Embed Size (px)
Citation preview
Kort introduksjon til bølger i hav og atmosfære1
Helge Drange
Var 2014
Kommentarer til [email protected]
Oppdatert 15. mai 2014
1 Bølger i hav og atmosfære
Bølger betegner fysiske prosesser som transporterer informasjon i tid og rom, som energi, uteneller med liten adveksjon av masse knyttet til transporten. Dette i motsetning til for eksempelgeostrofisk balanse og ageostrofisk strøm i atmosfære og hav som alltid er knyttet til adveksjonav masse. Følgelig kan et bølgesignal forplantes uten eller med liten pavirkning av jordrotasjonen,selv om forplantningshastigheten kan være svært stor. Dette i motsetning til adveksjon av massesom alltid vil være pavirket av Corioliseffekten og som skalerer lineært med væskeelementetshastighet.
En generell gjennomgang av sentrale egenskaper til bølger er gitt i appendiks.
2 Utledning av gruntvannsligningene
2.1 Utgangspunkt og konfigurering
Utgangspunktet for gruntvannsligningene er standard form av horisontal momentumligning
∂u
∂t+ u
∂u
∂x+ v
∂u
∂y− fv = −1
ρ
∂p
∂x+ Fx (1)
∂v
∂t+ u
∂v
∂x+ v
∂v
∂y+ fu = −1
ρ
∂p
∂y+ Fy (2)
og kontinuitetsligningen (hvor u = (u, v, w))
∂ρ
∂t+∇ · (ρu) = 0 (3)
Vi betrakter en homogen (ρ = ρ0), friksjonsfri (Fx,y = 0) og barotrop (∂u/∂z = ∂v/∂z = 0)væske med fri overflate η(x, y, t) som illustrert i figur 1. Ligningene (1)-(3) kan da skrives paformen
∂u
∂t+ u
∂u
∂x+ v
∂u
∂y− fv = − 1
ρ0
∂p
∂x(4)
∂v
∂t+ u
∂v
∂x+ v
∂v
∂y+ fu = − 1
ρ0
∂p
∂y(5)
∂u
∂x+∂v
∂y+∂w
∂z= 0 (6)
1Teorien er i hovedsak hentet fra INTRODUCTION TO GEOPHYSICAL FLUID DYNAMICS, Physical andNumerical Aspects (2010): Benoit Cushman-Roisin og Jean-Marie Beckers, Academic Press (Publication date:September 2010), tilgjengelig fra http://engineering.dartmouth.edu/ cushman/books/GFD.html.
1
Figur 1: Illustrasjon pa en homogen væske med fri overflate η(x, y, t) og generell batymetri b(x, y).h(x, y, t) beskriver total væskehyde. zref = H er et referanseniva som beskriver overflaten utenbølger relativt til z = 0. Nullniva for vertikalaksen er valgt a ligge under b (men den kunne likegjerne legges ved zref som i Marshall & Plumb.)
2.2 Kontinuitetsligningen
Kontinuitetslignngen er gitt ved (6), der u og v er uavhengig av z (grunnet antagelsen ombarotrop væske), men ∂u/∂x 6= 0 og ∂v/∂y 6= 0, slik at vi kan ha divergent strøm.
Vi betrakter den homogene væsken som vist i figur 1 og integrerer (6) fra bunnen z = b(x, y) tilden frie overflaten z = b(x, y) + h(x, y, t). Dette gir(
∂u
∂x+∂v
∂y
)∫ b+h
b
dz + w|b+hb = 0 (7)
Her er w(z = b + h) bevegelsen til den frie overflaten. Denne kan uttrykkes ved hjelp av dentotalderiverte (som beskriver hvordan overflaten endrer seg med bevegelsen)
w(z = b+ h) =Dz
Dt
∣∣∣∣b+h
=D
Dt(b+ h) (8)
=∂
∂t(b+ h) + u
∂
∂x(b+ h) + v
∂
∂y(b+ h) (9)
=∂h
∂t+ u
∂
∂x(b+ h) + v
∂
∂y(b+ h) (10)
Pa tilsvarende mate er
w(z = b) =Db
Dt= u
∂b
∂x+ v
∂b
∂y(11)
Uttrykkene (10) og (11) innsatt i (7) gir(∂u
∂x+∂v
∂y
)(b+ h− b) +
∂h
∂t+ u
∂
∂x(b+ h) + v
∂
∂y(b+ h)− u ∂b
∂x− v ∂b
∂y= 0 (12)
2
eller∂h
∂t+
∂
∂x(hu) +
∂
∂y(hv) = 0 (13)
som er kontinuitetsligningen uttrykt ved lokal endring av væskesøylen h og divergensen tilhuH .
Alternativt, sidenh(x, y, t) + b(x, y) = H + η(x, y, t) (14)
kan den tidsderiverte i (13) uttrykkes ved η
∂η
∂t+
∂
∂x(hu) +
∂
∂y(hv) = 0 (15)
2.3 Momentumligningene
De horisontale momentumligningene er gitt ved (4) og (5).
Trykket p(x, y, z, t) er gitt ved hydrostatisk ligning
∂p
∂z= −gρ0 (16)
Trykkvariasjoner som skyldes endringer i overflatehevningen kan da uttrykkes som
p|b+hH = −gρ0(b+ h−H) (17)
(17) kan skrivesps − p(H) = −gρ0η (18)
ellerp(H) = ps + gρ0η(x, y, t) (19)
Pa tilsvarende mate, for et vilkarlig dyp z1 (se figur 1) gjelder
p(z1) = gρ0∆z + ps + gρ0η(x, y, t) (20)
hvor ∆z = H − z1.
Over tid er det generelt (meget) sma romlige variasjoner i overflatetrykket ps. Vi kan derfor sebort fra bidrag fra ∇ps. Fra uttrykkene (19) og (20) følger det da at
∂p(H)
∂x=∂p(z1)
∂x= gρ0
∂η
∂x(21)
Tilsvarende sammenheng gjelder for ∂/∂y. Det er derfor kun overflatehevningen η som gir opphavtil trykk-kraft i en homogen væske. Av denne grunn kalles sammenhengen p = gρ0η for dynamisktrykk.
3
2.4 Gruntvannsligningene
Overstaende gir gruntvannsligningene uttrykt ved u, v, h og η
∂u
∂t+ u
∂u
∂x+ v
∂u
∂y− fv = −g ∂η
∂x(22)
∂v
∂t+ u
∂v
∂x+ v
∂v
∂y+ fu = −g ∂η
∂y(23)
∂η
∂t+
∂
∂x(hu) +
∂
∂y(hv) = 0 (24)
For flat bunn har vi atb+ h(x, y, t) = H + η(x, y, t) (25)
slik at ∇Hh = ∇Hη. Gruntvannsligningene kan da skrives pa formen
∂u
∂t+ u
∂u
∂x+ v
∂u
∂y− fv = −g ∂h
∂x(26)
∂v
∂t+ u
∂v
∂x+ v
∂v
∂y+ fu = −g ∂h
∂y(27)
∂h
∂t+
∂
∂x(hu) +
∂
∂y(hv) = 0 (28)
Benevningen gruntvannsligningene betyr ikke at ligningene er begrenset til grunt vann. Tvertom; gruntvannsligningene beskriver en rekke fenomener i havet, ogsa pa dypt vann, i tillegg tilmange storskalafenomener i atmosfæren. ”Grunt” gjenspeiler at vertikal skala for væsken, foreksempel havdypet, er liten sammenlignet med typisk, horisontal lengdeskala for bølgene. Nardette er tilfellet kan i mange tilfeller vertikal bevegelse neglisjeres. De resulterende ligningene erda gruntvannsligningene.
3 Forenklinger
3.1 Momentumligning
Vi antar, tilsvarende som for geostrofisk kraftbalanse, at Rossbytallet R0 er lite
R0 =|adveksjon||Coriolis|
∼ U2/LfU
=UfL 1 (29)
Samtidig ma vi apne for variasjoner i tid uttrykt ved lokal endring, ∂/∂t. Til dette betrakter videt tidsavhengige Rossby-tallet R0T
R0T =|lokal endring||Coriolis|
∼ U/TfU
=1
fT∼ 1 (30)
Det kan synes som et paradoks at langsomme strøm- og vindfelter (Rρ 1) kan bevege segrelativt raskt (R0T ∼ 1), men det er nettopp dette som karakteriserer bølger. Dette ser vi frafølgende sammenheng
c =LT∼ fL U (31)
4
hvor c er bølgens fart. I uttrykket over har vi brukt at 1/T ∼ f fra (30) i andre overgang ogfL U fra (29) i tredje overgang. Følgelig kan bølger transportere informasjon uten eller medlite bidrag av forflytting av masse (adveksjon).
Fra momentumligningene (22) og (23) har vi da
∂u
∂t− fv = −g ∂η
∂x(32)
∂v
∂t+ fu = −g ∂η
∂y(33)
3.2 Kontinuitetsligning
For flat bunn er h = H + η, slik at kontinuitetsligningen (24) blir
∂η
∂t+
∂
∂x[(H + η)u] +
∂
∂y[(H + η)v] = 0 (34)
eller∂η
∂t︸︷︷︸∆H/T
+
(u∂η
∂x+ v
∂η
∂y
)︸ ︷︷ ︸
U∆H/L
+H
(∂u
∂x+∂v
∂y
)︸ ︷︷ ︸
UH/L
+ η
(∂u
∂x+∂v
∂y
)︸ ︷︷ ︸
U∆H/L
= 0 (35)
I uttrykket over er det indikert størrelsesorden til de ulike leddene (∆H representerer endring ioverflaten η).
Siden L/T U , se (31), ma 1/T U/L. Første ledd i (35) dominerer derfor i forhold til andreog fjerde ledd. Den forenklede kontinuitetsligningen kan da skrives pa formen
∂η
∂t+H
(∂u
∂x+∂v
∂y
)= 0 (36)
For at de to leddene i uttrykket over skal være sammenlignbare, noe de ma være for at ligningenskal være oppfylt, følger det at
∆H
T∼ HUL
(37)
Dette betyr atLT∼ H
∆HU (38)
Fra (31) har vi at L/T U . (38) er i trad med dette forutsatt at H ∆H. Følgelig gjelderoverstaende forenkling for bølger med liten amplitude ∆H i forhold til total væskehøyde H, ellerfor bølger med liten amplitude i forhold til væskedybden.
4 Kelvinbølge mot kyst
4.1 Utgangspunkt
Vi betrakter en overflatebølge som brer seg langs en kyst, for eksempel langs y-aksen som vist ifigur 2. Det kan ikke være hastighet pa tvers av kysten, sa
5
Figur 2: Illustrasjon pa en overflatebølge som brer seg langs en kyst, i dette tilfellet langs y-aksen(x = 0).
u = 0 ved x = 0 (39)
Vi antar videre at u = 0 over alt, slik at bølgen brer seg kun i y-retningen. Gruntvannsligningene(32), (33) og (36) blir da
−fv = −g ∂η∂x
(40)
∂v
∂t= −g ∂η
∂y(41)
∂η
∂t+H
∂v
∂y= 0 (42)
4.2 Resulterende bølgeligning
En ligning som beskriver bølgebevegelsen framkommer ved a kombinere (40)-(42) slik at vi starigjen med en ligning uttrykt ved v eller η. Bølgeligningen uttrykt med v fas ved a eliminereη-avhengigheten ved a kombinere ∂(41)/∂t og ∂(42)/∂y, som gir
∂2v
∂t2= gH
∂2v
∂y2(43)
eller∂2v
∂t2= c2
∂2v
∂y2(44)
derc = ±
√gH (45)
6
(44) er en klassisk bølgeligning for bølger med bølgefart√gH. Det kan vises at
√gH er bølgefarten
til overflategravitasjonsbølger pa grunt vann uten rotasjon.
Bølgeligningen over kan løses ved hjelp av karakteristikkmetoden, se A.7. En anen løsningsmetodeer vist i avsnitt 4.3.
4.3 Løsningsmetode
Kelvinproblemet i avsnitt 4.1 kan løses ved a søke løsning pa formen (se avsnitt A.4)
(v, η) = Re (v0, η0) exp[i(kyy − ωt)] (46)
hvor Re betegner reell del, v0, η0 er (kompleks) amplitude for henholdsvis v, η, ky er bølgetall iy-retningen og ω er vinkelfrekvens. Merk at v0, η0 kan ha en x-avhengighet, slik at v0 = v0(x) ogη0 = η0(x). Dette betyr at v = v(x, y, t) og η = η(x, y, t) i (46), der x-avhengigheten kommer fraamplituden v0, η0, og y, t-avhengigheten kommer fra bølgeformen exp[i(kyy − ωt)].
Uttrykk (46) innsatt i (40)-(42) gir
−fvo = −g ∂η0
∂x(47)
−iωv0 = −igkyη0 (48)
−iωη0 + iHkyv0 = 0 (49)
I der første uttrykket er det brukt at η0 = η0(x).
De to siste ligningene kan uttrykkes pa vektorform(−iω igkyiHky −iω
)(v0
η0
)= 0 (50)
Ikke-triviell løsning finnes nar ligningsystemets determinant er lik null. Dette gir
−ω2 + gHk2y = 0 (51)
ellerω = ±ky
√gH (52)
Bølgens fasefart er derfor
c =ω
ky= ±
√gH (53)
Siden c ikke avhenger av ky er dette en ikke-dispersiv bølge, det vil si at enhver bølgekomponentbrer seg med samme hastighet (se avsnitt A.5). Videre er bølgens gruppehastighet (avsnittA.5)
cg =∂ω
∂ky= ±
√gH (54)
Altsa er bølgens fasehastighet og gruppehastighet lik.
Bølgens x-avhengighet følger ved a eliminere v0 fra (47) og (49)
fω
Hkyη0 = g
∂η0
∂x(55)
7
Siden ω/ky = c og gH = c2, gir dette
∂η0
∂x= ± f
|c|η0 (56)
Uttrykket over sier at løsningen kan ha begge fortegn. For +-fortegnet er fasehastigheten c positivog bølgen brer seg i positiv y-retning (se 53), mens for −-fortegnet er fasehastigheten negativ ogbølgen brer seg i negativ y-retning.
Uttrykket over har løsningη0 = η∗0e
±xf/|c| (57)
hvor η∗0 = η(x = 0) er bølgens høyde ved kysten. Pa den nordlige halvkule (f > 0) krever fysiskløsning at minustegnet velges, ellers ville bølgens amplitude ga mot uendelig for økende x (detvil si nar vi beveger oss bort fra kysten). Følgelig forplanter bølgen seg i negativ y-retning (detvil si at c = cg < 0), eller med kysten til høyre for bevegelsen.
Løsningen kan na skrives pa formenu = 0 (58)
η = η∗0 cos(kyy − ωt)e−x/Lρ (59)
v = −√
g
Hη (60)
I (59) er ω = −ky√gH og Lρ = |c|/f .
Siden ω = −|c|ky fra (53), kan (59) ogsa uttrykkes som
η = η∗0 cos[ky(y + |c|t)]e−x/Lρ (61)
(59) og (61) sier at bølgens amplitude avtar nar vi fjerner oss fra kysten og at Lρ er lengdeskalaenfor bølgedempingen. Videre sier (61) at bølgen brer seg i negativ y-retning. Dette følger sidenbølgens fase, ky(y+ |c|t), er bevart med bevegelsen. Sa for økende tid t ma y avta for at y+ |c|t =konst. At bølgen brer seg i negativ y-retning er konsistent med at bølgens fasehastighet c < 0(fra 53).
4.4 Egenskaper
• Kelvinbølger brer seg langs en kyst med kysten til høyre pa nordlige halvkule og til venstrepa sørlige halvkule.
• Bølgefarten (bade fasehastighet og gruppehastighet) er konstant og absuluttverdien er gittved√gH. Kelvinbølge langs en kyst er derfor ikke-dispersiv.
• Bølgefart for havdyp H = 100 og 1000 m er pa henholdsvis 32 og 100 m s−1.
• Bølgetopp og bølgebunn er rettet normalt pa kysten.
• Bølgetopp og bølgebunn avtar eksponensielt fra kysten med lengdeskala gitt ved Rossbydeformasjonsradius Lρ =
√gH/f .
• Pa 40 breddegrader og for et havdyp pa 100 m, er Lρ ≈ 340 km.
• Kraftbalansen normalt pa kysten er geostrofisk (fra 40), som betyr at det er ingen bølgeforplantningi x-retningen.
8
• Kraftbalansen langs kysten,∂v
∂t= −g ∂η
∂y
(se 41), er drevet av trykkforskjellen generert av overflatehevningen som forklart i figur 3.
• Mens Kelvinbølgen brer seg med konstant fart√gH i negativ y-retning, beskriver væsken
en sirkulær bevegelse i yz-planet (figur 3).
• Kelvinbølger er generert av tidevann og av vind nær kyst.
• Nordgaende Kelvinbølger forklarer hvorfor tidevannsutslagene er mye større pa fransk re-lativt til engelsk side av Den engelske kanal.
• Kelvinbølger brer seg langs ekvator fra vest mot øst (for begge halvkuler); en kan dabetrakte ekvator som en vegg slik at de ekvatorielle Kelvinbølgene forplanter seg medekvator (veggen) pa høyre side pa den nordlige halvkule og med ekvator til venstre pa densørlige halvkule. Se oppgave 3 fra eksamen i GEOF110, 14. juni 2010.
Figur 3: Mekanisme for en Kelvinbølge som brer seg langs en kyst som er rettet langs y-aksen(pa den nordlige halvkule, se figur 2). Fra (60) følger det at v og η har motsatt fortegn. Positivbølgeamplitude svarer da til negativ v-komponent, og vice versa, vist med svarte piler. Det erfølgelig vekselvis konvergens og divergens mellom bølgetopp og bølgebunn (svarte, vertikalstipledelinjer). Overflaten ma stige der det er konvergens og falle der det er divergens, vist med rødepiler. Dette, sammen med at bølgens form er bevart med bevegelsen (uttrykk 59), medfører atendring i overflatenivaet grunnet konvergens og divergens (røde piler) kan kun skje ved at bølgenbrer seg i negativ y-retning, vist med lang bla pil.
9
5 Treghets-gravitasjonsbølger2
En mer generell løsning av ligningssettet gitt ved (32), (33) og (36) framkommer dersom vi ikkeantar at u = 0 som i avsnitt 4. Vi søker na løsning pa formen (se avsnitt A.4)
(u, v, η) = Re (u0, v0, ηo) exp[i(k · x− ωt)] (62)
hvor Re betegner reell del, (u0, v0, ηo) er (kompleks) amplitude for henholdsvis (u, v, η), k =kxx + kyy er bølgetallvektor i x- og y-retning, x = xx + yy er posisjonsvektor og ω er vinkelfre-kvens.
Ligningssettet (32), (33) og (36) kan da skrives som
−iωu0 − fv0 = −igkxη0 (63)
−iωv0 + fu0 = −igkyη0 (64)
−iωη0 + iH(kxu0 + kyv0) = 0 (65)
Ligningene (63)-(65) er tre ligninger med tre ukjente, og kan uttrykkes pa vektorform −iω −f igkxf −iω igky
iHkx iHky −iω
u0
v0
η0
= 0 (66)
Ikke-triviell løsning finnes nar ligningsystemets determinant er lik null. Dette gir ikke-triviellløsning nar følgende sammenheng er tilfredsstilt
ω[ω2 − f2 − gH(k2x + k2
y)] = 0 (67)
eller, siden k2 = k2x + k2
y,
ω[ω2 − f2 − gHk2] = 0 (68)
Uttrykket (68) gir en algebraisk sammenheng mellom parametrene som inngar i problemet ogkalles bølgeproblemets dispersjonsrelasjon. Det er generelt ulik fysisk mekanisme for de ulikeløsningene gitt ved en dispersjonsrelasjon. Derfor tolkes de ulike løsningene hver for seg.
Siden dispersjonrelasjonen (68) gir at fasefarten c = ω/k generelt avhenger av bølgetallet k,vil bølger med ulik bølgelengde bre seg med ulik fart. Treghets-/gravitasjonsbølger er derfordispersive (se avsnitt A.5).
5.1 Løsning ω = 0
Løsningen ω = 0 av (68) er konsistent med ∂/∂t = 0. Fra de grunnleggende ligningene (32),(33) og (36) ser vi at denne løsningen gir geostrofisk kraftbalanse. Den stasjonære (det vil sitidsinvariante) løsningen av gruntvannsligningene er altsa geostrofisk balanse.
2Se ogsa seksjon 11.2 og 11.3 i LECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version:December 11, 2007.
10
5.2 Løsning ω2 = f 2 + gH(k2x + k2
y)2
Den resterende løsningen av (68) er
ω = ±√f2 + gHk2 (69)
hvor k2 = k2x + k2
y. Denne løsningen er en mellomting mellom treghets- og gravitasjonsbølger, ogkalles Poincare-bølger.
Merk at for enher løsning gitt ved (69), er |ω| > |f |.
5.2.1 f = 0
I tilfellet uten rotasjon vil f = 0, ω = ±√gHk og fasefarten c = ω/k = ±
√gH. Dette er
løsningen til gravitasjonsbølger.
5.2.2 k2 f2/(gH)
Dispersjonsuttrykket (69) kan alternativt skrives pa formen
ω = ±
√gH
(f2
gH+ k2
)(70)
For tilfellet k2 f2/(gH), som betyr at vi betrakter bølger med kort bølgelengde, vil ω =±√gHk og fasefarten c = ω/k = ±
√gH. Dette er ogsa egenskapene til gravitasjonsbølger.
Arsaken til dette er at dersom bølgelengden er mye kortere enn deformasjonsradiusen, pavirkesbølgene i liten grad av jordrotasjonen.
5.2.3 k2 f2/(gH)
For tilfellet med meget lange bølger, det vil si for k2 f2/(gH), vil ω → ±f (se 70). Dette erstorstilte, horisontale oscillasjoner med frekvens gitt av Coriolisparameteren f . Slike svingningerkalles treghetssvingninger.
I tilfellet ω = f og siden k er liten, følger det fra (63) at
u0 = iv0 (71)
u- og v-løsningen er da gitt fra (62)
u = Reiv0 exp(−ift) = Reiv0[cos(−ft) + i sin(−ft)] = −v0 sin(−ft) (72)
v = Rev0 exp(−ift) = Rev0[cos(−ft) + i sin(−ft)] = v0 cos(−ft) (73)
pa den nordlige halvkule beskriver da (72) og (73) en sirkulær bevegelse med radius v0 ogrotasjonsretning med klokken.
11
5.2.4 Oppsummering
En generell løsning av gruntvannsligningene gir følgende sammenheng mellom mulige bølgeparametrekx, ky og ω, og de fysiske størrelsene g, H og f
ω[ω2 − f2 − gHk2] = 0 (74)
For bølger i y-retningen, blir (74)
ω[ω2 − f2 − gHk2y] = 0 (75)
Uttrykket over kan skrives pa formen
ω = 0 ogω
f= ±
√1 + (Lρky)2 (76)
hvor Lρ =√gH/f er Rossbyradius.
De ulike løsningene av (76) er vist i figur 4.
Figur 4: Grafisk framstilling av dispersjonsrelasjonen gitt ved (75). I tillegg er dispersjonsrela-sjonen til Kelvinbølger mot kyst vist (dispersjonsrelasjon ω = ky
√gH eller ω/f = kyLρ).
6 Konservering av potensiell virvling
Bevaring av størrelsen potensiell virvling (definert under) er grunnleggende i dynamikken i atmos-færen og havet. Før vi gar til utledningen av denne, definerer vi relativ og absolutt virvling.
12
6.1 Relativ og absolutt virvling
Kurlen til hastighetsvektoren u kan skrives som
∇× u = x
(∂w
∂y− ∂v
∂z
)− y
(∂w
∂x− ∂u
∂z
)+ z
(∂v
∂x− ∂u
∂y
)(77)
Vertikalkomponenten til ∇× u, pa vektorform z · ∇ × u, kalles relativ virvling og betegnes medsymbolet ζ
ζ =∂v
∂x− ∂u
∂y(78)
ζ > 0 betyr rotasjon rettet mot klokken nar en observerer rotasjonen overfra pa nordlige halvkule(ogsa kalt syklonsk sirkulasjon). For ζ < 0 er rotasjonen rettet med klokken pa nordlige halvkule(anti-syklonsk sirkulasjon).
Absolutt virvling er gitt ved summenζ + f (79)
hvor f er Coriolisparameteren 2Ω sinϕ. Nar ζ > 0, beskriver bade ζ og f rotasjon mot klokkensett overfra pa nordlige halvkule.
6.2 Utledning
Absolutt virvling har noen viktige egenskaper i atmosfære- og havdynamikken. Disse kan utledesfra gruntvannsligningene (22)-(24).
Overflatehevningen kan elimineres fra momentumligningene ved a subtrahere ∂(23)/∂x fra ∂(22)/∂y:
∂
∂t
(∂v
∂x− ∂u
∂y
)+
∂
∂x
(u∂v
∂x+ v
∂v
∂y
)− ∂
∂y
(u∂u
∂x+ v
∂u
∂y
)+ f
(∂u
∂x+∂v
∂y
)+∂f
∂yv = 0 (80)
Uttrykket over kan tilnærmes med a betrakte f = f0 = konst bortsett fra hvor ∂f/∂y fore-kommer. For sistnevnte bruker vi at ∂f/∂y = β. Denne tilnærmingen kalles en β-plan tilnær-ming.
(80) blir da
∂
∂t
(∂v
∂x− ∂u
∂y
)︸ ︷︷ ︸
=∂ζ/∂t
+∂
∂x
(u∂v
∂x+ v
∂v
∂y
)− ∂
∂y
(u∂u
∂x+ v
∂u
∂y
)︸ ︷︷ ︸
∗
+f0
(∂u
∂x+∂v
∂y
)+ βv = 0 (81)
Ved a skrive ut leddene merket med ∗ i (81), far vi
∂u
∂x
∂v
∂x+ u
∂2v
∂x2+∂v
∂x
∂v
∂y+ v
∂2v
∂x∂y− ∂u
∂x
∂u
∂y− u ∂2u
∂x∂y− ∂u
∂y
∂v
∂y− v ∂
2u
∂y2(82)
Samler vi ledd 1 og 5, 3 og 7, 2 og 4, og 6 og 8 i uttrykket over, følger det at de atte leddene kanomformes til (
∂u
∂x+∂v
∂y
)ζ + u
∂ζ
∂x+ v
∂ζ
∂y(83)
13
(81) kan da uttrykkes som
∂ζ
∂t+ u
∂ζ
∂x+ v
∂ζ
∂y+
(∂u
∂x+∂v
∂y
)(ζ + f0) + βv = 0 (84)
De tre første leddene i uttrykket over er gitt ved den totalderiverte av ζ
∂ζ
∂t+ u
∂ζ
∂x+ v
∂ζ
∂y=Dζ
Dt(85)
Divergensleddet i (84) kan uttrykkes ved hjelp av kontinuitetsligningen (24). Dette da sistnevntekan skrives pa formen
Dh
Dt+ h
(∂u
∂x+∂v
∂y
)= 0 (86)
Uttrykk (84) blir daDζ
Dt=ζ + f0
h
Dh
Dt− βv (87)
SidenDf
Dt=∂f
∂t+ u
∂f
∂x+ v
∂f
∂y= vβ (88)
kan (87) uttrykkes somD(ζ + f)
Dt=ζ + f0
h
Dh
Dt(89)
Derivasjon avD
Dt
(ζ + f
h
)= 0 (90)
gir at (89) og (90) er identiske uttrykk nar β-plan tilnærmingen benyttes (det vi si at f ≈ f0
bortsett fra ledd hvor ∂f/∂y inngar).
Størrelsen (ζ + f)/h kalles potensiell virvling . (90) viser at potensiell virvling er bevart medbevegelsen. Dette er en meget sentral egenskap for dynamikken i atmosfæren og i havet.
Merk at gruntvannsligningene som (90) er utledet fra antar en homogen (ρ = ρ0), barotrop(∂u/∂z = ∂v/∂z = 0) og friksjonsfri (F = 0) væske. Selv om disse antagelsene er mer typiskfor hav enn atmosfære, er bevaring av potensiell virvling en sa grunnleggende størrelse at ogsaviktig atmosfæredynamikk, som Rossbybølger, følger av (90).
6.2.1 |ζ| |f |
Dersom |ζ| |f |, følger det fra (90) at
f
h= konst (91)
Dette gjelder for havet nar vi holder oss borte fra omrader med store variasjoner i hastighets-komponentene u og v, det vil si borte fra havbassengenes render og borte fra ekvator. Sammeresultat følger fra Taylor-Proudman teoremet (se Marshall & Plumb, avsnitt 10.4.1). Derfortenderer havstrømmene a følge konturer der f/h = konst.
14
6.2.2 h = konst
Dersom h = konst, følger det fra (90) at
D(ζ + f)
Dt= 0 (92)
Videre, for h = konst, følger det fra (86) at hastigheten er ikke-divergent. Alternativt er absoluttvirvling konservert med bevegelsen for ikke-divergent hastighetsfelt.
6.3 Fysisk tolkning av vestlig strøm over fjell (pa nordlig halvkule)3
Figur 5 viser en situasjon med konstant sonal vind fra vest som treffer en forhøyning i topofgrafien.I det følgende antar vi at vi er pa nordlig halvkule.
Potensiell virvling vest for forhøyningen er f0/h0, der f0 representerer en typisk breddegrad forforhøyningens plassering.
Figur 5: Illustrasjon pa østlig strøm over en forhøyning (fjell) i topografien. Øvre del av figurenviser et tverrsnitt i xz-retningen, mens nedre del gir et horisontalt bilde av situasjonen. I øvrefigur er skravert omrade topografi og den bla (horisontale) linjen indikerer tropopausen. Sistnevntehar høyde h0 vest for forhøyiningen og h1 pa forhøyningen og østover.
Like øst for forhøyningen, er potensiell virvling (ζ + f0)/h1. Bevaring av potensiell virvlinggir
f0
h0=ζ + f0
h1eller ζ = f0
(h1
h0− 1
)< 0 (93)
Negativ relativ virvling betyr at sonal vind avbøyes med klokken, det vil si sørover.
3Se ogsa seksjon 6.2 i LECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version: De-cember 11, 2007.
15
En liten distanse øst for forhøyningen har breddegradsposisjonen til vinden endret seg sa mye atf = f0 ikke er gyldig lenger. Potensiell virvling er da gitt ved (ζ + f)/h1 = f0/h0 = konst. Sidenζ < 0, ma f øke for a sikre bevaring av potensiell virvling. Dette krever at vinden avbøyes motnord.
Nar vinden har beveget seg tilstrekkelig langt mot nord, har f økt sa mye at ζ ma igjen blinegativ for a sikre bevaring av potensiell virvling. Vinden bøyer da av mot sør. Pa denne matengenererer forhøyningen i topografien, for vestlig vind, bølger øst for forhøyningen. Disse bølgenekalles Rossbybølger. Den systematiske avbøyningen like øst for en forhøyning i topografien eren viktig grunn til at jetstrømmene tenderer a bukte sørover like øst for Rocky Mountains ogHimalaya, og tildels Alpene og Grønland, pa nordlige halvkule. Pa sørlige halvkule er avbøyingenrettet mot nord like øst for fjellkjeder. Dette gjelder for eksempel for omradet like øst for Andes-fjellene.
7 Rossbybølger i atmosfære og hav4
Egenskapene til Rossbybølger i hav og atmosfære kan utledes fra uttrykket for konservering avpotensiell virvling (90). Vi betrakter sma avvik fra geostrofi, ofte kalt kvasigeostrofi. I utledningenbruker vi β-tilnærmingen, det vi si at vi bruker at f = f0 bortsett fra hvor f varierer i meridionalretning (∂f/∂y).
(90) kan skrives pa formen
hD
Dt(ζ + f)− (ζ + f0)
Dh
Dt= 0 (94)
I trad med figur 1, og for flat bunn b = 0 eller dersom vi inkluderer b i H ved a redifinereH → H − b(x, y), har vi at
h(x, y, t) = H(x, y) + η(x, y, t) (95)
(95) innsatt i (94) gir
(H + η)
(∂ζ
∂t+ u
∂ζ
∂x+ v
∂ζ
∂y+ βv
)− (ζ + f0)
(∂η
∂t+ u
∂η
∂x+ v
∂η
∂y
)= 0 (96)
I (96) har vi brukt β-tilnærmingen nevnt over, samt at
Df
Dt= v
∂f
∂y= βv (97)
For sma endringer i u, v, η og ζ, kan vi sløyfe ledd med andre og høyere ordens produkt av dissevariablene i (96). Dette gir følgende lineære tilnærming
H∂ζ
∂t+Hβv − f0
∂η
∂t= 0 (98)
Til laveste orden gjelder geostrofisk balanse, sa
u ≈ − g
f0
∂η
∂y(99)
4Se ogsa seksjon 6.1 i LECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version: De-cember 11, 2007.
16
v ≈ g
f0
∂η
∂x(100)
Virvlingen kan derfor tilnærmes
ζ =g
f0
(∂2η
∂x2+∂2η
∂y2
)(101)
Innsatt i (98) gir dette
gH
f0
∂
∂t
(∂2η
∂x2+∂2η
∂y2
)+gHβ
f0
∂η
∂x− f0
∂η
∂t= 0 (102)
Ligning (102) multiplisert med faktoren f0/(gH), gir
∂
∂t
(∂2η
∂x2+∂2η
∂y2
)+ β
∂η
∂x− f2
0
gH
∂η
∂t= 0 (103)
Siden Rossby-radius Lρ =√gH/f0, kan (103) skrives pa formen
∂
∂t
(∂2η
∂x2+∂2η
∂y2− η
L2ρ
)+ β
∂η
∂x= 0 (104)
Med antatt bølgeløsning pa formen
η = Re η0 exp[i(kxx+ kyy − ωt)] (105)
gir dette, innsatt i (104)−iω(−k2
x − k2y − L−2
ρ ) + iβkx = 0 (106)
eller
ω = −βkxL
2ρ
1 + L2ρ(k
2x + k2
y)(107)
(107) er dispersjonsrelasjonen for Rossbybølger (ogsa kalt planetære bølger). Fra (107) følger detat Rossbybølger (eller planetære bølger) er dispersive.
Fra (107), ser vi at ω = 0 for β = 0. Vi star i dette tilfellet tilbake med geostrofisk balanse.Rossbybølger forekommer grunnet β-effekten; at f endrer seg med breddegrad y.
7.1 Sonal og meridional fasefart
Rossbybølgenes sonale fasefart er gitt ved
cx =ω
kx= −
βL2ρ
1 + L2ρ(k
2x + k2
y)(108)
At cx < 0 betyr at Rossbybølgene alltid brer seg mot vest.
Meridional fasefartcy =
ω
ky(109)
kan være bade positiv og negativ siden ky kan ha begge fortegn. Rossbybølgene kan følgelig breseg i nordvestlig, vestlig eller sørvestlig retning.
17
Lange bølger, det vil si bølger med bølgelengde λx Lρ og λy Lρ, eller for bølger med smakx og ky, brer seg rett vestover med fasefart
cx = −βL2ρ (110)
Dette er ogsa høyeste mulige fasefart for Rossbybølgene. Siden Lρ = c/f0, følger det fra (110) atfasehastigheten øker mot ekvator. Det siste kan sees fra analyse av bølger pa havoverflaten, se foreksempel http://www.youtube.com/user/regeirknaitsabes#p/a/u/1/VNefCmc3_1Y.
7.2 Fase- og gruppefart for rent sonale Rossbybølger
For rent sonale Rossbybølger (ky = 0) gjelder, fra (108),
ω
kx= −
βL2ρ
1 + L2ρ k
2x
(111)
ellerω
βLρ= − kxLρ
1 + (kxLρ)2(112)
I uttrykket over varierer ω pa venstre side og kx pa høyre side. Vi kan derfor plotte ω/(βLρ) versuskxLρ (begge størrelsene er dimensjonsløse, som er typisk nar egenskaper ved dispersjonsrelasjonerplottes).
Høyre side av (112) har formen
e(x) = − x
1 + x2(113)
Det følger da at e(x)→ −x for sma x og at e(x)→ 0 nar x→ −∞. Den deriverte gir
de
dx= − 1− x2
(1 + x2)2(114)
e har ekstremverdi (de/dx = 0) for x = −1 og e(−1) = 0.5. Sammenhengen mellom ω og kxfølger da fra figur 6.
Figur 6: Dispersjonsrelasjon for Rossbybølger nar ky = 0. Lange bølger er knyttet til sma bølgetall,mens korte bølger er knyttet til store bølgetall.
18
Siden gruppefarten er
cgx =∂ω
∂kx(115)
(se avsnitt A.6), følger det at lange Rossbybølger (sma bølgetall) har gruppefart (det vil sienergiforplantning) i vestlig retning, mens korte Rossbybølger (store bølgetall) har gruppefart iøstlig retning. Siden kurven i figur 6 er brattest for lange bølger, er det større energitransportknyttet til lange enn korte Rossbybølger.
7.3 Rossbybølger i hav
Siden Rossbybølgene har fasefart rettet mot vest, vil enhver perturbasjon av potensiell ellerabsolutt virvling føre til vestlig forplantning av signalet. Siden lange vestgaende Rossbybølgerbringer med seg mer energi mot vest enn korte Rossbybølger bringer energi mot øst, vil Ross-bybølgenes energiforplantning akkumuleres mot vestlig rand. Dette forklarer hvorfor de intensi-verte grenselagsstrømmene befinner seg mot venstre rand av havbassengene, for eksempel Golf-og Kuroshiostrømmen. Merk at vestlig intensivering av havstrømmene er i samsvar med Sverd-rupteori.
Vestgaende Rossbybølger i havet framkommer tydlig i følgende animasjonhttp://www.youtube.com/user/regeirknaitsabes#p/a/u/1/VNefCmc3_1Y.
7.4 Fysisk mekanisme for vestlig forplantning av Rossbybølger
Figur 7 illustrerer mekanismen for vestlig forplantning av Rossbybølger. Utgangspunktet er atabsolutt virvling, ζ + f , er konservert med bevegelsen dersom væskens tykkelse er konstant, se(92).
Generelt vil absolutt virvling øke mot nord da f øker med økende breddegrad. En initiellbølgeforskyvning fra likevekt, vist med bla heltrukken kurve i figur 7, vil øke potensiell virv-ling for de forskyvningene som befinner seg nord for likevektslinjen. Pa tilsvarende mate vilpotensiell virvling avta for de forskyvningene som befinner seg sør for likevektslinjen.
Bevaring av potensiell virvling medfører da at bølgeformen nord for likevektslinjen vil utsettesfor negativ relativ virvling (ζ < 0) mens bølgeformen sør for likevektslinjen utsettes for positivrelativ virvling (ζ < 0). Relativ virvling vil da skyve den initielle bølgeformen til venstre, ellervestover (stiplet linje i figur 7).
7.5 Rossbybølger i vestlig strøm
Ofte forekommer Rossbybølgene i vestlig strøm. Et eksempel pa dette er vestavindsbeltet i atmos-færen mellom 30 og 60 breddegrader.
Dersom vi antar en uniform vestlig strøm U , vil Rossbybølgenes fasefart cx være, relativt tilbakken,
cx = cx + U (116)
Siden ω = cxkx, følger det at
ω = cxkx = (cx + U)kx = Ukx −βkxL
2ρ
1 + L2ρ(k
2x + k2
y)(117)
19
Figur 7: Mekanisme for vestlig forplantning av Rossbybølger. Svart horisontal linje angir en til-stand hvor absolutt virvling er konstant. Bla heltrukken kurve viser en initiell (t = 0) forskyvningav likevektstilstanden og bla stiplet kurve viser bølgeformen for tid t > 0.
7.5.1 Stasjonære bølger
Stasjonære bølger opptrer for ω = 0 i (117), eller for
k2x + k2
y = k2s =
β
U− 1
L2ρ
≈ β
U(118)
ks =√β/U er kjent som stasjonært bølgetall.
For typiske verdier for midlere breddegrader, har vi at U ∼ 30 m s−1 og β ∼ 1.5 × 10−11 m−1
s−1, som gir k−1s ∼ 1400 km. Stasjonære bølger har derfor typisk bølgelengde pa 2π/ks ∼ 9000
km, som pa 45 N tilsvarer (rundt) tre hele bølger.
7.6 Egenskaper
For Rossbybølger (planetære bølger) gjelder
• Fasehastigheten er vestlig rettet
• Bølgene er dispersive, bortsett fra bølger med svært lang bølgelengde
• Gruppefarten er rettet vestover for lange bølger og østover for korte bølger
• Gruppefarten er større for lange, vestlig rettet bølger, enn for korte, østlig rettet bølger
• Totalt sett gir bølgene energiforplantning fra øst mot vest
• Forklarer hvorfor det er en vestlig intensifisering av havstrømmene, for eksempel Golf- ogKuroshiostrømmen, i trad med Sverdrupteorien
• Den fysiske mekanismen kan forklares fra bevaring av absolutt virvling
• Bevaring av relativ virvling forklarer hvorfor det er en systematisk sørlig avbøying avjetstrømmene øst for høye fjellkjeder pa nordlige halvkule, og nordlig avbøying av jetstrømmeneøst for høye fjellkjeder pa sørlige halvkule
• Stasjonære Rossbybølger kan forekomme i østlig rettet rettet strøm, for eksempel forjetstrømmene pa midlere breddegrader
20
A Generelt om bølger
A.1 Hva er en bølge
En bølge i atmosfæren og havet kan forklares som
fysiske prosesser som transporterer informasjon i tid og rom, som for eksempel energi,uten eller med liten adveksjon av masse knyttet til transporten, og som brer seg medfart og retning som generelt er ulik den generelle atmosfære- eller havsirkulasjonen
A.2 Størrelser og egenskaper i en romlig dimensjon
Enhver perturbasjon (liten endring) kan uttrykkes som summen av trignometriske (sinus ellercosinus) bølger, hvor hver bølge generelt har ulik amplitude, bølgelengde, periode og fase.
A.2.1 Stasjonær bølgeform
En stasjonær bølgeform i x-retningen, i tilfellet under uttrykt med havniva η (enhet m), kanskrives pa formen
η(x) = a cos
[2π
x
λx
](119)
Bølgeformen η er karakterisert ved
Amplitude a, slik at η varierer mellom ±a. Enhet som for den avhengige variabel,i dette tilfellet m.
Bølgelengde λx. Bølgens form repeteres na x = ±nλx, der n er et heltall. Enhet erm.
A.2.2 Bølgeform som brer seg i tid
En bølgeform vil generet forplante seg i tid. Bølgens
Fart, alternativt fasefart benevnes cx, se ogsa fasefart under. Bølgen kan bre segi positiv og negativ x-retning. Dette kan betegnes med fasefart ±cx, hvor cx > 0.Alternativt kan cx ta bade positive og negative verdier. Enhet er m s−1.
Siden fart = avstand/tid, vil bølgen bre seg en avstand x′ = ±cxt i løpet av tiden t. (119) kanda skrives pa formen
η(x, t) = a cos
[2π
λx(x± cxt)
](120)
Bølgen over er karakterisert ved
Fase gitt ved argumentet 2π(x ± cxt)/λx (enhet rad). Punkt med konstant faseer punkter hvor bølgeformen har samme verdi, for eksempel bølgetopp ellerbølgebunn.
21
A.2.3 Bølgetall
I stedet for a bruke bølgelengde λx, er det vanlig a uttrykke bølgen med bølgens
Bølgetall kx (enhet m−1). Sammenhengen mellom bølgetall og bølgelengde er gittved
kx =2π
λx(121)
Bølgetallet er antall bølgelengder begrenset av lengden 2π. For eksempel vil enbølge med bølgelengde 100 km ha et bølgetall 6.3×10−5 m−1. Bølgetallet trengerderfor ikke a være et heltall.
Sies det at en bølge i atmosfæren har bølgetall en, betyr dette at en bølge dekkerhele jordens omkrets (for eksempel rundt jorden pa 60 N). For bølgetall fire vildet være fire fulle bølger rundt jorden.
Ved hjelp av (121) kan (120) skrives pa formen
η(x, t) = a cos[kx(x± cxt)] (122)
A.2.4 Andre definisjoner
Perioden T er tiden det tar for et punkt til a repetere seg selv. T ma følgelig værelik tiden bølgen bruker for a bre seg en bølgelengde
T = λx/cx (123)
Vinkelfrekvensen (ogsa kalt vinkelhastigheten) ω er er et mal pa rotasjons-hastigheten
ω =2π
T(124)
Fasefarten cx er farten til bølgen, for eksempel hvor raskt en bølgetopp eller -bunnbrer seg
cx =λxT
=ω
kx(125)
hvor vi har brukt (121) og (124) i den andre overgangen.
Uttrykt med ω og kx, kan (122) skrives pa formen
η(x, t) = a cos(kxx± ωt) (126)
Uttrykkene (120), (122) og (126) uttrykker det samme: For fast tid t = t0 beskriver η en bølgeformi x-retningen som repeterer seg selv med bølgelengde λx, det vil si bølgens form repeteres forx = ±nλx, hvor n er et heltall. Tilsvarende, for et fast punkt x = x0 beskriver η en staende bølgemed periode T , det vil si en bølge som repeterer seg selv for t = ±nT .
Endelig,
Fasen til en bølge er gitt ved argumentet kxx±ωt og uttrykker hvor i bølgesyklusenen befinner seg. Fasen varierer fra 0 til 2π.
22
A.3 Størrelser og egenskaper i to romlige dimensjoner
Overstaende kan utvides til flere dimensjoner. I to dimensjoner gjelder
η = a cos(kxx+ kyy ± ωt) = a cos(k · x± ωt) (127)
der
bølgetallsvektor k = (kx, ky) = kxx + kyy, med lengde
k2 = k2x + k2
y (128)
og retning
k =k
k(129)
Fasehastigheten er
c =ω
k(130)
og bølgelengden er
λ =2π
k(131)
hvor bølgetallet k er gitt ved (128).
A.4 Størrelser og egenskaper uttrykt med kompleks notasjon
I stedet for a regne med cosinus- (eller sinus-) bølger som beskrevet over, letter det analysen auttrykke en bølge pa kompleks form
Re a exp[i(k · x± ωt)] (132)
Her betegner Re reell del, a er (kompleks) amplitude, k = kxx + kyy er bølgetallvektor i x- ogy-retning, x = xx + yy er posisjonsvektor og ω er vinkelfrekvens.
Sidenexp iψ = cosψ + i sinψ (133)
uttrykker (132) standard bølge pa formen
a cos(k · x± ωt) eller a sin(k · x± ωt) (134)
avhengig av om amplituden a er reell (som i dette tilfellet gir en cosinus-bølge) eller kompleks (idette tilfellet en sinus-bølge).
Bølgeformen gitt ved (132) er særdeles hensiktsmessig grunnet eksponensialfunksjonens egenskapat den deriverte av funksjonen er lik funksjonen selv, korrigert med noen algebraiske koeffisienter.Dette fører til at derivasjonsoperatorene kan erstattes med algebraiske koeffisienter
∂
∂x→ ikx,
∂
∂y→ iky og
∂
∂t→ ±iω (135)
Dette betyr at for eksempel gruntvannsligningene kan uttrykkes som et sett av algebraiske lig-ninger som kan løses direkte. Løsningen gir alle mulige kombinasjoner av bølgeparametre ogligningsparametre som tilfredsstiller de kontinuerlige ligningene. Dette, sammen med en fysisktolkning av bølgeløsningen, gir en fullverdig beskrivelse av bølgene.
23
A.5 Dispersjonsrelasjon
Det algebraiske forholdet mellom ω og k, uttrykt som ω = f(k) (det vil si at ω er en funksjonav k), kalles bølgens dispersjonsrelasjon.
A.5.1 Ikke-dispersive bølger
Dersom ω har en lineær avhengighet til k, det vil si at ω ∝ k, kalles bølgen ikke-dispersiv. I dettetilfellet forflytter bølger seg med samme fasehastighet, se (125) og (130), uavhengig av bølgensbølgelengde.
A.5.2 Dispersive bølger
Dersom ω ikke har en lineær avhengighet til k vil enhver bølge med ulik bølgelengde forflytte segmed ulik fasehastighet. I dette tilfellet er bølgen dispersiv.
A.6 Gruppefart
For dispersive bølger forplanter ikke energien seg med en bølge, men med “totalbidraget” frade ulike bølgene. Det er dette “totalbidraget” vi ser som en bølge, eksempelvis som en gra-vitasjonsbølge i et vannbasseng, ikke de ulike bølgekomponentene. Følgelig er gruppefarten,som representerer farten til alle bølgene sett som en helhet, gjerne mer viktig enn de ulikebølgekomponentenes fasefart.
Gruppefart er gitt av uttrykket
cg =∂ω
∂k(136)
En god illustrasjon pa forholdet mellom fasefart og gruppefart er gitt pa sidenhttp://www.isvr.soton.ac.uk/spcg/tutorial/tutorial/Tutorial_files/Web-further-dispersive.htm.
A.6.1 Utledning
Dette avsnittet er til informasjon og er ikke pensum.
(136) kan vises ved a betrakte to bølger med nesten like bølgetall og bølgefrekvenser, for eksempel
η = η0 cos(k1x− ω1t) + η0 cos(k2x− ω2t) (137)
Fra identitetencos(a± b) = cos a cos b∓ sin a sin b (138)
følger det atcos(a+ b) + cos(a− b) = 2 cos a cos b (139)
Med
a =1
2(k1 + k2)x− 1
2(ω1 + ω2)t (140)
og
b =1
2(k2 − k1)x− 1
2(ω2 − ω1)t (141)
24
kan (137) skrives pa formen
η = 2η0 cos
[1
2(k1 + k2)x− 1
2(ω1 + ω2)t
]cos
[1
2(k2 − k1)x− 1
2(ω2 − ω1)t
](142)
Siden bølgene antas a være tilnærmet like, ma k1 ≈ k2 og ω1 ≈ ω2, og vi kan definere
k =k1 + k2
2, ω =
ω1 + ω2
2, ∆k = k2 − k1 , ∆ω = ω2 − ω1 (143)
Innsatt i (142) gir dette
η = 2η0 cos
(1
2∆k x− 1
2∆ω t
)cos(kx− ωt) (144)
En mulig variant av (144) er illustrert i figur (8).
Figur 8: Illustrasjon av en lineær kombinasjon av to bølger med nesten lik bølgelengde ogbølgefrekvens. Bølgeformen brer seg mot høyre med fasehastighet c = ω/k og bølgelengde λ = 2π/k(heltrukken linje), mens amplituden for bølgepakken er 2η0 cos(∆k x/2 − ∆ω t/2), bølgelengdenλ′ = 4π/δk, perioden 4π/δω og gruppehastigheten cg = ∂ω/∂k (stiplede linjer).
(144) er en bølge som dels brer seg som en standard bølge med formen cos(kx − ωt) med fasefartc = ω/k, men hvor amplituden 2η0 er modulert med en sakte varierende bølge cos(∆k x/2 − ∆ω t/2)med (lang) bølgelengde 4π/∆k og (lang) periode 4π/∆ω. Sistnevnte bølge brer seg med fart gitt vedbølgelengde/periode, det vil si
∆ω
∆k(145)
eller, for sma ∆ω og ∆k,∂ω
∂k(146)
Det er sistnevnte størrelse som angir bølgens gruppefart, som kan sees pa som bølgens “totalbidrag”.Forplantning av energi knyttet til bølgen er derfor assosiert med gruppefarten, ikke de individuellebølgenes eller totalbølgens fasefart.
25
A.7 Løsning av Kelvinbølge langs kyst ved hjelp av karakteristikkme-toden
Dette avsnittet er til informasjon og er ikke pensum.
Bølgeligningen (44) kan løses ved a observere at den kan skrives som(∂
∂t− c ∂
∂y
)(∂
∂t+ c
∂
∂y
)v = 0 (147)
som igjen betyr at∂v
∂t− c∂v
∂y= 0 (148)
og∂v
∂t+ c
∂v
∂y= 0 (149)
Siden (148) gjelder for enhver t og y, ma v ha formen
v(x, y) = V1(x, y + ct) (150)
Dette kan vises ved a sette (150) inn i (148), hvor
∂v
∂t=∂V1
∂y
∂
∂t(y + ct) = c
∂V1
∂yog
∂v
∂y=∂V1
∂y(151)
Pa tilsvarende mate vil løsningen av (149) ha formen
v(x, y) = V2(x, y − ct) (152)
I uttrykkene over er V1 og V2 vilkarlige funksjoner som beskriver bølgens form. Siden (150) og (152)gjelder for enhver t og y, ma
y + ct = konst og y − ct = konst (153)
Dette er rette linjer i et koordinatsystem spent ut av tiden t og posisjonen y, se figur 9. I tillegg, siden
Figur 9: Illustrasjon pa hvordan vilkarlige bølger (eksemplifisert ved rød farge) brer seg i negativy-retning nar y + ct = konst og i positiv y-retning nar y − ct = konst.
|c| =√gH = konst, følger det at bølgens form gitt ved V1 og V2 ikke kan endre seg med bevegelsen.
26
Figur 9 illustrerer hvordan en bølge, for eksempel bølgen i (150), brer seg i negativ y-retning uten endringav form. Pa tilsvarende mate brer bølgen i (152) seg i positiv y-retning uten endring av form. Totalt harvi at
v(x, y) = V1(x, y + ct) + V2(x, y − ct) (154)
η kan na utledes fra (42). Med
∂v
∂t=∂V1
∂y
∂
∂t(y + ct) +
∂V2
∂y
∂
∂t(y − ct) = c
∂V1
∂y− c∂V2
∂y(155)
følger det at∂η
∂y= − c
g
∂V1
∂y+c
g
∂V2
∂y(156)
Siden c =√gH, er c/g =
√H/g. (156) kan integreres direkte, som gir følgende uttrykk for η
η = −√H
gV1(x, y + ct) +
√H
gV2(x, y − ct) (157)
x-avhengigheten til V1 og V2 følger fra (40). Vi bruker da at
∂η
∂x= −
√H
g
∂V1
∂x+
√H
g
∂V2
∂x(158)
Innsatt i (40), gir dette
−f(V1 + V2) =√gH
∂V1
∂x−√gH
∂V2
∂x(159)
Uttrykket over skal gjelde for enhver V1(x, y + ct) og V2(x, y − ct). Derfor ma
∂V1
∂x= − f√
gHV1 = − 1
LρV1 (160)
og∂V2
∂x=
f√gH
V2 =1
LρV2 (161)
Her er Lρ =√gH/f Rossby deformasjonsradius. Fra (160) følger det at
∂V1
V1= −∂x
Lρ⇒ lnV1 = − x
Lρ+ konst ⇒ V1 = V ∗
1 e−x/Lρ (162)
der V ∗1 gir y-avhengigheten til V1:
V1(x, y + ct) = V ∗1 (y + ct)e−x/Lρ (163)
Tilsvarende gjelder for V2
V2(x, y − ct) = V ∗2 (y − ct)ex/Lρ (164)
A.8 Løsning for nordlige halvkule
Pa nordlige halvkule er Lρ > 0. Løsningen gitt ved V2, se (164), er ufysisk da V2 →∞ nar x→∞. Detfølger derfor at
v = V ∗1 (y + ct)e−x/Lρ (165)
Dersom vi antar at største overflateutslag av η er η0, kan løsningen skrives som
u = 0 (166)
η = η0F (y + ct)e−x/Lρ (167)
27
v = −√
g
Hη (168)
c =√gH (169)
Her er |F (y + ct)| ≤ 1, men ellers en vilkarlig funksjon med argument y + ct. Faktoren −√g/H i (168)
følger fra forholdet mellom v (uttrykk 154) og η (uttrykk 157).
A.9 Løsning for sørlige halvkule
I dette tilfellet vil Lρ i uttrykkene (160)-(164) være negativ. Siden Rossby deformasjonsradius per de-finisjon er positiv, betyr dette at vi ma erstatte Lρ med −Lρ i disse uttrykkene. Følgelig mavi i dettetilfelle forkaste løsningen med y+ ct argument, da denne vokser uten grenser nar x→∞. Løsningen forsørlige halvkule blir da
u = 0 (170)
η = η0F (y − ct)e−x/Lρ (171)
v =
√g
Hη (172)
c =√gH (173)
Her er |F (y − ct)| ≤ 1. Merk at v og η har samme fortegn, dette da V2-løsningen for v (se 154) og η (se
157) har samme fortegn. Merk ogsa at pa sørlige halvkule brer bølgen seg i positiv y-retning, det vil si
med kysten til venstre. Dette er en konsekvens av at v og η har samme fortegn pa sørlige halvkule.
B Oppdateringer var 2013
C Oppdateringer var 2012
24. april 2012 Noen mindre (spraklige) justeinger i avsnitt A.2.
25. april 2012 iω rettet til ±iω i (135). Rettet bølgetallsvektor i setningen over (128).
26. april 2012 Omskrevet tekst rundt (61).
2. mai 2012 Noen endringer i avsnitt 4.3.
8. mai 2012 Mer detaljert utledning i avsnitt 6.2.
28
