudsætn inger så (2 .115) og
(2 .116) kan d i r e k t e anvendes h é r :
For overskuel ighedens skyld sæt t e s
B 5 f i f ogh ^ ( J J L â . ^ (2#137)
Derved b l i v e r M , = b a masse t ranspor ten i den g e o s t r o f i s k e s t røms r e t n i n g og
M , = B a mas s e t r anspo r t en i t r y k g r a d i e n t e n s r e t n i n g . Masse t ranspor ten M kan
o p f a t t e s som en v e k t o r , der f ø l g e l i g e r uafhængig af det v a l g t e koord ina t sys tem.
67
Sammenhængen mellem de 2 koordinatsystemer x, y, z og x1 , y ' , z* kan udtrykkes
ved matrix-ligningen
{;!•( "i f x t cos q - s in q
sin q cos q j \ y (2.138)
hvor q er drejningsvinklen. Vi finder t i lsvarende for M at
l . M y ) - V s i n « c o s , ) l.My,J ^ 2 - 1 3 ^
og dermed ved udregning af (2.139)
M = b ex cos q - B a sin q (2.140)
M = b a s in q + B a cos q (2.141 )
Desuden haves at M = -r/f og M = 0 , hvilket kombineret med (2.132), (2.133),
(2.140) og (2.141) giver :
4 + b a cos q - B a sin q = 0 (2.142)
b a sûi q + B a cos q = 0 (2.143)
Herved b l iver
cos q = 1 T (2.144) a f (B* + tT)
B T , v
sm q = s s - (2.145) a f (B* + IT)
- r t g q - f (2.146)
M , . Hvis d » D' b l ive r r~- ~ * a » 1 og dermed b » B d .v . s . q ~ 0°.
M. , — D ' y*
Dette betyder, at opstuveningen af vand stort set finder sted i vindens ret
ning også i dybe lukkede bassiner. Fra (2.142) fås
68
Denne simple men højst brugbare l igning kan benyttes ved stormvarslinger i luk
kede farvande, hvor det har stormet i længere t i d . Nævneren på højre side e r
en konstant s tør re lse for e t givet område og T kan beregnes ud f ra meteorologis
ke data.
Vi vender t i lbage t i l vort lukkede bassin med horisontal t beliggende bund.
Uår det ikke blæser, er vandspejlshøjden over bunden z = d = konstant. Med
en konstant blæsende vind afhænger z af stedet; for enkeltheds skyld sættes o
z = 2 (y ) . Havoverfladens afvigelse f ra dybden d kan udtrykkes enkelt ved
T\ = z - d, hvorved den lokale dybde b l iver z - d + T]. Idet a =-t(dz )/<3y, giver
dette ved indsættelse i (2.147)
dz r r * « — (2.148) dy g p z 0 ^'
der har løsningen
*%'• j~J + C (2.149)
hvor C er en integrationskonstant. Det ses at vandspejlet antager en parabolisk
form.
Den geostrofiske strømkomponent u kan udtrykkes som
Strømmens retning e r på dybt vand s to r t set sammenfaldende med vindens retning.
Det skal bemærkes, at u aftage:
hvad vi finder i åbne farvande. Det skal bemærkes, at u aftager med d, samt at u e r væsentlig mindre end
& g
2.3. Inertibevægelse.
Vi vil give et efterhånden klassisk eksempel på en inertibevægelse som
observeredes i Østersøen i" 1933. Kurven i Pig. 40 repræsenterer den observere
de bane for én vandpartikel. Ideelt set skulle vi for en ren inertibevægelse
have en cirkelbevægelse, dersom Corioliskraftens variation med breddegraden
kan negligeres. Imidlertid demonstrerer Fig. 40 en omtrentlig cirkelbevægelse
overlejret en middelstrøm, som går mod ÏÏBV. Desuden bemærkes at cirkelbevægel
sen efterhånden dør ud, hvilket kan tilskrives gnidningseffekter. Forholdene
kan beskrives enkelt i et transiationskoordinat syst em, som transiateres mod
WV med den observerede vandpartikels middelhastighed i denne retning. Vi be
nytter (1.6) og (1.7) og gør først antagelserne :
69
2K.B.0* S km
21.812'
20.8-12*
20.80"
Fig. 40. En vandpartikels hanehevæg-else baseret på strømmålinger vest for Gotland.
n.8.12"
1) strømfeltet er hor isonta l t , d .v . s . w = 0
2) F- og D-leddene kan a l le ignoreres
Disse antagelser medfører
£ + u ^ + v | Ü . f v . _ 1 te öt b* 5y p bx
(2.151)
eller
3£- f v dt
_ 1 ÈE D ÖX
(2.152)
og
dt p by (2.153)
Trykgradienterne, som f.eks, kan være opstået som følge af en vindstuvening i
området , på højre side af ovenstående ligningssystem er nu eneste drivende
ydre kraft, fordi vi har hydrostatisk ligevægt, d.v.s.
70
ftp b l = " p ë (2.154)
Vi gør ydreligere den antagelse, at vindstuveningen ophører, som følge
af at vinden lægger sig. Dette bevirker, at de horisontale trykgradienter kan
ignoreres. For et barotropt hav d.v.s. p = D(p) = en konstant i kystnære om
råder kan (2.152) og (2.153) skrives
§ - f v = ° (2.155)
f? + f u = 0 (2.156)
(2.155) og (2.156) multipliceres med henholdsvis u og v, hvorefter disse adde
res
1 d , 2 2 ^ _ i d 2 „ , ,
* dt(u + V ) =?dt C = ° (2.157)
Denne ligning udtrykker, at vandpartiklen bevæger sig med konstant hastighed.
Ifølge (2.155) og (2.156) er du/dt og dv/dt forskellige fra nul d.v.s. vand
partiklens acceleration er forskellig fra nul. (2.155) og (2.156) multiplice
res nu med henholdsvis v og u, hvorefter disse subtraheres
„„ du dv 2-d /Uv „ 2 . v d t ~ u d t - v dt (v} = f c (2.158)
0 0 0
u/v = cot a , v = c sin a , hvor a er vinklen mellem x-aksen og c's retning.
Heraf følger :
sin a
eller
da „ dt = - f (2.160)
(2.160) viser, at for inerti-strømme gælder, at den bevægede vandpartikel ænd
rer sin retning med konstant hastighed. Vi indser let, at vandpartikelbanen er
en cirkel. På nordlig halvkugle hvor ep > 0 haves følgelig dec/dt < 0 hvorfor
bevægelsen i den såkaldte inerti-cirkel går rundt med uret (cum sole eller ne
gativt omløb)- se Fig. 40. På sydlig halvkugle hvor ep < 0 bliver bevægelsen
71
contra solem (positivt omløb). Kaldes inerti-cirklens radius for r, finder vi
for partiklens omløbstid
T = 2 -B. T p c
som kaldes inert i-perioden. Coriol is-accelerat ion må balancere centriflftal-
acceleration, d . v . s .
c / r = f c
Heraf fås direkte
r = c / f (2.161)
og
T = 2 % I f (2.162) p ' .
Vi ønsker herefter at tage hensyn til gnidning, d.v.s. D , D ^ 0. For x y
enkeltheds skyld benytter vi den såkaldte Guldberg - Mohn»s antagelse :
Dx = - R u (2.163)
D - - R v (2.I64)
Herved b l ive r bevægelsesligningerne
g - f v = - R u (2.165)
g + fu = -Rv (2.166)
Benytter vi samme regnemåde som før findes
c(t) = c(t = 0) e"R % (2.167)
r(t) = c(t = o) \ e"E * (2.168)
\=^ (2.169)
72
Vi ser a l t så at partikelhastighed og baneradius dæmpes eksponentielt på samme
måde. Dette "betyder, at inert i-perioden T bl iver upåvirket af indflydelsen fra
gnidning. Eksperimental-værdien for T i Fig. 40 andrager ca. 14 timer, medens
den teoretiske værdi for T ifølge (2.169) b l ive r 14 timer 8 min. Vi ser a l t så
at selv med vore stærkt simplificerede andragelser om strømningen, er vi a l l i
gevel istand t i l a t redegøre for dennes væsentligste træk.
2.4« Ove rf 1 adebø Ige r .
Vi betragter indledningsvis et indelukket rektangulært bassin med en plan
horisontalt beliggende bund. Bassinets længdeakse antages meget s tørre end dets
tværakse, som vi forudsætter infini tesimal . Lægger vi længdeaksen para l le l t med
1-aksen fås dermed
X » Y (2.170)
hvor X, Y er karakteristiske horisontale dimensioner på en forstyrrelse i bas
sinet. Vi vil kun behandle forstyrrelser i homogene vandmasser, hvis perioder
har en karakteristisk tidsskala T, som er lille taget i forhold til inertipe
rioden T , d.v.s.
P
T p » T (2.171)
Herved bliver de karakteristiske horisontale hastigheder U ~ x/T, V ~ Y/î og
dermed
u » v (2.172)
Derved kan vi indskrænke os t i l at behandle fors tyr re l se r i den vert ikale xz~
plan alene, d .v . s . v sættes overalt l i g med nul i vore l igninger. Benytter vi
herefter kontinuitetsl igningen, giver en skala-analyse anvendt på denne
X ~ Z ( 2 ' 1 ?3)
betingelsen for en to-dimensional fo rs ty r re l se . Skal vi f .eks, behandle lange
stående bølger i vort bassin, b l iver den karakter is t iske længde-skala X givet
ved bassinets længde L og den karakter is t iske dybde-skala Z givet ved bassinets
dybde h. Da L » h har v i følgelig ved benyttelse af (2.173) U » W. Den karak
t e r i s t i ske fors tyrre lse i vandmassen b l iver herved endimensional, hvilket også
vi l fremgå i det efterfølgende.
73
Bevægelsesl igningerne kan i komponentform s k r i v e s som
bu bu bu ~r + u r— + w r— bt bz bz
f u . - I j E + F o by y
„ 1 $ £ + p + D (2.174)
(2.175)
bw bw bw ~ r + u ~ + w r— bt bx bz p bz z z (2.176)
Hér h a r v i på sædvanlig v i s b o r t k a s t e t de ikke-domine rende Coriol i s - l e d . For
to -d imens iona le f o r s t y r r e l s e r , hvor den k a r a k t e r i s t i s k e t i d s s k a l a f o r h o r i s o n
t a l e og v e r t i k a l e f o r s t y r r e l s e r h a r samme s t ø r r e l s o r d e n i fø lge (2 .173) v i l v i
normalt have
X - Z (2.177)
h v i l k e t e r en eksper imentel kendsgern ing .
• Direction o*wove trovel ~ » Direction of wove travel
50m 100 m
room
( a ) (*)
F i g . 4 1 . ( a ) Vandpart ikelbevægeisen under en bølge som hverken kan k a r a k t e r i s e r e s som værende " k o r t " e l l e r " l a n g " ( i d e t v i s t e eksempel e r bølgelængden 50 m, amplituden 2 .5 m og vanddybden 10 m). (b) Vandpart ikelbevægelsen under en bølge på dybt vand, h v i l k e n kan k a r a k t e r i s e r e s som værende " k o r t " .
(2 .177) og (2 .173) g i v e r da
U ~ W (2.178)
74
Heraf kan vi s l u t t e , at a l l e 4 ikke-lineære led i (2.174) og (2.176) er af
samme størrelsesorden samt at bu/bt ~ bw/bt. Vi vurderer nu ^ r / u — for 1 • ' bt ' bx
bølgeforstyrrelser :
b t / u ^ ~ i / u ~ c f / u > > 1 (2.179)
hvor den karakter is t iske længde kan sættes t i l bølgelængden X og T t i l bølgens
svingningstid, c- er bølgens fasehastighed, der som l
end væskedelenes hastigheder under bølgen. Forholdet svingningstid, c- er bølgens fasehastighed, der som bekendt e r langt s tørre
§ / f u ~ T / T » 1 (2.180) ot p
Da | f uj ~ JP | , hvor F kan være gnidningskræfter, tidevandsfremkaldende
kræfter e t c . (se afsnit 2.1 og 2.2 samt kapitel 6) kan bevægelsesligningerne
heref ter skrives som
H = _ 1 | ! E + D (2.181) bt p bx x K J
f u = - - ^ + P (2.182) P by y
S» l £ E _ g + D + F (2.183) bt p 02 Z Z
Leddene i (2.182) er al le anden-ordens led ifølge (2.180) samt fordi
| P x | - | Py | ~ | f ix | , d .v . s .
§ * - 0 og p = p(z, z, t ) (2.184)
| F j ~ | F x | - | f u| , d .v . s . g » F z i (2.183).
Dissipationsleddene D ~ D på grund af (2.177) og (2.178), og begge kan sk r i -2 2
ves på formen D ~ A b u / b z . Forholdet
g i / D ~ e f x / A (2.185)
hvor x e r forstyrrelsens karakter is t iske bølgelængde og A en karakter i s t i sk
turbulent gnidningskoefficient. Vi ser, at dissipationsleddet i (2.181) og
(2.183) "bor medtages for små fors tyr re lser som f .eks , kapil larbølger på grund
af x-afk^gigkeä i (2.185), medens D-leddene kan ignoreres for s tørre bølge-
75
længder, der iøvrigt også medfører s tørre fasehastigheder. Vi er nu istand t i l
at opskrive de endelige "bevægelsesligninger for vort problem :
Kontinuitetsligningen :
ga + J ï - O (2.188)
I (2.186) og (2.187) indgår trykket kun som en gradient. Det betyder, at vi
uden tab af generalitet kan sætte atmosfæretrykket ved havoverfladen lig
med nul.
Grænsebetingelser ;
En nærmere gennemgang af disse er foretaget i afsnit 8.7 så vi v i l indskrænke
os t i l nogle få bemærkninger :
Det fysiske indhold i den kinematiske grænsebetingelse l igger i antagel
sen om, at en væskedel, som befinder s ig på grænsefladen, v i l forblive dér.
For en flade
F(x, y, z, t ) = 0 (2.189)
giver den kinematiske randbetingelse generelt
d f = 0 (2.19O)
Hvis z = Tl(x, y, t) er ligningen for det fri vandspejl bliver randbetingelsen
w = r? + u p + v r ^ for z = TI (2.191) bt bx by ' \ j *
Vi vurderer forholdet
g / n M ~ 0 f / u » 1 ( 2 . 1 9 2 )
i lighed med (2.179) og da v ~ 0 kan (2.191) skrives som
w = | | for z = TI (2.193)
76
Ved bunden er z = konstant så
w = 0 for z = - D (2.194)
z = Tl(x, t)
z = 0 • x
p = konstant
z = - D *//////////////j/////////////////;//
Den dynamiske grænsebetingelse for bevægelige f lader s iger , at trykket på hver
side af en sådan skal være det samme under den forudsætning, at kapi l l ar-kræf -
t e r kan ignoreres. Vi antager hér, at dette ikke er t i l fælde t , d .v . s .
p = - C for z = TI (2.195)
hvor C e r overfladespændingen, som for vand ~ 75 dyn era
ÖT\A>X e r et mål på bølgens hældning tg ß idet
-1
ö i tg ß (2.196)
For s tore bølger e r tg ß l i l l e , og desuden har vi for sådanne t i l fælde ingen
væsentlige kap i l l ar-effekter så (2.195) b l iver blot
p = 0 for z = T] (2.197)
Haves kapi l larbølger kan t g ß b l iver ganske s tor for små bølgelængder, men-
ifølge (2.185) e r dissipationen også ti lsvarende s tor , d .v . s . de mindste bølger
har kort levet id og er dermed oceanografisk set uinteressante . Vi be t ragter
kapil larbølger, hvor \ e r af størrelsesordenen 1 - 10 cm og tg ß < 0 ,3 . Med
disse antagelser kan vi approximere (2.195) "til første orden
77
- - c £ - 3 C *-g for z = I] Ö3C
(2.198)
Den fors tyr re l se vi søger antages at være periodisk. Herved kan vi Fourier-op-
løse den i komponenter af formen
"H = a cos(k x - u) t ) (2.199)
fordi alle vore differentialligninger er lineære, hvorved superpositionsprin
cippet er gyldigt.
Fig. 42. En enkel fremadskridende harmonisk bølge til forskellige tidspunkter (svingningstid 10 sek. og bølgelængde 100 m).
Vi differentierer (2.186) og (2.187) med hensyn til henholdsvis x og z, adde
rer disse ligninger og benytter (2.188). Herved bliver
Ve- p = 0 (2.200)
Vi ved, at for vor vandmasse i hvile er p = - p g z, så for dette tilfælde er
(2.200) automatisk opfyldt. For en pertuberet væskeoverflade er det følgelig
rimeligt at sætte
p = - p g z + f(x, 2, t) (2.201)
Pertub at ions trykket f(x, z, t) må afhænge af forstyrrelsen uafhængig af dybden,
d.v.s.
78
f(x, z, t) = A(x, t) B(z) (2.202)
Yi forudsætter, at A(x, t) "bliver en harmonisk funktion. Indsættes (2.202) og
(2.201) i (2.200) fås
1 b2A , 1 d ^ _ ,„ 0rt,»
ox dz
Vor antagelse om A(x, t ) leder t i l at
2 l £ - | + k 2 = 0 (2.204)
öx
^ ^ § - k 2 = 0 (2.205) dz
Disse ligninger løBes på sædvanlig måde og vi finder, at det generelle udtryk
for trykket kan skrives
P = - p g 2 H- (C1 e1 ^ x - æ *> + C 2 e "
1 ^ * - » t) ) .
- (E ek z + F e _ k 2) (2.206)
hvor C , C-, E og F e r 4 integrationskonstanter,
öw/öt = 0 for z = -D, fordi w = 0 for z = - D.
Derved "bliver
§ £ " - P S f o r z = - D (2.207)
ifølge (2.187). Benyttes denne randbetingelse på (2.206) fås E e~k = F e k D =
konstant, som vi sætter lig med i, d.v.s.
u 1 kB E = £ e / «v
w , -M) (2-2o8> F = i e
Med dette kan (2.206) skrives som
, /„ i (k x - tu t ) , _ - i ( k x - u) t ) \ p = - p g z + ( C 1 e v ' + C2 e ^ ' ) .
* cosh k(z + D) (2.209)
79
Ved overfladen antager vi , at D » % hvorved e — ^ ' + J ~ e — . Vores
øvre randbetingelse (2.198) for trykket giver da
p = C k a cos(k x - œ t ) ™
„ /„ i(k x — «) t ) „ - i (k x - iß t ) \ , . _ /_ „._%
- p g TI + (C e v J + C- e ^ 'jcosh k D (2.210)
Løsning af (2.210) giver
C e ^ k X - " t ) + C2 e " i ( k * - æ t } - ' C k t P g a cos(k x - o t ) (2.211)
cosh k B v '
Herved kan trykket skrives som
2 p = * P e Z + ^oshV/ COSh ( k ( z + ^ C O s ( k x ~ « "^ (2.212)
Ifølge (2.193) og (2.187) er bw/bt = b2 î /bt2 = - eu2 a cos(k x - tu t ) =
- l/p * bp/bz - g. Indsættes (2.212) heri får vi
2 tu2 = g k (1 + £ - | ) tgh k D (2.213)
cf = 4 Ä ( £ r + k ) * e h k ] D (2-214)
k p
Vi skal bet ragte 3 special-tilfælde :
1 ) X « D men større end ca. 1 cm;
d.v.ß. kE » 1 og tgh k E ~ 1
C f = ~ k + k (2.215)
I dette område har vi kapillarbølger. Vi bemærker, at både små og store 2 k-vsrdier leder t i l store værdier for c-, som følgelig må have et minimum
for
min el ler
k . = \t*f- ~ 3,65 cm" min V ^
X . = 1,72 cm min '
80
2) Kin«*«** d.v.s. k B » 1 og tgh k D ~ 1
Desuden bliver g/k » (c/p) k for tilstrækkelige store X og dermed
t k (2.216)
I dette område har vi de såkaldte dybvands-tyngdebølger e l l e r korte bølger,
som de undertiden også kaldes. Det e r den type bølger, vi træffer som vind
bølger ude på det åbne hav.
3) X » D,
d .v . s . k D « 1 og tgh kB ~ kD
4 = g D (2.217)
I dette område har vi de lange bølger. Eksempler på sådanne bølger er givet
i slutningen af dette afsnit samt i kapitel 6.
12
H 10 -i 8 o
i: i«
A ' o o ^ ^
^^^^^n^2bm sS0*^ ,
^ — ' A*10m
s^^"^ j^^~~ ' ' A = 5m
/ ^ ~ A- lm
20 40 60 80 Wavelength L (meters)
100
Fig. 43- Fasehastigheden som funktion af bølgelængden og vanddybden.
Tabel 3. Oversigt over relationerne mellem bølgelængde, fasehastighed, svingningstid, vinkelhastighed, bølgetal og gruppehastighed for korte bølger. Størrelserne i skemaets øverste vandrette kolonne kan udtrykkes ved størrelserne i skemaets venstre søjle.
L
C, T to
k
Cç
L
L 2«C\lg g-r-iiz 2xgj<ù-Ixlk S*C*lg
c.
(gm*)*" c, gT\l«
Sh igikW 2 C ,
T
QXLIKV-
2*Cn!g T 2x/ta
2*/(**)w
4*C,fe
<U
tegn)1-*-g!Cn
2* IT a
< * * ) ' • *
gp-c.
k
2*!L
g-cl 4z-igT"
«'Ig k
gwcl
Cç
HgLPxy-
a/2 gTlA* g!2u Ug!kV:
C,
81
De lange bølgers gruppehastighed er l i g med deres fasehastighed, d .v . s . energi
transporten foregår med hastigheden c„ = y g D . Tænker vi os en oprindelig
ujævn kyst opbygget af det samme materiale, v i l vi ved de fremspringende kyst
konturer få kraftige bølgeslagspåvirkninger, hvis havbunden skråner jævnt udad.
Slut resul ta te t b l iver en udjævningskyst, som vi finder den mange steder i Dan
mark, hvor der er bølgepåvirkning på grundt vand ( f . eks . Jyllands vestkyst
samt Nord- og Nordvestsjællands kys t e r ) .
Fig. 44. Bølgefraktionsdiagram, der v i ser hvorledes bølgeenergien koncentreres ved den fremspringende pynt medens den spredes i bunden af bugten. Dette favoriserer dannelse af den såkaldte udligningskyst f . eks . Den jyske Vestkyst.
82
På samme måde v i l det kunne bemærkes, at bølger, som løber skråt ind mod en
kys t l i n i e , v i l have en tendens t i l at r e t t e s ig op, så bølgekammene he l t inde
under land forløber næsten pa ra l l e l t med kys t l in ien . Bette kan l e t forklares
ved at benytte (2 .21J) .
Vi v i l heref ter betragte væskedelenes bevægelse under bølgerne givet i
specialt i lfældene 2) og 3) :
Kombination af vore bevægelsesligninger (2.186) og (2.187) med det beregnede
tryk i (2.212) hvor C ^ 0 t i l l a d e r en beregning af u, w.
Vi f inder
It = cosh fk B) C0Sh ( k ( z + L» a k S i n ( k X * W t }
u = oosh^k^B) c o s h ( k ( z + D)) °°s(k x - » t ) + f ( x ) û U ) (2.218)
t ? • cosh fk B) s ^ ( k ( ^ + D)) a k cos(k 1 - « t )
W = coshk(k B) S ^ W Z - + D » ß i l l ( k x - » t ) + F W <^^Ä> (2.219)
w = 0 for 2 = - B medfører F f * 0 - & ( ï ? DJ ~ O ,
&en*r*lt f *t#*P» « é "Jtøé fif « SQfjGXZt1* O-
Kvadrering af (2.218) og (2.219) giver ved en efterfølgende addition og
omordning af leddene
u (cosh k B) + w (cosh k D) = J] , g 2 2 Q ,
( ^ ) 2 ( c o s h ( k ( Z + B)) ) 2 ( ^ k ) 2 ( s i n h ( k ( Z + B)) ) 2 "
2 2 idet cos (k x - u) t ) + sin ( k x - u ) t ) = 1.
d .v . s . de mulige værdier af u, w falder på en e l l ipse i u , w-planen.
Bet kan l e t v ises at :
1) for korte bølger udarter strømellipsen t i l en c i rke l , hvis radius aftager
eksponentielt med dybden samt
2) for lange bølger udar ter e l l ipsen t i l en meget f lad e l l ipse (en re t l i n i e )
idet l i l leaksen/s toraksen = tgh(k(z + B)) ~ k(z + B) ~ 0.
83
I Østersøen haves in te t tidevand af betydning, d . v . s . ingen astronomisk
"bestemte vandstandsforskydninger. Vandstandsændringerne hér har følgelig sin
årsag i meteorologiske forhold (ændringer i strømmønstret foranlediger også
vandstandsændringer, men vi har t id l igere se t , hvorledes samme strømmønster er
stærkt meteorologisk be t inge t ) . Vi betragter en vandstandsændring betinget af
enten en vis ændring i barometerstanden e l l e r af vindstuvening. Disse udgangs-
bet ingelser kan under visse omstændigheder genere en såkaldt uni-nodal seiche
i Østersøen, hvilket v i l s ige, at v i får en stående bølge med ét knudepunkt -
se Fig. 45 og 46. En sådan observeredes mellem 10. og 15» december 1932. F i
gurerne viser de ekstraordinære udsving i vandstanden, som blev målt af adski l
l ige vandstandsmålere (mareografer) i perioden 11. - 12. december : En sænkning
af havoverfladen på 100 cm i Kronstadt Bugt og en stigning på mere end 50 cm i
den vest l ige Østersø. Nodal-linien er beliggende mellem Litau og Stockholm.
& % 92
"*i fl • *t; f'1 J A. PJV .urt ~W * - * - \
' - x ', . | J A f r . 5 q T p " , n n "
Fig. 45• I so l i n i e r for samme bølgeamplitude t i l et givet tidspunkt (co-range l i n i e r ) omkring 11. december 1932. De fuldt optrukne l i n i e r angiver en vandstand over middelniveau og de stiplede en vandstand under. Tallene giver vandstandsændringen i cm.
84
Fig. 46. I s o l i n i e r for samme bølgeamplitude omkring 12. december 1932.
1 det følgende gives teor ien for en stående lang bølge i et indelukket
rektangulært bassin med den konstante dybde h :
2 lange bølger med samme amplitude og frekvens men med modsat forplant-
ningsretning in te r fe rerer på en sådan måde, at der opstår en stående bølge.
t-o
t- 3.75 sec
Fig. 47« Stående bølge t i l forskellige t idspunkter (svingningstid 10 sek . ) .
85
For bølgen, som forplanter sig i x-aksens positive retning, gælder
Uj = I cos(k x - m t ) = | cos k(x - cf t) (2.221)
Cf ^ = — U, (2.222)
hvor c» = ^g h.
For bølgen, som forplanter sig i modsat retning, får vi analoge udtryk t i l
(2.221) og (2.222) ved blot at erstatte cf i disse ligninger med - c_, d.v.s.
T]2 = •£ cos(k x + æ t ) = - | cos k(x + cf t ) (2.223)
" cf V-2B"1T"\ (2.224)
Ved bølgeinterferens gælder
H - U, + \ (2.225)
u = u + u2 (2.226)
Herefter kan vi give analytiske udtryk for henholdsvis 1\ og u :
T] = a cos k x cos u> t (2.227)
Cf u = 7- a sin k x sin w t (2.228)
For et lukket rektangulært bassin med lodrette v^gge kræver de kinematis-
ke grænsebetingelser, at normalhastigheden hér skal være l ig med nul. (2.228)
viser, at dette er opfyldt for x = 0. Skal kravet også opfyldes for x = L, hvor
L er bassinets længde, får vi betingelsen
k L « n TI hvor n = 1, 2, 3 . . . (2.229)
eller
k - — (2.230)
Da w = 2 TC/T = k o = k )}g h , bliver den stående bølges svingningstid T
86
T = 2 n m 2 g
k c ~ n % i—r
Ved en mindre omregning når vi frem til Merians formel
T. = 2 L n n \fg h ~ n
Indsætter vi (2.230) i (2.227) findes
T| = a cos n — x cos u) t
(2.231)
(2.232)
(2.233)
Knudepunkterne x = 3^, hvor i) = o for alle t , er givet ved
cos n Î *k = °
hvorved fås
*k = Fn" ( 2 q ~ 1) h v o r ? = % 2, 3 . . .
L ^ * - / ^ 2 % ^ l )
Eftersom ^ < LT må j ^ - •• ,, d.v.s. q < n + £. Et heltalligt q kan derfor kun
løbe fra 1 op t i l n. Antallet af knudepunkter bliver følgelig n. Hvis n = 1 har
vi den førnævnte uni-nodal seiche.
(2.234)
(2.235)
/-o
», - .„ - - I <*•>
^^///,y/////////^^/^y.^w//MM//^y////M
Pig. 48. Eksempler på vandstandsændringer som følge af en stående bølge med et knudepunkt i et lukket bassin (en s.k. seiche).
87
Vi kan na vende tilbage t i l vort seiche-eksempel. Hvis vi ansætter, at
Østersøen er et rektangulært bassin, at middel dybden = 55 ni og at længden af
bassinet = 1450 km, kan svingningstiden T for seichen beregnes. Vi har nemlig
T = - ^ - , hvor c„ - «/g I) m/sek og X « 2-1450 - 10 m
Af disse tal finder vi T. = 34)5 time. Den observerede svingningstid blev fun
det at være 27,3 time. Forskellen i svingningstid ligger bl.a. i, at vi har
antaget konstant dybde t i l bund, hvilket langt fra er tilfældet. Topografien
spiller en stor rolle, fordi c« = cf(D) fremstiller en parabel, men andre for
hold gør sig også gældende Ï
Vi har i udledelsen af Merians formel antaget, at de ikke-lineære led i bevægel
sesligningen samt gnidning kan ignoreres. Vi skal undersøge disse forhold nær
mere hver for sig. Kår de ikke-lineære led medtages i bevægelsesligningen for
en ideal væske, kan denne skrives på formen (se afsnit 3.3 og Appendix) :
r r + v ( | v . v) + (v x v) x v = v p - v(g z) ot p
(2.236)
Antages en rotationsfri bevægelse, d.v.s. V x v = 0, kan vi sætte v E V ep. Her
efter kan (2.236) skrives som
fcu2 + fcw2 + * + g Z = f(t) (2.237)
fordi v = i u + k w. Se også afsnit 3.3.
2 = 0
z » - h
n u / / n /Uffnnuntrf/n
Vi skal anvende denne Bernoulli's ligning på overfladen, når vi studerer bølgen
i et henføringssystem, der bevæger sig med hastigheden 1 c-. Bølgen bliver sta
tionær i dette koordinatsystem. (2.237) anvendes for et bestemt tidspunkt t=t
88
i tværsni t te t A samt i et tværsnit B som endnu ikke e r påvirket af bølgen, der
iøvrigt kaldes en sol i t ær-bølge e l l e r en kanalbølge. Ti f å r da
K u - c f ) 2 + i w2 + £ + g TI = £ ( - c f ) 2 + £ (2.238)
Bølgeoverfladen e r s t i l les tående i vort henførings syst em, så der sker ingen
transport gennem fladen, hvilket kan skrives
v • n = ((u - c f) i + w k) - n = 0 (2.239)
hvor n er fladens normal. Retningen for normalen t i l en flade F(x, z) = 0 e r
givet ved v F. Bølgefladen kan i henførings systemet skrives som z - T|(x) = 0,
saledes at n ' s retning b l iver
v ( z - T[(x)) « - . g ? + 2 ^ * . ' :' (2.240)
Benyttes (2.240) sammen med (2.-239) fås
w = (u - c f ) | | for z = TI (2.241)
- og v i har i forvejen w = 0 for z = - h.
Hvis bølgehældningen er l i l l e b l iver forholdet
lader s ig approximere t i l u - c f
l i l l e , hvorved (2.238)
i ( u - c f ) 2 + g TI = | c 2 (2.242)
Kontinuitetsligningen kræver samme volumentransport gennem tværsnittene A og
B for vor homogene vandmasse, d .v . s .
(u - c f) (h + T[) = (- c f ) h . (2.243)
hvorved
u = ï r f r i c f (2.244)
Benyttes (2.244) på (2.242) finder vi
2 . (1 + Ti/h)2
c = g h - > V-U 2.245 1 + V2 h
Da f|/h « 1 kan vi med he l t sædvanlige approximationer finde
89
cf = < ' + f £)Sê* (2.24ß)
Scott-Russel fandt i 1845 gennem 60 eksperimenter i en 6,10 meter lang og 30,5
cm bred rektangulær tank fasehastigheder for en solitærbølge t i l at være
° f - i/g{h + n) * 0 + i £ ) / s E (2.247)
Vi undersøger herefter gnidningens indvirkning på de lange bølger, under
hvilke væskedelenes hastighed essent ie l t e r horisontal t forløbende. Vi benytter
Gfuldberg-Mohn's turbulensmodel, så gnidningskraften lader sig beskrive ved led
det - ß u, der t i l fø jes (2.186) :
Kontinuitetsligningen kan ifølge Appendix skrives på formen
S-""g (2-249)
Elimineres T) får vi
i ! | + p t e _ g h ^ . O (2.250) bt bx
Vi kan desuden opskrive en analog ligning for den horisontale flytning § ved
at indsætte u = bÇ/bt i (2.250). Vi antager, at væskedelene udfører en perio
disk bevægelse, der kan udtrykkes ved
v t + i k Ï / . u = A e y (2.251)
(2.251) indsættes i (2.250) hvorved
= - I + i k Ug h - *-£ (2.252)
og
- I t e i k(x + | g h - ß2/4k2 * t) u = A e 2 e v - ¥B ^ / ' (2.253)
90
For ß = O er vi tilbage til de kendte løsninger for lange bølger. Vi ser fra
(2.253)i at væskedelenes resulterende bevægelse er rettet fremad i vandet sam
tidig med at deres bevægelse dæmpes på grund af faktoren e~p'
De progressive lange bølger har en fasehastighed, der kan findes på en
tilsvarende måde som tidligere
°f = \r---f— < 2 - 2 5 4 )
Ï 4 k g h
Ved interferens mellem 2 modgående lange bølger med en fasehastighed som givet
i (2.254) finder vi som i (2.231) og (2.232) !
f n | | g h \/l - ß /4k g h
e l l e r
2 T = T (i - 1 )"* (2.256)
n 4 & g h hvor T er givet ved (2.232).
Til sidst skal det nævnes, at bi-nodale svingninger (n=2) og højere har
moniske n > 2 kun med vanskelighed kan observeres i Østersøen. Derfor kan det
a l l igevel være interessant at angive en korrektion for multi-nodale stående
bølger (n stor ) i et rektangulært bassin. Af (2.230) følger \ = 2L/n, som v i
ser, at bølgelængden b l iver mindre, når n vokser. Begrebet lange bølger v i l ef
terhånden så ikke gælde for t i ls t rækkel ige store n-værdier. Vi må da e r s t a t t e
c- - y g h med det mere generelle udtryk
c f = J g tgh k h (2.257)
som fås fra (2.214) ved at sætte C = 0 og D = h. Benyttes (2.257) sammen med
(2.231) og (2.232) bliver
T: p = — , * * * (2.258)
» V^k Vk tgh k h
eller
T = T n ^ k h coth k h (2.259)
Vi antager nu, at k h er så lille, at vi i rækkeudviklingen af coth k h kan
ignorere led af fjerde og højere orden. Efter en del besvær finder vi omsider
* - Tn (1 + s <n % z ) )
91
(2.260)
hvor v i har benyttet (2.230). Korrektionsleddet vokser med n . For vor uni-nodale
seiche i Østersøen, hvor n *= 1, < h > = 55 ni og L = 1450 km b l ive r
T -9, - T1 (1 + 2,4 • 10~y)
Afslutningsvis vil vi behandle det tilfælde, hvor en lang fremadskridende
bølge påvirkes af, at vanddybden pludselig ændre sig som skitseret nedenfor
^=F -»c.
O) P 1 u ,
( 2 ) P, u 2
i S////////')//////////////////»/
x=0
lTTTTrnTrrrrrT77Tn77777T7777777777777r
i • - h„
For enkeltheds skyld antager v i , at havbunden overalt l igger hor isonta l t , samt
at vanddybden på ét bestemt sted ændrer s ig diskontinuert . Endelig forudsættes
massefylden at være den samme overal t . Herved har vi defineret 2 havområder ka
rakter i sere t gennem deres dybder alene.
For en lang progressiv bølge gående i x-aksens retning er w = 0 og de sæd
vanlige ligninger kan skrives
ÊA-- f fS3 b t ox
S_(h u ) „ _ MJ bxv J at
(2.261)
(2.262)
hvor h er vanddybden under det horisontale vandspejl og T] afvigel sen fra samme*
Yi har 2 variable u og T| og 2 l igninger . Der v i l være visse fordele forbundet
med a t beskrive problemet ved hjælp af % b l . a . fordi T] er direkte observerbar
gennem vandstandsmålinger. Vi søger a l t s å at eliminere u i (2.261) og (2.262)
ved sædvanlig krydsdifferentiation :
92
Addition af (2.263) og (2.264) samt omordning af leddene giver
^ i - X ^ i = 0 (2.265) bx bt
hvor X = (gh) er en konstant for hver af de 2 havområder. (2,265) er en hyber-
bolsk differentialligning, der har oscillerende funktioner såsom cos og sin til
løsninger, forudsat \ er positiv og reel. Begge dele ses at være opfyldt.
Vi antager, at en løsning til (2.265) kan skrives på formen
•O = I(x) T(t) (2.266)
Separationsvilkåret giver, hvis vi indsætter (2.266) i (2.265):
I \f- = 0 (2.267)
Skal det te være opfyldt for a l le x, t v i l
! ^ - - - p 2 (2.268)
x f = - p 2 (2.269)
hvor p er en reel konstant.
Vi lader nu en lang bølge på dybden h nærme sig området med dybden h .
Da bølgelignijtigen (2.265) er t i l f r e d s s t i l l e t i begge havområder (1) og (2),
må der ved diskontinuiteten x = 0 gælde
U, (0 , t ) = Tl2 ( 0 , t ) e l l e r (2.270)
•n± ( o , t ) + Tir ( o , t ) = <nt ( o , t )
hvor indexerne i , r , t s t å r for henholdsvis den indkommende, reflekterede og
transmitterede bølges amplitude.
Kravet om massens e l l e r impulsens bevarelse i området omkring x = 0 giver
i begge t i l fælde (når 2. ordens led ignoreres)
l y i ^ - h 2 -u 2 e l l e r (2.271)
h -u. = h.*u + h -u, 1 1 1 r 2 t
idet u . = u. - u og u- = u, 1 1 r B 2 t
93
(2.271) kan også skrives som
\ (0 , t ) . C l = Tlr (0 , t ) . C l + ^ (0,t)*c2
hvor c1 = lfgh1 og c2 =~^gh2 .
Udtrykket F ( x , w ) e~ beskriver en harmonisk "bølge i tiden med
amplitude F og vinkelhastighed u> Tid- og ramkoordinaten er hér adskilt som i
(2.266). En mulig løsning t i l f| kunne være
10 = T 2 T f-*> F ^ X ' " ^ e _ X ( i ) t d u ) (2.272)
Bet eneste som er indeholdt i (2.272) er en summation af harmoniske funktioner
af formen F ( x , u> ) e over alle u>. Denne summation vil også være løsning
t i l (2.265), fordi denne er en lineær 2. ordens differentialligning. Ti har
som tidligere ignoreret Co riol is-kraftens indvirkning, d.v.s. vi kan konklude
re CD > f . Dette krav vil med vore antagelser medføre at F( x , u>)"*0 for OD-* f.
Ifølge sædvanlig Fourier teori kan enhver analytisk funktion skrives som
et Fourier integral, således at den løsning vi har valgt for j\ er helt generel.
Vi indfører nu nogle størrelser:
h=7T~=~ °e F = Fi f o r x < ° (2.273) 1 c„
\2=Y^-=—J og F = F2 f o r x > 0 (2.274)
Benyttes (2.273) og (2.274) sammen med (2.268) og (2.269) fås:
FJji + kJ F1 = 0 for x < 0 (2.275)
F ? ' + kj F2 = 0 for x > 0 (2.276)
hvor k1 = » / c 1 og k2 = UJ/C2 . Løsningen t i l (2.275) og (2.276) bliver
F1 = A e l k 1 X + B e _ i V (2.277)
2
hvorved
F = C e i k 2 X + D e~ i k 2 X (2.278)
*1 = m / C A e i k l ± + B e " i k l X ) « ^ " * * « » - % + TW (2-279)
\ " ?fe f ( C e l k 2 X + D e" i k 2 X ) e " i u ) t du, = ^ (2.280)
94
Vi har således en forstyrrelse langt fra diskontinuiteten i x - aksens
positive retning, som bevæger sig mod diskontinuiteten. Dette er en fy
sisk umulighed, fordi der i dette område ikke findes hindringer af no-
gen art, som som kan foranledige forstyrrelsen, D*e 2 »e .
Disse overvejelser leder os til at sætte D lig med nul så
\==Wif ° eik2Xe-iü,l! do> (2.281)
Randbetingelserne (2.270) og (2.Zfl)gxvev 2 ligninger t i l bestemmelse af
de 3 konstanter A, B og C. Vi vælger derfor at udtrykke B og C ved At der vil
fremstå som en parameter givet ved den indkommende lange bølges^ amplitude. Ef
tersom randbetingelserne gælder for alle værdier af t , må dette også være op
fyldt for funktionen
F ( x , » ) -Js- r 7 l ( x , t ) e i u 3 t dt 2n
fordi T) er differentiabel for x = 0 og analytisk for x * 0. Herigennem kan rand
betingelserne omformuleres t i l
Pn ( 0 , CD)= F2( O.cu) = ^ ( 0 , æ ) + P r ( 0 , u ) ) (2.232)
^ ( 0 , U))c1 = F r ( 0 , H) ) C I + P t ( 0 , o , ) c 2 (2.283)
Vi indsætter betingelsen x = 0 i henholdsvis (2.277) og (2.278) hvorved
A + B = C (2.284)
Cj| (A - B) = c2 C (2.285)
d.v.s.
C — C
B = C 1 4- O 2 A ^ ) ( 2 ' 2 8 6 )
c 1 + C2
hvor B er den reflekterede bølges amplitude og
2c c = T 7 r A W (2.287)
C 1 + °2
hvor G er den transmitterede bølges amplitude. A, den indkommende bølges ampli
tude, er sædvanligvis en funktion af tu-
Vi kan også skrive (2.286; og ^2.287) som henholdsvis B =
k2 - k
k7 + k 2 - AU) (2.288)
95
2k C = r - T V AU) (2.289)
Amplituden F b l ive r således
K = A U ) ( ei ( l D / c i ) x + - ^ - i e - i ( a j / C 1 ) z ) ; f o r x < 0 (2.290)
1 ^ ' K c2 + °1
- A ( « ) ( ~7~ei{,1}/C2)X) ï f o r x > 0 (£.291) 2 - 2
Herved b l ive r ^ for henholdsvis den indkommende (index i ) , den reflekterede
(index r) og den transmitterede (index t ) bølge med brug af (2.279) og (2.28''):
Tt. = ^ / AU). e ^ i N 1 - C i t } du, (2.292)
hvilket beskriver en progressiv bølge, som udbreder sig i x-aksens positive
retning.
•n = - 1 . / A(O>) ^ - 1 ^ 2 e i ( u ) / C l ) U x - C l t ) ( } lr Tai y v ' c + c.,
hvilket beskriver en progressiv bølge, som udbreder sig i x-aksens negative
retning med samme fasehastighed og form som ovenfor. Det bemærkes dog, at 1) ' s
amplitude a l t i d må være mindre end f].1 s amplitude.
hvilket er en progressiv bølge, som udbreder sig i x-aksens positive retning
inde på havområde (2) med fasehastigheden c . Denne transmitterede bølge har
en anden form end TI- og TI 1 'r
Hvis h . < h skif ter den reflekterede bølge fortegn sammenlignet med den
indfaldne bølge, hvilket betyder at bølgen reflekteres med en faseændring på
180°. Omvendt, hvis &1>kp optræder in te t faseskif t . Dette er he l t analogt t i l ,
hvad der gør s ig gældende for t i lsvarende optiske og akustiske hændelser, der
går gennem medier med forskell ige "tætheder".
Antag herefter at h -» 0. Herved vi l c ? -> 0 og dermed xi+ "* 0* Resultatet
b l iver en t o t a l reflektion, hvor
n r = ni (2.295)
Dette svarer natur l igvis t i l en bølges reflektion ved en fast lodret rand. Be
tingelsen i (2.295) e r også gyldig for korte harmoniske bølger.
96
Forholdet mellem den indfaldne og reflekterede bølges amplitude samt
forholdet mellem den indfaldende og transmitterede bølges ampiltude kan herefter
angives ved benyttelse af (2.292) - (2.294). Den reflekterede og transmitterede
bølge modificeres i forhold til den indfaldende bølge med henholdsvis størrelser
ne (c - c )/(c + c ) og (20^/(0 + c 1). For en tidevandsbølge der kommer ude
fra det åbne ocean ind mod shelfen er
c„ ~ Ifg * 4000 m sek. 1
c ~Yg~* 200 m sekT
Shelfen virker med andre ord som en bølgeforstærker, idet den transmitterede
bølges amplitude bliver forholdsvis stor. Dette forhold forklarer ikke det
ringe tidevand i Østersøen, og i indre danske farvande, der i stedet-"skyldes
flere fra Atlanterhavet indkommende tidevandsbølgers interferensforhold, i
Skagerrak.
97
Kapitel 3
Sundet og Bælthavet
3.1. Knudsens hydrografiske teorem.
Knudsens hydrografiske teorem omhandler en anvendelse af 2 kontinuitets-
sætninger for henholdsvis vandvolumen og salinitet. Der antages stationær
tilstand samt at masseflux * l(Vvolumenflux, hvilket er en rimelig approxima
tion inden for 2 %% ' Salinitetsfluxen til det betragtede område
tænkes alene at foregå i havet. Dette er næppe helt tilfældet, fordi vi kan have,
at små koncentrationer af salt kan forlade et vandvolumen gennem fordampning
ved havoverfladen. Således udviser luftens indhold og fordeling af hygrosko
piske saltpartikler over hav og land forskelligheder. Saltfluxen gennem havover
fladen er imidlertid lille sammenlignet med fluxen gennem vandet. Den sidste
vigtige, men hyppigt oversete antagelse, som Knudsen foretog, omtaler, at netto
-salinitetsfluxen over ethvert tværsnit i det betragtede område er lig nul,
dvs.
v - p • S dA = 0 (3.1) JA
Idet p«*£*w*ßcan denne antagelse skærpes, således at
i vr,o™»i • S • dA = 0 (3.2) j, normal
De yderligere detaljer, som gemmer sig i Knudsens hydrografiske teorem er at
finde i afsnit 8.3 og S.k,
Vi vil benytte Knudsens hydrografiske teorem på en såkaldt to-lags model,
der skematisk er vist i Pig. U<?.
a 1 V F 2
Fig. ij-9. Kontinuitetsbetingelser for en to-lags model.
98
Fig. 50. Temperatur , s a l i n i t e t , s igma-t som funktion af dybden i Øresund.
Vi se r i F i g . 50 e t eksempel på en måling i Øresund af temperaturen T og
s a l i n i t e t e n S, hvor f ra s i g m a - t , ö e r beregnet
G, = p - 100© Wg m -3 13.3)
Vi bemærker den stærke l a g d e l i n g , som re t færd iggør an tage lsen om en t o - l a g s
model; desuden a t a t v a r i e r e r mellem 8 og 25 kg m , hvorfor p**{9Nft\-vajiåsctjlen,
De hydrogra f i ske forho ld i Bælthavet e r analoge t i l forholdene i Øresund.
Vi s e r h e r e f t e r på volumenfluxen væk f ra området angivet i F i g . J+9, som
andrager :
hni + W - Q • F (3.10
hvor f . e k s .
A„u, = u. 1 1 j
dA = <u1> A±
Q er den samlede effekt af nedbørsmængden, fordampningsmængden og ferskvands-
tilførslen regnet med fortegn pr. flade- og tidsenhed. F er lig arealet af den
samlede havoverflade, som vi betragter.
99
Volumenfluxen ind i området bliver tilsvarende
W + A2U2 (3-5)
Da vi har antaget stationær t i l s t a n d , haves
A l u l + W " Q " F = W + A 2 U 2 (3-6)
Vi må på tilsvarende måde forlange, at salinitetsfluxen ind i området
skal balancere salinitetsfluxen ud, dvs.
LL«1B1 + W S Y = V V S i + A2U2S2 (3.T)
Det er denne ligning, vi forenkler ved hjælp af (3.2), hvorved vi opnår to
ligninger i stedet for (3.7):
siVi= WV
S2A2u2 = S 2 »A 2 ' u 2 '
( 3 .8 )
(3 .9 )
Kombinationen af (3.6), (3.8) og (3.9) leder os frem til Knudsens hydrografiske
teorem:
i-(Sl/s')
1 - (B2/S2')
Aiu1 — Q F =
V 2 (3-10)
Knudsen benyttede resultatet på middelforholdene i danske farvande. Snit 2 blev
lagt i den vestlige Østersø, hvor Sp = 8.7 og Sp'= IT.1*» Snit 1 lagdes
i den Sydlige del af Kattegat, hvor S- = 20, O og S.' = 33.0 #. Det område,
som betragtes, har omtrentlig samme nedbør som fordampning, og ferskvandstil-
førsien fra land er ringe, dvs. Q F kan ignoreres. Vi finder da fra (3.10)
ApU = 0.8 A_u , dvs. middel volumenf luxen fra Kattegat til Skagerak er 25 %
større end volumenf luxen fra Østersøen. Dette kan forklares gennem at antage,
at vand ført fra Skagerak til Kattegat af understrømmen forlader Kattegat igen
med overfladestrømmen. Betragter vi forholdene i Østersøen, som er et bassin
med kun en åbning, har vi følgelig kun snit 2, dvs. (3.10) reduceres til
Q F = — A 2 u 2 (1 - ( S ^ 1 ) ) (3.11)
100
Vi finder nu Apup = 2A'u 2ls dvs. den totale udadgående volumenflux fra
Østersøen er dobbelt så stor som den indadgående volumenflux ved bunden.
Eftersom sApUp numerisk er lig Q F, ser vi , at ferskvandstilførslen (nedbør +
flodtilførsel *• fordampning) er positiv.
Knudsens hydrografiske teorem er på mange måder problematisk i praktisk
anvendelse på grund af kravet om stationaritet. Knudsen siger selv, at det ikke
er tilladeligt at betragte saltmsengden i Østersøen som konstant i et så kort
tidsrum som 3 måneder. Andre undersøgelser viser, at saliniteten i gennemsnit
for hele Østersøen i f.eks. 1951 blev forøget med 0.1 /oo. Ser vi omvendt på
de store tidsskalaer 1900 - 1950, synes saliniteten i gennemsnit at være øget
med ca. 0.5 /oo* Knudsens hydrografiske teorem kan med andre ord ikke benyttes
til et nøjere studium af volumen- og salinitetsfluxer i de indre danske farvande.
En anden begrænsning i anvendelsen af (3.10) eller (3-11) ligger i bestem
melsen af nettoferskvandstilførslen Q
Q = P + L - E • (3.12)
hvor F, H, L henholdsvis står for nedbør, fordampning og flodtilløb i f.eks,
mm pr. år. Vi har forholdsvis kun få vanskeligheder med at bestemme P, fordi de
talrige meteorologiske stationer rutinemæssigt måler nedbør 2 gange dagligt.
Det skal bemærkes, at den årlige nedbør er næsten konstant nemlig 600 mm for
hele Østersøen - se Fig. 51.
101
Fig. 51. Årlig nedbør (mm/år) for perioden I931-I960.
Flodtilførslen L er lidt dårligere bestemt end nedbøren. Målestationer
nes antal er ikke sammenligneligt med de meteorologiske . Alligevel er der en
rimelig god s tat ions dækning, som det fremgår af Fig. 52 og Tabel 4. Vi kan altså
konkludere, at L f.eks, på årsbasis er tilfredsstillende godt bestemt, men
at de nødvendige målinger involverer meget arbejde. Det er derfor nærliggende
at stille sig spørgsmålet, om det er muligt at finde L på en anden måde. Vi
kender afvandingsområdet for Østersøen samt nedbøren over samme område - se
Figs. 51 og 53.
102
Fig. 52. Målestationernes "beliggenhed t i l bestemmelse af vandafløbet t i l
Østersøen.
103
Tabel k. Antal floder og deres totale afvandingsomrade omkring Østersøen.
Delbassin Flodområder Afvandet areal 2
Totalt Undersøgte km Undersøgt {%)
1. Botniske Bugt
Finland 26
Sverige 27
2. Bottenhavet
Finland 18
Sverige 33
3. Finske Bugt
Finland 13
5. Centrale Østersø
Sverige 29
Totalt 1, 2, 3, 5 lU6
11
7
7
10
1U2000
125000
UlOOO
180000
89
85
71*
88
1+7000 89
9 79000 70
50 61U0001' 8U
1) Det totale afvandingsomrade = 37 % af Østersøens totale afvandingsomrade.
104
Fig. 53. Afvandingsområdet for Østersøen.
Kan fordampningen over afvandingsområdet "bestemmess vil flodtilførslen kunne
beregnes udfra nedbøren, hvis stationær tilstand haves som f.eks, ved årlige
middelværdier. Desværre, som det også vil fremgå senere, ligger vanskeligheden
i en bestemmelse af fordampningen E, så den foreslåede metode'må skrinlægges.
Den eksperimentelt bestemte flodtilførsel L er angivet i îlg. 5^.
105
Fig. ^k. Årligt vandafljzfo (mm/år) for perioden 1931-19Ö0.
Det er vanskeligere at bestemme fordampningsleddet. Måler vi P, L, A~s
Ug, S2 og Sg1, kan E beregnes udfra (3.11) og (3.12). Denne metode er klart
utilfredsstillende, fordi kravet om stationaritet i Knudsens hydrografiske
teorem var problematisk. Alligevel har metoden været benyttet.
En direkte bestemmelse af fordampningen er eksperimentelt vanskelig. Vi
kan måle den potentielle fordampning, der er fordampningen fra en vandmasse,
der befinder sig i et kar. Disse målinger, som undertiden også ses foretaget
ved små sjzJer, giver urealistiske resultater.
I en anden mere raffineret fordampningsmåling placeres et vandkar fyldt
med isotop-mærket vand i en vindtunnel. Den overliggende lufts hastighed kan
sammen med dens temperatur varieres inden for de i naturen forekommende
106
grænser. Fordampningen er ledsaget af en isotopfraktionering, således at den
overliggende lufts isotopsammensætning giver et mål på E. Metoden er en for
bedring, men stadig dårlig, fordi den ikke er brugbar ved de vindhastig
heder, hvor skumsprøjt giver store bidrag til E.
Fordampningen til et bestemt sted og tidspunktet afhænger af de meteoro
logiske parametre: Tryk p, temperatur T, vindhastighed u og leddet e - e, hvor
e er den mættede vanddamps tryk ved T, og e luftens vanddamptryk. Formelt kan s dette skrives som
E = fx(p) * f2(T) • f3(u) • (es - e) (3.13)
Ifølge Eaoults lov er E strengt taget afhængig af saliniteten S, men da S i
Østersøen er lidet variabel og lille, ignoreres damptryksformindskelsen.
(3-13) er trods det generelle udseende en approximation, fordi vi er gået ud
fra, at en separation i de variable er tilladelig. Vi vil yderligere gøre den
antagelse, at f. (p) = const, samt f fF)52 const. Herved bliver E stadig en
funktion af T på grund af leddet e - e. Det skal erindres om, at kold tør
luft mættes hurtigt, mens varm fugtig luft kan tilføres meget vand , før mætning
indtræffer. Vi har altså
E = f(u) (es - e) (3.1*0
Herefter benyttes den grænselagsteori, som er beskrevet i afsnit 2.1. Vand
damps transport en ud i luftens grænselag bliver
E = - A § (3.15)
hvor q e r den spec i f ikke l u f t f u g t i g h e d , som a f t age r opad, og A den t u r b u l e n t e
d i f f u s i o n s k o e f f i c i e n t . Det e r velkendt , a t
0.623 . n 0.623 , , . , , / q = • e ^ — - — • e (3.16)
dvs.
p - e p
0.623 „ d e . , E - A T - (3.17) p dz
A * p,« (z - O / £ (3.18) 1
hvor p er luftens massefylde. (3.18) kan også skrives som
107
A « pH zu (3.19)
Dette resultat nåede vi frem t i l i afsnit 2.1.
Indføres (3.19) i (3-17), fås
Idet z — s — ôe = rr , kan (3.20) skrives som dz 6z oln z
0.623 . t e6 " ez0^ . f 3 2 l l
E - _— p H y—u_ u (3.21) P 1 O _ , 0 , \ * * ln( /zø)
For u > 6.5 m sek bliver z 'v 0.6 cm. Indsætter vi talværdier for udtrykkene o
i (3.21), og benytter vi, at
u = H U . lu (6/z ) (3.22) * o o o
bliver
E = - 8.7 • 10~U u 6 (e6 - ez ) (3.23)
E er angivet i cm vand pr. time, n^ er middelvindhastigheden i m pr. sek. i
6 m's højde, og e er i mb. For lavere vindhastigheder falder E med ca. 30 %•
e^ og e er luftens damptryk i henholdsvis højderne 6 m og Z Q over havover
fladen.
108
70 N
^ - 60 N
30E
Fig. 55. Målestationernes beliggenhed til bestemmelse af
fordampningen over Østersøen.
109
Fig. 56 Årlig fordampning (mm/år) for perioden 1931
I960.
110
Pig. 55 viser beliggenheden af de målestationer, som skal udføre inten
sive vandfordampnings-undersøgelser. Vi bemærker, at nettet især udgøres af
kyststationer, samt at det er relativt åbent. Fig. 56 viser, at E 1+50 mm/år i
gennemsnit for Østersøen - altså en anelse under den gennemsnitlige årlige ned
bør P.
Hidtil har vi kun beskæftiget os med årlige middelværdier for Q, P, L og
E. I Fig. 57 er deres månedlige variation indtegnet. Vi ser her den store
vandføring i floderne i april - maj, som skyldes snesmeltning i flodernes af-
vandingsområder. Nedbøren udviser kun ringe variation året igennem, og fordamp
ningen har maximum i vintermånederne. Dette maximum skylder sin oprindelse fra
et kontinentalt præget klima med kolde og kraftige vinde over en forholdsvis
varm Østersø.
so
so
Fig. 57' FerskvandstilfØrslen til Østersøen (efter Brogmus).
Fig. 58 viser vandomsætningen i Østersøen i detaljer. Det skal erindres
om, at Knudsens hydrografiske teorem ikke alene kan anvendes i Sundet og Bælt
havet, men naturligvis også ved f.eks, mundingen af Finske Bugt.
T i i i i i 1 1 1 1 — r
111
Fig. 58.
Som et kuriosum skal det nævnes, at de store mængder flodvand, der løber
ud i Østersøen, transporterer meget organisk opløst materiale. Dette har fælles
betegnelsen gulstof og "består især af humussyrer. Ved saliniteter på over 6 /oo
fælder en del af disse ud. Dette sker i den centrale del af Østersøen - se også
Pig. 59- Den resterende mængde gulstof er imidlertid stabil og kan i mange
tilfælde benyttes som et naturligt sporstof. Et eksempel herpå er givet i
Pig. 59» som visers hvorledes Østersøvandets blandingsgrad med Nordsøvandet kan
angives ved en gulstof-kone entr at i on. Et andet eksempel på anvendelsen af gul
stof som naturligt sporstof finder vi i kapitel 5-
112
20 25 30%. 35
Fig. 59- Relationen mellem salinitet og koncentrationen af gulstof (gulligt-
farvede opløste organiske stoffer) i Østersøen.
3.2. Geostrofisk ligevægt.
Hvis en bevægelse opretholdes uden acceleration, gnidningskraft og
tidevandskraft, men gennem en balance mellem tyngdekraft, trykkraft og Coriolis-
kraft, kaldes denne en geostrofisk strøm. Balancen, den såkaldte geostrofiske
ligevægt, skal bruges med en vis forsigtighed og kun på middelbevægelser.
Bevægelser med hurtige tidslige variationer har nemlig en betydelig accelera
tion i modstrid med én af de ovennævnte antagelser. Da vi har negligeret gnid
ning helt, kan en geostrofisk balance karakteriseres ved et lille Rossby-tal
defineret som U/fL. U og L er henholdsvis en karakteristisk horisontal
hastighed og længdeskala.
Bevægelsesligningerne får herefter følgende udseende
f v =
f u =
g
i iE p 8x
P 9y
_1 3p_ p 3z
(3-2*0
(3.25)
(3.26)
Dette medfører, at vi for en for bevægelsen karakteristisk tidsskala har, at
Tf » 1 !3.27)
Vi antager nu, at p er konstant. Fra (3-2U) - (3-26) findes
3u 3v Sz 3z = 0 (3.28)
hvilket betyder, at de horisontale hastigheder u, v er uafhængige af dybden.
Denne bevægelsestype kaldes barotrop bevægelse, fordi vi blandt andet antog
P - p(p) = konstant. For vore meso-skala bevægelser har vi allerede valgt at
113
behandle f som en konstant. Herved "bliver
| ü + | Z = o (3.29) 3x 3y
efter differentiation og summation af (3.2*0 og (3.25). Benyttes dette sammen
med kontinuitetsligningen
|^ + £*!*=0 (3.30) 3x 9y 9z
haves
| ^ = 0 (3.31) 3z
dvs. vertikalhastigheden v er uafhængig af dybden. Som følge af vore antagelser
om stationaritet er w - 0 ved overfladen z = 0, og derved er v = 0 inden for
hele vandsøjlen. Bruger vi dette resultat på vertikalhastigheden w, ved en fast
bund z = h(x, y ) , får vi fra (1.16)
Wb^f + T t = ° (3-32)
dvs.
v.grad h = 0 (3.33)
Denne ligning fortæller, at væsken bevæger sig parallelt med bundkonturerne.
Hvis P varierer med stedet, hvorved trykflader og massefyldeflader ikke
er sammenfaldende under påvirkning af forstyrrelser, kalder vi bevægelsen for
baroklin. Herved får vi variationer i de horisontale hastigheder med dybden
foruden interne tyngdebølgebevægelse.
Den hydrostatiske antagelse (3.26) ser bort fra de vertikale accelera
tioner i forbindelse med tyngdekraften og den vertikale trykgradientkraft. Vi
har tidligere i afsnit 1.2 vist, at tyngdekraften fuldstændig dominerer den
vertikale Coriolis-acceleration.
Vi forsøger nu at lave en skala-analyse på den vertikale bevægelses
ligning
dt p 3z g U-J4J
Det fri vandspejls højde over bunden z = ri(x, y, t) kan omtrentlig sættes lig
114
med ri , som er en konstant. (3.3*0 vertikalintegreres , hvorved
p = - pg(z - n) + J Mdt * IT
dz (3.35)
Benyttes (3-35) på (3.24), fås
^sf+!-"of] (3.36)
Leddene ti i (3.35) og (3.36) betegner afvigelserne fra den rene geostrofiske
antagelse. Ved at benytte sædvanlig skala-analyse på kontinuitetsligningen
finder vi
i j ï ^ E U ^ a 0.37) Ut L y C
Her e r ¥ en k a r a k t e r i s t i s k v e r t i k a l h a s t i g h e d , og n den gennemsni t l ige vand
dybde de t pågældende s t e d . Vi b e t r a g t e r nu forholde t
2
i • \ f ] / t -1V)' -6
Dette forhold har størrelsesordenen 10 i systemet Østersøen-Nordsøen.Vi kan
med andre ord ignorere leddet [ ] i (3-36), fordi Coriolis-accelerationen
fv » -TT-. Vi har hermed også vist, at den hydrostatiske ligevægtsbetingelse Cl w
er en god approximat ion.
Cori o l i s - p a r arne t e r en f - 2o) sincp s a t t e v i k o n s t a n t . Rækkeudvikles denne
omkring en bestemt breddegrad ep , f å r v i :
f = 2w sincpo + 2u cos(cp 0 ) ( <p-<po) . . . (3 .38)
Sammenligner v i de t b o r t k a s t e d e l ed 2tu cosfep^) (<P—" <P©7 m e d dé tkons t an t e
led 2w sincp , fås
t p - cpQ * | (3 .39)
hvor E er jordens radius. For meso-skala bevægelser på mi ddelbredde grader, hvor
L ^ l - 100 km, og ep ^ 1 målt i rent tal, er antagelsen om konstant Coriolis
-parameter god.
Vi vil endelig betragte det tilfælde, hvor massefylden varierer med
stedet. For enkelheds skyld sætter vi u = 0, hvorved (3.24) - (3.27) kan skri
ves
115
fvp = | ^ (3.1*0)
0 = J* (3.1.1)
Vi har alment, at p = p(x, y, z, t), hvilket imidlertid på grund af stationari-
teten medfører p = p(x, y, a). (3.^1) leder til at p = p(x, z). Differentierer
vi (3.1+0) og (3.**2) partielt med hensyn til henholdsvis z og x og elimineres
herefter leddet
s2
_3_JL 9x3z
får vi:
3z pf 3x p 8z ^-^J
g ^ 10 ' m sek , f 10 sek , p |.0 fcfc:m , v ^0,1 - 1.© .m sek . Volumen-
fluxen gennem et rumfangselement beliggende helt under vand bliver for statio
nær tilstand
Heraf følger, at " I E / f ^ * W/U.
Vi fandt tidligere, at
W^üo^10-3 U L
dvs.
f£-103f (3.45)
Heraf f indes, at første led i (3.^3) er 10 - 100 gange større end andet led,
hvorfor vi sætter
3z pf 3x ( 3 ^ 6 )
Hvis v aftager med dybden, er -jp > 0, dvs. -jp- < 0. Dette betyder, at
tungere vand findes på strømmens venstre side, når vi ser i dennes retning. Det
omvendte er tilfældet, hvis -r— < 0. dz
116
Vi vil nu behandle vandstandsmålinger foretaget på begge sider af Store
Bælt kombineret med simultane strømmålinger i området. En vandstandsmåler
består i princippet af et næsten lukket rør» der kan sættes ned i havet.
mmmmtt-
Pig. 60. Princippet i en vandstandsmåler (mareograf)
En l i l l e åbning ved rørets nedre del s ikrer mod, at voldsomme bevægelser i det
fri. ydre vandspejl forplanter sig t i l det indre. En flyder på det indre vand
spejl overfører via et t r i s s e - og lodsystem information om vandstanden t i l en
lodretstående9 langsomt drejende papirtromle.
I t a b e l 1 v i s e s formelen t i l bestemmelse af normalvande ved 10 udv a l g t e s t a t i o n e r for e t g i v e t år i forhold t i l DNN. Videre v i s e s s t i g n i n g s k o n s t a n t og i s i d s t e kolonne normalvandstand f o r 1988C^wrO
København
Hornbæk
Korsør
S l ipshavn
F r e d e r i c i a
Århus
Fr.havn
H i r t s h a l s
1890 - 1988 HA = 3 ,16 + 0,0233 (A - 1939) 4 ,30
1890 - 1988 HA = 1,32 - 0,0014 (A - 1939) 1,24
1890 - 1988 HA = 5 ,19 + 0,0566 (A - 1939) 7 ,96
1890 - 1988 HA = 2 ,95 + 0,0777 (A - 1939) 6 ,76
1890 - 1988 HA = 3 ,14 + 0,0946 (A - 1939) 7,77
1890 - 1988 HA = 0 ,19 + 0,0446 (A - 1939) 2,37
1894 - 1988 HA =-3 ,09 + 0,0100 (A - 1941) - 2 , 5 8
1892 - 1988 HA =-5 ,20 - 0,0312 (A - 1940) - 6 , 7 0
117
——Average relotion
Åh
• • tJ-Current -•WO
cm/sec. * x >
<£*? JA
-Ä?c/w ^'^; *J *iOcm
->>••
• • . - • » •
•so
•wo . S-Current
_ 8m-Depttr contour 11°f
Kattegat
Sprogô
Shpshsvn SalftcSee
\ T!0E
Fig. 6l. Relationen mellem strøm observeret ved Halvskov Rev fyrskib og havover
fladens hældning målt mellem Korsør og Slipshavn i Store Bælt.
Fig. 61 demonstrerer en lineær sammenhæng mellem strøm og vandstand, der
kan forklares ved hjælp af den geostrofiske approximation. Vi antager, at
(3.24) og (3.26) alene kan benyttes for Store Bælt, fordi strømmene her
primært er nord- eller sydgående:
^ 1 IP fv = — TT
p Sx g " - p i f
(3.H7)
(3.48)
z = 0 * x
118
Vi antager, at trykket i A er l i g trykket i B, dvs. sanmie barometerstand i de
to punkter. Derefter "beregner vi trykket i C ved hjælp af (3.Vf) og (3.U8).
p(c) = p o + - ^ Ax = pfv A x + p o
p(C) = p„ + -sJ (- Az) = pg A z + p
(3.^9)
(3.50)
Heraf findes
(3.51)
I eksemplet i Fig. 6l målte vi Az og v. Vi omformer (3-51) til Az = f/g Ax • v
og ser direkte, at vandstandsdifferencen er proportional med hastigheden, idet
f/g regnes for konstant i området. Ax er naturligvis afstanden mellem de to
vandstandsmålere.
Bælthavet udviser tilsvarende hydrografiske forhold som Øresund - se
Fig. 58. Vi kan altså he tragte vandmasserne i Store Bælt som he ståen de af et
homogent overfladelag med massefylde p., hvorunder en anden homogen vandmasse
med massefylde p_ "befinder sig. Følgelig haves en veldefineret flade, som ad
skiller de to områder.
Fig. 62. I s oharfladernes hældning samt en front mellem to homogene vandmasser,
som bevæger sig på nordlige halvkugle som vist på figuren.
Vi betragter kun strømme i nord/syd retning som før, d.v.s. de ligninger,
vi benytter, bliver analoge til (3.^7) og (3.U8)
(3.52) tg ß1 - (f/g) v1
tg ß 2 = (f/g) v2 (3.53)
119
Til sidst vil vi søge at finde vinklen y mellem grænseflade og horisont
plan. Hertil benyttes den dynamiske grænsebetingelse, idet vi bemærker, at
p ~ p(x, z). Trykket i A og B kaldes henholdsvis p(A) og p{B). Vi beregner nu
trykændingen ved at gå fra A til B gennem henholdsvis vandmasse (1) og (2).
Fig. 63
For (1) gælder:
p(B) - p(A) «-(|*> Ax + (|E) C- Az) :3.5M
og tilsvarende for (2} gælder:
p(B) - P(A) = (ff) (- Az) + (|£) Ax
Vi eliminerer nu p(B) - p(A) i (3.5*0 og (3-55) og får
(3 .55)
_ _ Az - ** 1 9 X 2 ^ Ax " (iE) - (iE)
3z 3z'
(3.56)
1 2
Benyt tes (3.Vf) og (3-W3) på ( 3 . 5 6 ) , f å r v i den s å k a l d t e Margules l i g n i n g
tSY = -f p l T l " P2V2 g P, - Pr
(3-57)
Hvis v i s æ t t e r v p = 0 , b l i v e r
tgY=- ÏT^X t 8 6 i (3.58)
120
— —3 —3 p - p > 0 og er ofte meget lille i havet ~ 10 g cm , dvs.p- p 'vp^l. 2 1 2 1
Herved bliver en karakteristisk relation for y og ß
tgy * 1000 tg81 1000 f (3.59)
Benyttes (3.57) og (3.58) på de infinitesimale størrelser p - p og v - v ,
kan det generelle udtryk for (3.58) skrives som
tgy = - |^ (p tg&) (3.60)
Til sidst skal vi på en enkel måde udlede Heiland-Hansens ligning, som
giver strømfeltet relativt (eller hvad der er det samme: udtrykker strømmens
ændring med dybden absolut), når de hydrografiske parametre S, T er kendte,
og geostrofisk ligevægt forudsat. Vi benytter (3.^6) og erindrer om, at u af
bekvemmelighedsgrunde er sat lig nul. Vi betragter en tæthedsflade (isopykn),
som danner vinklen a med horisont al pi anen. på grund af vore antagelser om
strømfeltet, har vort arbitrært valgte flade formen p = p(x, z) - const. Vi
anvender samme fremgangsmåde, som da vi behandlede trykvariationen i henholds
vis x- og 2-retning i (3.^7) — (3-51) og finder
(3.61) indsættes i (3.^6)
9Z = _ £_ _9p_ t , g j
Vertikalintegration af (3-62) over et dybdeinterval = z - z leder til
Heiland-Hansens ligning
Zl
i |?dz = v(z ) - v(z ) * dz 1 o
o (3.63)
f ~è» ^ " p ( zl } ) ' <tga> :p>
hvor <p> er middelmassefylden inden for dybdeintervallet, og <tga> er middel
hældningen af isopyknen. (3.63) og (3.6l) viser, at kender vi S, T og bredde
graden, er højre side bestemt. Dette giver os hastighedsdifferensen i dybde
intervallet . Måler vi med en strømmåler v( z.), bliver strømfeltet fastlagt.
121
Kan vi finde en dybde i oceanet3 hvor v(z ) = 0 , kan strømfeltet også angives
absolut.
3.3. Bernoulli's teorem.
Vi skal udlede Bernoulli's teorem for ideale væsker, hvori ingen varme-
ledning forekommer, og hvor Cori oli s-kraft en kan ignoreres. Bevægelsesligningen
for dette tilfælde kaldes Eulers ligning og har udseendet
— = - - grad p + g (3.6*0
Indføres et tyngdepotentiale, har vi, at
g = - grad x (3-65)
Endelig betragtes funktionen P givet ved
F = J ^ (3.66)
fE = j i I ? d n ' g æ l d e r at
•fa = p ta = n ' grad P = i n a d P
hvor n er en enhedsvektor. (3.66) implicerer
grad P = - grad p (3-6?)
Ved benyttelse af (3.65) og (3.67) kan Eulers ligning skrives som
dv 3t
+ grad (x + P + 5 V ' v ) = v x r o t v (3 .68)
gennem b e n y t t e l s e af (8 .12) i Appendix. - » • - » - _ 2 . .
I ået følgende sættes v * v = c .Vi indfører nu feltlimer for de 2
vektorfelter v (strømlinier) og rot v (hvirvellinier) og antager stationær
tilstand. Herved fås
grad ( x + P + i c ) - v x rot v (3.69)
Multipliceres (3.69) på begge sider skalart med v, bliver
v - grad (x + P + l c2) = 0 (3.70)
122
2 dvs. x + p + § c er konstant langs enhver strømlinie, samtidig med at størrelsen, kaldet Bernoulli-funkt ionen, kan variere fra én strømlinie til en anden. For stationære strømninger er strømlinierne og væskedelenes banekurver sammenfaldende .
->-Multipliceres (3.69) på begge sider skalart med rot T , finder vi som
o før, at x + P + i c er konstant langs en hvirvellinie, samtidig med at Bernoulli-funktionen kan variere fra én hvirvellinie til en anden.
Er væsken- usammentlykkelig, bliver (3.69)
gz + + § c - konstant langs en strømlinie (3.71)
Hvis hast ighedsfel tet kan beskrives ved et po ten t ia l fe l t v = gradcp , v i l
rot v være identisk l i g nu l , og (3.68) kunne skrives
| f + X + P + 5 C 2 = f ( t ) (3.72)
(3-72)gælder over hele væsken til ethvert tidspunkt. Hvis vi ønsker det, kan
f(t) inkluderes i første led på venstre side af (3.72) fordi subtraktionen af
f(t) dt fra m ikke vil ændre pa v = gradcp •
Antages endelig en stationær potentialstrømning i en usammentrykkelig
væske, får vi
gz + - + i c = konstant (3.73)
Dette gælder overalt i væsken til alle tidspunkter.
Til sidst skal vi se nærmere på (3-72), hvor p antages konstant. Be
nyttes v - grad tp, og g = - grad x» fås
f • ? • - • » <t>2 * ^ * ' t >2 - f ( t )
Kontinuitetsligningen bliver
4 + 4 + 4 ^ = 0 3x 3y 3z
(3-7M
(3.75)
for - h < z < n(x s y> "t)s hvor bunden antages plan og horisontalt beliggende.
Randbetingelserne bliver
3t + g "n + i
2 2 2 (#) + (IE*) + (1^) 3x' ^3y' v3zy = f(t) (3-76)
for z = n(x, y, t).
123
Den kinematiske grænsebetingelse giver
Sep _ 3n 9cp 3TI 3CP 3T)
dz ~ 3 t 3x 3x 3y 3y (3.77)
for z = n(x, y, t) og
3z (3.78)
for z = -h
(3.75)er Laplace's ligning, som kan løses efter velkendte principper. Rand
betingelserne i (3.76) og (3.77) giver derimod problemer, fordi vi skal angive
ep ved den ukendte overflade z = n(x, y, t). Vi søger i stedet at angive ep ved
z = 0S som er overfladen i det uforstyrrede tilfælde. Uden at gå i detaljer
omkring dette spørgsmål gøres det med en sædvanlig pertubationsteknik.
Vi ser nu på strømforholdene ved f.eks. Øresund. Vi har tidligere set,
at saltholdigt vand strømmer ind (sydpå) ved bunden og brakvand ud (nordpå)
for en middelsituation. På skitsen er strømsituationen vist. CD og AB er hori
sontalflader; EB er springlaget, og CF den fri havoverflade. Vi antager, at
FD = h
EA = K
DB = h
FB be f inde r s i g ved Drogden, hvor kun en r i n g e mængde af det s a l t h o l d i g e bund
vand p a s s e r e r . Skal v i have p r e s s e t bundvand over ved Drogden, må v i for det
s t a t i o n æ r e t i l f æ l d e have e t s t ø r r e t r y k ved A end ved B, dvs .
gp 1(h - h 2 ) + gp2hg = p(A) > p(B) = gp 1 (h + h )
Heraf f indes u l igheden
124
h„ > 2 P2 - Px 1
(3.79)
Px ^ i© i P2 " Px ' 10' » dvs. h2 > hx • 10*
Vi benytter nu (3.T3) til at undersøge forholdene omkring en to-lags-
strømning, som vi f.eks, finder i Sundet, Bælthavet eller ved flodudløb. Vi
går ud fra, at området består af to homogene vandmasser med henholdsvis et
a, S, og p , S„ adskilt af et springlag, som angivet i Fig. 64. Vi regner med,
at bunden er plan, samt at overgangs området er lille.
z = D
7 / / / / / / ^ / / / / / / / / y / / / / y / y ; / / / ; / / / ?w / / ; / / y ; /W /yy / / / y / y / ' )
Fig. 64. Skematiserede oceanografiske forhold ved strømning i snævre farvande.
Trykdifferensen på hver side af skillefladen i overgangsområdet beregnet ved
B og C i dybden z andrager
gpx^D - y) + sp2(y - z) - ÊP-JD - z) « g(p2 - P-I_) (y - z) (3.80)
Massetransporten ud er l i g
L(zl D
= j | P ^ dy dz Q l = (3.81)
o y
hvor bassinets bredde almindeligvis afhænger af dybden. Antager v i , at tvær
s n i t t e t er rektangulært med bredden 1, får vi
D
p - j ^ dz (3.82) Qx =
125
Ti l svarende få r v i for masse t ranspor ten i n d
X
Q2 = P2u2 dz (3.83)
o
som i øvrigt også kaldes reaktionstransporten.
Knudsens hydrografiske teorem giver
Q1 - Q2 = Q 0 (3.8U)
S ^ - S2Q2 = 0 (3.85)
hvor Q er ferskvandstilførslen til området (l) regnet med fortegn. Hvis
ferskvandstilførslen Q bliver tilstrækkelig stor, får vi ingen reaktions-
transport Qp i overgangs området. Den kritiske værdi Q fås ved at sætte y = 0
og Q = Q. Ved benyttelsen af Knudsens hydrografiske teorem fås
Q2 = 0
D
Q0 = ^ = Q = p u dz "o o
samt
(3.86)
Vi anvender nu Bernoulli's ligning i punkterne B og C
Ap2 = l u 2 p2 (3.87)
Behyt tes (3.80) og approximationen p_ 'v C«*»$^ .
u 2 = / 2g (p 2 - p 1 ) ( y - z) z < y (3.88)
Det bemærkes, at trykgradientcraften er lig med nul i skillefladen, der ligger
uforandret på samme sted, fordi vi har stationær tilstand.
Vi benytter trykdifferenserne på samme enkle måde i det øvrige strøm-
ningsområde, dvs.
2 2 AP-L - l P±\ = l nx (3.89)
A po = * po Uo 2 * l uo2 (3.90)
hvorved
126
\'ps(pz - p^D-f) z > Y (3.91)
u 0 = ^ 2 g ( p 2 - po) ( D - z)
Vi kan nu heregne Q , Q og Q.s som bliver
Q0=f\/2g(P2-P0) f?
(3.92)
Q1 =|^2g(p2 - Pl) ^(D - Y)'
Q2=f(/2g(p2-Pl) f ?
(3.93)
(3.9U)
(3.95)
Følgende relationer mellem Q , Q, og Q_ kan herefter opnås ved benyttelse af
(3.8U) og (3.85)
Q, = Q. 1 S^ — S- o
Q2 = S2 : Sx Q0
(3-96)
(3.97)
Resultatet er angivet i Fig. 65, som viser, hvorledes fladetransporten Q og
re aktionstransporten Qp afhænger af ferskvandstilførsien Q . Q, og Q er alle
normaliserede i forhold til den kritiske værdi for Q = Q. Vi ser straks, at
Q„ = Q, = 1 medfører Q„ = 0, samt at Qn * 0 medfører Q, = Q„. Disse resul-O X d. O J. d.
tater følger naturligvis direkte af Knudsens hydrografiske teorem. Vi ser end
videre, at Q„ har et maximum, men ville snarere forvente, at Qp og Q var
negativt korrelerede for alle 0 < Q < 1. Q og Q er positivt korrelerede,
hvilket vi også på forhånd ville forvente. Ovenstående praktiske anvendelse af
Bernoulli's ligning kan med fordel anvendes i Kattegat-Østersø-systemet.
0.5* + 0.5
Fig. 65
127
Kapitel 4
Kattegat
4.1 Interne bølger.
Kattegat er et udpræget blandingsområde, idet Østersøvand mødes og bland
es delvist med Nordsø - Skagerrakvand. Denne blanding er imidlertid ikke fuld
stændig, hvorfor området udviser en meget s t ab i l lagdeling, som det fremgår af
Pig. 66 og 67.
Isotermer og isohaliner løber pa ra l l e l t med hinanden, hvorved gradienten
i massefylden b l iver s tor . Den maximale gradient finder vi om sommeren, fordi
på denne års t id er forskellen mellem overfladetemperaturen og bundtemperaturen
s tø r s t - se Pig. 68. De 2 maxima i temperaturgangen for henholdsvis overfladen
og bunden indtræffer med en faseforskydning på godt 1 måned, hvilket kan for
klares ud fra en eendimensional tidsafhængig varme diffus ionsligning.
! , i g \ 6 6 ; j . T e m P v r a t u r e n S v e r *ika l forde l ing i et snit f ra Øresund op gennem Kat tegat ef ter observationer f r a havundersøgelsesskibet « W ^ m k r L g X l 9 ? 7 * Størst variat ion med dybden findes i Sundet og det sydlige Kattegat. * 7
128
Fig. 67. Salini tetens ver t ikal fordeling i et sn i t op gennem det øs t l ige Kattegat . I Øresund og det sydlige Kattegat findes ofte en meget brat overgang mellem det forholdsvis ferske overfladelag og bundlaget med høj s a l in i t e t . I det nordlige Kattegat er overgangen mere gradvis .
11 m "iv""'*'"xi vu viii iv x xi xii
Fig. 68. Vandtemperaturens års t idsvar ia t ion ved Anholt Uord Fyrskib. Den optrukne l i n i e viser variationen i overfladen, og den stiplede l i n i e variationen ved bunden (28 m).
På grund af den s tab i le lagdeling kan interne bølger optræde. De kan observeres
ved at fremskaffe t i d s se r i e r på strøm , s a l i n i t e t og/e l le r temperatur,
neutral t balancerede undervandskuglers vertikalbevægelse e l l e r ved at måle den
maximale partikel-koncentrations vertikalbevægelse. De interne bølger kan ud-
129
v i k l e s ved e t sk ibs passage , f o rudsa t a t pyknoklinen l i g g e r h ø j t (dødvande),
ved vekslende barometers tand , ved a t 2 e l l e r f l e r e over f l adebø lger med forske l
l i g e b ø l g e t a l s v e k t o r e r mødes e l l e r e n d e l i g som fø lge af topogra f i ske å r sage r
(ujævn bund e t c . ) .
Sea surface
s urface
Trajectories
F i g . 63» Fremadskridende i n t e r n b a l g e samt en i l l u s t r a t i o n af fænomenet "dødvande" .
I det følgende v i l i nd l edn ingsv i s nogle enkle ud ledn inger f o r i n t e r n e bølgers
f a sehas t i ghede r b l i v e g i v e t . Senere v i l d i s s e eksempler b l i v e behandlet mere
g e n e r a l i s e r e t .
F ø r s t tænker v i o s , a t de t tunge Nordsø - Skagerrakvand og det b a l t i s k e
vand h a r de kons t an t e massefylder p og p_ a d s k i l t af en idea l f l a d e . Vi f o r
u d s æ t t e r , a t de sædvanlige bølge approximat ioner e r opfy ld t , d . v . s . gnidning,
ikke- l ineære l e d , t i devandsk ræf t e r e t c . kan i g n o r e r e s . In t e rne bø lge r s sv ing
n i n g s t i d T e r s t o r sammenlignet med k o r t e over f l adebø lgers sv ingn ings t id -
se a f s n i t 2.4» De i n t e r n e b ø l g e r s T l i g g e r t y p i s k mellem 15 min. op t i l ca .
e t døgn. Hvis T ~ e t døgn, ska l v i medtage C o r i o l i s - a cce l e r a t i onen i vore
be regn inge r . Da T i m i d l e r t i d b l i v e r mindre med s t ø r r e s t a b i l i t e t e r det r ime
l i g t f o r Ka t t ega t a t sæ t t e
£Z / bt /
2 ID X V » 1 (4.1)
I det følgende undersøges b l o t bølgebevægelser i xz - v e r t i k a l p i anen.
B A
h-, ( 0 —
C h 2 (2)
ATI » 0
Ah = Ti
h„ + Ah d — v
130
Vi antager overfladen i hvi le for a l le t d . v . s . AT| = 0,
p(C) - p(D) = g Ah(p2 - P 1 ) (4.2)
Bevægelsesl igningen udtrykker
bu 1 bp bt p_ bx
(4.2) og (4-3) giver
(4.3)
bu . bh bt bx
(4.4)
P2 " Pi hvor g1 = g — — — — kaldes den reducerede tyngdekraft. Kontinuitetsligningen p2
giver
bt ^bx (4.5)
Vi gætter på løsningen
ûh = 11= a cos(k x - tu t) (4.6)
Fasehastigheden for denne interne tyngdebølge b l ive r da
= y g' h (4.7)
Vi tillader herefter, at det fri vandspejl må udføre svingninger. Situationen
bliver som antydet i nedenstående hjælpefigur.
— •
n-, ( i ) pn
_ — — — — " '
h 2 (2) p2
fix
k *
A ^ = Ah1 + Ah2
h + Ah 1 y
A h 2 = Tig
C
kp + Ah
131
Trykforskellen mellem IB og CD ;
P(A) - P(B) = g Pl V g p^A^ + Ah2) (4.8)
P(C) - P(D) = g Pl + g p2 Ah2 (4-9)
Vi b e n y t t e r nu bevægelses l ign ingerne ana logt t i l fø r
öu^ 1 Öp1 öh1 bh2 oli,
öT"s~71öx"= ' "g öäT + bx") = " g ööT (4.10)
bu2 ^ bp2 p^ bh^ bhg ^ fl ÜX 5 ^
bt~ = ~ 7 2 bx" " " g (p2 bx
+ 5x ) = "" s p2 bx " gf bx
Da vi endvidere skal benytte en kontinuitetsligning, tager vi
(4.11)
^ + ^ - = 0 (4.12) bx bz
som udgangspunkt.
(4 .12) m u l t i p l i c e r e s med dz og v e r t i k a l i n t e g r e r e s f r a bund t i l over f lade
| | dz + w(ll) - w(-D) = 0 (4 .13)
Antager v i en p lan h o r i s o n t a l bund haves w(-D) - 0 samt
f o r d i ~ / u r—' ~ c„/U » 1 , h v i l k e t kommer t i l a t fremgå af de senere ud reg
n i n g e r . I d e t v i vælger D » T| , b l i v e r (4 .13 ) med god t i lnærmelse
Dg~g (4.15)
Vi b e n y t t e r nu (4*15) og husker , a t v i nu h a r en l a g d e l t væske. Det be tyde r , a t
v i skal a rbe jde med t o k o n t i n u i t e t s l i g n i n g e r - én fo r hver vandmasse :
bu. bh A
bu„ bh h
132
Fra (4.10) og (4.16) fås
bt bt bx
ved at d i f ferent iere (4-10) og (4.16) med henholdsvis x og t og derefter e l imi
nere
b u1
btbx
Tilsvarende fås f r a (4-11) og (4.17)
— ^ = g h - 1 — 1 + g ' h —f (4.19) M p2 bx ^ bx
Vi sætter nu
T| = a cos(k x - ü) t ) (4.20).
T|2 = "b cos(k x - tu t ) - h1 (4.21)
fordi (4.18) og (4.19) angiver, at vi skal finde samme k, m i de 2 lag . Fra
(4.18) finder v i heref ter
- m2 a + ID2 b = - g h1 k 2 a (4-22)
og f ra (4.19)
- u)2 b —g h - 1 k2 a - g' h k2 b (4.23) *- Po
Benyttes (4.22) og (4-23) f inder vi
2 ti)2 - g' h k2
2 p2
2 (4.24) fører t i l en andengradsligning for u) af formen
å 2 A æ + B u ) + C = 0
133
Vi gjorde t id l ige re den bemærkning, at interne bølgers svingningstid e r s tor
d .v . s . (B ~ 0. Følgelig haves for (4.24)
CD2 g h 2 ~ k 2 = g g» ^ h 2 k 4 - «)2(g h1 + g« h2) k2 (4.25)
Heraf findes fasehastigheden
_ + \ / . h 1 h
Jf ~ k " — V ë K + h c, - 5 -J.V «• T - ' T « - (4-2«)
som er gyldig for lange interne bølger. Hvis derimod h« » h haves korte interne bølger med fasehastighed
c. = tfg» ^ (4.27)
Omvendt, hvis h . ?5> h - d .v . s . springlaget l igger dybt - fås igen den interne
tyngdebølge med fasehastighed
c . = \/g» h analogt t i l (4-7) og (4.27)
Dette betyder, at intern bølge akt iv i te t på store dybder er ikke ledsaget af
fors tyr re lser ved det f r i vandspejl.
Forholdet mellem det f r i vandspejls amplitude og den indre ski l lef lades
findes af (4.24) : 1) h. s tor (-» eo) medfører at a ^ 0 uafhængig af h p .
P? " Pi 2) h0 s tor (-» ») medfører at a ~ b uafhængig af h , når blot h ikke
er a l t for s to r . P2 - P-i
3) Hvis h ~ h og begge store fås at a ^ ' b
Det foregående kan udledes mere elegant ved at benytte den l ineariserede
Bernoulli l igning givet på formen
- | t + e z + ? = 0 (4,28)
hvor v = - grad ep samt kontinuitetsligningen
^ f + ^ = 0 (4.29) öz^ bz
134
Nedenstående hjælpefigur viser situationen. Vi bemærker i særdeleshed, hvor
ledes de 2 koordinatsystemer (x, z) og (x ' , z') = (Zj 2 , ) e r ±nälagi .
Z 4v 2 '
(4«28) giver for område ( i )
P1 * "Pi ê z ' + Pi ~ (4.30)
eller idet z1 + h,, =
P1 öcp ~ = _ g 2 + g h i + _ (4.31)
Tilsvarende bliver
bcpo = P-, g *-, - p2 g s + p2 _ (4.32)
e l l e r
P2
2 P1 S ^ öcp2
- « _ g z + + __£ Pn Ot (4.33)
Vi benytter herefter resultaterne fra afsnit 2.4 og afsnit 8.8 i Appen
dix. Overfladebølgen og den interne bølge kan enten være i fase el ler i modfase
med hinanden. Vi vælger t i l at begynde med den første mulighed og sætter
135
TL = a cos(k x - ID t ) + h . (4-34)
Tl2 = b cos(k x - © t ) (4 .35)
Løsningerne fo r ep og ep- ska l n a t u r l i g v i s t i l f r e d s s t i l l e ( 4 . 2 9 ) . Vi g æ t t e r
på l ø s n i n g e r af følgende g e n e r e l l e form
<p = A e k z s i n ( k i - ui i ) + B e" k 2 s i n ( k x - u> t ) (4-36)
ep = D e k z s i n ( k x - t» t ) + E e~k z s i n ( k x - tu t ) (4-37)
Vi skal nu f inde de 6 ubekendte a, b , A, B, D og E ved hjælp af de 6 l i g n i n g e r
( 4 . 3 1 ) t ( 4 . 3 3 ) og (4 .34) - ( 4 - 3 7 ) . Be t inge l sen , a t t r y k k e t ska l være kons tan t
ved havoverf laden, g i v e r ;
A u > e k h 1 + B t u e " k h 1 + g a = 0 (4-38)
ved passende va lg af t r y k k e t ved z = 0.
Den kinemat iske grænsebe t inge lse ved overf laden l e d e r t i l
A k e k h 1 - B k e " k h 1 + to a = 0 (4 .39)
Den kinemat iske g rænsebe t inge l se ved s k i l l e f l a d e n g i v e r 2 l i g n i n g e r
A k - B k + ü)b = 0 (4 .40)
D k - E k + tub = 0 (4 .41)
Den dynamiske grænsebetingelse ved skillefladen, der indeholder betingelsen
om kontinuerte trykovergange, giver
p2(D (B + E m) + p2 g b - Pl(A CD + B UD) - p1 g b = 0 (4.42)
Normalhastigheden ved den plane bund 2 = - h_ e r l i g med nul d . v . s .
D k e " k h ^ r E k e k h*<= 0 (4 .43)
Vi løser nu ligningssystemet (4.38) - (4.43) som er lineært og homogent i de
6 ubekendte a, b, A, B, D og E. Betingelsen for løsning fås ved at sætte
136
l i gn ings sys t eme t s determinant l i g med nu l d . v . s .
(D) (B) (B) (A) (b) (a )
P1 p1 P-i"P2 1 1
- e " k h 2 e k h 2
- 1
" P2
0
0
- 1
- k h . - e 1
- k h„ e 1
" p2
0
0
1
k h„ e 1
k h„ e 1
P 2 *
0
k
U)
k
0
0
u
0
0
0
CD
k
= o
Ef t e r f l e r e mulige f e j l b e r e g n i n g e r f i n d e r v i omsider den såJcaldte S toke ' s
l i g n i n g :
m ( p 2 coth k h 2 coth k h + p ) - œ g k ( p 2 ( c o t h k h + coth k h )) +
+ ( p 2 - P-j) S * = 0
2 9 (4 .44) e r k v a d r a t i s k i ID , hvorfor der e k s i s t e r e r ' 2 l ø s n i n g e r f o r w .
Vi h a r nu e f t e r nogle udregninger
TL = a cos(k x - m i ) + h .
TL = b cos(k x - ti) t )
tp1 = - a( ^ cosh k ( z - h^) + jj- s inh k ( z - h ) ) s i n ( k x - ui t )
* 2 b o)
k
cosh k ( z - h„)
s inh k h„ s i n ( k x - eu t )
b = afcosh k h - %—T s inh k h )
(4.44)
(4 .45)
(4 .46)
(4 .47)
(4 .48)
(4.49)
Kender v i o v e r f l a d e f o r s t y r r e l s e n d . v . s . a, k og CD, e r h e l e 2 - lags modellens b e
vægelsesmønster f a s t l a g t f o r e t g ive t pararaetersæt p , p , h . , h „ .
Hvis h^ og h_ begge e r s t o r e b l i v e r (4 .44) approximative
4 2 2 2 tu (p^j + p2) - 2 CD g k p2 + (p - p ) g k = 0 (4.5O)
137
fordi coth k h , ~ coth k h_ ~ 1, Løsningen til (4.50) bliver
2 gk^2±Pj) (A _ æ = (4.51)
P2 + P1
vælges plus-tegnet b l ive r
æ2 = g k (4.52)
hvorved (4.49) medfører
b = e~k h1 a ~ 0 (4-53)
Overfladebølgen og den interne bølge er i fase, mens den interne bølge
amplitude dæmpes exponentielt med skil lefladens dybde. De 2 potent i al funkt ioner
tp og ep kan i dette t i l fælde skrives som
tp1 = -^f e k ( 2 " V süi(k x - w t ) (4.54)
cp2 = - ^ e k t 2 - h l ) s i n ( k x - ü ) t ) (4.55)
(4.54) og (4.55) v i se r , at for en dybt beliggende skilleflade v i l t i l s t e d e
værelsen af en diskontinuitet i massefylden ikke påvirke bølgeforstyrrelserne
i nærheden af ski l lef laden.
Vælges derimod minus-tegnet i (4.51) fås
2 Po - P
Svingningstiden b l ive r for dette t i l fælde meget s tørre end for (4.52). Vi f in
der på samme måde som t id l ige re at
b = ^ e k h1 - a (4.57) P 2 - P-i
hvorved b 5€> a. Desuden v iser (4.57) at a og b har modsat fortegn d .v . s . over
fladebølgen er faseforskudt 180 fra den interne bølge. De 2 potent i al funkt io
ner tp og ep« kan vises at blive
», = — - £-£ e"k 2 sin(k x - u> t ) (4.58)
138
'2 " - T^T; Vek z Bi*(k x -• *> (4-59)
P o te n t i a l f unk t i onen ep a f t a g e r , n å r a fs tanden t i l de t f r i vandspej l a f
t a g e r , så ledes a t i nærheden af d e t t e e r f o r s t y r r e l s e n f r a den i n t e r n e bø lge
n e g l i g i b e l . På t i l s v a r e n d e måde a f t a g e r ep med dybden under s k i l l e f l a d e n f o r
a t b l i v e l i g med nu l på s t o r e dybder. Ydermere h a r ep og tpp modsat f o r t e g n .
Derved b l i v e r v e r t i k a l h a s t i g h e d e r n e på hver s i de af s k i l l e f l a d e n l i g e s t o r e ,
hvorimod h o r i s o n t a l h a s t i g h e d e r n e b l i v e r modsat r e t t e d e . Det g i v e r an ledning
t i l s t o r e h a s t i g h e d s g r a d i e n t e r hen over s k i l l e f l a d e n , h v i l k e t e r t e o r e t i s k
mul ig t , f o rd i v i h a r f o r u d s a t en i d e a l væske, I r e a l e væsker kan v i ikke have
modsat r e t t e d e strømme ved s k i l l e f l a d e n , s e l v om v i dog også h e r f i n d e r s t o r e
has t ighedsændr inger omkring s k i l l e f l a d e n .
T i l s i d s t an tages k h £ s t o r og k h l i l l e . Med d i s s e b e t i n g e l s e r b l i v e r
S t o k e ' s l i g n i n g :
oo ( p 2 coth k h . + p . ) - i u g k p«(l + coth k h ) +
+ (p 2 - Pi) S* fc2 - ° (4.60)
Som f ø r kan v i angive 2 l ø s n i n g e r t i l ( 4 . 6 0 ) . Den f ø r s t e af d i s s e g i v e r
2 u> = g k ( 4 . 6 1 )
—k h b = (oosh k h - s inh k h ) a « e 2 * a ( 4 . 6 2 )
*1 = *2 = - " e * ( Z " h l ) B i n ( k X - » *) < 4 * 6 3 )
Her e r overf ladebølgen og den i n t e r n e bølge i fase og p o t e n t i a l e t e r en kon
t i n u e r t funkt ion ved s k i l l e f l a d e n , da ep. = ep,,. '
Vælger v i den anden l ø s n i n g t i l (4 .60) haves :
« • g k q t o o t h k h 1 + P l ( 4 . 64 )
9 i = b ( P 2 p
1 e~k h l ) (* cosh k ( Z - h n ) +
+ Î (pg ooth2k h l1 + P1) s i r ü l k ( z - V > (4.65)
( p 2 ~.-Pi) S c ° s h k(z + h 2 ) ep0 = - b """Tu" i—v , ' . ',—r s infk x - LU t ) ( 4 . 66 ) T2 p coth k h . + p s inh k h_ x ' \i-wj
139
b = - L Ü - ek h i . a (4.6?)
P 2 - Pi
Her e r overfladebølgen og den interne bølge i modfase, potentialet er en
diskontinuert funktion nærved skillefladen og endelig er b » a.
Til s idst v i l vi søge at beskrive interne bølger under mere generaliserede
forhold. Vi v i l antage, at massefylden p var ierer med dybden samt at den interne
bølges svingningstid b l iver sammenlignelig med inerti-perioden, hvorved bet ing
elsen i (4.1) bortfalder . Vi v i l som t id l ige re kun betragte de l ineariserede
bevægelsesligninger for en ideal væske.
En vandmasse med konstant s a l i n i t e t og entropi antages at være i hvile i
forhold t i l jorden. Derved b l iver vandmassens temperatur og dermed den poten
t i e l l e massefylde konstant. For dette t i lfælde få r vi
bp a r + pr * - ° <4-68)
hvor index r henviser til den i ro værende, ideale og isentropiske vandmasse.
For en sådan gælder
dpr = h2 dpr ' (4.69)
—1 hvor h ~ 1500 m sek er lydens hastighed i havvand. Integreres (4.69) får vi
ved at benytte (4-68)
p„(*) « P0 «P(- g I ^f) (4.70) Jo h o
Virkelige vandmasser er ikke isentropiske, idet entropien af en væskedel
varierer som følge af molekylær diffusion og strålingsprocesser ved havover
fladen. Ser vi imidlertid bort fra disse effekter, bliver kontinuitetsligningen
.%..„ v ^ . - i j g - £ g « , (4.71) dt h * or h*
fordi den hydrostatiske approximation
d p ~ - p g dz (4.72)
gælder med god nøjagtighed i havet.
Leddet
£~f w « 1 d .v . s . (4.71) b l iver li
140
§E + | Z + ^ = o b x b y bz
(4.73)
Heraf følger
d t b t bz (4.74)
Heri l igger natur l igvis at p = p(z, t ) .
Sidste led i henholdsvis (4-71 ) og (4.73) varderes mod hinanden :
/ — * P S, w / £H ~ Ci In.. 2, hvor Z er en karakter i s t i sk dybdeskala i meter. h 2 / b Z
Ö W n o» w
For kystnære farvande b l iver r~ » -tL-|— .
Det e r en erfaring at overalt i havet er
dette på (4«70) sammen med Z ~ 100 m fås
P - P, « 1 d . v . s . p ~ p . Benyttes
p ~ p ' ^ p ' N / < p > = p„, K r — o — r — m (4.75)
- se nedenstående hjælpefigur :
^ z=0
~
z = -h_
k± z=T|
p (z )
wiïrmmïïïmmïïfïïiïïïïïïmmm/
Vor l inear iserede bevægelsesligning lyder
bv „ -> -» 1 „ -» r r + 2 ( M X V = - - V p + g b t p
(4.76)
- V p w - 7 p på grund af (4.75). P " Pm
Heraf kan v i opnå de 2 horisontale bevægelsesligninger
141
bt p bx \4"((J m
hvor Co r i o l i s - a c c e l e r a t ionen e r approximeret på sædvanlig v i s og i ø v r i g t a n t a g
e t k o n s t a n t . Vi b e t r a g t e r nu den v e r t i k a l e bevægelses l ign ing : Den r e s u l t e r e n d e
k r a f t på en væskedel e r omt ren t l i g l i g med
dw bw hw / d t A V*pm - b t A Y"pm ' A Y*pm b t = 0 P d r i f t m i n u s tyngdekraf t (4-79)
hvor o p d r i f t e n ' - ' - T - t û z A A = - v A V bz bz
og tyngdekraf ten = g AV*p. (4 .79) kan h e r e f t e r s k r i v e s som
b t pm bz pm g t 4 * 0 0 '
rm rm
De ligninger, vi skal benytte i det følgende, er (4.73), (4.74), (4.77), (4.78)
og (4.80) d.v.s. 5 ligninger med de 5 ubekendte u, v, w, p og p. Vi bemærker,
at ved fra starten at antage en inkompreBsibel væske kunne (4.73) og (4.74)
nedskrives direkte.
Kombination af (4-77) og (4.78) giver
(SL. + f2 ) u = _ 1_ öliL _ £ ö£ , 8 , \ +2 + ; U pm b x b t pm by t 4 ' 0 1 ^
o t rm rm
b t 2 P m ö y ö t P i n b x ^ '
( 4 .81 ) og (4 .82) d i f f e r e n t i e r e s henho ldsv i s med hensyn t i l x og y , h v o r e f t e r
de adderes
( Ê L + f 2 ) (ÖE + Ê2) = _ 1 v 2 &• (A 83) \ . 2 J ^bx b y ' p H b t U . 0 3 ; b t rm
Da r— + r— = - r— kan (4*83) reduceres t i l bx by bz
( ö L + f 2 ) & = I ? 2 b £ . , g , ^ ö t 2 ; bz tø H b t (.4.Ö4J
hvor V H = t *^ + j r- . Benytter vi (4.8O). og (4-74) bliver
142
<êl + *** - - i fe (4.85) o t Hm
hvor
2 s bz F = - (4.86)
e r kvad ra t e t på den s åka ld t e Brunt - Vais "ål ä f rekvens , d e r ud t rykke r , hvor s t a
b i l l agde l ingen e r .
Fra (4 .84 ) og ( 4 . 8 5 )
2 2 ? ( ™ 2 + f } 72 + (-2 + * ) VH W * ° (4 .8? ) o t öz Ot
Vore g rænsebe t i nge l s e r e r følgende :
p = 0 f o r z = Ti(x, y , t ) ( 4 > 8 8 )
Ti ang iver amplituden på f o r s t y r r e l s e n ved det f r i vandspe j l , som antages a t have
sådanne dimensioner, a t k a p i l l a r - e f f e k t e r kan i g n o r e r e s .
w = 0 f o r z = ~ h (4.89)
(4*88) kan også s k r i v e s som
, ( , . 0 ) ^ , . . ( 4 . 9 0 )
e l l e r
V H b t " g P mV | W = ° (4.91)
fordi w ^ H + u g + v ^ ^ l l . Benytter vi (4.84) på (4-91) bliver vor ende
lige grænsebetingelse i overfladen
2 ( r r 2 + f 2 ) o 7 - g v l w s 0 f o r z = ° (4 .92) ot
Vi søger efter bølgeløsninger, d.v.s. funktioner med en periodisk tidsafhængig
hed af formen F(k • r - æ t) hvor
2 b F 2 —£+<*> F - O (4.93)
143
således at
v2 2 ~~2 " " bt
(4-94)
(4.94) indsættes i (4.87)
^-|-4^4^w=0 C4.95) bz u) - f
Vore tidligere grænsebetingelser bliver samlet :
|f + - £ * - £ v| w• - 0 for * = 0 (4.96)
w = 0 for 2 = - h (4.97)
Vi antager, at w kan separeres
w = W(x, y, tH(z) (4-98)
(4.98) giver 'inasat i (4-95) t i l (4.97) at
2 2 * " + K "J" * = 0 (4-99)
v
^ = 0 for 2 - - h (4.IOO)
ft - £ - f « o for z « 0 (4.101) v
Funktionen W(x, y, t ) i (4*98) angiver variationen i horisontale retninger.
Den må være løsning t i l
2 2 vi: w + w ~ f w » o (4.102)
h v ^
Antager v i nu en plan harmonisk bølge som løsning t i l (4« 102), har v i O O O O O
V„ = - k analogt t i l b / b t = - tu og dermed
k 2 = i £ z j f (4<103) v
Vi skal bestemme parameteren v, hvilket kan gøres ved at benytte grænsebeting
elserne. For enkelheds skyld sættes H" lig med en konstant og vi løser (4*99)
hvorved
144
ty = A s i n H ( Z + h) (4 .104)
2 2 2 IT — u>
hvor K = • — . Grænse"betingeisen w = 0 f o r z ~ - h e r opfyldt i (4 .104) , v
(4 .101) g ive r anvendt på (4 .104)
H cos K h - £ * s i n n h = 0 (4.105) 2 v
h v i l k e t medfører
2 2
tg K h . n S_=_g_ (4.106)
2 - 5 - 2 I havet e r gennemsnitsværdien fo r E" omkring 10 sek . Hvis v i kræver,
2 2 at N - u> > 0, ska l v i indskrænke os t i l a t behandle bø lge r med pe r iode r over
ca. -g t i m e . Vindfrembragte b ø l g e r e r deraied udelukket i denne sammenhæng. For
d i s se b ø l g e r gælder i ø v r i g t , a t C o r i o l i s - a c c e l e r a t i o n e n kan igno re re s - . se- af
s n i t 2 . 4 .
(4 . IO6) l ø s e s g r a f i s k . For r e a l i s t i s k e værdier af h , N, w v i l hø j r e l edde t
i ( 4 .106) l i g g e meget tæ t på n h -aksen . Det f ø r s t e skæringspunkt i n d t r æ f f e r f o r
K h « 1, så b e n y t t e r v i en f ø r s t e - o r d e n s approximation f o r t g H h f å s
K h - y h S
2 (4.IO7)
De e f te r fø lgende skæringspunkter l i g g e r a l l e meget tæt på K h-aksen s å
ledes a t (4.106) approximative kan sk r ives
t g H h « 0 (4.IO8)
hvorved
n h = n i t i n = 1, 2 , 3 r . . . (4.109)
Vi h a r i det foregående kun b e t r a g t e t én l ø s n i n g t i l (4«99)j roen v i kan angive
uende l ig mange l ø s n i n g e r , der både t i l f r e d s s t i l l e r (4-99) samt de t i l h ø r e n d e
g rænsebe t inge l se r . Disse l ø s n i n g e r ka ldes egenfunkt ioner og t i l hver egen-
funkt ion e r en parameter v n t i l k n y t t e t . Den fuldstændige l ø sn ing t i l (4 .95)
skal d e r f o r indeholde en sum af de ovennævnte egenfunkt ioner , d . v . s .
æ
w = S W (x , y , t ) + (a ) (4.110) n=o
% = A o ( z + h>
v o = g h
\|r ' s s t ø r s t e v æ r d i f indes f ø l g e l i g i over f laden .
i|f = A s i n n % Tn n ( z + h)
145
(4-111)
(4.112)
(4 .113) *T2 2 2 Is - tu
V — / n TC\2
iji • s s t ø r s t e v æ r d i optræder i i n t e r v a l l e t
h < z < 0 f o r a l l e n > 1.
Fedenfor e r de 3 f ø r s t e egenfunkt ioner i|i , ty og i|i s k i t s e r e t ,
(4.114)
2=0*
z= -il* 777777 iinunininuiuiiiMniiiiiimnniiiiiNtiwmiwwminmiw}}
Vi an tager h e r e f t e r en p l an bø lge løsn ing f o r (4 .102) så (4.110) b l i v e r
00
w " S An ^ 1 ^ c o s ( k1 n
x + k2 n y " w "^ (4.115)
n=o
hvor de 2 h o r i s o n t a l e b ø l g e t a l
1 2 , ! 2
1,n 2,n
2 _2 ü) - f
(4 .116)
146
Vi kan vælge a t beskr ive (4-115) ved hjælp af det v e k t o r i e l l e b ø l g e t a l k e l l e r ,
hvad der pr:
(4 .116) t i l
hvad der p r i n c i p i e l t e r det samme, sæt te k~ = 0 . Herved reduce res (4 .115) °g
w = S An *n^z^ c o s ( kn * - o> t ) (4 .117)
n=o
v n
Den h o r i s o n t a l e plane bølges f a s e h a s t i g h e d e r b l i v e r
tu \ / 2 ^2 cf,n = k " V ^ + — (4.119)
' n V k n
De t i l h ø r e n d e l ø s n i n g e r f o r p , u og v kan f indes af ( 4 . 8 4 ) , (4.B1) og
(4 .82 ) 2
1 æ V
^ . P = 2 A 4 ' ( z ) ( - - 2 - ) s in (k 1 - B, t ) (4 .120)
<» v u = - z K ^ ( 2 ) , s in(k^ x - æ t ) (4-121) n T n x ' f—r—•
n=o v/ 2 f2
f • v v « S An ^ ( z ) * cosfk^ x - ti) t ) (4 .122)
\pTT7. Hvis v i k v a d r e r e r (4 .121) og (4.122) adderer og omordner d i s s e l i g n i n g e r haves
2
i i 2 + ( £ - ) v 2 = A2 ( V ) 2 0
V n 0 (4 .123)
n x f ' n n w n y 2 _2 v ' ID - f
som v i s e r a t ha s t i ghedsvek to re rne v.- a l l e b e s k r i v e r e l l i p s e r i h o r i s o n t a l -i i , n
planen . Hvis u) > f v i l s t o r - a k s e n gå i den h o r i s o n t a l e bø lges f o r p l a n t n i n g s -
r e t n i n g .
H7
4.2 Interne bølgers i n s t a b i l i t e t .
Yi v i l for enkeltheds skyld kun undersøge betingelsen for i n s t a b i l i t e t for
en intern tyngdebølge i den ver t ikale xz-plan. Vi antager en to- lags model, hvor
de 2 vandmasser strømmer med de horisontale konstante grundhastigheder U. og U~.
Denne grundtilstand superponeres med en infinitesimal harmonisk bølge på s k i l
lefladen, der forplanter sig i x-aksens retning. Idet vi antager t i ls tedeværel-
sen af et hastighedspotential, b l ive r pertubationshastigheden v = - Vto. hvor
k = 1 e l l e r k = 2 givet udfra, om vi bet ragter henholdsvis øvre e l l e r nedre lag .
Den to t a l e hastighed v. b l iver følgel ig
t - t u . - T \ k = 1 , 2 (4.124)
Det er i følge afsnit 4.1 na tu r l ig t at sætte
V s i (k x - U3 t ) z) e ^ (4.125)
Denne skrivemåde giver store udledningsmæssige fordele fremfor en benyttelse af
den ree l le form ca = A, cos(k x - u) t ) . Vores koordinatsystems x-akse lægges
i den uforstyrrede ski l lef lade - se nedenstående hjælpefigur :
z /fc
z = h.
z=0
'* » (1)
( 2 )
z = — h.
Bevægelsesligningen for det pertuberede t i lfælde b l iver med sædvanlige
bø1ge approximat ioner
A dt
- - - vpj^ - Vg z Pk
(4.126)
14ß
hvor
är- — + ^ \ + \ ^ \ -tr-\tr (4.127)
fordi U k » | vk|. (4.126) kan ved benyttelse af (4.124) og (4.12?) skrives som
Pk % t + Uk & % - pk - Pk e z = ^ ^ t ^ (4.128)
Pra kontinuitetsligningen V • 1?, = 0 får vi V • v, = 0 og dermed
2 2 Ö ^ *> \ — 2 - + — g - - o (4.129) öx Öz
Indsættes (4*125) i (4.129) fås
d \ 2 —T"k \ = ° (4.130) dz
der har den generelle løsning
\ - \ ° * * + \°~k* - (4.131)
»k - - £ r - * C \ ** ' - Ofc *> ° i ( k " - " *> (4.132)
Ved de faste rande er w. = 0 d .v . s . w, = 0 for z = H. , hvor IL = h. og
H2 = - hg. Anvendes disse bet ingelser for w, på (4.132) fås
^ e k \ = Ck e"k Hk = j £ hvorved
Aj. = HL, cosh k(z - ILj (4.133)
På skil lefladen 2 = T| anvendes den dynamiske betingelse p. = p . Herved b l iver (4.128) for z = TI :
P2 ( ! t + U2 bx> ^ - P2.S TI - P^St + ^ {L) 9 1 - P1 g T, (4.134)
Yi indfører nu q> og tp f ra (4-125) og (4.133) i (4.134). Desuden indsættes ifk x' — tu t ) •11 - \ e og fasehastigheden c f = u>/k i (4.134). Efter en del ud
regninger kan (4.134) skrives som
149
( p 2 - p.,) § \ - i P1 M 1 (c f - 1^) cosh k h 1 +
+ i p 2 M 2 (c f - U2) cosh k h 2 - 0 (4.135)
Vi h a r h e r b e n y t t e t a t cosh k(l] - H.) ~ c ° s h k IL .
Den kinematiske grænsebe t inge lse
wk"tt + U kS! f o r 2 = T]~0 (4.136)
g i v e r 2 l i g n i n g e r
i ( c f - U^T^ + M., s inh k h 1 = 0 (4-137)
i ( c f - U2)T^ - M2 s inh k h 2 = 0 (4-138)
(4 .135 ) , (4-137) og (4-138) udgør e t homogent l ign ingssys tem med de 3 ubekendte
TI » M og M„. Systemets determinant l i g med nu l g i v e r b e t i n g e l s e n f o r l ø s n i n g .
E f t e r en rum t i d f i n d e r v i
PlßlU1 + P2ß2U2± V Ê W l + PS^XPZ-PIW^VV 2
f A ^ c f (4 .139)
p1 P1 + p2 ß2
hvor ß S coth £ k h . ) og ß 2 = c o t h { k h„J ,
Hvis radikanden i (4-139) e r p o s i t i v b l i v e r fasehas t igheden c_ r e e l - og
r e a l d e l e n af de søgte l ø s n i n g e r b l i v e r f . e k s . T| = TI cos(k x - u> t ) ; s k i l l e
f laden v i l da svinge med kons t an t ampl i tude . E r radikanden derimod n e g a t i v ,
b l i v e r c - komplex d . v . s . c_ = c + i c . Herved f i n d e s
TI = T^ e k C i cos k ( x - c r t ) (4-140)
Svingningens amplitude givet i (4«14o) vil altså vokse eksponentielt med tiden,
hvorved vi får instabilitet. Betingelsen for instabilitet bliver følgelig :
9 p1 ß- + pP ß?
(°2-°l) 2> P l p 2 ß l p ' f ( ^ - ^ 1 ) (4.141)
Instabilitet kan vi opnå ved store hastighedsforskelle og/eller ved små for
skelle i massefylden. Store bølgetal k eller små bølgelængder favoriserer in
stabiliteten.
150
(4.141) kan også skrives som
„ h tghlçh h tgh k h
Funktionen -*--— er monotont aftagende når x > 0 og den har sin største værdi
lig med 1 for x = 0. Hvis derfor den statiske stabilitet er så lille at
(U - U ) 2 > ( — + -p ) g(p 2- p j (4.143) ^ • P1 ^2
vil uligheden (4.142) være opfyldt for a l le værdier af k, hvorfor a l le bølger
vi l vokse. Hvis k e r s tor (-» ») v i l uligheden (4.142) a l t i d være opfyldt uaf
hængig af forskellen i massefylder, når blot U / U?. D.v.s. for en klasse af
bølger hvor k > k , har vi a l t i d i n s t a b i l i t e t ; k er et k r i t i s k bølgetal , som
adski l ler de bølger, der leder t i l i n s t a b i l i t e t , fra de, som ikke gør det. An
tager vi at k » l/H, d .v . s . tgh H, k ~ 1 giver (4".142)
P-,/p2 ( U 2 " V 2
i - i p / p g )
hvor k = 2rcA
Uår det blæser over ét hav, har v i netop et system af to væsker med for
skell ige massefylder og hastigheder. Bet er derfor nærliggende at antage, at
havbølger opstår som følge af i n s t a b i l i t e t . I så fald skulle \ være den længste
bølgelængde, der kan dannes. Yi indsætter U_ = 0, p? = 1 g/cm , p ~ 1,2*10 g /
og få r følgende sammenhæng mellem \ og U (vindhastigheden) ;
U1 1 5 10 15 20 m sek . - 1
Xc 0,08 2 8 18 32 cm
Efter dette skulle selv en s t i v kuling ikke kunne fremkalde længere bølger
end 32 cm, medens de i vore farvande forekommende er 2 størrelsesordener s tø r re .
Vi må derfor konkludere, at vinddrevne bølger ikke skyldes i n s t a b i l i t e t men
andre og mere komplekse mekanismer, hvor luftbevægelsens turbulente natur s p i l
l e r en væsentlig r o l l e . Mekanismerne kan endnu ikke siges at være klar lagt i
de ta l je r .
cm"
151
Kapitel 5
Skagerrak
5.1 Skage rrakh vi rvl en.
I Skagerrak kan vi gennem strømmålinger observere en cyklonisk bevægelse,
der har et strømmønster som angivet i Fig. 70.
Fig* 70. Strømkort over Kattegat og Skagerrak.
Undersøger vi isotermernes vertikale fordeling i tværsnittet mellem Jylland og
Sydnorge som vist i Fig. 71* ser vi at disse hvælver sig op i midten af ver
tikalsnittet. Det bemærkes i tilgift at det dybere liggende vand er koldt og
næsten isotermt. Her haves det oceaniske vand fra Atlanterhavet. Overgangen
mellem dette vand og de øvre kystvandmasser er forholdsvis brat. Vi vil i prak
sis kunne regne med at have en to-lags model, fordi det i høj grad er tempera
turen, der bestemmer massefylden p. Fig. 73 viser koncentrationen af det sus-
152
pende rede materiale. De Btørste partikelkoncentrat ioner haves midtvejs mellem
Jylland og Sydnorge, Partikelkoncentrationen udviser med andre ord analoge træk
til temperaturfordelingen. Man kan herefter stille spørgsmålet, om hvilke kræf
ter der kan være ansvarlige for den ret permanente Skagerrakhvirvel.
Jutland Norway -79 71 77 76 7$ 71 73 72 77
•Pig. 71- Den ver t ika le temperaturfordeling i Skagerrak i det område hvor cyklonisk bevægelse træffes. Snittes placering er v i s t på den l i l l e underfigur, som desuden demonstrerer strømfeltet i området.
Vi v i l i det følgende ops t i l l e teorien for en rotationBsymmetrisk s t a
tionær hvirvel i et hav med 2 homogene vandmasser. Disse har de konstante
massefylder p og p ? og tænkes adskil t af en f lade, hvorved springlaget b l iver
uendelig tyndt. Vi antager hydrostatisk ligevægt,' ignorerer tidevandskræfter,
fordi tidevandet s p i l l e r en ringe rol le hér og ser bort f ra gnidning. Bevægel
sesligningerne for hver af de 2 homogene vandmasser lyder med disse antagelser
i kartesiske koordinater :
tu bu -bx ty
bv b v j> u ^ - + v^— + f u
bx by
* p bz
Hvirvelfænomener lader sig fordelagt ig beskrive i cylinder-koordinater ( r , 8 , z ) ,
hvor z-aksen sammenfalder med z—aksen i det kartesiske koordinatsystem. Herved
b l i ve r
1 Ö£ p bx
P öy
(5.1)
(5.2)
(5.3)
153
x = r cos 8, y = r s i n 6 og z = z
Koord ina t t r ans fo rma t ione r e r besk reve t i Appendix, a f s n i t 8.5 og v i l af samme
grund b l i v e f o r b i g å e t h é r . ( 5 . 1 ) og (5*2) b l i v e r i cy l i nde rkoo rd ina t e r 2
oc oc cD . x
C r b r + Ce r 06 r X °6 p b r ° ' 4 ;
bcQ bc c c . x
c _ e + c . < L + _L^- + f c --1SL (5.5) r br 6 r bQ r r p r b6 v '
hvor c « dr/dt og c = r d©/dt. Da vi har antaget en rotations symmetrisk hvirvel haves
^ ë - o . ^ . o o e ^ - o (5.6)
Kontinuitetsligningen for konstant massefylde lyder i cylinderkoordinater når
(5.6) benyttes
-~£ + l c =0 (5.7) br r r w •/
Løsningerne t i l (5*7) e r
( 5 . 8 )
LøBningen c = l/r forekommer urealistisk, så vi vælger istedet c^ = 0. Derved
bliver (5'5)
bliver (5»4)
bliver (5'5) automatisk opfyldt. Udelader vi herefter index d.v.s. c - o 9
f c + ° 2= l | £ ( 5 . Q )
r p b r w yj
F ø r s t e l e d e r som sædvanlig co r io l i s—acce le ra t ionen medens andet l e d e r c e n t r i -
fuga l - acce l e r a t ionen . En s k a l a - a n a l y s e mellem d i s s e 2 l e d v i s e r
f e / ( o 2 / r ) ~ 10~ 4 r / c (5 .10)
Den k a r a k t e r i s t i s k e længde f o r r ~ 50 km i fø lge F i g . 71 j medens den k a r a k t e -
r i s t i s k e h a s t i g h e d f o r c l i g g e r omkring 50 cm sek . , Forholdet mellem Cor io-
1 i s - a c c e l e r a t i o n og c e n t r i f u g a l - a c c e l e r a t i o n h a r s t ø r r e l s e s o r d e n e n 10 e l l e r
154
noget derunder. Det er altså helt "berettiget at tage hensyn til centrifugal
kraften i dette tilfælde.
Vi vil nu løse (5.9) sammen med (5>3). Hertil benyttes samme teknik som
ved udi edelsen af Margules ligning - se afsnit 3*2.
dp = 0 på skillefladen mellem de 2 vandmasser (5-11). Dette er den dyna
miske grænsebetingelse. (5.11) kan skrives ud på en mere anvendelig måde :
2 dp = -g dr + gg d9 + |£ dz - p(f c + | )dr - p g dz = 0 (5.12)
gennem benyttelse af (5*3) og (5*9)•
Den fri vandoverflades hældning gives ved udtrykket
f — j s tg ß = — c + xdr'p=o & K g r g
r -» æ medfører tg ß = — c , hvilket netop er (3.50
Tilsvarende finder vi for skillefladens hældning
t g Y = - : ; — (5.13) (SE) _ (AE)
Indsætter vi (5-12) eller (5.3) og (5.9) i (5.13) fås
f ( P2 °2 - P1 °1 , 1 f °2 C2 - P1 A , t g y ~ g { p 2 - P l
J + r g < o 2 _ P l ) (5.14)
Vinklerne ß og y er vist på Fig. 72.
Hvis r -»• c» fås
t s Y • 5 ( P 2 - P 1 5 (5-15)
hvilket netop er (3.57)
155
c i b ®
Pig. 72. Isobarfladernes forløb for to homogene vandmasser på nordlig halvkugle, for hvilke det gælder, at den øverste roterer hurtigere end den nederste. a)Anti-cyklonisk ro tat ion , b)Cyklonisk rotat ion. Den punkterede l i n i e viser sk i l l e l in ien mellem de to vandmasser ( springlag/front),
5.2. Pa r t ike l - og fluorésoensmâlinger.
De optiske målinger præsenteret i Fig. 73 - 75 blev udført under stærk
østenvind, d . v . s . de omtrentlige overfladestrømforhold var som vis t i Fig. 10.
Vi se r da også på Fig. 74, hvorledes par t ike l r ig t kystvand presses norden om
Skagen ind i Skagerrak. Desuden bemærker vi den tunge af par t ike l fa t t ig t Nord
søvand ("continental coastal" - se Fig. 13) som trænger nordøst - og nord
over. På Fig. 7 3 - 7 5 bemærker vi i samtlige t i l fælde par t ike l r ig t og stærkt
fluorescerende vand nær den norske kyst . Dette er en god indikation på Den
norske Kyststrøm, der er karakteriseret ved et forholdsvis lavt s a l i n i t e t s -
indhold ~ 30 /oo samt et s to r t indhold af gulstof og suspenderet materiale.
Dette skyldes, at vandet i kyststrømmen oprindelig kommer fra Østersøen, som
siden e r blevet opblandet med Kattegat- og Skagerrakvand. Kyst strømmen kan spo
res h e l t op t i l Lofoten ved hjælp af TS-diagrammer og muligvis også med optiske
metoder, der minder om de førstnævnte.
Fig. 75 v iser i so l in ie r for vandets fluorésceringsevne efter belysning
med u l t r av io l e t l y s . Da målingerne er foretaget på 100 m dybde, er den jyske
kys t l in ie rykket be t ragte l ig t mod nord. Figuren v iser tydeligt en tunge af
f luorescensfat t igt vand, som trænger dybt ind i Skagerrak gennem Den norske
Rende. Dette vand er af a t lant isk (oceanisk) oprindelse.
Pa r t ike l - og fluorescensmålingerne blev udført med en såkaldt Tyndali-
måler. Denne bes tår af et lampehus og et linsesystem, som sikrer en kollimeret
156
J*V\
7
\s
^
4>
\. \v\ 1 \ A '
0 c
N
^Zu?
?/ y / /"/
X i / \ få \ \m K'//J7 /
X -V '•r^-'"J^ff///
rt^m/m
wåW\ ' - 1 \
) ilrÆ 1 / / fif /fa < 5 0 tWl«T* /
/ZrK s\
V ^ Ql-ÎS.ISO ^7Jl».ÎOO
Fig. 73. Partikelkoncentrationens fordeling på 50 m dybde.
^3 v ^
^ ^
%
v
^
/ H '<A 7'%
VA '/: 'h
/ / A
^
' / / y
/ /
/^V ' / />
//>
V72è /_ZLÜ.
a
• • I . M - 1 - Ï S I I m-i.M)
• iso-i.is F771 'w -Î00 I >ÎO0
Fig, 74. Partikelkoncentrationens fordeling på 10 m dybde.
157
Fig. 75. Koncentrationen af na tur l ig t f luorescerende opløste s toffer på 100 m dybde.
s t r å l e , der sendes ind i et kammer, hvor vandprøven befinder sig.-Vi måler l y s
spredningen i 45 væk fra den indkommende s t r å l e . Dette kan gøres i f lere far
ver. Fluorescensen måles t i lsvarende, dog således at vi ved lampehuset har et
u l t rav io le t farvef i l ter , medens modtagersiden har et grønt fa rvef i l t e r . Det må
således konkluderes, at optiske målinger er særdeles nyttige for studium af
forskellige vandmassers udbredelsesmønster.
158
Kapitel 6
Nordsøen
6.1. Tidevand.
Det vil være rimeligt at omtale tidevand i forbindelse med Nordsøen, thi
kun hér finder vi tidevand af betydning i vort system Østersøen - Nordsøen.
Tidevandsamplituden er størst ved Englands østkyst samt i den sydlige del af
Nordsøen ved Belgiens kyst. Springflod indtræffer, hvis de tidevandsproduceren
de kræfter virker optimalt, d.v.s. når sol, jord og måne befinder sig på linie.
Pig. 76. Forskellen mellem højvande og lavvande under springflod. De største tidevandsvariationer findes langs Englands sydøstkyst.
Dette indebærer, at månen og solen kan være på s amme side af jorden såvel som
på hver sin side af denne.
Høj- og lavvande i Nordsøen forekommer 2 gange daglig. Det er det halv
daglige månetidevand M„, som er dominerende. Vi bemærker, hvorledes f.eks,
højvande indtræffer på forskellige tidspunkter afhængig af stedet. Tidspunktet
fra månens meridian-passage ved Greenwich til tidspunktet for højvande kan ikke
redegøre for tidsforskellene i højvande fra sted til sted. Faseforskydningen
for højvandes indtræf fen er med andre ord ikke alene astronomisk bestemt. Vi
vil i det følgende søge at forklare ovennævnte observationer. Hertil udledes
159
først tidevandspotentialet for to-legeme problemet jord - måne. Dette potentiale
kan uden videre general iseres t i l også at gælde for jord - sol systemet.
Pig. 77« Kortet v iser , hvor mange t i mer der forløber f ra månens kulmination i Greenwich (London) t i l højvandes indtræden i forskell ige områder af Nordsøen.
Tidevandspotentialet som følge af månen og solen b l iver
ep - cp(måne) + cp(sol) (6.1)
og de resulterende tidevandskræfter kan på sædvanlig måde findes fra
k = v ep (6.2)
Forholdet mellem de tidevandsproducerende kræfter hidhørende f rà henholdsvis
måne og sol er 9:4 i t i l fælde af springflod. Vi v i l indledningsvis betragte jord - måne systemet sk i t sere t på e f t e r
følgende hjslpefigur.
160
f W 2' P V f f f i f * "r W i» Ü" 2" t' i" 8° E HS"
Fig. 78. Tidevand og tidevands strømme i Nordsøen hidrørende f ra det halvdaglige måne-tidevand. A og B v iser i so l in i e r for vandstanden regnet i m for henholdsvis det t i l fælde , hvor månen passerer Greenwich meridianen samt 3 timer 6 min. senere (måne-højvande og måne-lawande). Pilene v iser tidevandsstrømmene. C viser i s o l i n i e r for den to ta le variat ion i tidevand regnet i m (s t iplede l i n i e r ) samt fuldt optrukne i so l in i e r , som angiver det tidspunkt i timer, f ra månen passerer ved Greenwich meridianen, t i l højvande indtræffer. D viser de såkaldte t i -devandsellipser, hvis s to r - og l i l l eakse giver henholdsvis den maximale og minimale tidevandsstrømvektor.
161
OA = r = afstanden mellem de to himmellegemers tyngde punkter.
OP = R = jordens radiusj FA = r = afstanden mellem det betragtede punkt på
jordoverfladen og månens tyngdepunkt; månens masse = M, jordens masse = J.
Gravitationskonstanten benævnes y.
Vi betragter en massedel ved P. Fra vore bevægelsesligninger ved vi fra
tidligere, at naturkræfter virkende på partiklen var af typen Ï
Jordens tiltrækning, trykkræfter, gnidningskræfter o.s.v. Som følge af jordens
rotation måtte vi for en beskrivelse af partiklens bevægelse i vort jordkoordi
natsystem endvidere indføre fiktive kræfter som centrifugalkraft og Coriolis-
kraft. De tidevandsfremkaidende kræfter bliver nu desuden medtaget :
Månen påvirker jorden med tiltrækningskraften y-M/r , d.v.s. jordens tyngde
punkt samt dermed alle punkter på jordens accelereres mod månen med accelera-
tionen y M/r . En fysisk beskrivelse i dette jordkoordinatsystem kan let gen
nemføres ved at betragte jorden som en Einsteinkasse, d.v.s. at vi for alle
punkter på jorden må regne med, at de har en acceleration E = y M /r parallelt
med OA og rettet væk fra månen. Accelerationen = kraften på vor enhedsmasse
ved P bliver som følge af månens tiltrækning F « y M /rn rettet mod månen.
Ved P har vi følgelig en ukompenseret tidevandsf remkai dende kraft. I jordens
162
tyngdepunkt har v i fuldstændig kraftkompensation, d . v . s . kraftsummen af de t i
de vandsf remkai dende kræfter l i g nul . Vi har a l t så
E - * - § (6.3) r
F = 4 (6.4) 1
Den t ide vandsf remkai dende krafts vert ikale komponent bl iver nu
V = F cos 9 - E cos 6 = F ? - BL. (6-5)
og den horisontale komponent
H = E sin 6 - P sin 6. = ÏU - Ffî (6,6)
hvor 6, 6. og E, F findes af den ovenstående f igur .
Cosinusrelationen for en plan trekant giver
r 2 = R2 + r 2 - 2r R cos 6 (6.7)
Figuren giver direkte
r, sin 0. = r sin 1 1
r. cos 8„ = r cos 0 - R 1 1
(6.8)
(6.8) indsættes i (6.4) og vi finder
FY = Y M(r cos 6 - R)(^ ) 3 (6.9)
F = Y M r sin 6 ( - ) 3 (6.10) il ^
Vi approximerer r~ og benytter udtrykket for r . i (6.7)
(£ ) 3 ~(£) 3 0 + f cos e) (6.11)
(6.11) indsættes i (6.9) og (6.10) og v i ignorerer faktoren indeholdende (R/r) ,
F v = ^ (cos 0 + | £ c o s 2 0 - f ) (6.12) r
163
P = :L« (i + i£ cos e) sin e (6.13) H 2 r
r
Vi finder nu Y, H i (6.5) og (6.6) direkte ved at indsætte IL, F„ :
v . i x i ! (ooB2 e i) (6#14)
r 3 3
H = . i l l l s i „ 2 9 (6.15) 2 r J
Disse ligninger kan gøres mere- anvendelige. En enhedsmasse på jordens overflade
er påvirket af tyngdekraften 1-g ~ y —'-= , d .v . s . Y = gfà/j. Dette resu l ta t
"benyttes i de foregående l igninger
V - 3 g (§) - 3 < R >2 (cos2 6 - i ) (6.16) r
H = - | g (§) \'< R > 2 sin 29 (6.17) r
Følgende skal bemærkes :
B (6.18)
1 „ cos 6 - -r see 8
sin 6
, 0 d.v . s . på mellembredder e r V ~ H. For 9 = 54,7 gælder speciel t at V = 0 og
H / 0.
V/g ~ 10*" d .v . s . V kan ignoreres i den ver t ika le bevægelsesligning. Coriol is-
ae'celerationen f u ~ f v d .v . s .
f u / H ~ 1 0 u / 10"" g ^ u o m sek. -1
Heraf ser vi ved at benytte Fig. 78D at Coriolis-accelerationen og den h o r i
sontale tidevandskraft har samme e l l e r en mindre størelsesorden. Vi indfører
nu måne-potentialet cp(måne) ved at gå ud f ra (6 .2 ) , (6.16) og (6.17) og for
udsætter, at dette er l i g med nul i jordens centrum :
cptmåne) = | g ( | ) £ (cos2 6 - 1) . < R > 2 + . . . (6.19) r
„ ocp(måne) „ ocp(måne) hvor V = -ÄJJ i og H - P b e •
Solens potentiale cp(sol) b l ive r he l t analog t i l (6.19) blot med den for
skel at leddet (M/j) udskiftes med ( s / j ) . Vi skal så b lo t huske, at r herefter
164
står for jordens middel afstand fra solen.
Lad os nu antage en fuldstændig vanddækket jord, hvis vandmasse er i
hvile og hvis massefylde er konstant. Vandmassen er i ligevægt under påvirk
ning af de ydre kræfter tyngdekraft og tidevandskraft. Bevægelsesligningen
bliver da
0 = - i v p - VX + V ep (6.20)
hvor tyngdepotentialet X sættes l ig et konstant g multipliceret med z. (6.20)
udtrykker at
- — p - x + tP= konstant (6.21) P
overalt i havet. Antager vi nu, at p er konstant ved havoverfladen z = T] fås
-X + tp = konstant for z = T| (6.22)
X er approximative lig - ^ — + konstant.
a
Sætter vi R = < E > + T|, hvor T] som sædvanlig er det fr i vandspejls afvigelse
fra middel vandstand, bliver (6.23) x - " <R > ^1 " < R > ) + konstant = - ^ R > + g T[ + konstant
(6.22) og (6.23) giver
1 T] = — ep + konstant (6.24)
Middel vandstanden for hele den vanddækkede jord
<T\> ="lf TliA = 0 (6.25)
Denne betingelse medfører at
71 = \åne + \ol = i * = g^"1^0) + <p(wl)) (6.26)
Benyttes (6.19) på (6.26) får vi
TUe - 53,5 (cos2 6 m å n e - I ) - (6.27)
TI-«! = 24»6 ( c o s 2 e g o l - ^ ) cm 'sol
165
(6 .28)
Her e r følgende t a l v æ r d i e r anvendt
y - 0,0123 î § - 3,33 - 10 5
< ***** > = 60 R ; < r . > = 2,35 * 10 4 R mane so l
hvor R = 6,37 • 10 m-
Forholdet mellem solens og månens t idevand b l i v e r 0,46 i fø lge l igevægts teo
r i e n uafhængig af s t e d e t . De t te gælder ikke i v i rke l igheden - se F i g . 79 og
Tahel 5 .
Imminghom; sfmi diu mol tyet
pwwwpilltøw Son Franctst>:mi«d,domrnont « m i diurnal typ«
ft Mani lo : mite d, dominant full diurnal type
yjøt'-'Vøm^tM Do San: ful l diurnal type
2 4 « • _' K> ' e M 16 i« » ! ! ! • « » »
Fig. 79. Tidevand ved Immingham (Østengland), San Fransisco, Manila (Phillipine rhe) og Do San (Vietnam). Tiden i dage for marts 1936 er givet på nederste akse sammen med månens forskellige faser. N viser den maximale nordlige deklination for månen, S den maximale sydlige deklination og Q tidspunktet, hvor månen krydser ækvatorplanen.
166
Tabel 5« Tidevandsampl ituder hidhørende fra måne og sol på fire lokaliteter.
Location
Latitude Longitude Component
Immingham, England 53"38'N O'il'W
Phase Amplitude,
San Francisco, California
37J48'N 122°27'W
Phase Amplitude,
Manila, Philippines I4'36'N I20J57'E
Phase Amplitude,
Do San, Vietnam 2043'N 106 48'E
Phase Amplitude,
A/a
S, A'.. A'o
tf,
o, ^ i
255.55 273.55 245.65 275.55
165.55 145.55 163,55
161" 210'' 14I1
212'
279° 120* 257"
cm
223.2 78.8 44.9 18.3
14.6 16.4 6.4
330" 334* 303* 328°
106° 89°
104*
cm
54.2 12.3 11.5 3.7
37.0 23.0 11.5
305" 338" 291" 325"
320" 279° 3171
cm
20.3 6.8 3.8 2.1
29.7 28.3 9.3
113° 140'' 99-
140=
9 r 35° 91°
cm
4.4 3.0 0.8 1.0
72.0 70.0 24.0
Den bredde afhængighed som l igevægtsmodel len g i v e r , f i n d e r v i h e l l e r ikke og
e n d e l i g g i v e r modellen f o r små ampli tudeværdier f o r f . e k s , sp r ing f lod e l l e r
M2 t i devande t i Nordsøen - se f . e k s . F i g . 76 og 78 . Disse a f v i g e l s e r må i de t
væsent l ige skyldes i ) a t d e r ikke e r l i gevægt , men f o r s t y r r e l s e r ( t i d e v a n d s -
bø lge r ) og i i ) a t jorden ikke e r h e l t vanddækket så vandopstuvening som fø lge
af topogra f i ske e f f e k t e r i g n o r e r e s i modellen.
Vinklen 9 i p o t e n t i a l e t (6 .19) e r ikke velegnet som argument. I n d f ø r e r
v i i s t e d e t punkte t P ' s t e r r e s ^ L s k e k o o r d i n a t e r (længde X, bredde ep) samt månens
astronomiske k o o r d i n a t e r ( t imev inke l X , d e k l i n a t i o n cp1) kan 9 udtrykkeB gen
nem d i s s e ved a t b e n y t t e c o s i n u s - r e l a t i o n e n f o r en s fær i sk t r e k a n t :
cos 9 = s i n ep s i n ep + cos ep cos ep cos(X - \ )
Dette kan v i s e s ved a t b e t r a g t e de 2 enhedsvektorers ska la rprodukt
R(X, ep) t{\v ep,,)
IÎI Benyt tes (6 .29) på (6 .19 ) f å s formel t
2 1 cos 9 - - r = A + B + C hvor
A 3 / . 2 1 W . 2 1» A = - ( s m ep - - j ) ( s i n ^ - -p
B = -T s i n 2ep s i n 2ep1 cos(X - \ )
1 2 2 C = -T cos ep cos *P. cos 2(X - X )
(6 .29)
(6 .30)
(6 .31)
(6 .32)
(6 .33)
167
De astronomiske k o o r d i n a t e r \ , ep. samt l e d d e t R / r e r a l l e afhængige af
t i d e n d .v . s . a t f o r e t bestemt s t e d på jorden v a r i e r e r både A, B og C med t i
den. I de t følgende ska l v i se hvor l edes :
Vi tænker o s , a t jordaksen l i g g e r f a s t i fo rho ld t i l f i k s s t j e r n e r n e og
b e t r a g t e r månens og so lens t i l s y n e l a d e n d e bane mellem d i s s e . Solen bevæger s i g
da i l ø b e t af e t å r i en bane som ka ldes e k l i p t i k a . I p raks i s l i g g e r banen f a s t
i fo rho ld t i l ækvatorplanen ( v r i d e r s i g én omgang i l øbe t af 20940 å r ) og dan-
n e r en v inke l pa 23 -g med denne. Solens d e k l i n a t i o n h a r f ø l g e l i g en per iode
på 1 å r . Solens omløbst id mellem f i k s s t j e r n e r n e b l i v e r 0,041 g r a d e r p r . t ime
( / h ) . Jorden d r e j e r s i g i fo rho ld t i l f i k s s t j e r n e r n e med den a b s o l u t t e v i n
k e l h a s t i g h e d ÜÜ / h . Vort k l o k k e s l e t e r d e f i n e r e t s å l edes at n å r (X - V«) i
h a r ændret s i g 360 e r der gået 24 t ime r . På én t ime h a r v inke lbene t BC d r e j e t
v ink len tu g rade r mens CA h a r d r e j e t 0,041 g rade r , (X - \ . ) , h a r ændret s i g
med (tu - 0,041) g r a d e r . I l øbe t af 24 t imer h a r v i nu (o) - 0,041) 24° = 360
hvorved
u) = 15,041 % (6 .34)
f o r d i v inke lhas t igheden fo r ( \ - \ ) . p r . d e f i n i t i o n er 15 / h .
°A.
j o rdo ve r f 1 aden
so lens bane
0,041 °/h sol"
For so lens t i d e v a n d s p o t e n t i a l e f i n d e r v i i fø lge ( 6 . 1 9 ) , (6 .32) og ( 6 . 3 3 ) , a t
C h a r en h a l v d a g l i g per iode på 12 t imer og B en h e l d a g l i g på 24 t imer .
Månebanen danner en p lanvinkel med e k l i p t i k a på 5 • Dens bane e r noget
kompl i ce re t , så v i indskrænker os t i l at b e t r a g t e dens v i g t i g s t e t ræk. Månen
h a r en absolu t v inke lhas t ighed på 0,549 A i d . v . s . den brager 27,32 dage (en
t r o p i s k måned) t i l s i t omløb. Vi b e t r a g t e r analogt t i l fø r v ink len (X - X.) mane
168
I f ø lge det foregående d r e j e r v inkelbenet CA 15,04*1 / b , medens månen bevæger
s i g med 0,549 / h i samme r e t n i n g . På én t ime b l i v e r (X - \ . ) e = 15,041 -
- 0,549 g r a d e r . 1 månedag l i g med t i d e n mellem 2 e f t e r fø lgende ku lmina t ione r
"bliver på
360" t i m e r = 24,84 t i m e r 14,492
For månens t i d e v a n d s p o t e n t i a l e f i n d e r v i i følge ( 6 . 1 9 ) , (6 .32) og ( 6 . 3 3 ) , a t
C h a r en h a l v d a g l i g pe r iode på 12,42 t imer og B en d a g l i g på 24,84 t i m e r .
Både månens og so lens d e k l i n a t i o n e r og a f s t and t i l jorden r v a r i e r e r om-
end langsomt med t i d e n sammenlignet med t i d s s k a l a e r på omkring 1 dag. ep (måne)
og 9 . ( s o l ) ' s p e r i o d e r f o r v a r i a t i o n e n i r e r henholdsv is en t r o p i s k måned og
e t k a l e n d e r å r . Derimod h a r leddene A, B og C en p e r i o d i s k l a n g t i d s v a r i a t i o n
på henholdsv i s en h a l v t r o p i s k måned og e t h a l v t å r på grund af a t leddene
s in ep. - 1/3 - •§ - -|cos 2cp - 1/3, s in 29 og cos 9 = \ + - |cos 2cp , i hen
h o l d s v i s ( 6 . 3 1 ) , ( 6 . 32 ) og ( 6 . 3 3 ) .
6 .2 . T idevandsbølger .
I n d l e d n i n g s v i s v i l v i b e t r a g t e det ha lvdag l ige M ? - t idevandsfor løb i en
b u g t . Højvande i n d t r æ f f e r 2 gange dag l ig forskudt 12,42 t imer og ind imellem
optræder lavvande med den samme per iode uu. Vi an t age r , a t t i devande t uden
fo r bugten kan b e s k r i v e s ved en enkel harmonisk funkt ion
TI «= Bg cos u^ t f o r x = L. (6 .35)
fe—Lfj _
\ Deep water j f-Q
(a)
W^r^HT - ~ - Å y////////////////////////////////////,
Deep water ^ t - —
Ib)
Mean wotef level
6
Deep water ^ lir
uj-2
fZZ?.
p Deep water y/y
t •- _6*_ (Dr4
(c)
F i g . 80 . Tidevand i en bugt e l l e r f jo rd , hvor der e r t idevands resonans . P i l e n e angiver vandpa r t i ke lhas t i gheden skematisk.
169
I "bunden af "bugten x = O har vi som grænsebetingeise, at den horisontale has-
tighedskomponent rettet vinkelret på kysten er lig med nul. En stående "bølge
af formen
TI = A cos k*x cos (U_, t (6.36)
opfylder denne "betingelse, hvorved det implici t er forudsat, at tidevands-
amplituden på tværs af fjorden er den samme. Tidevandsbølgens bølgelængde er
s tor i forhold t i l vanddybden, så der gælder
k . - ^ - . S (6.37) VFT cf
hvor h er middelvanddybden i bugten. (6.35) og (6.36) giver
a™ = A cos k LB (6.38)
Herved kan (6.36) skrives som
oos( • x)
• n - 8 * — ^ t f — e08u*t * (6-39)
c o s ( - — • . L B )
Da nævneren i (6.39) a l t i d må være mindre end e l l e r l i g med 1, v i l højvande
i bunden af bugten normalt overstige højvande uden for denne - og t i lsvarende
med lavvande. Hvis k L» ^ n — får vi resonans, hvorved amplituden i pr incipis — £ pet skulle bl ive uendelig s to r . Dette hænder natur l igvis ikke, fordi gnidning,
som er ignoreret ved udledelsen af (6.39) j v i l l e hindre, at situationen kunne
opstå.
Væskedelenes hastighed i bugten b l ive r
U = frycos k LB s in k x sin c^ t (6.40)
^ Cf k(z + h) cos k x sin ID™ t (6.41) h cos k L- v T
(6.40) og (6.41) fås direkte ved at benytte resul taterne f ra afsnit 2.4 samt
følgende faktum : 2 enkle progressive harmoniske bølger, der bevæger s ig mod
hinanden med samme bølgelængde og fasehastighed, giver anledning t i l en
170
stående bølge
T^if t ) » •£ cos(k x - m t ) + ^ cos(k x + CD t ) = A cos k x cos <ø t (6.42)
Fig. 80 v i s e r 4 s tadier i en tidevands cyklus for en mindre "bugt i ) h ø j
vande uden for såvel som inde i bugten, u, w = 0 og stigende vandstand indad
i i ) en kvart periode senere haves middel vandstand overalt og et maximalt ud
adre t te t strømfelt, i hvilket hastigheden øges væk fra bugten i i i ) en kvart
periode senere haves lavvande uden for såvel som inde i bugten, u, w = 0 og
faldende vandstand indad og endelig iv) en kvart periode senere igen middel
vandstand overalt og et maximalt indadrettet strømfelt, i hvi lket hastigheden
falder ind mod bugten. Ovennævnte kaldes et nedsvingende (co-oscillerende) t i
devand, der optræder for mindre bugter hvis længde er så l i l l e at k L_ < K / 2 .
For større havområder kan vi ikke benytte denne simple tidevandsmodel,
fordi den ikke t ager isensyn t i l effekter hidhørende f ra jordrotat ionen. Vi v i l
i det følgende søge at beskrive tidevandsforholdene i et s tørre havområde, der
har følgende idealiserede egenskaber :
i ) konstant dybde og tværsnit - se hjælpefiguren i i ) homogen, inkompressibel
og ideal væske. Vi antager hydrostatisk ligevægt, hvilket indebærer at u » w
og dermed at tidevandsbølgelængden X » h i følge (6.40) og (6 .41) . Bevægel
sesligningerne b l ive r herefter
fy
©•
y = —a
du _ an dt = f v - S b Ê (6.43)
Kontinuitetsligningen skrives på formen
171
h ( ^ + ^ ) = „ B (6.45) bx by bt s '
Med vore antagelser er u, v uafhængige af vanddybden, fordi tidevandsbølgen
er en lang bølge# De ikke-lineære led, som implicit optræder i (6,43)
er af samme størrelsesorden fordi
1 ~ | (6.tf)
som følge af (6,45)» hvor U, V og X, Y henholdsvis er karakter is t iske has t ig
heder og længder. Vi kan indskrænke os t i l at vurdere forholdet
bu bt ^ u ^ c / ü ^ p / u » ! (6.47)
d .v . s . at a l le ikke-lineære led i (6.43) kan ignoreres. Tilsvarende kan vises
at gælde for (6.44) hvorved begge l igninger kan skrives på l inear i sere t form
Vi har i afsnit 2.4 v i s t at størrelsesordenen for bu/bt kan udtrykkes ved
~ ~ g T ] k ~ 2 7 t g T l / . T c f c ? 2 T C g T ] / T ^g - j „ 2ft.10-8 /6-3600 V10-100 ~
~ 10 m sek."" . T er her t iden mellem h ø j - og lavvande (ca. 6 t imer),
hvis variat ion er sat t i l de maximale 8 meter, som kan indtræffe i Nordsøen.
Endelig er h for Wordsøen sat t i l 100 m,
Coriolis-leddet f*u kan på t i lsvarende måde vurderes
f u ~ f g T l k / ( D « f g T ] / c f ~ 10"4-10-8 / 30 ~ 3-10 - 4 m sek . - 2
Trykgradient-leddet g-T-' b l iver
g P ~ 1 0 . 8 / 100 * 103 ~ 8-10"4 m sek.""2
0 bx '
For Nordsøen e r U ~ V og ™ ~ r* så vi kan samlet konkludere, at al le 3 led i
172
henholdsvis (6.48) og (6.49) liar omtrentlig samme størrelsesorden.
De løsninger vi søger t i l vort idealiserede t i l fælde , skal være progres
sive bølger i kanalens længderetning, d .v . s . løsninger af formen :
u = U(y) cos(ti) t - k x) (6.50)
v = V(y) Bin(o> t - k x) (6.51)
TI = Z(y) COS(Ü) t - k x) (6.52)
Problemet er nu at bestemme formen på amplitudefunktionerne U, V, Z således
at differentialligningerne og grænsebetingelserne
v = 0 for y = + a samt alle x, t (6.53)
er opfyldt.
Vi indsætter (6.50) - (6.52) i (6.45), (6.48) og (6.49) og får
- 0 ) U = f V - k g Z (6 .54)
(«v = - f ü - g z 1 (6 .55)
k h U + h V ' = u > Z (6 .56)
som g i v e r
(k 2 g h - tu2) U - m f V - g h k V (6 .57)
(k 2 g h - tu2) Z = k h f V - a> h V» (6 .58)
(6.57) og (6.58) indsættes i (6.55)
2 2 V.. -(k 2+i-^S-) T (6.59)
Er parentesen i sidste ligning positiv bliver løsningen en såkaldt Kelvin
bølge. Har vi derimod en negativ parentes fås en Poincaré-bølge. Hvis paren
tesen endelig er lig nul haves V " = 0 , d.v.s. ? = i y + B, hvor A, B er arbi
trære konstanter. Grænsebetingelsen V(+a) = V(-a) = 0 giver aA + B = 0 d.v.s.
A = B = 0 d.v.s. V = 0.
173
Kelvin-bølger :
(6.59) skrives på formen
V" = a2 V (6.60)
som har den generelle løsning V = A e y + B e~" y
V(+ a) m, 0 medfører A ett a + B e~a a = 0 = A e~a a + B ea a , d.v.s. A > B - 0
d.v.s. V(y) = 0 i hele kanalen.
Vi ser nu på (6.57) og (6.58) hvor V = 0 medfører, at enten er U, Z = 0 eller 2 2
også e r k g h - u j = 0 . For at undgå en t r iviel nulløsning vælger vi 2 2
k g h - u> = 0 eller
c 2 = ( £ ) 2 = g h (6.61)
hvor c er Kelvin-bølgens fasehastighed, som vi ser er l ig fasehastigheden
for sædvanlige lange bølger.
(6.54) - (6.56) forenkles t i l
tu U = k g Z (6.62)
f U « - g Z» (6.63)
k h U = u)Z (6.64)
(6.62) er identisk med (6.64) på grund af (6.61). Vi eliminerer nu U fra (6.62)
og (6.63)
Z» = - - Z altså cf
Z = Zo e-<f/°f> y (6.65)
Vi har altså
Tl(x, y, t ) = Z e"^f/°f) y cos(u) t - k x) (6.66)
u(x, y, t ) = Ä Z e " ( f / V y cos(to t - k x) of "o - ' (6-6 î)
174
v(x, y, t ) = O (6.68)
Direction of propagation
Pig. 81 . Havoverfladens topografi når en Kelvin-bølge udbreder s ig mod højre på figuren i en bred k-a-nal med konstant dybde'på den nordl ige halvkugle.
Vi ser direkte, at for 1, 't = 1 , t b l ive r |T|| og |u| s tørs t på kanalens højre
side set i strømretningen. For Nordsøen gælder omtrentligt :
f ~ 10~4 sek."1 , g ~ 10 m / sek.2
h ~ 10 m d .v . s . faktoren f/c = 3-10"" m~1
f yTh 3 f
a ~ 300-10 m d .v . s . — y kan variere mellem + 1.
Vi har t id l ige re nævnt at tidevandsamplituden' var s tørst ' ved Englands
østkyst . Dette kan forklares ved at antage, at tidevandsbølgen er en Kelvin
bølge, der nordfra breder s ig ind i Nordsøen. Derved bl iver en tidevandsbølge
en lang bølge,hvis fasehastighed afhænger af vanddybden alene og hvor væske
delenes o rb i ta le r er r e t t e l i n i e r , som løber para l le l t med det uforstyrrede
vandspejl.
I Fig . 82 gives et eksempel på tidevand fra Nordsøen, som k l a r t viser,
at man gennem optiske partikelmålinger kan observere tidevandsfænomener. Den
l i l l e nedre figur v i se r r esu l t a te t af simultane strømmålinger. Skalaen fra
0 - 60 udtrykker hastigheden i om/sek. og pilene s t å r for den retning strøm-
175
men løber imod - f . eks , betyder f at strømmen løber mod nord.
Partiel* eonctntratiort
D-11-2 2-3 3-t i-S LU tud S mm E 3 E B E23 E383 ES3 MÉ
06" 1S.15Ï t2 00" 16,3 06"
Pig. 82. Periodisk løftning og sænkning af par t ik le r i Nordsøen forårsaget af tidevands-strømme*
Poincaré-bølger :
(6.59) skrives på formen
v " - - ß v ( 6 # 6 9 )
2 2 2 ti) — f* ?
hvor ß = — ™ k > 0. Den generelle løsning t i l (6.69) er
(6.70) V = V cos(ß y + y)
hvor Vo, Y e r integrationskonstanter. V(+ a) = 0 medfører, at v i kan sætte
Y = TI og ß = •=- n, hvor n er et u l ige t a l . Derved b l iver 2a
TI n V » - V cos _ o 2a
(6.71) indsættes i (6.58) Ï
2 2 (k g h - t i ) ) Z = k h f V o c o s ß y - u ) h ß V sin ß y
(6.71)
(6.72)
176
Benyttes
eu2 - k2 g h . f 2 + ß2 g h (6.73)
på (6.72) fås
Z = k h | V (cos ß y + g l sin ß y) (6.74) f* + ß^ g h ° K x
Hvis v i for overskuelighedens skyld e r s t a t t e r første led i (6.74) med A d .v . s .
Z = A (cos ß y + £ - | s in ß y) (6.75)
finder v i
2
v = - A FE ( 1 + ^-f-^) c o s ß y (6.76)
U = A (jSL c o s ß y + £-Ê sin ß y ) (6.77)
Fasehastigheden findes af (6.73)
o g - ( g ) Z . « h + f 2 + g 2 " h > « h (6.78) k
Poincaré-bølger har a l t s å en s tørre forplantningshastighed end Kelvin-bølger.
(6.73) kan skrives som
u)2 = f2 + g h ß2 + g h k2 (6.79)
Heraf fås 2 uligheder w > f og u> > ß \Jg -h som udtrykker, at der ikke kan
eksis tere Poincaré-bølger med en frekvens mindre end inerti-frekvensen og
he l l e r ikke med en frekvens mindre end ß \/g h = (n TC/ 2a) \jg h. Der er for
r ea l i s t i ske værdier af a, h kun en ringe sandsynlighed for, at der kan eks i
stere Poincaré-bølger med tidevandsperiode. Følgelig konkluderer v i , at det
resulterende tidevand for det idealiserede kanal-t i lfælde fås ved at superpo-
nere samtlige Kelvin-bølger med hver deres astronomisk bestemte frekvens.
En Kelvin-bølge, som bevæger s ig ind i Nordsøen, v i l . på et e l l e r andet
tidspunkt ramme kysten hvorfra en del af bølgen v i l reflekteres t i lbage . Der
ved f å r vi en overlejring af to Kelvin-bølger. Vi kan tænke os en lukket kanal,
som en mulig model for Nordsøen, fordi den eneste sydlige passage som findes
177
er Den engelske Kanal, der e r snæver på Nordsø-siden. Resultatet er for denne
model gengivet i Pig. 83. Det skal bemærkes, at beregningerne, som danner grund
laget for Pig. 83, er baseret på numeriske metoder. Dette kan være u t i l f r e d s
s t i l l ende , så derfor v i l vi i s tedet ops t i l l e en tidevandsmodel for Nordsøen,
hvor vi har den åbne kanal f ra t id l ige re i hvilken 2 Kelvin-bølger med samme
amplitude og frekvens løber mod hinanden.
I I I t l
/ \ i
8 e s .0 0 Ô Ø O O 000
ÖGGGQ
Pig. 83. Kelvin-bølgers reflektion i en kanal med konstant dybde, som er åben i den ene ende. Bølgeperioden er 12 timer, og kanalen befinder s ig på nordlige halvkugle. Til venstre, co-tidal l ines ( i so l in i e r , for hvilke ekstreme t i d e vands amplituder forekommer t i l samme tidspunkt) samt i s o l i n i e r for tidevands-amplituder (punkterede l i n i e r ) . Til højre, vandpartiklernes baner.
For Kelvin-bølgen som går i x-aksens retning gælder :
U, = \ e~( f / cf ) 7 cos(m t - k x) (6.80)
178
u,, - TI e~^f/cf^ y cos(u) t - k x) (6.81)
og for Kelvin-bølgen som går modsat x-aksens retning gælder analogt :
\ = ~ \ e^ f ^ y c o s ^ * + k x) (6.82)
un = u e^f/°f ^ y cos(æ t + k x) (6.83) 2 o
Superposition af de 2 bølger giver
TI = U, + \ (6.84)
u =• + u2 (6.85)
Uår x = 0 og y - 0 "bliver "Q = 0 for alle t . Dette gælder også, når x = n n og
y = 0. For ethvert punkt på y-aksen er T| = - 2TL sinh (f/c„) y cos u) t , d.v.s.
for alle punkter på den negative y-akse får vi højvande for tu t = 0, medens
dette indtræffer på den positive y-akse, når tu t = 71. Følgelig er den negative
y-akse "co-tidal line" for tu t = 0 og den positive y—akse "co-tidal line" for
ID t = Tt.
For alle punkter på x-aksen er T| = 2TI sin k x*sin œ t . Ser vi alene på
intervallet - n/2 < k x < K/2 , får vi højvande for ethvert punkt på den po
sitive x-akse, når u) t = n/2 og for ethvert punkt på den negative x-akse, når
UD t = 3ît/2. Disse liniestykker hl iver da "co-tidal lines" for henholdsvis
uj t = TI/2 og tu t = 3K/2. Linien k x = %/2 bliver også en "co-tidal line" for
m t = Ti/2. Vi har nu fundet "co-tidal lines" t i l tiderne u> t = 0, 7t/2, % og
3Tt/2. Yi ønsker herefter at kunne finde "co-tidal lines" t i l andre tidspunkter
og skriver t i l dette formål T] på formen :
f T| = 2T| cosh — y sin k x-sin ti) t -
o C—
- 2T| sinh — y cos k x*cos m t (6,86) f
Yi indfører nu 2 funktioner
H cos ep = 2T| cosh — y sin k x (6.87)
H sin ep = 2TL sinh — y cos k x (6.88)
179
Derved b l iver
I] = H sin(t» t - cp(x, y)) (6.89)
H2 = 4T^(cosh2 | - y - eos2 k x) (6.90)
.p tg ep = tgh — y' cot k z (6.91)
Cf
Det ses at H ^ 0, når y ^ 0. H kan kun "blive l i g med nul, når y = 0 og x = 0
e l l e r x = k %. Højvande indtræffer, når IU t - ep = n/2. Dette tidspunkt kalder
vi t , hvorved o'
cpCx, y) - » t o - f (6.92)
bl iver ligningen for den kurve ("co-t idal l i ne " ) , som forbinder punkter med
højvande. Vi har
tg uj t m tg(cp + | ) = - cot tp (6.93)
e l l e r
tg kx coth — y + t g CD t = 0 (6.94) c f
ved benyttelse af (6.91) og (6 .93) . Vore "co-t idal l ines" kan heref ter tegnes
op. t i l forskell ige t idspunkter .
Vi v i l betragte forløbet af disse "co-t idal l i nes" i nærheden af det am-
fidromiske punkt (O, O) defineret ved T| = 0 for a l le t . Vore "co-tidal l ines"
må al le gå gennem sådanne, punkter, fordi de ikke må skære hinanden. Vi betrag
t e r a l t så små værdier af x, y og kan derfor approximere udtrykket i (6.94) s
f °f 1 t g kx ~ k x, coth (— y) ~ y — d .v . s .
Vore "co-tidal lines" kan altså inde ved det amfidromiske punkt tilnærmes ved
rette linier med hældningskoefficienten
180
Liniernes drejning med t iden fås ved at different iere (6.96) med hensyn t i l
tiden
Fig. 84. Roterende bølge (amphidromisk bølge) i et kvadratisk bassin med konstant dybde. Bølgen er fremkommet ved superposition af to stående bølger, begge med en periode på 12 timer men med forskel l ig fase, der løber vinkelret ind mod bassinets endevægge (d .v . s . de to bølgers bølgevektorer er ortogonale). Havoverfladens topografi er givet i de f i re blokdiagrammer t . v . De tilhørende strømme er v is t i de f i re midterfigurer og en vandpartikels banebevægelse (sporl in ie ) er givet i ( f ) under forudsætning af ( e ) , der viser en strømellipse for et enkelt punkt. (g) Fordelingen af strømellipser i bassinets nordøstlige kvadrant, (h) Tidevands amplituder i cm for en svingningsperiode (fuldt optrukne l in i e r ) samt co-tidal l i n i e r (s t iplede l i n i e r ) .
181
Kap i t e l 7
Opt iske parametre
7 . 1 . D e f i n i t i o n e r .
En l y s k i l d e h a r e t emissionsspektrum e (x , t ) , som afhænger af t i d e n t
og "bølgelængden X.
Watt/m p r .nm
p, X nm
P ig . 85
I vores t i l f æ l d e , hvor so len e r den a k t u e l l e l y s k i l d e , antager v i fo r de f l e s
t e p r a k t i s k e t i l f æ l d e , a t s t r å l i n g s f e l t e t e r k o n s t a n t i t i d e n indenfor en "be
stemt måleper iode . Et sådant t i l f æ l d e v i l v i have, n å r solen s t å r h ø j t på
himlen ( s t o r s o l h ø j d e ) , e l l e r n å r måleperioden e r k o r t v a r i g .
Vi i n d f ø r e r nu en v i g t i g d e f i n i t i o n :
Mængden af l y s e n e r g i ( r a d i a n t ene rg i målt i Jou le ) i bø lge længde in t e rva l l e t
(X, X + dX) ~ H(X + îjfdx)dX ~ H(x) dX som t r a n s p o r t e r e s over e t a rea le lement då
gennem en v i s t i d dt samt "befinder s i g indenfor e t v i s t nimvinkel element dua
o r i e n t e r e t i en "bestemt r e t n i n g - se F i g . 86 - kan udtrykkes s å l edes :
d H ( \ ) dX - L(x) COS 9 dX dA dæ d t (7 .1 )
n _ l d A
F i g . 86
182
Størrelsen L kaldes radiansen (lystætheden) for det udgående f e l t ( r e t t e t e f te r
nj ved bølgelængden \ , elementet dA og tiden t . I det almene t i l fælde haves
for radiansen :
L = L(x, y , z, ef qj, \ , t )
hvor (x, y, z) e r de 3 kar tesiske rumkoordinater - 6, ep polarvinkel og azimuth.
I havet va r i e re r L kun langsomt i horisontal retning - d . v . s . (x, y ^a f
hængigheden er ubetydelig. I a l l e praktiske målesituationer kan v i endvidere
se bort f ra den t i d s l i g e afhængighed. Dette bevirker, at L = L(z, 6, ep, x) r e
l a t i v t l e t kan måles. L's afhængighed af bølgelængden finder v i na tur l igvis
ved at benytte os af f a rve f i l t r e - f .eks , dobbelte interferensfiltre«.
I det følgende v i l v i ikke betragte ^-afhængigheden, da denne i .sammen
hængen er in te resse løs . Af samme grund omskrives (7.1)
d H = L cos 6 då åm dt (7.2)
Vi indfører nu begrebet radiant energiflux F (Watt), som undertiden blot be
nævnes "flux" !
| ^ = d2? = L cos 6 dA ik (7.3)
samt begrebet irradiance E (Watt/m ) - også kaldet belysning
d2 r j j - 5 dE » L cos 6 dd) (7.4)
samt endelig begrebet i n t ens i t e t I (Watt/steradian)
f i = dl - L cos 9 dA ( 7 .5)
Det e r nødvendigt at indføre yderligere nogle parametre, som s p i l l e r en s to r
ro l le i den optiske oceanografi :
Ed = K/2 |*2TT
L cos e sin 6 dø dep (7-6) o
hvilket er den nedadrettede belysning (downwelling irradiance) på den horisonta le plan.
u h/2
r2lT
L | cos 8 J s i n 6 d9 dtp
183
( 7 . 8 )
h v i l k e t t i l s v a r e n d e e r den opadre t tede be lysn ing (upwel l ing i r r a d i a n c e ) på
den h o r i s o n t a l e p l a n .
E = E^ - E = d u
rit f2ir L cos 6 du)
som benævnes den v e k t o r i e l l e be lysn ing ( v e c t o r i r r a d i a n c e ) .
E = o L du)
( 7 . 9 )
(7 .10)
denne s t ø r r e l s e benævnes med den s k a l a r e be lysn ing ( s c a l a r i r r a d i a n c e ) .
E = ( samle t f l u x på en kugle) /4i t r , hvor r e r kuglens r a d i u s , k a l d e r v i
s fær i sk b e l y s n i n g ( s p h e r i c a l i r r a d i a n c e ) .
t-n/2 f2ir E od L dm (7 .11 )
benævnes den nedad re t t ede ska la re be lysn ing (downwelling s c a l a r i r r a d i a n c e ) .
rir E =
ou TT/2
2TT L du) (7 .12)
benævnes den opad re t t ede ska l a r e be lysn ing (upwel l ing s c a l a r i r r a d i a n c e ) .
Parametrene (7*6) - (7«10) e r af s t ø r s t i n t e r e s s e . Desværre f indes kun få mål
i n g e r af E , f o r d i sådanne målinger e r vanske l ige a t udføre i p r a k s i s .
Vi h a r brug f o r a t indføre parametre , som ud t rykke r l y s f e l t e t s svækkelse
med dybden z - a l t s å de t s ændring i v e r t i k a l r e t n i n g . Antag a t l y s f e l t e t e r
beskreve t ved parameteren E . . Vi d e f i n e r e r da den v e r t i k a l e dæmpningskoeffi~
c i e n t ( v e r t i c a l a t t e n u a t i o n c o e f f i c i e n t ) fo r E. ved :
1 ö E i K. = - c - ~ - i - K. ( z , t )
l E. bz i v ' J
i
hvor index "i" f.eks, kan være "od". Dette ville da betyde at
dE K od E 1_ od
od dz
Ti l svarende f i n d e r v i f o r L og beslægtede parametre uden index
\"Z^'\^ 6' * *>
(7 .13)
(7 .14)
(7.15)
184
7.2. S t rå l ingsl igningen.
z=0 havoverflade
Pig. 87
Vi be t rag te r upolar iseret monokromatisk lys kommende f ra en bestemt retning
(9, ep).
Pluxen på dA = d F(r) « L(ø, ep, r) då diu.
Vi undersøger først ly s spredningen væk fra volumenelementet då 6r
Definition :
a i(e) - p(e) SE av = p(e) A ( r ) dA
dA gr = ß(e) a P(r) gr (7.16)
Total spredt flux væk fra volumenelementet fås ved at integrere over a l le r e t
ninger — se (7.5)
d 2 ! ^ ) diu = ß(9) d2F(r) 6r duo . d2F 6r f ß(e) du> =
d T <$r*t> = L(e, ep, r) âA 6r diu-b (7.17)
- 1 -hvor s tørre lsen b benævnes spredningskoefficienten (m~ ) .
Volumenelementet absorberer også radiant energi givet ved Lambert-Beers lov :
6(d2P(r)) « - a d2F(r) or .
—1 Størrelsen abenævnes absorptionsko efficient en (m"~ ) .
Indt i l videre er det samlede tab af radiant energi fra volumenelementet dV
(a + b) L(e, ep, r ) dA ôr du>
185
hvor a + b =s c , som benævnes dæmpningskoefficienten ( a t t e n u a t i o n c o e f f i c i e n t ) .
I m i d l e r t i d f i n d e r en t r e d ie proces s t ed , da omgivelserne b i d r a g e r med en f l u x
ind mod volumenelementet dV (kommende f r a a l l e r e t n i n g e r ) , hvoraf en del af
denne spredes i r e t n i n g e n ( 8 , ep). Det te mindsker t a b e t af r a d i a n t en e rg i , som
forårsagedes af sp redn ings - og a b s o r p t i o n s p r o c e s s e r a e . Yi b e t r a g t e r i n t e n s i t e
t e n kommende f r a re tn ingen ( 6 1 , ep1) som spredes i r e tn ingen ( 6 , ep) :
6,9 d^ l (9 , ep) - p(a) dE dV -
ß(a) ds dV = P i g . 88 de
P ( B ) L ( 9 ' T q>t r ) du)' ds ^ ' ds T
e>'
normalen t i l ds g å r i r e tn ingen ( 6 ' , cpT) :
Det samlede b i d r a g i r e tn ingen ( 8 , ep) fås ved i n t e g r a t i o n over a l l e rumvinkler :
d l
dV
( e , ep) - f p(a) L ( e ' t ? S r ) *» ' Æ s dY -
UTT
Jktt
L ( 6 S ep', r ) ß(o) du)'
Cos inus - r e l a t i onen f o r en s fær i sk t r e k a n t g i v e r
(7.18)
cos a = cos 6 cos 8' + sin 8 sin 9' cos (ep - ep')
d ^ = d l ( 8 , ep) dtu = da) dV kit
L ( e ' , ep'* *0 ß(°0 âu)!
(7 .19)
(7 .20)
Jlux-^ændringen h idrørende f r a volumenelementet dY kan nu ud t rykkes :
d ^ r + fir) - d 2 F( r ) ~ ^ d F t r ) ) 6 r = — { r
fiL^e.grtp' I'') d l 6r du> - - c L(6, ep, r ) dA Ôr drc +
+ dtu dV L ( 6 ' , ep', r ) ß(cc) dto'.
E f t e r d i v i s i o n med du) dY f å r v i ud t rykke t f o r den k l a s s i s k e s t r å l i n g s l i g n i n g :
^ V * r ) - - o L + f L ( e ' , ep-, r ) ß(«) *•>' (7 .21)
186
Antager vi horisontal s t r a t i f i ka t ion d .v . s .
Sil = Êk . o samt z = r cos 6 (7.22) ox oy
får ligningen følgende udseende :
c o s g oL(6T ep, z) m _ c L^Qj ^ ^ + J L ( Q , ^ ^ r ) ß ( a ) d(Bt (7-23)
hvor sidste led for nemheds skyld ofte skrives som L (9, ep, z) . Denne funktion
kalder man vej-funktionen (path, function).
Strål ingsligningen er vanskelig at behandle i det generelle t i l fælde , for
di den er på integro-different ia l form. Hedenfor v i l nogle enkelte eksempler
på dens anvendelighed bl ive givet . Strål ingsligningen giver umiddelbart at for
6 = n/2 :
L (n /2 , ep, z) c , * • -. (7 .24)
L ( T I / 2 , tp, z) .
fo r a l l e (z , - <P).
Kan vi bestemme L og L i ovennævnte tilfælde, har vi dermed bestemt dæmpnings . 3E
koefficienten c. L måles ved i s tor afstand fra radiansrøret (se afsni t 7*3)
at anbringe en sor t mat plade ( l ' écran n o i r ) . Herved opnår vi at måle den ra
dians, som er spredt ind i horisont al retningen, hvilket netop er L . Ved at
fjerne denne plade og måle .igen, findes L.
Dæmpningskoefficienten kan også måles på anden v i s , ved at måle L i r e t
ning mod solen, når radiansrøret befinder s ig i vand. Denne retning findes fra
Snel l ' s lov :
cos h n -
s a
n og n er henholdsvis brydnings index i vand og luft (n afhænger kun l i d t af
temperatur og s a l i n i t e t ) , h - solhøjden i luf t og S » sol vinklen i vand.
(7.4) og (7.15) giver
KLC0S V °-- L V I O! I) ' KL(6s' ° ' z> C0S 9 s C7-26)
cp er pr. definit ion = 0 i retning mod solen.
I praksis haves L » L for 6 = 9 , således at vi får * s
187
c - K L cos 9B (7 .27)
Ovennævnte type c-mål inger e r ikke a l m i n d e l i g e . Sædvanligvis anvender v i e t
c-meter ( t r ansmis s ionsme te r ) t i l a t mâle dæmpningsko e f f i c i e n t en. Det te i n s t r u
ment måler en tynd l y s s t r å l e s svækkelse , e f t e r a t denne h a r gåe t over en f a s t
a f s t and . Ved hjælp af indskudte b l ænderanordninger i s t r å legangen og ved f o r
t r i n s v i s a t måle om n a t t e n haves
l ^ c L + L ^ - o L - » L ( r ) = L(0) e"C r ( 7 . 2 8 )
I n t e g r e r e r v i s t r å l i n g s l i g n i n g e n over a l l e r e t n i n g e r f å s :
| - I cos 9 L dci) • - c L du) + ] L ( 9 ' , q>', z) d»' ß(cc) åsa =
JUTT J kir Jkir Jkir 'kil
$E « - c E + b E = - a E (7 .29) bz o o o M • /
i fø lge ( 7 . 9 ) og ( 7 . I O ) .
Denne v i g t i g e l i g n i n g k a l d e s Gershuns l i g n i n g . Den t i l l a d e r beregning af absorp-
t i o n s k o e f f i c i e n t e n , h v i s man kender E ( z ) og bE/bz, h v i l k e t i p r aks i s v i l s i ge
E ( z ) . Hvis v i kender L ( 8 , ep, z ) , kan a. n a t u r l i g v i s også beregnes ved b e n y t t e l
se af ( 7 . 9 ) , (7.IO) og ( 7 . 2 9 ) .
D i f f e r e n t i e r e r v i (7 .29) m . h . t . z f å s
d ln(K_,/a)
dz -ht-*o (7 .30)
ved at benytte (7.13).
Måles K_ og K (hvor E(z) og E (z) kan være angivet i enten relative eller ab-£j O O
s o l u t t e enheder) kan absorp t ionens r e l a t i v e v a r i a t i o n med dybden be regnes . Des
uden f i n d e r v i f r a (7 .29)
E / L cos 6 du> a = Kg g = Kg =£ : = Kg < cos 6 > (7-31)
o fA% L du>
Da L ( 8 , 0 z) y> L(e , «>» 2) f o r a l l e ( 9 , ep) og små dybder v i l < cos 8 > ~ cos 8
så l edes a t
a - Kg cos 8 s (7.32)
188
Vi kender nu a ' s absolutværdi for z = 0 foruden a(z)*s re la t ive var ia t ion,
hvilket medfører, at a(z) kan beregnes. Metoden har aldrig været anvendt, men
er fuldt brugbar. Den har den fordel, at ukalibrerede instrumenter e r tilstræk
kelige for måling af absorptionen (se endvidere afsnit 7-7)»
7.3 Måling af radians.
Fig. 89
Radiansrøret er som vis t på figuren konstrueret således, at a l le s t r å l e r , hvis
retning l igger indenfor ( 8 - •§ d6 | 9 + § de) og (ep - | \ sin 6 dep | ep + \ sin Ö
brydes af l insen således, at de kan fortsætte videre gennem blændehullet - der
l igger i en brænd vidde s afstand fra l insen - t i l sensoren. For s t r å l e r uden
for disse retninger v i l gælde, at disse p .g .a . blænde systemet ikke modtages
af sensoren. Vi benævner d6 som instrumentets åbningsvinkel. Er denne l i l l e ,
s iger v i , at L e r den samme over hele du). Benyttes Fig. 89 og (7*3) ses, at
189
den af radianB-fcuben modtagne flux = L(ø, ep, z) dA dm. Siden dA og dtu er i n s t ru
mentkonstanter uafhængige af (6, ep), v i l det såkaldte radiansrør måle en s tø r
relse = konstant - L(6, ep, z) , hvor denne konstant kan findes ved kal ibrer ing.
Radiansen måles i praksis på følgende måde : Radians røret udstyres med et be
stemt f a rve f i l t e r , orienteres i polarvinkel retningen 6 og sænkes ned t i l dyb
den z. Derefter roteres radiansrøret - f .eks , v .h .a . en propel - omkring ver
t ikalen. Kender vi azimut al vinkelhastigheden, har vi bestemt L(z, ep) for f a s t
holdt Ö. Radiansrøret r e t t e s heref ter mod en anden polarvinkel retning - og man
gentager rotat ion omkring ver t ikalen. Som det direkte fremgår, er denne type
målinger sene. Dette er da også grunden t i l , at vi i høj grad benytter os af
andre former for dagslys-målinger, hvor dette er muligt.
Måletidens varighed gør det tvivlsomt, om s t rå l ings fe l t e t kan anses for
værende tidsuafhængigt. Korrektioner for disse var ia t ioner kan udføres ved at
vi måler dagslyset på skibsdækket (dæk—fotometer målinger).
Orienteringen af radiansrøret i havet kan volde praktiske problemer. Især
azimuth vinkl en er vanskelig at bestemme, når det gælder den mest almindelige
type L-metre. Disse problemer er løs t i mere speciel le L-meter udgaver, men
omtale af disse fører for vidt og er desuden ikke af principiel in teresse .
7.4. Måling af i r rad ians .
Kender vi L(9, ep, z) kan vi ved numerisk integration finde E , idet der ifølge (7*6) gælder
E d -
rrc/2r2ît
Jo Jo L cos 6 diu (7.33)
Denne integrat ion kan imidlert id også udføres instrumentalt v .h .a . en plan,
ideel opal - en såkaldt cosinus-collector e l l e r n-col lector - anbragt foran
en lysfølsom sensor.
E,-meter a fa rvef i l t e r
sensor
Fig. 90
190
En i d e e l c o l l e c t o r h a r den egenskab, a t i n t e n s i t e t e n d l kommende f r a r e t n i n
gen 6 r e g i s t r e r e s af sensoren med en værdi p r o p o r t i o n a l med cos 0 . Det af o p a
len t r a n s m i t t e r e d e l y s f ø l g e r Lamberts l ov , d . v . s . : d l ( 6 ) = d l ( 0 ) cos 0.
opal
F i g . 91
Fluxen ûrF f r a dA med rad iansen L(0, ep, z) på opalen med a r e a l e t = ds e r i f ø l
ge ( 7 . 3 )
,2„ T , « - , T n -, , n ds cos 0 d P = L ds cos 0 dti) = L r s i n 6 dtp r dø ? =
L s i n 0 d6 dep cos 0 ds (îTBJ L e r den f r a dA udsendte r a d i a n s f r a r e t n i n
gen ( 0 , ep)).
Belysningen på ds hidhørende f r a f luxen kommende f r a då b l i v e r i f ø l g e (7 .4 )
ih d s
= L cos 6 dtu.
Summerer v i nu b id ragene f r a a l l e då-e m e f å s :
Samlet b e l y s n i n g på opalen = [%/2 r2x
L cos 6 dtu = E. o Jo
(7.34)
Dette r e s u l t a t kan også f å s på en anden aåde ved a t b e t r a g t e F i g . 92 , hvor f l ux
en på opalen f r a r e t n i n g e n . ( 0 , ep) = d J? = L(6, ep, z) dm ds cos 0 . (ITB I L e r
den af opalen modtagne rad ians f r a r e tn ingen ( 9 , ep)). Den samlede f l u x b l i v e r
f ø l g e l i g =
dF = ds L L cos 0 dtu og belysningen b l i v e r f ø l g e l i g =
dF CUT _ r
d s ~ 2TI L cos 0 du) r E. (7.35)
191
Er opalen ikke ideel , v i l der regis t reres et E givet ved
f-n/2 r2ir L f(e) dtu
hvor cos 8 > f(6) for a l le 9.
f (e) v i l desuden være afhængig af bølgelængden, hvilket må vises eksperimentelt.
Fifr ?3
f (9 , X) findes eksperimentelt på følgende måde :
E.,-meteren anbringes i vand og en kollimeret l y s s t r å l e med intensi teten I og d
bølgelængden \ r e t t e s vinkelret mod opalen, hvorved man får et v i s t signal
S(e = 0) ud. Derefter drejes E -meteren vinkelen 8 på en sådan måde, at opa
lens lodre t te diameter er drejningsaksen. Herved fås et signal 3(8). Dette
gøres for diskrete 6-værdier og v i finder da
«e '*>=!W (7.36)
Undertiden ønsker vi at måle den skalare belysning, hvilket gøres med et såkaldt E -meter. Et E -meter består af en opaliseret sfære. I bunden af denne
o o er anbragt en l i l l e flad modtager-opal, som transmit terer lyset videre gen
nem et f a rve f i l t e r t i l en lysfølsom sensor. Kuglens radius bør ikke være for
s tor , fordi radiansens dybdeafhængighed da v i l få betydning - se (7*37) neden
for . Desuden kan kuglen, hvis den er for s tor , skygge for sig selv.
192
F i g . 94
Fluxen på opalkuglen med r a d i u s = r kommende f r a r e t n i n g e n (6 , ep) e r g i v e t ved:
dF « L(e , ¥, z) du % xc (7.37)
Den t o t a l e f l ux f å s ved i n t e g r a t i o n over a l l e v i n k l e r
dF = F = k-n UTT
2 2 L(G, ep, z) dui TI r = E % v
(7.38)
Heraf f å s d i r e k t e Ï
E s = 2 - 4 o 4u r ^
(7.39)
Den på kuglen indfaldende totale flux F forårsager en vis radiansfordeling på
samme. Antag, at vi ved fladeelementet ds - se Fig. 94 - har radiansen L(9',<?*)•
(NB Ï Dette er ikke radiansen i havet på det pågældende sted).
Fluxen fra ds til ds kan ifølge (7.3) udtrykkes ved :
L' ds cos v ds cos v L1 ds ds ,,2-, 2 o d F = r - 2
d^ 4 r (7.40)
da d/2 = r cos v .
Ti s e r , a t f luxen t i l ds e r den samme f o r samme L 1 , u a n s e t hvor på kuglen ds
p l a c e r e s , da ud t rykke t i (7*40) e r v inke luafhængig t .
Vi h a r t i d l i g e r e i n d s e t , a t kug len modtager en f l u x p r o p o r t i o n a l t med E .
Dette g i v e r kuglen en midde l rad ius , som også e r p r o p o r t i o n a l med E . Rent
193
faktisk varierer L' henover kuglen, men det ses v .h .a . (7-40), at vi l igeså
godt kan regne med en middel radians, hvorom det gælder :
< L > 411 r - L« ds. UTT
Følgelig "bliver "belysningen ved ds
dF r— = konst. ds o
E ds r « konst. • n E
JUir 4 r 2 (7.41)
- a l t så en belysning proportional med E .
Ved tilsvarende regnemetoder kan det v i ses , at E måles med et opal-arrangement
som v i s t på Fig. 95' De^ skraverede område er i princippet en horisontal uende
l i g opak plan.
rnnmmuititïi nui/nu sensor
Fig. 95
E måles ved at vende E ..-meteren 180 . ou od
Yderligere "beregninger vil godtgøre, at arrangementet som vist nedenfor
i Fig. 96 måler en størrelse proportional med (E + E) samt at samme vendt 180
nedad (E - E). Disse forhold bevirker, at de to meget vigtige parametre E, E
kan beregnes direkte. Se iøvrigt en mere detaljeret behandling i afsnit 7«6.
(E + E) - meter x o 7
Fig. 96
Nedre halvkugle er sor t , undtagen, natur l igvis ,den l i l l e flade modtage-opal.
Andre lignende collector-typer kan udvikles, hvi lket dog for sammenhængen her
194
vil være in te resse løs t .
7.5« Immersionseffekt.
Uår lys falder på en opal, v i l det inde i denne spredes i a l le retninger.
Af den del , som spredes t i lbage, vi l en v is del to ta l re f lek teres frem mod sen
soren igen, medens en anden del v i l forlade opalen. Den kr i t i ske vinkel, for
hvilken to t al refleks ion indtræffer, er afhængig af mediets "brydnings index umid
delbart udenfor opalen. Totalrefleksion indtræffer for større vinkler, når opa
len befinder sig i vand (ca. 63 ) end i lu f t (ca. 41 ) - d .v . s . opalen t rans
mitterer mindre lys i vand end i l u f t . Fænomenet kaldes immersions effekt. Det
skal nævnes, at hvis pågældende opal er stærkt absorberende i et v i s t bølge
længdeinterval, v i l immersionseffekten her være l i l l e , fordi den del af det
transmitterede l y s , som hidrører f ra to t al refleks ion, har gået så lang en mid
delvejlængde, at det næsten er hel t absorberet.
Immersionseffekten for en given opal e r ofte bølgelængdeafhængig, h v i l
ket kan vises eksperimentelt. Da de f l e s t e dagslys-målere calibreres i lu f t ,
er det nødvendigt, at bestemme deres immersionseffekt.
Måling af E udføres som ved måling af E, - blot med den forskel at
E-meteren vendes nedad. Det skal nævnes, at opalens mangelfuldheder ofte er
mærkbare her, fordi det opadrettede lys ikke er udpræget retningsbestemt. Col-
lec to r - fe j l på ca. 20 fo er almindelige.
Måling af E udføres som to separate målinger af E, og E , hvorefter vær
dierne subtraheres.
"J.6. Bølgelængde-integrerende irradians-målere.
Den bølgelængde-integrerende lysmålers detektor antages at have en ener
giføl somhedskurve S(x). Dets transmis s ionskurve i luf t - for transmissionen
gennem opal, vindue o . l . - kaldes T(x) og instrumentets immersionseffekt an
gives ved l ( x ) . Det resulterende signal i bølgelængdeintervallet ( \ l \ ) b l i
ver da i vand :
R = '( 2T(x) S(\) l (x) E( \ ) d\ (7.42)
hvor E(x) er irradiansen ved instrumentets opal. Sædvanligvis undersøger vi
ved calibreringen i luft den samlede effekt fra T(\) og S(x) - altså funktio
nen T(x) S(x) = S (\). Herved fås
R =
195
f 2 So(x) I(X) E(\) dX (7.43) Al
Vi udvælger - hvor dette er muligt - opal-materiale som forårsager en bølge
længdeuafhængig immersionseffekt. Dette bevirker, at instrumentets virkemåde
i vand er som i luft - sagt anderledes : At instrumentets spektrale egenskaber
bibeholdes i henholdsvis vand og luft. Immersionseffekten er sjældent helt u-
afhængig af bølgelsengden, hvilket der bør tages hensyn til.
Hvis vi nu tænker os, at funktionen S (\) l(\) er gjort uafhængig af bøl
gelængden i intervallet (x- I \„), hvilket kan gøres ved instrumentelle tilpas
ninger, bliver signalet ifølge (7.43)
R = So I J 2E(x) di (7.44) Xl
d.v.s. instrumentet integrerer irradiansen fra X1 til X„. Denne instrumenttype
kaldes et integrerende E -meter, og det måler energien pr. tids- og fladeenhed.
Vil vi istedet for energien måle antallet af lyskvanter, som erfarings
mæssigt er bestemmende for fotosyntesen i havet, kan dette også gøres instru
mentalt med et såkaldt q-meter. Vi har nemlig :
E(x) = antal lyskvanter • kvanteenergien ved pågældende X medfører at
E(x) =*r(x) h v-irU) h (c/x) da \ v = c, h er Plancks konstant, v er frekvensen og c er lyshastigheden i
vacuum. Instrument signal et bliver ved benyttelse af (7.43)
E . h o f 2 S (X) I(x) N(x) x 1 iX (7.45)
Vores valgte opal antages at have en bølgelængde-uafhængig immersionseffekt.
Vælger vi desuden S (x) = konst. * X, hvilket kan opnås ved at "prøve sig frem",
fås direkte :
/* R = h c*konst.
1 X ,
. [ 23J(x) dx (7.46) J x l
som netop giver an ta l le t af lyskvanter mellem x1 °g ^o* D e r ^an ikke gives no
gen faste regler for på hvilken måde, v i opnår egenskaberne angivet ved (7.44)
og (7.46). Her er i høj grad t a le om erfaringssager.
196
7.7« Absorptionsmåler. Gershuns l igning udsiger :
SjgS l - - a(z)Eo(z) (7.47)
U.V.s. kender vi E(z) og E (z) kan a(z) "beregnes. Måling af E(z) og E (z) kan
udføres på forskell ige måder. Den mest direkte er at måle E,, E og E med t r e d' u ° o
forskellige E-metre. Man kan også benytte en opaliseret halvkugle, som er o r i
enteret opad, idet denne v i l måle |r(E + E) - vendt nedad -|(E - E) . Vi fore
s t i l l e r os nu, at målinger er udført t r inv i s på de ækvidistante dybder z. , z ? , z-, . . . . z „, z , hvor z - z , sædvanligvis = 5 meter. Vi har : 3 ' n -1 ' n ' n n-1 ö
—/ n KL,(z) dz
e l l e r
- < Kp > (z, - z _) E(zn) =E(z n _ 2 ) e * » n " 2 (7.49)
hvor < Kp > er middelværdien i det pågældende dybde in terval .
1 E(zn-2>
< K E > = Z - , .**sèr (7-50)
n n-2 v n ' (7.47) og (7.48) medfører
heraf fås
0^ n—v
Calibre ring af absorpt ionsmåle ren (a-meter) udføres på følgende måde :
E - , E , - og E -metrene udstyres med deres respektive f i l t r e og sensorer. Der
næst placeres de t r e instrumenter i hver s i t rør (Gershun rør) hvori der er
indskudt blændere, således at deres åbningsvinkel er den samme. Rørene r e t t e s
nu mod samme punkt på himlen (bedst mod solen), og signalerne i luf t fra de
t re instrumenter aflæses.
197
Hg (X0) = Sg (x0) \ (X ) / & L cos 6 to (7.53) d d d
Da lyse t falder vinkelret ind mod opalen, haves
Hg. (X0) - Sfe (Xo) TE (x ) L Au) (7 .54) d -.ad. d
Tilsvarende findes for E -signalet
^ (Xo> - (Xo> E ( V L Aü) (7.55) u u u
samt for E -s ignale t
*E (\) » ^ < V *E (\>> L Aa) (7.56) O 0 0
Funktionerne S og T har samme betydning som i afsnit 7 .7 . Udtrykkene (7.54) -
(7.56) gælder som sagt for målinger i l u f t , men eftersom a-meteret skal måle
i havet, skal vi tage hensyn t i l de t re E-metres immersionseffekter, som fø l
gel ig skal bestemmes ved forskell ige bølgelængder.
Rp, = 1 p .g .a . normalisering o
sEd<V X^ \C\.)
X " W W Y ^ = k1 (7,57)
og t i lsvarende for
u
Konstanterne k og k afhænger af bølgelængden og angiver den indbyrdes føl
somhed mellem de t r e E-metre i vand. Der gælder al tså :
E 0
E d
E u
(
1 = k1
- X.
D
^ d
*E *2 "u
hvorfra a(z) ifølge (7*52) kan beregnes.
(7.58)
(7.59)
(7.60)
198
7 .8 . Spredningsmåle r e .
Der findes i princippet to typer. Den ene måler det integrerede sprednings-
bidrag b = 2JI / ß(8) sin 6 d6, medens den anden måler ß(6) . Princippet i et
såkaldt ß-meter er blot en s tab i l lyskilde kombineret med et linsesystem, som
s ik re r en para l le l strålegang. Desuden en modtager med l i l l e åbningsvinkel ( r a -
dianstube). Begge l igger i samme plan. De kan drejes i bestemte vinkler i for
hold t i l hinanden. Der gælder :
dl(e) - ß(G) B dV (7.61)
dV = det rumfang,som fremkommer hvor modtagerens åbningsvinkel skærer lyss t rå len .
Udfra apparatdimensionerne bestemmes dV's s tørre lse geometrisk som en funktion
af 0. Da E e r den samme for a l l e 6, og dl(6) bestemmes gennem måling, kan vi
finde ß(6).
Målinger ved små (< 1 ) og store (> 1/0 ) vinkler e r vanskelige e l l e r
endog umulige, fordi instrumentet har begrænsninger sat af optikken samt in
strumentets egen udstrækning. Dertil kommer, at dV er usikkert bestemt ved
disse vinkler.
Den integrerende spredningsmåler (b-meter) består af et lampehus, foran
hvilket en flad opal (cos-collector) er anbragt. Vinkelret på dette beliggende
i samme plan sidder et radiansrør således anbragt og konstrueret, at l y s , kom
mende direkte f ra opalen, ikke v i l nå frem t i l radiansrørets photomultiplikator.
sensor —
Pig. 91
199
Yi regner med at h, opalen og åbnings vinkl en er lille, samt f luxen fra lampe
huset er konstant. Desuden at opalen er en ideel Lambert diffuser d.v.s. :
i(e) = 1(0) cos e (7.62)
En opal kan aldrig eksakt opfylde (7*62). På den anden side kan man via tek
niske anordninger komme nær idealet angivet ved (7.62).
Intensiteten, som udgår fra opalens overflade i retningen 6 (se Pig. 97),
er givet ved I - l(0) sin 9. Intensiteten ved dV bliver da *=
1(0) sin e e-(h/sin- e) c (7.63)
hvor c er vandets dæmpningskoeff icient ved den pågældende bølgelængde. Fluxen
på dV = I(x) dti) = E(x) dA.
da) - T I T - 2 (7.64)
^sin 6'
dA er et are alelement beliggende indenfor dV, hvis normal danner vinklen 6 med
radianstubens "synsretning". Vi finder nu :
B ( x ) = 1(0) f*h e- « Wsin 6 (?>65)
h
Intensiteten spredt af dV ind i detektoren er :
dl = E(x) p(6) dV <= E(x) ß(9) x2 dx di» (7.66)
Radiansen målt af detektoren bliver da :
,T dl - c x dl - c x t„ e-\ ^ = d e = ~2 e ( 7 ' 6 ? )
o x dæ o
Era Fig. 97 fås :
y,
x = r - h cot 9 og dx = ~~~ö d ^ . sin 8
(7.65) - (7-67) giver
-c(r + h (-rr-fl - cot e)i dL
T / A \ — c \T + n i—r—_ - cox ÖJJ = -£-*• ß(9) BIS 0 e dB (7.68)
200
b-meteret er konstrueret således, at r » h, d.v.s. vi kan i praksis integrere
fra 8 = O t i l 8 = TI. Vi undersøger nu størrelsen -i
- c h (—:—T - cot 8) Lsin 6 - se Fig. 98.
1
t 1 ' . " c h(-^T f i - cot 8) /
/ c h(*^Tft " cot 9)
Pig. 98
- c h( . 1 . - cot 8) Vi ser, at e ~ î f ° r de 6-værdier, hvor spredningen er af
gørende. Derfor sættes uden videre denne funktion = 1, og vi får da :
T _ 1102 - c r L - e ß(8) sin 6 d6 - # £ ) £ e - ° r K / 2 % h (7-69)
— C X1
Vi kender h, r. Leddet e kender vi under alle omstændigheder omtrentligt,
men i mange tilfælde også helt nøje udfra simultane o-målinger. L findes ved
måling og kendes l(0) fra callbrering - kan h "beregnes. Er lampen, photomulti-
plikator, opal o.s.v. uforanderlige i tiden er l(o) en apparatkonstant, som
kun vil være afhængig af "bølgelængden. Desværre er dette ikke tilfældet, hvorfor
gentagne calibreringer er nødvendige.
Instrumenterne nævnt under spredning benyttes bedst om natten, da de er
meget følsomme over for endog små mængder lysenergi. For at mindske en evt.
dagslyseffekt bruger man ofte røde farvefiltre foran photomultiplikatoren.
Dette kan gøres med fordel, fordi partikel spredningen ofte viser sig at være
bølgelængdeuafhængig og fordi vandets egenspredning er meget l i l l e i rødt.
201
Kapitel 8
Appendix
8.1. Vektoranalytiske begreber.
Et vektor felt er et rum, i hvilket der til ethvert punkt svarer en vek
tor. Et eksempel herpå er hastighedsfeltet af en væske i bevægelse, hvor der i
ethvert punkt er en vis hastighed v - v(x, y, z, tj.
Et skalarfelt er et rum, i hvilket der til ethvert punkt svarer en
skalar. Trykket p=p(x, y, z, t) i en væske danner et skalarfelt, og tyngde
potentialet, tidevandspotentiålet, hastighedspotentialet etc. gør det også.
Gradienten af ep (gradcp el, Vcp}, hvor ep er en skalar, er en vektor, som
går i den retning, hvor ep vokser stærkest, og hvis størrelse er lig med m's
tilvækst pr. længdeenhed i denne retning, ep forudsættes at være en funktion af
ruinkoordinaterne og kan være en funktion af tiden, tp = c, hvor c er en konstant,
er derfor ligningen for en flade {en ækvipotentialflade, hvis ep er en potential
funktion) .
Gradienten i et punkt P i denne flade går i normalens retning, forudsat
grad cp 0 i P, og kun én flade går gennem P. I kartesiske koordinater kan
grad ep skrives
gradcp = tf = î | L + ^ | ) L + ir|£. (8.D
hvor V skal opfattes som en differentialoperator, der kan skrives
' - * £ • * ! ? • * & (8-2)
Divergensen af A (d iv A e l . V * A ) , hvor A e r en v e k t o r , e r en s k a l a r , som
som i k a r t e s i s k e koo rd ina t e r def ineres ved
3A SA 3A
hvor
A « i A + Î A + k A (8.it) x y z
202 - * •
Divergensen af en vektor A kan opfattes som det antal feltlimer
(A-linier), der udgår fra en rumfangsenhed.
Rotationen af A (rot A, curl A el. 7 x A)» er en vektor , som i kar
te si ske koordinater defineres ved
rot A = curl A = V x A =
9A 3A _ SA 3A aA 3A ^8"5)
x (^T 3z } + ° {H dx } + k (3x 3y }
_>. (*) Bemærkning: En vektor A har den egenskab at være uafhængig af det valgte
koordinatsystem. Dette er ikke tilfældet for rotationen af en vektor. Her er
orienteringen af akserne af betydning, fordi vi betragter krydsproduktet mel-
lem to vektorer V og A. Dette forhold far kun betydning, nar vi foretager trans
formationer fra venstre- (højre-)drejede koordinatsystemer til højre- (venstre-)
drejede.
Af definitionerne på grad, div og rot følger identiteterne
div rot A = 0 ' (8.6)
rot grad ep = 0 (8.7)
Den første viser, at hvirvellinier ikke kan ende i strømfeltet. De må løbe
tilbage i sig selv eller begynde og ende i strømfeltets grænser. Den anden
viser, at et gradientfelt (potentialfelt) er hvirvelfrit.
Idet ep og ip er vilkårlige skalarer, og A og B vilkårlige vektorer, gæl
der
grad (W) « <P grad lp + ty grad <P (8.8)
div (tpA) - ep div A + (grad9 ) * A (8.9)
rot (cpA) = tp rot A + (grad ep) x A (8.10)
div (A * 3) = B • rot A - A rot B (8.11)
grad (A * B) = (A • V)B + (B ' V)A + A x rot B + B x rot A (8.12)
203
(A • V ) B er en vektor, der kan opfattes som den vektortilvækst S* får, når vi
flytter os et stykke lig vektoren A fra det betragtede punkt i B*-felt et. Ud
skrevet i komponentform fås :
(i
• Î
+ k
V)B = t dB 3B 3B
A — — + A — — + A — — x 3x y 3y z 3z
3B 3B 3B j^ — i - 4. j^ -1- tf. 4. A ti. x 3x y 3y z 3z
1 3B 3B 3B W — 5 . + — 2 + A — z ] x 3x y 3y z 3z
(8.13)
rot (A x B) = (B • V)A - (A • V)B + A div B - B div A
2 2 2 div grad = V = A = — r + — p + — p
3x 3y 3z*
(8.1U)
(8.15)
hvor A er Laplace-opérâtoren udskrevet her i kartesiske koordinater
A(cfty) = VW+ + 2 grad ep • grad ty (8.16)
Vi betragter herefter en vilkårlig funktion f(x, y» z, t) og bemærker,
at er rumkoordinaterne fastlagt som en funktion af tiden t, e r — defineret og
givet ved
dt 3t dt 3x dt 3y dt 3 z (8.16)
Er tidsafhængigheden fastlagt i ethvert punkt til ethvert tidspunkt ved et
hastighedsfelt v = v{x, y, z, t), er — dermed bestemt som en funktion af sted
og tid. Er v specielt hastighedsfeltet for en væskedels bevægelse, kaldes
differentiationen substantiel, fordi — da er ændringen af f pr. tidsenhed
bedømt af en iagttager, som følger med væskedelen. For dette tilfælde bliver
(8.16)
df 3* 3f 3f A 3f (8.17)
eller
df 3f ,-• dt - at + (v V)f (8.17)
•*••*• •+ :*• 1 \ , dx , dy , dz-,
hvor v = 1 u + j v + k w, og (u, v, w) = { — ^f ~ ) 'dt dt dtJ
204
Analogt med udviklingen ovenfor vil vi for en vilkårlig vektor størrelse
A, der er knyttet til den "bevægelige væskedel, have
| = f + <;•?)* (8.18)
Hvis A sættes lig v, fas væskedelens acceleration
| - | * I' • V>* (B.W)
Endelig skal følgende 2 vigtige integralteoremer nævnes:
Gauss1 sætning: Volumenintegralet af en skalar div A er lig flademtegralet af
skalaren A • n, hvor n er randfladens udadrettede enhedsnormal i ethvert punkt
af denne, dvs.
div A dV = v
A - n dF (8.20) F
Stokes' sætning: Fladeintegralet af skalaren (rot A) * n er lig linieintegralet
af skalaren  • s, hvor s er en enhedsvektor rettet langs randkurvens tangent
i ethvert punkt. Da vi betragter skalaren (rot A) • n, skal vi fastlægge en
integrationsretning for linieintegralet. • * • - • ' . . .
Vi sætter, at s x n > 0 i et højredreoet koordinatsystem, dvs. i vort
sædvanlige kartesiske koordinatsystem fås
I (rot 1) - n dF = [ 1 • s" ds (8.21)
integreret mod uret. Højresiden kaldes cirkulationen af en væskekurve, der ud
gøres af små sammenstødende væskedele.
Fremstilling af hastighedsfeltet:
Ved en potentialbevægelse forstås en bevægelse, hvis hastighed v kan
udtrykkes som en gradient af en skalar funktion ep , dvs.
v » grad ep (8.22)
f betegnes hastighedspotentialet. En potentialbevægelse er altid hvirvelfri,
fordi rot v = rot (gradcp ) er identisk lig nul.
For på en overskuelig måde at fremstille den øjeblikkelige bevægelse
kan vi indføre strømlinier, som overalt i væsken går i hastighedens retning.
Udtrykt matematisk i kartesiske koordinater fås
205
te = & = te (6.23) U V W
Gennem hver fladeenhed lagt vinkelret på hastigheden trækkes et antal strøm
linier, som er proportionale med hastighedens størrelse. Strømlinier kan ikke
skære hinanden, thi derved vil hastighedsfeltet ikke være entydigt givet. Ved
et strømrør forstås en lukket cylinderflade ud igennem hvilken ingen væske
strømmer i infinitesimale tidsrum - for stationære tilfælde kan vi udelade
"bemærkningen om tidsrum.
Vi antager først en divergensfri horisontal bevægelse, dvs.
£•£-0 (8.*)
Da u og v ikke er uafhængige af hinanden, indfører vi den såkaldte strømfunk
tion ifj , givet ved
u = |^ . v = -|| (8.25)
Med denne definit ion bl iver (8.2U) opfyldt. I so l in ie r for tø = constant i planen
kaldes for strømlinier . Vi har nemlig, a t tø = constant medfører at
a t ø = ^ d x + | ^ d y = 0 (8.26)
y 3x 3y *
som ved benyttelse af (8.25) giver
dx _ dy
som er et specialtilfælde af (8.23). Hældningen på isolinierne tø - constant er
lig tga, hvor a er vinklen mellem x-aksen og disse, mentga er også lig v/u,
altså
t g a = ^ (8.27)
Antager vi nu yderligere potentialbevægelse, fås endnu et bånd på has-
tighedsfeltet, der bliver hvirvelfrit
|2-fi=0 (8.28) 3x 3y
Analogt med tidligere kan (8.28) udtrykkes
206
« • • £ • T - & (8-29)
hvorved (8.28) Oliver opfyldt, ep er naturligvis hastighedspotentialet beskre
vet tidligere. De to funktioner ty og ep har visse fordelagtige egenskaber:
J5L= 9i I Ê . - i* ' (8.30) 3x 3y * 3y 9x
som kaldes Cauehy-Riemanns differentialligninger. Vi ser, at en bestemmelse af
den ene af de to funktioner ty, tp, giver den anden. Multiplicerer vi ligninger
ne i (8.30) med hinanden, bliver
&£. 3!k + % BU o (8 31)
Om nu ß betegner hældningen for isolinien, der har samme hastighedspotentiale,
dvs. dep = 0 (på tilsvarende måde som a gør det for hældningen for isolinien
dty = 0),
*---$|-i <8-33> dvs. a = 9 0 + ß. Dette betyder, at isolinier for henholdsvis ty og ep overalt i
væsken står vinkelret på hinanden. Benyttes (8.2U), (8.28) samt definitionerne,
finder vi, at
Aip = 0 (8.3*0
Atp= 0 (8.35)
Desværre kan de fleste oceaniske bevægelser ikke blive behandlet som divergens-
fri og/eller hvirvelfri.
8.2. Massetransport.
Massetransporten mellem bund z = -h og overflade z = TI er defineret som
M = pv„dz (8.36) J-h H
Kontinuitetsligningen
|f + v • (pS) = o
207
integrerer vi mellem z = -h og z = Ti:
m -h
at dz + -h v« * (POdz + d(pw) = 0 (8.37)
For differentation af et integral med variable grænser gælder
b b
f dz = Df dz + f(b)Db - f(a)Da (8.38)
hvor D er en differentialoperator. Beviset herfor gennemfører vi kun for til
fældet
D = Ix • f = f^X' y' Zt tJ • ' a = a(x) °S b = h^
Definitionen for integralet lyder;
b
f dz * (x - a) f. + (x- - x-)f0 + (b - x ): ± ± d ± ei n n+1
hvor
lim (x - x .. ) = 0 for a i l e m m m-1 m •+• »
hvorved
f s f ( x ) * f{x . ) m m »• m-1
Differentieres ovennævnte integrals højreside med hensyn t i l x, b l iver denne
3f 5b Z(x - x J - s - S - f .$â + f . -
m m-1 3x löx n+1 öx
dvs.
M 8x I
f dz = 3f £ * + r<b)«a- - f (a )g Öb oa 9x öx bx
Af (8.36) og (8.38) følger direkte
vH(p^H)dz+ [pvH]2 = T iVH-n (8.39)
u -1z = -h V-h)
208
Indsæt te r v i (8.39) i (8 .3?) fås
-h If dz + V_M ot ti -Kl V
z = n
- Kl, = .„ v - » > - [«-1..11 - [ p -U- h - ° Den kinematiske grænsebetingelse for overfladen giver
(Q.kO)
t t < » - * > - ° _ la VH 11= 0
(8 .Ul)
(8.U2)
Vi m u l t i p l i c e r e r med p _ og omordner l i g n i n g e n , hvorved z - D
pw i. i z = z = n - » Z ä=
PVHi "H z - n
^ = PZ = TI fe <8.U3)
hvor venstresiden udgjzfr 2 af leddene i (8.Uo). Den kinematiske grænsebetingelse
for bunden z - -h bliver analogt til (8.U3)
[pw 1 + jpv 1 • Vh = 0 L Jz = -h L nJ z = -h
(S.hk)
hvor venstresiden igen udgør 2 af leddene i (8.U0). Kombinationen af (8.U0),
(8.U3) og (B.hh) giver
-h z = X) (8.1*5)
(8.38) giver
* L h p d z ' U * dz + p at z = n
som, indsat i (8.U5), giver den søgte ligning
VH * M + 3t L h pdZ * ° (8.U6)
der udtrykker, at masseudstrømningen vL * M og masseøgningen tilsammen er lig
nul.
209
Specialtilfælde:
a) Homogent hava p = konstant = p
V„ - M + p |J « 0 H po 3t
Hvis overfladen er i hvile, reduceres (Q.kj) til
l d h = l d å h d t A d t
(8.1*7)
VH • S = 0 ( 8 ^ 8 )
h) Massefylden kons tan t i t i d e n medfører
V H - Ä + p | Ç - 0 (8 .^9) z = n
Hvis overfladen i tilgift er i hvile, får vi som før
VH - M = 0 (8.50)
Kontinuitetsligningen kan skrives som
|û = - p div v (8.51)
Væskedelen ændrer ikke s i n masse m = pV under s i n bevægelse, dvs .
dm dV , -r do _ . d£ = e d T + Y ^ t ° (8*52)
Antages en inkompressibel væske9 bliver
£-° eller
(8.53)
hvor A og h henholdsvis er et volumenelements horisontale grundflade og verti
kale højde. Vi betragter herefter et horisontalt hastighedsfelt. Herved fås
IL dA _ _3u jhr A dt = 3x + 9y
+ " " (8.5*0
ved benyttelse af (8.1*7) og (8.53)- (8.5*0 udsiger, at den horisontale diver-
210
gens i et l i l l e fladeelement A er l i g fladeelementets r e la t ive ændring pr . t ids
enhed. (8.5U) kan gives på en form, hvori strømlinierne for bevægelsen indgår.
Vi betragter nedenstående hjælpefigur:
An' = An + ^ dl
c = c + |£ di Ol
(8.55)
(8.56)
Idet C og C betegner to nabo-strømlinier, og A = An dl bliver
1 dA _ 1 A dt An dl
An' - C • An
eller
3u . 3v _ . £« liii + M Så* 31 An 31 (8.57)
gennem benyttelse af (8.5*0, (8.55) og (8.56). Hvis hastigheden er konstant
langs en strømlinie, vil den horisontale divergens udelukkende bestemmes af
den variable bredde mellem to nabo-strømlinier. For parallelstrømning vil det
derimod være ]v]'s variation langs en strømlinie, som vil forårsage en horison
tal divergens.
8.3. Stoftransport.
Koncentrationen af opløst stof q. angives som massen af stof pr. masse af
havvand. En vandpartikel med volumen dV og massefylde p har massen 6m = pdV.
211
Indhold af stof i partiklen bliver
ôm = qôm = pqdV
Uden diffusion gælder, at
dvs.
j Ja
q — (Om) + 6 m — (q) = 0 (8.59)
for en konservativ stofegenskab. Kontinuitetsligningen medfører — (<5m) = 0,
således at
U = 0 (8.60)
- se også bemærkningerne i forbindelse med udledelsen af Knudsens teorem.
Vi kan i stedet benytte, at
dt ( 6 V = ItCpqdV) = °* pq tt(dV) + dV I t cp*>
hvorved
p* * tvfe (dv) + f e (p(^ - ° (8.61)
Imidlert id er ~ — (dV) = V • v , dvs.
PI? ' v + — (pq) = o (8.62)
hvorved
•jj£ (p • CL) + V - (pejy) = 0 (8.63)
Stoftransporten kan defineres analogt med massetransporten
Q = I pqvHdz (8.64)
Går vi frem som ved udledelsen af (8.46), dvs. integrerer (8.63) mellem
overflade og bund, fås
212
VH * Q + 3t pqdz - O (8.65)
-h
o.k. Knudsens hydrografiske teorem.
Knudsens hydrografiske teorem hygger på udsagnet om, at saltholdigheden
er en konservativ parameter, hvilket betyder, at saltmængden i et givet volumen
er uforanderlig. Dette er næppe helt korrekt, fordi man kan tænke sig, at små
koncentrationer af salt vil forsvinde på grund af fordampning fra havoverfladen.
Det er velkendt, at atmosfærens indhold af hygroskopiske saltpartikler er større
over hav end over land, resulterende i forskelligartede nedbørsdannelser. For
dampnings effekt en er dog under alle omstændigheder lille og kan ignoreres.
Diffusionsligningen for en vilkårlig stofegenskab har følgende udseende
|^ + v-grad q. + ^ d W V
= f- (K I*) + |- (K ik) .+ |- CK I2-) + P (8.66) 3x x 9x 3y y 9y 9z z 3z
hvor q. er stofkoncentrationen i masse pr. volumenenhed. Por en konservativ
egenskab er produktionsleddet P = 0.
Stofudvekslingen tænkes at foregå ved advektion alene til og fra det
betragtede rumfang, der antages konstant, dvs.
|£=0 (8.67) at
Princippet om massens bevarelse kan formuleres som
| g = - p div v (8.68) dt
Saltholdigheden S er defineret som antal gram indeholdte salte pr. kg. havvand, —3 3 o
dvs. q. = p • S • 10 gram salt/cm , saledes at
103 § = 4JBSI = o (8.69)
(8.62) og (8.63) giver
^ £ i = p | | - pS div v = 0 (8.T0) hvor
P = ps div ; + âifiSl . -%å l + d i v ( p s - ) ( 8 . T 1 ) dS d t K - — ' * • d t 3 t
213
Antagelsen om ingen diffusion medfører, at
g - o (8.72)
Antages yderligerer stationær tilstand, reduceres (8.71) til
div (pS v) = 0 (8.73)
som udtrykker, a t nettosaltf luxen ind i det betragtede volumen e r l i g nul,
hvilket i matematisk formulering bl iver
[ pS v - d l = 0 (8.7*0 JA
hvor er fladeintegralet over voluminets begrænsningsflade. Antages til sidst
inkompressibilitet , haves
• * • div v = 0
dvs. nettovolumenfluxen ind i det betragtede volumen er lig nul. Anta
gelsen om inkompressibilitet medfører for alle vedkommende problemer ikke nogen
begrænsning. Som før kan (8.73) også formuleres som
v * dA = 0 (8,75) A
Kontinuitetsligningerne (8.7U) og (8.63) udgør grundlaget for Knudsens hydro
grafiske teorem.
8.5. Eavier-Stokes ligning.
Navier-Stokes ligning beskriver en væskedels acceleration under påvirk
ning af naturkræfter alene. Væskedelens bevægelsesmønster fastlægges ud fra et
initial-koordinatsystem. Vi ser heraf, at Navier-Stokes ligning blot er et an
vendt eksempel på Newtons 2. lov, der siger: Kraftsummen af alle ydre på en
massedel {væskedel) virkende naturkræfter er lig med massedelens acceleration
multipliceret med dens masse i et initial-koordinatsystem. Navier-Stokes
fortjeneste ligger med andre ord i påvisningen af de på en væskedel ydre vir
kende naturkræfter. Disse kan inddeles i 2 hovedklasser:
fladekræfter (vindspænding, gnidningskræfter etc.)
volumenkræfter (tryk, tyngdekraft etc).
214
Et i n i t i a l - k o o r d i n a t s y s t e m er u p r a k t i s k for de f l e s t e oceanograf iske
formål. Derfor i n d f ø r e r v i en type af koord ina t sys t emer , som l i g g e r f a s t i
forhold t i l j o r d e n . Herved t v inges v i t i l a t medtage f i k t i v e k ræf t e r i Ke-wtons
2. l o v . F i k t i v e k ræf te r e r a l t i d volumenkræfter.
Følgende r e l a t i o n gælder mellem den a b s o l u t t e og den r e l a t i v e a c c e l e r a
t i o n i e t jo rd -koord ina t sys tem:
( ~ ) - ( | r ) + t . + 2w x t + « x ( ^ E ) (8 .76) d t abs d t r e l J r e l
Her er 0) jo rdens v inke l f r ekvens , E r a d i u s v e k t o r f r a jo rdens centrum ( tyngde-
punkt i f ø r s t e t i lnærmelse ) og a . e r den a b s o l u t t e a c c e l e r a t i o n af jo rdens o
centrum. Denne acceleration skyldes tiltrækningen fra himmellegemerne, af
hvilke kun solen og månen har nævneværdig indflydelse.
Det er naturligvis v . , som vi er interesserede i at "bestemme. Vore
bevægelsesligninger bliver følgelig skrevet på formen:
4 v - + 2 æ x v = Z K + - k g - a . (8.TT) d t na tu r j
hvor v , = v, tyngdekraften - kg er opnået gennem sammensmeltning af centri-rel ^ _ # ^
fugalkraften o> X (OJ X R) og den almindelige massetiltrækningskraft. Leddet a. J
har i sær betydning i t i d e v a n d s s t u d i e r .
Det koord ina tsys tem, v i o f t e s t b e n y t t e r , e r t r e v i n k l e t k a r t e s i s k koor
d ina t sys tem, hvor x-aksen er o r i e n t e r e t mod ø s t , y-aksen mod nord og z-aksen
opad.xy-planen e r tangentp lan t i l e t b e t r a g t e t punkt på jo rden . Bevægelses
l ign ingen (8.TT) b l i v e r på komponentform i ovennævnte system:
f + -t + V # + W f - 2a>(v sincp - v cos<p) = • (8.78)
= _ i | E + I K + a rp 8x n a t u r , x x
(8.T9)
= - i Ü £ + i E + a p 3y n a t u r , y y
(8.80) ~ _ 1 | E + I K + a _ g
p 3z n a t u r , z z
215
Undertiden er det ikke hensigtsmæssigt at give (8.77) i kartesiske
koordinater. Vi skal derfor vise, hvorledes bevægelsesligningerne {8.78) -
(8.80) transformeres til andre koordinatsystemer, som alle antages for hjzfjre-
drejede. Dette betyder, at pseudovektoren 2w * v transformeres som en sædvanlig
vektor.For at forenkle udregningerne skrives (8.78) - (8.80) på formen
U + ^ | 2 . 1 (8.81) dt p 9x
U + i | £ = ï (8.82) dt p 3y
4£ + ^ | E - Z (8.83) dt p dz
Vi indfører de nye variable på Lagrange1sk fo
y = y ( q l S q.2» q.3> * )
rm
2 = z(<iv q.2» q3» t )
Hast ighederne i ( 8 . 8 l ) - (8 .83) e r d e f i n e r e t ved
dx u = d £ = x
(8.8*0
= f r = y (8.85)
dz v = d t = z
Heraf f å s
9x . _, 3x . . 9x . 3x /o Q/Ti u ' x " - ä ^ V ä ^ q2 + a q 4 3 + ä t ( 8 '86 )
og t i l s v a r e n d e ud t ryk for v og w.
Vi s e r a a t
dX _ dX
34- Sq.-T. T.
og t i l s v a r e n d e fo r y og 2 ( i - 1 , 2 , 3 ) .
216
Den samlede k i n e t i s k e ene rg i "bliver
i / . 2 .2 .2 . (8.87) T = IU + y + z )p
D i f f e r e n t i e r e r v i T med hensyn t i l henholdsvis x , y og z , fås
§ - *P. If - yp. § = *P <8-88>
Vi antager herefter, at kræfterne X, Y, Z på højresiden af (8.8l) - (8.83) kan
udledes af et potentiale V» hvorved
Y _ M T _ bV _ Ö V ,fi . , X - " b ^ ' Y - - b J ' Z - " b ^ (8"89)
Bevægelsesl igningerne ( 8 . 8 l ) - (8.83) kan nu s k r i v e s som
I < L ( â T ) + 1 3 P _ + i V s 0 p d t vd£ p 3x 3x
p d t vdyy p 3y 3y
I A (Él) + 1 J*E JV = p d t W p 8z 3z
(8.90) - (8.92) m u l t i p l i c e r e s henholdsvis med -7^- , T * ~ og •—-oQ.,- oq.,. oq..
adderes a l l e 3 . De t t e g i v e r :
3x 3y 3z ~ T » 3q. ° s 3 i :
1 1 1
som
(8.90)
(8 .91)
(8 .92)
d e r e f t e r
P l d t V3nJ 3q i p 2 3n 3 ^ Z 3n 3 ^ U {ö*93)
n = x , y , z n = x,y»z n = x , y , z
e l l e r
^ f e # % + ! t r + 3 H - = 0 C8 .9 , ,
n = x , y , z
Førs te l e d kan s k r i v e s pænere, i d e t
v 3T 3n _ v 3T 3n _ _ 3T , f t . h TT- - i TTT- -r-:— - 3 "^— IÖ.95J
3n 3 ^ 3n 3 ^ 3 ^ n = x , y , z
217
dt vo 3q.; dt •i » 9£ 3qil (8.96)
£ dt V 3^ L 3n dt ^ q ^
J an dt lgqi; £ 9n 9q. W
J 3qi
(8.97)
Resultaterne fra (8.95) - (8.97) "bevirker, at det første led i (8.9*0 kan skri
ves som
dt ^ 3 ^ 3 %
de r , i ndsa t i ( 8 . 9 ^ ) a g ive r
p at 3q£ p 3q i p gq i 9 q i (8 .98)
hvor i = 1 , 2 , 3-
Ønsker v i a t besk r ive "bevægelsesligningen (8.77) i s færiske k o o r d i n a t e r ,
i ndsæt t e s (q , q ^ q ) = ( r , q j , e ) i ( 8 . 9 8 ) , hvor
x = r coscp sinQ
y = r sinq> sinø
z - T cosø
(8 .99)
dr v = -TT = r r d t
v = r -r? = r 9
Q¥t = r costp 6 v = r cosi_ , . e * dt
(8.100)
Den k i n e t i s k e ene rg i "bliver
'6 I 2 2
T = I <p> v + v + (v a + cur costp)' I r ep H
dT 2 . — = <p> r ep = <p> r v p dep
d dv
dt l 3 $ ' p ^dt ep dt ;
dv s < P ^ ( d t } * r + Vrh
218
3T ' - -jr- = <p> (v + 0)r coscp) r (8 + Ü>) sincp =
= <p> (v + « r coscp) tgcp =
2 2 2 = <p> tv« tgcp + 2mr sincp vfl + tu r sincp coscp)
C o r i o l i s - l e d c e n t r i f u g a l - l e d
Bevægelsesl igningens ep-komponent kan h e r e f t e r sk r ives som:
dv r _JE + T T ^ + T ^ t g t p + 2uir sincp vQ +
^ 2 2 . 1 ftp bV + u r sincp coscp + — ^ + " - = 0 :p> 3<P 3cp
Bevægelsesligningens r- og 6-komponenter kan udledes på tilsvarende måde.
Vil vi beskrive bevægelsen i cylinderkoordinater, indsættes (q, , cu, q_)
* {r,cp , 2) i (8.98), hvor
x = r cos^
y = r sincp {8.101)
2 = z
Og herefter følger'vi proceduren, som den er angivet i det foregående.
Kontinuitetsligningen for massens bevarelse lyder i kartesiske koordi
nater :
8 a + 3(pu) 3(pv) a(pir) 3t 3x 3y + 3z D (8.102)
Denne ligning kan på tilsvarende måde som ovenfor skrives i generaliserede
koordinater.
8.6. Lagrange'sk og Euler'sk beskrivelse.
I studiet af en væskes bevægelse kan vi benytte 2 beskrivelser:
l) den Lagrange'ske:
Vi studerer her hver enkelt makroskopiske væskedel, som væsken består af,
samt dennes hastighed og massefylde som en funktion af tiden. Disse parametre
bliver herved også afhængige af størrelser, der karakteriserer hver enkelt
væskedel, f.eks, stedvektoren r" til et bestemt tidspunkt t. En væskedels posi
tion til ethvert tidspunkt t kan skrives som
219
r - f ( ï o , t ) (8.103)
• * • • * • • hvor r = f ( r , t ) . Væskedelens hastighed "bliver o o o
-»• 3 r
Fra (8.103) og
Og
2)
r - r s
0
væskedelens
_ g r 2
3ir
(8.10U)
t
O
ses
dt
acceleration
3v " 3t
den Euler'ske:
(8.1010
(8.105)
(8.106)
Her studerer vi ikke væskedelens "bevægelse, men rummet, som hele væsken
udfylder. I samtlige punkter af rummet undersøger vi, hvorledes de forskellige
parametre ændrer sig med tiden. Desuden "betragter vi ændringen i førnævnte
parametre fra et punkt i rummet til et andet. Vi foretager med andre ord en
feltanalyse, hvorved hastigheden "bliver en funktion af sted og tid:
v = ?(r, t) (8.107)
Hastighedsændringen ôv kan sammenstykkes af tq led. Det ene af disse hidhører
fra, at væskedelen flyttes et infinitesimalt stykke 6r fra et punkt, hvor hastig-
hedsfeltet har værdien v til et nabopunkt med værdien v' = v + ôr * Vv. Hvis vi
har stationær strømning (dvs. hvis v ikke varierer eksplicit med tiden), vil
yi - v - <5r • Vv være den eneste hast i ghedsæn dring, der forekommer. Hvis derimod
hastighedsfeltet varierer med tiden t, vil væskedelen udsættes for en hastigheds-
ændring ~ " dt, som skyldes en ændring af feltet på stedet. Dette andet led
ot giver kombineret med det første led den samlede hastighedsændring
6v = (~ + v - Vv) dt (8.108) dt
fordi ôr = v d t , Ved division med dt i (8.108) og grænseovergangen dt •+• 0 fås
væskedelen samlede hastighedsændring pr . tidsenhed (dens acceleration):
t=|j1|ï + v- . Vv" (8.100) dt ot
220
Den samlede acceleration er altså summen af ændringen i hastigheds feltet med
tiden samt dettes rumlige ændring.
Bevægelsesligningen i en Lagrange'sk beskrivelse bliver på formen
l _ £ = _ i V p + £ (8.110) 3td P
Her er x, y, z, t afhængige variable på ligningens venstre side, medens de
variable på højresiden er uafhængige.
Bevægelsesligningen i en Euler'sk beskrivelse har som tidligere vist
formen
| | + v - V v = - ^ V p + F (8.111) dt P
hvor x, y,- z, t er de uafhængige variable.
8.7. Randbetingelser.
Vi har to typer af randbetingelser:
1) Den kinematiske randbetingelse:
En fast rand såvel som en væskegrænseflade antager vi sammensat af
materielle partikler, for hvilke det gælder, at befinder de sig in gang i græn
sefladen, vil de forblive dér. Desuden antager vi, at normalhastigheden skal
være en kontinuert funktion over grænsefladen. Et tilsvarende kontinuitetskrav
for tangentialhast i gneden skal kun være opfyldt for viskøse medier.
En grænseflade tænkes alment givet ved funktionen
F(x, y, z, t) = 0 (8.112)
En vandpartikel, som til tiden t befinder sig i punktet (x, y, z), vil öt sek.
senere omtrentlig have stedkoordinaterne (x + dx, y + dy, z + dz) =(x + u3t,
v + v3t, z + zdt).
Siden vi kræver, at partiklen stadig skal være i grænsefladen, gælder
F(x + u3t, y + v3t, z + w3t, t + 3t) • 0 (8.113)
Rækkeudvikling af (8.113) med efterfølgende subtraktion af (8.112) giver
U 3t + |£ u3t + |f v3t + |£ v3t ot dx dy dz
eller
221
H + U 3ÏÏ + V 1F + W 3 l ^ " ° (8'11U)
(8.11U) anvendes nu på et f r i t vandspejl, hvis analytiske udtryk er:
z = n(x, y, t)
F = O = z - n(x, y, t)
dF dz dn TT = O = -TT- - -r— medfører, at vertikalhastigheden bliver dt dt at
(8.11U) anvendt på en fast rand z = f(x, y) ( f .eks , en havbund) giver t i l s v a
rende
v - u g + r g (8.116)
I specialtilfældet, hvor bunden er plan og horisontalt beliggende, dvs.
z = D = konst. s, får vi
•w = normalhastigheden = 0 (8.117)
(8.II7) kan generaliseres, således at normalhastigheden til en vilkårligt ori
enteret materiel flade er lig nul.
2) Den dynamiske randbetingelse:
Her antages, at trykket skal være en kontinuert funktion over en bevæ
gelig materiel flade. Det skal imidlertid tilføjes,, at den dynamiske grænse
betingelse, som den er formuleret hér, kun er gyldig, hvis vi kan ignorere
kapillar- kræfter som følge af overfladekrumninger. Vi vil i det følgende se
nærmere på indvirkningen fra kapillar-kræfterne for at finde trykket under små
krumme overflader:
Til dette formål benyttes nedenstående hjælpefigur, der forestiller en
omdrejningscylinder med højden s, knyttet til vinklen a gennem a = •§— . E1
222
Overfladespændingen G (dyn/cm) "bidrager t i l a t de 2 v i s t e frembringe re s , der
l ø b e r p a r a l l e l t med cy l inderaksen , påv i rkes af en k r a f t l i g med C«s. Den r e s u l
te rende k r a f t e r r e t t e t ind mod centrum og andrager 2-C*s cos(90 - a /2 ) ~ o s /R
Trykket p på f l aden b l i v e r f ø l g e l i g l i g med C/R . Vælger v i den anden hovedkrum
ning langs med cy l inderaksen f å r v i t i l s v a r e n d e , a t t r y k k e t på f l a d e n b l i v e r l i g
med C/R , Samlet f å s fo r k a p i l l a r t r y k k e t
P - c r å + 1 ) (8 .118) Ä1 2
Konkave krumninger i nvo lve re r nega t ive værdie r fo r de 2 hovedkrumningsradier R
og R„, medens konvekse krumninger medfører p o s i t i v e værd ie r . I e t tynd t s t i g r ø r
f . e k s , h a r v i R , R_ < 0 d . v . s . t r y k k e t vokser d i skon t inuer t» n å r v i g å r ud gen
nem væsken t i l l u f t e n .
Krumningen H e r d e f i n e r e t som
H = l i m ^ • . . (8 .119)
As-KD
Her gælder a t - — = — 7 - = r r / T T i hvor t e r en v i l k å r l i g pa ramete r . Vi b e -ÛS ZJC AS Û"C A t
t r a g t e r nu en 2 gange d i f f e r e n t i a b e l kurve g i v e t ved r = r ( t ) . Herved b l i v e r
d|tl x £(*+ At) A j ( t ) x $ ( t + ù t ) „ 1 ^ ) 1 1 ^ + A t)| s i n a =
9 - r ( t + At) = [ r ( t ) r ( t + At)] (8 .120)
h v o r [ ] e r det s åka ld t e p lanprodukt , d e r h a r følgende egenskaber :
A B J
A B y y
(8.121) [ î f ] - l ïxf l -A- ï -
Højresiden af (8 .120) kan rækkeudvikles t i l
[ t ( t ) r ( t ) ] At + [ r ( t ) t] At (8 .122)
(8.122) og (8 .120) g ive r
... s i n q . . oc L r ( t ) r ( t ) J / 0 ^ „ v l im — — = lim - T T = , I '—~s*- (8.123)
At"»0 ^ At-*0 A± | r(t) | 2
Indføre r v i a s /a t - | *(*) | og (8,119) i (8 .123) fås
B . K(t) = t l ü i J ü i (8.124) l r(t)
223
Yi s æ t t e r h e r e f t e r r ( t ) = i x ( t ) + j y ( t )
H =
± y • * * * *
(i2 + y 2 ) 3 / 2
(8.125)
Om x ( t ) = x (x) og y ( t ) = F ( t ) b l i v e r (8 .125)
(1 + ( F ' ( x ) ) 2 ) 3 / 2
Har v i en krum m a t e r i e l f l ade z = T|(x, y , t ) b l i v e r k a p i l l a r - t r y k k e t p t i l e t
g i v e t t i d spunk t
P • ° ' ? 2 \ ,/2 (8 .127) (1 + (v 1 1 ) 2 ) 3 / 2
8 . 8 . Bølger .
En enkel p r o g r e s s i v harmonisk b ø l g e , som gå r i x-aksens r e t n i n g , kan an
g ives på en af formerne
T) = A cos(k x - tu t ) (8 .128)
T) = B s i n ( k x - u) t ) (8.129)
T| = C e i t k X - t ü ' t ) (8 .130)
o
Her e r TI højdeændringen i fo rho ld t i l de t u f o r s t y r r e d e t i l f æ l d e , k b ø l g e t a l l e t
og CD v inke l f rekvensen.
Fasehas t igheden f o r en sådan bølge e r den has t i ghed hvormed e t punkt med
en given f a se ( f . e k s , bølge toppen) udbreder s i g . Denne h a s t i g h e d o- h a r nødven
d igv i s ingen fo rb inde l s e med væskedelenes bevægelse under bølgen . Fasehas t ighe
den f indes ved følgende b e t r a g t n i n g . I e t g i v e t t idsrum 6t h a r e thve r t punkt
på bølgen i (8 .128) bevæget s i g s tykke t c • fit i x-aksens p o s i t i v e r e t n i n g .
Det te b e t y d e r a t
An cos(k x - 0) t ) = An cos(k (x + c f ôt) - tu(t + <5t)) (8.131)
d . v . s .
224
w (8.132)
hvor X og v henholdsvis er bølgelængde og frekvens.
Gruppehastigheden, der kun kan defineres for mindst 2 bølger, er den has
tighed, hvormed en gruppe bølger bevæger s ig . Vi betragter for enkelheds skyld
2 harmoniske bølger på formen (8.128) med nærtliggende bølgetal k og k . Den
resulterende bølge bl iver ifølge superpositionsprincippet
T) = | A c o s ^ x - c^t) + £ AQ cos(k2* - u^t) (8.133)
som ved sædvanlig trigonometrisk omordning også kan skrives
k - k. u)„ - tu, k + k„ CD, + u>„ Ti = Ao cos( 2
g 1 x - 2
g 1 t ) cos( 1
2 2 x - 1
g 2 t ) (8.134)
Da k0 - k, og u)„ — cu, begge er små led henholdsvis l i g med <5k og 6u), b l iver det
første cos-led kun langsomt varierende i forhold t i l det andet cos-led. Dette
sidste kan omtrentlig skrives som cos(k x - tu t ) , fordi k ~ k, ^ k„ og to ~ tu, "-
ti)„. Indhyl dningskurven for cos(k x - tu t ) b l ive r cos(-§ <5 k x - -|Ôtu t ) . Dennes
vandringshastighed, som er gruppehastigheden, findes t i lsvarende som før
d(ko ) dc f dc f C g = 6k = — d T » cf + k d k ~ = C f " X d T ( 8 ' 1 3 5 )
Udtrykket gælder generelt for en gruppe af bølger, som propagerer i samme retning.
Superposition af bølger, der udbreder s ig i forskell ige retninger, .er og-
så muligt. Vi definerer først en bølgetalsvektor k for en enkel harmonisk bølge.
k går i bølgens udbredelsesretning. Antager v i igen en plan bølge, v i l det for
punkter med samme fase ( f . eks , en bølgetop) gælde at stedvektoren r t i l disse
punkter mult ipl iceret skalart med k er konstant. Denne bølge kan a l t så skrives
på formen
T| = A cos(k . r - to t ) (8.136)
Fordelen ved denne fremsti l l ing l igger i , at v i kan summere en række bølger med
forskel l ig udbredelsesretninger som angivet nedenfor
Ti = 2 A cos(k * r - tu t ) (8.137) ^ n n ^ TO. n ' \ ->• /
Vi v i l a t t e r se på bølgen med formen angivet i (8.128). For a l le tyngdebølger
uden påvirkning af kapil lar-kræfter , der udbreder sig i en væske med f r i t vand-
225
spejl, gælder :
Ti « — A sinh k h cosfk x - u> t ) 1 o) x '
(8.138)
hvor h er vanddybden, når vandspejl og væske er i hvile. Vi bemærker- at A = k ° — A sinh k h. Væskedelenes hastigheder bliver :
u - k A cosh k(z + h) cos(k x - CD t ) (8.139)
w = k A sinh k(z + h) sin(k i - mt) (8.140)
•*• + g z = ID A cosh k( 2 + h) cos(k x - w t )
c . = ( f tgh k h }2
(8.141)
(8.142)
Vi vil herefter undersøge en tyngdebølges potentielle energi E . I et
volumenelement dV er den potentielle energi l ig med dE = p g z dV. Den samlede
potentielle energi indenfor voluminet V bliver følgelig :
E = P
p g a dV = ItT]
oJ-h p g z dx dy dz
For en homogen væske får vi da :
E = | p g f f di - ^ p g h2 X (8.143)
Leddet - | p g h X er væskens potentielle energi, når den er i hvile (T] = 0).
Leddet er negativt, fordi E er regnet relativt t i l niveauet 2 = 0, der falder
sammen med den hvilende væskeoverflade. Da vi kun er interesserede i den del af
den potentielle energi, som hidhører fra bølgen (forstyrrelsen), ignorerer vi o
leddet - | p g h \ . Benytter vi (8.143) og (8.138) fås t i l tiden t « t :
Ep = § p g ( | ) 2 (A sinh k h)2 cos (k x - u) t ) dx (8.144)
Da k/ü) « l/c_ kan vi benytte (8.142) på (8.144)
E = - P A2 sinh 2 k h P 4 (8.145)
ved anvendelse af den l i l l e integraloversigt bagest i dette afsnit.
226
Vi v i l heref ter på lignende måde undersøge en tyngdebølges kinetiske ener-2 2 gi ÏL . I et volumenelement dV er den kinet iske energi l i g med dE. = -gp(u +w )&V.
Den samlede kinetiske energi indenfor voluminet V b l iver følgel ig :
\ = i p (u2 + w2)dV « f j f | p (u2 + w2) dx dy åz
V o o -h
For en homogen væske f å r vi da :
E, = | p u dx dz + | p • J w dx dz (8.146) •U-h -U-h -h
Benytter vi (8.139) og (8.140) fås t i l t iden t = t : o
n .2 E . = j p A^ sinh 2 k h (8.147)
ved anvendelse af den l i l l e integral overs ig t bagest i dette a f sn i t . Yi bemærker,
at den potent ie l le energi som følge af bølgen alene har samme s tør re lse som den
kinetiske energi. Den samlede energi Indenfor voluminet V b l ive r derfor E = E +
+ E, » 2E. d .v . s .
E = I p A2 sinh 2 k h (8.148)
Heri l igger , som følge af ligningen E = E + E j . at vi implicit har ignoreret
gnidning.
V er l i g X h 1 = X h. Den gennemsnitlige samlede energi pr. volumenenhed
kan skrives
< E > = ^ E (8.149)
Indsætter vi fra t i d l i ge r e fås
< E > = - ^ p A2 sinh 2 k h (8.150)
Energitransporten i én periode T som følge af en tyngdebølge, der udbre
der s ig i x-aksens posit ive retning, er l i g med det arbejde, som væsken t i l ven
stre for en plan x = x udfører på væsken t i l højre for denne plan. På et f lade
element dE = dy dz virker kraften p dP, som udfører arbejdet dW = p dP dx =
p u dy dz dt. Det samlede udførte arbejde i t idsforløbet T b l ive r
227
r l r l l rT W = p u dy dz dt (8,151)
Jo J -h Jo
Benytter vi (8.139)» (8.141 ) samt den l i l l e integraloversigt , får vi for x = x
W = \ p A2 T k sinh 2 k h • & c f ( 1 + ^ hg k h ) (8.152)
Den gennemsnitlige energitransport pr. f lade- og tidsenhed < W > kan herefter
beregnes. Arealet af en plan vinkelret på x-aksen er l i g F = 1-(h + Tj) ~ ^ d .v . s .
< W > = ^ ~ W (8.153)
Indsætter vi (8.152) og (8.150) i (8,153) fås
< W > - i < E > c f ( 1 + B2 ^ h
2 k h ) (8.154)
Benytter vi (8,135), (8.142) og (8.150) fås
c - £ c- ( 1 + 2 \ h0 . . ) (8.155)
g 2 f v sinh 2 k h J s
Herved kan vi udtrykke (8.154) som
< W > = < E > c (8.156) S
der i ord beskriver, at energien i en bølge forplanter s ig med gruppehastigheden.
For korte bølger har vi at
C-P =\ / f f c „ = Ï <V °S < W > « i < B > c . f
medens for lange bølger
c» - | | g b , c = c f og < W > = < E > c .
228
for:
De gennemgående "benyttede integraler i dette afsnit er angivet neden-
2 f 2 sin (kx - tot)dx - cos (kx - tøt) = i A
o ' o
T ri sin(kx - urt)dt = cos(kx - u t )dt = 0
J 1*1
f1 2 r 2
sin (kx - wt)dt - cos (kx - æt)at = sT
sinh2 k(z + h)dz = -g(n + h) + - sinh 2k(n + h) « - ih + -rt- sinh 2kh
cosh k(z + h)dz = i(n + h) + pr sinh 2k(n + h) -h
- sh + Tj- sinh 2kh
-h z cosh k(z + h)åz ~ -r * H sinh k(Tj + h) -
- cosh (I] + h)k - 1 = k L J
= — • n sinh kh + k T| cosh kh + -
- - P cosh kh + k n sinh kh + + —$ * -77 (l -
(8.157)
(8.158)
(8.159)
(8.160)
(8.161)
cosh kh) k k
hvorved vi har ignoreret led af orden H og højere.
Kapitel 9
229
Afsluttende bemærkninger.
Livet er for kort og forstanden for begrænset til, at ét menneske kan nå
alting. Man må lære at tage fra andre og at bruge hinanden. Sådanne evner
udvikles bl.a. gennem noteskrivning.
Uden det gamle instituts tre gratier, som udgjordes af fr. E. Halldén, A.
Sibbesen og J. Møller, var de geofysikstuderende aldrig blevet udsat for
forfatterens noter. Fr. A. Guldager har i årene herefter med både ildhu og
omhu forberedt udgivelsen af dette andet oplag i et fortrinligt samarbejde med
HCØ-tryk. Kommende årgange af geofysikstuderende bør sammen med forfatteren
glæde sig over resultatet af samarbejdet. Endelig skal der også rettes en tak
til nedenstående forfattere af oceanografisk litteratur, fordi de har været
leverandører til notesættets tekst og figurer.
Dietrich, G., 1950. Die natürlichen Regionen von Nord- und Ostsee auf hydrografi scher Grundlage. Kiel er Meeresforschungen, Band VII, Heft 2, pp 35-69.
Dietrich, G., 1963. General Oceanography. John Wiley and Sons. 588 pp.
Fonselius, S.H., 1970. On the stagnation and recent turnover of the water in the Baltic. Tellus 22, 3, pp. 533-543.
Fonselius, S.H., 1974. Oceanografi. Generalstabens litografiska anstalts Förlag: 248 pp.
Hermann, F., 1968. Hydrografiske forhold i danske farvande. Danmarks Natur, bd. 3, Havet, pp. 30-47. Politikens Forlag.
Neumann, G., W.J. Pierson Jr., 1966. Principles of physical oceanography. Prentice-Hall, Inc., 545 pp.
Tak til mine skandinaviske kolleger L. Djuurfelt, A. Foldvik, M. Mork samt
0. Sælen som vederlagsfrit og uden at vide det har leveret både ideer og stof
til notesættet, hvorved jeg har sparet både hjernevindinger og tid.
En særlig tak vil jeg rette til li c,scient. Erik Buch, der med stort tålmod
og sans for detaljen har luget manuskriptet for både de værste fejl og de
mindre slemme.
N.K. Højerslev
230
S t i k o r d s r e g i s t e r
t i l
Vandbevægelser i kystnære områder
af
U.K. Høje r s l ev
Absorp t ionskoe f f i c i en t 184,188 Bølgeenergi 81,225-227
Absorptionsmåler 196,197 i t r a n s p o r t af 226-227
Amfidromisk punkt 179,180 Dølger , supe rpos i t i on af 224
Amplitudefunktion 172 Bølge r e f l e k s i o n 91-96
Anoxide forhold 27,32,33 Bø lge re f rak t ion 81
Astronomiske k o o r d i n a t e r 166,167 B ø l g e t a l s v e k t o r 224
Atmosfæriske g a s s e r 31
b-meter 198
Barokl in bevægelse 113
Baro t rop t hav 70
Baro t rop bevægelse 112
B e l y s n i n g ( i r r a d i a n s ) 182
B e r n o u l l i - f u n k t i o n 122
B e r n o u l l i s l i g n i n g 87,125
B e r n o u l l i s teorem 121
Bevægelsesl igning 23 ,24 ,44 ,56 ,214
, c y l i n d e r - k o o r d i n a t e r 153
, s fær i ske k o o r d i n a t e r 217-218
Brun t -Vä isä lä f rekvens 142
Brydningsindex 186,194
Bælthavet 9»97-100
Bølge, i n t e r n 127-146
, i n s t a b i l i t e t 147-150
Bølge, kanal 88
, k a p i l l a r 76,79
, k o r t 81,82
, lang 81,82,89
, overf lade 72
, s o l i t æ r 88-89
, s tående 84-87
, t idevand 168-180
c-meter 1°7
Colding,A 55
Co-osc i l l e r ende t idevand 170
C o r i o l i s k r a f t 23,24,112,153
Cos inusko l l ek to r 189
» C o - t i d a l " l i n i e 177,178,179
C i r k u l a t i o n s c e l l e , an t icyklonal 44
Cykloniske bevægelser 151-152
Cy l inde rkoord ina te r 152,153
Damptryk 106-107
Dek l ina t ion 166,177
D e t r i t u s 34
Di f fus ionskoef f ic ien t ,molekylær 46
, t u r b u l e n t 106
Diffus i o n s l i g n i n g 23,45 » 212
Divergens 201
Dogger Banke 9»11
Dybe Rende 9
Dæmpningsko eff i c i e n t 18 5,187
Dødvande 129
Egenfunktion 144
E in s t e in k as se 161
Ekman-dybde 58,61
231
Ekman-lag 61,62
- s p i r a l 58
Ekmans elementarsystem 63
E k l i p t i k a 167
Emissionsspektrum 181
Energ i f lux 52,53,182
Energ i , t u r b u l e n t 52,53
E n e r g i l i g n i n g , mekanisk 52
, t u r b u l e n t 52
Ene rg i t r anspo r t ( i bø lge r ) 226,227
Engelske Kanal 11,13,177
Eule rs l i g n i n g 121
Eulersk "beskrivelse 219
E u t r o f i e r e 27
Farve index 31
Fasehas t ighed 7 4 , 7 9 , 8 0 , 8 9 ,
130,133,223
Fe j l funk t ion 65
F e r s k v a n d s t i l f ø r s e l 100,110
F l o d t i l f ø r s e l 100-105
Fluorescerende s t o f f e r 157
Fluo re s censraål inge r 155
Flux ( r a d i a n t ) 182
Fo rdampning 104-110
For rådne l se sp roces se r 34
Fosfa t 27,35,36
Fotosyntese 28
F r i t u rbu l ens 43
F r i k t i o n s h a s t ighed 49
Frysepunkt 25
Gauss' sætning 204
Geos t rof i sk l igevægt 112-120
mas s e t rans por t 62
strømkomponent 61 ,62 ,63 ,68
strøm 112
Gershuns l i g n i n g 187,196
Gnidningskoef f ic ien t , k inemat i sk 45
Gnidn ingskoef f i c i en t , t u r b u l e n t 56,74
, molekylær 45,49
Golfstrøm 44
Gradient 201
Gruppehastighed 81,224
Grænsebet ingelse 26,75
, dynamisk 26,76
, k inemat isk 26,75,85
Grænselag 48,51,52,53
Guldberg-Mohns an t age l s e 71,89
Gulstof 111,112,155
Ha lok l in 13,28,30
H a s t i g h e d s p o t e n t i a l e 206
Hav b a r o t r o p t 70
Hav, e p i k o n t i n e n t a l t 9
, i n t r a - k o n t i n e n t a l t 9
Heiland-Hansens l i g n i n g 120
H v i r v e l l i n i e 121
Hydrogensulf id 33
Immersionseffekt 194,195
I n e r t i - b e v æ g e l s e 68-72
- c i r k e l 71
-pe r iode 71,72
- s t røm 70
Ins t ab i l i t e t ( af i n t e r n e bø lge r ) 147-150
I n t e n s i t e t 182,199
I n t e r n bølge 127-146
I n t r a k o n t i n e n t a l t hav 9
I r r a d i a n s , 182
, n e d a d r e t t e t 182
, o p a d r e t t e t 183
, s fær i sk 183
, s k a l a r 183
, v e k t o r i e l 183
,måling af 189-193
I s o l i n i e r 205,206
Isopykn 120
2 32
Kanalbølge
K a p i l l a r b ø l g e r
Kap i l l a r e f f e k t e r
Kap i l l a rk ræf t e r
Kap i l l a r t r y k
Karmans kons tan t
Ka t t ega t
, f o s f a tkoncen t r a t i on 38
, s a l i n i t e t s f o r h o l d 11,12,15)
18,128
,s trøraforhold 15,18,37
, t empe r a t u r f o rhol d 10 ,12 ,
127,128
Kelvinbølger 172,173-175)17^-180
Kinematisk gn idn ingskoef f i c i en t 45,48
Kinematisk grænsebet ingelse 208
K i n e t i s k energ i 43»216,217
, t u r b u l e n t 52
Kine t i sk g a s t e o r i 46
Knudsens hydrograf iske teorem 97-100
125,212-213
KoblingBenergi 52,53)54
Ko l l ek to r 189
Koncen t ra t ion ,a f f luo resce rende
ma te r i a l 157
,af op løs t s t o f 210
,a f p a r t i k l e r 152,156
, a f suspenderet
ma te r i a l e 152,156
Konservat iv parameter 212
K o n t i n u i t e t s i i g n i n g 23,44,218
Koordinat t ransformat ion 215-218
K o r r e l a t i o n s k o e f f i c i e n t 47
K r i t i s k b ø l g e t a l 150
Krumning 222
Lagrange 'sk b e s k r i v e l s e 218,220
Lambert-Beers lov 184
Ligevægts teor i I64- I65
88
76,79
76
76,221
222
49,52
127-129
Lol land
Lysspredning
Margules l i g n i n g
Massefylde
, maximal
Masseflux
Masse t ranspor t
55
184
119
23
25
97
, g e o s t r o f i s k 62
Mekanisk e n e r g i l i g n i n g 52
Merians formel 86
Månetidevand 158
Navier -S tokes l i g n i n g 213
Hedbør 100,101
Nordsøen 9,158-180
, p a r t i k e l k o n c e n t r a t ion 22
, s a l i n i t e t s f o r h o l d 11,12,13,21
, s t rømforhold 17
, t empera tur forhold 10,12
13,20,22
,vandmasser 19
Norske Kyststrøm 13,155
Norske Rende 9
Opal
Oxygen
Overf ladebølger
Ove rf1ade spænding
Overf 1 ade sa l i n i t e t
0verf1adestrøm
Overf1adetemperatur
189,190
27 ,33 ,39 ,40 ,42 ,54
72
76,222
11-13,15,18,21
. .15-18,21
11-13,21
P a r t i k e l f o r d e l i n g 32
P a r t i k e l k o n c e n t r a t i o n 152,156
,måling af 155,175
P e r t u r b a t i o n s t r y k 77
Po inca ré -bø lge r 173,175-176
Pola rv inke l 188
Po ten t i a lbevæge l se 204-206
233
P o t e n t i a l e t rømning 122
Primær h a l o k l i n 28,30
Pyknoklin 129
q-meter 195
Radians 181,182
Rad ians rø r 186,188,189
Radians, måling af 188,194
Randbe t inge l se r , 23,26,220,221
,k inemat iske 220-221
»dynamiske 221-223
Raoul t s l o v 106
Re a k t i o n s t r a n s p o r t 125
Reduceret tyngdekraf t 129
Ref leks ion (a f bø lge r ) 91-96
Ref rak t ion ( a f b ø l g e r ) 81
Reynoldsk spænding 45»46
Reynolds t a l 53
Richardsons t a l 54
Rossbyt s t a l 112
.Rotat ion 202
Ruhedsparameter 52
Sal t f l u x 26,97,213
S a l t f r o n t 15,18
S a l tvands indb rud 41,5 4
Sekundær h a l o k l i n 28,30
Se lvd i f fus ion 53
Seiche 83,87
Seiche, un inoda l 83-84
Sfærisk i r r a d i a n s (be lysn ing) 183
Skagerrak 151-157
, f luoresce rende s t o f f e r 157
, p a r t i k e l k o n c e n t r a t i o n 156
, s a l i n i t e t s f o r h o l d 11,12,21
, s t rømforhold 151
, t empera tur forho ld 10,12,152
Skager rakhvi rv len 151-154
Ska la r i r r a d i a n s ( b e l y s n i n g ) 183
Ska la - analyse 47,50,113,114,153
S n e l l ' s lov 186
S o l i t æ r bølge 88
Sommertermoklin 13,30
Spec i f ik l u f t f ug t i ghed 106
Spredningskoef f ic ien t 184
Spredningsmålere 198-200
Spr ingf lod 158
Spr ing lag 123,124,152
Standardapproximat ioner 23,25
S ta t ionær h v i r v e l 152
S t o f t r a n s p o r t 210-211
Stokes sætning 204
S to re Bælt 116,117,118
Stormflod 55
Strømfunktion 205
S t r ø m l i n i e r 121,205
Strøm, g e o s t r o f i s k 61,63,112
Strømning, s t a t i o n æ r 43
, t u r b u l e n t 43
St r å l i n g s l i g n i n g 184-187
Stående bø lge r 84 f f
Sundet, se Øresund
Superpos i t ion ( a f bø lge r ) 224
Tangent ia l spænding 47
Temperaturfront 18
Termoklin 13,28,30
Tidevand 158*168
, c o - o s c i l l e r e n d e 170
Tidevandsamplitude 158,160,166
Tidevandsbølger 168~180
T idevandse l l ipse 160,180
Tidevandsfremkaldende k r a f t 159,162
T idevandspo ten t i a le 159,163
Tidevandsresonans 169
Tidevandsstrøm 11,13,160,180
T i l s t a n d s l i g n i n g 23
Z34
Time v i n k e l
Transmissionsmåler
Tropisk måned
Turbulens
Turbulent beva re l se
b landing
b l and ingskoe f f i c i en t
d i f fus ionskoeff i c i e n t
energi
f l u k t u a t i o n
gn idn ingskoe f f i c i en t
Tærskler
Tyngdepotent i a l e
Tyndallmåler
166
I87
167
43-54
43,46
46
46
106
52
43
47 ,48 ,
56 ,74
9
121
155
Østersøen, fo s fa t
, h a l o k l i n e r
, hydrogensu l f id
, nedbør
, oxygen 27,33,39
, områdeinddeling
, p a r t i k e l f o r d e l i n g
, s a l i n i t e t s f o r h o l d
t s a l tvands indbrud
, s trømforhold
T t empera tur forhold
, termokl in
Abningsvinkel
27,35,36
28,30
33
100,101
40 ,42 ,54
28
32
39,41
41 ,54
16
39,40
28,30
188
Udvekslingskoefficient for masse 53
Vandmasse 19
V and s t andsmål e r 116
Vandstandsmålinger, S torebæl t 116-117
Vejfunktion 186
V ind-spænding 26,49
Vind-stuvening 55 f f , 7 2
, l angs kys t 62
, i l ukke t b a s s i n 65
Vek to r i e l i r r a d i a n s (be lysn ing ) 183
V e r t i k a l dæmpningskoefficient 183
Volumenflux 97,213
Vægturbulens 43
Øresund 9,97-100
, s trømforhold 123
Østersøen 27-42 ,54 ,68 ,83 ,84 ,87 ,99
,bundtopograf i 29
, f a rve index 31
, f e r s k v a n d s t i l f ø r s e l 100
, f l o d t i l f ø r s e l 100-105
,fordampning 104-110
HCØ TRYK • KØBENHAVN
