TEHNIČKI FAKULTET RIJEKA

6/11 INŽENJERSKA MATEMATIKA ET Formule za praćenje vježbi

KRIVULJNI I PLOŠNI INTEGRALI Krivuljni integral 1. vrste

∫=k

dszyxfI ),,( , ),,( zyxf skalarno polje, k krivulja

Za krivulje u ravnini vrijedi

1. ∫ +=⇒+==2

1

22 '1))(,('1:)(x

x

dxyxyxfIdxydsxyy

2. ∫ +=⇒+===2

1

2222 )()())(),(()()(:)(),(t

t

dttytxtytxfIdttytxdstyytxx

3. ∫ +=⇒+==2

1

2222 ')sin)(,cos)((':)(ϕ

ϕ

ϕϕϕϕϕϕϕ drrrrfIdrrdsrr

Općenito – ako je ))(),(),(()( tztytxtr = parametrizacija krivulje vrijedi

∫ ++=⇒++==2

1

222222 )()()())(),(),(()()()()(t

t

dttztytxtztytxfIdttztytxdttrds

Primjena: - oplošje cilindrične plohe ),( yxzz = : ∫=k

dsyxzO ),( ;

- masa luka, ),,( zyxρρ = linijska gustoća: ∫=k

dszyxm ),,(ρ

- težište ),,( TTT zyxT :

∫

∫=

k

kT dszyx

dszyxxx

),,(

),,(

ρ

ρ;

∫

∫=

k

kT dszyx

dszyxyy

),,(

),,(

ρ

ρ;

∫

∫=

k

kT dszyx

dszyxzz

),,(

),,(

ρ

ρ

Krivuljni integral 2. vrste

Zadano je vektorsko polje )),,(),,,(),,,((),,( zyxRzyxQzyxPzyxa = i krivulja k Krivuljni integral 2. vrste je:

∫∫ ++=⋅=kk

RdzQdyPdxrdaI

Računanje integrala: za parametrizaciju krivulje )(trr = vrijedi dttzdzdttydydttxdx )(,)(,)( === , te je integral potom jednak

( )∫ ++=k

dttztztytxRtytztytxQtxtztytxPI )())(),(),(()())(),(),(()())(),(),((

Primjena: - rad sile na nekom putu ∫ ∫ ⋅==k

rdFdAA

- računanje površine: ∫ −=k

ydxxdyP )(21

- integral vekt.polja po zatvorenoj krivulji nazivamo cirkulacijom vektorkog polja Green- Gaussova formula ( )∫ ∫∫ −=+

k syx dxdyPQQdyPdx

)(

)( … za pozitivan smjer integracije (suprotno od kazaljke na satu)

TEHNIČKI FAKULTET RIJEKA

7/11 INŽENJERSKA MATEMATIKA ET Formule za praćenje vježbi

Plošni integral 1. vrste

∫∫=S

dSzyxfI ),,( , ),,( zyxf skalarno polje, S ploha

Označimo: n vektor normale na plohu S, )cos,cos,(cos0 γβα==nnn vektor jedinične normale

U zavisnosti o načinu zadavanja plohe vrijedi:

1. eksplicitno ),( yxzz = : )1,,( −±= yx zzn , dxdyzzdxdydS yx 1cos

22 ++==γ

2. implicitno 0),,( =zyxF : ),,( zyx FFFn ±= , dxdyF

FFFdxdydSz

zyx222

cos

++==

γ

3. parametarski: )),(),,(),,((),( vuzvuyvuxvur = , dudvrrdS vu ×= Primjer: - parametrizacija sfere polumjera R: )cos,sinsin,sincos(),(

),(),(),( ϑϕϑϕϑϕ

ϑϑϕϑϕϑϕzyx

RRRr = , πϕ 20 ≤≤ , πϑ ≤≤0

- dobijemo ϑϑϑϑ ϑϕϑϕ sinsinsin)(sin 2RrRrrrRkzjyixRrr ==×⇒=++=×

Primjena: - računanje mase zadane plohe, ),,( zyxρρ = plošnagustoća ∫∫=

S

dSzyxm ),,(ρ

Plošni integral 2. vrste - zadano je vektorsko polje )),,(),,,(),,,((),,( zyxRzyxQzyxPzyxa = i ploha S te vektor normale n koji određuje orijentaciju plohe S - orijentacija plohe: pozitivna orijentacija podrazumijeva da je vektor plošne normale usmjeren prema van

0cos:,0cos:,0cos::)( <=>∪∪=+ γγγ dcgdcg SSSSSSS Plošni integral 2. vrste: protok (tok, fluks) vektorskog polja a kroz plohu S

∫∫+

⋅=)(S

dSnaI

- veza između plošnog integrala 1. i 2. vrste:

∫∫ ∫∫+

++=)( )(

)coscoscos(S S

dSRQPdSna γβα

- izračunavanje plošnog integrala 2. vrste:

1. ako je (S)+ simetrična i njena izvodnica je paralelna s osi z, onda je kut 2πγ =

∫∫ ∫∫+

==)(

0cosS

dxdyRRdxdy γ

2. ako je (S)+ zadana jednadžbom z=z(x,y) onda vrijedi: dxdyyxzyxRsigndxdyzyxR

S Sxy∫∫ ∫∫

+

=)(

)),(,,(cos),,( γ

- analogno izračunamo ostala dva integrala

TEHNIČKI FAKULTET RIJEKA

8/11 INŽENJERSKA MATEMATIKA ET Formule za praćenje vježbi

INTEGRALNI TEOREMI Formula Ostrogradskog

∫∫ ∫∫∫=S V

dVadivdSna )(

∫∫ ∫∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=++)(S V

dVzR

yQ

xPRdxdyQdzdxPdydz

Formula Stokesa

dzdxxR

zPdydz

zQ

yRdxdy

yP

xQdSn

RQPzyx

kji

RdzQdyPdx

RQPadSnarotrda

SC S

SC

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=∂∂

∂∂

∂∂

=++

==

∫∫∫ ∫∫

∫∫∫ ),,()(

TROSTRUKI INTEGRAL

∫∫∫=V

dxdydzzyxfI ),,(

Računanje trostrukog integrala: ako je područje integracije [ ] [ ] [ ]fedcba ,,, ×× tada je

∫∫∫∫ ∫∫==f

eV

d

c

b

a

dzzyxfdydxdxdydzzyxfI ),,(),,( ,

te se redoslijed integriranja može po volji mijenjati. Ako je područje V omeđeno plohama koje se dane s ),(1 yxz i ),(2 yxz tada se integral može izračunati uzastopnim integriranjem

∫∫∫∫ ∫∫=),(

),(

)(

)(

2

1

2

1

),,(),,(yxz

yxzV

xy

xy

b

a

dzzyxfdydxdxdydzzyxf .

SUPSTITUCIJA U TROSTRUKOM INTEGRALU: ),,( wvuxx = , ),,( wvuyy = i ),,( wvuzz = . Vrijedi

∫∫∫∫∫∫Ω

= dudvdwwvuJwvuzwvuywvuxfdxdydzzyxfV

),,()),,(),,,(),,,((),,( ,

gdje je Ω novo uvw-područje integracije, a ),,( wvuJ Jacobijeva determinanta:

wvu

wvu

wvu

zzzyyyxxx

wvuzyxwvuJ =

∂∂

=),,(),,(),,( .

Cilindrične koordinate ),,( zr ϕ :

ϕcosrx = , ϕsinry = , zz = ⇒ rzrJ =),,( ϕ Sferne koordinate ),,( ϑϕr :

ϕϑ cossinrx = , ϕϑ sinsinry = , ϑcosrz = ⇒ ϑϑϕ sin),,( rrJ =