Una elipse es el conjunto de todos los puntos (x, y) en el plano

la suma de cuyas distancias a dos puntos fijos (focos) es

constante.

d1

d2

d1+ d2 = constante.

¿Cuál es el valor de esta constante?

Eje mayor

Eje menor

Supóngase que el centro está en el punto (h,k), los vértices

en los puntos (h+a,k), (h-a,k), (h,k+b), (h,k-b) y los focos en

(h+c,k), (h-c,k).

(h,k)(h-a,k) (h+a,k)

(h,k+b)

(h,k-b)

Si la suma de las distancias desde cualquier punto a los focos ha de

ser constante, entonces tomando el vértice (h+a,k)se ve que esta

distancia debe ser:

(h-c,k) (h+c,k)

(a+c) + ( a-c) = 2a.

Que es la longitud del eje mayor

foco foco

vértice

Forma estándar de la ecuación de una elipse

La forma estándar de la 4ecuación de una elipse con centro en

(h,k), eje mayor 2a y eje menor 2b, donde 0<b<a, es

(x – h)2/ a2 + (y – k)2/b2 = 1 Eje mayor horizontal

(x – h)2/ b2 + (y – k)2/a2 = 1 Eje mayor vertical

Los focos se encuentran sobre el eje mayor a c unidades del centro,

donde c2 = a2 - b2.

(h,k) (h,k)

Eje mayor

Eje mayor

Ejemplo 1. Encontrar el centro, los vértices, los focos y dibujar la

gráfica de la elipse con ecuación

(x – 1)2/ 9 + (y – 5)2/25 = 1.

El centro está en el punto (1,5).

El eje mayor es vertical y a = 5, b = 3. Sabemos que c2 = a2 – b2,

entonces c2 = 25 – 9 = 16, y por lo tanto c = 4.Los focos se encuentran sobre

el eje mayor separados c

unidades del centro, es decir,

se encuentran en los puntos

(1,9) y (1,1).

Los vértices sobre el eje

mayor son: (1,10) y (1,0).

Y los vértices sobre el eje

menor son: (-2,5) y (4,5).

Eje mayor

(1,5)

(1,9)

(1,1)

Ejemplo 2. Encontrar el centro, los vértices, los focos y dibujar la

gráfica de la elipse con ecuación

9x2 + 4y2 –36x +8y +31 = 0.

Primero debemos encontrar la forma estándar de esta ecuación. Para

esto será necesario completar cuadrados en ambas variables.

9( x2 – 4 x) + 4( y2 + 2 y ) + 31 =9x2 + 4y2 –36x +8y +31 =

9(x2 –4 x + 4 - 4 ) + 4( y2 +2 y +1-1) +31 =

9(x – 2)2 –36 + 4 (y + 1)2 –4 +31 = 9(x – 2)2 + 4 (y + 1)2 - 9

Entonces la ecuación toma la forma

9(x – 2)2 + 4 (y + 1)2 = 9,

o bien, (x – 2)2 + (y + 1)2/(9/4) = 1.

¿Cómo continuar ?

Ejemplo 3. Encontrar la ecuación y la gráfica de la elipse con

vértices (0,2),(4,2) y eje menor de longitud 2.

Solución: La distancia entre los vértices (0,2) y (4,2) es 4. Como el

eje menor tiene longitud 2, los vértices dados están sobre eje mayor.

Entonces 2a=4, y 2b=2. De aquí se obtiene que a=2 y b=1.

Además el centro es el punto medio del segmento que une (0,2) con

(4,2), eje mayor, entonces el centro tiene coordenadas (2,2).

Como c2 = a2 - b2 , entonces c = 3 y los focos estarán sobre los

puntos (2-3,2) y (2+3,2).

Entonces la ecuación de

la elipse es:

(x – 2)2/ 4 + (y – 2)2 = 1

Y su gráfica es la siguiente:

Eje mayor

Eje menor

(2,2)

1. Un tunel se debe construir un arco semielíptico como

techo de un tunel para una carretera a través de una montaña. El eje

mayor debe ser de 30 metros y la altura en el centro de 10 metros.

(a) Dibuje un bosquejo del tunel, con un sistema coordenado con el

origen en el centro del arco a la entrada del tunel. Identifique las

coordenadas de los puntos conocidos.

(b) Encuentre la ecuación de la elipse cuya parte superior es el techo

del tunel.

c) Determine la altura del arco a 10 metros del eje del tunel.

Ejercicios

Después de analizar durante muchos años una enorme cantidad de

datos empíricos, para lo cual sólo contaba con lápiz y papel,

Johannes Kepler (1571-1630), concluyó que las órbitas de los

planetas del sistema solar siguen un modelo elíptico. Es decir, son

elipses con el sol en uno de sus focos. A partir de esto formuló tres

leyes que describen el movimiento de los planetas alrededor del Sol.

Las cónicas eran bien conocidas desde el tiempo de los Griegos, pero

era difícil reconocer el modelo elíptico en las órbitas de los planetas

porque los focos de estas órbitas elípticas están muy cerca del

centro lo cual las hace muy redondas, similares a un círculo.

Para medir el grado de “redondez” de una elipse existe el concepto de

excentricidad.

La excentricidad e de una elipse está dada por la razón:

e = c/a .

Ya sabemos que 0 < c < a, entonces 0 < e = c/a < 1.

Si e es cercano a 1. ¿Qué tan redonda es una elipse con este tipo de

excentricidad? Si e es cercano a 1, entonces c es cercano al valor de

a y como c2 = a2 - b2 , b debe ser pequeña. Dibujemos una elipse

con estas características: tomemos a = 3 y b = 1/64.

a = 3

b = 1/64 = 0.0156c2 = a2 - b2

= 9 – 0.00087

= 8.99912,

Entonces

Por lo tanto c = 2.999853,

Y e = c/a = 0.999951.

¿ Qué pasará si e es pequeña?

Los focos son los puntos (-2.99912, 0) y (2.99912,0). Los cuales están

muy lejos del centro.

Si e es pequeña, entonces c debe ser pequeña si a es fija. Como

c2 = a2 - b2 , a y b deben ser casi iguales. Dibujemos una elipse con

estas características. Tomemos a = 3 y b = 2.999, entonces c2 = a2 - b2

= 9 – 8.994001 = 0.000599, es decir c = 0.02447.

a = 3

b = 2.999En este caso la excentricidad

es:

e = c/a = 0.02447/3 =

0.0000815.

Los focos de esta elipse se

encuentran en los puntos

(-0.02447, 0) y (0.02447, 0).

¡Los focos están muy cerca del centro!

Ejemplo 4. Suponga que la longitud del eje mayor de la órbita de la

Tierra es de dos UA (300 106 kms.). Si se sabe que la excentricidad

de la órbita terrestre es 0.0167, calcular las distancias máxima y

mínima de la Tierra al Sol.

En los siguientes ejercicios usaremos unidades astronómicas UA. Una

unidad astronómica es la distancia media (promedio) de la Tierra al

Sol, aproximadamente igual a 150106 kms. Las UA se utilizan para

especificar grandes distancias.

Solución. Trabajemos con unidades astronómicas.Tenemos que

2a = 2 UA, entonces a = 1 UA.

Si e = 0.0167, entonces c/a = 0.0167 y por lo tanto c = 0.0167 a, es

decir, c = 0.0167 UA.La distancia de la Tierra al Sol es máxima cuando cuando estamos en

el vértice más alejado de sol y el valor de esta distancia es c + a =

1.0167 UA = 152106 kms. La distancia mínima es:

a - c = 1 - 0.0167 UA = 0.9833 UA = 147 106 kms.

La siguiente tabla contiene los valores de las excentricidades de los

nueve planetas del sistema solar..

Planeta Excentricidad

Mercurio 0.2056

Venus 0.0068

Tierra 0.0167

Marte 0.0934

Júpiter 0.0484

Saturno 0.0543

Urano 0.0460

Neptuno 0.0082

Plutón 0.2481

Observando esta tabla se puede

entender la dificultad del problema

de distinguir que estas órbitas no son

circulares y se aprecia mejor el

trabajo de Kepler.

La órbita de la Luna alrededor de

la Tierra tiene una excentricidad

de 0.0525. Y existen algunos

cometas con órbitas circulares con

el Sol en uno de sus focos, por

ejemplo el cometa Halley tiene una

órbita con excentricidad de 0.93

aproximadamente.

Ejemplo 5. El primer satélite artificial de la Tierra fue el Sputnik I,

lanzado por Rusia en 1957. Su mayor altura sobre la superficie

terrestre fue de 938 kilómetros y su posición más baja de 212 kilómetros.

Encuentre la excentricidad de la órbita si el radio de la Tierra es de

6378 kilómetros.

Solución. Considerando que el centro de la Tierra es uno de los focos

de la órbita, tenemos que la altura máxima es c + a y la

mínima a – c.

De esto obtenemos el siguiente

sistema:

Resolviendo vemos que 2 c = 7316 – 6590 = 726.

a + c = 938 + 6378 = 7316,

a – c = 212 + 6378 = 6590.

Entonces, c = 363 y a = 6590 + 363 = 6953.

Y por lo tanto, e = c/a = 363/ 6953 = 0.0522.

La propiedad de reflexión de una elipse.

Las elipses tienen propiedades de reflexión análogas a las de las

parábolas.

Sea l la tangente a una elipse en un punto P sobre ella. Esta recta

forma ángulos iguales con las líneas que unen al punto P

con los focos de la elipse. P

Debido a esta propiedad, si

un rayo de luz o una onda

de sonido parte de uno de

los focos, ésta es reflejada

por la elipse y llega al otro

foco.

Por esta razón los elipsoides (superficie que se obtiene al hacer girar

una elipse) se utilizan en el diseño de bóvedas que reflejan el sonido

y en aparatos como el litotriptor que utilizan los médicos para

desintegrar cálculos renales.

Ejercicios.

1. La longitud del eje mayor de la órbita del cometa Halley es

aproximadamente igual a 36.18 UA. Encuentre una ecuación para su

órbita, colocando el centro sobre el origen de un sistema coordenado

y el eje mayor sobre el eje x. ¿Conoce usted la excentricidad de esta

órbita?

2. El cometa Hencke tiene una órbita elíptica con el Sol en uno de sus

focos. Sus distancias al Sol están entre 0.34 y 4.08 UA. Encuentre

una ecuación para la órbita con centro en el origen y eje mayor sobre

el eje x.

3. El área de la elipse en la figura

es el doble del área del círculo.

¿Cuál es la longitud de su eje

mayor?.

Sugerencia: el área de una elipse es

ab.

(0,10)